Modelo del pendulo

8 3 El Pendulo Fısico Simple

suave a trozos, se hace el analisis matematico del modelo mediante el metodo de Filippov.

Por ultimo, se presentan los experimentos numericos y se discuten los resultados.

3.1. Modelo matematico

La Figura 3-1 representa un pendulo fısico real y los principales parametros que lo caracte-

rizan. Particularmente, el movimiento del pendulo esta restringido al plano x− y. Por otra

parte, el eje de rotacion del pendulo se encuentra en el punto de apoyo o juntura O, mientras

que el eje denotado por z se ubica en el centro de masa del pendulo; ademas, tanto el eje de

rotacion del pendulo como el eje z son perpendiculares al plano x − y. Adicionalmente, m

corresponde a la masa, I es el momento de inercia con respecto al eje z y r mide la distancia

entre la juntura O y z. Por ultimo, se presentan las variables u y ψ; la primera representa la

fuerza externa aplicada al pendulo en la juntura O, y la segunda determina la posicion del

pendulo con respecto al semieje negativo y.

Ou

x

y

ψ

z

m, I

r

Figura 3-1.: Modelo del pendulo fısico simple.

Ahora, el modelo matematico que aproxima la dinamica del sistema se deduce a partir del

metodo de Lagrange [19]. En este sentido, se establece la interaccion de la energıa mecanica

en el pendulo, es decir, el balance entre su energıa cinetica T y su energıa potencial U . Ası,

se define la ecuacion de Lagrange (3-1), donde se presenta la relacion entre T y U , en funcion

de ψ y sus derivadas con respecto al tiempo t. Ademas, se considera al pendulo fısico como

un sistema no conservativo, lo que implica que fuerzas externas tales como el torque u o la

friccion en O, ejerzan trabajo en el. En particular, en la Ecuacion (3-1) estas variaciones de

3.1 Modelo matematico 9

energıa se representan con el termino Q.

d

dt

(∂T

∂ψ

)− ∂T

∂ψ+∂U

∂ψ= Q. (3-1)

A continuacion se deducen las expresiones algebraicas de T y U . Para el caso de Q, se dan

a conocer las expresiones que lo componen.

3.1.1. Energıa cinetica

Nuevamente, de acuerdo a [19], la energıa cinetica de un cuerpo en rotacion se puede definir

como

T =1

2Iψ2. (3-2)

No obstante, para este sistema la Ecuacion (3-2) debe ser complementada porque el centro

de masa es perpendicular al eje z y no al eje de rotacion del pendulo (ver Figura 3-2). Por

lo tanto, se crea la necesidad de encontrar la expresion del momento de inercia con respecto

al eje de rotacion del sistema.

r

Eje de rotación

eje z

O

Figura 3-2.: Condiciones de rotacion del pendulo fısico.

Ası, para calcular T se hace uso del Teorema 1 conocido como teorema de Steiner o de ejes

paralelos.

Teorema 1 El momento de inercia con respecto a cualquier eje de rotacion paralelo al eje

de rotacion que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia que pasa por el

centro de masa, mas el producto entre la masa y el cuadrado de la distancia que separa a los

dos ejes.


De esta manera, sustituyendo I +mr2 en la Ecuacion (3-2), la energıa cinetica se fija como

T =1

2

(I +mr2

)ψ2. (3-3)

3.1.2. Energıa potencial

Ahora, al igual que para el caso anterior la expresion de la energıa potencial presentada en

la Ecuacion (3-4) se toma de [19], donde m representa la masa del sistema, g es el campo

gravitatorio de la tierra, y h mide la altura del centro de masa con respecto al punto mas

bajo que puede ocupar (ver Figura 3-3).

U = mgh. (3-4)

rr

h

z

y

x

ψ

z

Figura 3-3.: Altura del centro de masa con respecto a su punto mas bajo.

En este sentido, a partir de la Figura 3-3 se puede deducir que h corresponde a r (1− cos (ψ)).

De este modo, sustituyendo esta expresion en la Ecuacion (3-4), la energıa potencial del

sistema se fija como

U = mgr (1− cos (ψ)) . (3-5)

3.1.3. El pendulo fısico como un sistema no conservativo

Como se menciono anteriormente, se considera al pendulo fısico como un sistema no conser-

vativo. Una de varias razones, es porque parte de su energıa mecanica se disipa en forma de

calor por efecto de la friccion. Otra, debido a que el pendulo puede ser excitado por fuerzas


externas no potenciales, tales como, las generadas por un motor. En este sentido, se considera

necesario incluir en el modelo matematico, las expresiones que aproximen las variaciones de

energıa mecanica debido a la friccion y a las fuerzas externas.

Para el caso del pendulo fısico mostrado en la Figura 3-1, se considera unicamente la friccion

que se genera en la juntura O. Sin embargo, construir un modelo que describa los efectos

de la friccion no es una tarea sencilla [12, 13]. Adicionalmente, en la literatura existe una

cantidad limitada de trabajos orientados a investigar los pendulos con friccion.

