117

Bilimsel Araştırma Yöntemleri (Kavramlar-Analizler-Araştırmalar)

118

Yanık, A. “Ölçüm Teorisinin Kavramsal İncelemesi ve Araştırma Analizleriyle İlişkisi”

119

Bilimsel Araştırma Yöntemleri (Kavramlar-Analizler-Araştırmalar)

120

Yanık, A. “Ölçüm Teorisinin Kavramsal İncelemesi ve Araştırma Analizleriyle İlişkisi”

121

Bilimsel Araştırma Yöntemleri (Kavramlar-Analizler-Araştırmalar)

ÖLÇÜM TEORİSİNİN KAVRAMSAL İNCELEMESİ VE ARAŞTIRMA ANALİZLERİYLE İLİŞKİSİ

Dr. Akan YANIK

Adnan Menderes Üniversitesi

Ölçüm teorisinin istatistiksel kuramları son 100 yıl içinde gelişmiştir. Teorik temelleri 1900’lü

yılların başlarına, Charles Spearman’ın bir dizi çalışmasına dayanan ve çeşitli istatistiksel teoremler

ve eşitliklere sahip ölçmenin en popüler kuramı olan ölçüm teorisi başlangıçta bilişsel psikoloji ve

eğitimde ölçme için geliştirilmiştir (Caratheodory, 1963). Bugün ise, psikiyatriden tıbba, işletmeden

mühendisliğe kadar çok çeşitli disiplinlerde kullanılmakta veya yararlanılmaktadır. 1900’lü yılların

başlarında başlayan ve çeyrek yüzyılın üstünde devam eden -ilk- süreçte, Charles Spearman’ın yanı

sıra, Karl Pearson, George Udny Yule, Truman Lee Kelley, Edward Lee Thorndike, William Brown

gibi isimlerin de klasik ölçüm kuramı ve gelişimine önemli katkıları vardır (Halmos, 1967). Bir

araştırmacı araştırmasının istatistik altyapısını sağlıklı yaratmak ve çalışmasının anlamlarını gerçek

anlamda keşfetmek için ölçüm teorisinin temel aşamalarını bilmesi gerekmektedir. Araştırmacı klasik

ölçüm kuramıyla ilgili çalışmalar sürdürüyorsa veya bilimsel etkinliklerde bulunuyorsa, güvenirlik ve

geçerlik kavramlarıyla ilgili çağdaş gelişmeleri takip etmeli, değişen ya da anlam değiştiren bu

kavramlar ve içerikleriyle ilgili yenilikleri de ölçüm teorisi ışığında çalışmalarına aktarmalıdır.

Bu bölümde matematiğin ve istatistik çalışmalarının temel konularından olan ölçüm teorisi

hakkında genel bilgiler vererek özellikle kavramın istatistik analizlerle ilişkisi ortaya konulacaktır.

Bölümde matematiksel bir kaygı değil istatistik yöntemlerle ilgili bir kaygı olduğundan formül

yorumlarından ziyade istatistik kullanımları içeren genel ilişkisel yorumlar yer alacaktır.

ÖLÇÜM TEORİSİ

Ölçüm kavramı matematiğin temel konularından biridir. Önceleri ekim yapılan tarla alanı,

sutaşıma sistemleri için küpün hacmi, mevsimsel afetleri engellemek için sel ve kuraklık grafikleri gibi

basit ve sonlu kümelerle ifade edilebilen kavramlar için ölçüm kuralları bulunmuştur. Zamanla

matematiğin gelişmesiyle birlikte sonsuz kümeler olarak ifade edilen daha karmaşık yapıların veya

olayların ölçümü için ölçüm teorisi kullanılmaya başlanmıştır. Ölçüm teorisi matematikte ve

istatistikte reel analizlerin konusu olarak tanımlanmaktadır. Konu ile ilgili araştırma yapıldığında

teori daha çok Lebesgue ölçümü olarak anlatılmakta (Shafer, 1976) ve verilen fonksiyonlar

