Фянн: Мяктяб рийазиййаткурсунун елми ясаслары

Мцяллим: дос.М.И.РящимоваМЮВЗУ. ЯДЯДИ АРДЫЪЫЛЛЫГ. АРДЫЪЫЛЛЫЬЫН ЛИМИТИ.

ЙЫЬЫЛАН АРДЫЪЫЛЛЫЬЫН ХАССЯЛЯРИ.

1. Ядяди ардыъыллыг. Яэяр щяр бир н натурал ядядиня nx щягиги ядяди гаршы

гойуларса, онда дейирляр ки, ,...,...,, 21 nxxx ядяди ардыъыллыьы верилмишдир. Ардыъыллыг

гыса олараг { }nx вя йа ( )nx символлары иля дя ишаря олунур. Бурада nx щямин

ардыъыллыьын цмуми щядди вя йа елементи, н ися nx щяддинин нюмряси адланыр.

Ядяди ардыъыллыг тяйин областы бцтцн Н натурал чохлуьу олан функсийадыр.Бу функсийанын гиймятляри чохлуьуна, даща доьрусу nx NnÎ ядядляри

кцллийатына ардыъыллыьын гиймятляри чохлуьу дейилир.

Ардыъыллыьын гиймятляри чохлуьу сонлу вя йа сонсуз ола биляр. Бу заманардыъыллыьын елементляри чохлуьу ися щямишя сонсуздур. Ардыъыллыьын истянилян икимцхтялиф елементи бир-бириндян нюмряляри иля фярглянирляр.

Мясялян, ( ){ }n1- ардыъыллыьынын гиймятляр чохлуьу -1 вя 1 ядядляриндян

ибарятдир, { }2n вяþýü

îíì

n1 ардыъыллыгларынын гиймятляри чохлуьу ися сонсуздур.

Ардыъыллыг, щяр бир щядди нюмрясиня эюря щесаблана билян дцстурункюмяйи иля вериля билир.

Мясялян, яэяр2

1)1( +-=

n

nx оларса, онда ардыъыллыьын щяр бир тяк нюмряли

щядди сыфыра, чцт нюмряли щядди ися ващидя бярабярдир.

Бязян ардыъыллыьын верилмясиндя рекурент мцнасибятдян истифадя олунур.Ардыъыллыьын бу цсулла верилмясиндя адятян ашаьыдакылар эюстярилир:

а) ардыъыллыьын биринъи щядди 1x (вя йа бир нечя щядди, мясялян 21, xx );

б) н-ъи щядди гоншу щядлярля ялагяляндирян дцстур, мясялян (н-1)-ъи вя(н+1)-ъи щядляри.

Щядляр фярги д олан ядяди силсиля, ортаг вуруьу 0¹q олан щяндяси силсиля

уйьун рекурент дцстурларла верилир:

., 11 qbbdaa nnnn =+= ++

Щямин силсилялярин биринъи щяддинин 1a вя 1b олдуьуну биляряк, силсилялярин (н+1)-

ъи щядляри цчцн уйьун дцстурлары алмаг олар:

Nnqbbndaa nnn Î=+= ++ ,, 1111 .

Рекурент дцстур

3,,21 ³Î+= -- nNnxxx nnn ,

1,1 21 == xx шяртляри иля Фибоначчи ардыъыллыьы верилир.

Бязи щаллалда ардыъыллыг онун щядляринин тясвири иля верилир. Мясялян, яэяр nx

- нюмряли садя ядяддирся, онда 5,3,2 321 === xxx вя с.

Нящайят гейд едяк ки, { }nx ардыъыллыьыны

а) мцстявидя ( ) Nnxn n Î,, координатлы нюгтялярля,

б) ядяд охунда Nnxn Î, нюгтяляри иля тясвир етмяк олар.

2. Ардыъыллыьын лимитинин тярифи. Лимит анлайышы рийази анализин ясасанлайышларындан биридир. О ъцмлядян ардыъыллыьын лимити анлайышы да зярурианлайышлардан бири щесаб олунур.

Тяриф: Яэяр щяр бир 0>e ядяди цчцн еля eN нюмряси варса ки, eNn ³ шяртини

юдяйян бцтцн н-ляр цчцн e<- axn бярабярсизлийи юдянилсин, онда а ядядиня { }nx

ардыъыллыьынын лимити дейилир.

Яэяр ардыъыллыьын лимити а-йа бярабярдирся, онда беля йазылыр:

axnn=

¥®lim вя йа ¥®n олдугда axn ® .

Мянтиги символларын кюмяйи иля щямин тярифи ашаьыдакы кими йазмаг олар:

{ } { }ee ee <-®³"$>"Û=¥®

axNnNax nnn:0lim (1)

Лимити олан ардыъыллыьа йыьылан ардыъыллыг дейилир.

Беляликля, яэяр

ee ee <-®³"$>"Î$ axNnNRa n:0: (2)

оларса, онда { }nx ардыъыллыьы йыьыландыр. Лимити олмайан ардыъыллыьа даьылан

ардыъыллыг дейилир: башга сюзлярля йыьылмайан ардыъыллыьа даьылан ардыъыллыг дейилир.

Гейд едяк ки, яэяр бцтцн NnÎ цчцн axn = оларса беля ардыъыллыг стасионар

ардыъыллыг адланыр, онда axnn=

¥®lim .

(1) тярифиндян алыныр ки, { }nx ардыъыллыьынын лимитинин варлыьы вя а-йа бярабяр

олмасы иля { }axn - ардыъыллыьынын лимитинин варлыьы вя сыфыра бярабяр олмасы иля

ейниэцълцдцр, йяни

{ } ( ){ }0limlim =-Û=¥®¥®

axax nnnn.

Мисал. Тярифдян истифадя едяряк, цмуми щядди верилмиш { }nx ардыъыллыьынын

лимитини тапын:n

nxn1-= .

Щялли: Исбат едяк ки, 1lim =¥® nn

x . Билдийимиз кимиn

xn11-= , онда

nxn

11 =- .

Тярифя ясасян ихтийари 0>e ядядини эютцряк. Яэяр e<n1 оларса, даща доьрусу

e1>n оларса, онда e<=-

nxn

11 бярабярсизлийи юдяниляъякдир. Бурада eN явязиня

ee1>N шяртини юдяйян щяр щансы натурал ядяди, мясялян 11

+úûù

êëé=eeN ядядини

эютцряк, бурада [ ] )(xEx = - х ядядинин там щиссясидир, даща доьрусу, х-и

ашмайан ян бюйцк там ядяддир. Онда бцтцн eNn ³ цчцн

ee

<£=-Nn

xn111

бярабярсизлийи юдяниляъякдир. Лимитин тярифиня эюря бу о демякдир ки, 1lim =¥® nn

x ,

даща доьрусу 11lim =-¥® n

nn

.

Йенидян лимитин тярифиня мцраъият едяк. Яэяр eNn ³ шяртини юдяйян бцтцн

н-ляр цчцн e<- axn бярабярсизлийи юдянилярся, тярифя ясасян а ядяди { }nx

ардыъыллыьынын лимитидир, e<- axn бярабярсизлийини ися онунла ениэцълц олан

ee +<<- axa n

бярабярсизлийи шяклиндя йазмаг олар. Башга сюзля щяр бир 0>e ядядиня эюрятапылан eN нюмрясиндян етибарян { }nx ардыъыллыьынын бцтцн щядляри ( )ee +- aa ,

интервалында йерляшир.

Щямин интервал а нюмрясинин e -ятрафы адланыр вя )(aUe щямчинин )(aOe иля

ишаря олунур, йяни

{ } { }eeee <-=+<<-= axxaxaxaU ::)( .

Яэяр а нюгтясинин щяр бир e - ятрафы цчцн тапылан нюмрядян етибарянардыъыллыьын бцтцн щядляри щямин ятрафа дахил олурса, щямин ятрафын хариъиндяардыъыллыьын йа щеч бир щядди йерляшмирся, йа да йерляшянляр анъаг сонлусайдадырса, демяли а ядяди { }nx ардыъыллыьынын лимитидир.

Мянтиги символларын кюмяйи иля ардыъыллыьын лимитинин ятраф дилиндякитярифини ашаьыдакы кими йазмаг олар:

{ } { })(:0lim aUxNnNax nnn eeee ή³"$>"Û=¥®

.

Яэяр axnn=

¥®lim вя бцтцн н=1,2,… цчцн axn £ (уйьун олараг axn ³ )

оларса, онда дейирляр ки, { }nx ардыъыллыьын а ядядиня солдан (уйьун олараг

саьдан) йыьылыр вя бязян axnn=

¥®lim явязиня axnn

=¥®

lim -0 (уйьун олараг axnn=

¥®lim

+0) йазылыр.

Мисал. Исбат етмяли ки,þýü

îíì

n1 ардыъыллыьы йыьыландыр вя лимити сыфыра бярабярдир.

Щялли: Доьрудан да, тутаг ки, ихтийари 0>e ядяди верилмишдир. Тяляб едяк

ки, e<n1 бярабярсизлийи юдянилсин, бурадан eNn ³ явязиня

ee1>N шяртини юдяйян

натурал ядяди, мясялян 11+

þýü

îíì=eeN ядядини эютцряк. Онда бцтцн eNn ³ цчцн

ee

<£<Nn110 ,

бярабярсизлийи юдянилир, бу ися о демякдир ки,þýü

îíì=

¥® nnn

1.01lim ардыъылльынын сыфыра

саьдан йахынлашдыьы доьрудур.

3. Ардыъыллыьын лимитинин йеэанялийи.

Теорем 1. Ядяди ардыъыллыьын анъаг бир лимити ола биляр.

4. Йыьылан ардыъыллыьын мящдудлуьу. Яэяр еля 1с ядяди варса ки, { }nx

ардыъыллыьынын бцтцн щядляри 1cxn ³ шяртини юдясин, йяни 11 : cxNnc n ³®Î"$

олур, онда щямин ардыъыллыьа ашаьыдан мящдуд ардыъыллыг дейилир.

Яэяр 22 : cxNnc n £®Î"$ оларса, онда { }nx ардыъыллыьына йухарыдан

мящдуд ардыъыллыг дейилир. Щям ашаьыдан, щям дя йухарыдан мящдуд ардыъыллыьамящдуд ардыъыллыг дейили. Даща доьрусу, яэяр

2121 :, cxcNncс n ££®Î"$ (3)

бярабярсизлийи юдянилярся, онда { }nx ардыъыллыьына мящдуд ардыъыллыг дейилир.

Теорем 2. Яэяр ардыъыллыьын лимити варса, онда о мящдуддур.

Йыьылан ардыъыллыгларын хассяляри.

Лемма. { }nx ардыъыллыьынын а лимитиня малик олмасы цчцн онун nx

щяддинин, , 1,2,...,n nx a na= + = шяклиня малик олмасы зярури вя кафи шяртдир,

бурада { }na сонсуз кичиляндир.

Хасся 1. Яэяр , 1,2,...nx c n= = оларса, онда lim nnx c

®¥= .

Хасся 2. Яэяр { } { },n nx y ардыъыллыглары йыьыландырса, онда { }n nx y± ардыъыллыьы

да йыьыландыр, щям дя { } { } { }lim lim limn n n nn n nx y x y

®¥ ®¥ ®¥± = + , йяни йыьылан ардыъыллыгларын

ъябри щямин ардыъыллыгларын лимитляринин ъябри ъяминя бярабярдир.

. Нятиъя. Сонлу сайда йыьылан ардыъыллыгларын ъябри ъяминин лимити, лимитляринъябри ъяминя бярабярдир.

Хасся 3. Яэяр { } { },n nx y ардыъыллыглары йыьыландырса, онда { }n nx y ардыъыллыьы

да йыьыландыр вя lim lim limn n n nn n nx y x y

®¥ ®¥ ®¥= .

3. Йыьылан ардыъыллыглар цзяриндя щесаб ямялляри.

Теорем. Яэяр byax nnnn==

¥®¥®lim,lim оларса,

1) ( ) ;lim bayx nnn+=+

¥®

2) ( ) ;lim abyx nnn=

¥®

3) ( )0,,0lim ¹Î¹=÷÷ø

öççè

楮

bNnyba

yx

nn

nn

.

Мисал. Яэяр { }ka , бцтцн щядляри вя д щядляр фярги сыфырдан фяргли ядяди

силсиля вя å= +

=n

k kkn aa

S1 1

1 оларса, nnS

¥®lim лимитини тапын.

kkkkkk

aadburadadaaaa

-=÷÷ø

öççè

æ-= +

++1

11

,1111 ,

( )ndaddaaaS

n

k kkn +

-==å= + 111 1

111

бярабярлийиндян истифадя етсяк,1

1limda

Snn=

¥® тапарыг.

Теорем 3. Яэяр { } { } { }nnn zyx ,, ардыъыллыглары цчцн

1) 0Nnzyx nnn ³"££ олдугда (8)

2) azx nnnn==

¥®¥®limlim ,

шяртляри юдянилярся, онда { }ny ардыъыллыьы да йыьылыр вя aynn=

¥®lim .

Исбаты: Лимитин тярифиня эюря истянилян 0>e цчцн еля )(11 eNN = вя

)(22 eNN = нюмряляри тапмаг олар ки, бцтцн )(1 eNn ³ нюмряляри цчцн )(aUxn eÎ

вя бцтцн )(2 eNn ³ нюмряляри цчцн )(aUzn eÎ олур. Бурадан вя (8) шяртиндян

алыныр ки, бцтцн ),,max( 210 NNNNn =³ нюмряляри цчцн )(aUyn eÎ шярти юдянилир. Бу

о демякдир ки, aynn=

¥®lim .

Теорем 4. Яэяр byax nnnn==

¥®¥®lim,lim (9)

щям дя ba < (10) оларса, онда

nn yxNnN <®³"$ 00 : (11).

1

Cəbri əməl, binar əməllərin xassələri

Plan.

1. Binar əməllər haqqında anlayış2. Binar əməllərin xassələri3. Neytral elementlər, simmetrik elementlər, tərs əməllər4. Distributivlik, halqa və meydan. Toplama və vurma aksiomları

1.Məlumdur ki, toplama əməli verilən iki ədədi cəm adlanan, vurma əməliisə verilən iki ədədi hasil adlanan üçüncü bir ədədlə əlaqələndirir. Ona görə də buəməlləri binar əməllər, cəm və hasil isə binar əməllərin nəticələri adlandırırıq.

Tərif : M çoxluğunda verilmiş qayda ilə götürülmüş hər bir ),( ba cütünə,həmin çoxluqda 3-cü bir yeganə elementin uyğun olmasına M çoxluğundamüəyyən edilmiş cəbri əməl deyilir.

Tərif : M şoxluğunda təyin edilmiş cəbri əməl by çoxluqda təyin edilmişnizamlanmış element cütlərinin funksiyasına deyilir.

Hər bir binar əməl üçün xüsusi işarə qəbul edilir. Məsələn, toplama əməliüçün + (plus), vurma əməli üçün × (nöqtə) çoxluqların birləşməsi üçün È

işarəsindən və sair işarələrdən istifadə edilir.

Bütün binar əməllər üçün ümumi olan xassələri öyrənməkdən ötrü binarəməllərin müxtəlif xüsusi işarələri əvəzinə yeganə işarədən istifadə edilir. Bəziriyaziyyatçılar binar əməl üçün ümumi işarə olaraq “ o ” , bəziləri isə “ T ”simvolunu işlədir. Iki ədəd arasında bu işarələrdən birinin qoyulması, həmin ikiədəd üzərində hər hansı binar əməlin aparıldığını göstərir.

Binar əməllərin xassələri:

Tərif 1: Çoxluğun a və b elementləri üzərində aparılan əməlin heç olmasabir nəticəsi olarsa, onda həmin əməl bu elementlər üçün mümkündür, əgər əməlçoxluğun ixtiyari iki elementi üçün mümkün olursa, onda həmin əməl həmişəmümkündür deyilir.

Məsələn, natural ədədlər çoxluğunda toplama əməli həmişə mümkündür.Lakin həmin ədədlər çoxluğunda çıxma əməli həmişə mümkün deyil.

Tərif 2: Çoxluğun ixtiyari iki elementi üçün hər hansı əməlin ən çoxu birnəticəsi olarsa, bu əmələ birqiymətli əməl deyilir.

2

Əgər əməl birqiymətlidirsə, onda verilən a və b elementləri ilə əməlnəticəsi olan c elementi arasındakı əlaqəni cba =T bərabərliyi ilə ifadə etmək olar.

Tərif 3: İxtiyari a və b elementləri üçün abba T=T şərti ödənilirsə, ondahəmin əmələ kommutativ əməl əməl deyilir.

Kommutativ əməllərə misal olaraq, natural ədədlərin toplanmasını,çoxluqların birləşməsini və kəsişməsini göstərmək olar. Qüvvətə yüksəltmə əməlikommutativ əməl deyil. 823 = , 932 = , 23 32 ¹ .

Tərif 4: İxtiyari a, b və c elementləri üçün ( ) )( cbacba TT=TT şərtiödənilirsə, bu əmələ assosiativ əməl deyilir.

Assosiativ əməllərə misal olaraq, ədədlər üzərində toplama və vurma,çoxluqlar üzərində birləşmə və kəsişmə əməllərini göstərmək olar.

Tərif 5: Hər hansı əməl verilən çoxluqda həmişə mümkün, birqiymətli vəassosiativ olarsa, onda verilən çoxluğa həmin əmələ nəzərən yarımqrup deyilir.

Məsələn, bütün natural ədədlər çoxluğu toplama əməlinə nəzərənyarımqrupdur.

Neytral elementlər və xassələri

Tərif 6: İxtiyari AaÎ elementi üçün aani =T şərtini ödəyən in elementiolarsa, in elementinə sol neytral element deyilir.

Ixtiyari a elementi üçün ana t =T şərtini ödəyən tn elementi olarsa, tn

elementinə sağ neytral element deyilir.

İxtiyari AaÎ elementi üçün anaan =T=T şərti ödənilərsə, başqa sözlə nelementi eyni zamanda sol və sağ neytral element olarsa, n elementinə ikitərəflineytral element deyilir.

Bütün tam ədədlər çoxluğunda sıfır ədədi toplama əməli üçün ikitərəflineytral elementdir. Natural ədədlər çoxluğunda isə toplama əməli üçün ikitərəflineytral element yoxdur. Həmin çoxluqda vurma əməli üçün ikitərəli neytralelement vahiddir.

Ikitərəfli neytral element aşağıdakı xassəyə malikdir.

Xassə. Əgər yarımqrupda həm sol, həm də sağ neytral element, yəniikitərəfli neytral element varsa, onda həmin yarımqrupdakı neytral elementyeganədir.

3

Isbatı. Tutaq ki, in və tn uyğun olaraq, sol və sağ neytral elementdir. Sağvə sol neytral elementin tərəfindən aani =T , aant =T , tti nnn =T və iit nnn =T

olduğunu alarıq. Buradan bərabərliyin tranzitivlik xassəsinə görə ti nn = olduğunualırıq. Beləliklə, ikitərəfli neytral elementin yeganəliyini isbat etdik. Ikitərəflineytral element əvəzinə sadəcə olaraq neytral element işlədəcəyik.

Simmetrik element və onun xassələri.

Tutaq ki, n elementi hər hansı əmələ (T ) nəzərən yarımqrupun neytralelementidir.

Tərif 7: 1) naai =T~ şərtini ödəyən ia~ elementinə a elementinin solsimmetrik elementi deyilir.

2) naa t =T~ şərtini ödəyən ta~ elementinə a elementinin sağ simmetrikelementi deyilir.

3) naaaa =T=T ~~ şərtini ödəyən a~ elementinə a elementinin sağ və solsimmetrik elementi deyilir.

