Modelarea prin grafuri. Problema drumului cel mai scurt

135

7

MMooddeellaarreeaa pprriinn ggrraaffuurrii..

PPrroobblleemmaa ddrruummuulluuii cceell mmaaii ssccuurrtt

7.1. Noţiuni teoretice

Multe probleme ale programării liniare pot fi rezolvate utilizând modelarea

prin grafuri sau reţele. Graful este o reprezentare a problemei prin care o

mulţime de noduri sunt conectate între ele printr-o mulţime de arce sau arcuri.

Nodurile sau vârfurile sunt definite printr-un set de puncte V, notate fie cu

cifre, fie cu litere. Arcul constă dintr-o pereche ordonată de puncte şi

reprezintă o direcţie posibilă a acţiunii care se poate produce între acele

puncte. De exemplu, dacă graful conţine un arc (j, k), mişcarea posibilă este

de la nodul j la nodul k. Pentru acest nod, j este nod iniţial (extremitatea

iniţială), iar k nod terminal (extremitatea terminală).

Presupunem că nodurile 1, 2, 3 şi 4 din figura 7.1

reprezintă 4 oraşe şi fiecare arc reprezintă un drum

(cu sens unic) care leagă două oraşe. Pentru acest

graf:

• mulţimea vârfurilor (nodurilor) este:

V={1, 2, 3, 4}

• mulţimea arcelor este:

A={(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 1)}

O succesiune de arce cu proprietatea că fiecare arc

are doar un singur nod comun cu arcul anterior se numeşte lanţ.

Un drum este o succesiune de arce (un lanţ) astfel încât nodul terminal al

fiecărui arc coincide cu nodul iniţial al arcului următor.

1

2 3

4

Fig. 7.1 Exemplu de

reţea

136 Cercetări operaţionale

Un drum finit care revine la punctul său de plecare se numeşte circuit. Dacă

vârfurile prin care trece sunt toate distincte, circuitul este elementar, iar dacă

arcele sunt toate distincte, circuitul este simplu.

În cazul exemplului 7.1, (1, 2)-(2, 3)-(4, 3) este un lanţ dar nu este un drum.

(1, 2)-(2, 3)-(3, 4) este un lanţ şi un drum. Drumul (1, 2)-(2, 3)-(3, 4)

reprezintă o cale de a merge de la nodul 1 la nodul 5. (1, 2)-(2, 3)-(3, 4)-(4, 1)

este un circuit.

Problema drumului cel mai scurt se preocupă cu găsirea celei mai scurte căi

dintr-un graf sau reţea, pornind de la un nod, numit nod de start şi până la

unul sau mai multe alte noduri din reţea. Pentru aceasta, fiecare arc are

asociată o valoare nenegativă, care reprezintă lungimea arcului, lungime care

se poate exprima în diferite unităţi de măsură, ca de exemplu: kilometri, ore,

etc. Atribuirea unei mărimi unui arc se numeşte marcare. Valoarea acelei

mărimi se numeşte marcă şi are semnificaţia de valoare a drumului de la

nodul iniţial la nodul terminal al arcului.

Pentru rezolvarea problemei drumului cel mai scurt se parcurg următorii paşi:

1. Identificaţi nodul iniţial sau de start. Acesta va intra într-o mulţime

specială numită mulţimea nodurilor permanente. De obicei se

marchează nodurile din mulţimea permanentă cu un asterisc;

2. Conectaţi acest nod cu acele noduri din reţea cu care acesta are legătură

directă.

3. Din mulţimea arcelor rezultate, selectaţi nodul cu cea mai scurtă rută

directă către nodul iniţial;

4. Stabiliţi mulţimea permanentă ca fiind construită din nodul iniţial şi nodul

selectat la pasul 3;

5. Stabiliţi toate nodurile direct conectate mulţimii nodurilor permanente;

6. Selectaţi nodul cu cea mai scurtă ramură de la grupul de noduri direct

conectate cu mulţimea nodurilor permanente;

7. Repetaţi paşii 5 şi 6 până când toate nodurile s-au adăugat mulţimii

nodurilor permanente.

