В. Л. Аксенов, В. К. Игнатович, Ю. В. Никитенко ОТРАЖЕНИЕ НЕЙТРОНОВ ОТ ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОИЯИ, ЛНФ Аннотация Найдены аналитические выражения для отражения и пропускания нейтронов магнитными зеркалами с геликоидальной намагниченностью. Приведены кривые отражения с переворотом и без переворота спина нейтронов. Исследованы резонансные свойства геликоидальных систем. 1 Введение Искусственные слоистые структуры проявляют магнитные свойства, не обнаруживаемые в объемных естественных магнетиках [1]. В этой связи, геликоидальная магнитная структура представляет несомненный интерес. Этот интерес, во-первых, связан с открывающимися новыми возможностями в разработке компактных устройств, пред- назначенных для создания коллимированных, монохроматичных и поляризованных пучков нейтронов. Во-вторых, геликоидальная структура, являясь в плоскости вращения намагниченности антиферромагнитной при толщине больше пространственного периода геликоида, может в контакте с магнитными, немагнитными и сверхпроводящими слоями образовывать структуры с необычными свойствами [2]. Так, например, в случае контакта со сверхпроводником, следует ожидать установления при определённых условиях сверхпроводимости в геликоиде. При контакте с ферромагнетиком или истинным антиферромагнетиком также следует ожидать новых пространственных изменений намагниченности [3]. Заметим, что геликоидальную структуру можно создать в слоистой структуре с различной магнитной жесткостью составляющих её слоев. Жесткость же слоев можно варьировать, например, если изменять процентное содержание атомов никеля и железа в железо-никелевом твердом растворе. Рассмотрим плоское зеркало, помещенное во внешнее однородное магнитное поле . Ось 0 B z направим по внутренней нормали к поверхности зеркала. Допустим, что магнитная индукция внутри него состоит из двух компонент: одна - постоянная --- параллельна оси ( 0 , 0 B ) 1 , = B z , а другая ( ) ( ) ( ) 0 , sin , cos qz qz b = b вращается против часовой стрелки вокруг оси . Такое магнитное зеркало будем называть геликоидальной системой, и наша задача состоит в том, чтобы найти отражение и пропускание нейтронов таким зеркалом с переворотом и без переворота спина. z Решение поставленной задачи сводится к решению одномерного стационарного уравнения Шредингера ( ) ( ) [ ] () 0 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 0 2 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + − − z k B qz qz b u dz d z y x ψ σ ϕ σ ϕ σ (1) внутри среды, где присутствует ядерный оптический потенциал , множитель 0 u 2 h μ m ( — масса нейтрона, a m μ — абсолютная величина магнитного момента нейтрона) включен в определение величины магнитной индукции, a z y x , , σ матрицы Паули. Для удобства мы переопределили , выделив множитель 2, и для общности ввели фазу q ϕ , которая характеризует угол поля b относительно оси x в точке 0 = z . Уравнение (1) было решено в [4]. Решение было найдено толmко для фиксированной поляризации, соответствующей собственным спиновым состояниям внутри геликоидальной среды. В данной работе показано, как уравнение (1) решается в общем виде для произвольной поляризации падающего нейтрона. Полученное решение позволяет находить аналитические выражения для амплитуд отражения и пропускания
Transcript
В. Л. Аксенов, В. К. Игнатович, Ю. В. Никитенко
ОТРАЖЕНИЕ НЕЙТРОНОВ ОТ ГЕЛИКОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
ОИЯИ, ЛНФ
Аннотация Найдены аналитические выражения для отражения и пропускания нейтронов магнитными зеркалами с геликоидальной намагниченностью. Приведены кривые отражения с переворотом и без переворота спина нейтронов. Исследованы резонансные свойства геликоидальных систем. 1 Введение Искусственные слоистые структуры проявляют магнитные свойства, не обнаруживаемые в объемных естественных магнетиках [1]. В этой связи, геликоидальная магнитная структура представляет несомненный интерес. Этот интерес, во-первых, связан с открывающимися новыми возможностями в разработке компактных устройств, пред-назначенных для создания коллимированных, монохроматичных и поляризованных пучков нейтронов. Во-вторых, геликоидальная структура, являясь в плоскости вращения намагниченности антиферромагнитной при толщине больше пространственного периода геликоида, может в контакте с магнитными, немагнитными и сверхпроводящими слоями образовывать структуры с необычными свойствами [2]. Так, например, в случае контакта со сверхпроводником, следует ожидать установления при определённых условиях сверхпроводимости в геликоиде. При контакте с ферромагнетиком или истинным антиферромагнетиком также следует ожидать новых пространственных изменений намагниченности [3]. Заметим, что геликоидальную структуру можно создать в слоистой структуре с различной магнитной жесткостью составляющих её слоев. Жесткость же слоев можно варьировать, например, если изменять процентное содержание атомов никеля и железа в железо-никелевом твердом растворе.
