Metodos numericos

Julio F. Monterrosa Rico y Julie A. Rivera Mendez

17/10/2015

MANUAL DEL USUARIO

Métodos numéricos en matlab

En este documento se presentara de manera breve y concisa en qué

consisten los diferentes métodos numéricos empleados (bisección, punto

fijo, falsa posición, newton raphson y secante), un diagrama de flujo de

cómo funciona los programas para cada método y al final una guía de cómo

deben ingresarse los datos para que el programa funcione y que resultados

arrojara.

Universidad de Cartagena

Ingeniería química 17-10-2015

1

MANUAL DEL USUARIO

Tabla de contenido

1. Método de bisección

1.1. Concepto general ………….…………………………………….2

1.2. Diagrama de flujo ………………………………………………..3

1.3. Guía de uso del programa……………………………………….4

2. Método de falsa posición

2.1. Concepto general ………………………………………………..6



3. Método de punto fijo

3.1. Concepto general ……………………………………………….10

3.2. Diagrama de flujo ……………………………………………….11

3.3. Guía de uso del programa………………………………………12

4. Método de newton raphson

4.1. Concepto general…………………………………………………14



5. Método secante

5.1. Concepto general………………………………………………....18


5.3. Guía de uso del programa…………………………………….....20

6. ANEXO: Guía para el ingreso de datos en lenguaje matlab

7. Referencias bibliográficas

PAG



2

1. Método de bisección

1.1. Concepto general

El método de bisección es un tipo de búsqueda incremental en el que el

intervalo se divide siempre a la mitad. Si la función cambia de signo sobre un

intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la

raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro del

cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor

aproximación.

De esta manera para poder realizar el método se debe:

1. Elegir valores iniciales inferior, xl, y superior, xu, que encierren la raíz,

de forma tal que la función cambie de signo en el intervalo. Esto se

verifica comprobando que f(xl)* f(xu) < 0.

2. Determinar una aproximación de la raíz xr mediante:

xl + xu

2= xr

3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar en qué

subintervalo está la raíz:

a) Si f(xl)*f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo

inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga xu = xr y vuelva al paso 2.

b) Si f(xl)*f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo

superior o derecho. Por lo tanto, haga xl = xr y vuelva al paso 2.

c) Si f(xl)*f(xr) = 0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.

Para este método se puede calcular

el error relativo porcentual ɛa de la

siguiente manera:

ɛ𝑎 = |𝑥𝑟

𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑥𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙

| ∗ 100



3

1.1. Diagrama de flujo

f(x)

Inicio

Inf, sup.

a, b, e,

itermax.

Imprimir

Grafico

inicial.

Err>e &&

n<itermax

SI NO

Aux=c

C=(a+b)/2

Fa=f(a), Fb=f(b) y

fc=f(c)

N=n+1

Fa*fc > 0

Err=e

b=c

Err=abs((c-aux)*100/c)

a=c

Fa*fc > 0

Vectorc(n)=c

NO



4

1.2. Guía de uso del programa

Una vez empiece a correr el programa, deberá seguir los siguientes pasos:

1. Si desea resolver f(x)=0 debe anotar f(x). Ésta ecuación deberá ser

ingresada con la sintaxis correcta para que funcione en matlab. Es

decir, debe utilizar * para multiplicaciones entre variables, () en

funciones que lo requieran. Puede buscar información sobre como

ingresar funciones en matlab. Importante: Todas las funciones

deberán ser ingresadas con x como la variable

independiente. Además, si tiene una función igualada a cero,

deberá ingresar solo el lado de la igualdad que contiene las

variables.

2. Ingrese el límite inferior para graficar. Éste debe ser un número

real que cumpla con las sintaxis de matlab (usando punto decimal

cuando sea requerido). Nota: éste valor corresponde a un valor

x que tome f(x) para graficar.

3. Ingrese el límite superior para graficar. Éste debe ser un número




4. Ingrese el límite inferior como un número real. Se recomienda

realizar una inspección visual para tomar el intervalo donde se

encuentra la raíz que se desea hallar, anotando el menor valor del

Imprimir

Grafico

final

n=nmax

Se

alcanzó

el nmax.

SI

NO

Fin



5

intervalo. En lo posible deben evitarse valores cerca de mínimos

relativos y puntos de inflexión.

5. Ingrese el límite superior como un número real. Se recomienda





6. Ingrese la tolerancia máxima permitida. Éste valor representa el

error mínimo que debe satisfacer el programa. Representa una de

las condiciones de parada del programa. Dado que el error que

utiliza el programa es porcentual, se deben utilizar valores entre 0

y 100.

7. Ingrese el número máximo de iteraciones. Éste debe ser un número

real entero. Éste valor se utilizará como patrón de seguridad en caso

de que el método no sea convergente para la función o la

aproximación inicial ingresada.

Recomendaciones finales y sobre las gráficas.