8. Construiţi reţeaua care stabileşte legătura cea mai scurtă dintre nodul de

start şi toate celelalte noduri.

7. Problema drumului cel mai scurt 137

7.2. Problemă rezolvată

M

7.2.1. Rezolvarea manuală

Fie de exemplu reţeaua de mai jos în care distanţele sunt date în km, pe care îi

parcurge o maşină a băncii pentru a alimenta bancomatele dintr-un oraş.

16

A

B

C

D

E

G

F

6

8

9

8

146

12

510

12 11

Fig.7.2

Se începe de la nodul iniţial, A (sediul băncii) şi se determină cea mai scurtă

distanţă până la nodurile cu care acesta este conectat direct, noduri numite

adiacente, respectiv nodurile B, C şi D. Cea mai scurtă distanţă este de la A la

C, de 8 km. Astfel nodul C devine nod din mulţimea nodurilor permanente,

mulţime care indică faptul că s-a găsit cea mai scurtă rută până la aceste

noduri. Nodul A este automat parte a mulţimii nodurilor permanente deoarece

nu există alt drum către acesta. Rezultă situaţia din figura 7.3.

În continuare se determină toate nodurile

direct conectate cu nodurile din mulţimea

permanentă, respectiv cu nodurile A şi C.

Acestea sunt B, D şi F. Rezultă situaţia din

figura 7.4.

Mulţimea

permanentă

Ramura Km

{A}

A – B 16

A – D 9

A – C 8

16

A

B

C

D9

8

*

0

8

Fig.7.3


Noua mulţime a nodurilor

permanente este acum {A, C, D}. În

continuare se găsesc noile noduri

care sunt direct legate de nodurile

din mulţimea permanentă.

16

A

B

C

D

E

G

F

8

9

8

14

12

10

11

8

16

90

*

* *

Fig.7.5

16

A

B

C

D

E

G

F

6

9

8

14

12

10

11

8

0

16

9

19

*

*

*

*

Fig.7.6

Mulţimea

permanentă

Ramura Km

{A, C}

A – B 16

A – D 9

C – D 12

C – F 14

Mulţimea

permanentă

Ramura Km

{A, C, D}

A – B 16

A – C – F 22

A – D – B 17

A – D – E 19

A – D – G 21

A – D – F 20

Mulţimea

permanentă

Ramura Km

{A, C, D,B}

A – B – E 22

A – C – F 22

A – D – F 20

A – D – E 19

A – D – G 21

16

A

B

C

D

F

9

8

14

120

8

*

*

9

Fig.7.4


16

A

B

C

D

E

G

F

9

8

146

12

510

11

8

0

16

9

19

20

*

*

**

*

Fig.7.7

16

A

B

C

D

E

G

F

9

86

12

510

11

8

0

16

9

19

20

*

*

**

*

*

21

Fig.7.8

Reţeaua de cablu va arăta astfel:

16

A

B

C

D

E

G

F

9

8

12

10

11

8

0

16

9

19

20

21

Fig.7.9

Mulţimea

permanentă

Ramura Km

{A, C, D, B,

E, F}

A–D–E–G 24

A–D–F–G 26

A – D – G 21

Mulţimea

permanentă

Ramura Km

{A, C, D, B,

E}

A-D-E-G 24

A – C – F 22

A – D – F 20

A – D – G 21


X

7.2.2. Rezolvarea cu Microsoft Excel

Problemele de drum minim se rezolvă in Excel similar problemelor de

programare liniară. Pentru a putea rezolva problema, aceasta trebuie

formulată ca o problemă de programare liniară cu variabile întregi ce pot lua

valoarea 0 sau 1. Astfel notăm cu xij valoarea variabilei de decizie ce va arăta

dacă ramura de la nodul i la nodul j face sau nu parte din drumul cel mai

scurt. În acest sens, xij = 0 dacă ramura i-j nu este selectată să facă parte din

drumul cel mai scurt şi 1 dacă ramura face parte din drumul minim.