Məsələn, ( ) 055 =+- və 0)5(5 =-+ olduğundan -5 ədədinə toplama əməlinə

nəzərən 5 ədədinin ikitərəfli simmetrik elementidir. 1313 =× və 13

31

=× olduğundan,

“31 ədədi vurma əməlinə nəzərən 3 ədədinə ikitərəfli simmetrikdir”. Beləliklə, a

həqiqi ədəddirsə, “-a” toplama əməlinə nəzərən “a” ədədinin ikitərəfli simmetrik

olur. 0¹a həqiqi ədəd isəa1 ədədi vurma əməlinə nəzərən a ədədinə ikitərəfli

simmetrikdir.

Ikitərəfli simmetrik elementin aşağıdakı xassəyə malikdir.

Xassə. Əgər neytral elementi olan yarımqrupda a elementinin həm sol, həmdə sağ simmetrik elementi varsa, onda a elementinin ikitərəfli simmetrik elementiyeganədir.

Isbatı. ia~ elementi a elementinin sol simmetrik, ta~ elementi isə sağsimmetrik elementidir. Onda tttitiii aanaaaaaanaa =T=TT=TT=T= ~)~()~(~~~ olar.Buradan bərabərliyin tranzitivlik xassəsinə görə ti aa ~~ = olar. Ikitərəfli simmetrikelement yeganədir. nnn =T olduğundan hər bir neytral element özü-özünəsimmetrik olur. Sıfır ədədi toplama, vahid isə vurma əməlinə nəzərən özü-özünəsimmetrikdir.

4

Tərs əməl və xassələri.

Tutaq ki, hər hansı çoxluqda T əməli verilmişdir. Cəbri T əməli onun tərsəməli olan iki əməllə əlaqədardır.

Tərif 8: 1) abx =T şərtini ödəyən x elementinə verilən a və b elementləriüzərində aparılan əməlin nəticəsi, həmin əmələ isə T əməlinin sol tərs əməlideyilir.

2) ayb =T şərtini ödəyən y elementinə verilən a və b elementləri üzərindəaparılan əməlin nəticəsi, həmin əmələ isə T əməlinin sağ tərs əməli deyilir.

Ümumiyyətlə, sol və sağ tərs əməllərin nəticəsi müxtəlif olur. Lakin verilənT əməli kommutativ olduqda abx =T münasibətdən axb =T münasibətinin,

ayb =T münasibətindən isə aby =T münasibətinin doğruluğu, yəni sol tərs əməlindoğruluğundan sağ tərs əməlin, tərsinə sağ tərs əməlin doğruluğundan isə sol tərsəməlin doğruluğu çıxır. Məsələn, rasional ədədlərin toplanması kommutativolduğundan, toplamanın bir tərs əməli vardır. Toplamanın tərs əməli çıxmadır.Qüvvətə yüksəltmə əməlini binar əməl hesab etmək olar. Lakin bu əməlkommutativ əməl deyil, yəni 23 32 ¹ olur. Ona görə də qüvvətə yüksəltmə əməlininiki tərs əməli vardır. Əgər şərti olaraq qüvvətə yüksəltmə əməlində əsası sol,qüvvət üstünü isə sağ simmetrik element hesab etsək, axb = şərtini ödəyən xədədini a və b üzərində aparılan sol tərs əməlin nəticəsi hesab etmək olar. Bu əməlkök alma əməlidir. ab y = şərtini ödəyən y ədədi isə a və b ədədləri üzərindəaparılan sağ tərs əməlin nəticəsi olur. Bu əməl loqarifm toplama əməlidir.

Tərs əməllər neytral və simmetrik elementlərlə sıx əlaqədardır. Ikitərəflineytral və ikitərəfli simmetrik elementin təriflərini, yəni aan =T , ana =T , naa =T~ ,

naa =T~ düsturlarını tərs əməlin tərifi müqayisə etsək, aşağıdakı təklifləri alırıq.

1) a elementi yarımqrupun " elementi, a~ elementi isə a elementininikitərəfli simmetrik elementi olarsa, onda neytral n elementi bu ikielement üzərində aparılan hər iki tərs əməlin nəticəsi olar.

2) a~ yarımqrupun verilən a elementinin ikitərəfli simmetrik elementiolarsa, onda a~ elementi a və neytral n elementi üzərində aparılan hər ikitərs əməlin nəticəsi olur.

Xassə. Neytral elementi olan yarımqrupda a elementinin ikitərəflisimmetrik elementi varsa, onda " b elementi və verilən a elementi üçün n hər ikitərs əməl var və yeganədir.

5

Isbatı. Tutaq ki, b və a elementləri üzərində sol tərs əməl mümkündür. Buəməlin nəticəsini x-lə işarə etsək, onda tərifə görə bax =T olar. Buradan

)1...(~~)( abaax T=TT olar. Digər tərəfdən )2...()~(~)( xnxaaxaax =T=TT=TT olduğundanbərabərliyin tranzitivlik xassəsinə görə )3...(~)( xaax =TT olar. (1) və (3)münasibətlərindən bərabərliyin tranzitivlik xassəsinə görə abx ~T= olar. ab ~Telementi var və yeganədir. Ona görə də baxılan əməl mümkündürsə, onda onunnəticəsi ancaq ab ~T olur. Doğrudan da, ab ~T elementini bax =T bərabərliyində x-inyerinə yazsaq, bnbaabaabaab =T=TT=TT=TT )~()~()~( olduğunu alarıq. Deməli, soltərs əməl var və yeganədir.

b və a elementi üzərində sağ tərs əməlin nəticəsinin varlığı və yeganəliyianaloji olaraq isbat olunur.

Xassə 2. Yarımqrupun ixtiyari b və verilən a elementləri üçün hər iki tərsəməl mümkündürsə, onda neytral element və a elementinin simmetrik elementivar.

Distributivlik, halqa və meydan.

Tutaq ki, E çoxluqda bir əməl T simvolu, ikinci əməl isə ^ simvolu iləifadə edilmişdir.

Tərif 9: E çoxluğunu cba Ù" , elementləri üçün )()()( cabacba T^T=^T və)()()( cbcacba T^T=T^ münasibətləri ödənilirsə, onda T simvolu ilə ifadə olunan

cəbri əmələ, ^ simvolu ilə ifadə olunan əmələ nəzərən distributiv əməl deyilir.

Məsələn, cabacba ×+×=+× )( bərabərliyi a, b və c ədədləri üçün doğruolduğundan vurma əməli toplamaya nəzərən distributiv əməldir.

)()( cabacba +×+=×+ bərabərliyi a, b və c ədədləri üçün doğru olmadığındantoplama əməli vurmaya nəzərən distributiv əməl deyil.

Tərif 10: R çoxluqda aşağıdakı iki əməl;

1) Toplama əməli təyin edilərsə, yəni çoxluğun hər hansı iki a və belementinə qarşı uyğun olaraq onların cəmi adlanan c elementi.

2) Vurma əməli təyin edilirsə, yəni uyğun olaraq onların hasili adlanan delementi )( bad ×= qoymaq olarsa, R çoxluğuna halqa deyilir.

Aşağıdakı aksiomları ödəyən E çoxluğuna halqa deyilir.

1) E-də toplama təyin edilib, )(),(),,( bacEcEba *=Î$Î"

2) E-də vurma təyin edilib, )(),(),,( bacEcEba *=Î$Î"

6

3) E-də toplama əməli kommutativ əməldir, )(),,( abbaEba *=*Î"

4) E-də toplama əməli assosiativ əməldir ))()((),,,( cbacbaEcba ++=++Î"

5) E-də vurma əməli assosiativ əməldir, ))()((),,,( cbacbaEcba ××=××Î"

6) E-də toplama əməlinə nəzərən neytral element vardır,)0(),(),0( aaEaE =+Î"Î$

7) E-də əks element vardır, )0(),(),( 11 =+Î$Î" aaEaEa8) E-də toplama və vurma əməlinə nəzərən distributivlik xassəsi doğrudur,

[ ] [ ]bcacbaccbcacbaEcba ×+×=+××+×=×+Î" )(,)(),,,(

Misallar: 1) Z çoxluğu kommutativ halqa təşkil edir.

2) N-də 6 və 7-ci aksiomlar ödənilmir, halqa deyil.

3) Q - rasional ədədlər çoxluğu kommutativ halqa təşkil edir.

4) R – həqiqi ədədlər çoxluğu kommutativ halqa təşkil edir.

5) [ [¥-+ ;0R halqa təşkil etmir. Çünki 6 və 7-ci aksiomlar ödənilmir.

Tərif : Toplama və vurma əməllərinin təyin olunduğu E çoxluğu aşağıdakıxassələrə malikdirsə, E – yə halqa deyilir.

1. E çoxluğu toplamaya nəzərən kommutativ qrup təşkil edir.2. Vurma assosiativdir. ))()((),,,( cbacbaEcba ××=××Î"

3. (+) və (´ ) əməlləri E – də sağ və sol distributivlik qanununa malikdir.[ ] [ ]bcacbacEcbacbcacbaEcba ×+×=+×Î"Ù×+×=×+Î" )(),,,()(),,,(

Tərif 11: Hər hansı halqada vurmanın tərs əməl aksiomunu ödəyən sıfırdan¹ lı heç olmasa, bir element olarsa, bu halqaya meydan deyilir.

Rba Î" , üçün bxa =× ödəyən yeganə x elementi var və yeganədir. xelementinə b elementinin a elementinə bölünməsindən alınan qismət deyilir və

abx = şəklində yazılır.

Tərif 12: EaÎ" üçün ttaat =T=T bərabərliyi ödənilirsə, onda t-yə həmincəbri əmələ nəzərən udan element deyilir.

Məsələn, 07007 =×=×

Əgər t hər hansı cəbri əmələ nəzərən udan elementdirsə və istənilən ifadəyədaxildirsə, onda həmin ifadəni t ilə əvəz etmək olar.

Cismin xassələri.

7

Tərif 13: E halqasının ən azı iki elementi üçün 0¹b olmaqla,aybaxb =×Ù=× tənliklərinin həlli də E-də olarsa, bu halqaya cisim deyilir.

Teorem: 1) Hər bir E cismində, bu cismin istənilən a üçün aaeea =×=׺ərtini ödəyən yeganə vahid e elementi vardır.

Teorem: 2) E cismində bu cisim hər bir 0¹a üçün ancaq yeganə olan vəeaaaa =×=× -- 11 münasibətini ödəyən 1-a tərs elementi vardır.

Teorem: 3) 0¹b olduqda abyaxb =×Ù=× tənliklərindən hər birinin yeganəhəlli vardır.

Cəbri əməlin tərifi: X-də nizamlı götürmüş " iki elemetinə X-də birqiymətliolunmuş 3-cü element qarşı qoyan uyğunluğa X-də cəbri əməl deyilir.

)(),(),,( cbaEcEba =*Î$Î"

Tərif: (x,y,z) nizamlı üçlüyə cəbri əməl deyilir.

Cəbri əməl trener münasibətdir.

Фянн: Мяктяб рийазиййаткурсунун елми ясаслары.

Мцяллим: дос.М.И.Рящимова

Мящдуд вя гейри мящдуд функсийалар.Монотон, периодик функсийа. Тярс, параметрик

вя гейри ашкар шякилдя верилмиш функсийа.Яэяр

cxfXxcccxfXxcbcxfXxca

£®Î"$

£®Î"$³®Î"$

)(:))(:))(:)

22

11

(1)

бярабярсизликляри юдянилярся, онда ф функсийасына Х чохлуьунда уйьун олараг,ашаьыдан, йухарыдан вя мящдуд функсийа дейилир.

Х чохлуьунда ф функсийасынын мящдуд олмасы щяндяси олараг о демякдирки, Xxxfy Î= )( функсийасынын графики cyc ££- золаьында йерляшир.

Мясялян, 0, ¹Î xRx олдугда тяйин олунанx

Siny 1= функсийасы

мящдуддур, чцнки 11£

xSin . Яэяр (1) шярти явязиня

( ) cxfXxc cc >Î$>" :0 (2)

шярти юдянилярся онда ф функсийасына Х чохлуьунда гейри мящдуд функсийадейилир.

Тутаг ки, { })(),(: fDXxxfyyY ÌÎ== . Онда Й чохлуьунун йухары

сярщядди ф функсийасынын Х чохлуьунда дягиг йухары сярщядди дейилир вя )(sup xfXxÎ

кими ишаря олунур, Й чохлуьунун дягиг ашаьы сярщяддиня ися ф функсийасынын Хчохлуьунда дягиг ашаьы сярщядди дейилир вя )(inf xf

XxÎ шяклиндя ишаря олунур. Яэяр

( )00 )(:)( xfxfXxfDXx £®Î"ÌÎ$

бярабярсизлийи юдянилярся, онда дейирляр ки, ф функсийасы Х чохлуьунун 0x

нюгтясиндя ян бюйцк (максимал) гиймят алыр вя ( ) )(max0 xfxfXxÎ

= . Бу щалда

( )0)(sup xfxfXx

=Î

. Аналожи олараг яэяр,

( )00 )(:)( xfxfXxfDXx ³®Î"ÌÎ$

шярти юдянилярся, онда дейирляр ки, ф функсийасы Х чохлуьунун 0x нюгтясиндя ян

кичик (минимал) гиймятини алыр вя )(min)( 0 xfxfXxÎ

= кими йазылыр. Бу щалда

( )0)(inf xfxfXx

=Î

. Максимал вя минимал гиймятляря бирликдя екстремал гиймятляр

дейилир.

Мясялян яэяр ф(х)=Син х оларса, онда

( )kRxRxxfxfxf ==

ÎÎ)(max)(sup , бурада Zkkxk Î+= ,2

2pp ,

( )kRxRxxfxfxf ~)(min)(inf ==

ÎÎ, бурада Zkkxk Î+-= ,2

2~ pp .

Монотон функсийалар. Яэяр )( fDX Ì оларса вя

( ) ( )212121 :) xfxfxxXxXxa £®<Î"Î" ,

( ) ( )212121 :) xfxfxxXxXxb <®<Î"Î" ,

( ) ( )212121 :) xfxfxxXxXxc ³®<Î"Î" ,

( ) ( )212121 :) xfxfxxXxXxd >®<Î"Î"

бярабярсизликляри юдянилярся онда ф функсийасына Х чохлуьунда уйьун оларагартан, (азалмайан), ъидди артан, азалан (артмайан) вя ъидди азалан функсийадейилир.

Азалан вя артан функсийалара бирликдя монотон функсийалар, ъидди артанвя ъидди азалан функсийалара ися ъидди монотон функсийалар дейилир.

Мисал. RXxxf == ,)( 3 функсийасынын ъидди артан олдуьуну исбат един.

Щялли: 3x функсийасы бцтцн ядяд охунда тяйин олунур вя ъидди артандыр.Доьрудан да яэяр 210 xx <£ оларса, онда 3

231 xx > олар, яэяр 021 £< xx оларса,

онда 120 xx -<-£ олур, бурадан ( ) ( )313

2 xx -<- . Айдындыр ки, 3x функсийасы тяк

функсийадыр, онда ахырынъы бярабярсизлийи 31

32 xx -<- шяклиндя йазмаг олар,

бурадан 32

31 xx < бярабярсизлийи юдянилир. Беляликля, б) шярти юдянилир. Буна эюря 3х

функсийасы Р-дя ъидди артандыр.

Периодик функсийа. Периодиклик анлайышы астрономийа, физика, эеолоэийа,рийазиййат вя с. елмлярдя мцхтялиф формаларда ишлянся дя мяна етибары илямцяййян просесин тякрар олунмасы, дювр етмяси, доланмасы мянасыны верир.

Биз тябиятдя бир сыра щадисялярин тякрар олунмасы просесини мцшащидяедирик. Мясялян, фясиллярин йерини дяйишмяси, эеъя иля эцндцзцн нювбяляшмяси вяс.

Рийазиййатда сонсуз тякрарланан просеслярин ганунауйьунлугларыюйрянилир. Бунун цчцн периодик функсийа анлайышындан истифадя едилир. Яэяр

)()()()(),()(:0 TxfxfTxffDTxfDTxfDxT -==+ÙÎ-Î+®Î"¹$ (3)

бярабярлийи юдянилярся, онда ф функсийасына периодик функсийа Т (-Т) ядядиня исяонун периоду дейилир. Яэяр Т1 вя Т2, )()( fDxxfy Î= функсийасынын

периодудурса, щям дя 021 ¹+TT оларса, онда 21 TT + -дя ейни заманда щямин

функсийанын периодудур. Дорудан да Т1 вя Т2 периоддурса, онда истянилян)( fDxÎ цчцн )(),( 11 fDTxfDTx Î-Î+ , ейни заманда ф(х) иля бирликдя ( )1Txf + вя

( )1Txf - вар вя буна эюря ф(х) иля бирликдя ( )21 TTxf ++ вя

( ) ( ) ( )212121 ,, TTxfTTxfTTxf --+--+ вар. Бундан башга

( )( ) ( )( ) ( ) )(12121 xfTxfTTxfTTxf =+=++=++ . Шяртя 021 ¹+TT , буна эюря 21 TT + ,

)()( fDxxfy Î= функсийасынын периодудур.

Яэяр 1T вя 2T , )()( fDxxfy Î= функсийасынын периодудурса вя 21 TT ¹

оларса, онда 21 TT - -дя ейни заманда щямин функсийанын периодудур.

Яэяр Т, )()( fDxxfy Î= функсийасынын периодудурса, онда нТ шяклиндя

щяр бир ядяд, бурада ZnÎ , 0¹n ейни заманда щямин функсийанын периодудур.

Яэяр 1T вя 2T , )()( fDxxfy Î= функсийасынын периодудурса, щям дя

021 ¹+ kTnT оларса, бурада н вя к истянилян там ядядлярдир, онда 21 kTnT + ядяди

дя ейни заманда щямин функсийанын периодудур. Верилян функсийанын мцсбятпериодларындан (яэяр варса) ян кичийиня онун баш (ясас) периоду дейилир. Гейдедяк ки, периодик функсийанын ян кичик периоду олмайа да биляр. Тригонометрикфунксийалары периодик функсийалар мисал эюстярмяк олар . Бу заман p2 ядядиСин х вя Ъос х функсийаларынын ян кичик мцсбят периоду, p ися тэх вя ътэхфунксийаларынын ян кичик мцсбят дюврцдцр.

Мисал. axSinxf =)( бурада 0>a функсийасынын периодик функсийа

олдуьуну исбат етмяли вя онун ян кичик мцсбят периодуну тапмалы.

Щялли: Фярз едяк ки, ф мцсбят Т периодлу периодик функсийадыр. Онда

)( TxaSinaxSinRx +=®Î" бярабярлийи юдянилмялидир, х=0 олдугда бурадан

Nka

kTaTSin Î== ,,0 p . Беляликля, axSin функсийасынын мцсбят периоду анъагa

kp

ядяди axSin функсийасынын периоду дейил, чцнки якс щалда бцтцн RxÎ цчцн

( ) axSinaxSina

xaSinaxSin -=+=÷øö

çèæ += pp , даща доьрусу 0=axSin бярабярлийи

юдянмялидир, бу ися мцмкцн дейилдир.аp2 ядяди Син ах функсийасынын

периодудур, чцнки истянилян RxÎ цчцн ( )axSina

xaSinaxSin +=÷øö

çèæ += pp 22

бярабярлийи доьрудур. Беляликля, axSina

-p2 функсийасынын ян кичик мцсбят

периодудур.

Тярс функсийа.Тутаг ки, )()( fDxxfy Î= ядяди функсийасы верилмишдир.

Онда щяр бир )(0 fDx Î ядядиня йеэаня )()( 00 fExfy Î= ядяди уйьундур.

Функсийанын верилян 0y гиймятиня эюря аргументин уйьун гиймятинин

тапылмасына, даща доьрусу

)(,)( 00 fEyyxf Î= (4)

тянлийинин х-я нязярян щяллиня тез-тез раст эялинир. Щямин тянлийин бир йох, бирнечя вя щятта сонсуз сайда щялли ола биляр. й=ф(х) функсийасынын графики иля 0yy =

дцз хяттинин кясишдийи бцтцн нюгтялярин абсисляри (4) тянлийинин щяллидир.

