İŞLETMELERDE ZAMAN SERİLERİ ANALİZİ İLE TAHMİN

T.C

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ

SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ

İŞLETME ANABİLİM DALI

SAYISAL YÖNTEMLER DOKTORA PROGRAMI

DOKTORA TEZİ

İŞLETMELERDE ZAMAN SERİLERİ ANALİZİ İLE

TAHMİN

MUSTAFA CAN

2502020110

TEZ DANIŞMANI

PROF DR. NEYRAN ORHUNBİLGE

İSTANBUL, 2009

ÖZ

İşletmelerde Zaman Serileri Analizi İle Tahmin

Mustafa Can

Belirsiz olan geleceğin tahmin edilmesi gerek ülkeler gerek işletmeler için

hayati öneme sahiptir. Geleceğe yönelik isabetli tahminlerle işletmeler; üretim

programlarını, pazarlama faaliyetlerini, finansman gereksinimlerini, fiyat

politikalarını, insan kaynakları kullanımını etkin bir biçimde planlama olanağına

sahip olmaktadırlar.

Çalışmanın amacı; tanımlama, modelleme, tahmin ve kontrol alanlarında

kullanılan zaman serileri analiz yöntemlerinin işletmelerde uygulanışıdır.

Tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde işletmelerde planlamanın ve

tahminin önemi üzerinde durulmaktadır. İkinci bölümde istatistik tahmin teknikleri

adı altında toplanan yöntemler sınıflandırılarak, tez çalışmasının kapsamı dışındaki

yöntemlere kısaca değinilmiştir. Üçüncü bölümde tez çalışmasının esas kapsamını

oluşturan tek değişkenli zaman serileri analiz teknikleri detaylı olarak üzerinde

durulmuştur. Bu bölümde bileşenlere ayırma, üstel düzgünleştirme, otoregressif

ve/veya hareketli ortalama ve otoregressif koşullu değişen varyans modelleri

anlatılmıştır. Dördüncü bölümde tek değişkenli zaman serileri analiz teknikleri petrol

sanayiinde uygulanmıştır. Petrol Sanayiinde faaliyet gösteren Tüpraş’ın satışları ve

ham petrol fiyatları uygulamaların yapıldığı değişkenlerdir. Bu değişkenlerin

seçimindeki amaç planlama için önemli olmalarıdır.

iii

ABSTRACT

Forecasting With Time Series Analysis in Business

Mustafa Can

Forecasting the future of macro and micro economic indicators is important

for countries and enterprises.

With the use of accurate forecasting techniques enterprises have the

oppurtunity of planning their departmental activities like production, marketing,

finance and human resourses management.

The main purpose of the thesis is to examine the time series forecasting

methods and their applications in business in order to forecasting and planning.

The thesis consist of four chapters and desing is as follows. In the first

chapter, the importance of planning and forecasting in business is emphasized. The

second chapter introduces the statistical forecasting methods. In the third chapter

simple time series forecasting methods such as, decomposition methods, exponential

smoothing, autoregressive and moving average models end autoregressive

conditional heteroscedastic models are explained. The last chapter, includes the

application of all of the reviewed techniques are applied to the yearly and quarterly

sales data of Tüpraş and yearly, seasonal and monthly crude oil prices in 1994-2008

period.

iv

ÖNSÖZ

Bu tez çalışmasının amacı bilgisayar teknolojisindeki gelişmeye bağlı olarak

son çeyrek zamanda büyük aşama kaydeden zaman serileri analizi ile geleceğin

tahmin edilmesini işletme bazında araştırmak ve uygulamaktır. Pratikte daha çok

makroekonomik değişkenleri modellemede kullanılan yöntemlerin işletme bazlı –

mikroekonomik- değişkenlerin modellenmesinde de kullanılabilirliğini irdelemektir.

Bunun için tez çalışmasında, Tüpraş işletmesinin İstanbul Menkul Kıymetler

Borsasına sunduğu üçer aylık gelir tablolarından hazırlanan net satışlar ve ham

petrol fiyatları veri seti olarak kullanıldı. İstanbul Sanayi Odasının her yıl yayınladığı

500 Büyük Sanayi kuruluşu araştırmasında hep birinci gelmesi, İstanbul Menkul

Kıymetler Borsasında işlem görmesinden dolayı mali tablolarının halka açık ve

erişimin mümkün olması ve petrol denenci akla ilk gelenin Tüpraş olması seçilme

nedenleri olarak sıralanabilir.

Değişkenlerin analizinde bileşenlere ayırma ve düzgünleştirme yöntemleri

için SPSS 13.0 versiyonu, otoregressif modeller için ise EViews 4.0 versiyonu

kullanılmıştır.

Bu tez çalışmasında göstermiş olduğu değerli katkılarından dolayı tez

danışmanı hocam Prof.Dr. Neyran Orhunbilge’ye çok teşekkür ederim. Fikir

alışverişinde bulunduğum arkadaşım Dr.Mehmet Horasanlı’ya ve dostum Gökhan

Turan’a teşekkür etmeden geçemem. Ayrıca her zaman yardıma hazır olan

Yrd.Doç.Dr. Çiğdem Çilan’a, Arş.Grv. Tuğba Saka’ya, Arş.Grv. Bilge Acar Bolat’a

ve Arş.Grv. Şebnem Er’e teşekkürü bir borç bilirim.

Çalışma dönemimde benden sabır, anlayış ve desteğini esirgemeyen eşim

Gülten Can’a ve tüm sevecenliği ile moral ve motivasyon kaynağım olan kızım

Elif’e ne kadar teşekkür etsem azdır.

v

İÇİNDEKİLER

GİRİŞ ................................................................................................................ 1

1. İŞLETMELERDE PLANLAMA, TAHMİN VE ÖNEMİ ........................... 5

1.1. Plan ve Planlama ………………………………………………......... 6

1.1.1. Planlamanın Özellikleri ………………………………........... 7

1.1.2. Plan Yapmanın Nedenleri .......…………………………........ 9

1.1.3. Planlamanın Aşamaları ....……………………………........... 10

1.1.4. Planlama ve Plan Çeşitleri ……………………………........... 11

1.1.5. Planlamanın Yararları ve Sakıncaları …………………........... 12

1.1.6. İyi Bir Planın Özellikleri ……………………………............. 14

1.2. Üretim Planlama ve Kontrolu ...........................................………....... 14

1.2.1. Talep Tahminleri ..................................................................... 16

1.3. Finansal Planlama ............................................................................... 17

1.3.1. Kısa Vadeli Planlama ve Nakit Bütçeleri ............................... 19

1.3.2. Uzun Vadeli Planlama ve Sermaya Bütçelemesi .................. 19

1.4. İnsan Kaynakları Planlaması ............................................................ 20

1.5. Zaman Serilerini Analiz Etmenin İşletme İçin Yararları ................... 20

2. İSTATİSTİK TAHMİN TEKNİKLERİ ...................................................... 23

2.1. İlişkiye Dayanan Tahmin Teknikleri .................................................. 23

2.1.1. Regresyon Analizi ................................................................... 23

2.1.1.1. Basit Doğrusal Regresyon Analizi .................................... 25

2.1.1.2. Doğrusal Olmayan Basit Regresyon Analizi ..................... 27

2.1.1.3. Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi ................................. 28

2.1.1.4. Lojistik Regresyon ........................................................... 31

2.2. Zaman Serileri Analizi ......................................................................... 33

2.2.1. Zaman Serilerine İlişkin Temel Kavramlar .............................. 33

2.2.1.1. Zaman Serileri ................................................................... 33

2.2.1.2. Gecikme İşlemcisi ............................................................ 35

2.2.1.3. Fark Alma İşlemcisi .......................................................... 35

2.2.1.4. Beyaz Gürültü Serisi .......................................................... 36

2.2.1.5. Rassal Yürüyüş Süreci ...................................................... 37

vi

2.2.1.6. Durağanlık Kavramı .......................................................... 37

2.2.1.7. Otokovaryans Fonksiyonu ................................................. 38

2.2.1.8. Otokorelasyon Katsayıları ve Otokorelasyon Fonksiyonu. 39

2.2.1.9. Kısmi Otokorelasyon Katsayıları ve Kısmi Otokorelasyon

Fonksiyonu ....................................................................................

41

2.2.2. Tek Değişkenli Zaman Serileri Analiz Teknikleri ................. 42

2.2.3. Çok Değişkenli Zaman Serileri Analiz Teknikleri .................. 43

2.2.3.1.Koentegrasyon Analizi ........................................................ 44

2.2.3.1.1. Engle-Granger’ın İki Aşamalı Koentegrasyon

Yöntemi .......................................................................................

45

2.2.3.1.2. Johansen Koentegrasyon Yöntemi ............................... 46

2.2.3.2. Vektör Otoregresyon Modelleri ......................................... 47

3. TEK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ ANALİZ TEKNİKLERİ ........... 50

3.1. Serilerin Analize Hazırlanması ............................................................ 50

3.1.1. Eksik Verilerin Tamamlanması .................................................. 50

3.1.2. Serilerin Düzenlenmesi ve Dönüştürme İşlemleri ..................... 51

3.2. Bileşenlere Ayırma Yöntemi ............................................................... 52

3.2.1. Hareketli Ortalamalarla Trendin Belirlenmesi ............................ 53

3.2.1.1. Merkezi Hareketli Ortalama .................................................. 54

3.2.1.2. Basit Hareketli Ortalama ...................................................... 55

3.2.2. En Küçük Karelerle Trendin Belirlenmesi .................................. 55

3.2.2.1. Doğrusal Trend Fonksiyonu .................................................. 56

3.2.2.2. İkinci Derece Trend Fonksiyonu .......................................... 58

3.2.2.3. Üstel Trend Fonksiyonu ....................................................... 59

3.2.3. Doğrusala Dönüştürme Yöntemleri ......................................... 60

3.2.4. Diğer Trend Fonksiyonları ........................................................ 60

3.2.4.1.Gompertz Eğrisi ................................................................... 61

3.2.4.2. Lojistik Eğri ......................................................................... 63

3.2.4.3. S Eğrileri ............................................................................... 64

3.2.5. Mevsim Bileşenin Belirlenmesi ................................................. 65

3.2.5.1. Mevsim İndeksinin Hesaplanması ........................................ 66

vii

3.2.5.2. Kukla Değişken ile Mevsim Etkisinin Belirlenmesi ............. 67

3.2.5.3. Kruskal-Wallis Testi ............................................................. 68

3.2.6. Konjonktür ve Arizi Faktör Bileşenlerinin Belirlenmesi ............ 69

3.3. Düzgünleştirme Yöntemleri ................................................................. 71

3.3.1. Hareketli Ortalamalar Yöntemi ................................................... 72

3.3.2. Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri .............................................. 72

3.3.2.1. Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi ...................................... 72

3.3.2.2. Brown’ın İkili Üstel Düzgünleştirme Yöntemi ........................ 74

3.3.2.3. Holt’un İkili Üstel Düzgünleştirme Yöntemi ........................... 75

3.3.2.4. Holt’un İki Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme

Yöntemi ................................................................................................

76

3.3.2.5. Brown’ın Tek Parametreli İkinci Derece Düzgünleştirme

Yöntemi .................................................................................................

77

3.3.2.6. Holt Winters İki Parametreli İkili Üstel Düzgünleştirme

Yöntemi – Üstel Trend ..........................................................................

78

3.3.2.7. Yavaşlayan (Damped) Trend Üstel Düzgünleştirme Yöntemi 79

3.3.2.8. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi .............................. 80

3.3.2.8.1. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Doğrusal

Trend ..................................................................................................

81

3.3.2.8.2. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Üstel Trend ... 82

3.3.2.8.3. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Yavaşlayan

Trend ..................................................................................................

83

3.3.2.8.4. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Trendsiz ........ 84

3.4. Otoregressif Modeller Ve Hareketli Ortalamalar Yöntemleri ............. 85

3.4.1. AR(1) Modeli ............................................................................. 86

3.4.2. AR(2) Modeli ............................................................................. 90

3.4.3. AR(p) Modeli .............................................................................. 93

3.4.4. MA(1) Modeli ........................................................................... 96

3.4.5. MA(2) Modeli ............................................................................ 99

3.4.6. MA(q) Modeli ............................................................................. 101

3.4.7. ARMA(1,1) Modeli .................................................................... 102

viii

3.4.8. ARMA (p,q) Modeli ................................................................... 104

3.4.9. ARIMA (p,d, q) Modeli .............................................................. 107

3.4.10. Mevsimsel Otoregressif Hareketli Ortalama Yöntemi ............. 109

3.4.10.1. SAR(P) Modeli ................................................................... 110

3.4.10.2. SMA(Q) Modeli ................................................................. 112

3.4.10.3. SARMA(P,Q) Modeli ........................................................ 115

3.4.10.4. SARIMA(P,D,Q) Modeli .................................................... 117

3.4.11. Box Jenkins Model Kurma Yöntemi ........................................ 119

3.4.11.1. Model Belirleme ................................................................ 119

3.4.11.2. Modelin Tahmini ............................................................... 120

3.4.11.3. Modelin Uygunluk Testi ..................................................... 121

3.4.11.3.1. Hata Terimlerinin Otokorelasyon Fonksiyonu ............. 121

3.4.11.3.2. Box-Pierce Ve LJung –Box Testi ................................ 122

3.4.11.3.3. Bilgi Kriterleri ............................................................. 123

3.4.11.3.4. Tahmin Başarısını Ölçen Kriterler ................................ 124

3.4.11.4. Geleceğe Yönelik Tahmin ................................................. 126

3.5. Otoregressif Koşullu Değişen Varyans Modelleri ............................... 127

3.5.1. Koşullu Ve Koşulsuz Varyans ................................................... 128

3.5.2. ARCH Etkisinin Araştırılması .................................................. 133

3.5.2.1. Lagrange Çarpanı Testi ........................................................ 133

3.5.3. ARCH(p) Modeli ...................................................................... 134

3.5.3.1. ARCH Modelin Özellikleri .................................................. 135

3.5.3.2. ARCH Modelin Zayıf Yönleri .............................................. 137

3.5.4. GARCH(p,q) Modeli .................................................................. 138

3.5.4.1. GARCH Modelin Özellikleri ................................................ 140

3.5.5. ARCH Ve GARCH Modellerinin Maksimum Benzerlik

Tahmini .................................................................................................

141

3.5.6. IGARCH Modeli ......................................................................... 146

3.5.7. ARCH-M Modeli ........................................................................ 147

3.5.8. GARCH-M Modeli ..................................................................... 147

3.5.9. Asimetrik GARCH Modeller ...................................................... 148

ix

3.5.9.1. GJR GARCH / TARCH Modeli ........................................... 148

3.5.9.2. Üstel GARCH (EGARCH) Modeli ....................................... 150

3.5.10. ABSGARCH Modeli ................................................................ 151

3.5.11. TGARCH Modeli .................................................................... 152

3.5.12. Diğer ARCH/GARCH Modelleri ............................................. 153

3.5.12.1.Doğrusal Olmayan Asimetrik GARCH(NAGARCH)

Modeli ................................................................................................

153

3.5.12.2. Vektör GARCH (VGARCH) Modeli ................................ 153

3.5.12.3. Asimetrik GARCH (AGARCH) Modeli ............................. 153

3.5.12.4. Doğrusal Olmayan Logaritmik veya Çarpımsal ARCH

(Multiplicative ARCH) Modeli ..........................................................

154

3.5.12.5. Doğrusal Olmayan ARCH Model ....................................... 154

3.5.12.6. Fraksiyonel Bütünleşik ARMA/ARCH Model

(Fractionally Integrated ARMA / ARCH Model ARFIMA /

FIARCH) ............................................................................................

154

3.5.12.7. Üslü ARCH Modelleri (POWER ARCH-PARCH) ............ 156

4. PETROL SANAYİİNDE UYGULAMA ...................................................... 157

4.1. Petrol Sanayiinin Ülke Ekonomilerindeki Yeri ................................... 157

4.2. Dünyada ve Türkiye’de Rafineri Sektörü ............................................ 159

4.3. TÜPRAŞ .............................................................................................. 161

4.4. Değişkenlerin Belirlenmesi .................................................................. 164

4.5. Net Satışların Analizi ........................................................................... 165

4.5.1. Net Satışların Bileşenlere Ayrılması .............................................. 166

4.5.1.1. Trendin Belirlenmesi ................................................................ 166

4.5.1.2. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi ................................................ 167

4.5.1.3. Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Belirlenmesi ......................... 167

4.5.2. Net Satışlara Düzgünleştirme Yöntemlerinin Uygulanması .......... 169

4.5.3. Net Satışların Otoregressif Ve/Veya Hareketli Ortalama

Yöntemiyle İncelenmesi ..........................................................................

171

4.6. Ham Petrol Fiyatlarının Analizi ........................................................... 182

4.6.1. Ham Petrol Fiyatlarının Bileşenlere Ayrılması .............................. 184

x

4.5.1.1. Trendin Belirlenmesi ................................................................ 184

4.5.1.2. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi ................................................ 186

4.5.1.3. Konjonktür Ve Arızi Faktörlerin Belirlenmesi ........................ 187

4.6.2. Ham Petrol Fiyatlarına Üstel Düzgünleştirme Yöntemlerinin

Uygulanması ............................................................................................

190

4.6.3. Ham Petrol Fiyatlarının Otoregressif Ve/Veya Hareketli

Ortalama Yöntemiyle İncelenmesi .........................................................

192

Sonuç ................................................................................................................. 209

Kaynakça ........................................................................................................... 213

Ekler .................................................................................................................. 220

Özgeçmiş ........................................................................................................... 253

xi

TABLO LİSTESİ Tablo-1: Yıllara Göre Türkiyenin Ham Petrol İthalatı, İthalat ve GSYİH

İçindeki Payı-(1998-2007) ................................................................................

159

Tablo-2: Yıllara Göre Türkiye ve Dünyadaki Rafineri Kapasitesi (Milyon

Ton)....................................................................................................................

161

Tablo-3: TÜPRAŞ’ın Rafineri ve Depolama Kapasiteleri .............................. 162

Tablo-4: Tüpraş’ın Ham Petrol Temin Ettiği Ülkeler ve Miktarlar-(2004-

2007)

163

Tablo-5: TÜPRAŞ’ın Ürün Yelpazesi ............................................................. 163

Tablo-6: Yıllık Satışların Trend Fonksiyonu .................................................. 166

Tablo-7: Üçer Aylık Satışların Trend Fonksiyonu .......................................... 167

Tablo-8: Üçer Aylık Net Satışların Mevsim İndeksi ...................................... 167

Tablo-9: Yıllık Net Satışlar İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri ............. 170

Tablo-10: Üçer Aylık Net Satışlar İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri .... 170

Tablo-11: ARIMA(0,0,1) Modelinin Bilgi Kriterleri ...................................... 172

Tablo-12: Yıllık Net Satışlara ait ARIMA(001) Modeli ................................ 172

Tablo-13: ARMA (0,0,1) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları .................... 174

Tablo-14: Üçer Aylık Net Satışlar İçin Uygun Modellerin Bilgi Kriterleri .... 179

Tablo-15: Üçer Aylık Net Satışlara Ait ARIMA(010)(011) Modeli ............... 179

Tablo-16: ARIMA (0,1,0)(0,1,1) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları ......... 181

Tablo-17: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının Trend Fonksiyonu .......................... 185

Tablo-18: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Trend Fonksiyonu .................. 185

Tablo-19: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Trend Fonksiyonu .......................... 186

Tablo-20: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Mevsim İndeksi ...................... 186

Tablo-21: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Mevsim İndeksi .............................. 187

Tablo-22: Yıllık Ham Petrol Fiyatları İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri 191

Tablo-23: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatları İçin Üstel Düzgünleştirme

Yöntemleri ........................................................................................................

191

xii

Tablo-24: Aylık Ham Petrol Fiyatları İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri

192

Tablo-25: ARMA Modellerinin Bilgi Kriterleri .............................................. 194

Tablo-26: ARMA(1,0,0) Modeli ...................................................................... 194

Tablo-27: ARMA (1,0,) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları ....................... 196


Tablo-29: ARMA(2,0,0) Modeli ...................................................................... 198

Tablo-30: ARMA (2,0,0) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları ..................... 200


Tablo-32: ARMA (1,0,0) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları ..................... 205

Tablo-33: Koşullu Değişen Varyans Modellerinin Bilgi Kriterleri ................. 205

Tablo-34: ARMA(1,0,0), ARCH(1) Modeli .................................................... 206

Tablo-35: ARMA (1,0,0) ARCH(1) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları .... 207

xiii

GRAFİK LİSTESİ Grafik 1: Tüpraş’ın Yıllık Net Satışları (1994-2007)………………………... 165

Grafik 2: Tüpraş’ın Üçer Aylık Net Satışları (1994:1-2007:4)……………… 165

Grafik 3: Yıllık Net Satışlar Üzerinde Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkisi 168

Grafik 4: Net Satışlar Üzerinde Konjonktür ve Arizi Faktörlerin Etkisi

(1994:1-2007:4)……………………………………………………………….

169

Grafik 5: Yıllık Net Satışların Korelogramı………………………………… 171

Grafik 6: ARIMA(001) Modeline Ait Hataların Korelogramı……………… 173

Grafik 7: ARIMA(001) Modeline Ait Hata Karelerinin Korelogramı……… 174

Grafik 8: Üçer Aylık Net Satışların Korelogramı…………………………… 175

Grafik 9: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar Serisi………………………. 176

Grafik 10: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar Serisinin Korelogram…….. 176

Grafik 11: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar ve Mevsimsel İlk Farklar

Serisi……………………...……………………...…………………….………

177

Grafik 12: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar ve Mevsimsel İlk Farklar

Serisinin Korelogramı……………...……………………...…………………..

178

Grafik 13: ARIMA(010)(011) Modeline Ait Hataların Korelogramı……….. 180

Grafik 14: ARIMA(010)(011) Modeline Ait Hata Karelerinin Korelogramı.. 181

Grafik-15: Varil Başına Yıllık Ham Petrol Fiyatları 1994-2008 ..................... 182

Grafik-16: Varil Başına Mevsimlik Ham Petrol Fiyatları 1994:1-2008:4 ....... 183

Grafik-17: Varil Başına Aylık Ham Petrol Fiyatları 1994:1-2008:12 ............. 184

Grafik-18: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızı Faktörler

(%) ....................................................................................................................

188

Grafik-19: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızı

Faktörler (%) ....................................................................................................

189

Grafik-20: Aylık Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızı Faktörler (%) 189

Grafik-21: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının Korelagramı .................................. 193

Grafik-22: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının İlk Farklarına Ait Korelogramı ..... 193

Grafik-23: ARMA(1,0,0) Modeline Ait Hataların Korelogramı ..................... 195

Grafik-24: ARMA(1,0,0) Modeline Ait Hataların Karelerinin Korelogramı .. 195

xiv

Grafik-25: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Korelagramı .......................... 196

Grafik-26: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının İlk Farklarına Ait

Korelogramı ......................................................................................................

197



Grafik-29: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Korelagramı .................................. 201

Grafik-30: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının İlk Farklarına Ait Korelogramı ..... 202



xv

GİRİŞ Geleceğe ait olayların tahmin edilmesi karar verme teorisini bir parçası haline

gelmesinden itibaren pek çok işletme için tahmin çok önemli olmuştur. Hükümetler

hava kirliliğini, su kirliliğini tahmin ederek bir çevre politikası, nüfus büyüklüğü,

işsizlik oranı, enflasyon oranı vb tahmin ederek sosyo-ekonomik bir politika

belirlemeye çalışırlar. Bir işletme ise satışlarını, maliyetleri, karını, insan kaynakları

ihtiyacını tahmin ederek rasyonel kararlar almayı amaçlar. Dolayısıyla ister hükümet

ister işletme olsun rasyonal kararlar için geçerli ve tutarlı tahminler yapmak

zorundadır.

İşletmelerin her fonksiyonunun gelecekle ilgili tahminlere ihtiyacı vardır.

Pazarlama departmanı; satış stratejisini planlayabilmesi için güvenilir tahminlere

ihtiyacı vardır. Örneğin promosyon çalışmaları için ürünlere olan toplam talebin

tahmin edilmesi kaçınılmazdır. Etkin bir reklam stratejisi için talebin çeşitli pazar

bölgelerine ve çeşitli müşteri gruplarına göre tahmini yapılmalıdır.

Finans departmanı işletmenin finansman ihtiyacı için faiz oranlarını tahmin

etmek zorundadır. Finans departmanının işletmenin likidite ve nakit akımını

düzenleyebilmesi harcamaların ve satış hasılatının tahmin edilmesine bağlıdır.

İnsan kaynakları yönetimi, işe alma ve eğitim programlarını oluşturabilmesi

farklı iş kategorilerine ait gerekli çalışan sayısını tahmin etmeyi gerekli kılar.

Bunlara ilave olarak insan kaynakları yöneticisi çeşitli alanlardaki iş gücü arzını,

devamsızlık oranını ve işgücü devir hızını yine tahmin etmesi gerekmektedir.

Üretim planlama departmanı her bir ürüne olan talebi bilmesi gereklidir. Bu

tahminler hafta veya ay bazında yapılmalıdır. Bu tahminler, işletmenin üretim

programlarının hazırlaması ve stok kontrol planlamasının yapılmasında yararlı

olacağı şüphe götürmez bir gerçektir. Her bir ürüne olan talebin tahmin edilmesi

sonucu hammadde gereksinimleri de ortaya çıkarılabilmektedir. Böylece hammadde

satın alımı planlanabilir. Üretim kaynaklarının planlanabilmesi için gerekli olan

kaynak miktarı ve fiyatı tahmin edilmelidir.

Kalite kontrolu üretim sürecinin davranışlarının tahmin edilmesini gerektirir.

Örneğin bir üretim sürecinde belli bir zaman sonra kusurlu parça sayısı artabilir.

Eğer üretim sürecinin davranışı tam olarak tahmin edilebilirse üretim süreci

1

durdurularak gerekli bakım onarım yapılabilir ve böylece kusurlu parça sayısı en aza

indirgenmiş olur.

Bir işletmenin üst yönetimi, işletmenin uzun dönem planları için genel

ekonomik şartların, fiyat ve maliyet değişmelerini, teknolojik değişmeleri, pazar

büyüklüğünü vb. lerini tahmin ederek işletmeyi geleceğe hazır hale getirebilir. Bu

gibi tahminler yatırımların planlanmasında ve gelecekte gerekli olan makine ve

teçhizatın belirlenmesinde kullanılabilir.

Tahmin edilen olaylar gelecekte gerçekleşecektir. Zaman serileri analiz

yöntemlerini tahmin amacıyla kullanan araştırmacı, tahmin edilen olayların gelecekte

de geçmiştekine benzer vuku bulacağını varsaymaktadır.

Bir zaman serisinin geçmiş yapısının ortaya çıkarılması iyi bir tahmin için

önemlidir. Bu yapıyı tanımlamak için zaman serisi trend, konjonktür, mevsim ve

arızi faktörler olmak üzere dört bileşene ayrılmaktadır. Trend, bir zaman serisinin

belli bir dönemdeki aşağı ve yukarı yönlü hareketleridir ve bu zaman serisinin

karakteristiğini ortaya çıkarır. Trend bir zaman serisinde uzun dönem artışı veya

azalışı gösterir. Trend hareketleri pek çok faktörün etkisi altındadır. Örneğin, belirli

bir endüstride uzun dönem satış hareketleri aşağıda listelenen faktörlerin bir, birkaç

veya tamamından etkilenebilir.1 Bu faktörler;

Endüstrideki teknolojik değişme,

Müşteri beğenilerinin değişmesi,

Kişi başına milli gelir artışı,

Nüfus artışı,

Pazar büyüklüğü,

Enflasyon veya deflasyon (fiyat değişmeleri)

Zaman serileri yukarıda sözü edilen bileşenlerden sadece birini içermezler.

Zaman serileri bu bileşenlerin herhangi bir kombinasyonu olabileceği gibi bu

bileşenlerin tamamını da içlerinde barındırabilirler. Bu nedenle, bir tane en iyi

tahmin modeli yoktur. Trend ve mevsim etkisinin kombinasyonunu barındıran bir

zaman serisini sadece trend kullanılan bir yöntem ile tahmin etmek uygun değildir.

1 Bruce L. Bowerman ve Richard T. O’Connell, Forecasting And Time Series: An Applied Approach, Third Edition, Duxbury Press, 1993, s.5.

2

Bu önemli sorunun ortadan kaldırılabilmesi için zaman serisinin yapısına uygun

tahmin modellerinin denenerek içlerinden uygun olan tercih edilmelidir. Yapılan

tahminler serinin geçmiş dönem yapısı ile karşılaştırılmalıdır.

Geleceği tahmin etmede pek çok tahmin teknikleri vardır. Bu teknikleri nitel

ve nicel olmak üzere iki ana gruba ayırmak mümkündür.

Nitel tahmin teknikleri subjektif tekniklerdir ve uzmanların gelecekteki

olaylar hakkındaki görüşlerine dayanır. Bu teknikler geçmiş verileri ya nadiren

kullanırlar veya hiç kullanmazlar. Örneğin, yeni bir ürünün piyasaya sunulduğunu

düşünelim. Böyle bir durumda bu ürün için herhangi bir geçmiş satış verisi yoktur.

Bu yeni ürünün satış tahmini için işletme uzman görüşüne veya satış ekibine

güvenmek zorundadır. Diğer bir durum, yeni bir teknoloji ortaya çıktıysa ve bu yeni

teknoloji uygulanmaya çalışılıyorsa böyle bir durumda da geçmiş verilere ihtiyaç

yoktur. Ayrıca geçmiş verinin yapısının değişmesi halinde de yine nitel tahmin

teknikleri kullanılabilir. Delphi yöntemi nitel tahmin tekniklerine örnek

gösterilebilir.2

Nicel tahmin teknikleri tek değişkenli ve çok değişkenli olarak iki gruba

ayırabiliriz. Tek değişkenli yöntemlerde tahmin değeri serinin cari ve geçmiş dönem

değerlerine bağımlı olmaktadır. Ayrıca bu yöntemlerde tahmin değeri zamanın bir

fonksiyonu olarakta ifade edilmektedir. Tek değişkenli zaman serilerinin analizi bu

gruba girmektedir. Çok değişkenli yöntemlerde ise genellikle bağımlı bir değişken ve

değişkenin aldığı değerleri açıklayan diğer değişkenler vardır. Bu değişkenlere

açıklayıcı değişken denmektedir. Çok değişkenli zaman serileri analizi ile regresyon

analizi bu tahmin grubuna girmektedir.3

Buraya kadar yapılan açıklamalardan anlaşılacağı üzere zaman serilerini

analiz etmenin; tanımlama, modelleme, tahmin ve kontrol olmak üzere dört temel

amacı vardır. Seriyi tanımlamak için serinin tanımsal istatistiklerinin hesaplanması

ve grafiğinin çizilmesi gerekmektedir. Zaman serilerini analiz etmenin ikinci amacı

zaman serisinin uygun bir modelini bulmaktır. Bir zaman serisini modellemek için

tek değişkenli yöntem kullanıldığında; serinin geçmiş dönem değerleri esas

alınmaktadır. Seriyi modellemek için çok değişkenli yöntem tercih edilirse, serinin

2 A.e., s.10. 3 Chris Chatfield, Time-Series Forecasting, Chapman&Hall/CRC, 2000, s.10.

3

sadece geçmiş dönem değerleri değil aynı zamanda diğer açıklayıcı değişkenlerin

cari ve geçmiş dönem değerleri de modelde yer almaktadır. Serinin gelecekteki

değerini tahmin etmek zaman serileri analizinin diğer bir amacıdır. Tek değişkenli

yöntemler ile tahminde geleceğin geçmişe benzeyeceği varsayımı yapılmaktadır.

Geleceğe yönelik iyi tahminler endüstride, ekonomide işleyen süreçleri kontrol etme

olanağı vermektedir. Örneğin güncel bir konu olarak, gelecekteki sigortalı çalışan

sayısı tahmin edilerek sosyal güvenlik kurumlarının mali durumunun nasıl olacağı

kontrol edilebilir.

4

1. İŞLETMELERDE PLANLAMA, TAHMİN VE ÖNEMİ Gelecek olayların ve şartların önceden tahmin edilmesi işletmecilikte olduğu

gibi makro ekonomi, mühendislik, biyoloji, tıp ve sosyal içerikli tüm alanlarda büyük

önem taşımaktadır. Geleceğin iyi tahmin edilmesi, bu geleceğe hazır olmak için

gerekli planlamanın yapılması ve politikaların belirlenip kararların alınmasına temel

oluşturmaktadır. Böylece tahminler gelecek için önceden tedbirlerin alınmasına

imkan vermekte ve gelecek endişesini azaltmaktadır.1

Yönetim, işletme amaçlarına etkili ve verimli bir şekilde ulaşmak üzere

planlama, örgütleme, yürütme, koordinasyon ve denetim fonksiyonlarının yerine

getirilmesi olarak tanımlanmaktadır.2 Bir işletme yönetiminin temel

fonksiyonlarından biri gelecek için planlamadır. İşletmenin uzun dönemdeki başarısı

geleceği görebilmek ve buna göre uygun stratejiler geliştirmesiyle yakından

ilişkilidir. Ekonominin içinde bulunduğu durumu iyi analiz etmek, iyi sezmek

yöneticiye kabaca bilgi verir veya gelecekte ne olacağını çok iyi hissettirebilir.

Ancak bu iyi hissedişi sayılara çevirmek zordur. Üç ay sonraki satışların ne olacağı,

hammadde fiyatlarının ne düzeyde olacağı ve buna bağlı olarak birim maliyetlerin ne

olacağı sadece sezmekle belirlenemez. Gelecekle ilgili sayısal değerleri

hesaplayabilmede, planlama yapabilmede en önemli aşama tahmindir.3

İşletmelerde yapılan tahminler işletmenin bölümleri arasında yüksek bir bağ

kurulmasına neden olmaktadır. Her bölümün tahminini diğer bölümler kendi

planlarını oluştururken kullanılabilmektedir. Örneğin pazarlama bölümünün yapacağı

satış tahminlerini; finans, üretim, insan kaynakları vb. bölümler planlarını

hazırlamada kullanmaktadırlar. Bu nedenle tahminlerde yapılacak bir hata sadece

ilgili bölümü değil işletmede diğer bölümleri de etkilemektedir. Mesela satışların

yanlış tahmin edilmesi durumunda; bütçe tahminleri, üretim harcamaları, nakit

akışları, stok düzeyleri, fiyatlar vb. bu olumsuzluktan etkileneceklerdir. Benzer

düşünceyle, bütçedeki bir yanlış tahmin, ürün geliştirmek, ekipman modernize

1 Neyran Orhunbilge, Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, Tunç Matbaacılık, İstanbul, 1999, s.1. 2 İsmet Mucuk, Modern İşletmecilik, Türkmen Kitabevi, 15.Baskı, İstanbul, 2005, s.140. 3 İsmail Hakkı Armutlulu, İşletmelerde Uygulamalı İstatistik, Alfa Basım Yayım, İstanbul, 2000, s.334.

5

etmek, işgücü temin etmek ve reklam harcamaları için gerekli olan fonların

değişmesine neden olacaktır.

Yönetimin örgütleme, yürütme, koordinasyon ve denetim faaliyetlerini

gerçekleştirebilmesi için her şeyden önce bir plana sahip olması gerekmektedir.

Tahmin ile bu kadar yakın ilişkili olan plan, planlama, planlama çeşitleri ve

planlamanın işletmelerdeki rolüne, yararlarına bu bölümde değinilmektedir.

1.1. Plan ve Planlama Günümüzde işletme içi ve dışı koşulların hızla değişmesi, yöneticileri

geleceğe dönük isabetli tahminler yapmaya zorlamaktadır. Bu durum planlamanın

önemini arttırmakta ve işletmeler ancak iyi bir planlama ile amaçlarına

erişebilmektedirler. Planlama yöneticilerin amaçları belirledikleri ve bu amaçlara

erişilmesi için gerekli yöntemleri tanımladıkları bir süreçtir.4 Plan ise bir karardır ve

kararlar toplamıdır. Bu karar ve kararların özelliği, gelecek zaman dilimleri

içerisinde ulaşılmak veya gerçekleştirilmek istenen belli nokta ve durumlara işaret

etmesidir. Buradan yola çıkarak plan; bugünden, gelecekte nereye ulaşılmak

istendiğinin, nelerin gerçekleştirilmek istendiğinin kararlaştırılması şeklinde

tanımlanabilir. Plan birden fazla kararı kapsayabilir. Planlama ise planı ortaya

çıkarmak için gösterilen çabaları, bir süreci ifade eder. Plan bir sonuç, planlama ise

bir süreçtir.5

Planlama çalışması ile;

- Ne yapılacak

- Kim yapacak,

- Ne zaman yapılacak,

- Nasıl yapılacak,

- Hangi kaynaklar kullanılacak,

- Neden yapılacak

4 İnan Özalp ve diğerleri, Yönetim ve Organizasyon, Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi Yayın No:521, 3.Baskı, 1997, s.60. 5 Tamer Koçel, İşletme Yöneticiliği:Yönetim ve Organizasyon, Organizasyonlarda Davranış, Klasik-Modern-Çağdaş ve Güncel Yaklaşımlar, 8.Baskı, Beta Basım Yayım Dağıtım, 2001, İstanbul, s. 87.

6

sorularının cevapları aranmaktadır. Ekonomik koşulların ve teknolojinin hızla

değişmesi nedeniyle geleceği tahmin etmek kolay değildir. İşletmenin yaşama ve

gelişme gücünü elinde bulunduran yöneticiler, işletmenin geleceğiyle ilgili kararları

almak zorundadırlar. Geleceğin ne olacağını tahmin etmek, işletmenin nereye

gittiğini, gelecek yıllarda faaliyetlerinin ne tür bir seyir göstereceğini sistematik bir

biçimde öngörmek, bu yükümlülüğün önemli bir kısmını oluşturur. Bu

yükümlülüğün yerine getirilmesi için planlama gerekmektedir. Planlama,

organizasyonun gelecekteki başarısı için amaçların belirlenmesi ve bu amaçlara

ulaşmak için gerekli işlerin ve kaynakların kullanımının kararlaştırılmasıdır.6

1.1.1. Planlamanın Özellikleri Planlama kapsamlı bir faaliyettir. Planlama faaliyeti işletmenin bütün yönetim

basamaklarını ve yöneticilerini ilgilendirir. Genelde işletmenin planlanmasının üst

yönetim tarafından yapıldığı düşünülür, oysa her basamakta yönetim faaliyeti ile

planlama faaliyeti yer alır. Planının genişliği ve zaman süresi farklı olmasına rağmen,

her işletme için planlama yapılır. Üst yönetim genel plan ile genel amaç ve

stratejileri belirler, fonksiyonel bölümler ise kendi bölümleri ile ilgili planları

hazırlar. Pazarlama, üretim, finans ve insan kaynakları bölümleri ana plan hedefleri

doğrultusunda kendi planlarını hazırlamakla yükümlüdürler. Bu temel fonksiyonel

bölümlere bağlı birimler ise bağlı bulundukları fonksiyonel bölüm planlarıyla

çelişmeyecek biçimde kendi planlarını hazırlar. Örneğin, pazarlama bölümünün

planları üst yönetim tarafında gerçekleştirilen ana plan hedefleri ile uyum içinde

olmalıdır. Satış bölümünün planları ise bağlı bulunduğu pazarlama bölümü

tarafından gerçekleştirilen pazarlama planlarıyla çelişmeyecek biçimde olduğunda,

yukarıdan aşağıya doğru bütün basamaklarda yer alan planlar birbirleriyle uyum

içinde olacaktır.7

Planlamanın iki temel özelliği vardır. Bunlardan ilki planlamanın geleceğe

dönük düşünme, değerleme, araştırma ve inceleme olmasıdır. İkincisi ise planlama

ile risk, amaç ve varsayımlar arasındaki ilişkiden söz edilmesidir.8

6 Özalp ve diğerleri, A.g.e., s.60-61. 7 A.e., s.61. 8 Koçel, A.g.e., s.89.

7

Planlamanın geleceği ilgilendirmesi, bu faaliyeti belirsizlik ile ilişkili hale

getirmektedir. Planlama gelecekte ulaşılmak istenen nokta veya durumların

belirlenmesi olduğuna göre, bu nokta veya duruma doğru giderken işletme içi ve

işletme dışı koşulların nasıl gelişeceğini tam olarak bilmek mümkün değildir.

Gelecekteki şartların ne olacağının bugünden bilinmemesi, planlamayı bir çeşit

geleceği tahmin işi haline getirmektedir. Bu belirsizlik durumu bilimsel tahmin

yöntemleri ve yaklaşımıyla ortadan kaldırılabilmektedir.9

Tahmin ile planlama çok yakından ilgilidir, fakat aynı şey değildir. Tahmin

olayların gelecekte almaları en olası şekil ve alternatiflerini bulmaya, olayların

yönünü kestirmeye çalışmakla ilgilidir. Planlama ise, olayların tahmin edilen bu şekli

veya gelişme yönü karşısında ne yapılacağının belirlenmesi işidir. Tahmin belirli

çevre koşulları ile ilgili olarak gelecekte ne olacak sorusuna, planlama ise gelecekte

bu en olası olay karşısında ne yapılacak sorusuna cevap verir.10

Olayların geçmişteki gelişme, trend ve özelliklerini inceleyerek belirli

varsayımlarla bunların gelecekte de tekrarlayacağını varsayan ve buna göre çeşitli

istatistik tekniklerle tahminlerde bulunmaya yarayan yöntemler planlamacılar

tarafından sıklıkla kullanılmaktadır. Tahmin işini yapanlar, yöneticinin bugünden

geleceğe dönük bazı tercihleri yapabilmesi için gerekli bilgi ve veriyi değerleyerek

mevcut kaynakların hangi yönde kullanılacağı kararında etkin bir rol

oynakmaktadırlar.11

Planlamanın çeşitli aşamalarında kullanılan tahmin yöntemlerine; başparmak

ilkesi, sezgiler, iş akış diyagramları, GANNT şemaları, başabaş analizleri, nakit

bütçesi, muhasebe hesap planı, bütçeleme, bugünkü değer analizleri, korelasyon

analizi, regresyon analizi, zaman serileri analizi, CPM, PERT, karar ağacı, istatistik

karar verme teknikleri, simülasyon, Delphi tekniği, senaryo yazma, stratejik analiz

örnek olarak verilebilir.

Planlamanın ikinci özelliğinin risk, amaç ve varsayımlar arasındaki ilişki

olduğunu daha önceden belirtilmişti. Yöneticinin karar ve uygulamalarında, amaç,

risk ve varsayımlar her zaman mevcuttur. Bütün bu hususları yönetici açık ve net

9 A.e., s. 89-90. 10 A.e., s.90. 11 A.e., s.90

8

olarak düşünüp değerlemese bile, aldığı kararlar ve yaptığı uygulamalar belirli

amaçlara yönelik olacak, belirli varsayımlara dayanacak ve belirli bir riskin göze

alınması kaçınılmaz olacaktır. Planlama, bu ilişkilerin açık ve net bir şekilde ortaya

konması, tartışılması, mümkün ölçüde bilimsel yöntemlerle değerlendirilmesi ve

sonunda rasyonel bir seçimin yapılması faaliyetini öngörmektedir.

1.1.2. Plan Yapmanın Nedenleri Planlamanın özü gelecekteki firsatları ve zorlukları görmek, bu fırsatlardan

yararlanmak ve zorluklarla mücadele etmektir. İç çevrede veya dış çevrede olsun

işletme ile ilgili olayların planlanması, yöneticinin günlük, haftalık ve aylık

faaliyetlerinin bir parçasıdır. Yöneticiler planlarını sürekli olarak gözden geçirerek

işletmenin geleceğini etkileyecek olan değişen koşullara, yeni bilgiye ya da yeni

durumlara uygun hale getirilmesi için planlarında değişiklik yapılması gerekip

gerekmediğini görmek amacıyla planlarını kontrol etmelidirler. Yöneticiler aşağıdaki

nedenlerle kendileri, işgörenleri ve çeşitli organizasyon birimleri için planlar

oluştururlar:12

- Belirsizlikleri ve değişmeleri dengelemek,

- İşletme faaliyetlerini bilinçli olarak belirlenmiş amaçlar dizisi üzerinde

odaklaştırmak,

- Gelecekteki faaliyetler için koordineli, sistematik bir yol göstericiye sahip

olmak,

- Etkin faaliyet ve tutarlılık yoluyla ekonomik etkinliği arttırmak,

- Gelecekteki faaliyetler için standartlar belirleyerek denetimi

kolaylaştırmak.

12 Özalp ve diğerleri, A.g.e., s.61-62.

9

1.1.3. Planlamanın Aşamaları Planlama faaliyetleri, birbirini izleyen aşamalardan oluşan bir süreç olarak ele

alınabilir. Doğal olarak yapılacak işleri ifade eden bu aşamalar farklı şekillerde

gruplandırılabilir. Basit olarak planlama şu dört aşamadan oluşur:13

- Amaçların saptanması,

- Varsayımların (dayanak noktalarının) belirlenmesi

- Alternatiflerin oluşturulması,

- En uygun alternatifin seçimi ve planın yapılması.

İlk aşamada işletmenin bütünü ve bölümleri için nelere öncelik verileceği,

politikalar, bütçeler, programlar ve stratejiler ile nelerin başarılacağı belirlenir.

İşletmenin veya yöneticinin başında bulunduğu birimin belirli bir zaman diliminde

neyi, ne kadar, nerede gerçekleştirmek istediği gibi konularda başlıca amaçlar olarak,

gelecek bir yıl içinde ulaşılacak satış, üretim miktarı, pazar payı vb. örnek olarak

verilebilir.14

Planın dayanak noktaları gelecekte karşılaşılması olası olaylar, geleceğe

yönelik tahminler, uygulanması muhtemel temel politikalar ve mevcut işletme

planları vb.dir. Böylece işletmenin içindeki ve dışındaki koşullar belirlenir.

Koşulların bir kısmı yöneticinin kontrolü dışındadır; fiyat politikası, işgücü devri,

piyasa payı gibi bazıları kısmen, üretim, satış ve benzerleri ise tamamen kontrolü

altındadır. Bu aşamada çeşitli tahminlerin yapılması önemlidir.15

Amaca ulaşmayı sağlayacak imkan, yol ve araçların belirlenmesi planlamanın

üçüncü aşamasını oluşturmaktadır. Amaca yönelik bütün alternatifler belirlenir ve

ayrı ayrı değerlendirilir. Alternatiflerin olumlu ve olumsuz noktaları incelenip,

amaçların ve temel varsayımların ışığında çeşitli faktörleri de tartarak karşılaştırması

yapılır. En kazançlı ama çok sermaye gerektiren, çok karlı ama çok riskli görünen

veya daha az karlı ama az riskli vb. seçenekler sözkonusudur. Her seçeneğin

yapılabilirliği, maliyeti, gerçekleştirileceği zaman gözönünde bulundurulmalıdır.

Yönetici veya planlamacı eldeki olanaklara göre amaca ulaşmak için en

uygun alternatifi seçerek bir karara varmalıdır. Bu karar belirli bir davranış biçiminin

13 Mucuk, A.g.e., s.140. 14 A.e., s.140. 15 A.e., s.140.

10

seçilmesi yolunda olumlu olabileceği gibi, plandan vazgeçme veya erteleme şeklinde

de olabilir.

Planlamada en büyük güçlük geleceği tahminle ilgilidir. Geleceği isabetli

tahmin etmek planda başarı için zorunlu olduğu kadar, aynı zamanda güçtür. Bu

alanda bilimsel yöntemlerden yararlanılır.16

1.1.4. Planlama ve Plan Çeşitleri Planlama süreci sonucu ortaya çıkan planlar çeşitli kriterlere göre farklı

şekillerde sınıflandırılabilirler. Sınıflandırma kriterleri olarak; planda kapsanan

zaman, tek kullanımlı olup olmama, planının tüm işletmeyi veya bölümleri ya da

bazı birimleri kapsaması ve hangi yönetim kademesine ait olduğudur.17

Gelecekle ilgili kapsadığı zamana göre;18

- Uzun vadeli planlar (5 yıl sonrasını),

- Orta vadeli planlar (1-5 yıl arasını),

- Kısa vadeli planlar (1 yıla kadar)

Kullanımının tek veya sürekli olmasına göre;19

- Tek kullanımlı planlar (program, bütçe, proje vb.),

- Sürekli planlar (amaç, politika, stratejik plan)

Kapsamına göre;20

- Genel işletme planları (tüm işletmeyi kapsarlar),

- Bölüm veya birim planları (üretim, pazarlama vb. planları veya belirli bir

mal grubu için planlar)

Yönetim kademesine göre;21

- Tepe yönetimince yapılan planlar (amaçlar, politikalar, stratejiler, uzun

vadeli stratejik planlar),

- Orta kademe yönetimince yapılan planlar ( tamamlayıcı amaçlar, bölüm

planları, politikaları ve stratejileri),

16 A.e., s.140-141. 17 A.e., s.137. 18 Koçel, A.g.e., s.97. 19 Mucuk, A.g.e., s.137. 20 A.e., s.137. 21 A.e., s.137.

11

- Alt kademe yönetimince yapılan planlar (kısa dönemli amaçlar, projeler,

tarifeler, iş programları)

şeklinde sınıflandırılabilir.

1.1.5. Planlamanın Yararları ve Sakıncaları Planlamanın başlıca yararları aşağıda gibi maddeler halinde özetlenebilir:22

- İşletmedeki bütün faaliyetleri amaca yöneltir. Amaç doğrultusunda

hareket edilmesi gereksiz tekrarları ve gecikmeleri önleyeceğinden, en az

giderle amaca ulaşılması sağlanmaktadır.

- Diğer yönetim fonksiyonlarının (örgütleme, yürütme, koordinasyon,

denetim) gerçekleştirilmesini kolaylaştırır. Örneğin denetimin yapılması

bütünüyle planlamaya ve planlama aşamasında belirlenen standartlara

bağlıdır.

- Tahminde uzmanlaşma sağlar. Planlama geleceğe dönük ve sürekli olarak

gelecekle ilgilendiği için, gelecekteki olayların tahmininde uzmanlaşma

sağlamaktadır.

- Kararlarda yol göstericidir. Planlama stratejiler, politikalar ve yöntemler

öngörmektedir. Politika ve yöntemlere uygun hareket eden yöneticiler

kararsızlık içine düşmez, daha doğru ve işletmeyi amacına ulaştıracak

kararlar alabilmektedirler.

- Belirsizlikleri azaltır. Dikaktli ve bilinçli bir şekilde pazarları, toplumu,

teknolojiyi ve endüstriyi incelemek suretiyle yapılan planlama gelecekteki

belirsizlikleri en aza indirgemektedir.

- Yöneticileri günlük işlerin ötesine geçirir. Planlama yöneticileri günlük

sorunların içerisinden kurtararak, işletmenin geleceğiyle ilgilenmelerini

sağlamaktadır.

- Kaynakların en iyi biçimde kullanılmasını sağlar. Program, bütçe, ve

proje gibi plan çeşitleriyle işletmenin bütün kaynaklarını israfa meydan

vermeden en verimli bir şekilde kullanılmasını temin etmektedir.

22 Özalp ve diğerleri, A.g.e., s.70-71.

12

- Yaratıcılık ve yenilik sağlamayı kolaylaştırır. İşletme içi ve dışı koşullar

değiştiğinde, yöneticiler yaratıcılıklarını kullanarak planda gerekli

düzenlemeleri yapmaktadırlar.

Planlamanın yukarıda sayılan yararlarının yanı sıra bazı sakıncaları da vardır.

Bu sakıncalar aşağıdaki gibi özetlenebilir.23

- Bazen plan, yapanların görüş açısı göstermekten ileriye gidemez.

Gerçeklerden kopuk bir planının uygulama değeri olamaz.

- Hedeflenen konulardan bazıları gerçekleşmeyebilir. Plan geleceğe

dönüktür ve geleceğin tahmini zordur. Plan dönemi uzadıkça, koşulların

hızla değişmesi, planı hedeften uzaklaştırabilir. Özellikle işletmenin

kontrolu dışındaki değişmeler, bazı hedeflerin gerçekleşmesini

engelleyebilmektedir.

- Geleceğe dönük önlemler gerektirir. Gelecekte tahmin edilen koşullara

göre işletmenin önlem alması gerekir. Değişmeye direnen işletmelerde

önlem alınması güçleşir.

- Standart uygulamalar getirir. Plan dışına çıkamayan kişilerin girişim

güçleri körleşir.

- Sürekli düzeltme gerektirir. Ekonomik koşulların ve teknolojinin hızla

değiştiği zamanlarda, planda sürekli düzeltmeler yapmak ve hızlı karar

almak gerekir.

- İşletme dışı gruplardan etkilenir. Devletin ekonomik politikasının

değişmesi ve tüketicilerin tercihlerindeki değişmeler, işletmenin planını

geçersiz duruma getirebilir.

- Zaman ve enerji kaybına yol açar. Planlama yapılması bazen uzun zaman

alır ve finansal imkanların harcanmasını gerektirir.

1.1.6. İyi Bir Planın Özellikleri İyi bir planda bulunması gereken genel özelliklerin belirtilmesi yöneticiler

için yararlı olacağına şüphe yoktur. Sözkonusu özellikler aşağıdaki gibi sıranabilir:24

23 A.e., s.72.

13

- Plan açık, seçik ve geçerli bir amaca yönelik olmalıdır. Plan, işletmenin

çeşitli düzeylerindeki yönetici ve işgörenlerince aynı şekilde anlaşılacak

tarzda ifade edilmelidir.

- Değişik uzmanlarca hazırlanan planların, bu uzmanların arasında etkin bir

haberleşme ile koordinasyon sağlanmalıdır. Örneğin, satışları planlayan

uzman, satış tahminlerini üretim plancısına bildirmeli, ikisinin çalışması

dengelenmelidir.

- Plan, işletmenin iç ve dış koşullarına uyabilecek şekilde esnek olmalıdır.

- Planlama, işletmenin çeşitli kademelerine yayılmalıdır. Alt kademelerde

daha ayrıntılı ve kısa süreli planlar hazırlanmalı, üst kademelere

çıkıldıkça planlar daha genel ve uzun dönemli olmalıdır.

- Plan, en uygun süreyi kapsamalıdır.

- Planın hazırlanması ve uygulanması rasyonellik ilkesine uygun olmalı,

fazla giderleri gerektirmemelidir.

- Planın ayrıntı düzeyi ve kapsayacağı zaman önemli olup, süreyi kısaltmak

yararını azaltırken, süreyi uzatmak da, isabet derecesini azaltır. Zira

ileriyi görme olanakları ksıtlıdır.

1.2. Üretim Planlama ve Kontrolu Üretim planlaması ile gelecekteki imalat faaliyetlerinin düzeyleri ve limitleri

belirlenmektedir. Üretim planlamanın temel verilerini; iş yeri düzeni, makine ve

işgücü kapasitesi, malzeme, satış tahminleri, stok kontrolu, metot geliştirme, zaman

standartları oluşturmaktadır.25 Bu veriler dikkate alınarak işletme amaçları

doğrultusunda üretim planları yapılır. Üretim planlarında öncelikli ele alınan bilgi

talep tahminleridir. Tüketicinin istediği ürünü istediği zamanda ve miktarda temin

edebilmek için talep tahminlerinin gerçekleştirilmiş olması gerekmektedir. Talep

tahminlerinin duyarlılığını zaman ve ayrıntıya inme derecesi belirlemektedir.

Tahminlerin kapsadığı zaman aralığı uzadıkça ve tahmin edilecek ürün sayısı arttıkça

24 Mucuk, A.g.e., s.141. 25 Bülent Kobu, Üretim Yönetimi, Avcıol Basım-Yayın, 10.Baskı, İstanbul, 199, s.415.

14

duyarlılık azalır.26 Bu sakıncayı ortadan kaldırmak için üretim planının

hazırlanmasında aşağıdaki prensiplere uyulması gerekmektedir.27

- Uygun planlama periyodunun seçimi,

- Uygun mamul gruplarının oluşturulması,

- Kısıtlayıcı faktörlerin gözönünde bulundurulması.

Bu prensiplere göre hazırlanmış bir üretim planı; belirli zaman aralıklarındaki

üretim miktarını, üretimin plana uygun yürümesini kontrol edecek araç ve yöntemleri

ve tüm fabrikayı kapsayan iş yükü dağıtım düzenini belirleyen önemli bir araç

olacaktır. Üretim planları; bir yandan tezgah başındaki işçiye o gün ne yapacağını

bildirirken, diğer taraftan her düzeydeki yönetici içinde bir kontrol aracı olacaktır.

Mal üreten bir işletmede bir üretim planının hazırlanması için yapılacak işleri

aşağıdaki gibi sıralamak mümkündür.28

- Üretim planının kapsayacağı zaman aralığı belirlenir. Bu zaman aralığı

genellikle aylık dilimler halinde bir yıllık dönem olmaktadır. Stok

düzeylerini, üretim hızını, ve kapasite durumunu kontrole yarayan bu plan

daha sonra üçer aylık dönemleri kapsayarak haftalık üretim programlarına

dönüştürülür.

- Ekonomik stok düzeyleri belirlenir. Stok politikalarına ve talep değişim

özelliklerine göre maliyetleri minimum yapan miktarlara emniyet stokları

eklenerek hesaplanmaktadır.

- Talep tahminleri yapılır. Plan dönemi içinde talebin aylara veya uygun bir

zaman aralığına göre değişimi ve minimum-maksimum düzeyleri

belirlenir.

- Plan dönemi başındaki ve sonundaki stok düzeyleri belirlenir.

- Başlangıç ve bitiş stokları arasındaki fark bulunur.

- Planlama dönemi içinde üretilmesi gereken miktar bulunur.

- Üretilmesi istenen miktar dönem dilimlerine dağıtılır.

26 A.e., s.415. 27 A.e., s.415. 28 A.e., s.415.

15

1.2.1. Talep Tahminleri Üretim planının hazırlanması için ne kadarlık bir üretim yapılacağının

bilinmesi gerekmektedir. Üretilmesi düşünülen ürüne ne kadar talep olacağı

bilinmeden herhangi bir planlama yapmak mümkün değildir. Hammadde, yedek

parça, yarı mamul, makine, işgücü, ve yatırım ihtiyaçlarının saptanmasında esas

alınan talep tahminleridir.29

Talep tahminlerini; zaman aralığı, kullanma amacı, mamul cinsi, hesaplama

tekniği gibi çeşitli kriterlere göre sınıflandırmak mümkündür. En yaygın

sınıflandırma tahminlerin kapsadığı zaman aralığına göre yapılanıdır.

Haftalık, hatta günlük olarak parça, malzeme ve mamul stoklarının kontrolu

veya montaj hattı iş programlarının hazırlanması amacıyla çok kısa vadeli tahminler

yapılmaktadır. Daha çok işletme içi verilerden yararlanılır.

Kısa vadeli tahminler genellikle 3-6 aylık bir süreyi kapsar. En uygun imalat

parti hacimlerini, tedarik zamanlarının ve sipariş büyüklüğünün saptanması amacına

yöneliktir. Ayrıca, makinelere iş yükleme ve işgücü ihtiyaçlarının belirlenmesine

katkı sağlamak amacıyla da kısa vadeli tahminler yapılır.

Tedarik süresi belirsiz veya uzun olan malzeme alımlarının, üretim prosesi

karmaşık mamullere ait imalat faaliyetlerinin, talebi mevsimsel dalgalanma gösteren

mamul stoklarının planlanması amacıyla orta vadeli tahminler yapılamaktadır.

Tahmin 6 aydan 5 yıla kadar olan bir süreyi kapsayabilmektedir.

İşletme tesislerinin genişletilmesi, yeni makinelerin alınması gibi yatırım

planlaması sözkonusu olduğunda uzun vadeli tahminlere gereksinim vardır. Uzun

vadeli tahminler genellikle 5 yıl veya daha uzun bir süreyi kapsamaktadırlar.

Talebin tahmin edilmesinde; tecrübe ve sezgisel yöntemler, ekonomik

göstergeler takip edilebileceği gibi istatistik tahmin tekniklerinden de yaygın bir

şekilde yararlanılmaktadır.30 Regresyon-korelasyon analizi, zaman serileri analizi en

sık kullanılan istatistik tekniklerdir. Regresyon karelasyon analizinde talebi etkileyen

faktörler açıklayıcı değişken, taleb ise bağımlı değişken olmaktadır. Zaman serileri

analizinde ise, trendin belirlenmesi, mevsim dalgalanmaları, konjonktür ve arızi

29 A.e., s.79. 30 A.e., s.83.

16

faktörlerin talep üzerindeki etkileri açığa çıkarılmaktadır. Yine talebin tahminin de

hareketli ortalamalar, üstel düzgünleştirme yöntemlerinden yararlanılmaktadır.

1.3. Finansal Planlama İşletmede finans yöneticisi, yapacağı finansal planlama ile gelecekteki

gelişmeleri tesadüfe bırakmamak için, bir takım tahmin ve değerlendirmeler yapar.

Gelecekte beklenen gelirlerin, harcamaların, giriş ve çıkış halindeki nakit akışlarının

düzenini belirler. Finansal plan bu yolda gereken tedbirleri önceden almaya yarayan

bir hesap sistemidir. Finansal planlamanın amaçları şunlardır:31

- İşletme faaliyetleri için gerekli fonları sağlamak,

- Fon temininde finansman maliyetini minimum kılmak,

- İşletmenin finansal yapısını değişen koşullara uydurmak,

- Sağlanacak nakit fazlalıklarını verimli kullanmak, olası mali açıklar için

önceden tedbir almak ve finansal dengeyi korumak.

Finans, işletmenin üretim ve pazarlama gibi temel fonksiyonlarından biridir.

Çünkü çeşitli ekonomik düzenlerde tüm ekonomik faaliyetler para ile yürütülür.

Finans yöneticisinin görevleri veya finans fonksiyonun başlıca konuları, finansal

tahmin ve planlama, finansal ihtiyaçları karşılayacak fonların bulunması ve elde

edilmesi, fonların yatırımı ve finansal denetim sayılabilir.32

Planlama, finans yöneticisinin görevinin ayrılmaz bir parçasıdır. Finans

yöneticileri, planlama fonksiyonlarını yerine getirirken bir planalama aracı olarak

bütçeleme tekniğinden geniş ölçüde yararlanmaktadırlar. Bütçeleme, önceleri

giderleri kontrol altında tutmak, sınırlamak amacıyla kullanılan bir araç iken,

günümüzde bütçeleme, yöneticilerin elinde işletmenin kaynaklarını en verimli, en

karlı şekilde kullanılmasını sağlamaya yönelik bir araçtır.33 Bütçe ile planlama

birbirini tamamlayan kavramlardır. Bütçe, planların sayılarla ifadesidir. Bütçeleme

ise işletmelerin belirlediklerin hedeflerin sayılarla gösterilmesidir. Bütçeleme,

planlamada kesinliğe yol açar ve işletmenin amaçlarına ulaşmasında önemli yararlar

sağlar. İşletme bütçeleri işletme amaçlarını gerçekleştirmek üzere kısa vadeli ve uzun

31 Mucuk, A.g.e., s.287. 32 A.e., s. 279. 33 Öztin Akgüç, Finansal Yönetim, Avcıol Basım-Yayın, 7.Baskı, İstanbul. 1998, s.165.