Lebesgue’nin teoremleri altında verilmektedir. Ölçüm teorisinin tüm analiz ve fonksiyon

teoremlerinde Lebesgue integralleriyle karşılaşılır. Lebesgue integralleri ölçüm teorisi teoremleri

ışığında Reimann gibi integrallenmeyen fonksiyonların integrallerini alabilmekte yardımcı olur (Yen,

1990). Fakat klasik ölçüm teorisi daha çok reel basit analizlerde kullanılır. Örneğin reel doğru üzeride

122

Yanık, A. “Ölçüm Teorisinin Kavramsal İncelemesi ve Araştırma Analizleriyle İlişkisi”

0 ile 1 arasındaki reel sayıların kümesi ölçümünün ne olacağı, bu kümeden 0 ve 1’in çıkarılmasıyla

oluşan kümenin ölçümünün ne olacağı veya bu kümeden bütün rasyonel sayıların çıkarılmasıyla

oluşan kümenin ölçümünün ne olacağı gibi sorular üzerinde durulmuştur. Ölçüm teorisi ve kümeler

sistemi istatistikte özellikle faktör, regresyon, integral ve diskriminant gibi hesaplamalarla, küme

içinde yer alan sınıfların değerlerini ortaya koyar. Bu matematiksel hesaplamalar özellikle istatistik

bilimi için en temel analizler olarak yer almaktadır.

Ölçüm kavramı bir küme fonksiyonu olduğundan dolayı kümelerin cebirsel yapıları önemlidir.

Özellikle ölçüm kuramının tanımlanacağı küme sınıfları, bu küme sınıflarının ürettikleri halkalar,

cebirler ile bulanık kümeler ve bulanık kümeler üzerindeki cebirsel yapılar ile ilgili temel tanım ve

teoremler üzerinde durulması gereken önemli konulardandır (Zadeh, 1978). Ölçüm teorisi ve küme

sınıfları ile ilgili tüm modern ilişkilendirmeler bulanık kümeler kavramını ortaya atan Azeri bilim

adamı Zadeh’in çalışmalarından yola çıkılmıştır. Ölçüm teorisinin temelini oluşturan küme sınıfları, X

kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi olarak adlandırılır ve P(X) ile gösterir.

P(X) in alt kümeleri ise sınıf olarak adlandırılır (Zadeh, 1965).

Ölçüm teorisinde basit yapılar için belirlenmiş olan ölçüm kurallarının daha karmaşık yapılara

nasıl genişletileceği önemli bir sorun olmuştur. Bu konularda özellikle Fransız matematikçiler Emile

Borel (1871-1956) ve Henri Lebesgue (1875-1941)’in yapmış olduğu çalışmalar bugünkü ölçüm

teorisinin temelini oluşturmuştur (Wang ve Zhang, 1984). Borel, ortaya attığı Borel Cebri ile ölçüm

teorisi ışığında, analitik kesişebilen kümelerin hesaplanabilmesini ve bu kümelerdeki sınıfların

değerlerinin integrallerini alabilmeyi sağlamaktadır. Ölçüm teorisinde borel cebrinin tanımsal ifadesi

şu şekilde yapılmaktadır (Wang ve Klir, 1992) :

, ’in alt kümelerinin bir ailesi olsun ama bir cebri olmasın. ’yi içeren ve üzerinde

tanımlanan cebirlerinin kesişimi de bir cebridir. , cebrine tarafından üretilen cebri denir.

için eğer bir metrik veya topolojik uzaysa ’in açık alt kümelerinden bahsedebiliriz.

Borel cebridir. Yani bütün açık kümelerini içeren en küçük

cebrine Borel cebri denir.