Teniendo en cuenta lo anterior, el modelo matematico de la friccion se tomo de [14]. Particu-

larmente, se hizo esta eleccion porque dentro de esta investigacion el modelo y los parametros

que lo caracterizan fueron capaces de describir satisfactoriamente la dinamica del sistema,

al comparar las simulaciones con los datos tomados experimentalmente. Ademas, la eleccion

tambien fue motivada debido a que la forma en que el sistema es excitado con una fuerza

externa resulta conveniente a la hora de aplicar la estrategia de control ZAD. Ası, el modelo

de la friccion se define en (3-6). (Para mas detalles acerca del modelo y sus parametros ver

[11, 14]).

3cψ + (T1 + T2 + µN) sgn(ψ) [

(1− µ′) e−c′|ψ| + µ′], (3-6)

donde sgn es la funcion matematica signo, e es la constante de Euler, T1 y T2 son compo-

nentes del torque ejercido por la friccion seca, µ′ y c′ permiten aproximar el efecto de la

friccion a bajas velocidades, c es un coeficiente de amortiguamiento, y µ es el coeficiente de

proporcionalidad de la componente N que se fija como

N = m

√g2 + 2gr

(cos (ψ) ψ2 + sin (ψ) ψ

)+ r2

(ψ4 + ψ2

). (3-7)

Ademas, para el modelo presentado en (3-6), cabe senalar que el termino que contiene a la

funcion signo corresponde a la friccion seca del sistema; mientras que el termino restante

modela a la friccion viscosa.

Por otra parte, con relacion al otro elemento que causa variaciones de energıa dentro del

sistema, es decir, la fuerza externa u se debe considerar como el torque que se aplica en el

eje de rotacion del pendulo. De esta manera, el termino Q de la formulacion de Lagrange

(3-1) se define como en la Ecuacion (3-8). Con lo que respecta a los signos de los diferentes

terminos que componen a Q, la convencion elegida se hizo teniendo en cuenta su efecto en

la energıa mecanica del sistema; ası, los elementos que aportan energıa tal como el torque u,

se toman como positivos; y los elementos que la disipan, como por ejemplo la friccion seca y

viscosa, se toman como negativos.

Q = u− 3cψ − (T1 + T2 + µN) sgn(ψ) [

(1− µ′) e−c′|ψ| + µ′]. (3-8)


Finalmente, al sustituir las Ecuaciones (3-3), (3-5) y (3-8) en la ecuacion de Lagrange (3-1),

y al hacer las operaciones correspondientes, el modelo matematico que se usa para estudiar

la dinamica del pendulo fısico corresponde a(I +mr2

)ψ+mgrsen (ψ) = u−3cψ− (T1 + T2 + µN) sgn

(ψ) [

(1− µ′) e−c′|ψ| + µ′]. (3-9)

donde N sigue estando definido por la Ecuacion (3-7).

Ahora, los valores numericos de cada uno de los parametros que constituyen el modelo

matematico son tomados de [14]. Ademas, es necesario resaltar que la implementacion fısica

del pendulo hecha en la citada investigacion, permitio obtener cada uno de estos valores

a partir de la estimacion con datos tomados experimentalmente y la medicion directa de

las caracterısticas fısicas del sistema. Particularmente, estos valores estan consignados en la

Tabla 3-1. Finalmente, al sustituir los valores de la Tabla (3-1) en las Ecuaciones (3-7) y

(3-9), se obtiene una expresion que ademas de describir la dinamica del sistema en terminos

de la posicion ψ ∈ R y sus derivadas con respecto al tiempo t ∈ R, permite asignar valores

arbitrarios a la fuerza externa u. Esta expresion corresponde a la Ecuacion (3-10).

Tabla 3-1.: Parametros del modelo

matematico (3-9) con sus

respectivos valores.

Parametro Valor

c[N ·m · s] 5.32 · 10−4

I[Kg ·m2] 37.94 · 10−3

r[m] 54.95 · 10−3

m[Kg] 4.21

T1[N ·m] 97.53 · 10−3

T2[N ·m] 13.77 · 10−3

µ[m] 0

µ′[−] 1

c′[s/rad] 1

g[m/s2] 9.812

ψ = 19.7393u− 44.8065 · sin (ψ)− 0.0315ψ − 2.1969 · sgn(ψ). (3-10)

En particular, se considera que la observacion tanto de la posicion como de la velocidad del

pendulo es necesaria para hacer un analisis adecuado de la dinamica del sistema. En este

sentido, haciendo los cambios de variable φ1 = ψ y φ2 = ψ, la Ecuacion (3-10) se puede

expresar como el sistema de ecuaciones (3-11), el cual, rige la dinamica del pendulo sobre el


espacio de estados definido como {(φ1, φ2) ∈ R2}. En particular, φ1 representa a la posicion

del pendulo y se mide en radianes (rad), mientras que φ2 corresponde a su velocidad y se da

en radianes por segundo (rad/seg).

