Nombre de curso: 299006 – Control Digital

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA TRABAJO COLABORATIVO No. 1: 299006 – CONTROL DIGITAL

TRABAJO COLABORATIVO No. 1 Nombre de curso: 299006 – Control Digital Temáticas revisadas: Unidad 1, capítulo 1 – Transformada z. Unidad 1, capítulo 2 – Transformada inversa z. Unidad 1, capítulo 3 – Muestreo y Estabilidad en z. 1. NOTA ACLARATORIA El curso CONTROL DIGITAL – 299006 es de tipo Metodológico (Teórico/Práctico); por lo tanto, hay que tener en cuenta que los trabajos colaborativos contienen una actividad teórica y otra actividad práctica. La actividad teórica se debe desarrollar de forma analítica, mientras que la actividad práctica se debe desarrollar utilizando la herramienta de software MATLAB®, que se encuentra licenciada por parte de la universidad, y a la cual pueden acceder a través del representante de la GIDT del CEAD en el cual se encuentra matriculado el estudiante. Los tutores que orientan la práctica de forma local pueden asesorar al estudiante en el desarrollo de la misma pero NO DEBEN CALIFICARLA, puesto que el informe que el estudiante coloca en el FORO del curso virtual evidencia ambos desarrollos y, por lo tanto, la nota de laboratorio está inmersa en la nota del trabajo colaborativo. Agradezco tener en cuenta esta aclaración e informar a los tutores encargados con el fin de evitar mal entendidos al finalizar el periodo académico. ¡Éxitos! 2. REPRESENTACIÓN DIGITAL A continuación se discutirá la conversión de modelos en tiempo continuo a modelos en tiempo discreto (o ecuación en diferencia). También se introducirá el concepto de transformada z y se mostrará cómo utilizarlo para analizar y diseñar controladores para sistemas en tiempo discreto. 2.1. Introducción La siguiente figura muestra un típico sistema continuo con retroalimentación. Casi todos los controladores continuos se pueden construir utilizando electrónica analógica.


El controlador continuo, encerrado en el cuadro sombreado, puede ser sustituido por un controlador digital, como se muestra a continuación, que realiza la misma tarea de control que el controlador continuo. La diferencia básica entre estos controladores es que el sistema digital opera con señales discretas (o muestras de la señal sensada) en lugar de señales continuas.

Los diferentes tipos de señales en el esquema digital anterior se pueden representar mediante los siguientes gráficos.

2.2. Equivalencia del Retenedor de Orden Cero En el esquema anterior del sistema de control digital, se observa que el sistema de control digital contiene tanto señales discretas como continuas. Al diseñar un sistema de control digital, hay que encontrar el equivalente discreto de la parte continua de manera que sólo se tiene que trabajar con funciones discretas. Para esta técnica, se considerará la siguiente parte del sistema de control digital y se reorganizará de la siguiente manera.


El reloj conectado a los convertidores D/A y A/D proporciona un pulso cada � segundos y cada convertidor D/A y A/D envía una señal sólo cuando llega el pulso. El propósito de este pulso es para obligar a que ��(�) tenga sólo muestras �(�) para trabajar y produzca sólo muestras de salida �(�); por lo tanto, ��(�) se puede representar como una función discreta.


La filosofía del diseño es la siguiente. Se desea encontrar una función discreta ��(�) de modo que para una entrada por tramos constante al sistema continuo �(�), la salida muestreada del sistema continuo es igual a la salida discreta. Suponga que la señal �(�) representa una muestra de la señal de entrada. Hay técnicas para tomar esta muestra �(�) y mantenerla para producir una señal continua ��(�). El gráfico de abajo muestra que ��(�) se mantiene constante en �(�) sobre el intervalo �� a (� + 1)�. Esta operación de mantener ��(�) constante durante el tiempo de muestreo se denomina retención de orden cero. La señal del retenedor de orden cero ��(�) pasa a través de ��(�) y del convertidor A/D para producir la salida �(�) que va a ser la misma señal a trozos, como si la señal discreta �(�) pasara a través de ��(�) para producir la salida discreta �(�).

Ahora se vuelve a dibujar el esquema, colocando ��(�) en lugar de la porción continua.

Al colocar ��(�), se pueden diseñar sistemas de control digital que tratan sólo con funciones discretas. Importante: Hay ciertos casos en los que la respuesta discreta no coincide con la respuesta continua debido al circuito de retención implementado en los sistemas de control digital. El tiempo de muestreo (�) debe ser menor que 1/(30 ∗ ��), donde �� es el ancho de banda en lazo cerrado.


