Helder Sherer
Marcos Pistori Filho
Rafael Lira Bolzan
Victor Hugo
Projeto de um Servo de Velocidade para Motor CC de Imã
Permanente
Pato Branco
2012
Campus Pato
Branco
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
DISCIPLINA: SISTEMAS DE CONTROLE 2
PROFESSOR: RAFAEL CARDOSO
Helder Sherer
Marcos Pistori Filho
Rafael Lira Bolzan
Victor Hugo
Projeto de um Servo de Velocidade para Motor CC de Imã
Permanente
APS da disciplina de Sistema de Controle 2 apresentada no curso de Engenharia Elétrica, na Universidade Tecnológica Federal do Paraná -UTFPR, Campus Pato Branco.
Orientador: Rafael Cardoso.
Pato Branco
2012
Sumário
Introdução ......................................................................................................................... 4
Projeto de um Servo de Velocidade para Motor CC de imã Permanente ...................... 5
Simulação do Motor CC ................................................................................................. 5
Modelagem da Planta .................................................................................................... 8
Projeto do Controlador ................................................................................................ 12
Análise do Sistema com Distúrbio de Carga ............................................................... 17
Projeto Circuito Eletrônico do Controlador ................................................................ 23
Análise do Diagrama de Bode ..................................................................................... 24
Conclusão ........................................................................................................................ 27
Referências ...................................................................................................................... 28
Introdução.
O projeto em estudo é um servo de velocidade para um motor CC de imã
permanente. O motor utilizado é um Maxon F2260 com enrolamento 815, a
velocidade será medida a partir de um taco-gerador da Faulhaber modelo 2225.
Será desenvolvido um sistema de controle a partir de simulações feitas do motor
em estudo, após o desenvolvimento do controlador o sistema deverá satisfazer as
especificações do projeto. Comparações entre o sistema desenvolvido a partir de
simulações de desempenho do motor e feitas a partir da função de transferência serão
detalhadas. O controlador será projetado com o motor a vazio, posteriormente um
distúrbio de carga será aplicado no sistema.
As simulações serão feitas utilizando o software Matlab (Simulink), o software
Multisim também será utilizado para gerar o diagrama de Bode do circuito do
compensador. A validação do motor será feita pelo Simulink.
Todos os detalhes e gráficos de desempenho do sistema serão avaliados e
comparados com os resultados a partir da função de transferência do sistema,
conclusões e observações do projeto também serão detalhadas.
Projeto de um Sevo de Velocidade Para Motor CC de Imã Permanente.
Simulação do Motor CC.
Primeiramente foi simulado o motor em estudo (motor Maxon F2260
enrolamento 815), foi usado o software Simulink para tal. Para do desenvolvimento
dessa simulação foram obtidos dados e especificações do motor através do datasheet
referente ao mesmo. O esquemático e os parâmetros utilizados podem ser observados
nas figuras a seguir.
Figura 1: Esquemático do Motor CC.
Figura 2: Parâmetros do Motor CC.
Os parâmetros exigidos para a simulação são: resistência e indutância de
armadura, constante de torque, inércia do motor e coeficiente de atrito viscoso. Todos
os dados foram retirados do datasheet do motor CC.
Para a simulação foi utilizado uma fonte CC de 36 volts (tensão nominal do
motor), primeiramente a simulação foi feita com o motor a vazio, ou seja, sem carga.
Após a simulação foram obtidos os gráficos referentes à: velocidade, corrente de
armadura e torque elétrico. Os resultados e analises feitas a partir dos gráficos obtidos
são mostradas no decorrer das visualizações.
Figura 3: Velocidade a Vazio.
Ao analisar a Figura 3 percebesse que a velocidade do motor simulado é de 479,6
rad/s, em regime permanente, o que resulta em aproximadamente 4580,2 rpm, esse
resultado esta de coerente pois o datasheet informa que a velocidade a vazio do
motor é de 4580 rmp [3]. Cabe resaltar que o gráfico mostra gradativamente o
aumento da velocidade do motor e que entorno de 0.2 segundos o motor já se
encontra em regime permanente.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
X: 0.4
Y: 479.6
velocidade
tempo(s)
velo
cid
ade(r
ad/s
)
Figura 4: Corrente de Armadura.
