P2: Hướng dẫn giải bài tập Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương Bài Toán Phẳng

NORTH SAINT_AMITABHA ELASTIC THEORY

15/44

CHAPTER 2 : BÀI TOÁN PHẲNG

Bài 12:Cho tấm phẳng có hàm ứng suất 2 2(x,y)φ = ax + bxy + cy

1.CMR (x,y)φ là hàm trùng điều hòa ?

2.Xác định các hằng số a, b, c ?

3.Tính ứng suất tại tâm tấm ?

Giải:

1.Ta tính các vi phân

2 4

2 4

2 4

2 4

4

2 2

2ax by ; 2a ; 0x x x

2cy bx ; 2c ; 0y y y

0x y

Nhận thấy

4 4 4

4 2 2 42 0

x x y y

Vậy (x,y)φ là hàm trùng điều hòa

2.Ta có các ứng suất

2 2 2

x y xy2 22c ; 2a ; b

y x x y

Lại có các lực trên biên

x x yx y xy yp l m 2cl bm ;p l m bl 2am


16/44

Ta vẽ các điều kiện biên

Trên đoạn AB : ta có l = cos(n,x) = 0; m = cos(n,y) = 1; x = -1,5h ÷ 1,5h; y = h

Suy ra px = - b; py = 2a

Trên đoạn BC : ta có l = cos(n,x) = 1; m = cos(n,y) = 0; x = 1,5h; y = -h ÷ h

Suy ra px = 2c; py = -b

Vậy ta → b = -3; 2a = 3 → a = 1,5; 2c = 0 → c = 0

3.Ta có ứng suất tại tâm

x y xy2c 0; 2a 3 ; b 3

Bài 13:Cho một tấm phẳng hình chữ nhật chịu các lực nằm trong mặt phẳng tấm. Trong

các hàm φ sau hàm nào là hàm ứng suất của tấm.

3 2 2 21(x,y)

3 2 32(x,y)

φ = ax + bxy + cx y

φ = ax + bxy + cxy

Vẽ các lực trên biên lên chu tuyến tấm.


17/44

Giải:

1.Nếu φ là hàm ứng suất thì φ phải thỏa mãn phương trình sau

4 4 4

4 2 2 42 0

x x y y

Ta tính các vi phân

Hàm 3 2 2 21(x,y)φ = ax + bxy + cx y

2 42 2 2 21 1 1

2 4

2 4 42 21 1 1 1

2 4 2 2

3ax by 2cxy ; 6ax 2cy ; 0x x x

2bxy 2cyx ; 2bx 2cx ; 0 : cy y y x y

Nhận thấy hàm 3 2 2 21(x,y)φ = ax + bxy + cx y không thỏa mãn (1) nên hàm φ1(x, y) không

phải là hàm ứng suất.

Hàm 3 2 32(x,y)φ = ax + bxy + cxy

Ta có

2 42 2 32 2 2

2 4

2 4 422 2 2 2

2 4 2 2

3ax by cy ; 6ax ; 0x x x

2bxy 3cxy ; 2bx 6cxy ; 0 : 0y y y x y

Nhận thấy hàm 3 2 32(x,y)φ = ax + bxy + cxy thỏa mãn (1) nên hàm φ2(x, y) là hàm ứng

suất.

Ta có các thành phần ứng suất

2 2 22

x y xy2 22bx 6cxy; 6ax ; (2by 3cy )

y x x y

Ta có các lực trên biên

2x x yx

2y xy y

p l m (2bx 6cxy)l (2by 3cy )m

p l m (2by 3cy )l 6axm

Trên đoạn AB : ta có l = cos(n,x) = 0; m = cos(n,y) = 1; x = 0 ÷ h; y = 1,5h

Suy ra px = 3bh + 6,75ch2; pyA = 0; py

B = 6ah

Trên đoạn BC : ta có l = cos(n,x) = 1; m = cos(n,y) = 0; x = h; y = 0 ÷ 1,5h

Suy ra pxC = 2bh; px

B = 2bh + 9ch2; pyC = 0; py

B = -3bh - 6,75ch2


18/44

Trên đoạn OC : ta có l = cos(n,x) = 0; m = cos(n,y) = 1; x = 0 ÷ h; y = 0

Suy ra px = 0; pyO = 0; py

C = 6ah

Trên đoạn AO : ta có l = cos(n,x) = 1; m = cos(n,y) = 0; x = 0; y = 0 ÷ 1,5h

Suy ra px = 0; pyO = 0; py

A = -3bh - 6,75ch2

Bài 14: Cho một tấm phẳng có hàm ứng suất 2 3(x,y)φ = 2x + 3xy + y

1.CMR hàm φ(x, y) là hàm trùng điều hòa ?

