Renormalization in QED

Παναγιώτης Καλύβας

15 Μαΐου 2014

Renormalization in QED

Περίληψη

Θα δούμε μια συγκεκριμένη τεχνική για επακανονικοποίηση που καλε-

ίται Dimensional Renormalization(DR) . Εδώ χρησιμοποιούμε την κβαντικήηλεκτροδυναμική αλλά μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε θεωρία.

1 Εισαγωγή

Πολλές τεχνικές έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια στην κβαντική θεωρία

πεδίου. Η συγκεκριμένη εργασία θα εντοπίσει όσο πιο πρακτικά μπορεί τα προ-

βλήματα της επακανονικοποίησης για να ¨αυτοματοποιήσει’ την διαδικασία

2 Επανακανονικοποίηση σε ένα βρόχο (one-loop)

Ξεκινάμε από την lagrangian της QED

L = −1

4FµνF

µν − 1

2ξ(∂A)2 + ψ(i6∂ + eA−m)ψ (1)

Οι ελεύθεροι propagators (διαδότες) είναι: Φερμιόνιο

p

i

6p−m+ iε≡ S0(p) (2)

Φωτόνιο

kµ kν

−i[ gµνk2 + i

+ (ξ − 1)kµkν

(k2 + iε)2] = −i(gµν −

kµkνk2

)1

k2 + iε+ ξ

kµkνk4 ≡ G0

µν(k)

(3)

1

Κορυφή

p′

p

ieγµ (4)

Θα μελετήσουμε πρώτης τάξης βρόχους σε διαδότες και κορυφή(vertex ).Θα

χρησιμοποιήσουμε βαθμίδα Faynman (ξ = 1)

2.1 Πολικότητα κενού(Vacuum polarization )

Η πρώτη τάξη συνεισφορά στο διαδότη του φωτονίου δίνεται από το διάγραμμα 1:

Η συνεισφορά του συγκεκριμένου διαγράματος την ονομάζουμε

G(1)µν (k) ≡ G0

µµ′ iΠµ′ν′ (k)G0ν′ν

(k) (5)

΄Οπου:

iΠµν(k) = −(ie)2∫

d4p

(2π)4Tr(γµ

i

6p−m+ iγνγν

i

6p+ 6k −m+ iε) =

= −e2∫

d4p

(2π)4Tr[γµ(6p+m)γν(6p+ 6k +m)]

(p2 −m2 + iε)((p+ k)2 −m2 + iε)(6)

Ας υπολογίσουμε ξεχωριστά τον αριθμητή:

Tr[γµ( 6p+m)γν(6p+6k+m)] = Tr[γµ 6pγν 6p+γµ 6pγν 6k+γµ 6pγνm+γµmγν 6p+γµmγν 6k+γµmγνm]

= Tr[16PµPν + 16Pµkν + γµγµPµγνm+ γµmγνγ

νPνγµmγµγµkν

+ γµγνm2] (7)

διότι γµγµPµγνγ

νPν = 16PµPν και γµγµ = 4I4 Επομένως:

Tr[16PµPν + 16Pµkν + 8γµPνm+ 4γµmkν + γµγνm2] =

= Tr[16PµPν + 16Pµkν − 8PνPµ − 8Pµkν

− 4γµPµkν + 4γµk2 + (2gµν − γµγν)m2]

= 4(2PµPν + Pµkν − gµν(P 2 + ~P · ~k −m2)) ≡ Nµν (8)

2

Συνολικά έχουμε:

iΠµν = −4e2∫

d4p

(2π)2Nµν

(p2 −m2 + iε)((p+ k)2 −m2 + iε)(9)

Το ολοκλήρωμα iΠµν έχει λογαριθμική απειρία γιατί είναι της μορφής:∫d4pp4 .

