Manual de Soluciones Mate II abril

Índice de ejercicios Introducción……………………………………………………….…….1 Capítulo 1. Integral definida Ejercicio 1.1 Antiderivada……………………………………………4 Ejercicio 1.2.1 Integrales de la forma ∫ …………………………14 Ejercicio 1.3.1 Integrales de la forma ∫

……………………….……17

Ejercicio 1.3.2 Integrales de la forma ∫ ………………………….20 Ejercicio 1.3.3 Integrales de la forma ∫ ………………………….21 Ejercicio 1.3.4 Integrales de funciones trigonométricas……………..…22 Ejercicio 1.3.5 Integrales de funciones hiperbólicas…………………...23 Ejercicio 1.3.6 Integrales que dan como resultado funciones j trigonométricas Inversas e hiperbólicas inversas…..…..25 Ejercicio 1.4 Notación sigma………………………………………..33 Ejercicio 1.5 Integral definida…………………………………….…36 Ejercicio 1.6 Teorema fundamental del cálculo……………………...39 Capítulo 2. Métodos de integración Ejercicio 2.1 Integración por partes…………………………………47 Ejercicio 2.2 Integración de potencias de funciones trigonométricas ……………………………………....54 Ejercicio 2.3 Sustitución trigonométrica……………………………..64 Ejercicio 2.4 Integración de funciones racionales……………………79 Capítulo 3. Aplicaciones de la integral definida Ejercicio 3.1 Área entre dos curvas ……………………………….103 Ejercicio 3.2 Volumen de un sólido de revolución ..........................120 Ejercicio 3.3 Longitud de arco …………………………………….130 Ejercicio 3.4 Trabajo………………………………………………137 Capítulo 4. Integración múltiple Ejercicio 4.1 Integrales iteradas …………………………………..144 Ejercicio 4.2 Integrales dobles……………………………………..148 Ejercicio 4.3 Integrales triples……………………………………..154

Índice de actividades Actividad 1 ………………………………………………………………….2 Actividad 2 …………………………………………………………………9 Actividad 3 ……………………………………………………………….11 Actividad 4 ………………………………………………………………..12 Actividad 5 ………………………………………………………………..28 Actividad 6 ……………………………………………………………….30 Actividad 7 ……………………………………………………………….32 Actividad 8 ………………………………………………………………..35 Actividad 9 ………………………………………………………………..38 Actividad 10 ……………………………………………………………….43 Actividad 11 ………………………………………………………………46 Actividad 12 ……………………………………………………………….52 Actividad 13 ………………………………………………………………62 Actividad 14 ………………………………………………………………63 Actividad 15 ………………………………………………………………71 Actividad 16 ……………………………………………………………….74 Actividad 17 ………………………………………………………………78 Actividad 18 ………………………………………………………………88 Actividad 19 ………………………………………………………………93 Actividad 20 ………………………………………………………………98 Actividad 21 ……………………………………………………………..101 Actividad 22 ……………………………………………………………..117 Actividad 23 …………………………………………………………….128 Actividad 24 …………………………………………………………….136 Actividad 25 …………………………………………………………….142 Actividad 26 …………………………………………………………….153 Actividad 27 …………………………………………………………….159

1

Introducción

La Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Nuevo León brindó su apoyo a la Coordinación de la División de Ciencias Básicas para organizar el Curso – Taller de “Elaboración de material de apoyo para la unidad de aprendizaje de Matemáticas II“, dirigido a los docentes que imparten su cátedra en el área de matemáticas de dicha facultad.

Durante este Curso – Taller se elaboró el Manual de soluciones para

Matemáticas II, el cual contiene los diversos procedimientos para resolver los ejercicios y las actividades propuestas en el Manual de Matemáticas II por competencias, así como sus soluciones, con el fin de facilitar la tarea al docente al momento de evaluar el desempeño académico de los estudiantes.

La unidad de aprendizaje de Matemáticas II forma parte de la currícula

en todos los programas educativos de la FIME. Los docentes que colaboraron en la elaboración de este manual son:

Santiago Neira Rosales, Patricia Rodríguez González, Miguel Ángel Patlán Rodríguez, Laura García Quiroga, Miguel Mata Pérez. Jesús Ricardo Villarreal Lozano, Herlinda María Delgadillo Guerra, Mario Carrizales López, César Sordia Salinas, Jesús Renato Colunga de la Garza y Gustavo Adolfo Sánchez Ruiz. Es muy importante el cuidado y el buen uso que se le dé a este material, ya que conlleva a mejorar la calidad educativa en la impartición de esta cátedra. POR NINGÚN MOTIVO, este material debe caer en manos de los estudiantes, ya que anularía en trabajo y el tiempo invertido en su elaboración.

2

Actividad No. 1 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Aplicar detalladamente las reglas de derivación y expresar el resultado en diferenciales. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta de los ejercicios Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos Descripción de la actividad: Aplicar las reglas de derivación dadas (paso por paso), en cada uno de los ejercicios propuestos y expresar el resultado en diferenciales como se muestra en el ejemplo.

Reglas de derivación ( en donde: = constante ( [ ( ( ] [ ( ] [ ( ] [ ]= [ ] [ ] en donde: U Y V son funciones de x

[ ]

[ ] [ ]

[ ] ( Ejemplo: Calcular el diferencial de la siguiente función: ( ( Primero calculamos su derivada.

=(2x+3) (x-1)+(x-1) (2x+3)

=(2x+3)(1)+(x-1)(2)

=2x+3+2x-2

=4x+1

( Respuesta: (

Ejercicio propuesto. Calcular el diferencial en cada una de las siguientes funciones: 1)

2) √ 3) ( (

4)

(

Solución: 1)

(

(

3

2) √ (

( (

( (

√

√

3) ( (

( ( ( ( ( ( ( (

( 4)

( ( ( (

(

( ( ( ( (

(

(

[

( ]

( (

( ( ( ( ( (

(

(

[

( ]

4

Ejercicio 1.1. Antiderivada I. Encuentra la antiderivada más general de cada función, aplicando paso por paso las reglas arriba mencionadas y expresar el resultado sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador. 1) (

( .

/ .

/

2) ( √

(

(

.

/

.

/

(

3) (

( .

/

(

4) (

√

(

(

)

(

) √

5

5) ( √

(

(

)

(

)

(

6) (

(

(

)

(

)

(

(

)

II. Resuelva cada una de las siguientes antiderivadas y expresar el resultado sin exponentes negativos y sin fracciones en el denominador: 7) ∫ 8)∫

∫

9) ∫ √ ∫

∫ (

) (

) ( )

10) ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ (

)

11) ∫( √ √ ∫ (

)

∫ ∫

∫

∫

6

.

/ .

/ . / .

/

12) ∫

∫

∫ .

/ .

/

13) ∫ ( ) ∫ (

∫ ∫ ∫

(

) (

)

14) ∫ (

) ∫( (

∫(

15) ∫( ( (

∫ ∫ ∫

(

) (

)

16) ∫ √ ( ∫ ( ∫ ∫

(

) (

) (

) (

)

7

17) ∫( ∫( ∫ ∫ ∫

(

) (

)

18) ∫( ∫( ∫ ∫ ∫ ∫

(

) (

)

III. Resuelva los siguientes problemas: 19) Crecimiento de árboles. Un vivero suele vender cierto arbusto después de 5 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 5 años, está dada por: dh/dt = 1.5t + 6, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 13 cm de altura cuando se plantan (t=0) a) Determinar la altura después de t años. b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden? Solución: Condiciones iniciales: Cuando ( En donde: t es el crecimiento en años y h(t) es la altura a los t años.

( Ecuación diferencial dada ( Despejando los diferenciales ∫ ∫( Integrando ambos lados de la ecuación ( Resolviendo las integrales Sustituyendo las condiciones iniciales para calcular “C”, resulta: ( ( , despejando , por lo tanto: a) La altura después de “t” años está dada por: ( Para (tiempo que debe transcurrir para su venta), b) ( ( (

8

20) Caída libre. Sobre la luna, la aceleración de la gravedad es de . En la luna se deja caer un objeto desde un peñasco y golpea la superficie de la misma 10 segundos después. ¿Desde qué altura se dejó caer el objeto?, ¿Cuál era su velocidad en el momento del impacto? Condiciones iniciales: Cuando ( ( En donde: t es el tiempo en segundos, V0 es la velocidad inicial en metros por segundo, S(t) es la altura a los t segundos en metros y V(t) es la velocidad a los t segundos en metros por segundo. Considerando que:

Ecuación diferencial

Despejando los diferenciales ∫ ∫ Integrando ambos lados de la ecuación ( Resolviendo las integrales Sustituyendo las condiciones iniciales, cuando t = 0, V0(0)=0 y despejando “C”, entonces C = 0, por lo tanto, la velocidad del objeto está dada por: ( El impacto se produce a los 10 segundos, entonces su velocidad al momento del impacto es: ( ( Considerando que: (

Ecuación diferencial

( Despejando los diferenciales Sustituyendo V(t) ∫ ∫ Integrando ambos lados de la ecuación ( Resolviendo las integrales Sustituyendo las condiciones iniciales, cuando t = 10, S(10)=0 y despejando “C”, entonces C = 80, por lo tanto, la altura del objeto está dada por: ( La altura del objeto cuando se dejó caer (t = 0) es: ( (

9

Actividad No. 2 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Aplicar correctamente las reglas básicas para resolver integrales indefinidas. Criterio de evaluación: Se evaluará el listado que contenga los errores presentados en la solución de cada integral indefinida, así como su justificación para corregirlos. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos Descripción de la actividad:

I. En esta actividad se te presentan 3 integrales indefinidas resueltas que presentan errores en su solución, debes encontrar dichos errores y describir cómo se pueden corregir.

Solución: 1) ∫( ∫ ∫ (

)

∫( ∫ ∫ (

)

Error: No se puede sacar el “2” como constante, sino separar el integrando como una suma de integrales. Solución correcta

∫( ∫ ∫ ∫ ∫

2) ∫

∫ (

)

∫

∫ (

)

Error: Mal multiplicado (3)(3) = 9. Solución correcta:

∫

∫

.

/

10

3) ∫ (

) ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(

) (

)

∫ (

) ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(

) (

)

Error 1: Cambio de signo Error 2: En la 2ª integral se saca

, no 4.

Solución correcta:

∫( ) ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(

)

(

)

11

Actividad No. 3 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Aplicar correctamente las reglas básicas para resolver integrales indefinidas. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la identificación correcta de la o las reglas básicas de integración aplicada en cada paso. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos Descripción de la actividad: Descripción de la actividad: I. En esta actividad se te presentan integrales indefinidas resueltas en donde debes identificar la o las reglas básicas aplicadas en cada paso y escribirla al lado derecho.

∫(

∫ ∫ ∫ Regla 4. ∫[ ( ( ] ∫ ( ∫ ( ∫ ∫ ∫ Regla 3. ∫ ( ∫ (

(

) (

) Regla 5. ∫

Regla 1. ∫

.

