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ï I N T R O D U C T I O N

D1 e t o t i l e d i n c r e l l c e 1 t il e u 11d c ]l y i n g w i 1l c i p lu : ;,

c l l l B\ 1l t' "1l 11 l w l 1u l l l ° 1cJ1l Aq Ly p ic H l ly n u l

crx p e c t e d t o p o s s e s s c l a s s i c a l c o m 19c r p m Ls I 1o w t t v e r,

l l 1o r r g l 1 n o L n l l ( l l l 1111l t u n p l 1t t t ro n w t t t 1

1 1 0 1 1 1 1 0 n s e r v e a s a s o u r e c o f a d [ l i l io n a l i l l s ighL 1 c w : c i n 1ly L0 LI I o M ; 1w w ]y (: x p w ( ( I LO l hu

s t l b j e c L N e v e l : t h ( : l w s,

l h c i l n p o r l a n c e Ol l h c : ; c a rm io g u c s i s 110 L u l ( > ( : Iy I H : ( lBw ) g i ( : n 1 SH CH

a n a l o g u e s c a l l b c t l s m l [0 1 t l 1(: fo l m t l l a l i o 11 M m : w p 1ly : ; ic n l i [ ]{ w i1 I l ul l col l l w y m B1y ( : w i l

l w l d t o h i r t h e r a d v a l l c e i n e n t l l l c t h (: o ]. y E v [ : l l ó i t l c l l s p c c u lM io m i n > (: k c p l n : : i { l ( :! H1l ch

a 11a l o g i e s h a v e p r o v i (1 t o b e i m p o ] : t n 11l,

1 a l , e n s l i kH ' " ( : c l e s il : ï l u r mc i o s c o p i (: t l wi c : m 1h L

1n a c r o s c o p i c s c a l e a n d q u a n t u l l l i 11[o r n m l i o 11 P> o c e s s i l l g2 T h e r e is 110 d o l 1lD, a r i a l ( ) g i (: t 1

1n o v i cl e a d e e p e r g > a s p o l t h c s i l n i l n r i l y b M w (: c l l l h c CI M ; s i c n l n i l 9l ( Bt n N l r u n w m . I[ l P u r h n p s 1

t h e y w i l l a l s o a i [ l i n b e t t c r t l r r d c r s t a n d i n g t h e d i a c r c l l c e b M w c e 11 Lh c Lw o A ( Ic l n i l [Xl r (: v ic w

o f q u a n t m i ì c l a s s i c a l a n a l o g i c s i 5 iJ r e s e u t c d by D r & g o 17 1ù l l

T w o l e v e l q u a n t u m s y s t e m s a r e a r g u a b l y Lh c s i 1n p ] c s l n o n t r i v i a l q u a n Lm n s y s t e m s i 1r l d

l l re y a r e s a i d 1 ; 0 d e v i a t e m o s t d r a m a t i c a l ly [ > o i n c l n Ai s i c a l sysLcr r r t Ho w e v e r,

LI I i : H : I r n v u

b e e n i n s t a n c e s o f d e m o n s t r a t i o n a r c l a s s i c a l a n a l o g u e s o l t w o l e v e l q u a n t u m = y s l c n 1s: I n

t h e v e >Y e a r ly d a y s o f q u a n t l l n l n i e c h a n i c s i t s d f D i r a c I I : l d ( l l : a w 11 1 c l 0 s (: p a 1 110l l ] e t w (: e n

t h e Sc h r ó d i n g e r : s e q u a t i [ Jn m r d c l a s s i c a l c o u p l t : d H a m i l t u n e cl l l a t i u m i

