Séminaire de Mécanique, SNM’13

Modes de Convection de Rayleigh-Bénard dans une cavité

rectangulaire

Fatima-Zahra BENARAB & Said BOUABDALLAH

Laboratoire de Mécanique, Département de Mécanique, Université de Laghouat, BP 37 G, Route de Ghardaïa,

Laghouat 03000. Algérie. E-mail : benarabfz@gmail.com

Abstract :

In this work, the mode of Rayleigh-Bénard

convection has been numerically studied. A Sketch

of Rayleigh-Bernard cavity was considered for

different aspect ratio. The finite volume method

with the SIMPLE algorithm was used for the

numerical solution of mass conservation,

momentum and energy equations. For Rayleigh

number ranging from 103 to 10

6, the value of

transition from conduction-convection regime Rac1,

and the effect of the aspect ratio of the cavity (A =

W / H = 1, 2, 4, 8) has been presented and

discussed. The rate of heat transfer and the

transition threshold of the Rayleigh-Bénard were

also showed. The obtained results are in good

agreement with those in the literature and show

different modes of Rayleigh-Bénard convection in

the range of Rayleigh numbers studied.

Key word: Rayleigh-Bénard convection, Aspect

ration, critical value, finite volume method.

Résumé :

Dans ce travail, les modes de convection de

Rayleigh-Bénard ont été étudiés numériquement.

Une cavité rectangulaire de type Rayleigh-Bénard

a été considérée pour différents rapport de forme.

La méthode numérique des volumes finis avec

l'Algorithme SIMPLE a été utilisée pour la

résolution numérique des équations de

conservation de masse de quantité de mouvement et

d'énergie. Pour le nombre de Rayleigh allant de 103

jusqu'au 106, la valeur de transition du régime

conductif-convectif Rac1 et l’effet du rapport de

forme de la cavité (A = L/H = 1, 2, 4,8) sur le taux

de transfert de chaleur sont présentés et discutés.

Le seuil de transition de la convection de Rayleigh-

Bénard est également déterminé. Les résultats

obtenus sont en bon accord avec ceux de la

littérature et montrent différents modes de

convection de Rayleigh -Bénard dans l'intervalle

des nombres de Rayleigh étudié.

Mots-clefs : Convection de Rayleigh-Bénard,

rapport d’aspect, valeur critique, volumes finis

1 Introduction

Rayleigh-Bénard est un type particulier

du problème de la convection thermique. Il

examine un domaine rectangulaire qui est isolé

sur les côtés et chauffé par le bas, créant un

gradient de température vertical. Par les lois de

la dilatation thermique, le fluide sur le fond est

moins dense que celui de la partie supérieure,

créant une situation potentiellement instable.

La gravité impose une force descendante sur le

fluide, tandis que le transfert de chaleur impose

une force vers le haut. Une variante de ce

problème a été initialement considérée par

Henri Bénard dans le début des années 1900,

avec une tentative d'explication du problème

dans un article publié 1916 par Lord Rayleigh.

Il existe une valeur critique de la

quelle la convection a parait, le calcule de

cette valeur fut faite théoriquement, puis

numériquement.

Le problème de Rayleigh-Bénard est

pertinent pour des applications allant de

l'astrophysique à la géophysique et sciences de

l'atmosphère, des applications à différents

systèmes de l'ingénierie, tels que les systèmes

d'énergie solaire, traitement des matériaux,

stockage d'énergie, et les systèmes nucléaires.

La convection de Rayleigh-Bénard fut

le sujet d’étude de beaucoup de chercheurs.

Osman [1] a fait une étude numérique

de la convection de Rayleigh-Bénard laminaire

dans une cavité carré, les valeurs de Rayleigh

sont comprise entre 103 et 10

6, Prandlt vari de

0.1 à 100, il a présenté les lignes du courant et

isothermes ; il a calcule également le nombre

de Nusselt pour différent valeur de Rayleigh

Gelfgat [2] a étudié la convection de

Rayleigh-Bénard dans le cas 2D. Il a valide sa

méthode avec les résultats obtenus par la

théorie de la condition limite pour trois modes

de condition au limite: paroi libre isotherme,

sans glissement isotherme, allié isolé

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supérieure et limite pas de glissement inférieur

isotherme. Pour ces trois cas, il a fait une étude

qui relie le rapport d’aspect avec le nombre de

Biot pour différent maillage.