/ .

/

II. Retroalimentación

12

Actividad No. 4 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Aplicar las reglas para derivar funciones trascendentales. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y solución correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad: Deriva y simplifica cada una de las siguientes funciones, si es necesario aplica las propiedades de los logaritmos y las identidades trigonométricas.

(

)

(

(

(

(

( (

(

(

(

( )

( ) (

)

(

)

(

( ( (

( (

( (

(

( (

( (

(

13

(

(

√

√

√

(

(

(

(

( (

( (

(

(

√

√

√

(

(

(

(

( √

√

14

Ejercicio 1.2.1. Integrales de la forma ∫ Resuelve las siguientes integrales y simplifica sus resultados:

1) ∫( ∫

(

2) ∫ √ ( ) ∫

⁄

⁄

( )

⁄

( )

⁄

3) ∫ ( ) ∫ [ (

) (

) ] ∫ *

+

∫[ ]

4) ∫√ ( ) ∫

⁄ (

∫

⁄ ∫

⁄ (

)

∫ (

⁄ ⁄ )

∫ ⁄ ∫

⁄

⁄

⁄

( )

⁄

⁄

( )

( )

5) ∫√ ( ∫ ⁄ *

+

∫

⁄ *

+

∫

⁄ (

∫

⁄ ∫

⁄

⁄

⁄

( )

⁄ ( )

⁄

( ⁄

( ⁄

6) ∫( ) ∫

( )

15

7) ∫( ∫

(

8) ∫

(

∫

(

9) ∫ (

∫

(

(

10) ∫ ∫

(

(

11) ∫

∫ (

)

(

12) ∫ ∫

(

∫ (

) ∫

∫

(

13) Flujo de efectivo Ecuación diferencial Condiciones iniciales

(

(

(

16

Separando las diferenciales La ecuación que expresa la ( la cantidad que queda para ser desembolsada al tiempo Integrando ambos lados “t” es: ∫ ∫ ( (

(

Para t= 50 Sustituyendo t=100 y Q=0 (

(

(

entonces C=0 ( La ecuación toma la forma

(

Sustituyendo t=0 Q=2 000 000

(

17

Ejercicio 1.3.1. Integrales de la forma ∫

Resuelva cada una de las siguientes integrales

1) ∫

∫

| |

| |

√

2) ∫

| |

| |

3) ∫

∫ (

(

) ∫

| | ( )

4) ∫

∫ ( ( (

∫

∫

| | √

5) ∫

∫ *

+ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

| |

| |

6) ∫

⁄ (

⁄ )

∫

⁄

∫

| |

|

⁄ |

| ⁄ |

⁄

7) ∫

∫

| | | |

8) ∫

∫

| |

| | | |

⁄

(

⁄

⁄

⁄

18

9) ∫ ( (

∫

| |

| ( |

√ (

10) ∫ √

∫ √

∫ (

∫

∫ ∫ ∫

| | (√ ) |√ | √ (√ )

√ (√ )

11) ∫

∫ (

∫

∫

(

∫ ∫

∫ ∫

| | ( | | | | | |

12) Crecimiento de población: Una población de bacterias cambia a un ritmo

Donde t es el tiempo en días. La población inicial (cuando t = 0) era 1 000 bacterias. Escribir una ecuación que describa la población en cualquier instante t y calcular la población cuando han transcurrido 3 días.

Ecuación diferencial Condición inicial

Despejando los diferenciales

Integrando ambos lados ∫ ∫

∫

(

√

√

√ √

19

| | | | Sustituyendo la condición inicial y despejando C | |

La ecuación que representa a la población de bacterias en el tiempo t es:

( | |

| ( ( |

| |

(

20

Ejercicio 1.3.2. Integrales de la forma ∫ Resuelva cada una de las siguientes integrales

1) ∫

∫ ∫

2) ∫

∫ ∫

3) ∫( ( ∫ ( )

4) ∫ √

√ ∫

√ ( √ ) ∫ √

5) ∫ (

∫

6) ∫( )( ( ∫ ∫

7) ∫ ( ) ∫( ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ (

∫( ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(

√

√ √

21

Ejercicio 1.3.3. Integrales de la forma ∫ Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫ ∫

2) ∫ (

) ∫ ( ) ∫(

)

( )

( )

( )

( )

3) ∫ √

√ ∫

√ ( √ ∫ (

) ( √

)

√

4) ∫

√ ∫

5) ∫( ∫[ ( ] ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(

) (

)

(

√

√

√

√

22

Ejercicio 1.3.4. Integrales de funciones trigonométricas Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫ ∫

2) ∫ ∫

3) ∫

∫ (

4) ∫( ∫ ∫ ∫

∫

| |

(

| |

√

O bien…

| |

| |

√

5) ∫

∫

∫

∫ | |

| | | | ⁄

6) ∫ (

) ∫(

) ∫ 7) ∫( ∫( ) ∫(

∫( ∫ ∫ ∫ ∫

8) ∫

∫

∫

∫ | |

9) ∫

∫

∫ | | | | 10) ∫

∫ ( ) ∫

∫

( | |

| |

| |

23

Ejercicio 1.3.5. Integrales de funciones hiperbólicas Resuelva cada una de las siguientes integrales:

1) ∫ √ √

2) ∫ 3) ∫ ( 4) ∫ 5) ∫

6) ∫(

Solución al ejercicio 1.3.5

∫ √

√ √

√

∫

√

∫

∫

∫ (

∫

(

(

∫

∫

| |

| |

24

∫

∫

∫

( )∫ ∫

∫(

∫

25

Ejercicio 1.3.6. Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas Inversas e hiperbólicas inversas. Resuelva cada una de las siguientes integrales:

∫

√

∫

√

(

)

∫

√ (

∫

√

∫

√

(

)

∫

√

(

)

∫

√

∫

√ ( ) ∫

√

(

)

∫

√

(

)

∫

∫

( ) (

)

( ) .

/

∫

.

/

26

∫

√

∫

√ (

)

∫

√ (

)

∫

√

∫

√

(

) (

)

(

) (

)

∫

√

(

)

∫

√

∫

√

(

)

∫

√

.

/

∫

√ √

√

√

∫

√ ∫

( √ )

√ √ √ ∫

√

(

) ( )

∫

√ (

) .√

/

∫

√ .

√

/

27

∫

√

(

∫

√( (

∫

√ (

)

∫

√ (

∫

( √

( (

[( ]

(

∫

( √ ( (

∫

√

(

)

∫

( √ (

28

Actividad No. 5 Desarrollo En equipo- extra aula Propósito: Identificar la fórmula de la integral que involucra el cambio de variable y funciones trascendentales. Criterio de evaluación: Se evaluará al equipo que exponga la respuesta correcta. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora clase. Descripción de la actividad: Determina la fórmula que corresponde para resolver cada integral propuesta e identifica “u” en cada una. (No resuelvas la integral).

Integral Fórmula “ u “ 1) ∫( ∫

2) ∫ √

∫

√

3) ∫ ( (

∫

4) ∫

∫

5) ∫ ∫

6) ∫

√

∫

√

7) ∫

∫

8) ∫

∫

9) ∫

∫

10) ∫

∫

11) ∫ ∫

12) ∫

∫

13) ∫ ( ∫

14) ∫

∫

∫

∫

15)∫

∫

16) ∫ ( ∫

17) ∫ ∫

29

18) ∫

∫

19) ∫ ∫

20) ∫

√

∫

√

30

Actividad No. 6 Desarrollo En equipo- en el aula Propósito: Seleccionar el método de integración. Criterio de evaluación: Rapidez de respuesta de los equipos, argumentación por equipo y contenido del reporte por equipo. Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos. Descripción de la actividad: 1) Formar equipos de 4 estudiantes en una sesión de clase. 2) Se entrega la actividad por equipo estipulando un tiempo de 20 minutos para resolver el problema I de la actividad propuesta. 3) En los siguientes 5 minutos, hacer una discusión para comparar las soluciones y estar de acuerdo en las correctas. 4) Se continúa con la actividad dando 10 minutos para resolver el problema II de la actividad propuesta. 5) En los siguientes 5 minutos, mediante una lluvia de ideas propiciar que el estudiante llegue a conclusiones, distinguiendo las estrategias matemáticas con las que puede contar. 6) Retroalimentación.

I. Evalúe cada una de las siguientes integrales: 1) ∫

√

∫

( )

√

2) ∫ √ ∫( ∫( ) ∫ ∫

(

(

( *

+

( *

+

( (

31

3) ∫ ∫ (

) ∫

∫ | |

| |

Después de realizar los procedimientos de cada integral, seleccione el inciso que corresponde a la solución. Solución del 1) a) √ b)

√ Esta es la solución correcta

c) –√ Solución del 2)

a) ( (

b) (

(

c)

( ( Esta es la solución correcta

Solución del 3) a)

| | Esta es la solución correcta

b) | | c) | |

II. Analizar los procedimientos y expresar qué los distingue. Los distingue el cambio de variable, en el problema 1 solo se aplica la sustitución directa, en el problema 2 se debe agregar un despeje mientras que en el problema 3 se debe aplicar primero una identidad.

32

Actividad No. 7 Conocimiento previo Individual - extra aula Propósito: Evaluar límites al infinito. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y soluciones correctas. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos. Descripción de la actividad: Calcula el límite de cada función dada, si es que existe: (

) =

+ 4= 0 + 4 = 4

2) (

)=

-

-5= -5

3) ( ) =

=

=

= -2

4) *( ( += ⌈

⌉ = (

)

5) (

)= ( = No existe

33

Ejercicio 1.4. Notación Sigma I. Expresa en notación sigma las siguientes sumas: 1)

∑

2) ∑ (

( Fórmula de una progresión aritmética ( ( (

3) Suma de los primeros 50 números pares consecutivos

∑

II. Calcula las sumas indicadas, si es necesario utilice los Teoremas de la Sumatoria. 4) ∑

5) ∑

( 6) ∑

∑ ( (

( (

7) ∑ (

∑ ∑

∑ (

( (

8) ∑ (

) ∑

∑

∑ (

( (

9) ∑ ( ∑ ∑ ( (

(

10) ∑ (

34

11) ∑ (

12) ∑ (

∑ (

∑ ∑

∑ (

( (

35

Actividad No. 8 Desarrollo En equipo – en el aula Propósito: Aplicar la notación sigma y sus teoremas en el cálculo de sumas. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos correctos. Tiempo estimado para la actividad: 10 minutos. Descripción de la actividad: 1) En equipos de 3 estudiantes como máximo se reflexionará sobre el procedimiento requerido para resolver las sumatorias propuestas.

a) ∑ (

Se evalúa la sumatoria desde i=1 hasta 50 y se le suman los valores correspondientes a i=0; i=-1; i=-2 e i=-3

∑ (

∑ (

∑

∑

(

( (

b) ∑ (

Se evalúa la sumatoria desde i=1 hasta 60 y se le restan los valores correspondientes a i=1; i=2; e i=3. ∑ (

∑ ∑ ∑

( ( (

( (

(

c)∑ ( )

∑ (

)

= ( )

2) Se comentarán las conclusiones en el aula. 3) Retroalimentación.