În cazul problemei analizate, funcţia obiectiv va fi următoarea:

Minimizaţi Z = 16xAB + 8xAC + 9xAD + 8xBD + 6xBE + 12xCD + 14xCF + 11xDF

+ 10xDE + 12xDG + 5xEG + 6xFG

Constrângeri:

xAB + xAC + xAD= 1

XAB – xBD – xBE = 0

XAC – xCD – xCF = 0

XAD + xBD + xCD – xDE – xDF – xDG = 0

XBE + xDE – xEG = 0

XCF + xDF – xFG = 0

XDG + xEG + xFG = 1

xij = 0 or 1

Problema se transcrie în Excel după cum este prezentat în figura 7.10.

Celulele A5:A16 sunt celule cu valori schimbabile. În celulele E5:E16 se

introduc de la tastatură distanţele pe fiecare ramură. Constrângerile

identificate la transformarea problemei în una de programare liniară se

introduce în celulele H5:H11. Formulele pentru aceste celule sunt:

H5 =A5+A6+A7

H6 =A5-A8-A9

H7 =A6-A10-A11

H8 =A7+A8+A10-A12-A13-A14

H9 =A9+A12-A15

H10 =A11+A13-A16

H11 =A14+A15+A16

Funcţia obiectiv este trecută în celula E17, iar formula folosită este:

=SUMPRODUCT(A5:A16;E5:E16).


Fig. 7.10. Introducera datelor

După apelarea solver-ului în fereastra Solver Parameters se trec

constrângerile ca în figura 7.10. În figura 7.11, sunt prezentate opţiunile care

trebuie bifate pentru rezolvarea corectă a problemei:

Fig. 7.11. Opţiuni de bifat la Solver

După apăsarea butonului Solve, soluţia problemei va fi afişată ca în figura

7.12. Ramurile selectate pentru cel mai scurt drum de la nodul A la nodul G

sunt cele care au valoarea 1 pe coloana „Ramura selectată”. Acestea sunt AD

şi DG. Valoarea drumului cel mai scurt este dată în celula E17.


Fig. 7.12. Soluţia problemei

Q

7.2.3. Rezolvarea cu WinQSB

Pentru rezolvarea problemelor de drum minim şi a arborilor de deschidere

minimă cu WinQSB, se alege modulul Network Modeling (Fig. 7.13).

Fig. 7.13 Alegerea modulului Network Modeling


Fereastra din figura 7.14 apare după ce selectăm New Problem din meniul

File. Se bifează rezolvarea problemelor drumului cel mai scurt (Shortest Path

Problem). Se introduc titlul problemei şi numărul de noduri. Tot aici se

selectează modul de introducere a datelor (grafic sau tabelar).

Fig. 7.14 Datele generale ale problemei

Se introduc datele problemei ca în figura de mai jos. Acolo unde există arc

între noduri, se trece costul (distanţa) aferent(ă) . Dacă nu există drum între 2

noduri, nu se trece nimic în celula respectivă. Dacă drumul de la un nod la

altul este acelaşi indiferent de sensul în care îl parcurgem, atunci matricea va

fi simetrică. În acest caz se completează doar deasupra diagonalei principale

(Fig.7.15).

Fig. 7.15 Introducerea datelor

Dacă din meniul Solve and Analyze selectăm Solve the Problem, pe ecran va

apărea fereastra din figura 7.16, în care programul ne cere să selectăm nodul

iniţial şi nodul final. După ce acestea au fost selectate se face clic pe butonul

Solve.


Fig. 7.16 Rezolvarea problemei

WinQSB afişează doar drumul cel mai scurt dintre nodul A şi nodul G,

arătând şi nodurile intermediare, costurile de pe fiecare arc, precum şi costul

total (Fig. 7.17).

Fig. 7.17 Soluţia problemei

Din meniul Results se poate selecta şi afişarea grafică a soluţiei problemei

(Fig. 7.18).

Fig.7.18 Afişarea soluţiei – modul grafic


S

7.2.4. Rezolvarea cu STORM

Din modulele oferite de STORM, se alege modulul 4 Distance Networks

(Paths, Tours, Trees) (Fig. 7.19).