φ1 = φ2

φ2 = 19.7393u− 44.8065 · sin (φ1)− 0.0315φ2 − 2.1969 · sgn (φ2). (3-11)

4. Analisis del Modelo

4.1. Sistemas Suaves a Trozos

Cuando el fenomeno de la friccion es tenido en cuenta dentro de un modelo matematico, sus

efectos dentro de la dinamica del sistema deben ser analizados. En el caso del pendulo fısico,

a partir de la segunda ecuacion del sistema (3-11), se puede inferir que la friccion esta co-

rrelacionada con la velocidad. Ası, con respecto a la friccion viscosa, su incidencia depende

directamente del valor de φ2. Por otra parte, el efecto de la friccion seca esta ligado a la fun-

cion matematica signo, cuyo argumento, nuevamente es φ2. Adicionalmente, la funcion signo

afecta la estructura dinamica que gobierna al pendulo fısico, siendo necesario diferenciar las

dinamicas cuando φ2 es mayor, menor o igual que cero. En este sentido, el comportamiento

del sistema se puede construir, considerando al pendulo fısico como un sistema suave a trozos.

Los sistemas suaves a trozos o PSS, por sus siglas en ingles, son descritos por un conjunto

finito de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). En general

x = f (i) (x) , x ∈ Si ⊂ Rn, (4-1)

donde x representa los estados del sistema, Si, para i = 1, 2, ...,m, son regiones abiertas

y no solapadas entre sı, las cuales estan separadas por subvariedades de dimension (n− 1)

conocidas como fronteras. Las funciones f (i) y las fronteras se toman como suaves y la union

entre todas las fronteras Σ junto con todas las Si abarca todo el espacio de estados [31].

Ademas, se pueden diferenciar dos tipos de PSS. Por un lado, si f (i) (x) = f (j) (x) en cual-

quier punto de la frontera Σij que separa a las regiones Si y Sj, los PSS se clasifican como

continuos. En estos sistemas, el vector x esta definido de manera unica en cualquier punto

del espacio de estados, y las orbitas en la region Si que se aproximan transversalmente a la

frontera Σij, la cruzan para entrar en la region adyacente Sj. Por otra parte, cuando dos

vectores distintos x, definidos como f (i) (x) y f (j) (x) se asocian al mismo punto x ∈ Σij , los

PSS son llamados discontinuos o sistemas de Filippov. Particularmente, cuando las compo-

nentes transversales de f (i) (x) y f (j) (x) tienen el mismo signo, la orbita cruza la frontera,

pero en el punto en que lo hace se presenta una discontinuidad en su vector tangente. Por

el contrario, si las componentes transversales de f (i) (x) y f (j) (x) tienen signos opuestos, el

estado del sistema permanece en la frontera, y dependiendo de su dinamica se desliza o no

sobre ella. En la mayorıa de los casos, la dinamica sobre la frontera se puede definir a partir

4.2 Analisis de Filippov Aplicado al Pendulo Fısico 15

del metodo de analisis convexo de Filippov [23, 24], el cual aproxima los movimientos del

sistema sobre la frontera Σij como las soluciones sobre Σij de las EDOs continuas x = g (x),

donde g (x) es la combinacion convexa entre f (i) (x) y f (j) (x) tangente a Σij en x.

4.2. Analisis de Filippov Aplicado al Pendulo Fısico

Ahora, a partir del modelo matematico (3-11), se infiere que el pendulo fısico es un PSS

discontinuo. De esta manera, teniendo en cuenta que sgn (φ2) = φ2/|φ2|, para φ2 > 0,

la dinamica del sistema se rige por la Ecuacion (4-2). Por el contrario, cuando φ2 < 0,

la dinamica del pendulo esta sujeta a la Ecuacion (4-3). Finalmente, la frontera φ2 = 0

representa una zona indefinida, porque no se tiene un conjunto de ecuaciones de estado que

describa las orbitas del sistema.

f (1) (u, φ1, φ2) =

{φ1 = φ2

φ2 = 19.7393u− 44.8065 · sin (φ1)− 0.0315φ2 − 2.1969. (4-2)

f (2) (u, φ1, φ2) =

{φ1 = φ2

φ2 = 19.7393u− 44.8065 · sin (φ1)− 0.0315φ2 + 2.1969. (4-3)

Para aproximar la dinamica del sistema en la frontera se usa el metodo convexo de Filippov

[23, 10, 24, 30]. En efecto, considerando el sistema planar de Filippov como en la Ecuacion

(4-4), es decir

z =

{f (1) (u, φ1, φ2) , (φ1, φ2) ∈ S1,

f (2) (u, φ1, φ2) , (φ1, φ2) ∈ S2,(4-4)

donde la frontera de discontinuidad Σ se describe como Σ = {(φ1, φ2) ∈ R2 : H (φ1, φ2) = 0},siendo H una funcion escalar suave con gradiente no nulo ∇H sobre Σ. Adicionalmente, las

superficies S1 y S2 se definen como S1 = {(φ1, φ2) ∈ R2 : φ2 > 0} y S2 = {(φ1, φ2) ∈ R2 : φ2 < 0}.