36

Ejercicio 1.5. Integral definida Evaluar cada una de las integrales definidas aplicando la definición, utilizando una partición regular y observar su interpretación geométrica. ∫ (

∑ (

En donde:

( ( ) (

∫ ( ∑ (

) (

) ∑ (

)

*∑

∑

* (

)

( (

++

*

( *

++ *

+

2. ∫

∑ (

En donde:

( ( ) (

)

∫

∑.

/ ( )

∑

0

( (

1

*

( + *

+

x

y

-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8

0

1

2

3

4

37

3. ∫ (

∑ (

En donde:

( ( )

∫ (

∑0.

/ ( )1

∑0.

/1

*∑

∑

+ *

( (

(

+

*

( ) + *

+

4. ∫ ( ∑ (

En donde:

( ( )

∫ (

∑[( ) (

)]

∑[(

)]

*∑

∑

+ *

(

(

)+

*

(

+ *

+

x

y

-1,8 -1,6 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8

-1

0

1

2

3

x

y

-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

38

Descripción de la actividad. Evalúa cada una de las siguientes funciones: 1) (

9) ( (

(

(

( (

) (

) (

2) ( 10) ( ( √

( ( (√ ) (√

) (√

)

3) ( √ 11) (

( √( √ ( 4) ( ( 12) ( ( ( ( (

5) ( ( 13) ( ( ( ( ( 6) ( ( 14) ( (

( (

)

7) ( ( 15) ( (

( (

) (

8) ( (

( ) (

) 1

Actividad No. 9 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Evaluación de funciones algebraicas y trascendentales. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y la solución correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora.

39

Ejercicio 1.6. Teorema fundamental del cálculo Resuelva cada una de las siguientes integrales definidas:

1) ∫ (

√ √ ) ∫ [ ] 0

1

0

1 *

+

[ ( ( ] [ ]

2) ∫ (

) ∫( ( )

∫ (

+

+

* ( + *

( +

3) ∫ ( ∫ (

+

*

+ *

+

4) ∫

| |]

5) ∫

∫

| |]

6) ∫

∫

+

[ ]

[ ]

[ ]

7) ∫ | |]

* | (

) (

)|+ * |

|+

40

* |

|+ * |

|+ | | | |

8) ∫ (

) ∫ ]

* ( ) (

)+

[ ]

9) ∫ √

∫ √ (

)+√

√

√

(

)+ √

(√ )

10) ∫ | |

∫ ( ∫ (

| | { ( (

+

+

*

+ *

+ *

+ *

+

11) Probabilidad: La probabilidad de que una persona recuerde entre a y b porciento del material aprendido en un experimento es:

∫

√

Donde x representa el porcentaje recordado. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar recuerde entre 50 y 75% del material? ∫

√

∫ (

41

∫ ( )

0

1

*

+

,*

(

( + *

(

( +-

,*

( )

( )+ *

(

( +-

*

+

[ ]

12) Experimento de la aguja de Buffon: Sobre un plano horizontal se trazan rectas paralelas separadas por una distancia de 2 pulgadas. Una aguja se lanza aleatoriamente sobre el plano. La probabilidad de que la aguja toque una recta está dada por:

∫

Donde es el ángulo entre la aguja y cualquiera de las rectas paralelas. Determinar esta probabilidad.

( ]

*

+

[ ]

13) Temperatura: La temperatura en grados Fahrenheit en una casa está dada por:

0 (

1

Donde t es el tiempo en horas, con t = 0 representando la media noche. El costo horario de refrigeración de una casa es de 0.10 dólares por grado.

a) Encontrar el costo C de refrigeración de la casa si el termostato se ajusta en 72°F calculando la integral

42

∫ [ [ (

] ]

∫ 0 (

1

∫ * (

+

(

(

)∫

[ ]

[ ]

[ ]

(

b) Encontrar el ahorro al reajustar el termostato en 78°F calculando la integral

∫ [ [ (

] ]

∫ * * (

+ + ∫ [ * (

+] ∫

(

)∫

∫

[ ]

[ ]

[

] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

43

Actividad No. 10 Integradora Individual – extra aula Propósito: Aplicación de integrales indefinidas y definidas en problemas de ingeniería. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y la solución correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripción de la actividad: Resolver los siguientes problemas: 1. Tiro vertical hacia arriba. ¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para que su altura máxima coincida con la parte superior del Faro del Comercio, situado en la Macroplaza de la Cd. de Monterrey? El Faro del Comercio tiene una altura aproximada de 70.6 metros.

Condiciones iniciales: Partiendo de: analizando

Despejando los diferenciales Despejando los diferenciales y sustituyendo V de la Ec.1

( Integrando ambos lados Integrando ambos lados ( (

Cuando t=o V= ( Cuando t=0 s=0 Se genera la Ec. 1 por lo tanto c=0 ( Se genera la Ec. 2 ( Despejando de la Ec. 1y sustituyendo en la Ec. 2 ( ( ( ( Cuando s=70.6 v=0 Tomamos el valor positivo de t

√

Cuanto t=3.79 v=0 s=70.6 Sustituyendo en ( ( (

44

2. Ciclo respiratorio. Después de hacer ejercicio durante un tiempo determinado, una persona tiene un ciclo respiratorio para el cual la tasa de admisión de aire está dada por: (

) .

Calcular el volumen, en litros, del aire inhalado durante un ciclo, integrando la función sobre el intervalo minutos. Solución: Como la tasa de admisión de aire está dada en litros por minuto, se expresa como:

Despejando los diferenciales y sustituyendo

( )

Integrando para Límites de integración ∫ ∫ (

)

( )∫

[ ]

[

]

[ ]

3. Precio medio. La ecuación para la demanda de un producto está dada por: (

. Si el precio

medio está dado por ∫ (

, determinar su precio medio en el intervalo [ ]. Sustituyendo a=30 b=40 y P(x)

∫

∫

∫

∫

| |]

[ ] (

)

[ ]

45

4. Probabilidad. El tiempo medio de espera “x” (en minutos) en una tienda de autoservicio está dado por la solución de la ecuación ∫

. Resuelva la ecuación.

∫

∫

]

[ ]

Aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la ecuación, resulta:

46

Actividad No. 11 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Análisis de las características del método de integración por partes, como introducción al tema. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los procedimientos y la solución correcta a cada ejercicio propuesto. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripción de la actividad: Selecciona correctamente “u” y “dv” para las funciones polinomiales, exponenciales, trigonométricas, inversas y logarítmicas. Argumente la selección de “u” y “dv” en cada situación.

Integral “u” “dv” Integral “u” “dv”

∫ ʃ exCosxdx

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ x3dx

47

Ejercicio 2.1. Integración por partes Resuelva las siguientes integrales 1) ∫ (

∫

∫ Haciendo:

( | |)

| |

2) ∫ (

∫

∫ Haciendo:

( )

(

)

3) ∫ (

) ∫

∫ Haciendo:

4) ∫( ( ∫(

Haciendo: ( ∫(

(

( ) (

5) ∫ ∫ (

√ ) Haciendo: ∫ (

√ )

√

∫ ( ( )

∫ (

)

∫

48

(

6) ∫ (

) (

) ( ∫ (

) Haciendo: (

) (

) ∫

.

/ ( ) ∫

( ) (

) | |

7) ∫ (

∫ (

)

Haciendo:

∫ integrando otra

vez por partes

∫

[

∫(

) ]

*

+

8) ∫ ( ∫( Haciendo:

∫ ∫

Integrando nuevamente por partes:

∫ [ ∫( ]

∫ Volviendo a integrar por partes

49

∫ [ ( ∫( ]

∫ ( ( 9) ∫ ∫ ( Haciendo:

∫ ∫

Integrando por partes otra vez:

∫ [ ∫ ]

∫ ∫

∫

∫

(

10) ∫ ∫ ( ) Haciendo:

∫ ∫

Integrando de nuevo por partes:

∫ [ ( ∫( ( )]

50

∫ [ ( ∫( ( )]

∫ ∫

∫ ∫

(

11) Resolver la ecuación diferencial dada, haciendo y’ = dy/dx ; Partiendo de la ecuación diferencial dada

Se despejan los diferenciales Integrando ambos lados de la ecuación, resulta:

∫ ∫

∫

∫

∫

12) Si el área de la región mostrada en la figura está dada por: ∫

. Calcular dicha área

Integrando por partes, en donde:

51

∫

∫

0 ∫

1

[ ] [ ( ]

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

y = 0

y = x e^x


52

Actividad No. 12 Conocimiento previo Individual – en el aula Propósito: Analizar las condiciones para aplicar cada uno de los casos trigonométricos, como introducción al tema. Criterio de evaluación: Reporte que muestre la redacción correcta y concreta de la estrategia requerida. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora clase. Descripción de la actividad: 1. Explica cuál es tu estrategia para evaluar integrales que contienen senos o cosenos: a) Con la potencia de la función seno impar positiva Expresar como: Caso I Utilizar: b) Con la potencia de la función coseno impar positiva Expresar como: Caso I Utilizar: c) Si las potencias de ambos son pares y positivas Utilizar: Caso III

y

2. Describir cómo integrar ∫ para cada condición a) m es positivo e impar Expresar: Caso II Utilizar: Sustituir el y multiplicarlo por el e integrar cada término como ∫ b) Si n es positivo e impar Expresar: Caso II Utilizar: Sustituir el y multiplicarlo por el e integrar cada término como ∫ c) m y n son positivos e impares Expresar el impar menor como: Caso II

53

ó Utilizar: ó Sustituir en la integral y al multiplicar e integrar cada término como ∫ 3. Describir como integrar ∫ para cada condición. a) m es impar positivo - Si n es impar expresar como: Caso VIII Utilizar: - Si n es par Integrar por partes. b) n es positivo e impar -Si m es par expresar la como: Caso VII (

y multiplicarlo por la y cada

integral resultante se resuelve por ∫ . -Si m es impar expresar como: Caso VIII Utilizar: c) n es positivo y par y no hay factor secante Expresar como: ( d) m es positivo e impar y no hay factor tangente Integrar por partes Expresando en donde dv = y u =

54

Ejercicio 2.2. Integración de potencias de funciones trigonométricas Resuelve las siguientes integrales: 1) ∫ Caso I ( ( Usando: ( ( (

∫ ∫ ( ∫ ( (

∫ (

) ∫ ( (

( )

∫ ∫

*

+

(

(

2) ∫

Caso III Identidad

=

∫ ∫ [ (

)]

∫(

)

∫

∫

∫

∫

∫ ∫ * (

+

∫ ∫ (

∫

(

Aplicando Caso III a la 3ª. Integral, en donde:

55

3) ∫ Caso II Usar la identidad: de manera similar al Caso I, por lo tanto: ( ( ∫ ∫ ( (

∫ ( ( [ ( ] ∫ ( ( ∫ ( ( ∫ ( (

( ) ∫ ( (

( )