2.3. Ejemplo: Masa-Resorte-Amortiguador

2.3.1. Función de Transferencia Suponga que se tiene la siguiente función de transferencia continua

�(�)

�(�)=

1

�� + �� + � (1)

Suponiendo que el ancho de banda en lazo cerrado es mayor que 1 rad/seg, se elige el tiempo de muestreo (�) igual a 1/100 seg. Ahora se mostrará cómo introducir la función de transferencia obtenida anteriormente en MATLAB® y cómo se transforma a una función de transferencia en z.


2.3.2. Espacio de Estado El modelo en espacio de estado continuo es el siguiente

�̇ = ��̇�̈� = �

0 1

��

��

�

� ��̇� + �

0�

�

��(�) (2)

� = [1 0] ��̇� (3)

Todas las constantes permanecen iguales. Ahora se mostrará cómo introducir el espacio de estado continuo obtenido anteriormente en MATLAB® y cómo se transforma a un espacio de estado discreto.


A partir de estas matrices, el espacio de estado discreto se puede escribir como

��(�)�(�)

� = � 0.9990 0.0095−0.1903 0.9039

� ��(� − 1)�(� − 1)

� + � 00.0095

��(� − 1) (4)

�(� − 1) = [1 0] ��(� − 1)�(� − 1)

� (5)

2.4. Estabilidad y Respuesta Transitoria Para sistemas continuos, se sabe que ciertos comportamientos resultan a partir de diferentes ubicaciones de los polos en el plano �. Por ejemplo, un sistema es inestable cuando cualquier polo se encuentra a la derecha del eje imaginario. Para sistemas discretos, se puede analizar el comportamiento del sistema a partir de las diferentes ubicaciones de los polos en el plano �. Las características en el plano � se pueden relacionar con las del plano � mediante la expresión


� = �� (6) �: Tiempo de muestreo �: Localización en el plano � �: Localización en el plano � La siguiente figura muestra el mapeo de las líneas de coeficiente de amortiguamiento (�) y la frecuencia natural (��) desde el plano � hacia el plano � mediante la expresión que se muestra arriba.

Si se fija en el plano �, el límite de estabilidad ya no es eje imaginario, sino que es el círculo unitario � = 1. El sistema es estable cuando todos los polos se encuentran dentro del círculo unitario e inestable cuando cualquier polo se encuentra por fuera. Las siguientes tres ecuaciones, utilizadas en diseños de sistemas continuos, son todavía aplicables para el análisis de la respuesta transitoria a partir de las ubicaciones de los polos en el plano �.

�� ≥4.6

�� (7)

�� ≥1.8

�� (8)


� =

−ln(%��/100)

�� + ln(%��/100)� (9)

en donde, �: Coeficiente de amortiguamiento ��: Frecuencia natural (rad/seg) ��: Tiempo de establecimiento ��: Tiempo de subida %��: Porcentaje de sobreimpulso Importante: La frecuencia natural �� en el plano � tiene unidades de rad/muestra, pero cuando se utilizan las ecuaciones anteriores, �� debe tener unidades de rad/seg. Suponga que se tiene la siguiente función de transferencia discreta

�(�)

�(�)=

1

�� − 0.3� + 0.5 (10)

Ahora se mostrará cómo introducir la función de transferencia en MATLAB®, suponiendo un tiempo de muestreo indeterminado, y cómo obtener el diagrama de polos y ceros, así como el coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural.


De la figura, se observa que los polos están situados a una frecuencia natural de 28.01 rad/seg, con un coeficiente de amortiguamiento de 0.25. Con el uso de las tres ecuaciones mostradas arriba, se puede determinar que este sistema debe tener un tiempo de subida de 0.06 segundos, un tiempo de establecimiento de 0.65 segundos y un sobreimpulso de 45% (45% más que el valor en estado estacionario). Ahora se mostrará cómo obtener la respuesta al escalón con sus respectivos parámetros en MATLAB®.


Como se puede ver en el gráfico, el tiempo de subida, tiempo de establecimiento y sobreimpulso se acercan a lo esperado. Esto muestra cómo se puede utilizar la ubicación de los polos y las tres ecuaciones anteriores para analizar la respuesta transitoria del sistema. 2.5. Lugar de las Raíces Discreto El lugar de las raíces da la localización de los puntos en los que las raíces de la ecuación característica se pueden encontrar cuando una sola ganancia se varía desde cero hasta infinito. La ecuación característica de un sistema con realimentación unitaria es

1 + ��(�)��(�) = 0 (11) en donde �(�) es el compensador implementado en el controlador digital y ��(�) es la

función de transferencia de la planta en �. El mecanismo para dibujar el lugar de las raíces es exactamente el mismo tanto en el plano � como en el plano �. Suponga que tiene la siguiente función de transferencia discreta

�(�)

�(�)=

� − 0.3

�� − 1.6� + 0.7 (12)


y los requisitos son un factor de amortiguamiento mayor que 0.6 y una frecuencia natural superior a 0.4 rad/muestra (estos se pueden encontrar a partir de los requisitos de diseño, el tiempo de muestreo y las tres ecuaciones que se muestran en la sección anterior). Ahora se mostrará cómo dibujar el lugar de las raíces en MATLAB®.


