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Lecture 20

Chemical Potential 

Reading:

Lecture 20, today: Chapter 10, sections A and BLecture 21, Wednesday: Chapter 10: 10‐17 – end

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Pop Question 7 – Boltzmann DistributionTwo systems with lowest energy at 0 kBT. Energy levels separated by 3 kBT in system A, and 5 kBT in B.  Calculate the partition coefficients for each system, then the probabilities of finding molecules in each energy level (use the energy levels from 0 to 15 kBT). System A:  System B: U = 15kBT U = 12kBT U = 15kBTU = 9kBT  U = 10kBTU = 6kBT U = 5kBTU = 3kBT U = 0kBTU = 0kBT 

Simply apply the Boltzmann distribution:System A:  System B: Q = e0+e‐3+e‐6+e‐9+e‐12+e‐15=1.0524 Q = e0+e‐5+e‐10+e‐15=1.0068Relationship between Q and the overall distribution of particles?Smaller steps between levels → larger Q → molecules spread more. Less likely to find molecules at any given levelWhy limit to <15 kBT? Because the contributions to the distribution (and the Q) of higher energy levels becomes negligible – i.e. the higher energy levels are unpopulated for all practical purposes.

p=0.000000291p=0.00000584p=0.000117p=0.0024p=0.0473p=0.9501

p=0.00000030384p=0.00004509330p=0.006692438p=0.993245928

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F0F1 ATP synthase performs an unfavorable reaction

Credits: John Walkerhttp://www.mrc-mbu.cam.ac.uk/research/atp-synthase

~50 kJ/mol stored per ATP ~15,000 kJ/mol per second

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Today’s goals

• Explore the link between concentration and the free energy change 

• Chemical potential                                     Molar free energy G˚i

• Equilibrium constant K: 

• Reaction quotient Q and mass action ratio Q/K:

• Using G and K to look at biological systems:• ATP hydrolysis • Wednesday: acid‐base equilibria, protein folding

i Gni

T ,P ,n ji

G RT lnQK

Go RT lnK

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Chemical Potential

• The chemical potential (i) is defined as the rate of change of the free energy with respect to the number of molecules:

• Often in chemical reactions, we use moles (n):

• Molar free energy, G°i

i GNi

T ,P ,N ji

GNi

G(for one molecule of i)

i Gni

T ,P ,n ji

Gi

Units of energy(e.g. J)

Units of energy per mole(e.g. J mol-1)

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Chemical potential at play ‐ diffusion

ΔG <, >, or = 0? equilibrium: ΔG =    ?

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

dG indNin outdNout 0indNin outdNin 0(in out )dNin 0dG dN

spontaneousdNout = -dNin

What happens to μin and μout at equilibrium?

in out

inout

[ ]in = [ ]out

inout

i GNi

T ,P ,N ji

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Direction of spontaneous change and 

• System changing towards equilibrium:

• For a spontaneous change, dNin and (in‐out) should have opposite signs• If Nin decreases, dNin < 0• (in‐out) > 0 and in > out

• Molecules move spontaneously from regions of high chemical potential to low chemical potential

dG (in out )dNin 0

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Chemical potential and concentration 

• In an ideal dilute solution,molecules do not influence each other and the enthalpy is independent of concentration.  

• Assumption commonly used in biochemistry 

• For an ideal dilute solution, we’ll show that the difference in chemical potential is related to the ratio of concentrations: 

• Where C1 and C2 are the concentrations of molecules

2 1 kBT lnC2

C1

MCB653/21/16 9Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

G1 H1 TS1 G2 H2 TS2

H1

NA1

T ,P ,NB

TS1

NA1

T ,P ,NB

A1 G1

NA1

T ,P ,NB

H2

NA 2

T ,P ,NB

TS2

NA 2

T ,P ,NB

A 2 G2

NA 2

T ,P ,NB

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2 1

H2

NA 2

T ,P ,NB

TS2

NA 2

T ,P ,NB

H1

NA1

T ,P ,NB

TS1

NA1

T ,P ,NB

2 1 TS2

NA 2

T ,P ,NB

TS1

NA1

T ,P ,NB

For an ideal solution,  depends on entropy

ideal solution enthalpy changes are the same H2

NA 2

T ,P ,NB

H1

NA1

T ,P,NB

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Calculating the entropy:

• We can use the probabilistic definition of entropy, with three states: 

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

p2 NB

M (B molecules)

p1 NA1

M (A molecules)

p0 M (NA1 NB )

M (empty gridboxes)

2

1

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S1 MkB pi ln pii0

2

S1

NA1

T ,P ,NB

MkB

NA1

p0 ln p0 p1 ln p1 p2 ln p2 p2 does not depend on NA1 d/dNA1 = 0

MkB

NA1

M (NA1 NB )M

lnM (NA1 NB )

M

NA1

Mln

NA1

M

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1 TS1

NA1

T ,P ,NB

kBT lnNA1

M

ln

M (NA1 NB )M

Applying simple rules for derivatives (chain rule, product rule, etc..) we get:

NB (solvent) >> NA1 (solute)

2 1 kBT lnNA 2

M

ln

M NB

M

ln

NA1

M

ln

M NB

M

2 TS2

NA1

T ,P ,NB

kBT lnNA 2

M

ln

M (NA 2 NB )M

kBT lnNA 2

M

ln

NA1

M

kBT ln

C2

C1

C2 C1

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Molecular diffusion decreases chemical potential

• If C2 > C1 then ln(C2/C1) > 0 and  is positive• The A molecules in Region 2 have a higher chemical potential• Makes sense – molecules will move spontaneously from Region 2 (high concentration) to Region 1 (low concentration)

2 1 kBT lnC2

C1

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

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Chemical potentials

• Switching to molar units:

(multiply Boltzmann constant by Avogadro’s number  R = NAkB)

• Calculating the chemical potential relative to standard state:

• ***C/C° (and therefore C/1M) is unitless

RT lnC2

C1

o RT ln

CCo

o RT lnC1

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What is chemical potential?

• Chemical potential is proportional to the logarithm of concentration:

• Comparing two solutions:

• Comparing to standard state:

• In mechanics, the direction of spontaneous change is always towards a reduction in potential energy

• Similarly, in thermodynamics, the direction of spontaneous change is always towards a reduction in Gibbs free energy• The partial molar Gibbs free energy (G˚i) of a type of molecule (i) is its “chemical potential” (˚i )

2 1 kBT lnC2

C1

o RT lnCCo

o RT lnC1

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What are the concentrations at equilibrium?

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Defining a “reaction progress variable”, ξ• Reaction:

• Change in free energy as the reaction progresses:

• These terms are NOT independent.  To account for their coupling, we define the reaction progress variable (ξ or “xi”) which is a measure of how far the reaction has progressed

aA bB cC dD

dG A dnA B dnB C dnC DdnD

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Defining a “reaction progress variable”, ξ• E.g.

• 0 <  < 1

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

2A 1B 1C 2D

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Defining a “reaction progress variable”, ξ• Reaction:

• Change in free energy as the reaction progresses:

• These terms are NOT independent.  To account for their coupling, we define the reaction progress variable (ξ) which is a measure of how far the reaction has progressed

aA bB cC dD

dG A dnA B dnB C dnC DdnD

nA nA (0) a

dnB b(d)dnC c(d)dnD d(d)

For a small step in the reaction:

nB nB (0) bnC nC (0) cnD nD (0) d

dnA a(d)

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Reaching equilibrium• Substituting into the equation for dG:

• At equilibrium, dG = 0 and d can be non‐zero

• Products of chemical potential and stoichiometriccoefficients are balanced

dG A dnA B dnB C dnC DdnD

aA bB cC dD 0aA bB cC dD

A a(d) Bb(d) Cc(d) Dd(d)

aA bB cC dD d

dni ( /)id

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cCo dD

o aAo bB

o RT ln[C]c[D]d

[A]a[B]b Go

Equilibrium concentrations

[A], etc, refer to the equilibrium concentrations

[A]/1M is dimensionlessaA bB cC dD

A Ao RT ln

[A]1

B Bo RT ln

[B]1

C Co RT ln [C]

1

D Do RT ln

[D]1

aAo aRT ln

[A]1

bB

o bRT ln[B]1

cCo cRT ln [C]