Мясялян, яэяр 2)( xxf = олараса, онда 0, 002 >= yyx тянлийинин ики щялли вар:

0000~, yxyx -== . Яэяр ф(х)=Синх оларса, онда 1, 00 £= yyxSin , тянлийинин

сонсуз сайда щялли вар: pnxx nn +-= 0)1( , бурада 0, xZnÎ - щямин тянлийинин

щялляриндян биридир. Анъаг функсийа вар ки, щяр бир )(0 fEy Î гиймятиндя (4)

тянлийинин йеэаня )(0 fDx Î щялли вар. Яэяр ф функсийасы щяр бир )(0 fEy Î

гиймятини анъаг йеэаня бир )(0 fDx Î гиймятиндя алырса, онда о функсийа дюнян

адланыр. Беля функсийалар цчцн ф(х)=й тянлийини истянилян )( fEyÎ гиймятиндя х-я

нязярян биргиймятли щялл етмяк олар, даща доьрусу щяр бир )( fEyÎ гиймятиня

йеэаня )( fDxÎ гиймяти уйьундур. Бу уйьунлуг функсийа тяйин едир, юзц дя ф

функсийасынын тярси адланыр вя ф-1 символу иля ишаря олунур. Гейд едяк ки, щяр бир)(0 fEy Î цчцн 0yy = дцз хятти дюнян й=ф(х) функсийасынын графикини йеэаня

( )00 , yx нюгтясиндя кясир, бурада ( ) 00 yxf = .

Тярс функсийанын аргументини х щярфи иля, онун гиймятини ися й щярфи иляишаря едяряк, ф функсийасынын тярс функсийасыны ( )11 ),( -- Î= fDxxfy , шяклиндя

йазырлар. Садялик цчцн 1-f символу явязиня э щярфиндян истифадя едяъяйик.

Верилян функсийа иля онун тярсинин ялагясини эюстярян ашаьыдакы хассяляригейд едяк.

1. Яэяр э функсийасы ф-ин тярс функсийасыдырса, онда ф-дя э-нин тярсфунксийасыдыр, ялавя олараг Д(э)=Е(ф), Е(э)=Д(ф), даща доьрусу эфунксийасынын тяйин областы ф функсийасынын гиймятляр чохлуьу иля цст-цстя дцшцрвя тярсиня.

2. Истянилян )( fDxÎ цчцн э(ф(х))=х, бярабярлийи доьрудур, истянилян

)( fExÎ цчцн ися ф(э(х))=х, бярабярлийи доьрудур.

3. й=э(х) функсийасынын графики й=ф(х) функсийасынын графикиня й=х дцзхяттиня нязярян симметрикдир.

4. Яэяр тяк функсийа дюняндирся, онда онун тярси дя ейни заманда тякфунксийадыр.

Биринъи ики хасся тярс функсийанын билаваситя тярифиндян, дюрдцнъц вябешинъи хассяляр ися тярс функсийанын уйьун олараг тяк вя ъидди монотонфунксийаларын тярифиндян алыныр.

Цчцнъц хассяйя бахаг. Тутаг ки, ( )00 , yx нюгтяси й=ф(х) функсийасынын

графики цзяриндядир, йяни ( )00 xfy = . Онда )( 00 ygx = , йяни ( )00 , xy нюгтяси э тярс

функсийасынын графики цзяринядядир. Беля ки, ( )00 , yx вя ( )00 , xy нюгтяляри й=х дцз

хяттиня нязярян симметрикдирляр, онда й=э(х) функсийасынын графики й=ф(х)функсийасынын графикиня щямин дцз хяття нязярян симметрик олур.

Гейри-ашкар функсийа. Яэяр х аргументи иля й функсийасы арасындакыасылылыг й=ф(х) дцстуру иля верилярся, онда й функсийасы ашкар шякилдя верилмишдейилдир. Мясялян, й=2х2+3х+1, й=Син(2х+1), й= х функсийалары ашкар шякилдя

верилмиш функсийалардыр. Яэяр х аргументи иля й функсийасы арасындакы асылылыьыэюстярян дцстур й-я нязярян щялл олунмамыш

Ф(х,й)=0 (5)

тянлийи иля верилярся, онда беля функсийайа гейри-ашкар функсийа дейилир. Мясялян,4й-5х2=0, х2-й+Син(х-й)=0, й+3хй-1=0 функсийалары гейри ашкар шякилдяверилмишдир. Бязян (5) тянлийи иля верилмиш гейри ашкар функсийаны й-я нязярян щялледяряк, ону ашкар шякля эятирмяк олур, бязяр ися эятирмяк олмур. Йухарыда

верилмиш гейри-ашкар функсийалардан биринъисини 2

45 xy = кими йазараг ашкар

шякля эятирмяк олур. Лакин галан икисини ашкар шякля эятирмяк олмур. Ола билярки, мцяййян чохлугдан эютцрцлмцш х аргументинин щяр бир гиймятиня (5)тянлийини юдяйян й-ин ики вя даща чох биргиймятли ашкар функсийа тяйин едир.

й=ф(х) ашкар функсийаны щямишя гейри-ашкар шякилдя эюстярмяк олур, бунаэюря щямин тянлийи ашаьыдакы шякилдя йазмаг лазымдыр: й-ф(х)=0.

Функсийанын параметрик шякилдя верилмяси. Бирдяйишянли функсийа тякъяашкар шякилдя й=ф(х) вя йа гейри-ашкар шякилдя Ф(х,й)=0 тянлийи иля дейил, ейнизаманда параметрик шякилдя вериля биляр. Тутаг ки, )(),( tytx yj == функсийалары

щяр щансы Е чохлуьунда тяйин олунмушдур вя Е1- j функсийасынын гиймятляри

чохлуьудур. Фярз едяк ки, j функсийасы Е чохлуьунда дюняндир вя )(1 xt -=j

онун тярс функсийасыдыр. Онда Е чохлуьунда мцряккяб функсийа( ) )()(1 xfxy == -jy тяйин олунмушдур. Буна )(),( tytx yj == дцстурлары иля

параметрик шякилдя верилмиш функсийа дейилир.

Фянн: Мяктяб рийазиййаткурсунун елми ясаслары.

Мцяллим: дос.М.И.Рящимова

Функсийа вя онун верилмя цсуллары.Мцряккяб функсийа. Ясас елементар функсийалар.

Функсийанын графики. Тяк вя ъцт функсийалар.1. Функсийа анлайышы. Тутаг ки, RX Ì ядяди чохлуьу верилмишдир. Яэяр

щяр бир XxÎ ядядиня щяр щансы гайда иля мцяййян бир й ядяди гаршы гойулурса,онда дейирляр ки, Х чохлуьунда ядяди функсийа верилир.

Уйьунлуьу мцяййян едян символ щяр щансы символа мясялян ф иля ишаряолунур вя

Xxxfу Î= ),( (1)

шяклиндя йазылыр. Х чохлуьуна функсийанын тяйин областы дейилир вя Д(ф) иля ишаряолунур, йяни Х=Д(ф). Функсийанын Д(ф) чохлуьунда алдыьы бцтцн гиймятлярикцллиййатына функсийанын гиймятляри чохлуьу дейилир вя Е(ф) кими ишаря олунур.Айдындыр ки, Й=Е(ф).(1) йазылышындакы х-я сярбяст дяйишян вя йа аргумент, й-яися асылы дяйишяр вя йа функсийа дейилир.

Функсийа чох вахт анъаг уйьунлуг гайдасыны тяйин едян символларла (Ff ,,j вя с) ишаря олунур. Функсийаны ишаря етмяк цчцн ейни заманда

YXfxfx ®® :),( ишаряляриндян дя истифадя олунур.

Тяйин областлары мцхтялиф, уйьунлуг гайдаалары ейни олан ики функсийамцхтялиф щесаб олунурлар. Rxxxf Î= ,)( 2 вя 2)( xxg = , QxÎ мцхтялиф

функсийалардыр. Бахмайараг ки, щяр ики функсийа ейни ганунла верилмишдир.Тяйин областлары ейни бир Х чохлуьундан ибарят олан вя щяр бир XxÎ цчцнгиймятляри цст-цстя дцшян ф вя э функсийалары бярабяр адланырлар. Бу щалда

Xxxgxf Î= ),()( вя йа gf = .

Мясялян яэяр Rxxxf Î= ,)( 2 вя Rxxxg Î= ,)( оларса, онда gf = олар,

чцнки бцтцн RxÎ нюгтяляри цчцн xx =2 бярабярлийи доьрудур.

Функсийалар цзяриндя щесаб ямялляри тябии гайдада тяйин едилир. Тутаг ки,ф вя э ейни бир Е чохлуьунда тяйин олунан функсийалардыр, онда щяр бир ExÎ

нюгтясиндя гиймятляри ),0)(()()(),()(),()(),()( Exxg

xgxfxgxfxgxfxgxf ι-+ олан

функсийалар уйьун олараг ф вя э функсийаларынын ъями, фярги, щасили, нисбятиадланырлар.

2. Функсийанын верилмя цсуллары. а) Аналити цсул. Функсийа аналитик цсуллаверилдикдя х аргументи иля й функсийасы арасындакы уйьунлуг гануну й=ф(х)дцстурунун кюмяйи иля верилир. Дцстурдакы й функсийасынын уйьун гиймятляриниалмаг цчцн х аргументи цзяриндя апарылан ямялляр эюстярилир.

х аргументи цзяриндя ашаьыдакы ямялляр апарыла биляр: щесаб ямялляри,гцввятя йцксялтмя, кюк алма, логарифмлямя, тригонометрик вя тярстригонометрик функсийаларын гиймятлярини щесаблама, ейни заманда лимитякечмя.

Яэяр дцстур шяклиндя верилян ф функсийасынын тяйин областы Д(ф)эюстярилмирся, онда тяйин областы олараг аргументин еля гиймятляри чохлуьутапылыр ки, дцстурун мянасы олсун вя дцстурда апарылан щяр бир ямялин нятиъясищягиги ядяд олсун.

Мясялян xxxf --+= 45)( функсийасынын тяйин областыны тапаг.

xxfxxf -=+= 4)(,5)( 21 ишаря едяк. Онда

( ) { }( ) { } 404:

;505:

2

1

£<-¥=³-=+¥<£-=³+=

xxxfDxxxfD

Онда ( ) ( ){ } ( ) ( ) 4545:)( 21 ££-=£<¥-Ç+¥<£-=ÇÎ= xxxfDfDxxfD .

Бир чох щалларда функсийа тяйин областында бир дцстурла дейил, тяйинобластынын мцхтялиф щиссяляриндя бир нечя мцхтялиф дцстурла верилир.

Мясялян,îíì

>£+

=0,2

0,1)(

2

xxxx

xf функсийасы бцтцн ядяд охунда тяйин

олунмушдур.

б) ъядвял цсулу. Бу цсулла функсийа верилдикдя аргументин мцяййянгиймятляри вя бунлара уйьун функсийанын гиймятляри верилир. Щямин гиймятляръядвял шяклиндя йазылыр.

х х1 х2 х3 … хн

й й1=ф(х1) й2=ф(х2) й3=ф(х3) … йн=ф(хн)

Аргументин ъядвялдяки гиймятляриня уйьун функсийанын гиймятляриъядвялдян асанлыгла тапылыр. Бу щалда дейирляр ки, функсийа ъядвял васитясиляверилмишдир. Аргументин ъядвялдя йерляшмяйян гиймятляриня уйьун функсийанынгиймятляри адятян тягриби тапылыр. Ъядвял цсулу иля верилян функсийаларатригонометрик, логарифмик функсийалары мисал эюстярмяк олар.

ъ) график цсулу. Бу цсулда аргумент вя функсийа арасындакы асылылыгкоординат системиндя чякилмиш графикля эюстярилир. Функсийа график цсуллаверилдикдя функсийанын дяйишмя характери яйани олараг эюстярилир. Бу цсулунчатышмайан ъящяти функсийанын гиймятляринин дягиг тапыла билмямясидир.

д) функсийанын сюзлярля верилмяси. Бу цсулда функсийа йалныз сюзлярлятясвир олунмагла вериля биляр. Мясялян, Дирихле функсийасы беля верилир:

îíì

=irrasionalxrasionalx

y01

,

Дирихле функсийасыны ъядвял цсулу иля эюстярмяк олмаз, чцнки о бцтцн ядядохунда тяйин олунмушдур.

е) функсийанын программ васитяси иля верилмяси. Бу цсулла аргументинверилмиш гиймятиня функсийанын гиймятини тапмаг цчцн мцасир щесабламамашынларындан истифадя олунур. Аргументин верилмиш гиймятляриня уйьунфунксийа гиймятлярини тапмаг гануну программ шяклиндя йазылыр вя щесабламамашынларына дахил едилир. Машын эюстярилян программ ясасында функсийанынгиймятлярини щесабллайыр.

3. Функсийанын графики. Мцстяви цзяриндя Охй дцзбуъаглы координатсистеминдя координатлары )()),(,( fDxxfх Î олан нюгтялярин щяндяси йериня

)(),( fDxxfy Î= функсийасынын графики дейилир. Тяйин областындан асылы олараг

функсийанын графики бцтюв бир хятт, щисся-щисся хятляр вя нюгтяляр чохлуьу олабиляр.

Ой охуна паралел олан щяр бир )(0 fDxx Î= дцз хятти )(),( fDxxfy Î=

функсийасынын графикини бир ( ) )(,, 00000 xfyyxM = нюгтясиндя кясир. 0)( =af

олдугда х=а нюгтяси функсийанын сыфыры адланыр. Яэяр х=а нюгтяси ффунксийасынын сыфырыдырса, онда й=ф(х) функсийасынын графики х=а нюгтясиндя,даща доьрусу М(а,0) нюгтясиндя Ох охуну кясир.

4. Мцряккяб функсийа. Тутаг ки, )(xy j= вя )(yfz = уйьун олараг Х вя

Й чохлугларында тяйин олунан функсийалардыр, ейни заманда j функсийасынын

гиймятляр чохлуьу ф функсийасынын тяйин областында йерляшир. Онда щяр бир XxÎнюгтясиндя гиймяти [ ])()( xfxF j= олан функсийа мцряккяб функсийа вя йа j вя

f функсийаларынын суперпозисийасы адланыр вя jof кими ишаря олунур. Мясялян,

[ ]3,3,9 2 -Î-= xxz функсийасы [ ]3,3,9 2 -Î-= xxy вя [ )+¥Î= ,0, yyz

функсийаларынын композисийасыдыр. Щямин функсийа елементар функсийадыр,даща доьрусу ону сонлу сайда щесаб ямялляринин вя композисийанын кюмяйи иляясас елементар функсийалардан алмаг олар. [ ])(xfz j= йазылышында й аралыг

аргумент, х ися ясас аргумент вя йа сярбяст дяйишян адланыр, ейни заманда j

функсийасы дахили, ф функсийасы ися хариъи функсийа адланыр. Мцряккяб функсийадаямяляр саьдан сола йериня йетирилир, даща доьрусу юнъя j функсийасы цзяринжя

сонра ися ф функсийасы цзяриндя ямялляр йериня йетирилир. Ашкардыр ки, ff oo jj,

композисийалары бярабяр дейилдир, анъаг хцсуси щалда ff oo jj = ола биляр.

Гейд едяк ки, мцряккяб функсийанын аралыг аргументляринин сайы ики вядаща чох ола биляр. Мясялян, )(),(),( txxyyfz yj === мунасибятляриндя аралыг

аргументлярин сайы икийя бярабярдир: й вя х. Онда мцряккяб функсийаны беляйазмаг олар: [ ]{ }.)(tfz yj= Бу мцряккяб функсийанын «зянъирвари» йазылышыдыр.

5. Елементар вя елементар олмайан функсийалар. Сонлу сайда щесабямялляринин (топлама, чыхма, вурма, бюлмя) вя суперпозисийанын кюмяйи иляясас елементар функсийалардан алынан вя й=ф(х) шяклиндя дцстурла ифадя олунанфунксийалара елементар функсийалар дейилир.

Мясялян ашаьыдакы функсийалар елементар функсийалардыр:

1. Хятти функсийа: й=ах+б, 0¹а ;

2. Ики дяряъяли функсийа: ;0,2 ¹++= acbxaxy

3. н- дяряъяли чохщядли, даща доьрусу )(xPy n= функсийасы, бурада

0,...)( 011

1 ¹++++= -- n

nn

nnn aaxaxaxaxP ;

4. Расионал функсийа, даща доьрусу)()(

xQxPy

m

n= шяклиндя функсийа, бурада

nP вя mQ уйьун олараг н вя м дяряъяли чохщядлилярдир, .0¹m

Елементар функсийаларын шяртини юдямяйян, йяни елементар олмайанфунксийалардан да данышмаг олар.

6. Ъцт вя тяк функсийалар. Яэяр

);()());()()xfxfXxXxb

xfxfXxXxa-=-ÙÎ-®Î"

=-ÙÎ-®Î"

бярабярликляри юдянилярся, онда Х чохлуьунда тяйин олунмуш ф(х) функсийасынауйьун олараг ъцт вя тяк функсийа дейилир.

Мясялян, xyxyxCosyxy ==== ,lg,3

,2 функсийалары ъцт,

)(,,2

, 23 xSinSinarcyxSinxyxSinyxy ==== функсийалары ися тякдир.

а), б) шяртлярини юдямяйян функсийа ня тяк, ня дя ъцтдцр. Мясялян,)1,0()( ¹>= aaaxf x функсийасы ( )+¥¥- , аралыьында ня ъцт, ня дя тякдир, чцнки

)(1)( xfa

axf xx ±¹==- - .

Ъцт функсийанын графики ординат охуна нязярян симметрикдир. Доьруданда яэяр ))(,(1 xfxM нюгтяси функсийанын графики цзяриндя йерляширся, онда

))(,(2 xfxM - нюгтяси дя ейни заманда функсийанын графики цзяриндя йерляшир вя

щямин нюгтяляр ординат охуна нязярян симметрик олур.

Тяк функсийанын графики координат башланьыъына нязярян симметрикдир,щягигятян дя ))(,(1 xfxM нюгтяси функсийанын графики цзяриндядирся, онда

))(,(2 xfxM -- нюгтяси дя функсийанын графики цзяриндя йерляшир вя щямин нюгтяляр

координат башланьыъына нязярян симметрикдир.

Фянн: Мяктяб рийазиййаткурсунун елми ясаслары

Мцяллим: дос.М.И.Рящимова

МЦНАСИБЯТ ГРАФЫ, ГРАФИКИ. ИНИКАС ВЯ НЮВЛЯРИ.

Мцнасибятин хассяляри. Мцхтялиф тябиятли (чохлуглар) мцнасибятляр сонсузчохлуг ямяля эятирир.

1. Рефлексивлик хассяси (латынъа рефлехио – яксетмя) сюзундянэютцрцлмцшдцр.

Тяриф: А чохлуьунун истянилян а елементи цчцн, аРа оларса, башга сюзля Ачохлуьунун щяр бир елементи юзц иля верилмиш Р мцнасибятиндя оларса, Р-я Ачохлуьунда рефлексив мцнасибят дейилир вя йа дейирляр ки, Р – мцнасибяти Ачохлуьунда рефлексивлик хассяясиня маликдир. :a A aRa" Î конгруентлик

мцнасибяти щяндяси фигурлар ичярисиндя рефлексив мцнасибятдир.А чохлуьунун щеч бир елементи юзц иля Р – мцнасибятиндя дейился, Р, А

чохлуьунда антирефлексивлик мцнасибят дейилир. Мясялян, мцстявинин дцз хятляричохлуьунда: «а – дцз хятти б дцз хяттиня перпендикулйардыр» мцнасибятиантирефлексив мцнасибятдир. Доьрудан да щеч бир дцз хятт юзцняперпендикулйар ола билмяз.

2. Симметриклик (охшарлыг, ейниэцълцлцк) Асанлыгла эюрмяк олар ки, бирадам диэяринин гощумудурса, икинъи адам да биринъинин гощумудур, йяни аРболдугда бРа олур.