2.Tính ứng suất tại tâm tấm ?

3. Vẽ các điều kiện biên lên chu tuyến tấm ?

Giải:

1.Nếu φ là hàm trùng điều hòa thì φ phải thỏa mãn phương trình sau


19/44

4 4 4

4 2 2 42 0

x x y y

(*)


2 4

2 4

2 42

2 4

4

2 2

4x 3y ; 4 ; 0x x x

3x 4y ; 8y ; 0y y y

0x y

Nhận thấy hàm φ thỏa mãn (*).Vậy φ là hàm trùng ứng suất

2.Ta có tại tâm có tọa độ x = 0; y = a/2 vậy ứng suất tại tâm tấm

2 2 2

x y xy2 2

a6y 6. 3a ; 4 ; 3

y 2 x x y

3.Ta có các lực trên biên

x x yx y xy yp l m 6yl 3m ;p l m 3l 4m

Đoạn AB: ta có l = cos(n,x) = 0; m = cos(n,y) = 1; x = -2a ÷ 2a ; y = a

Suy ra px = - 3; py = 4

Đoạn BC: ta có l = cos(n,x) = 1; m = cos(n,y) = 0; x = 2a ; y = 0 ÷ a

Suy ra pxC = 0 , px

B = 6a ; py = -3

Đoạn CD: ta có l = cos(n,x) = 0; m = cos(n,y) = -1; x = -2a ÷2a; y = 0

Suy ra px = 3; py = -4

Đoạn DA: ta có l = cos(n,x) = -1; m = cos(n,y) = 0; x = -2a; y = 0 ÷ a

Suy ra pxD = 0, px

A = -6a; py = 3


20/44

Bài 15: Cho một tấm phẳng có hàm ứng suất 3

2(x,y)

xφ = + xy + 2xy

3


2.Viết biểu thức tính ứng suất ?\


Giải:


4 4 4

4 2 2 42 0

x x y y

(*)


2 42 2

2 4

2 4

2 4

4

2 2

x y 2y ; 2x ; 0x x x

x 4yx ; 4x ; 0y y y

0x y


2. Biểu thức tính ứng suất là

2 2 2

x y xy2 24x ; 2x ; (1 4y)

y x x y


x x yx y xy yp l m 4xl (1 4y)m;p l m (1 4y)l 2xm

Đoạn OA :ta có l = cos(n,x) = -1; m = cos(n,y) = 0; x = 0; y = 0 ÷ 40 Suy ra px = 0;

pyO = 1, py

A = 161

Đoạn OB :ta có l = cos(n,x) = 0; m = cos(n,y) = -1; x = 0 ÷ 100; y = 0 Suy ra px = 1;

pyO = 0, py

B = - 200


21/44

Đoạn AB :ta có

2 2 2 2

40 100l = cos n,x = = 0,37; m = cos n, y = = 0,93

40 +100 40 +100

Suy ra px = 4x.0,37 – (1+4y).0,93 = 1,48x – 3,72y - 0,93 ; py = -(1 + 4y).0,37 +2x.0,93

= 1,86x -1,48y – 0,37

Bài 16: Cho một tấm phẳng có hàm ứng suất 3 2 3(x,y)φ = x + 2xy xy


2.Viết biểu thức tính ứng suất ?


Giải:


4 4 4

4 2 2 42 0

x x y y

(*)



22/44

2 42 2 3

2 4

2 42

2 4

4

2 2

3x 2y y ; 6x ; 0x x x

4xy 3xy ; 6xy 4x ; 0y y y

0x y


2.Biểu thức tính ứng suất là

2 2 22

x y xy2 24x 6xy ; 6x ; (4y 3y )

y x x y


2 2x x yx y xy yp l m (4x 6xy)l (4y 3y )m ;p l m (4y 3y )l 6xm

Với hình chữ nhật OABC ta có

Đoạn OA :ta có l = -1; m = cos(n,y) = 0; x = 0 ; y = 0 ÷ a Suy ra px = 0 ; pyO = 0, py

