Modelación de Procesos (543207

Modelación de Procesos (543207)Conceptos fundamentales

Departamento de Ingeniería EléctricaUniversidad de Concepción

Chile

Semana 2

(DIE) Modelación de Procesos (543207) Semana 2 1 / 22

Introducción

1 Modelación

2 Ejemplos


1 Modelación

2 Ejemplos


Modelación

Razones para modelarModelamos un proceso para:

- Entender el proceso (La experimentación directa puede ser costosa y/opeligrosa).

- Predecir el comportamiento del proceso.- Controlar el proceso.

Suposiciones en modelaciónLas suposiciones se debieran tan sólo introducir cuando el no hacerlo resultaen:

- Un aumento substancial de la complejidad computacional.- Se requiere caracterizar fenómenos que no son bien conocidos o no

pueden ser cuantificados tan fácilmente.


Modelación

Físico

��

ZZZZ~

@@@@R

��

��=

-

6

Proceso

Modelo

F=mav=iR· · ·

IdentificaciónModelado

Figura: Diagrama de construcción de un modelo.


1 Modelación

2 Ejemplos


Ejemplos

A continuación presentamos algunos ejemplos para discutir los conceptospresentados.


Sistema ecológico

Considere un sistema ecológico idealizado, comformado por dos especiesanimales que compiten por la misma fuente de alimento (caso 1) o están enuna relación de predador-presa (caso 2). Estamos interesados en la variaciónen el tiempo de la cantidad de individuos de cada especie. Denote estascantidades por N1(t) y N2(t) respectivamente al tiempo t . La tasa denacimiento de cada especie, λ1 y λ2, se asume constante y conocida. Esdecir hay, por ejemplo, λ1N1(t) nacimientos para la especie 1 al tiempo t .

La tasa de mortalidad de cada especie, µ1 y µ2, depende de la cantidad decomida disponible y de la presencia de predadores. En general, en cualquierade los dos escenarios, podemos suponer que µi = µi (N1,N2) para ambasespecies. Es decir , por ejemplo, µ1(N1(t),N2(t))N1(t) animales de la especie1 mueren en el tiempo t .


Sistema ecológico

En conclusión podemos definir un modelo para este ejemplo como

dN1

dt= λ1N1(t)− µ1 (N1(t),N2(t)) N1(t)

dN2

dt= λ2N2(t)− µ2 (N1(t),N2(t)) N2(t)

Escenario 1En este escenario consideramos el caso en que las dos especies compitenpor el mismo alimento. Esto conlleva que podamos asumir una tasa demortalidad del tipo

µi (N1(t),N2(t)) = γi + δi (N1(t) + N2(t))

donde γi > 0 son los animales de la especie i que mueren por condicionesnaturales, mientras que δi > 0 cuantifica la competencia por la misma fuentede alimento.


Sistema ecológico

En el escenario 1 el modelo se convierte en

dN1

dt= (λ1 − γ1)N1(t)− δ1(N1(t) + N2(t))N1(t)

dN2

dt= (λ2 − γ2)N2(t)− δ2(N1(t) + N2(t))N2(t)

Un análisis estacionario, es decir asumiendo dN1/dt = 0 y dN2/dt = 0,conlleva a identificar los siguientes puntos de equilibrio

N∗1 = 0, N∗

2 = 0

N∗1 =

λ1 − γ1

δ1, N∗

2 = 0

N∗1 = 0, N∗

2 =λ2 − γ2

δ2


Sistema ecológico

El punto de equilibrio N∗1 = 0, N∗

2 = 0 carece de interés. El segundo punto deequilibrio, en cambio, puede ser usado para argumentar que si se cumple que

λ1 − γ1

δ1>λ2 − γ2

δ2

entonces la segunda especie va a desaparecer (Cómo se puede ver esto?).

Alternativamente algo similar se puede decir en el caso del tercer punto deequilibrio identificado.


Sistema ecológico

Escenario 2En este escenario consideramos el caso en que la especie 1 caza a laespecie 2. Es entonces razonable (lo es?) considerar que la mortalidad de laespecie uno esté dada por

µ1(N1,N2) = γ1 − α1N2

con γ1 > 0 y α1 > 0. La mortalidad de la segunda especie está dada por

µ2(N1,N2) = γ2 + α2N1

también con γ2 > 0 y α2 > 0.