,

r j t h o 1r g h t h e c o r n p l (: x

n a t u r e o f t h e c a n o n i c a l v a r i a b l e s d i s a l l o w e d a n y d i r e c t c l a s s i c a l c o u n t ( : r p a r t s I n t l r is ar

c l c,

t h c m a t h e m a t i c a l e q u i v a l e n c e b c t w c c n t h c Sc h ] . öd i n g c r e q u a t i o n o f A1 t w o l e v e l q u a n t u m

s y s t e m a n d t h e c l a s s i c a l e q u a t i o n s g o v e 1 l i n g t h e m o t i o n o f a c o u p l e d o s c i l l l t o r is e x p l i c i t ly

w o > k e d o u t T h e r e s u l t s a r e c o +n p a r c d w i t h t h e dy n a m i c s o r a t w o l e v e l q u a n t u m s y s t e m,

s p e c i %c a l ly a t w o l e v e l a t o m i n t e r a c t i n g w i t h a m o n o c h r o m a t i c l ig h t %e ld C l a s s i c a l a n a l o g y

b e t w e e n d r e s s e d s t a t e s o f c o h e r e n t a t o m l a s e r i n t e r a c t i o n a m t Lh c n o l . M a l r n o d e r > t : c l u «m c i e s

o f a c l a s s i c a l c o u p l e d o s c i l l a t o r h a s b e e n e x p l o r e d p r e v i o u s ly7 R e l a t e d p h c n o m c n n

, l ik e e l

t ]' " m a g n e t i c a l ly i n d u c e d t r a n s p a r e n c y (E I T ) 7 8 a m l d o u b l e E I T G h a v e b e e n d c m o n s l r a l c c l

i n c o u p l e d e l e c t r i c a l r e s o n a t o r c i r c u i t s W e s ho w h e ] : e t h a t,

d e s p i t e t h c s i ï n p l i c i l y o f o u r

c a n d id a t e c l a s s i c a l s y s t e m,

t l 1e s i m i l a r i t y i s m a t h c m EL Lic a l ly s o u n d T h c a n a lo gy i s a l s o

p e r i m e n t a l ly d e m o n s t ]. A t c d,

u s i n g a s i m p l e e x p e r i m e n t a l b e l u l -) s u i t a b le [o r u n de r g r a d u a t e s,

a n d t h e r e s u l t s a r e c o m p a r e d t o t h e i r t l 1e o r e t i c a l q u a n t u m c o u n t e r p a r t s

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(a ) (b )

F I G 1 (a ) A c l a s s i c a l c o u p l e d o s c i l l a t o r (b ) R c p r c s c n t a t i o n o f a t w o le v e l a t o m w i t h a t o m i c

t r a n s i t i o n a t U a i n t e l . A c t i n g w i t h m o t l o c h r o m n Ai c l i g h t fi e ld o f f r e q u e n c y U I

I I A N A L O G Y B E T W E E N T W O L R V R L Q U A N T U M S Y S T E M A N D C L S

C A L C O U P L E D O S C I L L A T O R

C o n s id e r n p a i l . o f c o u p l e d o s c i l l n t o >s a s s h o w n i n F i g 1,

c o n s is t i n g o f t w o e q u a l m a s s e s

o f m a g n i t u d e ??z e a c h,

a t t a c h e d t o o p p o s i t e w a l l s w i t h s p r i n g s o f s p r i n g c o n s t a n t s k r a n d 2 ,

a n d a t t a c h e d t o e a c h o t h e r by a c o u p l i n g S p ] : i n g o f 5 p ]. In g c o n s t a n t k I f t h c d i s p l a c e m e n t

o f t h e m a s s e s f r o m t h e i r e q u i l ib r i t m r p o s i t i o n s a ] : e d e n o t e d by x l a n d x 2 , a p p l i c a t i o n o f

N e w t o n's l a w s y ie l d s t h e i r e q u a t i o n s o f m o t i o n a s

w h e r e V 1 = n n d V 2 - a r e t h e n a t u r a l : r e q t 1e n c i e s o f e a c h o f t h e o s c i Bl a t o r s

w h e n t h e o t h e r m a s s i s h e ld :i x e d a n d n = i s i n d i c a t i v e o f t h e c o u p l i n g s t r e n g t h b e t w e e n

t h e o s c i l l a t o r s \ \ : d e n o t e t he s q u a r e m a t r i x o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f E q n (1) b3 · A T h e

s q u a r e r o o t s o f t h e t w o e i ge n v a l u e s o f A,

d e n o t e d by 1 a n d 2 , a r e

(2 )