O gráfico da corrente de armadura mostra que inicialmente a corrente é de
aproximadamente 12.5 A e vai caído gradativamente, isso ocorre, pois inicialmente
não há tensão induzida ou força contraeletromotriz, e ao decorrer do tempo essa
tensão vai aumentando e a queda de tensão encima da armadura diminui,
consequentemente a corrente diminui da mesma forma.
No datasheet do motor mostra que a resistência de armadura é de 2.87 ohms, e
a tensão nominal do motor é de 36 volts [3], assim pela lei de Ohm, temos:
Ou seja, tensão é igual a corrente vezes resistência, assim simplificando a
equação:
Observasse que a corrente calculada confere com a simulada, também pode ser
afirmado que em regime permanente a corrente de armadura é de 0.3443 A e que a
força contraeletromotriz é de aproximadamente 35.0147 volts.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
2
4
6
8
10
12
14
X: 0.4
Y: 0.3443
Corrente de Armadura
tempo(s)
Corr
ente
(A)
Figura 5: Torque elétrico.
O comportamento do torque elétrico é similar ao da corrente de armadura, para
melhor entendimento analisasse a equação do torque elétrico:
Percebesse que o toque é a corrente de armadura vezes a constante de torque,
isso explica o comportamento similar de ambos. Percebesse também que em regime
permanente o torque se estabiliza em um valor próximo de zero. Como o motor esta a
vazio esse torque em regime permanente é devido ao atrito do sistema.
Modelagem da Planta.
Para a determinação da função de transferência do motor CC (planta do sistema)
utilizasse uma serie de equações retiradas do circuito equivalente de tal. O circuito
equivalente da planta do sistema pode ser visualizado na figura 6.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Torque Eletrico
tempo(s)
Torq
ue e
letr
ico(N
.m)
Figura 6: Circuito Equivalente do Motor CC.
Assim podem ser encontradas as equações que representam o comportamento
do motor.
A equação (1) é obtida pela lei das tensões de Kirchhoff.
(1)
Onde:
: Tensão na armadura;
: Resistência de armadura;
: Corrente da armadura;
: Indutância de armadura;
: Tensão induzida ou Força contraeletromotriz;
Com base na lei de Faraday determinasse a equação (2) da tensão induzida.
(2)
Onde:
: Constante da tensão induzida.
: Velocidade Angular.
Se um condutor (armadura do motor CC) através do qual circula uma corrente corta as linhas de campo magnético [1], será produzido um torque, o qual é
representado pela equação (3).
(3)
Onde:
: Torque gerado pelo motor;
: Constante de torque;
Como a soma dos torques do sistema é igual ao torque gerado pelo motor [1], é
possível escrever a equação (4).
(4)
Mas como o a inércia do sistema é dada por:
(5)
Assim simplificando a equação (4), temos:
(6)
Onde:
: Torque produzido pela carga;
: Momento de inércia total do rotor e da carga em relação ao eixo do motor;
: Coeficiente viscoso;
A partir da equações (1), (2), (3), e (6) é possível determinar a planta do sistema,
mas primeiramente devemos passar tais equações para o domínio da frequência (s),
aplicando o transformada de Laplace.
(7)
(8)
(9)
(10)
A partir das equações é possível montar a planta do sistema, foi utilizado um
diagrama de blocos no para a representação.
Figura 7: Planta do Sistema.
Com o auxilio do MATLAB é possível determinar a função de transferência do
sistema:
Simulando G(s), temos:
Figura 8: Velocidade a Partir da Função de Transferência G(s).
Velocidade a Partir da F.T
tempo(s) (sec)
velo
cid
ade(r
ad/s
)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
System: untitled1
Time (sec): 0.198
Amplitude: 478
Percebesse que ambos os gráficos, da velocidade a partir do esquemático do
motor e velocidade a partir da função de transferência, estão de acordo.
Concluísse que as simulações estão coerentes com os dados específicos do
motor, e o sistema montado disponibilizará resultados satisfatórios com a prática.
Projeto do Controlador.
Primeiramente é simulado o sistema a malha fechada, figura 9, e analisasse as
especificações do projeto.
Figura 9: Resposta do Sistema a Malha Fechada.
Especificações do projeto:
Erro em regime permanente nulo para uma entrada degrau;
Sobressinal nulo;
Tempo de subida menor ou igual a 0.2 segundos;
Percebe que a resposta do sistema não tem sobre sinal e o tempo de subida é
adequado com as especificações do projeto, porem o erro em regime permanente não
esta de acordo para uma entrada degrau de 479 rad/s (4580 rpm). Lembrando que a
resposta do sistema na figura 9 é a vazio (motor sem carga).
