FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVASPROGRAMAS DE POSTGRADO EN FINANZAS.TERCERA EVALUACIÓNEN GRUPOCURSO: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS PROFESOR: Ing. FRANKLIN JOSÉ VALVERDE DELGADO. E.S.I, M.Sc.ESTUDIANTES: LUZ ELENA ARANDA OROZCO

MIGUEL ANGEL MONTEJO HURTADOWILSON MORENO CASTAÑODIANA CAROLINA MICOLTA RIVAS

ANDRES FELIPE SALAZAR ESGUERRA

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS –APLICACIONES-

1. Con ayuda del software Graphmatica, realice la gráfica de lassiguientes funciones y determine: su dominio, su rango y loslímites al infinito tanto positivo como negativo.

a)f (x )=2x

Df=¿R¿

Rf=¿(0,+∞)¿

1

limx→∞

2x=+∞

limx→−∞

2x=0

b)f (x )=ex

Df=¿R¿

Rf=¿(0,+∞)¿

limx→∞

ex=+∞

limx→−∞

ex=0

c)f (x )=3x

2

Df=¿R¿

Rf=¿(0,+∞)¿

limx→∞

3x=+∞

limx→−∞

3x=0

d)f (x )=2−x

3

Df=¿R¿

Rf=¿(0,+∞)¿

limx→∞

2−x=0

limx→−∞

2−x=∞

e)f (x )=e−x

4

Df=¿R¿

Rf=¿(0,+∞)¿

limx→∞

e−x=0

limx→−∞

e−x=∞

f)f (x )=3−x

5

Df=¿R¿

Rf=¿(0,+∞)¿

limx→∞

3−x=0

limx→−∞

3−x=∞

2. Con ayuda del software Graphmatica, realice la gráfica de lassiguientes funciones y determine: su dominio, su rango y loslímites al infinito tanto positivo como negativo.

a)f (x )=log2x(aplicamos cambio de base para poder graficar en el software)

f (x )=logxlog2

Df=¿(0,+∞)¿

Rf=¿R ¿

limx→∞

log2x=∞

6

limx→−∞

log2xNoexisteyaquesudominiovadesdecerohasta+infinito.

limx→0

log2x=−¿ ∞ ¿

b)f (x )=ln (x )

Df=¿(0,+∞)¿

Rf=¿R ¿

limx→∞

lnx=∞

limx→−∞

lnxNoexisteyaquesudominiovadesdecerohasta+infinito.

limx→0

lnx=−¿ ∞ ¿

7

c)f (x )=log3x (aplicamos cambio de base para poder graficar en el software)

f (x )=logxlog3

Rf=¿R ¿

limx→∞

log3x=∞

limx→−∞

log3xNoexisteyaquesudominiovadesdecerohasta+infinito.

limx→0

log3x=−¿ ∞ ¿

8

3. Halle los valores de x que satisfacen las siguientes ecuaciones

a. log3 (81x)−log3 (3)2x=¿3 ¿

R/.

log3[ 81x(3 )2x ]=¿3¿

log3[ (34 )x

(3 )2x ]=¿3¿

log3[34x

32x ]=¿3¿

log3 32x=3

2xlog3 3=3

2x=3

x=32

x=1.5

b. log9√10x+5−12=log9√x+1

R/.

log9√10x+5−log9√x+1=12

log9√10x+5√x+1

=12

log9√10x+5x+1

=12

9

log9(10x+5x+1 )

12=

12

(12 )log9(10x+5x+1 )=1

2

log9(10x+5x+1 )=1

10x+5x+1

❑

=9

10x+5 = 9(x+1)

10x+5 = 9x + 9

10x - 9x = 9-5

X=4

c. 3x+4=2x−16

R/.

(x+4)ln3=(x−16)ln2

xln3+4ln3=xln2−16ln2

xln3−xln2=−16ln2−4ln3

x(ln3−ln2)=−16ln2−4ln3

10

x=−16ln2−4ln3(ln3−ln2)

x=−38.190

d. (12 )−x+2

=8 (2x−1 )3

R/.

(2−1 )−x+2=23∗¿ 23(x−1)

2(−1)(−x+2)= 23+3(x−1)

2(x−2)= 23x

x−2ln2=3xln2x−23x

=ln2ln2

x−2=3x−2=3x−x−2=2x−22

=x

x=−1

4. En los siguientes ejercicios, use las leyes de los logaritmos parareescribir la expresión dada como un solo logaritmo.

a. log10 (2 )+2log10 (5 )

R/

log [2∗52 ] = log [2∗25 ]

11

log [50 ]

b. ln(xy )−2ln (x3 )−4ln (y )

R/.

ln(xy )−ln (x3 )2−lny4

ln[ xy ]−ln [x6y4 ]

ln[ xy

x6y4 ]ln[ x

y5x6 ]

5. Se invierten US$10,000 con una tasa de interés del 6% anual,compuesto mensualmente. Calcule el valor futuro de la inversión Sdespués de t años. Halle S(5) y S(30).

R/.