∫ ∫

(

)

(

)

(

(

4) ∫ ∫ ( Aplicando Caso III, utilizando una de las identidades de ángulo doble y sustituyendo, resulta: (

∫( (

) (

(

∫( ( ( (

∫ ( ∫ ( (

∫ (

∫ ( ( ( )

∫ (

)

(

)

(

(

56

5) ∫ ( ( Caso IV

[ ( ( ]

( ( [ ( ( ]

( ( [ ]

∫ ( (

∫ [ ]

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

(

6) ∫ ( ( Caso IV

[ ( ( ]

( ( [ ( ( ( ]

( ( [ ]

∫ ( (

∫ [ ]

∫ ∫

∫

∫

(

7) ∫ Caso V Identidad:

57

∫ ∫ ∫ [ ( ] ∫ ( ∫

∫ ( *

( + ∫ ( (

∫ ∫[ ( ] (

*

+ ∫ ( ( ∫ (

∫ ( (

( ∫ (

)

(

∫ ∫

( *

+

| |

(

(

| ( |

8)∫ ∫ Resolviendo por el método de integración por partes, en donde: ( ( ( (

(

Por lo tanto: ∫ ∫

∫ ( ( ( ∫

( (

∫ (

( ( ∫ ( (

Sustituyendo

( ( ( ( Caso V

( (

58

∫ ( ( ( ∫(

∫ ( ( ( ∫ ( ∫ (

Despejando ∫ del lado derecho de la ecuación, resulta: ∫ (

( (

| ( ( |

∫ (

( (

| ( ( |

9) ∫ ( ( Caso 7 Escribir ( como Caso VI ( [ ( ] ( ∫ ( ( ∫ ( [ ( ] (

∫ ( ( ∫ ( (

∫ ( * ( + ∫ ( *

( +

Haciendo ( ( (

∫

∫ *

+

*

+

*

+

*

+

(

(

10) ∫ Caso 8 Identidad: ( ( ∫ ∫ ( ( (

∫ ( ( ( ∫ [ ( ] ( (

59

∫( ( ( ( (

∫ ( ( ( ∫ ( ( ( ∫ ( ( ( Haciendo ( ( ( , despejando dt y sustituyendo, resulta: ∫ ( ( (

( ( ∫ ( ( (

( (

∫ ( ( ( ( (

∫ ∫

∫ *

+

*

+

(

(

(

11) ∫ Resolviendo por el método de integración por partes, en donde: ( ( ( (

(

∫ ∫

∫ ( ( *

( + ∫

(

∫

( ( ∫ ( (

Haciendo ( ( y sustituyendo resulta:

∫

( ( ∫ ( [ ( ]

∫ (

( ( ∫ ( ∫ (

Simplificando

∫ ( ( ( ∫ (

Sustituyendo el resultado de ∫ ( del problema 8) de este ejercicio, queda:

60

∫ (

( (

( (

| ( ( |

∫ (

( (

( (

| ( ( |

12) ∫ Utilizando: ∫ ∫( ∫ ∫ ∫ ∫ ( Ecuación 1) Resolviendo ∫ ∫ por el método de integración por partes, en donde: ( ( (

(

∫ ∫

∫ ∫ (

) ∫

( (

∫

∫ (

Haciendo ∫

∫(

∫

∫ ∫

Simplificando, sumando integrales semejantes ∫

∫ (

∫

∫ ( Sustituyendo en la ecuación 1 ∫

∫ ∫ ∫

61

Sumando integrales semejantes ∫

∫ ∫

Sustituyendo el resultado del problema 8) y del problema 11) en la integral correspondiente, resulta:

∫

| |

| |

∫

| |

62

Actividad No. 13 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Analizar las fórmulas de los casos trigonométricos para determinar las condiciones de aplicación. Criterio de evaluación: Llenado correcto de la tabla. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos. Descripción de la actividad:

1) Llena la tabla propuesta, indica el caso que resolverá a cada integral propuesta y justifica. (Ver ejemplo)

Integral Caso trigonométrico Justificación

∫ ( Caso I Porque el integrando contiene la función seno elevado a un exponente impar positivo.

∫ ( ( Caso IV

Porque el integrando contiene un producto de seno por coseno con ángulos diferentes

∫ ( Caso V

Porque el integrando contiene a la función tangente elevada a un exponente entero positivo.

∫ ( Caso VI

Porque el integrando contiene a la función cosecante elevada a un exponente entero par positivo.

∫ ( ) Caso III

Porque el integrando contiene a la función coseno elevada a un exponente entero par positivo.

∫√ Caso VII

Porque el integrando contiene un producto de Tangente por Secante con exponente par positivo

∫ Caso VIII

Porque el integrando contiene un producto de Cotangente por Cosecante, en donde el exponente de la Cotangente es entero impar positivos.

∫ ( ) Caso I

Porque el integrando contiene la función Coseno elevado a un exponente impar positivo.

∫ Caso VIII

Porque el integrando contiene un producto de Tangente por Secante, en donde el exponente de la Secante es entero par positivo

Caso VII Porque el integrando contiene un producto de Tangente por Secante, en donde el exponente de la Tangente es entero impar positivo.

∫ ( No tiene caso

Porque se integra por partes

∫ Caso II

Porque el integrando contiene un producto de seno por coseno y al menos un exponente es entero impar positivo

63

Actividad No. 14 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Recordar el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción correcta a cada enunciado. Tiempo estimado para la actividad: 20 minutos. Descripción de la actividad: I. Para el siguiente triángulo rectángulo, determinar:

a) La longitud de cada uno de sus lados ; √ ; √ ; √ b) Las siguientes funciones trigonométricas para cada uno de sus ángulos agudos. Sen A =

Sen B =

Cos A =

Cos B =

Tan A =

Tan B =

Cot A =

Cot B=

Sec A =

Sec B =

Csc A =

Csc B =

64

Ejercicio 2.3. Sustitución trigonométrica I. Resuelva las siguientes integrales: 1) ∫

√

Por cambio de variable haciendo ;

∫ √

∫

⁄

∫

⁄ . ⁄

/ √

Por el método de sustitución trigonométrica: Sustituyendo ; ;

∫ √

∫ (

∫ Despejando Tan de la sustitución trigonométrica para trazar el triángulo rectángulo.

Se determina la a partir del triángulo

√

Sustituyendo en el resultado de la integral, queda:

∫ √

(√

) √ Nota: Recordemos que los métodos de integración se aplican cuando la integral no se puede resolver por una sustitución directa, como en este caso, con la primera sustitución se resuelve.

2) ∫

(

⁄

∫

( ⁄ ∫

√

65

Haciendo la sustitución de ; ; y el cambio de límites, o sea, si

y si resulta:

∫

√ ∫

( ∫

∫

[ ]

( ) √ 3) ∫

√

Haciendo la sustitución trigonométrica de ; ;

∫ √ ∫

∫

∫

Se traza el triángulo rectángulo a partir de la sustitución trigonométrica.

Se determina a partir del triángulo y se sustituye en el resultado de la integral, resulta:

√


∫

√

√

4) ∫ (

∫

(√ )

Haciendo la sustitución de ; ; resulta:

66

∫

( ∫ (

∫

∫

Se traza el triángulo rectángulo a partir de la sustitución trigonométrica.


√

Sustituyendo en el resultado de la integral, queda: ∫

√

√

5) ∫ √

Por cambio de variable, en donde:

∫

√ ∫

√

( ) (

)

De forma equivalente, se puede expresar como:

∫

√ | √ | | √ |

Nota: Por sustitución trigonométrica da el mismo resultado

6) ∫√

Haciendo la sustitución trigonométrica de ; ;

∫√

∫ (

∫

∫

67

∫( ∫ ∫ Se traza el triángulo rectángulo a partir de la sustitución trigonométrica.


√


∫√

√

(

)

7) ∫√

Haciendo la sustitución trigonométrica de:

∫√

∫

(

∫

∫

∫

∫

∫ ∫ | | Trazando el triángulo rectángulo a partir de la sustitución trigonométrica para calcular:

Sustituyendo en el resultado, queda:

√

√

68

∫√

|

√

| .

√

/

| √

| √

8) ∫ √

Haciendo cambio de variable, en donde: , resulta:

∫

√ ∫

√

( )

( )

En forma equivalente:

∫

√

| √

|

9) ∫ √

Haciendo la sustitución trigonométrica de:

∫

√ ∫

( (

∫

Utilizando el Caso III, en donde se sustituye

, resulta:

∫ (

) ∫ ∫

Sustituyendo la identidad de ángulo doble:

∫

√

Trazando el triángulo rectángulo a partir de la sustitución trigonométrica para calcular:

69

Sustituyendo en el resultado, queda:

∫

√ (

) (

) .

√

/ ( )

√

10) ∫ √

Haciendo la sustitución trigonométrica de: , resulta:

∫

√ ∫

( (

∫

Utilizando el Caso IV para resolver la integral resultante: (

(

∫

√ ∫( ∫ ∫

∫

√ ∫ ∫


∫

√ ∫ ∫ .

/

( Trazando el triángulo rectángulo a partir de la sustitución trigonométrica para calcular:

Sustituyendo en el resultado de la integral, resulta:

√

√

70

∫

√ .

√

/ 0

1 √ .

/

∫

√

√ (

71

Actividad No. 15 Desarrollo Individual – en el aula Propósito: Desarrollo de conceptos. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la descripción correcta a cada enunciado. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos. Descripción de la actividad: 1. Decidir que sustitución trigonométrica habría que hacer suponiendo que la integral a resolver contiene el radical dado, con a > 0. Explicar el razonamiento.

a) √ b) √ c) √

2. Enunciar el método de integración para realizar cada integración. Explicar por qué se eligió ese método. No integrar.

a) ∫ √ b) ∫ √ a) ∫ √ Por ∫ porque se puede completar el diferencial. b) ∫ √ Por sustitución trigonométrica 3. Evaluar la integral ∫

usando a) la sustitución trigonométrica y b)

cualquier otra sustitución. Discutir los resultados. a) Por sustitución trigonométrica

∫

∫

(√ )

Sustituyendo en la integral

∫

( ∫

∫

| |

72

Calculando la a partir del triángulo

Sustituyendo en la solución de la integral resulta.

∫

| | |

√

| |√ |

√

b) Por cambio de variable:

Completando el diferencial:

∫

∫

| |

| | √

4. Evaluar la integral ∫

usando a) la sustitución trigonométrica y b)

efectuando la operación algebraica y luego integrando. Discutir los resultados. a) Sustitución trigonométrica

∫

∫

(√ ) ∫

( (

∫(

∫(

Evaluando a partir del triángulo

√

73

Sustituyendo en la solución de la integral

∫

(

)

b) Por operación algebraica

∫

División de polinomio

|

La integral se puede reexpresar como:

∫

∫

∫ ∫

Haciendo cambio de variable, en donde:

∫

∫ ∫

(

) (

)

∫

(

)

74

Actividad No. 16 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Resolución de las integrales propuestas. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a las integrales propuestas. Tiempo estimado para la actividad: 90 minutos Descripción de la actividad: Identifica la sustitución trigonométrica adecuada dependiendo del tipo de integrando y empléala para resolver los problemas propuestos. Si alguna de las integrales pudiera resolverse por algún método visto anteriormente, indique cual. 1) ∫

√

Sustitución trigonométrica:

∫

√ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(

) (

(

)

√

∫

√

Sustitución trigonométrica

√

√

75

∫

√ ∫

∫

∫

∫

(

.