O controlador adequado para o projeto é um controlador proporcional
integrativo (PI), pois o PI melhora a resposta em regime permanente e faz com que o
erro seja nulo [2].
Resposta do Sistema a Malha Fechada
tempo(s) (sec)
velo
cid
ade(r
ad/s
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
50
100
150
200
250
300
350
400
450
System: untitled1
Time (sec): 0.0119
Amplitude: 445System: untitled1
Rise Time (sec): 0.00443
Primeiramente analisasse o lugar das raízes do sistema não compensado.
Figura 10: Lugar das Raízes do Sistema não Compensado.
Os polos do sistema se encontram em -30,2 e -3090,0, para anular o erro
devesse colocar um polo encima da origem e para não modificarmos o L.R atual, para
que não ocorra sobressinal ou que aumente o tempo de subida, colocasse um zero
entre a origem e -30,2.
Percebesse também, na figura 10, que o valor máximo de ganho para que não
ocorra sobressinal deve ser 1,98. Com essas informações já é possível determinar as
constantes e o zero do controlador.
Para não alterar o L.R não compensado foi escolhido um zero próximo do polo da
planta.
(valor do zero escolhido).
L.R do Sistema não Compensado
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ario
-3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
System: Gs
Gain: 0
Pole: -3.09e+003
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 3.09e+003
System: Gs
Gain: 0.0173
Pole: -37.3
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 37.3
System: Gs
Gain: 1.98
Pole: -1.56e+003 + 346i
Damping: 0.976
Overshoot (%): 0.0001
Frequency (rad/sec): 1.6e+003
E como o ganho máximo para que não ocorra sobressinal é de 1,98, a constante
deve ser menor que esse valor máximo. Então o valor escolhido é de:
Consequentemente:
Com o novo zero e o polo do compensador o L.R compensado será:
Figura 11: L.R do Sistema Compensado.
Lembrando que na figura 11 não mostra o outro polo da planta, localizado em
3090,0.
Assim o compensador é dado por:
L.R do Sistema Compensado
Eixo Real
Eix
o Im
agin
ario
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
System: untitled1
Gain: Inf
Pole: -29
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 29
System: untitled1
Gain: 0.000715
Pole: -30.2
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 30.2
System: untitled1
Gain: 6.97e-006
Pole: -0.0053
Damping: 1
Overshoot (%): 0
Frequency (rad/sec): 0.0053
A equação do sistema compensado a malha aberta é:
Fechando a malha do sistema:
A resposta do sistema compensado pode ser visualizada na figura 12.
Figura 12: Sistema Compensado e Sistema não Compensado.
Após a compensação do sistema percebesse que o erro zerou o tempo de subida
diminuiu (o sistema se tornou mais rápido), e não houve sobressinal.
Resposta do Sistema a Malha Fechada
tempo(s) (sec)
velo
cid
ade(r
ad/s
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
System: untitled2
Rise Time (sec): 0.00443
System: untitled1
Rise Time (sec): 0.00211
System: untitled1
Peak amplitude >= 479
Overshoot (%): 0
At time (sec) > 0.012
System: untitled2
Peak amplitude >= 445
Overshoot (%): 2.22e-014
At time (sec) > 0.012
Abaixo o esquemático sistema compensado:
Figura 13: Esquemático do Sistema Compensado.
A Resposta do Sistema:
Figura 14: Resposta do Sistema Compensado a Partir do Simulink.
Ambas as simulações estão coerentes, tanto a obtida a partir da F.T como a obita
através do Simulink. Notasse também estão com erro nulo, ou seja, se estabilizam em
479 rad/s, o que equivale a 4580 rpm.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
X: 0.0119
Y: 479.4
Resposta Compensada a Partir do Esquematico do Motor
tempo(s)
velo
cid
ade(r
ad/s
)
Abaixo o gráfico da ação de controle do sistema:
Figura 15: Ação de Controle.
A figura 15 mostra que para o sistema manter o equilíbrio o controlador PI deve
fornecer inicialmente um ganho de 900. Percebesse que ao decorrer do tempo a
sistema tente a entrar em regime permanente e consequentemente o ganho
necessário para o sistema se estabilizar é menor que o inicial. Em outras palavras, o
controlador libera mais ganho inicialmente pois o motor esta parado, e a partir do
momento que o motor se encontra em regime estacionário o controlador liberará
somente um ganho necessário para o mesmo manter a velocidade.