T h e m o t io n o f t h e t w o m a s s e s,

i n g e n c r n l,

w i l l b c a s u p e r p o s i t i o n o f t h e Lw o n o r m a l m o d e s

o f v i b r a t io n,

w h o s e f r e q u e n c ie s a r e g i v e n by 1 n n d 210 T h e g c u e ]. A l e q u a t i o n s o f m o t io n

a r e :

x 2 (A) = f t a i 2 eI (1t +¢ l ) + Jz $ 22 c

· (w t + d a )

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1, HWc t i v : ly · G h : 0 11 t hu h1t hl . 1 1) ost ì ons n l 1( l W i c) c i l. k : s OH h N w ( ) o s c i l l a t '" r s, l l - Í 2 , 1 a , n d

w i r > >,

"

; :' " 1 : ; 0 1 " " 110 1 m n l iz c d e ig t t n v c c l o l " " o r r e s " " d ' " " u " " 1 . .

152 C1U 1 l w ó t ° m r i 1l o c l m l i ( 1t 1¯ 1y

Eq u a t i o n (1) 1n a v b 1 : c w r i l Lc n Zt 5

h 11w b e 11o t e d LI l n t E c111 m i s e x a c t ly Ä l l c l o l 111 0 f Sc h r ö d i l r g e r's e q u a t i o n g o v e r n i n g a

t w o l (: y [ 1l q u a n t t n n s y s t e m w h e r e / 1 s e r v e s a s U u : H a m i l t o n i a n o r t h e s y s t e m S i n c e A i s a

s y 111m e t > i c n 111l p o s i l i w 91Ä 1l i t e n l a t >i x,

H c a l l b e cl i a g o n a l i z e d }Jy a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n,

p ' A P T h e 1 : o o t s o f U t c d i a g o n a l e l e m e n t s c n n b e La k e n a 11cl t h e 1. E s u l l i n g m a t r i x c a n b e

t ] : a n s [o r m c d b n c lc t . ' " . T h e t r a n s f o n n a t i o n m a t r i x p : . Gi v e n by ° : : j " :

w h e r e Q = [ t n n' ( ) B y f o l l o w i n g t h e a b o v e m e t h o d

, . . . Bc d e t e r m i n e d i 1n d

E q n (4 ) c a n b e w r i t t e n a s

n : h e r e w o - (1 + 2 ) c o s 20,

- (1 U { ) c o s 20 a n d $ o = (1 1 2 ) s i n 20

E q u a t i o n (5) c a l l b c c o m p a l . E d t o t l1e q u a n t u ï n r n e c h a n i c a l e q u a t i o n s o f m o t i o n o f a

t w o l e v e l q u a n t u m s y s t e m,

s p e c i %c a l ly t o t h a t i n w h i c h a m o n o c h r o m a t i c l a s e r b e a m i s

i n t e r a c t i n g w i t h a t w o l e v e l a t o m c l o s e t o r e s o n a n c e,

1 1 a s s h o w n i n F ig 1 A w o u l d t h e n

d e n o t e t h e d e t u n i n g , w h i c h i s t h c d i He r e n c e b e t w e e n t h e l a s e ] : f ]. E q u e n c y a n d t h e r e s o n a n c e

f r e q u e n c y o f t h e a t o r n i c t r a n s i t i o n l i n e Q o w o u l cl b e t h e R a b i o s c i l l a t i o n f r e q u e n c y , t h e

f r e q u e n c y a t w h i c h t h e p o p u l a t i o n o f t h e a t o 1n i c s t a t e s o s c i l l a t e f o r l a s e r f r e q u e n c y e x a c t ly

a t Re s o n a n c e Fo r n o n z e r o d e t u n i n g , t h e p o p u l a t i o n o s c i l l a t e s w i t h e ffe c t i v e R a b i f r e q u e n c y ,