√

/


∫

√ ∫

√

.

√

| |/

.

√

/

3. ∫

√

Por sustitución trigonométrica

∫

√ ∫

∫

.

√

/

Por cambio de variable, en donde: √

√

∫

√ ∫

√ √

∫

√

.

√

/

√

√

76

4. ∫

√

Por sustitución trigonométrica

∫

√ ∫

∫

√ Por cambio de variable, en donde:

∫

√ ∫

(

) ∫ (

)

√

5. ∫

( )

∫

(

∫

√( ∫

∫

∫

∫

∫

(

) ∫

√

√

√

77

6. ∫

√

Por sustitución trigonométrica:

∫

√ ∫

( )

∫

∫(

.

/

(√

)

.√

/

(

(

(

(

√

78

Actividad No. 17 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Recordar el proceso de factorización y aplicarlo a diferentes funciones polinomiales. Criterio de evaluación: Se evaluará la tabla que contenga la información correcta para cada polinomio dado. Tiempo estimado para la actividad: 30 minutos Descripción de la actividad: El estudiante llenará la tabla propuesta factorizando e identificando los tipos de factores encontrados en cada polinomio dado.

Forma del factor Nombre del factor ax+b lineal distinto

(ax+b)k lineal repetido ax2+bx+c cuadrático distinto

(ax2+bx+c)k cuadrático repetido Polinomio Factores Lineales

distintos Lineal repetido

Cuadrático distinto

Cuadrático repetido

(x+1)(x-1) XX 4x2 – 9

(2x+3)(2x-3) X X

X2 + x – 2

(x+2)(x-1) X X

X2 + 4x + 3

(X+3)(x+1) X X

2x2 + x – 1

(2x-1)(x+1) X X

X3 – 4x

x(x+2)(x-2) X XX

X2 – 2x – 8

(x - 4)(x + 2) X X

X3 + x2

x²(x + 1) X X

X3 – 4x2 + 4x

X(x - 2)² X X

X3 + x2 – x – 1

(x+1)² (x-1) X X

X3 + x

x(x²+1) X X

X3 – 8

(x-2) (x²+2x+4)

X X

X4 – 2x2 – 8

(x+2)(x-2) (x²+2)

X X X

16x4 – 1

(2x²+1)(2x-1) (2x-1)

XX X

X3 – x2 + x + 3

(x+1) (x²-2x+3)

X X

X4 + 6x2 + 9

(x²+3)² X

79

Ejercicio 2.4. Integración de funciones racionales Resuelva cada una de las siguientes integrales: ∫

Factorizando el denominador y expresando en las fracciones parciales que corresponden, resulta:

( (

Los valores de las constantes A y B se pueden encontrar por tres procedimientos diferentes. - Utilizando límites

- Eliminando denominadores y dando valores.

( (

Para Para ( ( 4 A - Generando un sistema de ecuaciones lineales

( (

( ( Ec.1: ; Ec.2: Resolviendo el sistema, resulta: Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

80

∫

∫

∫

∫

∫

| | | | |(

( |

∫


Encontrar los valores de las constantes A, B y C utilizando límites.

( (

( (

(

( (

(

( (

Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

| | | | | | | (

( |

81

∫


(

Encontrar los valores de las constantes B y C utilizando límites.

Generando un sistema de ecuaciones lineales: ( ( ( ( Ec. 1: Ec.2: Ec.3: Sustituyendo B=4 y C=5 resulta que A=3 Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫ ∫

∫

(

∫

∫ ∫

(

| |

| | | (

|

82

∫


(

(

Encontrar los valores de las constantes B y D utilizando límites.

(

(

Generando un sistema de ecuaciones lineales ( ( ( ( ( (

( ( ( (

Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Sustituyendo B=2, D=1 y resolviendo para A y C, resulta: A=1 y C=-3 Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫

∫

( ∫

∫

(

∫

∫

(

∫

∫

(

| |

| |

|

( |

83

∫


Generando un sistema de ecuaciones lineales: ( ( ( ( ( Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Resolviendo el sistema, resulta que: C=2 y D=-1 Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

| | | |

(

∫


( (

84

Generando un sistema de ecuaciones lineales.

( ( ( (

( ( ( ( Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Resolviendo el sistema generado, resulta que: Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫

∫

∫

∫

(

) | |

(

) (

∫


( (

(

Encontrar los valores de las constantes A y B utilizando límites.

( (

( (

(

( (

Generando un sistema de ecuaciones lineales:

85

( ( ( ( ( (

( ( ( Ec.1: Ec.2: ( Ec.3: Ec.4: Resolviendo el sistema generado, resulta: A=4; B=1; C=0 y D=3 Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫ ∫

∫

(

∫

∫

∫

(

| | | | (

)

|

|

(

)

∫ ( (


( (

(

(

(

Encontrar el valor de la constante A utilizando límites.

(

Generando un sistema de ecuaciones lineales:

( ( ( ( ( (

86

( ( ( ( (

Ec.1: Ec.2: Ec.3: Ec.4: Ec.5: (

Resolviendo el sistema generado, resulta que:

A=3; B=0; C=0; D=-2; E=0 Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫ ( (

∫

( ∫

(

∫

( ∫

(

| |

|( |

∫

Efectuando la división de polinomios, la integral al reexpresa como:

∫

∫.

/ ∫ ∫

La segunda integral es la que se descompone en fracciones parciales:

( (

Encontrar los valores de las constantes A, B y C utilizando límites.

( (

87

(

(

(

(

Sustituyendo la fracción por la suma de las fracciones parciales, queda:

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

| | | | | |

|( (

|

∫


( (

Encontrar los valores de las constantes A, y B utilizando límites.

(

(

Formando una integral para cada fracción parcial, sustituyendo los valores de las constantes, encontrados y resolviendo, queda:

∫

∫

∫

∫

∫

* | |

| |+

0 √

1

√ √

√

√

√

88

Actividad No. 18 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Repaso de los métodos de integración. Criterio de evaluación: Se evaluará un reporte que contenga el cuadro sinóptico contestado correctamente. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora.

Descripción de la actividad: En cada una de las siguientes integrales: 1) Resuelve la integral 2) Escribe la estrategia o método empleado para resolverla 3) Justifica la estrategia empleada, proporcionando la fórmula que se genera o mencionando las características que observas en la integral para justificar el método de integración seleccionado. 1) ∫ Por Cambio de variable, en donde:

∫ ∫

∫

Por fórmula directa

∫ | |

| |

Justificación: La integral tiene una solución obvia. 2) ∫ Por el método de integración por partes, en donde:

∫ ∫ ∫

Justificación: La función In x no cuenta con una antiderivada evidente, pero es sencillo de derivar. 3) ∫

89

Identidad trigonométrica:

∫

∫

Cambio de variable:

∫

∫

∫

| |

| |

Justificación: La identidad trigonométrica reduce la expresión a una integral conocida, aunado a un cambio de variable.

4) ∫ ( Por Cambio de variable, en donde:

∫ ( ∫ (

∫

∫ ( (

Justificación: La integral cuenta con un factor que puede transformarse fácilmente en el diferencial del otro factor. 5)∫ Por el método de integración por partes, en donde:

∫ ∫ (

Justificación: El integrado está conformado por el producto de una función algebraica y una trascendente.

∫

90

Por el método de fracciones parciales

, en donde: y

∫

∫

(

(

∫

√( (

Justificación: El integrando se suma función racional que no cuenta con una sustitución o reducción evidente.

∫

√

Por Cambio de variable, en donde:

∫

√ ∫

√

∫

√

Justificación: El integrado tiene una sustitución evidente.

∫ (

Por el método de casos trigonométricos: Caso I ( ( Usando: ( ( (

∫ ( ∫ ∫


∫ ( ∫

∫

Haciendo otro cambio de variable, en donde: y

91

∫ ( ∫

∫

∫ ( (

(

Justificación: El integrado no tiene una sustitución evidente, por esto se utiliza un método de integración. ∫


∫

∫

(

)

(

)

Justificación: La integral se puede resolver mediante el cambio de variable.

∫

√


∫ √

∫ √ (

) = (

)

En forma equivalente:

∫

√ | √ |

Justificación: Se puede resolver por el cambio de variable, por sustitución trigonométrica y da el mismo resultado.

∫

(

Por el método de integración por partes, en donde:

92

(

(

(

∫

( ∫

∫

( (

) ∫(

) (

∫

(

∫

( (

)

Justificación: Es por partes porque el integrado no cuenta con una antiderivada evidente.

93

Actividad No. 19 Integradora En equipo – extra aula Propósito: Resolver problemas de ingeniería utilizando los métodos de integración. Criterio de evaluación: Se evaluará la presentación oral que muestre el desarrollo claro, ordenado y coherente por parte del equipo. Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos. Descripción de la actividad: 1. Hacer una presentación oral que muestre los planteamientos y la solución a un problema elegido al azar por el docente. 2. Responder a los cuestionamientos de los compañeros de clase. Problemas propuestos: Integración por partes 1. Valor actual. Encontrar el valor presente de un flujo de ingreso continuo en dólares por año c(t) si:

∫ (

Donde P es el valor presente, t1 es el tiempo en años y r es la tasa de interés anual compuesto continuo. Para: c(t) = 100 000 + 4 000t; r = 5 %; t1 = 10 Solución:

∫ (

∫ ∫

∫ ∫

|

0

|

∫

1

⌈

⌉

0

(

)1


94

( (

[ (

] [

]

( ( Potencias de funciones trigonométricas 2. Volumen. El volumen de determinado sólido que se genera al girar una región con respecto al eje X, está dado por: ∫

, en unidades cúbicas. Encontrar el volumen de dicho sólido. Solución: Aplicando el Caso III, el

y sustituyendo, resulta que el volumen del

sólido es:

∫ (

)

0

∫

∫

1

[

]

[

(

)]

( )

Sustitución trigonométrica 3. Intensidad de campo. La intensidad de campo H de un imán en forma de barra con longitud 2L sobre una partícula a r unidades del centro del imán es:

(

Donde “m” es la distancia de cada polo al centro del imán. Encontrar la intensidad de campo media cuando la partícula se mueve de 0 a R unidades del centro evaluando la integral

∫

(

95

Solución: Integrando con respecto a “r”, resulta:

∫

(√ )

Resolviendo la integral ∫

(√ ) como una integral indefinida, por el método de

sustitución trigonométrica, en donde: , resulta: Cambiar triángulo

∫

(√ ) ∫

(

∫ (

) ∫

(

√ )