Análise do Sistema com Distúrbio de Carga.
Outra etapa do projeto é a analise do motor com distúrbio carga, primeiramente
usasse um distúrbio de torque Gaussiano, com média de 200mNm e variância de
1mNm. A resposta é obtida a partir da F.T do sistema.
Teoricamente o a resposta do sistema deve se manter de acordo com as
especificações do projeto, independentemente se o motor esta a vazio ou com carga.
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120
100
200
300
400
500
600
700
800
900Ação de Controle
tempo(s)
ganho
Com o distúrbio de carga Gaussiano (figura 16) é analisado a resposta o sistema
o qual é observado na figura 17.
Figura 16: Distúrbio Gaussiano de 200 mNm e Variância de 1 mNm.
Figura 17: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 1mNm.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3Disturbio Gaussiano de Carga
tempo(s)
am
plit
ude
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100
0
100
200
300
400
500
X: 1.973
Y: 479
Sistema com Disturbio de Carga
tempo(s)
velo
cid
ade (
rad/s
)
sistema compensado
sistema não compensado
Após o distúrbio de carga no sistema o sistema compensado mostrou-se
satisfatório, o erro em regime estacionário foi nulo, ou seja, o sistema se estabilizou
em 479 rad/s (aproximadamente 4580 rpm) e o tempo de subida foi muito inferior a
0,2 segundos e também não teve nenhum sobressinal, o qual era especificado no
projeto.
Comparando as duas respostas do sistema percebesse claramente que o sistema
compensado teve melhor comportamento em regime estacionário e a oscilações
devido ao distúrbio da carga praticamente sumiram.
Agora alterasse o distúrbio de carga para 200 mNm e variância de 30 mNm.
Figura 18: Distúrbio Gaussiano de 200 mNm e Variância de 30 mNm.
Notasse que o agora o distúrbio de carga mudou, para uma variância de 30
mNm, ou seja, a carga no motor é aumentada. Analisaremos se mesmo com o
aumento da carga no motor o sistema se comportara da mesma forma.
As duas respostas (compensada e não compensada) podem ser obsevadas na
figura 19.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6Disturbio Gaussiano de Carga
tempo(s)
am
plit
ude
Figura 17: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 30mNm.
Com o aumento da variância do distúrbio da carga, as oscilações foram mais
bruscas, o qual é bem notável no sistema não compensado. O sistema compensado se
mostrou mais uma vez satisfatório, e todas as especificações do projeto foram
atendidas, há alguma pequena oscilação ainda em regime permanente, devido à carga,
porem isso é insignificante para o desempenho do sistema.
Em sequencia simulasse a resposta compensada com o distúrbio de carga a partir
do esquemático do motor (figura 18), utilizasse o simulink para tal.
Figura 18: Esquemático do Sistema Compensado.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-100
0
100
200
300
400
500
X: 1.982
Y: 479
Sistema com Disturbio de Carga
tempo(s)
velo
cid
ade (
rad/s
)
sistema compensado
sistema não compensado
Primeiramente simulasse com distúrbio Gaussiano de 200mNm e variância
1mNm (figura 19), em seguida mudasse a variância para 30mNm (figura 20).
Figura 19: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 1mNm.
Figura 20: Resposta do Sistema com Distúrbio de Carga de 200mNm e Variância de 30mNm.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
X: 1.771
Y: 479
Sistema com Disturbio de Carga a Partir do Esquematico do Motor
tempo(s)
velo
cid
ade (
rad/s
)
Sistema Compensado
sistema Não Compensado
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
X: 1.984
Y: 479
Sistema com Disturbio de Carga a Partir do Esquematico do Motor
tempo(s)
velo
cid
ade (
rad/s
)
Sistema Compensado
sistema Não Compensado
Após simulações, notasse que as respostas do sistema compensado a partir da
F.T e A partir do esquemático do motor são exatamente iguais. Isso prova que as F.T
do motor e do compensador estão fiéis ao modelo pratico.
Projeto Circuito Eletrônico do Controlador.
Para o projeto eletrônico do controlador, devesse partir da função de
transferência do controlador em estudo.