Рассмотрим плоское зеркало, помещенное во внешнее однородное магнитное поле . Ось 0B z направим по внутренней нормали к поверхности зеркала. Допустим, что
магнитная индукция внутри него состоит из двух компонент: одна - постоянная --- параллельна оси ( 0,0B )1,=B z , а другая ( ) ( )( )0,sin,cos qzqzb=b вращается против
часовой стрелки вокруг оси . Такое магнитное зеркало будем называть геликоидальной системой, и наша задача состоит в том, чтобы найти отражение и пропускание нейтронов таким зеркалом с переворотом и без переворота спина.
z
Решение поставленной задачи сводится к решению одномерного стационарного уравнения Шредингера
( ) ( )[ ] ( ) 0222sin22cos2 202
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+++−− zkBqzqzbu
dzd
zyx ψσϕσϕσ (1)
внутри среды, где присутствует ядерный оптический потенциал , множитель 0u 2hμm
( — масса нейтрона, a m μ — абсолютная величина магнитного момента нейтрона) включен в определение величины магнитной индукции, a zyx ,,σ матрицы Паули. Для удобства мы переопределили , выделив множитель 2, и для общности ввели фазу q ϕ , которая характеризует угол поля b относительно оси x в точке 0=z .
Уравнение (1) было решено в [4]. Решение было найдено толmко для фиксированной поляризации, соответствующей собственным спиновым состояниям внутри геликоидальной среды.
В данной работе показано, как уравнение (1) решается в общем виде для произвольной поляризации падающего нейтрона. Полученное решение позволяет находить аналитические выражения для амплитуд отражения и пропускания
геликоидального зеркала с переворотом и без переворота спина при произвольном внешнем поле и произвольной толщине зеркала. Сначала мы рассматриваем простой случай, когда поле вдоль оси геликоида равно нулю, и находим амплитуды отражения от полубесконечного толстого зеркала при произвольном внешнем поле. Затем находим амплитуды отражения и пропускания для зеркала конечной толщины. После чего полагаем и обсуждаем, какие изменения можно ожидать в этом случае.
2.1 Решение уравнения согласно [4] В [4] решение этого уравнения записывалось в виде ( ) ( )pipz χexp , и его подстановка приводила к уравнению ( ) ( ) 022 22
02 =−+−−+− pqkdupqp xz χσσ . (5)
Это уравнение выполняется только для определенных ( ) ±Λ=pχ , которые являются
собственными спинорами оператора с собственными значениями xz bqp σσ −=Λ̂222 bpq +±=Λ± , и (5) определяет p для этих собственных состояний:
( ) 02 220
2222 =Λ−+−+±− ±qkubpqp . (6) Для состояния с уравнение имеет вид Λ+
222222 Kpbpq −=+ , (7) где . При положительной левой части уравнение имеет смысл только при . Поэтому для положительных
20
22 qukK −−=22 Kp > p решение этого уравнения единственное
( ) 222222 22 bqKqqKp ++++=+ . (8) Для состояния с Λ− уравнение имеет вид
222222 Kpbpq −=+− . (9) При отрицательной левой части уравнение имеет смысл только при . Поэтому для положительных
22 Kp <p решение этого уравнения тоже единственное
( ) 222222 22 bqKqqKp ++−+=− . (10) Мы увидим в дальнейшем, что этот результат является слишком ограничительным.
