Yrd. Doç. Dr. Erbil KAVCI

KAFKAS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA

MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

1. Tek boyutlu ısı iletim denklemi2. Genel ısı iletim denklemi3. Sınır ve başlangıç şartları4. Sürekli tek boyutlu ısı iletim prob.

Çözümleri5. Bir katıda ısı üretimi 6. Değişken ısıl iletkenlik

Isı iletim denklemi

Isı ve sıcaklık birbiriyle yakından ilişkili olmasın rağmen, aslında farklıdır.

Sıcaklık skaler bir büyüklüktür Isı transferi vektörel bir büyüklüktür. Hem büyüklük hemde de yön belirtilmelidir. Koordinat sisteminde yönü (+) ve (-)

işaretleriyle belirtilir. Isı transferinin itici gücü sıcaklık farkıdır.

Üç tane koordinat sistemi vardır1. Kartezyen koordinat sistemiT(x,y,z,t)2. Silindirik koordinat sistemiT(r, ɸ,z,t)3. Küresel koordinat sistemiT(r, ɸ,Ɵ,t)

İletimle ısı transferi problemleri 3 şekilde ele alınabilir.

Sistem; 1) sürekli veya zamana bağlı olabilir 2) çok boyutlu ısı transferi olabilir 3) sistemde ısı üretimi olabilir.

Zamana bağlı Sürekli

Isı transferi :bir boyutlu,İki boyutlu,Üç boyutlu olabilir.

En genel haliyle ısı transferi üç yönde de olur.

Bir yönde ki ısı transfer hızının büyüklüğü diğer yönlerdeki ısı transfer hızının yanında ihmal edilebilir.

Isı transferi bir yada iki boyutlu olabilir.

Çok boyutlu ısı transferi

İki boyutlu ısı transferi Tek boyutlu ısı transferi

Bir ortamda (mesela x doğrulusunda) ısı transfer hız, ortam içindeki sıcaklık farkı ve ısı doğrultusuna dik alan ile doğru, o doğrultudaki uzaklıkla ters orantılıdır.

Isı azalan sıcaklık yönünde iletilir, ısı (+ x) yönünde iletlidiğinde, sıcaklık gradyanınegatiftir’dir

P noktasında: izotermal yüzey üzerindeki, ısı akısı vektörü, yüzeye dik ve azalan yönde

n: P noktasında izotermal yüzeyin normali ise, bu noktada ısı iletim hızı

Genel ısı iletim denklemi

Sıcaklık dağılımın üç boyutlu olduğu ortam

Kartezyen koordinatlarda, ısı iletim vektörü

Isı Üretimi Isı iletilen ortamda elektriksel, nükleer veya

kimyasal enerjinin ısı enerjisine dönüşümleri olabilir.

Isı üretimi hacimsel bir olgudur. Isı üretim hızı W/m3 veya Btu/h. Ft3

é: birim hacim başına üretilen enerji V hacimli ortamda toplam ısı üretim hızı É

dVeEv

...

Soru: 1200 W’lık saç kurutma makinasının direnç teli uzunluğu 80 cm ve çapı D=0.3 cm dir.

Buna göre; ?: telde birim hacim başına ısı üretim hızı ?: telin dış yüzeyindeki ısı akısıÇözüm: Kabuller: ısı direnç telinde uniform

üretilmektedir.

Geniş bir düzlemde duvarda ısı iletimi

Düzlem duvar için A sabit olduğundan düzlem duvarda tek boyutlu zaman bağlı ısı iletim denklemi:

Değişken iletkenlik Sabit iletkenlik

1) Sürekli rejim

2) Zamana bağlı ısı üretimi yok

3) Sürekli rejim ısı üretimi yok

Uzun bir silindirde ısı iletim denklemi

A=2∏rL alanı r’ ye bağlı olduğundan konumla değişir. Bu halde bir boyutlu ısı iletim denklemi