17

vadeli olarak iki türlü hazırlanabilir. Finansal planlama, kısa vadeli ve uzun vadeli

finansal planlama olarak iki grupta ele alınabilir. Bunlardan ilki, kısa vadeli bütçeler

ile iligili iken, ikincisi yatırım bütçeleri, diğer bir ifadeyle sermaye bütçelemesi ile

ilgilidir.34

Bütçelemeye, işletmenin temel amaçlarının saptanması ile başlanmalıdır.

İşletmenin temel amaçları uzun vadeli planını belirler. Uzun vadeli planın bir bölümü

işletme ile ilgili uzun süreli satış tahminlerini de kapsar. Uzun süreli satış

tahminlerinin yapılması, bir yerde işletmenin üretim bileşimi konusunda izlediği ve

izleyeceği strateji ile ilgilidir. İşletme ile ilgili kısa süreli satış tahminleri ve bütçeler,

ancak uzun vadeli planın çizdiği çerçeve içinde yapılabilir.35

Günümüzde kantitatif analiz teknikleri uygulanarak, bütçelerin hem esnekliği

hem de yararlılığı artırılmaktadır. Bütçelemede bilgisayarlardan yararlanma, tahmin,

model kurma, bunun yanı sıra olasılık analizi, doğrusal programlama, simülasyon

gibi tekniklerin kullanılması bütçelemenin yararlarını artırmaktadır.36

İşletmelerin gelecek yıllara ilişkin finansman gereksinmelerini tahmininde

proforma bilanço ve proforma fon akım tablosu olmak üzere iki yöntem

kullanılmaktadır. Proforma bilançonun hazırlanmasında ilk adım, geleceğe ait satış

tahminleri yapılması ve satış hacmi ile başlıca varlık kalemleri arasındaki ilişkinin

ortaya konulmasıdır. Satış tahminleri yapılmadan, gelecek dönemlerdeki varlık

tutarının sağlıklı şekilde belirlenmesi olanaksızdır. Uygulamada, işletmenin uzun

dönemli finansman gereksinimini, satış tahminlerini hareket noktası olarak alan

başlıca üç yöntem kullanılmaktadır: Satışların yüzdesi, oranlar, regresyon analizi.

Regresyon analizi işletmenin proforma bilançosu düzenlenirken kullanılabilecek

yöntemlerden biridir. Bu yöntem, satışlara doğrudan bağlı olan, satışlardan etkilenen

bilanço kalemlerinin tahmininde kullanılabilmektedir. Regresyon analizi yöntemi

kullanılırken bilanço kalemeleri bağımlı değişken, satışlar ise bağımsız değişken

olarak kabul edilmektedir. Satışlar ise zaman serileri analizi ile tahmin

edilebilmektedir. Örneğin alacaklar ile satışlar arasında geçmiş veriler kullanılarak

34 Mucuk, A.g.e., s. 288. 35 Akgüç, A.g.e., s.168. 36 A.e., s.170.

18

bir regresyon denklemi elde edilmekte ve daha sonra satış değeri regresyon

denkleminde yerine konarak alacak değeri tahmin edilmektedir.37

1.3.1. Kısa Vadeli Planlama ve Nakit Bütçeleri Kısa süreli finansal planlama işlemlerine nakit bütçeleri denilmektedir. Bu

bütçeler, işletmenin sadece bir dönemdeki finansman ihtiyacını değil, aynı zamanda

o dönem içindeki dağılımı ve dağılıma göre para gereksinimini göstermektedir. Kısa

süreli bu bütçelerin yapılmasının amacı, planlanan dönemde (yıllık, üç aylık, aylık,

haftalık) para giriş ve çıkışlarıyla ilgili olup, ihtiyaç duyulacak paranın ne zaman,

nerelerden, nasıl ve hangi maliyetlerle elde edilebileceğini araştırmak ve ortaya

koymaktır. İşletmelere para giriş ve çıkışlarını önceden tam ve doğru olarak

saptanması mümkün değildir, ama giriş ve çıkış tahminlerindeki hata payları ne

kadar düşük olursa, finans yöneticisinin alacağı kararlar o derece sağlıklı olacaktır.

Kısa süreli planlamanın iki temel amacı vardır.38 Bunlar;

- nakit açıklarını görmek ve ona göre gerekli önlemleri alarak ihtiyacın

karşılanmasını sağlamak,

- nakit fazlasını görmek ve ona göre verimli yatırım alanlarına yönelmektir.

1.3.2. Uzun Vadeli Planlama ve Sermaye Bütçelemesi Bir yıldan fazla süreler için hazırlanan işletme bütçelerine uzun vadeli işletme

bütçeleri denilmektedir. İşletmelerin uzun dönemde devamlı kar elde etmeleri için

büyüme amaçlarına uygun olarak satışlar, piyasa durumları, personel, duran varlıklar,

yatırım ve finansman unsurlarını esas alan uzun dönemli analize dayanan, uzun

vadeli planlar hazırlanmalıdır. Uzun vadeli işletme bütçeleri hazırlanırken gözönünde

tutulması gereken başlıca faktörler; işletmenin ekonomik büyüklüğü, ilgili sektörün

gelişme durumu, mevcut sermaye, siyasal sınırlamalar ve genel iş koşulları olarak

sayılabilir.39

37 A.e., s.178. 38 Mucuk, A.g.e., s.289. 39 A.e., s.289-290.

19

1.4. İnsan Kaynaklarının Planlanması İnsan gereksinimlerini karşılamak amacı ile mal ve hizmet üretimini

gerçekleştiren işletmelerin en önemli üretim girdilerinden birini işgücü

oluşturmaktadır. Bu nedenle üretim sürecinin planlanmasında işgücünün, ya da

gereksinim duyulacak personel sayısının planlanması da gerekmektedir.40

İnsan kaynakları planlaması; işletmeler açısından verimliliği, dolayısıyla

karlılığı etkileyen ve belirleyen temel öğelerden biridir. Bu planlama süreci yalnızca

personel sayısından tasarrufu gerçekleştirerek gider düşürücü bir rol oynamaz, aynı

zamanda işin niteliğine uygun işgören seçimini ve istihdamını sağlayarak üretim

sürecinin etkinleştirilmesini de sağlar.41

İnsan kaynaklarına yönelik her bir planlama işleminin temelinde, geçmişe ve

geleceğe dönük tahminler yatar. Planı yapan esas olarak söz konusu tahminleri,

işletmenin diğer alanlarındaki çalışmaları da gözönünde bulundurarak ve

gerektiğinde planlama modeline yansıtarak yapar.42 İnsan kaynakları gereksinmesine

ilişkin planlama yapılırken istatistik tahmin tekniklerinden yararlanılmaktadır. Bu

tekniklerde geçmiş verilerden yararlanılarak geleceğe yönelik tahminler elde edilir ve

bu elde edilen tahminler insan kaynaklarının planlanmasında kullanılmaktadır. İnsan

kaynakları planlamasında sıklıkla en küçük kareler yöntemiyle trendin tahmin

edilmesi ve regresyon analizinden yararlanılmaktadır. En küçük kareler ile trendin

tahmin edilmesinde zaman bağımsız değişken, çalışan bağımlı değişken olarak

kullanılmaktadır.

1.5. Zaman Serileri Analizinin İşletme İçin Yararları İşletmelerde planlama yapılırken işletme içi değişkenlerin yanı sıra işletmenin

faaliyet gösterdiği ekonomik çevreye ait değişkenlerin de analiz edilmesi ve

gerekiyorsa bu değişkenler için de tahmin yapılması önemlidir. Bilindiği gibi mikro

ve makro ekonomik değişkenler öncelikle ve genellikle zaman serileri olarak

40 Tuğray Kaynak ve diğerleri, İnsan Kaynakları Yönetimi, İ.Ü. İşletme Fakültesi İşletme İktisadı Enstitüsü Yayın No:406, İstanbul, 1998, s.83. 41 A.e., s.83. 42 A.e., s.99

20

düzenlenmektedirler. Bu nedenle söz konusu değişkenlere zaman serileri analizinin

uygulanması zorunlu hale gelmektedir.

Ekonomik zaman serilerinin analizinden beklenen çeşitli yararlar vardır.

Zaman serilerinin analizi ileriye dönük planlamanın temelini oluşturmaktadır. Çünkü

trendin incelenmesi olayın yıllık normal gelişmesinin ne kadar olduğu hakkında bir

fikir verir. Gelecekte, yıllar itibariyle, nasıl bir gelişme beklenebileceği hakkında

tahminler yapılmasına ve dolayısıyla bu gelişme için gerekli planların yapılmasına

olanak sağlar. Ayrıca, konjonktürün analizi bu normal seyir içinde hangi devrelerde

ne gibi dalgalanmalar beklenebileceği hususunda genel bilgiler sağlar. Mevsime

bağlı sanayi kollarında gerekli tedbirlerin alınması ve bağlantıların yapılması,

alımların, satışların, fiyatların, işgücü istihdamının, nakliye işlerinin mevsime göre

seyirinin bilinmesini gerektirir.43

Zaman serilerinin analizi, bir firma veya iş kolunun istatistik yönden normale

göre gerçek durumunu değerlendirmeyi mümkün kılar. Çünkü trend genel eğilimi,

mevsim indeksi de her yıl düzenli tekrar eden dalgalanmaları gösterdiğine göre, bu

ikisinin birleştirilmesi istatistik yönden firmanın beklenen durumunun bir ölçüsünü

oluşturur. Firmanın gerçek durumu beklenen seviye ile kıyas edilirse, işlerin beklenin

üstünde mi, yoksa altında mı seyrettiği konusunda bir neticeye varılabilir. Şayet

beklenen seviye aşılmışsa konjonktür bakımından bir yükselme devresinde

bulunulduğuna ve yine konjonktür sebebiyle yakında beklenenin altına düşüleceğine

sonucuna varılabilir. Veya işin içeriğine ve firmanın özelliğine göre başka gerekçeler

aranır. Fakat her durumda böyle bir istatistik ölçünün, işletme yöneticilerinin gerçek

durum hakkında karar vermelerini kolaylaştırmak bakımından büyük yararı vardır.

Aynı bilgilere kamu kesiminde (milli ekonomi ve sektör) planlama yapılırken de

gereksinim duyulmaktadır.44

Zaman serilerinin analizi sayesinde bir faktörün etkisini azaltmaya yönelik

tedbirler daha isabetli alınabilir ve daha etkili şekilde uygulanabilir. Mevsime bağlı iş

kolunda mevsim dalgalanmalarının şiddeti bilinirse, özellikle ölü sezonda bunların

olumsuz etkilerini azaltmaya yönelik tedbirler daha isabetle alınabilir. Mesala ölü

mevsimde satışların teşviki için uygulanacak fiyat indirimleri, mevsim etkisiyle

43 Kenan Gürtan, İstatistik ve Araştırma Metodları, Fatih &Yayınevi Matbaası, İstanbul, 1977, s.427. 44 A.e., s.427.

21

ortaya çıkan atıl kapasiteyi önleyecek şekilde yeni bazı maddelerin üretimine

geçilmesi ve tedbir ve programların düşünülmesi, uygulanması ve başarısı mevsim

faktörünün , trend ve konjonktürden ayrılmasına ve ölçülmesine bağlıdır.45

Zaman serilerinin analizi, ekonomik olayın seyrinin ve sebeplerinin daha iyi

anlaşılmasını, kavranmasını, yorumlanmasını ve ilerisi hakkında tahminler

yapılmasını mümkün kılar. Olayın bağlı olduğu trend, konjonktür ve mevsim gibi

faktörlerin birbirinden ayrılarak incelenmesi hem ekonomik gidişin kavranmasını,

hem de kısa vadeli olası gelişmelerin tahminini kolaylaştırır. Çünkü bu faktörlerin

hepsi aynı yönde ve derecede etki etmezler. Olayı bileşenlerine ayırarak yapılacak

tahmin, daha tutarlı sonuçlar alınmasına yardım eder. Hatta ileriye yönelik

tahminlerde yalnız incelenen değişkenin zaman serilerinin analizinden elde edilen

bilgilerle yetinilmeyip fiyat indeksleri, milli gelir, para arzı vs. gibi ekonomik

göstergelerinde analiz edilerek hesaba katılması tahminlerin isabetini artıracaktır.46

45 A.e., s.427. 46 A.e., s.427.

22

2. İSTATİSTİK TAHMİN TEKNİKLERİ Tahmin tekniklerini nitel ve nicel tahmin teknikleri olmak üzere iki ana gruba

ayırmak mümkündür. Nitel tahmin tekniklerinde tahmin, tecrübeye, uzman

görüşlerine dayanır ve bu teknikler bir veri setini ya nadiren kullanırlar veya hiç

kullanmazlar. Nicel tahmin tekniklerin de ise tahmin, verilerin yapısını açıklayabilen

istatistik modellere dayanmaktadır. Bu yöntemler kendi içinde ilişkiye dayanan

tahmin teknikleri ve zaman serileri analizi olmak üzere ikiye ayrılmaktadır.

2.1. İlişkiye Dayanan Tahmin Teknikleri İlişkiye dayanan tahmin teknikleri tahmin edilecek değişkeni etkileyen

değişkenlerin belirlenerek tahminin bu değişkenler yardımıyla yapılmasına

dayanmaktadır. İstatistik literatüründe regresyon analizi adı altında geçen bu tahmin

tekniğinde, tahmin edilecek değişkenle onu etkileyen değişkenler arasındaki ilişki

matematik bir fonksiyonla ifade edilmektedir. İşletmecilikte ilişkiye dayanan tahmin

teknikleri tahmin dışında politika belirlemeye imkan verdiği için yöneticilere büyük

yararlar sağlamaktadır.1

2.1.1. Regresyon Analizi Regresyon analizi bağımlı değişkenin, bir ya da birden fazla bağımsız

değişken arasındaki ilişkinin matematik bir fonksiyon şeklinde yazılmasıdır. Bu

fonksiyona regresyon denklemi adı verilmektedir. Bağımsız değişkenlerin çeşitli

değerlerine karşılık bağımlı değişkenin alacağı değerler regresyon denklemi

yardımıyla tahmin edilebilmektedir.

Korelasyon iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü gösteren tek bir değerdir.

Değişkenler arasında ilişkinin yönü belirtilmediği sürece korelasyon değerinin

yorumu simetriktir.2 Ancak regresyon analizi yapılırken korelasyon katsayı

hesaplandığında ilişkinin yönü de belirlenmiş demektir. Artık korelasyon bağımlı

değişkenle bağımsız değişken veya değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü derece

1 Orhunbilge, A.g.e., s.3. 2 Paul Newbold, Statistics For Business and Economics, Fouth Edition, Prentice Hall, 1995, s.442.

23

olarak gösteren ve yüzde olarak ifade edilen bir katsayıdır.3 Bağımlı değişken

üzerinde geliştirilecek politikaların belirlenmesinde korelasyon analizinden

yararlanılmaktadır. Bağımlı değişkeni en güçlü etkileyen bağımsız değişken politika

belirlemede öncelikle ele alınmaktadır. Korelasyon katsayısı (çoklu korelasyon

katsayısı hariç) aralığında yer alınır ve işaretiyle birlikte yorumlanır. Korelasyon

katsayısı +1’e yaklaştığında; sözkonusu bağımsız değişkenle bağımlı değişken

arasında aynı yönlü güçlü bir ilişki vardır. Yani bağımsız değişken değerleri artarken

bağımlı değişkenin almış olduğu değerlerde artmaktadır. Korelasyon katsayısı -1’e

yaklaşırsa; ilgili bağımsız değişkenle bağımlı değişken arasında ters yönlü güçlü bir

ilişki olduğu anlaşılır. Bağımsız değişkenin artan değerlerine karşılık bağımlı

değişkenin aldığı değerler azalmaktadır. Korelasyon katsayısı 0’a yaklaştığında

bağımlı değişkenle bağımsız değişken arasındaki ilişki zayıflamakta hatta iki

değişken arasında ilişki bulunmamaktadır.

1±

Regresyon analizini değişken sayısına, fonksiyon tipine, verilerin kaynağına

ve verilerin toplanma zamanına göre sınıflandırmak mümkündür.

Değişken sayısına göre;4

- Basit regresyon analizli (bir bağımlı, bir bağımsız),

- Çoklu regresyon analizi (bir bağımlı, birden çok bağımsız)

Fonksiyon tipine göre;5

- Doğrusal regresyon analizi,

- Doğrusal olmayan (eğrisel) regresyon analizi

Verilerin kaynağına göre;6

- Anakütle verileriyle regresyon analizi,

- Örnek verileriyle regresyon analizi

Verilerin toplanma zamanına göre;7

- Zaman serilerinde regresyon analizi,

- Çapraz kesit verilerinde regresyon analizi

3 Neyran Orhunbilge, Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, İ.Ü. Basım ve Yayınevi, İstanbul, 2002, s.12. 4 A.e., s.12. 5 A.e., s.13. 6 A.e., s.13. 7 Spyros Makridakis, Steven C. Wheelwright ve Rob J. Hyndman, Forecasting Methods and Applications, Third Edition, John Wiley&Sons.Inc., 1998, s.187.

24

Son sınıflandırma kriterinde veriler ya zaman serisi olarak ya da çapraz kesit

verisi olarak derlenebilmektedir. Değişkenlerin farklı zamanlarda almış olduğu

değerlerin derlenmesiyle zaman serileri elde edilir ve ekonomik değişkenler genelde

bu tarz serilerdir.

Regresyon analizinde kullanılan bağımlı ve bağımsız değişken veya

değişkenler farklı kaynaklarda değişik şekilde tanımlanmaktadır. Bu tanımlamların

en çok kullanılanları aşağıda gösterilmektedir.8

Bağımlı Değişken Bağımsız Değişken

Açıklanan Değişken Açıklayıcı Değişken

Tepki Değişkeni Kontrol Değişkeni

Öngörülen Öngören

Regresand Regresor

İçsel Dışsal

2.1.1.1. Basit Doğrusal Regresyon Analizi Basit doğrusal regresyon analizinde, Y bağımlı değişkeninin tek bir bağımsız

değişken X ile arasındaki ilişkinin doğrusal fonksiyonla ifade edilmesine

dayanmaktadır.9 Değişkenler arasındaki ilişkinin yönü bağımsız değişkenden bağımlı

değişkene doğrudur. Örnek verileriyle çalışıldığında basit doğrusal regresyon

denklemi:

ebxay ++=

şeklinde yazılır. Denklemdeki a doğrusal fonksiyonun sabiti olup, x=0 olduğunda

regresyon doğrusunun dikey ekseni kestiği noktayı göstermektedir. b ise regresyon

doğrusunun eğimidir ve regresyon katsayısı adını almaktadır. Örnek verileri ile

çalışıldığından regresyon katsayısının anakütle için geçerliliğinin araştırılması

gerekmektedir. Yapılan hipotez testi10 sonucunda anakütle için geçerli olduğuna

karar verilen regresyon katsayısı yorumlanabilir. Regresyon katsayısı, bağımsız

değişkendeki bir birimlik değişmenin; bağımlı değişken üzerinde, bağımlı değişken

8 Aziz Kutlar, Uygulamalı Ekonometri, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 2005, s.7. 9 Orhunbilge, A.g.e., s.16. 10 Ayrıntılı bilgi için, Neyran Orhunbilge, Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, İ.Ü. Basım ve Yayınevi, İstanbul, 2002, s.34-37

25

cinsinden ne kadarlık bir değişme yaratacağını göstermektedir. Regresyon

katsayısının işareti pozitif ise bağımsız değişken bir birim arttırıldığında bağımlı

değişken b kadar artmaktadır. Regresyon katsayısının işareti negatif ise bağımsız

değişken bir birim arttırıldığında bağımlı değişken b kadar azalmaktadır. Yapılan

hipotez test sonucunda b katsayısı anakütle için geçerli değilse; bağımlı değişken ile

bağımsız değişken arasında herhangi bir ilişki sözkonusu değildir. Örnek regresyon

denkleminde yer alan e ise hata terimidir ve gözlem değerleri ile tahmin değerleri

arasındaki farkı göstermektedir. Tahmin edilen değer gözlem değerinden

küçük ise hata teriminin pozitif işaratli bir değer, tahmin edilen değer gözlem

değerinden büyük ise hata teriminin negatif işaratli bir değer olmaktadır. Tahmin

değeri ile gözlem değeri birbirine eşit olduğunda hata terimi 0 değerini almaktadır.

Bu şekilde tahminlerin gözlem değerlerinden tek tek ne kadar farklı olduğunu

belirlemek yerine, elde edilen regresyon denklemiyle yapılan tahminlerde ortalama

olarak ne kadarlık bir hata yapıldığının hesaplanması yorumlama açısından daha

yararlı olmaktadır. Bunun için söz konusu regresyon denkleminin standart hatası

bulunmaktadır.

( yy ′− )

11

( )

2n

yyS

n

1i

2ii

yx −

′−=∑=

Basit doğrusal regresyon denklemindeki a ve b katsayıları momentler

yöntemi, en küçük kareler yöntemi ve maksimum benzerlik yöntemiyle

bulunabilmektedir.12 Maksimum benzerlik yöntemi bölüm 3’te ele alınmaktadır. En

küçük kareler yöntemi katsayıların bulunmasında sıklıkla kulanılmaktadır. Yöntemin

esası pek çok alternatif arasından minimum hatayı verecek doğru denkleminin

bulunmasıdır.

( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

⇒−−=′−=n

1i

n

1i

n

1i

2ii

2ii

2i imumminbxayyye

11 Orhunbilge, A.g.e., s.22. 12 R.L. Thomas, Modern Econometrics, Addison Wesley Longman, 1997, s.123.

26

Minimum hataların bulunabilmesi için yukarıdaki eşitliğin a ve b’ye göre

kısmi türevlerinin alınıp sıfıra eşitlenmesi gerekmektedir. Ara işlemlerden sonra

aşağıdaki normal denklemler elde edilmektedir. Denklemlerin çözümünden a ve b

katsayılarına ulaşılmaktadır.

∑ ∑ ∑∑ ∑

+=

+=2xbxaxy

xbnay

2.1.1.2. Doğrusal Olmayan Basit Regresyon Analizi Bağımsız değişkenle bağımlı değişken arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması

durumunda regresyon denklemi, ikinci derece veya daha üst derecelerden fonksiyon

ile temsil edilmektedir.

e 2 .Derece fonksiyon cxbxay 2 +++=

edxcxbxay 32 ++++= 3. Derece fonksiyon

Fonksiyonlarda;13

a, sabit,

b, fonksiyonun eğimi,

c, eğimin değişme hızı,

d, bükümün derecesindeki değişme oranı

Katsayıların en küçük kareler ile bulunabilmesi için

eşitliğinin, ikinci derece fonksiyon için; a, b ve

c’ye göre, üçünücü derece fonksiyon için ise; a, b, c ve d’ye göre kısmi türevlerinin

alınıp sıfıra eşitlenmesi ve elde edilen normal denklemlerin çözülmesi

gerekmektedir. Katsayılar bulunduktan sonra anakütle için gerçerliliği test

edilmelidir. Regresyon denklemleri kullanılarak yapılacak tahminlerdeki standart

hata;

( )∑ ∑= =

⇒′−=n

1i

n

1i

2ii

2i imumminyye

( )

3n

yyS

n

1i

2ii

yxx2−

′−=∑= 2. Derece Fonksiyon

13 Orhunbilge, A.g.e., s.54-55.

27

( )

4n

yyS

n

1i

2ii

xyxx 32−

′−=∑= 3. Derece Fonksiyon

şeklinde hesaplanacaktır.

2.1.1.3. Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi Özellikle ekonomi ve işletmecilik alanlarında herhangi bir bağımlı değişkeni

tek bir bağımsız değişkenle açıklamak mümkün değildir. Ekonomik değişkenler

kompleks değişkenlerdir. Birçok ekonomik değişken bir araya gelerek bir değişkeni

etkileyebildikleri gibi kendi aralarında da birbirlerini etkilemektedirler. Bu nedenle

tek bağımsız değişkenli regresyon analizi yapmak mümkün değildir. Birden fazla

bağımsız değişkenli analize çoklu regresyon analizi adı verilmektedir.14

Basit regresyon analizinde olduğu gibi bağımlı değişken Y, bağımsız

değişkenler ise, , , ........, ’dır. Bu değişkenler yardımıyla örnek verileriyle

çoklu regresyon denklemi,

1X 2X kX

exb.......xbxbay kk2211 +++++=

şeklinde yazılabilmektedir. Regresyon denkleminin katsayılarını en küçük kareler

yöntemi ile bulabilmek için eşitliğinin a, , ,

...., ’ya göre kısmi türevleri alınır ve ara işlemlerden sonra aşağıda gösterilen

normal denklemlere ulaşılmaktadır.

( )∑ ∑= =

⇒′−=n

1i

n

1i

2ii

2i imumminyye 1b 2b

kb

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑∑

++++=

++++=

++++=

++++=

2kkk22k11kk

k2k22221122

k1k21221111

kk2211

xb..........xxbxxbxayx...

xxb..........xbxxbxayx

xxb..........xxbxbxayx

xb..........xbxbnay

14 A.e., s.99.

28

Normal denklemlerin çözümüyle de regresyon denkleminin katsayıları

hesaplanmaktadır. Bilinmeyen sayısı ve denklem sayısı çoğaldıkça yerine koyma,

yok etme gibi işlemlerle normal denklemlerin çözümü kolay olmamaktadır.

Dolayısıyla katsayıların elde edilmesinde matrisler yardımıyla çözüm daha kolay

anlaşılmaktadır. Bunun için aşağıda bir dizi matris işlemleri gösterilmiştir.15 Bağımlı

ve bağımsız değişken için gözlenen değerleri X ve Y matrisleri ile, bilinmeyenleri b

matrisi ile,

, ,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nk2n1n

k22221

k11211

x...xx1..........

x...xx1x...xx1

X

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

2

1

y..

yy

Y

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

k

1

b..

ba

b

şeklinde gösterildiğinde,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2kk2k1k

k222212

k121211

k21

T

x...xxxxx..........

xx...xxxxxx...xxxx

x...xxn

XX

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∑

∑∑

yx..

yxy

YX

k

1T

[ ]k21T b...bbab =

matrisleri türetilir. Normal denklemler matris gösterim ile

XbXYX TT =

15 İsmail Hakkı Armutlulu, İşletmelerde Uygulamalı İstatistik, Alfa Yayınları, İstanbul, 2000. s.207.

29

olur. Bu matris eşitliğinden regresyon katsayıları matrisi b;

( ) ( )YXXXb T1T −=

şeklinde elde edilir.

Katsayılar hesaplandıktan sonra anakütle için geçerlilikleri araştırılır.

Regresyon denklemindeki , , ...., kısmi regresyon katsayılarıdır. ;

dışındaki diğer tüm bağımsız değişkenler sabit iken birim değiştirildiğinde

bağımlı değişken y’nin ne kadar değişeceğini gösterir. ; dışındaki tüm

değişkenler sabit iken bir birim değiştirildiğinde bağımlı değişken y’de

yaratacağı değişimi ifade etmektedir. Katsayıların işareti; + olduğunda bağımlı ve

bağımsız değişken aynı yönde, - olduğunda ise ters yönde değişmektedir. k adet

bağımsız değişkenle kurulan regresyon denklemiyle yapılacak tahminlerdeki

ortalama hata;

1b 2b kb 1b 1x

1x

2b 2x

2x

( )

1kn

yyS

n

1i

2ii

k...12.y −−

′−=∑=

şeklinde hesaplanmaktadır.

En küçük kareler yöntemiyle elde edilen regresyon denklemlerinin tahminlerde

kullanılabilmesi için katsayılarının analamlı olmasının yanı sıra aşağıda belirtilen

varsayımları da sağlaması gerekmektedir. Söz konu varsayımlar;

- Hata terimleri arasında otokorelasyon olmaması,

- Hata terimlerinin eşit varyanslı olması,

- Hata terimlerinin normal dağılması,

- Bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olmaması.

Varsayımlardan ilk üçü hem basit hem de çoklu regresyon analizini, sonuncu

varsayım ise çoklu regresyon analizini ilgilendirmektedir. Varsayımlarının

sağlanamaması durumuyla karşılaşıldığında, gerekli çözümler yapılmalı ve ondan

sonra regresyon denklemi tahminlerde kullanılmalıdır.16

16 Varsyımlarla ilgili geniş bilgi için; Neyran Orhunbilge, Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, İ.Ü. Basım ve Yayınevi, İstanbul, 2002, Studenmund, A.H., Using Econometrics: A Practical Guide, Third Edition, Addison-Wesley, 1997.

30

Katsayıları anlamlı ve varsayımları sağlayan regresyon denklemiyle bağımsız

değişken veya değişkenlerin çeşitli değerleri için tahmin yapılabilir. Yapılan bu

tahmin nokta tahminidir. Belirli bir güven derecesinde aralık tahminine dönüştürmek

için aşağıdaki işlemlerin yapılması gerekmektedir.

bağımsız değişkenlerin alacağı değerler

ve bu değerlerle bağımlı değişken y’nin nokta tahmini;

( ) [ k00201T

0 x...xx1X = ]

( ) bXy T0=′

elde edilir. Örnek verileriyle çalışıldığı için bu değere, katsayıların standart

hatalarıyla birlikte regresyon denkleminin standart hatasının da belirli bir olasılık

düzeyinde ilave edilmesi gerekmektedir.

( ) ( ) ( )01TT

0k...12.y XXXX1S*zveyatyY −+±′=

2.1.1.4. Lojistik Regresyon

Bağımlı değişkenin ikili, üçlü ve çoklu kategorilerde gözlendiği durumlara

birçok çalışma alanında yer verilmektedir. Bu şekilde kesikli bir özelliğe sahip

bağımlı değişkenlerin bazılarının başarılı-başarısız, olumlu-olumsuz, negatif-pozitif

gibi ikili bazılarının da hafif-orta-ağır, hiç-az-çok gibi üçlü olması durumunda

sonuca etki eden faktörlerin neler olduğunun ve bu faktörlerin hangilerinin önemli

olduğunun belirlenmesinde lojistik regresyon analizi kullanılmaktadır. Örneğin,

neden bazı işletmelerin başarılı, bazılarının başarısız olduğunun ya da neden bir

kişinin bir işletmenin müşterisi olduğunun, diğer işletmelerin müşterisi olmadığının

araştırılmasında lojistik regresyon analizinden yararlanılmaktadır. Her bir örnekte de

değişkenler belirli gruplara ayrılmaktadır.

Bu açıdan lojistik regresyon analizi, bağımlı değişkenin kategorik bir değişken

olması durumunda basit ve çoklu regresyon ve korelasyon analizine çözüm yolları

geliştiren bir analiz yöntemidir. Çünkü basit ve çoklu regresyon ve korelasyon

analizlerinde hataların dağılımının normal dağılıma uygunluk göstermesi ve hataların

varyanslarının eşit olması varsayımlarının sağlanması gerekmektedir. Bu

31

varsayımların sağlanamadığı kesikli veri setlerine basit ya da çoklu regresyon

analizleri uygulanamamaktadır.17 Bu açıdan bu tür yapıdaki veri setlerine normallik

ön koşulunun olmadığı lojistik regresyon analizinin uygulanması gerekmektedir.

Ayrıca lojistik regresyon analizi (normallik, ortak kovaryansa sahip olma gibi)

varsayımlardan sapma durumunda diskriminanat analizi ve çapraz tablolara bir

alternatif oluşturmaktadır.18

Lojistik regresyon analizinde iki şıklı (binomial), ikiden fazla şıklı

(multinomial) ve ordinal olmak üzere üç temel yöntem vardır.19 Veri yapılarına göre

ise kurulan lojistik modeller iki değişkenli ve çok değişkenli lojistik regresyon olmak

üzere iki türlüdür.

17 Kazım Özdamar, Paket Programlar İle İstatistiksel Veri Analizi 1, 4.Baskı, Kaan Kitabevi, İstanbul, 2002, s.623. 18 Hüseyin Tatlıdil, Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Akademi Matbaası, Ankara, 1996, s.289. 19 İkili, Ordinal ve Nominal Lojistik Regresyon.

32

2.2. Zaman Serileri Analizi Zaman serileri analizi ile tahmini yapılacak değişkenin şimdiki ve geçmiş

dönem değerleri kullanılarak, çeşitli yöntemlerle tahmin modeli elde edilmekte ve bu

modelin geçerliliği araştırıldıktan sonra değişkenin gelecek dönem değerleri tahmin

edilmektedir.

Bu başlık altında öncelikle zaman serileri analizinde sıklıkla kullanılan

kavramlar anlatılacak daha sonra tek değişkenli ve çok değişkenli zaman serileri

analiz tekniklerine değinilecektir.

2.2.1. Zaman Serilerine İlişkin Temel Kavramlar

2.2.1.1. Zaman Serileri Çeşitli değişkenlerin kronolojik sırayla elde edilen değerleriyle oluşturulan

düzenlemeye zaman serisi adı verilmekte ( n,....3,2,1t = olmak üzere

ve notasyonuyla gösterilmektedir.

n321 y,....y,y,y )

ty 20

Zaman içinde sürekli olarak kaydedilebilen verileri içeren serilere sürekli

zaman serileri, sadece belli aralıklarla elde edilebilen veriler içerenlere de kesikli

zaman serileri adı verilmektedir. Elektrik sinyalleri, voltaj, ses titreşimleri, sismik

hareketlerin ölçümü gibi mühendislik alanlarına ait seriler sürekli zaman serileri

tanımına uyarken, faiz oranı, satış hacmi, üretim miktarı gibi iktisadi seriler kesikli

zaman serileri tanımına uymaktadır.

Zaman serisi verileri gözlemlendikleri aralıklara, başka bir deyişle gözlem

sıklığına göre özel isimler alır. Zaman serisinin yılda bir kez gözlemlendiklerinde

yıllık, yılda iki kez gözlemlendiklerinde altı aylık, yılda dört kez yani her mevsim bir

kez gözlemlendiklerinde mevsimlik (üçer aylık veya çeyrek), yılın her ayı bir kez

gözlemlendiklerinde aylık, yılın her günü gözlemlendiklerinde günlük zaman serileri

olarak tanımlanmaktadır. Yıllık veriler, aylıkların toplamı (örneğin satış, üretimi,

ihracat, ithalat, vb.) veya aylıkların ortalaması (fiyat indeksleri, satış fiyatı, bölgelerin

ısı ve yağışları vbg.) şeklinde elde edilmektedir.21

20 Cem Kadılar, SPSS Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş, Bizim Büro Basımevi, Ankara, 2005, s.2. 21 Orhunbilge, A.g.e., s.53.

33

Mikro ve makro zaman serileri, zamana ve ona bağlı olarak değişen çeşitli

sosyo-ekonomik olayların etkisi altında kaldıklarından; trend (T), mevsimlik

dalgalanmalar (M), konjonktürel dalgalanmalar (K) ve Arızi Faktörler (A) olmak

üzere dört faktörden etkilenmektedirler. Trend, değişkenin uzun dönem eğilimini

göstermektedir. Değişkenlerin trendi artan, azalan veya değişmeyen özellikler

taşıyabilmektedir. Mevsimlik dalgalanmalar aylık veya mevsimlik verilerde ortaya

çıkmaktadır. Yıllık serilerde mevsimlik dalgalanmalar doğal olarak görünmez.

Mevsim etkisinde olan bir değişken yılın bazı aylarında veya mevsimlerinde yılın

diğer zamanlarına göre daha yüksek veya daha düşük değerlere ulaşmaktadır.

Konjonktür dalgalanmaları ekonominin refah, durgunluk, depresyon dönemlerinde

ortaya çıkan ve uzunluğu ekonomistlerce 3-5 yıl olduğu kabul edilen

dalgalanmalardır. Ekonomik değişkenlerin değeri refah döneminde trendinin

üzerinde, depresyon döneminde ise trendinin altında kalmaktadır. Arızi Faktörler,

genellikle deprem, sel, kuraklık gibi doğal afetler, savaş, siyasi karışıklıklar ve

kapsamlı işçi hareketleri gibi sosyal ve ekonomik nedenlerle ortaya çıkan

olaylardır.22 Bunların ne zaman, nasıl bir şiddet derecesi ile ortaya çıkacakları

önceden tahmin edilemez. Bu dört bileşenin zaman serisi değeri üzerinde toplamsal

veya çarpımsal bir etkisi olduğu kabul edilmektedir. Aylık bir zaman serisi toplamsal

olarak;

AKMTyt +++= n,......3,2,1t =

biçiminde, çarpımsal olarak ise;

A .K.M.Tyt = n,......3,2,1t =

şeklinde yazılabilmektedir. Yıllık zaman serilerinde doğal olarak yukarıdaki

gösterimdeki mevsim bileşeni (M) yer almayacaktır.

22 A.e., s.7-9

34

2.2.1.2. Gecikme İşlemcisi Zaman serilerinde dönem kaydırılması sonucu zaman serilerinin

gecikmelerine ait seriler elde edilir.23 Zaman serisi, , bir dönem kaydırıldığında

serisinin bir dönem gecikmeli serisi ; iki dönem kaydırıldığında serisinin

iki dönem gecikmeli serisi ; genel olarak k dönem kaydırıldığında serisinin k

dönem gecikmeli serisi oluşur. Eğer orijinal zaman serisi trende sahip ise bu

serinin k gecikmeli serisi orijinal seriyi k dönem sonrasından takip ederek yine

trende sahip olacaktır. Aynı şekilde mevsim etkisine sahip serilerin gecikmeleri de

mevsim etkisine sahip olurlar. Gecikme sayısı k çok büyük seçilmediğinde serilerin

gecikmeleri orijinal seri ile aynı yapıda olup yapısal bir değişiklik gecikmeli serilerde

görülmez.

ty

ty 1ty − ty

2ty − ty

kty −

Karmaşık modellerde işlemlerin kolay yapılabilmesi bakımından 1tt yLy −=

biçiminde tanımlanan L gecikme işlemcisi (Lag) kullanılmaktadır. Bu tanıma göre 2

gecikmeli bir seri şeklinde gösterilmektedir. k

gecikmeli bir seri ise olarak gösterilebilir.

2t1ttt2 yLy)Ly(LyL −− ===

tk yL

2.2.1.3. Fark Alma İşlemcisi Zaman serisinin zincirleme bir şekilde son değerlerinden belli bir dönem

önceki değerlerinin çıkarılması işlemine fark alma işlemi denilmektedir. Bu işlem

özellikle serideki değişimin yönünü ve büyüklüğünü görebilmek amacıyla yararlıdır.

Ayrıca fark alma işlemi sayesinde serideki trend ya da mevsimsel dalgalanmaları

yok etmek mümkün olmaktadır.24

Zaman serisinin birinci farkları,

1ttt yyy −−=Δ

işlemiyle elde edilmektedir. Bu işlemden de görüldüğü gibi serinin bir önceki

dönemdeki değerleri bir sonraki dönem değerlerinden çıkarılmaktadır. Serinin ikinci

farkları, ilk farklar serisine tekrar birinci farklar alma işleminin uygulanmasıyla elde

23 Kadılar, a.g.e., s.11. 24 A.e.,s.18.

35

edilmektedir. Başka bir yolda seriye doğrudan ikinci fark alma işleminin

uygulanmasıdır. Gecikme işlemcisi kullanarak ikinci farklar,

2t1ttt2

ttt2

t2

t2 yy2yyLLy2yy)LL21(y)L1(y −− +−=+−=+−=−=Δ

şeklinde elde edilebilir.

Mevsimlik fark işlemi, mevsimlik serilerde uygulanmaktadır. Bu işlem,

serinin son verilerinden mevsim periyodu kadar önceki verileri çıkartılarak

yapılmaktadır. Örneğin veriler aylık ise mevsim periyodu 12 olmakta ve birinci

mevsimlik fark;

t12

12ttt12 y)L1(yyy −=−=Δ −

olarak, üçer aylık verilerde ise mevsim periyodu 4 olmakta birinci mevsimlik fark;

t4

4ttt4 y)L1(yyy −=−=Δ −

şeklinde hesaplanabilmektedir. Serideki mevsim etkisi birinci mevsimlik farka

rağmen hala etkin ise bu durumda seriye ikinci mevsimlik fark alma işlemi;

s2tsttts

ts

tt2s

t2s yy2yyLyL2yy)L1(y

2

−− +−=+−=−=Δ

biçiminde uygulanmaktadır. Burada s mevsim periyodunu göstermektedir.

2.2.1.4. Beyaz Gürültü Serisi Bir zaman serisi sabit bir ortalamaya, sabit bir varyansa sahip ve gözlem

değerleri arasında bir ilişki olmayıp aynı ve benzer bir dağılıma sahip ise bu tür

seriye beyaz gürültü (white noise-mühendislikten gelen bir ifade) serisi

denilmektedir.25 Beyaz gürültü serisinin özellikleri;

0)y,y(Kov

)y(V

)y(E

ktt

2t

t

=σ=

μ=

+

şeklinde yazılabilir. Bu özelliklerin durağanlık koşullarından tek farkı kovaryans

teriminin sıfır olmasıdır. Dolayısıyla, beyaz gürültü serisi durağan bir seriden farklı

özellikler gösterir. Beyaz gürültü serisi rasgele hareketlere sahip modellenemez bir

seri iken durağan serilerin hareketlerinin belli bir sistematiği vardır ve bu nedenle

25 Chris Chatfield, The Analysis of Time Series: An Introduction, Fifth Edition, Chapman&Hall, 1996, s.31.

36

modellenebilmektedir.26 Beyaz gürültü serisinin tüm gecikmelerinde otokorelasyon

ve kısmi otokorelasyon değerleri önemsizdir.

2.2.1.5. Rassal Yürüyüş Süreci Rassal yürüyüş süreci (Random Walk Process) durağan olmayan bir zaman

serisidir. Bu tür serilerin ortalaması ve varyansı zamanla değişir.27 serisi rassal

yürüyüş sürecine sahip ise t zamandaki değeri bir önceki dönem değerine sıfır

ortalama ve sabit varyanslı hata terimi nin ilave edilmesi ile elde edilebilir.

ty

te

t1ttt

t1tt

eyyyeyy

=−=Δ+=

−

−

Başlangıç değeri sıfır olarak alınırsa süreci aşağıdaki gibi ifade edilir. ty

321323

21212

1101

eeeeyyeeeyy

eeyy

++=+=+=+=

=+=

.

.

.

2.2.1.6. Durağanlık Kavramı Bir zaman serisinin analizine başlamadan önce, o serinin zaman içerisinde

sabit olup olmadığının yani serinin durağanlığının araştırılması gerekir. Durağan

olmayan bir seri ile analizler yapıldığında analiz sonuçları yanlı olabilmektedir. Eğer

seri güçlü (strictly stationary-güçlü, tam, kesin) durağan ise serinin dağılım

fonksiyonu zaman içinde değişmemeli, yani aşağıdaki bileşik (jointly) olasılık

dağılım fonksiyonun eşitliği sağlanmalıdır.28

( ) ( )ktnk2tk1ttn2t1t y.....,,.........y,yFy.....,,.........y,yF +++=

26 Kadılar, a.g.e., s.24. 27 Chatfield, a.g.e., s.32. 28 Erkan Işığıçok, Zaman Serilerinde Nedensellik Çözümlemesi: Türkiye’de Para Arzı ve Enflasyon Üzerine Amprik Bir Araştırma, Uludağ Üniversitesi Basımevi, Bursa, 1994, s.47.

37

Bu özelliğin uygulamalarda sağlanabilmesi oldukça güçtür. Bu nedenle durağanlık

kavramı genellikle zayıf durağanlık biçiminde ele alınmaktadır. Eğer bir seri durağan

ise bu serinin beklenen değeri ve varyansı sabit, kovaryansı zamandan bağımsız

sadece gecikme sayısına dayalı olmalıdır. Dolayısıyla,

kktt

2t

t

)y,y(Kov)y(V

)y(E

γ=σ=

μ=

+

eşitliklerinin tamamı sağlanmalıdır. Eğer bir seri trende sahip ise bu serinin beklenen

değeri ya da bir başka ifadeyle ortalama düzeyi genellikle zamana bağlı olacak ve

serinin gözlemleri arasında da bir ilişki olacaktır. Bir başka deyişle elde edilen son

gözlem bir önceki ya da daha önceki gözlemlerden etkileniyor olacaktır.

Durağanlığın araştırılmasında otokorelasyon fonksiyonunun grafiği incelenebileceği

gibi birim kök testleri de kullanılabilir.

Eğer bir seri d kez fark (difference) alınarak durağan hale geliyorsa bu

serilere fark durağan seriler adı verilmektedir. Bu seriler ayrıca d’inci dereceden

bütünleşik seriler adını da almakta I(d) biçiminde gösterilmektedir. Eğer bir seri fark

alma işlemiyle durağan hale getirilmiyor onun yerine regresyon analizi ile

incelenebiliyorsa, başka bir deyişle regreyon varsayımları sağlanıyorsa bu tür serilere

trend durağan seriler denmektedir.29

2.2.1.7. Otokovaryans Fonksiyonu Otokovaryans fonksiyonu değişkenlerin momentleri kullanılarak tahmin

edilmekte ve iki tesadüfi değişken arasındaki kovaryans,

( )( ){ })y(Ey)x(ExE)y,x(Kov −−=

şeklinde gösterilebilir. Benzer şekilde bir durağan bir zaman serisinin ve

gibi iki elemanı için otokovaryans teorik olarak,

ty kty −

( ) ( )( ){ })y(Ey)y(EyEy,yKov ktktttkttk −−− −−==γ

( ) ( )( ){ }μ−μ−==γ −− kttkttk yyEy,yKov

olarak gösterilmekte ve kγ otokovaryans olarak adlandırılmaktadır.

29 Kadılar, a.g.e., s.21

38

Stokastik sürecin özelliklerini saptamada önemli bir araç olarak kabul edilen

otokovaryans fonksiyonu uygulamada ....2,1,0k = için,

( )( )∑−

=− −−=γ

kn

1tkttk yyyy

n1

formülü kullanılarak elde edilmektedir.30 Formülde;

n, gözlem sayısı

y , serinin ortalamasıdır.

2.2.1.8. Otokorelasyon Katsayıları ve Otokorelasyon Fonksiyonu Otokorelasyon katsayıları farklı zamanlardaki gözlemler arasındaki ilişkiyi

gösteren katsayılar olup zaman serilerine ilişkin özelliklerin önemli bir göstergesi

olarak kabul edilirler. Otokorelasyon katsayıları, serinin geçmiş dönem değerleri

arasındaki korelasyonun, yani aralarındaki bağımlılığın ne derece olduğunu ortaya

koyarlar.31

Otokorelasyon katsayıları basit korelasyon katsayıları (bağımlı ve tek

bağımsız değişken arasındaki ilişkinin derecesini gösteren) gibi hesaplanmaktadır.

Tek fark bağımsız değişkenin incelenen değişkenin geçmiş dönem değerleri

olmasıdır. k gecikme ile otokorelasyon katsayıları;

( )

2y

2y

kttk

ktt

y,yKov

−σσ

=ρ −

formülü ile hesaplanabilmektedir. Zaman serisinin durağan olması durumunda payda

da yer alan dönemi varyansı ile ( )t ( )kt − dönemi varyansı eşit olmakta ve payda da

serinin varyansı yer alması nedeni ile ....2,1,0k = için,

( )2y

k2y

kttk

y,yKovσγ

=σ

=ρ −

şeklinde gösterilmektedir.

30 Işıl Akgül, Zaman Serilerinin Analizi ve ARIMA Modelleri, Der Yayınları, İstanbul, 2003, s.10-11. 31 A.e., s.12-22.

39

Otokovaryans fonksiyonunun farklı ölçme birimlerine dayanıyor olmasının yarattığı

olumsuzluğu ortadan kaldırmak ve normalleştirilmiş değerler elde etmek amacı ile

serinin otokorelasyonları elde edilmektedir. Otokorelasyon fonksiyonu,

0

kk γ

γ=ρ

olarak ifade edildiğinden serinin ölçme biriminden bağımsız olup sadece k

gecikmesine veya zaman farkına bağlı olmaktadır. Otokorelasyon fonksiyonu

grafiğine korelogram adı verilmektedir.

Otokorelasyon katsayılarının istatistik açıdan sıfırdan farklı olup olmadığının

test32 edilmesi sözkonusu olduğunda büyük örnekler için Varyans

t kk

ρ=ρ olarak

bilinen t benzeri testler kullanılabilmektedir.33 Örnek birim sayısı yeterli büyüklükte

olduğunda otokorelasyon katsayıları sıfır ortalama ve ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ+ ∑

−

=

1k

1j

2j21

n1 varyans ile

yaklaşık normal dağılacaktır. Hesaplanan test istatistiği,34

2tk≤ρ olduğunda otokorelasyon katsayısı anlamsız

2tk>ρ olduğunda otokorelasyon katsayısı anlamlı

kararları %5 anlamlılık düzeyi için alınmaktadır.

Otokorelasyon katsayıları ’nin bir dönem önceki , iki dönem önceki

veya k dönem önceki değerleri arasındaki ilişkinin gücünü göstermektedir.

Bu katsayıların yüksek olması değişkenin geçmiş dönem değerlerine bağımlı

olduğunu, düşük olması ise değişkenin tesadüfi olduğunu gösterir. 4, 8, 12, .... ve 12,

24, 36 aylık kaydırmalarla hesaplanan otokorelasyon katsayılarının düşük olması ise

incelenen değişkenin mevsimlerden etkilenmediğini göstermektedir. Yüksek olması

da değişkenin mevsimlerden etkilendiğini ortaya çıkarmaktadır. Otokorelasyon

katsayılarıdan serinin tesadüfiliğin araştırılması, durağanlığın saptanması, durağan

ty 1ty −

2ty − kty −

32 OKK larının anlamlılıkları test etmek için kullanılan Box-Pierce ve Ljung-Box testleri Box-Jenkins Model Kurma Yönteminin Modelin Uygunluk Testi alt başlığında anlatılmıştır. 33 Orhunbilge, a.g.e., s.144. 34 Akgül, a.g.e., s.19.

40

olmayan serilerin durağanlaştırılması ve mevsim etkisinin ortaya çıkarılmasında

yararlanılmaktadır.35

2.2.1.9. Kısmi Otokorelasyon Katsayıları ve Kısmi Otokorelasyon

Fonksiyonu

Zaman serilerinde ile arasındaki korelasyonun büyük bir kısmının,

bu değişkenlerin arasındaki korelasyonun , , .... gecikmelerine sahip

olması nedeni ile olduğu ifade edilmektedir. Bu korelasyonları düzeltmek amacı ile

hesaplanan kısmi otokorelasyon katsayıları durağan bir değişkenin t ve t-k gibi iki

farklı dönemde birbirleri ile olan ilişkisini yani ve arasındaki ilişkiyi bu

zaman dönemleri arasında kalan diğer tüm dönemlerdeki t-1, t-2, ..... gibi

gecikmeleri dışlayarak veya sabit tutarak ortaya koymaktadır.

ty kty −

1ty − 2ty − 1kty +−

ty kty −

36 k gecikme için

hesaplanan kısmi otokorelasyon katsayıları, kısmi otokorelasyon fonksiyonunu

oluşturmaktadır.

Kısmi otokorelasyon katsayıları aşağıdaki formüllerle hesaplanmakta ve

gerekli testler yapıldıktan sonra otoregressif modellerin derecesi belirlenmektedir.37

1kk ρ=ρ 1k = ise

( )(

( )( )

)

∑

∑−

=−

−

=−−

ρρ−

ρρ−ρ=ρ 1k

1jjj,1k

1k

1jjkj,1kk

kk

1 ,.....3,2k = ise

jk,1kkkj,1kkj −−− ρρ−ρ=ρ 1k,.......2,1j −=

Burada,

; k dönem gecikmeli otokorelasyon katsayısı, kρ

; k dönem gecikmeli iki zaman serisi arasındaki kısmi otokorelasyon

katsayısıdır.

kkρ

Örneğin k=2 ve k=3 için kısmi otokorelasyon katsayıları aşağıda gösterildiği

gibi hesaplanabilmektedir.

35 Orhunbilge, a.g.e., s.140. 36 Akgül, a.g.e., s.23. 37 Orhunbilge, a.g.e., s.146.

41

( )( )

( )( ) 111

111212

1jjj,12

j2

12

1jj,122

22 11 ρρ−ρρ−ρ

=ρρ−

ρρ−ρ=ρ

∑

∑−

=−

−

−

=−

11221121 ρρ−ρ=ρ

( )( )

( )( )( )( )222121

122221313

1jjj,13

13

1jj3j,133

33 11 ρρ+ρρ−ρρ+ρρ−ρ

=ρρ−

ρρ−ρ=ρ

∑

∑−

=−

−

=−−

Kısmi otokorelasyon katsayılarının testi t benzeri testlere göre yapılmaktadır.

Kısmi otokorelasyon katsayılarının test istatistikleri aşağıdaki formül yardımıyla

hesaplanır.

n/1

t kkkk

ρ=ρ

Karar aşamasında kk

t ρ değerlerinin 2’ye eşit ve küçük mü yoksa büyük mü olduğu

araştırılır. 2’den büyük t değerlerine sahip olan kısmi otokorelasyon katsayılarının

anlamlı olduğuna diğer durumlarda ise anlamsız olduğuna karar verilmektedir.38

Bütünleşik Otoregressif ve Hareketli Ortalama (ARIMA) yönteminin

uygulanmasında otokorelasyon fonksiyonu ve kısmi otokorelasyon fonksiyonuları;

belirleme safhasında, durağanlık sağlanması sırasında fark alma düzeyi belirlerken,

mevsim etkisi analiz edilirken, denenen modelin seçimi sırasında, tahmin sırasında

ve hata terimlerinin analizi sırasında kullanılmaktadır.39

2.2.2. Tek Değişkenli Zaman Serileri Analiz Teknikleri Tek değişkenli zaman serileri modelleri bölüm 3’te ayrıntılı olarak

anlatılacağından burada sadece isimleri anılmıştır. Tahmin için sıklıkla kullanılan tek

değişkenli modeller; en küçük kareler yöntemiyle trendin belirlenmesi, hareketli

ortalamalar, üstel düzgünleştirme yöntemi, otoregressif modeller, hareketli ortalama

yöntemi, otoregressif ve hareketli ortalama yöntemi, varyansın modellenmesinde de

koşullu değişen varyans modelleri sayılabilmektedir. 38 A.e., s.148. 39 Akgül, A.g.e., s.27.

42

2.2.3. Çok Değişkenli Zaman Serileri Analiz Teknikleri Tek değişkenli zaman serileri, bilindiği gibi kendi geçmiş değerlerinin bir

fonksiyonu olarak modellenmektedir. Fakat, bir zaman serisi kendi geçmiş değerleri

ile birlikte başka değişkenlere de bağlıdır. Yani aynı konuyla ilgili olarak, aynı anda

iki veya daha fazla özellik zaman serisi olarak gözlenebilmektedir. Örneğin

meteoroloji konusuyla ilgili olarak; sıcaklık, hava basıncı ve yağış miktarı gibi çeşitli

özellikler aynı zaman aralıkları kullanılarak birlikte ölçülmektedir. Ekonominin

gidişatıyla ilgili olarakta pek çok ekonomik değişken değeri düzenli aralıklarla

toplanmaktadır. Mesela, işsizlik oranı, eflasyon, fiyat indeksleri, ihracat, ithalat,

gelir, gider vbg. Bu değişkenlerin her birini tek tek analiz etmek yapılarını ortaya

çıkarmak ve gelecek değerlerini tahmin etmek mümkündür. Ancak bu ekonomik

değişkenler birbirleriyle çok yakın ilişkilidir. Bu ilişkinin incelenmesi geleceğe

yönelik tahmin ve politlika belirleme açısından oldukça yararlıdır.40 Bu ilişkinin

araştırılmasında akla regresyon analizi gelebilir ancak, regresyon analizindeki

bağımsız değişkenin bilinen değişken olması gerekir. Halbuki zaman serilerinde söz

konusu değişkenlerin stokastik olması ile beraber bu değişkenlerin hem kendi geçmiş

değerlerine hem de diğer değişkene bağlıdır. Dolayısıyla regresyon analizinin temel

varsayımları sağlanamamaktadır.41

Çok değişkenli zaman serilerinin analizinin temel amaçlardan biri olan

değişkenler arasındaki ilişkinin ortaya çıkarılması esnasında serilerin durağan olması

gerekmektedir. Ancak bazı durumlarda, seriler durağan olmamasına rağmen,

herhangi bir doğrusal bileşimi durağan olabilmektedir. Zaten çok değişkenli zaman

serilerinde istatistik sonuç çıkarımları bu doğrusal bileşim üzerinde yapılmaktadır.42

Bu aşamada, çok değişkenli zaman serileri analizinde sıklıkla kullanılan

koentegrasyon analizi ve vektör otoregressif modeller hakkında kısa bilgiler

verilmektedir.

40 Chris Chatfield, The Analysis of Time Series: An Introduction, Fifth Edition, Chapman&Hall, 1996, s.216. 41 Yılmaz Akdi, Zaman Serileri Analizi; Birim Kökler ve Kointegrasyon, Bıçaklar Kitebevi, Ankara, 2003, s.249. 42 A.e., s.249.

43

2.2.3.1.Koentegrasyon Analizi Durağan olmayan zaman serileri ile ekonometrik analizlerde karşılaşılan en

önemli sorun, değişkenlerin durağan olmamalarından dolayı sahte regresyona neden

olmalarıdır. Bundan dolayı analizlerde elde edilen t, F vb. test sonuçları gerçekte

anlamlı olmadığı halde anlamlı gözükmektedir. Değişkenler arasındaki gerçek

ilişkiyi ortaya koyabilmek için serilerin durağan hale getirilmesi gerekmektedir.

Genellikle zaman serilerinin birinci ve ikinci farkları alındığında durağan hale

gelmektedir. Serinin logaritması alınarak veya logaritmik farkı alınarakta durağanlık

sağlanmaktadır. Ancak bu fark alma işlemleri sırasında serideki geçmiş dönemlere

ait şokların etkisi ve uzun dönemli ilişkilerin ortadan kalkmasına neden olmaktadır.

Koentegrasyon analizi ekonomik değişkenler arasında uzun dönem denge

ilişkisinin varlığının saptanmasında ve test edilmesinde kullanılmaktadır. ve

durağan olmayan iki zaman serisi olmak üzere;

tx ty

ttt exy +β+α=

ttt xye β−α−=

modeli kurulduğunda değişkenler arasında sahte regresyon sonucu çıkmaktadır.

Böyle bir durumda t ve F istatiklerinin sonuçları güvenilir değildir. Her iki seride

birinci dereceden entegre iseler yukarı doğru eğilim gösteren rassal yürüyüş sürecine

sahip olmaktadırlar.

, ve ’nin doğrusal bir kombinasyonu olup, dengesizlik hatası olarak

isimlendirilmektedir. Engle ve Granger ve arasında uzun dönem ilişki

mevcutsa bu dengesizlik hatasının nadiren sıfır çizgisinden uzaklaşacağını,

çoğunlukla da bu sıfır çizgisini keseceğini belirtmektedirler.

te ty tx

ty tx

43 Dengesizlik hatası

sıfır çizgisi üzerinde devamlı dalgalanan bir çizgidir. Eğer değişkenler arasında uzun

dönemli bir ilişki sözkonusu ise dengesizlik hatası durağan bir zaman serisi olacaktır.

ve ’nin doğrusal bileşimi durağan ise bu iki seri birbirleyle koentegre olmakta

ve β bu koentegrasyonu gerçekleştiren parametredir.

ty tx44

43 Thomas, A.g.e., s.424. 44 Göktaş, Özlem Teorik ve Uygualamalı Zaman Serileri Analizi, Beşir Kitabevi, İstanbul, 2005, s.113.

44

Durağan olmayan birden fazla ekonomik zaman serisinden bir model kurmak

oldukça zordur. Koentegrasyon analizi bu soruna bir çözüm üretmektedir. Analize

ilişkin test ve tahmin yöntemlerini tek denklemli modeller (Engle-Granger İki

Aşamalı Koentegrasyon Yöntemi) ve denklemler sistemine sahip modeller (Johansen

Koentegrasyon Yöntemi) olarak iki gruba ayırmak mümkündür. Koentegrasyon

ilişkisi tek denklemli modellerde en küçük karelere, denklem sistemine sahip

modellerde ise en çok çok benzerlik yöntemine dayanmaktadır.

Koentegrasyon yönteminde;

- Koentegrasyon durağan olmayan değişkenlerin bir doğrusal bileşimidir.

- Bütün değişkenler aynı dereceden entegre olmalıdır. Değişkenlerin

durağanlık dereceleri faklı ise koentegre olamazlar.

- Koentegrasyonu gerçekleştiren vektör sayısı modelde yer alan

değişkenlerin sayısının bir eksiği ile belirtilmektedir.

2.2.3.1.1. Engle-Granger’ın İki Aşamalı Koentegrasyon Yöntemi

Yöntemin ilk aşamasında ve değişkenlerinin durağan olup olmadıkları

ve kaçıncı dereceden durağan oldukları araştırılmaktadır. Durağanlığın

araştırılmasında Dickey-Fuller, Genelleştirilmiş Dickey-Fuller veya Phillips-Perron

birim kök testleri kullanılabilmektedir.

ty tx

45 Her iki serinin seviyelerinde durağan değil

ancak, durağanlık derecelerinin aynı (örneğin 1.dereceden durağan) olduğuna karar

verildikten sonra, ttt exy +β+α= regresyon denklemi en küçük kareler yöntemiyle

elde edilir. Regresyon denkleminin hata terimi olan ’nin durağan olup olmadığı

birim kök testleri yardmıyla test edilir. Eğer hata terimi seviyesinde durağan ise bu

iki değişken koentegredir.

te

Yöntemin ikinci aşamasında hata düzeltme modeli belirlenmektedir. Bu

model ekonomik bir değişkenin kısa ve uzun dönem ilişkilerini uyumlaştırma aracı

olmaktadır. Regresyon denkleminden elde edilen hata terimleri hata düzeltme

modelinde kullanılmaktadır. Böylece değişkenler arasındaki uzun dönemli ilişki saklı

tutularak kısa dönemde meydana gelen dinamik ayarlamalar tahmin edilmektedir.

45 Ayrıntı için, Enders, Walter, Applied Econometric Time Series, John Wiley&Sons Inc., 1995.

45

Modelde yer alan iki değişken ve arasında uzun dönemde bir denge ilişkisi

olabilmekte, fakat kısa dönemde dengesizlik ortaya çıkabilmektedir.

ty tx46 Hata düzeltme

modelinde ve değişkenlerinin fark serileri ve ’nin ise gecikmeli değerleri

yer almaktadır. Buna göre hata düzeltme modeli,

ty tx te

t1t2t10t uexy +α+Δα+α=Δ −

şeklinde yazılabilir. , beyaz gürültü serisidir. tu 2α katsayısı uyarlama hızı olup

istatistik olarak anlamlı olduğunda bağımlı değişkende meydana gelen dengesizliğin

bir dönem sonra hangi oranda düzelebileceğini göstermektedir. İşareti + ise dengeden

uzaklaşma, - ise sapma uzun dönem değerine yaklaşmaktadır.