Поиск решения уравнения (4) в виде ( ) ( ) ( )pipzz χφ exp= приводит к некоторым частным решениям, но не дает общего решения. На самом деле, как будет показано дальше, ( )zφ±Λ равны не , а ( )zip±exp
−±± ΛΥ=β . 2.4 Граничные условия Найдем теперь амплитуды отражения и преломления полубесконечного геликоидального зеркала. Для этого волновую функцию (14) внутри среды нужно сшить с внешней волновой функцией
( ) ( )( ) 000 ˆˆexpˆexp ξrkk zizi −+ , (28)
Рис. 1: Зависимость от волнового вектора коэффициента отражения k 2
−−R без переворота
спина (сплошная кривая) и 2
−+R с переворотом (пунктирная кривая) при начальной
поляризации (правый индекс −) в направлении противоположном оси , которая параллельна внутренней нормали к зеркалу.
z
которая содержит падающую плоскую волну в произвольном спиновом состоянии 0ξ и
отраженную с матричной амплитудой отражения , причем r̂ σBk 020 2ˆ −= k , а −
внешнее магнитное поле. Представив 0B
( )0ψ в виде 0ˆ ξt , где матричная амплитуда
пропускания границы раздела в точке t̂
0=z , и потребовав непрерывность функции (28) и ее производной в точке , получим уравнения (см, например [5-7]) 0=z
tr =+ ˆˆ1 , [ ] [ ] ( )tσptσprk ˆˆˆ1ˆ '
0 ϕϕσ vv +=+−=− aqa z , (29) где
( ) ϕσϕσϕ σσ zz i
yyxxi eppe rrv += −σp ' . (30)
Решение уравнений (29) равно ( ) 0
1'0
ˆ2ˆˆ kσpkt−
++= ϕva , (31)
( ) ( )σpkσpkr '0
1'0
ˆˆˆ ϕϕvv −−++=
−aa . (32)
Рис. 2: Зависимость от волнового вектора коэффициента отражения k 2
++R без
переворота спина (сплошная кривая) и 2
+−R с переворотом (пунктирная кривая) при
начальной поляризации (правый индекс + ) в направлении параллельном оси . z При получаем 0=b
'0
0
ˆˆ2ˆ
k+=
kkt ,
'0
'0
ˆˆ
ˆkk
+−
=kkr , 0
2' ukk −= , (33)
что и естественно, поскольку при 0=b вращение не играет никакой роли. Легко проверить, что в пределе получаются формулы для отражения и преломления на поверхности зеркала с постоянной намагниченностью b .
0=q
С помощью аналитического выражения (32) легко рассчитать зависимость коэф-фициентов отражения с переворотом и без переворота спина от волнового вектора падающих нейтронов. Результаты расчета для простейшего случая 0 приведены
на рис. 1 и 2. При расчетах за единицу длины волнового вектора принята величина
k 0 =B
b , и выбраны параметры , iu 01.040 −= 3=q , и соответственно 1=b . Эти же параметры будут использоваться и далее. Главной особенностью полученных результатов является резонансный пик полного отражения с переворотом спина, отчетливо видный на рис. 1, и нам необходимо проанализировать его положение, ширину и найти ему физическое объяснение.