√

Por lo tanto:

[

√ ]

[

√ ]

(

√ )

√

Fracciones parciales 4. Modelo de epidemias Un solo individuo infectado entra en una comunidad de n individuos susceptibles. Sea x el número de individuos recientemente infectados en el momento t. El modelo de epidemias común asume que la enfermedad se extiende a un ritmo proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado todavía. Así, dx / dt = K (x+1)(n – x) y se obtiene:

√

96

∫

( ( ∫ (

Resolver para “x” como una función de t. Solución: Condiciones iniciales: Resolviendo la integral del lado izquierdo de la ecuación (1) por fracciones parciales, resulta:

( (

(

)

(

)

Por lo tanto:

∫

( (

∫

∫

[ | | | |]

|

| Sustituyendo en la ecuación (1) y resolviendo la integral del lado derecho de la misma ecuación, resulta:

|

| (

Sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuación (2) se calcula el valor de la constante “C” y resulta:

[ (

)]

Sustituyendo el valor de “C” en la ecuación (2), queda:

|

|

[ (

)] (

Multiplicando ambos lados de la ecuación (3) por ( , resulta:

97

|

| ( ( )

Aplicando la función exponencial y su propiedad para simplificar, resulta:

(

Despejando “x”, queda: ( ( Agrupando términos semejantes ( ( ( ( ) ( ( )

( ( (

98

Actividad No. 20 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Trazado de gráficas de funciones. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga el análisis y gráfico correcto de cada una de las funciones dadas. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripción de la actividad: Para cada una de las siguientes funciones trazar su gráfica, determinar su continuidad, y si es posible, expresarla como ( y como ( 1) 5) ( 2) 6) 3) √ 7) 4) Nota: Puedes usar software de graficación. Solución: 1) Gráfica

2) Gráfica

x

y

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

2

4

6

8

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-400

-200

0

200

400

Continuidad: (

(

( √

Continuidad: (

(

( √

99

3) √ Gráfica

4) Gráfica

5) ( Gráfica

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Continuidad: [

( √

(

Continuidad: (

(

Continuidad: (

( (

100

6) Gráfica

7) Gráfica

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-4

-2

0

2

4

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-2

-1

0

1

2

Continuidad: (

( √

(

Continuidad: [ ]

(

101

Actividad No. 21 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Familiarizarse con un asistente matemático y que lo utilice para preparar los gráficos que posteriormente analizará en clase. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga los gráficos impresos. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripción de la actividad. Grafica las siguientes regiones acotadas por las funciones dadas con ayuda de un asistente matemático.

a) ,52 � xxy el eje x y la recta x=2.

b) 652 23 �� xxxy , el eje x y las rectas x=-1 y x=2.

c) xxyxy 4, 22 ��

d) 5,222 � � xyxy

Nota: Los gráficos serán utilizados en el aula la sesión siguiente. Software sugerido: Derive, Graphmatica, Matlab, etc. (Consúltalos en la Infoteca).

a) ,52 � xxy el eje x y la recta x=2.

b) 652 23 �� xxxy , el eje x y las rectas x=-1 y x=2.

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

0

1

2

3

4

5

6

7

x

y

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-4

-2

0

2

4

6

8

√

102

c)

d)

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

0

1

2

3

4

5

103

Ejercicio 3.1. Área entre 2 curvas Calcular el área de cada una de las regiones que se forman con las gráficas de las funciones dadas: 1) Gráfica

Los límites de la región están dados por: a = 0 y b = 2 El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[

( ( ] [ ]

2) Gráfica

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

2

4

6

8

x=0

104

Los límites se calculan por igualación, es decir: Por lo tanto los límites de la región son: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ (

∫ ( 0

1

[

( ] [ ]

3) Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir:

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

0

1

2

3

4

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y=2

105

√ Por lo tanto los límites de la región son: √ El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ ( √

0

1

√

[ √ (√ )

] [ ] √

√

√

4) √ ( Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: √ Por lo tanto los límites de la región son: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

-0.5

0

0.5

1

1.5

√

106

∫ (√ )

∫

[ ]

[( ( ]

( √ )

√

5) ( ( Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: ( ( ( Por lo tanto los límites de la región son: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[

( ( ] [ ]

6)

Gráfica

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

107

Los límites de la región están dados por: a = 1 y b = 3 El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [( ) ( ]

∫ (

) [ | |]

7) ( Gráfica Los límites de la región están dados por: a = 0 y b = 3 El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[

( ] [ ]

8) ( ( Gráfica

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2

-1

0

1

2

108

Los límites se calculan por igualación, es decir: ( ( ( ( Por lo tanto los límites de la región son: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[ ( (

( ] [ (

(

( ]

[ ] [

]

9) ( ( Gráfica

109

Los límites se calculan por igualación, es decir: ( ( ( ( ( Se forman 2 regiones, por lo tanto los límites de la región son: Y para la región son: El área para la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[ (

( ( ] [

(

( ( ] [ ] [

]

El área para la región está dada por:

∫ [( ( ]

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

0

1

2

y=0

y=0

110

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[

( ( ( ] [

( ( ( ] [

] [ ]

El área total está dada por: Por lo tanto:

10) Gráfica

; ;

Para calcular los límites de la región se hacen igualaciones entre las ecuaciones dadas: Igualando la Ec1. con la Ec2. Igualando la Ec2. con la Ec3. Igualando La Ec1 con la Ec3

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

0

1

2

y=2x-3

111

Se forman 2 regiones, por lo tanto los límites de la región son: Y para la región son:


∫ [( ( ]

∫ [(

) (

)]

∫ (

) [

]

[

(

( ] [

(

( ] [

] [

]


∫ [( ( ]

∫ [(

) ( ]

∫ (

) 0

1

x

y

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-2

0

2

4

x

y

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-2

0

2

4

112

[

(

( ] [

(

( ] [

] [

]

El área total está dada por: Por lo tanto:

11) ( Gráfica

Los límites de la región están dados por: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ [ ( ]

∫ [ ]

[ ] [ ]

x

y

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

(

113

12) Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: Por lo tanto los límites de la región son: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ (

∫ ∫

∫ ∫

Resolviendo por el método de integración por partes la segunda integral, resulta: [ ( ] [ ( ] ( ( (

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

(

(

114

13)

Gráfica


∫ [( ( ]

∫ [

( ]

∫ (

)

Resolviendo la integral por el método de fracciones parciales, resulta:

( (

(

)

(

)

∫

∫

[

| | | |]

[

| | | |] [

| | | |]

(

)

( )

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-0.5

0

0.5

1

1.5

115

14) √ Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: √ Por lo tanto los límites de la región son: El área de la región está dada por:

∫ [( ( ]

∫ (√ ) ∫ √

Resolviendo la integral por el método de Sustitución trigonométrica, resulta: Haciendo el cambio de límites: Cuando (

y cuando (

∫ ( (

∫

Sustituyendo

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-3

-2

-1

0

1

2

3

√

116

∫ (

) ∫ ∫

[ ]

* ( ) + * (

) ( + 15) (

(

Gráfica


∫ [( ( ]

∫ ( ∫

Sustituyendo

∫ (

)

∫

∫

[

]

[

( )

(

)] [ ( ]

.

√ /

√

√

x

y

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

(

117

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

F

G

Actividad No. 22 Desarrollo Individual – en el aula Propósito: Formular la integral para calcular el área de una región. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la fórmula correcta para encontrar el área para cada una de las regiones. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos. Descripción de la actividad: El estudiante formulará la integral definida que da el área en cada una de las regiones dadas y comprobará los límites de la región. 1. F(x) = x2 – 6x ; G(x) = 0 2. F(x) = x2 + 2x +1 ; G(x) = 2x + 5 A= ____________________________ A= ________________________________

3. F(x) = x2 – 4x + 3; G(x) = -2x2 + 2x + 3 4. F(y) = y2 ; G(y) = y + 2 A=_____________________________ A= _____________________________

5. F(x) = 3(x3 – x) ; G(x) = 0 A=_______________________________

xy

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

0

F (x) = x^2 - 6x

G (x) = 0

x

y

-2 0 2 4 60

5

F (x) = x^2 + 2x + 1

G (x) = 2x + 5

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-2

-1

0

1

2

F

G

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

0

1

2

3

4 G

F

118

Solución: 1. F(x) = x2 – 6x ; G(x) = 0 ∫ [ ( ]

Límites de la región

2. F(x) = x2 + 2x +1 ; G(x) = 2x + 5 ∫ [( ( ]

3. F(x) = x2 – 4x + 3; G(x) = -2x2 + 2x + 3 ∫ [( ) ( )]

xy

0 1 2 3 4 5 6 7

-5

0

F (x) = x^2 - 6x

G (x) = 0

x

y

-2 0 2 4 60

5

F (x) = x^2 + 2x + 1

G (x) = 2x + 5

x

y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

0

1

2

3

4 G

F

( (

(

Límites de la región:

Por lo tanto:

( ( (


Por lo tanto:

( ( ( (


Por lo tanto:

119

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

F

G

4. F(y) = y2 ; G(y) = y + 2 ∫ [( ]

5. F(x) = 3(x3 – x) ; G(x) = 0 ∫ [ ( ] ∫ [ ( ]

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

-2

-1

0

1

2

F

G

( ( ( (


Por lo tanto:

( ( ( ( (


Por lo tanto:

120

Ejercicio 3.2. Volumen de un sólido de revolución. Calcule el volumen del sólido de revolución generado al girar la región R alrededor del eje indicado. 1) en el eje “X” Gráfica

Por el método del disco, el volumen del sólido está dado por:

∫ [ ( ]

En donde: ( y los límites son:

∫ ( ∫ 0

1

[ ]

2) en el eje “X” Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: ( (

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.5

0

0.5

1

1.5

121

Por el método de la arandela, el volumen del sólido está dado por:

∫ [

]

En donde: ( ( y los límites son:

∫ [( ( ] ∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[(

) (

)] (

)

3) en el eje “Y” Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: Por el método del disco, el volumen del sólido está dado por:

∫ [ ( ]

En donde: ( y los límites son:

∫ ( ∫ 0

1

[ ]

x

y

-2 0 2 4 6 8 10

-2

0

2

4

6

122


Los límites se calculan por igualación, es decir: ( Por el método de la arandela, el volumen del sólido está dado por:

∫ [

]


∫ [( ( ] ∫ [ ( ]

∫ ( [ ]

*( ) ( + (

)

x

y

-1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

123

5) en la recta x = 4 Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: ( ( Por el método de la arandela, el volumen del sólido está dado por:

∫ [

]


∫ [( ( ] ∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

[(

) (

)] (

)

124

6) en la recta y = 1 Gráfica

Por el método de la arandela, el volumen del sólido está dado por: ∫ [

]


∫ [( ( ] ∫ [( ]

∫ ( [ ]

[( ( ]

7) en el eje “Y” Gráfica

Los límites se calculan por igualación, es decir: ( (

y=0

x=-3 x=-1

y=0

125

Por el método de capas o corteza, el volumen del sólido está dado por:

∫ ( (

En donde: ( (

∫ ( ∫ (

[

]

[

] (

)


Los límites se calculan por igualación, es decir: ( ( Por el método de capas o corteza, el volumen del sólido está dado por:

∫ ( (

En donde: ( (

∫ ( ∫ ( [

]

[(

) ( ]

126

9) en la recta x = 9 Gráfica


∫ ( (

En donde: ( ( √

∫ ( √

Haciendo Sustituyendo el cambio de variable, resulta:

∫ [ ( ] ∫ ( ) *

+

[ ]

[ ( ( ] [

]

[

] (

)

127

10) √ en la recta x = 3 Gráfica


∫ ( (

En donde: ( (

∫ ( ( ∫ (

∫ ( 0

1

[(

) ( ] ( )

√

128

Actividad No. 23 Desarrollo Individual – extra aula Propósito: Análisis de una región para formular y calcular el área de una región e identificar los elementos para calcular el volumen del sólido de revolución que se genere cuando se gira la región con respecto a un eje indicado. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga el área correcta de la región y los datos correctos para calcular el volumen del sólido generado, en cada caso. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos. Descripción de la actividad: El estudiante analizará la gráfica dada para: 1) Calcular el área de la región. 2) Identificar los elementos necesarios para calcular el volumen del sólido que se genere al girar la región con respecto a:

a) la recta b) la recta

Solución: La región está acotada por las gráficas de: Los límites de la región están dados por: √ sobre el eje “X” y por: sobre el eje “Y 1) El área de la región está dada por: Utilizando los límites de la región sobre el eje “X”:

∫ [( ( ]

∫ ( 0

1

√

0 √ (√

1

√

√

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

2

3

y = 2

y = x^2

x = 0

129

Utilizando los límites de la región sobre el eje “Y”:

∫ [( ( ]

∫ (√ ) *

+

*

+

(

( √ )

√

2) Los elementos necesarios para calcular el volumen del sólido que se genera al girar la región con respecto a:

a) Para la recta son:

Método de la arandela Método de capas o corteza ∫ [( ( ]

∫ ( (

Radio exterior ( ): √ ( Radio interior ( ( Límites: a = 0 y b = 2 Límites: √

b) Para la recta

Método de la arandela Método de capas o corteza ∫ [( ( ]

∫ ( (

Radio exterior ( ): ( Radio interior ( ( √ Límites: √ Límites:

130

Ejercicio 3.3. Longitud de arco Hallar la longitud de arco de la función dada en el intervalo indicado. (

[ ]

La longitud de arco ( está dada por:

∫ √ [ ( ]

En donde: ( ( (

( [ ( ]

√ [ ( ] √

√

√

∫√

∫ √

∫ ( (

*(

+

[( ]

[( ( ]

[ ]


∫ √ [ ( ]

En donde: (

( (

) [ ( ] (

)

√ [ ( ] √ (

) √ (

) (

)

∫ (

) * (

)+

[ (

) (

)]

131

* +


∫ √ [ ( ]

En donde: ( ( [ ( ] √ [ ( ] √ √

∫

[ | |]

|

| | ( ( |

√ [ ] La longitud de arco ( está dada por:

∫ √ [ ( ]

En donde:

( ( ( (

(

√ [ ( ]

√ [ ( ] √

√

√

∫

√ ∫

√

* ( )+

[ ( ) ( ]

132

* +


∫ √ [ ( ]

En donde: ( ( [ ( ] √ [ ( ] √ ∫ √

Resolviendo por sustitución trigonométrica como una integral indefinida, considerando:

y sustituyendo resulta:

∫

∫

Resolviendo por el método de integración por partes, queda:

[

| |]

* √ |√ |+

* √ .

/ |√ .

/

|+

[ ( ]

* √

|√

|+

[ ]

[ ]


∫ √ [ ( ]

133

En donde: (

( [ ( ] (

√ [ ( ] √ ( ∫ √ (

Resolviendo por sustitución trigonométrica como una integral indefinida, considerando: y sustituyendo resulta:

∫ ∫

Resolviendo por el método de integración por partes, queda:

| |

*( √ ( |√ ( |+

√

(√ )

√

(√ )

√ .

√ √

/

134

Actividad No. 24 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Investigar los diferentes tipos de fuerzas que se ejercen para realizar un trabajo. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga las definiciones correctas y que incluyan su representación matemática. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora Descripción de la actividad. 1) Definir cada una de las siguientes leyes y su representación matemática: a) Ley de Hooke b) Segunda ley de Newton|| c) Ley de gravitación universal d) Ley de Coulomb e) Principio de Arquímedes

a) Ley de Hooke. La magnitud de la fuerza de reposición, es directamente proporcional al producto de la constante del resorte por la magnitud del desplazamiento.

FS = Fuerza de reposición, Fuerza del resorte, Fuerza de restauración. Unidades: Newton “N”, Libras “Lb”. k = Constante proporcionalidad del resorte. Unidades: Newton/metro = N/m = Kg/s2, Libras/pie = Lb/ft. x = Deformación del resorte Unidades: metro “m”, pie = feet “ft”. Nota: En la fórmula asociada a la ley de Hooke, el signo negativo indica que el resorte tiende a oponerse a ser deformado.

b) Segunda Ley de Newton. La aceleración de una masa es directamente proporcional a la sumatoria de fuerzas e inversamente proporcional a la magnitud de la masa.

∑

F = Fuerza, es una medida de interacción de masas. Unidades: Newton “N”, Libras “Lb”. m = Masa, es una medida de inercia. Unidades: kilogramo “Kg” a = Aceleración. Unidades: metro/segundo2 = m/s2 ∑= símbolo que representa a la sumatoria

135

c) Ley de la Gravitación Universal de Newton. La fuerza de atracción entre masas es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

F = Fuerza, es una medida de interacción de masas. Unidades: Newton “N”. m1 = Masa uno, es una medida de inercia. Unidades: kilogramo “Kg” m2 = Masa dos, es una medida de inercia. Unidades: kilogramo “Kg” r = Radio, distancia entre masas. Unidades: metro = m G = Constante de gravitación universal.

d) Ley de las fuerzas electrostáticas de Coulomb. La fuerza de atracción entre cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de la magnitud de sus cargas eléctricas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que las separa.

F = Fuerza, es una medida de interacción de cargas. Unidades: Newton “N”. q1 = carga eléctrica uno Unidades: Coulomb “C” q2 = carga eléctrica dos. Unidades: Coulomb “C” r = Radio, distancia entre cargas eléctricas. Unidades: metro = m K = Constante de Coulomb.

136

d) Principio de Arquímedes, (fuerzas en fluidos estáticas). La fuerza de empuje ejercida por un fluido sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de la densidad del fluido por el volumen del fluido desplazado con la aceleración gravitacional.

Fe = Fuerza de empuje. Unidades: Newton “N”. M = densidad del fluido Unidades: kilogramos/metro3 = “kg/m3” V = Volumen. Unidades: metro3 = “m3” g = Aceleración gravitacional. Unidades: metro/segundo2 = “m/s2”

BIBLIOGRAFÍA:

TEXTO: Física para ingeniería y ciencias. Volumen 1. Autor: Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall. Editorial: Mc Graw Hill. ISBN: 978- 607-15-05-45-3.

137

Ejercicio 3.4. Trabajo. 1) Cuando una partícula se ubica a una distancia de “x” metros del origen, una

fuerza de N actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se requiere para moverla desde x = 1 hasta x = 3?

Solución: Datos: ( El trabajo está dado por: ∫ (

Sustituyendo y evaluando la integral definida. Resulta:

∫ ( ∫ ( *

+

[ ]

( ( 2) Una fuerza de 50 N comprime un resorte de 10 cm un total de 3 cm. ¿Cuánto

trabajo se realiza al comprimir el resorte 5 cm? Solución: Datos: Utilizando la Ley de Hooke ( y sustituyendo los datos dados, se calcula el valor de la constante K para determinar f(x) y resulta:

, por lo tanto: (

El trabajo está dado por: ∫ (


∫ ( ∫ ( *

+

[ ]

[( ( ] 3) Se requieren 7.5 J de trabajo para comprimir un resorte 2 cm de su longitud

natural. Encontrar el trabajo requerido para comprimir el resorte 1 cm adicional.

Solución: Datos:

138

Utilizando la Ley de Hooke y los límites de 0 a 0.02 en la fórmula de trabajo para calcular el valor de la constante K, resulta:

∫ (

∫

0

1

[( ( ]

Despejando K, resulta: ( (

Por lo tanto: ( El trabajo está dado por: ∫ (


∫ ( ∫ ( *

+

[ ]

[( ( ] 4) Hallar el trabajo realizado contra la fuerza de la gravedad para elevar un

satélite de 6 toneladas de peso hasta una altura de 200 millas sobre la superficie terrestre. Considerar que el radio de la tierra es de 4 000 millas.

Solución: Datos:

La Ley de la gravitación establece que el peso de un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir,

; en donde “r” es el radio de la tierra, sustituyendo los datos dados se encuentra el valor de la constante K y resulta:

139

(

; despejando “K”, resulta:

Por lo tanto la fuerza variable está dada por: (

El trabajo está dado por: ∫ (


∫ ( ∫ (

) * +

[

]

5) Una cadena que mide 15 m pesa 30N por metro está extendida en el suelo.

Encontrar el trabajo realizado para levantar la cadena a una altura de 15 m para que quede totalmente extendida verticalmente.

Solución: Datos: ( El trabajo está dado por: ∫ (


∫ ( ∫ ( *

+

[ ]

[( ( ] 6) Dos partículas se repelen mutuamente con una fuerza inversamente

proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Suponiendo que una de ellas permanece fija en un punto del eje X a 3 unidades a la derecha del origen, hallar el trabajo requerido para desplazar a la otra partícula desde un punto situado a 2 unidades a la izquierda del origen hasta el origen.

Solución:

La Ley de Coulomb establece que la fuerza entre dos partículas eléctricas es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, es decir:

3 0 -2

q1 q2

x

140

Como , entonces la distancia que las separa está dada por ; por lo tanto la fuerza variable está dada por:

(

(

Considerando que la carga se va a desplazar desde , entonces: El trabajo está dado por: ∫ (


∫ ( ∫ (

( ) *

+

[

]

7) Un tanque cilíndrico de 4 pies de diámetro y 5 pies de largo está colocado de

manera que su techo está 1 pie debajo del nivel del suelo ¿Cuánto trabajo se realiza para bombear un tanque lleno de agua hasta el nivel del suelo? (

)

Solución: ( ( ( (

( ( (

Por lo tanto el trabajo realizado está dado por:

∫ ( (

Considerando que el tanque se va a vaciar desde y = 0 hasta y = 5 y sustituyendo, resulta:

∫ ( (

∫ ( 0

1

X

Y

5pies

1pie

y

6 - y

r =2pies

141

8) Una cisterna rectangular con base de 2m por 3m y una altura de 2 m está

llena de agua. ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear el agua por encima del borde superior para vaciar: a) la mitad de la cisterna, b) toda la cisterna?