Ası mismo, fijando convenientemente la funcion escalar H como H (φ1, φ2) = φ2, con gra-

diente ∇H = (0, 1), el metodo de Filippov tambien permite definir la expresion σ (u, φ1, φ2)

como

σ (u, φ1, φ2) =⟨∇H, f (1) (u, φ1, φ2)

⟩ ⟨∇H, f (2) (u, φ1, φ2)

⟩, (4-5)

donde 〈·, ·〉 denota al producto punto.

En particular, con lo que respecta a la expresion σ (u, φ1, φ2), su importancia radica en

que permite determinar el comportamiento de las orbitas en la frontera de conmutacion.

16 4 Analisis del Modelo

Ası, el conjunto de puntos para los cuales las orbitas cruzan la frontera corresponde a

Σc = {(φ1, φ2) ∈ Σ : σ (u, φ1, φ2) > 0}, donde Σc ⊂ Σ. Por otra parte, el conjunto de pun-

tos donde las orbitas, debido a la dinamica que gobierna al sistema, son obligadas a per-

manecer sobre la frontera, equivale al complemento de Σc en Σ, y se fija como Σs =

{(φ1, φ2) ∈ Σ : σ (u, φ1, φ2) ≤ 0}. Finalmente, sustituyendo el gradiente ∇H y las Ecuaciones

(4-2) y (4-3) en la Ecuacion (4-5), para el caso del pendulo fısico, la expresion σ (u, φ1, φ2)

se define como

σ (u, φ1, φ2) = u2 − (4.5413 · sin (φ1))u+ 5.1558 · sin2 (φ1)− 0.0123. (4-6)

Ahora, el analisis se complementa mediante la construccion de la dinamica del pendulo

cuando las orbitas permanecen en la frontera de conmutacion. En efecto, para cada punto

(φ1, φ2) ∈ Σs, los vectores f (1) (u, φ1, φ2) y f (2) (u, φ1, φ2) se asocian con el metodo de Filippov

a traves de la combinacion g (u, φ1, φ2). Particularmente, g (u, φ1, φ2) se define como

g (u, φ1, φ2) = λf (2) (u, φ1, φ2) + (1− λ) f (1) (u, φ1, φ2) , (4-7)

donde

λ =

⟨∇H, f (1) (u, φ1, φ2)

⟩〈∇H, f (1) (u, φ1, φ2)− f (2) (u, φ1, φ2)〉

. (4-8)

En este caso, y luego de simplificar, la combinacion g (u, φ1, φ2) se expresa de acuerdo a la

Ecuacion (4-9) cuando ∇H y las Ecuaciones (4-2) y (4-3) se sustituyen en (4-7) y (4-8).

g (u, φ1, φ2) =

{φ1 = φ2

φ2 = 0. (4-9)

De esta manera, se tienen todos los elementos para definir el comportamiento del siste-

ma cuando alcanza la frontera de conmutacion. Por lo tanto, para cualquier punto (φ1, φ2)

sobre Σ en tiempo t, si σ (u, φ1, φ2) > 0, la orbita cruzara la frontera, lo que implica que

(φ1, φ2) ∈ Σc. Por el contrario, si σ (u, φ1, φ2) ≤ 0, entonces, (φ1, φ2) ∈ Σs y el comporta-

miento del sistema estara sujeto a la Ecuacion (4-9).

Para completar, se considera necesario definir dos tipos de puntos que podrıan presentarse en

una frontera de conmutacion. El primero aparece cuando la dinamica en Σs es nula, lo cual

significa que el campo vectorial g (u, φ1, φ2) = 0; particularmente, esta condicion define a los

llamados puntos de pseudo-equilibrio P . A fin de que P se clasifique como no degenerado, no

debe ser equilibrio de f (1) ni de f (2). El segundo caso, surge cuando g (u, φ1, φ2) es tangente

a f (1) o a f (2), es decir,⟨∇H, f (i) (φ1, φ2)

⟩= 0. En este sentido, se definen los puntos que

delimitan la zona Σs, los cuales son llamados puntos de tangencia T o puntos de tipo fold.

Al igual que en el caso anterior, estos puntos no deben ser equilibrios de f (1,2). Por ultimo,

para un punto T tangente a f (1), se dice que es un punto de tangencia visible, si una orbita

4.3 Dinamica del Pendulo Fısico en la Frontera de Conmutacion 17

regida por f (1), que inicia su trayectoria en T, pertenece a S1 para un t lo suficientemente

pequeno. Por el contrario, el punto se toma como invisible si la orbita resultante pertenece

a S2 [31].