Q n - v n å + 6 2 A ls o,

t h e t r a n s i t io n p r o ba b i l i t y Lo t h e c x c i l c d 5 l. A t c i s n å/ n %I n t h e c a s e o f t h e c o t l p lÄ o s c i l l a t o r s

, h c a n b e s h o w n 11s i n g E w (2 ) i l l at 1 + 9° 2 = V 1 + v 2

:o r n « U l l 2 U s i n g t h i s a p p r o x i m a t io n,

i 9 c a n b e s h o w n t ] l a 9 d e t u n i n g , H V 1 V 2 a n d

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R a b i f r e q u e n c y , Qo = T h e c l l e c 9i v c R a b i í r c q u e n c y IO]. Fi n i t e d c l u n i n g t h e n b e c o m e s

Q n - 1 2 - J A Z + n g A l s o,

n o t e 9h t Lt t h e s q u a r e o f t h e a m p l i l u d e s o f t h e o s c i l l a t o r s

n o l m a l i z c d t o t h e t o t a l e n e l : gy o f t h e s y s t c t n c a n b c c o m p a l : e d t o t h e p r o b a b i l i t y a m p l i Au d c s

M t h e p o p u l a t i m l o f t h e c o ]' " e s l l o n r l i l 1g a t o m i c s t a t e s

I n t h e c a s e o f l a s e r a Lo m i n t e r a c t i o n,

A c a n b c v a r i e d by c h a n g i n g t h e l a s e r f r e q u e n c y

a n d t h e R a b i f r e q u e n c y $ o r e m a i n s c o n s t a n t fo r a f i x e d a m p l i t u d e o f l a s e r f ie ld H o w e v e r,

i n t h e c a s e o f Li l o c o u p l e d o s c i l l a t o r s,

A c a n o n ly b c v a r i e d by c h a n g i n g t h e s p r i n g c o n s t a n t

o f o n e o f t h e o s c i l l a l O ]. s A s £L r e s u l t,

t h c R n h i f r e q u e n c y a l s o c h a n g e s,

s i n c e i t d e p e n d s 0 11

t h e n a t u r a l f r e q u e n c ie s o f t h e o s c i l l a t o r s H o w e v e r,

t h e A d e p e n d e n c e o f Ll 1e R a b i f r e q l 1c n c y

c a n b e s u i t a b ly i m p l e m e n t e d i n t h e a n a ly s i s fo r t h e c o r r e c t c o m p a r i s o n o f b o t h t h e s y s t e m s

I I I E X P E R I N I E N T A L D E , [ O N S T R A T I O N O F T H E A N A L O G Y

A s c h e m a t i c d i a g r a m o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e a b o v e a n a l o g y

i s s h o w n i n F i g 2 T w o u l e r s l l a n d 8 2 a r c m o u n t e d v e r t i c a l ly , s i d e b y s id e

, o n a n o p t i c a l

t a b l e W h e n s t r u c k a t t h e t o p e n el,

l 11e r u l e r s v ib r a t e w i t h t h e i r n a t u r a l f r e q u e n c i e s,

w i t ] l

t h e t e n s i l e p r o p e r t y o f t h e i r m a t e r i a l a c c o u n t i n g fo r t h e S p ] : i n g c o n s t a n t A r u b b e r b a n d i s

p u A a r o u n d t h e i n t o c o u p l e t h e o s c i l l a t o r s T h e s p r i n g c o n s t a n t o f t h e r u b b e r b a n d a l o n g

w i t h t h e d i s t a n c e o t t h e r u b b e r b a n d f r o m t h c b a s e o f t h e r u l e r s d e c i d e t h e s t r e n g t h u l

t h e c o u p l i n g a n d h e n c e t h e R a b i f r e q u e n c y I n o u r e x p e r i m e n t,

w e c h o s e a s u i t a b l e R a b i

f r e q u e n c y by c h a n g i n g t h e p o s i t i o n o f t h c r u b b e r b a n d