2.2.3.1.2. Johansen Koentegrasyon Yöntemi Engle-Granger yöntemi, hesaplanması ve uygulanması kolay bir yöntemdir.

Ancak bazı eksiklik ve güçlüklere sahiptir. Analizde yer alan her bir değişkene

ilişkin farklı denklemler tahmin edildiğinde (örneğin gibi),

değişkenin birine ilişkin eşitlikte koentegrasyon ilişkisine rastlanırken, diğer

değişkene ilişkin eşitlikte böyle bir ilişki gözlenmeyebilir. Bu durum değişkenler

arasında ilişkide bir belirsizlik yaratmaktadır. Ayrıca analizdeki değişken sayısı

arttıkça sözkonusu belirsizlikle yine karşılaşılmaktadır. Sözkonusu belirsizlikleri

ortadan kaldırmak amacıyla Johansen tarafından çoklu koentegre vektörlerini tahmin

eden ve en çok benzerlik yöntemine dayanan bir yöntem geliştirmiştir.

ttt eyx +β+α=

47

Johansen yönteminde, , n adet içsel değişken vektörünü göstermek üzere k

gecikme için sınırlandırılmamış bir vektör otoregressif modeli (VAR) yazılabilir.

tX

tktk1t1t eXA.......XAX +++= −−

Modelde, (nx1) boyutunda ve her bir (nxn) boyutunda katsayılar matrisidir.

Bu tip VAR modellerle; değişkenler üzerinde herhangi bir yapısal kısıtlama veya

değişkenler arasında dışsallık ayırımı yapmadan, değişkenler arasındaki dinamik

ilişkiler belirlenebilmektedir. Gecikmeli değerlerin yer aldığı ve durağan olmayan

tX iA

46 Göktaş, A.g.e., s.149. 47 Hilal Bozkurt, Zaman Serileri Analizi, Ekin kitabevi, Bursa, 2007, s.116.

46

tX vektörünün birinci derece farkı alındıktan sonra VAR modelinin aşağıdaki

formuna ulaşılır. 48

tkt1kt1k1t1t eXX.....XX +Π+ΔΓ++ΔΓ=Δ −+−−−

Denklemde,

( )i1i A.....AI −−−−=Γ , 1k,......,1i −=

( )k1 A.....AI −−−−=Π

şeklindedir. Bu gösterimde; iΓ , ’deki kısa dönem değişmeler, , ise ’deki

uzun dönem değişmeler hakkında bilgi vermektedir.

tX Π tX

Π katsayılar matrisi olup rankı

koentegre vektör sayısını vermektedir. Π matrisi;

β′α=Π

biçiminde yazılabilir. matrisi, koentegre vektör sayısı, β′ α matrisi ise değişkenlerin

uzun dönem dengesinden sapmaların düzelme hızını göstermektedir.49

2.2.3.2. Vektör Otoregresyon Modelleri Ekonominin karmaşık yapısı içinde ekonomik ilişkileri tek denklemli

modellerle açıklamak güçtür. Tek denklemli modeller bir sebep-sonuç ilişkisini

gösterir ve ilişki bağımsız değişkenden bağımlı değişkene doğrudur.50 Halbuki

ekonomik değişkenler karşılıklı ve sürekli olarak birbirlerini etkilemektedirler. Bu

nedenle herhangi bir ekonomik değişkeni bağımlı, onu etkileyebilecek diğer

değişkenleri bağımsız değişken olarak ele almak yeterli olmayabilir. Çünkü karmaşık

yapı nedeniyle bağımlı değişken, bağımsız değişken veya değişkenlerin nedeni

olabilmektedir. Bu nedenle değişkenlerin tek denklemli modeller yerine eşanlı

denklem sistemleri ile incelenmesi gerekmektedir.51

Eşanlı denklem sistemlerinde, içsel-dışsal (bağımlı-bağımsız) değişken ayrımı

gibi güçlüklerin çözümüne yönelik olarak vektör otoregressif modeller (VAR)

48 Richard Harris ve Robert Sollis, Applied Time Series Modelling and Forecasting, John Wiley&Sons Ltd, 2003, s.110. 49 A.e., s.110. 50 Şahin Akkaya ve M.Vedat Pazarlıoğlu, Ekonometri II, Erkam Matbaacılık, 2.Baskı, 1998, s.220. 51 Bozkurt, A.g.e., s.75.

47

geliştirilmiştir.52 VAR analizi değişkenler arasındaki karşılıklı ilişkileri ortaya

çıkarmak amacıyla kullanılmaktadır. VAR yöntemi, modelde yer alan değişkenlerin

tümünü içsel kabul eder ve önceden elde edilen bilgilere veya teoriye dayanarak

oluşturulan sınırlayıcı şartları içermez. Bu yöntemde her bir değişken kendisinin ve

diğer değişkenlerin gecikmeli değerleri regresyona tabi tutulur. Gecikme uzunluğu

hesaplamalar açısından sorun yaratmayacak kadar küçük, fakat hata terimleri

arasında otokorelasyona sebep olmayacak kadar da büyük bir sayı olarak

belirlenmektedir.53

ve birbirinde etkilenen, iki değişken olmak üzere aşağıdaki denklem

sistemi yazılabilir.

ty tx54

xt1t221t21t2120t

yt1t121t11t1210t

exyyxexyxy+γ+γ+β−β=

+γ+γ+β−β=

−−

−−

Denklemde;

- ve serileri durağan, ty tx

- ve sırasıyla yte xte yσ ve xσ standart sapmalarına sahip ve birbirleriyle

korelasyon ilişkisi olamayan beyaz gürültü terimleridir. Yukarıdaki denklem sistemi

birinci dereceden vektör otoregressif (VAR) modelidir. Çünkü model değişkenlerin

sadece ilk gecikmeli değerlerini barındırmaktadır. Denklem sistemindeki; 12β− ,

’deki birim değişmenin ’ye etkisini, tx ty 21γ ise ’deki birim değişmenin ’ye

etkisini göstermektedir. ve değişkenleri ve üzerindeki yenilenmeler

veya şoklar olarak anlaşılabilir. Şayet ikinci denklemde

1ty − tx

yte xte ty tx

21β sıfırdan farklı ise,

’nin üzerinde dolaylı etkisi, ilk denklemdeki ’nin katsayısı sıfırdan farklı

ise ’nin üzerinde ’in dolaylı etkisi var demektir.

yte tx tx

ty xte

Yukarıdaki denklem sisteminde ’yi ve ise ’yi doğrudan

etkilediğinde bu denklemlere yapısal veya eşanlı denklemler denmektedir.

ty , tx tx ty55 Bu

52 Recep Tarı ve Hilal Bozkurt, Türkiye’de İstikrarsız Büyümenin VAR Modelleri İle Analizi, İstanbul Üniveristesi İktisat Fakültesi İstatistik ve Ekonometri Dergisi, Sayı:4, 2006, s.13. 53 Nihal Kargı ve Harun Terzi, Türkiye’de İMKB, Enflasyon, Faiz Oranı ve Reel Sektör Arasındaki Nedensellik İlişkilerinin VAR Modeli ile Belirlenmesi, İMKB Dergisi, Yıl:1, Sayı:4, Ekim-Aralık 1997. 54 Walter Enders, Applied Econometric Time Series, John Wiley&Sons Inc., 1995.

48

denklemleri daha kullanışlı hale getirmek amacıyla indirgenmiş kalıp (reduced

form), yani ve ’nin birbirlerini eşanlı olarak etkilemedikleri denklemlere

dönüştürülmelidir. Bu dönüşümü matris işlemleri kullanarak aşağıdaki şekilde

yazabiliriz.

tx ty

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γγγγ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ββ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β

β

−

−

xt

yt

1t

1t

2221

1211

20

10

t

t

21

12

ee

xy

xy

11

olmak üzere, bu matrisleri daha kısa ifade etmek istersek,

t1t10t ezBz +Γ+Γ= −

şeklinde olur. Burada;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β

β=

11

B21

12

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

t

tt x

yz ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

xt

ytt e

ee

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡γγγγ

=Γ2221

12111 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ββ

=Γ20

100

olur. Denklemin her iki tarafını ile çarpıldığında aşağıdaki denklem elde

edilir.

1B−

t1t10t uzAAz ++= −

01

0 BA Γ= − 11

1 BA Γ= −t

1t eBu −=

Yukarıdaki denklemde; , 2x1’lik matrisi, , 2x2’lik matrisi göstermek

üzere, sözkonusu denklem aşağıdaki gibi denklem sistemine dönüştürülebilir. Bu

yeni denklem sistemi standart VAR modeli olarak bilinir.

0A 1A

t21t221t2120t

t11t121t1110t

uxyxuxyy

+α+α+α=+α+α+α=

−−

−−

Standart VAR modelindeki hata terimleri sıfır ortalama, sabit varyansa sahip olup

aralarında korelasyon bulunmamaktadır.

55 Kutlar, A.g.e., s.334.

49

3. TEK DEĞİŞKENLİ ZAMAN SERİLERİ ANALİZ TEKNİKLERİ Zaman serileri analizine geçmeden önce seride eksik gözlem olup olmadığı

araştırılmalı, eğer seride eksik gözlem varsa bu eksik gözlemin tamamlanması

gerekmektedir. Eksik gözlem tamamlandıktan sonra seri değerleri para birimi ile

ifade edilmiş ise deflate işlemi ile sabit fiyatlara dönüştürülmelidir. Deflate işlemi

özellikle yüksek enflasyonun yaşandığı ülkelerde, serideki gerçek değişimi

belirlemek açısında çok önemlidir. Seriyi daha basit ve yorumlanabilir bir şekilde

modelleyebilmek için gerektiğinde seri değerleri üzerinde bazı matematik

dönüşümler yapılabilmektedir.

3.1. Serilerin Analize Hazırlanması

3.1.1. Eksik Verilerin Tamamlanması Kesikli zaman serilerinde gözlem değerlerinin eşit aralıklarla derlenmesi

gerekmektedir. Bu özellikten dolayı sıklıkla zaman serilerinde eksik gözlem

problemi yaşanabilmektedir. Eksik verilerle zaman serileri analizinin yapılması

özellikle yorum sırasında bazı sorunlara neden olabilmektedir. Bu nedenden dolayı

analize başlamadan önce eksik gözlemlerin seriye uygun bir yöntemle tahmin

edilmesi gerekmektedir. Eksik verilerin tahmin edilmesinde serinin ortalaması,

hareketli ortalama işlemi, bir önceki dönem verisinin kullanılması ve regresyon

analiziyle eksik verinin tahmin edilmesi olarak 4 farklı yaklaşım vardır.1

Serinin ortalaması yaklaşımında zaman serisinin ortalaması eksik gözlem

yerine kullanılmaktadır. Serinin ortalaması hesap edilirken eksik gözlem hesaba

katılmamaktadır. Serideki eksik gözlem için merkezi hareketli ortalama yöntemi de

kullanılmaktadır. Burada eksik gözlemden önce ve sonra eşit sayıdaki dönemin

ortalaması alınmaktadır. Seride fazla dalgalanma yoksa ortalamaya dahil edilen

dönem sayısı 2-4 civarında tutulabilir.2 Bir diğer yaklaşım bir önceki dönem

değerinin eksik gözlem yerine kullanılmasıdır. Eksik verilerin tamamlanmasında

kullanılan regresyon yönteminde ise trend denklemi elde edilerek eksik gözlem

tahmin edilmektedir.

1 Kadılar, A.g.e., s. 44. 2 A.e., s. 45.

50

3.1.2. Serilerin Düzenlenmesi ve Dönüştürme İşlemleri Zaman serileri analizine geçmeden önce seri değerlerinin üzerinde bazı

düzenlemeler veya dönüşümler yapılması daha basit ve yorumlanması daha kolay

olan tahmin modelinin elde edilmesi açısından önemlidir. Veriler üzerinde

logaritmik, karekök vb. matematik dönüşümler, takvim etkisine bağlı olarak seride

görülen dalgalanmayı ortadan kaldırmak için yapılan düzenlemeler ve nüfus

değişmelerinden ve enflasyondan kaynaklanan etkileri seri üzerinden kaldırmak için

yapılan düzenlemeler olmak üzere üç çeşit dönüştürme ve düzenleme vardır.3

Eğer zaman serilerinde veriler değer olarak para birimi ile ifade edilmiş ise

fiyat değişmelerinin etkisinin de giderilmesi gerekir. Zira incelenen değişkende bir

gelişme olmadığı halde fiyat artışları gelişme olduğu kanısını uyandırabilir. Bunun

için analize geçmeden önce serideki fiyat değişmlerini gidermek, başka bir deyimle

verileri sabit fiyatlara çevirmek gerekir. Fiyat değişmelerinin etkisini gidermek için

en çok tüketici fiyat indeksi ve üretici fiyat indeksinden (eski adıyla toptan eşya fiyat

indeksi) yararlanılır. Tüketici fiyat indeksi reel ücretlerin bulunmasında, üretici fiyat

indeksi ise diğer fiyat ayarlamalarının yapılmasında kullanılır.4 Cari fiyatlardan sabit

fiyatlara dönüştürme işlemine genel olarak deflate işlemi adı verilmektedir. Genel

olarak deflate işlemi aşağıdaki gibi yapılmaktadır.

100xDeflatör

FiyatCariFiyatSabit =

Takvim düzeltmeleri: Zaman serisindeki bazı değişkenliklerin nedeni

aylardaki gün sayısından kaynaklanabilir. Bunu için zaman serisinde gün sayısına

göre ayarlama yapmak gerekebilir. Bilindiği gibi her aydaki gün sayısı ve işgünü sayı

eşit değildir. Dolayısıyla zaman serisinin analizine geçmeden önce serideki değerler

düzeltilerek seri farklı gün sayısına sahip ay etkisinden ve farklı işgünü etkisinden

arındırılmalıdır. Farklı gün sayısına sahip ay etkisinden;

3 Spyros Makridakis, Steven C. Wheelwright ve Rob J. Hyndman, Forecasting Methods and Applications, Third Edition, John Wiley&Sons.Inc., 1998, s.63. 4 Orhan İdil, Yönetimde İstatistik Teknikler ve Örnek Olaylar, İstanbul Üniversitesi Basımevi ve Film Merkezi Müdürlüğü, III.Baskı, İstanbul, 1994, s.88-89.

51

sayıgünaydakit

12/25,365ysayıgünaydakit

sayıgünortalamaaydakibiryW ttt ×=×=

farklı işgünü etkisinden

sayıisgunuaydakitişşgünüortalamaaydakibiryW tt ×=

şeklinde ayarlama yapılır.

Zaman içerisinde serideki dalgalanmaların boyutu artış gösteriyorsa seriye

matematik dönüşüm uygulamak uygun bir yaklaşım olmaktadır. Seri değerlerinin

karekökünü almak matematik dönüşümlerden biridir. Seriye uygulanan karekök

dönüşümü ile serideki dalgalanmaların boyu azaltılamakta böylece tahmin modelinin

elde edilmesi kolaylaşmaktadır. Pek çok matematik dönüşüm olmakla birlikte

uygulamada karekök ve logaritmik dönüşümler yaygın olarak kullanılmaktadır.

Karekök dönüşüm, Kübik dönüşüm, logaritmik dönüşüm ve negatif ters dönüşüm

olmak üzere matematik dönüşümler vardır. Karekök dönüşümden negatif ters

dönüşüme doğru gidildikçe seride dalgalanmalar hızla azalar. Dönüştürülmüş veri ile

yapılan tahminler ters dönüştürme işlemiyle orijinal verilerin tahmini haline

getirilir.5

3.2. Bileşenlere Ayırma Yöntemi Daha öncede belirtildiği gibi bir ekonomik zaman serisinin trend (T), mevsim

(M), Konjonktür(K) ve Arizi faktörler(A) olmak üzere dört bileşeni vardır.

Konjonktür ve mevisimin etkisi seri değerlerinin dalgalanması, yani devrelerin

tekrarlanması şeklinde olduğundan bunların ikisine birden devri hareketler adı da

verilmektedir.6 Bileşenlere ayırma yönteminde amaç, tahmin edilemeyen arızi

faktörler dışındaki bileşenlerin tahmin edilmesi veya incelenmesi, daha sonra bu

tahmin ve incelemelerin birleştirilmesidir. Zaman serisi verileri bu dört bileşenin

toplamı veya çarpımı olarak ifade edilmektedir ve aşağıdaki biçimde

gösterilmektedir.

5 A.e., s.63-66 6 Gürtan, A.g.e., s.422.

52

A (Bileşenlerin toplamı) KMTyt +++=

A (Bileşenlerin çarpımı) .K.M.Tyt =

Çarpım şeklindeki modelde ana değer trenddir. Toplam şeklindeki modelde

ise her bileşen ’nin bir kısmını oluşturur. Toplam şeklindeki modelde bileşenlerin

birbirini etkilemediği kabul edilir. Çarpım modelinde bu varsayım sözkonusu

değildir. Konjonktür ve mevsim bileşenleri trendin birer fonksiyonudurlar. Toplam

modelde trend artınca mevsim bileşeni sabit kalır. Çarpım modelinde ise mevsim

bileşeninin trende oranı sabit kalır. Bu özellikler göz önünde tutulduğunda toplam

modelin bazı hallerde kullanılabileceği, ancak çarpım modelinin genel olarak

ekonomik zaman serilerine daha uygun olacağı kabul edilmektedir.

ty

7

Aylık veya üçer aylık serilerde bu dört bileşenin etkisi görülürken, yıllık

serilerde mevsim bileşeninin etkisi yoktur. Dolayısıyla yıllık seriler için yukarıdaki

gösterimde M bileşeni yer almayacaktır. Bu bileşenlerden trend mutlak değer olarak

ifade edilirken, diğer bileşenler yüzde cinsinden gösterilmektedir.

Bileşenlere ayırma yönteminde öncelikle trend belirlenir. Trendin

belirlenmesiyle; değişkenin geçmiş dönemdeki değişmeleri, serideki diğer

bileşenlerin etkisi ortaya çıkarılabilmekte ve planlama için gerekli olan bilgiler

tahmin edilebilmektedir. Trendin belirlenebilmesi için 10-15 yıllık veri

gerekmektedir.

3.2.1. Hareketli Ortalamalarla Trendin Belirlenmesi Bir zaman serisinde mevsim etkisi ve düzensiz hareketler baskın ise, serinin

genel eğiliminin belirlenebilmesi için hareketli ortalamalar yöntemi kullanılmaktadır.

Böylece seri mevsim etkisinden ve düzensiz hareketlerden arındırılmakta ve serinin

genel eğilimi ile konjonktür etkisi ortaya çıkarılmaktadır. Hareketli ortalama

yöntemlerinde tahmini değer k dönemin ortalaması alınarak hesaplanmaktadır.

Yöntem, her yeni gözlem eklendiğinde eski değerin hesaplamadan çıkarılması ve

yeni değerin katılması ile ortalama değerin hareketli olarak hesaplanmasına

dayanmakta ve böylece k değeri her zaman sabit kalmaktadır.

7 İdil, A.g.e., s.87.

53

Hareketli ortalamaya esas olacak k dönem sayısı belirlenirken; zaman

serisindeki önemli dalgalanmaları gözden kaybetmeyecek bir düzgünleştirme

sağlamalı ve aynı zamanda çok veri kaybına neden olmamalıdır.8 Devri hareketlerin

yani konjonktür ve mevsimden ileri gelen dalgalanmaların seriden arındırılabilmesi

için hareketli ortalamaların dalga uzunluğuna eşit sayıda değer üzerinden

hesaplanması gerekir. Dalga uzunluğunun belirlenmesi için serinin grafiği çizilerek

birbirini takip eden iki minimum veya iki maksimum nokta arasındaki uzaklık

belirlenir. Bütün dalgalar eşit uzunlukta ise dalga uzunluğu kadar değer üzerinden

hareketli ortalama değeri hesaplanır. Ancak pratikte dalgaların hep aynı uzunlukta

olması nadir rastlanan bir durumdur. Konjonktür dalgalanmaları çok defa farklı

uzunluktadır. Hareketli ortalama için bu farklı dalga uzunluklarının ortalaması

kullanılır.

Aylık serilerde hareketli ortalamalarla trend hesaplanırken, aylık serilerin

hem mevsim hem de konjonktür etkisini taşıdığı dikkate alınmalıdır. Bu sebeple

aylık verilere 12 şerli hereketli ortalama uygulanarak önce mevsim etkisi giderilir.

Mevisim etkisi giderilmiş seriye bu defa konjonktür dalga uzunluğunda hareketli

ortalamalar ugulanarak iki aşamada trende ulaşılır.9

Hareketli ortalamalar Merkezi Hareketli Ortalamalar (Centered Moving

Average) ve Basit Hareketli Ortalamalar (Simple Moving Average) olmak üzere iki

farklı şekilde hesaplanmaktadır.

3.2.1.1. Merkezi Hareketli Ortalama Merkezi hareketli ortalama yönteminde k dönemin ortalaması alınmakta ve

bulunan ortalama, ortalaması alınan dönemin tam ortasındaki tarihteki trend

değerinin tahmini değeri olarak kullanılmaktadır.

( )k

y...yyy...yy 2/)1k(t1tt1t2/)1k(t

t−++−−− ++++++

=′

k; ortalamaya giren dönem sayısı

ty′ ; tahmini trend değeri (k dönemin tam ortasındaki değerinin tahmini) ty

8 Işıl Akgül, Geleneksel Zaman Serisi Yöntemleri, Der Yayınları, İstanbul, 2003, s.84-85. 9 Gürtan, A.g.e., s.422.

54

Merkezi hareketli ortalamalar yönteminde seçilen dönem sayısı tek ise serinin

başından ve sonundan (k-1)/2, çift ise k/2 kadar dönemin tahmini

yapılamamaktadır.10 Örneğin 4 erli hareketli ortalama hesaplamak istediğimizde

serinin başından iki, sonundan iki döneme ait tahmin yapılamamaktadır. t=3 için

tahmin yapılmak istendiğinde t=1 ve t=5 dönemlerine ait gözlemlerin yarısı ile t=2,

t=3 ve t=4 dönemlerinin gözlem değerleri hesaba katılmaktadır. Basit hareketli

ortalama yönteminde t döneminin tahmini değeri bulurken geçmiş dönem değerleri

kulllanılırken, merkezi hareketli ortalama yönteminde t döneminden hem önceki hem

de sonraki dönem değerleri kullanılmaktadır.

3.2.1.2. Basit Hareketli Ortalama Zaman serilerinin grafiğinde dalgalanmalar gözlemlendiğinde serinin trendini

ortaya çıkarmak için basit hareketli ortalamalar kullanılmaktadır.11 Basit hareketli

ortalamalarla trend değerlerinin tahmini,

( )k

y..................yyyy 1kt2t1tt

1t+−−−

+

++++=′

şeklinde hesaplanmaktadır.12 Burada,

k; ortalamaya giren dönem sayısı

1ty +′ ; henüz gerçekleşmemiş trend değerinin tahmini 1ty +

Basit hareketli ortalama yönteminde şimdiki dönemle birlikte geçmiş k

dönemin ortalaması gelecek dönem tahmini olarak kullanılmaktadır.

3.2.2. En Küçük Karelerle Trendin Belirlenmesi Trend serinin uzun dönemki genel eğilimini göstermektedir. Bu eğilim zaman

içinde yukarı yönlü veya aşağı yönlü bir hareket olarak görülebilmektedir. Serinin

trendinin13, yani trendi tanımlayan parametrelerin14 zaman içinde değişmiyor olması

durumunda regresyon analizi kullanılabilir. Bunun için zaman serisi zamanın bir

fonksiyonu olarak yazılmakta ve fonksiyonel ilişki, 10 Orhunbilge, A.g.e., s.12 11 Akgül, A.g.e., s.86-87. 12 Orhunbilge, A.g.e., s.12. 13 Kadılar, A.g.e., s. 96. 14 Akgül, A.g.e., s. 41.

55

)e,t(fy tt =

şeklinde gösterilmektedir. Denklemdeki t zamanı göstermekte ve zaman; ay, mevsim

veya yıl olabilmektedir. Böylece regresyon analizindeki bağımsız değişkenin yerini

zaman almaktadır. ise tahmin hatalarıdır. te

Fonksiyon yazılmadan önce serinin grafiği çizilir. Böylece serinin zaman

içindeki eğilimi hakkında ön bir fikir elde edilerek seriye uygun fonksiyon tipi

belirlenmeye çalışılır. Ayrıca fonksiyon tipi belirlenmeye çalışılırken, zaman

serisinin grafiğini incelemenin yanında ilk farklar ( )1tt yy −− serisinin grafiği de

incelenebilir. İlk farklar serisinin grafiği incelendiğinde fark serisinin trendi yoksa

doğrusal modelin, ilk farklar serisinin trendi varsa eğrisel bir modelin uygun

olduğuna karar verilmektedir.15 Doğrusal, Eğrisel ve Üstel trend fonksiyonları

uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadırlar. Elbetteki daha üst dereceden trend

fonksiyonları da düşünülebilir. Ancak çok üst dereceden fonksiyonlar trendi değil

konjonktür ve arızi faktörlerin etkisini ortaya çıkaracaktır.16

Zaman serisinin eğilimi doğrusal veya eğrisel olabilir. En küçük kareler

yöntemiyle çeşitli fonksiyonlar denenerek tahmin hatalarının kareleri toplamları

karşılaştırılır. Hata kareleri toplamı en küçük olan fonksiyon

trend fonksiyonu olarak seçilmektedir.

(∑ ∑= =

′−=n

1t

n

1t

2tt

2t yye )

)

17 Bu fonksiyon yardımıyla elde edilen tahmin

değerleri , gözlem değerlerine ( ty′ ( )ty en yakın değerler olacağından hata kareleri

( )2te toplamı da minimumdur.

3.2.2.1. Doğrusal Trend Fonksiyonu Zaman serisinin grafiğinde verilerin görünümü aşağı veya yukarı yönlü düz

bir çizgi şeklindedir. Başka bir deyişle serinin değerleri zaman içinde daima aynı

oranda artmakta ya da azalmaktadır. Doğrusal trend fonksiyonu,

tt ebtay ++=

15 A.e., s. 43. 16 Orhunbilge, A.g.e., s. 20. 17 A.e., s.21.

56

şeklinde gösterilmektedir. Modelde gözlem değerlerini, a modelin sabiti, b

modelin eğimi ve hata terimidir.

ty

te

En küçük kareler yöntemine göre hata kareleri toplamını minimum yapacak

doğrusal trend fonksiyonun elde edilmesi için aşağıdaki ifadenin minimum yapılması

gerekmektedir. Bunun için a ve b parametrelerine göre 1. dereceden kısmi türevleri

alınıp sıfıra eşitlenir.

( ) ( ) minbtayyyen

1t

n

1t

n

1t

2t

2tt

2t ⇒−−=′−=∑ ∑ ∑

= = =

Türevler alınıp sıfıra eşitlendikten sonra gerekli düzenlemeler yapıldığında normal

denklemleri adı verilen aşağıdaki denklem sistemine ulaşılır.

∑∑∑∑∑+=

+=2

t

t

tbtayt

tbnay

Denklem sisteminde bilenenler yerine yerleştirildikten sonra iki bilinmeyenli

denklem sistemi çözülerek doğrusal trend fonksiyonun parametreleri olan a ve b elde

edilir. Aşağıda açıklandığı üzere t’ye başlangıçtan itibaren değerler verildiğinde a

parametresi t=0 olduğunda serinin alacağı başlangıç değerini, başka bir ifadeyle trend

doğrusunun dikey ekseni kestiği noktayı gösterir. Eğer t’ye toplamları sıfır olacak

şekilde değerler verildiyse bu durumda a parametresi değişkenin incelenen

dönemdeki ortalama değerini verir. b parametresi ise her iki yöntemde de doğrunun

eğimidir. Zamanda bir birimlik değişme olduğunda seride meydana gelen değişmeyi

veya ’deki aylık, üçer aylık veya yıllık ortalama değişmeyi göstermektedir. b’nin

işareti pozitif olduğunda serinin trendinin yönün yukarı ( ’nin arttığı), negatif

işarete sahip olduğunda ise serinin trendinin yönün aşağı olduğu ( ’nin azaldığı)

anlaşılır.

ty

ty

ty

Zamanı gösteren t’ye değerler iki şekilde verilebilir. İlk olarak başlangıçtan

itibaren 0,1,2,... gibi değerler verilebileceği gibi t nin toplamını sıfır yapacak şekilde

de verilebilir. Bu yolla değerler incelenen dönem sayısı tek olduğunda ...,-2,-

1,0,1,2,... şeklinde, dönem sayısı çift olduğunda ise ...-1,5,-0,5,+0,5,1,5,... şeklinde

verilebilir. Geleceğe yönelik tahmin yapılmak istendiğinde modelin orijinin ne

olduğunun belirtilmesi gerekir. Çünkü t bu orijinlere göre değer almaktadır.

57

3.2.2.2. İkinci Derece Trend Fonksiyonu Zaman serisinin grafiği çizildiğinde verilerin görüntüsü düz çizgiye sahip

değilse, veriler için doğrusal olmayan trend fonksiyonu düşünülmelidir. Eğrisel yani

ikinci derece trend fonksiyon veriler için uygun olabilir. İkinci dereceden bir

fonksiyon aşağıdaki gibi gösterilebilir.

t2

t ectbtay +++=

İkinci dereceden bir eğride ikinci derece farklar, yani ilk farkların farkı

sabittir. Zaman serisinin ikinci dereceden farkları sabit ise seriye uygun ikinci

dereceden bir trend fonksiyonu uydurulmaya çalışılır.18

İkinci derece trend fonksiyonun en küçük kareler yöntemiyle elde edilmesi

için hata kareleri toplamını minimum yapan aşağıdaki ifadenin a, b ve c katsayılarına

göre 1.dereceden kısmi türevlerinin alınıp sıfıra eşitlenmesi gerekir.

( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

⇒−−−=′−=n

1t

n

1t

n

1t

22t

2tt

2t minctbtayyye

Türev alma işleminden sonra gerekli düzenlemeler yapıldığında aşağıdaki normal

denklemleri elde edilir.

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑∑∑

∑ ∑∑

++=

++=

++=

432t

2

32t

2t

tctbtayt

tctbtayt

tctbnay

t’ye doğrusal trend fonksiyonunda değinilen yollardan biri kullanılarak

değerleri verilir. Bu üç bilinmeyenli üç denklemde bilinenler yerleştirilip denklem

sistemi çözüldüğünde ikinci derece trend fonksiyonun parametreleri olan a, b ve c

elde edilir. a parametresi t=0 olduğunda eğrinin dikey ekseni kestiği noktayı, b

eğrinin orijindeki eğimini, c parametresi de eğimdeki değişme derecesini

göstermektedir. b ve c parametrelerinin pozitif veya negatif olması sonucunda

değişkeninin incelenen dönemde aşağıdaki eğilimleri gösterdiği ortaya çıkar:ty 19

ve ise; artan oranda artış göstermektedir. 0b > 0c > ty

ve ise; azalan oranda artış göstermektedir. 0b > 0c < ty

18 Akgül, A.g.e., s.50. 19 Orhunbilge, A.g.e., s.32.

58

ve ise; azalan oranda azalmaktadır. 0b < 0c < ty

0b < ve ise; aratan oranda azalmaktadır. 0c > ty

3.2.2.3. Üstel Trend Fonksiyonu İkinci derece trend fonksiyonunda da değinildiği gibi serinin grafiğine

doğrusal trend fonksiyonu uygun değilse, doğrusal olmayan fonksiyonlar

düşünülmelidir. Bu fonksiyonlardan biri de üstel fonksiyondur. Zaman serisindeki

değişmeler ikinci derece fonksiyondakine benzer. Seride meydana gelen değişmeler

zaman için yaklaşık olarak sabit oranlarda gerçekleştiğinde üstel fonksiyon trendi

daha iyi temsil edebilir.20 Üstel trend fonksiyonundaki trend artış hızı ikinci derece

trend artış hızından yüksektir. Bu fark son dönem gözlem verilerindeki yüksek

artışlardan ortaya çıkmaktadır. Dolayısıyla bu iki modelin tahmini değerleri

biribirinden oldukça farklı elde edilmektedir.21 t

t aby = olarak gösterilen üstel fonksiyon logaritması alınarak

blogtalogylog t += şeklinde doğrusal fonksiyona dönüştürülür. En küçük kareler

yardımıyla fonksiyonun parametreleri olan a ve b yi bulmak için aşağıdaki ifadenin

loga ve logb ye göre 1.dereceden kısmi türevleri alınıp sıfıra eşitlenir.

( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

⇒−−=′−=n

1t

n

1t

n

1t

2t

2tt

2t minblogtalogylogylogyloge

Türev alma işleminden sonra gerekli olan düzenlemeler yapılırsa aşağıdaki normal

denklemleri elde edilir.

∑ ∑∑∑ ∑

+=

+=2

t

t

tblogtalogylogt

tblogalognylog

Bu denklemleri çözmek için zaman serisinin verilerine logaritma dönüşümü yapılır

ve t’ye de daha önce bahsedildiği gibi değerler verilir. Normal denklemlerinde

bilinenler yerleştirilip çözüm yapıldığında loga ve logb değerleri elde edilir. Bu

değerlerin anti logaritmaları alınarak a ve b parametrelerine ulaşılır.

20 A.e., s.35. 21 Kadılar, A.g.e., s.114.

59

3.2.3. Doğrusala Dönüştürme Yöntemleri Serinin trendinin doğrusal değil de, eğrisel olduğunda serinin değerlerinin

logaritması, tersi (hiperbolik) veya karakökü alınarak serinin trendi doğrusala

dönüştürülebilir. Her bir dönüşüm ayrı ayrı uygulanarak, hangi dönüşümün daha

uygun olduğu belirlenmelidir. Aşağıdaki logaritmik, hiperbolik ve karekök

dönüşümlerine ait model ve normal denklemleri verilmektedir.22

Logaritmik Dönüşüm

Model xt aby = blogtalogylog t +=

Normal Denklemler ∑ ∑∑∑ ∑

+=

+=2

t

t

tblogtalogylogt

tblogalognylog

Hiperbolik Dönüşüm

Model btay1

t

+=

Normal Denklemler ∑ ∑∑

∑ ∑

+=

+=

2

t

t

tbtayt

tbnay1

Karekök Dönüşüm

Model btayt +=

Normal Denklemler ∑∑∑

∑∑+=

+=2

t

t

tbtayt

tbnay

3.2.4. Diğer Trend Fonksiyonları Bundan önce anlatılan doğrusal, ikinci derece ve üstel trend fonksiyonları

doğrusal veya doğrusala dönüştürülebilen fonksiyonlardır. Bu özelliğinden dolayı bu

modellere özünde doğrusal olan modeller denmektedir. Örneğin ikinci derece bir

fonksiyonla temsil edilebilen trend uygun dönüşümlerle doğrusala

22 Orhunbilge, A.g.e., s.77-81.

60

dönüştürülebilmektedir. Bu modeller değişkenlere göre doğrusal olmayan ancak

parametrelerine göre doğrusal modellerdir.

Özünde doğrusal olmayan modeller ise hem değişkenlerde hem de

parametrelerinde doğrusal olmayan modellerdir. Örneğin tb

1ay t ++= modeli

herhangi bir dönüşüm ile doğrusal formu elde edilemez.23 Genellikle S-eğilimli olan

bu modellerden Lojistik Eğri, Gompertz Eğrisi ve benzerleri özünde doğrusal

olmayan modellerdir. Bu tür modeller uzun dönem trendlerin tanımlanmasında

kullanılmaktadır. Bu modellerde başta hızlı bir artış, bu hızlı artışı limitte gitgide

azalan artışlar takip etmektedir. Ürün satışları ve çeşitli teknolojik gelişmeler bu tür

eğilimler gösterdiğinden özünde doğrusal olmayan modellerle temsil edilirler.24

3.2.4.1.Gompertz Eğrisi İlk olarak 1825 yılında Gompertz tarafından ölüm oranlarını hesaplamak için

geliştirilmiş olan Gompertz eğrisi biyoloji, ekonomi, aktüerya gibi pek çok alanda

büyüme eğrisi olarak kullanılmıştır. Amaca uygun olarak çeşitli şekillerde

gösterilebilen Gompertz eğrisi denkleminin bir gösterimi,

tb

t kay =

şeklindedir.25 Denklemin kısıtları 1a0 << ve 1b0 << olarak verilmektedir.26

Denkleme tahmin öncesinde logaritmik dönüşüm uygulanmaktadır.27

( ) tt balogklogylog +=

Gompertz eğrisinin parametreleri aşağıdaki formüller yardımıyla elde

edilmektedir.

12

23n

SSSS

b−−

=

23 Akgül, A.g.e., s.44-45 24 Orhunbilge A.g.e., s.41. 25 Charles P. Winsor, “The Gompertz Curve As A Growth Curve”, Proceeding of The National Academy of Sciences, Cilt:18, No:1, 15 Ocak, 1932, s.1. 26 Jack Sherman ve Winifred J. Morrison, “Simplified Procedures For Fitting A Gompertz Curve And A Modified Exponential Curve”, Journal of The American Statistical Association, Cilt:45, No:249, Mart 1950, s.87-96. 27 Orhunbilge, A.g.e., s.42.

61

( )(( )

)2n

12

1b

1bSSalog

−

−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=1b

SSSn1klog n

121

klog ; eğrinin yaklaştığı maksimum değerin logaritması,

( ) tbalog , belirli bir tarihte trend değerinin maksimum değerden düşüş

miktarı,

1S , ve ; üç alt dönemin değerleri toplamı, 2S 3S tylog

n, her alt dönemdeki yıl sayısı

t, yıllara verilen değerler.

Yukarıda logaritmik döşümü yapılmış Gompertz denkleminin parametreleri

en küçük kareler yöntemine göre de elde edilebilir. Bunun için bilinmeyen üç

parametreye (a, b, k) göre kısmi türevlerin alınmasıyla oluşturulan normal

denklemlerin çözülmesi gerekmektedir.28

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (∑ ∑∑

∑∑ ∑∑

)

∑

+=

+=

+=

t2tt

t

t2tt

t

tt

tbblogtbklogylogtb

balogbklogylogb

balogklognylog

Gompertz eğrisi trendi, logaritmaların büyüme artışlarının sabit oranda azalışı

şeklinde tanımlamaktadır.29 Gompertz eğrisi, lojistik eğriye çok benzemesine rağmen

aralarındaki önemli fark, dönüm noktası olarak adlandırılan noktadan önce

büyümenin doğrusaldan hızlı, bu noktadan sonra büyümenin doğrusaldan yavaş

olması şeklinde ifade edilmektedir. Gompertz formülasyonu eğrinin azalmasına

olanak tanımamaktadır. Bu nedenle de pazarda yeni ürün için kullanılabilen bir eğri

tipi olarak kabul edilmekte olup büyüme Gompertz eğrisinin maksimum değerine

kadar artmaktadır.30

28 Paul Matthew Stoner, “Fitting The Exponential Function And The Gompertz Function By The Method of Least Squares”, Journal of the American Statistical Association, Cilt:36, No:216, Aralık 1941, s.515-518. 29 Orhunbilge, A.g.e., s.42. 30 Akgül, A.g.e., s.66.

62

3.2.4.2. Lojistik Eğri Serilerde trendin hızlı bir büyümeden sonra düşük büyüme hızı ile devam

ettiği durumlarda söz konusu olan S-eğimli modeller, limitte gitgide azalan hızlarda

büyümeye yaklaşmaktadır. Zaman serisinin büyüme seyrinin dönem içinde

yavaşlama eğilimi göstermesi durumunda üstel modellerin uygun olmayacağı, bu

gibi seriler için S-eğilimli model olarak bilinen lojistik model kullanımı uygun

olmaktadır.31

İlk kez 1838 yılında Verhulst tarafından kullanılan lojistik model32, Pearl ve

Reed tarafından ABD nüfus büyümesini tahmin amacıyle kullanıldığında Pearl-Reed

büyüme eğrisi olarak da bilinmektedir. Tahmin amacı ile kullanılan lojistik eğri

fonksiyonu,

tt abk1y+

=

olarak ifade edilirken tersi

t

t

abky1

+=

şeklinde ifade edilmektedir. Lojistik eğri fonksiyonun doğal logaritması alındığında

btat e1ky ++

=

şeklinde yazılmaktadır. Lojistik eğrinin parametreleri aşağıdaki formüller yardımıyla

elde edilmektedir.33

12

23n

SSSS

b−−

=

( )(( )

)2n

12

1b

1bSSa−

−−=

31 A.e., s.65. 32 Clyde V. Kiser, “Lowell J. Reed (1886-1966)”, Population Index, Cilt:32, No:3, Jul.1966, p.362-365. 33 Neyran, Ag.e., s. 43

63

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=1bSSS

n1k n

121

k ; eğrinin yaklaştığı maksimum değeri,

a ; belirli bir tarihte trend değerinin maksimum değerden düşüş miktarı,

1S , ve ; üç alt dönemin değerleri toplamı, 2S 3S ty

n, her alt dönemdeki yıl sayısı

t, yıllara verilen değerler.

3.2.4.3. S Eğrileri Özellikle pazarlama alanında bir ürün tanıtımı söz konusu olduğunda büyüme

eğrisinin S-eğilimli olduğu görülmektedir. Başta ürün satışları olmak üzere çeşitli

teknolojilerin zaman serileri fonksiyonlarının S eğrisi şeklinde olduğu

gözlenmektedir. Bu nedenle genellikle ürün yaşam eğrilerinin tanımlanmasında S

eğrileri kullanılmaktadır. Bu dağılımlarda yavaş bir başlangıcı takip eden artışların

durgunlukla sonlandığı gözlenmektedir.34

S eğrilerini temsil eden pek çok matematik formun olması yöntemin

uygulanmasında bir zorluk olarak karşımıza çıkmaktadır.35 Bunların içinde yaygın

olarak kullanılan denklem, ( )t/ba

t ey −=

şeklinde olup her iki tarafın doğal logaritması alındığında;

tbayln t −=

olarak elde edilmektedir. En küçük kareler yöntemiyle denklemin parametreleri olan

a ve b yi bulabilmek için aşağıdaki denklem sisteminin çözülmesi gerekmektedir.

∑ ∑ ∑

∑ ∑

+=

+=

2t

t

t1b

t1a

tyln

t1bnayln

34 A.e., s.44. 35 Bowerman ve O’Connell, A.g.e., s.8.

64

3.2.5. Mevsim Bileşenin Belirlenmesi Zaman serilerinde mevsim bileşeni bir yıl veya daha az zaman süresinde

tekrarlanan periyodik dalgalanmalardır. Bu dalgalanmalar, değişkenin değerleri

mevsimlik ise dört mevsimde bir, aylık ise oniki ayda bir belirgin yükselişler veya

düşüşler şeklinde ortaya çıkmaktadır.36

Mevsimlik dalgalanmaların incelenmesinin üç önemli nedeni vardır.

Bunlardan birincisi kısa dönem dalgalanmalarının anlaşılması ve açıklanması,

ikincisi kısa dönem tahminlerin yapılabilmesi, üçüncüsü de zaman serilerinden

mevsim etkisinin arındırılmasıdır.37

Ekonomistler arasındaki ortak görüş, ekonomik değişkenlerdeki

mevsimselliğe üç faktörün yol açtığıdır. Bu üç faktörün ilki iklim şartlarıdır.

Sıcaklık, gündüz saatleri, yağışlı günler veya şiddetli fırtınaların olabilirliği gibi

şartlar mevsimsel etkiler yaratır. Örneğin, yaz mevsiminin başlamasıyla birlikte

tarımsal ürünlerin fiyatlarında yaşanan düşme eğilimi ortalama enflasyonunda

düşmesine yol açar ki bu tamamen mevsimsellikle açıklanır. Mevsimselliği

beraberinde getiren ikinci faktör yılbaşı, anneler günü, vergi ödemelerinin bitim

tarihi veya dini bayram tatilleri gibi üretim ve tüketim kararlarını önemli ölçüde

etkileyen, önceden bilinen, düzenli takvim olayları sayılabilir. Mevsimselliğin

kaynağı olan üçüncü faktör ise belli faaliyetlerin zamanlaması üzerinde etkili olan

sosyal eğilimlerdir. Bunu örneklendirmek için, okul çağında çocuğu olan ailelerin

tatil planlarını akademik takvime bağlı kalarak yapmalarını sayılabilir.38

Mevsimsellik çok farklı şekillerde ortaya çıkabilmektedir. Örneğin

mevsimsellik bir yılın belirli mevsimlerinde, belirli aylarında, belirli haftlarında veya

bir çeyrek yılın belirli bir ayında, belirli bir haftasında ya da bir ayın belirli bir

haftasında, belirli bir gününde veya bir haftanın belirli bir gününde nihayet bir günün

beliri saatinde ortaya çıkabilir. Belirli mevsimlerde soğuk içecek talebinin artması

veya azalması, yılın belirli aylarında veya haftalarında okulların açıldığı dönem

öncesi bazı ürünlerde talep artışları, yılın en sıcak aylarında klima gibi soğutucu

36 Orhunbilge, A.g.e., s.64. 37 A.e. 38 Füsun Deriş, “Ekonomik Zaman Serilerindeki Mevsellik ve Alternatif Modelleme Yaklaşımları”, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Öneri Dergisi, Cilt:6, Yıl:11, Sayı:22, Haziran 2004, s.305.

65

cihazların satışlarındaki artışlar, en soğuk günlerde ısıtıcı cihazların satışlarındaki

artışlar, Müslüman bir ülke için dini günler, bayramlar, ramazan ayı alışverişlerideki

artışlar, her yıl aynı günde kutlanan anneler günü, babalar günü, öğretmenler günü,

günün belirli saatlerinde telefon görüşmlerindeki artışlar gibi çok sayıda

mevsimsellik özelliğe sahip örnekler verilebilir.39

Zaman serilerinde mevsim etkisi deterministik ve stokastik olarak iki tip

halinde gözlenmektedir. Mevsim etkisinin büyüklüğü zaman içinde değişmeyip hep

sabit kalıyorsa mevsim bileşeni determistiktir. Mevsim etkisinin büyüklüğü zaman

içerisinde değişiyor ise mevsim bileşeni stokastiktir. Zaman serisinin mevsim

bileşeni stokastik olduğunda karekök, logaritma dönüşümleri yapılarak determisitk

bir bileşene dönüştürülebilir.40

3.2.5.1. Mevsim İndeksinin Hesaplanması Mevsim indeksinin (Mİ) hesaplanmasında sıklıkla kullanılan yöntem merkezi

hareketli ortalamalara oran yöntemidir.41 Veriler aylık ise 12’şerli, üç aylık ise 4’erli

merkezi hareketli ortalamalar hesaplanarak trend ve konjonktür bileşenlerini içeren

değerleri bulunur. Gözlem değerleri hesaplanan hareketli ortalama değerlerine

oranlanarak mevsim ve arızi faktör bileşenlerinin etkisi yüzde cinsinden ortaya

çıkarılır. Bu işlemler aşağıda gösterilmiştir.

ty′

100*.A.M100*.K.TA.M.K.T100*

yy

t

t ==′

Bu işlemler tüm veriler için yapılır. Her ay veya her üç ay için bulunan yüzde

değerlerin ortalaması alınır.42 Böylece mevsim indeksi değerleri elde edilmiş olur.

Merkezi hareketli ortalamayla aylık verilerde baştan altı, sondan altı olmak üzere

oniki, üçer aylık verilerde ise baştan iki, sondan iki olmak üzere dört adet gözlem

değerinin hareketli ortalama değeri hesaplanamamaktadır. Oranların ortalamaları

hesaplanırken bu durumun göz ardı edilmemesi gerekir.

39 Mustafa Sevüktekin, Mehmet Nargeleçekenler, Zaman Serileri Analizi, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 2005. s.12-13. 40 Bowerman ve O’Connell, A.g.e., s.308-311. 41 Newbold, A.g.e., s.700. 42 Bazı kaynaklarda ortalama değer alınırken hesaplanan en küçük ve en büyük yüzde değerleri ortalamaya dahil edilmemektedir.

66

Hesaplanan mevsim indeksi değerlerinin toplamının aylık veriler için 1200,

üç aylık veriler için 400 olmalıdır. Aylık verilerde mevsim indeks değerlerinin

toplamı 1200 değilse, bir düzeltme işlemi yapılarak düzeltilmiş mevsim indeks

(DMİ) değerleri bulunur.

∑=

= 12

1tMİ

1200DMİ

Veriler üç aylık ve hesaplanan indeks değerleri toplamı 400 den farklı ise

düzeltilmiş mevsim indeks (DMİ) değerleri aşağıdaki eşitlik yardımıyla elde edilir.

∑=

= 4

1t

Mİ

400DMİ

Hesaplanan mevsim indeks değeri 100’ün altındaysa mevsim etkisinin

değişken değerini azaltıcı, 100’ün üzerinde ise değişken değerini arttırıcı yönde etkisi

olmuş demektir. Mevsim indeksi 100 ise değişkenin değeri üzerinde herhangi bir

mevsim etkisinin söz konusu olmadığı anlaşılır.

Gözlem değerleri mevsim indeksine bölünüp 100 ile çarpıldığında mevsim

etkisinden arındırılmış veriler elde edilir. Mevsim etkisinden arındırılmış serideki

dalgalamalar konjonktür ve arızi faktörlere aittir.

Aylık veya üç aylık serilerde tahmini trend değerleri mevsim indeksiyle

çarpılarak tahmin değerine mevsim etkisi ilave edilir.

3.2.5.2. Kukla Değişken ile Mevsim Etkisinin Belirlenmesi Zaman serilerinde mevsim etkisinin deterministik olduğu, diğer bir ifadeyle

zaman içerisinde sabit bir seyir izlediği kabul edilmiş43 varsayıldığında mevsimsel

ilişkinin olup olmadığı kukla değişkenler yardımıyla belirlenebilir.44 Veriler üçer

aylık olduğunda,

t44332211t eDbDbDbDby ++++=

veriler aylık olduğunda,

43 Nebiye Yamak ve Rahmi Yamak, “Tüketici Fiyat Serilerinde Mevsimselliğin Türü ve Boyutu”, Uludağ Üniversitesi İİBF Dergisi, Cilt:16 No:2, 1998.s.1-10. 44 Bozkurt, A.g.e., s.17.

67

t121244332211t eDb.....DbDbDbDby ++++++=

modellerindeki katsayılar anlamlı olduğunda mevsimsel etkiyi ortaya koyacaktır.

Modellerdeki b’ler mevsim parametrelerini gösterirken, D’ler kukla değişkenlerdir.

Modelde sabit olmadığında üç aylık verilerde dört adet kukla değişken, aylık

verilerde ise oniki adet kukla değişken kullanılır. Modele sabit eklendiğinde değişken

kukla değişken sayısı üç aylık serilerde üç, aylık verilerde ise onbir olmaktadır. Sabit

ilave edilmiş model üçer aylık verilerde;

t332211t eDbDbDbay ++++=

aylık verilerde;

t1111332211t eDb.....DbDbDbay ++++++=

şeklinde yazılabilir. Üçer aylık verilerin modeldeki sabit ilk üç aya ait mevsim

etkisini gösterirken, b’ler, ikinci, üçüncü ve dördüncü üç aylık dönemdeki mevsim

etkisini ortaya çıkarmak için sabite eklenecek değeri gösterir.45 Örneğin, ikinci üç

aylık dönem için mevsim etkisi belirlenirken modelin sabiti olan a değerine ilave

edilmektedir. Aylık modelde yine benzer şekilde düşünülebilir. hata terimleri

mevsim etkisinden arındırılmış seriyi göstermektedir. Hata terimleri regresyon

varsayımlarını sağlamalıdır. Modeldeki kukla değişkenler veriler üçer aylık

olduğunda;

1b

te

1D1 = birinci üç ay

0D1 = kalan üç ay

veriler aylık ise;

1D1 = birinci ay

0D1 = kalan ay

olarak üzere kodlanarak analiz yapılır.

3.2.5.3. Kruskal-Wallis Testi Zaman serisindeki mevsim etkisi serinin grafiğinden anlaşılamadığında,

parametrik olmayan bir test olan Kruskal-Wallis testi ile serideki mevsim etkisi

45 Akgül, A.g.e., s.166.

68

ortaya çıkarılabilir.46 Bunun için serinin merkezi hareketli ortalama değerleri üç

aylık veriler için 4’erli, aylık veriler için 12’şerli olarak hesaplanır. Serinin gözlem

değerleri hareketli ortalama değerlerine bölünür ve elde edilen değerler küçükten

büyüğe doğru sıralanır. Daha sonra her üç aya veya her aya karşılık gelen sıralama

değerleri toplanır. Bulunan bu değerler aşağıdaki formül yardımıyla test

edilmektedir. Kruskal-Wallis test istatistiği;

∑ +−+

= )1N(3nR

)1N(N12KW

i

2i

Formülde;

N ; Serideki gözlem sayısı,

in ; her bir üçer ay veya her ay için sıralanan değer sayısını, 2iR ; her bir üçer ay veya her ay için sıralama değerlerinin toplamının

karesidir.

Üçer aylık veride dönem sayısı (s=4) dört, aylık veride ise dönem sayısı

(s=12) onikidir. Hesaplanan KW değeri tablo değerinden büyük ise, seride

mevsim etkisi yoktur diyen sıfır hipotezi reddelip, seride mevsim etkisinin olduğuna,

hespalanan KW değeri tablo değerinden küçük çıkması durumunda ise sıfır hipotezi

kabul edilerek seride mevsim etkisinin olmadığına karar verilir.

22/,1s α−χ

3.2.6. Konjonktür ve Arizi Faktör Bileşenlerinin Belirlenmesi Konjonktür dalgalanmaları zaman serilerinin önemli bir bileşenidir. Hem

yıllık verilerde, hem de aylık, üçer aylık gibi daha sık gözlem dönemlerinde de

görülebilir. Bu dalgalanmaların saptanması işletmelerde sektörün, ekonomide ise

sektörlerin hangi yönde hareket ettiğini, kısa dönemde sektörlerin ve işletmelerin

değerlendirilmesinde ve planlama ile kontrolde kullanılan kısa dönem tahminlerin

yapılmasına imkan vermektedir. Özellikle ekonomik zaman serilerinde gözlenen bu

dalgalanmaların kaynağı genel ekonomik şartlarda meydana gelen değişmelerdir.

Genel ekonomide yükselme, refah, kriz ve düşüş dönemleri konjonktürel dalgalanma

olarak tanımlanmaktadır. Bir konjonktür dalgasının uzunluğunu bulmak için iki refah

46 Kadılar, A.g.e., s.76.

69

veya iki düşüş dönemi arasındaki fark alınmaktadır.47 Konjonktür dalgalanmalarının

dalga uzunlukları eşit değildir.48

Ekonomik bir değişkenin trendi yükselişteyken konjonktürün de yükselmesi

trendin eğilimini arttırır. Tersi durumda, trendin artışına karşılık konjonktürdeki

düşüş trendin artış hızını yavaşlatabilir, hatta trendin negatif eğime geçmesini

sağlayabilir.49

Yıllık bir zaman serisinde değişkenin aldığı değerler, trend, konjonktür ve

arızi faktörlerin çarpımı şeklinde ifade edildiğinde buna çarpımsal model denildiğini

daha önce belirtmiş ve aşağıdaki gibi göstermiştik.

A.K.Tyt =

Yukarıdaki ifadeden açıkça göreleceği gibi konjonktür etkisi gözlem

değerinin trend değerine (trend fonksiyonu ile tahmin edilen) bölünmesiyle elde

edilir.

100*A.K100*T

A.K.T100*yy

t

t ==′

Böylece konjonktür etkisi arızi faktörlerin etkisiyle birlikte yüzde cinsinden

ortaya çıkarılmaktadır. Mevsim bileşenini de içeren serilerde (aylık, üç aylık vb.)

konjonktürün etkisini ortaya çıkarmak için gözlem değerlerinin trend ve mevsim

bileşenlerinden arındırılması gerekmektedir. Bileşenlerin çarpımı olan model

aşağıdaki gibi gösterilebilir.

A.K.M.Tyt =

Konjoktürün etkisini ortaya çıkarmak için;

100*A.K100*M.T

A.M.K.T100*M.y

y

t

t ==′

işlemleri yapılır. Bu işlemler neticesinde yüzde cinsinden bulanan değerler 100’ün

üzerinde ise konjonktür genel eğilimin üzerinde (trendi arttırıcı), 100’ün altında ise

konjonktür genel eğilimin altındadır (trendi azaltıcı).

47 Orhunbilge, A.g.e., s.70. 48 İsmail Hakkı Armutlulu, İşletmelerde uygulamalı İstatistik, Alfa Yayınları, İstanbul, 2000. s.282 49 A.e.

70

3.3. Düzgünleştirme Yöntemleri Düzgünleştirme yöntemleri ilk olarak 1950’lerin sonlarına doğru yöneylem

araştırmacıları tarafından geliştirilmiştir. Üstel düzgünleştirme yöntemlerini ilk

çalışanlar Holt, Brown ve Mageedir. Üstel düzgünleştirme yöntemlerinde en önemli

gelişmeler 1950’lerin sonu ile 1960’ların başlarındaki yayınlar olmuştur. Bu sıralarda

üstel düzgünleştirme yöntemleri hızla gelişmiş ve özellikle envanter tahminlerinde

geniş kullanım alanı bulmuştur. Düzgünleştirme yöntemlerinin geniş kullanımını

sağlayan avantajları basit ve düşük maliyetli olmalarıdır. Düzgünleştirme

yöntemlerinin uygulamada başlangıç değerlerinin belirlenmesi, optimizasyon ve

tahmin olmak üzere üç önemli aşaması vardır.50

Düzgünleştirme; haftalık, aylık, mevsimlik veya yıllık zaman serilerinin

tesadüfi veya düzgün olmayan dalgalanmalardan arındırılması anlamına gelmektedir.

Böylece serilerin içindeki gizli eğilimler ortaya çıkarılmaktadır. Dalgalanmalar bu

yöntemlerle yumuşatılmakta ve serinin genel eğilimi belirginleşmektedir.51

Örneğin bazı serilerde mevsim etkisinin çok güçlü olması trend veya

konjonktür hareketin görülmesini engelleyebilir veya karmaşık hale getirebilir. Bu

durumda düzgünleştirme yöntemlerinden biri ile mevsim etkisinden arındırılmakta

ve serinin uzun dönemdeki dalgalanmalarının açıkça görülmesi sağlanmış

olmaktadır. Mevsim etkisinin özellikleri her seride farklı olabileceğinden

düzgünleştirme yöntemleri de buna bağlı olarak değişmektedir.

İlk olarak gözlenen serinin doğrusallığı ile ilgili olarak ortaya konan

düzgünleştirme yöntemleri, zaman içinde serideki doğrusal olmamayı da kapsayacak

şekilde geliştirilmiştir. Serinin doğrusal olmaması durumunda ARIMA modellerinin

kullanılıyor olması ve kullanım sırasında karşılaşılan zorluklar, doğrusal olmayan

seriler ile ilgili çalışmaların yapılmasına neden olmuştur ve bu bağlamda

Gardner(1985) ve McKenzie(1974) tarafından önemli çalışmalar yapılmıştır.

Makridakis ve Hibon (1979), Makridakis ve diğerleri (1982), tarafından yapılan

çalışmalarda da üstel düzgünleştirme modelleri ile ARIMA modellerinin tahmin

kesinliği arasındaki farkın küçük olduğunun bulunması üzerine kullanım alanı

genişlemiştir. 50 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.g.e., s.136. 51 Orhunbilge, A.g.e., s.91.

71

Daha önce belirtildiği gibi mevsim etkisini, tesadüfi değişmelerin etkisini yok

etmek veya azaltmak için kullanılan yöntemler genel olarak düzgünleştirme olarak

adlandırılmakta; ortalama yöntemi ve üstel düzgünleştirme yöntemleri olmak üzere

iki grupta incelenmektedir.52

3.3.1. Hareketli Ortalamalar Yöntemi Trendin belirlenmesinde de kullanılan hareketli ortalamalar yöntemiyle, seri

dalgalanmalardan arındırılarak düzgünleştirilmekte ve böylece serinin genel eğilimi

ortaya çıkarılmaktadır. Yöntemde k dönemin ortalaması alınırken gözlem değerlerine

eşit ağırlık verilmektedir. Dönem sayısı belirlenirken önemli dalgalanmalar ve çok

veri kaybı olmamalıdır.53 Genel olarak merkezi ve basit hareketli ortalama olarak iki

yaklaşım vardır. Düzgünleştirme yöntemi tahmin amaçlı olduğunda basit hareketli

ortalama yöntemi kullanılmaktadır. Başlık 3.2.1’de sözkonusu yöntemler anlatılıdığı

için burada tekrar edilmemektedir.

3.3.2. Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri Üstel düzgüleştirme yöntemlerinde düzgünleştirme işlemi yapılırken hareketli

ortalamalardaki gibi serinin gözlem değerlerine eşit değil, farklı ağırlık

verilmektedir.

3.3.2.1. Basit Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Bu yöntemde zaman serisinin belirgin bir trendinin ve mevsimlik

dalgalanmasının olmadığı54 buna karşılık serinin ortalamasının zaman içinde çok

yavaş değiştiği55, başka bir ifadeyle serideki dalgalanmaların nedeninin tesadüfi

hatalar olduğu varsayılmaktadır.56 , , ....... belirgin bir trendi ve mevsimlik

dalgalanması olmayan bir zaman serisinin basit üstel düzgünleştirme yöntemiyle

tahmini şöyle yapılmakatdır.

1y 2y ny

57

( ) 1t1tt y1yy −− ′α−+α=′ 52 Akgül, A.g.e., s. 82. 53 A.e., s. 84. 54 Orhunbilge, A.g.e., s.95. 55 Bowerman ve O’Connell, A.g.e., s.380. 56 Akgül, A.g.e., s.100. 57 Orhunbilge, A.g.e., s.96.

72

Formülde;

; t dönemdeki tahmini değeri, ty′

; t-1 dönemi gözlem değeri, 1ty −

; t-1 dönemi tahmini değeri 1ty −′

; düzgünleştirme katsayısını temsil etmektedirler. α

Bu düzgünleştirme yönteminde t dönemi tahmini değeri, α oranında bir önceki

dönem değeri ile oranında bir önceki dönem tahmin değerinden oluşmaktadır.

Düzgünleştirme katsayısı ,

( α−1 )α 10 <α< değerleri arasında değişebilmektedir. Seriye

uygun değerinin belirlenebilmesi için 0 ile 1 arasındaki tüm değerler denenerek

hataların kareleri toplamı veya ortalaması hesaplanır.