Por ultimo, el analisis se complementa con el estudio de los continuos de pseudo-equilibrios

(CPE de ahora en adelante). Adicionalmente, se fijan diferentes valores en los parametros

que caracterizan al pendulo fısico, lo que permite inducir una colision entre ellos.

4.3. Dinamica del Pendulo Fısico en la Frontera de

Conmutacion

Antes de que las colisiones de CPEs sean presentadas, dos casos especiales deben ser exami-

nados. El primero permite establecer el conjunto de valores de u para los cuales Σ siempre

es cruzada por las orbitas en el espacio de estados. En el segundo, los elementos obtenidos

a partir del analisis de Filippov se usan para analizar los CPEs. Ademas, la revision de este

caso se complementa mediante el analisis de la respuesta natural del sistema. Particular-

mente, la posicion de los CPEs en Σ se calculan analıticamente, y los puntos especiales de

deslizamiento se clasifican de acuerdo a [28] y [31].

4.3.1. Zonas de cruce

Ahora, sea (φ1, φ2) un estado sobre la frontera Σ en tiempo t. Si σ (u, φ1, φ2) > 0 ∀ (φ1, φ2),

entonces las orbitas siempre cruzan la frontera de conmutacion [31, 16]. Ası, cuando la Ecua-

cion (4-6) se reescribe como en la Ecuacion (4-10), se infiere que la condicion σ (u, φ1, φ2) > 0

se satisface cuando los multiplicadores a la derecha de la igualdad tienen el mismo signo. En

este sentido, el signo de σ (u, φ1, φ2) depende de u y de una funcion seno:

σ (u, φ1, φ2) = (u− (2.2706 · sin (φ1) + 0.1110)) (u− (2.2706 · sin (φ1)− 0.1110)) . (4-10)

Con lo que respecta a la funcion seno, el conjunto discreto {−1, 1} contiene los valores mas

bajo y mas alto que la funcion puede tomar. Por un lado, si el primer valor del conjunto se

sustituye en la Ecuacion (4-10), es decir, fijando sin (φ1) = −1, la condicion σ (u, φ1, φ2) > 0

se cumple cuando

u− (2.2706 · (−1)− 0.1110) < 0. (4-11)

Ası, de acuerdo a la Ecuacion (4-11), las orbitas cruzan la frontera Σ si u < −2.3816. Para

este caso, las orbitas se presentan en la Figura 4.1(a). Por otra parte, fijando sin (φ1) = 1,

la condicion σ (u, φ1, φ2) > 0 se satisface si

u− (2.2706 · (1) + 0.1110) > 0. (4-12)


De esta manera, a partir de la Ecuacion (4-12), para u > 2.3816, nuevamente todas las

orbitas que lleguen a Σ, cruzaran por ella. Particularmente, las trayectorias de las orbitas se

describen en la Figura 4.1(b).

Σ

S1

S2

(a)

S1

S2

Σ

(b)

Figura 4-1.: Esquema de las orbitas para (a) si u < −2.3816 y (b) si u > 2.3816.

4.3.2. Continuos de pseudo-equilibrios

De acuerdo a la seccion 4.3.1, si al parametro u se le asigna un valor tomado del intervalo

[−2.3816, 2.3816], entonces la expresion σ (u, φ1, φ2) puede tomar valores menores o igua-

les a cero. Por lo tanto, el metodo convexo de Filippov se usa para construir la dinamica

del sistema sobre la frontera de conmutacion. En efecto, se debe tener presente que para

σ (u, φ1, φ2) ≤ 0, el comportamiento del sistema se aproxima mediante la Ecuacion (4-9), es

decir, el campo vectorial g (u, φ1, φ2).

Ahora, dado que φ2 = 0 para todo (φ1, φ2) ∈ Σs, de acuerdo a g (u, φ1, φ2), la dinamica

del sistema siempre es nula. Sin embargo, a partir de las Ecuaciones (4-2) y (4-3) se con-

cluye que la condicion f (1,2) (φ1, φ2) 6= 0 siempre se cumple, y adicional a ello los vectores

f (1,2) (φ1, φ2) son transversales a Σs y anti colineales entre sı. Por lo tanto, se puede inferir

que Σs esta constituida por un CPE [28].

Ademas, atendiendo a lo sustentado en la seccion 4.2, donde se dan a conocer las condiciones

que definen a los puntos de tangencia, para el caso del pendulo fısico se procede a determinar

las expresiones analıticas de estos puntos. Particularmente, para todo u ∈ [−2.3816, 2.3816],

esas expresiones se infieren analizando los casos en que σ (u, φ1, φ2) = 0. En este sentido,

reescribiendo la Ecuacion (4-6) como

σ (u, φ1, φ2) = (φ1 − arcsin (0.4404u+ 0.4887)) (φ1 − arcsin (0.4404u− 0.4887)) , (4-13)


los puntos de tangencia que delimitan a los CPE se pueden fijar como

T1u = (2nπ + arcsin (0.4404u+ 0.04887) , 0) , (4-14)

T2u = (2nπ + arcsin (0.4404u− 0.04887) , 0) , (4-15)

donde el numero de revoluciones del pendulo a partir de 0 radianes se relaciona directamente

con la variable n ∈ Z.