Raji [3] a présenté des résultats

numériques de la convection naturelle dans une

cavité carrée rempli d’air, la température de la

surface horizontale inférieure (chaude) est

maintenue constante, tandis que celle de la

surface opposée (température froide), les

parois verticales restantes sont considérées

comme adiabatiques. Le nombre de Rayleigh

(103<Ra<710

6, trois solutions différentes

(Flux monocellulaire, bicellulaire d'écoulement

vertical, et bicellulaire à flux horizontal) sont

obtenus.

Vahl Davis [4] a donné des détails sur

la méthode de calcul utilisée, pour obtenir une

solution exacte des équations décrivant la

convection naturelle bidimensionnelle dans

une cavité carrée avec des parois latérales

chauffées. Une approximation du second ordre

des différences centrales a été utilisée.

L’extrapolation conduit à des solutions pour

103 ˂ Ra ˂ 10

6 qui sont considérées comme

exactes à moins de 1%.

Ben Cheikh [5] a étudié la

convection de Rayleigh-Bénard, il a choisi la

méthode des volumes finis est utilise avec

l’accélération multigrille. Son but est

l’utilisation de cette méthode pour obtenir de

bons résultats d’étude du phénomène. Il a

choisi l’air avec Pr = 0.71, dans une cavité

carré, il a présenté Leurs résultat dans

l’intervalle de Ra = 103

à 106, il a suivi

l’évolution des lignes du courant et ligne

isotherme.

L'objectif du présent travail est de faire

une étude numérique sur les modes de

convection de Rayleigh-Bénard par la

détermination de transition de régime

conductif-convectif Rac1, Dans l'intervalle des

nombres de Rayleigh allant de 103 jusqu'au

106.

2 Problème physique et formulation

mathématique

Le problème considéré est schématisé sur

la figure 1.Une cavité rempli d'air Pr = 0.71 de

type Rayleigh-Bénard 2D, d'hauteur H et de

largeur L, dont le rapport d’aspect de la cavité

variable (A = L/H = 1, 2, 4,8). Les deux parois

verticales sont maintenues adiabatiques fixes,

tandis que les parois horizontales sont

maintenues isothermes fixes (paroi inférieur

chaude TC, et la paroi supérieur froide, Tf).

FIG.1 : Configuration de Rayleigh-Bénard.

Nous considérons que l’écoulement d’un

fluide incompressible, satisfait l’approximation

de Boussinesq. Pour mettre les équations de

conservation sous une forme adimensionnelle,

nous introduisons les variables

adimensionnelles respectivement :

,H

xX

H

yY , ,

H

uU

,

H

vV

,

2H

pP

fC

f

TT

TT

et

2H

tS , pour

les coordonnés x et y, les composantes de

vitesse, la pression, la température et le temps.

Après nous obtenons les équations

adimensionnelles suivantes:

Equation de continuité

0

Y

V

X

U (1)

Equation de quantité du mouvement

projetée suivant x

2

2

2

2

Y

U

X

U

X

P

Y

UV

X

UU

S

U

(2)

Equation de quantité du mouvement

projetée suivant y

Tf , 0 vu

Tc 0 vu

0

0

0

x

T

v

u

0

0

0

x

T

v

u

H

L=A×H

g

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2

2

2

2

Pr Y

V

X

VRa

Y

P

Y

VV

X

VU

S

V

(3)

Equation d'énergie :

2

2

2

2

Pr

1

YXYV

XU

S

(4)

Dans les équations (1-4), les paramètres de

l'écoulement sont: le nombre de Rayleigh, et le

nombre de Prandtl définis respectivement par:

THgRa

3

et

Pr .

Les conditions aux limites sont données par les

équations suivantes :

1

0

Y

Y et 10 X ; 0VU (5-

a) Pour 0Y ; 10 X ; c

(5-b)

Pour Y=1 ; 10 X ; f (5-c)

1

0

X

Xet 10 Y ; 0VU et 0

X

(5-d)

3 Méthode numérique de résolution

Les équations (1-4) et les conditions aux

limites (5a-d) sont résolus par la méthode des

volumes finis (Patankar [6]), le schéma Quick

a été utilisé, pour l’expression des flux

convectifs et diffusifs à l’interface de chaque

volume de contrôle. Le couplage vitesse

pression est résolu en utilisant l’Algorithme

SIMPLE. Trois maillages sont utilisés pour

voir leurs effets sur la solution numérique. La

validité du code de calcul a montré un bon

accord avec les résultats trouvés dans la

littérature.

4 Résultats et discussion

Nous commencerons par une validation de

notre méthode de travail, puis on présentera

nos résultats sur deux parties : une qui abords

le calcul de la valeur critique pour différent

rapport d’aspect ; la deuxième présente les

modes de bifurcation des cellules dans le cas

de la convection de Rayleigh-Bénard dans une

cavité carré. Tous les résultats présentés dans

ce travail sont donnés sous formes

adimensionnelles.