Fig.7.19 Alegerea modulului STORM

În pasul următor se selectează crearea unei noi probleme, iar apoi se introduc

datele generale despre problemă: titlu, număr de noduri şi se va specifica dacă

nodurile sunt simetrice (aceeaşi distanţă şi pentru dus şi pentru întors), sau

asimetrice (Fig. 7.20)

Fig. 7.20 Date generale ale problemei


Spre deosebire de WinQSB, datele generale ale problemei se introduc doar în

forma matricială. În cazul unei matrice simetrice, nu se vor putea introduce

date sub diagonala principală. Dacă există arc între două noduri, se va

introduce de la tastatură distanţa dintre noduri, în caz contrar, nu se trece

nimic (Fig. 7.21).

Fig. 7.21 Introducerea datelor

Odată ce datele au fost introduse, se apasă tasta F7, iar în pasul următor se

alege opţiunea 4 – rezolvarea problemei (Fig. 7.22).

Fig.7.22 Rezolvarea problemei

Se selectează tipul de problemă. În prima fază prezentăm rezolvarea unei

probleme de drum minim (Fig.7.23).


Fig. 7.23 Problema drumului cel mai scurt

Pentru acest tip de probleme este esenţial să specificăm nodul iniţial. Se va

selecta nodul A, şi se apasă tasta Enter (Fig. 7.24).

Fig. 7.24 Selectarea nodului de start

Apoi se cere selectarea nodurilor care ne interesează. STORM – ul va calcula

drumul cel mai scurt de la nodul iniţial – A, până la fiecare din nodurile

selectate (Fig.7.25).


Fig. 7.25 Selectarea nodurilor care ne interesează

După apăsarea tastei F7, pe ecran va fi afişată soluţia problemei, ca în figura

7.26.

Fig. 7.26 Soluţia pentru problema drumului cel mai scurt


7.3 Aplicaţii

1. Fiind dată reţeaua de mai jos cu distanţele indicate între noduri (în km),

determinaţi cel mai scurt drum de la nodul 1 la fiecare din celelalte patru

noduri (2, 3, 4 şi 5).

1

2

4

3 5

3

8

10

94

75

12

2. Ion Popescu doreşte să călătorească împreună cu familia prin ţară. Ultima

lor destinaţie este Oraşul Destinaţie. Familia a dezvoltat următoarea reţea

de drumuri posibile şi oraşe pe care ar dori să le viziteze. Timpul, în ore,

între oraşe, dependent de drumurile existente, calitatea acestora şi numărul

localităţilor străbătute este indicat pe fiecare ramură. Stabiliţi care este

drum cel mai scurt pe care poate ajunge familia lui Ion la Oraşul

Destinaţie.

1

2

3

4

5

62

4

3

2

1

22

2

3


determinaţi cel mai scurt drum de la nodul 1 la fiecare din celelalte 6

noduri:


1

2

3

4

5

6

7

Distanţele sunt următoarele: Arc 1-2 1-3 1-4 2-5 3-4 3-5 4-5 4-6 5-6 5-7 6-7

Dist. 5 4 2 7 3 2 3 4 1 4 8



noduri:

1

2

3

4

5

7

6

8

Distanţele sunt următoarele:

arc 1-2 1-3 1-4 2-3 2-5 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 4-7 5-6 6-8 7-8 dist 18 16 17 13 12 14 17 23 21 22 17 14 13 15



noduri:

1

2

3

4

5

6

7

arc 1-2 1-3 1-4 2-3 2-5 3-4 3-5 3-6 3-7 4-6 5-7 6-7

dist 16 9 8 8 6 12 10 11 12 14 5 6



determinaţi cel mai scurt drum de la nodul 1 la fiecare din celelalte noduri:

1

2

3

5

4

6

7

8

arc 1-2 1-3 1-5 2-3 2-4 3-4 3-5 3-6 4-6 4-7 6-7 6-8 7-8

dist 4 10 5 8 12 6 11 3 5 7 5 10 4

7. O persoană trebuie să participe la un congres în oraşul X. Poate alege mai

multe drumuri din oraşul în care se află (O1), către oraşul destinaţie (O7).

