MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

Cinemática: describe el movimiento de los

cuerpos en el universo, sin considerar las causas

que lo producen.

Movimiento: es el cambio continuo de la posición

de un objeto en el transcurso del tiempo.

Posición: es la ubicación de un objeto (partícula)

en el espacio, relativa a un sistema de referencia.

Es un vector y se denota por:

𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 (1)

Posición en una dimensión Posición en dos dimensiones

𝒓 = 𝑥𝑖 𝒓 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗

• Desplazamiento: se define como el cambio de

posición de una partícula en el espacio. Es

independiente de la trayectoria que se siga para cambiar

de posición. Para determinarlo se debe conocer: la

posición inicial 𝒓𝑖 y final 𝒓𝑓 de la partícula en

movimiento.

• El desplazamiento es un vector, que puede ser positivo,

negativo o cero, en el SI se mide en metros; se dibuja en

el esquema de la figura. En una dimensión y en dos

dimensiones, el desplazamiento es:

∆𝒙 = (𝒙𝒇 − 𝒙𝒊)𝒊

∆𝒓 = 𝒓𝑓 − 𝒓𝑖 = (𝒙𝒇𝒊 + 𝒚𝒇𝒋 ) − (𝒙𝒊𝒊 + 𝒚𝒊𝒋 )

• Trayectoria: es la curva geométrica que describe

una partícula en movimiento en el espacio.

• Distancia: es la longitud que se ha movido una

partícula a lo largo de una trayectoria desde una

posición inicial a otra final.

• Tiempo: podemos definirlo como la duración de

un evento, o si consideramos la posición y sus

cambios, podemos decir que el tiempo es lo que

tarda una partícula en moverse desde una

posición inicial a otra final.

• Velocidad media.

• 𝒗 = 𝒙𝒇−𝒙𝒊

𝒕𝒇−𝒕𝒊=

∆𝒙

∆𝒕

• La velocidad media es independiente de la

trayectoria en el movimiento.

• 𝒗 > 𝟎 si el cuerpo se mueve en el sentido 𝒙+

• 𝒗 < 𝟎 si el cuerpo se mueve en el sentido 𝒙−

𝑡𝑎𝑛𝛼 =Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

• Velocidad instantánea.

Es la velocidad de la partícula en un instante

determinado.

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝒓

∆𝑡=

𝑑𝒓

𝑑𝑡

• Rapidez.

Se define como rapidez instantánea v a la magnitud o

valor numérico del vector velocidad, por lo tanto es

siempre positiva.

• Aceleración media.

Lo normal es que la velocidad de una partícula en

movimiento varíe en el transcurso del tiempo, entonces

se dice que la partícula tiene aceleración. Se define la

aceleración media 𝒂𝑚 como el cambio de velocidad en

un intervalo de tiempo, lo que se escribe como:

𝒂𝑚 =∆𝑣

∆𝑡=

𝑣𝑓 − 𝑣𝑖

𝑡𝑓 − 𝑡𝑖

• Aceleración instantánea.

Es la aceleración a de la partícula en un instante

determinado. De manera análoga a la definición de la

velocidad, se escribe:

𝒂 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡=

𝑑𝑣

𝑑𝑡

• Si la aceleración es constante, entonces la rapidez

promedio se puede calcular como el promedio

aritmético entre los distintos valores de rapidez de la

forma:

𝑣𝑚 = 1

2𝑣𝑖 + 𝑣𝑓

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑2𝑥

𝑑𝑡

𝑡𝑎𝑛𝛼 =Δ𝑣

Δ𝑡= 𝑎

• Consideremos primero el caso de una partícula que se

mueve en dirección del eje x con la magnitud de la

aceleración a constante. Si 𝑣0 es el valor de la

velocidad o rapidez en el instante inicial 𝑡0, y v su valor

en el instante t, de la definición de a se tiene:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡⇒ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑣

𝑣

𝑣0

= 𝑎𝑑𝑡𝑡

𝑡0

= 𝑎 𝑑𝑡𝑡

𝑡0

𝑣 − 𝑣0 = 𝑎(𝑡 − 𝑡0)

(1) 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0)

𝑎 > 0

𝑎 < 0

• Conocida v = v(t) se puede usar la definición de la

velocidad para obtener la posición de la partícula en

cualquier instante.