Ademas, debido a que el pendulo completa una rotacion cada 2π radianes, a partir de la

identidad trigonometrica

sin (π (2n+ 1)− φ1) = sin (2nπ + φ1) , (4-16)

se puede inferir la existencia de otro conjunto de CPEs. Por lo tanto, los puntos de tangencia

que delimitan a las nuevas sucesiones se definen en las Ecuaciones (4-17) y (4-18). Finalmente,

la Figura (4-2) representa un CPE con sus puntos de tangencia.

T3u = (π (2n+ 1)− arcsin (0.4404u+ 0.04887) , 0) , (4-17)

T4u = (π (2n+ 1)− arcsin (0.4404u− 0.04887) , 0) . (4-18)

Por ultimo, se analiza la respuesta natural del sistema, es decir, cuando el torque externo

que se aplica al pendulo es nulo. Por un lado, si no se considera la friccion seca dentro del

modelo matematico (3-11), la dinamica se caracteriza por tener dos conjuntos de puntos

singulares de suspension. El primero contiene a todos los puntos asintoticamente estables

que se localizan en (2nπ, 0). Adicionalmente, el segundo esta constituido por todos lo puntos

de silla inestables que se ubican en (π (2n+ 1) , 0).

Por otra parte, cuando la friccion seca se incluye dentro del modelo, la incidencia que tiene

dentro de la dinamica del sistema se puede caracterizar mediante el metodo de analisis con-

vexo de Filippov. En efecto, cuando la fuerza externa se fija como u = 0, a partir de las Ecua-

ciones (4-14) a (4-18) se puede inferir que dos continuos de pseudo-equilibrios, son inducidos.

En este sentido, el primer CPE esta delimitado por los puntos de tangencia T10 = (0.0488, 0)

y T20 = (−0.0488, 0), mientras que el segundo por T3

0 = (3.0927, 0) y T40 = (3.1904, 0).

Ahora, con lo que respecta a la estabilidad de los puntos de tangencia, teniendo en cuenta

los criterios presentados en la seccion 4.2, se puede establecer que T10 y T2

0 son puntos de


Puntos de tangencia

Puntos de pseudo-equilibrio

Tun

Σ

S1

S2

.

Figura 4-2.: Ilustracion de la zona Σs cuando esta formada por un continuo de pseudo-

equilibrios.

tangencia invisibles. Similarmente, los mismos criterios permiten llegar a la conclusion de

que T30 y T4

0, son puntos de tangencia visibles.

Particularmente, en la Figura 4-3 se bosqueja la dinamica alrededor de los CPEs cuando

u = 0. Ademas, se presenta la posicion de los puntos de tangencia relativa a la trayectoria

circular descrita por el pendulo.

Σ

Σ

S1

π(rad)

S1

S2

T 01

T2

T3

T4

Zona delimitada por y Zona delimitada por y

S2

0 0 0 T01

T2

0 T3

0 T4

0

Figura 4-3.: Ubicacion de los CPEs dentro de la trayectoria circular descrita por el mo-

vimiento del pendulo, y dinamica de las orbitas alrededor de ellos cuan-

do u = 0. Para este caso, los puntos de tangencia son: T10 = (0.04888, 0),

T20 = (−0.04888, 0), T3

0 = (3.0927, 0) y T40 = (3.1904, 0).


4.3.3. Colisiones entre continuos de pseudo-equilibrios

Con el objetivo de inducir una colision entre dos CPEs, se le asignan diferentes valores al

parametro u. En efecto, a partir de las Ecuaciones (4-14) y (4-15), para cualquier punto de

tangencia fijado arbitrariamente, se puede calcular el valor de u que lo induce. Por lo tanto,

se considera pertinente escoger diferentes puntos crıticos dentro del espacio de estados como

tangencias para presentar la colision entre dos continuos de pseudo-equilibrios. Particular-

mente, la colision se expone fijando n = 0.

Para empezar, se reduce la distancia que separa los CPEs. Ası, cuando se asigna el punto

(π/4, 0) a la Ecuacion (4-14), para n = 0, el valor del parametro u se calcula como sigue:

u =sin (φ1 − 2nπ)− 0.04887

0.4404,

u = 1.4946. (4-19)

Sustituyendo u = 1.4946 en las Ecuaciones (4-14) y (4-15), se infiere que existe un CPE

delimitado por T11.4946 = (π/4, 0) y T2

1.4946 = (0.6552, 0). Ademas, reemplazando el mismo

valor de u en las Ecuaciones (4-17) y (4-18), se ubica al CPE restante entre los puntos

T31.4946 = (3π/4, 0) y T4

1.4946 = (2.4863, 0). Por ultimo, este caso se expone en la Figura 4-4.