123

Bilimsel Araştırma Yöntemleri (Kavramlar-Analizler-Araştırmalar)

Ölçüm teorisinin temelindeki ölçümün toplamsallık özelliğinden dolayı bu ölçümlere toplamsal

ölçüm denilmiştir. Bilimin hızla ilerleyişine bağlı olarak toplamsallık şartının çoğu zaman kısıtlayıcı

olduğu görülmüştür. Buna bağlı olarak toplamsallık yerine monotonluk, süreklilik gibi daha esnek

şartlar kullanılarak oluşturulan ölçüm kuralları oluşturulmuştur. Bu konuda özellikle G.Choquet,

Dempster, Shafer, Sugeno ve Zadeh tarafından önemli çalışmalar yapılmıştır. Ölçüm teorisi

çerçevesinde geliştirilen bu çalışmalar genel olarak bulanık ölçüm olarak adlandırılır. Bulanık

ölçümler klasik ölçümlerin genelleştirilmiş halidir. Son yıllarda yapılan çalışmalarla toplamsal

ölçümün birçok özelliği bulanık ölçümler içinde düzenlenebilmiştir. Ancak bulanık ölçümlerin

genişlemesi için birçok çalışma yapılmasına rağmen Caratheodory’nin toplamsal ölçümlerde yaptığı

gibi genel bir genişleme teoremi yazılamamıştır (Şahin, 2007).

Toplamsal ölçümlerin cebirsel ifadesiyle ilgili olarak Yunan matematikçi Constantine

Caratheodory’nin yaptığı çalışmalar önemli bir yer tutmuştur. Özellikle Caratheodory tarafından

geliştirilen “bir küme üzerindeki ölçümün bu kümedeki sonuçlar aynı kalmak üzere onu kapsayan bir kümede

de ölçüm olma şartlarını sağlayacak şekilde genişletilmesiyle” (Caratheodory, 1963) ilgili çalışma, ölçüm

teorisindeki toplamsal ölçümler için önemli katkı sağlamıştır.

Ölçüm teorisinde özellikle küme içindeki sınıfların değerlerinin genişletilmesi ve daha kompleks

cebirsel yapıların çözümlenmesi için teori içinde bulanık küme analizi geliştirilmiştir. Ölçüm teorisini

konu alan bu bölümde özellikle bulanık küme analizine geniş yer ayrılacaktır. Çünkü Borel ve

Lebesgue’nin geliştirdiği analiz temel klasik ölçüm teorisi olarak yer alırken; bulanık küme ölçümü,

benzerlik ölçümü, makul ve güvenirlik ölçümü ve olanak ölçümü gibi analizler modern ölçüm teorisi

başlığı altında ele alınmaktadır. Genel olarak bu ölçümlerden bahsedecek olursak; bulanık ölçümlerle

ilgili çeşitli tanım ve kavramlar geliştirilmiştir. Bulanık ölçüm düşüncesi ilk olarak Sugeno tarafından

tasarlanmıştır. Sugeno aynı zamanda λ-bulanık ölçümün de yazarıdır. Benzerlik ölçümü Wang

tarafından düzenlenmiştir. Makul ve güvenirlik ölçümleri Shafer tarafından geliştirilmiş ve Dempster

tarafından alt ve üst olasılıklar olarak düzenlenmiştir. Bunlar Dempster-Shafer kanıt teorisi olarak da

bilinir. Bu teorinin bulanıklaştırılması ile ilgili daha sonra başta Höhle, Dubois ve Prade, Yen olmak

üzere çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Olanak ve gereklilik ölçümleri makul ve güvenirlik ölçümlerinin

özel bir hali olarak Shafer ve bulanık küme bağlamında Zadeh tarafından düzenlenmiştir. Ayrıca bu

ölçümler olanak ölçüm teorisi adı altında Dubois ve Prade tarafından hazırlanmıştır.

Ölçüm teorisi içerisinde daha çok bulanık küme olarak görülebilecek matematiksel analiz, 1961

yılında Azeri bilim adamı Zadeh tarafından temelleri oluşturulan bir mantık yapısıdır (Dönmez,

2001).