Para la inspección visual utilizar las herramientas dispuestas por

matlab para mejor observación de las gráficas. Tales

funcionalidades son: Zoom in, zoom out, hand, entre otros.

La gráfica inicial, dispuesta para realizar la inspección visual,

muestra en color azul la función ingresada, y en color rojo el eje x.

La gráfica final muestra los valores que toman las aproximaciones

y su cercanía al valor deseado. Ésta es una gráfica de dispersión,

donde f(x) se muestra en color verde y las aproximaciones se

muestran como círculos rojos.

Si no cierra la ventana de la gráfica inicial, al finalizar el programa

combinará las dos gráficas (inicial y final) para mostrar una

visualización global. Esto es completamente opcional.

Si al finalizar el programa muestra en mensaje: Se alcanzó el

número máximo de iteraciones. Es posible que haya tenido

problemas de convergencia, por lo que se recomienda usar una

aproximación inicial diferente o revisar la función ingresada.

Es posible que haya problemas de convergencia durante los

cálculos, caso en el cual el programa lanzara un mensaje de error,

esto puedo deberse a que la función ingresada posee un rango de

evaluación dentro de valores que producen una indeterminación,

como pueden ser: las divisiones por cero, logaritmo de un número

menor o igual a cero, entre otros. El usuario debe tener cuidado con

estas indeterminaciones.

El error utilizado es error relativo porcentual aproximado.



6

2. Método de falsa posición


El método de falsa posición es una alternativa basada en una visualización

gráfica. Este consiste en unir f(xl) y f(xu) con una línea recta. La intersección

de esta línea con el eje de las x representa una mejor aproximación de la raíz.

El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta da una “falsa

posición” de la raíz; de aquí el nombre de método de la falsa posición.

Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de

las x se estima mediante:

𝑓(𝑥𝑙)

𝑥𝑟 − 𝑥𝑙=

𝑓(𝑥𝑢)

𝑥𝑟 − 𝑥𝑢

En la cual se despeja 𝑥𝑟:

𝑥𝑟 = 𝑥𝑢 −𝑓(𝑥𝑢) ∗ (𝑥𝑙 − 𝑥𝑢)

𝑓(𝑥𝑙) − 𝑓(𝑥𝑢)

El valor de xr calculado con la ecuación, reemplazará, después, a cualquiera

de los dos valores iniciales, xl o xu, y da un valor de la función con el mismo

signo de f(xr). De esta manera, los valores xl y xu siempre encierran la

verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea

adecuada.

Para este método se puede

calcular el error relativo

porcentual ɛa de la siguiente

manera:

ɛ𝑎 = |𝑥𝑟

𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 − 𝑥𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑥𝑟𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙

| ∗ 100



7


NO



8











variables.









4. Ingrese el límite inferior como un número real. Se recomienda





5. Ingrese el límite superior como un número real. Se recomienda









y 100.







9



















cálculos, caso en el cual el programa lanzara un mensaje de error,

esto puedo deberse a que la función ingresada posee un rango de

evaluación dentro de valores que producen una indeterminación,

como pueden ser: las divisiones por cero, logaritmo de un número

menor o igual a cero, entre otros. El usuario debe tener cuidado con

estas indeterminaciones.




10

3. Método de punto fijo


Es un método abierto estos emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta

fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo, al

arreglar la ecuación f(x) = 0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la

ecuación:

𝑥 = 𝑔(𝑥)

La utilidad de la ecuación es que proporciona una fórmula para predecir un

nuevo valor de x en función del valor anterior de x. De esta manera, dado un

valor inicial para la raíz xi, la ecuación se utiliza para obtener una nueva

aproximación xi+1, expresada por la fórmula iterativa:

𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥)

El error aproximado de esta ecuación se calcula usando el error normalizado;

ɛ𝑎 = |𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖

𝑥𝑖+1

| ∗ 100

Esta transformación se realiza

mediante operaciones algebraicas o

simplemente sumando x a cada lado de

la ecuación original

Converge si, en la región de interés,

𝑔′(𝑥) < 1. En otras palabras, la

convergencia ocurre si la magnitud de

la pendiente de g(x) es menor que la

pendiente de la recta f(x) = x.



11




12











variables.









4. Ingrese la aproximación inicial como un número real. Se

recomienda realizar una inspección visual para tomar un valor

cercano a la raíz que se desea hallar. En lo posible deben evitarse

valores cerca de mínimos relativos y puntos de inflexión.





y 100.













13













cálculos, caso en el cual el programa lo alertará con el mensaje: El

programa no converge porque g'(x) >=1. Si el mensaje aparece al

principio de los cálculos, se debe usar una nueva aproximación. Pero

si aparece al final de los cálculos debe revisar también la función

ingresada.




14

4. Método de newton raphson


El método de Newton Raphson es un método numérico cerrado, el cual tiene

como objetivo localizar las raíces de una función a partir de un valor inicial.