Değişken iletkenlik

Sabit iletkenlik

1. Sürekli rejim

2. Zamana bağlı ısı üretimi yoK

3. Sürekli rejim ısı üretimi yok

Bir kürede ısı iletimiDeğişken iletkenlik

Sabit iletkenlik

Genel ısı iletim denklemi

x,y,z noktalarındakiIsı iletim hızı

x+∆x, y+ ∆y,z+ ∆zIsı iletim hızı

Hacim elemanı içindeki ısı üretim hızı

Hacim elemanındaEnerji değişimi

Sabit iletkenlik durumundaki denklem

Sürekli rejim

Zamana bağlı, ısı üretimi yok

Sürekli rejim, ısı üretimi yok

Silindirik koordinatlar

Küresel koordinatlar

Tanımlı sıcaklık sınır şartı Tanımlı ısı akısı sınır şartı Taşınım sınır şartı Işınım sınır şartı Ara yüzey sınır şartı Genelleştirilmiş sınır şartları

Sınır ve başlangıç şartları

L kalınlıklı bir düzlem duvardaTek boyutlu ısı iletim için Tanımlı sıcaklık şartlarıT(0,t)=T1

T(L,t)=T2

Tanımlı sıcaklıklar sürekli rejimlerindeki gibi sabit olabilir, yada zamana göre değişebilir.

Tanımlı Sıcaklık Sınır Şartı

Sınırlar dahil olmak üzere ortamın herhangi bir yerinde (+ x) yönünde ısı akısı Fourier ısı iletim kanunu:

Isı akısı eksenin pozitif yönünde ise pozitif,Zıt yönde ise negatif olur.

Tanımlı Isı Akısı Şartı

İki özel durumYalıtımlı sınır Isıl Simetri

Taşınım sınır şartıSeçilen bir doğrultudaYüzeyde ısı iletimi = Aynı doğrultuda

yüzeyde ısı üretimi

Işınım sınır şartıYüzeydeki ısıiletimi

Yüzeydeki ışınım değişimi

=

Ara yüzey Sınır Şartı1) İki cismin temas ettiği

yüzeyde sıcaklıklar aynıdır2) Bir ara yüzey enerji

depolayamaz bu yüzden ısı akısı her iki tarafta da aynı olmalıdır.

Genel olarak bir yüzey aynı anda taşınım, ışınım ve tanımlı ısı akısı içerebilir. Böyle durumlarda sınır şartları yüzeylerdeki enerji balansından elde edilir.

Genelleştirilmiş Sınır Şartları

(Yüzeye olan her tür ısı transferi) = (yüzeyden olan her tür ısı transferi)

Isı transferi problemi1. Matematiksel formülasyon ( Diferansiyel

denklemler ve sınır şartları)2. Diferansiyel denklemin genel çözümü3. Sınır şartlarının uygulanması4. Problemin çözümü

Sürekli tek boyutlu ısı iletim problemlerinin çözümü

k=1.2 W/m oC yüzey,A=15 m2 L=0.2 mT1=120 oC, T2 =50 oC

A) Duvar içindeki sıcaklık dağılımı ve x=0.1 m deki duvar sıcaklığı B) sürekli şartlarda duvar içindeki ısı iletim

hızı

Bir düzlem duvarda ısı iletimi

B şıkkı

Sabit iletkenliği k olan ve içinde ısı üretimi olmayan L kalınlıklı geniş bir düzlem duvarda sürekli tek boyutlu ısı iletimini göz önüne alınız.

Aşağıdaki herbir sınır şartı çifti için duvar içindeki sıcaklığın değişimi için ifadeler elde ediniz.

Farklı sınır şartlarının olduğu bir duvar

İki sınır şartı aynı sınırda tanımlanabilirFarklı konumlarda olması gerekmez

C1 sabiti aynı anda iki farklı değere eşit olmayacağından çözüm yoktur.Duvara her iki yandan ısı verilirken duvarda sıcaklığın sürekli kalmasını Beklemek yanlı olur.( sistem karalı)

C1 için aynı sonucu verede c2 için vermez ifade özgün bir çözüm vermez

L= 0.5 m A=300 cm2 k= 15 W/m oC olan 1200 W lık bir ütünün taban plakasını dikkate alalım.ütünün dış yüzeyi 20 oC ve çevreye taşınımla ısı kaybetmektedir. h= 80 W/m2

Işınımla ısı kaybını ihmal ederek sıcaklık değişimi için bir ifade elde ediniz ve iç ve dış yüzeylerdeki sıcaklıkları bulunuz.

Kabuller Sistem kararlıTaban alını kalınlığın göre büyük O halde ısı transfer tek boyutluIsıl iletkenlik k sabitIsı üretimi yok Işınım ihmalÜst kısım yalıtılmış olduğundan ısınınTamamı yüzeyden plaka tabanına aktarılmaktadır.