Тутаг ки, А мцнасибятинин дцз хятляри чохлуьу Р: «перпендикулйаролмаг» мцнасибятидир. Ашкардыр ки, a A b A" Î Ù" Î цчцн a b^ олдугда b a^олур, йяни аРб олдугда бРа олур.

А чохлуьунун истянилян а вя б елементи цчцн аРб олмасындан бРаалынарса, йяни

:a A b A aRb bRa" Î Ù Î Þ оларса, Р-я симметрик мцнасибят дейилир вя дейирляр ки,Р

мцнасибяти симметриклик хассясиня маликдир.Мясялян, мцстявинин дцз хятляри чохлуьунда верилмиш паралеллик

мцнасибяти симметриклик мцнасибятидир.Доьрудан да | |a b ися | |b a олар, йяни | | | |a b b aÞ . А чохлуьунун щеч бир

щеч бир a bÙ елементи цчцн аРб вя бРа ейни заманда мцмкцн дейился, Р –асимметрик мцнасибят адланыр. Асимметрик мцнасибятя " "x y< мисал ола биляр.

Доьрудан да щяр бир x yÙ ядядляри цчцн ейни заманда x y< вя y x<

олдуьуну щюкм етмяк олмаз.аРб вя бРа ейни заманда анъаг вя анъаг а=б олдугда доьру оларса, Р

– антисимметрик мцнасибят адланыр. Антисимметрик мцнасибят асимметрикмцнасибятля ейнилик мцнасибятинин бирляшмясидир.

Щягиги ядядляр чохлуьунда " "x y£ мцнасибяти антисимметрик

мцнасибятдир. Транзитивлик хассяси: , , ;a b c A aRb bRa aRc" Î Ù Þ .

Еквивалентлик мцнасибяти.Тяриф: 2x чохлуьунда верилмиш Р=(Р,х,х) мцнасибяти щям рефлексив, щям

симметрик, щям дя транзитив мцнасибят оларса, онда щямин Р мцнасибятиняеквивалентлик мцнасибяти дейилир.

Еквивалентлик мцнасибятляриня мисал олараг «адамлар арасындагощумлуг» дцз хятт вя мцстявиляр арасында паралеллик щяндяси фигурлар арасында«охшарлыг» вя «бярабярлик», натурал ядядляр, кяср ядядляр, расионал вя иррасионалядядляр чохлугларында бярабярлик мцнасибятлярини эюстярмяк олар.

Мясялян, { }1;2;3;4A = чохлуьунда :" "R x yM бинар мцнасибяти «щяр бир

ядяд юзцня бюлцнцр» хассясиня маликдир. Щямин мцнасибятин

{ }(1,1);(2, 2);(3,3); (4, 4); (2,1);(3,1); (4,1); (4,2)G =

Иникас анлайышы. Иникас анлайышы уйьунлуг анлайышынын хцсуси щалыдыр.Уйьунлуг анлайышында демишдик ки,а) А- чохлуьунун истянилян елементинин образы бош олар; б) А чохлуьунунистянилян елементинин образы Б чохлуьунун йалныз бир елементиндян ибарят олар;ъ) А чохлуьунун образы бир нечя елементдян ибарят олар.

А вя Б чохлуьу арасындакы уйьунлугда А чохлуьунун истянилянелментинин образы, Б чохлуьунун йалныз вя йалныз бир елементиндян ибарятоларса, онда беля уйьунлуьа А чохлуьунун Б чохлуьу дахилиня иникасы дейилир.(шякил 1).

Мисал 1. Тутаг ки, Х- чохлуьу аудиторийадакы тялябяляр чохлуьудур, Й-ися аудиторийадакы стуллар чохлуьудур. «х тялябяси й стулунда отурур»уйьунлуьу, Х чохлуьунун Й чохлуьуна иникасыдыр. х тялябясинин образы, онунотурдуьу стул олур.

Иникасын графики еля ъцтлярдян тяшкил едилир ки, онлардан истянилян икисининбиринъи компоненти ейни олмур.

Мисал 2. Тутаг ки, Х=Й=Н –натурал ядядляр чохлуьудур. Бу чохлугда«х- ядядинин онлуг йазылышы й сайда рягяминдян ибарятдир» уйьунлуьу N N® -яиникасыны ифадя едир. Йяни 39 2; 45981 5® ® .

а

Уйьунлуг кими иникасда о заман верилмиш щесаб едилир ки, А чохлуьу вяистянилян x AÎ елементинин ф(х) образынын тапылмасы гайдасы верилмиш олсун.Иникас заманы А чохлуьунун елементляринин щамысынын образлары чохлуьуна, Ачохлуьунун образы дейилир вя ф(А) кими ишаря едилир.

А чохлуьунун елементляринин образлары чохлуьу Б чохлуьуну долдурур,йяни ф(А)=Б (шякил 2). Мянтиг символу васитясиля

, : ( )y B x A y f x" Î $ Î = (1)

(1) шяртини юдяйян иникаса А чохлуьунун Б чохлуьуна сцрйектив иникасы дейилир.Б чохлуьунун бязи елементляри А-нын бир нечя елементинин образы ола биляр. (Б-нин бязи елементляриня бирдян артыг ох йюняля биляр). Б-нин щяр бир елементининА-нын ян чоху бир елементи цчцн образ олмасы (Б-нин щяр бир елементиня янчоху бирохун йюнялмяси) щалы да мцмкцндцр. Буну мянтиг символлары иля

( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2, , :y B x x X y f x y f x x x" Î " Î = Ù = Þ = (2)

(2) шяртини юдяйян иникаса ( )A B® - инийектив вя чеврилян иникас дейилир.

Щям (1) щям дя (2) шяртини юдяйян иникаса, бийектив вя йа гаршылыглыбиргиймятли иникас дейилир.

Картеж анлайышы. Верилмиш Х чохлуьунун елементляриндян йалныз низамлыъцтляр дейил, щям дя низамлы цчлцк, дюрдлцк вя с. дцзялтмяк олар.

Мясялян, «телефон» сюзц низамланмыш щярфлярдян дцзялян йеддиликдир. Индирийазиййатын цмуми анлайышы олан низамлы цчлцк, дюрдлцк вя с. картеж анлайышыныверяк. Щансы ки, низамлы ъцтлцк (3), (4) бу анлайышын хцсуси щалыдыр. Тутаг ки,верилмиш 1 2, ,..., nX X X чохлугларында, 1X чохлуьундан 1a елементини, 2X -дян 2a -

ни, …, nX -дян ися na -и мцяййян гайда иля сечмишик. Сечилян елементляри сыра иля

дцзсяк ( )1 2, ,..., na a a -низамланмыш, н-ликляр алмыш олуруг.

Тяриф. Беля гайда иля низамланмыш н-ликляря картеж дейилир. Картеж – франсызсюзцдцр, автомобил картежи, той картежи вя с. Бурада н- ядядиня картежинузунлуьу, 1 2, ,..., na a a -ися картежин компонентляри адланыр. 1 2, ,..., nX X X

чохлугларынын ортаг елементи олар вя йа бир-бири иля цст-цстя дцшяр.Мясялян, «телефон» сюзцндя картеж { }, , ,...,X a b k y= чохлуг елементляринин

мцяййян эютцрцлмцш узунлуьу 7-йя бярабярдир. «телефон» сюзцндяки щярфляря х-ин бцтцн елементи йох бязи елементляри дахилдир. «Мяня телефонла зянэ етмишляр»тяклифиндяки картежин узунлуьу 4-я бярабярдир. Щяр сюз ися щярфлярдян ибарятдир.Картежин компонентляри картеждян низамлы ъцтлцкляр чохлуьундан ибарят олабиляр. { } { } { }( ), ; , ; ,a b c d e f . Рийазиййатда картеж рягямлярин бу вя йа диэяр гайда

иля дястясиндян ибарят ола биляр. Истянилян чохрягямли ядядин онлуг йазылышы

{ }0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 рягямляринин кюмяйи иля дцзялир. 11223 ядядинин (1,1,2,2,3,1)

картежини ифадя едир.Картежин елементляри сюзлярдян, щярфлярдян вя с. ибарят ола биляр.

Тяриф. Ики ( ) ( )1 2 1 2, ,..., , , ,...,n ma a a b b b картежляри онда вя йалныз онда бярабяр

адланыр ки, ейни узунлуьа йяни, н=м вя ейни компонентляря малик олсун, йяни

1 1 2 2, ,..., n ma b a b a b= = = олсун.

Картеж анлайышындан истяфадя едяряк, ики, цч, дюрд вя н сайда чохлугларындекарт анлайышына тяриф веря билярик.

Тутаг ки, н- сайда 1 2, ,..., nA A A (ортаг елементя дя малик ола биляр)

чохлуглары верилмишдир.Бу чохлуг елементляриндян узунлуьу н-я бярабяр олан биринъи

компоненти А1, икинъи компоненти А2-дян, н-ъи ися Ан-дян ибарят олан картежя,

1 2, ,..., nA A A чохлугларынын декарт щасили дейилир вя 1 2 ... nA A A´ ´ ´ кими эюстярилир.

Мясялян,{ }

{ } { } { }1 2

1 2 3

... (1,3,5); (1,3,6); (1,3,7); (1, 4,5); (1, 4,6);(1, 4,7); (2,3,5); (2,3,6); (2,3,7); (2, 4, 6); (2, 4,7)

1,2 , 3,4 , 5,6,7nA A A

A A A

´ ´ ´ =

= = =

1

Predikat və kvantorlarPlan.

1. Predikat və onun növləri2. Kvantor və onun tətbiqi

Mülahizədə mühakimə obyekti, subyekt verilir və onun xarakteri,xassəsihaqqında müəyyən fikir söylənilir. Məsələn, “qənd ağdır” mülahizəsində qəndsubyektdir, ağlıq onun xassəsidir; “Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 1800-dir”mülahizəsində “üçbucaq” subyektdir, “daxili bucaqlarının cəmi 1800” olması isəonun xassəsidir. “112=121” mülahizəsində “112” subyektdir, “121-ə bərabər”olması isə onun xassəsidir.

Predikatlar hesabında mülahizədə verilən subyektin xassəsi öyrənilir.Predikatlar bir yerli, iki yerli, üç yerli və s. olur. Bir yerli predikatlar )(xP ,

)(xQ , )(xA ... və s. kimi işarə edilir. Bir yerli predikat əşyanın xassəsini müəyyənedir. )(xP yazılışı göstərir ki, x - P xassəsinə malikdir. Hər bir predikat elementlərmeydanı adlanan müəyyən çoxluqda təyin olunur. Bir yerli predikat təyin olunduğuçoxluğun elementlərinin müəyyən xassəsini ifadə edir.

Beləliklə, )(xP məntiqi funksiyadır. Bu funksiyanın təyin olunma oblastıelementlər meydanı, qiymətlər çıxluğu isə “doğru” və “yalan” kimi iki elementdənibarətdir { }0,1 . ),( yxQ iki yerli predikatı göstərir ki, x və y Q-münasibəti iləəlaqələnmişdir. Iki yerli predikat, x və y konkret subyektdirsə, onda müəyyənmülahizəni göstərir.

Predikat üç yerli belə şəkildə də verilə bilər. “ x adlı riyaziyyatçı, y ilində,z ilində isə müdafiə etmişdir”. Bu predikatı ),,( zyxA kimi göstərmək olar. Tutaq ki,iki yerli ),( yxP predikatı “ x y -in atasıdır” kimidirsə, { }atalarM = , { }övladlarN =

),( yxP predikatı )(),( NMyx ´Î cütlər çoxluğunda təyin olunur. NM ´ hasili bütün),( yx cütlər çoxluğundan ibarətdir ki, ,MxÎ Ny Î , NM ´ -ə (çoxluğuna) M və N

çoxluğunun dekart hasilidir.Məsələn, 1) ),( yxP : “ yx p2 ” kimidir. Predikat NM ´ müstəvisində

verilmişdir. x və y -ın doğru olduğu E -çoxluğu isə 2xy = parabolasının bütündaxili nöqtələridir.

2) ),( yxP : “ yx p ” - YM ´ müstəvisində təyin edilmiş predikatın doğruolduğu E çoxluğu isə xy = düz xəttindən yuxarıda yerləşən yarım müstəvidir.

Predikatlar hesabında, ümumiyyətlə məntiqdə kvantorlardan (latınca neçədeməkdir) geniş istifadə edilir. x$ )(xP yazılışı “elə x vardır ki, P –xassəsinəmalikdir” , yaxud “ P - xassəsinə malik olan x - vardır”.

$ - varlıq kvantorudur. Verilmiş meydanda P - xassəsinə malik x olduqdax$ )(xP ifadəsi həmin meydanda doğru hesab edilir. Məsələn, x$ x-3 ifadəsi N

2

çoxluğunda doğru hesab edilir. ( )2,1 . x" )(xP - yazılışı- “bütün x -lər P - xassəsinəmalikdir”.

" - ümumilik kvantoru adlanır. (" - alman dilində bütün mənasını daşıyanalle sözünün baş hərfi olan A-nın çevrilmiş formasıdır)

Kvantor əməliyyatının aşağıdakı sadə xassələri vardır.1. x$ )(xP Ú ),)(( HxPxH Ù$« H x -dən asılı deyildir.2. x$ )(xP Ú ))(( HxPxH Ú$«

3. x" )(( xP Ù ))(() HxPxH Ù"«

4. x" )(( xP Ú ))(() HxPxH Ú"«

5. )()( xxPxxP "«$

6. )()( xxPxxP $«"

Predikatlar hesabının köməyilə riyaziyyatın bəzi təklif və anlayışlarını dahada dəqiqləşir.

Əks təklifin qurulması.a) Parçada qeyri-məhdud funksiyanın tərifinə baxaq;əgər elə M ədədi olarsa ki, bütün [ ]bax ,Î üçün Mxf £)( olarsa, onda)(xfy = funksiyasına [ ]ba, -da məhdud funksiya deyilir.

Məhdud funksiyanın tərifini simvolik şəkildə yazaq: M$ x" ))(( Mxf £ olur.Qeyri-məhdud funksiyanın tərifi inkarın köməyilə alınır, 5-ci xassənin köməyilə,

«£"«£"$ ))(())(( MxfMxMxfxM 6-cı xassənin tətbiqi ilə

))(( MxfxM £$"« inkara əsasən M« x$ ))(( Mxf f . Beləliklə, qeyri-məhdudfunksiyanın tərifini aldıq. Əgər M" üçün elə x olsa ki, Mxf f)( olsun. Onda )(xf

qeyri-məhdud funksiya adlanır.

Predikatlar hesabında, ümumiyyətlə məntiqdə kvantorlardan (latınca neçədeməkdir) geniş istifadə edilir. x$ )(xP yazılışı “elə x vardır ki, P –xassəsinəmalikdir” , yaxud “ P - xassəsinə malik olan x - vardır”.

$ - varlıq kvantorudur. Verilmiş meydanda P - xassəsinə malik x olduqdax$ )(xP ifadəsi həmin meydanda doğru hesab edilir. Məsələn, x$ x-3 ifadəsi N

çoxluğunda doğru hesab edilir. ( )2,1 . x" )(xP - yazılışı- “bütün x -lər P - xassəsinəmalikdir”.

" - ümumilik kvantoru adlanır. (" - alman dilində bütün mənasını daşıyanalle sözünün baş hərfi olan A-nın çevrilmiş formasıdır)

Kvantor əməliyyatının aşağıdakı sadə xassələri vardır.

1. x$ )(xP Ú ),)(( HxPxH Ù$« H x -dən asılı deyildir.2. x$ )(xP Ú ))(( HxPxH Ú$«

3. x" )(( xP Ù ))(() HxPxH Ù"«

4. x" )(( xP Ú ))(() HxPxH Ú"«

5. )()( xxPxxP "«$

6. )()( xxPxxP $«"

Predikatlar hesabının köməyilə riyaziyyatın bəzi təklif və anlayışlarını dahada dəqiqləşir.

Əks təklifin qurulması.

a) Parçada qeyri-məhdud funksiyanın tərifinə baxaq;

əgər elə M ədədi olarsa ki, bütün [ ]bax ,Î üçün Mxf £)( olarsa, onda)(xfy = funksiyasına [ ]ba, -da məhdud funksiya deyilir.

Məhdud funksiyanın tərifini simvolik şəkildə yazaq: M$ x" ))(( Mxf £ olur.Qeyri-məhdud funksiyanın tərifi inkarın köməyilə alınır, 5-ci xassənin köməyilə,

«£"«£"$ ))(())(( MxfMxMxfxM 6-cı xassənin tətbiqi ilə

))(( MxfxM £$"« inkara əsasən M« x$ ))(( Mxf f . Beləliklə, qeyri-məhdudfunksiyanın tərifini aldıq. Əgər M" üçün elə x olsa ki, Mxf f)( olsun. Onda )(xf

qeyri-məhdud funksiya adlanır.

1

Predikatlar üzərində məntiq əməllərinin

həndəsi interpretasiyası. MRK-da tətbiqləri.

1. Məlumdur ki, )(xP bir yerli predikatının doğruluq çoxluğu, )(xP

inkari predikatının doğruluq çoxluğu isə onda )(xP -i, U -çoxluğuna tamamlayançoxluq, şəkildə ştrixlənmiş hissə olacaq.

Məsələn, “ 2fx ” predikatı üçün təyin olunmaoblastı R -həqiqi ədədlər çoxluğudur. Inkari

predikat isə “ 2£x ”65

12 +-

=xx

y funksiyanın

təyin olunma oblastını tapın. Şəkil 1Həlli. 0652 ¹+- xx ; 0652 =+- xx , 3,2 == xx . Inkari predikat isə 3,2 ¹¹ xx

olacaq.2. Predikatlar üzərində qalan məntiq əməllərinin həndəsi

interpretasiyasını vermək üçün, bir yerli)(xP -in doğruluq çoxluğu M, Q(x) – inki isə

N-dirsə, onda )()( xQxP Ú -in doğruluqçoxluğu NM È -dir.

Misal, 01582 f+- xx həll edin.Həlli: 01582 =+- xx ; 3,5 == xx Şəkil 2

tapılan həllərin dizyunksiyası )5()3( fp xx Ú

Beləliklə, verilmiş predikatlarındizyunksiyası uyğun predikatlarının Şəkil 3birləşməsi olur. { } { }353 pfp xRxAxxRxM Î==ÚÎ= və { }5fxRxB Î=

çoxluğunun birləşməsi olacaq. BAM È=

P(x) və Q(x) predikatlarının ciddi dizyunksiyası,uyğun çoxluqların doğruluq çoxluğununsimmetrik fərqinə deyilir.

)(\)( NMNMNM ÇÈ=D Şəkil 4 Şəkil 43. )()( xQxP Ù -doğruluq çoxluğu M və N-nin

kəsişməsidir. Şəkil 5

Misal, 01582 p+- xx 5,3 pf xx Şəkil 5Bu misalda { } { } { }5353 pfpp xRxxRxBAxRxM ÎÇÎ=Ç=Î= Şəkil 6

2

4. Implikasiya )()( xQxP Þ doğruluq çoxluğu)\(\ NMU . Əgər NM Ì Şəkil 8

Misal. x-3=0 Þ 2x=8M={ }3 , { }4=N

{ } { } { }343\ =-=NM

{ }3)\(\ ¹Î= xRxNMU verilmiş implikasiyanın Şəkil 7doğruluq çoxluğu olur.Misal, ( )[ ]91)31( 2 =-Þ=- xx

{ } { } NMNM Ì-== ,4,2,4 .5. [ ] [ ] [ ])()()()()()( xPxQxQxPxQxP ÞÙÞÛÛ

Şəkil 8

Riyazi məntiq simvollarının MRK-da tətbiqi

MRK-da riyazi məntiq simvolu ⊺, ÛÞÚÙ ,,,

Misal: a) 55)5()5(5 pppfp хххх -ÞÙ-Þ

b) )5()5(5 fpf ххх Ú-Þ

Kvantorların MRK-da tətbiqi.