124

Yanık, A. “Ölçüm Teorisinin Kavramsal İncelemesi ve Araştırma Analizleriyle İlişkisi”

Klasik yaklaşımda bir varlık, ya kümenin elemanıdır ya da değildir. Matematiksel olarak ifade

edildiğinde varlık küme ile olan üyelik ilişkisi bakımından kümenin elemanı olduğunda “1”; kümenin

elemanı olmadığı zaman “0” değerini alır. Ölçüm teorisi içindeki bulanık kümeler aslında, klasik

küme gösteriminin genişletilmesidir. Çünkü bir varlık koşul içinde belirtilen iki kümeye de ait

olmayabilir. Bu durumda o varlık için küme genişletilmeli ve her varlığın [0,1] aralığı içinde bir değeri

olmalıdır. İstatistikte “Uzaklık Matrisi” (D) ile varlığın H0’a uzaklığı ve değerinin belirlenmesi de

aslında ölçüm teorisi içinde ele alınır.

Ölçüm teorisinde bulanık küme içindeki her bir elemanın üyelik derecesi vardır. Elemanların

üyelik derecesi, [0,1] aralığında herhangi bir değer olabilir ve bu 𝜇(𝑥) üyelik fonksiyonu ile gösterilir.

Örnek olarak; klasik ölçüm teorisinde, normal oda sıcaklığı 23 derece olarak kabul edilirse, 23

derecenin üzerindeki sıcaklık dereceleri sıcak olarak kabul edilir ve bu derecelerin sıcak kümesindeki

üyelik dereceleri “1” olur. 23 derece altındaki sıcaklık dereceleri ise soğuktur ve sıcak kümesindeki

üyelik dereceleri “0” olur. Soğuk kümesi temel alındığında bu değerler tersine döner. Ölçüm teorisi

içindeki bulanık küme yaklaşımı ise klasik ölçüm teorisinin üyelik derecesini biraz daha geliştirerek;

üyelik değerlerini [0,1] aralığında tamsayı olmayan değerler yerleştirerek kümeyi oluşturan her bir

sınıfın da kendi aralarındaki oranlarını ortaya koyar. Örneğin; 21 sıcaklık derecesi için üyelik değeri

“0,75” olabilir. Ölçüm teorisindeki klasik kümelerde olduğu gibi bulanık kümeler de A,B,C … gibi

büyük harflerle ve bunların üyelik fonksiyonları 𝜇a, 𝜇b, 𝜇c, … ile gösterilir. 𝜇a(x) e x elemanının A

kümesindeki üyelik derecesi denir. X in bütün bulanık alt kümelerin sınıfı 𝔉(X) ile gösterilir

(Castineira, Cubillo ve Trillas, 2007).

ÖLÇÜM TEORİSİ VE İSTATİSTİK ARAŞTIRMA ANALİZLERİ BAĞLANTISI

Kümeler ve sınıflar konusu istatistiğin analiz sistemi ve hesaplama mantığındaki en temel

matematiksel bilgilerdir. İstatistikte elde edilen veriler hesaplanabilirlik açısından çeşitli analiz

yöntemleriyle benzeşen kümelere ayrılırlar. İstatistikte özellikle, faktör analizi ve kümeleme analiziyle

kümelenen veriler yine bu analizlerle her bir faktör veya küme içindeki veri maddesine (matematikte

bu maddelere sınıf denir) bir değer verir. Bu değerler, ölçeği geliştiren bilim adamı tarafından

geçerlilik ve güvenirlilik sınırları içerisinde belirlenir. Ölçüm teorisi de en basit anlamda herhangi veri

yığınını ilk önce kümeleştirir ve daha sonra verilen koşullar altında bir küme içerisinde sınıflara ayırır.

Ölçüm teorisinin istatistikte nicel araştırma yöntemlerinin temelini oluşturan matematiksel fonksiyon

bağıntısını bir örnekle sunmak gerekirse; Adnan Menderes Üniversitesi’nde görev yapan tüm

akademisyenlerin yaşlarının olduğu tek bir veri yığınını ele alalım.