α

( )∑ ∑= =

′−=n

1t

n

1t

2tt

2t yye

Hataların kareleri toplamını minimum yapan α değeri seçilerek tahminlerde

kullanılmaktadır. ’nın değerinin küçük ve sıfıra yakın olması durumunda

ağırlıklarda azalma daha yavaş olmaktadır. Küçük

α

α değerleri zaman serisinin

geçmiş değerlerine daha çok ağırlık verirken düzgünleştirilmiş seri yakın geçmiş

değerlerdeki hızlı değişmelerden etkilenmemekte gözlem değerleri serisinden daha

düz görünmektedir. , bir olduğunda herbir düzgünleştirilen değer bir önceki

gözlem değerine eşit olmaktadır.

α

α ’ nın bire yakın olması durumunda ağırlıklar

hızla azalmaktadır. ’nın büyük değerleri yakın geçmiş değerlere daha çok ağırlık

vermekte düzgünleştirilen seri gözlem değerleri serisine benzer şekilde elde

edilmektedir.

α

58

Yönteme üstel düzgünleştirme denilmesinin nedeni, tahminlerde geçmiş

dönem verilerine üstel olarak azalan ağırlıklar verilmesindendir. Nitekim değeri

açıldığında ve formülünde yerine konulduğunda;

1ty −′

ty′

( ) 2t2t1t y1yy −−− ′α−+α=′

( ) ( )[ ]2t2t1tt y1y1yy −−− ′α−+αα−+α=′

( ) ( ) 2t2

2t1tt y1y1yy −−− ′α−+α−α+α=′

58 Akgül, A.g.e., s.102-103.

73

formülü elde edilir. açılırsa aşağıdaki formüle ulaşılacaktır. 2ty −′

( ) ( ) ( )[ ]3t3t2

2t1tt y1y1y1yy −−−− ′α−+αα−+α−α+α=′

( ) ( ) ( ) 3t3

3t2

2t1tt y1y1y1yy −−−− ′α−+α−α+α−α+α=′

Böylece tahminde eski dönem değerlerine üstel olarak azalan ağırlıklar

verilmektedir. Ağırlıklar önce hızla azalmakta, zaman geriye doğru gittikçe daha

yavaş azalmakta, ancak hiçbir zaman sıfır olmamaktadır. Basit üstel düzgünleştirme

formülü;

( ) 1t1tt y1yy −− ′α−+α=′

1t1t1tt yyyy −−− ′α−′+α=′

α parantezinde,

( )1t1t1tt yyyy −−− ′−α+′=′

1t1t1t eyy −−− =′− olduğundan

1t1tt eyy −− α+′=′

şeklinde de yazılabilir. Böylece t dönemi tahmini, bir önceki dönem tahminine α

ağırlıkta son dönem tahmin hatası ilave edilerek yapılmaktadır. Bu yolla yapılan

tahmin hataları yeni dönem tahminlerinin düzeltilmesinde kullanılmaktadır.

İncelenen dönemin ilk tahmini yapılırken genellikle bir önceki dönemin

tahmini değeri yerine gözlem değeri kullanılmaktadır. Bir diğer yol da bir kaç dönem

gözlem değerlerinin ortalamasının 1ty −′ değeri olarak kullanılmasıdır.

3.3.2.2. Brown’ın İkili Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Brown’nın tek parametreli doğrusal üstel düzgünleştirme yönteminin temeli,

basit üstel düzgünleştirme yönteminin iki kere uygulanmasına dayanmaktadır.

Zaman serilerinde mevsim etkisinin gözlemlenmediği ve serinin trendinin doğrusal

olduğu durumlarda tahmin için uygun bir yöntem olmaktadır. düzgünleştirme

parametresi kullanılarak değerleri elde edilmektedir. Elde edilen bu değerler,

α

ty′ α

düzgünleştirme katsayısıyla ikinci kez düzgünleştirilerek değerlerine

ulaşılmaktadır.

ty ′′

74

( ) 1ttt y1yy −′α−+α=′

( ) 1ttt y1yy −′′α−+′α=′′

; tek düzgünleştirme ile elde edilen değer ty′

; ikinci kez düzgünleştirme ile elde edilen değer ty ′′

ty′ ve değerleri kullanılarak zamanda güncellenmiş trend doğrusunun y

eksenini kestiği tahmini değeri gösteren

ty ′′ t59 ve trend doğrusunun tahmini eğimini

gösteren değeri aşağıdaki formüller yardımıyla hesaplanmaktadır.

ta

tb

( ) tttttt yy2yyya ′′−′=′′−′+′=

( )ttt yy1

b ′′−′α−

α=

ve değerleri her dönem için tekrar hesaplanmaktadır. m tahmin

yapılacak dönem sayısını göstermek üzere

ta tb

mt + dönemdeki tahmin değeri;

mbay ttmt +=+

ile elde edilebilmektedir. Başlangıçtaki ty′ ve ty ′′ değerlerini hesaplamak için 1ty −′ ve

değerleri yerine değeri veya birkaç dönemin ortalaması kullanılabilir.

Düzgünleştirme katsayısı olan

2ty −′′ ty

α nın seçiminde 0-1 arasındaki tüm değerler

denenerek hata kareleri toplamını minimum yapan α değeri belirlenir ve

tahminlerde kullanılır.

3.3.2.3. Holt’un İkili Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Holt’un ikili üstel düzgünleştirme yöntemi Brown’un tek parametreli

doğrusal üstel düzgünleştirme yönteminde ikinci düzgünleştirmede farklı

düzgünleştirme parametresi kullanılmasına izin vermektedir. Mevsim etkisi

taşımayan zaman serilerininin tahmininde uygun olduğu kabul edilmektedir.60 Bu

yöntem Holt-Winters Mevsimsel Olmayan Üstel Düzgünleştirme yöntemi olarak da

bilinmektedir. Yöntemin güncelleştirme denklemleri,

( ) 1ttt y1yy −′α−+α=′

59 Bowerman ve O’Connell, A.g.e., s.390. 60 Akgül, A.g.e., s.116-117.

75

( ) 1ttt y1yy −′′α′−+′α′=′′

şeklinde ifade edilmektedir. α veα′ düzgünleştirme katsayıları 0 ile 1 arasında

değerler almakta olup, birbirinden farklıdır. İlk denklemde seriye basit üstel

düzgünleştirme yöntemi uygulanarak ty′ değerleri elde edilmektedir. değerleri

ikinci denklemde tekrar düzgünleştirmeye tabi tutulurken yeni bir düzgünleştirme

parametresi kullanılmaktadır.

ty′

3.3.2.4. Holt’un İki Parametreli Doğrusal Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Zaman serilerinin çoğunun uzun dönemde aşağı ve yukarı doğru bir

eğiliminin olduğu görülmekte ve üstel düzgünleştirme yöntemlerinin bu gibi serilerin

tahmininde kullanılması durumunda da negatif sapmalı tahmin söz konusu

olmaktadır. Holt’un iki parametreli doğrusal üstel düzgünleştirme yöntemi zaman

serisinde mevsim etkisi olmayan ancak doğrusal bir trendinin olması durumunda

uygun yöntem olarak kabul görmektedir.61

Holt’un doğrusal üstel düzgünleştirme ile tahmin yöntemi, değerleri 0 ile 1

arasında değişen ve gibi iki düzgünleştirme katsayısı ve üç denklem

kullanmaktadır. Birinci denklemde;

α γ

ty′ , t zamanda serinin düzgünleştirilmiş tahmini

değerini, ise yine t zamanda serinin tahmini eğimini göstermektedir. İlk

denklemde; önceki döneme ait trend son düzgünleştirilmiş değer olan

tb

1tb − 1ty −′ ’e

ilave edilmektedir. Bu işlem gecikmeyi önlemekte ve ty′ değerini cari gözlem

değerine yaklaştırmaktadır. İkinci denklemde trend güncellenmekte, bu

düzgünleştirilmiş son iki değer arasındaki farkı ortaya çıkarmaktadır. Bu uygun bir

yaklaşımdır. Çünkü, eğer verilerde bir trend var ise yeni değerler bir öncekine göre

daha yüksek veya daha düşük olabilir. 1tt yy −′−′ değeri ile düzeltilmekte ve γ ( )γ−1

ile çarpılmış önceki dönem tahmini trend değerine ilave edilmektedir. Son denklem

tahminerde kullanılmaktadır. Trend bileşeni tahmin edilecek olan dönem sayısı m ile

çarpılmakta ve düzgünleştirilmiş değer ile toplanmaktadır.62

( )( 1t1ttt by1yy −− )+′α−+α=′ (üstel düzgünleştirilen bileşen)

61 A.e., s.124. 62 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.g.e., s.158.

76

( ) ( ) 1t1ttt b1yyb −− γ−+′−′γ= (trend bileşeni)

mbyy ttmt +′=+ (tahmin denklemi)

Diğer üstel düzgünleştirme yöntemlerinde olduğu gibi α ve için hata kareleri

toplamını minimum yapan değerler 0 ile 1 arasındaki tüm değerlerin denenmesiyle

bulunmaktadır. ’nın sıfıra yakın olması durumunda zaman serisinin geçmiş

değerlerine ağırlık verilmekte, bire yakın olması durumunda ise serinin cari

değerlerine ağırlık verilmektedir. ’nın sıfıra yakın olduğunda trendin geçmiş dönem

değerleri önem kazanmakta, sıfır olduğunda trend bileşeni zaman serisinin tüm

değerleri ve tahmin için değişmemekte, bire yakın olması durumunda

düzgünleştirilmiş değerler arasındaki değişimler

γ

α

γ

( )1tt yy −′−′ daha fazla öneme sahip

olmaktadır.63 α ve biribirine eşit γ ( )γ=α olduğunda yöntem Brown’ın ikili üstel

düzgünleştirme yöntemine eş olmaktadır.64

Yöntemin başlangıç değerleri için iki seçenek önerilmektedir. İlk seçenekte

ilk düzgünleştirilmiş değer olan 11 yy =′ olurken, trend bileşeninin ilk değeri

veya 121 yyb −= ( ) 3/yyb 141 −= şeklinde elde edilebilmektedir. ve için

diğer seçenekte serinin başlangıçtaki birkaç değerini kullanarak en küçük hata

karelerini veren bir regresyon denkleminden elde edilmesi önerilmektedir.

1y′ 1b

65

3.3.2.5. Brown’ın Tek Parametreli İkinci Derece Düzgünleştirme

Yöntemi Zaman serilerinin doğrusal değil de ikinci, üçüncü ve daha üst dereceden bir

trende sahip olması durumunda kullanılabilen bu yöntem Brown tarafından 1963

yılında tanıtılmıştır.66 Yönteme üçlü üstel düzgünleştirme yöntemi de denilmektedir.

Durağan olmayan seriler için uygun olduğu söylenen yöntemde basit üstel

düzgünleştirme yöntemi seriyi düzgünleştirmek amacıyla üç kez uygulanmaktadır.

İlk adımda serisi düzgünleştirilerek ty ty′ serisi, ikinci adımda düzgünleştirilmiş

olan serisi düzgünleştiriletirilerek ty′ ty ′′ serisi ve üçüncü adımda serisi tekrar ty ′′

63 Akgül, A.g.e., s.126. 64 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.g.e., s.159. 65 A.e., s.160. 66 Akgül, A.g.e., s.118.

77

düzgünleştirilerek serisi elde edilmektedir. Düzgünleştirme işlemlerinde

kullanılan parametresi 0 ile 1 arasında bir değer almakta ve uygun değeri hata

kareleri toplamını minimum yapacak şekilde belirlenmektedir. Her adımda

düzgünleştirme sabiti α aynı değerdir. Aşağıda düzgünleştirme işlemlerinin nasıl

yapıldığı ve tahmin denkleminin parametreleri olan , ve nin nasıl

hesaplandığı gösterilmektedir.

ty ′′′

α

ta tb tc

( ) 1ttt yα1yy −′−+α=′

( ) 1ttt y1yy −′′α−+′α=′′

( ) 1ttt y1yy −′′′α−+′′α=′′′

tttt yy3y3a ′′′+′′−′=

( )

( ) ( ) ( )[ ]ttt2t y34y810y5612

b ′′′α−+′′α−−′α−α−

α=

( )

( )ttt2

2

t yy2y1

c ′′′+′′−′α−

α=

Brown’un ikinci derece üstel düzgünleştirme yöntemiyle tahminler aşağıdaki

eşitlik yardımıyla elde edilmektedir.

2tttmt mc

21mbay ++=+

3.3.2.6. Holt Winters İki Parametreli İkili Üstel Düzgünleştirme Yöntemi

– Üstel Trend Zaman serilerinin trendi bazen doğrusal ve eğrisel değil de üstel

olabilmektedir. Bu tür seriler sabit bir oranda değişmektedir. Böyle seriler için

uygulanabilecek üstel düzgünleştirme yönteminde, α ile seri genel olarak

düzgünleştirilmekte, trendin düzgünleştirilmesi için ise katsayısı kullanılmaktadır.

Katsayılara ait kısıtlar diğer üstel düzgünleştirme yöntemleriyle paralellik

göstermektedir. Yöntemin güncelleştirme ve tahmin denklemleri aşağıdaki gibi

gösterilmektedir.

γ

67

67 Bowerman ve O’Connell, A.g.e., s.421-422.

78

( )( )( )1t1ttt by1yy −−′α−+α=′ (Serinin genel düzgünleştirilmesi )

( ) 1t1t

tt b1

yy

b −−

γ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

γ= (Serinin trendinin düzgünleştirilmesi)

( )mttmt byy ′=+ (Tahmin denklemi)

3.3.2.7. Yavaşlayan (Damped) Trend Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Üstel düzgünleştirme yöntemlerinde trendin doğrusal olması dışında alternatif

olarak önerilen yavaşlayan trend yaklaşımında söz konusu olan trend, serilerin uzun

dönemde gösterdikleri eğilimin zaman içinde etkisinin gitgide azalması durumunda

ortaya çıkan trendi tanımlamakta ve bu gibi trende sahip olan seriler için de

yavaşlayan trend fonksiyonu uygun olmaktadır.68

Yavaşlayan trend yöntemi mevsim etkisi taşıyan zaman serileri69 ve

mevsim etkisi taşımayan zaman serileri için farklılık göstermektedir. Yöntemin

güncelleştirme denklemleri yazılırken kullanılan düzgünleştirme katsayıları;

α ; genel düzgünleştirme katsayısı 10 <α<

γ ; trend düzgünleştirme katsayısı 10 <γ<

π ; yavaşlama katsayısı 10 ≤π<

kısıtları ile ifade edilmektedir. Hata kareleri toplamını en küçük yapacak katsayılar

seçilmektedir.

Mevsim etkisi taşımayan zaman serileri için yavaşlayan trend düzgünleştirme

yönteminin güncelleştirme denklemleri aşağıdaki gibidir;

( )( 1t1ttt by1yy −− )π+′α−+α=′ (Serinin genel düzgünleştirilmesi)

( ) ( ) 1t1ttt b1yyb −− πγ−+′−′γ= (Serinin trendinin düzgünleştirilmesi)

İlk gözleme ait düzgünleştirilmiş tahmin değeri için gereken başlangıç trendi (ilk

dönem trendi) ve

0b

0y ;

1nyy1b 1n

0 −−

π=

68 Akgül, A.g.e., s.131. 69 Winters Yöntemi içinde ele alınmıştır.

79

2

byy 01

0−

=

formülleriyle elde edilmektedir.

1y ; ilk gözlem değerini,

ny ; son gözlem değerini,

n ; gözlem sayısını

Yöntemin tahmin denklemi ise,

’dir. ∑=

+ π+′=m

1it

itmt byy

3.3.2.8. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi Mevsim etkisi olmayan zaman serilerinde daha önce değinilen hareketli

ortalama ve üstel düzgünleştirme yöntemleri kullanılabilir. Ancak seride mevsim

etkisi var ise bu yöntemler yetersiz kalmaktadır. Örneğin mevsim etkisinde olan bir

seriye basit üstel düzgünleştirme ve Holt’un iki parametreli doğrusal üstel

düzgünleştirme yöntemini uygularsak tahmin hatalarında sistematik hatalı bir yapı

gözlenecektir. Bu sistematik hataları ortadan kaldırmak için mevsim bileşenini içeren

bir yöntemin kullanılması gerekmektedir.70

Mevsimlik zaman serileri; doğrusal, ikinci derece, üstel ve yavaşlayan

(damped) trende sahip olabilecekleri gibi, herhangi bir trende de sahip

olmayabilirler. Winters Yöntemi böyle trende sahip veya sahip olmayan seriler için

yazılabilmektedir. Bunlar içinde yaygın olarak bilineni doğrusal trende sahip olan

Winters Yöntemidir.

Winters Yönteminin güncelleştirme denklemleri yazılırken kullanılan

düzgünleştirme katsayıları;

α ; genel düzgünleştirme katsayısı 10 <α<

γ ; trend düzgünleştirme katsayısı 10 <γ<

β ; mevsimsel düzgünleştirme katsayısı 10 <β<

π ; yavaşlama katsayısı 10 ≤π<

70 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.ge., s.162

80

kısıtları ile ifade edilmektedir. Diğer üstel düzgünleştirme yöntemlerinde olduğu gibi

hata kareleri toplamını en küçük yapacak katsayılar seçilmektedir.

3.3.2.8.1. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Doğrusal Trend Doğrusal trende ve mevsimlik dalgalanmaya sahip serilerin tahmininde

Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntem önce serinin

genel düzeyine, trendine ve sonra mevsim bileşenine uygulanmaktadır.71 Winters’ın

üstel düzgünleştirme yönteminde zaman serilerinde mevsimin etkisinin oluşumuna

bağlı olarak; Winters’ın Toplam Modeli ve Winters’ın Çarpım Modeli olarak

adlandırılan iki farklı model kullanımı önerilmektedir.72

Winters’ın toplam modeli için güncelleştirme denklemleri;

( ) ( )( )1t1tsttt by1Iyy −−− +′α−+−α=′ (Serinin genel

düzgünleştirilmesi)

( ) ( ) 1t1ttt b1yyb −− γ−+′−′γ= (Serinin trendinin


( ) ( ) stttt I1yyI −β−+′−β= (Mevsim etkisinin


olacak şekilde ve kısıtları ile ifade edilmektedir. α genel düzgünleştirme katsayısı,

trend düzgünleştirme katsayısı ve γ β mevsimsel düzgünleştirme katsayısıdır.

Winters’ın toplam modeli ile tahmin ise aşağıdaki denklem yardımıyla

yapılmaktadır:

mstttmt Imbyy +−+ ++′=

Winters’ın çarpım modeli için güncelleştirme denklemleri,

( )( 1t1tst

tt by1

Iy

y −−−

+′α−+α=′ ) (Serinin genel


( ) ( ) 1t1ttt b1yyb −− γ−+′−′γ= (Serinin trendinin düzgünleştirilmesi)

71 Kadılar, A.g.e., s.166. 72 Akgül,A.g.e., s.135.

81

( ) stt

tt I1

yy

I −β−+′

β= (Mevsim etkisinin düzgünleştirilmesi)

Winters’ın çarpım modeli ile tahmin ise aşağıdaki denklem yardımıyla

yapılmaktadır:

( ) mstttmt Imbyy +−+ +′=

Yukarıdaki denklemleri tahminlerde kullanabilmek için ilk gözlemler için

başlangıç değerlerinin hesaplanması gerekmektedir. Trend bileşenin başlagıç değeri;

( )s1kyyb 1k

0 −−

=

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada;

ky ; son yıla ait gözlem değerlerinin ortalaması

1y ; ilk yıla ait gözlem değerlerinin ortalaması

; gözlemlenen yıl sayısı k

s; bir yıldaki mevsim sayısıdır (ay veya çeyrek sayısı).

0b başlangıç değeri ilk yıldan son yıla kadar her bir dönemdeki ortalama değişmeyi

göstermektedir. Sürekli bileşen ty′ nin başlangıç değeri olan ; 0y

2sbyy 010 −=

yardımıyla elde edilmektedir.

3.3.2.8.2. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Üstel Trend Bir zaman serisinin değerleri sabit bir hızla artıyor veya azalıyor ise böyle

seriler üstel bir trende sahiptirler. Winters yönteminin güncelleştirme ve tahmin

denklemleri mevsim bileşenin toplamsal veya çarpımsal olma özelliğine göre

aşağıdaki gibi yazılabilir.73

Üstel trende sahip çarpımsal Winters Modelinin güncelleştirme denklemleri;

( ) 1t1tst

tt by1

Iy

y −−−

′α−+α=′ (Serinin genel düzgünleştirilmesi)

73 Bowerman ve O’connell, A.g.e., s.421.

82

( ) 1t1t

tt b1

yy

b −−

γ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′


( ) stt

tt I1

yy

I −β−+′


Tahmin denklemi;

( ) mstm

ttmt Ibyy +−+ ′=

Üstel trende sahip Toplamsal Winters Düzgünleştirme Modeli

Güncelleştirme denklemleri;

( ) ( )[ ]1t1tsttt by1Iyy −−− ′α−+−α=′ (Serinin genel düzgünleştirilmesi)

( ) 1t1t

tt b1

yy

b −−

γ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′


( ) ( ) stttt I1yyI −β−+′−β= (Mevsim etkisinin düzgünleştirilmesi)

Tahmin denklemi;

mstmttmt Ibyy +−+ +′=

3.3.2.8.3. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Yavaşlayan Trend Mevsimsel olmayan serilerin bazılarında uygun olan yavaşlayan trend

tanımlanması, bazı mevsimsel seriler için de uygun olmaktadır. Ayrıca mevsimsel

yavaşlayan trend üstel düzgünleştirme yönteminde zaman serilerinde mevsim etkisi

oluşumuna bağlı olarak toplamsal mevsimsellik durumunda yavaşlayan trend ve

çarpımsal mevsimsellik durumunda yavaşlayan trend olarak adlandırılan iki farklı

model kullanımı önerilmektedir.74

Toplamsal Mevsimsellik durumunda yavaşlayan trend modeli için

güncelleştirme denklemleri:75

( ) ( )( )1t1tsttt by1Iyy −−− π+′α−+−α=′ (Serinin genel



74 Akgül, A.g.e., s. 143-144. 75 A.e., s.144-145.

83

( ) ( ) stttt I1yyI −β−+′−β= (Mevsim etkisinin düzgünleştirilmesi)

Tahminde kullanılacak denklem;

∑=

+−+ +π+′=m

1imstt

itmt Ibyy

Çarpımsal mevsimsellik durumunda yavaşlayan trend yöntemi güncelleştirme

denklemleri:76

( )( 1t1tLt

tt by1

Iy

y −−−

π+′α−+α

=′ ) (Serinin genel düzgünleştirilmesi)


( ) stt

tt I1

yy

I −β−+′


Yukarıdaki denklemleri tahminlerde kullanabilmek için serinin ilk

gözlemleri için düzgünleştirilmiş tahmin değerinin elde edilmesini sağlayan

başlangıç değerleri;

( )s1kyy1b 1k

0 −−

π=

s*2

byy 0

10 −=

Yönteme ait tahmin denklemi;

mst

m

1it

itmt Ibyy +−

=+ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛π+′= ∑

3.3.2.8.4. Winters’ın Üstel Düzgünleştirme Yöntemi-Trendsiz Winters methodu trendi olmayan zaman serilerine de uyarlanabilir. Böyle

serilerin ortalama bir değeri ve mevsim etkisi bulurken, trendi bulunmamaktadır.

Trende sahip olmayan çarpımsal Winters modeli için güncelleştirme ve tahmin

denklemleri aşağıdaki gibi yazılmaktadır.77

( ) 1tLt

tt y1

Iy

y −−

′α−+α=′ (Serinin genel düzgünleştirilmesi)

76 A.e., s.146-148. 77 Bowerman ve O’connell, A.g.e., s.415.

84

( ) Ltt

tt I1

yy

I −β−+′


mLttmt Iyy +−+ ′= (Tahmin denklemi)

3.4. OTOREGRESSİF MODELLER VE HAREKETLİ

ORTALAMALAR YÖNTEMLERİ Otoregressif modeller 1926 yılında ilk kez Yule tarafından, hareketli ortalama

modeller ise 1937’de Slutsky tarafından önerilmiştir. 1938 yılında Wold otoregressif

modeller ile hareketli ortalama modellerini birleştirerek otoregressif hareketli

ortalama yöntemini geliştirmiştir. Sözkonusu modeller teorik olarak durağan zaman

serilerinin modellenmesinde geniş olanaklar sağlamışlardır. Ancak modellerin

kullanımı 1960’larda bilgisayar teknolojisindeki gelişmelere paralel olarak

yaygınlaşabilmiştir.78

Bu model geliştirme yöntemi zaman serileri analizinde sıklıkla kullanılan bir

yöntemdir. Yöntem bir çok alternatif model arasından en iyi modeli seçerek geleceği

tahmin etmeye yöneliktir. Bir değişkene ilişkin yapılacak tahmin, değişkenin

gecikmeli değerleri, hata terimleri ve her ikisinin kombinasyonu ile yapılmaktadır.

Bu haliyle değişken kendi dinamiği ile açıklanmaya çalışılmaktadır. Otoregressif,

hareketli ortalama ve ikisinin birleşimi otoregressif hareketli ortalama olmak üzere

üç modelleme söz konusudur. Mevsim etkisi taşımayan değişken, Otoregressif

modellerde (AR) geçmiş değerlerinin bir fonksiyonu, hareketli ortalama modellerde

(MA) hata terimlerinin bir fonksiyonu, otoregressif hareketli ortalama modellerinde

(ARMA) ise geçmiş değerlerinin ve hata terimlerinin ortak bir fonksiyonu şeklinde

elde edilmektedir. Durağan olmayan bir zaman serisini durağanlaştırmak için fark

almak gerektiğinde ARMA modeli Bütünleşik Otoregressif Hareketli Ortalama

(ARIMA) modeline dönüşmektedir

Box-Jenkins modeller adı da verilen bu modeller üstel düzgünleştirme

yöntemlerinin genelleştirilmiş biçimi olup mevsimsel ve mevsimsel olmayan

modeller şeklinde ikiye ayrılmaktadır. Mevsimsel olmayan Box-Jenkins modelleri

78 Sypros Makridakis ve Michéle Hibon, “ARMA Models and the Box-Jenkins Methodology”, Journal of Forecasting, Cilt:16, No:3, 1997, s.147-163.

85

genel olarak ARIMA(p,d,q) şeklinde gösterilmektedir. Burada p otoregressif (AR)

modelin derecesi, d fark alma işlemi sayısı ve q hareketli ortalama (MA) modelinin

derecesi olmaktadır. Mevsimsel Box-Jenkins modelleri ise genelde

ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) biçiminde ifade edilmektedir. Burada P mevsimsel

otoregressif (SAR) modelin derecesi, D mevsimsel fark alma işlemi sayısı, Q

mevsimsel hareketli ortalama (SMA) modelinin derecesi ve s mevsim periyodu

olmaktadır.

s

Box-Jenkins modellerin uygulanabilmesi için öncelikle serinin trendinden ve

mevsim etkisinden arındırılması, yani serinin durağan hale getirilmiş olması

gerekmektedir. Durağan olan ya da durağan hale getirilen serinin otokorelasyon

fonksiyonu ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu grafiklerine göre seriye uygun

olabilecek model belirlenir. Bu belirleme işlemine göre eğer otokorelasyon

fonksiyonu (OKF) grafiğindeki ilişki miktarları gecikme sayısı arttıkça yavaş yavaş

azalıyor, ama kısmi otokorelasyon fonksiyonu (KOKF) grafiğinde bu azalma bir

anda, yani hızlı bir şekilde oluyorsa seriye AR model uygun olmaktadır. Bunun tam

tersi, yani KOKF grafiğindeki ilişki miktarları yavaş yavaş azalırken OKF

grafiğindeki ilişki miktarları hızlı bir şekilde azalıyorsa seriye MA model uygun

olmaktadır. Hem OKF hem de KOKF grafiklerindeki ilişki miktarlarının azalışı

yavaş yavaş olursa ARIMA model uygun olmaktadır.

3.4.1. AR(1) Modeli Otoregressif modellerde değişkenin aldığı değerler geçmiş değerlerinin

doğrusal bir fonksiyonu olarak modellenmektedir. Öncelikli olarak otokorelasyon ve

kısmi otokorelasyon katsayıların incelenmesi gerekmektedir. Otokorelasyon

katsayıları üstel olarak sıfıra yaklaşıyorsa otoregressif bir süreç olduğu anlaşılır.

Otokorelasyon katsayıları üstel olarak sıfıra yaklaşırken ilk gecikmeli kısmi

otokorelasyon katsayısı anlamlı, diğerleri anlamsız ise AR(1) modeli uygundur. Sabit

parametre içermeyen AR(1) modeli aşağıdaki gibidir.

t1t1t eyy +φ= − (1)

Modelden anlaşılacağı gibi , kendinden önceki gözlem değerine

bağımlıdır. Buna Markov süreci de denmektedir. Daha üst dereceden otoregressif

ty )y( 1t−

86

modeller Markov süreci değildirler.79 Modeldeki hata terimi, 0 ortalama ve 1

varyansla normal bir dağılım göstermektedir. Diğer bir ifadeyle hata terimleri bir

beyaz gürültü serisidir.

te

80 Modeldeki hata terimi yalnız bırakılırsa,

t1t1t eyy =φ− − (2)

şeklinde yazılabilir. Sabiti olmayan birinci dereceden otoregressif modeli gecikme

işlemcisi ile (3) nolu eşitliğe dönüşür.

( ) tt1 eyL1 =φ− (3)

(3) nolu eşitlikte yalnız bırakılıp gerekli işlemler yapıldıktan sonra (4) nolu eşitlik

elde edilir.

ty

( ) t1

1t eL1y −φ−=

( ) t22

11t e......LL1y +φ+φ+=

....eeey 2t211t1tt +φ+φ+= −− (4)

(4) eşitlik bir doğrusal filtreleme gösterimi 11 <φ olması halinde yakınsayacağından

parametresinin mutlak değerinin 1’den küçük olması durağanlık koşulu olarak

adlandırılmaktadır.

1φ

81 Birinci dereceden otoregressif modelde ise, (1) nolu

eşitlikten görüleceği üzere serisi bir beyaz gürültü serisi olacaktır.

01 =φ

ty 11 =φ

olduğunda ise, serisi rassal yürüyüş serisi olmaktadır.ty 82 11 <φ iken serisi

durağandır. Ancak

ty

11 >φ olması durumunda serisi her bir dönemde sürekli

büyüme eğilimi göstermektedir. Dolayısıyla durağan olmayan serisinin varyansı

da zamana bağlı olarak artacaktır.

ty

ty83

Hareketli ortalama modelinde serisinin değerleri, hata teriminin gecikmeli

değerlerinin bir doğrusal kombinasyonu olarak tahmin edilmektedir. (1) eşitlikteki

AR(1) modeli, hareketli ortalama MA(q) modeli ile ifade edilebildiğinden AR(1)

modeli çevrilebilirdir. Bunu (4) eşitlikte görmekteyiz.

ty

79 Charles R. Nelson, Applied Time Series Analysis For Managerial Forecasting, Holden Day, Inc., 1973, s.39. 80 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.g.e., s.337 81 Akgül, A.g.e., s.50. 82 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.g.e., s.337 83 Akgül, A.g.e., s.50.

87

Sabit terime sahip birinci dereceden otoregressif model, ( )0φ

t1t10t eyy +φ+φ= − 00 ≠φ (5)

(6) t01t1t eyy +φ=φ− −

şeklinde yazılabilir. (6)’nolu eşitliği gecikme işlemcisi ile yazıp parantezine

aldığımızda (7)’nolu eşitliği elde ederiz.

ty

(7) ( ) t0t1 eyL1 +φ=φ−

AR(1) modelinin durağan olabilmesi için ( ) 0L1 1 =φ− karakteristik

denklemin kökü84 birim çember dışına düşmelidir.85 Diğer bir ifadeyle 11 <φ

eşitsizliği sağlanmalıdır.

Birinci dereceden otoregressif modelin ortalaması olan μ yü bulamak için

(5)’nolu eşitliğin beklenen değerleri alındığında eşitlik,

( ) ( ) ( )t1t10t eEyEyE +φ+φ= − (8)

olacaktır. Hata terimlerinin beklenen değeri sıfır, ve durağan serilerde

olduğundan (8) nolu eşitlik, ( ) ( ) μ== −1tt yEyE

μφ+φ=μ 10 (9)

Haline dönüşecektir. (9)’nolu eşitlikte sabit yalnız bırakılıp gerekli düzenlemeler

yapıldığında AR(1) in ortalaması,

( )1

0

1 φ−φ

=μ (10)

olarak elde edilir. 11 <φ eşitsizliği gerçekleştiğinde otoregressif süreç durağan

olmaktadır. Durağanlığı sağlanması için μ ’nün sonlu, μ ’nün sonlu olması için ise

11 <φ eşitsizliğinin sağlanması gerekmektedir.

Birinci dereceden otoregressif sürecin varyansı,

( ) ( )21

2e

0t 1yV

φ−σ

=γ= (11)

84 Bazı kaynaklarda karekteristik kök denmektedir. 85 William W.S. Wei, Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, Second Edition, Addison-Wesley, 2006, s.33.

88

Birinci dereceden otoregressif sürecin otokovaryansı,

011 γφ=γ (12)

veya varyans değeri yerine yazılırsa,

( )21

2e1

1 1 φ−σφ

=γ (13)

olarak elde edilir. Eşitlik (12) ve (13)’ü ,

( )21

2e

k1

0k1k 1 φ−

σφ=γφ=γ (14)

şeklinde genelleştirilebilmektedir.

Otokorelasyon katsayı kovaryansın varyansa bölünmesiyle elde edilmektedir.

O halde ile arasındaki otokorelasyon katsayısı ty 1ty − 1ρ eşitlik (11) ve (12)

yardımıyla,

10

01

0

11 φ=

γγφ

=γγ

=ρ (15)

olarak elde edilir. Eşitlik (14) genelleştirildiğinde (16)’ nolu eşitlik elde edilmektedir. k1k φ=ρ (16)

(16)’nolu eşitlik serinin otokorelasyon fonksiyonudur ve grafik gösterimi

korelogram olarak adlandırılır. AR(1) sürecinin otokorelasyon fonksiyonu, 1φ

parametresinin aldığı değerlere bağlı olarak farklı görünümler sergilemektedir.

olduğunda otokorelasyon fonksiyonu sıfıra doğru üstel olarak azalır. 01 >φ 01 <φ

olduğunda otokorelasyon fonksiyonu dalgalı bir seyir izleyerek sıfıra doğru

yaklaşır.86 ’in yakın olması durumunda ise otokorelasyon fonksiyonunun

sıfıra doğru oldukça yavaş yaklaştığı gözlenir.

1φ 1±87

AR(1) sürecinde ilk gecikmeye ait kısmi otokorelasyon katsayısı anlamlıdır.

Diğer gecikmeler için ise kısmi otokorelasyon katsayıları anlamlı değildir. AR(1)

sürecinin kısmi otokorelasyon katsayısı, ilk otokorelasyon katsayısına eşittir. Bu

(17)’nolu eşitlik ile gösterebilir.

1111 φ=ρ=ρ (17)

86 Ruey S., Tsay, Analysis of Financial Time Series, John Wiley&Sons.Inc., 2002, s.31. 87 Akgül, A.g.e., s.56.

89

3.4.2. AR(2) Modeli Durağan bir zaman serisinin otokorelasyon katsayıları üstel olarak sıfıra

yaklaşırken, kısmi otokorelasyon katsayılarının ilk iki gecikmeden sonraki değerleri

anlamsız ise seri için ikinci dereceden bir otoregressif model AR(2) düşünülebilir.

Sabit terime sahip bir AR(2) modeli (18)’nolu eşitlikte sabit terime sahip olmayan bir

AR(2) modelini ise (19) nolu eşitlikte gösterilmiştir.

t2t21t10t eyyy +φ+φ+φ= −− (18)

t2t21t1t eyyy +φ+φ= −− (19)

Modelde hata terimleri sıfır ortalama, sabit varyanslı ve birbirleri ile ilişkili

olmayan beyaz gürültü serisidir. 1φ ve 2φ modelin tahmin edilecek parametreleridir.

AR(2) modelinde değişkenin aldığı değerler, iki dönem geçmiş değerin bir

fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. Modelin iki parametresi olduğundan

durağanlık koşulu bu iki parametreye göre belirlenmektedir.

ty

AR(2) modelini gecikme işlemcisi kullanılarak,

( ) t0t2

21 eyLL1 +φ=φ−φ−

şeklinde yazmak mümkündür. Modele ait ( ) ( ) 0LL1L 221 =φ−φ−=φ karakteristik

denklemin köklerinin birim çember dışına düşmesiyle modelin durağanlığı

sağlanmaktadır. ve , 1L 2L ( ) 0LL1 221 =φ−φ− veya eşiti olan

denklemin karakteristik kökleri olmak üzere,

01LL 12

2 =−φ+φ

2

2211

1 24

Lφ

φ+φ+φ−=

ve

2

2211

2 24

Lφ

φ+φ−φ−=

elde edilir. Karekteristik denkleminin köklerinin gerçek olabilmesi için

eşitsizliği sağlanmalıdır. Aksi durumda karekteristik denklem kompleks köklere

sahip olacaktır.

04 221 ≥φ+φ

88

88 Wei, A.g.e., s.39.

90

Durağanlık şartlarını modelin parametrelerini kullanarak ta ifade edebilir.

Modelin parametreleri aşağıdaki eşitsizlikleri sağladığında AR(2) modeli durağan

olmaktadır.

11 2 <φ<−

112 <φ+φ

112 <φ−φ

Yukarıdaki eşitsizlikler sağlanmadığında model durağan olmayacağından

seriye gerekli dönüşümler yapılarak durağanlaştırılmalıdır. Ayrıca AR(2) modelinde,

modelin parametreleri durağanlık koşulunu sağlaması durumunda otokorelasyon

katsayıları olan ve ’nin de durağanlık şartlarını sağlaması için, 1ρ 2ρ

11 1 <ρ<−

11 2 <ρ<−

2122

1+ρ

<ρ

sınırları içine düşmesi gerekmektedir.89 AR(2) modelinin ortalaması (18)’nolu

eşitlikten yararlanarak,

( )21

0

1 φ−φ−φ

=μ (20)

olacak şekilde elde edilmektedir. Ortalamanın sonlu olması için 112 <φ+φ

eşitsziliğinin sağlanması gerekmektedir. AR(2) modelinin varyansı (10)’nolu

eşitlikte gösterilmektedir.

( )( ) ( )( )2

12

22

2e2

0 111

φ−φ+φ+

σφ−=γ (21)

Otokorelasyon fonksiyonu üzerinde modelin sabit teriminin bir etkisi

olmadığından90, sabit terim içermeyen AR(2) modelinde eşitliğin her iki tarafını

ile çarparak beklenen değerleri alındığında (19)’nolu eşitlik elde edilir.

kty −

( ) ( ) ( ) ( )kttkt2t2kt1t1ktt yeEyyEyyEyyE −−−−−− +φ+φ=

89 Akgül, A.g.e., s.60. 90 Walter Enders, Applied Econometric Time Series, John Wiley&Sons Inc., 1995, s.78.

91

2k21k1k −− γφ+γφ=γ (22)

(22)’nolu eşitliğin her iki tarafını serinin varyansı olan 0γ bölündüğünde,

2k21k1k −− ρφ+ρφ=ρ (23)

otokorelasyon fonksiyonu bulunur. Tanım gereği 11 ρ=ρ− ve ’dir. k=1

olduğunda bir gecikmeli otokorelasyon katsayısı formülü,

10 =ρ

2

11 1 φ−

φ=ρ (24)

k=2 olduğunda iki gecikmeli otokorelasyon katsayısı formülü,

2

222

21

22

21

2 11 φ−φ−φ+φ

=φ+φ−

φ=ρ (25)

elde edilir. Gecikme sayısı k arttırılarak AR(2) modeline ait k gecikmeli

otokorelasyon fonksiyonu bulunabilir.

Eşitlik (23)’deki otokorelasyon fonksiyonu gecikme işlemcisi kullanılarak,

( ) 0LL1 k2

21 =ρφ−φ−

şeklinde yazılabilir. ( ) 0LL1 221 =φ−φ− denkleminin karekteristik kökleri gerçek

olduğunda otokorelasyon katsayıları üstel olarak, kökler kompleks olduğunda ise

sinüs dalgaları şeklinde sıfıra doğru azalmaktadır.91

(23)’nolu eşitlikten k=1 ve k=2 için (15)’nolu Yule-Walker denklem sistemi

türetilebilir.

2112

1211

φ+ρφ=ρρφ+φ=ρ

İlk iki gecikmeye ait otokorelasyon katsayıları bilindiğinde, bu denklem

sistemi eş anlı çözülerek (24) ve (25)’nolu eşitlikler elde edilir.

( )( )2

1

211 1

1ρ−ρ−ρ

=φ (24)

( )( )2

1

212

2 1 ρ−ρ−ρ

=φ (25)

Sözkonusu eşitlikler ile AR(2) modeline ait parametrelerin başlangıç değerleri

hesaplanabilir. AR(2) modelinin ilk iki gecikmeye ait kısmi otokorelasyon

91 Wei, A.g.e., s.41.

92

katsayıları anlamlı olup, daha üst dereceden gecikmeler için ise kısmi otokorelasyon

katsayıları anlamsızdır.

2

1111 1 φ−

φ=ρ=ρ

21

212

1

1

21

1

22 11

1

1

ρ−ρ−ρ

=

ρρρρρ

=ρ

veya

2

2

1

2

2

1

2

222

21

22

11

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−

φ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−

φ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−

φ−φ+φ

=ρ

( )( )( ) 22

12

2

21

222

22 11

φ=φ−φ−φ−φ−φ

=ρ

0

11

1

11

11

1

11

12

11

21

122112

2111

1211

12

11

21

312

21

11

33 =

ρρρρρρ

ρφ+ρφρρφ+ρφρρφ+φρ

=

ρρρρρρρρρρρρρ

=ρ

3.4.3. AR(p) Modeli

Durağan serisinin p’inci dereceden sabitsiz AR modeli, ty

tptp2t21t1t ey......yyy +φ++φ+φ= −−− (26)

veya

tptp2t21t1t ey......yyy =φ−−φ−φ− −−− (27)

şeklinde yazılabilir. hata terimi sıfır ortalama ve sabit varyansa sahip ve

’lerden bağımsız olup herhangi bir dönemdeki hata ile arasında ilişki söz konusu

te

pty −

93

değildir. 1tt yLy −= , ,..... olmak üzere gecikme işlemcisi kullanarak

p’inci dereceden AR(p) modeli

2tt2 yyL −=

(28) ttp

pt2

2t1t eyL.....yLLyy =φ−−φ−φ−

yazıldıktan sonra eşitliğin sol tarafı parantezine alındığında, ty

( ) ttp

p2

21 eyL......LL1 =φ−−φ−φ− (29)

AR(p) modeli olarak elde edilir. p,...2,1i = olmak üzere olduğunda AR(p)

modelinin durağan olmaktadır.

∑=

<φp

1ii 1

92

AR(p) modeli sabit terim ilave edildiğinde,

tptp2t21t10t ey......yyy +φ++φ+φ+φ= −−− (30)

şeklinde yazılabilir.

Otoregressif süreç durağan olduğunda ortalaması değişmeyecektir. Dolayısıyla

serinin ve gecikmeli değerlerinin beklenen değerleri yani ortalaması hep μ ’ye eşit

olacaktır.

( ) ( ) ( ) μ==== −− ......yEyEyE 2t1tt

Yukarıdaki ifadeye göre (30)’nolu eşitliği aşağıdaki gibi yeniden yazıp gerekli

düzenlemeler yapıldığında AR(p) sürecinin ortalaması eşitlik (31) yardımıyla

hesaplayabilir.

μφ++μφ+μφ+φ=μ p210 .....

( )p21

0

.....1 φ−−φ−φ−φ

=μ (31)

Ortalamanın sonlu olması serinin durağan olması ile mümkündür. Durağanlığın

sağlanabilmesi,

∑=

<φ=φ++φ+φp

1iip21 1....... (32)

koşuluna bağlıdır. Dolayısıyla, yukarıdaki eşitsizlik AR(p) sürecinin durağanlık

koşuludur.

AR(p) modelinin varyansı,

92 Akgül, A.g.e., s. 38.

94

( )pp2211

2e2

0 ......1 φρ−−φρ−φρ−σ

=σ=γ (33)

olarak elde edilmektedir.

AR(p) modeli olan (26)’nolu eşitliğin her iki tarafını ile çarpılarak

beklenen değerlerini aldığında (34)’nolu eşitliğe ulaşılmaktadır. Durağan serilerde

tanım gereği için

kty −

0k > ( ) 0yeE ktt =− dır.93

kttktptpkt2t2kt1t1ktt yeyy......yyyyyy −−−−−−−− +φ++φ+φ=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kttktptpkt2t2kt1t1ktt yeEyyE......yyEyyEyyE −−−−−−−− +φ++φ+φ=

pkp2k21k1k ...... −−− γφ++γφ+γφ=γ (34)

(34)’nolu eşitlik AR(p) modelinin otokovaryans fonksiyonudur. Otokovaryans

fonksiyonun her iki tarafını 0γ ’a böldüğünde eşitlik otokorelasyon katsayıları

cinsinden yazılmış olur.

pkp2k21k1k ..... −−− ρφ+ρφ+ρφ=ρ (35)

Gecikme işlemcisi kullanarak (35)’nolu eşitliği p’inci mertebeden fark

denklemi olarak elde edilebilir. 1kkL −ρ=ρ , .....olmak üzere gerekli

düzenlemeler yapıldığında eşitlik (36)’ya ulaşılır.

2kk2L −ρ=ρ

0...... pkp2k21k1k =ρφ−−ρφ−ρφ−ρ −−−

0L......LL kp

pk2

2k1k =ρφ−−ρφ−ρφ−ρ

( ) 0L......LL1 kp

p2

21 =ρφ−−φ−φ− (36)

(35)’nolu eşitlikten için aşağıdaki Yule-Walker denklem sistemi elde

edilmektedir.

p,.....,2,1k =

p2p21p1p

2pp2112

1pp1211

............................

.....

.....

φ++ρφ+ρφ=ρ

ρφ++φ+ρφ=ρ

ρφ++ρφ+φ=ρ

−−

−

−

93 Orhunbilge, A.g.e., s.150.

95

AR(p) sürecinin kısmi otokorelasyon katsayıları p gecikmeye kadar anlamlı, p

gecikmeden büyük gecikmeler için ise anlamsız olmaktadır.94 Bu ifade aşağıdaki

şekilde gösterebilir.

011 ≠ρ , , 022 ≠ρ 0pp ≠ρ pk ≤

0kk =ρ pk >

Yule-Walker denklem sisteminde otokorelasyon katsayıları yerleştirilip

denklem sistemi ’ler için çözüldüğünde AR(p) modelinin başlangıç değerleri elde

edilmiş olur. Otoregressif modelin parametrelerinin alacağı değerler otokorelasyon

fonksiyonun göstereceği seyrin nasıl olacağı hakkında bilgi vermektedir.

φ

0>φ

olduğunda otokorelasyon fonksiyonu sıfıra doğru üstel olarak azalacaktır. 0<φ

olduğunda otokorelasyon fonksiyonu sarkaç hareketine benzer dalgalı bir görünümde

sıfıra doğru azalacaktır. 1±φ ’e yakın değerler aldığında otokorelasyon

fonksiyonunda sıfıra doğru azalma yavaş olacaktır.95

Değişkene otoregressif bir model uygun ise modelin derecesinin belirlenmesi

önem kazanmaktadır. Otokorelasyon katsayıları üstel olarak azalırken anlamlı kısmi

otokorelasyon katsayıları modelin derecesi hakkında bir fikir vermektedir. Bunun

yanında ARMA modellerinin derecesini belirlemede Akaike Bilgi Kriteri (AIC) ve

Schwartz Bilgi Kriteri (SBC) olarak adlandırılan kriterlerden de yararlanılmaktadır.

Tahmin edilen modeller arasından anılan kriter değerlerini en küçük yapan derecenin

uygun olduğu kabul edilmektedir.

3.4.4. MA(1) Modeli Durağan bir zaman serisinin otokorelasyon katsayıları ve kımi otokorelasyon

katsayıları incelendiğinde kısmi otokorelasyon üstel olarak sıfıra yaklaşıyorsa seri

için hareketli ortalama modelinin uygun olduğu anlaşılır. Anlamlı otokorelasyon

katsayıları ile de hareketli ortalama modelinin derecesini gösteren q belirlenir. Kısmi

otokorelasyon katsayıları üstel olarak sıfıra yaklaşırken, bir anlamlı otokorelasyon

94 Akgül, A.g.e., s.48. 95 A.e., s.46.

96

katsayısı var ise sözkonusu model MA(1) modelidir. μ sürecin ortalamasını

göstermek üzere MA(1) modeli,

1t1tt eey −θ−+μ= 0≠μ (37)

1t1tt eey −θ−= 0=μ (38)

şeklinde gösterilmektedir.

MA(1) modelinde denklem (37) ve (38)’den de anlaşılacağı gibi gözlem

değeri hata terimi ile bir önceki dönem hata terimi olan bağlıdır. hata

terimi beyaz gürültü serisidir. Modeldeki hata terimleri doğrudan gözlenememekte,

serinin verilerinden tahmin edilmektedir.

ty , te 1te − te

96

MA(1) modeli gecikme işlemcisi kullanılarak ,

( ) t1t eL1y θ−=

şeklinde gösterilebilir. ( ) 0L1 1 =θ− karekteristik denkleminin kökü birim çember

dışında kaldığında model çevrilebilir özelliği sahip olmaktadır.97 Diğer bir ifadeyle,

modelin çevrilebilir olabilmesi için parametresinin 11 <θ olması gerekmektedir.

Hareketli ortalama modelinin ortalaması zamandan bağımsızdır. Bu özellik,

( ) μ=tyE

olarak ifade edilmektedir. (2)’nolu denklemde gösterilen MA(1) modelinde hata

terimleri beyaz gürültü serisi olduğu varsayıldığında,

te

( ) 0eE t = ve ( )0eE 1t =−

olacağından ( ) 0yE t = değeri elde edilir.

Hareketli ortlama modelindeki hata terimelerinin ortalamasının sıfır,

dolayısıyla ’nin ortalaması da sıfır olduğu varsayılmaktadır. O halde MA(1)

modelinin varyansı,

te

ty

( )21

2e0 1 θ+σ=γ

olarak elde edilmektedir. MA modelleri beyaz gürültü özelliği taşıyan hata

terimlerinin doğrusal bir kombinasyonu olmakta, bu hata terimlerinin ilk iki momenti

96 Philip Hans Franses, Time Series Models For Business and Economis Forecasting, Cambridge University Press, 1998, s.39 97 Wei, A.g.e., s.47.

97

olan ortalama ve varyans zamanla değişmediğinde sözkonusu modeller her zaman

zayıf durağan olmaktadır.98

MA(1) modelinin kovaryansı bir gecikme için, 2e11 σθ−=γ

1k > için ,

0k =γ

Modelin otokorelasyonu bir gecikme için,

21

1

0

11 1 θ+

θ−=

γγ

=ρ

1k > için,

0k =ρ

olmaktadır. MA(1) modelinin otokorelasyon değerleri 2/1k <ρ şeklindedir.99

Birden büyük gecikmeler için otokorelasyon katsayıları sıfırdır. Dolayısıyla MA(1)

modelinin otokorelasyon fonksiyonu yalnızca bir dönemlik bir belleğe sahiptir. Diğer

bir ifadeyle, herhangi bir değeri sadece kendinden bir dönem önceki ve bir

dönem sonraki ile ilişkilidir. Çünkü hareketli ortalama modeli sadece bir dönem

önceki hata terimine sahiptir.

ty 1ty −

1ty +

100

MA(1) modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu,

( )41

211

21

1111 1

11 θ−

θ−θ−=

θ+θ−

=ρ=ρ

( )61

21

21

41

21

21

21

21

22 11

11 θ−θ−θ−

=θ+θ+

θ−=

ρ−ρ

−=ρ

( )81

21

31

61

41

21

31

21

31

33 11

121 θ−θ−θ−

=θ+θ+θ+

θ−=

ρ−ρ

=ρ

.

.

.

98 Tsay, A.g.e., s.43. 99 Wei, A.g.e., s.47. 100 Nelson, A.g.e., s.34.

98

( )( )1k2

1

21

k1

kk 11

+θ−θ−θ−

=ρ

MA(1) modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu 2/1kk <ρ değerinden başlayarak

işaretine bağlı olarak üstel olarak sıfıra doğru yaklaşır.1θ101

3.4.5. MA(2) Modeli Durağan bir zaman serisinin kısmi otokorelasyon katsayıları üstel olarak

sıfıra yaklaşırken, ilk iki gecikmeye ait otokorelasyon katasayıları anlamlı, diğerleri

anlamsız olduğunda; ikinci dereceden hareketli ortalama modeli sözkonusudur.

Değişkenin t zamandaki değeri t-1 ve t-2 zamandaki hata terimlerinin bir

kombinasyonu olarak bulunmaktadır. μ sürecin ortalamasını göstermek üzere MA(2)

modeli,

2t21t1tt eeey −− θ−θ−+μ= (39)

ve olmak üzere, 0=μ

2t21t1tt eeey −− θ−θ−= (40)

şeklinde yazılabilir. ve 1θ 2θ modelin parametreleri olup, MA(2) süreci

parametrelerinin tüm değerleri için durağandır.102 Denklem (40)’daki model gecikme

işlemcisiyle kullanarak da yazılabilir.

( ) t2

21t eLL1y θ−θ−= (41)

( ) 0LL1 221 =θ−θ− karekteristik denkleminin köklerinin birim çember dışına

düşmesi durumunda MA(2) modeli çevrilebilir olmaktadır.103 Diğer bir ifadeyle

modelin parametreleri aşağıda belirtilen eşitsizlikleri sağladığında MA(2) modeli

çevrilebilir bir modeldir.

112 <θ+θ

112 <θ−θ

11 2 <θ<−

MA(2) sürecinin ortalaması zaman içinde değişmez. Sürecin ortalaması,

101 Wei, A.g.e., s.48. 102 Chatfield, A.g.e., s.44 103 Wei, A.g.e., s.49.

99

( ) μ=tyE (42)

varyansı ise,

( )22

21

2e0 1 θ+θ+σ=γ (43)

olmaktadır. MA(2) sürecinde ilk iki gecikmeye ait otokovaryanslar sıfırdan farklı,

ancak ikiden fazla gecikmeler için otokovaryans değerleri sıfırdır.

( 2112e1 θθ+θ−σ=γ ) k=1

2e22 σθ−=γ k=2

0k =γ k>2

Bilindiği üzere otokorelasyon katsayısı, otokovaryans değerinin varyansa

bölümünden elde edilmektedir. MA(2) modelinin otokovaryans değerleri ilk iki

gecikme için sıfırdan farklı, diğer gecikmeler için sıfır olduğundan dolayı ilk iki

gecikmenin otokorelasyon katsayıları anlamlı, diğerleri anlamsızdır.

( )22

21

21

0

11 1

1θ+θ+θ−θ−

=γγ

=ρ k=1 (44)

22

21

2

0

22 1 θ+θ+

θ−=

γγ

=ρ k=2 (45)

0k =ρ k>2 (46)

MA(2) Modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu ise,

111 ρ=ρ

21

212

22 1 ρ−ρ−ρ

=ρ

( )( )2

21

22

22131

33 1212

ρ−ρ−ρ−ρ−ρρ−ρ

=ρ

.

.

.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( ) 0LL1 221 =θ−θ− karakteristik denklemin

köklerinin işaretine ve büyüklüğüne bağlı olarak üstel veya sinüs dalgaları şeklinde

100

sıfıra yaklaşır. Karakteristik denklemin kökleri kompleks ise kısmi otokorelasyon

fonksiyonu sinüs dalgaları şeklinde sıfıra doğru azalır.104

3.4.6. MA(q) Modeli

Bir değişkenin t zamandaki değeri, aynı dönemdeki hata terimi ve hata

teriminin önceki dönemlere ait gecikmeli değerleri ile belirleniyor ise bu sürece

hareketli ortalama süreci adı verilmektedir.

( )te

105 , sıfır ortalama ve sabit varyansa

sahip bir beyaz gürültü serisidir. Modelin derecesi belirlenirken, değişkenin kısmi

otokorelasyon fonksiyonu sıfıra doğru üstel olarak azalırken, otokorelasyon

fonksiyonunda q adet otokorelasyon anlamlı, q gecikmeden büyük otokorelasyonlar

anlamsız ise değişken q’uncu dereceden bir hareketli ortlama modeline sahiptir ve

MA(q) şeklinde gösterilebilir.

te

Durağan serisinin q’uncu dereceden MA modeli, ty

qtq2t21t1tt e.......eeey −−− θ−−θ−θ−+μ= 0≠μ (47)

qtq2t21t1tt e.......eeey −−− θ−−θ−θ−= 0=μ (48)

şeklinde, kapalı biçimi ise,

( ) tq

q2

21t eL.......LL1y θ−−θ−θ−=

yazılmaktadır.

Ortalaması,

( ) μ=tyE (49)

Varyansı,

( )2p

22

21

2e0t .....1)y(V θ++θ+θ+σ=γ= (50)

şeklinde elde edilmektedir. MA(q) modelinin otokovaryans fonksiyonu q gecikmeye

kadar hesaplanabilmekte, q gecikmeden büyük gecikmelerin otokovaryans değeri

sıfır olmaktadır.

( )qkq1k1k2ek ..... θθ++θθ+θ−σ=γ −− q,......,2,1k =

0k =γ qk >

104 Wei, A.g.e., s.51. 105 Göktaş, A.g.e., s.83.

101

Otokovaryans değerlerinin varyansa bölünmesiyle elde edilen modelin

otokorelasyon fonksiyonu q gecikmeye kadar anlamlı, daha büyük gecikmeler için

ise anlamsızdır.

2q

21

qkq1k1kk ......1

......θ++θ+

θθ++θθ+θ−=ρ −+ q,......,2,1k =

0k =ρ qk >

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( ) 0L.......LL1 qq

221 =θ−−θ−θ−

karakteristik denklemin köklerine bağlı olarak üstel veya sinüs dalgaları şeklinde

sıfıra doğru azalır. Denklem kompleks köklere sahip olduğunda kısmi otokorelasyon

fonksiyonun grafiği sinüs dalgaları görünümündedir.106

3.4.7. ARMA(1,1) Modeli Bu modelde durağan zaman serisinin t zamandaki değeri, değişkenin t-1

zamandaki değeri, t ve t-1 zamandaki hata terimi ve 0φ sabit teriminden

oluşmaktadır. (51)’nolu eşitlikte ARMA(1,1) modeli görülmektedir.

1t1t1t10t eeyy −− θ−+φ+φ= (51)

Model gecikme işlemcisi kullanılarak,

1t1t01t1t eeyy −− θ−+φ=φ− (52)

t1t0t1t LeeLyy θ−+φ=φ−

( ) ( t10t1 eL1yL1 )θ−+φ=φ− (53)

şeklinde yazılabilir. ARMA(1,1) modelinin AR parametresi 11 1 <φ<− olduğunda

durağan, MA parametresi 11 1 <θ<− olduğunda ise çevrilebilir. Bu koşullar

sağlandığında ARMA(1,1) modeli durağan ve çevrilebilirdir. ARMA(1,1) modelinin

ortalaması sabittir, diğer ifadeyle zaman içinde değişmemektedir. (52) nolu

eşitlikteki terimlerin beklenen değerleri alındığında ARMA(1,1) ortalaması,

( ) ( )1

0t 1

yEφ−

φ=μ= (54)

106 Wei, A.g.e., s.53.

102

olarak elde edilir. Çünkü ’nin beklenen değeri sıfırdır. ARMA(1,1) modelinin

varyansı,

te

( )( )

2e2

1

1121

0 121

σφ−

θφ−θ+=γ (55)

olmaktadır. ARMA(1,1) in otokovaryansı,

k=1 için

( )( )( )

2e2

1

11111 1

1σ

φ−θ−φθφ−

=γ (56)

k=2 için,

112 γφ=γ (57)

2k ≥ için,

1k1k −γφ=γ (58)


ARMA(1,1) in otokorelasyon fonksiyonu

k=1 için

( )( )( )

( )( )

( )(( )

)11

21

1111

21

2e11

21

21

2e1111

0

11 21

1

121

11

θφ−θ+θ−φθφ−

=

φ−σθφ−θ+

φ−σθ−φθφ−

=γγ

=ρ (59)

1k ≥ için,

1k1k −ρφ=ρ (60)

Otokorelasyon fonksiyonun başlangıç değeri 1ρ ile başlar ( ’in değeri, 1ρ 1φ

ve ’e bağımlı iken işareti 1θ 11 θ−φ farkı tarafından belirlenmektedir.107) ve

başlangıç değerinden itibaren üstel olarak azalır. ARMA(1,1) modeli AR ve MA’nın

bir kombinasyonu olduğundan otokorelasyon fonksiyonu hem AR hem de MA

sürecinin özelliklerini birlikte gösterir. MA sürecinin yalnızca bir dönemlik belleğe

sahip olmasından dolayı birinci gecikmeden sonra otokorelasyon fonksiyonunun

107 George E.P. Box, Gwilym M.Jenkins ve Gregory C.Reinsel, Time Series Analysis: Forecasting and Control, Third Edition, Prentice Hall, 1994, s.81.

103

kesilmesi beklenirken AR bileşeninin etkisiyle bir gecikmeden sonra azalan

otokorelasyon davranışı özelliği gözlenir.108

Otokorelasyon katsayıları için durağanlık ve çevrilebilirlik koşulları ise,

12 ρ<ρ

( 12 112 +ρ )ρ>ρ , 01 <ρ

( 12 112 −ρ )ρ>ρ , 01 >ρ

olarak belirtilmektedir.

ARMA(1,1) modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu MA(1) modelinin

kısmi otokorelasyon fonksiyonuna benzemektedir. 1θ pozitif olduğunda, işaretini

farkının belirlediği 11 θ−φ 111 ρ=ρ değerinden başlayarak üstel azalan; negatif

ise, işaretini farkının belirlediği

1θ

11 θ−φ 111 ρ=ρ değerinden başlayarak sarkaç

hareketine benzer dalgalı azalan bir yapı sergilemektedir.109

3.4.8. ARMA (p,q) Modeli Durağan bir zaman serisini AR veya MA modeli ile tanımlamak bazı

durumlarda kullanışsız olabilmektedir. Çünkü yüksek dereceden AR veya MA

modeli için çok sayıda paremetreye gereksinim vardır. Bunun yerine AR ve MA

modellerinin bir kombinasyonu olan ARMA modelleriyle parametre sayısı

azaltılabilmekte110 ve seri için sadece AR ve sadece MA modellerinden daha uygun

bir model elde edilebilmektedir.111 Böyle bir model otoregressif hareketli ortlama

(ARMA) modeli olacaktır. Bu modelin durağanlığı tamamen otoregressif kısma

bağlıdır. ARMA modelinin tersine çevrilebilmesi ise modelin hareketli ortalamalar

kısmıyla ilgilidir. Durağan bir zaman serisinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon

fonksiyonları belli bir gecikme değerinde kesilmeyip sıfıra doğru yavaş yavaş

yaklaşabilirler. Bu durumda zaman serisi modelinde hem AR hem MA süreci aynı

anda yer almaktadır. ARMA sürecinin derecesi belirlenirken otokorelasyon ve kısmi

otokorelasyon fonksiyonları birlikte incelenmektedir. Bu fonksiyonlara ait

108 Sevüktekin ve Narrgeleçekenler, A.g.e, s.155. 109 Box, Jenkins ve Reinsel, A.g.e, s.82. 110 Tsay, A.g.e., s.43. 111 Chatfield, A.g.e., s.46.