Uzayda L = 0.06 m k= 1.2 W/m oC , geniş bir düzlem duvar ele alalım. ε= 0.85 α=0.26 olan beyaz bir porselenle kaplanmıştır.

Duvarın dış yüzeyi 800 W / m2 güneş ışınımına açık iken, iç yüzeyi T1= 300 K’ de sabit tutulmaktadır. Dış yüzey 0’ K deki derin uzaya ışınımla ısı kaybetmektedir. Sürekli şartlarda duvarın dış yüzey sıcaklığını ve duvardan transfer olan ısı transfer hızını bulunuz. Eğer yüzeye güneş ışınımı gelmeseydi cevap ne olurdu?

Güneş enerjisi ile ısıtılmış bir duvarda ısı iletimi

Kabuller :1 sistem kararlı 2 kalınlığa göre

duvar daha büyük o halde ısı transferi tek boyutlu

3 k sabit4 ısı üretimi yok

Bir buhar borusundan ısı kaybı L= 20 m r1= 6 cm r2=8

cm k= 20 W/m oC bir boru göz önüne alalım. Borunun iç yüzeyi T1=150 oC dış yüzeyi T2= 60 oC ortalama sıcaklıkta sabit tutulmaktadır. Sürekli şartlarda sıcaklık dağılımını veren bir genel bağıntı bulunuz ve borunun içindeki buhardan ısı kaybını bulunuz.

1. sistem kararlı2. Isıl simetri olduğundan ve eksenel

doğrultuda değişim olmadığı için ısı transferi tek boyutlu

3. k sabit4. Isı üretimi yok

kabuller

Küresel bir kabukta ısı iletimi r1= 8 cm r2= 10 cm k=

45 küresel tank göz önüne alalım. Küre içinde oluşan kimyasal reaksiyonlar sonucu iç ve dış yüzey sıcaklıkları

T1= 200 oC ve T2= 80 oC de sabit tutulmaktadır.

Sürekli şartlarda kabuğun içindeki sıcaklık dağılımı için genel bir ifade bulunuz ve ısı kayıp hızını bulunuz.

Bir katıda ısı üretimi

1. Yüzey sıcaklığı Ts2. Maksimum

sıcaklık Tmax Sürekli şartlarda

katı için enerji dengesi

Katıdan ısı trns. hızı=katıdaki en. ürt hızı

Katıdaki ısı üretimi

Newton’nun soğutma kanunu

İki eşitlik birleştirilirse

2L kalınlıklı duvar için As=2Aduvar V=2LA

r0 yarıçaplı uzun bir silindir için As=2r0πL V= πr02L

r0 yarıçaplı bir küre için As=4/3 πr02,

V=4/3 πr03

Bir katıda ısı üretimisilindirin merkezindeki maksimum sıcaklık Silindirin içinde

üretilen ısı, silindirin dış yüzeyinden iletilen ısıya eşit olmalıdır

T(0)=T0 r=r0 ve T(r0)=Ts , r=r0 integre edilirse

Şekildeki gibi k=13.5 W/m oC r0=0.5 cm bir direnç teli elektrik akımıyla suyu kaynatmaktadır. Telde üretilen enerji 4.3x107 W/m3 dür. Sistem kararlı hale geldiği zaman yüzey sıcaklığı 108 oC olarak ölçülüyorsa sıcaklık dağılımını ifade eden bir bağıntı elde ediniz ve telin eksen sıcaklığını hesaplayınız.

Bir ısıtıcı dirençteki sıcaklık değişimi

108 oC

r=ro ve T=Ts yazılırsa

Telin eksendeki sıcaklığı r= 0

ktel= 15 W/m oC r1=0.2 cm olan bir direnç teli 50 W/cm3 hızla sabit bir ısı üretimine sahiptir.

Tel k=1.2 W/m oC olan 0.5 kalınlıklı seramik tabaka içine yerleştirilmiştir. Eğer seramik tabakanın dış yüzeyi Ts=45 oC olarak ölçülüyorsa sürekli şartlarda telin merkezindeki ve seramik tabak ile telin arayüzeyindeki sıcaklıkları hesaplayınız.

İki tabakalı bir ortamda ısı iletimi

Kabuller 1. Sistem kararlı2. Isı transferi tek

boyutlu r yönünde3. Isıl iletkenlik sabit4. Teldeki ısı üretimi

üniform