T h e a r r a n g e l n e n t ì r c u s e d f o r q u a n t i t a t i v e m e a s u r e l n e n t o f t h e o s c i l l a t i o n s i s a l s o s h o w n

i n F i g 2 T h e a i r n h e r e i s t o c o l i v e r A t h e m o t i o n o f t h e s c a le t o a m e a s u > a b l e e l e c t r i c a l

s ig n a l A m o t io n s e n s o r m a y b e 11s c d f o > t h i s p u r p o s e,

b u t a s i r n p l e s e t u p w a s d e s i gn e d

t o a c c o m p l i s h t h i s T h e i de a t h a t t h e m o v e m e n t o f t h e r u l e r w o u l d c a u s e a d i ffe r e n c e o f

i n t e n s i t y o f a b e a m o f l igh t r e n c c t e [ l f > o n i t il e r u l e > a n d f a u i n g o n a p h o t o cl i a d e,

a n d t h 11s

t h c p r o d u c e d v o l t a g e , i s u t i l i z e d

A la s e r b e a m t r a n s m i t t e d t h r o u g h a p o l a r i z i n g c u b e b e a m s p l i t t e r (P B S) a n d a q u a l : t e r

w a v e p l a t e i s r e t r o r e fl e c t e d by n r n i r r o ] . M o u n t e d o n Lh c > u l e r l 2 T h e r e t r o r e fl e c t e d b e a m

i s r e ll e c t e d by t h e s a m e c u b e b e a m s p l i t t e r Lo f a l l o n t h e q u a d d e t e c t o r D { T h e r e l l e c t e d

hear n f r o m t h e fi r s t c u b e b e a m s p l i t t e r i s a ga i n r e fle c t e d by a s e c o n d p o l a r i z i n g c t 1b e b e a m

s p l i t t e r a n d t r a n s m i At e d t h r o u gh a q u n r t e r w a v c p l m c T h i s b e a n i i s s i m i l i LT ly r e Ar o r e &e c t e d

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j p la t e p la te

D 9 D e te c to r 1

R1

R2

I : I G 2 Sc l 1c i n a Ai c d i a g r a n 1 o f t h e e x p e r i m e n t a l s e t u p

b v n m i l. Ro r m o l m 1c d o n t he r u l l : r n i n n d t r ansmi Lt cd t h r o u g h t h e s e c o n d c t 1b e b e a m s p l i t t e r

t o fa l l o n t h c q u a d d c l e c l o r D . T he q u a d d e t e (: t o Fs h a v e fo u r p h o t o d i o d e s a r r a n g e d a s

fo u r q u i 1r Ac r s o f a c i r (: l ( ? W h e n t h e r u l e : r s a r e a t r e s t,

t he s e t w o r e f le c t e d b e a m s a r e m a d e t o

l t t l l n l t h e c e n t r e o f t h c cl u a d d e t e c t o r s T h c v e r t ic a l s h i f t i n t h e r e fl e c t e d b e a m d u e t o t h e

v i b r a l in n o f t h e r u l e r c n u s r ' s a d i ffe r e n c e i n t h e i n t e n s i t y o f l i g h t Fa l l i n g o n e i t h e r h a l l o f t h e

ï r l r n t o d i o cl c : T i r e r n o v c i n ( : n l u f i l l u r u lu r s a r e Lr l ect l by : u n p l i fy i n g t h e p o t e n t i a l d i &e r e n c e

h c tw c e n LI l i : t, w o h a l v c s o f t h e q u a d d e t e c t o r s a n d fee (h n g i t i n t o a n o s c i l l o s c o p e