104

katsayıların gecikme sayısı arttıkça yavaş yavaş azaldığı görülür.112 Otokorelasyon

ve kısmi otokorelasyon katsayıları incelenerek, anlamlı otokorelasyonlardan modelin

MA derecesi (q), anlamlı kısmi otokorelasyonlardan ise modelin AR derecesi (p)

belirlenmeye çalışılır.

Durağan bir zaman serisi için bir ARMA(p,q) modeli,

qtq2t21t1tptp2t21t1t e......eeey....yyy −−−−−− θ−−θ−θ−+φ++φ+φ=

(Sabitsiz) (61)

qtq2t21t1tptp2t21t10t e......eeey....yyy −−−−−− θ−−θ−θ−+φ++φ+φ+φ=

(Sabitli) (62)

şeklinde yazılabilir. (61) ve (62)’nolu modelde beyaz gürültü serisi, p ve q

modelin dereceleridir. (62)’nolu modeldeki

te

0φ modelin sabitidir. (61) nolu modeli

gecikme işlemcisi kullanarak tekrar yazıldığında;

qtq2t21t1tptp2t21t1t e......eeey....yyy −−−−−− θ−−θ−θ−=φ++φ−φ−

( ) ( ) tq

q2

21tp

p2

21 eL.....LL1yL.....LL1 θ−−θ−θ−=φ−−φ−φ− (63)

elde edilen (63)’nolu eşitliği kısaca

(64) ( ) ( ) tt eLyL θ=φ

şeklinde gösterebilir.. ARMA(p,q) modelinin durağanlık koşulu,

1..... p21 <φ++φ+φ

çevrilebilirlik koşulu ise ,

1..... q21 <θ++θ+θ

olmaktadır. Bu eşitsizlikler gerçekleştiğinde ARMA(p,q) modeli durağan ve

çevrilebilir olmaktadır. ARMA modellerinin ortalaması, varyansı ve kovaryansı

zamana bağlı olarak değişmemektedir. Ortalama ve varyans sabit iken, kovaryans

zaman değil, zamanlar arası farka dayanmaktadır.113 ARMA(p,q) modelinin

ortalaması,

( )p21

0

....1 φ−φ−φ−φ

=μ (65)

varyansı, 112 Göktaş, A.g.e., s.85 113 Akgül, A.g.e., s.89.

105

2epp22110 .... σ+γφ++γφ+γφ=γ (66)

olmaktadır. ARMA(p,q) modelinin otokovaryans fonksiyonu,

pkp2k21k1k ...... −−− γφ++γφ+γφ=γ

ve otokorelasyon fonksiyonu,

pkp2k21k1k ...... −−− ρφ++ρφ+ρφ=ρ

şeklinde yazılabilir.

ARMA(p,q) modelinin otokorelasyon fonksiyonu AR(p) modelinin

otokorelasyon fonksiyonu ile aynı yapıya sahip olup üstel azalma veya sinüs

dalgaları şeklinde azalmaktadır. ARMA modellerinin otokorelasyon fonksiyonunun

şekli modelin derecesine göre değişmektedir. Bazı ARMA(p,q) modellerinin

otokorelasyon fonksiyonlarının şekli verilebilir. ARMA(1,1) modelinin

otokorelasyon fonksiyonu ( )11pq =+− bir gecikmeden itibaren üstel olarak

azalırken, ARMA(2,2) modelinin otokorelasyon fonksiyonu bir

gecikmeden itibaren üstel veya sinüs dalgaları şeklinde azalmaktadır. ARMA(1,2)

modelinin otokorelasyon fonksiyonu

( )11pq =+−

( )21pq =+− iki gecikmeden itibaren üstel

olarak azalırken, ARMA(2,1) modelinin otokorelasyon fonksiyonu ( )01pq =+−

sıfırdan büyük gecikmeler için üstel azalma ve sinüs dalgaları şeklinde azalmanın

toplamı olarak görülmektedir.114

ARMA(p,q) modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu şeklini, qpk −>

için MA(q) modelinin kısmi otokorelasyon fonksiyonuna benzemekte, için

ise genel bir gösterim bulunmamaktadır.

qpk −≤115 ARMA(p,q) modelinin otokorelasyon

fonksiyonu ve kısmi otokorelasyonları bir arada ele alındığında absisi belli bir

gecikme sonrasında değil sonsuzda kestiği görülmektedir.116

114 Terence C. Mills, Time Series Techniques for Economics, Cambridge Uiversity Press, 1998, s. 91. 115 A.e. 116 Akgül, A.g.e., s.46.

106

3.4.9. ARIMA (p,d,q) Modeli Uygulamada pek çok zaman serisi durağan değildir. Dolayısıyla durağan

olmayan zaman serisine doğrudan AR, MA ve ARMA gibi durağan modeller

uygulanamaz. AR ve MA modelleri uygulandığında bu modellerin parametrelerinin

tahmininden daha önemli bir sorun modellerin derecelerinin belirlenmesidir. ARMA

modeliyle bu soruna ilave olarak seriyi durgunlaştırmak için kaçıncı dereceden fark

alınması gerektiği de eklenmektedir. Durağanlığın sağlandığı, otokorelasyon

fonksiyonun incelenmesi yanında birim kök testleriyle de belirlenebilmektedir.

Mevsim etkisi taşımayan ve durağan olmayan seriler için ilk farklar uygun olmakta,

ikinci fark nadiren gerekmektedir (Genelde ekonomik değişkenler ilk farklardan

sonra durağanlaştığı gözlenmektedir)117 ve bu yaklaşım araştırmacılar tarafından

yaygın olarak kullanılmaktadır.118 Seri durağanlaştırıldıktan sonra fark serisi için

ARMA yani ARIMA modeli oluşturulabilir.

Durağan olmayan bir zaman serisi durağanlaştırıldıktan sonra bir AR(p)

modeli uygun oluyorsa ARIMA(p,d,0) yerine ARI(p,d), bir MA(q) modeli uygun

oluyorsa ARIMA(0,d,q) yerine IMA(d,q) şeklinde de gösterilebilmektedir.119

Durağan olmayan serisini durağanlaştırmak için ilk farkı, ty

1ttt yyy −−=Δ

seri hala durağan değilse serisinin ikinci farkı veya fark serisinin ilk farkını almak

suretiyle,

ty

2t1ttt2 yy2yy −− +−=Δ

seri durağanlaştırılır. d kez fark alınarak d’inci dereceden durağan olan

serisi ARMA(p,q) modeline sahip ise serisi de ARIMA(p,d,q) modeli ile ifade

edebilebilir. Örneğin bir kez fark almakla durağanlaştırılabilen bir seri için

ARIMA(p,1,q) modeli,

)yw( td

t Δ=

tw ty

qtq2t21t1tptp2t21t1t e.......eeew......www −−−−−− θ−θ−θ−+φ++φ+φ= (67)

şeklinde yazılabilir. 1ttt yyw −−= olmak üzere,

117 Chatfield, A.g.e., s.50. 118 Chatfield, A.g.e., s.42. 119 Franses, A.g.e., s.38

107

( ) ( ) qtq1t1t1ptptp2t1t11tt e....eeyy......yyyy −−−−−−−− θ−−θ−+−φ++−φ=− (68)

d kez fark alınarak durağanlaştırılabilen serisinin ARIMA(p,d,q) modeli, ty

qtq2t21t1t0ptd

p2td

21td

1td e.......eeey.......yyy −−−−−− θ−−θ−θ−+φ=Δφ−−Δφ−Δφ−Δ

(69)

Eşitlik (69)’u gecikme işlemcisiyle yazdığımızda,

( ) qtp1t1t0tdp

p2

21 e.......eeyL.....LL1 −− θ−−θ−+φ=Δφ−−φ−φ− (70)

ifadesini elde edilir. Son elde edilen eşitlik (70) daha genel olarak

( ) ( ) ttd eLyL θ=Δφ

veya

( ) ( ) tt eLwL θ=φ

şeklinde yazabilir. Sürecin durağanlığı modelin otoregressif kısmının, çevrilebilirliği

ise hareketli ortalama kısmının sağladığı koşullara bağlıdır. Sürecin durağanlığının

sağlanması için ( ) ( ) 0L.....LL1L pp

221 =φ−−φ−φ−=φ denkleminin köklerinin birim

çember dışına, çevrilebilir olması için ise ( ) ( ) 0L.....LL1L pp

221 =θ−−θ−θ−=θ

denkleminin köklerinin birim çember dışına düşmesi gerekmektedir.120

d kez farkı alınarak durağanlaştırılmış serisinin ortalaması, ty

( ) ( )p21

0wt

dt ......1

yEwEφ−−φ−φ−

φ=μ=Δ=

formülüyle bulunabilir.

Durağan olmayan zaman serisi uygun fark alma işlemiyle

durağanlaştırıldıktan sonra modelin AR derecesi p ve MA derecesi q

belirlenmektedir. ARIMA modellerinde uygun fark derecesinin, AR derecesinin ve

MA derecesinin belirlenmesi oldukça güçtür ve deneyim gerektirmektedir. Fark alma

işlemiyle durağanlaştırılan seriye ait modelin otoregressif ve hareketli ortalama

derecelerinin belirlenmesi için otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon

fonksiyonlarından yararlanılmaktadır.

120 Wei, A.g.e., s.71.

108

3.4.10. Mevsimsel Otoregressif Hareketli Ortalama Yöntemi Mevsim etkisi içeren seriler otoregressif, hareketli ortalama, otoregressif

hareketli ortalama bileşenlerinin yanında mevsim bileşenin ilave edilmesiyle

modellenebilmektedir. Mevsimlik seri bazen sadece mevsim bileşeni barındıran bir

model ile de ifade edilmektedir.

Sadece mevsim bileşenin modellendiği zaman serisinin mevsimsel teorik

otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları aşağıdaki yapılara sahiptirler.121

- Otokorelasyon fonksiyonu s, 2s, 3s, .... gibi gecikmelerle yavaşca sıfıra

yaklaşır. Bu durumda mevsimsel fark alma işlemi gerekmektedir.

- Sadece P inci dereceden mevsimsel bir AR modelinde otokorelasyon

katsayıları , s ve katlarındaki gecikmelerde sıfıra doğru üstel olarak

azalırken, s ve katlarındaki anlamlı kısmi otokorelasyon katsayıları

mevsimsel AR modelin derecesini belirler.

- Sadece Q’uncu dereceden mevsimsel bir MA modelinde kısmi

otokorelasyon katsayıları, s ve katlarındaki gecikmelerde sıfıra doğru

üstel olarak azalırken, s ve katlarındaki anlamlı otokorelasyon katsayıları

mevsimsel MA modelin derecesini belirler.

- P ve Q’uncu dereceden bir mevsimsel ARMA modelinde hem

otokorelasyon katsayıları hem kısmi otokorelasyon katsayıları s ve

katlarındaki gecikmelerde üstel olarak sıfıra doğru yaklaşır.

Mevsimsel otoregressif hareketli ortalama yönteminin durağan olabilmesi

için ve ( ) 0L =φ ( ) 0Ls =Φ karekteristik denklemlerinin köklerinin, çevrilebilir

olabilmesi için ise ( ) 0Ls =Θ ve ( ) 0L =θ karekteristik denkleminin köklerinin birim

çember dışında olması gerekmektedir.122

121 Alan Pankratz, Forecasting with Dynamic Regression Models, John Wiley&Sons Inc. 1991, s.55. 122 A.e., s.59.

109

3.4.10.1. SAR(P) Modeli Mevsim etkisinin içeren serilerde (haftalık, aylık ve mevsimlik veriler) otoregressif

hareketli ortalama yönteminin uygulanması belirli aralıklarla (s) tekrar eden bir

mevsimlik eğilimin ilavesiyle daha güçleşmektedir.123 Serilerin mevsimlik özelliği

taşıdıkları saptandığında, aylık gözlemler arasındaki ilişki,

t12t1t eyy +Φ= −

ve üçer aylık gözlemler arasındaki ilişki,

t4t1t eyy +Φ= −

olacak şekilde tanımlanabilir. Yukarıdaki modeller saf mevsimsel otoregressif

modeller olarak adlandırılmakta olup kısaca veya SAR(1) olarak

gösterilmektedir. Her iki modelde de zaman serisinin cari değeri serinin bir yıl

önceki değeri ile hata terimlerinin doğrusal bir fonksiyonu olarak ifade

edilmektedir.

s)1(AR

124

Aylık veriler için birinci dereceden saf mevsimsel otoregressif model olan

SAR(1) modelinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları,

12/kk Φ=ρ ,.....36,24,12k =

diğer 0k =ρ

Φ=ρkk 12k =

diğer 0kk =ρ

olarak elde edilebilmektedir. İkinci dereceden saf otoregressif model SAR(2) nin

kısmi otokorelasyon fonksiyonunda ise 12. ve 24. gecikmelerin otokorelasyonları

anlamlı olmaktadır.125

P’inci dereceden mevsimsel otoregressif model gecikme işlemcisi yardımıyla

genel olarak,

( ) ttPs

ps2

2s

1 eyL......LL1 =Φ−−Φ−Φ− (71)

şeklinde yazılabilir. Açık olarak yazılan (71)’nolu eşitliği,

( ) tts eyL =Φ (72)

123 Orhunbilge, A.g.e., s.206. 124 Akgül, A.g.e., s.186. 125 Kadılar, A.g.e., s.223.

110

olarak da gösterebilir. Eşitlikte (71) ve (72)’de yer alan P mevsimsel dereceyi, Φ ise

mevsimsel parametreleri simgelemektedir. durağan zaman serisini, s mevsim

sayısını göstermektedir. Eşitlik (2) de yer alan

ty

( )sLΦ polinomunun açılımı,

( ) PsP

s22

s1

s L......LL1L Φ−−Φ−Φ−=Φ

olarak yapılmaktadır. Buraya kadar anlatılanlar durağan zaman serisi için geçerlidir.

Ancak uygulamada sıklıkla durağan olmayan zaman serileriyle karşılaşıldığından

öncelikle gerekli dönüşümler yapılarak zaman serisinin durağanlaştırılması

gerekmektedir. Serinin durağanlığı hakkında bilgi edinmek için serinin gözlem

değerlerinden elde edilen otokorelasyon fonksiyonunun incelenmesi gerekir.

Otokorelasyon fonksiyonununda sadece s, 2s, 3s vb gecikmelerin otokorelasyonları

anlamlı ise seriye sadece mevsimsel fark alma işlemi uygulanarak serinin durağanlığı

sağlanır. Serinin otokorelasyon fonksiyonunda çeşitli gecikme değerlerinin yanı sıra

s, 2s, 3s vb gecikmelere ait otokorelasyonlar da anlamlı ise seriye hem ilk farklar

hem de mevsimsel farklar uygulayarak seri durağanlaştırılır. durağanlaştırılmış

bir seriyi göstermek üzere P’inci dereceden bir SAR(P) modeli,

tw

( ) tts ewL =Φ

olarak gösterilecektir. Modelde yer alan tw ,

tdD

st yw ΔΔ=

olacak şekilde serisini durağanlaştırmak için yapılan dönüşümleri göstermektedir. ty

DsΔ , d inci dereceden mevsimsel fark işlemcisi,

dΔ , d inci dereceden fark işlemcisidir.

Durağan bir zaman serisinde hem otoregressif hem de mevsimsel otoregressif

etkilerin birlikte gözlenmesiyle ARIMA(p,0,0)(P,0,0) modeli ortaya çıkmaktadır. Bu

model hem mevsimsel olmayan hem de mevsimsel bileşeni içermektedir. Örneğin

aylık verilerden elde edilen ARMA(1,0,0)(1,0,0) modelinde söz konusu bileşenler

eşitlik (73)’deki gibi gösterilmekte ve model toplamsal mevsimsel otoregressif model

adını almaktadır.

t12t121t1t eyyy +φ+φ= −− (73)

111

Mevsimsel ve mevsimsel olmayan bileşenleri çarpım şeklinde de ifade etmek

mümkündür ve sözkonusu modele çarpımsal otoregressif model denmektedir. Aylık

ve üçer aylık verilere ait çarpımsal ARMA(1,0,0)(1,0,0) modelinin gösterimi

sırasıyla eşitlik (74) ve eşitlik (75) de verilmektedir.

( )( ) tt12

11 eyL1L1 =Φ−φ−

t13t1112t11t1t eyyyy +Φφ−Φ+φ= −−− (74)

( )( ) tt4

11 eyL1L1 =Φ−φ−

t5t114t11t1t eyyyy +Φφ−Φ+φ= −−− (75)

Çarpımsal modelde mevsimsel gecikmeli gözlem ile kendinden bir önceki

gözlem arasında bağımlılığa ağırlık verilmekte ve çarpımsal modelin mevsimselliği

daha iyi tanımladığı vurgulanmaktadır. Çarpımsal modelde φ ve değerinin küçük

olması durumunda çarpımları sıfıra yaklaşacağından çarpımsal model toplamsal

modele dönüşmektedir.

Φ

126 Çarpımsal mevsimsel AR modelinin kısmi otokorelasyon

fonksiyonunda s gecikmelere ait kısmi otokorelasyonların yanında, komşu

gecikmelerdeki kısmi otokorelasyon katsayıları da önemli olmaktadır. Modelin

durağanlığı için,

1<φ

1<Φ

şartlarının sağlanması gerekmektedir.

3.4.10.2. SMA(Q) Modeli Durağan bir zaman serisinin cari değerinin hata terimi ve s dönem önceki hata

teriminin bir doğrusal kombinasyonu şeklinde ifade edilmesiyle mevsimsel hareketli

ortalama model söz konusu olmaktadır. Veriler aylık olduğunda eşitlik (76) ve üçer

aylık olduğunda eşitlik (77)’deki gibi SMA(1) modelleri yazılabilmektedir.

12t1tt eey −Θ−= (76)

4t1tt eey −Θ−= (77)

126 Akgül, A.g.e., s.192.

112

Modelde, durağan zaman serisini, beyaz gürültü serisi, , mevsimsel

hareketli ortalama parametresidir. SMA(Q) modelleri gecikme işlemcisiyle birlikte

genel olarak,

ty te 1Θ

( ) ts

t eLy Θ= (78)

gösterilmektedir. Eşitlik (3)’deki ( )sLΘ açılımı,

( ) QsQ

s22

s1

s L.......LL1L Θ−−Θ−Θ−=Θ


Zaman serisi durağan olmadığında uygun dönüşümlerle serinin

durağanlığının sağlanması gerekmektedir. Seriye ilk farklar veya mevsimsel farklar

uygulanarak durağan bir seri elde edilir. durağan bir seriyi göstermek üzere

SMA(Q) modeli,

tw

( ) ts

t eLw Θ= (79)

olarak gösterilebilir. Modeldeki tw ,

tdD

st yw ΔΔ=

işlemleriyle elde edilir. , D’inci dereceden mevsimsel fark işlemcisini, d’inci

dereceden fark işlemcisidir.

DsΔ

dΔ

Mevsimsel ve mevsimsel olmayan hareketli ortalama modellerinin

otokorelasyon fonksiyonları birbirine benzerlik göstermekle birlikte127, mevsimsel

hareketli ortalama modellerinde sadece s, 2s, 3s, .... gibi gecikmelerde otokorelasyon

katsayıları önemli olmaktadır.128

Serinin otokorelasyon fonksiyonu ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu

incelenmesinde hareketli ortalama ve mevsimsel hareketli ortalama özellikleri

birlikte gözlemleniyorsa söz konusu model çarpımsal mevsimsel hareketli ortalama

modeli olmaktadır. Model düzenli bileşen ve mevsim bileşeni olmak üzere iki

kısımdan oluşmaktadır. Örneğin ilk farklarla MA(2) modeli uygun olan aylık bir seri

için ARIMA(0,1,2)(0,0,1) ve ARIMA(0,1,2)(1,0,0) olmak üzere iki alternatif model 127 Akgül, A.g.e. , s.194. 128 Nelson, A.g.e., s.170.

113

kullanılabilmektedir.129 Söz konusu modellerin ilkinde mevsim bileşeni hareketli

ortalama, ikincisinde ise otoregressif bir sürece sahip olmaktadır.

ARIMA(0,1,2)(0,0,1) modeli

( ) ( )( ) t12

122

21t eL1LL1yL1 Θ−θ−θ−=−

( L1− ), ilk farklar

( )221 LL1 θ−θ− , Mevsimsel olmayan MA(2)

( )1212L1 Θ− , Mevsimlik MA parametresi

ARIMA(0,1,2)(1,0,0) modeli

( )( ) ( ) t2

21t12

12 eLL1yL1L1 θ−θ−=Φ−−

( )L1− , İlk farklar

( )221 LL1 θ−θ− , Mevsimsel olmayan MA(2)

( )1212L1 Φ− , Mevsimlik AR parametresi

Çarpımsal mevsimsel hareketli ortalama modellerinin otokorelasyon

fonksiyonunda gibi gecikmelerin yanı sıra s, 2s, 3s, .... gecikmeler ile

mevsim bileşenin derecesine bağlı olarak mevsim periyodunun komşu

gecikmelerdeki otokorelasyonlarda önemli olmaktadır. Örneğin aylık gözlemler için

ARIMA(0,1,1)(0,1,1) modelinin

.....3,2,1k =

130 otokovaryans fonksiyonu;

( )( ) 2e

21

210 11 σΘ+θ+=γ

( ) 2e

2111 1 σΘ+θ−=γ

2e1111 σΘθ=γ

( ) 2e

21112 1 σθ+Θ−=γ

2e1113 σΘθ=γ

ARIMA(0,1,1)(0,1,1) modelinin otokorelasyon fonksiyonu;

21

1k 1 θ+

θ−=ρ 1k =

( )( )21

21

11k 11 Θ+θ+

Θθ=ρ 13,11k =

129 Orhunbilge, A.g.e., s.209 130 Box, Jenkins ve Reinsel, A.g.e., s.342.

114

21

1k 1 Θ+

θ−=ρ 12k =

0k =ρ diğer

Yukarıdaki eşitliklerden de anlaşılacaığı üzere çarpımsal mevsimsel hareketli

ortalama modellerinde mevsm periyodunun yanıdaki gecikmelere ait ilişkiler aynı

büyüklükte ve aynı işaretli olmaktadır. Bu durumda birinci dereceden mevsimsel

hareketli ortalama modelleri için otokorelasyon fonksiyonu grafiğinde mevsim

periyodunun yanındaki birer gecikme aynı yönde ilişkiye sahip olmaktadır. ikinci

dereceden mevsimsel hareketli ortalama modelleri için ise mevsim periyodunun

yanındaki ikişer gecikme aynı yönde ilişkiye sahip olmalıdır.131

Mevsimsel hareketli ortlama modellerinde kısmi otokorelasyon fonksiyonu

fonksiyonu yavaş yavaş azalmakta, otokorelasyon fonksiyonunun ilk

gecikmelerinden hareketli ortalamanın derecesi (q), s ve katları ile yanındaki

gecikmelere ait aynı yöndeki önemli otokorelasyonlardan mevsimsel hareketli

ortalama modelinin derecesi olan (Q) belirlenmektedir.132 Çarpımsal mevsimlik

hareketli ortalama modelinin çevrilebilir olması için,

1<θ

1<Θ

şartlarının sağlanması gerekmektedir.

3.4.10.3. SARMA(P,Q) Modeli Mevsimlik bir zaman serisi modellenirken mevsim bileşeninin hangi sürece

sahip olduğunun belirlenmesi gerekmektedir. Mevsim etkisi, otoregressif, hareketli

ortalama süreçlerine sahip olabileceği gibi iki süreci birlikte de barındırabilir.

Mevsim etkisi her iki sürece birlikte sahip olduğunda model SARMA(P,Q),

QstQs2t2st1tPstPs2t2st1t e......eeey.....yyy −−−−−− Θ−−Θ−Θ−+Φ++Φ+Φ=

131 Kadılar, A.g.e., s.228. 132 A.e., s.229.

115

şeklinde yazılabilmektedir. Modelde; durağan zaman serisi, beyaz gürültü

serisini, s mevsim dönem sayısı,

ty te

Φ mevsimsel otoregressif parametreleri, Θ

mevsimsel hareketli ortalama parametrelerini göstermektedir. Modelin dereceleri P

ve Q’dur. Yukarıdaki model gecikme işlemcisiyle yazdıldığında,

( ) ( ) tQs

Qs2

2s

1tPs

Ps2

2s

1 eL......LL1yL......LL1 Θ−−Θ−Θ−=Φ−−Φ−Φ−

elde edilmektedir. Daha genel bir gösterim,

( ) ( ) ts

Qts

P eLyL Θ=Φ

şeklinde olacaktır.

SARMA(P,Q) modelinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları

üstel olarak sıfıra yaklaşırken, s, 2s,..... gecikmelerinin otokorelasyon ve kısmi

otokorelasyon katsayıları anlamlı diğer gecikmeler için anlamsız olacaktır.

Durağan serisinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları

üstel olarak sıfıra yaklaşırken s, 2s, ... gecikmelerinin yanı sıra 1., 2., ......

gecikmelerinin de otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları anlamlı

olduğunda, çarpımsal mevsimsel otoregressif hareketli ortalama modeli

ARIMA(p,0,q)(P,0,Q)

ty

s söz konusu olacaktır. Söz konusu modelde düzenli bileşen

ve mevsim bileşeni hem otoregressif hem hareketli ortalama sürecine sahiptir.

( )( )( )( t

QsQ

s1

qq1

tPs

Ps

1p

p1

eL.....L1L....L1

yL....L1L....L1

Θ−−Θ−θ−θ−

=Φ−−Φ−φ−−φ−

)

ARIMA(p,0,q)(P,0,Q)s modelinin mevsimsel ve mevsimsel olmayan

dereceleri belirlenirken otokorelasyon fonksiyonu ve kısmi otokorelasyon

fonksiyonu grafiklerinden yararlanılır. Kısmi otokorelasyon fonksiyonu grafiğindeki

ilk gecikmelere ait anlamlı korelasyonlardan p, s ve katlarındaki gecikmelere ait

anlamlı korelasyonlardan P belirlenebilirken, s gecikmenin yanındaki

korelasyonlarda yine P nin belirlenmesinde yardımcı olmaktadırlar. Otokorelasyon

fonksiyonu grafiğindeki ilk gecikmelere ait anlamlı korelasyonlardan q, s ve

katlarındaki gecikmelere ait anlamlı korelasyonlardan Q belirlenebilmektedir. s

gecikmenin yanındaki ilişkilerde Q nun belirlenmesi aşamasında yararlı

olmaktadır.133

133 A.e., s.233.

116

Örneğin aylık durağan bir zaman serisi için ARIMA(1,0,1)(1,0,1) modelini,

( )( ) ( )( ) t12

11t12

11 eL1L1yL1L1 Θ−θ−=Φ−φ−

şeklinde gösterebiliriz. Modelde,

( L1 1φ− ), Mevsimlik olmayan AR parametresini

( )121L1 Φ− , Mevsimlik AR parametresini

( L1 1θ− ), Mevsimlik olmayan MA parametresini

( )121L1 Θ− , Mevsimlik MA parametresini temsil etmektedir.

3.4.10.4. SARIMA(P,D,Q) Modeli Mevsimlik durağan seriler için mevsim bileşenin özelliğine göre P dereceden

SAR, Q dereceden SMA veya P ve Q dereceden SARMA modellerinin uygun olduğu

daha önceden değinilmişti. Durağan olmayan mevsimlik serinin mevsim bileşenin

hem otoregressif hem hareketli ortalama sürecine sahip olması durumunda ise, P ve

Q derecelerinden SARIMA(P,D,Q) modeli uygun olmaktadır ve bu modele saf

mevsimsel ARIMA modeli denmektedir. SARIMA modellerinde gözlem değerleri

sadece mevsimsel gecikmelerde ve katlarında bağımlı olmakta, diğer gecikmeler bir

birinden bağımsız olmaktadır.134

Durağan olmayan mevsimlik serinin D inci dereceden mevsimlik farkı

alınarak seri durağanlaştırılmakta, daha sonra durağanlaştırılan serinin otokorelasyon

ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları incelenmektedir. Otokorelasyon ve kısmi

otokorelasyon fonksiyonlarında, korelasyonlar üstel olarak sıfıra yaklaşırken, s, ve

katlarındaki anlamlı korelasyonlardan modelin dereceleri olan P ve Q belirlenir.

P, D, Q dercelerinde mevsimsel ARIMA [SARIMA(P,D,Q)] modeli gecikme

işlemcisiyle kullanılarak

( ) ( ) ts

QtDs

sP eLyL Θ=ΔΦ

134 Akgül, A.g.e., s.199.

117

şeklinde ifade edilmektedir. , durağan olmayan mevsimlik seriyi, , beyaz

gürültü serisini, , D inci dereceden mevsimsel farkı, , mevsimsel AR

paremetresini, , mevsimsel MA parametresini göstermektedir.

ty te

DsΔ PΦ

QΘ

Çoğu zaman ekonomik değişkeni sadece mevsim bileşenini içeren bir

modelle açıklamak yeterli olmamaktadır. Dolayısıyla mevsimsel ve mevsimsel

olmayan bileşenleri içeren çarpımsal bir modele gerek duyulmaktadır. Örneğin

ARIMA(1,1,1)(1,1,1)12 modeli, birinci dereceden mevsimsel olmayan ve mevsimsel

farklar yanında; AR(1) terimini, SAR(1), MA(1) ve SMA(1) terimlerini

içermektedir. En genel çarpımsal ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s modeli,

( )( )( ) ( )( )( ) t

QsQ

s1

qq1

tDsdPs

Ps

1p

p1

eL......L1L.......L1

yL1L1L......L1L....L1

Θ−−Θ−θ−−θ−

=−−Φ−−Φ−φ−−φ−

biçiminde yazılmaktadır. ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s modelinin otokorelasyon

fonksiyonu ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu grafiklerindeki korelasyonlar yavaş

yavaş azalmaktadır. KOKF grafiğindeki ilk gecikmelere ait anlamlı korelasyonlardan

mevsimsel olmayan AR’ın derecesi p, s ve katlarındaki anlamlı korelasyonlardan ise

mevsimsel AR’ın derecesi olan P belirlenmektedir. Benzer şekilde otokorelasyon

fonksiyonu grafiğindeki ilk gecikmelerden mevsimsel olmayan MA’nın derecesi q, s

ve katlarındaki gecikmelerden ise mevsimsel MA’nın derecesi Q saptanmaktadır.

Ayrıca otokorelasyon fonksiyonununda s gecikmenin yanındaki gecikmelere

(örneğin s-1..., s , s+1..) ait ilişkilerin yönü ve büyüklüğünden Q’nun alacağı, kısmi

otokorelasyon fonksiyonununda s gecikmenin yanındaki ilişkilerden de P’nin alacağı

değerler hakkında bir fikir sahibi olunabilir.135

135 Kadılar, A.g.e., s.233.

118

3.4.11. Box Jenkins Model Kurma Yöntemi Box-Jenkins yöntemi ele alınan zaman serisinin özelliklerine göre belirlenen

çeşitli modeller arasından uygun olanını seçerek tahmin etme sürecini

kapsamaktadır. Bu tür zaman serisi modellerinde serinin kendi iç dinamiği önemli

olup oluşturulan modeldeki değişken, kendi gecikmeli değerleri ve hata teriminin

gecikmeli değerleriyle açıklanmaktadır.136

Box-Jenkins model kurma yöntemi cimrilik137 prensibine dayanmakta ve dört

aşamadan oluşmaktadır:

- Model Belirleme,

- Modelin Tahmini,

- Modelin Uygunluk Testi

- Geleceğe Yönelik Tahmin

3.4.11.1. Model Belirleme Daha öncede belirtildiği gibi bu aşamada öncelikle serinin durağan olup

olmadığının araştırılması gerekmektedir. Serinin otokorelasyon fonksiyonu

incelenerek serinin durağan olup olmadığına karar verilebileceği gibi birim kök

testleri yardımıyla da serinin durağanlığı araştırılabilir. Seri durağan değil ise, fark

alma işlemi ile durağanlaştırılır. Durağanlık sağlandıktan sonra modelin derecesi için

serinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonlarından yararlanılır. AR

modelinin derecesi anlamlı kısmi otokorelasyon, MA modelinin dercesi ise anlamlı

otokorelasyon katsayılarının sayısı ile belirlenmektedir. Eğer süreç,

AR(p) ise otokorelasyon katsayıları üstel olarak sıfıra yaklaşırken, kısmi

otokorelasyon katsayıları p gecikmeden sonra sıfır olmaktadır. Otokorelasyon

katsayıları üstel azalmanın yanında sinüs dalgası şeklinde veya sarkaç hareketine

benzer bir yapıda da olabilir.

MA(q) ise otokorelasyon katsayıları q gecikmeden sonra sıfır olmakta, buna

karşılık kısmi otokorelasyon katsayıları üstel olarak sıfıra yaklaşmaktadır. Kısmi

otokorelasyon katsayıları sinüsoidal dalgalanma şeklinde de olabilir. 136 Göktaş, A.g.e., s.92. 137 Cimrilik Prensibi (Parsimony): verinin özelliklerini yeterli olarak yansıtan bir model için mümkün olan en az parametrenin kullanılması.

119

ARMA(p,q) modellerinde ise hem otokorelasyon katsayıları hem de kısmi

otokorelasyon katsayıları üstel olarak sıfıra yaklaşırlar. Ayrıca sinüsoidal

dalgalanmalar şeklinde de olabilirler.

3.4.11.2. Modelin Tahmini Uygun model belirlendikten sonra sıra modelin otoregressif ve hareketli

ortalama paremetrelerinin tahmin edilmesi aşamasına gelmektedir. Söz konusu

parametre tahminleri sapmasız, tutarlı ve etkin olmalıdır. Parametrelerin tahmin

edilmesinde en küçük kareler yöntemi kullanılabilmektedir. Ancak bu yöntemin

kullanılması durumunda hata terimlerinde görülen otokorelasyon etkisi nedeniyle

etkin olmayan ve çok büyük varyansa sahip olan parametre tahminleri elde

edileceğinden parametrelerin doğrusal olmayan en küçük kareler yöntemi ile tahmin

edilmesi uygun görülmektedir. Hata terimlerinin normal dağılıma sahip olduğunda

tahmin yöntemi olarak Maksimum Benzerlik de kullanılmaktadır.138

Modelde MA bileşeni olduğunda en küçük kareler yöntemiyle parametrelerin

tahmini hiç de kolay olmadığından iterasyon yöntemi kullanılmaktadır. Yöntemde ilk

önce parametreler için bir başlangıç değeri seçilmekte ve bir bilgisayar programı

yardımıyla hata kareleri toplamını minimum yapan parametre değerleri elde

edilinceye kadar iterasyon işlemi sürdürülmektedir.139

Tahmin aşamasında dikkat edilmesi gereken bazı önemli noktaları aşağıdaki

gibi özetlemek mümkündür:140

- Tahmin edilen tüm AR ve MA parametrelerinin durağanlık ve

çevrilebilirlik sınırı içinde olması gerekmektedir. Tahmin edilen

parametrelerin sınırlar içinde olmamaları durumunda incelenen model red

edilerek yeni bir model belirlenmelidir. Özellikle durağan serinin yanlış

olarak farkının alınması veya durağan olmayan serinin farkının alınmamış

olması durumlarında tahmin edilen AR ve MA parametreleri bu sınırların

dışına çıkmaktadır.

138 Akgül, A.g.e., s.122. 139 Makridakis, Wheelwright ve Hyndman, A.g.e., s.358. 140 Akgül, A.g.e., s.122.

120

- Tahmin edilen AR ve MA parametrelerinin istatistik açıdan önemli

olmaları gerekmektedir, ancak modelin veriye uygunluğu sağlandıktan

sonra, tüm parametre tahminlerinin istatistik açıdan anlamlı olması

gerekmemektedir. Parametrelerin anlamlılığı t-testi kullanılarak test

edilmekte olup anlamsız parametreler modelden çıkartılarak model

yeniden tahmin edilmektedir.

Yukarıdaki açıklamlardan da anlaşılacağı üzere tahmin edilen parametrelerin

hem istatistik olarak anlamlı hem de durağanlık ve çevrilebilirlik sınırları içinde

olmaları gerekmektedir.

3.4.11.3. Modelin Uygunluk Testi Modelin parametreleri tahmin edildikten sonra modelin verilere uyum

sağlayıp sağlamadığı araştırılmaktadır. İlk olarak gözlem serisi ile modelden elde

edilen tahmin serisinin zaman serisi grafiği karşılaştırılır. Ayrıca gözlem serisi ile

tahmin serisinin otokorelasyon fonksiyonları incelenebilir. Hem zaman serisi

grafiklerinin hem de otokorelasyon fonksiyonlarının benzerlik göstermesi halinde

modelin uygunluğu hakkında bir fikir elde edilebilir. Bu aşamadan sonra modelin

hata terimlerininin analizine geçilmektedir.

3.4.11.3.1. Hata Terimlerinin Otokorelasyon Fonksiyonu Model uygun ise hata terimleri arasında otokorelasyon olmaması (beyaz

gürültü sürecine sahip olması) gerekmektedir. Beyaz gürültü süreci özelliğini

gösteren hata terimleri; sıfır ortalama ve sabit varyanslı olup, her gecikme için

otokorelasyon değerleri anlamsız dolayısıyla birbirlerinden bağımsızdırlar.

Tesadüfi serilerde otokorelasyon katsayıları sıfır ortalama ve n/1 standart

sapma ile n sonsuza giderken normal dağılıma yaklaşmaktadır. Bartlett tarafından

önerilen %5 olasılıkla otokorelasyon katsayılarının güven sınırlarını olan n/2m

kriteri kullanılarak otokorelasyon katsayılarının anlamlılığı araştırılabilir.141 Modelin

hata terimlerinden elde edilen otokorelasyon katsayıları güven sınırlarını aştığında,

%5 anlamlılık düzeyinde istatistik olarak sıfırdan farklı ve modelin yanlış 141 Box, Jenkins ve Reinsel, A.g.e., s.34.

121

belirlendiği kabul edilmektedir. Hata terimlerinin otokorelasyon katsayıları güven

sınırlarını aşmadığında %5 anlamlılık düzeyinde istatistik olarak anlamlı değil ve

belirlenen model uygun bir modeldir. Otokorelasyon katsayılarının güven

aralığından başka t benzeri testleri142 yapılarak anlamlı otokorelasyon olup olmadığı

araştırılabilir.

3.4.11.3.2. Box-Pierce Ve LJung –Box Testi Box-Pierce ve Ljung-Box testleri hata terimlerinde elde edilen otokorelasyon

katsayılarının istatistik olarak anlamlılığını tek tek değil de bir arada test edilmesini

sağlayan testlerdir. Ljung-Box testi, Box-Pierce testinin yeniden düzenlenmiş bir

şekli olup küçük örnekler için daha iyi sonuçlar vermektedir.143 Test istatistikleri;144

Box-Pierce Q İstatistiği,

∑=

ρ=m

1k

2knQ

Ljung-Box istatistiği, *Q

( ) ( )∑= −

ρ+=

m

1k

2k*

kn2nnQ

şeklinde hesaplanabilmektedir. Formüllerde;

n; gözlem sayısı

m; gecikme uzunluğu,

p; modeldeki AR parametre sayısı,

q; modeldeki MA parametre sayısı,

kρ ; hata terimleri serisinin otokorelasyon katsayılarıdır ve

∑∑ −=ρ 2

t

kttk e

ee k=1,2,.............,m

formülüyle elde edilmektedir. Her iki test istatistiği m-p-q serbestlik dereceli145 ki-

kare dağılımı göstermektedir. Böylece otokorelasyon katsayılarının anlamsız

142 Bu testler Otokorelasyon Katsayıları ve Otokorelasyon Fonksiyonu başlığı altında verilmişti. 143 Akdi, A.g.e., s.183. 144 Box, Jenkins ve Reinsel, A.g.e., s.314. 145 Gözlem değerlerine ait otokorelasyonların testi için serinin farkı alınsın veya alınmasın serbestlik derecesi m-1 dir.

122

olduğunun kabul edildiği sıfır hipotezine karşılık otokorelasyon katsayılarının

anlamlılığını belirten alternatif hipotez test edilmektedir. Hesaplanan Q ve

istatistik değerleri tablo değerine eşit ve küçük olduğunda sıfır hipotezi

kabul edilmekte ve hatalar arasında otokorelasyon olmadığı ve modelin uygun

olduğuna karar verilmektedir.

*Q 2

qpm, −−αχ

Hesaplanan Q ve istatistik değerleri değerinden büyük ise sıfır

hipotezi red edileceğinden otokorelasyon katsayıları anlamlı ve hatalar beyaz gürültü

özelliği taşımadığından belirlenen modelin uygun olmadığına karar verilmektedir. Bu

takdirde yeni bir modelin belirlenmesi ve aynı aşamaların tekrar edilmesi

gerekecektir.

*Q 2qpm, −−αχ

3.4.11.3.3. Bilgi Kriterleri Modelin belirlenmesi ve parametrelerinin tahmin edilmesinden sonra modelin

uygunluğunun araştırılmasında hipotez testlerinin yanı sıra, bilgi temelli model seçim

kriterleri de 1970’ler itibaren kullanılmaya başlanmıştır.146

Model belirleme aşamasında modelin dereceleri olması gerekenden yüksek

belirlendiğinde parametrelerin tahminleri istenildiği gibi çıkmayabilir. Örneğin

modelin derecesi yüksek alındığında serbestlik derecesi küçüleceğinden varyans

büyük çıkacaktır. Modelin derecesinin yüksek olmasından dolayı serbestlik

derecesinde oluşacak kaybın bir cezası (penalty) vardır. Bilgi kriterleri bu cezayı en

küçük yapacak model derecesini (parametre sayısı) belirlemek için gerek zaman

serilerinde gerek regresyon analizlerinde sıklıkla kullanılmaktadır.147 Akaiki Bilgi

Kriteri (AIC), Schwartz’ın Bayesian Bilgi Kriteri (SBC) ve Hannan-Quinn Bilgi

Kriteri (HQIC) en çok kullanılan bilgi kriterleridir ve148,

Akaiki Bilgi Kriteri (AIC),

146 Meltem Şengül Ucal, “Ekonometrik Model Seçim Kriterleri Üzerine Kısa Bir İnceleme”, C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt:7, Sayı:2, 2006, s.41-57. 147 Akdi, A.g.e. s.182. 148 Chris Brooks, Introductory Econometrics for Finance, Cambridge University Press, 2002, s. .257.

123

nk2lnAIC 2

e +σ= nk2 ; ceza (penalty) faktörü

Schwartz’ın Bayesian Bilgi Kriteri (SBIC),

( )nlnnklnSBIC 2

e +σ= ( )nlnnk ; ceza (penalty) faktörü

Hannan-Quinn Bilgi Kriteri (HQIC)

( )( )nlnlnnk2lnHQIC 2

e +σ= ( )( nlnlnnk2 )

; ceza (penalty) faktörü

şeklinde hesaplanmaktadır. Burada, 2eσ , hata terimleri varyansı ,

k, sabit terim de dahil olmak üzere modeldeki parametre sayısı

, ( )1qpk ++=

n, gözlem sayısıdır.

Bilgi kriterleri kendi aralarında karşılaştırıldığında; SBIC değeri AIC

değerinden her zaman küçük iken HQIC değeri SBIC ve AIC değerleri arasındadır.

Model karşılaştırmalarında her zaman en küçük bilgi kriteri değerine sahip model

uygun model olarak seçilmelidir.149 Pek çok istatistik paket programı bu

istatistiklerin aldıkları değerleri hesaplamaktadır.

3.4.11.3.4. Tahmin Başarısını Ölçen Kriterler Buraya kadar anlatılan kriterlere göre birden çok uygun model söz konusu

olabilir. Bu durumda en iyi modelin seçilmesi gerekmektedir. En iyi modelin verilere

uygun olmasının yanı sıra tahmin başarısı da yüksek olmalıdır. Bu amaçla modellerin

tahmin başarılarının karşılaştırılmaları amacıyla çeşitli kriterler kullanılmaktadır. Bu

kriterler Hata Kareleri Toplamı, Ortalama Hata Kare, Hata Karelerinin Kök

Ortalaması, Ortalama Mutlak Hata, Ortalama Mutlak Yüzde Hata, Ortalama Yüzde

Hata, Kök Ortalama Yüzde Hata Kare ve Theil’in U-Eşitsizlik Katsayısıdır.

Hata Kareleri Toplamı,

( )2tt

2t yyeHKT ∑ ∑ −==

Ortalama Hata Kare,

149 A.e.

124

( )knyy

OHK2

tt

−

−= ∑

Kök Ortalama Hata Kare,

( )knyy

KOKH2

tt

−

−= ∑

Ortalama Mutlak Hata,

kn

yyOMH tt

−

−= ∑

Ortalama Mutlak Yüzde Hata,

n100

yyy

OMYHt

tt∑ −=

Ortalama Yüzde Hata,

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=t

tt

yyy

kn1OYH

Kök Ortalama Yüzde Hata Kare, 2

t

tt

yyy

kn1KOYHK ∑ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=

Theil’in U-İstatistiği,

( )

∑∑

∑

+

−=

2t

2t

2tt

yn1y

n1

yyn1

U

Eşitliklerde yer alan ifadeler;

n, durağan hale getirilen serinin gözlem sayısı,

k, modeldeki parametre sayısı,

ty ; modelden elde edilen tahmin değeri,

ty ; gözlem değeri

Alternatif modeller içinde bu modellerin tahmin başarısını karşılaştırmak için

kullanılan bu kriterlerin değerlerinin en küçük olması istenmektedir. Theil’in U

125

istatistiğinin 0,55’den küçük olması modelin seriye uyumunun iyi olduğunu

göstermektedir. Bu değerleri en küçük olan ve en az parametreye sahip olan model

en iyi model olarak seçilerek geleceğe yönelik tahminler yapılmaktadır.

3.4.11.4. Geleceğe Yönelik Tahmin Zaman serisi için model oluşturulduktan ve uygunluk testlerinden

geçirildikten sonra bu model geleceğe yönelik tahmin amacıyla kullanılmaktadır.

Ancak tahminden önce iki durum söz konusu olmaktadır. Bunlardan birincisi model

tahmin edilirken ortalamadan farklar kullanılmış ise ortalamanın modele ilave

edilmesi, ikincisi ise model tahmini yapılırken seri fark alınarak durağanlaştırılmış

ise bu fark alma işleminin derecesinin göz önüne alınmasıdır.150

Model kullanılarak yapılan tahminler nokta tahminlerdir. Belirli bir olasılıkla

bu tahminlerin güven aralıkları belirlenebilir. Tahminlerin güven aralığını belirlemek

ve yeni dönem tahminlerini eski dönem tahminlerinin güncelleştirilmesinden

arındırmak için ağırlıklarının hesaplanması gerekmektedir.jψ 151 Genel bir ARIMA

modeli için ağırlıklar aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

10 =ψ

111 θ−φ=ψ

22112 θ−φ+ψφ=ψ

.

.

jdpjdp2j21j1j ....... θ−ψφ++ψφ+ψφ=ψ −−+−−

Daha sonra istenilen olasılıkla (%95 veya %99 olasılıkla) çift taraflı Z

(Normal Dağılım) değeri kullanılarak tahmin aralığı belirlenmektedir.

∑−

=α+ ψ+±

1l

1j

2j2/lt 1SZy

S; modelin standart hatası,

l; tahmin yapılacak gelecek dönemleri gösteren sayı

150 Orhunbilge, A.g.e., s.198-199. 151 A.e., s.200-201.

126

3.5. OTOREGRESSİF KOŞULLU DEĞİŞEN VARYANS

MODELLERİ Klasik ekonometrik modellerdeki sabit varyans varsayımının pek çok

ekonomik zaman serisinde geçerli olmadığına yönelik bulgular, zaman döneminde

değişebilen varyansların modellemesine izin veren ve ARCH modelleri olarak

adlandırılan yeni zaman serileri modellerinin kullanılmasını yaygın hale getirmiştir.

Engle (1982) tarafından önerilen ARCH modellerinin tahmin sürecinde varyans

sabit olmamakla birlikte, değişen varyans regresyonla birleştirilmiştir. Yardımcı

regresyon modeli olarak da adlandırılan varyans modeli ile ortalama modeli sıradan

en küçük kareler tekniği ile ayrı ayrı tahmin edilebileceği gibi Maksimum Benzerlik

(Maximum Likelihood) tekniği ile eşanlı olarak da tahmin edilebilir. Yapılan

tahminlerde, hataların ARCH sürecini izleyip izlemediğini belirlemek amacıyla,

sıradan en küçük kareler hatalarının karelerinin otokorelasyonuna dayanan Lagrange

Çarpanı testinden yararlanılır.

İktisat teorisini test etmek amacıyla kullanılan ekonometrik modellerin

stokastik bileşenini ifade eden hata terimine ilişkin bazı varsayımlar yapılır. Bu

varsayımlardan biri hata teriminin varyansının sabit olduğu ve zaman içinde

değişmediği şeklindedir. Diğer bir deyişle, X değerlerinin değişmesine karşın hata

teriminin (e) dağılımının değişmediği varsayılır. Bu şekilde zaman içinde

değişmeyen serinin “sabit varyanslı (homoscedastic)” olduğu söylenir. Varsayımın

yerine getirilmemesi durumunda ise serinin “değişen varyanslı (heteroscedastic)”

olduğu ifade edilir. Stokastik varsayımlardan bir diğeri ise hata terimlerinin

birbirinden bağımsız olduğu yani aralarında otokorelasyon olmaması varsayımıdır.

Genel olarak otokorelasyon zaman serilerinde, değişen varyans ise yatay-

kesit verilerinde ortaya çıkmaktadır. Ancak bu zaman serilerinde farklı varyanslılık

sorunu olmayacağı anlamına gelmez.152 Özellikle, tahmin hatalarının varyansının

sabit olmayıp, dönemden döneme farklılık göstermesi durumunda tahmin hatalarının

varyansı farklı varyans olarak nitelendirilir. Tahmin hatalarındaki bu istikrarsız

dalgalanmaya veya olağan dışı değişebilirliğe oynaklık (volatilite) adı

152 A.H. Studenmund, Using Econometrics: A Practical Guide, Third Edition, Addison-Wesley, 1997, s.367.

127

verilmektedir.153 Tahmin hatalarındaki oynaklık, özellikle politik belirsizliklerle,

hükümetlerin para ve mali politikalarındaki değişikliklere oldukça duyarlıdır.

Böylece, ekonomik zaman serilerinin çoğunun ekonomideki belirsizliklere ve

istikrarsızlıklara bağlı olarak önemli ölçüde oynaklık gösterdiği söylenebilir. Öte

yandan, bir zaman serisinde oynaklığın olması, bir anlamda tahmin varyanslarının

otokorelasyonlu olmasına neden olmaktadır. Özellikle yüksek frekanslı ve geniş

oynaklık gösteren zaman serilerinde değişen varyans ve otokorelasyon problemleri

birlikte ortaya çıkmaktadır. Kuşkusuz bu durumda, söz konusu zaman serilerinde,

hataların varyansının zaman dönemi içinde sabit olduğu şeklindeki varsayımı

bozulmaktadır.

Engle 1982’deki çalışmasında bu varsayımı Genelleştirmiş ve Otoregresif

Koşullu Değişen Varyans (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic-ARCH)

süreçleri olarak adlandırılan, stokastik süreçlerin yeni bir türünü önermiştir. Engle’e

göre sıfır ortalamaya sahip olan ARCH süreçleri, koşulsuz sabit varyansa değil,

geçmişe bağlı olarak değişen varyansa sahip olup serisel olarak korelasyonsuz

süreçlerdir. Bollerslev (1986), ARCH modelini genelleştirilmiş ve bu modele

Genelleştirilmiş ARCH (kısaca GARCH) adını vermiştir.

3.5.1. Koşullu Ve Koşulsuz Varyans Geleneksel ekonometrik modellerin varsayımlarından biri hata terimlerinin

varyansının sabit olmasıdır. Ancak çoğu ekonomik zaman serilerinde büyük

dalgalanmalar görülmekte ve böylece sabit varyans varsayımı sağlanamamaktadır.

Değişen varyansın tahmin edilmesinde bağımsız değişkenlerden yararlanma sıklıkla

kullanılan bir yaklaşımdır.

Koşullu ve koşulsuz varyansı açıklamak için aşağıdaki modeli yazılabilir.

t1t1t xey ++ = (80)

Modelde; , sabit varyanslı ( ) beyaz gürültü hata terimidir. Eğer

ise, serisi sabit varyanslı bir beyaz gürültü sürecine

te 2σ

sabit......xxx 2t1tt ==== −− ty

153 Erkan Işığıçok, “Türkiye’de Enflasyonun Varyansının ARCH ve GARCH Modelleri ile Tahmini”, Uludağ Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi, Cilt:17, No:3, 1999, s.1-14.

128

sahip olacaktır. Bununla birlikte, serisinin gerçekleşen değerlerinin tümü eşit

değil ise ’ye koşullu olarak ’in koşullu varyansı,

tx

tx 1ty +

(81) ( ) 22tt1t xx/yV σ=+

olacaktır.154 Burada ’in koşullu varyansı ’nin gerçekleşen değerlerine

bağımlıdır. Diğer bir ifadeyle değerleri t zamanda gözlenebildiği için ’in

koşullu varyansı ’nin gerçekleşen değerlerine dayanarak elde edilebilir. Eğer

değeri büyük ise ’in koşullu varyansı büyük, değeri küçük ise ’nin

koşullu varyansı küçük olacaktır. Ayrıca ’nin ardışık değerleri pozitif

otokorelasyona sahip ise ’nin koşullu varyansları da pozitif otokorelasyona sahip

olacaktır. ve arasındaki bu ilişkiden dolayı ardışık değerlerindeki oynaklık

ardışık değerlerince açıklanabilecektir.

1ty + tx

tx 1ty +

tx 2tx

1ty +2tx 1ty +

tx

ty

tx ty ty

tx 155

Engle 1982’deki çalışmasında bir serinin ortalamasının ve varyansının eşanlı

olarak modellemenin mümkün olduğunu göstermiştir. Engle yaklaşımında koşullu

tahminler koşulsuz tahminlerden daha üstündür. Bu durumu açıklamak için durağan

bir AR(1) modeli,

(82) t1t10t eyy +φ+φ= −

ele alındığında (82)’nolu model in koşullu tahmini, ’nin beklenen değerinin

sıfır olması nedeniyle,

1ty + te

(83) ( ) t101t yyE φ+φ=+

şeklinde yazılabilir. ’in tahmini için bu koşullu ortalama kullanılırsa koşullu

tahmin hatasının varyansı,

1ty +

( ) ( ) 221t

2t101t eEyyE σ==φ−φ− ++ (84)

biçiminde sabit olacaktır. Koşullu tahmin yerine koşulsuz tahmin kullanılması

durumunda, söz konusu koşulsuz tahmin her zaman serisinin uzun dönem

ortalaması olup;

ty

154 Enders, A.g.e., s.139. 155 A.e., s.140.

129

( )1

0

1 φ−φ

değerine eşittir. Bu koşulsuz ortalama kullanılarak koşulsuz tahmin hatasının

varyansı;

( ) ( ) ( )21

22

2t311t

21t11t

2

1

01t 1

.......eeeeE1

yEφ−

σ=+φ+φ+φ+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ−

φ− −−++

olarak elde edilir. ( ) 11

121

>φ−

olduğundan koşulsuz tahminler, koşullu tahminlere

göre daha büyük bir varyansa sahip olacaktır. Bundan dolayı şimdiki ve geçmiş

gerçekleşen gözlem değerlerini hesaba dahil eden koşullu tahminler daha küçük

varyans sahip olduğundan tercih edilirler.156

Eşitlik (82)’deki modelin hata terimi ’nin varyansı sabit değilse,

varyanstaki devamlı oynaklığın eğilimi tahmin edilebilir. Örneğin , eşitlik

(82)’deki modelin hata terimlerini göstermek üzere, in koşullu varyansı;

te

te

1ty +

( ) ( ) ( )21t

2t101tt1t eEyyEy/yV +−+ =φ−φ−=

olur. Eşitlik (5) de de görüldüğü gibi in beklenen değeri ’ye eşit dolayısıyla

koşullu varyans sabittir. Koşullu varyansın sabit olmadı varsayıldığında eşitlik

(82)’de tahmin edilen hataların kareleri alınarak koşullu varyans p’inci dereceden bir

otoregressif model AR(p) olarak gösterilebilir.

21te +

2σ

t2

ptp2

2t22

1t102tt ve.....eeeh +α++α+α+α== −−− (85)

Modelde beyaz gürültü serisidir. Eğer modelin katsayıları , ,....., ’nin

tamamı sıfıra eşitse tahmin edilen varyans, modelin sabiti

tv 1α 2α pα

0α değerine eşit olur.

Eşitlik (85) otoregressif bir model olup, t+1 dönemindeki koşullu varyans;

21ptp

21t2

2t10

21t1t e.....ee)e(E)h(E +−−++ α++α+α+α==

şeklinde tahmin edilebilir. Eşitlik (85) daki model otoregressif koşullu değişen

varyans (ARCH) modelidir. Modeldeki hatalar ister otoregresyondan, ister ARMA

156 Enders, A.g.e., s.142.

130

modelinden isterse klasik regresyondan elde edilmiş olsun ARCH modellerin geniş

bir kullanım alanı vardır.157

Eşitlik (85)’deki modelin yerine, ’nin çarpımsal hata olarak

kullanılmasının daha kolay sonuca götürdüğünü belirten Engel 1982’deki

çalışmasında aşağıdaki modeli önermiştir.

tv

158

21t10tttt evhve −α+α== (86)

Modelde; , sıfır ortalama ve birim varyansa sahip aynı ve bağımsız

dağılan bir beyaz gürültü serisidir. ve birbirlerinden bağımsızdır. Modelin

parametreleri olan ve için sırasıyla,

tv )1( 2v =σ

tv 1te −

0α 1α 00 >α , 10 1 <α< kısıtları vardır.159

tv beyaz gürültü serisi ve aynı zamanda ile birbirlerinden bağımsız olduğundan

serisinin elemanlarının ortalamasının sıfır ve korelasyonsuz olduğu gösterilebilir.

Bu amaçla ’nin koşulsuz beklenen değeri alındığında,

1te −

te

te

( ) ( )21t10tt evEeE −α+α= ( ) 0vE t =

( ) ( ) ( ) 0eEvEeE 21t10tt =α+α= −

sonucuna ulaşılır. Ayrıca ( ) 0vvE itt =− olduğundan 0i ≠ olmak üzere ( ) 0eeE itt =−

dır. ’nin koşulsuz varyansı için ’nin karesi alınır ve sonrasında koşulsuz

beklenen değeri,

te te

( ) ( )( )21t10

2t

2t evEeE −α+α=

( ) ( ) ( )21t10

2t

2t eEvEeE −α+α=

şeklinde elde edilir. ’nin varyansı ve koşulsuz varyansı tv 12v =σ te ( ) ( )2

1t2t eEeE −=

olduğundan koşulsuz varyans,

( ) ( )1

02t 1

eEα−

α=

olacaktır.

157 Enders, A.g.e., s.142. 158 Robert F. Engle, “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation”, Econometrica, Cilt:50, No:4, Haziran 1982, s.987-1007. 159 Enders, A.g.e., s.142.

131

Buraya kadar yapılan açıklamalardan koşulsuz ortalama ve koşulsuz

varyansın eşitlik (86)’daki hata sürecinden etkilenmediği söylenebilir. Koşulsuz

ortalamaya benzer bir şekilde ’nin koşullu ortalamasının da sıfır olduğu

gösterilebilir. ve bağımsız ve

te

tv 1te − ( ) 0vE t = olmak üzere ’nin koşullu

ortalaması,

te

( ) ( ) ( ) 0eEvE,...e,e/eE 21t10t2t1tt =α+α= −−−

12v =σ ve geçmiş dönem değerleri , , .....’in üzerine koşullu

varyans,

te 1te − 2te −

( ) ( ) ( )21t10

2tt2t1t

2t eEvEh,...e,e/eE −−− α+α==

( ) 21t10t2t1t

2t eh,...e,e/eE −−− α+α== (87)

biçiminde elde edilir. Eşitlik (87)’den görüldüğü üzere ’nin koşullu varyansı t-1

zamanda gerçekleşen ’in karesine bağlıdır. değeri büyük olduğunda t

zamandaki koşullu varyans da büyük olacak, küçük olduğunda koşullu varyans da

küçük olacaktır. Eşitlik (87)’deki model birinci dereceden otoregressif bir süreç olup

model ARCH(1) olarak gösterilir. Koşullu varyansın negatif olmasını önlemek için

modelin katsayılarının her ikisinde pozitif olması gerekmektedir. negatif

olduğunda, pozitif olsa bile, ’in yeteri kadar küçük değerine karşılık koşullu

varyans negatif olabilecektir.

te

1te −2

1te −

0α

1α 1te −

0α pozitif iken, 1α negatif olduğunda yeteri kadar

büyük değerine karşılık koşullu varyans yine negatif olabilecektir. Modelin

katsayılarının pozitiflik koşulunun yanı sıra otoregressif sürecin durağan olabilmesi

için koşulununda sağlanması gerekmektedir.

1te −

10 1 <α< 160

160 Enders, A.g.e., s.142.

132

3.5.2. ARCH Etkisinin Araştırılması Zaman serilerinde ARCH etkisi olup olmadığını araştırmak için çeşitli

yöntemler mevcuttur. Bunlardan biri hata terimlerinin karelerine ait korelagramın

incelenmesidir. Hatalar birbirleri ile ilişkili olmadığı halde, hata kareleri birbirleri ile

ilişkili ise ARCH etkisinden söz edilebilir.161

Bir diğer yaklaşım hata terimlerinin dağılımının normal dağılıp

dağılmadığının kontrol edilmesidir. ARCH etkisi içeren zaman serilerine ait hata

terimlerinin genelde basıklık değeri yüksektir.