1) )3(:, =+Î$Î" yxRyRx

2) )3(:, =+Î"Î$ yxRyRx

xyyxRyRx +=+Î"Î" :,

[ ] )()()(:; cacbbaRcRbRa fff ÞÙÎÙÎÎ

Tərif: Eyni təyin olunma oblastına və eyni doğruluq çoxluğuna malik olanpredikatlara ekvivalent predikat deyilir.

Misal. 115log

21 p

--

=xxy qiymətlər çoxluğunu tapın.

Həlli: )51(;0)1)(5(015

fpff xxxxxx

Ú--Þ--

1

Predikatlar, onlar üzərində əməllərPlan.

1. Predikat, növü, doğruluq qiymətləri çoxluğu2. Predikatlar üzərində məntiq əməlləri3. Əməllərin Eyler-Venn diaqramı vasitəsilə göstərilməsiMülahizə kimi mürəkkəb predikatlar da “və”, “və ya”, “onda”, “onda və

yalnız onda”, “deyil” və s. kimi məntiq əlaqələri vasitəsilə birləşməsindən alınır.Mürəkkəb predikat, R-həqiqi ədədləri çoxluğunda “x ədədi cüt və 3-ə bölünənədəddir” və “x=2” və ya “ 2-px ” kimi göstərilir.

Predikatlar üzərində məntiq əməllərini yerinə yetirmək üçün predikatlarındoğruluq qiymətləri cədvəlindən istifadə etmək lazımdır.

Predikatlar, bir yerli, iki yerli və s. olur. Iki yerli Q(x,y) predikatı göstərir ki, xvə y – Q münasibətilə əlaqələnmişdir. Tutaq ki, Q(x,y) yazılışı “x-ədədi y-əbölünür” kimidir. Onda (12,4) – doğru (7,3) – yalan qiyməti alır. Q(x,y) : “ yx p ”predikatı kimidirsə, onda (5,8) – doğru qiyməti, (9,4) – yalan qiyməti alır.Q(x,y)predikatları “x, y-in atasıdır” kimi ifadə edilmişdirsə, onda Q(x,y) və Q(y,x)predikatları müxtəlif olurlar. Q(x,y) – yazılışında “x və y rəfiqədir” kimidirsə, ondaQ(x,y) və Q(y,x) predikatları eyni olur.

Iki yerli predikat x və y konkret subyektlərdirsə, onda müəyyən mülahizənigöstərir. Məsələn, Q(x,y) “x ədədi y-dən kiçikdir” kimi verildikdə, müəyyənmülahizə olmur. Bu halda Q(2,4) yazılışı “ 42 p ” doğru mülahizədir. Iki yerlipredikat iki dəyişənin funksiyasıdır. X çoxluğunda A(x) : “x ədədi 5 rəqəmi iləqurtarır”. { }30,25,20,15,10=X { }30,20,10)( =xA göründüyü kimi inkarı “x ədədi 5 iləqurtarmır”. { }25,15),( =TxA . Deməli, )(xA - in doğruluq çoxluğu T – ni X - ətamamlayan { }30,20,10=¢T çoxluğu olacaq. Şəkil1

Indi isə )()( xBxA Ù doğruluq çoxluğunu tapaq.Misal. { }35,20,16,15,10=X çoxluğundaA(x) : “x cüt ədəddir”, B(x) : “ x ədədi 5-in bölünənidir”.Onda bu predikatların konyuksiyası Şəkil 1

)()( xBxA Ù : “ x ədədi cüt və 5-in bölünənidir”.A(x) – T1={ }20,16,10 , B(x) – T2={ }35,20,15,10 konyuksiyasıonda və yalnız onda doğru mülahizəyə çevrilir ki,x=10, x=20 olsun. Bu çoxluq isə A(x) və B(x) doğruluqçoxluğunun kəsişməsi olacaq. Şəkil 2 Şəkil 2

XxxBxA Î-Ú )()( -də dizyunksiyasının doğruluq çoxluğu XxÎ - çoxluğundaverilən A(x) və B(x) predikatlarından heç olmasa biri doğru olduqda doğrudur.Beləliklə, A(x) – T1, B(x) – T2 –də )()( xBxA Ú T1 və T2 – nin birləşməsi olacaq.Şəkil3.

2

Məsələn, X çoxluğu hər hansı bir universitetin tələbələrindən ibarətdir.{=X tələbələr } A(x) – “x adlı tələbə idmançıdır” , B(x) – “x tələbə birinci

kursdur”. Onda )()( xBxA Ú : “x adlı tələbə idmançı və ya birinci kurs tələbəsidir”A(x) və B(x) çoxluqlarının elementləri üçün xarakterik xassə verilmiş universitetintələbələri üçün “idmançı olmaq və ya 1-ci kurs olmaq”dır.

Predikatların implikasiyasıTutaq ki, X çoxluğunda P(x) və B(x) elementar

predikatları verilmişdir. Bu predikatlardan düzəlmişyeni mürəkkəb )()( xBxP Þ - buna predikatların Şəkil 3implikasiyası deyilir və belə oxunur: “Əgər P(x) varsa, onda B(x) də var”.

P(x) : “natural x ədədi 3-ə bölünür” ; B(x) : “natural x ədədi 4-ə bölünür”.)()( xBxP Þ : “ Əgər natural x ədədi 3-ə bölünürsə, onda 4-ə bölünər”

Bu predikat x-in bəzi natural qiymətlərində doğru, bəzi qiymətlərində isəyalandır. Belə ki, P(x)- “24 ədədi 3-ə bölünür, x=24” , B(x)- “24 ədədi 4-ə bölünür”

)()( xBxP Þ : “Əgər 24 ədədi 3-ə bölünürsə, onda bu ədəd 4-ə bölünür”. Deməli,P(24) , B(24) mülahizələri və onların implikasiyası doğrudur.

)("317:")( yalanxP M

)("417:")( yalanxB M ; )17()17( BP Þ - “Əgər 17 ədədi 3-ə bölünürsə, onda bu ədəd4-ə bölünür” (doğru). Şərt və nəticə yalandır, lakin implikasiya doğrudur. Uyğunqayda ilə

"318:")( MxP (doğru)"418:")( MxB (yalan) ; )()( xBxP Þ “Əgər 18 ədədi 3-ə bölünürsə, onda bu ədəd

4-ə bölünür” (yalan)Aydın olur ki, )()( xBxP Þ predikatı yalnız və yalnız x-in P(x)-i doğru, B(x) isə

yalan mülahizəyə çevirdiyi qiymətlərində yalandır.)()( xBxP Þ doğruluq çoxluğu oblastı, B(x) – in doğruluq oblastı ilə P(x) – in

doğruluq oblastı tamamlayıcılarının birləşməsi olur. Şəkil 4Bu aldığımız nəticənin doğruluğunu göstərmək üçün,

predikatların inplikasiyasının doğruluq qiymətləri cədvəlivə De-Morqan qanunundan istifadə etmək lazımdır. Şəkil 4

Predikatların ekvivalensiyasıX çoxluğunda verilmiş A(x) və B(x) predikatlarının doğruluq oblastı T1 və T2

üst-üstə düşərsə, (T1 =T2), başqa sözlə A(x) və B(x) predikatları X çoxluğundaekvivalentdirsə, XxÎ olan bütün qiymətlərdə )()( xBxA Û predikatı da doğrudur.A(x) : “ x natural ədədi 10-a bölünür” (doğru)B(x) : “ natural ədədin onluq yazılışında axırıncı rəqəm sıfırdır” (doğru)

3

Bu predikatların ekvivalensiyası belə olar: )()( xBxA Û : “ x natural ədədi 10-a bölünürsə, onda həmin ədədin aırıncı rəqəmi sıfırdır”.

Verilmiş X çoxluğunda ekvivalent olan A(x) və B(x) predikatlarında, hər biridigəri üçün zəruri və kafi şərtdir. Doğrudan da, x=210 ədədi 10-a bölünürsə,axırıncı rəqəmi sıfırdır və ya axırıncı rəqəmi sıfırdırsa, onda bu ədəd 10-a bölünür.

Deməli, natural ədədin 10-a bölünməsi üçün onun onluq yazılışının axırıncırəqəminin sıfır olması zəruri və kafi şərtdir.

Beləliklə, A(x) və B(x) predikatlarının hər ikisi doğru və ya hər ikisi yalanolduqda doğru olan )()( xBxA Û predikatına A(x) və B(x) predikatlarınınekvivalensiyası deyilir.

1

Riyazi məntiqin predmenti. Mülahizə, növləri və onlar üzərində əməllərPlan.

1. Riyazi məntiqin predmenti.2. Formal və riyazi məntiq.3. Mülahizə və onların növləri.4. Mülahizə üzərində məntiq əməlləri.Bəşər cəmiyyəti tədricən inkişaf etdikcə həyat tələbatı və zərurəti nəticəsində

yaranan biliklər inkişaf edir və mücərrəd xarakter almışdır. Bu inkişaf yolu canlımüşahidədən başlayıb mücərrəd təfəkkürə və ordan da həyata, praktikaya tətbiqolunaraq, insanların əlində qüdrətli bir vasitəyə çevrilmişdir.

Riyazi məntiqin bir elm kimi inkişaf etməsi bəşər cəmiyyətinin yüksəkdərəcədə inkişafı ilə bağlıdır.

Riyazi məntiqin bir elm kimi strukturunu qurmaq üçün əsas anlayışlardanaksiom, teorem və münasibətlərdən istifadə olunur.

Məlumdur ki, mühakimə prosesində uyğun biliklərimizi məntiqi şəkildə bir-birinə bağlamağı (əlaqələndirməyi) bacarmaq lazımdır. Riyazi biliklər sisteminəəsasən müxtəlif riyazi cümlələri qurmaq, əlaqələndirmək və mühakimə prosesindəmüəyyən nəticə çıxarmaq, istərsə hər hansı elmdə, istərsə də gündəlik həyatdaxüsusi əhəmiyyət kəsb edir. Adi dil başqa sözlə desək, fikrin sözlərlə ifadəedilməsi bu və ya digər mühakiməni və xüsusilə mühakimənin məntiqi quruluşunuaşkar etmək imkanına malik olmamışdır. Ona görə də dilin təkmilləşməsi,zənginləşdirilməsi və onun mühakimə prosesində tam mənası ilə istifadə ediləcəkşəklə gətirilməsi zərurəti meydana çıxmışdır. Beləliklə də XIX əsrdə elmin xüsusisahəsi “Riyazi məntiq” meydana gəlmiş və bu nəinki riyazi isbatlar nəzəriyyəsiprobleminin əsasını qoymuş, hətta riyaziyyatın bütövlükdə inkişafv eyməsinəböyük təsir göstərmişdir.

Ümumiyyətlə, qədim zamanlardan başlayaraq indiyə qədər inkişaf etmişməntiq elmini əsasən iki mərhələyə bölmək olar:

Ənənəvi məntiq üzərində qurulmuş formal məntiq və formal məntiq üzərindəqurulan Riyazi məntiq.

Formal məntiq insan mühakimələrinin konkret nəzərə almadan onlarınformasını, quruluşunu öyrənir. Formal məntiq konkret məzmunu nəzərə almadanəqli nəticə və isbat qaydalarında mühakimə anlayışlar arasındakı əlaqənin məntiqinəticə çıxarılmasının qanunlarını öyrənir.

Riyazi metodların və riyazi dilin formal məntiqdə tətbiqi məntiq elminininkişafını daha da sürətləndirmiş və “riyazi məntiq” meydana gəlmişdir.

Riyazi məntiq riyazi isbatları, onların səmərəli üsullarını və habelə formalqurulmuş riyazi nəzəriyyələrin əsaslandırılması məsələlərini öyrənir.

Riyazi məntiqi öyrənmək riyaziyyatda istifadə olunan məntiqi əlaqələriöyrənmək deməkdir. Odur ki, məntiq elmi müxtəlif metodlara əsaslanaraq riyazinəzəriyyələrin qurulmasında mühüm bir vasitə kimi böyük əhəmiyyətə malikdir.

Riyazi məntiqin əsas tədqiqat obyekti müxtəlif hesablardır: natural ədədlərhesabı, mülahizələr hesabı, predikatlar hesabı və s.

2

Məntiqi nətcə çıxarmaq nəzəriyyəsini ilk dəfə Aristotelə məxsusdur (e.ə. 384-322). Riyazi məntiqin əsasını qoyan ingilis riyaziyyatçısı Ç.Bul olmuşdur (1815-1864). A.De Morqan (1806-1871) cəbri şəklə saldı. Riyazi məntiqin inkişafında rusvə Sovet alimlərindən Poretskinin (1846-1907), XX əsrdə riyazi məntiq üzrəB.Rasselin (1872-1970) , D.Jülbertin (1862-1943), habelə Sovet riyaziyyatçılarıİ.İ.Yekalkinin (1869-1947), P.S.Novikovun (1901), A.N.Kolmoqorovun (1903),A.A. Markovun (1903) xüsusi xidmətləri olmuşdur.

Riyazi məntiqin mühüm anlayışlarından biri mülahizədir. Məntiq əməlləri vəonun xassələrindən istifadə edərək, məntiq cəbri quracağıq. (MC)

Tərif: Doğru və yalan olması haqqında danışmaq mümkün olan nəqli cümləyəvə yaxud təklifə mülahizə deyilir.

1) "1713" p 2) “21 ədədi sadə ədəddir” 3) “25 ədədi 4-ə bölünür” mülahizədir.1)doğru, 2) və 3) doğru deyil. Bu mülahizələr elementar (sadə) mülahizələrdir.Mülahizələr latın əlifbasının böyük hərfləri ilə işarə edilir. A, B, C, ...

Tərif: Elementar mülahizələrin “və”, “və ya” , “onda” , “onda və yalnız onda”məntiq bağlayıcıları vasitəsilə birləşməsindən alınan mülahizəyə, mürəkkəbmülahizə deyilir. Əgər verilmiş mülaziələrə ayrılmırsa, sadə mülahizədir.

Məsələn, { }76 pºA və ºB { 6 ədədi sadə ədəddir } A və B sadəmülahizələrinin “və” bağlayıcısı vasitəsilə birləşməsindən yeni mürəkkəb mülahizəalınır: “6 ədəsi 7-dən kiçik və sadə ədəddir” mülahizəsi mürəkkəb mülahizədir.Məntiq bağlayıcısı “və ya” istifadə etməklə, aşağıdakı mürəkkəb mülahizələrialmaq olar:

{ºC 76 p və ya 6 sadə ədəddir }{ºD 76 p onda və yalnız onda ki, 6 sadə ədəddir }{ºE 76 p onda 6 ədədi sadə ədəddir }

Bəzən verilmiş təklifin doğru və yalan olmasını tez təyin etmək mümkünolmur. Məsələn, “9-cu sinif cəbr dərsliyində neçə çalışma vardır?”təklifinin doğruvə yalan olmasını “müəyyən etmək üçün ordakı çalışmaları saymaq lazımdır. Qeydetmək lazımdır ki, nida və sual cümlələri mülahizə deyil. Eyni zamanda dəyişəndaxil olan təkliflər də mülahizə deyildir.

Məsələn, "71","2" =+xx f mülahizə deyilir.Bu təkiflərə dəyişən daxil olduğu üçün doğru və yalan olduğunu təyin etmək

mümkün olmur.Mülahizələr həm ayrı-ayrı obyektlərə, həm də müəyyən obyektlər sinfinə və

onların xassələrinə aid olur. Məsələn, “290 ədədi 3-ə bölünür”, “ABCDdüzbucaqlısı paraleloqramdır” mülahizəsi konkret obyektlərə aiddir. “Cüt ədədlər2-yə bölünür”, “Dördbucaqlı həndəsi fiqurdur” mülahizəsi isə obyektlər sinfinəaiddir.

Ədəbiyyatlarda mülahizə "523:","15:" =+¹ BA və s kimi də işarə edilir.Riyazi məntiqdə mülahizələrin məzmunu maraqlı deyil, yalnız onun doğru və

yalan olması maraqlıdır.Tərif: Ümumiyyətlə mülahizə eynu zamanda doğru və yalan olarsa, belə

mülahizələrə eynigüclü və ya ekvivalent mülahizə deyilir.

3

Mülahizəyə doğru və yalan qiyməti olan kəmiyyət kimi də baxılır. Hər bircümlə mülahizə deyil.

Məsələn, {ºA 12 cüt ədəddir } və {ºB 12 ədədi 2-yə bölünür }mülahizələri ekvivalentdir.

MÜLAHİZƏLƏR ÜZƏRİNDƏ MƏNTİQ ƏMƏLLƏR1.Hər hansı mülahizənin yalan olduğunu təsdiq etsək, yeni bir mülahizə alarıq

ki, o verilmiş mülahizənin inkari mülahizəsi olur. Məsələn, “625 ədədi üçrəqəmliədəddir” mülahizəsinin inkari belə olar: “625 ədədi üçrəqəmli ədəd deyildir”

Verilmiş mülahizəni A ilə işarə etsək, onun inkari mülahizəsi A , ⊺A kimiişarə olunur və belə oxunur: “A deyildir”.İnkari mülahizənin doğruluq qiymətləricədvəli belədir. Şəkil1.

Deməli verilmiş mülahizənin inkarını almaqüçün “deyildir”, “ola bilməz ki” və ifadələriniəlavə etmək lazımdır. tutaq ki, A-verilmiş mülahizədir:“17 sadə ədəddir”, {ºA 17 sadə ədəd deyil },

A º { ola bilməz ki, 17 sadə ədəd olmasın } Şəkil1.Burada AA = ekvivalentdir.

2.Konyuksiya məntiqi hasilTərif: İki mülahizənin “və” bağlayıcısı vasitəsilə birləşməsindən alınan

mülahizəyə verilmiş mülahizələrin konyuksiyası deyilir və BA Ù kimi işarə edilir.Tərif: A və B mülahizələrinin “və” bağlayıcısı vasitəsilə birləşməsindən

alınan mülahizəyə verilmiş mülahizələrin məntiqi hasili deyilir və BA × kimi işarəedilir.

Tərif: BA × hasili konyuksiyası onda və yalnız onda doğru olur ki, hər ikivuruq (mülahizə) doğru olsun.

Qalan bütün hallarda konyuksiya yalandır.. Tutaq ki, 83: pA və 118: pBelementar mülahizələrdir. BA Ù , BA ×

Hasili konyuksiyası 1183 pp ciddi ikiqat bərabərsizlikdir.Bu isə doğru bərabərsizlikdir.

Şəkil 23.Dizyunksiya (məntiqi cəm)

Tərif: İki mülahizənin “və ya” bağlayıcısı vasitəsilə birləşməsindən alınanmülahizəyə verilmiş mülahizələrin dizyunksiyası (məntiqi cəmi) deyilir və BAÚvə ( )BA + kimi işarə edilir. Belə oxunur: “A və ya B”

Tərif: BAÚ mülahizəsinin dizyunksiyası yalan olur ki, onu əmələ gətirənelementar mülahizələrin hər ikisi yalan olsun.Qalan bütün hallarda dizyunksiyadoğru olur.

A A A D Y D Y D Y

A B BA Ù BA ×

D D D DY Y Y YD Y Y YY D Y Y

4

BABA +Ú , dizyunksiyasının doğruluq qiymətləri cədvəli şəkil 3-dəki kimidir.{ }710 fºA və { }710 =ºB elementar mülahizələrinin

dizyunksiyası { }710 ³º=Ú DBA bu isə ciddi olmayanədədi bərabərsizlikdir. Çünki onu əmələ gətirənmülahizələrdən biri 710 f doğru bərabərsizlikdir.

Mülahizələrin konyuksiyası və dizyunksiyasıyerdəyişmə və qruplaşdırma xassəsinə malikdir:

1) ABBA Ú=Ú ; ABBA +=+2) CBACBA ÚÚ=ÚÚ )()( ; CBACBA ++=++ )()( şəkil33) CBACBA ÙÙ=ÙÙ )()( ; CBACBA ××=×× )()(

Verilmiş mülahizə ilə onun inkari mülahizəsinin dizyunksiyası həmişə doğruolur. Çünki onu əmələ gətirən mülahizələrin biri doğru olduqda o biri yalan olur.