Reţeaua de mai jos sintetizează diferitele rute. În tabel se prezintă

modalităţile de transport, timpul călătoriei (în ore) şi costurile pe diferite

rute (în u.m.). Pentru fiecare oră de transport, persoana primeşte din partea

organizaţiei 20 u.m. Ce traseu trebuie să aleagă astfel încât să minimizeze

costurile? Dacă persoana nu ţine cont de costurile călătoriei, determinaţi

care este cel mai scurt drum de la oraşul sursă (O1) la oraşul destinaţie

(O7).

1

2

3

5

4

6

7

Ruta Metoda Timpul Costul

A (1-2) Taxi 4 120

B (1-3) Tren 6 80

C (1-4) Autobuz 6 100

D (2-5) Tren 7 100

E (2-6) Tren 8 120

F (3-5) Autobuz 9 160

G (3-6) Autobuz 10 180

H (4-5) Taxi 7 200

I (4-6) Tren 8 120

J (5-7) Autobuz 7 120

K (6-7) Autobuz 5 80


8. Figura de mai jos reprezintă un proiect privind dispunerea calculatoarelor

unei reţele aparţinând firmei ABC. Care este cea mai scurtă lungime de

cablu cu care administratorul reţelei poate să conecteze aceste

calculatoare?

1

2

3

4

5

8

6

7

9 10

11

12

13

9

7

10

11

5

12

2

2

8

6

4

10

10

12

12

14

8

12

6

9. O companie de televiziune doreşte să îşi planifice modul de televizare al

evenimentelor de la Olimpiada de vară. Compania vrea să stabilească un

sistem de comunicaţii care să conecteze între ele locaţiile importante ale

competiţiilor sportive, dar în aşa fel încât să se minimizeze cantitatea de

cablu necesar pentru realizarea conexiunilor. Locaţiile de desfăşurare a

evenimentelor (noduri) şi distanţele dintre ele, în km, sunt prezentate în

figura de mai jos:

Selectaţi arcele pe care televiziunea îşi va stabili reţeaua de cablu. Câţi

kilometri de cablu sunt necesari pentru realizarea reţelei?

A

D

B

C

E G

J

F

H

I

4

6

5

7

7

6

8

9

16

8

6

10

5

11 12

14

12

2

6


10. Cetăţenii oraşului Metropolis au aprobat prin referendum construirea unei

reţele de metrou în oraşul lor. Reţeaua va fi concepută pentru a putea servi

toate cele 10 cartiere ale oraşului. Comisia de planificare doreşte să

stabilească unde va fi construită reţeaua de metrou. Costurile prin care sunt

unite cartierele sunt date în figura de mai jos (în sute de mii de u.m.)

Care rute vor genera cel mai mic cost de producţie şi vor asigura

cetăţenilor posibilitatea de a călători in toate celălalte cartiere?

11. Compania Naţională de Drumuri şi Autostrăzi doreşte să construiască

autostrăzi care să lege oraşele (noduri) din figura de mai jos. Rutele

potenţiale (arce) şi distanţele lor, în km, sunt de asemenea date în figură:

7

4

6

3

A

D

B

C

H

I

F

E

G

J

10

5

8

12

6

5

11

14

3 5

2

4

4

7

12 10

75

125

110

100

A

D

B

C

E

G

J

F

H

I

K

35

55

30

60

70

50 145

190

50

120

170 30

60

65

85

95

130


Ştiind că obiectivul agenţiei de drumuri este să realizeze cea mai scurtă

reţea de drumuri care să permită cetăţenilor să călătorească dintr-un oraş în

oricare altul, stabiliţi ce rute vor fi incluse în reţeaua de drumuri şi câţi

kilometri de drum va avea in total reţeaua.