Επίσης ορίζουμε την ποσότητα ε = 4 − d. Η βασική ιδέα στην διαστατική

ομαλοποίηση είναι ένα ολοκλήρωμα το οποίο αποκλίνει στις 4 διαστάσεις να συγ-

κλίνει αν μειώσουμε τις διαστάσεις. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος γίνεται

αρχικά σε διάσταση d < 4 και στη συνέχεια με αναλυτική επέκταση εκφράζουμε

το ολοκήρωμα ως συνάρτηση του d. Η απειρία εμφανίζεται ως πόλος για d = 4.Για d = 4−ε διαστάσεις τα πεδία Aµ, ψ έχουν διαστάσεις που υπολογίζονται από

την απαίτηση η δράση να είναι αδιάστατη. S =∫ddx[− 1

4 (∂µAν − ∂νAµ)2 − ψ 6∂ψ]

0 = −d+ 2 + 2[Aµ]

0 = −d+ 1 + 2[ψ]

[Aµ] =1

2(d− 2)

[ψ] =1

2(d− 1)

Και για τους όρους αλληλεπίδρασης:Si =∫ddxeψγµψAµ Πρέπει: 0 = −d+ [e] +

2[ψ] + [Aµ][e] = ε/2 (10)

΄Αρα για d 6= 4 η σταθερά σύζευξης της QED έχει διαστάσεις. Για να δουλεύουμε

με αδιάστατη σταθερά σύζευξης κάνουμε την αλλαγή e → eµε/2 όπου το µ έχει

διαστάσεις μάζας. Γράφουμε το Πµnu σε διάσταση d:

iΠµν(k, ε) = −4e2µε∫

ddp

(2π)dNµν

(p2 −m2 + iε)((p+ k)2 −m2 + iε)(11)

Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τις παραμετρους του Feynman ώστε να α-

πλοποιήσουμε το παρανομαστή του ολοκληρώματος. Σύμφωνα με τον τύπο:1ab =∫ 1

0dx

[ax+b(1−x)]2

iΠµν(k, ε) = −4e2µε∫ 1

0

dx

∫ddp

(2π)dNµν

[x(p+ k)2 − xm2 + (1− x)(p2 −m2) + iε]2=

= −4e2µε∫ 1

0

dx

∫ddp

(2π)dNµν

[p2 + kpx+ xk2 −m2 + iε]2=

= −4e2µε∫ 1

0

dx

∫ddp

(2π)dNµν

[(p+ kx)2 + k2x(1− x)−m2 + iε]2(12)

Αλλαγή μεταβλητών: p→ p− kx και έχω

iΠµν(k, ε) = −4e2µε∫ 1

0

dx

∫ddp

(2π)dNµν(p− kx, k)

[p2 − C + iε]2(13)

όπου C = m2 − k2x(1− x) Θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα∫ddp

(2π)2pµ

[p2 − C + iε]2

3

και ∫ddp

(2π)2pµpν

[p2 − C + iε]2

Επειδή όμως gµνgµν = d⇒ pµpν = 1

dgµνp2∫

ddp

(2π)2pµpν

[p2 − C + iε]2=

1

dgµν

∫ddp

(2π)dp2

[p2 − C + iε]2(14)

τα οποία θα λυθούν με την μέθοδο της στροφής Wick.

2.2 Στροφή Wick (Wick rotation)

Από τα παραπάνω καταλήγουμε σε ολοκληρώματα της μορφής:

Ir,m =

∫ddk

(2π)dk2r

[k2 − C + iε]m(15)

΄Οπου r,m τυχαίοι ακέραιοι αριθμοί.Από το θεώρημα του Cauchy για τα ολοκλη-

ρώματα στο μιγαδικό επίπεδο μπορούμε να αλλάξουμε τους άξονες από παραγμα-

τικούς σε φανταστικούς γράφοντας:

k0 = ik0E ,

∫ +∞

−∞dk0 → i

∫ +∞

−∞dk0E

k2 = (k0)2 − |~k|2 = −(k0E)2 − |~k|2 ≡ −k2Eόπου kE = (k0E ,

~k) ευκλείδιο τετραδιάνυσμα το οποίο σημαίνει ότι χρησιμοποιούμε

την ευκλείδια μετρική (+,+,+,+) για το γινόμενο k2E = (k0E)2 + |~k|2 ΄Υστερα

από αυτά το Ir,m γίνεται:

Ir,m = i(−1)r−m∫

ddkE(2π)d

k2r

[k2E + C]m

για d < 2(m − r) ώστε να συγκλίνει για kE → ∞ και πετάμε το iε γιατί C > 0Το διαφορικό στο ολοκλήρωμα μπορεί να γραφτεί:∫

ddkE =

∫dkkd−1dΩd−1

όπου k =√

(k0E)2 + (~k)2 είναι το μέτρο του kE στον ευκλείδιο χώρο των d δια-

στάσεων και το dΩd−1 είναι η γενίκευση των σφαιρικών d− 1 χωρικών συντεταγ-

μενων. Ισχύει ότι:

kE = k(cosθ1, sin θ1 cos θ2, sin θ1 sin θ2, sin θ1 sin θ2 cos θ3, ..., sin θ1 · · · sin θd−1)

dΩd−1 =

∫ π

0

sin θd−11 dθd−1 · · ·∫ π

0

dθd−1∫ π

0

sin θmdθ =√π

Γ(m+12 )

Γ(m+22 )

dΩd−1 =

∫ 2π

0

θ1

∫ π

0

dθ2 sin θ2

∫ π

0

dθ3 sin2 θ3...

∫ π

0

dθd−1 sind−2 θd−1

(16)

4

dΩd−1 =2πd/2

Γ(d/2)

Η ολοκλήρωση του k γίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:∫ ∞0

dxxp

(xn + an)a= π(−1)a−1ap+1−nq Γ(p+1

n )

n sin(π p+1n )Γ(p+1

2 − q + 1)

και το Ir,m γίνεται:

Ir,m = iCr−m+d/2 (−1)r−m

(4π)d/2Γ(r + d/2)Γ(m− r − d/2)

Γ(d/2)Γ(m)(17)

Η σχεση αυτή μπορεί αναλυτικά να καλύψει όλες τις δυνατές τιμές του d εκτός των

πόλων της Γ(m− r− d/2) δηλαδή m− r− d/2 6= 0,−1,−2, ... Θα ξαναγράψουμε

το Ir,m ως προςε δηλαδή d = 4− ε γιατί θα μας χρειαστεί στη συνέχεια.

Ir,m =i(−1)r−m

(4π)2(4π

C)ε/2C2+r−mΓ(2 + r − ε/2)Γ(m− r − 2 + ε/2)

Γ(2− ε/2)Γ(m)(18)

Γυρνάμε τώρα στον υπολογισμό του Πµν αφού υπολογίσαμε όλα τα ολοκληρώματα

που χρειάζονται.Είχαμε κάνει αλλαγή μεταβλητών p→ p− xk και είχαμε:

Nµν(p− kx, k) = 2pµpν + 2x2kµkν − 2xkµkν − gµν(p2 + x2k2 − xk2 −m2)

iΠµν(k, ε) = −4e2µε∫ 1

0

dx

∫ddp

(2π)dNµν(p− kx, k)

[p2 − C + iε]2

Σύμφωνα με τα ολοκληρώματα που υπολογίσαμε με τη στροφή Wick:

µε∫

ddp

(2π)dNµν(p− kx, k)

[p2 − C + iε]2=

µε[

∫ddp

(2π)d[

2pµpν(p2 − C + iε)2

+2x2kµkν

(p2 − C + iε)2+ gµν

(p2 + x2k2 − xk2 −m2)

(p2 − C + iε)2]] =

=2

dgµνµ

εI1,2−gµνµεI1,2−2x(1−x)kµkνµεI0,2+(x2−x)k2gµνµ

εI0,2+gµνm2µεI0,2

(19)

Μπορούμε να πούμε ότι:

µεI0,2 =i

16π2(4πµ2

C)ε/2

Γ(ε/2)

Γ(2)

και για μικρά ε

Γ(ε/2) =2

ε− γ +O(ε)

΄Αρα έχουμε

µεI0,2 =i

16π2(2

ε− γ + ln 4π − ln(

C

µ2)) +O(ε) (20)

και κάνουμε τις ίδιες προσεγγίσεις για το I1,2

µ2I1,2 = − i

16π2(4πµ2

C)ε/2C

Γ(3− ε/2)Γ(−1 + ε/2)

Γ(2− ε/2)Γ(2)=

i

16π2C(1+2∆ε−2 ln(

C

µ2))+O(ε)

(21)