A partir de esta figura, se observa que el sistema es estable porque todos los polos se encuentran dentro del círculo unitario. En este ejemplo, se tiene el lugar de raíces dibujado en la región deseada. Por lo tanto, la ganancia (�) seleccionada a partir de uno de los lugares en la región deseada debe dar una respuesta que satisfaga los requisitos de diseño. 3. GUÍA DE ACTIVIDADES El trabajo consiste de dos actividades (una teórica y una práctica), con una sola entrega. 3.1. Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de

ejercicios que deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 1.

Ejercicio 1: Un motor DC tiene la siguiente función de transferencia en lazo

abierto para un voltaje de armadura a la entrada y una posición angular a la salida:

�(�) =Θ(�)

�(�)=

�

��(�� + �)(�� + �) + �� (13)

Suponiendo un tiempo de muestreo � = 0.001 segundos, encuentre la función de

transferencia discreta en lazo abierto cuando se utiliza un retenedor de orden cero.

Ejercicio 2: El sistema de suspensión activa de un autobús tiene la siguiente

representación en espacio de estados, donde la salida es � = �� − ��:

�

�̇��̈�̇��̈�

� =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

0 1 0 0−��

0 ��

��

+��

+��

� −��

�−��

��

0 −��

+��

+��

� 1

��

0 −��

+��

+��

� 0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

�

��̇��̇�

� +

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

0 01

��

��

0−��

�1

��

+1

��

�−�� ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

�� (14)

� = [0 0 1 0] �

��̇��̇�

� + [0 0] �� (15)

Suponiendo un tiempo de muestreo � = 0.0005 segundos, encuentre la función de

transferencia discreta �(�)/�(�) cuando se utiliza un retenedor de orden cero.


3.2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando la herramienta de software MATLAB®. Cada estudiante debe realizar al menos un aporte significativo por cada ejercicio propuesto en el tema denominado Aportes al trabajo colaborativo 1. Ejercicio 1: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 1 de la Actividad

Teórica, utilice MATLAB® para: (a) Convertir la función de transferencia continua

en lazo abierto a una función de transferencia discreta (utilizando el método ZOH),

(b) obtener las respuestas del sistema continuo y del sistema discreto con

realimentación unitaria ante una entrada escalón unitario, junto con las

características de tiempo de subida, sobreimpulso y error en estado estacionario,

(compare las dos gráficas) y (c) dibujar el lugar geométrico de las raíces para el

sistema continuo y para el sistema discreto en lazo abierto, (compare las dos

gráficas). Para ello, suponga que los parámetros del sistema son:

Momento de inercia del rotor: � = 3.2284x10��

Constante de fricción viscosa del motor: � = 3.5077x10��

Constante del motor: � = 0.0274

Resistencia eléctrica: � = 4

Inductancia eléctrica: � = 2.75x10��

Ejercicio 2: Con los resultados obtenidos en el Ejercicio 2 de la Actividad

Teórica, utilice MATLAB® para: (a) Convertir la función de transferencia continua

en lazo abierto a una función de transferencia discreta (utilizando el método ZOH),

(b) obtener las respuestas del sistema continuo y del sistema discreto con

realimentación unitaria ante una entrada escalón unitario, junto con las

características de tiempo de subida, sobreimpulso y error en estado estacionario,

(compare las dos gráficas) y (c) dibujar el lugar geométrico de las raíces para el

sistema continuo y para el sistema discreto en lazo abierto, (compare las dos

gráficas). Para ello, suponga que los parámetros del sistema son:

¼ de la masa del autobús: �� = 2500kg

Masa de la suspensión: �� = 320kg

Constante del resorte del sistema de suspensión: �� = 80000N/m

Constante del resorte de la rueda y el neumático: �� = 500000N/m

Constante de amortiguamiento del sistema de suspensión: �� = 350N. s/m

Constante de amortiguamiento de la rueda y el neumático: �� = 15020N. s/m


4. ESPECIFICACIONES DEL PRODUCTO FINAL DEL TRABAJO

El archivo final debe estar comprimido y se le debe asignar un nombre que tenga la siguiente estructura: Codigodelcurso_NombredelGrupo y debe colgarse en el foro de equipo bajo el tema ENTREGA FINAL DEL TRABAJO No. 1. El archivo .ZIP debe incluir:

Un archivo en formato .PDF con el desarrollo detallado de la situación propuesta.

Debe incluir Portada, Introducción, desarrollo de la situación, conclusiones, referencias bibliográficas usadas.

Los archivos .M generados para la elaboración de las tareas propuestas.

Date post:	08-Feb-2023
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