Se debe considerar que, en comparacion con la respuesta natural del sistema, cuando se fija

u = 1.4946, la distancia que separa a los puntos de tangencia dentro de los CPEs en Σs, es

mayor.

Zona delimitada por y Zona delimitada por yT1.491

T2

T3

T4

1.49 1.49 1.49 T1.49461

T2

1.4946 T3

1.4946 T4

1.4946

π(rad)

Σ Σ

S1

S2

S2

S1

Figura 4-4.: Ubicacion de los CPEs dentro de la trayectoria circular descrita por el mo-

vimiento del pendulo, y dinamica de las orbitas alrededor de ellos cuando

u = 1.4946, Para este caso, los puntos de tangencia son: T11.4946 = (0.7853, 0),

T21.4946 = (0.6552, 0), T3

1.4946 = (2.3561, 0) y T41.4946 = (2.4863, 0).


Ahora, el analisis de la colision inicia cuando el valor del parametro u se fija de tal manera

que los puntos T1u y T3

u definidos en las Ecuaciones (4-14) y (4-17) sean iguales. Por lo tanto,

de acuerdo a la identidad trigonometrica (4-16), el punto donde (4-14) y (4-17) coinciden,

corresponde a las coordenadas (π/2, 0). En efecto, evaluando el punto (π/2, 0) en la Ecuacion

(4-14), el valor de u se puede calcular como:

u =sin (π/2− 2 (0)π)− 0.04887

0.4404,

u = 2.1596. (4-20)

Ademas, cuando se sustituye la Ecuacion (4-20) en (4-17) se puede verificar que los nuevos

puntos de tangencia T12.1596 y T3

2.1596 se localizan en (π/2, 0). Asimismo, debido a la colision

entre las tangencias, se define un unico CPE delimitado por las tangencias restantes T22.1596 =

(1.1249, 0) y T42.1596 = (2.0166, 0). Particularmente, en la Figura 4-5 se muestra el CPE

inducido, y dentro de el la colision.

Colisión entre dos tangencias dentro de la zona delimitada por T2.15962

T2.15964yT2.1596

2

T2.15964

π(rad)

Σ

S4

S2

Figura 4-5.: Ubicacion del CPE dentro de la trayectoria circular descrita por el movi-

miento del pendulo y dinamica de las orbitas alrededor de el cuando u =

2.1596. Para este caso, los puntos de tangencia T12.1596 y T3

2.1596 colisionan en

(1.5707, 0), mientras que T22.1596 y T4

2.1596 se ubican en (1.1249, 0) y (2.0166, 0),

respectivamente.

Siguiendo el incremento del parametro u, se debe tener presente que si u > 2.1596 entonces

el argumento de la funcion arcsin en la Ecuacion (4-14) no pertenece al dominio [−1, 1]. Por

lo tanto, para este caso el parametro u se calcula asignando las coordenadas (1.3089, 0) a la

Ecuacion (4-15). De esta manera se obtiene

u =sin (1.3089− 2 (0)π) + 0.04887

0.4404,


u = 2.3042. (4-21)

En este sentido, sustituyendo u = 2.3042 en la Ecuacion (4-18), los puntos de tangencia

que delimitan al nuevo continuo de pseudo-equilibrios corresponden a T22.3042 = (1.3089, 0)

y T42.3042 = (1.8325, 0). Particularmente, la distancia que separa a T2

2.3042 y T42.3042, es menor

en comparacion con la distancia que existe entre T22.1596 y T4

2.1596. Adicionalmente, este caso

se expone en la Figura 4-6.

T2.30422

T2.30424

π(rad)

Zona delimitada por

Σ

S1

S2

2.3042 2.3042y

Figura 4-6.: Ubicacion del CPE dentro de la trayectoria circular descrita por el movimiento

del pendulo, y dinamica de las orbitas alrededor de el cuando u = 2.3042. Para

este caso, los puntos de tangencia son: T22.3042 = (1.3089, 0) and T4

2.3042 =

(1.8325, 0).

Finalmente, se induce la colision entre los puntos de tangencia definidos en las Ecuacio-

nes (4-15) y (4-18). Nuevamente, teniendo en cuenta la identidad trigonometrica (4-16), el

parametro u puede ser fijado de tal manera que las tangencias ya mencionadas, se locali-

cen en el mismo punto dentro del espacio de estados. Por lo tanto, fijando las coordenadas

(π/2, 0) a la Ecuacion (4-15), la fuerza externa u se calcula como sigue:

u =sin (π/2− 2 (0)π) + 0.04887

0.4404,

u = 2.3816. (4-22)

Sustituyendo la Ecuacion (4-22) en (4-18), se prueba que los nuevos puntos de tangencia

T22.3816 y T4

2.3816, coinciden en el punto (π/2, 0). En efecto, de acuerdo a la seccion 4.3.1,

se debe resaltar que 2.3816 corresponde al ultimo valor que puede tomar u antes de que

Σc abarque toda la frontera de conmutacion. Finalmente, la Figura 4-7 presenta la colision

entre T22.3816 y T4

2.3816 y la dinamica a su alrededor.