3.5.2.1. Lagrange Çarpanı Testi Zaman serisinde ARCH etkisinin varlığını araştırmada kullanılan bir diğer

yöntem 1982 de Engel tarafından önerilen Lagrange Çarpanıdır.162 Öncelikli olarak

yöntemde zaman serisi için uygun olan regresyon veya ARMA modeli en küçük

kareler yardımıyla tahmin edilir.

tntn2t21t10t ey.....yyy +φ++φ+φ+φ= −−−

Tahmin edilen modele ait hataların kareleri ( )2te elde edilir ve bir sabit ile birlikte

, , , ......, olmak üzere, p gecikmeli bir regresyon modeli

oluşturulur.

21te −

22te −

23te −

2pte −

2ptp

22t2

21t10

2t e......eee −−− α++α+α+α= (88)

Modelin, hariç katsayılarının anlamlılık testi yapılır. Eşitlik (88) deki regresyon

denkleminin çoklu belirlilik katsayısı

0α

( )2R ile p adet verinin kaybolduğu n gözlem

değeri çarpılarak,

2nRLM =

test istatistiği hesaplanır. Söz konusu test istatistiği,

0.....:H p210 =α==α=α

En az biri sıfırdan farklıdır. :H1

161 Otokorelasyon katsayılarının anlamlılıkları daha önce bahsedilen güven aralıklarının yanı sıra Box-Pierce ve Ljung Box testleriyle de araştırılmaktadır. 162 Enders, A.g.e., 145.

133

şeklindeki ARCH etkisinin olmadığı sıfır hipotezi altında, dağılımına yaklaşır.

Eğer ARCH etkisi yok ise, tahmin edilen parametrelerin

2pχ

1α den ’e kadar sıfır

olması gerekir. Bu durumda regresyon denkleminin belirlilik katasyısı

pα

( )2R oldukça

küçük çıkacağından, düşük açıklayıcı güce sahip olacaktır. Böylece hipotezi

reddedilemez ve hataların varyansı

0H

( ) 0tt heV α== olur. Dolayısıyla hatalar bir

beyaz gürültü serisi olup sabit varyansa sahiptirler. hipotezinin reddedilmesi

durumunda hatalar arasında ARCH etkisinin olduğu anlaşılır ve hatalar bir beyaz

gürültü serisi değildir. En az bir ARCH parametresi anlamlıdır.

0H

3.5.3. ARCH(p) Modeli ARCH regresyon modeli, zaman serisi modellerindeki sabit varyans

varsayımını geçersiz kabul ederek varyansın , tahmin hatalarının karelerinin bir

fonksiyonu olarak değişmesine izin vermektedir. serisi,

th

ty it−Ψ bilgi kümesine bağlı

olarak koşullu ortalama ve koşullu varyansı ile normal bir dağılıma

sahiptir.

bx t th163 Engel tarafından önerilen ARCH regresyon modeli164;

itt /y −Ψ ~ N ( )tt h,bx olmak üzere koşullu varyans tahmin hatalarının karelerinin

açık bir fonksiyonu olarak, 2

ptp2

2t22

1t10t e........eeh −−− α++α+α+α=

şeklinde yazılabilir. Daha genel bir ifadeyle,

∑=

−α+α=p

1i

2iti0t eh

olarak gösterilebilir. , t zamandaki gözlem değeri ile aynı döneme ait tahmini

değer arasındaki farkdır ve

te

bxye ttt −=

şeklinde yazılabilmaktedir.

163 Işığıçok, A.g.e., s.1-14. 164 Engle, A.g.e., s.987-1007.

134

Koşullu varyans denklemi incelendiğinde tahmin hatalarının kareleri büyük

olduğunda koşullu varyans da büyük, küçük olduğunda koşullu varyansta küçük

olacaktır.

Koşullu varyans denkleminde yer alan parametrelere ilişkin bazı kısıtlamalar

mevcuttur. ’nin gerçekleşen bütün değerleri için koşullu varyans pozitif

olmalıdır. Modelde kullanılan hataların kareleri alındığından negatif olamazlar. O

halde koşullu varyansın pozitif olabilmesi için modelde yer alan , , , ......,

parametrelerinin negatif olmaması gerekir. Böylece,

te th

0α 1α 2α

pα 00 >α ve i=1,2,....p olmak

üzere kısıtları söz konusudur. Modeldeki parametrelerin tamamının sıfırdan

büyük olması gerekir. Parametrelerden herhangi birinin negatif olması durumunda

tek bir büyük hata, koşullu varyansın negatif olmasına neden olabilir. Parametrelerle

ilgili diğer bir kısıtlama, hariç olmak üzere parametrelerinin her birinin veya

toplamının 1’den küçük olması gerekir . Bu kısıtlama, sürecin

kararlılığının sağlanması için gereklidir. Aksi halde, süreç sonsuz varyansa sahip

olur.

0i ≥α

0α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<α∑

=

p

1ii 1

Otoregressif koşullu değişen varyans (ARCH) modelinde Maksimum

Benzerlik Yöntemi, En Küçük kareler yöntemine göre daha etkin tahminler verir.

3.5.3.1. ARCH Modelin Özellikleri ARCH modelinin özelliklerini ARCH(1) modelini kullanarak açıklamaya

çalışalım.165 Birinci dereceden bir ARCH(1) modeli,

ttt hve =

21t10t eh −α+α=

şeklinde yazılabilir. , 00 >α 11 ≥α ve sıfır ortalama ve 1 varyans değeri ile

bağımsız ve aynı dağılımlı tesadüfi değişkendir.

tv

1) Hata terimi ’nin koşulsuz ortalaması sıfırdır. te

165 Tsay, A.g.e., s.83-86.

135

( ) ( )( ) ( )( ) 0vEhE/eEEeE tt1ttt ==Ψ= − (89)

2) Hata terimi ’nin koşulsuz varyansı, te

( ) ( )1

02et 1

eVα−

α=σ= (90)

eşitliği ile gösterilmektedir. Koşulsuz varyans şu şekilde elde edilir.

( ) ( ) ( )( )1t2t

2tt /eEEeEeV −Ψ==

( ) ( ) ( )21t0

21t10t eEeEeV −− +α=α+α=

te sıfır ortalama ve değişmeyen varyans ile durağan bir sürece sahiptir.

( ) ( ) ( )21t1tt eEeVeV −− ==

( ) ( )t10t eVeV α+α=

( ) ( ) 0t1t eVeV α=α−

( ) ( ) 0t1 eV1 α=α−

( ) ( )1

02et 1

eVα−

α=σ=

’nin varyansının pozitif olabilmesi çin te 10 1 ≤α≤ koşulunun sağlanması

gerekmektedir.

3) Hata terimi ’nin yüksek dereceden momentlerinin olabilmesi çin te 1α ’in

koşulunun dışında ilave bir başka koşulu da sağlamalıdır. ’nin

dördüncü dereceden moment değeri,

10 1 ≤α≤ te

( )

( )( )211

120

4 31113

mα−α−

α+α=

ifadesiyle bulunmaktadır. ’nin dödüncü momenti pozitif olduğundan te 1α ’in

veya diğer bir ifadeyle ilave koşulunu yerine getirmelidir.

Basıklık değeri dördüncü dereceden moment değerinin varyansın karesine

bölümünden elde edildiğine

031 21 >α− 3/10 2

1 <α≤

166 göre ’nin koşulsuz basıklık değeri, te

166 Neyran Orhunbilge, Tanımsal İstatistik Olasılık ve Olasılık Dağılımları, Avcıol BasımYayın, 2000, İstanbul, s.137.

136

( )( )( )

( )( )( )

( )

2

1

0

211

120

2t

4t

1

31113

eVeE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−

α

α−α−α+α

=

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )2

1

1120

21

211

120

2t

4t

311131

31113

eVeE

α−α−α+

=αα−

×α−α−

α+α=

( )( )( )

( )( ) 3

3113

eVeE

21

21

2t

4t >

α−α−

=

te ’nin basıklık değeri normal dağılımın basıklık değeri olan 3’ten büyük olmasından

dolayı ’nin dağılımı normal dağılıma göre daha sivri ve daha kalın kuyrukludur. te

3.5.3.2. ARCH Modelin Zayıf Yönleri ARCH modelin avantajları olmasına karşın bazı zayıf yanları da vardır.

Değişkenlik önceki şokların karesine bağımlı olduğundan ARCH model değişkenlik

üzerinde pozitif ve negatif şokların (haberlerin) aynı etkiye sahip olduğunu

varsaymaktadır. Halbuki gerçekte finansal varlıkların fiyatlarının pozitif ve negatif

şoklara farklı cevap verdikleri çok iyi bilinmektedir. Seri sonlu bir dördüncü

momente sahipse ARCH(1) modelinde 0 ile 1/3 aralığında olmalıdır. Bu kısıt ise

daha üst dereceden ARCH modelleri için karmaşık bir hal almaktadır. ARCH model

finansal zaman serilerinde değişimlerin kaynağını anlamayı sağlayacak yeni bir

yaklaşım getirmemektedir. Sadece koşullu varyansın davranışını tanımlamakta

mekanik bir çözüm sunmaktadır. Meydana gelen değişkenliğin nedeni hakkında bir

ipucu vermemektedir. ARCH modelleri değişkenliği aşırı tahmin

edebilmektedirler.

21α

167

167 Tsay, A.g.e., 87.

137

3.5.4. GARCH(p,q) Modeli ARCH modeli basit olmasına rağmen bazı serilerdeki değişkenliği

modellemek için sıklıkla çok sayıda parametreye gereksinim duyar. Diğer bir

ifadeyle söz konusu seri yüksek dereceden bir ARCH modeli olabilmektedir. Yüksek

dereceden ARCH modelinde model parametrelerine getirilen koşulları sağlamak

güçtür. 1986 yılında Tim Bollerslev tarafından önerilen Genelleştirilmiş Otoregressif

Koşullu Değişen Varyans Modeli (GARCH) yönteminde hata terimlerinin

karelerinin yanında koşullu varyansın geçmiş değerleri modele dahil edilmiştir.

Böylece daha az parametre kullanarak serideki değişkenliği GARCH yöntemiyle

modellemek mümkün olmuştur. Pek çok uygulamada değişkenliğin GARCH

yöntemiyle modellenmesi halinde, modelin dereceleri için 2p ≤ ve ’nin yeterli

olduğu görülmüştür.

2q ≤168 Genel bir GARCH modeli eşitlik (91) ve eşitlik(92)’de

verilmektedir.

ttt hve = ( )1,0~N,vt

2qtq

22t2

21t1

2ptp

22t2

21t10t h.....hhe......eeh −−−−−− β++β+β+α++α+α+α= (91)

veya kısaca;

∑∑=

−=

− β+α+α=q

1j

2jtj

p

1i

2iti0t heh (92)

te hata terimlerinin koşullu varyansı zamanla değişmekte iken,

koşulu altında koşulsuz varyansı,

1q

1jj

p

1ii <β+α ∑∑

==

∑ ∑= =

β−α−

α=σ p

1i

q

1jji

02e

1

olmaktadır. kısıtı sağlandığı sürece ’nin koşulsuz varyansı sonlu

olmakta, kısıt sağlanamadığında ise koşulsuz varyans sonsuza gitmektedir.

1q

1jj

p

1ii <β+α ∑∑

==te

168 Abdurrahman Bekir Aydemir, Volatility Modelling in Finance, Forecasting Volatility in The Financial Markets, Buttrworth-Heinemann, 1998, s.7.

138

GARCH(p,q) modeli otoregressif ve hareketli ortalama bileşenlerinden

oluşmaktadır. Eşitlik (92)’deki GARCH modelinde q=0 olduğunda model bir

ARCH(p) modeline dönüşecektir.

GARCH modeli bir ARMA modeli olarak gösterilebilir. , t zamandaki

hatanın karesi ile koşullu varyans arasındaki farkı göstermek üzere,

tε

t2tt he −=ε

veya

t2tt eh ε−=

yazılabilir. Örneğin GARCH(1,1) modeli,

1t12

1t10t heh −− β+α+α=

şeklinde olup yukarıda açıklanan eşitlikler GARCH(1,1) modelinde yerlerine yazılıp

gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra ARMA(1,1) modeline ulaşılabilmektedir.

( )1t2

1t12

1t10t2t eee −−− ε−β+α+α=ε−

t1t12

1t12

1t102t eee ε+εβ−β+α+α= −−−

( ) t1t12

1t1102t ee ε+εβ−β+α+α= −−

Son elde edilen eşitlik hata kareleri serisi için bir ARMA(1,1) modelidir. Modelde tε

serisi bir beyaz gürültü sürecine sahiptir.

GARCH modelleri, daha az parametre kullanması (parsimonious-cimri) ve

aşırı tahminlerden kaçınması nedeniyle ARCH modellere göre daha yaygın kullanım

alanına sahiptir. Bu özellik GARCH modellerinin ARCH modellerine bir

üstünlüğüdür. Örneğin günlük gözlemlenmiş bir seride 5 günlük bir gecikme ARCH

modeli yetersiz iken, aynı seri GARCH(1,1) olarak modellenebilmektedir.169

GARCH modelinin cimriliğini açıklamak için GARCH(1,1) modelinden

yararlanabiliriz.170 t zamandaki koşullu varyans,

1t12


t-1 zamandaki koşullu varyans,

2t12

2t101t heh −−− β+α+α=

t-2 zamandaki koşullu varyans, 169 Peijie Wang, Financial Econometrics Methods and Models, Routledge, 2003, s.36. 170 Brooks, A.g.e., s. 452-455.

139

3t12

3t102t heh −−− β+α+α=

yazılabilir. t-1 ve t-2 zamandaki koşullu varyans eşitliklerini t zamandaki koşullu

varyans eşitliğindeki yerine yazıp gerekli düzenlemeler yapıldığında,

( )2t12

2t1012

1t10t heeh −−− β+α+αβ+α+α=

2t21

22t1101

21t10t heeh −−− β+αβ+αβ+α+α=

( )3t12

3t1021

22t1101

21t10t heeeh −−−− β+α+αβ+αβ+αβ+α+α=

3t31

23t1

210

21

22t1101

21t10t heeeh −−−− β+αβ+αβ+αβ+αβ+α+α=

( ) ( ) 3t31

2211

21t1

2110t hLL1e1h −− β+β+β+α+β+β+α=

elde edilir. Bu işlem sürdürüldüğünde aşağıdaki eşitlik elde edilmektedir.

( ) ( ) 0122

112

1t12110t h........LL1e.....1h ∞

− β++β+β+α++β+β+α=

Yukarıdaki eşitlikteki ilk terim sabit olup 0γ ile gösterebilir. Eşitliğin son terimi

sıfıra doğru yaklaşır. Gerekli düzenlemelerden sonra,

∞β1

( ).....1 21100 +β+β+α=γ

( )........LL1eh 2211

21t10t +β+β+α+γ= −

............eeh 22t2

21t10t +γ+γ+γ= −−

elde edilir, son eşitlik sonsuz dereceli bir ARCH modelidir. Yukarıdaki işlemlerden

de anlaşılacağı üzere yüksek dereceden ARCH modelleri GARCH(1,1) modeline

yaklaşmaktadır.

3.5.4.1. GARCH Modelin Özellikleri GARCH(p,q) modelinin özelliklerini GARCH(1,1) modeli yardımıyla

incelenebilir.171

ttt hve = ( )1,0~N,vt

1t12

1t10t heh −− β+α+α= 10 α≤ , 11 ≤β ve 111 <β+α

1) nin beklenen değeri sıfır olduğundan hata terimlerinin koşullu ve

koşulsuz ortalaması sıfıra eşittir.

tv te172

171 Tsay, A.g.e., s.93-95. 172 Enders, A.g.e., s.118.

140

( ) ( ) ( ) ( ) 0hEvEhvEeE ttttt ===

2) hata terimlerinin koşulsuz varyansı: te

( ) ( )11

02t 1

eVβ−α−

α=σ=

3) GARCH(1) modelinden anlaşılacağı üzere büyük hata terimi karesi ( )21te −

veya büyük koşullu varyans ( )1th − büyük bir varyans değerinin oluşmasına neden

olur. Bunun anlamı büyük bir ’yi büyük bir izeleyecek demektir. Bu da

finansal zaman serilerinde çok iyi bilinen varyans kümelenmesine sebep olacaktır.

21te −

2te

4) Modelin parametrelerin ( ) 01 211

21 >β+α−α− kısıtını sağlamak üzere

basıklık ölçüsü,

( )( )( )

( )( )( )

321

13eVeE

21

211

211

2t

4t >

α−β+α−β+α−

=

Basıklık ölçüsü normal dağılım basıklık ölçüsünden büyük olduğundan GARCH(1,1)

modeli de tıpkı ARCH modeli gibi sivri ve kalın kuyruk değerlerine sahip olacaktır.

5) GARCH modeli değişkenliğin açıklanması için basit bir modeldir. Yüksek

dereceden ARCH modellerinin yerine daha düşük dereceden GARCH modeli

kullanılabilir.

GARCH modelinin zayıf yönleri ARCH modelinin zayıf yönleriyle benzerlik

göstermektedir. Negatif veya pozitif şokların etkisi modelde eşit öneme sahiptir.173

3.5.5. ARCH Ve GARCH Modellerinin Maksimum Benzerlik Tahmini Maksimum benzerlik yöntemi tesadüfen seçilen bir örnekten anakütlenin

parametrelerinin tahminlerini elde etme yöntemidir. X’in anakütlesinden tesadüfi

olarak n birimlik bir örnek seçildiğinde örnekteki her bir birimin tesadüfi çekimde

meydana gelmesi olasılığı vardır. Eğer ortalama ve varyans parametreleri bilinirse X

değişkenin olasılık fonksiyonundan her bir birimin gerçekleşme olasılığı

hesaplanabilir. Anakütlenin normal dağıldığı fakat parametrelerinin bilinmediği bir

durumda örnek ortalaması ve varyansı anakütle parametrelerinin tahmini olarak 173 Tsay, A.g.e., s.95.

141

kullanılmaktadır. Maksimum benzerlik yöntemini uygulamak amacıyla birbirinden

bağımsız n birimden olaşan bir örnek seçilir. Bu örnek parametrleri μ ve olan

pek çok anakütleden seçilmiş olabilir. Maksimum benzerlik yönteminde, μ ortalama

ve varyans ile normal dağılım gösteren her anakütleden n birimlik örnek

seçmenin bileşik olasılığı tahmin edilerek, parametrelerin bileşik olasılığını

maksimum yapan anakütle belirlenir. Maksimum benzerlik yöntemi, parametrelerin

tüm mümkün tahminleri arasında gözlemlenen örneği elde etme olasılığını mümkün

olduğunca büyük yapan değerleri seçer. X’ler gözlem değerleri, ’lar tahmin

edilmek istenen anakütle parametreleri olmak üzere genel bir benzerlik fonksiyonu,

2σ

2σ

θ

( )n21n21 ,......,,;X.....,X,XL θθθ

X’ler normal bir dağılıma sahip olduğunda benzerlik fonksiyonu,

( )2n21 ,;X.....,X,XL σμ

şeklinde yazılablir. Maksimum benzerlik yöntemi, benzerlik fonksiyonun

maksimizasyonundan ibarettir. Fonksiyonun parametrelere göre kısmi türevi alınıp

sıfıra eşitlenerek fonksiyonun maksimum değeri elde edilmiş olur. Parametrelerin

tahmin edilen değerleri anakütle parametrelerinin en yüksek benzerlik

tahminleridir.174

te sıfır ortalama ve sabit varyanslı normal bir dağılım gösteren tesadüfi

bir değişken olduğunda, standart dağılım teorisi gereği gerçekleşen herhangi bir

’nin maksimum benzerlik fonksiyonu,

2σ

te

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πσ= 2

2t

2t 2e

exp2

1L

olarak ifade edilmektedir. Gerçekleşen değerleri birbirinden bağımsız

olduğundan, , ,..... ’in bileşik benzerlik fonksiyonu her bir nin tek tek

benzerlikleri çarpımına eşittir.

te

1e 2e ne te

∏=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

πσ=

n

1t2

2t

2 2e

exp2

1L

174 Fehamet Akın, Ekonometri, Ekin Kitabevi, Bursa, 2002, p. 112-113.

142

Kolaylık sağlamak amacıyla üstteki eşitliğin her iki tarafının doğal logaritması

alınarak eşitlik,

( ) ( )∑=σ

−σ−π−=n

1t

2t2

2 e2

1ln2n2ln

2nLln

formuna dönüştürülebilir. Bu fonksiyonun tahmini, gözlemlenen örneği seçme

olasılığını maksimum kılacak dağılımlı parametrelerin esasına dayanır. Diğer bir

deyişle, anakütle ortalaması 0 ve varyansı ile ilişkişli olan lnL değeri maksimum

yapılmaya çalışılır. Bilindiği gibi regresyon analizinde serisi,

2σ

te

ttt bxye −=

olarak elde edilir. Klasik regresyon analizinde ’nin ortalaması 0, varyansı

olarak sabit ve gerçekleşen değerleri birbirlerinden bağımsız olduğu

varsayılmaktadır. Örnek büyüklüğü n olmak üzere ’lerin açılımı lnL

fonksiyonunda gösterildiğinde aşağıdaki benzerlik fonksiyonu,

te 2σ

te

te

( ) ( )∑=

−σ

−σ−π−=n

1t

2tt2

2 bxy2

1ln2n2ln

2nLln

elde edilecektir. Benzerlik fonksiyonunu maksimum yapmak için ve b’ye göre

kısmi türevler alınır ve sıfıra eşitlenir.

2σ

( ) 0bxy2

12

nLln n

1t

2tt422 =−

σ+

σ−=

σ∂∂ ∑

=

( ) 0bxxy1bLln n

1t

2ttt2 =−

σ=

∂∂ ∑

=

Bu denklemler çözüldüğünde lnL’nin maksimum değeri, ve b için en küçük

kareler tahminlerine benzer sonuçlar verir.

2σ175

ne2

t2 ∑=σ

∑∑= 2

t

tt

xyx

b

175 Enders, A.g.e., s.141-142.

143

Yukarıdaki regresyondan elde edilen ARCH(1) sürecine sahip olduğunda ’nin

koşullu varyansı,

te te

21t10t eh −α+α=

olmak üzere

ttt hve =

bulunur. ’nin koşullu varyansı sabit olmamakla birlikte, benzerlik fonksiyonunda

gerekli değişiklikler kolaylıkla yapılabilir. Gerçekleşen her bir ’nin koşullu

varyansı olduğundan, ’den ’ye kadar gerçekleşen değerlerinin bileşik

benzerlik fonksiyonu,

te

te

th 1e ne

∏=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π=

n

1t t

2t

t h2e

exph2

1L

ve log olabilirlik fonksiyonu,

( ) ∑∑==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−π−=

n

1t t

2t

n

1tt h

e21hln

212ln

2nLln

şeklinde yazılablir. ve ’nin karşılıkları üstteki eşitlikte yerlerine yerleştirilirse, te th

( ) ( ) ( )( )∑∑

= −=− ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α+α−

−α+α−π−

−=n

2t2

1t10

2tt

n

2t

21t10 e

bxy21eln

212ln

21nLln

Log benzerlik fonksiyonu şekline dönüşür. Benzerlik fonksiyonunu maksimum

yapmak için , ve b’ye kısmi türevleri alınıp sıfara eşitlenir ve çözüm

değerlerine ulaşılır. Çözüm güçlüğü nedeniyle bilgisayarlar yardımıyla log benzerlik

fonksiyonunu maksimum yapan parametre değerlerine ulaşılabilmektedir.

0α 1α

176

Buraya kadar anlatılanlar normallik varsayımı altında ARCH ve GARCH

modellerinin maksimum olabilirlik yöntemiyle tahmin edilmesidir. Bazı durumlarda

standart t-dağılımı gibi kalın kuyruklu dağılımlar daha uygun olmaktadır.177

te , ARCH(1) sürecine sahip olduğunda ’nin koşullu varyansı, te

21t10t eh −α+α=

olmak üzere 176 A.e., s.141. 177 Tsay, A.g.e., s.88-89.

144

ttt hve =

olduğu daha önce belirtilmişti. ’den ’ye kadar gerçekleşen değerlerinin 1e ne 2>ν

serbestlik dereceli standart t-dağılımı varsayımı altında bileşik benzerlik fonksiyonu,

( )( )( ) ( ) ( )

( )

∏=

+ν−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ν

+π−ννΓ

+νΓ=

n

1t

2/1

t

2t

t h2e

1h1

22/2/1L

şeklinde yazılmaktadır. Burada, 2>ν standart t-dağılımının serbestlik derecesi ve

önceden belirlenmiştir. ise Gamma fonksiyonudur. Her iki tarafın logaritması

alınarak log benzerlik fonksiyonuna ulaşılır.

Γ

( )∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ν

++ν

−=n

1tt

t

2t hln

21

h2e

1ln2

1Lln

Benzerlik fonksiyonun parametrelere göre kısmi türevleri alınıp sıfıra eşitlenerek

benzerlik fonksiyonunu maksimum yapan parametre değerleri tahmin edilir. Eğer

dağılımın serbetlik derecesi önceden belirlenmeyip modelin parametreleri gibi

tahmin edilecekse yukarıdaki benzerlik fonksiyonlarında bazı ilave değişiklikler

yapılmalıdır.178

Maksimum benzerlik yönteminin bazı avantajları vardır. Bu avantajlar179;

- Ortalama ve varyans denklemindeki parametrelerin ortak olarak tahminini

sağlar,

- ve kısıtlamalarını yerine getirir 0b ≥ 0h t ≥

- Modelin kısıtlamalarına ilişkin benzerlik oranı (LR) testlerinin

uygulanmasına izin verir

- Varyans parametreleri için maksimum benzerlik tahmincisinin tutarlılığı

verilerin dörüdüncü veya daha yüksek momentlerinin varlığını

gerektirmez. Oysa bu avantajların hiç biri sıradan en küçük kareler

tahminlerinde söz konusu değildir.

178 Tsay, A.g.e., s.88-89 179 Işığıçok, A.g.e., s.1-14.

145

3.5.6. IGARCH Modeli Bir zaman serisinin durağan olabilmesi için karakteristik köklerinin birim

çember dışında olması gerektiği daha önce belirtilmişti. Yüksek frekanslı finansal

zaman serileri ile yapılan çalışmalarda koşullu varyansın sürekli bir birim köke sahip

olduğu bulunmuştur.180 Örneğin hisse senedi getiri serisi için GARCH(1,1)

modelinin uygun olduğu tahmin edildiğinde modelin parametreleri toplamının

veya bire çok yakın olduğu görülür. Bu durumda koşullu varyans birim

köke sahip bir sürece benzer bir davranış sergiler.

111 =β+α181

Birim köke sahip GARCH modeline bütünleşik GARCH veya IGARCH

(Integrated GARCH) modeli denir.182 Birinci dereceden bir GARCH(1,1) modeli,

1t12


ve olduğunda, birinci dereceden bir IGARCH modeline dönüşür ve 111 =β+α

( ) 1t12

1t10t he1h −− β+β−+α=

şeklinde gösterilebilir. IGARCH modeli birim köke sahiptir ve bir şokun koşullu

varyans üzerindeki etkisi süreklidir. Bundan dolayı varyansın tüm gelecek değer

tahminlerinde şokun etkisi önemli olmaktadır.183

3.5.7. ARCH-M Modeli Dışsal değişkenler ve gecikmeli içsel değişkenlerin yer aldığı ortalama

modeline koşullu varyansın veya koşullu standart sapmanın ilave edilmesiyle

ARCH-M modelleri elde edilir. Bu tür modellerde yer alan koşullu varyansa ait

parametre, risk dönüşümündeki küçük değişikliği gösterir. Bu modeller zaman içinde

180 Tim Bollerslev ve Robert F. Engle, “Common Persistence in Conditional Variances”, Econometrica, Cilt:61, No:1, Ocak 1993, s.167-186. 181 Enders, A.g.e., s.140. 182 Tsay, A.g.e., s.100. 183 Tim Bollerslev, Robert F. Engle, ve Daniel B. Nelson, “ARCH Models”, Handbook of Econometrics, Cilt:.IV., Elsevier Science, 1994., p.2968.

146

risk değerinin değişip değişmediğini belirlemek amacıyla kullanılır. Koşullu standart

sapmanın ortalama modele dahil edilmesiyle elde edilen ARCH(p)-M modeli,

( )ttt1tt h,hbXN~/y λ+Ψ −

olmak üzere,

tttt ehbXy +δ+=

∑=

−α+α=p

1i

2iti0t eh

tttt hbXye λ−−=

şeklinde gösterilebilir.

ARCH-M modelleri oynaklığın koşullu ortalama üzerindeki etkisini en iyi

açıklayan modellerdendir. Bu modellerde koşullu varyans açıklayıcı bir değişken

olarak modelde yer almaktadır.184

3.5.8. GARCH-M Modeli GARCH-M modeli Engle, Lilien ve Robins tarafından 1987 yılında yaptıkları

bir çalışma ile yazına kazandırılmıştır. Model aynı ARCH-M modeli ortalama

modele koşullu varyansın açıklayıcı değişken olarak ilave edilmesiyle elde

edilmektedir. Ortalama modele koşullu varyansın yerine koşullu standart sapma da

ilave edilebilir. Genel bir GARCH(p,q)-M modeli,

( )ttt1tt h,hbXN~/y λ+Ψ −

olmak üzere

tttt ehbXy +δ+=

∑ ∑= =

−− β+α+α=p

1i

q

1jjtj

2iti0t heh

tttt hbXye λ−−=

şeklinde yazılabilir. serisi finansal bir varlığın getirisi olduğunda, ortalama

modelinde yer alan koşullu standart sapmanın katsayısı

ty

λ risk primi parametresi

184 Christian Gouriéroux, ARCH Models and Financial Applications, Springer-Verlag New York, Inc., 1997., s.36.

147

adını almaktadır. ’nın pozitif olması getirinin kendi geçmiş değişkenliği ile pozitif

ilişkili olduğunu ifade eder.

λ185

3.5.9. Asimetrik GARCH Modeller ARCH ve GARCH modellerinin önemli bir dezavantajı pozitif ve negatif

şokların değişkenlik üzerindeki etkilerine aynı büyüklükte simetrik cevap

vermesidir. Örneğin bir ARCH veya GARCH modeli incelendiğinde koşullu varyans

gecikmeli hata terimlerinin büyüklüklerine bağlı olmakla birlikte, hata terimlerinin

işaretleri dikkate alınmamaktadır. Hata terimlerinin kareleri alındığından taşıdıkları

işaretler önemini yitirmektedir. Gerçekte finansal zaman serileri pozitif şoklara göre

negatif şoklardan daha çok etkilenirler. Bu etkilenmenin sonucu olarak da negatif

şoklar pozitif şoklara göre seride daha fazla bir oynaklık yaratırlar. Bu

açıklamalardan da anlaşılacağı üzere şokların oynaklık üzerine etkileri aynı değil,

asimetriktir.186

3.5.9.1. GJR GARCH / TARCH Modeli ARCH modelinde cari dönemdeki koşullu varyans geçmiş dönem hatalarının

büyüklüklerinden etkilenmektedir. Bu durum finansal seriler için uygun değildir.

Çünkü finansal serilerde değişkenlik bir azalışta, bir artıştan daha fazla yükselme

eğilimindedir. Birçok yazarın finansal zaman serilerinin bir özelliği olarak

vurguladıkları bu durum asimetriklik olarak bilinir.187 Örneğin borsanın düşme

dönemindeki oynaklık yükselme dönemlerindeki oynaklıktan daha fazla olmaya

meyillidir.

Glosten, Jagannathan ve Runkle tarafından oluşturulan ve isimlerinin baş

harflerinden adını alan GJR GARCH modeli seriler üzerindeki asimetrik etkiyi

dikkate alan modellerden biridir. Model eşiksel ARCH (Threshold ARCH-TARCH)

modeli olarak da bilinmektedir. GARCH modeline asimetriyi temsil eden bir terimin

185 Franses, A.g.e., s.171. 186 Brooks, A.g.e., s. 469 187 Rabemananjara, R., Zokain, J.M., Threshold ARCH Models and Asymmetries in Volatility, Journal of Applied Econometrics, Cilt.8, No.1, Ocak-Mart 1993, s.31-49.

148

ilave edilmesiyle GJR GARCH modeli elde edilmektedir. Genel bir GRJ GARCH

veya TARCH koşullu varyans modeli,

∑∑∑=

−−=

−=

− γ+β+α+α=r

1kkt

2ktk

q

1jjtj

p

1i

2iti0t Deheh

yazılabilir. GRJ GARCH(1,1) koşullu varyans modeli,

1t2

1t11t12

1t10t Deheh −−−− γ+β+α+α=

modelin pozitiflik koşulu,

, , ve 00 ≥α 01 ≥α 0≥β 01 ≥γ+α

şeklindedir.188 gölge değişken olup, 1tD −

, e 1D 1t =− 01t <−

0 , diğer D 1t =−

şeklinde tanımlanmaktadır. ’lerin sıfırdan küçük te ( )0et < olması olumsuz şokları

(kötü haber) ifade ederken, ’lerin sıfırdan büyük olması te ( )0et > olumlu şokları

(iyi haber) ifade etmektedir. Gölge değişken yi katsayısının pozitiflik koşulu

altında düşünüldüğünde negatif şoklarda 1 değerini alacağından koşullu varyans

artacak, pozitif şoklarda ise sıfır değerini alacağından koşullu varyansda bir oynaklık

söz konusu olmayacaktır. Böylece hata terimlerine ait işaretlerin koşullu varyans

üzerindeki etkileri ortaya çıkarılmış olmaktadır.

1tD −

0e 1t <− ise değerini

alırken ’in koşullu varyans üzerinde yaratmış olduğu etki miktarı ,

ise gölge değişken sıfır değeri alacak ve in koşullu varyans üzerinde

yaratmış olduğu etki de kadar olacaktır.

1D 1t =−

1te − ( ) 21t1 e −γ+α

0e 1t ≥− 1te −

21t1e −α

Modelde 1γ kaldıraç parametresidir. Kaldıraç parametresi 01 >γ büyük ve

anlamlı ise kaldıraç etkisi söz konusu olmaktadır. Bu parametrenin sıfırdan farklı

olması asimetrikliği ifade etmektedir. 01 >γ ise, negatif şoklar değişkenliği pozitif

şoklardan daha fazla arttırmaktadır.

3.5.9.2. Üstel GARCH (EGARCH) Modeli

188 Brooks, A.g.e., s. 469-470.

149

GARCH modeli değişkenlik kümelenmesi, kalın kuyruk gibi finansal zaman

serilerinin özellikleri, bu seriler üzerinde etkin olan işlemsiz dönem gibi finansal

zaman serilerinin üzerine etkin olan faktörlerin modellenmesinde başarı ile

kullanılmaktadır. Ancak GARCH modeli gecikmeli hata terimlerinin büyüklüklerini

dikkate aldığından, seri üzerindeki kaldıraç etkisi modellenememektedir. 1991

yılında Nelson tarafından yazına kazandırılan EGARCH modeli gecikmeli hata

terimlerinin hem büyüklüğünü hem de işaretlerini barındırmaktadır.189 EGARCH

modelinde aynı GJR GARCH modeli gibi değişkenlik üzerindeki şokların etkisini

asimetrik olarak gösteren bir modeldir.

EGARCH modelinde yakın geçmişteki hataların etkisi kuadratik değil

üsteldir. EGARCH modelleri özellikle önemli belirsizlik ve istikrarsızlıklardan sonra

kaynaklanan büyük şokların yaşandığı seriler için daha uygundur.190 EGARCH

modelin iki önemli özelliği ile GARCH modelinden ayrılmaktadır. İlki EGARCH

modelinde pozitif ve negatif şokların değişkenlik üzerine farklı etkileri

modellenebilmektedir. İkinci özellik, EGARCH modellerinde büyük şokların

değişkenlik üzerindeki etkisi GARCH modellerine göre daha büyük olmaktadır.191

Birinci dereceden bir EGARCH modeli,

1t

1t

1t

1t1t10t h

eh

ehlnhln

−

−

−

−− γ+θ+β+α=

şeklindedir. Modelin üç önemli özelliği vardır.192

1) Koşullu varyans denklemi logaritmik doğrusal bir formdadır. nin

büyüklüğü ne olursa olsun logaritmik dönüşümden dolayı koşullu varyans asla

negatif değer almaz. Dolayısıyla modelin katsayıları için pozitiflik koşulu yoktur.

thln

th

189 Bollerslev, Engle ve Nelson, A.g.e., p.2969. 190 Işığıçok, A.g.e., s.1-14 191 Kevin Daly, “Financial Volatility:Issues and Measuring Techniques”, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Cilt:387, Sayı:11, 15 Nisan 2008, s.2377-2393 192 Enders, A.g.e., s.142.

150

2) Bu model hata terimlerinin karelerini ( )21te − kullanmayıp, yerine hata

terimlerinin koşullu standart sapmaya bölünerek ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

1t

1t

he

elde edilmiş standardize

değerlerini kullanmaktadır.

3) EGARCH modeli kaldıraç etkisine izin verir. Eğer ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

1t

1t

he

pozitif ise,

şokun logaritmik koşullu varyans üzerinde etkisi γ+θ dır. Eğer ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

1t

1t

he

negatif

ise, şokun logaritmik koşullu varyans üzerindeki etkisi γ+θ− olacaktır.

3.5.10. ABSGARCH Modeli Mutlak değer içeren GARCH modeli (ABSGARCH) ilk kez 1991 yılında

Heutschel tarafından önerilmiştir. Model GARCH modeli benzemektedir. GARCH

modelinden farkı ABSGARCH modelinde hata terimlerin kareleri yerine mutlak

değerleri kullanılarak koşullu standart sapma modellenmektedir.193 Böylece model

üzerinde hata terimlerinin işareti veya kareli değerleri değil, büyüklükleri etkin

olmaktadır. Genel bir ABSGARCH(p,q) modeli,

∑∑=

−=

− β+α+α=q

1jjtj

p

1iiti0t heh

şeklinde yazılmakta olup parametreleri üzerinde 00 >α , 0i ≥α ve kısıtları

bulunmaktadır. Hata terimlerinin mutlak değerinin kullanılması ABSGARCH

modelinin GARCH modeline bir üstünlüğüdür. Çünkü büyük değerli hata

terimlerinin kareleri de büyüktür. Hata terimlerinin mutlak değerleri kullanılarak

büyük hata terimlerinin model üzerindeki etkisi azaltılmaktadır.

0j ≥β

3.5.11. TGARCH Modeli ARCH/GARCH gibi koşullu varyans modellerinde hata terimlerinin işareti

önemsenmemekte ve etkileri simetrik olarak modele dahil edilmektedir. Halbuki 193 Sharmishtha Mitra ve Amit Mitra, “Modeling Exchange Rates Using Wavelet Decomposed Genetic Neural Networks”, Statistical Methodology, Cilt:3, Sayı:2, Nisan 2006, p.103-124.

151

negatif şoklar (kötü haber) pozitif şoklara (iyi haber) göre değişkenlik üzerinde daha

etkindirler. Dolayısıyla şokların değişkenlik üzerine etkileri işaretine bağlı olarak

asimetriktir. 1991 de Zakoin tarafından önerilen eşik değerli GARCH (Threshold

GARCH-TGARCH) modeli bu asimetrik etkiyi ölçmektedir. Modelde hata

terimlerinin kareleri yerine işaretine bağlı olarak alacağı değerleri kullanılmıştır.

Oluşturulan model hata terimlerinin koşullu standart sapma modelidir. Bir

TGARCH(p,q) modeli194,

qtq1t1ptpptp1t11t10t h......hee......eeh −−−−

−+−

+−−

−+−

+ β++β+α−α++α−α+α=

veya

∑∑∑=

−=

−−

−

=

+−

+ β+α−α+α=q

1jjtj

p

1iiti

p

1iiti0t heeh

formunda yazılmaktadır. Modelin katsayıları üzerinde 00 >α , ve 0i ≥α 0j ≥β

kısıtlamaları olduğundan bu modelde de pozitiflik kısıtı bulunmaktadır. Hata

terimleri aşağıdaki tanımlamaya göre modele dahil olmaktadır.

1t1t ee −+− = 0

0

0

0

e 1t ≥−

0e 1t =+− e 1t <−

1t1t ee −−− = e 1t <−

0e 1t =−− e 1t ≥−

Modelde ve katsayıları kısıtlar çerçevesinde anlamlı olduğunda,

koşullu varyans hem pozitif hem de negatif hata terimlerinden etkilenmektedir.

+αi−α i

3.5.12. Diğer ARCH/GARCH Modelleri

3.5.12.1.Doğrusal Olmayan Asimetrik GARCH(NAGARCH) Modeli

194 R. Rabemananjara ve J.M. Zakoin, “Threshold ARCH Models and Asymmetries in Volatility”, Journal of Applied Econometrics, Cilt:8, Sayı:1, Ocak-Mart 1993, s.31-49.

152

Pozitif (iyi haber) veya negatif (kötü haber) şokların değişkenlik üzerideki

etkilerinin farklı olması nedeniyle, bu farklılığı modellemek için Engle ve Ng 1993

yılında doğrusal olmayan asimetrik GARCH Modelini ileri sürmüşlerdir. Model

koşullu varyansı şokların doğrusal olmayan bir fonksiyonu olarak ifade etmektedir.

Bir NAGARCH Modeli195,

( ) 1t1

2

1t1t10t hheh −−− β+γ+α+α=

formunda yazılmaktadır. olduğunda, olumlu bir şok olumsuz bir şoktan daha

fazla değişkenliği sebep olmaktadır.

0>γ

3.5.12.2. Vektör GARCH (VGARCH) Modeli 1993 yılında Engle ve Ng tarafından değişkenlik üzerindeki asimetrik etkiyi

modellemek üzere önerilmiştir. Bir VGARCH modeli196,

1t1

2

1t

1t10t h

he

h −−

− β+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ+α+α=

Parametrelerin kısıtları; , 00 >α 10 1 <α≤ , 10 1 <β≤ , 111 <β+α , 0>γ

0>γ ise, pozitif değişimler eşit büyüklükteki negatif değişimlerden daha fazla bir

değişkenliğe sebep olmaktadır.

3.5.12.3. Asimetrik GARCH (AGARCH) Modeli 1990 yılında Engle tarafından önerilmiştir. Bir AGARCH modeli197,

( ) 1t12

1t10t heh −− β+γ+α+α=

Parametrelerin kısıtları; , 00 >α 10 1 <α≤ , 10 1 <β≤ , 111 <β+α , 0>γ

0>γ ise, pozitif şoklar negatif şoklardan daha fazla bir değişkenliğe sebep

olmaktadır.

3.5.12.4. Doğrusal Olmayan Logaritmik veya Çarpımsal ARCH

(Multiplicative ARCH) Modeli

195 Robert F. Engle ve Victor K. Ng, “Measuring and Testing the Impact News on Volatility”, The Journal Finance, Cilt:48, No:5, Aralık 1993, s.1749-1778 196 A.e. 197 A.e.

153

ARCH modelinin parametreleri negatif olarak tahmin edildiğinde, hataların

kareleri pozitif olacağından koşullu varyans negatif olarak tahmin edilmektedir.

Varyans negatif olamayacağından tahmin edilen model kullanılamamaktadır. Bu

sorunu çözmek için Mihoj, Geweke ve Pantula 1986-1987 yıllarında yaptıkları

çalışmalarda ARCH modelinin logaritmasını alarak katsayıların negatif olarak

tahmin edilmesini önlemişlerdir. Doğrusal olmayan logaritmik ARCH modeli

Çarpımsal ARCH modeli olarakta bilinmektedir.198

( ) ( )∑=

−α+α=p

1i

2iti0t eloghlog

3.5.12.5. Doğrusal Olmayan ARCH Model Model 1986 yılında Engle ve Bollerslev tarafından değişkenlik üzerinde asimetrik

etkiyi modellemek için önerilmiştir. Modelde hata terimlerinin mutlak değerleri

kullanılmıştır.

1t11t10t heh −γ

− β+α+α=

3.5.12.6. Fraksiyonel Bütünleşik ARMA/ARCH Model (Fractionally

Integrated ARMA / ARCH Model ARFIMA / FIARCH) Daha öncede belirtildiği gibi ARMA modellerinde bir zaman serisi için

uygun model araştırılırken seri durağan değilse ilk farkları alınarak

durağanlaştırılmaktaydı. Ancak bazı durumlarda özellikle finansal zaman serilerinde

serileri durağanlaştırmak için fraksiyonal fark almak gerekmektedir. Fraksiyonal fark

alma fikri 1980 de Granger, Joyeux ve 1981 Hosking tarafından ortaya atılmıştır.

zaman serisinin fark alma işlemi,

ty

( ) ttd eyL1 =− ( )1,0~et

biçiminde gösterilebilir. olduğunda serisi beyaz gürültü sürecine sahiptir ve

tüm otokorelasyon katsayıları sıfıra eşittir.

0d = ty

1d = olduğunda serisi birim köke

sahiptir. olduğunda serisinin otokorelasyonları çok yavaş olarak sıfıra

doğru azalır. Bu azalış hiperbolik bir yapı gösterir. Bu tip serilere fraksiyonel

ty

1d0 << ty

198 A.e.

154

bütünleşik seriler denir. Fraksiyonel bütünleşik seriler otokorelasyonlarının oldukça

yavaş azalmasıyla diğer serilerden ayrılır. Bu nedenle fraksiyonel bütünleşik seriler

genellikle uzun hafızaya sahiptirler ve otokorelasyon katsayıları,

1d2k k −Γ=ρ

şeklinde hesaplanabilir. Γ iki gama fonksiyonunun oranı olup azalışın hızı d

değerine bağımlıdır. ise serisi zayıf durağan, ise durağan

değildir. ARIMA(p,d,q) gösteriminden yararlanarak bir ARFIMA(p,d,q) modeli,

5,0<d ty 5,0d ≥

( )( ) ( ) ttd eLyL1L θ=−φ

olarak yazılabilir. ve ( )Lφ ( )Lθ sırasıyla p ve q dereceden polinomlardır.199

ARCH/GARCH modelleri kısa dönem değişkenliğin modellenmesi ve tahmin

edilmesinde etkin olurken fraksiyonel bütünleşik modeller uzun dönem değişkenliğin

modellenmesinde üstündürler.

İlk başlarda bir zaman serisinin koşullu ortalama modeli için uygulanan

fraksiyonel bütünleşme 1996 yılında Bailey, Bollerslev ve Mikkelsen tarafından

GARCH koşullu varyans modeline uygulanarak FIGARCH modeli elde edilmiştir.200

Ding, Granger ve Engel 1993 yılında şokların etkisinin azalmasının uzun bir

süre almasının bir sonucu olarak değişkenliğinde oldukça yavaş bir değişme

eğiliminde olacağı düşüncesinden hareketle FIARCH modelini oluşturmuşlardır. Bir

FIARCH modeli,

( )[ ] ( ) 21t0

2t

d0t eLeL11h −α+α=−−+α=

Şeklinde yazılabilir. polinomu geometrik bir azalma yerine hiperbolik bir

azalış göstereceğinden şokların da etkisi hiperbolik olarak azalır.

( )Lα201

Fraksiyonel bütünleşme daha çok yüksek frekanslı (örneğin günlük) finansal

zaman serilerininin analizinde kullanım alanı bulmuştur.202

3.5.12.7. Üslü ARCH Modelleri (POWER ARCH-PARCH)

199 Richard Harris ve Robert Sollis, Applied Time Series Modelling and Forecasting, John Wiley&Sons Ltd, 2003, s.238. 200 A.e., s.239. 201 Aydemir, A.g.e., s.12. 202 Harris ve Sollis, A.g.e., s.239.

155

Ding, Granger ve Engle tarafından önerilen ARCH sınıfı modellerin bir

devamı şeklinde olan genel asimetrik üslü ARCH (PARCH) modeli, klasik

modellerdeki zaman serisi verilerinin mutlak değeri veya karesini almak yerine,

verilerin dönüşümünün kaçıncı kuvvetiyle olduğunu analiz etmektedir. Genel bir

PARCH modeli,

( )∑ ∑= =

−−− β+γ+α+α=p

1i

q

1j

djtj

ditiiti0

dt heeh

şeklinde yazılabilir. Modelde, iα ve jβ GARCH modelinin parametreleri, iγ

kaldıraç parametresi ve d kuvvet parametresidir.203

203 Erdinç Teletar ve H.Soner Binay, “İMKB Endeksinin PARCH Modellemesi”, Akdeniz İ.İ.B.F. Dergisi (3), 2002, p.114-121.

156

4. ZAMAN SERİLERİYLE PETROL SANAYİİNDE TAHMİN Latince petra ve oleum kelimelerinden oluşan ve kaya yağı anlamına gelen

petrol, doğada bulunan kompleks bir hidrokarbon bileşiğidir. Hidrokarbon bileşikleri,

doğada katı, sıvı ve gaz halinde bulunmaktadır. Sıvı hidrokarbon bileşikleri, ham

petrolü oluşturmaktadır. Petrol, uzun jeolojik süreçlerde karmaşık fiziki ve kimyasal

reaksiyonlar sonucunda oluşmaktadır.1

Üretilen ham petrolün sınıflandırılmasında dikkate alınması gereken en

önemli faktörler; ham petrolün gravitesi, vizkozitesi ve içerdiği kükürt miktarı gibi

özelliklerdir. Kolay üretilebilir olması, taşınabilmesi ve işlenebilmesi nedeniyle

dünya ham petrol talebinin, %90’ı hafif (gravitesi yüksek) ve orta ham petrol ile

karşılanmaktadır. Dünyadaki petrol kaynaklarının, ancak %25’ini hafif ve orta petrol

oluşturmaktadır. Türkiye’deki petrol sahalarının önemli bir kısmı ağır petrol

içermekte olup, üretilen ham petroldeki kükürt oranı, %0 ile %5,7 arasında

değişmektedir.2

4.1. Petrol Sanayiinin Ülke Ekonomilerindeki Yeri 19. yüzyıl boyunca daha çok aydınlatmada kullanılan petrol, zenginlik ve

servet birikim kaynağı olmuştur. 20. yüzyılda ise stratejik bir ürün olarak,

uluslararası siyesette belirleyici konuma gelmiştir. 1905 yılında benzinin içten

yanmalı motorlarda kullanılması ve sonraki yıllarda mazotun; tren, gemi ve

fabrikalarda kullanılmasıyla ham petrol, önemli bir enerji kaynağı olarak

kalkınmanın da motoru haline gelmiştir. Petrol endüstrisinin gelişmesiyle; otomotiv,

kara ve deniz ulaşımı, petrokimya, gübre ve genel olarak sanayi üretiminde büyük bir

gelişme ve artış meydana gelmiştir.3

Temel enerji kaynaklarından biri olan petrol, dünya ekonomisinde ara malı,

hammadde, güç ve enerji kaynağı olarak çok önemli bir yer tutmaktadır. Petrol

fiyatları, dünya ve ülke ekonomik performansı açısından önemli göstergelerden

birisidir. Doğal olarak, petrol fiyatlarındaki artış ne kadar fazla ve uzun süreli ise,

1 Türkiye’de Petrol Faaliyetleri ve TPAO, Petrol-İş Yayın No:106, Temmuz 2007, s.13. 2 A.e., s.16. 3 A.e., s.21.

157

makro ekonomi üzerindeki etki de o kadar büyük olmaktadır.4 Petrol fiyatlarındaki

artışın ülke ekonomileri üzerindeki etkisi, söz konusu ülkenin petrol ithalatçısı veya

petrol ihracatçısı olmasına göre farklılıklar göstermektedir.

Petrol fiyatlarındaki artışın petrol ithal eden bir ülke ekonomisi üzerindeki

etkileri aşağıdaki maddeler halinde özetlenebilir.5

- Petrol harcamalarının milli gelir içindeki payı yüksekse ve ayrıca, bu

ülkenin petrol tüketiminin azaltılarak diğer alternatif enerji kaynaklarına

yönelme olanakları kısıtlı ise, yüksek petrol fiyatlarının ekonomi

üzerindeki olumsuz etkisi artmaktadır

- Yüksek petrol fiyatları doğrudan girdi maliyetlerini attırmakta ve bu

durum, üretilen mal ve hizmetlerin fiyatlarının artmasına ve dolayısıyla

enflasyona neden olmaktadır.

- Yüksek petrol fiyatları petrol ithal eden ülkelerin milli gelirlerinin

azalmasına yol açmaktadır. Bu ülkeler petrol tüketimlerini petrol fiyatı

artışları oranında azaltmaları mümkün olmaması nedeniyle, milli gelir

içerisinde toplam petrol harcamalarına ayrılan pay giderek artmakta ve

dolayısıyla, diğer harcamalara ayrılan pay azalmaktadır.

Petrol fiyatlarındaki artışın petrol ihraç eden ülke ekonomileri üzerindeki

başlıca etkileri ise şunlardır.6

- Yüksek petrol fiyatları, petrol ihraç eden ülkelerde doğrudan ihracat

gelirlerini, dolayısıyla da milli gelirlerini arttırmaktadır.

- Yüksek petrol fiyatları petrol ithal eden ülkelerden petrol ihraç eden

ülkelere gelir transferine yol açmakta ve bu nedenle ülkeler arasındaki

gelir dengesizliği artmaktadır.

Petrolü ithal eden Türkiye’nin 1998-2007 dönemindeki ham petrol ithalatı

Tablo-1’de gösterilmektedir. Tablo-1’in ilk sütununda ithal edilen petrol miktarı (ton

olarak), ikinci sütununda ithalat tutarı (Bin Dolar), üçüncü sütununda ham petrol

ithalatının toplam ithalat içindeki payı (%), ve son sütununda ham petrol ithalatının

GSYİH içindeki payı (%) verilmiştir. 4 Naci Bayraç, Uluslararası Petrol Piyasasının Ekonomik Analizi, Finans-Politik&Ekonomik Yorumlar, Yıl:42, Sayı:499, Ekim 2005, s.7. 5 A.e., s.17 6 A.e., s.18

158

Tablo-1: Yıllara Göre Türkiyenin Ham Petrol İthalatı, İthalat ve GSYİH İçindeki

Payı-(1998-2007)

Yıllar Miktar (Ton)

Tutar (Bin Dolar)

Ham Petrol Ham Petrol İthalatının Toplam İthalat

İçindeki Payı (%)

Ham Petrol İthalatının GSYİH

Oranı (%) 1998 23 791 392 2 083 861 4,538 0,775 1999 22 836 976 2 754 939 6,774 1,107 2000 21 362 926 4 208 260 7,721 1,575 2001 23 141 640 3 877 953 9,367 1,978 2002 23 707 589 4 087 775 7,929 1,756 2003 24 028 667 4 776 536 6,889 1,568 2004 23 917 019 6 091 544 6,245 1,550 2005 23 389 647 8 649 477 7,407 1,787 2006 23 786 875 10 706 466 7,671 2,020 2007 23 445 764 11 784 210 6,929 1,797

Kaynak: TUİK

Tablo-1 incelendiğinde Türkiye’nin yıllık ham petrol ithalat miktarının söz

konusu dönemde 21-24 milyon ton arasında gerçekleştiği görülmektedir. Buna

karşılık, ülkemizin ithal ham petrole harcadığı tutar yıllar içerisinde giderek

artmaktadır. 1998 yılında Türkiye ham petrole yaklaşık 2,083 milyar dolar harcarken,

2007 yılında yapmış olduğu harcama 11,784 milyar dolar seviyesine çıkmıştır. 1998-

2007 döneminde ham petrol ithalat maliyetlerinde görülen bu artış, petrol

fiyatlarındaki yükselişten kaynaklanmaktadır. Türkiye’nin ham petrol ithalatı miktar

bakımından neredeyse sabit kalırken, aynı miktar ham petrol için ödenen tutar

yaklaşık olarak 5 kat artmıştır. Türkiye 1998 yılında ithal ettiği ham petrole ton

başına 87,59 dolar öderken, 2007 yılında 502,62 dolar ödemiştir. Diğer yandan ham

petrol ithalatının toplam ithalat içindeki payı 1998-2007 döneminde %4,5-9,4

aralığında dalgalı bir seyir izlemiştir. 1998-2007 döneminde ham petrol ithalatının

gayri safi yurtiçi hasılaya oranı %0,78-2,02 arasında değişmektedir.

4.2. Dünyada ve Türkiye’de Rafineri Sektörü

Doğadan ham bir şekilde elde edilen petrolün kullanışlı hale getirilmesi için

rafine edilmesi yani arıtılması gerekmektedir. Bu bağlamda petrol ürünleri sanayii

ham petrolün rafinerilerde stoklanıp arıtılması ve üretilen ürünlerin dağıtım şirketleri

159

aracılığıyla tüketicilere ulaştırılmasını sağlayan entegre bir yapıdadır. Temel girdisi

ham petroldür.7

Ham petrolden elde edilen sıvılaştırılmış petrol gazları (LPG), beyaz ürünler

(benzin, jet yakıtı, gaz yağı, motorin) ve siyah ürünler (çeşitli kalitelerde fuel oil)

enerji üretiminde kullanılmaktadır. Nafta, petrokimya ve gübre sanayiinin ana

hammaddesidir. Ayrıca elektrik üretim santrallerinde yakıt olarak kullanılmaktadır.

Madeni baz yağlar ise katkı maddeleriyle harmanlanarak satışa sunulmaktadır.

Çeşitli kalite asfaltlar ve solventler nihai ürünler olarak tüketiciye satılmaktadır.

Slack wakslar ve ekstraklar ise diğer sanayiler tarafından üretim girdisi olarak

kullanılmaktadır.8

Tablo-2’de 1998-2007 döneminde Türkiye’de ve dünyadaki rafineri

kapasiteleri verilmiştir. Türkiye’nin rafineri kapasitesi 1998 den 2003’e kadar 35,50

milyon ton ile hep aynı düzeyde kalırken, 2004’de 34,51 milyon tona, 2005 yılında

ise 30,52 milyon tona düşmüştür. Buna karşılık 1998-2007 döneminde dünya

genelinde rafineri kapasitesinde bir artış gözlenmektedir. Türkiye’nin dünya rafineri

kapasitesi içindeki payı 1998 yılında %0,90 ile en yüksek değerinde iken 2007

yılında bu pay %0,70’e gerilemiştir. 2007 yılı itibariyle dünya toplam rafineri

kapasitesi içinde ABD %20’lik pay ile ilk sırada yer alırken, bunu %8,5 ile Çin ve

%6,4 ile Rusya takip etmektedir.9

7 Ülkemizin En Büyük Sanayi Kuruluşu:TÜPRAŞ, Petrol-İş Yayın No:98, Mayıs 2005 s.11. 8 A.e., s.11. 9 BP Statistical Review of World Energy, Haziran 2008, s.18.

160

Tablo-2: Yıllara Göre Türkiye ve Dünyadaki Rafineri Kapasitesi (Milyon Ton)

Yıllar Türkiye Dünya Dünya İçindeki Pay

(%) 1998 35,50 3965,70 0,90 1999 35,50 4069,23 0,87 2000 35,50 4079,68 0,87 2001 35,50 4127,59 0,86 2002 35,50 4153,78 0,85 2003 35,50 4161,60 0,85 2004 34,51 4231,86 0,82 2005 30,52 4257,45 0,72 2006 30,52 4316,16 0,71 2007 30,52 4377,66 0,70

Kaynak: BP Statistical Review of World Energy, Haziran 2008.

TÜPRAŞ’ın 2007 yılı itibarıyle rafineri kapasitesi Türkiye içinde %92, dünya

genelindeki payı ise %0,64’tür.

4.3. TÜPRAŞ

1983 yılında Kamu İktisadi Teşebbüslerinin daha verimli çalışmalarını

sağlamak amacıyla yapılan düzenlemeler kapsamında, ülkemizdeki kamuya ait

rafinerilerin bir çatı altında toplanması kararlaştırılmıştır. Bu amaçla, 1961 yılından

beri faaliyet gösteren İPRAŞ’ın (İstanbul Petrol Rafinerisi A.Ş.) Ana Sözleşmesi, 25

Ekim 1983 tarihinde yapılan Olağanüstü Genel Kurul Toplantısı’nda TÜPRAŞ

(Türkiye Petrol Rafinerileri A.Ş.) Ana Sözleşmesi’ne dönüştürülmüş ve TÜPRAŞ’ın

tescil ve ilanı 16 Kasım 1983 tarihinde tamamlanmıştır.

İPRAŞ’ın İzmit Körfezi’nin Tütünçiftlik bölgesinde yaptırmış olduğu İzmit

rafinerisinin yanı sıra o tarihe kadar Türkiye Petrolleri A.O.’na bağlı olarak faaliyet

gösteren İzmir ve Batman rafinerileri ile yapımı devam eden Kırıkkale Rafinerisi de

yeni kurulan TÜPRAŞ’a devredilmiştir. Özelleştirme Yüksek Kurulu’nun 5 Ekim

2001 tarih, 2001/54 sayılı kararı ile Pektim Petrokimya Holding A.Ş.’nin kurduğu ilk

kompleks olan Yarımca Tesisleri TÜPRAŞ’a devredilmiş ve adı Körfez Petrokimya

ve Rafineri Müdürlüğü olmuştur.

TÜPRAŞ, 1990 yılında özelleştirme programına alınmıştır. Çeşitli

zamanlarda ulusal ve dünya borsalarında halka arz edilerek %49’luk hissesi

özelleştirilmiştir. Kalan %51’lik hisse 12 Eylül 2005 tarihinde gerçekleştirilen

161

ihaleyle en yüksek teklifi veren KOÇ-SHELL Ortak Girişim Grubuna devredilerek

TÜPRAŞ’ın özelleştirilmesi tamamlanmıştır.10 Özelleştirme sonrası TÜPRAŞ’ın

ortaklık yapısı; Tüpraş’ın %51’i Enerji Yatırımları A.Ş.ye ve %49’u halka açık

duruma gelmiştir. Enerji Yatırımları A.Ş.’nin sahip olduğu %51’lik payın %75’i Koç

Holding’e, %20’si Aygaz’a, %3’ü Opet’e, %1,9’u Shell O. Invest B.V.’ye ve %0,1’i

Shell Türkiye’ye aittir.

Türkiye’nin en büyük sanayi şirketi olan Tüpraş11, yıllık 28,1 Milyon ton

rafinaj kapasitesi ve 50 bin tonluk petrokimya kapasitesine sahiptir. Tüpraş bu rafinaj

kapasitesi ile Türkiye petrol ürünleri tüketiminin yaklaşık %70’ini karşılamaktadır.12

Tablo-3: TÜPRAŞ’ın Rafineri ve Depolama Kapasiteleri Rafineriler İşleme Kapasitesi

(Milyon Ton/yıl) Depolama Kapasitesi

(Milyon m3) İzmit 11 1,95 İzmir 11 2,00 Kırıkkale 5 1,25 Batman 1,1 0,22

Tüpraşın tedarik süreci, ham petrol, yarı mamul, son ürün ve malzeme ikmal

işlemlerinden oluşmaktadır. Ürünlerin ana hammaddesi olması nedeniyle ham petrol

temel tedarik kalemini oluşturmaktadır. Tüpraş planlanan üretimini gerçekleştirmek

için gerekli ham petrolün az bir kısmını yerli kaynaktan temin etmekte, geriye kalan

büyük bir kısmını ise değişik ülkelerden ithal edilmektedir. Tüpraşın 2004-2007

döneminde ham petrol temin ettiği ülkeler ve miktarları Tablo-4’de gösterilmektedir.