2.5 АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНОГО ОТРАЖЕНИЯ
Заметим, что на обоих рисунках видна граница полного отражения при 0uk = ,
до которой отражение в основном происходит без переворота спина (сплошная кривая). Вблизи границы наблюдается небольшая доля отражения с переворотом спина примерно одинаковая для обоих направлений начальной поляризации. То, что такая граница должна быть особенно хорошо демонстрируется при больших , таких, что
. Действительно, в этом случае радикалы
q
022 ukq −>> bK 22 ± в выражении (23) для
aiq
могут быть при малых приближенно представлены в виде , в результате чего (23) представляется в виде
2k]2/)2(1[ 22
0 qbku m−+
( ) 02
2202222 2
4122
41 uk
qku
qqKbKqa −≈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−≈++−+=
2b , (23а)
т.е. величина совпадает с волновым вектором скалярной частицы внутри среды с потенциалом . При волновой вектор внутри среды оказывается мнимым, что означает полное отражение при этих энергиях. В интервале волновой вектор внутри среды действителен, несмотря на то, что оба радикала
a0u
'k0
2 uk <
bquku 220
20 −+<<
'kbK 22 ± в (23) мнимые, поэтому коэффициент отражения быстро убывает с ростом
. Однако, в области kbqukbqu 22 2
022
0 ++<<−+
радикал bK 22 + становится действительным, тогда как bK 22 − остается мнимым. Поэтому величины (23) иa p (24) приобретают мнимую часть, а волновой вектор
становится мнимым. Отсюда следует, что в этой области тоже можно ожидать нечто вроде полного отражения. И действительно, как видно из рис. 1, в этой области происходит полное отражение с переворотом спина.
qibpa /≈−
На рис. 3 представлены результаты расчета коэффициента отражения нейтрона с первоначальной поляризацией противоположной оси от зеркала с параметрами
и 4 . Результаты расчета аналогичны тем, которые представлены на рис. 1. Однако, в отличие от рис. 1, граница полного отражения находится не в точке
z90 =u =q
42 ==k , а при 93 ==k . Середина же резонансного пика полного отражения
находится в точке 520 =+= quk , а весь пик располагается в интервале
272232 =− b 20
20 =++<<+ bqukqu , что прекрасно согласуется с
вышеприведенным анализом.
Рис. 3: Зависимость от волнового вектора коэффициента отражения k 2
−−R без
переворота спина (сплошная кривая) и 2
−+R с переворотом (пунктирная кривая) при
начальной поляризации (правый индекс −) в направлении противоположном оси . В отличие от рис. 1, где параметрами зеркала были
z40 =u и 3=q , здесь параметры
равны и . Отчетливо видны изменения положений края полного
отражения
90 =u 4=q
0uk = и центра резонансного пика 20 qu +k = .
Однако полное отражение имеет место только для одной поляризации. Как следует из рис. 2 эта область энергии для нейтронов другой поляризации не содержит никаких аномалий, потому что распространение нейтронов с поляризацией вдоль оси вращения геликоидального поля описывается главным образом волновым вектором , который мнимой части не содержит.
pa +
Сильное различие в характере отражения двух компонент спина вызвано именно геликоидальной структурой поля, а то, что полное отражение с переворотом спина для одной из компонент происходит только тогда, когда волновой вектор внутри среды 0
2' ukk −= находится вблизи в интервале q qbq /=Δ , свидетельствует о резонансном характере переворота спина. Такая особенность имеет довольно простое физическое объяснение. Чтобы понять его, перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью bq 22 − внутри среды. Если bq 222 +− qkb ' 2<< , то нейтрон оказывается медленно движущимся внутри поля, которое вращается вокруг него с частотой . Это поле приводит к перевороту спина нейтрона, вероятность которого можно рассчитать по формуле Раби (см. например [5] гл.2):
22'22 qqk ≈=ω
( )2
22
22)(sin
)(tbB
bBbW +−
+−= ω
ω. (34)
Формула Раби содержит постоянное поле B , перпендикулярное вращающемуся полю , и время пролета нейтрона через систему полей. В нашем случае поле b t B равно
нулю, и потому амплитуда вероятности переворота не может превышать величины
22422 qb
bqb
bb
≈+
≈+ω
. (34a)