En este escenario el modelo ecológico se convierte entonces es

dN1

dt= (λ1 − γ1)N1(t) + α1N2(t)N1(t)

dN2

dt= (λ2 − γ2)N2(t)− α2N1(t)N2(t)


Sistema ecológico

En forma similar al primer escenario, podemos identificar los puntos deequilibrio del modelo lo que nos da

N∗1 = 0, N∗

2 = 0

N∗1 =

λ2 − γ2

α2, N∗

2 =γ1 − λ1

α1

Dado el supuesto de la especie 1 como predador y la especie 2 como presa,es entonces aceptable considerar λ1 − γ1 < 0 y λ2 − γ2 > 0 (Por qué?).

Ejemplo de linealizaciónEl modelo desarrollado para el escenario 2 es no-lineal. Linealizaciónalrededor del segundo punto de equilibrio lleva al siguiente modelo lineal

∆N1

∆N2=

[λ1−γ1+α1N∗

2 α1N∗1

−α2N∗2 (λ2−γ2)−α2N∗

1

]∆N1∆N2

=

[0 α1

α2(λ2−γ2)

α2α1

(λ1−γ1) 0

]∆N1∆N2


Sistema ecológico

Figura: Simulacion del modelo ecológico según el escenario 2, con λ1 = 1, γ1 = 2,α1 = 1, λ2 = 2, γ2 = 1, α2 = 1.


Sistema ecológico

Figura: Data real de una relación predador-presa. Línea sólida, número de pieles delince, línea segmentada, número de pieles de liebres (en millares de pieles).


Dos estanques

Suponga que el flujo del fluído es lineal en las dos cañerías (es decir asumaflujo laminar) y que todo los elementos involucrados son lineales.

Figura: Sistema de estanques acoplados.

Qo(t) (Q1, Q2) = flujo [m3/s]

C1, C2 = área de losestanques.

R1, R2 = constantes deproporcionalidad de laresistencia al flujo (Q = 1

R ∆h)

Objetivo: encuentre un modelo para las alturas h1 y h2 de los dos estanques.


Dos estanques

Conservación de masa en el primer estanque nos dice que

dV1

dt= Flujo entrada− Flujo salida⇒ C1

dh1

dt= Qo(t)− 1

R1(h1 − h2)

Para el segundo estanque obtenemos

dV2

dt= Flujo entrada− Flujo salida⇒ C2

dh2

dt=

1R1

(h1 − h2)− 1R2

(h2 − 0)

El modelo completo está entonces dado por

dh1

dt=

Qo

C1− h1

C1R1+

h2

C1R1

dh2

dt=

h1

C2R1− 1

C2

(1

R1+

1R2

)h2


Circuito eléctrico

Considere el circuito eléctrico de la figura.

Qo(t) = fuente de corriente [A]

C1, C2 = capacitancias.

R1, R2 = resistencia eléctricas.

Figura: Circuito eléctrico.

Objetivo: encuentre un modelo para el circuito eléctrico propuesto.


Circuito eléctrico

Dada la ley de corrientes tenemos que

Qo = iR1 + iC1 ⇒ Qo =V1 − V2

R1+ C1

dV1

dt

y también que

iR1 = iR2 + iC2 ⇒V1 − V2

R1=

V2

R2+ C2

dV2

dt


dV1

dt=

Qo

C1− V1

C1R1+

V2

C1R1

dV2

dt=

V1

C2R1− 1

C2

(1

R1+

1R2

)V2


Dos masas con amortiguadores

Considere un conjunto de dos masas conectadas a través de amortiguadores.

b2-

f (t)m1 m2

b1

Figura: Dos masas conectadas a través deamortiguadores.

f (t)= fuerza externa.

m1, m2 = masas.

b1, b2 = coeficientes deamortiguación viscosa.

Objetivo: encuentre un modelo para el proceso propuesto.


Dos masas con amortiguadores

Aplicamos un análisis de cuerpo libre sobre la primera masa

m1a1 = f (t)− b1(v1 − v2)⇒ dv1

dt=

f (t)m1− b1

m1v1 +

b1

m1v2

Un análisis similar sobre la segunda masa entrega el siguiente resultado

m2a2 = b1(v1 − v2)− b2(v2 − 0)⇒ dv2

dt=

b1

m2v1 −

1m2

(b1 + b2) v2


dv1

dt=

f (t)m1− b1

m1v1 +

b1

m1v2

dv2

dt=

b1

m2v1 −

1m2

(b1 + b2) v2


Agradecimientos

Se agradece al profesor Juan Pablo Segovia, Universidad de Concepción, eluso autorizado de los apuntes de años anteriores para el curso deModelación de procesos.

Se agradece al profesor Jose de Doná de, The University of Newcastle, el usoautorizado de los apuntes de clase para ELEC4400 (Automatic Control).


Date post:	13-May-2023
Category:	Documents
Upload:	independent
View:	0 times
Download:	0 times

Modelación de Procesos (543207

Documents