1

dD

o dRT ln [D]1

aA bB

cc dD

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Defining the equilibrium constant

• We then define the equilibrium constant, K as:

• Keq is measurable

• Keq is unitless• G° is in J/mol and RT is also in J/mol

Keq [C]c[D]d

[A]a[B]b

Go RT lnKeq

Keq eG oRT

Equilibrium constant provides a way to determine the concentrations, the extent of reaction, at equilibrium

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Extent of reactions at equilibrium• Hydrolysis of ATP:

• G° = ‐28.7 kJ mol‐1 at pH 7.0 and 10 mMMg2+

• [Pi] in cells is maintained at ~10‐2 M, which means at equilibrium

ATP + H2O ADP + Pi + energy

K [ADP][Pi]

[ATP][H2O]/[H2O]° ~ 1

K eG oRT e28 / 2.478 105

[ADP][ATP]

107

Extent of reaction for reaction with a smaller G°?

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G – in a situation not at equilibrium 

dG aA bB cC dD d 0

dGd

aA bB cC dD G

Figure from The Molecules of Life(© Garland Science 2008)

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Direction of spontaneous change from observed concentrations?

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• Combining:

• We obtain:

• Substituting: We get:

Reaction quotient, Q, describes observed conditions

G cC

o dDo aA

o bBo RT ln

[C]obsc [D]obs

d

[A]obsa [B]obs

b

Observed, non-equilibriumG Go RT lnQ

Go Q

Go RT lnK G RT lnQK 2.3RT log

QK

G aA bB cC dD o RT ln

CCo

Reaction quotient

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Q/K is the mass action ratio

• The ratio Q/K is the mass action ratio

• The mass action ratio determines whether a reaction goes forward or backward:

G < 0, reaction will go forward

G > 0, reaction will go backward

Go RT lnK G RT lnQK 2.3RT log

QK

QK1

QK1

5.8 kJ/mol

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Mass action ratio – Q/K

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

A B G RT lnQK 2.3RT log

QK

mol-1

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G for ATP hydrolysis in cells

• G° = ‐28.7 kJ mol‐1 and at equilibrium:

• In cells, [ADP]/[ATP] = 10‐3

ATP ADP + Pi + energy

K = [ADP][Pi][ATP]

[ADP][ATP]

107

G RT lnQK

~ RT ln103

107 ~ RT ln1010

~ 57 kJ mol1

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ATP synthesis is not spontaneous

• G° = ‐28.7 kJ mol‐1 and at equilibrium:

• How to drive ATP synthesis?• From the chemical potential concept

• Increasing the concentration of ADP and Pi could lead to ATP synthesis

• Impractical for the cell

ATP ADP + Pi + energy

K = [ADP][Pi][ATP]

[ADP][ATP]

107

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An example of non‐expansion work

• Using a gradient of molecules across a membrane to synthesize ATP

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

(ADP+Pi)•F (ATP) •F*

B(high) B(low)

Unfavorable reaction:

Favorable reaction: (ADP+Pi)•F + B (ATP) •F*•B

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F0F1 ATP synthase uses proton chemical potential to synthesize ATP

Credits: John Walkerhttp://www.mrc-mbu.cam.ac.uk/research/atp-synthase

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Oxidative phosphorylation in mitochondria

Figures from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

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• U = q + w, and q ~ 0 (under idealized conditions)

• U = w• U is positive because ATP is produced

• w is positive, corresponding to work done on the system by the surroundings

• Chemical work as a consequence of transferring B molecules from high to low concentration, decreasing the free energy of B, and storing this energy into synthesized ATP

(ADP+Pi)•F + H+ (ATP) •F*•H+

K = [(ATP) •F*• H+][(ADP•Pi) •F][H+]

F0F1 ATP synthase couples ATP synthesis to a transmembrane proton gradient

Figure from The Molecules of Life (© Garland Science 2008)

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Some concepts to remember

• The chemical potential, , describes the rate of change of the free energy with respect to concentrations

• The equilibrium constant, Keq, provides a link between free energy and the concentrations at equilibrium

• The mass action ratio, Q/K, is related to the reaction free energy change, G, determining the driving force for the reaction