10 Çevrimiçi: http://www.oib.gov.tr/portfoy/tupras/tupras_index.htm., Ziyaret 25 Eylül 2008. 11 İstanbul Sanayi Odasının düzenlediği Türkiye’nin en büyük 500 sanayi şirketi sıralamasında hep ilk sırada yer almaktadır. 12 Çevrimiçi:http://www.tüpras.com.tr., Tüpraş Kurumsal Sosyal Sorumluluk Raporu 2007, Ziyaret: 25.10.2008

162

Tablo-4: Tüpraş’ın Ham Petrol Temin Ettiği Ülkeler ve Miktarlar-(2004-2007)

Ülkeler / Milyon Ton 2004 2005 2006 2007 Azarbaycan - 0,1 0,1 - Cezayir 0,4 - - - Irak 1,2 0,9 0,5 0,9 İran 5,8 7,0 8,9 8,9 İtalya 0,1 - - 0,4 Kazakistan - - 0,1 0,5 Libya 4,8 4,6 4,5 0,1 Rusya 5,8 7,1 6,7 9,1 Suriye 0,4 0,3 - 0,2 Suudi Arabistan 3,5 3,5 3,5 3,3 Türkiye 2,3 2,2 2,2 2,1

Üretimin en stratejik etaplarından biri planlamadır. Tüpraş planlama sürecini

yönetmek için iki bilişim sisteminden yararlanmaktadır. Bu sistemler sayesinde alımı

programlanan ya da stoktaki ham petrol ve diğer hammaddelerden, verilen talep ve

tahmini fiyatlar doğrultusunda hangi üründen, hangi kalitede, ne kadar üretileceğini

hesaplanmaktadır. Burada bilişim sisteminin girdileri olan talebin ve fiyatların doğru

ve gerçeğe yakın tahmin edilmesi büyük önem kazanmaktadır.

Tüpraş petrol ve petrokimya olmak üzere iki ana grupta piyasaya ürün

sunmaktadır. Tüpraş’ın ürün yelpazesi Tablo-5’de özetlenmektedir.

Tablo-5: TÜPRAŞ’ın Ürün Yelpazesi Petrol Ürünleri Petrokimya Ürünleri Propan, LPG, Solvent, Kurşunsuz Benzin, jet yakıtı, gazyağı, soğutma yağı, motorin, HVGO, Fuel Oil, clarified oil, asfalt, kükürt, spindle oil, wax, ve bunları çeşitli türleri

Çeşitli türde karbon

Bu ürünler içerisinden LPG, solvent, nafta, benzin, jet yakıtı, gazyağı,

motorin, soğuk işlem yağı, madeni yağ, wax, extract, HVGO beyaz ürün, fuel oil,

asfalt, clarified oil ve kükürt ise siyah ürün olarak adlandırılmaktadır. Tüpraş üretmiş

olduğu bu ürünlerin büyük çoğunluğunu yurtiçi piyasaya sunmakta, bir kısmını ise

ihraç etmektedir.

163

4.4. Değişkenlerin Belirlenmesi Bölüm1’de işletmelerde plan ve planlama anlatılırken, üretimin planlanması,

finansman planlaması, insan kaynakları planlaması için satışların tahmin edilmesi

gerektiği vurgulanmıştı. İşletmelerde planlama için çok önemli bir değişken olan

satışlar analiz yapılacak değişken olarak belirlenmiştir. Tez çalışmasında TÜPRAŞ

işletmesinin 1994:1-2007:4 dönemindeki üçer aylık gelir tablolarında derlenen net

satışlar için hem yıllık bazda hem de üçer aylık bazda zaman serileri oluşturulmuştur.

Türkiye gibi yüksek enflasyonun hüküm sürdüğü bir ülkenin işletmesi olan

TÜPRAŞ’ın satışları, gelir tablolarında cari fiyatlarla ifade edildiğinden, değişken

değerleri Toptan Eşya Fiyat Endeksi13 (TEFE 1994=100) kullanılarak sabit fiyatlara

dönüştürülmüştür. Aksi belirtilmedikçe yapılan tüm yorumlar sabit fiyatlara göredir.

Yıllık veriler üçer aylıkları toplamı şeklinde elde edilmiştir.

İşletmeler planlama yaparken sadece işletme içi değişkenleri değil aynı

zamanda, kontrol edemedikleri işletme dışı değişkenlerinde gelecekte ne olacağını

öngermeleri gerekmektedir. TÜPRAŞ’ın en önemli girdisi ham petroldür. Ham petrol

fiyatları TÜPRAŞ tarafından kontrol edilemeyen ancak planlama için hayati bir

öneme sahip olan değişkendir. Bu nedenle varil başına ham petrol fiyatları (dolar

cinsinden) tez çalışmasında ele alınması gereken ikinci değişken olarak seçilmiştir.

13 TUİK’in aylık bazda yayınladığı endeks sayılarının üçer aylık aritmetik ortalaması alınarak ilgili dönem için endeks sayısı hesaplanmıştır. Örneğin 1994 yılının ilk çeyreği için, Ocak 1994, Şubat 1994 ve Mart 1994 aylarının ortalaması alınmıştır.

164

4.5. Net Satışların Analizi Net satışlar değişkeni yıllık ve üçer aylık olmak üzere ayrı ayrı analize tabi

tutulmuştur.

Grafik-1: Tüpraş’ın Yıllık Net Satışları (1994-2007)

20072006200520042003200220012000199919981997199619951994

Yıllar

225000,00

200000,00

175000,00

150000,00

125000,00

100000,00

75000,00

Net S

atisla

r (Bi

n YTL

)

Grafik-2: Tüpraş’ın Üçer Aylık Net Satışları (1994:1-2007:4)

Q32007

Q1

2007

Q32006

Q1

2006

Q32005

Q1

2005

Q32004

Q1

2004

Q32003

Q1

2003

Q32002

Q1

2002

Q32001

Q1

2001

Q32000

Q1

2000

Q31999

Q11999

Q31998

Q11998

Q31997

Q11997

Q31996

Q11996

Q31995

Q11995

Q31994

Q11994

Zaman

80000,00

60000,00

40000,00

20000,00

0,00

Bin

YTL

İşletmenin net satışları Grafik-1’de yıllık, Grafik-2’ de üçer aylık olarak

verilmektedir. Grafikler incelendiğinde işletmenin satışlarının dalgalı da olsa genel

olarak 1994-2007 döneminde arttığı gözlenmektedir. Yıllık net satış grafiğindeki

165

dalgalanmaların konjonktür etksinden, üçer aylık net satış grafiğindeki

dalgalanlamaların ise mevsim ve konjonktür etksinden kaynaklanmış olması doğal

kabul edilmektedir.

4.5.1. Net Satışların Bileşenlere Ayrılması Bölüm 3’de değinildiği gibi aylık veya üçer aylık bir zaman serisinin trend,

mevsim, konjonktür ve arızi faktörler olmak üzere dört bileşeni vardır.

4.5.1.1. Trendin Belirlenmesi Yıllık net satışlar serisine SPSS 13.0 istatistik paket programı yardımıyla

önce doğrusal ve ikinci derece fonksiyon denenmiş, hata kareleri toplamı ikinci

derece fonksiyonda daha olduğu için doğrusala dönüştürmeler uygulanmıştır. Üstel

(growth), kök dönüşüm doğrusal ve hiperbolik dönüşüm doğrusal trend fonksiyonları

tek tek denenmiş ve elde edilen hata kareleri toplamları Tablo-6’da gösterilmektedir.

Tablo-6incelendiğinde ikinci dereceden de düşük hata kareleri toplamı verdiği için

hiperbolik dönüşümlü doğrusal trend fonksiyonu yıllık net satışların trend

fonksiyonu olarak belirlenmiştir.

Tablo-6: Yıllık Satışların Trend Fonksiyonu

Trend Fonksiyonu Hata Kareleri Toplamı

Doğrusal 6872606956,17

İkinci Derece 5871589292,66

Growth 6064459221,15

Köklü Dönüşüm Doğrusal 6390125200,03

Hiperbolik Dönüşüm Doğrusal 5735531031,15

Üçer aylık net satışlar serisine yıllık verilerde olduğu gibi çeşitli fonksiyonlar

denenmiş ve en küçük hata kareleri toplamını veren hiperbolik dönüşümlü doğrusal

trend fonksiyonu üçer aylık net satışlar serisinin trend fonksiyonu olarak seçilmiştir

(Tablo-7).

166

Tablo-7: Üçer Aylık Satışların Trend Fonksiyonu


Doğrusal 2806421398,27


Growth 2603922656,91

Köklü Dönüşüm 2680610427,00

Hiperbolik Dönüşüm 2526825899,26

4.5.1.2. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi Yıllık serilerde mevsimin etkisi olmadığından sadece üçer aylık net satışlar

üzerinde mevsim etkisinin olup olmadığı araştırılmıştır. Mevsimin etkisini gösteren

mevsim indeksi üçer aylık net satışlar için hesaplanmış ve Tablo-8’de verilmektedir.

Tablo-8 incelendiğinde I. ve II. üçer aylık dönemlerde mevsim net satışlar üzerinde

olumsuz bir etki gösterirken III. çeyrekte bu etki olumlu olmaktadır. Son çeyrekte

mevsimin etkisi diğer çeyrekler kadar olmasa da yine üçer aylık net satışlara olumlu

bir katkı sağlamaktadır.

Tablo-8: Üçer Aylık Net Satışların Mevsim İndeksi

Dönem Mevsim İndeksi (%)

I 90,6

II 95,9

III 110,4

IV 103,1

4.5.1.3. Konjonktür Ve Arızi Faktörlerin Belirlenmesi Yıllık net satışlarda konjonktür ve arızi faktörlerin etkisini ortaya

çıkartabilmek amacıyla,

A.K100*Tyt =

167

işlemi yapılmaktadır. Yıllık net satışlar serisinin gözlem değerleri hiperbolik

dönüşümlü doğrusal trend fonksiyonu ile elde edilen trend (T) değerlerine bölünerek

konjonktür ve arızi faktörlerin etkisi yüzde (%) cinsinde ortaya çıkarılmaktadır

(Grafik 3). Grafik-3’ ten görüleceği üzere 2000 ve 2001 yıllarında konjonktür ve

arızi faktörlerin net satışlar üzerindeki etkileri olumlu olarak en yüksek düzeydedir.

Bunun sonucu olarak satışlar bu dönemde trendinin üzerinde gerçekleşmiştir. Buna

karşılık 1998, 1999 ve 2003 yıllarında konjonktür ve arızi faktörlerin net satışlar

üzerindeki etkileri olumsuz olmuş, ve satışlar trendinin altında seyretmiştir.

Grafik- 3: Yıllık Net Satışlar Üzerinde Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkisi

20072006200520042003200220012000199919981997199619951994

Yıllar

150,00

140,00

130,00

120,00

110,00

100,00

90,00

80,00

%

Üçer aylık net satışlar üzerinde konjonktür ve arızi faktörlerin etkilerini

görebilmek için,

A.K100*M.T

yt =

işleminin yapılması gerekmektedir. Üçer aylık net satışlar için belirlenen ikinci

derece trend fonksiyonu değerleri mevsim indeksi (M) ile düzeltilmektedir. Üçer

aylık net satış gözlem verileri trend ve mevsim bileşenine oranlanarak konjonktür ve

arızi (K.A) faktörlerin etkileri açığa çıkartılmaktadir (Grafik-4). Grafik-4

incelendiğinde konjonktür ve arızi faktörlerin 1998:1-1999:3 dönemlerinde net

168

satışlar üzerinde etkilerinin olumsuz olduğu ve 1998:3 çeyreğinde bu etkinin

maksimum olduğu gözlenmektedir. 2000:1-2001:4 döneminde konjonktür ve arızi

faktörlerin net satışlar üzerinde etkisi olumlu olup bu olumlu etki 2000:4 çeyreğinde

zirve yapmıştır. 2003:2-2004:3 döneminde konjonktür ve arızi faktörlerin etkisi

olumsuzdur. Konjonktür etkisinin olumlu olduğu dönemlerde satışlar trendinin

üzerinde, olumsuz olduğu dönemlerde ise trendinin altında gerçekleşmektedir.

Satışların trendinin üzerinde olması konjonktürün refah dönemini, satışların trendinin

altında olması ise konjonktürün depresyon döneminde olduğunun bir işaretidir. Diğer

dönemlerde konjonktür ve arızi faktörlerin olumlu ve olumsuz etkisi olmakla birlikte

bu etki çok dikkat çekici değildir.

Grafik-4: Net Satışlar Üzerinde Konjonktür ve Arizi Faktörlerin Etkisi (1994:1-

2007:4)

Q32007

Q1

2007

Q32006

Q1

2006

Q32005

Q1

2005

Q32004

Q1

2004

Q32003

Q1

2003

Q32002

Q1

2002

Q32001

Q1

2001

Q32000

Q1

2000

Q31999

Q11999

Q31998

Q11998

Q31997

Q11997

Q31996

Q11996

Q31995

Q11995

Q31994

Q11994

Zaman

200,00

175,00

150,00

125,00

100,00

75,00

50,00

%

4.5.2. Net Satışlara Düzgünleştirme Yöntemlerinin Uygulanması Net satışların üstel düzgünleştirme yöntemleriyle analizi için hem yıllık net

satışlar hem de üçer aylık net satışlar SPSS 13.0 istatistik paket programı yardımıyla

çeşitli üstel düzgünleştirme yöntemleri uygulanmıştır. Sadece Brown’ın yöntemleri

SPSS paket programda yer almaması nedeniyle Excel’de solver kullanılarak

169

çözülmüştür. Yıllık net satışlar için uygulanan üstel düzgünleştirme yöntemleri ve

hata kareleri toplamları Tablo-9’de verilmektedir. Tablo-9 incelendiğinde Holt’un İki

Parametreli Doğrusal Üstel düzgünleştirme yöntemi en küçük hata kareleri toplamı

değerine sahiptir. Hata kareleri toplamını en küçük yapan düzgünleştirme katsayıları

serinin genel düzeyi için 0,99 ( )99,0=α , trend bileşeni için ise gama 0,01 ( )01,0=γ

olarak elde edilmiştir.

Tablo-9: Yıllık Net Satışlar İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri

Yöntem Hata Kareleri Toplamı

Basit Üstel Düz. 12197276878,17

Holt İkili Parametreli Doğrusal Üstel Düz. 8332474263,67

Holt Winters İki Parametreli İkili Üst.Düz.-Üstel Trend 9049937635,62

Yavaşlayan Trend Üstel Düz. 8387586829,15

Brown Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düz. 11155656606,98

Brown İkinci Derece Üstel Düz. 10748051497,49

Üçer aylık veriler için denen üstel düzgünleştirme yönteleri ve hata kareleri

toplamları Tablo-10’da verilmektedir.

Tablo-10: Üçer Aylık Net Satışlar İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri




Winters’ın Doğrusal Trend Üstel Düz. 1111600293,34

Winters’ın Trendsiz Üstel Düz. 1330104148,41

Winters’ın Üstel Trend Üstel Düz. 1134956633,76

Winters’ın Yavaşalayan Trend Üstel Düz. 1136825120,98

Brown Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düz. 2210671114,73

Brown İkinci Derece Üstel Düz. 2484751398,69

170

Tablo-10’dan görüleceği üzere Winters’ın Doğrusal Üstel Düzgünleştirme

yönteminin (Çarpımsal mevsim) en küçük hata kareleri toplamına sahiptir. Bu en

küçük hata kareleri toplamını veren düzgünleştirme katsayıları serinin genel düzeyi

için 0,89 ( 89,0 )=α , trend bileşeni için 0,01 ( )01,0=γ ve mevsim bileşeni için 0,01

olarak elde edilmiştir. ( 01,0=β )

4.5.3. Net Satışların Otoregressif Ve/Veya Hareketli Ortalama

Yöntemiyle İncelenmesi Grafik-1’de net satışların yıllık değerlerinin grafiği verilmişti. Grafik-1

incelendiğinde yıllık satışların dalgalı olmakla birlikte yukarı yönlü bir trendinin

olduğu görülmektedir. Otoregressif ve/veya Hareketli Ortalama Yöntemini (ARMA)

uygulayabilmek için seri durağan olmalıdır. Serinin durağanlığı hakkında ya birim

kök testleriyle ya da otokorelasyon fonksiyonun grafiği14 incelenerek ve katsayıların

testleri yapılarak karar verilebilmektedir. Serinin korelogramı Grafik-5’de

verilmektedir.

Grafik-5: Yıllık Net Satışların Korelogramı

Grafik-5’den izlenebileceği gibi ilk gecikme hariç diğer gecikmelerin

otokorelasyon katsayıları %95 güven aralığı içinde kaldığından serinin

durağan olduğuna karar verilmektedir. Korelogram incelendiğinde kısmi

otokorelasyon katsayılarının otokorelasyon katsayılarına göre daha yavaş olarak

52,0m

14 Otokorelasyon fonksiyonun grafiğine korelogram denmektedir.

171

sıfıra yaklaştığı görüldüğünden, kesin olmamakla birlikte seriye hareketli ortalama

(MA) modelinin uygun olduğu düşünülmektedir. Seri üzerinde çeşitli ARMA

modelleri denenmiştir. ARMA(0,0,2) modelinde katsayılar anlamlı olmakla birlikte

çevrilebilirlik kısıtının, ARMA(1,0,0) modelinde ise katsayı anlamlı ancak

durağanlık kısıtının, ARMA(1,0,1) modelinde katsayılar yine anlamlı fakat

durağanlık ve çevrilebilirlik kısıtlarının sağlanamadığı görülmüştür. ARMA(2,0,0)

modelinde ise katsayılar hem anlamsız hem de durağanlık kısıtını sağlamamaktadır.

Yine ARMA(2,0,1) ve ARMA(1,0,2) modellerinin katsayıları için de yine benzer

sonuçlar elde edilmiştir. ARMA(0,0,1) modeli yıllık net satış serisi için uygun model

olarak bulunmuştur. Modelin bilgi kriterleri Tablo-11’da katsayısı ise Tablo-12’de

verilmiştir

Tablo-11: ARIMA(0,0,1) Modelinin Bilgi Kriterleri

Model AIC SBC Log L HKT

ARIMA(0,0,1) 25,5709 25,6165 -177,9963 9,06E+9

Tablo-12: Yıllık Net Satışlara ait ARIMA(001) Modeli

Model

ARIMA(0,0,1)

Katsayılar Std.Hata t-İstatistiği Olasılık

MA(1) 0,894146 0,098066 9,117812 0,0000

ARMA(0,0,1) modelinin tahmin hatalarına ait otokorelasyonlar Grafik-6’dan

izlenebileceği gibi %95 güven sınırlarını içinde yer almaktadır. Ayrıca çeşitli

gecikmeler için hesaplanan Q istatistiklerini incelediğimizde hesaplanan tüm

gecikmeler için tablo değerlerinden küçük olduğundan yine anlamlı

otokorelasyon katsayısının bulunmadığını anlaşılmaktadır. Dolayısıyla hata terimleri

beyaz gürültü serisi olup tesadüfi dağılıma sahiptirler.

52,0±

2qm, −αχ

172

Grafik-6: ARMA(0,0,1) Modeline Ait Hataların Korelogramı

Yıllık net satışlar için uygun ortalama modelin bulunmasından sonra seride

koşullu değişen varyans etkisinin (ARCH etkisi) olup olmadığının araştırılması

gerekmektedir. Bunun için hata karelerinin korelogramı incelenebileceği gibi

Bölüm3’de söz edilen ARCH-LM testi de uygulabilmektedir. ARMA(0,0,1)

modelinin hatalarının karelerine ait korelogram Grafik-7’de verilmektedir. Grafik-7

incelendiğinde otokorelayon katsayılarının %95 güven sınırları içinde

olduğu ve ayrıca Q istatistiğinin de hesaplanan tüm gecikmelerinde Ki-kare tablo

değerlerinden küçük olduğu görülmektedir. Dolayısıyla hata terimlerinin kareleri

arasında anlamlı bir ilişki yoktur. Bu sonuca ayrıca ARCH-LM

( 52,0m )

15 testiyle ulaşmak

mümkündür. ARCH-LM testinde hata karelerinden p gecikmeli regresyon denklemi

elde edilmekte ve denklemin katsayılarının anlamlı olmasının yanı sıra 2nRLM =

değerinin tablo değerinden büyük olması durumunda ARCH etkisinden söz

edilmektedir.

2pχ

15 Ayrıntı için Bölüm 3’e bakınız.

173

Grafik-7: ARMA(0,0,1) Modeline Ait Hata Karelerinin Korelogramı

ARMA(0,0,1) modeline ait hata karelerinin çeşitli gecikmelerinden elde

edilen regresyon katsayıları ve ARCH-LM test istatistik sonuçları Tablo-13’de

gösterilmektedir.

Tablo-13: ARMA (0,0,1) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları16

p 0α 1α 2α 3α LM 2p;05,0χ

1 4,82E+9

(2,30E+9)

0,305657

(0,306613)

1,077148 3,841

2 3,37E+9

(2,88E+9)

0,224299

(0,300034)

0,453995

(0,365744)

2,462258 5,991

3 4,24E+9

(3,87E+9)

0,304947

(0,372834)

0,421620

(0,410204)

-0,262202

(0,455268)

2,603943 7,814

ARCH-LM test sonuçları da seride bir ARCH etkisinin olmadığını

doğrulamaktadır. ARMA(0,0,1) modelinden elde edilen hatalar durağan olup birim

kök içermediğinden, hata teriminde meydana gelen şokların serinin genel eğilimine

kısa dönemde etki yaptığı ve süreklilik göstermediği sonucuna varılmaktadır. Yıllık

net satışların tahmini için kullanılabilecek ortalama model ARMA(0,0,1) modelidir.

16 Test daha uzun gecikmeler içinde yapılmış ancak hem katsayılar hemde LM istatistiği anlamlı olmadığından diğer gecikme uzunlukları için test sonuçları verilmemiştir. Ayrıca tabloda parantez içindeki değerleri katsayıların standart hatalarıdır.

174

Grafik-2’de üçer aylık net satışların grafiği verilmişti. Grafik-2

incelendiğinde üçer aylık net satışlar serisinin bir trendinin olduğu görülmektedir.

ARMA yöntemini uygulayabilmek için serinin durağan olması gerekmektedir.

Teorik bölümde belirtildiği gibi durağan olmayan serilere fark işlemi uygulanarak

durağanlaştırılmaktadır. Durağanlaştırma sırasında ya birinci, ikinci farklar veya

mevsimsel farklar alınmaktadır. Durağanlığın araştırılması için ya birim kök testlerin

yapılması veya serinin otokorelasyon fonksiyonun incelenmesi gereklidir. Uzun

gecikmelere rağmen otokorelasyon katsayıları anlamlılığını koruyor ise seri durağan

değildir. Üçer aylık net satışların korelogramı Grafik-8’de gösterilmektedir.

Grafik-8: Üçer Aylık Net Satışların Korelogramı

Net satışların korelagramı incelendiğinde sekizinci gecikmeden sonraki

otokorelasyon katsayılarının 26,0± %95 güven sınırları içinde kaldığı

görülmektedir. Ayrıca Q istatistik değerleri tüm gecikmeleri için %5 anlamlılık

düzeyinde ki-kare tablo değerlerinden17 büyük olduğundan otokorelasyon katsayıları

anlamlıdır. Dolayısıyla üçer aylık net satışlar serisi durağan değildir. Seriyi 17 Örneğin, %5 anlamlılık düzeyinde tablo değerleri ikinci gecikme için 3,84, beşinci gecikme için 9,48, onuncu gecikme için 16,92, onbeşinci gecikme için 23,68, yirminci gecikme için 30,14 ve yirmibeşinci gecikme için 36,42

175

durağanlaştırmak amacıyla ilk farklar uygulanmış ve ilk farklar serisinin grafiği ve

korelogramı sırasıyla Grafik-9 ve Grafik-10’da gösterilmektedir.

Grafik-9: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar Serisi

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

DNS

Grafik-10: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar Serisinin Korelogram

176

İlk farklar serisinin korelogramını incelediğinde yine uzun gecikmelere

rağmen otokorelasyon katsayıları anlamlılığını korumaktadırlar. Özellikle periyodik

olarak bazı gecikmelerde otokorelasyon katsayılarının yüksekliği dikkat

çekmektedir. Dolayısıyla ilk farklar serisinin de durağan olmadığı gözlenmektedir.

İlk farklar serisinin tekrar farkını almadan mevsimsel ilk farklar uyguladığında

serinin artık durağanlaştığı anlaşılmaktadır. İlk farklar ve mevsimsel ilk farklar

serisinin grafik ve korelogramı Grafik-11 ve Grafik-12’de sırasıyla gösterilmektedir.

Grafik-11: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar ve Mevsimsel İlk Farklar Serisi

-20000

-10000

0

10000

20000

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006

SDNS

177

Grafik-12: Üçer Aylık Net Satışların İlk Farklar ve Mevsimsel İlk Farklar Serisinin

Korelogramı

Durağanlaştırılan serinin korelogramını incelediğinde otokorelasyon

fonksiyonunda dördüncü gecikmedeki otokorelasyon katsayısının önemli diğer

otokorelasyon katsayılarının çok önemli olmadığı görülmektedir. Kısmı

otokorelasyon fonksiyonu incelendiğinde dördüncü, sekizinci, onikinci, onaltıcı

otokorelasyon katsayılarının önemli diğerleri ise önemsizdir. Dolayısıyla mevsim

periyodundaki kısmi otokorelasyon katsayıları yavaş yavaş azalırken otokorelasyon

fonksiyonunda ilk mevsim periyodundaki korelasyon anlamlı olduğundan akla ilk

gelen birinci dereceden mevsimsel hareketli ortalama SMA(1) modelidir. Bu model

ile birlikte başka modellerde denenmiş katsayılarının istatistik anlamlılığının

yanında, katsayılarının durağanlık ve çevrilebilirlik kısıtları dikkate alınarak dört

uygun model belirlenmiştir. Bu modellere ait bilgi kriterleri Tablo-14’de

verilmektedir.

178

Tablo-14: Üçer Aylık Net Satışlar İçin Uygun Modellerin Bilgi Kriterleri


ARIMA(0,1,0)(1,1,0) 20,46669 20,54317 -509,6672 2,09E+9

ARIMA(0,1,0)(0,1,1) 19,91064 19,94851 -506,7212 1,27E+9

ARIMA(0,1,0)(1,1,0) 20,25234 20,29171 -474,9301 1,65E+9

ARIMA(0,1,2)(0,1,0) 20,33998 20,37786 -517,6694 1,96E+9

Uygun modeller içinde ARIMA(0,1,0)(0,1,1) modelinin en düşük AIC ve

SBC bilgi kriterlerine sahip olduğundan en uygun ARIMA modeli olarak

belirlenmiştir. Tablo-15’de gösterildiği gibi modelin katsayısı istatistik olarak

anlamlı ve aynı zamanda çevrilebilirlik kısıtını sağlamıştır.

Tablo-15: Üçer Aylık Net Satışlara Ait ARIMA(010)(011) Modeli

Model

ARIMA (0,1,0)(0,1,1)

Katsayı Std.Hata t-İstatistiği Olasılık

SMA(1) -0,902349 0,043018 -20,97606 0,0000

ARIMA(010)(011) Modelinin tahmin hatalarına ait otokorelasyonlar Grafik-

13’den izlenebileceği gibi 27,0± %95 güven sınırlarını içinde yer almaktadır.

Ayrıca çeşitli gecikmeler için hesaplanan Q istatistiklerini incelediğinde hesaplanan

tüm gecikmeler için tablo değerlerinden küçük olduğundan yine anlamlı

otokorelasyon katsayısının bulunmadığını doğrulanmaktadır. Dolayısıyla hata

terimleri beyaz gürültü serisi olup tesadüfi dağılıma sahiptirler.

2Qm, −αχ

179

Grafik-13: ARIMA(0,1,0)(0,1,1) Modeline Ait Hataların Korelogramı

Üç aylık net satışlar için uygun ortalama modelin bulunmasından sonra seride

ARCH etkisi olup olmadığının araştırılması gerekmektedir. Bunun için hata

karelerinin korelogramı incelenebileceği gibi ARCH-LM testi de uygulabilmektedir.

ARIMA(0,1,0)(0,1,1) modelinin hata karelerine ait korelogram Grafik-14’de

verilmektedir. Grafik-14 incelendiğinde otokorelayon katsayılarının %95 güven

sınırları içinde olduğu ve ayrıca Q istatistiğinin de hesaplanan tüm gecikmelerinde

Ki-kare tablo değerlerinden küçük olduğu görülmektedir. Dolayısıyla hata kareleri

arasında anlamlı bir ilişki yoktur. Bu sonuca ayrıca ARCH-LM testiyle ulaşmak

mümkündür. ARCH-LM testinde hata karelerinden p gecikmeli regresyon denklemi

elde edilmekte ve denklemin katsayılarının anlamlı olmasının yanı sıra 2nRLM =

değerinin tablo değerinden büyük olması durumunda ARCH etkisinden söz

edilmektedir.

2pχ

180

Grafik-14: ARIMA(0,1,0)(0,1,1) Modeline Ait Hata Karelerinin Korelogramı

Hata terimlerinin karelerinin çeşitli gecikmeleri için tahmin edilen regresyon

denkleminin katsayıları ve ARCH-LM test istatistik sonuçları Tablo-16’de

verilmektedir.

Tablo-16: ARIMA (0,1,0)(0,1,1) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları18

p 0α 1α 2α 3α LM 2p;05,0χ

1 28091390

(7508697)

-0,114023

(0,143519)

0,648964 3,841

2 22666775

(8648130)

-0,092098

(0,144465)

0,202623

(0,144723)

2,634653 5,991

3 23303058

(9516568)

-0,097281

(0,150870)

0,199498

(0,148248)

0,003573

(0,151714)

2,578060 7,814

18 Test daha uzun gecikmeler içinde yapılmış ancak hem katsayılar hemde LM istatistiği anlamlı olmadığında diğer gecikme uzunlukları için tes tsonuçları verilmemiştir. Ayrıca tabloda parantez içindeki değerleri katsayıların standart hatalarıdır.

181

ARCH-LM test sonuçları da seride bir ARCH etkisinin olmadığını

doğrulamaktadır. ARIMA(0,1,0)(0,1,1) modelinden elde edilen hatalar durağan olup

birim kök içermediğinden, hata teriminde meydana gelen şokların serinin genel

eğilimine kısa dönemde etki yaptığı ve süreklilik göstermediği sonucuna

varılmaktadır. Üçer aylık net satışlar tahmini için kullanılabilecek ortalama model

ARIMA(0,1,0)(0,1,1) modelidir.

4.6. Ham Petrol Fiyatlarının Analizi

Varil başına günlük ham petrol fiyatları (Amerikan doları cinsinden)

Reuters’den temin edilmiştir. Günlük ham petrol fiyatlarından yıllık, mevsimlik ve

aylık ham petrol fiyatları hesaplanmıştır. Fiyatların Amerikan dolar cinsinden olması

ve Amerika’da enflasyonun yüksek seyir izlememesi nedeniyle seriye herhangi bir

deflate işlemi uygulanmamıştır. Yıllık ham petrol fiyatlarının grafiği aşağıda

gösterilmektedir (Grafik-15). Grafikten anlaşılacağı üzere ham petrol fiyatları zaman

içerisinde artan bir seyir izlemektedir. Seride konjonktürün neden olduğu 4-5 yıllık

dalgalanmalarda söz konusudur. Örneğin 1994-1998 arası bir konjonktür dönemi,

1998-2002 arası ikinci konjonktür dönemi ve 2002’den sonrası da üçüncü konjonktür

dönemi olarak belirlenebilir. Bu dönemlerin başlangıç ve bitişlerinde petrol fiyatları

en düşük düzeyindedir.

Grafik-15: Varil Başına Yıllık Ham Petrol Fiyatları 1994-2008

200820072006200520042003200220012000199919981997199619951994

Yıllar

100,00

80,00

60,00

40,00

20,00

0,00

Dolar

182

Ham petrol fiyatlarını daha yakından incelemek için mevsimlik ve aylık

serilere ait grafikler de verilmiştir (Grafik-16 ve Grafik-17).

Grafik-16: Varil Başına Mevsimlik Ham Petrol Fiyatları 1994:1-2008:4

2008

2008

2008

2008

2007

2007

2007

2007

2006

2006

2006

2006

2005

2005

2005

2005

2004

2004

2004

2004

2003

2003

2003

2003

2002

2002

2002

2002

2001

2001

2001

2001

2000

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

1998

1998

1998

1998

1997

1997

1997

1997

1996

1996

1996

1996

1995

1995

1995

1995

1994

1994

1994

1994

Zaman

120,00

100,00

80,00

60,00

40,00

20,00

0,00

Dolar

Grafik-16 ve Grafik-17 birlikte incelendiğinde konjonktür dalgalanmalarının

dışında da dalgalanmalar vardır. Bu dalgalanmalar belirgin bir periyodik özellik

göstermediğinden güçlü bir mevsim etkisinden söz etmek mümkün değildir. Bu

dalgalanmaların arızi faktörlerden (kasırga, ham petrol ihraç eden gelişmemiş

ülkelerdeki siyasi karışıklıklar vb.) kaynaklanabileceği düşünülmektedir. Zaman

içerisinde yukarı yönlü olan petrol fiyatlarında 2008 Ağustos’undan sonra keskin bir

düşüşün gerçekleştiği görülmektedir.

183

Grafik-17: Varil Başına Aylık Ham Petrol Fiyatları 1994:1-2008:12

AUG2008

MAR2008

OCT2007

MAY2007

DEC2006

JUL

2006

FEB20...

SEP20...

APR2005

NOV2004

JUN2004

JAN2004

AUG2003

MAR2003

OCT2002

MAY2002

DEC2001

JUL

2001

FEB20...

SEP20...

APR2000

NOV1999

JUN1999

JAN1999

AUG1998

MAR1998

OCT1997

MAY1997

DEC1996

JUL1996

FEB19...

SEP19...

APR1995

NOV1994

JUN1994

JAN1994

Zaman

140,00

120,00

100,00

80,00

60,00

40,00

20,00

0,00

Dola

r

4.6.1. Ham Petrol Fiyatlarının Bileşenlere Ayrılması

Yıllık, mevsimlik ve aylık olarak düzenlenen ham petrol fiyatlarının her biri

ayrı ayrı bileşenlerine ayrılacaktır.

4.5.1.1. Trendin Belirlenmesi Yıllık ham petrol fiyatları serilerine SPSS 13.0 istatistik paket programı

yardımıyla önce doğrusal, sonra ikinci derece ve üstel (growth) fonksiyonlar

denenmiş, ikinci derece fonksiyonun hata kareleri toplamı daha küçük olduğu için

seriye dönüşüm uygulanmıştır. Dönüşüm yöntemlerinden, kök dönüşüm doğrusal ve

hiperbolik dönüşüm doğrusal trend fonksiyonlarından hiçbiri ikinci derece trend

fonksiyonunun hata kareleri toplamından daha küçük hata kareleri toplamı

vermemiştir. Trend fonksiyonlarına ait hata kareleri toplamları Tablo-17’de

gösterilmektedir. Tablo-17 incelendiğinde en küçük hata kareleri toplamı 378,90 olan

ikinci dereceden fonksiyon ham petrol fiyatlarının trend fonksiyonu olarak

belirlenmektedir.

184

Tablo-17: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının Trend Fonksiyonu


Doğrusal 2249,66


Growth 1260,51



Mevsimlik ham petrol fiyatları için önce doğrusal, sonra ikinci derece ve üstel

fonksiyonlar denenmiştir. Denen fonksiyonlar içinden ikinci derecenin hata kareleri

toplamı diğer ikisinin hata kareleri toplamından daha küçük olduğundan seriye

hiperbolik ve karekök dönüşümü uygulanmıştır. Dönüştürülmüş verilerle doğrusal

trend fonksiyonu denenmiş ancak hata kareleri toplamları ikinci derece fonksiyondan

daha küçük olmadığı için mevsimlik ham petrol fiyatlarının trend fonksiyonu ikinci

dereceden bir fonksiyon olarak belirlenmiştir (Tablo-18).

Tablo-18: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Trend Fonksiyonu


Doğrusal 12148,88


Growth 8520,49



Aylık ham petrol fiyatlarına yukarıda bahsedildiği şekilde çeşitli trend

fonksiyonları denenmiş, içlerinden hata kareleri toplamı en küçük olan ikinci derece

fonksiyonun trend için en uygun olduğu saptanmıştır (Tablo-19).

185

Tablo-19: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Trend Fonksiyonu


Doğrusal 38655,72


Growth 28049,41



4.5.1.2. Mevsim Etkisinin Belirlenmesi

Yıllık serilerde mevsim bileşeni olmadığından ham petrol fiyatlarında

mevsim etkisinin varlığı mevsimlik ve üçer aylık seriler yardımıyla araştırılmıştır.

Mevsimlik verilere ait mevsim indeksi değerlerinden de anlaşılacağı üzere ham

petrol fiyatları üzerinde belirgin bir mevsim etkisi bulunmamaktadır (Tablo-20).

Tablo-20: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Mevsim İndeksi

Dönem Mevsim İndeksi(%)

1 96,5

2 100,2

3 102,9

4 100,4

Aylık ham petrol fiyatları kullanılarak hesaplanan mevsim indeksi Tablo-

21’de verilmektedir. Tablo-21 incelendiğinde mevsim indeksi değerleri 96,3 ile

103,5 arasında değişmektedir. Bu değerler 100’e çok yakın olduğundan ham petrol

fiyatları üzerinde mevsimin çok önemli etkisi yoktur.

186

Tablo-21: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Mevsim İndeksi

Aylar Mevsim İndeksi (%)

Ocak 96,4

Şubat 96,3

Mart 97,8

Nisan 99,0

Mayıs 101,6

Haziran 100,1

Temmuz 101,8

Ağustos 102,6

Eylül 103,5

Ekim 103,1

Kasım 100,4

Aralık 97,4

4.5.1.3. Konjonktür Ve Arızi Faktörlerin Belirlenmesi Yıllık verilerde konjonktür ve arızi faktörlerin etkisini ortaya çıkartabilmek

amacıyla,

A.K100*Tyt =

işlemi yapılmaktadır. Yıllık ham petrol fiyatları, ikinci derece trend fonksiyonundan

elde edilen trend (T) değerlerine bölünerek konjonktür ve arızi faktörlerin etkisi

yüzde (%) cinsinden ortaya çıkarılmaktadır (Grafik-18). Grafik-18’den göreleceği

üzere seride üç konjonktür dönemi söz konusudur. Özellikle 1994-1998 ve 1998-

2002 dönmelerinde konjonktür ve arızi faktörlerin etkisi bir hayli yüksektir. 2002-

2007 döneminde konjonktür ve arızi faktör etkisi diğer iki dönem kadar etkin

olmamakla birlikte; 2002’den 2004’e petrol fiyatlarını azaltıcı bir rol oynamıştır.

187

Grafik-18: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızı Faktörler (%)

200820072006200520042003200220012000199919981997199619951994

Yıllar

160,00

140,00

120,00

100,00

80,00

KA(%

)

Mevsimlik ve aylık verilerde konjonktürün etkisini belirlemek için trend

değerleri mevsim indeksiyle düzeltilerek,

A.K100*M.T

yt =

işlemi yapılmaktadır. Böylece konjonktür ve arızi faktörlerin etkileri % cinsinden

elde edilmektedir. Hem mevsimlik hem de aylık verilerde trend değerleri ikinci

derece fonksiyon ile tahmin edilmiştir. Daha sonra ilgili serilerin mevsim indeksleri

kullanılarak tahmin değerleri düzeltilmiştir. Bu değerler kullanılarak elde edilen

konjonktür ve arızi faktörlerin etkileri mevsimlik seri için Grafik-19’da aylık seri için

ise Grafik-20’de verilmektedir.

188

Grafik-19: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızı Faktörler (%)

Q32008

Q1

2008

Q32007

Q1

2007

Q32006

Q1

2006

Q32005

Q1

2005

Q32004

Q1

2004

Q32003

Q1

2003

Q32002

Q1

2002

Q32001

Q1

2001

Q32000

Q1

2000

Q31999

Q11999

Q31998

Q11998

Q31997

Q11997

Q31996

Q11996

Q31995

Q11995

Q31994

Q11994

Zaman

160,00

140,00

120,00

100,00

80,00

60,00

KA(%

)

İlk konjonktür döneminde Ocak-96 dan Şubat-98’e kadar petrol fiyatları

konjonktürün de etkisiyle trendinin üzerinde seyretmiştir. Ocak-94’den Ocak-96’ya

kadar ve Şubat-98’den Aralık-98’e kadar ise konjonkür etkisi petrol fiyatlarının

trendinin altında gelişmesine neden olmuştur.

Grafik-20: Aylık Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızı Faktörler (%)

AUG2008

MAR2008

OCT2007

MAY2007

DEC2006

JUL

2006

FEB20...

SEP20...

APR2005

NOV2004

JUN2004

JAN2004

AUG2003

MAR2003

OCT2002

MAY2002

DEC2001

JUL

2001

FEB20...

SEP20...

APR2000

NOV1999

JUN1999

JAN1999

AUG1998

MAR1998

OCT1997

MAY1997

DEC1996

JUL1996

FEB19...

SEP19...

APR1995

NOV1994

JUN1994

JAN1994

Zaman

180,00

160,00

140,00

120,00

100,00

80,00

60,00

40,00

KA(%

)

189

İlk konjonktür döneminde özellikle Güney Doğu Asya krizi etkin olmuştur.

Krizin başladığı 1997’nin yaz aylarına kadar Güney Doğu Asya ülkeleri olan

Endenozya, Malezya, Filipinler, Singapur ve Tayland ortalama yıllık %8 (Gayri Safi

Yurtiçi Hasıla) büyüyerek petrole olan talebi arttırmışlar ve buna bağlı olarak da

petrol fiyatlarının trend değerinin üzerinde gerçekleşmesine neden olmuşlardır.

Krizin başladığı 1997 yaz aylarından itibaren grafiklerden de izlenebileceği gibi hep

artış yönünde olan konjonktürün etkisi yön değiştirmiş ve özellikle Şubat-98’den

sonra petrol fiyatlarını azaltıcı bir rol oynamıştır. İkinci konjonktür döneminde;

Aralık-98’den Temmuz-99’a kadar ham petrol fiyatları konjonktur etkisiyle trendinin

altında, Temmuz-99’dan Ekim-01’e kadar ise trendinin üstünde gerçekleşmiştir.

Ekim-01’den Şubat-02’ye kadar ise konjonktür yine petrol fiyatlarını trendinin altına

çekmiştir. 2001’de yaşanan Arjantin ve Türkiye krizi ile ABD’deki 11 Eylül

saldırıları ve takiben 2003 Mart ayında Amerika’nın Irak’ı işgal etmesi ikinci

konjonktür döneminde etkili olan olaylardır. Son olarak Amerikan konut sektöründe

başlayan ve tüm dünyayı 2008 yaz aylarında etkisi altına alan ekonomik kriz petrol

fiyatlarındaki keskin düşüşe neden olmuştur. Petrol fiyatlarının trendinin üzerinde

seyrettiği dönemler konjonktürün refah dönemidir. Bu dönemde üretimler, satışlar,

gelirler artmaktadır. Bu nedenle diğer sanayilerin, ulaşımın bir girdisi olan petrole

talep artmakta, artan talep sonucunda petrol fiyatları artmaktadır. Petrol fiyatlarının

trendinin altında gelişmesi konjonktürün depresyon dönemini ifade eder. Bu

dönemde ekonomiler daralır, üretim, satışlar azalır, işsizlik artar ve hemen her

üründe talep azalır. Bunun bir neticesi olarak fiyatlar gerilemeye başlar.

4.6.2. Ham Petrol Fiyatlarına Üstel Düzgünleştirme Yöntemlerinin

Uygulanması Ham petrol fiyatlarına herhangi bir matematiksel dönüşüm uygulanmadan,

SPSS 13.0 istatistik paket programı yardımıyla çeşitli üstel düzgünleştirme

yöntemlerine tabi tutulmuşlardır. Sadece Brown’ın yöntemleri SPSS paket

programda yer almaması nedeniyle Excel’de solver kullanılarak denenmiştir. Yıllık

ham petrol fiyatları için uygulanan üstel düzgünleştirme yöntemleri ve hata kareleri

toplamları Tablo-21’de verilmektedir. Tablo-21 incelendiğinde Holt’un iki

190

parametreli üstel trend içeren düzgünleştirme yöntemi en küçük hata kareleri toplamı

değerine sahiptir. Bu en küçük hata kareleri toplamını veren düzgünleştirme

katsayıları serinin genel düzeyi için 0,31 ( )31,0=α , trend bileşeni için 0,89

( 89,0= )γ olarak elde edilmiştir.

Tablo-22: Yıllık Ham Petrol Fiyatları İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri




Holt Winters İki Parametreli İkili Üst.Düz.-Üstel Trend 598,71

Yavaşlayan Trend Üstel Düz. 868,09

Brown Tek Parametreli Doğrusal Üstel Düz. 63,0=α 838,36

Brown İkinci Derece Üstel Düz. 37,0=α 736,96

Mevsimlik ham petrol fiyatlarına uygulanan üstel düzgünleştirme yöntemleri

ve hata kareleri toplamları Tablo-23’de gösterilmektedir. Tablo-23 incelendiğinde

Winters’ın Yavaşlayan Trend üstel düzgünleştirme yönteminin hata kareleri toplamı

diğerlerine göre daha küçük olduğundan en uygun yöntemdir. Hata karelerini en

küçük yapan düzgünleştirme katsayıları serinin genel düzeyi için 0,99, mevsim etkisi

için 0,99 ve yavaşlayan trend için 0,47 olarak elde edilmektedir.

Tablo-23: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatları İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri





Winters’ın Trendsiz Üstel Düz. (Çarpımsal) 4883,22

Winters’ın Üstel Trend Üstel Düz. (Çarpımsal) 4474,44

Winters’ın Yavaşlayan Trend Üstel Düz. (Çarpımsal) 3917,55



191

Aylık ham petrol fiyatlarına uygulanan üstel düzgünleştirme yöntemleri ve

hata kareleri toplamları Tablo-24’de gösterilmektedir. Tablo-24’ten anlaşılacağı

üzere Winters’ın Yavaşlayan Trend üstel düzgünleştirme yönteminin hata kareleri

toplamı diğerlerine göre daha küçük elde edilmiştir. Bundan dolayı aynı mevsimlik

verilerde olduğu gibi Winters’ın Yavaşlayan Trend üstel düzgünleştirmesi en uygun

yöntemdir. Hata karelerini en küçük yapan düzgünleştirme katsayıları serinin genel

düzeyi için 0,85, mevsim etkisi için 0,01 ve yavaşlayan trend için 0,52 olarak elde

edilmektedir.

Tablo-24: Aylık Ham Petrol Fiyatları İçin Üstel Düzgünleştirme Yöntemleri





Winters’ın Trendsiz Üstel Düz. (Çarpımsal) 3744,31

Winters’ın Üstel Trend Üstel Düz. (Çarpımsal) 2855,41

Winters’ın Yavaşlayan Trend Üstel Düz. (Çarpımsal) 2401,63



4.6.3. Ham Petrol Fiyatlarının Otoregressif Ve/Veya Hareketli Ortalama

Yöntemiyle İncelenmesi

Yıllık ham petrol fiyatları serisine Otoregressif ve/veya Hareketli Ortalama

Yöntemini (ARMA) uygulayabilmek için seri durağan olmalıdır Serinin durağanlığı

hakkında ya birim kök testleriyle ya da otokorelasyon fonksiyonun grafiği

incelenerek ve otokorelasyon katsayıların testleri yapılarak karar verilebilmektedir.

Serinin korelogramı Grafik-21’de verilmektedir.

192

Grafik-21: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının Korelagramı

Grafik-21’den izlenebileceği gibi 12 gecikmeye19 rağmen otokorelasyon

katsayıları anlamlılıklarını korumaktadır. Dolayısıyla yıllık ham petrol fiyatları serisi

durağan değildir. Durağanlaştırmak için seriye ilk fark alma işlemi uygulanmıştır. İlk

farklar serisinin korelogramı Grafik-22’de verilmektedir.

Grafik-22: Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının İlk Farklarına Ait Korelogramı

19 Ki-kare tablo değeri, %5 için 19,68, %1 için 24,73’dür.

193

Korelogramdan anlaşılacağı üzere seri durağan hale gelmiştir. Otokorelasyon

katsayıları hızla sıfıra doğru azalmaktadır. Bu azalışın otokorelasyon fonksiyonunda

mı yoksa, kısmi otokorelasyon fonksiyonunda mı olduğu anlaşılamadığı için çeşitli

ARMA modelleri denenerek, bu modellere ait bilgi kriterleri Tablo-25’de

verilmektedir.

Tablo-25: ARMA Modellerinin Bilgi Kriterleri


ARMA(1,0,0) 7,3280 7,3714 -46,6321 993,51

ARMA(2,0,0) 7,5585 7,6393 -43,3511 965,09

ARMA(0,0,1) 7,2716 7,3173 -49,9015 1022,46

ARMA(0,0,2) 7,3657 7,4570 -49,5600 973,78

ARMA(1,0,1) 5,5252 5,6121 -33,9142 140,42

ARMA(2,0,1) 7,6812 7,8025 -43,0876 923,62

ARMA(1,0,2) 5,6622 5,7926 -33,8047 138,07

ARMA(2,0,2) 7,8527 8,0144 -43,1168 928,12

ARMA(1,0,1) modelinin katsayıları durağanlık ve çevrilebilirlik20 kısıtlarını,

ARMA(2,0,0), ARMA(2,0,1), ARMA(2,0,2), ARMA(1,0,2) modelleri katsayıları

anlamsız, ARMA(0,0,2) modeli de bilgi kriteri yüksek olduğundan ve ARMA(0,0,1)

modeli yüksek hata kareleri toplamı ve düşük olabilirlik değerinden dolayı uygun

model olarak değerlendirilememektedir. ARMA(1,0,0) modeli bilgi kriteri,

katsayıların anlamlılığı ve durağanlık kısıtı birlikte düşünüldüğünde uygun model

olarak belirlenmektedir.

Tablo-26: ARMA(1,0,0) Modeli

Model

ARMA(1,0,0)


AR(1) 0,7999 0,03338 2,396 0,0337

20 Invertibility condition.

194

Uygun model olarak belirlenen ARMA(1,0,0) modelinin tahmin hatalarına ait

otokorelasyon katsayıları Grafik-23’te verilmektedir.


Hatalara ait korelogram incelendiğinde herhangi bir anlamlı otokorelasyon

katsayısı bulunmadığından hatalar beyaz gürültü serisidir. Hatalar beyaz gürültü

serisi iken hata terimlerinin kareleri arasındaki otokorelasyon seride koşullu değişen

varyansın (ARCH etkisnin) varlığına işaret etmektedir.

Grafik-24: ARMA(1,0,0) Modeline Ait Hataların Karelerinin Korelogramı

Hataların karelerinin korelogramı incelendiğinde anlamlı otokorelasyon

bulunmadığından hatalar arasında ARCH etkisi mevcut değildir. Hata kareleri

korelogramının yanı sıra Bölüm3’te anlatılan ARCH-LM testiyle de değişen varyans

195

sorunu saptanabilmektedir. Bunun için hata kareleri arasında çeşitli gecikmeler için

ARCH-LM testi sonuçları Tablo-27’de verilmektedir.

Tablo-27: ARMA (1,0,) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları

p 0α 1α 2α 3α 4α LM 2p;05,0χ

1 109,34

(52,9662)

-,6265

(0,8289)

0,6484 3,841

2 160,02

(72,7466)

-0,7749

(0,8893)

-0,7628

(0,8919)

1,7141 5,991

3 188,19

(106,4292)

-0,9447

(0,9975)

-0,9837

(1,0206)

0,0541

(1,0241)

2,2452 7,814

4 247,66

(171,4884)

-1,1688

(1,2639)

-1,1166

(1,2691)

-0,1302

(1,3017)

-0,5117

(1,2918)

2,4509 9,487

ARCH-LM testi sonucunda, LM (=nR2) istatistikleri tablo değerlerinden

küçük ve aynı zamanda p gecikmeli regresyon katsayıları da anlamsız olduğundan

seride değişen varyans sorunu bulunmamaktadır.

2pχ

Mevsimlik ham petrol fiyatları serisinin durağanlığını araştırmak üzere

korelogram çizilmiştir (Grafik-25).

Grafik-25: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Korelagramı

196

Korelogram incelendiğinde uzun gecikmelere rağmen otokorelasyonlar

anlamlılıklarını koruduklarından mevsimlik ham petrol fiyatları serisi durağan

değildir. Seriye ilk fark alma işlemi uygulandıktan sonra otokorelasyon fonksiyonu

tekrar elde edilmiştir (Grafik-26). Korelogramdaki otokorelasyonlar anlamlı

olmadığından mevsimlik ham petrol fiyatları fark alma işleminden sonra durağan

hale gelmiştir. Artık seri üzerinde çeşitli Otoregressif ve/veya Hareketli Ortalama

Yöntemini (ARMA) uygulanabilir.

Grafik-26: Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının İlk Farklarına Ait Korelogramı

Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları hızla sıfıra doğru

azalmaktadır. Bu azalışın otokorelasyon fonksiyonunda mı yoksa, kısmi

otokorelasyon fonksiyonunda mı olduğu anlaşılamadığı için çeşitli ARMA modelleri

denenerek, bu modellere ait bilgi kriterleri Tablo-28’de verilmektedir.

197



ARMA(1,0,0) 7,2812 7,3168 -210,1575 4766,54

ARMA(2,0,0) 7,1069 7,1786 -200,5477 3796,88

ARMA(0,0,1) 7,0985 7,1337 -208,4068 4041,20

ARMA(0,0,2) 7,1119 7,1824 -207,8038 3959,43

ARMA(1,0,1) 7,1485 7,2196 -205,3083 4032,58

ARMA(2,0,1) 7,1295 7,2370 -200,1909 3749,64

ARMA(1,0,2) 7,1109 7,2174 -203,2162 3751,92

ARMA(2,0,2) 7,1240 7,2673 -199,0331 3600,36

ARMA(1,0,1), ARMA(2,0,2), ARMA(1,0,2) ve ARMA(2,0,2) modellerinin

katsayıları anlamlı olmadığından uygun model olarak değerlendirilememektedir.

ARMA(0,0,2) modeli yüksek bilgi kriterine, MA(0,0,1) modeli ise düşük LogL ve

yüksek hata karelerine sahip olduğundan uygun model olarak seçilmemiştir.

ARMA(2,0,0) modeli katsayılarının anlamlı ve durağanlık kısıtını sağlaması, bilgi

kriteri (SBC), LogL ve hata kareleri birlikte düşünüldüğünde uygun model olarak

belirlenmektedir (Tablo-29).

Tablo-29: ARMA(2,0,0) Modeli

Model

ARMA(2,0,0)


AR(1) 0,6309 0,2218 2,8446 0,0062

AR(2) -0,8304 0,2216 -3,7472 0,0004

Uygun model olarak belirlenen ARMA(2,0,0) modelinin tahmin hatalarına ait

otokorelasyon katsayıları Grafik-27’de verilmektedir.

198


Grafik-27’deki korelogram incelenerek hatalar arasında otokorelasyon

olmadığı anlaşılmaktadır. Dolayısıyla hatalar beyaz gürültü serisidir. ARCH etkisinin

varlığını araştırmak üzere hata karelerinin korelogramı çizilmiştir (Grafik:28).

Korelogramda ikinci gecikmedeki otokorelasyon katsayısının anlamlı olması hatalar

arasında bir ARCH etkisinin varlığına işaret etmektedir. Bu sonucu doğrulamak

amacıyla çeşitli gecikmeler için ARCH-LM testi uygulanarak sonuçları Tablo-30’da

verilmiştir.

199


Tablo-30’daki ARCH-LM testi sonuçlarına göre LM (=nR2) istatistikleri

2.gecikmeden itibaren tablo değerlerinden büyük olmakla beraber, p gecikmeli

regresyon katsayıları anlamsız olduğunda seride değişen varyans sorunu

bulunmamaktadır. Bununla da yetinilmeyip çeşitli ARCH-GARCH modelleri

denenmiş ancak geçerli bir model bulunamamıştır.

2pχ

200

Tablo-30: ARMA (2,0,0) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları

p 0α 1α 2α 3α 4α LM 2p;05,0χ

1 66,77

(32,9677)

-0,0253

(0,2794)

0,0085 3,841

2 -7,26

(12,7720)

-0,0189

(0,1019)

1,9161

(0,1018)

47,9666 5,991

3 -5,73

(13,8433)

0,0216

(0,1448)

1,9184

(0,1038)

-0,1300

(0,3285)

47,1063 7,814

4 -7,61

(14,9148)

-0,0244

(0,1478)

1,8806

(0,1476)

-0,1364

(0,3360)

0,1251

(0,3353)

46,2464 9,487

Aylık ham petrol fiyatları serisinin duarağanlığını araştırmak üzere

korelogram çizilmiştir (Grafik-29).

Grafik-29: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Korelagramı

Korelogram incelendiğinde uzun gecikmelere rağmen otokorelasyonlar

anlamlılıklarını koruduklarından aylık ham petrol fiyatları serisi durağan değildir.

201

Seriye ilk fark alma işlemi uygulandıktan sonra otokorelasyon fonksiyonu tekrar elde

edilmiştir (Grafik-30). Korelogram incelendiğinde bazı gecikmelerde otokorelasyon

katsayıları dışındakilerin güven sınırları içinde kaldığı görülmektedir. Serinin

durağanlığı hakkında kesin karara varılamadığından ikinci fark alma işlemi

gerçekleştirilmeden birim kök testi21 uygulanmıştır. Birim kök testi sonucunda

serinin ilk farkı alındıktan sonra durağanlaştığı anlaşılmaktadır.

Grafik-30: Aylık Ham Petrol Fiyatlarının İlk Farklarına Ait Korelogramı

Korelogramdan görüldüğü üzere otokorelasyonlar sıfıra üstel olarak

yaklaşırken kısmi otokorelasyon katsayıları ilk gecikmeden sonra sıfır çizgisini

kesmektedir. Böyle bir durumda otoregressif bir modelin uygun olacağı

düşünülmektedir. Bununla birlikte çeşitli ARMA modelleri denenerek, bu modellere

ait bilgi kriterleri Tablo-31’da verilmektedir.

21 Ayrıntılı bilgi için, Richard Harris ve Robert Sollis, Applied Time Series Modelling and Forecasting, John Wiley&Sons Ltd, 2003.

202



ARMA(1,0,0) 5,4734 5,4913 -486,14 2455,67

ARMA(2,0,0) 5,4899 5,5257 -483,85 2454,22

ARMA(0,0,1) 5,5437 5,5616 -495,17 2649,45

ARMA(0,0,2) 5,5005 5,5361 -490,30 2509,12

ARMA(1,0,1) 5,4843 5,5200 -486,11 2454,73

ARMA(2,0,1) 5,5011 5,5550 -483,85 2454,14

ARMA(1,0,2) 5,4956 5,5492 -486,11 2454,72

ARMA(2,0,2) 5,5223 5,5840 -483,84 2453,69

ARMA(0,0,1) ve ARMA(0,0,2) yüksek bilgi kriterlerine sahip olduklarından

dolayı uygun modeller değildir. ARMA(2,0,0), ARMA(1,0,1), ARMA(2,0,1),

ARMA(1,0,2), ARMA(2,0,2) modellerinin katsayıları anlamlı olmadığından tahmin

modeli olarak değerlendirilememektedir. ARMA(1,0,0) modeli katsayılarının anlamlı

ve durağanlık kısıtını sağlaması ve düşük bilgi kriterine (SBC) sahip olması

nedeniyle uygun model olarak belirlenmektedir. Uygun model olarak belirlenen

ARMA(1,0,0) modelinin tahmin hatalarına ait otokorelasyon katsayıları Grafik-31’de

verilmektedir.

203


Grafik-29’daki korelogramdan görüldüğü üzere anlamlı otokorelasyon

katsayıları bulunmamaktadır. Dolayısıyla hatalar beyaz gürültü serisidir. Hataların

otokorelasyon katsayıları anlamsız olmakla birlikte güven sınırına oldukça yakındır.

Bu yüzden hatalar arasında ARCH etkisinin varlığını düşünülmektedir. ARCH

etkisinin varlığını araştırmak üzere hata karelerinin korelogramı çizilmiştir

(Grafik:32).

204


Korelogramda ikinci, üçüncü ve beşinci gecikmedeki otokorelasyon

katsayılarının anlamlı olması hatalar arasında bir ARCH etkisinin varlığına işaret

etmektedir. Bu sonucu doğrulamak amacıyla çeşitli gecikmeler için ARCH-LM testi

uygulanarak sonuçları Tablo-32’de verilmektedir.

205

Tablo-32: ARMA (1,0,0) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları

p 0α 1α 2α 3α 4α LM 2p;05,0χ

1 12,62

(3,3308)

0,0904

(0,0753)

1,4470 3,841

2 9,27

(3,3432)

0,0612

(0,0730)

0,2945

(0,0763)

15,2514 5,991

3 5,02

(3,0240)

-0,0874

(0,0678)

0,2991

(0,0675)

0,5232

(0,0735)

51,6689 7,814

4 5,41

(3,0629)

-0,0511

(0,0772)

0,3207

(0,0711)

0,5118

(0,0746)

-0,0837

(0,0839)

52,0331 9,487

Tablo-32’deki ARCH-LM testi sonuçlarına göre LM (=nR2) istatistikleri

2.gecikmeden itibaren tablo değerlerinden büyük olmakla beraber, p gecikmeli

regresyon katsayılarından bazıları anlamsız olduğundan seride değişen varyans

sorunu olmayabilir. Koşullu değişen varyans sorununundan emin olmak için çeşitli

ARCH-GARCH modelleri denenmiş ve modellere ait bilgi kriterleri Tablo-33’de

verilmektedir.

2pχ

Tablo-33: Koşullu Değişen Varyans Modellerinin Bilgi Kriterleri


ARMA(1,0,0) ARCH(1) 5,1871 5,2407 -458,64 3801,74

ARMA(1,0,0) ARCH(2) 5,0385 5,1099 -444,42 2874,78

ARMA(1,0,0) ARCH(3) 4,7019 4,7912 -413,47 2650,79

ARMA(1,0,0) GARCH(1,1) 4,6697 4,7412 -411,60 2895,86

ARMA(1,0,0) GARCH(2,1) 4,6587 4,7481 -409,62 2845,92

ARMA(1,0,0) GARCH(2,2) 4,6674 4,7747 -409,40 2832,98

ARMA(1,0,0) EGARCH(1,1) 4,6351 4,7244 -407,52 2888,94

ARMA(1,0,0) EGARCH(2,1) 4,6139 4,7390 -403,64 2785,95

ARMA(1,0,0) EGARCH(2,2) 4,6059 4,7489 -401,92 2739,13

ARMA(1,0,0) TGARCH(1,1) 4,6406 4,7300 -408,01 2858,26

ARMA(1,0,0) TGARCH(2,1) 4,6516 4,7589 -407,99 2858,94

ARMA(1,0,0) TGARCH(2,2) 4,6394 4,7645 -405,90 2810,00

206

Varyansı modellemek için simetrik ve asimetrik koşullu değişen varyans

modelleri denenmiştir. Tüm denemelerde ARMA(1,0,0) koşullu ortalama modelidir.