C0=CapitalincialovalorpresenteC=Capitalovalorfuturoi=tasadeinteresanualt=tiempoenañosn=númerodecapitalizacionesenelaño

C=C0(1+in)

nt

12

Cálculo de valor futuro de la inversión después de 5 años:

C(5)=10000(1+0.0612 )(12 )(5)

C(5)

=10000(1+0.0612 )

60

C(5)

=10000 (1.005 )60

C(5)

=10000 (1.3488 )

C(5)

=13488.50

R/. El valor futuro de la inversión después de 5 años, se calculaen US$13.489.

C(30)=10000(1+0.0612 )(12) (30)

C(30)=10000(1+0.0612 )

(360)

C(30)

=10000 (1.005 )(360)

C(30)

=10000 (6.0225)

C(30)

=60225.75

R/. El valor futuro de la inversión después de 30 años, se calculaen US$60.226

6. El poder adquisitivo S de un ingreso fijo de US$30,000 anuales –como una pensión- después de t años, con una inflación de 4% puedemodelarse por medio de la fórmula

13

S (t )=30,000e−0.04t

Encuentre el poder adquisitivo después de a) 5 años y b) 20 años.

R/.

S(5)=30,000e(−0.04)(5)

S(5)

=30,000e−0.2

S(5)

=24.561,92

a). Con una inflación de 4%, el poder adquisitivo después de cinco(5) años, se calcula en US$24.562

S(20)

=30,000e(−0.04 ) (20)

S(20)

=30,000e−0.8

S(20)

=13.479,86

b). Con una inflación de 4%, el poder adquisitivo después deveinte (20) años, se calcula en US$13.480.

7. La escala de Richter se utiliza para medir la intensidad de unterremoto. La magnitud en la escala de Richter de un terremoto conintensidad I se obtiene mediante la fórmula

R (I)=log( II0 )Donde I0 es cierta intensidad mínima usada para efectos decomparación.

a) Encuentre R si I es 3'160,000 veces tan grande como I0.

14

b) El terremoto de Alaska de 1964 alcanzó 8.4 grados en la escala deRichter. Encuentre la intensidad del terremoto de Alaska.

R/ R (3'160,000 )=log(3'160,000I0

I0 )= 6.499687083La intensidad del terremoto seria aproximadamente de 6.499687083,teniendo presente que I es 3'160,000 veces tan grande como I0.

8.4=log( II0 )108.4=( II0)I=108.4.I0

I=251.188.643,2I0

La intensidad del terremoto de Alaska de 1964 cuando alcanzó los 8.4 grados en la escala de Richter es igual a 251.188.643,2I0

8. Investigaciones médicas han demostrado que durante periodos brevescuando se cierran las válvulas que van hacia la aorta de un adultonormal, la presión en la aorta es una función del tiempo y se puedemodelar con la ecuación

P (t )=95e−0.491t

Donde t está en segundos.

a) ¿Cuál es la presión aórtica cuando las válvulas se cierran porprimera vez (t=0 )?

b) ¿Cuál es la presión aórtica después det=0.1 segundos?c) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la presión llegue a 80?

R/.

15

P (0 )=95e−0.491 (0)= 95

La presión aortica cuando las válvulas se cierran por primera vez,cuando t= 0 es de 95

P (0.1 )=95e−0.491 (0.1)

P (0.1 )=95e−0.0491

P (0.1 )=90.44816205aprox.90.45

La presión aortica después de t=0.1 segundos es aproximadamente de90.45

9. Una compañía encuentra que sus ventas diarias empiezan a caerdespués de terminada una campaña publicitaria y la declinación estal que el volumen de ventas es

V (t )=2,000 (2−0.1 t)

Donde t es el número de días después de finalizar la campaña.

a) ¿Cuántas ventas se harán 10 días después de finalizar la campaña?b) Si la compañía no quiere que caigan sus ventas por debajo de 500

al día, ¿cuándo debe empezar una nueva campaña.

R/.

a). V (10 )=2,000 (2−0.1∗10 )V (10 )=2,000 (2−1 )

16

V (10 )=2,000∗12

V (10 )=1.000

10 días después de finalizada la campaña publicitaria, se harán1.000 ventas.

b).

2,000 (2−0.1t )=500

(2−0.1t )= 5002,000

=0,25

ln2−0,1t=ln0,25

t= ln0,25(−0,1 ) (ln2)

t=20

Si la compañía no quiere que sus ventas caigan por debajo de 500 aldía, deberán iniciar una nueva campaña publicitaria pasados 20días.

10. La población de cierta ciudad era de 30,000 en 1980 y 40,500 en1990. Si se modela la población con la función P (t )=P0e

kt, ¿cuálsería la población en el año 2010?

R/.

P (t )=30,000ek (10)

40,500=30,000ek (10)

40,50030,000

=ek(10)

17

ln1,35=lne10k

ln1,35=10k

ln1,3510

=k

k=0,03

Estimado de población 30 años después:

P (30 )=30,000e0,03(30)

P (30 )=30,000e0,9

P (30 )=73,788.09

La población en el año 2010 sería de 73,788 habitantesapróximadamente.

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