5

όπου ∆ε = 2ε − γ+ ln(4π). Λόγω της ύπαρξης πόλων στο 1/ε προσεγγίσαμε όλες

τις προηγούμενες εξισώσεις μέχρι το O(ε) οπότε έχουμε ότι:2d − 1 = 2

4−ε − 1 =

−1/2 + 18ε+O(ε) Αντικαθιστώντας στην (19):

(19) = gµν [−1

2+

1

8ε+O(ε)][

i

16π2C(1 + 2∆ε− 2 ln(

C

µ2)) +O(ε)]+

[−2x(1− x)kµkν + x(1− x)k2gµν + gµνm2][

i

16π2(∆ε− ln(

C

µ2)) +O(ε)] =

= − i

16π2kµkν [(∆ε− ln(

C

µ2))2x(1− x)]+

i

16π2gµνk

2[∆ε(x(1−x))+x(1−x)+ln(C

µ2)(−x(1−x)−x(1−x))+x(1−x)(1/2−1/2)]+

i

16π2gµνm

2[∆ε(−1 + 1) + ln(C

µ2)(1− 1) + (−1/2 + 1/2)] =

=i

16π2(∆ε− ln(

C

µ2))(gµνk

2 − kµkν)2x(1− x) (22)

Επομένως:

Πµν = −4e21

16π2(gµνk

2 − kµkν)

∫ 1

0

dx2x(1− x)(∆ε− ln(C

µ2)) (23)

Και ορίζουμε

Πµν = −(gµνk2 − kµkν)Π(k2, ε) (24)

Πριν δείξουμε πως να νορμαλίζουμε την ποσότητα Πµν θα την αναλύσουμε. Στην

κβαντική θεωρία πεδίου ο διαδότης ενός σωματιδίου χρησιμοποιείται για τον υπο-

λογισμό του πλάτους πιθανότητας για το σωματίδιο να αλλάξει θέση σε δεδομένο

χρόνο ή να αλλάξει δεδομένη ενέργεια και ορμή. Στα διαγράμματα Feynman οι

διαδότες είναι το αντίστροφο της κυματοσυνάρτησης του σωματιδίου που αντιστοι-

χούν που συχνά καλούνται Green’s functions .

Γνωρίζουμε από τη θεωρία του μαθήματος ότι ο διαδότης του ελεύθερου φω-

τονίου είναι:−igµν

k2 το οποίο ισχύει για την βαθμίδα Feynman. Εδώ θα κάνουμε

τους υπολογισμούς για γενική βαθμίδα ξ στην οποία ο διαδότης γίνεται:

iGµν = (gµν −kµkνk2

)1

k2+ ξ

kµkνk4

= PTµν1

k2+ ξ

kµkνk4≡ iG0T

µν + iG0Lµν (25)

Εισάγοντας τον εγκάρσιο προβολικό(trasversal projector)τανυστή. Αυτό που

κάνουμε είναι να αναλύσουμε τον δαδότη σε εγκάρσιο και διαμήκες κομμάτι όπως

κάνουμε στον κλασικό ηλεκτρομαγνητισμό για τις λύσεις των εξισώσεωνMaxwell.

PTµν = (gµν −kµkνk2

)

και ικανοποιεί τις εξής σχέσεις:

kµPTµν = kµ(gµν −

kµkνk2

) = kν −kmukµkν

k2= kν − kν = 0 (26)

6

και επίσης:

PTνµ PTνρ = (gνµ−kµk

ν

k2)(gνρ−

kνkρk2

) = gνµgνρ−gνµkνkρk2−gνρ

kµkν

k2+kµk

νkνkρk4

=

= gµρ −kµkρk2− kµkρ

k2+kµkρk2

= PTµρ (27)

Επομένως έχουμε τις εξής σχέσεις:

Gµν = GTµν +GLµν (28)

GTµν = PTµνGµν (29)

Είναι τετριμένο ότι:

iΠµν(k) = −ik2PTµνΠ(k) (30)

Τώρα θέλουμε να υπολογίσουμε το GTµν .Η ποσότητα αυτή από μαθηματική σκο-

πιά είναι ένα αντικείμενο το με 2 δείκτες και από φυσική σκοπιά θα πρέπει να

περιγράφει τη διάδοση ένός φωτονίου και επιπλέον να περιέχει όλες τις δυνατές

αλληλεπιδράσεις του φωτονίου με το κενό. Αυτό μπορεί να περιγραφεί από ένα

άπειρο άθροισμα όλων των δυνατών αλληλεπιδράσεων με το κενό μέσω αλλεπάλ-

ληλων δίδυμων γεννήσεων, με άλλα λόγια:

και επίσης ο κάθε όρος να έχει δύο δείκτες:

GTµν = PTµν1

k2+ PT

µµ′1

k2iΠµ′ν′ (k)(−i)PT

ν′ν

1

k2

+ PTµρ1

k2iΠρλ(k)PTλτ

1

k2iΠτσ(k)PTσν

1

k2=

= PTµν1

k2+ PT

µµ′1

k2(−i)k2PTµ

′ν′

Π(k)(−i)PTν′ν

1

k2+

+ PTµρ1

k2(−i)k2PTρλΠ(k)(−i)PTλτ

1

k2(−i)k2PTτσΠ(k)(−i)PTσν

1

k2+ ... =

= PTµν1

k2[1−Π(k) + Π2(k2) + ...] (31)

το οποίο δίνει από τον τύπο της γεωμετρικής σειράς

iGTµν = PTµν1

k2[1 + Π(k)](32)

Μέχρι τώρα είδαμε ότι η διαδικασία του υπολογισμού των διαγραμμάτων μέσω της

διαστατικής ομαλοποίησης εισήγαγε μία γενική παράμετρο µ η οποία είναι αναγκα-

ία για να κρατήσουμε αδιάστατη την δράση S. Επίσης είδαμε ότι εισάγοντας την

αλληλεπίδραση του φωτονίου με τον βρόχο των φερμιονίων, θα πρέπει με κάποιο

7

τρόπο αυτή την αλληλεπίδραση να τη περάσουμε στην λαγκρατζιανή μας ώστε η θε-

ωρία να περιέχει του όρους αλληλεπίδρασης. Για τους λόγους αυτούς οι καινούργοι

όροι θα είναι διαταραχές των αρχικών όρων της θεωρίας χωρίς αλληλεπιδράσεις.

Για το φωτόνιο θα έχουμε:

∆L =1

4FµνF

µν − 1

4Z3FµνF

µν = −1

4δZ3FµνF

µν(33)

΄Οπου το Z3 δείχνει το πόσο μεγάλη μπορεί να γίνει η διαταραχή. Επειδή όμως

αυτό εξαρτάται από το είδος του κενού που έχουμε, το Z3 είναι η πιθανότητα

να δημιουργηθεί μια νέα κατάσταση από το κενό και ονομάζεται Field StrengthRenormalization .

Η ποσότητα δZ3 θα πάει σε όλα τα μεγέθη που σχετίζονται με τον κινητικό

όρο του φωτονίου.

Διαδότης: −iδZ3k2(gµν − kµkν

k2 )

iΠµν = −i(Π(k, ε) + δZ3)PTµν (34)

Και θέτουμε: Π(k, ε)→ Π(k, ε) + δZ3 Επομένως έχουμε:

iGTµν = PTµν1

k21

1 + Π(k, ε) + δZ3(35)

Στο όριο k = 0 πρέπει να πέρνουμε τον διαδότη χωρίς διαταραχές.

Π(k, ε) + δZ3 = 0

δZ3 = −Π(0, ε) =2a

π

∫ 1

0

dxx(1− x)[∆ε− lnm2

µ2] = − a

3π[∆ε− ln

m2

µ2] (36)

Τελικά ο επακανονικοποιημένος διαδότης του φωτονίου από την (28) είναι:

iGµν(k) =PTµν

k2[1 + Π(k, ε)−Π(0, ε)]+ iGLµν (37)

3 Ιδιοενέργεια του ηλεκτρονίου(electron’s selfenergy)

Η περισσότερη δουλειά έχει ήδη γίνει στο φωτόνιο οπότε θα προχωρίσουμε λι-

γότερο αναλυτικά σε αυτό το κεφάλαιο.Ουσιαστικά θα κάνουμε τις ίδιες πράξεις

και προσσεγίσεις με τη διαφορά ότι εκεί που είχαμε −iΠµν θα έχουμε −iΣ(p)για irreducible διαγράμματα.Επίσης για το ελεύθερο διαδότη iGµν θα έχουμε το