A t y p i c a l s ig n a l a A n e a r r e s o n a n A c o n d i t i o n,

t h a t is V r V2 o r 0,

i s s ho w n i n

F ig 3 A s i n t hc c a s e o f R a b i o s c i l l a t i o n o f t h e p o p u l a t i o n o f a t w o l e v e l a t o m i n t e r a c t i n g

w i Lh a la s e r b c a i n,

l h ( : o s c i l l a t io n a m p l i t u d e s o f t h u Aw o o s c i l l a t o r s a r e s e e n t o al t er nat e,

0 110 s h o w i n g m a x i m u m o s c i l l a t i o n a m p l i t u de w h i le t h c o t h e r is s h o w i n g m i n i m u m T h is

' Lr : r n s f c r'

o f o s c i l l a t i o n a m p l i t u d e,

w h i c h is e cl u i v a l e n t t o t h e t r a n s fe r o f e n e r gy , is o b s e r v e d

t o b e m a x i m u m a t A = 0,

w he r e t he t r a n s fe r is n e a r ly Co m p le t e

1 : o r t h e q u a n t i t a t i v e m e a s u r e m e n t s o f t h c a n a lo g u e s o f d i f f e r e n t fe a t u r e s o f t h e R a b i

o s c i l l a t i o n i n t h e s e c o u p l e d o s c i l l a t o r s,

t h e fo l lo w i n g p r o c e d u r e w a s a d o p t e d B y p r e v e n t i n g

t h e r n o t i o n o f o n c r u l e r a n d o n ly h t r i k i n g t h e o t h e r t he n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f t h e o s c i l l a t o r s,

V r a n d 2 , w e r e d e t e r m i n e d by fi t t i n g t h c r e s u l t i n g s ig n a ls w i t h t h e e q u a t i o n o f a d a m p e d

har moni c o s c i l la t o r T h e n a t u r a l f r e q u e n c y V i o f o s c i l l a t o r R r w a s c h a n g e d b y s t ic k i n g s m a l l

w e ight s t o I L,

w h i le k {x : p i n g l 2 f i x e d Fo r e a c h f r e q u e n c y y . . Th e c o u p l e d o s c i l l a t i o n s o f t h e

o s c i l la t o r s,

l i ke t h a t i n F ig 3,

w e r e r e c o n l e d a n d %t t e d w i t h Eq n s (3) t o d e t e r m i n e t h e

6

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7

D 1 0

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5

T im e (s e c )

F ] G 3 T h e n o r m a l i z e d c l i s p l a c e n l e n t o f h c r u l c r s f r o 111 t h e i r n l c a n p o s i t i o n s Ðs t L f u n c t i o n u f Li m =

E x p e r i m e n t a l d a t a i s 5 l 1o w n a s b l a c k o p e n c i r c le s T 11c r e t l s o l i t i l i r 1c s a r c t l t e c u r v e s fi t t e d t rs i n g

t h c r e a l p a r t o f t h e e q u a t i o n (3 )

n o r m a l m o d e f r e q u e n c i e s 1 a n el 60 2 N e a t i n g V l a s t h e i n d e p e n d e n t p a r a m e t e r a n d V 2 n n d

Q a s t h e f i t t i n g p a r a m e t e r s,

t h e n o r m a l m o d e f r e q u e n c i e s 1 a n d 2 w e r e fi t t e d w i t h LIu ?

e x p r e s s i o n s i n E q n (2 ) T h e n o r m a l +n o d e f r e q u e n c i e s a s a f u n c t i o n o f d e t u n i n g is s ho w n

i n F i g 4 T h e t y p i c a l a v o i d e d c r o s s zn g s e e n i n a t o m i c t r a n s i t i o n l i n e s i 1c a r r e s o n a n c e c a n

b e o bs e r v e d i n t h e c a s e o f t h e c l a s s i c a l c o u p l e d o s c i l l a t o r s n,

w h i c h is r e l a t e d t o t he s p r i n g

c o n s t a n t o f t h e c o u p l i n g s p r i n g , w a s d e t e n n i n e d r r o m t h e fi t t i n g G i v e n a n a t u r a l f r e q u e n c y

a n d k n o w i n g n,

t h e R a b i f r e q u e n c y Q D c a n be d e t e r m i n e d u s i n g Qo = t T he e fl e c l i v c

b i f r e q u e n c y n R , w h i c h i s t he r a t e a t w h i c h e n e l : gy is t r a n s fe r r e d b e t w e e n t h c o s c i l l a t o r s