Simplificando a equação:
Comparando a equação da F.T do controlador com a equação genérica do
controlador PI, temos:
Comparando as duas equações, e analisando os valores comerciais de resistores
e capacitores:
= 3,3 Ω
= 6,2 Ω
= 5,6
Assim o circuito pode ser projetado e dimensionado com precisão. Lembrando
que a equação genérica do controlador PI foi obtida através do circuito equivalente do
controlador, o qual pode ser visualizado na figura 18.
Figura 21: Circuito Eletrônico do Controlador PI.
Obsevasse também no circuito do controlador usa um amplificador operacional
(AmpOp), para esse projeto utilizamos o CI TL084, o qual possui 4 AmpOp e tem
alimentação simétrica de 15 volts [5].
Para a analise do diagrama de Bode do controlador usasse o software Multsim
para simular o circuito de tal e a geração do diagrama de Bode, em seguida,
analisaremos o diagrama de Bode a partir da F.T do compensador. As comparações e
analises dos dois diagramas estão ao decorrer das simulações.
Análise do Diagrama de Bode.
Primeiramente foi simulado o diagrama de bode a partir do circuito da figura 18
(circuito do comparador PI), para a simulação foi utilizado o software Multisim.
Abaixo foi simulado o a curva de ganho do diagrama de Bode.
Figura 22: Ganho do Diagrama de Bode a partir do Circuito do Compensador.
Percebesse que a curva do diagrama de bode de ganho se estabiliza em
aproximadamente 5,48 dB.
Abaixo foi simulado o a curva de fase do diagrama de Bode.
Figura 23: Fase do Diagrama de Bode a partir do Circuito do Compensador.
A partir da F.T do compensador, simulasse o diagrama de Bode de ganho e fase,
para a simulação foi utilizado o software Matlab.
Figura 24: Diagrama de Bode de Ganho e Fase a partir da F.T do Compensador.
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
5
10
15
20
25
30
35
System: Cs
Frequency (rad/sec): 300
Magnitude (dB): 5.48
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
-90
-45
0
Phase (
deg)
Ao analisarmos ambos os gráficos (obtidos a partir do circuito eletrônico e a
partir da F.T) percebesse que ambos estão muito semelhantes, isso mostra que o
dimensionamento dos resistores e do capacitor para a foram feitos de acordo, e o
comportamento do circuito eletrônico do compensador vai responder com exatidão,
notasse também que o diagrama de Bode de ganho de ambos os gráficos se estabiliza
em aproximadamente 5,48 dB, isso mostra mais uma vez que os resultados estão
coerentes.
Conclusão.
Ao termino deste projeto concluísse que os experimentos e resultados foram
satisfatórios e o sistema comportou-se como esperado. Primeiramente foi realizado
simulações de desempenho do motor, as quais tiverem resultados compatíveis com o
datasheet do mesmo.
O desenvolvimento do compensador foi feito com exatidão, após a analise da
resposta em M.F do sistema, concluísse que o compensador adequado para o sistema
seria um Proporcional Integrativo (PI). Foi usada a técnica do lugar das raízes para a
obtenção da função de transferência do compensador. O projeto de controle foi
realizado com o motor a vazio, posteriormente foi colocado um distúrbio de carga no
sistema compensado, o qual o sistema se mostrou como o esperado e os resultados
satisfizeram as especificações do projeto.
Para todo o processo foi realizado ensaios a partir da F.T do sistema e a partir do
esquemático do sistema no Simulink. Ambos os ensaios tiveram os mesmo resultados,
isso comprova que os cálculos teóricos mantiveram a fidelidade com sistema
mecânico. Cabe resaltar que o desempenho real do sistema também teve grande
desempenho, ao simularmos o diagrama de Bode do compensador os resultados a
partir do circuito projetado (Multisim) e através da F.T do compensador tiveram o
mesmo comportamento, isso comprova que o circuito eletrônico do compensador
trabalhará com fidelidade ao modelo teórico.
Referências.
[1]-Nise, Norman S., Engenharia de Sistemas de Controle, 3 a Edição, Editora LTC,
Rio de Janeiro, 2002.
[2]-Ogata, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno, 3 a Edição, Editora LTC,
Rio de Janeiro, 1998.
[3]-Datasheet Motor Maxon F2260 enrolamento 815.
[4]-Datasheet Taco-Gerador Faulhaber 2225.
[5]-Datasheet Tl084 Texas Instruments.