S0(p). Θεωρώντας ότι ο διαδότης του ηλεκτρονίου είναι ένα άπειρο άθροισμα

διαγραμμάτων ως εξής:

8

S(p) = S0(p) + S0(p)(−iΣ(p))S0(p) + ... = S0(p)[1− iΣ(p)S(p)] (38)

Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά με S−10 (p) και από δεξιά με S−1(p) παίρνουμε:

S−10 (p) = S( − 1)(p)− iΣ(p) (39)

Και χρησιμοποιώντας την έκφραση για τον ελεύθερο διαδότη του ηλεκτρονίου:

S0(p) =i

6p−m⇒ S−10 (p) = −i( 6p−m) (40)

΄Εχουμε

S−1(p) = S−10 (p) + iΣ(p) = −i[6p− (m+ Σ(p))] (41)

Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρέπει να υπολογίσουμε το Σ(p) σε όλες τάξεις

της διαταραχής για να βρούμε τον πλήρη διαδότη του ηλεκτρονίου. Το Σ(p) ονο-

μάζεται ιδιοενέργεια του ηλεκτρονίου από την τελευταία εξίσωση που βλέπουμε ότι

η μάζα παίρνει μία συνησφορά ενέργειας που εξαρτάται από την ορμή. Σε πρώτη

τάξη της θεωρίας διαταραχών πρέπει να υπολογίσουμε το εξής διάγραμμα:

Σύμφωνα με τους κανόνες:Για κάθε εσωτερικό σημείο έχουμε έναν όρο ie, για κάθε

ορμή που είναι άγνωστη ολοκληρώνουμε δηλαδή έχουμε έναν όρο∫∞0

d4k(2π)4 , για

κάθε φωτόνιο έχουμε έναν όρο−igµν

k2−λ2+iε και για κάθε ηλεκτρόνιοi

6p+ 6k −m+ iεκαι βάζουμε 2 γάμμα πίνακες για να κλείνουν οι δείκτες.Οπότε έχουμε:

−iΣ(p) = (ie)2∫

d4k

(2π)4−igµν

k2 − λ2 + iεγµ

i

6p+ 6k −m+ iεγν (42)

Επίσης βάλαμε μία μικρή μάζα λ για το φωτόνιο ώστε να μην υπάρχει απειρισμός

στο όριο k → 0(infrared divergences ) και επιλέξαμε την βαθμίδα ξ = 1 Θα

χρησιμοποιήσουμε διαστατική ομαλοποίηση και την Dirac άλγεβρα σε διάσταση d.

γµ( 6p+ 6k)γµ = −2( 6p+ 6k) (43)

γµγµ = 4I4 (44)

οπότε σε dγµ(6p+ 6k)γµ = −(d− 2)(6p+ 6k) (45)

γµγµ = dId (46)

9

Συνολικά

− iΣ(p) = −µεe2∫

ddk

(2π)d1

k2 − λ2 + iεγµ

6p+ 6k +m

(p+ k)2 −m2 + iεγµ

= −µεe2∫

ddk

(2π)d−(d− 2)(6p+ 6k) +md

[k2 − λ2 + iε][(p+ k)2 −m2 + iε]

= −µεe2∫ 1

0

dx

∫ddk

(2π)d−(d− 2)(6p+ 6k) +md

[(k2 − λ2)(1− x) + x(p+ k)2 − xm2 + iε]2

= −µεe2∫ 1

0

dx

∫ddk

(2π)d−(d− 2)(6p+ 6k) +md

[(k + px)2 + p2x(1− x)− λ2(1− x)− xm2 + iε]2

= −µεe2∫ 1

0

dx[−(d− 2) 6p(1− x) +md]I0,2 (47)

όπου

I0,2 =i

16π2[∆ε− ln[−p2x(1− x) +m2x+ λ2(1− x)]] (48)

όπου ο όρος ως προς k εξαφανίζεται. Μπορούμε να γράψουμε το Σ(p) στη μορφή:

Σloop(p) = A(p2) +B(p2)6p (49)