,

i s de t e r m i n e d u s i n g n ê + 6 2 a n d p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f A i n t h e i n s e l o f F ig 4

l n t h e c a s e o f a cw o l e v e l a t o m i n t e r a c t i n g w i t h a l a s e r li e l d,

t l1e c r n s i t i o n p r o b a b i l i t y

o f t h e a t o m t o t h e e x c i t e d s t a t e i s n å/ n % T h i s i s e q u i v a l e n t t o Ah c p e r c e n t a g e o f t h e

e n e r gy t r a n s íe r r e d f r o m o n e o s c i l l a t o r 0 t h e o t h e r F o r q u a n t i t a t i v e a n a ly s is,

c u r v e s s i m i l a r

t o t h o s e i n F i g 3 w e r e %t t e d w i t h t h e r e a l p a ] : t o f t h e e q u a t i o n (3 ) T h e e n e r gy o f R r i s

p r o p o r t i o n a l t o lx 1 l 2

_ IJ1 a n l 2 + l l z a ~ 1 l

2 + 2Jt Jz a n a 2 1 c o s ($ n L + (1 2 )) a1 1 , l 2 ( t 2 1 ,

1 a n d 02 c a n b e d e t e r m i n e d f ] : o m t h e Dt G i v e n t he i n i t i a l c o n d i t i o n t h a t t h c r u l e r R ]

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-

.

1 1 .

10 1 0 0 5 0 0 0 5 1 0

A (H z )

F I G 4 N o r 11m l m o d e a n i l n a Tu r a l f r e q u e n c i e s a s f t m c t i o l l o f d e t u n i l r g T 11c o p e n c i r c l e s a r e t h e

e x p e r i m e n t a l d a t a m r d t h e s o l i d l i n e s a r c t h e fì t t e d c u r v e a s d e s c r i b e d i n t h e t e x t T h c d o t t e d l i n e s

21r e t h c n a t u r a l f r e q u e n c i e s o f b o t h t h e o s c i l l a t o r s (I n s e l ) E ITe c t i v e R a b i f r e q u e n c y a s a f u n c t i o n

o f A T h e c l o s e d c i r c l e s a r e t h e d i ff e r e n c e o f t h e n o r m a l m o d e f r e q u e n c i e s a n d Ah c s o l id l i n e i s fo r

Q R - n i + A {

i s o n ly s t r u c k, [r i l

2_ lf r a l l l

2 + IJz Q z t l 2

+ 211 l 2 [ 1 H U 2 1 a l A - 0,

w h i c h i s m a x i m u m A t

t i 1n e,

t = T / Q n , t h e a m p l i t u d e o f 1 b e c o m e s m i n i m u m a n d t h e a m p l i t u d e o f 8 2 b e c o m e s

m a x i m u r n T h e p e r c e n t a g e o f m a x i m u m e n e r gy t r a n s f e r r e d t o l 2 i s t h e n p r o p o r t i o n a l t o

(IT , I* _lz r l+. . .