125

Bilimsel Araştırma Yöntemleri (Kavramlar-Analizler-Araştırmalar)

Bu veri yığınındaki koşul ise tüm akademisyenleri “Genç” (G) ve “Yaşlı” (Y) kuvvet kümelerine

ayırmaktır. X=[0,100] insanların yaş dönemlerinin aralığı olursa G (Genç) üyelik fonksiyonu;

iken Y (Yaşlı) üyelik fonksiyonu;

ise 28 yaşın G kümesi üyelik derecesi “0.8” iken 45 yaşın hem G kümesine hem de Y kümesine

üyelik derecesi “0” olduğu görülür. Dolayısıyla 45 yaşındaki bir akademisyene genç denilemeyeceği

gibi yaşlıda denilemez. Bu üyelik fonksiyonlarına göre [“genç değil” “yaşlı değil”], [“genç değil” ve

“yaşlı değil”] kümeleri aşağıdaki gibi olur;

Böylece Y ⊂ Ĝ yani “yaşlı” ise “genç değildir” olduğu anlaşılır. Bu üyelik fonksiyonlarına göre

32 yaşındaki bir akademisyenin “Genç” kümesine ait üyelik derecesi yaklaşık 0.6, “Yaşlı” kümesine

ait üyelik derecesi 0 olur. Burada bir akademisyenin yaş olarak sadece bir kümeye aitliğini değil; diğer

kümeye olan uzaklığına da fonksiyon olarak değer verilmiştir. Ölçüm teorisinde koşullar değiştikçe

matris sistem değişeceğinden, kümeler, sınıflar ve sınıfların değerleri de değişmektedir. Yukarıdaki

örnekte görülen ölçüm teorisinde bulanık küme analizi birçok istatistikî analiz için de geçerli olan bir

matematiksel bilgidir. Bulanık küme ölçümü, benzerlik ölçümü, makul ve güvenirlik ölçümü ve

olanak ölçümü gibi analizler modern ölçüm teorisi başlığı altında ele alınmaktadır (Şahin, 2007).

126

Yanık, A. “Ölçüm Teorisinin Kavramsal İncelemesi ve Araştırma Analizleriyle İlişkisi”

Ölçüm teorisinin en son aşamasının temelleri istatistikte “Normallik Testi”nden de tanınan

Andrey Nikolaevich Kolmogorov atmıştır. Kolmogorov, Richard von Mises tarafından ortaya atılan

örneklem uzayı kavramlarını ölçüm kuramı kavramları ile birleştirerek 1933'te modern ölçüm ve

olasılık kuramı için esas olan Kolmogorov aksiyomlarını ortaya atmıştır (Dubois ve Prade, 1992). Bu

gelişme bilim camiası tarafından hiç karşı çıkan kuram olmadan, modern olasılık kuramının ana

aksiyom sistemi olarak benimsenmiştir.

Ölçme teorisi ile istatistiki analizlerin en basit ilişkisi ölçme teorisinin küme fonksiyonlarını

belirlemek için yaptığı sınıflandırmadır. Ölçüm sınıflandırmaları matematikte fonksiyonların matris

değerlerini belirlemek için hayati önem taşımaktadır. Çünkü bir değerin anlamı tamamen hangi ölçü

sınıfına girdiğiyle alakalıdır. Bir sıcaklık derecesinin ölçüm sınıflandırmasıyla bir psikometrik

sorunun ölçüm sınıflandırması çok farklıdır. Bu fark özellikle araştırmanın normallik testi ve

geçerliliğine önemli etkilerde bulunmaktadır. Ölçüm sınıflandırmalarının ilki “metrik” ölçümlerdir.