A =

4a + 3a2

Đoạn AB :ta có l = 0; m = 1; x = 0 ÷ 1,5a; y = a Suy ra px = - (4a + 3a2 ); pyA = 0, py

B =

9a

Đoạn BC :ta có l = 1; m = 0; x = 1,5a; y = 0 ÷ a Suy ra pxB = (6a + 9a2 ); px

C = 6a; pyC

= 0, pyB = = - (4a + 3a2 )

Đoạn OC :ta có l = 0; m = -1; x = 0 ÷ 1,5a; y = 0 Suy ra px = 0; pyO = 0, py

C = -9a

Với hình thang OABC ta có


23/44

Đoạn OA :ta có l = -1; m = cos(n,y) = 0; x = 0; y = 0 ÷ a Suy ra px = 0 ; pyO = 0 ,py

A =

4a + 3a2

Đoạn AB :ta có l = 0; m = 1; x = 0 ÷ a; y = a Suy ra px = - (4a + 3a2 ); pyA = 0, py

B = 6a

Đoạn OC :ta có l = 0; m = -1; x = 0 ÷ 2a; y = 0 Suy ra px = 0; pyO = 0, py

C = -12a

Bài 17: Cho một thép dày 10 cm đường kính trong ống d = 30 cm ,ống chịu áp lực phía

trong là p = 20 kN/cm2, µ = 0,3

1.Tính ứng suất tại các điểm chính giữa chiều dày ống ?

2.Kiểm tra điều kiện bền của ống theo lý thuyết bền thứ 3 biết 216kN / cm

td3 1 3

Giải :

1.Ta có ứng suất tại các điểm chính giữa chiều dày ống là

2 2 2 2

r 2 2 2 2 2 2

a p b a p b1 ; 1

b a r b a r

(*)

Trong đó a = d/2 = 15 cm, b = 25 cm, r = a + h/2 = 15 + 10/2 = 20 cm. Thay vào biểu

thức ta được

2. Ta có vị trí nguy hiểm nhất tại r = a = 15 cm, thay vào (*) ta có các giá trị là 2 2

r 20kN / cm ; 42,5kN / cm Ta lại có đây là bài toán ứng suất phẳng nên suy ra σz = 0 Các ứng suất chính σ1 =

max{σr ; σθ ;σz } = 42,5 kN/cm2

σ2 = max{σr ; σθ ;σz }/{σ1}= 0 kN/cm2

σ3 = max{σr ; σθ ;σz }/{σ1,σ2}= - 20 kN/cm2

Suy ra σtđ3 = σ1 – σ3 = 62,5 kN/cm2 > 216kN / cm . Vậy ống không đảm bảo độ bền


24/44

Bài 18: Cho một ống thép có đường kính ngoài D = 36 cm ,đường kính trong d = 20

cm, chịu áp lực phía trong pa = 4000 daN/cm2, áp lực phía ngoài pb = 6000 daN/cm2.

Biết µ = 0,3.

1.Tính ứng suất tại mép trong cùng và mép ngoài cùng của ống ?

2.Tính các thành phần ứng suất chính tại mép trong cùng của ống ?

Giải:

1.Ta có a = d/2 = 10 cm; b = D/2 = 18 cm .Vậy ứng suất tại mép trong cùng r = a = 10

cm là

2 2 2 2 2 2 2 2b a a b

r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2b a a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b p p a p b p 10 .18 6000 4000 10 .4000 18 .6000. .

b a r b a 18 10 10 18 10

4000daN / cm

a b p p a p b p 10 .18 6000 4000 10 .4000 18 .6000. .

b a r b a 18 10 10 18 10

9785,71

2daN / cm

Ứng suất tại mép ngoài cùng r = b = 18 cm là

2 2 2 2 2 2 2 2b a a b

r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2b a a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b p p a p b p 10 .18 6000 4000 10 .4000 18 .6000. .

b a r b a 18 10 18 18 10

6000daN / cm

a b p p a p b p 10 .18 6000 4000 10 .4000 18 .6000. .

b a r b a 18 10 18 18 10

7785,71

2daN / cm

2.Ta lại có đây là bài toán biến dạng phẳng nên suy ra σz = µ( σr + σθ ) = - 4135,71

daN/cm2

Các ứng suất chính σ1 = max{σr ; σθ ;σz } = - 4000 daN/cm2

σ2 = max{σr ; σθ ;σz }/{σ1}= - 4135,71 daN/cm2

σ3 = max{σr ; σθ ;σz }/{σ1,σ2}= - 9785,71 daN/cm2

Bài 19: Cho một ống thép có đường kính ngoài D = 40 cm ,α = 0,7 chịu áp lực phía

ngoài là p.