και το ονομάζουμε με το loop για να το ξεχωρίζουμε από την προηγούμενη μορφή

του έτσι έχουμε:

A = e2µε(4− ε)m 1

16π2

∫ 1

0

dx[∆ε− ln[−p2x(1− x) +m2x+ λ2(1− x)]] (50)

B = −e2µε(2− ε)m 1

16π2

∫ 1

0

dx(1− x)[∆ε− ln[−p2x(1− x) +m2x+ λ2(1− x)]]

(51)

Χρησιμοποιώντας τις προσεγγίσεις:

µε(4− e) = 4[1 + ε(lnµ− 1

4) +O(ε2)]

µε(4− ε)∆ε = 4[∆ε+ 2(lnµ− 1

4) +O(ε)]

µε(2− e) = 2[1 + ε(lnµ− 1

2) +O(ε2)]

µε(2− ε)∆ε = 2[∆ε+ 2(lnµ− 1

2) +O(ε)]

΄Εχουμε:

A(p2) =4e2m

16π2

∫ 1

0

dx[∆ε− 1

2− ln[

p2x(1− x) +m2x+ λ2(1− x)

µ2]] (52)

B(p2) =2e2

16π2

∫ 1

0

dx(1− x)[∆ε− 1− ln[p2x(1− x) +m2x+ λ2(1− x)

µ2]] (53)

Θα πρέπει όπως και πριν να περάσουμε τις αλληλεπιδράσεις μέσα στην λαγκρα-

τζιανή όπως και πριν με τον κινητικό όρο του φωτονίου.Η αρχική λαγκρατζιανή

είναι:

L = −iΨγµ∂µΨ +mΨΨ− eΨγµΨAµ (54)

10

και με τις διαταραχές:

L = −iΨγµ∂µΨ + iZ2Ψγµ∂µΨ +mΨΨ− Z2mΨΨ + Z2δmΨΨ−eΨγµΨAµ + Z1eΨγ

µΨAµ = i(Z2 − 1)Ψγµ∂µΨ− (Z2 − 1)mΨΨ + Z2δmΨΨ+

(Z1 − 1)eΨγµΨAµ (55)

Τον παραπάνω μετασχηματισμό έχουμε δικαίωμα να τον κάνουμε επειδη η λαγκρα-

τζιανή είναι scale invariance και χρησιμοποιήσαμε τις ποσότητες:

Ψ =√Z2Ψ

′, Aµ =

√Z3A

mu,m = m′+ δm, e =

Z1

Z2

√Z3

e′

(56)

όπου Zi = 1+δi και δi κοντά στην παράμετρο ε ΄Οπως και στο φωτόνιο οι άγνωστες

ποσότητες δZ2, δm θα μπουν στον διαδότη.

−iΣ(p) = −iΣloop(p) + i( 6p−m)δZ2 + iδm (57)

Σε αντίθεση με το φωτόνιο έχουμε δύο παραμέτρους να προσδιορίσουμε. Στο onshell renormalization scheme οι παράμετροι προσδοιορίζομαι αφού απαιτήσουμε

ότι ο πόλος του διαδότη αντισοιχεί σε μία φυσική(bare) μάζα εξού και το όνομα

on shellκαι το υπόλοιπο κομμάτι που μένει από το επακανονικοποιημένο διαδότη

που δεν είναι πόλος έχει την ίδια τιμή με τον ελεύθερο διαδότη. Οπότε έχουμε

συνθήκες:

Σ( 6p = m) = 0→ δm = Σloop( 6p = m) (58)

∂Σ

∂ 6p|6p = m = 0→ δZ2 =

∂Σloop

∂ 6p|6p = m (59)

δm = A(m2) +mB(m2) =2me2

16π2

∫ 1

0

dx[2∆ε− 1− 2 ln(m2x2 + λ(1− x)

µ2)]−

(1− x)[∆ε− 1− ln(m2x2 + λ(1− x)

µ2)]

=2me2

16π2[3

2∆ε− 1

2−∫ 1

0

dx(1 + x) ln(m2x2 + λ(1− x)

µ2)] =

3am

4π[∆ε− 1

3− 2

3

∫ 1

0

dx(1 + x) ln(m2x2

µ2)] (60)