Colisión entre dos tangencias

π(rad)

Σ

S2

S1

Figura 4-7.: Colision entre dos puntos de tangencia dentro de la trayectoria descrita por

el movimiento del pendulo y dinamica de las orbitas alrededor de ella cuando

u = 2.3816. Particularmente, los puntos de tangencia T22.3816 y T4

2.3816 colisionan

en el punto (1.5707, 0).

5. Simulaciones

Los resultados logrados a manera de simulacion, se obtienen a partir de la implementacion

de un simulador basado en la programacion orientada a eventos. Para este caso, se define un

unico evento el cual ocurre cuando alguna de las orbitas toca la frontera Σ. De este modo,

dada una condicion inicial y un tiempo de simulacion, se da paso a la integracion numerica,

que segun sea el caso, se hace a partir de uno de los tres sistemas de ecuaciones de estado

f (1), f (2) o g. Ası, cuando φ2 > 0, esto indica que las orbitas evolucionan sobre la superficie

S1 y por lo tanto la integracion numerica se hace con el campo f (1). Por el contrario, cuando

φ2 < 0, la evolucion de las orbitas ocurre sobre la superficie S2 y de esta manera la integra-

cion numerica se debe realizar con el sistema f (2). En el caso de la frontera de conmutacion,

es decir, cuando φ2 = 0, la eleccion del campo vectorial se hace mediante los elementos ob-

tenidos a partir del analisis de Filippov. En este sentido, cuando la orbita toca en algun

punto a la frontera Σ y σ (u, φ1, φ2) > 0, en caso de que la componente vertical de f (2) sea

positiva en dicho punto, la integracion numerica se ejecuta con f (1). En contraposicion, si

la componente vertical de f (1) es negativa en el punto donde la orbita toca a Σ, entonces la

integracion numerica se realiza con f (2). Adicionalmente, cuando ocurre que σ (u, φ1, φ2) ≤ 0

sobre la frontera, la integracion pasa a depender de g.

Ahora, el analisis teorico de la dinamica del pendulo fısico se verifica experimentalmente. En

lo que respecta, se presentan las simulaciones obtenidas para cada uno de los casos presen-

tados en la seccion anterior, acompanadas de un diagrama de bifurcacion donde se muestra

la evolucion de los CPEs para diferentes valores del parametro u.

5.1. Resultados de las Simulaciones

Con lo que respecta a las zonas de cruce (ver seccion 4.3.1), la Figura 5-1 muestra los

resultados obtenidos. Por un lado, fijando u = −2.39, las trayectorias de las orbitas se

presentan en la Figura 5.1(a); particularmente, la eleccion de las condiciones iniciales se hizo

teniendo en cuenta que, para valores negativos de u, el torque del peso es maximo cuando

φ1 = −π/2. Por otra parte, fijando u = 2.39, el comportamiento de las orbitas se presenta

en la Figura 5.1(b); en este caso, se hace la eleccion de las condiciones iniciales considerando

que para valores positivos de u el torque del peso es maximo cuando φ1 = π/2.

26 5 Simulaciones

(a) u = −2.39 (b) u = 2.39

Figura 5-1.: Casos de cruce.

Ahora, con respecto a las simulaciones que se presentan a continuacion, la seleccion de las

condiciones iniciales se hizo en funcion de permitir la visualizacion de la dinamica alrededor

del los CPEs cuando se trazan las trayectorias de las orbitas sobre el espacio de estados. En

el caso de la respuesta natural, es decir, cuando u = 0, las simulaciones se presentan en las

Figuras 5.2(a) y 5.2(b). Asimismo, para la asignacion u = 1.4946, las orbitas cercanas a los

puntos de tangencias inducidos se presentan en las Figuras 5.3(a) y 5.3(b).

(a) (b)

Figura 5-2.: Dinamica del sistema cuando u = 0.

Ademas, la Figura 5-4 presenta la primera colision entre dos puntos de tangencia. De acuerdo

a la seccion 4.3.3, la colision ocurre cuando u = 2.1596. La presentacion de las simulaciones

continua con la asignacion de u = 2.3042. Para este caso la Figura 5-5 muestra los resultados

obtenidos. Finalmente, fijando u = 2.3816 en la Figura 5-6 se presenta la ultima colision

entre dos tangencias y la dinamica a su alrededor.

Por ultimo, en el diagrama de bifurcacion que se muestra en la Figura 5-7, se puede visualizar

el comportamiento de los puntos de tangencia cuando u varıa entre −2.3816 y 2.3816.

5.1 Resultados de las Simulaciones 27

(a) (b)

Figura 5-3.: Dinamica del sistema cuando u = 1.4946.

Figura 5-4.: Colision entre puntos de tangencia cuando u = 2.1596.

Figura 5-5.: Dinamica del sistema cuando u = 2.3042.

Date post:	27-Nov-2023
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Modelo del pendulo

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