12. Să se găsească drumul cel mai scurt de la nodul 1 la toate celelalte noduri

din următorul graf:

1

2

3

4

5

6

8

7

3

2

52

6

3

3

3

57

4

2

1



1

2

3

4

5

6

87

10

8

12 12

15

18

12

8

10

1013

9

14




1

2

3

4

5

6

100

200

200

40

100

150

100

100

50

15. Să se găsească drumul cel mai scurt de la nodul 1 la nodul 16:

1

2

3

6

7

16

4

5

8

9

10

11

12

13

14

15

100

90

105

110

90100

90

100100 90

90

90350

100 9090

100

100200

16. Presupunând că toate ramurile sunt simetrice si bidirecţionale, găsiţi

drumul cel mai scurt de la nodul 1 la nodul 7.

Ramura Numerele nodurilor de la capetele ramurilor

Distanţa

1 1 2 2

2 1 3 6

3 1 4 5

4 2 5 1

5 3 5 3

6 3 6 2

7 4 6 4

8 5 7 9

9 6 7 3




1

2

3

6

7

48

2

6

5

1

3

2

4

9

3



1

2 4

6

3 5

100

200

100

100

150200

100

40

50

200



1 4

2 5

7

8

3 6 9

12

12

15

13

17

11

12

12

11

16

13

11




2

5

3

6

9

10

4

7

11

8

1 12

1

5 4

23

6

3

3 1

3

42

4

3 210

8 3



2

5

3

6

9

10

4

7

11

8

1 12

1

5 4

23

6

3

3 1

3

42

4

3 210

8 3

22. Presupunând că toate ramurile sunt simetrice si bidirecţionale, găsiţi

drumul cel mai scurt de la nodul 2 la nodul 4 Ramura Numerele nodurilor de la

capetele ramurilor Distanţa

1 1 2 4

2 1 3 5

3 1 4 3

4 2 5 7

5 3 5 1

6 3 6 4

7 4 6 3

8 5 7 8

9 6 7 2




1

4

2

5

6 7

3

4

2

13

5 1

10

26

1

2 6



2 4

6

7

3 51 82555

337

1843

1743

1233

802

1387

1120

1099

142

849

1205



1

2

3

4

5

6

8

7

3

6

53

6

7

3

3

69

2

4

1

5




1

2

3

4

5

6

87

16

8

109

11

14

6

8

10

1014

13

7

7

3

27. Ion Popescu trebuie să participe la o importantă întâlnire de afaceri în

oraşul X. El poate alege mai multe drumuri din oraşul lui O1, către oraşul

X, notat O6. Reţeaua de mai jos sintetizează diversele căi. Tabelul următor

conţine modalităţile de transport, timpul călătoriei (în ore) şi costurile (în

u.m.) pe diversele rute. Ştiind că Ion primeşte 15 u.m. pe oră, ce traseu

trebuie să aleagă astfel încât să minimizeze costurile de transport?

Ruta Metoda Timp (în ore) Cost (în u.m.)

A tren 4 20

B Avion 1 115

C Autobuz 2 10

D Taxi 6 90

E Tren 3 1/3 30

F Autobuz 3 15

G Autobuz 4 2/3 20

H Taxi 1 15

I Tren 2 1/3 15

J Autobuz 6 1/3 25

K Taxi 3 1/3 50

L Tren 1 1/3 10

M Autobuz 4 2/3 20

1

2

3

4

5

6

A

F

K

L B

D

C

E

M

I H

J

G


28. RENEL doreşte să distribuie energie electrică de la centrala 1 (nodul 1) la

oraşul 1 (nodul 6) pe drumul cel mai scurt. Drumul de distribuţie trebuie să

treacă prin staţiile de transformare (nodurile 2 - 5). Distanţele dintre

perechile de noduri prin care poate fi transmisă energia electrică sunt

evidenţiate pe graful de mai jos. Determinaţi drumul cel mai scurt.

2 4

6

35

1Centrala 1

Staţii

Oraşul 1

4

3

3

2

3

2

2


din următorul graf.

1

2

3

4

5

6

7

40

70

50

50

80

30

60

20

20

10

60

30


din următorul graf.

1

4

2

3

5

6

7

8

9

16

14

17

42

29

26

186

1231

12

278

14

1919

8

24

3616

9

Date post:	02-Apr-2023
Category:	Documents
Upload:	khangminh22
View:	0 times
Download:	0 times

Modelarea prin grafuri. Problema drumului cel mai scurt

Documents