4.1 Comparaison et validation de nos

résultats

Pour des nombres de Rayleigh allant de

103

jusqu'au 106. Les résultats obtenus sont

comparés et validés avec le travail d’Osman

[1] et ceux de Val Davis [4], pour la valeur du

Nusselt moyen.

On compare aussi la valeur maximale de la

vitesse horizontale et verticale avec le travail

de [5]. Nos résultats de simulation présentés

sur le Tableau 1et 2, montrent un bon accord

avec ceux d’Osman [1] et de Ben Cheikh [5].

L’erreur relative maximale ne dépasse pas de

2%. Ceci nous donne un ordre de validité

considérable à notre travail.

TAB. 1 : Comparaison de nos résultats avec

ceux de Val Davis [4] et Osman [1]

Ra Nos

résulta

ts.

Résultat

s de [4]

Résultat

s de [1]

Er.

(%)

[4]

103

1 1 .0004 1 0.039

104

2.2 2.1581 2.154 1.94

105

3.9 3.9103 3.907 0.26

106

6.4 6.3092 6.36 1.439

TAB.2: Comparaison de nos resultats avec

ceux de Ben Cheikh [5], Ra=104.

Nos

résultats.

Résultats de

[5]

Er. (%)

maxV

maxU

maxV

maxU

maxV

maxU

26.5 25.7 26.3 25.22 0.68 1.9

4.2 Effet du rapport de forme sur le nombre

de (Rac) 1

Quatre rapports d’aspect de la cavité de

Rayleigh-Bénard ont été examinés dans ce

travail A = 1, 2, 4 et 8. Sur les Fig.2, nous

avons présenté le nombre de Nusselt moyen

qui a été calculé le long de la paroi chaude en

fonction du nombre de Rayleigh. La valeur de

Rac1 relative aux différents rapports de forme

est reportée dans le Tableau 3.

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TAB. 3 : Valeur du nombre de Rayleigh

critique, pour différents rapports d’aspect.

Rapport d’aspect Valeur de RaC1

A=1 2585.01

A=2 2013.5

A=4 1810

A=8 1752

On remarque bien que le rapport d’aspect à

une influence sur la valeur du Rac1 donc le

mouvement du fluide à une dépendance avec la

géométrie de la cavité. Dans la littérature [1,2]

on trouve que pour une cavité infinie Rac1 =

1708, alors que pour une cavité carrée (A=1)

la valeur de Rayleigh critique est plus grande

(Rac1 = 2585,01).

FIG.2 : Le nombre de Nusselt moyen en

fonction du nombre de Rayleigh.

On remarque également aussi que cette

valeur critique diminue avec l’augmentation du

rapport d’aspect, pour A = 8 nous avons trouvé

que Rac1=1752.

Dans le Tableau 4, nous comparons nos

valeurs du Rac1 pour différents rapports de

forme avec les résultats de Gelfgat [2]. Un bon

accord a été obtenu avec ce dernier.

TAB. 4: Comparaison du nombre de Rayleigh

critique pour différents rapports d’aspect de la

cavité.

A Nos

résultats

Résultats

de [2]

Ecart

(%) avec

[2]

1 2585.01 2585.03 0.007

2 2013.5 2013.24 0.0129

4 1810 1810.48 0.027

4.3 Modes de convection Rayleigh-Bénard

L’accroissement du nombre de Rayleigh

de 2.5x103 au 10

6, nous a permet de voir

différents modes de convection.

Sur le Tableau 5, nous avons présenté les

différents modes de convection en fonction du

nombre de Rayleigh. Les modes de convection

se caractérisant par la bifurcation de la cellule

de convection principale de Rayleigh Bénard

en deux cellules verticales ou horizontales.

TAB. 5 : Structure de l'écoulement pour

différents nombres de Rayleigh

Ra Nombre de

cellule et

disposition

Mode

[2.5×103,

1.8×104]

monocellulaire MC

[1.9×104,

4.99×104]

Bicellulaire

vertical BCV

[5×104,

4.1×105]

monocellulaire MC

[4.2×105,

106]

Bicellulaire

horizontal BCH

L’analyse de ces figures montre que pour

la Figure 3a, représente les lignes de courant,

pour Ra = 104, on remarque que le nombre de

Nusselt augmente et le phénomène ne fait que

s’atténué. Sur la Figure 3b, les lignes de

courant se changent de forme et on voit une

bifurcation bicellulaire, pour l’intervalle

[1.9×104, 5×10

4] la cavité est devisée par une

ligne sur x = 0.5, les cellules son contre rotatif.