Формула Раби одинаково описывает переворот спина для обеих начальных поляризаций, у нас же происходит переворот только одной из них. Чтобы понять причину несимметрии необходимо учесть малость скорости bqkv 2' 2 −−= нейтрона относительно вращающегося поля. Полубесконечное геликоидальное зеркало можно представить совокупностью тождественных радиочастотных спин-флипперов, как показано на рис. 4, где в каждом
B
b
B
b
B
b
B
b⋅⋅⋅n
Рис. 4: Геликоидальное зеркало можно представить совокупностью тождественных резонансных спин-флипперов с внутренним полем B и радиочастотным b . флиппере указано постоянное внутреннее поле B . Это поле определяет ось квантования. Величина его для нас несущественна, и мы можем положить его равным нулю. Будем считать, что вероятность переворота спина определяется формулой (34), а время прохождения одного флиппера таково, что синус равен единице. Тогда формула (34) (при
t0=B ) приводится к виду ) . Если /( 222 bbW += ω ω<<b , то
вероятность мала, но она одинакова для обеих компонент спина. Однако, формула W
Раби получена в предположении, что скорость падающего нейтрона велика и не меняется при перевороте спина. Более строгое рассмотрение явления переворота спина в радиочастотном поле приводит к задаче Крюгера (см., например, [5]). Решение этой задачи показывает, что в результате действия радиочастотного поля происходит не только изменение направления спина, но и изменение энергии нейтрона на величину
0v
ω2±=ΔE . Нейтрон со скоростью , поляризованный вдоль поля 0v B , после переворота
спина замедляется (испускает фотон), и его скорость становится равной ω420 −=− vv ,
а нейтрон, поляризованный против поля B , после переворота спина ускоряется (поглощает фотон) и его скорость становится равной ω42
0 +=− vv .
Представим теперь, что . В этом случае скорость оказывается мнимой, и нейтрон, поляризованный по полю
ω4<<20v −v
B , после переворота спина дальше распространяться не может. Это означает, что такой нейтрон должен отразиться от спин-флиппера.
Заметим, что при отсутствии поля B необходимо выяснить, чем отличается поляризация вверх от поляризации вниз. Отличие состоит в том, что если смотреть на плоскость, в которой вращается радиочастотное поле, с конца спиновой стрелки, то при поляризации верх радиочастотное поле видится вращающимся против часовой стрелки, а при поляризации вниз, оно видится вращающимся по часовой стрелке. В рассматриваемом нами случае нейтрон с поляризацией против направления оси должен считаться поляризованным вдоль
zB . Поэтому нейтрон именно с этой
поляризацией должен отражаться после переворота спина. Разумеется, в статическом случае никаких изменений энергии не происходит, но отражение действительно имеет место. Изменение энергии на ω2 означает преобразование волнового вектора в
, который оказывается мнимым, что и означает полное отражение. Нейтрон же с поляризацией вдоль оси поляризован против оси квантования
pa +qibpa 2/≈−=ppa 2−+
zB . Он может не тормозясь менять свою поляризацию и распространяться
внутри среды с действительным волновым вектором pa + . Рассмотренный механизм резонансного отражения действует только при Поэтому никаких других резонансов в отражении не наблюдается. Ширина резонанса строго равна , высота же резонанса для полубесконечной среды близка к единице, а для зеркала конечной толщины должна меняться приблизительно по закону
qk ≈' .
bk 42 =ΔL
2)/exp(1 qbL−− . Далее мы увидим, что прямые численные расчеты подтверждают это предсказание. 2.6 Условие унитарности на границе раздела Необходимо показать, что поток, падающий на границу раздела, равен сумме потоков отраженных нейтронов с переворотом и без переворота спина и потоков внутрь вещества. Для определения потока внутрь вещества воспользуемся обычным опре-делением потока
( ) ( ) 021
=⎜⎜⎝
⎛−= zt z
dzd
dzdz
iJ φ
r w
⎟⎟⎠
⎞φ , (35)
где стрелка над производной показывает, какой из сомножителей следует дифферен-цировать. В качестве функции ( )zφ примем
( ) ( ) ( ) 0ˆexpexp ξσφ tσp ziiazziqz z
v+−= . (36) Подстановка (36) в (35) приводит к
( ) 02− ab
200''*
0ˆ1ˆˆˆ
21 ξσξξξ tttσpσpt ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+++= ++
xt qaaaJ vv .