( )

Solución:

El trabajo realizado está dado por:

∫ ( (

En donde: ( ( ( (

( ( (

a) Considerando que el tanque se va a vaciar desde a = 1 hasta b = 2 y sustituyendo, resulta:

∫ ( (

∫ ( 0

1

b) Considerando que el tanque se va a vaciar desde a = 0 hasta b = 2 y sustituyendo, resulta:

∫ ( (

∫ ( 0

1

142

Actividad No. 25 Conocimiento previo Individual – extra aula Propósito: Graficación y evaluación de funciones de varias variables Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la información correcta y completa de cada función dada. Tiempo estimado para la actividad: 1 hora. Descripción de la actividad: Para cada una de las siguientes funciones, encuentre: a). La gráfica utilizando el software más adecuado. b). Evaluar ( ( c). Encontrar las primeras derivadas parciales. Funciones: 1) ( 2) ( ( 3) ( Solución: 1) ( a) Gráfica de la función b) Evaluación

2) ( ( a) Gráfica de la función b) Evaluación

( (

c) Derivadas parciales

( ( (


143

3) ( ( a) Gráfica de la función b) Evaluación

( (

( (


144

Ejercicio 4.1. Integrales iteradas. I. Evalúe la integral parcial dada

1 ∫ = ∫

dx = *(

+

= [ ] = ( =

2) ∫ (

[ ] ( ( [ ( ( ] 3) ∫

∫ = ∫

[ ] [ ]

(

4)∫ ( )

∫ ( ∫ ∫

{( [ ]} |

[ ] |

[ ] [ ] [ ]

5)∫ √

∫

√

∫ ⁄

[

⁄

⁄]

[√ ]

√ √

√ | | | | (√ )| |

Como: ∫ ∫

145

6)∫ ( ∫ (

) * +

(

7)∫ √ √

[ √ ]

√

√

√

8)∫ (

)

| | ] ( | |

9)∫ ( ∫ ( )

*

+

[ ]

[( ]

10)∫ (

(

| ∫

(

(

|

( |

II. Evalúe las siguientes integrales iteradas:

11)∫ ∫

∫ , |

- ∫

|

12)∫ ∫

∫ [ |

] ∫ [ ]

[ ( ] [ ]

(

(


146

13)∫ ∫ √

∫ ( ∫

⁄

0

⁄

1

*

⁄ +

∫ ∫ √

∫

|

14)∫ ∫

⁄

∫ [ |

] ⁄ ∫ ( ∫ ( ⁄

⁄

*

+ ⁄

⁄ ⁄

* (

+

⁄

15)∫ ∫ (

∫ *( |

+ ∫ (

∫ (

(

|

16)∫ ∫

∫ *

| | |

+ ∫ [ ] ∫

[ ]

∫

| ||

17)∫ ∫

∫ * | + ∫ (

*

+

*

+

147

18)∫ ∫

⁄

∫ ( ∫ ( ⁄

⁄

∫ ∫ ∫ ( ⁄

⁄

(

| ⁄

⁄

⁄ ⁄ [ ]

19)∫ ∫

∫ *

|

+ ∫ (

) ∫

∫

Integrando por partes cada integral, resulta:

| ∫

| ∫

*

(

)

+

*

(

(

+

*

+

20)∫ ∫

⁄

∫ [ | ]

⁄ ∫ ∫ ( ⁄

⁄

∫ ( (

| ⁄

⁄

( ⁄ ) ( ⁄

( ⁄

148

Ejercicio 4.2 Integrales dobles. En los siguientes ejercicios calcule la integral doble en la región R, dibuje un esbozo de la región R y elija el orden de integración más conveniente.

∫ ∫

Utilizando un rectángulo vertical Utilizando un rectángulo horizontal ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ [ *

+

]

∫ * (

)+

∫ * ( +

∫ * ( +

∫ ( )

∫ (

)

* (

)+

*

(

)

(

)+

( *

+

(

(

x

y

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

1

2

149

∫ ∫(

Utilizando un rectángulo vertical

∫ ∫(

∫ ∫ (

∫ *

+

∫ ,* ( (

+ * (

+-

∫ (

)

∫ (

)

* (

) (

)

(

)+

*

+

(

(

(

x

y

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

-3

-2

-1

0

1

150

∫ ∫

Utilizando un rectángulo horizontal

∫ ∫

∫ ∫

∫ * ( +

∫ *

( + ∫ *

+

0 .

(

)/1

* +

(

(

∫ ∫

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0

2

4

6

151


∫ ∫

∫ ∫

∫ [ ]

∫ [ ] [ ]

( ( ( ∫ ∫

√


∫ ∫

√

∫ ∫

√

∫

√ [ ]

∫ [

√

√ ] ∫ [

( ) √

]

∫ ( (

√

∫ √ (

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

152

Haciendo cambio de variable, en donde: y el respectivo cambio de límites, resulta:

∫ ( (

∫

( (

∫ (

∫ ( )

*

+

* (

( (

( + *

+

( (

)

√ (

)

(√ )

153

Actividad No. 26 Desarrollo Individual – en el aula Propósito: Elegir el orden de integración más adecuado. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la información correcta y completa del análisis de la integral doble dada. Tiempo estimado para la actividad: 15 minutos. Descripción de la actividad: Resolver la integral ∫ ∫√ en donde la región R está acotada por:

√ . Analiza el orden más adecuado para el dA. Argumenta tu procedimiento.

Considerando (rectángulo vertical), resulta:

∫ ∫√

∫ ∫ √

∫ √ [ ]

∫

√

∫ ∫√

0 .

/1

[( ( ]

Considerando (rectángulo horizontal), resulta:

∫ ∫√

∫ ∫ √

√

La integral interior no se puede resolver por métodos vistos en clase.

x

y

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.5

0

0.5

1

1.5

√

154

Ejercicio 4.3. Integrales triples. Resuelva las siguientes integrales iteradas

∫∫∫ ∫ ∫ 0 ∫

1

∫ ∫ * (

)+

∫ ∫ [ ]

∫ ∫ [ ]

∫ * ∫

+ ∫ *

+

∫ * (

(

+

∫ (

) ∫

∫

*

+

[( ]

∫∫∫ ∫ ∫ 0∫

1

∫ ∫ 0 ∫

1

∫ ∫ [ ] ∫ ∫ [ ( ( ] ∫ ∫

∫ [ ∫ ] ∫ *

+

∫ *

(

+ ∫

*

+

[( ]

∫∫ ∫( ∫ ∫ 0 ∫ ∫

1

∫ ∫ *

+

∫ ∫ *(

) (

)+

∫ ∫ *

+

∫ * ∫

∫ ∫ ∫

+

∫ *

+

∫ *( (

(

(

+

∫ *

+

155

∫ ∫

∫ ∫

*

+

*

+

*

+

*

+

*

+

∫∫∫

∫ ∫ 0 ∫

1 ∫ ∫ [ ]

∫ ∫ [ ] ∫ ∫

∫ * ∫ + ∫ *

+

∫ *

( +

∫ ∫

* (

)

(

)+

(

∫∫∫(

∫ ∫ 0( ∫

1

∫ ∫ [( ]

∫ ∫ (

∫ ∫ [ ]

∫ * ∫ ∫

+

∫ [ ]

∫ [( ( ]

∫ [ ] ∫ (

∫ ∫ ∫

* +

(

) (

)

156

∫∫∫

∫ ∫0 ∫

1

∫ ∫ [ ] ∫ ∫

∫ * ∫

+ ∫ [ ]

∫ * (

) ( +

∫

[ ] ( ( ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ * ∫

+ √

√

∫ ∫ * +

∫ ∫ *

( +

√

√

∫ ∫ * ( + ∫ ∫ (

)

√

√

∫ * ∫

∫ √

√ + ∫ *

+

√

∫ *(

) (

)+

∫ (

)

0 (

)

(

)

.

/

(

)1

*

+

∫∫ ∫ (

∫ ∫ 0∫ ∫ ∫

1

∫ ∫ *

+

∫ ∫ *( (

)+

∫ ∫ *(

+

157

∫ ∫ (

)

∫ *

∫ ∫

+

∫ * (

) (

)+

∫ *

+

∫ *

(

(

+

∫ (

)

∫

* (

)+

(

∫∫∫

∫ ∫ 0 ∫

1

∫ ∫ [ ( ]

∫ ∫ (

∫ * ∫

+ ∫

[ ] ∫

* +

* (

( + *

( +

∫∫∫

∫ ∫

[ ∫

]

∫ ∫ [ ]


158

∫ ∫ * (

)+

∫ ∫ ( √

)

∫ * √

∫ +

∫ *√ +

∫ *√ (

+

∫ √

*√ +

√ ( √

( √

(

√

159

Actividad No. 27 Integradora Individual – extra aula Propósito: Resolver problemas de ingeniería mediante la aplicación de integrales dobles. Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta a cada problema propuesto Tiempo estimado para la actividad: 50 minutos. Descripción de la actividad: Problemas propuestos 1. La carga eléctrica está distribuida sobre el rectángulo de tal forma

que la densidad de carga en el punto � �yx, está dada por ( , medida en coulombs por metro cuadrado. Obtén la carga total en el rectángulo. Las variables x y y se miden en metros. Considerar: La densidad de carga se define como: cantidad de carga por unidad de área. Cuando es constante (o uniformemente distribuida)

En este caso la densidad es variable y depende del punto (x,y) que tomemos de la placa. Si tomamos un diferencial de área, dA, con vértice en el punto (x,y), la densidad en esa área infinitamente pequeña se considera constante e igual a ( . Por lo tanto se tiene que:

(

Entonces (

Si sumamos todas las cargas dQ que hay en todos los diferenciales de área, dA, en que podemos dividir la placa, obtendremos la carga total Q que hay en esa placa, mediante: ∫ ∫ ∫ ∫ ( y

Solución:

∬

∬

( ∬(

∫ 0∫ (

1

dA

x

1 2

1

2

160

∫ [ ]

∫ [( ( ] ∫ (

0

1

( )

2) Obtén la masa de la placa con densidad de masa ( y cuyos perfiles se muestran en la siguiente figura. Considerar: La densidad superficial se define como masa por unidad de área. Si la masa está uniformemente distribuida en la placa, densidad constante,

Como la densidad es variable ( , depende del punto ( que tomemos de la placa, procedemos a tomar un elemento de área infinitamente pequeño, un diferencial de área , el cual tiene una masa infinitamente pequeña dM, de tal manera que en esa pequeña porción la densidad es constante e igual a la que tiene en el punto donde tomemos nuestro diferencial de área. Por lo tanto tendremos

(

(

Por lo tanto, la masa de la placa está dada por:

∫ ∫

Solución:

∫ ∫ ∫

| ∫ .

/

|

(

)

1 y

� �1,1

x

y

0 x

Placa

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Date post:	09-Dec-2023
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Manual de Soluciones Mate II abril

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