Après cela, Figure 3c, l’écoulement revient à la

structure monocellulaire.

Sur la Figure 3d, on remarque une

bifurcation bicellulaire horizontale pour Ra=

[4,2105, 10

6], cette fois la ligne divise la

cavité en deux moitiés égales sur y= 0.5.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a) Ra = 10

4 b) Ra = 3 ×10

4

Séminaire de Mécanique, SNM’13

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c)Ra = 10

5 d)Ra = 10

6

FIG.3 : Lignes de courant, pour différentes

valeurs du nombre de Rayleigh

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a) Ra = 10

4 b) Ra = 3 ×10

4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c) Ra = 10

5 d) Ra = 10

6

FIG.4 : Lignes isothermes pour différentes

valeurs du nombre de Rayleigh

Sur la figure 4, nous avons présenté les

lignes isothermes, pour différents modes de

bifurcation. Pour le monocellulaire (MC) les

particules chaudes remontes prés de la paroi

adiabatique, et les particules froides descende

près de l’autre paroi, hors que pour le cas

bicellulaire vertical (BCV) les particules

froides descendent sur les deux parois

adiabatiques et les particules chaudes

remontent au milieu.

Et dans le cas de la bifurcation bicellulaire

horizontale (BCH), les particules chaudes et

froides, remontent et descendent sur une seule

et même paroi adiabatique.

5 Conclusion

Dans ce travail, nous avons présenté une

étude numérique des modes de convection de

Rayleigh-Bénard. Les résultats obtenus sont en

bon accord avec ceux de la littérature et

montrent différents modes de convection de

Rayleigh-Bénard dans l'intervalle des nombres

de Rayleigh 103 – 10

6 Les résultats obtenus

montrent que :

La valeur du nombre de Rayleigh critique

Rac1 diminue avec l’augmentation du rapport

d’aspect et celle-ci se rapproche de la valeur

calculée théoriquement pour une cavité infinie,

pour A= 8.

Dans l’intervalle de Ra = 2.5 x103 au 10

6

il’ y a trois modes de convection de Rayleigh-

Bénard dans l’intervalle étudié :

monocellulaire (MC), bicellulaire vertical

(BCV) et bicellulaire horizontal (BCH).

L’analyse de bifurcations a pour objectif de

localiser les éventuelles valeurs particulières

des paramètres -comme dans notre cas Rac.

Elle intervient aussi dans l’étude des systèmes

dynamique.

Nomenclature

A : Rapport d’aspect (A=L/H) [-]

H : Hauteur de cavité [m].

L : Largeur de la cavité [m].

X,Y

: Coordonnées cylindrique

adimensionnelles [-].

U, V

: Composantes de la vitesse

adimensionnelles [-].

P : Pression adimensionnelle [-].

θ : Température adimensionnelle [-].

S : Temps adimensionnelle [-]

Nu : Nombre de Nusselt moyen

g : Accélération de la pesanteur [m2.s

-1]

: Viscosité cinématique [m2.s

-1]

: conductivité thermique [W. m-1

.K-1

]

: Masse volumique [kg.m-3

]

: Coefficient d’expansion thermique [K-1

]

CT : température de la paroi chaude [K].

fT : température de la paroi froide [K].

Ra : Nombre de Rayleigh [-].

Pr : Nombre de Prandtl [-].

Références

[1] T. Osman, Laminar Rayleigh-Bénard

convection of yield stress fluids in a square

enclosure, Journal of Non-Newtonian

Fluid Mechanics 171–172 (2012) 83–96.

[2] A. Yu. Gelfgat, “Different Modes of

Rayleigh-Bénard Instability in Two- and

Three-Dimensional Rectangular

Séminaire de Mécanique, SNM’13

Enclosures, J. of Comp. Physics 156, 300-

324 (1999).

[3] A. Raji « natural convection heat transfer

enhancement in a square cavity

periodically cooled form above»

Numerical Heat Transfer, Part A, 63: 511–

533, 2013

[4] G. De Vahl Davis, Natural Convection of

Air in a Square Cavity: A Bench-Mark

Numerical Solution, Int. J. Numer.

Methods Fluids, vol. 3, pp. 249–264, 1983.

[5] N. Ben Cheikh « Numerical simulation of

two-dimensionalRayleigh–Bénard

convection in an enclosure” C. R.

Mecanique 336 (2008).

[6] S. Patankar,“Numerical heat transfer and

fluid flow”, Mc-Graw-Hill, New york,

1980.