Ölçmenin temel reel ve rassal araştırmaları ve bu araştırmaların duyarlılık, güvenirlilik, hata ve güven

testleri metrik ölçümlerle sağlanmaktadır. İkinci ölçüm genellikle değişkenliğin çoğul kaynaklarının

ölçümü, hipotez sorgulama testleri, ANOVA, ölçme hata kaynaklarının tespiti gibi çeşitli analizler için

kullanılan “biyometrik” ölçümlerdir. Üçüncü sınıflandırma olan “psikometrik” ölçüm zeka testlerinde

sıklıkla kullanılan latent testleri, faktör analizleri ve kümeleme analizlerinde kullanılır. Eğitimsel

ölçüm ise duyarlılık ölçümü skalaları, ikili yanıtlar gibi Rasch Modelleri konusuna ve IRT (Item Yanıt

Teorisi)’ne girmektedir. Klinimetrik ölçüm ise tanı sistemleri için çok boyutlu özetler yaratan klinik

indekslerinde görülmektedir. Son olarak ekonometrik ölçüm, yararlılık puanlarının işlendiği maliyet-

yarar analizlerinde görülmektedir. Yukarıda belirtilen ölçüm sınıflarının grafiği aşağıdaki gibidir:

Tablo – 1: Ölçüm Sınıfları Grafiği

Amaçlar Örnekler Teorisyenler

Metrik Ölçmenin temel reel ve

rassal araştırmaları

Duyarlılık, güvenirlilik,

hata, güven

Carl Gauss, Adolphe

Quetelet

Biyometrik Değişkenliğin çoğul

kaynaklarının ölçümü

Hipotez sorgulama

testleri, ANOVA, ölçme

hataları kaynakları

Karl Pearson, Ronald

Fisher,

Psikometrik Latent değişkenler ve

zeka testleri Faktör analizi, güvenirlik

Charles Spearman, Lee

Cronbach, Rensis Likert

Eğitimsel Ölçüm Duyarlılık ölçümü

skalaları, ikili yanıtlar

Rasch Modelleri, IRT

(Item Yanıt Teorisi) Georg Rasch

Klinimetrik Araştırmanın prognostik

özellikleri, tanı sistemleri

Klinik indeksler ve çok

boyutlu özetler Alvan Feinstein

Ekonometrik Yararlılık puanları Maliyet-Yarar Analizleri George Torrance,

Kaynak: http://www.bayar.edu.tr\~saykad\sunumlar2\PeterFayers-MeasuringQoL.pdf

127

Bilimsel Araştırma Yöntemleri (Kavramlar-Analizler-Araştırmalar)

Ölçüm teorisi ve istatistik araştırma analizleri ilişkisini ayrıca veri serisindeki ortogonal

dalgalanmaları düzeleştirirken görmekteyiz. Hareketli ortalamalar metodu, Holt’s ve Winters üstsel

düzgünleştirme metotlarında zaman serisi ölçüm teorisi ışığında incelenir. Bu incelemeler sonucunda

özellikle zaman serilerinin trend, mevsimsellik dalgalanmaları, periyodik dalgalanmalar ve rassal

değişkenlik bileşenlerinden en az birine sahip olduğu belirlenir. Ölçüm teorisi ayrıca, çok boyutlu

analizlerde normallik dağılımını varyans seçeneği dışında integral boyutta çarpıklık ve basıklığını

sunan teoremleri sunmaktadır (Michalikova, 2008). Özellikle Lebesgue İntegrali çok boyutlu

araştırmalarda veri setlerindeki her boyutun matrislerini ortaya koyarak bir histogram ortaya

koyabilir. Kolmogorov’a göre ölçüm teorisinde sunulan teoremlerin ve matematiksel formüllerin daha

çok zaman serilerinin önemli olduğu araştırmalarda kullanılması gerekmektedir.

SONUÇ

Ölçüm teorisi istatistik için çok temel bir matematiksel teori olduğundan istatistik ilişkisi çok

daha fazla boyuttadır. İstatistikte korelasyon analizlerinde ve özellikle Spearman Sıra

Korelasyonu’nda klasik ölçüm teorisinin teoremlerini görebiliriz. Bunun yanı sıra; kovaryans analizi,

çoklu doğrusal regresyon modeli, faktör analizi, ayırma analizi de denilen diskriminant analizi ve

kümeleme analizi gibi birçok analizin ölçüm metotlarında ölçüm teorisinin sunduğu fonksiyonları ve

yöntemleri görebilmekteyiz. Ölçüm teorisi ile ilgili araştırma yapıldığında teori daha çok

Lebesgue’nin teoremleri altında verilmektedir. Ölçüm teorisinin tüm analiz ve fonksiyon

teoremlerinde ve özellikle kümeye üyelik dereceleri konularında Lebesgue integralleriyle karşılaşılır.