(37)
Из второго равенства сразу следует, что поляризацию потоков внутрь вещества на границе раздела следует определять по оси квантования направленной вдоль поля на границе. В нашем случае это поле направлено по оси x .
Выполнение условия унитарности следует прямо из первого равенства в соотно-шении (37). Если учесть условие непрерывности функции и производной на границе раздела, то (37) представляется следующим образом
rt ˆ1ˆ +=
( ) ( )( ) =+++= +0
''*0
ˆˆ21 ξξ tσpσpt vv aaJt
( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=−+++−= +++ 2
000 1111121 rrrrr ))))) ξξξ kkk ,
и мы видим, что преломленный поток в сумме с отраженным 0
2
0 ˆ ξξ += rkJ r равен падающему потоку . k 3 Отражение от границы раздела изнутри зеркала Мы рассмотрели волну, падающую на границу раздела из вакуума слева. Для опре-деления амплитуд отражения и пропускания слоя конечной толщины нужны также соответствующие амплитуды для волны падающей на границу раздела изнутри вещества. Чтобы найти их, рассмотрим волновую функцию внутри вещества, распространяющуюся налево
zaizai +++−× , (41) где −ступенчатая функция, равная единице, когда неравенство в ее аргументе выполнено, и нулю в ином случае. Сшивка функции (41) на границе раздела дает
Θ
[ ] [ ]σpσpσpkt ''1'0
' 2ˆˆϕϕϕsrr
++++=−
aa , (42)
[ ] [ ]0'1'
0' ˆˆˆ kσpσpkr −+++=
−
ϕϕsr aa , (43)
Где ( ) ϕσϕσϕ σσ zz i
yyxxi eppe sss
+= −σp ' . Совершенно ясно, что произойдет, если поле внутри среды будет вращаться по часовой стрелке. В этом случае q изменит знак, и параметры p
r
и ps поменяются местами. 4 Отражение от пластинки конечной толщины Чтобы записать отражение и пропускание пластинки конечной толщины , необходимо найти отражение от второй поверхности раздела. Для этого удобно поместить начало координат в точку . Волновая функция около этой точки равна
L
Lz =( ) ( ) [ ]( ) [ ]( )[ ] ( ) ( ) 0
''00
'' ˆˆexp0expˆexpexp0 ξξσ ϕϕ tkσprσp zizzaizaiziqz x >Θ++++−−<Θrs ,
(44)
причем , и угол ''' ˆˆ tt ≠ ''' ˆˆ rr ≠ ϕ иной, чем на входной поверхности. Условия сшивки приводят к выражениям
[ ] [ ]σpσpσpkt ''1'0
'' 2ˆˆϕϕϕrss
++++=−
aa , (45)
[ ] [ ]0'1'
0'' ˆˆˆ kσpσpkr −+++=
−
ϕϕrs aa . (46)
Рис. 5: Зависимость от коэффициента отражения k 2
−−R без переворота спина (сплошная
кривая) и 2
−+R с переворотом (пунктирная кривая) от зеркала толщины при
начальной поляризации (правый индекс −) противоположной направлению оси . 8=L
z
Отметим, что отраженная от выходной границы волна в точке Lz −= , т.е. около входной поверхности, равна ( ) [ ]( ) 0
''ˆexpexp ξσ ϕ rσp LaiLiq zs
+ . Рассмотрим теперь отражение и пропускание пластинки толщиной . Примем, что на входной поверхности 0
L=ϕ . Тогда у второй границы раздела qL=ϕ . Обозначим
волну, падающую на вторую границу раздела, через . Для можно составить уравнение
С помощью аналитических выражений (50) и (51) легко рассчитать зависимость от коэффициентов отражения и пропускания с переворотом и без переворота спина. Результаты расчета для простейшего случая 0
k
0 =B с обеих сторон зеркала приведены на рис. 5−8. В дополнение к тем параметрам, которые использовались раньше, введена еще толщина зеркала . 8=L
)a )b
Рис. 9: Зависимость от коэффициента отражения k 2
−−R без переворота спина (сплошная
кривая) и 2
−+R с переворотом (пунктирная кривая) от зеркала толщины a) ; b) 3=L 6=L
z