Xác định áp lực lớn nhất có thể tác dụng vào ống biết 2100MN / m ?

Giải: (Sử dụng thuyết bền thứ 3)

Ta có d

0,7 d 0,7.40 28cmD


25/44

Ta xét ở mép trong của ống (r = a) và có giá trị 2

1td3 b 2 2

2bp

b a

Ta xét ở mép ngoài của ống (r = b) và có giá trị 2 2 2

2td3 b b b2 2 2 2

b a 2bp p p

b a b a

21 2

td3 td3 td3 b 2 2

2bMax ; p

b a

Trong đó a = r = 28/2 = 14 cm ; b = 40/2 = 20 cm ; pb = p thay vào ta có

2

2 2td3 2 2

2.20p 3,92p 10kN / cm p 2,55kN / cm

20 14

Bài 20: Trên biên một tấm nửa vô hạn đàn hồi, bề dày bằng 1 đơn vị ,chịu tác dụng của

lực như hình vẽ

1. Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm K ?

2. Biểu diễn các thành phần ứng suất đó ?

Giải :

1.Ta chọn trục y như trên hình vẽ.


26/44

Ta tính ứng suất tại điểm K lần lượt do các tải trọng gây ra.

* Xét khi lực tập trung P1 = 12 kN/m, ta chọn gốc tại điểm đặt lực trục XP1 hướng

xuống dưới .Vậy K (0,8,-0,3)

Ứng suất do P1 gây ra là

1

1

1

3 3(P ) 21

x 2 22 2 2 2

2 2(P ) 21

y 2 22 2 2 2

2 2(P ) 21

xy 2 22 2 2 2

2P x 2.12 0,8. . 7,34kN / m

x y 0,8 ( 0,3)

2P xy 2.12 0,8.( 0,3). . 1,03kN / m

x y 0,8 ( 0,3)

2P yx 2.12 ( 0,3).0,8. . 2,75kN / m

x y 0,8 ( 0,3)

* Xét khi lực tập trung P2 = 8 kN/m ,ta chọn gốc tại điểm đặt lực trục XP2 hướng xuống

dưới .Vậy K (0,8 ; 0)


2

2 2

3 3(P ) 22

x 2 22 2 2 2

2 2(P ) (P )2 2

y xy2 22 2 2 2

2P x 2.8 0,8. . 6,37kN / m

x y 0,8 0

2P xy 2P yx. 0; . 0

x y x y

* Xét khi lực tập trung P3 = 4 kN/m ,ta chọn gốc tại điểm đặt lực trục XP3 hướng xuống

dưới .Vậy K (0,8; 0,2)



27/44

3

3

3

3 3(P ) 23

x 2 22 2 2 2

2 2(P ) 23

y 2 22 2 2 2

2 2(P ) 23

xy 2 22 2 2 2

2P x 2.4 0,8. . 2,82kN / m

x y 0,8 0,2

2P xy 2.4 0,8.0,2. . 0,176kN / m

x y 0,8 0,2

2P yx 2.4 0,2.0,8. . 0,705kN / m

x y 0,8 0,2

* Ứng suất do q = 3 kN/m2 ta chọn gốc tại A .Ta có θ1 = -1402’ = -0,245 rad ,θ2 = 707’=

0,124 rad

2

1

2

1

2

1

(q) 2x

(q) 2y

(q) 2xy

q. 2 sin 2 0,69kN / m

2

q. 2 sin 2 0,01kN / m

2

q. cos2 0,04kN / m

2

|

|

|

Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có ứng suất tổng cộng tại K

2x

2y

2xy

7,34 6,37 2,82 0,69 15,84kN / m

1,03 0,0 0,176 0,01 1,196kN / m

2,75 0,0 0,705 0,04 2,085kN / m

2.Biểu diễn

Bài 21: Xác định ứng suất tại điểm M trong tấm nửa vô hạn đàn hồi như hình vẽ ?