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡⇒ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡

Si para 𝑡 = 𝑡0, la partícula se encuentra en 𝑥0 y en

cualquier instante t se encuentra en x, la velocidad es:

𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0), entonces:

𝑑𝑥𝑥

𝑥0

= 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0) 𝑑𝑡𝑡

𝑡0

= 𝑣0 𝑡 − 𝑡0 +1

2𝑎(𝑡 − 𝑡0)

2

(2) 𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒗𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎 +𝟏𝟐𝒂(𝒕 − 𝒕𝟎)

𝟐

• Para el caso particular de un movimiento con rapidez

constante, la aceleración de la partícula es cero, y las

ecuaciones del movimiento 1 y 2 se reducen a:

𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝒗𝟎 𝒕 − 𝒕𝟎

𝑣 = 𝑣0 = 𝑐𝑡𝑒

Si la aceleración de una partícula en movimiento es

constante, se tiene que:

(3)

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎∆x

CÁLCULO GRÁFICO DE Δx Y Δv.

• desplazamiento = área bajo la curva v/t

∆𝑋 = 𝑉0 𝑡 − 𝑡0 ∆𝑥 = 𝑣0 𝑡 − 𝑡0 +1

2𝑎 𝑡 − 𝑡0

2

CUERPOS EN CAÍDA LIBRE

Un caso particular de movimiento en una dimensión, es aquel de

los objetos que se mueven libremente en dirección vertical cerca

de la superficie de la Tierra, que se conoce como movimiento de

caída libre.

La aceleración de gravedad, que se denota por g es un vector que

apunta hacia el centro de la Tierra, su magnitud aumenta

levemente al aumentar la latitud, es decir desde el ecuador hacia

los polos, y disminuye al aumentar la altura sobre la superficie

terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra es

aproximadamente de 9.8 m/s2.

Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se

dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad.

La aceleración que adquieren es siempre la aceleración de

gravedad, vertical hacia abajo, cualquiera sea la dirección inicial

del movimiento

CASOS DE CAÍDA LIBRE

NOTA IMPORTANTE

ECUACIONES DE CAÍDA LIBRE

EJERCICIOS

1.Se dispara un cuerpo verticalmente hacía arriba con

velocidad de 80 m/s. Calcular el tiempo que demora

en el aire (g = 10 m/s2).

EJERCICIOS

2.Un globo se eleva desde la superficie terrestre a una velocidad

constante de 5 m/s; cuando se encuentra a una altura de 360 m,

se deja una piedra, calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar

a la superficie terrestre (g = 10 m/s2).

EJERCICIOS

EJERCICIOS

3.Un ingeniero situado a 105 pies de altura, en la ventana del décimo

octavo piso ve pasar un objeto raro hacia arriba y 4 s después lo ve de

regreso, hallar con qué velocidad fue lanzado el objeto desde el piso. (g =

32 pies/s2).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.Un cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo con una velocidad de 20

m/s. Luego de que tiempo su velocidad será de 80 m/s (g = 10 m/s2).

Rpta. 6 s

2.Se deja caer un objeto desde una altura de 45 m, calcular con que

velocidad impactará en el piso (g = 10 m/s2).

Rpta. 30 m/s

3.- Se lanzó un cuerpo verticalmente hacia abajo comprobándose que

desciende 120 m en 4 s. ¿Cuál fue la velocidad inicial del lanzamiento?

Rpta. 10 m/s

4.- Un cuerpo se lanza desde el piso y permanece en el aire 10 s. Hallar

su altura máxima (g = 10 m/s2).

Rpta. 125 m

EJERCICIOS RESUELTOS VARIADOS

Dos móviles A y B situados en un mismo punto a 200 m de un árbol, parten

simultáneamente en la misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos

móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).

Un conductor viaja por una autopista recta con una velocidad

constante de 20 m/s. Un venado sale a la pista 50 m más adelante y se

detiene. ¿Cuál es la desaceleración mínima que puede asegurar la

parada del vehículo justamente antes de golpear al venado si el chofer

demora 0,30 s en reaccionar?