Misal: { }32 =ºA və { }32 pºB {ºÚ=+ BABA 2=3 və ya 32 p }mülahizələri doğrudur. Ona görə ki, toplananlardan biri doğru mülahizədir.

32 £=Ú=+ BABA ciddi olmayan bərabərsizlik kimi də yazmaq olar.{ºÙ=× BABA 2=3 və 32 p } iki mülahizənin məntiqi doğru olması üçün hər

iki mülahizə A və B doğru olmalıdır.

4.İmplikasiya (məntiqi gözləmə)Tərif: İki mülahizənin “əgər”, “onda” və s. bağlayıcısı vasitəsilə

birləşməsindən alınan mürəkkəb mülahizəyə mülahizələrin implikasiyası deyilir vəBA Þ kimi işarə edilir. Oxunur: “Əgər A varsa, onda B də var”. İmplikasiya sıx

əlaqələndirmə mənasını daşıyır.BA Þ A şərt, B isə nəticədir.BA Þ yalnız o zaman yalan olur ki, onun şərti doğru,

nəticəsi yalan olsun. Qalan bütün hallarda implikasiya doğruolur.Şəkil 4

{ºÞ BA 2=3 onda }32 p implikasiyası doğru mülahizədir.{ }522 =׺A , { }1262 =ºB mülahizələrinin implikasiyasında

həm şərt, həm də nəticə yalandır. Ona görə implikasiyadoğrudur. Şəkil 4

BA Þ -də şərt və nəticənin yerini dəyişsək, yeni AB Þ - buna verilmişimplikasiyanın tərs implikasiyası deyilir. BA Þ -də şərt və nəticəni onu inkarimülahizəsi ilə əvəz etsək, yeni BAÞ implikasiyasına BA Þ implikasiyasının əksimplikasiyası deyilir.

“Əgər 138 ədədinin rəqəmləri cəmi 3-ün bölünənidirsə, onda 138 ədədi 3-ünbölünəni olur”. Mülahizənin tərs implikasiyası “Əgər 138 ədədi 3-ün bölünənidirsə,onda 138 ədədinin rəqəmləri cəmi 3-ün bölünəni olar”. Deməli, verilmişimplikasiyasiya və onun tərsi doğrudur. Bu, həmişə doğru deyil.

Məsələn: “Əgər 5 2f -dirsə, onda 5 ədədi cüt ədəddir” implikasiyası yalandır,lakin onun tərsi “Əgər 5 ədədi cütdürsə, onda 5 2f ” mülahizəsi doğru mülahizədir.(ona görə ki şərt yalandır)

A B BAÚ BA +

D D D DY Y Y YD Y D DY D D D

A B BA Þ

D Y YY Y DY D DD D D

5

Deməli, başqa implikasiya BA Þ -dan A və B-ni onların inkarı ilə əvəzetməklə, alınır. Implikasiyanın doğruluq qiymətləri cədvəlinin köməyilə

)()( ABBA ÞÞÞ , yəni BA Þ və AB Þ eynigüclü olduğunu asanlıqla görməkolur. Bu bərabərlik kontrapozisiya qanunu adlanır.

Məsələn, “140 ədədinin onluq yazılışı “0”la qurtarırsa, onda bu ədəd 5-əbölünər” implikasiyası “Əgər 140 ədədi 5-ə bölünmürsə, onda onun onluqyazılışındakı axırıncı rəqəm 0-dan fərqlidir”. Bu implikasiyalar eynigüclüdür. Həriki implikasiya doğrudur.

Qeyd edək ki, AB Þ və BAÞ implikasiyaları da eynigüclüdür. YəniBAAB Þ=Þ .

5.Mülahizələrin ekvivalensiyası (məntiqi eynigüclülük)Tərif: İki mülahizənin “onda və yalnız onda” məntiq bağlayıcısı vasitəsilə

birləşməsindən alınan mürəkkəb mülahizəyə mülahizələrin ekvivalensiyası deyilirvə BA Û kimi göstərilir.

BA Û o zaman doğru olur ki, A və B mülahizələrinin hər ikisi eyni zamandaya doğru, ya da yalan olsun. Qalan hallarda ekvivalensiya yalan olur.

{ }32 =ºÛ BA { }32 =ºA , { }32 pºB ekvivalensiya yalandır. Çünki A yalan,B doğru mülahizədir.

Mülahizələrin doğruluq qiymətləri cədvəli şəkil 5-dəki kimidir. Doğruluqcədvəlindən görünür ki, BA Þ və AB Þ implikasiyasının doğruluq qiymətləri üst-üstə düşməsi görünür. Belə mülahizəyə eynigüclü mülahizədeyilir və )()( ABBA ÞÛÞ . Yalan mülahizələrin eyniliyi,onu əmələ gətirən mülahizələrin doğru və ya yalanolmasından asılı olmayaraq həmişə yalandır.( ) )()( ABBABA ÞÙÞÛÛ olduğunu asanlıqla göstərməkolar.

Şəkil5Doğru mülahizələrin eyniliyi də onun əmələ gətirən mülahizənin doğru və ya

yalan olmasından asılı olmayaraq, həmişə doğrudur.M.C. 1) pqqp Ù=Ù

2) pqqp Ú=Ú

3) ppp =Ù 4) ppp =Ú 5) rqprqp ÙÙ=ÙÙ )()( 6) rqprqp ÚÚ=ÚÚ )()( 7) )()()( rpqprqp ÚÙÚ=ÙÚ 8) )()()( rpqprqp ÙÚÙ=ÚÙ

9) pp =

10) 0=Ù pp (əksilik qanunu)

A B BA Û

D D DY Y DD Y YY D Y

Фянн: Мяктяб рийазиййаткурсунун елми ясаслары

Мцяллим: дос.М.И.РящимоваСонсуз кичилян вя сонсуз бюйцйян ардыъыллыглар.

1. Сонсуз кичилян ардыъыллыглар. Яэяр 0lim =¥® nna оларса, онда { }na

ардыъыллыьына сонсуз кичилян ардыъыллыг дейилир. Башга сюзля истянилян 0>e ядядиняэюря еля eN нюмряси тапмаг олар ки, бцтцн eNn ³ цчцн eaa <=- nn 0 олур.

Тутаг ки, а ядяди { }nx ардыъыллыьынын лимитидир. nn ax a=- кими ишаря едяк.

Лимитин тярифиня эюря

eae ee <=-®³"$>" nn axNnN :0 ,

йяни { }na сонсуз кичилян ардыъыллыгдыр. Тярсиня яэяр nn ax a+= оларса, бурада { }na

- сонсуз кичилян ардыъыллыгдыр, онда axnn=

¥®lim .

Демяли, { }nx ардыъыллыьынын сонлу а лимитиня малик олмасы цчцн, ардыъыллыгла

щямин ядядин фяргинин сонсуз кичилян олмасы, йяни nn ax a=- шяртинин юдянилмяси

зярури вя кафи шяртдир.

{ } 1,1;1,;,1,, >-<Î=Îþýü

îíì aaqqNm

mrRa

na nn

r вя с ардыъыллыглары сонсуз

кичиляндир.

Тяриф. Тутаг ки, { }nx вя { }ny ардыъыллыглары верилмишдир.

{ } { } { },,, nnnnnn yxyxyx -+þýü

îíì

n

n

yx ардыъыллыглары{ }nx вя { }ny ардыъыллыгларынын уйьун

олараг ъями, фярги, щасили вя нисбяти адланыр. Нисбятин тяйининдя бцтцн NnÎцчцн 0¹ny .

Сонсуз кичилян ардыъыллыгларын ашаьыдакы хассяляри вар.

Хасся 1. Сонлу сайда сонсуз кичилян ардыъыллыгларын ъябри ъями сонсузкичилян ардыъыллыгдыр.

Исбаты: Тутаг ки, { }na вя { }nb сонсуз кичилян ардыъыллыгдыр. Эюстяряк ки,

{ }n na b± ардыъыллыьы да сонсуз кичилян ардыъыллыгдыр. Онда истянилян 0>e ядяди

цчцн еля )(11 eNN = вя )(22 eNN = нюмряляри вар ки, 1Nn ³ цчцн2ea <n вя 2Nn ³

цчцн2eb <n бярабярсизликляр юдянилир. Яэяр ( )21,max NNNN == e оларса, онда

ъямин (фяргин) Модулу цчцн бярабярсизликдян истифадя едяряк, бцтцн Nn ³ цчцн

аларыг: eeebaba =+<+£±22nnnn .

Беляликля { }nn ba ± сонсуз кичилян ардыъыллыгдыр.

Индуксийанын кюмяйи иля исбат олунан хасся истянилян сонлу сайдатоплананлар цчцн эенишляндирилир.

Хасся 2. Сонсуз кичилян ардыъыллыьын мящдуд ардыъыллыьа щасили сонсузкичилян ардыъыллыгдыр.

Исбаты: Тутаг ки, { }na мящдуд ардыъыллыг, { }nb ися сонсуз кичилян

ардыъыллыгдыр. Мящдуд ардыъыллыьын тярифиня эюря

CNnC n <®Î">$ a:0 ,

сонсуз кичилян ардыъыллыьын тярифиня эюря ися

.:0c

NnN nebe ee <®³"$>"

Бурадан алыныр ки,

eebabae =×<×=®³" cc

Nn nnnn ,

даща доьрусу { }nnba - сонсуз кичилян ардыъыллыгдыр.

Хцсуси щалда яэяр { }na стасионар ардыъыллыгдырса, йяни бцтцн NnÎ цчцн

an =a , { }nb ися сонсуз кичилян ардыъыллыгдырса, онда { }nab дя сонсуз кичилян

ардыъыллыгдыр.

Гейд. Мялумдур ки, сонсуз кичилян ардыъыллыг мящдуддур. Онда исбатолунан хассядян алыныр ки, сонлу сайда сонсуз кичилян ардыъыллыьын щасили сонсузкичилян ардыъыллыгдыр.

2. Сонсуз бюйцйян ардыъыллыглар. Яэяр истянилян 0>d ядяди цчцн еля dN

нюмряси варса ки, dNn ³ шяртини юдяйян бцтцн н-ляр цчцн d>nx бярабярсизлийи

юдянилсин, онда { }nx ардыъыллыьына сонсуз бюйцйян ардыъыллыг дейилир. Бу щалда

¥=¥® nn

xlim

йазылыр вя дейилир ки, ардыъыллыьын сонсуз лимити вар.

Бу тярифи ашаьыдакы кими дя йазмаг олар:

{ } { }dd dd >®³"$>"Û¥=¥® nnn

xNnNx :0lim (1)

(1) тярифинин щяндяси изащыны веряк.

{ }d>Î= xRxE , чохлуьуну ¥ -ун d -ятрафы адландыраг. Яэяр { }nx

ардыъыллыьынын сонсуз лимити варса, онда ардыъыллыьын сонлу сайда щядляримцстясна олмагла галан щядляринин щамысы ¥ -ун d -ятрафында йерляшир.

Аналожи олараг { }nx ардыъыллыьы цчцн -¥ вя +¥ -а бярабяр сонсуз лимит

анлайышлары верилир. Бу лимитляр уйьун олараг -¥=¥® nn

xlim вя +¥=¥® nn

xlim символлары

иля ишаря олунурлар вя ашаьыдакы кими тяйин олунурлар:

{ } { }dd dd -<®³"$>"Û-¥=¥® nnn

xNnNx :0lim (2)

{ } { }dd dd >®³"$>"Û+¥=¥® nnn

xNnNx :0lim (3)

{ }d-<Î= xRxE :1 вя { }d>Î= xRxE :2 чохлуглары уйьун олараг -¥ вя +¥ -

ун d -ятрафлары адланырлар. Бу щалда 21 EEE U= .

Яэяр { }nx ардыъыллыьынын сонлу сайда щядляри мцстясна олмагла галан

щядляринин щамысы ¥+ символунун d ятрафында йерляширся, онда тяриф (3)-яясасян { }nx ардыъыллыьынын лимити вар вя бу лимит +¥ -а бярабярдир. Тяриф (2)-дя

аналожи мяна дашыйыр.

Бундан сонра ардыъыллыьын лимити дедикдя сонлу лимити баша дцшяъяйик.

Мясялян, nxn -= оларса, онда -¥=¥® nn

xlim ,2

2

+=

nnxn 0 оларса, онда

+¥=¥® nn

xlim , nnnx 2)1(-= оларса, онда ¥=

¥® nnxlim .

4. Монотон ардыъыллыьын лимити. Яэяр истянилян În Н цчцн

nn xx ³+1 (1)

бярабярсизлийи юдянилярся, онда { }nx ардыъыллыьына артан (азалмайан) ардыъыллыг

дейилир. Аналожи олараг яэяр истянилян În Н цчцн

nn xx £+1 (2)

бярабярсизлийи юдянилярся, онда { }nx ардыъыллыьына азалан (артмайан) ардыъыллыг

дейилир.

Яэяр (1) бярабярсизлийини nn xx >+1 , (2) бярабярсизлийини ися nn xx <+1 шяклиндя

йазмаг оларса, онда { }nx ардыъыллыьына ъидди артан вя ъидди азалан ардыъыллыг

дейилир.

Яэяр (1) бярабярсизлийи 0nn ³ олдугда юдянилярся, онда { }nx ардыъыллыьына

0n нюмрясиндян башлайараг артан ардыъыллыг дейилир. Аналожи олараг 0n

нюмрясиндян башлайараг азалан, ъидди азалан, ъидди артан ардыъыллыг анлайышыверилир.

{ }nx ардыъыллыьынын гиймятляр чохлуьунун дягиг йухары (ашаьы) сярщядди

щямин ардыъыллыьын дягиг йухары (ашаьы) сярщядди адланыр вя уйьун олараг{ } { }nn xx inf,sup шяклиндя ишаря олунур.

Х ядяди чохлуьунун дягиг йухары вя дягиг ашаьы сярщядляринин тярифляриниашаьыдакы кими йазмаг олар:

{ } { } { }ee ee ->Î$>"Ù£®Î"Û= MxXxMxXxXM :0sup (3)

{ } { } { }ee ee +<Î$>"Ù³®Î"Û= mxXxmxXxXM :0inf (4)

Бу тярифляря ясасян ардыъыллыьын дягиг йухары вя ашаьы сярщядлярининтярифлярини ашаьыдакы шякилдя йазмаг олар.

{ } { } { }eeee ->Î$>"Ù£®Î"Û= axNNaxNnXa Nn :0sup (5)

{ } { } { }eeee -<Î$>"Ù³®Î"Û= bxNNbxNnXb Nn :0inf (6)

Беляликля яэяр ашаьыдакы шяртляр юдянилярся онда а ядяди { }nx ардыъыллыьынын

дягиг йухары сярщяддидир:

1) ардыъыллыьын бцтцн щядляри а-ны ашмыр, йяни

axNn n £®Î" (7)

2) щяр бир 0>e цчцн ардыъыллыьын e-a -дан бюйцк щяддини тапмаг олар,йяни

eeee ->$>" axN N:0 . (8)

Аналожи олараг ардыъыллыьын дягиг ашаьы сярщяддинин тярифи (6)айдынлашдырылыр.

2. Монотон ардыъыллыьын йыьылма яламяти.

Теорем 1. Яэяр { }nx ардыъыллыьы артан вя йухарыдан мящдуддурса, онда

{ }nnnxx suplim =

¥®

вар. Яэяр { }nx ардыъыллыьы азалан вя ашаьыдан мящдуддурса, онда

{ }nnnxx inflim =

¥® вар.

Исбаты: Теореми артан вя йухарыдан мящдуд ардыъыллыг цчцн исбат едяк.Яэяр

{ }nx ардыъыллыьы йухарыдан мящдуддурся, даща доьрусу ,...,...,, 21 nxxx ядядляр

чохлуьу йухарыдан мящдуддурса, онда дягиг йухары сярщяддин варлыьыщаггында теоремя эюря щямин ардыъыллыьын (7)-(8) шяртляри иля тяйин олунан дягигйухары сярщядди вар. Билирик ки, { }nx артан ардыъыллыгдыр, онда

.nN xxNn £®³"ee (9)

(7)-(9)-дан алыныр ки,

axxaNnN nN ££<-®³"$>"e

ee ee :0 ,

даща доьрусу ).(aUxn eÎ

Лимитин тярифиня ясасян бу о демякдир ки,

{ } axx nnn==

¥®suplim .

3. е ядяди. { }nx ардыъыллыьына бахаг, бурада

n

n nx ÷

øö

çèæ +=

11 ,

вя эюстяряк ки, щямин ардыъыллыг артан вя йухарыдан мящдуддур. Нйутонбиному дцстурундан истифадя етсяк, аларыг

2

1 1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 11 1 ...1 2 1 2 3

( 1)( 2)....( 1) 1 ...1 2....

( 1)( 2)....( 1) 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 ....1 2 ... 2! 3!

1 1 21 1!

n

n n

k

n

n n n n nx nn n n n

n n n n kk n

n n n n nn n n n n

k n

+ - -æ ö= + = + × + × + × +ç ÷ × × ×è ø- - - +

+ × +× ×

- - - + æ ö æ öæ ö+ × = + + - + - - + +ç ÷ ç ÷ç ÷× × è ø è øè ø

æ ö+ - -ç ÷è ø

1..... 1

1 1 2 1.... 1 1 .... 1 (*)!

kn n

nn n n n

-æ ö æ ö-ç ÷ ç ÷è ø è ø

-æ öæ ö æ ö+ + - - -ç ÷ç ÷ ç ÷è øè ø è ø

nx -и ашаьыдакы кими йазаг:

;11...2111!

111

÷øö

çèæ --÷

øö

çèæ -÷øö

çèæ -+= å

= nk

nnkx

n

kn (10)

;111...

121

111

!11

1

11 ÷

øö

çèæ

+-

-÷øö

çèæ

+-÷

øö

çèæ

+-+= å

+

=+ n

knnk

xn

kn (11)

(10) вя (11) ъямляриндяки бцтцн топлананлар мцсбятдир, ейни заманда (10)ъяминдяки щяр бир топланан (11) ъяминдяки уйьун топланандан кичикдир, чцнки

.1,...,2,1,1

11 -=+

-<- nmn

mnm

(11) ъяминдяки топлананларын сайы ися (9) ъяминдян бир ващид чохдур. Бунаэюря бцтцн NnÎ цчцн 1+< nn xx , даща доьрусу { }nx ъидди артан ардыъыллыгдыр.

Бундан башга )1,...,2,1(110 -=<-< nmnm олдуьуну нязяря алсаг, (10)

бярабярсизлийиндян å=

+<n

kn k

x1 !

11 бярабярсизлийини аларыг. Билирик ки, NkÎ олдугда

121

!1

-£ kk, онда щяндяси силсилянин ъями дцстурундан истифадя етсяк,

å=

-- -=-

-+=+<

n

kn

n

knx1

11 213

211211

1211

бярабярсизлийини аларыг. Беляликля

,311 <÷øö

çèæ +=

n

n nx

йяни { }nx ардыъыллыьы мящдуддур. Теорем 1-я эюря { }nx ардыъыллыьынын лимити вар.

Щямин лимит е щярфи иля ишаря олунур. Беляликля,

en

n

n=÷

øö

çèæ +

¥®

11lim (12)

е иррасионал ядяддир, о натурал логарифми олмагла рийазиййатда мцщцм ролойнайыр.

590457182818284,2»е .

4. Алтардыъыллыглар.

Тяриф. Яэяр щяр бир мцсбят к ядяди цчцн еля kn натурал ядяди варса ки,

kk nb a= олсун, щям дя1 2k kn n< шярти йалныз вя йалныз 1 2k k< шяртиндя юдянилсин.

{ }kb ардыъыллыьы бу щалда { }kna вя йа , 1, 2,...kna k = иля ишаря олунур.

Башга сюзля яэяр щяр щансы ардыъыллыг верилмишся вя онун елементлярининщяр щансы алтчохлуьундан йени ардыъыллыг гурулмушса, онда она верилмишардыъыллыьын алт ардыъыллыьы дейилир. Бу шяртля ки, щямин ардыъыллыгда елементляриндцзцлцш сырасы верилмиш ардыъыллыгдакы иля ейни олсун.