Lebesgue integralleri ölçüm teorisi teoremleri ışığında Reimann gibi integrallenmeyen fonksiyonların

integrallerini almaktadır. İntegrali alınamayan fonksiyonların integrallerinin alınması ve uzaklık

matrisi ile küme üyeliklerinin belirlenebilmesi ölçüm teorisinin daha karmaşık yapılara nasıl

genişletileceği gibi önemli bir sorunu ortadan kaldırmıştır. Ölçüm teorisi klasik yaklaşımdaki “bir

varlık, ya kümenin elemanıdır ya da değildir” savını genişleterek tüm verilerin araştırmalara dahil

edilmesini sağlamıştır. Daha açık anlatmak gerekirse; ölçüm teorisi bulanık kümeler mantığıyla klasik

küme gösteriminin genişletmiştir. Çünkü, bir varlık koşul içinde belirtilen iki kümeye de ait

olmayabilir. Bu durumda o varlık için küme genişletilmeli ve her varlığın [0,1] aralığı içinde tam sayı

olmayan ve uzaklığının belirtildiği bir değeri olmalıdır. İstatistikte “Uzaklık Matrisi” (D) ile sağlanan

bu durum, varlığın H0’a uzaklığı ve değerinin belirlenmesiyle ilgili fonksiyonlar ölçüm teorisi ile

sağlanmaktadır. Ölçüm teorisi özet olarak herhangi veri yığınını ilk önce kümeleştirir ve daha sonra

verilen koşullar altında bir küme içerisinde sınıflara ayırır. Ölçüm teorisi istatistikte nicel araştırma

yöntemlerinin temelini oluşturan bir kuram olduğundan tüm istatistiksel analizlerde etkisi

görülmektedir.

128

Yanık, A. “Ölçüm Teorisinin Kavramsal İncelemesi ve Araştırma Analizleriyle İlişkisi”

KAYNAKÇA

Caratheodory, C. (1963). Algebraic Theory of Measure and Integration. New York, Chelsea

Publishing.

Castineira, E., Cubillo, S., ve Trillas, E., (2007). On the coherence between probability and

possibility measures. International Journal ‘’Information Theories & Applications’’, 14, 303-

310

Dönmez, A. (2001). Reel Analiz. Ankara, Seçkin Yayıncılık.

Dubois, D. ve Prade, H. (1992). When upper probabilities are possibility measures. Fuzzy Sets

and Systems, 49, 65-74.

Halmos, P.R. (1967). Measure Theory. New York, Van Nostrand.

Michalikova, A. (2008). Caratheodory outer measure on IF-sets. Mathematica Slovaca, 58, 63-76

Shafer, G. (1976). A Mathematical Theory of Evidence. New Jersey, Princeton: Princeton Universty

Press.

Şahin, M. (2007). On Caratheodory extension theorem on fuzzy measure spaces. Far East Journal of

Mathematical Sciemces, 26, 311-317.

Wang, Z. ve Klir, G. J. (1992). Fuzzy measure theory. New York, Plenum Press.

Wang, Z. ve Zhang, Z. (1984). On the extension of possibility measures. Busefal, 18, 26-32. ,

Yen, J. (1990). Generalising the Dempster-Shafer theory to fuzzy sets. IEEE Transactions on

Systems,Man, and Cybernetics, 20, 559-570.

Zadeh, L.A. (1965). Fuzzy Sets. Information and Control, 8, 338-353.

Zadeh, L.A. (1978). Fuzzy sets a basis for theory of possibility. Fuzzy Sets and Sytems, 4, 3-28.