28/44

Giải :

Ta chọn trục y như trên hình vẽ:

Ta tính ứng suất tại điểm M lần lượt do các tải trọng gây ra

* Xét khi lực tập trung P1 = 12 kN/m ,ta chọn gốc tại A trục x hướng xuống dưới. Vậy

M (4,-2)



29/44

1

1

1

3 3(P ) 21

x 2 22 2 2 2

2 2(P ) 21

y 2 22 2 2 2

2 2(P ) 21

xy 2 22 2 2 2

2P x 2.12 4. . 1,22kN / m

x y 4 ( 2)

2P xy 2.12 4.( 2). . 0,306kN / m

x y 4 ( 2)

2P yx 2.12 ( 2).4. . 0,6kN / m

x y 4 ( 2)

* Xét khi lực tập trung P2 = 8 kN/m, ta chọn gốc tại B trục x hướng xuống dưới .Vậy M

(4, -1)


2

2

2

3 3(P ) 22

x 2 22 2 2 2

2 2(P ) 22

y 2 22 2 2 2

2 2(P ) 22

xy 2 22 2 2 2

2P x 2.8 4. . 1,13kN / m

x y 4 ( 1)

2P xy 2.8 4.( 1). . 0,07kN / m

x y 4 ( 1)

2P yx 2.8 ( 1).4. . 0,282kN / m

x y 4 ( 1)

* Xét khi lực tập trung P3 = 4 kN/m, ta chọn gốc tại C trục x hướng xuống dưới .Vậy M

(4, -2)


3

3

3

3 3(P ) 23

x 2 22 2 2 2

2 2(P ) 23

y 2 22 2 2 2

2 2(P ) 23

xy 2 22 2 2 2

2P x 2.4 4. . 0,41kN / m

x y 4 2

2P xy 2.4 4.2. . 0,102kN / m

x y 4 2

2P yx 2.4 2.4. . 0,2kN / m

x y 4 2

* Ứng suất do q = 3 kN/m2 gây ra ta chọn gốc tại C. Ta có θ1 = 0, θ2 = 260 = 0,454 rad


30/44

2

1

2

1

2

1

(q) 2x

(q) 2y

(q) 2xy

q. 2 sin 2 0,81kN / m

2

q. 2 sin 2 0,057kN / m

2

q. cos2 0,184kN / m

2

|

|

|

Theo nguyên lý cộng tác dụng ta có ứng suất tổng cộng tại K

2x

2y

2xy

1,22 1,13 0,41 0,81 3,57kN / m

0,306 0,07 0,102 0,057 0,535kN / m

0,6 0,282 0,2 0,184 0,866kN / m

Bài 22:

1.Tính các thành phần ứng suất x y xy, , tại điểm M của cái chêm chịu lực như hình vẽ

?

2.Tính Max Min Max Min, , , trên đường ab ?

Giải: Ta chọn hệ trục như đánh dấu điểm như hình vẽ

1.Ta có điểm M (4,1), giả thiết ta có góc α = 30o = 0,523 rad. Vậy giá trị các ứng suất

cần tìm là

A B


31/44

3 32 2

x r 2 2o2 2 2 2

2 22 2

y r 2 2o2 2 2 2

2

xy r 2 o2 2

2P x 2.3 4cos . . 0,69kN / m

2 sin 2 2.0,523 sin 60x y 4 1

2P xy 2.3 4.1sin . . 0,064kN / m

2 sin 2 2.0,523 sin 60x y 4 1

1 2P yx 2.3 1sin 2 . .

2 2 sin 2 2.0,523 sin 60x y

22

22 2

.40,17kN / m

4 1

2.Ta có trên đường ab ứng suất pháp lớn nhất khi θ = 0 tại điểm O (4, 0) giao điểm của

trục x và ab có giá trị Max σx = - 0,78 kN/m2

Ứng suất pháp nhỏ nhất khi θ = 90 đạt được tại các điểm có tọa độ (4, ±∞) và có giá trị

Min σy = 0

Ứng suất tiếp lớn nhất và nhỏ nhất (Ta tính τ’xy = 0) đạt được tại điểm có tọa độ (4,

4 3

3 ) có giá trị τmax,min = ± 0,255 kN/m2.

Hết Chương!

Date post:	25-Nov-2023
Category:	Documents
Upload:	utc-vn
View:	0 times
Download:	0 times

P2: Hướng dẫn giải bài tập Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương Bài Toán Phẳng

Documents