Στο τελευταίο βήμα λ→ 0 επειδή το ολοκλήρωμα δεν αποκλείνει στο όριο. Για το

δZ2 έχουμε

δZ2 =∂Σloop

∂ 6p|6p = m =

∂A

∂ 6p|6p = m +B +m

∂B

∂ 6p|6p = m (61)

όπου

∂A

∂ 6p|6p = m =

4e2m2

16π2

∫ 1

0

dx2(1− x)x

−m2x2(1− x) +m2x+ λ2(1− x)

=2am2

π

∫ 1

0

dx(1− x)x

m2x2 + λ2(1− x)(62)

11

B = − a

2π

∫ 1

0

dx(1− x)[∆ε− 1− ln(m2x2 + λ(1− x)

µ2)] (63)

m∂B

∂ 6p|6p = m = − a

2πm2

∫ 1

0

dx2x(1− x)2

m2x2 + λ2(1− x)(64)

Επομένως

δZ2 = − a

2π[1

2∆ε− 1

2−∫ 1

0

dx(1− x) ln(m2x2

µ2− 2

∫ 1

0

dx(1 + x)(1− x)xm2

m2x2 + λ2(1− x))]

=a

4π[−∆ε− 4 + ln(

m2

µ2)− 2 ln(

λ2

m2)] (65)

όπου χρησιμοποιήσαμε τα ολοκληρώματα:∫dx(1− x) ln(ax2) = (1− x)[x(ln(ax2)− 2)] +

1

2[x2 ln(ax2)− x2 − 4x] (66)

και∫dx

(1− x2)ax

ax2 + b(1− x)= − 1

2a2(−(a2 + ab− b2) ln(b(x− 1)− ax2)

+2√b(−a− 3ab+ b2) tanh− 1( b−2ax√

b√b−4a )

√b− 4a

+ a2x2 + 2abx) (67)

4 Κορυφή(Vertex)

Το τελευταίο διάγραμμα στην QED που έχει συνησφορά πρώτης τάξης:

Η συνάρτηση Green για το διάγραμμα αυτό είναι ένα εισερχόμενο φωτόνιο και

δύο εξερχόμενα ηλεκτρόνια και ανάμεσα έχουμε 3 κόμβους οπότε:

Λµ(p′, p) = (ieµε/2)3

∫ddk

(2π)d(−i) gρσ

k2 − λ2 + iεγσ

i[(6p′+ 6k) +m]

(p′ + k)2 −m2 + iεγµ

i[ 6p+ 6k) +m]

(p+ k)2 −m2 + iεγρ

(68)

Το ολοκλήρωμα αυτό αποκλίνει για αυτό θα το ανακανονοικοποιήσουμε και θα

εισάγουμε επιπλέον όρους στην λαγκραντζιανή και συνθήκες κανονοικοποίησης.

Με την θεώρηση ότι οι διατάραχες πηγαίνουν στον μηδέν η συνθήκη πρέπει να

είναί:

u(p)(Λµ + γµδZ1)u(p)|6p = m = 0 (69)

12

και από αυτή την συνθήκη θα υπολογίσουμε το δZ1 που είναι η τελευταία απροσ-

δοιόριστη παράμετρος της διαδικασίας. Το δZ1 θα υπολογιστεί on− shell και γιαp

′= p.

iΛ(p, p) = e2µε∫

ddk

(2π)d1

k2 − λ2 + iεγρ

1

6p+ 6k −m+ iεγµ

1

6p+ 6k −m+ iεγρ

(70)

έχουμε αποδείξει όμως ότι:

1

6p+ 6k −m+ iεγµ

1

6p+ 6k −m+ iε= − ∂

∂pµ1

6p+ 6k −m+ iε(71)

Οπότε:

iΛµ = −e2µε ∂

∂pµ

∫ddk

(2π)d1

k2 − λ2 + iεγρ

6p+ 6k +mε

(p+ k)2 −m2 + iεγρ =

= −i ∂

∂pµΣloop(p) (72)

On− shell έχουμε:Λµ|6p = m = −δZ2γµ (73)

και σε συνδυασμό με την (69):

δZ1 = δZ2 (74)

΄Εχουμε υπολογίσει ήδη το δZ2 οπότε προσδοιορίσαμε το δZ2.

13