Éste método es uno de los más ampliamente usados debido a su rápida

convergencia.

Para los cálculos se utiliza una aproximación de la derivada de la función que

se desea resolver de la siguiente manera:

𝑓′(𝑋𝑖) =𝑓(𝑋𝑖) − 0

𝑋𝑖 − 𝑋𝑖+1

De donde se obtiene que:

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −𝑓(𝑋𝑖)

𝑓′(𝑋𝑖)

Conocida como la fórmula de Newton Raphson. A partir de ésta se realizan

múltiples iteraciones hasta satisfacer los criterios de error deseados.


SI

NO



15











variables.





16







10. Ingrese la aproximación inicial como un número real. Se

recomienda realizar una inspección visual para tomar un valor

cercano a la raíz que se desea hallar. En lo posible deben evitarse

valores cerca de mínimos relativos y puntos de inflexión.





y 100.






















17





programa no converge porque f'(x)=0. Si el mensaje aparece al

principio de los cálculos, se debe usar una nueva aproximación. Pero

si aparece al final de los cálculos debe revisar también la función

ingresada.




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5. Método secante


El método cerrado de la secante surge como una variación del método de

Newton-Raphson, dado el problema de hallar la derivada de funciones

complejas, se utiliza una aproximación a la derivada, que en la mayoría de los

casos es acertada, de la siguiente manera:

𝑓′(𝑋𝑖) =𝑓(𝑋𝑖−1) − 𝑓(𝑋𝑖)

𝑋𝑖−1 − 𝑋𝑖

Donde Xi y Xi-1 son las dos aproximaciones iniciales. Partiendo de ésta

aproximación, se reemplaza en la fórmula de Newton-Raphson para obtener

la siguiente expresión:

𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 − 𝑓(𝑋𝑖) ∗𝑋𝑖−1 − 𝑋𝑖

𝑓(𝑋𝑖−1) − 𝑓(𝑋𝑖)

Para los cálculos iterativos se desprecia el valor más antiguo de X y se

continúa trabajando con los demás.




19

Error= abs(f(x))



20








deberán ser ingresadas con x como la variable independiente.

Además, si tiene una función igualada a cero, deberá ingresar solo el

lado de la igualdad que contiene las variables.

2. Ingrese el límite inferior para graficar. Éste debe ser un número real

que cumpla con las sintaxis de matlab (usando punto decimal cuando

sea requerido). Nota: éste valor corresponde a un valor x que

tome f(x) para graficar.

3. Ingrese el límite superior para graficar. Éste debe ser un número real

que cumpla con las sintaxis de matlab (usando punto decimal cuando

sea requerido). Nota: éste valor corresponde a un valor x que

tome f(x) para graficar.

4. Ingrese la aproximación inicial 1 como un número real. Se recomienda

realizar una inspección visual para tomar un valor cercano a la raíz

que se desea hallar. En lo posible deben evitarse valores cerca de

mínimos relativos y puntos de inflexión.

5. Ingrese la aproximación inicial 2 como un número real. Se recomienda

realizar una inspección visual para tomar un valor cercano a la raíz

que se desea hallar. En lo posible deben evitarse valores cerca de

mínimos relativos y puntos de inflexión. Éste valor debe ser diferente

a la aproximación inicial 1.

6. Ingrese la tolerancia máxima permitida. Éste valor representa el error

mínimo que debe satisfacer el programa. Representa una de las

condiciones de parada del programa. Dado que el error que utiliza el

programa es porcentual, se deben utilizar valores entre 0 y 100.

7. Ingrese el número máximo de iteraciones. Éste debe ser un número real

entero. Éste valor se utilizará como patrón de seguridad en caso de que

el método no sea convergente para la función o las aproximaciones

iniciales ingresadas.



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Si al finalizar el programa muestra en mensaje: Se alcanzo el

numero maximo de iteraciones. Es posible que haya tenido

problemas de convergencia, por lo que se recomienda usar

aproximaciones iniciales diferentes o revisar la función ingresada.



programa no converge porque f(Xj)-f(Xi)=0. Si el mensaje aparece al

principio de los cálculos, se deben usar nuevas aproximaciones

diferentes entre sí. Pero si aparece al final de los cálculos debe

revisar también la función ingresada.




22

6. Guía para el ingreso de datos en lenguaje matlab



23

7. Referencias bibliográficas

[1]Chapra,S, y Canale,R, (2010), Métodos numéricos para ingenieros,

MexicoD.F:Mc Graw hill.

[2]http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-

i/otros-recursos-2/comandos-ejemplo-matlab.pdf(tomado de internet el dia 17

de agosto de 2015)

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/otros-recursos-2/comandos-ejemplo-matlab.pdf(tomado

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/otros-recursos-2/comandos-ejemplo-matlab.pdf(tomado

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