1,3,5,…,2н+1, … ардыъыллыгдыр, 2,1,3,4, …, н,… ися 1,2,3,…,н,… натуралядядляр ардыъыллыьынын алт ардыъыллыьы дейил. Щяр ики щалда ардыъыллыгларынелементляри натурал ядядляр чохлуьунун алт чохлуьуну ямяля эятирир, аммабиринъи щалда ардыъыллыьын щядляри онларын натурал ядядляр сырасында дцзцлцшсырасына уйьундур, икинъи щалда ися уйьунлуг позулмушдур.

Хцсуси лимитляр. Тутаг ки, { }nx ардыъыллыьы верилмишдир. Ъидди артан, даща

доьрусу щядляри ......21 <<<< knnn шяртини юдяйян { }kn натурал ядядляр

ардыъыллыьына бахаг. Онда { }ky ардыъыллыьына, бурада Nkxyknk Î= , олдугда { }nx

ардыъыллыьынын алтардыъыллыьы дейилир. Мясялян, артан сыра иля эютцрцлмцш1,3,5,7,9,… натурал ядядляр ардыъыллыьы, 1,2,3,4,5,6,7,… натурал ядядлярардыъыллыьынын алтардыъыллыьыдыр, 3,5,9,13,7,… ардыъыллыьы ися артыг натурал ядядлярардыъыллыьынын алтардыъыллыьы дейилдир.

Тярифя ясасян { }knx алтардыъыллыьы верилян { }nx ардыъыллыьынын щядляриндян

тяшкил едилмишдир., щям дя алтардыъыллыгда щядлярин дцзцлцшцня верилян { }nx

ардыъыллыьындакы кими риайят олунмушдур. { }knx йазылышында к ядяди ,...,

21 nn xx

ардыъыллыьындакы щядлярин сыра нюмрясини эюстярир. Буна эюря knk ³ , бурадан

¥®¥® knolduqdak .

Тутаг ки, { }knx верилян { }nx ардыъыллыьынын алтардыъыллыьыдыр вя сонлу вя йа

сонсуз axknk=

¥®lim лимити вар. Онда а ядядиня { }nx ардыъыллыьынын хцсуси лимити

дейилир. Мясялян, { }п)1(- ардыъыллыьынын 2 хцсуси лимити вар: 1 вя -1.

Яэяр { }nx мящдуд ардыъыллыгдырса, Л ися онун бцтцн хцсуси лимитляри

чохлуьудурса, онда супЛ вя инфЛ ядядляри щямин ардыъыллыьын уйьун олараг

йухары вя ашаьы лимитляри адланыр вя уйьун олараг nnx

_____

lim¥®

вя nxn ¥®____lim символлары иля

ишаря олунурлар.

Мясялян, 1,2,3,1,2,3,1,2,3,… ардыъыллыьы цчцн nnx

_____

lim¥®

=3, nxn ¥®____lim =1.

Теорем (Болсано-Вейерштрасс) Истянилян мящдуд ардыъыллыгдан йыьыланалтардыъыллыг айырмаг олар.

Исбаты: Тутаг ки, { }nx мящдуд ардыъыллыгдыр, онда ардыъыллыьын бцтцн

щядляри щяр щансы парчайа дахилдир, даща доьрусу

[ ]baxNnba n ,:, =DήÎ"$ . (1)

[ ]ba,=D парчасыны д нюгтяси иля йарыйа бюляк. Онда [ ] [ ]bdda ,,,парчаларындан щеч олмаса бири { }nx ардыъыллыьынын сонлу сайда щяддини юзцндя

сахлайыр. Яэяр щяр ики парча щямин хассяйя маликдирся, онлардан бирини мясялян,[ ]bd, парчасыны эютцряк. Верилян ардыъыллыгдан сонсуз сайда щядд дахил олан

сечилмиш парчаны [ ]111 ,ba=D иля ишаря едяк. Онун узунлуьу211

abab -=- . Сонра

[ ]111 ,ba=D парчасыны йарыйа бюляк, алынан ики парчадан { }nx ардыъыллыьынын сонсуз

сайда щядлярини сахлайан [ ]222 ,ba=D парчасыны сечяк, онун узунлуьу

222 2abab -=- ядядиня бярабярдир. Мцщакимяни бу гайда иля сонсуз давам

етдирсяк ашаьыдакы шяртляри юдяйян [ ]{ }nnn ba ,=D парчалар ардыъыллыьыны алырыг:

.02

)2

...;...)1 121

®-

=-¥®

ÉDÉDÉÉDÉD +

nnn

nn

ababolduqdan

Дейилянляря ясасян { }nD йыьылан парчалар ардыъыллыьыдыр. Кантор теореминя

эюря бцтцн парчалара дахил олан йеэаня ъ нюгтяси вар, даща доьрусу

kcNkс DήÎ"$ : (2)

Эюстяряк ки, { }nx ардыъыллыьынын еля { }knx алтардыъыллыьыны тапмаг олар ки,

cxknk=

¥®lim (3)

Билирик ки, 1D парчасы { }nx ардыъыллыьынын сонсуз сайда щядлярини юзцндя

сахлайыр, онда 11 1: DÎÎ$ nxNn . 2D парчасы да ейни заманда верилян ардыъыллыьын

сонсуз сайда щядлярини сахлайыр, буна эюря дя 212 2: DÎ>$ nxnn . Цмумиййятля,

knk kxnNk DÎ$Î" : , бурада .... 121 kk nnnn <<<< -

Беляликля, { }nx ардыъыллыьынын еля { }knx алтардыъыллыьы вар ки,

knk bxaNkk££®Î" (4)

(2) вя (4) шяртляри о демякдир ки, ъ вяknx нюгтяляри [ ]kkk ba ,=D парчасына дахилдир,

буна эюря дя онлар арасындакы мясафя kD парчасынын узунлуьуну ашмыр, даща

доьрусу

kkknababcx

k 2-=-£- (5)

Беля ки,þýü

îíì

k21 -сонсуз кичик ардыъыллыгдыр, онда (5)-дян алыныр ки, (3) щюкмц

доьрудур.

5. Ардыъыллыьын йыьылмасы цчцн Коши мейары. Истянилян 0>e ядядиня эюря еля

en нюмряси варса ки, ee nmnn ³³ , шяртлярини юдяйян бцтцн н вя м-ляр цчцн

e<- mn xx бярабярсизлийи юдянилсин, онда дейяъяйик ки, { }nx ардыъыллыьы Коши

шяртини юдяйир. Коши шяртини юдяйян ардыъыллыьа фундаментал ардыъыллыг дейилир.Щямин шярти гыса олараг

ee eee <-®³"³"$>" mn xxnmnnn :0 (1) вя йа

ee ee <-®Î"³"$>" + npn xxNpnnn :0

шяклиндя йазмаг олар. Исбат едяк ки, фундаментал ардыъыллыг мящдуддур.

Исбаты: Тутаг ки, 1=e , онда Коши шяртиня ясасян еля н0 нюмряси тапмаголар ки, onmnn ³"³" ,0 цчцн 1<- mn xx бярабярсизлийи вя хцсуси щалда 1

0<- nn xx

бярабярсизлийи юдянилир. Беля ки, ( ) 100000+<+-<+-= nnnnnnnn xxxxxxxx

бярабярсизлийи бцтцн NnÎ цчцн cxn < бярабярсизлийи доьрудур, бурада

( )1,,...,max00 11 += - nn xxxc .

Бу о демякдир ки, { }nx мящдуд ардыъыллыгдыр.

Теорем (Коши критерийасы) Ардыъыллыьын сонлу лимитинин олмасы цчцн онунфундаментал олмасы зярури вя кафидир.

1

Mövzu: Teorem, quruluşu, növləri arasında əlaqə zəruri və kafi şərt, isbatprosesi

Plan: 1. Teorem və onun quruluşu növləri2. Teoremin pedikat vasitəsi ilə göstərilməsi3. Zəruri və kafi şərt isbat prosesi.4. Teoremin növləri arasında əlaqə.Doğruluğu digər məlum təkliflər, aksiom, tərif və xassələr arasında isbat

olunan təkliflərə (mülahizəyə) teorem deyilir.

Hər bir teorem mülahizədir (predikatdır). Bu mülahizələrin doğruluğunuaşkar etmək üçün isbat metodlarından istifadə olunur.

Pedikatın impelikasiyasna şərt və nəticə daxil olduğu kimi teoreminquruluşuna (strukturuna) da şərt və nəticə daxildir.

Hər bir teorem - preampula-şərt və nəticədən ibarətdir. Teoremin preampulahissəsində onun məzmunu açılır.

Teoremin şərtini )(xA və nəticəni isə )(xB biryerli predikatı ilə göstərsək, onda)),()(( xxBxA "Þ göstərmək olur.

Təklifin doğru və yalan olmasını mühakimə yolu ilə müəyyən edilməsinəisbat deyilir.

Sadə teorem. Bir şərt və bir nəticədən ibarət olan təklifə deyilir.

Mürəkkəb teorem. Bir neçə şərt və nəticədən ibarət olan (predikata) təklifədeyilir.

Lemma-teoremi isbat etmək üçün köməkçi teoremdir.

Teorem. Əgər çevrədə mərkəzi bucaq bərabərdirsə, onda ona uyğun qövsdəbərabərdir.

Tərs teorem. Əgər çevrədə iki qövs bərabərdirsə, onda ona uyğun mərkəzibucaq bərabərdir. (Tərs teorem doğrudur)

Teoremin aydınlaşdırıcı hissəsi isə, onun hansı çoxluqda isbat edildiyinigöstərir. Hər bir teorem 3 hissədən ibarətdir. Aydınlaşdırıcı hissə, şərt, nəticə.

2

Teor eminnöv ü

Ayd ınlaşd ır ıc ı h issə

Pred ikat lagöstər i lməs i

Teor emlər

1. Düz teorem )()( xBxA Þ 222 bac +=ba Ù - ka te t

2 . Tərs teorem )()( xAxB Þ

3. Əks teorem )()( xBxA Þ

4. Əks tərs teorem )()( xAxB Þ

)()( xBxA Þ - də )(xA predikatı )(xB üçün kafi, )(xB predikatı )(xA üçün zərurişərtdir.

Misal. Dördbucaqlının kvadrat olması üçün, onun dioqonalının bərabərolması zəruri şərtdir.

Teorem. Dördbucaqlının kvadrat olması üçün onun dioqanallarınınqarşılıqlı perpendikulyar olması zəruri şərtdir, lakin bu şərt kafi deyil, bu şərt təkcəkvadrat üçün yox, düzbucaqlı üçün də doğrudur.

Misal. Əgər dördbucaqlının tərəfləri bərabər isə onda belə dördbucaqlıparaleloqramdır.

Deməli dediyimiz şərt kafidir, lakin zəruri deyil, bu şərtsiz də dördbucaqlıparaleloqramdır.

))()(,());()(,( xAxBXxxBxAXx ÞÎ"ÞÎ" hər ikisi doğrudursa, yəni həm düz, həmdə tərs teorem doğrudursa bu iki teoremi birləşdirib )1))...(()(,( xBxAXx ÛÎ" həmzəruri, həm də kafi şərtdir.

Teoremin göstərilən 4 növü arasında olan əlaqəni müəyyən etmək üçün)2)...(()( ABBA ÞÞÞ kontropoziya qanunu yada salaq: Göründüyü kimi

teorem 1 və teorem 4 eyni zamanda ya doğrudur, ya da yalandır.

Uyğun qayda ilə teorem 2 və teorem 3 eyni zamanda ya yalan, ya da doğruolmasını göstərmək olar.

İsbat elə bir təfəkkür prosesdir ki, bu zaman hər bir təklifin doğruluğunugöstərmək üçün ondan əvvəlki məlum təklifdən məntiqi şəkildə istifadə olunur.Hər bir isbat prosesi 3-hissədən ibarətdir.

1. İsbat olunacaq hissə buna tezis deyilir.

2. Tezis və əsas arasındakı asılılığı göstərən mühakimə - buna isbatın forması

№ T.nö

vü

3

deyilir.

3. Tezisi isbat etmək üçün götürülmüş əsas təkliflər - buna əsas və ya arqumentdeyilir.

İsbat prosesində aparılan mühakimə alqoritmik əlaqələndirilən məntiqimühakimələrdən ibarətdir. Bu bağlamalar ardıcıl olaraq məntiqi mühakimənəticəsində biri digərindən alınır və bu isbat prosesində yekunlaşdırılır. Buəlaqələndirmə - isbat metodları ilə xarakterizə olunur.

Ola bilər ki, hər hansı bir teoremin şərt və nəticəsi bir və ya bir neçəmülahizədən ibarət olar. “Əgər natural ədəd 2 və 3-ə bölünərsə, onda həmin ədəd6-ya bölünür”.

Riyazi induksiya metodunun növləri və tətbiqi

Riyazi induksiya aksiomuna (Peanonun 4-cü aksiomuna) tam riyaziinduksiya prinsipi də deyilir.

Tərif. Bu prinsipə əsaslanan isbat üsuluna tam riyazi induksiya metodudeyilir.

Tam riyazi induksiya metodunu induksiya ilə qarışdırmaq olmaz.İnduksiya-yunan sözüdür və “uyğun qanuna gətirmək” mənasını daşıyır.

Tərif. Xüsusi tərcübə və müşahidələrdən alınmış nəticələrdən uyğunolaraq, ümumi nəticə çıxarmaq üsuluna induksiya deyilir.

İnduksiyanm iki növü vardır: 1) tam induksiya, 2) tam olmayan induksiya.

Tərif. Bütün xüsusi halları araşdırdıqdan sonra ümumi hala keçmək(ümumi nəticə çıxarmaq) mühakiməsinə tam induksiya deyilir.

Bu üsuldan riyaziyyatda çox da geniş istifadə edilmir. Çünki araşdırılmasımümkün olan halların sayı çox zaman sonsuz olur.

Tərif. Yalnız bir neçə xüsusi halların araşdırılmasından sonra ümumi təklifçıxarılan mühakiməyə tam olmayan induksiya deyilir.

Misal. L.Eyler x-in bütün mənfi olmayan tam qiymətlərində, 41+x+x=y 2

funksiyasının xüsusi qiymətləri həmişə sadə ədəddir.Doğurdan da, ,...41,...1,0=M qiymətlərində y -in sadə ədəd olması hökmünü

çıxarmaq səhvdir ona görə ki, 41=x olduqda y ədədi sadə ədəd deyil.4341=y43,41=)1+1+(4141=41+41+41=y41,=x 2 ×××

4

Tərif. Ümumi təklifdən xüsusi təkliflər almaq mühakiməsinə deduksiyadeyilir.

Tam riyazi induksiya metodunun əsasını tam riyazi induksiya prinsipi təşkiledir.

Hər hansı təklif, “1” - ədədi üçün doğrudursa və Nk Î" üçün doğru olmasıfərziyyəsindən k - dan bilavasitə sonra gələn natural k + 1 ədədi üçün də doğruolması alınarsa, onda bu təklif bütün natural ədədlər üçün də doğrudur. Təklifinisbatı əksini fərzetmə metodu ilə aparılır.

Tam riyazi induksiya prinsipi əsasında edilmiş isbata riyazi induksiyametodu ilə isbat deyilir.

Teorem. Təklif n = 1 üçün doğrudur.

Teorem. Təklif NnÎ" ədədi üçün doğrudursa onda n - dən bilavasitə sonragələn natural “ n + 1 ” ədədi üçün də doğrudur.

Tətbiqləri. 6)11( 3 Mnn + bölündüyünü isbat edin.

İsbatı. 1) 6126)111(;1 MM Þ+=n

2) )11(11; 23 +=+= kkkkkn

3) 12)1(3)11(1211331211)1(;1 3233 ++++=++++=++++= kkkkkkkkkkkn

olduğundan 6)11( 3 Mnn + ; NnÎ"

Misal 2. Bərabərliyin doğru olduğunu isbat edin.

4)3()2()1()2()1(...543432321 +×+×+×

=+×+×++××+××+××nnnnnnn

İsbatı.;1)1 =n

4)31()21()11(1321 +×+×+×

=××

kn =)2 ;

4)3()2()1()2()1(...543432321 +×+×+×

=+×+×++××+××+××kkkkkkk

1)3 += kn ;

4)4()3()2()1()3()2()1()2()1(...432321 +×+×+×+

=+×+×+++×+×++××+××kkkkkkkkkk

4)4()3()2()1()3()2()1(

4)3()2()1( +×+×+×+

=+×+×+++×+×+× kkkkkkkkkkk isbat

olundu.

5

Teorem: Rombun diaqonalı qarşılıqlı perpendikulyardır.)()),()()(( xAxBxADx ÞÎ" -predikatı “x dördbucaqlısı rombdur” )(xB - predikatı “x

dördbucaqlısının dioqonalları qarşılıqlı perpendikulyardır”. (X-də)

Teoremin nəticəsi )(xB predikatı, )(xA )( XxÎ ))()(( xBxA Þ predikatı üçünzəruri şərtdir, )(xA (teoremin şərti) predikatı )(xB üçün kafi şərtdir.

1) Dördbucaqlının romb olması üçün onun diaqonallarının qarşılıqlıperpendikulyar olması zəruri şərtdir.

2) Dördbucaqlının diaqonallarının perpendikulyar olması onun rombolması üçün kafi şərtdir.

Bəzən “zəruri şərt”, “kafi şərt” əvəzinə “zəruri əlamət”, “kafi əlamət”sözlərindən də istifadə olunur.

“Əgər dördbucaqlıda qarşı tərəflər cüt-cüt konqruyentdirsə, onda budördbucaqlı – paraleloqram olması üçün zərurilik əlamətdir.

3) Əgər )1))...(()()(( xBxAXx ÞÎ" teoreminin şərtini və nəticəsini onuninkari ilə əvəz etsək, onda )2)...()()()(( xBxAXx ÞÎ" əks teoremi alınır. Tutaq ki, Nçoxluğunda )(xA : “x ədədinin onluq yazılışı “0”-la qurtarır” , )(xB : “x ədədi 5-əbölünər”, predikatlarından düzələn teorem belə olar. “Əgər natural ədədin onluqyazılışı sıfırla qurtarırsa, onda ədəd 5-ə bölünər”. Əks tərs teoremi isə belə olar:“Əgər ədədin onluq yazılışı 5-lə qurtarmırsa, onda ədəd 5-ə bölünmür”. Buradateorem 1 doğrudur, lakin onun əks teoremi yalandır. Əgər bu teoremi

)3)...()()()(( xAxBXx ÞÎ" şəklində göstərsək, bu isə əks teorem adlanır.“Əgərnatural ədəd 5-ə bölünmürsə, onda ədədin onluq yazılışı sıfırla qurtarmaz”.Teoremləri nəzərə salsaq görərik ki, (1) və (3) eynigüclüdür. Yəni (1) teoremi ondavə yalnız onda doğru olur ki, (3) teoremi doğru olsun. Bu fakt həmçininkontrapozisiya metodundan istifadə etməklə isbat edilə bilər. (1)-in doğruluğununisbatı onun əks tərs teoreminin doğru olmasını isbat etməklə, başa çatır.

Teorem: Əgər dördbucaqlı düzbucaqlıdırsa, onda onun diaqonallarıkonqruyentdir.

QqqBqAq ÎÞ" ),()(, teoremində {º)(qA Dördbucaqlı q isə düzbucaqlıdır }{º)(qB Dördbucaqlının diaqonalları q konqruyentdir }

Q isə - Dördbucaqlılar çox olur. )(qA - predikatı )(qB - predikatı üçün kafişərtdir. Yəni dördbucaqlının düzbucaqlı olması üçün kafi şərtdir.

)(qB təklifi, )(qA zəruri şərtdir. Yəni, dördbucaqlının düzbucaqlı olmasıüçün dördbucaqlının diaqonalları konqruyent olması zəruri şərtdir.