при начальной поляризации (правый индекс −) противоположной направлению оси . При конечной толщине зеркала высота резонансного пика заметно меньше единицы. Прямые расчеты показывают, что эта высота монотонно возрастает с толщиной зеркала , как следует из анализа проведенного в разделе 2.5. это иллюстрируется на рис. 9, где в дополнение к рис. 5 приведены результаты расчетов с параметрами среды, указанными на рис. 3, при двух толщинах зеркала: 3=L и 6. Зная закон роста
коэффициента отражения можно измерение интенсивности отраженного пучка в заданной области энергии использовать для определения толщины зеркала. 5 Геликоидальная система с постоянным внутренним полем B,
направленным по оси z При наличии постоянного поля B вдоль оси геликоида уравнение Шредингера имеет вид
( ) ( )[ ] ( ) 022sin22cos22 202
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++−−− zkqzqzbBu
dzd
yxz ψϕσϕσσ , (52)
Воспользуемся теми же преобразованиями, что и раньше. В результате вместо (16) получим
( ) 02222 220
22 =−+−−−++−−− qkbBuaqapa xzz σσσ σpσp vv . (53) Это соотношение эквивалентно 4-м уравнениям, первые 2 из которых отличаются от уравнений системы (17), (18)
02 220
22 =−+−+−− qkupqpa zv , (54)
0222 =−+− Bqapq zv . (55)
Из второго уравнения следует aBqpz −=v . (56)
Подстановка в первое уравнение с учетом из (19), приводит к уравнению для a : yxp ,
022022
2
2
222 =−+−
−−−+− qku
qaa
aBqa . (57)
Это кубическое уравнение относительно и мы должны найти такое его решение, которое в асимптотическом пределе переходит в
2a,, Bb 22 qk >> 02' ukka −== .
Пренебрежем свободным членом, тогда уравнение приведется к биквадратному ( ) 022'2222'24 =++++− qkbBqkaa , (58)
решение которого ( )
24 2242
22 bBKKqa
+−++= . (59)
В принципе нетрудно решить и кубическое уравнение и найти поправки к (59), при этом остаются справедливы все вышеприведенные формулы с небольшим изменением: в σpr и σps к нужно добавить слагаемое zp± aB zσ− .
6 Заключение Получены аналитические выражения для коэффициентов отражения и пропускания нейтронов от слоя конечной толщины с геликоидальной магнитной структурой. Проведенные численные расчёты показывают, что при перпендикулярной к поверхности зеркала компоненте волнового вектора близкой к волновому вектору геликоида наблюдается резонансное увеличение коэффициентов отражения и соответственно ослабление коэффициента пропускания с переворотом спина при начальной поляризации противоположной вектору вращения поля в геликоидальной системе. В резонансе происходит увеличение коэффициентов отражения до значений порядка единицы. С другой стороны поляризация параллельная вектору вращения геликоида переворачивается с малой вероятностью, и нейтроны с этой поляризацией либо отра-жаются либо проходят сквозь зеркало и не проявляют резонансных свойств. Эти замечательные особенности геликоидальной структуры могут быть использованы для создания поляризатора нейтронов с эффективностью близкой к 100%, когда в резонансе спиновая компонента “−” падающего на геликоид неполяризованного пучка нейтронов
−+R
преобразуются в “+” компоненту отраженного, и в этой отраженной компоненте
практически не содержится — компоненты. Очевидно, что резонансные свойства геликоида могут быть использованы для создания узкополосных монохроматоров (коллиматоров), поляризаторов, а также ротаторов поляризации (в частном случае спин-флиппера) нейтронов.
Практическая разработка и экспериментальное исследование слоистого геликоида несомн
Analytical solution for neutron reflection and transmission of magnetic mirrors with helicoidal magnetization is found. The dependence of reflection and transmission curves on neutron speed is shown. Resonant properties of helicoidal systems are analyzed.