Denemeler sonucunda; ARCH(2) modeli hem katsayılarının anlamlı olması hem de

pozitiflik kısıtını sağlaması nedeniyle uygun model olarak belirlenmektedir.

GARCH(1,1) modelinin katsayıları pozitiflik kısıtını sağlamadığından ve diğer tüm

modellerin katsayıları anlamlı olmadığından varyansın modellenmesinde uygun

değildir. Uygun model olarak belirlenen ARCH(2)’nin katsayıları aşağıda

verilmektedir (Tablo-34).

Tablo-34: ARMA(1,0,0), ARCH(2) Modeli

ARMA(1,0,0) ortalama modelinin katsayı anlamlı ve aynı zamanda

durağanlık koşulunu sağlamaktadır. ARCH(2) modelinin katsayıları %5 anlamlılık

düzeyinde sıfırdan farklıdır. Modelin katsayılarının tamamı sıfırdan büyük ve

ARCH’a ait katsayıların toplamı (0,201336+0,582961=0,784297) 1’den küçüktür.

Böylece ARCH modellerin pozitiflik ve durağanlık kısıtı sağlanmaktadır. t

207

zamandaki koşullu varyans geçmişteki hata terimlerinin ortalaması, bir önceki ve

ikinci önceki dönem varyanslarının ağırlıklı ortalaması olarak elde edilmektedir.

ARMA(1,0,0), ARCH(2) modeli ile aylık ham petrol fiyatlarındaki değişen

varyans sorunun ortadan kalkıp kalkmadığı ARCH-LM testi ile araştırılmıştır.

ARCH-LM testine ait sonuçlar Tablo-35’de gösterilmektedir.

Tablo-35: ARMA (1,0,0) ARCH(2) Modelinin ARCH-LMTest Sonuçları

p 0α 1α 2α 3α 4α LM 2p;05,0χ

1 1,0912

(0,1724)

-0,0856

(0,0752)

1,300 3,841

2 1,1354

(0,1922)

-0,0896

(0,0759)

-0,0357

(0,0761)

1,5454 5,991

3 0,9660

(0,2093)

-0,0852

(0,0755)

-0,0229

(0,0759)

0,1578

(0,0756)

5,8779 7,814

4 0,8542

(0,2212)

-0,1064

(0,0763)

-0,0211

(0,0757)

0,1672

(0,0757)

0,1293

(0,0763)

8,628 9,487

Dört gecikme için yapılan ARCH-LM testine göre LM istatistik değerleri

tablo değerlerinde küçük ve aynı zamanda regresyon denkleminin katsayıları anlamlı

olmadığından serideki ARCH etkisi ortadan kaldırılmıştır.

208

Sonuç Geleceğe ait olayların tahmin edilmesi karar verme teorisinin bir parçası

haline gelmesinden itibaren pek çok işletme için tahmin çok önemli olmuştur.

Hükümetler hava kirliliğini, su kirliliğini tahmin ederek bir çevre politikası, nüfus

büyüklüğü, işsizlik oranı, enflasyon oranı vb tahmin ederek sosyo-ekonomik bir

politika belirlemeye çalışırlar. Bir işletme ise satışlarını, maliyetleri, karını, insan

kaynakları gereksinimini tahmin ederek rasyonel kararlar almayı amaçlar.

Dolayısıyla ister hükümet ister işletme olsun rasyonal kararlar için geçerli ve tutarlı

tahminler yapmak zorundadır.

Belirsiz olan gelecek hakkında karar vermek oldukça güçtür. Karar alma

aşamasında olan her yönetici gelecekte ne olacağını bilmek ve buna göre politikalar

uygulamak ister. Bu gereksinim ekonometrik modellemenin hızla gelişmesine neden

olmuştur.

Geleneksel ekonometrik yaklaşımda otokorelasyon ve değişen varyans

sorunlarıyla karşılaşmak her zaman mümkündür. Özellikle iktisadi ve finansal

zaman serileri geçmiş dönem değerlerine çok sıkı bağımlıdır. Bu tür seriler dinamik

yapı bir sergilerler. Bu dinamik yapı içerisinde değişkenin ortalamasının, varyansının

sabit kalması beklenemez. Değişkenlerin özelliklerindeki bu değişmeler nedeniyle

geleneksel yöntemler yetersiz kalmaktadır.

Bir işletme yöneticisi gelecek hakkında plan yaparken mutlaka gelecekle ilgili

tahmine dayanır. İşletmelerde tahmin edilecek değişkenler hem işletme içi (satış,

maliyet, hammadde, ara malı, ve enerji fiyatları, işgücü vb.) hem de işletme dışı

(gelir, nüfus, faiz oranı, enflasyon vb.) olabilmektedir. İşletme içi değişkenler kontrol

edilebilirken, işletme dışı değişkenleri kontrol etmek mümkün değildir. Ancak her iki

değişken grubu planlamada önemli rol oynamaktadır. Bu nedenle tez çalışmasında

incelenen Tüpraş’ın satış rakamları (işletme içi) ile önemli girdisi olan ham petrol

fiyatlarının (işletme dışı) zaman serileri yöntemleriyle tahmin edilmesi

hedeflenmiştir. Satışlar, yıllık ve üçer aylık olarak, petrol fiyatları yıllık, mevsimlik

ve aylık verilere dayanmaktadır.

İlk önce işletmenin yıllık ve üçer aylık satışları bileşenlere ayrılmıştır. En

önemli bileşen olan trend her iki seride de hiperbolik dönüşümden sonra doğrusal

209

trend ile temsil edilmektedir. Bir diğer bileşen olan konjonktür satışlar üzerinde etkili

olmaktadır. Satışlar konjonktürün refah evresinde trendinin üzerinde, depresyon

dönemlerinde ise trendinin altında kalmıştır. Son yıllardaki konjonktür etkisine

baktığımızda, konjonktürde refah döneminin sona ermek üzere olduğu görülmektedir

(Grafik-3). Bundan sonra depresyon dönemi olup talepte ve dolayısıyla satışlarda bir

azalma görülebilir. Özellikle konjonktürün depresyon döneminde gelirlerin azalması;

motorlu taşıtlara ve seyahate olan talebi kısıtlayacaktır. Tüpraş konjonktürün

depresyon dönemine girilmek üzere olduğunu gözeterek geleceğini planlamada

dikkate almalıdır.

Tüpraş’ın satışlarında I. ve II. Dönem satışlarında mevsim etkisinden

kaynaklanan bir düşüş beklenmelidir. III. ve IV. çeyrekte (III. çeyrekte daha

kuvvetli) ise mevsim etkisi satışlar üzerinde olumlu katkı yapmaktadır.

Yıllık seride Holt’un iki parametreli üstel düzgünleştirmesi, üçer aylık

serilerde ise Winters’ın doğrusal trend üstel düzgünleştirme yöntemi uygun model

olarak bulunmuştur. Winters yönteminin diğer üstel düzgünleştirme yöntemlerinden

daha iyi çıkması satışlar üzerinde mevsim etkisinin varlığını işaret etmektedir.

Tüpraş üçer aylık satış tahminleri yaparken mevsim etkisini mutlaka dikkate

almalıdır.

Yıllık seride ARMA(0,0,1), üçer aylık satışlarda ise ARIMA(0,1,0)(0,1,1)

uygun tahmin modeli olarak saptanmıştır. Bu modellerin tahminlerde kullanılması

için öncelikli olarak serilerde durağanlığın araştırılması, şayet durağanlık sağlanırsa

tahmin yapılmalıdır.

Satışlarda oynaklık olup olmadığını araştırmak üzere ARCH-LM testi

yapılmış, test sonucunda oynaklık saptanamamıştır. Ancak burada dikkat edilmesi

gereken nokta serilerin yıllık ve üçer aylık gibi düşük frekanslı olmaları ve

günlüklerin toplamı şeklinde oluşturulduğuna dikkat edilmelidir. Yüksek frekanslı

(günlük gibi) satış serilerinde oynaklığın varlığı bilinen yöntemlerle araştırılmalıdır.

Tüpraş’ın 2008 yılı gerçekleşen net satışları henüz açıklanmadığından yıllık

tahminler karşılaştırılamamaktadır. Üçer aylık net satışların trend fonksiyonu ile elde

edilen tahmin değerleri mevsim indeksi ile düzeltilmiş ve 1994=100 bazlı TEFE

indeks değerleri kullanılarak cari fiyatlara dönüştürülmüştür. 2008 yılının ilk üç

çeyrek dönemi için tahmin edilen değerler sırasıyla 5.730.248 Bin TL, 6.852.463 Bin

210

TL, 8.197.833 Bin TL olup bu dönemler için gerçekleşen değer ise sırasıyla

6.033.128 Bin TL, 9.067.338 Bin TL ve 9.514.863 Bin TL’dir. Trend fonksiyonu ile

yapılan tahminler gerçekleşen değerlerin altında kalmıştır.

Üçer aylık net satışlar için Winters’ın Üstel düzgünleştirme yöntemi uygun

bulunmuştu. Bu yöntemle yapılan tahminler TEFE ile cari fiyatlara

dönüştürüldükteden sonra birinci üç ay için 5.750.905 Bin TL, ikinci üç ay için ise

7.021.455 Bin TL olup söz konusu dönemlerde gerçekleşen net satışların altında

kalmıştır. Üçüncü üç ay için tahmin değeri 10.058.649 Bin TL ile gerçekleşen

satışların üzerindedir.

ARIMA(0,1,0)(0,1,1) modelinin üçer net satışları cari fiyatlarla ilk çeyrek

için 6.078.428, ikinci çeyrek için 7.154.030 ve üçüncü çeyrek için 7.821.617’dir.

gerçekleşen değerlerle kıyaslandığında birinci ve ikinci çeyrek tahmini diğer

yöntemlere göre daha iyi iken, üçüncü çeyrek tahmini diğer yöntemlerden daha

kötüdür. Winters’ın Üstel düzgünleştirme yönteminden elde edilen tahminler trend

fonksiyonundan elde edilenlere göre gerçeğe daha yakındır.

Tez çalışmasında kullanılan bir diğer değişken ham petrol fiyatlarıdır. 1 Ocak

1994-31 Aralık 2008 dönemindeki günlük ham petrol fiyatlarından yıllık ortalama,

mevsimlik ortalama ve aylık ortalama olmak üzere üç seri türetilmiştir. Yıllık,

mevsimlik ve aylık ham petrol fiyatları bileşenlerine ayırma yönteminde en önemli

bileşen olan trend ikinci derece bir fonksiyonla temsil edilmektedir. Mevsimlik ve

aylık ham petrol fiyatlarında çok önemli mevsim etkisi gözlenmemektedir. Buna

karşılık ham petrol fiyatlarında konjonktür ve arızi faktörlerin önemli bir rol oynadığı

anlaşılmaktadır. İncelenen dönemde 1994-1998, 1999-2002 ve 2003-2008 olmak

üzere üç konjonktür devresi saptanmıştır.

Yıllık verilerde Holt’un İki Parametreli üstel trend içeren yöntemi diğer üstel

düzgünleştirme yöntemlerinden daha küçük hata kareleri toplamı vermektedir.

Mevsimlik ve aylık verilerde ise Winters’ın Yavaşlayan Trend yöntemi hata kareleri

toplamı en küçük olduğundan diğer üstel düzgünleştirme yöntemlerine tercih

edilmektedir.

Yıllık, mevsimlik ve aylık ham petrol fiyatlarında ilk farklar alınarak

durağanlık sağlanmıştır. Durağanlığın sağlanmasından sonra yıllık verilerde

ARMA(1,0,0), mevsimlik verilerde ARMA(2,0,0) ve aylık verilerde ARMA(1,0,0)

211

tahmin modelleri olarak belirlenmiştir. Yıllık ve mevsimlik verilerde ARCH-LM

testi sonucunda değişen varyans sorunu saptanmamıştır. Aylık verilerde ise ARCH-

LM testi sonucunda değişen varyans sorunu saptandığından koşullu değişen varyans

modelleri denenmiştir. Koşullu ortalama modeli olarak ARMA(1,0,0) belirlendikten

sonra ARCH(2) koşullu varyansın modellenmesinde uygun olmaktadır.

İkinci derece trend fonksiyonu kullanılarak 2009 yılı Ocak ayının ham petrol

fiyatı mevsim düzeltmesinden sonra 94,03 Dolar olarak tahmin edilmiştir. Ocak ayı

için gerçekleşen fiyat ise 41,71 Dolar olup tahmin oldukça kötüdür. Winters’ın

yavaşlayan trend üstel düzgünleştirme yöntemiyle elde edilen tahmin değeri 37,09

Dolar olup gerçek değere oldukça yakındır. ARMA modeli ile 2009 yılı Ocak ayı

tahmini değeri 36,35 Dolar olup Winters’dan sonra ikinci iyi tahmindir. Aylık ham

petrol fiyatlarının Winters’ın yavaşlayan trend yöntemi ile tahmin edilebileceği

söylenebilir. Ancak unutulmamalıdır ki zaman serileri dinamik bir süreç olduğundan

tahmin modelini daima kontrol etmek gerekmektedir.

212

Kaynakça

Akdi, Yılmaz, Zaman Serileri Analizi; Birim Kökler ve Kointegrasyon, Bıçaklar

Kitebevi, Ankara, 2003.

Akgüç, Öztin, Finansal Yönetim, Avcıol Basım-Yayın, 7.Baskı, İstanbul. 1998.

Akgül, Işıl Zaman Serilerinin Analizi ve ARIMA Modelleri, Der Yayınları,

İstanbul, 2003.

Akgül Işıl, Geleneksel Zaman Serisi Yöntemleri, Der Yayınları, İstanbul, 2003.

Akın, Fehamet, Ekonometri, Ekin Kitabevi, Bursa, 2002.

Akkaya, Şahin, ve Pazarlıoğlu, M.Vedat, Ekonometri II, Erkam Matbaacılık,

2.Baskı, 1998.

Aydemir, Abdurrahman Bekir, Volatility Modelling in Finance, Forecasting

Volatility in The Financial Markets, Buttrworth-Heinemann, 1998, s.7.

Bollerslev, Tim ve Engle, Robert F., “Common Persistence in Conditional

Variances”, Econometrica, Cilt:61, No:1, Ocak 1993, s.167-186.

Bollerslev, Tim, Engle, Robert F. ve Nelson, Daniel B., “ARCH Models”,

Handbook of Econometrics, Cilt:.IV., Elsevier Science, 1994., s.2968.

Bowerman, Bruce L.ve O’Connell, Richard T., Forecasting And Time Series: An

Applied Approach, Third Edition, Duxbury Press, 1993.

Box, George E.P., Jenkins, Gwilym M. ve Reinsel, Gregory C., Time Series

Analysis: Forecasting and Control, Third Edition, Prentice Hall, 1994.

213

Bozkurt, Hilal Zaman Serileri Analizi, Ekin kitabevi, Bursa, 2007.

Brooks, Chris, Introductory Econometrics for Finance, Cambridge University

Press, 2002, s. .257.

Chatfield, Chris, Time-Series Forecasting, Chapman&Hall/CRC, 2000.

Chatfield, Chris, The Analysis of Time Series: An Introduction, Fifth Edition,

Chapman&Hall, 1996.

Daly, Kevin “Financial Volatility:Issues and Measuring Techniques”, Physica A:

Statistical Mechanics and its Applications, Cilt:387, Sayı:11, 15 Nisan 2008,

s.2377-2393

Deriş, Füsun, “Ekonomik Zaman Serilerindeki Mevsellik ve Alternatif Modelleme

Yaklaşımları”, Marmara Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Öneri Dergisi,

Cilt:6, Yıl:11, Sayı:22, Haziran 2004, s.305-317.

Enders, Walter, Applied Econometric Time Series, John Wiley&Sons Inc., 1995.

Engle, Robert F., “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of

the Variance of United Kingdom Inflation”, Econometrica, Cilt:50, No:4, Haziran

1982, s.987-1007.

Engle, Robert F. ve Ng, Victor K., “Measuring and Testing the Impact News on

Volatility”, The Journal Finance, Cilt:48, No:5, Aralık 1993, s.1749-1778.

Franses, Philip Hans, Time Series Models For Business and Economis

Forecasting, Cambridge University Press, 1998.

214

Gouriéroux, Christian ARCH Models and Financial Applications, Springer-Verlag

New York, Inc., 1997.

Göktaş, Özlem, Teorik ve Uygualamalı Zaman Serileri Analizi, Beşir Kitabevi,

İstanbul, 2005.

Gürtan, Kenan, İstatistik ve Araştırma Metodları, Fatih &Yayınevi Matbaası,

İstanbul, 1977.

Harris, Richard ve Sollis, Robert, Applied Time Series Modelling and Forecasting,

John Wiley&Sons Ltd, 2003.

Işığıçok, Erkan, Zaman Serilerinde Nedensellik Çözümlemesi: Türkiye’de Para

Arzı ve Enflasyon Üzerine Amprik Bir Araştırma, Uludağ Üniversitesi Basımevi,

Bursa, 1994.

Işığıçok, Erkan, “Türkiye’de Enflasyonun Varyansının ARCH ve GARCH Modelleri

ile Tahmini”, Uludağ Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi,

Cilt:17, No:3, 1999, s.1-14.

İdil, Orhan, Yönetimde İstatistik Teknikler ve Örnek Olaylar, İstanbul

Üniversitesi Basımevi ve Film Merkezi Müdürlüğü, III.Baskı, İstanbul, 1994.

İsmail Hakkı Armutlulu, İşletmelerde uygulamalı İstatistik, Alfa Yayınları,

İstanbul, 2000. s.282

Kadılar, Cem, SPSS Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş, Bizim Büro

Basımevi, Ankara, 2005.

Kargı, Nihal ve Terzi, Harun, Türkiye’de İMKB, Enflasyon, Faiz Oranı ve Reel

Sektör Arasındaki Nedensellik İlişkilerinin VAR Modeli ile Belirlenmesi, İMKB

Dergisi, Yıl:1, Sayı:4, Ekim-Aralık 1997.

215

Kaynak, Tuğray, ve diğerleri, İnsan Kaynakları Yönetimi, İ.Ü. İşletme Fakültesi

İşletme İktisadı Enstitüsü Yayın No:406, İstanbul, 1998.

Kiser, Clyde V., “Lowell J. Reed (1886-1966)”, Population Index, Cilt:32, No:3,

Temmuz 1966, p.362-365.

Kobu, Bülent, Üretim Yönetimi, Avcıol Basım-Yayın, 10.Baskı, İstanbul, 1999.

Koçel, Tamer, İşletme Yöneticiliği:Yönetim ve Organizasyon,

Organizasyonlarda Davranış, Klasik-Modern-Çağdaş ve Güncel Yaklaşımlar,

8.Baskı, Beta Basım Yayım Dağıtım, İstanbul, 2001.

Kutlar, Aziz, Uygulamalı Ekonometri, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 2005.

Makridakis, Spyros, Wheelwright, Steven C. ve Hyndman, Rob J., Forecasting

Methods and Applications, Third Edition, John Wiley&Sons.Inc., 1998.

Makridakis, Sypros ve Hibon, Michéle, “ARMA Models and the Box-Jenkins

Methodology”, Journal of Forecasting, Cilt:16, No:3, 1997, s.147-163.

Mills, Terence C., Time Series Techniques for Economics, Cambridge Uiversity

Press, 1998.

Mitra, Sharmishtha ve Mitra, Amit, “Modeling Exchange Rates Using Wavelet

Decomposed Genetic Neural Networks”, Statistical Methodology, Cilt:3, Sayı:2,

Nisan 2006, s.103-124.

Mucuk, İsmet, Modern İşletmecilik, Türkmen Kitabevi, 15.Baskı, İstanbul, 2005.

Nelson, Charles R., Applied Time Series Analysis For Managerial Forecasting,

Holden Day, Inc., 1973.

216

Newbold, Paul Statistics For Business and Economics, Fouth Edition, Prentice

Hall, 1995.

Orhunbilge, Neyran, Tanımsal İstatistik Olasılık ve Olasılık Dağılımları, Avcıol

BasımYayın, İstanbul, 2000.

Orhunbilge, Neyran, Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, Tunç

Matbaacılık, İstanbul, 1999.

Orhunbilge, Neyran, Uygulamalı Regresyon ve Korelasyon Analizi, İ.Ü. Basım ve

Yayınevi, İstanbul, 2002.

Özalp, İnan ve diğerleri, Yönetim ve Organizasyon, Anadolu Üniversitesi

Açıköğretim Fakültesi Yayın No:521, 3.Baskı, 1997.

Özdamar, Kazım, Paket Programlar İle İstatistiksel Veri Analizi 1, 4.Baskı, Kaan

Kitabevi, İstanbul, 2002.

Pankratz, Alan, Forecasting with Dynamic Regression Models, John Wiley&Sons

Inc. 1991.

Rabemananjara, R. ve Zakoin, J.M., “Threshold ARCH Models and Asymmetries in

Volatility”, Journal of Applied Econometrics, Cilt:8, Sayı:1, Ocak-Mart 1993,

s.31-49.

Sevüktekin, Mustafa, ve Nargeleçekenler, Mehmet, Zaman Serileri Analizi, Nobel

Yayın Dağıtım, Ankara, 2005.

Sherman, Jack ve Morrison, Winifred J., “Simplified Procedures For Fitting A

Gompertz Curve And A Modified Exponential Curve”, Journal of The American

Statistical Association, Cilt:45, No:249, Mart 1950, s.87-96.

217

Stoner, Paul Matthew, “Fitting The Exponential Function And The Gompertz

Function By The Method of Least Squares”, Journal of the American Statistical

Association, Cilt:36, No:216, Aralık 1941, s.515-518.

Studenmund, A.H., Using Econometrics: A Practical Guide, Third Edition,

Addison-Wesley, 1997.

Tarı, Recep, ve Bozkurt, Hilal, Türkiye’de İstikrarsız Büyümenin VAR Modelleri

İle Analizi, İstanbul Üniveristesi İktisat Fakültesi İstatistik ve Ekonometri

Dergisi, Sayı:4, 2006, s.13.

Tatlıdil, Hüseyin, Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Akademi

Matbaası, Ankara, 1996.

Teletar, Erdinç ve Binay, H.Soner “İMKB Endeksinin PARCH Modellemesi”,

Akdeniz İ.İ.B.F. Dergisi (3), 2002, p.114-121.

Thomas, R.L., Modern Econometrics, Addison Wesley Longman, 1997.

Tsay, Ruey S., Analysis of Financial Time Series, John Wiley&Sons.Inc., 2002.

Ucal, Meltem Şengül, “Ekonometrik Model Seçim Kriterleri Üzerine Kısa Bir

İnceleme”, C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt:7, Sayı:2, 2006, s.41-57.

Wang, Peijie, Financial Econometrics Methods and Models, Routledge, 2003.

Wei, William W.S., Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods,

Second Edition, Addison-Wesley, 2006.

218

Winsor, Charles P., “The Gompertz Curve As A Growth Curve”, Proceeding of The

National Academy of Sciences, Cilt:18, No:1, 15 Ocak, 1932, s.1-12.

Yamak, Nebiye, ve Yamak, Rahmi, “Tüketici Fiyat Serilerinde Mevsimselliğin Türü

ve Boyutu”, Uludağ Üniversitesi İİBF Dergisi, Cilt:16 No:2, 1998.s.1-10.

Tüpraş Kurumsal Sosyal Sorumluluk Raporu 2007, çevrimici:tüpras.com.tr. ziyaret:

25.10.2008

Çevrimiçi: http://www.oib.gov.tr/portfoy/tupras/tupras_index.htm. ziyaret 25 Eylül

2008.

219

Ek 1 Tezde Kullanılan Veriler TÜPRAŞ’ın Üçer Aylık Satışalrı (Bin TL-Sabit Fiyatlarla) Yıl Dönem TEFE 1994=100 Net Satışlar

1994 1 66.67 16402.501994 2 97.80 20084.871994 3 108.50 25705.991994 4 127.03 23645.761995 1 158.43 20454.661995 2 179.37 21174.501995 3 191.83 22947.001995 4 214.47 22331.681996 1 260.40 21908.221996 2 310.80 24279.281996 3 342.27 27835.611996 4 395.67 29249.621997 1 463.10 25924.641997 2 542.03 24312.341997 3 627.13 27115.291997 4 747.77 25028.531998 1 876.40 20305.111998 2 975.00 18750.771998 3 1055.73 20983.991998 4 1182.53 20859.791999 1 1304.17 18561.661999 2 1463.60 22244.471999 3 1621.20 27590.551999 4 1870.77 29021.042000 1 2173.37 34501.132000 2 2328.80 35340.302000 3 2403.93 46340.102000 4 2573.30 50071.972001 1 2826.47 37613.532001 2 3652.00 44927.302001 3 4085.60 46665.532001 4 4757.23 36616.072002 1 5278.27 26252.792002 2 5521.97 29747.162002 3 5862.70 40170.232002 4 6335.47 37471.572003 1 7059.40 36237.392003 2 7332.07 28234.032003 3 7175.40 31166.352003 4 7310.57 30036.672004 1 7713.10 26326.442004 2 8040.33 31634.122004 3 7951.60 41881.702004 4 8375.53 42775.14

220

Yıl Dönem TEFE 1994=100 Net Satışlar 2005 1 8386.19 43762.392005 2 8666.74 42274.662005 3 8803.40 49281.032005 4 8866.68 47058.922006 1 8980.69 39374.972006 2 9473.72 57541.482006 3 9839.13 62538.882006 4 9820.46 50530.632007 1 9891.58 44774.342007 2 10089.13 56216.722007 3 10193.53 60198.002007 4 10344.14 60740.88

TEFE; Toptan Eşya Fiyat Endeksi

221

Yıllık Ham Petrol Fiyatları (Dolar/Varil)

Yıllar Ham Petrol Fiyatları

(Dolar/Varil) 1994 15,79 1995 16,96 1996 20,50 1997 19,30 1998 12,92 1999 17,52 2000 28,66 2001 24,61 2002 24,77 2003 28,85 2004 38,11 2005 54,28 2006 65,19 2007 71,69 2008 98,66

222

Mevsimlik Ham Petrol Fiyatları (Dolar/Varil)

Yıllar Dönem Ham Petrol Fiyatları

(Dolar/Varil) Yıllar DönemHam Petrol Fiyatları

(Dolar/Varil) 1994 1 13,91 2001 3 25,66 1994 2 15,73 2001 4 19,82 1994 3 16,89 2002 1 20,56 1994 4 16,61 2002 2 25,07 1995 1 16,72 2002 3 26,55 1995 2 18,19 2002 4 26,72 1995 3 16,22 2003 1 31,76 1995 4 16,75 2003 2 26,12 1996 1 18,32 2003 3 28,48 1996 2 19,69 2003 4 29,15 1996 3 20,46 2004 1 31,77 1996 4 23,49 2004 2 35,33 1997 1 21,76 2004 3 40,33 1997 2 18,22 2004 4 44,83 1997 3 18,34 2005 1 46,48 1997 4 19,01 2005 2 51,34 1998 1 14,39 2005 3 61,09 1998 2 13,53 2005 4 57,60 1998 3 12,18 2006 1 61,17 1998 4 11,63 2006 2 68,99 1999 1 10,96 2006 3 70,88 1999 2 15,24 2006 4 59,43 1999 3 19,94 2007 1 57,48 1999 4 23,78 2007 2 67,94 2000 1 26,93 2007 3 74,23 2000 2 26,33 2007 4 87,00 2000 3 30,66 2008 1 95,65 2000 4 30,62 2008 2 118,41 2001 1 25,79 2008 3 119,09 2001 2 27,02 2008 4 61,33

223

Aylık Ham Petrol Fiyatları (Dolar/Varil)

Yıllar Aylar Ham Petrol Fiyatları

(Dolar/Varil) Yıllar Aylar Ham Petrol Fiyatları

(Dolar/Varil) 1994 1 13,92 1997 1 23,77 1994 2 14,20 1997 2 21,82 1994 3 13,65 1997 3 19,50 1994 4 14,65 1997 4 17,85 1994 5 16,02 1997 5 18,58 1994 6 16,43 1997 6 18,22 1994 7 17,46 1997 7 18,13 1994 8 17,46 1997 8 18,73 1994 9 15,81 1997 9 18,19 1994 10 16,31 1997 10 19,76 1994 11 17,16 1997 11 19,30 1994 12 16,31 1997 12 17,90 1995 1 16,25 1998 1 15,63 1995 2 17,02 1998 2 14,64 1995 3 16,89 1998 3 12,99 1995 4 18,19 1998 4 13,58 1995 5 18,63 1998 5 14,12 1995 6 17,74 1998 6 12,98 1995 7 16,15 1998 7 11,82 1995 8 15,98 1998 8 12,03 1995 9 16,53 1998 9 12,71 1995 10 16,25 1998 10 13,35 1995 11 16,62 1998 11 11,51 1995 12 17,48 1998 12 9,96 1996 1 18,26 1999 1 10,81 1996 2 17,45 1999 2 10,48 1996 3 19,25 1999 3 11,51 1996 4 21,02 1999 4 14,59 1996 5 19,53 1999 5 15,72 1996 6 18,52 1999 6 15,41 1996 7 19,40 1999 7 18,13 1996 8 20,02 1999 8 19,95 1996 9 22,06 1999 9 21,74 1996 10 23,82 1999 10 22,43 1996 11 23,03 1999 11 23,47 1996 12 23,59 1999 12 25,52

224



(Dolar/Varil) Yıllar Aylar Ham Petrol Fiyatları

(Dolar/Varil) 2000 1 25,05 2003 1 31,00 2000 2 27,33 2003 2 32,12 2000 3 28,27 2003 3 32,21 2000 4 23,28 2003 4 25,84 2000 5 25,83 2003 5 25,05 2000 6 29,31 2003 6 27,46 2000 7 30,00 2003 7 28,15 2000 8 28,44 2003 8 29,40 2000 9 33,76 2003 9 27,91 2000 10 30,83 2003 10 28,95 2000 11 31,94 2003 11 28,79 2000 12 28,86 2003 12 29,67 2001 1 24,69 2004 1 31,06 2001 2 27,73 2004 2 30,52 2001 3 25,14 2004 3 33,39 2001 4 24,93 2004 4 33,28 2001 5 27,59 2004 5 36,43 2001 6 28,50 2004 6 36,33 2001 7 25,31 2004 7 36,61 2001 8 25,19 2004 8 42,13 2001 9 26,61 2004 9 42,17 2001 10 21,33 2004 10 48,57 2001 11 19,36 2004 11 45,75 2001 12 18,53 2004 12 40,20 2002 1 19,49 2005 1 42,59 2002 2 19,93 2005 2 44,85 2002 3 22,30 2005 3 51,43 2002 4 25,21 2005 4 52,38 2002 5 26,01 2005 5 49,58 2002 6 23,86 2005 6 52,02 2002 7 25,59 2005 7 57,22 2002 8 26,24 2005 8 61,93 2002 9 27,96 2005 9 63,90 2002 10 28,34 2005 10 60,07 2002 11 24,87 2005 11 56,92 2002 12 26,63 2005 12 55,91

225



(Dolar/Varil) 2006 1 60,98 2006 2 61,62 2006 3 60,94 2006 4 67,61 2006 5 70,91 2006 6 68,23 2006 7 72,77 2006 8 74,33 2006 9 65,21 2006 10 58,50 2006 11 58,04 2006 12 62,12 2007 1 55,58 2007 2 56,42 2007 3 60,34 2007 4 66,62 2007 5 66,75 2007 6 70,43 2007 7 75,43 2007 8 72,77 2007 9 74,59 2007 10 80,28 2007 11 90,72 2007 12 90,84 2008 1 92,61 2008 2 92,83 2008 3 102,29 2008 4 106,40 2008 5 119,20 2008 6 130,19 2008 7 136,04 2008 8 117,56 2008 9 102,82 2008 10 81,90 2008 11 57,08 2008 12 43,69

226

Ek 2 Yıllık Seride Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkileri (%) Yıllar Net Satışlar 1994 101,40 1995 97,80 1996 110,44 1997 103,76 1998 77,47 1999 87,83 2000 140,60 2001 130,96 2002 98,07 2003 85,19 2004 88,70 2005 103,23 2006 107,11 2007 100,79

227

Ek 3 Üçer Aylık Seride Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkileri (%) Zaman Net SatışlarQ1 1994 88.68Q2 1994 101.44Q3 1994 111.43Q4 1994 108.37Q1 1995 105.43Q2 1995 101.88Q3 1995 94.71Q4 1995 97.39Q1 1996 107.39Q2 1996 111.03Q3 1996 109.12Q4 1996 121.07Q1 1997 120.52Q2 1997 105.38Q3 1997 100.67Q4 1997 98.05Q1 1998 89.27Q2 1998 76.79Q3 1998 73.56Q4 1998 77.09Q1 1999 76.92Q2 1999 85.79Q3 1999 91,00Q4 1999 100.81Q1 2000 134.26Q2 2000 127.87Q3 2000 143.23Q4 2000 162.83Q1 2001 136.87Q2 2001 151.83Q3 2001 134.56Q4 2001 110.95Q1 2002 88.90Q2 2002 93.43Q3 2002 107.5Q4 2002 105.23Q1 2003 113.56Q2 2003 81.94Q3 2003 76.94Q4 2003 77.68Q1 2004 75.85Q2 2004 84.25

228

Zaman Net SatışlarQ3 2004 94.71Q4 2004 101.14Q1 2005 115.03Q2 2005 102.50Q3 2005 101.23Q4 2005 100.83Q1 2006 93.55Q2 2006 125.78Q3 2006 115.5Q4 2006 97.06Q1 2007 95.07Q2 2007 109.46Q3 2007 98.69Q4 2007 103.19

229

Ek4 Ham Petrol Fiyatlarında Konjonktür ve Arızi Faktörlerin Etkileri (%)

Yıllar KA(%) 1994 71,36 1995 92,93 1996 130,38 1997 132,72 1998 87,85 1999 108,02 2000 150,23 2001 105,70 2002 85,90 2003 80,73 2004 86,65 2005 101,32 2006 101,05 2007 93,34 2008 109,09

230

Yıllar Dönem KA (%)1994 1 61,561994 2 70,591994 3 77,651994 4 82,181995 1 90,131995 2 98,781995 3 89,521995 4 98,541996 1 116,121996 2 124,11996 3 129,151996 4 155,481997 1 152,421997 2 124,471997 3 122,921997 4 130,751998 1 102,441998 2 91,851998 3 79,331998 4 76,051999 1 72,631999 2 94,401999 3 116,321999 4 136,912000 1 154,722000 2 139,482000 3 151,132000 4 147,442001 1 122,852001 2 117,832001 3 103,522001 4 77,762002 1 79,532002 2 88,572002 3 86,65

231

Yıllar Dönem KA (%)2002 4 84,742003 1 99,32003 2 74,632003 3 75,242003 4 74,942004 1 80,662004 2 82,132004 3 86,892004 4 94,212005 1 96,712005 2 98,062005 3 108,432005 4 100,012006 1 105,452006 2 109,492006 3 104,832006 4 86,222007 1 83,032007 2 90,602007 3 92,502007 4 106,642008 1 117,052008 2 134,122008 3 126,382008 4 64,18

232

Yıllar Aylar KA(%) Yıllar Aylar KA(%) Yıllar Aylar KA(%) 1994 1 60,76 1997 1 165,96 2000 1 146,13 1994 2 63,09 1997 2 153,21 2000 2 157,27 1994 3 60,77 1997 3 135,50 2000 3 157,97 1994 4 65,56 1997 4 123,08 2000 4 126,70 1994 5 71,02 1997 5 125,20 2000 5 134,88 1994 6 75,21 1997 6 125,03 2000 6 153,09 1994 7 79,87 1997 7 122,53 2000 7 151,63 1994 8 80,62 1997 8 125,89 2000 8 140,51 1994 9 73,52 1997 9 121,25 2000 9 162,67 1994 10 77,44 1997 10 132,36 2000 10 146,85 1994 11 85,01 1997 11 132,72 2000 11 153,72 1994 12 84,59 1997 12 126,73 2000 12 140,79 1995 1 86,53 1998 1 111,68 2001 1 119,76 1995 2 92,07 1998 2 104,42 2001 2 132,32 1995 3 91,37 1998 3 91,01 2001 3 116,19 1995 4 98,70 1998 4 93,71 2001 4 111,96 1995 5 99,90 1998 5 94,51 2001 5 118,62 1995 6 97,99 1998 6 87,82 2001 6 122,30 1995 7 88,90 1998 7 78,18 2001 7 104,90 1995 8 88,54 1998 8 78,54 2001 8 101,88 1995 9 91,96 1998 9 81,70 2001 9 104,79 1995 10 92,00 1998 10 85,61 2001 10 82,91 1995 11 97,86 1998 11 75,23 2001 11 75,93 1995 12 107,36 1998 12 66,54 2001 12 73,58 1996 1 114,72 1999 1 72,38 2002 1 76,86 1996 2 110,93 1999 2 69,56 2002 2 77,24 1996 3 121,87 1999 3 74,54 2002 3 83,63 1996 4 132,91 1999 4 92,45 2002 4 91,80 1996 5 121,48 1999 5 95,99 2002 5 90,61 1996 6 118,11 1999 6 94,51 2002 6 82,92 1996 7 122,69 1999 7 108,03 2002 7 85,85 1996 8 126,80 1999 8 116,64 2002 8 85,86 1996 9 139,56 1999 9 124,41 2002 9 89,05 1996 10 152,52 1999 10 127,32 2002 10 89,08 1996 11 152,49 1999 11 135,04 2002 11 78,86 1996 12 161,99 1999 12 149,31 2002 12 85,48

233

Yıllar Aylar KA(%) Yıllar Aylar KA(%)2003 1 98,83 2006 1 106,982003 2 100,64 2006 2 106,512003 3 97,67 2006 3 102,192003 4 76,09 2006 4 110,372003 5 70,59 2006 5 111,052003 6 77,21 2006 6 106,892003 7 76,43 2006 7 110,382003 8 77,90 2006 8 110,302003 9 72,01 2006 9 94,482003 10 73,74 2006 10 83,902003 11 74,02 2006 11 84,252003 12 77,26 2006 12 91,582004 1 80,37 2007 1 81,642004 2 77,67 2007 2 81,722004 3 82,29 2007 3 84,882004 4 79,70 2007 4 91,312004 5 83,54 2007 5 87,852004 6 83,19 2007 6 92,812004 7 81,02 2007 7 96,332004 8 91,04 2007 8 91,002004 9 88,80 2007 9 91,152004 10 101,07 2007 10 97,202004 11 96,16 2007 11 111,272004 12 85,66 2007 12 113,262005 1 90,25 2008 1 115,152005 2 93,55 2008 2 113,922005 3 103,98 2008 3 122,012005 4 102,99 2008 4 123,772005 5 93,44 2008 5 133,262005 6 97,98 2008 6 145,872005 7 104,25 2008 7 147,832005 8 110,28 2008 8 125,202005 9 110,99 2008 9 107,102005 10 103,19 2008 10 84,602005 11 98,86 2008 11 59,772005 12 98,54 2008 12 46,55

234

Ek 5 Yıllık Net Satışlar İçin Uygun Bulunan Modeller Hiperbolik Dönüşüm Doğrusal

Unstandardized Coefficients

Standardized Coefficients

B Std. Error Beta t Sig. Case Sequence -5,59E-007 ,000 -,873 -6,203 ,000 (Constant) 1,24E-005 ,000 16,114 ,000

Holt İkili Parametreli Doğrusal Üstel Düz. Smoothing Parameters

Series Alpha (Level) Gamma (Trend)

Sums of Squared Errors df error

Net satislar ,99000 ,01000 8332474263,67270 12

Shown here are the parameters with the smallest Sums of Squared Errors. These parameters are used to forecast. ARIMA(001) Modeli

235

Ek 6 Üçer Aylık Net Satışlar İçin Uygun Bulunan Modeller Hiperbolik Doğrusal Fonksiyon

Coefficients

-5,7E-007 ,000 -,817 -10,430 ,0004,96E-005 ,000 27,578 ,000

Case Sequence(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Winters’ın Doğrusal Trend Üstel Düz. Smoothing Parameters

Series Alpha (Level) Gamma (Trend)

Delta (Season)

Sums of Squared Errors df error

nsatis ,89000 ,01000 ,01000 1111600293,34471 51

Shown here are the parameters with the smallest Sums of Squared Errors. These parameters are used to forecast. ARIMA(010)(011) Modeli

236

Ek 7 Net Yıllık Satış Tahminleri (Bin TL) Yıllar Ns Üd hiperbolik

1994 85839 91073,38 84653,401995 86908 96308,17 88860,911996 103273 97325,49 93508,541997 102381 113595,80 98669,161998 80900 112764,40 104432,701999 97418 91174,35 110911,302000 166254 107373,10 118246,902001 165822 176265,50 126621,502002 133642 176424,20 136272,802003 125674 144143,40 147516,802004 142617 135750,10 160783,202005 182377 152507,70 176671,402006 209986 192333,00 196044,102007 221930 220238,90 220188,602008 232359,20 251115,702009 242805,40 292150,20

2009200820072006200520042003200220012000199919981997199619951994

Yıllar

300000,00

250000,00

200000,00

150000,00

100000,00

50000,00

Bin YT

L

trfudns

237

Ek 8 Üçer Aylık Net Satışların Tahmini (Bin TL) Zaman Ns ÜD Hiperbolik Arıma Q1 1994 16402,50 18851,49 20412,53 . Q2 1994 20084,87 18191,72 20653,73 . Q3 1994 25705,99 23642,73 20900,70 . Q4 1994 23645,76 24534,59 21153,64 . Q1 1995 20454,66 21433,85 21412,79 . Q2 1995 21174,50 22360,58 21678,36 24137,03 Q3 1995 22947,00 25202,88 21950,60 26795,62 Q4 1995 22331,68 22268,20 22229,76 20886,77 Q1 1996 21908,22 20168,74 22516,12 19140,58 Q2 1996 24279,28 23628,39 22809,95 24096,29 Q3 1996 27835,61 28592,17 23111,56 27959,16 Q4 1996 29249,62 26730,98 23421,24 26504,19 Q1 1997 25924,64 26088,49 23739,34 27454,52 Q2 1997 24312,34 28078,56 24066,20 28175,48 Q3 1997 27115,29 29062,87 24402,18 27949,84 Q4 1997 25028,53 26128,46 24747,68 26725,65 Q1 1998 20305,11 22607,79 25103,10 22708,62 Q2 1998 18750,77 22251,41 25468,88 21531,71 Q3 1998 20983,99 22543,79 25845,47 22167,00 Q4 1998 20859,79 20284,64 26233,37 20144,39 Q1 1999 18561,66 18754,69 26633,10 17902,63 Q2 1999 22244,47 20163,25 27045,19 19175,04 Q3 1999 27590,55 26001,22 27470,23 25399,84 Q4 1999 29021,04 26233,83 27908,85 26908,70 Q1 2000 34501,13 25796,84 28361,70 26209,20 Q2 2000 35340,30 36322,69 28829,49 35705,12 Q3 2000 46340,10 41523,74 29312,97 38917,20 Q4 2000 50071,97 43636,05 29812,94 46064,70 Q1 2001 37613,53 44160,31 30330,26 48855,64 Q2 2001 44927,30 41078,49 30865,86 38754,16 Q3 2001 46665,53 52141,68 31420,71 49793,33 Q4 2001 36616,07 44789,04 31995,87 47086,07 Q1 2002 26252,79 33354,60 32592,49 33447,32 Q2 2002 29747,16 28974,25 33211,77 28385,25 Q3 2002 40170,23 34774,19 33855,05 34110,65 Q4 2002 37471,57 37704,83 34523,73 38908,57 Q1 2003 36237,39 33457,34 35219,37 33146,88 Q2 2003 28234,03 38682,35 35943,61 38576,05 Q3 2003 31166,35 34166,43 36698,27 33514,99 Q4 2003 30036,67 29890,58 37485,29 29687,12 Q1 2004 26326,44 26815,25 38306,81 26179,91 Q2 2004 31634,12 28370,87 39165,15 27168,75 Q3 2004 41881,70 36671,82 40062,83 36575,27 Q4 2004 42775,14 39290,09 41002,63 40453,05 Q1 2005 43762,39 37827,04 41987,58 38939,58 Q2 2005 42274,66 46368,30 43021,01 45228,70

238

Q3 2005 49281,03 49794,12 44106,60 47957,33 Q4 2005 47058,92 46734,14 45248,40 48176,87 Q1 2006 39374,97 41858,14 46450,88 43897,31 Q2 2006 57541,48 42456,43 47719,02 40439,33 Q3 2006 62538,88 65523,03 49058,35 63404,26 Q4 2006 50530,63 59433,26 50475,02 61282,60 Q1 2007 44774,34 45647,02 51975,95 46753,68 Q2 2007 56216,72 48059,18 53568,88 48118,65 Q3 2007 60198,00 64659,06 55262,54 61964,14 Q4 2007 60740,88 57315,04 57066,79 57508,34 Q1 2008 53701,99 58992,82 56700,06 Q2 2008 57499,59 61053,41 61107,17 Q3 2008 66961,18 63263,15 66622,80 Q4 2008 63298,62 65638,86 64357,38

Q32008

Q1

2008

Q32007

Q1

2007

Q32006

Q1

2006

Q32005

Q1

2005

Q32004

Q1

2004

Q32003

Q1

2003

Q32002

Q1

2002

Q32001

Q1

2001

Q32000

Q1

2000

Q31999

Q11999

Q31998

Q11998

Q31997

Q11997

Q31996

Q11996

Q31995

Q11995

Q31994

Q11994

Zaman

70.000

60.000

50.000

40.000

30.000

20.000

10.000

Bin T

L

ARIMAUDhiperbolikns

239

Ek 9 Yıllık Ham Petrol Fiyatları İçin Uygun Bulanan Modeller İkinci Derece Trend Fonksiyonu

Coefficients

-5,895 1,440 -1,045 -4,095 ,001,673 ,087 1,964 7,697 ,000

27,348 5,005 5,464 ,000

Case SequenceCase Sequence ** 2(Constant)

B Std. Error


Beta


t Sig.

Holt’un İki Parametreli Üstel Trend Düzgünleştirme Yöntemi

Smoothing Parameters

,31000 ,89000 598,71056 13Seriespfiyat

Alpha (Level)Gamma(Trend)

Sums ofSquaredErrors df error

Shown here are the parameters with the smallest Sums ofSquared Errors. These parameters are used to forecast.

Smoothing Parameters ARMA(1,0,0) Modeli

240

Mevsimlik Ham Petrol Fiyatları İçin Uygun Bulanan Modeller İkinci Derece Trend Fonksiyonu

Coefficients

-1,295 ,279 -,882 -4,639 ,000,041 ,004 1,765 9,285 ,000

24,658 3,689 6,683 ,000


B Std. Error


Beta


t Sig.

Winters’ın Yavaşalayan Trend Üstel Düzgünleştirme Yöntemi


,99000 ,99000 ,47000 3917,547 55Seriespfiyat

Alpha (Level)Delta

(Season)Phi (Trend

Mod.)


Shown here are the parameters with the smallest Sums of Squared Errors.These parameters are used to forecast.

ARMA(2,0,0) Modeli

241

Aylık Ham Petrol Fiyatları İçin Uygun Bulanan Modeller İkinci Derece Trend Fonksiyonu

Coefficients

-,421 ,056 -,852 -7,499 ,000,005 ,000 1,728 15,199 ,000

24,189 2,201 10,990 ,000


B Std. Error


Beta


t Sig.

Winters’ın Yavaşlayan Trend Üstel Düzgünleştirme Yöntemi


,85000 ,01000 ,52000 2401,634 167Seriespetrolfiyat

Alpha (Level)Delta

(Season)Phi (Trend

Mod.)


Shown here are the parameters with the smallest Sums of Squared Errors.These parameters are used to forecast.

ARMA(1,0,0) ARCH(2) Modeli

242

Ek 10 Yıllık Ham Petrol Fiyatlarının Tahmini (Dolar/Varil)

Yıllar Petrol Fiyatı İkinci Derece Holt 1994 15,79 22,13 18,75 1995 16,96 18,25 21,87 1996 20,50 15,72 21,80 1997 19,30 14,54 22,90 1998 12,92 14,71 21,24 1999 17,52 16,22 13,47 2000 28,66 19,08 13,61 2001 24,61 23,28 26,00 2002 24,77 28,84 29,70 2003 28,85 35,74 29,42 2004 38,11 43,98 31,02 2005 54,28 53,58 39,60 2006 65,19 64,52 58,59 2007 71,69 76,80 76,63 2008 98,66 90,44 86,76

105,42 110,57

243

Mevsimlik Ham Petrol Fiyatlarının Tahmini (Dolar/Varil)

Yıllar Dönem Petrol Fiyatı İkinci Derece Winters'ın

Yavaşlayan Trend 1994 1 13,91 23,40 10,59 1994 2 15,73 22,23 17,57 1994 3 16,89 21,15 16,32 1994 4 16,61 20,14 16,95 1995 1 16,72 19,21 15,96 1995 2 18,19 18,37 17,91 1995 3 16,22 17,61 19,14 1995 4 16,75 16,94 14,03 1996 1 18,32 16,34 17,15 1996 2 19,69 15,83 20,38 1996 3 20,46 15,40 20,36 1996 4 23,49 15,05 20,10 1997 1 21,76 14,79 24,96 1997 2 18,22 14,60 21,39 1997 3 18,34 14,50 15,82 1997 4 19,01 14,49 18,31 1998 1 14,39 14,55 18,95 1998 2 13,53 14,70 11,92 1998 3 12,18 14,93 13,60 1998 4 11,63 15,24 10,77 1999 1 10,96 15,63 11,27 1999 2 15,24 16,11 11,19 1999 3 19,94 16,67 18,49 1999 4 23,78 17,31 21,76 2000 1 26,93 18,03 25,29 2000 2 26,33 18,83 30,34 2000 3 30,66 19,72 25,26 2000 4 30,62 20,69 32,83 2001 1 25,79 21,74 29,27 2001 2 27,02 22,88 24,13 2001 3 25,66 24,10 28,55 2001 4 19,82 25,40 23,42 2002 1 20,56 26,78 15,88 2002 2 25,07 28,24 23,23 2002 3 26,55 29,79 27,98 2002 4 26,72 31,42 25,95 2003 1 31,76 33,13 26,25 2003 2 26,12 34,92 37,29 2003 3 28,48 36,80 20,78 2003 4 29,15 38,76 30,34 2004 1 31,77 40,80 28,38 2004 2 35,33 42,92 35,63 2004 3 40,33 45,12 37,32 2004 4 44,83 47,41 41,91 2005 1 46,48 49,78 46,27 2005 2 51,34 52,23 49,94

244

Yıllar Dönem Petrol Fiyatı İkinci Derece Winters'ın

Yavaşlayan Trend 2005 3 61,09 54,77 54,52 2005 4 57,60 57,39 64,97 2006 1 61,17 60,09 52,82 2006 2 68,99 62,87 68,37 2006 3 70,88 65,73 73,61 2006 4 59,43 68,68 68,56 2007 1 57,48 71,71 50,69 2007 2 67,94 74,82 61,49 2007 3 74,23 78,01 75,29 2007 4 87,00 81,29 74,24 2008 1 95,65 84,64 93,19 2008 2 118,41 88,09 105,74 2008 3 119,09 91,61 133,84 2008 4 61,33 95,21 111,66 2009 1 98,90 22,71

245

Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Tahmini (Dolar/Varil)

Yıllar Aylar Petrol Fiyatı

İkinci Derece

Winters'ın Yavaşlayan Trend ARMA

1994 1 13,92 23,77 10,21 . 1994 2 14,20 23,36 16,26 13,92 1994 3 13,65 22,97 14,52 14,35 1994 4 14,65 22,58 13,34 13,35 1994 5 16,02 22,20 15,54 15,20 1994 6 16,43 21,83 16,31 16,77 1994 7 17,46 21,47 17,08 16,65 1994 8 17,46 21,11 17,99 18,02 1994 9 15,81 20,77 17,54 17,46 1994 10 16,31 20,44 14,72 14,91 1994 11 17,16 20,11 16,22 16,58 1994 12 16,31 19,79 17,36 17,63 1995 1 16,25 19,49 15,92 15,84 1995 2 17,02 19,19 16,30 16,22 1995 3 16,89 18,90 17,73 17,44 1995 4 18,19 18,62 16,86 16,82 1995 5 18,63 18,35 19,32 18,90 1995 6 17,74 18,09 18,31 18,87 1995 7 16,15 17,84 17,70 17,25 1995 8 15,98 17,59 15,19 15,28 1995 9 16,53 17,36 16,00 15,89 1995 10 16,25 17,14 16,70 16,83 1995 11 16,62 16,92 15,71 16,10 1995 12 17,48 16,71 16,57 16,82 1996 1 18,26 16,52 18,04 17,95 1996 2 17,45 16,33 18,77 18,69 1996 3 19,25 16,15 17,23 17,01 1996 4 21,02 15,98 20,36 20,24 1996 5 19,53 15,82 22,46 21,99 1996 6 18,52 15,67 18,06 18,71 1996 7 19,40 15,53 18,46 17,97 1996 8 20,02 15,39 19,88 19,88 1996 9 22,06 15,27 20,48 20,36 1996 10 23,82 15,15 22,99 23,18 1996 11 23,03 15,05 24,19 24,79 1996 12 23,59 14,95 22,22 22,60

246


İkinci Derece


1997 1 23,77 14,86 24,03 23,90 1997 2 21,82 14,78 23,99 23,87 1997 3 19,50 14,71 21,03 20,75 1997 4 17,85 14,65 18,24 18,23 1997 5 18,58 14,60 17,29 16,95 1997 6 18,22 14,56 18,48 18,98 1997 7 18,13 14,53 18,50 18,02 1997 8 18,73 14,50 18,02 18,08 1997 9 18,19 14,49 19,18 19,06 1997 10 19,76 14,48 17,70 17,89 1997 11 19,30 14,49 20,16 20,62 1997 12 17,90 14,50 18,74 19,05 1998 1 15,63 14,52 17,24 17,13 1998 2 14,64 14,55 14,46 14,39 1998 3 12,99 14,59 14,33 14,10 1998 4 13,58 14,64 12,10 12,09 1998 5 14,12 14,70 14,23 13,90 1998 6 12,98 14,77 14,01 14,42 1998 7 11,82 14,85 12,67 12,35 1998 8 12,03 14,93 11,13 11,18 1998 9 12,71 15,03 12,24 12,15 1998 10 13,35 15,13 12,98 13,08 1998 11 11,51 15,24 13,37 13,70 1998 12 9,96 15,37 10,34 10,50 1999 1 10,81 15,50 9,19 9,11 1999 2 10,48 15,64 11,37 11,28 1999 3 11,51 15,79 10,45 10,30 1999 4 14,59 15,95 12,14 12,07 1999 5 15,72 16,11 16,68 16,28 1999 6 15,41 16,29 15,85 16,34 1999 7 18,13 16,48 15,61 15,24 1999 8 19,95 16,67 19,65 19,62 1999 9 21,74 16,88 21,07 20,95 1999 10 22,43 17,09 22,51 22,72 1999 11 23,47 17,31 22,24 22,81 1999 12 25,52 17,55 23,65 24,04

247


İkinci Derece


2000 1 25,05 17,79 26,76 26,64 2000 2 27,33 18,04 24,88 24,79 2000 3 28,27 18,30 29,05 28,58 2000 4 23,28 18,57 28,88 28,79 2000 5 25,83 18,84 20,79 20,54 2000 6 29,31 19,13 26,58 27,23 2000 7 30,00 19,43 32,06 31,22 2000 8 28,44 19,73 30,24 30,38 2000 9 33,76 20,05 27,67 27,58 2000 10 30,83 20,37 36,48 36,68 2000 11 31,94 20,70 28,43 29,22 2000 12 28,86 21,04 32,06 32,55 2001 1 24,69 21,39 27,35 27,17 2001 2 27,73 21,75 22,51 22,40 2001 3 25,14 22,12 29,97 29,40 2001 4 24,93 22,50 23,70 23,72 2001 5 27,59 22,89 25,32 24,81 2001 6 28,50 23,28 28,31 29,05 2001 7 25,31 23,69 29,74 29,00 2001 8 25,19 24,10 23,36 23,56 2001 9 26,61 24,53 25,30 25,12 2001 10 21,33 24,96 27,18 27,39 2001 11 19,36 25,40 17,92 18,43 2001 12 18,53 25,85 18,07 18,28 2002 1 19,49 26,31 18,24 18,07 2002 2 19,93 26,78 20,15 20,02 2002 3 22,30 27,26 20,47 20,17 2002 4 25,21 27,75 23,74 23,60 2002 5 26,01 28,25 27,39 26,81 2002 6 23,86 28,75 25,63 26,45 2002 7 25,59 29,27 23,25 22,68 2002 8 26,24 29,79 26,55 26,54 2002 9 27,96 30,33 26,74 26,60 2002 10 28,34 30,87 28,65 28,90 2002 11 24,87 31,42 27,86 28,55 2002 12 26,63 31,98 22,62 22,97

248


İkinci Derece


2003 1 31,00 32,55 27,78 27,60 2003 2 32,12 33,13 33,60 33,40 2003 3 32,21 33,72 33,18 32,73 2003 4 25,84 34,31 32,32 32,26 2003 5 25,05 34,92 22,61 22,35 2003 6 27,46 35,54 23,94 24,62 2003 7 28,15 36,16 29,61 28,78 2003 8 29,40 36,79 28,44 28,53 2003 9 27,91 37,44 30,25 30,09 2003 10 28,95 38,09 26,77 27,09 2003 11 28,79 38,75 28,86 29,52 2003 12 29,67 39,42 28,26 28,70 2004 1 31,06 40,10 30,31 30,15 2004 2 30,52 40,79 31,98 31,82 2004 3 33,39 41,49 30,65 30,22 2004 4 33,28 42,19 35,16 34,96 2004 5 36,43 42,91 33,85 33,22 2004 6 36,33 43,63 37,12 38,16 2004 7 36,61 44,37 37,20 36,28 2004 8 42,13 45,11 36,65 36,76 2004 9 42,17 45,87 45,52 45,16 2004 10 48,57 46,63 41,71 42,19 2004 11 45,75 47,40 50,91 52,08 2004 12 40,20 48,18 43,47 44,20 2005 1 42,59 48,97 37,41 37,16 2005 2 44,85 49,76 44,23 43,90 2005 3 51,43 50,57 46,83 46,09 2005 4 52,38 51,39 55,36 55,04 2005 5 49,58 52,21 53,89 52,90 2005 6 52,02 53,05 46,44 48,04 2005 7 57,22 53,89 54,83 53,36 2005 8 61,93 54,75 60,06 60,07 2005 9 63,90 55,61 64,87 64,51 2005 10 60,07 56,48 64,31 64,98 2005 11 56,92 57,36 56,51 57,97 2005 12 55,91 58,25 54,42 55,19

249


İkinci Derece


2006 1 60,98 59,15 55,73 55,36 2006 2 61,62 60,06 64,15 63,76 2006 3 60,94 60,97 62,86 61,97 2006 4 67,61 61,90 60,69 60,57 2006 5 70,91 62,83 72,90 71,27 2006 6 68,23 63,78 70,58 72,72 2006 7 72,77 64,73 68,45 66,76 2006 8 74,33 65,69 75,22 75,26 2006 9 65,21 66,67 75,57 75,19 2006 10 58,50 67,65 59,36 60,21 2006 11 58,04 68,64 53,57 54,82 2006 12 62,12 69,64 57,06 57,79 2007 1 55,58 70,64 64,72 64,36 2007 2 56,42 71,66 52,14 51,99 2007 3 60,34 72,69 57,83 56,88 2007 4 66,62 73,72 62,84 62,49 2007 5 66,75 74,77 71,59 70,06 2007 6 70,43 75,82 64,71 66,82 2007 7 75,43 76,88 74,36 72,45 2007 8 72,77 77,96 78,06 78,17 2007 9 74,59 79,04 71,53 71,31 2007 10 80,28 80,13 74,92 75,59 2007 11 90,72 81,23 81,50 83,40 2007 12 90,84 82,34 94,84 96,44 2008 1 92,61 83,46 91,24 90,91 2008 2 92,83 84,58 94,01 93,58 2008 3 102,29 85,72 94,35 92,95 2008 4 106,40 86,86 108,09 107,48 2008 5 119,20 88,02 110,82 108,65 2008 6 130,19 89,18 122,84 126,22 2008 7 136,04 90,35 139,69 136,22 2008 8 117,56 91,54 138,81 139,25 2008 9 102,82 92,73 107,42 107,43 2008 10 81,90 93,93 93,71 94,74 2008 11 57,08 95,14 68,83 70,43 2008 12 43,69 96,35 43,30 43,47 2009 1 97,58 37,09 36,35

250

Ek 11 Aylık Ham Petrol Fiyatlarının Tahmini ARMA(1,0,0) ARCH(2) Modeli

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

DYTF

Forecast: DYTFActual: DYTForecast sample: 1994:01 2008:12Adjusted sample: 1994:03 2008:12Included observations: 178

Root Mean Squared Error 4.018759Mean Absolute Error 2.479760Mean Abs. Percent Error 133.0420Theil Inequality Coefficient 0.767790 Bias Proportion 0.000872 Variance Proportion 0.789519 Covariance Proportion 0.209608

0

50

100

150

200

250

300

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Forecast of Variance

251

-30

-20

-10

0

10

20

-30

-20

-10

0

10

20

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008

Residual Actual Fitted

252

ÖZGEÇMİŞ

1973 yılında Balıkesir’in Gökçeyazı kasabasında doğdu. İlk ve ortaokulu

Gökçeyazı’da, liseyi ise Balıkesir’de tamamladı. 1991 yılında kazandığı Karadeniz

Teknik Üniversitesi Orman Fakültesi Orman Endüstri Mühendisliği Bölümünden

1996 yılında mezun oldu. 1998 yılında İstanbul Üniversitesi İşletme Fakültesi

Sayısal Yöntemler Anabilim Dalına araştırma görevlisi olarak atandı. 2002 yılında

İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü İşletme Anabilim Dalı Sayısal

Yöntemler Bilim Dalında yüksek lisans derecesi aldı. Evli ve bir kızı vardır.

253

Date post:	28-Nov-2023
Category:	Documents
Upload:	khangminh22
View:	1 times
Download:	0 times

İŞLETMELERDE ZAMAN SERİLERİ ANALİZİ İLE TAHMİN

Documents