6

Əgər MxxBxAx ÎÞ" ),()(),( onun tərs teoremi MxxAxBx ÎÞ" ),()(),( onda)(xA - təklifi )(xB üçün həm zəruri, həm də kafi şərtdir. )(xB də )(xA üçün zəruri və

kafi şərtdir.Düz teorem:1) Əgər dördbucaqlı rombdursa, onda onun diaqonalları

qarşılıqlı perpendikulyardır. (Doğrudur)Tərs teorem:2) Əgər dördbucaqlının diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyar

isə onda dördbucaqlı rombdur. (Teorem doğru deyil)3) Əgər dördbucaqlı romb deyilsə, onda onun diaqonalları perpendikulyar

deyil. (Doğru deyil)4) Əgər dördbucaqlının diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyar deyilsə, onda

dördbucaqlı romb deyil. (Teorem doğrudur)Buradan görünür ki, MxxAxBxxBxAx ÎÞ"Þ" ,)()(),(),()(),(

Düz teorem və əks tərs teorem eynigüclüdür. Yəni, hər ikisi ya doğrudur,ya da doğru deyil.

Riyazi isbatların növləriMüəyyən bir təklifi isbat etmə prosesi bir-birindən alınan zəncir kimi

bağlanan təkliflərdən ibarətdir. Bu təklifləri müxtəlif ardıcıllıqla düzəltməklə,riyaziyyatda bu təkliflərin müxtəlif isbat metodları alınır: 1) analiz, 2) sintez,3) əksini fərz etmə, 4) riyazi induksiya.

1) Analiz. İsbat ediləcək təklifdən başlayıb, mühakimənin sonundadoğruluğu əvvəldən məlum olan təklifə gəlib, çıxmaq olar, buna analiz deyilir.

2) Sintez. Doğruluğu əvvəldən məlum olan təkliflərdən başlayıb,mühakimənin sonunda isbat ediləcək təklifə gəlib çıxmaq olar. Bu halda məlumtəklifdən məchula keçirik. Bu mühakiməyə sintez deyilir.

3) Əksini fərzetmə və ya ziddiyyətə gətirmə metodu. Tutaq ki, şərti A ,nəticəsi B olan təklifi isbat etmək tələb olunur. BA Þ ( A -nın doğruluğundan Balınır)

B - nin doğru olmadığı fərz olunur və bu yeni təklifin məntiqi mühakiməvasitəsilə yeni təkliflər alınır. Bu zaman alınan bir təklif A şərtinə və ya doğruluğuqabaqcadan məlum olan başqa bir təklifə zidd olarsa, fərziyyənin mümkünolmadığı aşkar olur. Bu isə isbat tələb olunan təklifin doğru olduğunu göstərir.

Bir çox riyazi təklifləri isbat etmək üçün işlədilən riyazi induksiya metodu,tam riyazi induksiya prinsipi adlanan aşağıdakı aksioma əsaslanır.

n -dən asılı təklif üçün 1) 1=n - də təklifin doğruluğu yoxlanılır.2) kn = üçün təklifin doğru olması fərz olunur.3) 1+= kn üçün təklifin doğru olması isbat edilir “onda təklif istənilən

NnÎ üçün doğrudur” nəticəsi alınır.

1

Фянн: Мяктяб рийазиййат курсунун елми ясасларыМцяллим: дос.М.И.Рящимова

UYĞUNLUQ, ONUN NÖVLƏRİ VƏ ÜZƏRİNDƏ ƏMƏLLƏRPlan.

1. Binar uyğunluq, uyğunluğun növləri2. Uyğunluq üzərində əməllər.

Uyğunluq MRK-da əsas və bazis anlayış olub, geniş tətbiqə malikdir.Çoxluqlar cəbrində, məntiq cəbrində, funksiya anlayışının verilməsində və s.Münasibət inikas və funksiya anlayışları uyğunluğun xüsusi hallarıdır. Sonluelementə malik olan X və Y çoxluqlarının elementləri arasında olan binaruyğunluğa ümumi tərif verək. X və Y arasındakı binar uyğunluğu dedikdə, binarsözü latın sözü olan “bis” sözündən götürülən “iki dəfə” mənasını daşıyır (yəniburada iki X və Y arasında olan münasibətdən gedir). MRK-da binar uyğunluğamisal olaraq

1) Ədədlər arasında “=” , “¹ ” , “f ” , “p ” , “bölür”, “bölünür” və s.kimidir.

2) Nöqtələr arasında “əvvəl gəlir”, “sonra gəlir”.3) Düz xətlər arasında “paraleldir”, “kəsişir”, “perpendikulyardır” və s.4) Müstəvilər arasında “paraleldir”, “kəsişir”, “perpendikulyardır”.5) Çoxluqlar arasında “bərabərdir”, “alt çoxluqdur”, “kəsişir”, “kəsişmir”

və s.6) Həndəsi fiqurlar arasında “konqruyentdir”, “oxşardır”, “bərabərdir” və s.7) İnsanlar arasında “qohumdur”, “bacıdır”, “qardaşdır” və s. şəklində

təzahür edir.Məsələn, “x ədədi y ədədini aşmır və x ədədi y ədədinin bölənidir”.

{ }75,4,2=X , { }16,8,4,1=Y çoxluğunun predikatları müxtlifdir, doğruluq çoxluğueynidir. T={ })16,4();8,4();4,4();16,2();4,2( . Belə halda (müxtəlif predikatları eynidoğruluq T çoxluğuna malikdir) ),( yxR və ),( yxS predikatları X və Y çoxluqlarıarasında olan eyni uyğunluğu götərir. Beləliklə, X və Y çoxluğu arasında olan Ruyğunluğunun verilməsi üçün YX ´ dekart hasilinin alt çoxluğu olan G çoxluğununverilməsi kifayətdir: YX ´ÌG

Tərif: ),,( GYX üçlüyünə uyğunluq deyilir.Əgər a və bX və Y çoxluqlarının elementləridirsə, həmin çoxluqların

elementləri arasında ),( yxR predikatı verilmişsə, onda “ aRb ” yazılışı ( , )R a b

mülahizəsinin verilməsi deməkdir. Bu yazılış riyaziyyatda uyğunluğun ümumiyazılışıdır.

2

Tutaq ki, hər hansı məktəbdə müəyyən bir sinifdə şagirdlər çoxluğununhəftənin hansı günündə növbətçi olmasına aid cədvəl tərtib etmək lazımdır.Deməli, biz qeyd etdiyimiz sinifdəki şagirdlərin çoxluğu ilə həftənin günləriarasında uyğunluq yaratmış oluruq. Həftənin günləri cədvəlin şaquli hissəsində,şagirdlərin adları isə cədvəlin üfüqi hissəsində olsun.

{ }MISAX ,,,= ; {=Y I, III, V }YX ´ ={ (A,I), (A,III), (A,V), (S,I), (S,III), (S,V), (I,I), (I,III), (I,V), (M,I),

(M,III), (M,V) }

{=G ( A,I), (A,V), (S,V), (I,III), (M,I), (M,V) } YX ´ÌG

Çoxluqlar arasında olan bu binar uyğunluq ikiyerli predikatb vasitəsiləgöstərilir. X çoxluğuna R uyğunluğunun çıxma oblastı, Y isə çatma oblastı deyilir.G - çoxluğuna isə uyğunluğun qrafiki deyilir. Çoxluqlar arasında bu uyğunluq(çoxluq sonlu olduqda) qraf vasitəsilə çoxluğun birindən o birinə gedən oxlarlagöstərilir. Məsələn, { }40,30,20,10=X , { }4,3,2=Y isə R: “x ədədi y-in bölünənidir”,uyğunluğun qrafiki { })4,40(),2,40(),3,30(),2,30(),4,20(),2,20(),2,10(=G .

Yuxarıdakı misalda oxların sonundakıelementə X-dəki elementin obrazı deyilir və

{ }yxtaR ,,)( = . Qrafda X çoxluğunun elementindənçəkilən oxun başlanğıcındakı XxÎ elementinəy-in proobrazı deyilir və { }catR ,)(1 =- kimi göstərilir.X çoxluğunun elə element var ki, ondan heç birox çıxmır. Deməli, həmin elementin obrazıboş çoxluqdur. Æ=)(bR

Tərif:X çoxluğunun obrazlarının boş olmayan elementlərindən təşkilolunmuş Xx Ì1 çoxluğuna uyğunluğun təyin olunma oblastı deyilir.

Tərif:Y çoxluğunun proobrazlarının boş olmayan elementlərindən düzələnYy Ì1 çoxluğuna uyğunluğun qiymətlər çoxluğu deyilir.

Misalda R uyğunluğunun təyin olunma oblastı { },,, dcaX = qiymətlərçoxluğu { }zyxtY ,,,=

3

Uyğunluğun növləri:Tərif:X və Y çoxluğunun arasındakı uyğunluğun qrafiki YX ´ dekart hasili

ilə üst-üstə düşürsə, belə uyğunluğa tam uyğunluq deyilir.{ }1, 2,3A = Ù { }6,5,4=B

{ }: , 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2, 4 ; 2,5 ; 2,6 ,R x y A B< G = ´ = G

Məs, { }3,2,1=A və { }6,5,4=B çoxluqları arasındakı “ x ədədi y ədədindənkiçikdir” uyğunluğu tam uyğunluqdur. Çünki

{ })6,3(),5,3(),4,3(),6,2(),5,2(),4,2(),6,1(),5,1(),4,1(=G . Göründüyü kimi BA´=G .Tərif: Verilmiş çoxluqlar arasındakı R uyğunluğunun qrafiki boş çoxluq

olarsa, belə uyğunluğa boş uyğunluq deyilir.Yuxarıdakı misalda çoxluqlar arasında “ x ədədi y ədədindən böyükdür”

uyğunluğu boş uyğunluqdur. Çünki Æ=GMəsələn, “ x adlı heyvan y adlı heyvanın yediyi yemdən yeyir” uyğunluğu

boş uyğunluqdur. Çünki { } { }şirYdovşovX == , .Tərif:X və Y çoxluğu arasındakı uyğunluğun təyin olunma oblastı çıxma

oblastı ilə üst-üstə düşərsə, belə uyğunluğa hər yerdə təyin edilən uyğunluq deyilir.Məsələn, “x ədədi y ədədini bölür” uyğunluğu hər yerdə təyin olunan

uyğunluqdur. { }7,5,3,2=A , { }57,49,15,8,4=B A çoxluğunun elementlərinin hamısı buuyğunluqda iştirak edir.

Tərif: Çoxluq arasındakı uyğunluqda X-in hər bir elementinin yalnız birobrazı Y çoxluğunun y elementinin yalnız bir proobrazı olarsa, belə uyğunluğaqarşılıqlı birqiymətli uyğunluq deyilir.

Məsələn, { } { } { })6,36(),5,25(),3,9(),2,4(6,5,3,2,36,25,9,4 =GÞ== YX “x ədədi y-in kvadratına bərabərdir” uyğunluğu qarşılıqlı birqiymətli uyğunluqdur.

Tərif:X və Y çoxluqları arasındakı uyğunluğun qrafikləri YX ´ çoxluğundabir-birinin tamamlayıcısı olursa, belə uyğunluğa əks uyğunluq deyilir.

Məsələn, { }3,2,1=A və { }6,5,4=B çoxluqları arasındakı “ x ədədi yədədindən 2 dəfə kiçikdir” uyğunluğu ilə “ x ədədi y ədədindən 2 dəfə kiçikdeyildir” uyğunluqları əks uyğunluqdur.

Məsələn, { } { }5,4,3,4,3,2 == YX elementləri arasında )( yxp < uyğunluğununqrafikini tapın.

Həlli: { })5,4(),5,3(),4,3(),5,2(),4,2(),3,2(=G . Deməli, G çoxluğunu YX ´ -ətamamlayan çoxluq isə { })4,4(),3,4(),3,3(' =G - tamamlayıcı çoxluğunu nəzər salsaq,cütlər bir-birinə “=” və ya bir-birindən “>”-dür. 'G -in elementləri arasında olan bumünasibət “ yx ³ ” bərabərsizliyi şəklində ifadə olunur. Bu isə “x>y” , yaxud “x=y”dizyunksiyasını ifadə edir.

4

Uyğunluğun qeyd etdiyimiz bu növlərinin MRK-da geniş tətbiqimövcuddur. Belə ki, Natural ədədlər çoxluğunda bir-birindən “bilavasitə sonragələn və əvvəl gələn” elementləri üçün uyğunluq “böyüklük” və “kiçiklik”münasibətilə xarakterizə olunur. Cəbrdə bərabərsizliklərin həllində, 1 və ya 2dəyişənli tənliklərin həllində, həndəsədə müstəvi üzərində fiqurların oxşarlığı,konqruyentliyi və s.-də istifadə olunur. Qeyd edək ki, göstərdiyimiz tərsuyğunluğun qrafiki koordinat müstəvisində I və III koordinat bucağınıntənböləninə nəzərən simmetrikdir. Məlumdur ki, tərs uyğunluqda düz uyğunluqdaolan elementlərin yerini dəyişmək lazım gəlir. Buna görə də tərs uyğunluğunqrafiki I və III koordinat bucağının tənböləninə nəzərən simmetrikdir.

Misal: { } { }5,4,3,4,3,2 == YX R: “x<y”, { }(4,5)(3,5),(3,4),(2,4),(2,5),(2,3),=G ;{ })4,5(),3,5(),3,4(),2,4(),2,5(),2,3(' =G

Əgər boş olmayan X və Y çoxluğu verilmişdirsə, onda həmin çoxluqlararasında müxtəlif uyğunluqlar düzəltmək olar ki, YX ´ÌG .

Çoxluqların dekart hasilindən ayrılan alt çoxluqlar üzərində müxtəlifəməllər aparmaq olar: birləşmə, kəsişmə və s. əməllər aparmaq olar.

Əgər X və Y çoxluq elementləri arasında xQyxPy Ù uyğunluğu verilmişdir.Tərif: QPR Ç= -yə, xPy və xQy uyğunluğunun kəsişməsi deyilir. xRy - in

qrafiki isə xPy və xQy uyğunluğunun kəsişməsinə deyilir.Əgər xPy uyğunluğu ),( yxP predikatını, xQy isə ),( yxQ predikatını ifadə

edirsə, onda xRy uyğunluğu ),( yxR predikatını ifadə edər. ),(),(),( yxQyxPyxR Ù=

olar.Məsələn, “x<y” və “x>y” uyğunluğunun kəsişməsi boş çoxluq olar.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

5

Tərif: QPS È= -yə, xPy və xQy uyğunluğunun birləşməsi deyilir. xSy - inqrafiki isə xPy və xQy uyğunluğunun birləşməsinə deyilir.

Yəni, “x<y” və “x>y” uyğunluğunun birləşməsi “ yx ¹ ” olar.Əgər xPy uyğunluğu ),( yxP , xQy isə ),( yxQ predikatını ifadə edirsə, onda

xSy uyğunluğu ),(),(),( yxQyxPyxS Ú= dizyunksiyasını verər.Əgər xPy uyğunluğunun qrafiki (çoxluğu) xQy -in qrafikinin alt

çoxluğudursa, onda xQy -ə xPy -in nəticəsi deyilir.Məsələn: “x üçbucağı y üçbucağına oxşardır” uyğunluğunun nəticəsi “x

üçbucağı y üçbucağına oxşardır” uyğunluğu olar.Мцнасибят, онун графы, графики вя хассяляри. МРК-да бинар мцнасибятя

мисал олараг:а) Ядядляр арасында: " ";" ";" ";" ";= ¹ < > бюйцк дейилдир, кичик дейилдир;

б) Нюгтяляр арасында: яввял эялир, сонра эялир;ъ) Дцз хятляр арасында: | |; ;́^ чарпаздыр;

д) Дцз хятт вя мцстявиляр арасында: паралелдир, кясишир,перпендикулйардыр;

е) Мцстявиляр арасында: паралелдир, кясишир, перпендикулйардыр;я) Чохлуглар арасында: щиссясидир, бярабярдир, кясишир, кясишмир;ф) Щяндяси фигурлар арасында: конгруентдир, охшардыр вя с.Инсанлар арасында гощумлуг вя башга мцнасибятляр дя бинар

мцнасибятя мисал ола биляр. Уйьунлуьун хцсуси нювц олан бинар мцнасибят дя Р, С, Т, Г щярфляри иля

ишаря едилир вя хРй, хСй, хТй, хГй.Тяриф: ( , )x G чохлуглары ъцтцня, X XG Ì ´ бинар мцнасибят дейилир. Бурада

Х-чохлуьуна Р- мцнасибятинин верилмя областы G ися, Р- мцнасибятинин графикидейилир.

{ }1;2;3;4X = чохлуьунда : " "R x y> мцнасибятинин графики,

{ }(2;1), (3;1), (3;2), (4;1), (4;2), (4;3) , ( ; ),x y x X y XG Î Ù Î .

Рийазиййатда бинар мцнасибятдян фяргли олан мцнасибятляря дя растэялмяк олар. Беля мцнасибятляр цчйерли, дюрдйерли предикат васитсиля ифадя едилир.Мясялян, «з – ядяди, х вя й ядядляринин ъяминя бярабярдир» (натурал ядядлярчохлуьунда). Беля мцнасибятя натурал ядядляр чохлуьунда (тренар) мцнасибятдейилир.

6

Xüsusi cəbri əməlCəbri əməl X çoxluğunda XX ´ dekart hasilinin X-ə inikasına deyilir.

Riyaziyyatda cəbri əməl anlayışının daha ümumi halına X çoxluğunundekart hasilinə XXXX ´´´´ ... -nə inikası başa düşülür. Belə əməl n-lik cəbri

əməl adlanır.

Məsələn, beş ədədə 54321 ,,,, aaaaa həmin ədədin cəmi 54321 aaaaa ++++

uyğun qoyulur ki, buna 5-likli cəbri əməl deyilir.

Cəbri əməl X çoxluğunda zyx ®),( inikasına deyilir. İstənilən ),( yx

cütünə həmin çoxluqda 3-cü element z uyğun qoyulur.

Misal: Z tam ədədlər çoxluğunda toplama əməli cəbri əməldir. Lakin cütədədlər çoxluğunda toplama əməli cəbri əməldir. Lakin tək ədədlər çoxluğundatoplama əməli cəbri əməl deyil. Ona görə ki, iki tək ədədin cəmi tək ədəd deyil.

Misal: N-də çıxma əməli cəbri əməl deyil. Konyuksiya, dizyunksiya vəimplikasiya əməlləri binar cəbri əməldir. Mülahizələr çoxluğunda inkari məntiqəməli unar cəbri əməldir. Çevrilmələr çoxluğunda çevrilmələrin kompozisiyasıcəbri əməldir. Ancaq ox simmetriyası bu çoxluqda cəbri əməl deyil. Çünki oxsimmetriyasının kompozisiyası ox simmetriyası deyil.

Çıxma və bölmə əməli (natural ədədlər çoxluğunda) xüsusi cəbri əməldir.X-də xüsusi cəbri əməl verilmiş olur o zaman ki, əgər hər hansı XyXxyx ÎÎ ,),,(

cütünə qarşı qoyulan Xz Î birqiymətli olsun.

zyx ®),( qoyulan z Y çoxluğunu təşkil edir ki, buna xüsusi cəbri əməlintəyin olunma oblastı deyilir.

Tərif: X çoxluğunda hər hansı XY Ì alt çoxluğu XX ´ dekart hasilini X-əinikas etdirən əmələ xüsusi cəbri əməl deyilir.

Tutaq ki, X çoxluğunda Acəbri əməl təyin olunan XA Ì verilmişdir. ),( yx

cütünə qarşı qoyulan Xz Î elementi A-da yerləşməyə də bilər. Əgər Az Î isə,onda deyirlər ki, A – verilmiş cəbri əmələ nəzərən qapalı çoxluqdur. Məsələn, cütədədlər çoxluğu (+) və (´ ) əməlinə nəzərən qapalı çoxluqdur. Xüsusi cəbri əməl

),( yx cütə uyğun z elementi olmadıqda ona boş cəbri əməl deyilir.

x dəfə