) / lz r l+, _

T h i s n o r m a l i z e d e n e r gy t r a n s fe r a s f u n c t i o n A i s s h o w n i n

F i g 5

W i t h t h e a b o v e i n i t i a l c o n d i t i o n s,

t l 1e s o l u t i o n s o r t h e c o u p l e d o s c i l l a t o r s y s t e m i n d i c a t e s

t h a t t h e a m p l i t u d e o f o s c i l l a t i o n o f 2 w i l l g o t o z e r o a t i t s m i n i m u m H o w e v e r,

t h e d e v i a t i o n

f r o m t h i s b e h a v io r w a s o b s e r v e d 1 p r o b a l ) ly d u c t o n o n p e r fe c t i l l i t i a l c o n d i t i o n o r t h e c o u p l i n g

o f e i r e r g y To o t h c r m e c h a n i c a l p ie c e s i n t he s e t u p b 1r c r a t i o o f i l i e s q u a t e o f t h e m i n i +n u m

a m p l i t u d e t o t he s q u a r e t l l c n l a x i l m l m a m p l i h 1[ l (: R2 is t a ke n a s r e l n t i v e e r r o r i n o u r

e x p e r i m e n t a l d a t a

8

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0 8

ã 0 6 10 § 0 4

0 0 ,

3 2 1 0 1 2

k_

3

A (H z )

F I G P c r c o n t n Bc o f c r 1c r g Y t r a n s fc r r u r l f r ü r n r nl r l l t o R { T h e o p e n c i r c l e s w i t h t h e e r r o r b n r

B11 c L11c c x p c r i m c 11t n l ci nt a T i l e d o t t e d (s o l i d ) l i n e s I LTC f o r nål n - i t h o u t (w i t h ) c o r r e c t i o n i n t h c

c o u p l i n g s t r c 1r g t l 1 d u e t o m l d i t i o 11a l 1n n s s i u t h c r u l e r 111 t o c h a n g e i t 's n a t u r a l f r e cl u e n c y

1' " c x p c r i r n m l i l 1 d a l a c o l n p a r e s w i Lh l h c l h c o r e t i c a l p l o t r 2 å w a s d l o w n by LI l i :

d o t t e d l i n e i n F ig 5 A s y s t e m a t i c s h i f t o f l l l c e x p e r i m e n t a l d a t a f r o m t h e t h e o r e t i c a l m o d e l

l i l l i b e s e e n W c i n fe r LI I Is s y s t e m a t i c s h i rt t o b c d u e t o t he a d d i t i o n a l m as s e s a d d e d Lo

Ì AI t o c h a n ge i t s n a t u r a l í r c cBu e n c y D u c t o t h e a dd i t i o n a l m a s s Õ?71,

t h e n a t u r a l f r e q u e n c y

V r c ha n g e s J (k ] + k )/ (m + Ôr n ) a n d a l t h e s a m e t i 1n e,

t h c c o u p l i n g s t r e n g t h n c h a n g e s

a s J k / (m + 677A) H e n c e,

t h e c o u p l i n g s t r e n g t h s h o u l d b e c o r r e c t e cl fo r e a ch i n s t e a d

o f ke e p in g j l c o n s 9a n t H o w c v c ].,

t h c c o r r e c t e d c o u p l i n g s t r e n g t h c a n a p p r o x i m a t e l y b c

c a lc u la t e d fo r s m a l l a dd i t i o n a l 1n a s s fo r e a c l r a s n.

- n + A (V 1 + l 2 ) / ° ] T he n,

t h e

p c r c e n l a g o o r e n e r gy t r a n s fe r f r o l n l Br t o l 2 c a l c u l a t e d u s i n g t h e c o r r e c t e d R a b i f r e q u e n c y ,

92o = 20 :/ (V r + V2 ) , i s s e e n Lo m a t c h b e t t e r w i t h Lh c e x p e r i r n e n t a l d a t a

, a s s h o w n by Lh c

M J1H l i n c i n F ig 5

W e w 0 1M l i kc Lo l r ] c n l i o n h c r c t h a i s u c h a n a n a l y s is o f c o r r e c t i o n t o t h e R a b i f r e q u e n c y

d u e Lo a d d i t i o n a l m a s s o n R r is n o t p e r fe c t D u e t o t h e a dd i t i o n a l m a s s o n l l , t h e c o u p l i n g

«l r cnghs r e le v a n t i n Lr a n s fc r r i n g e n e r g y f r o m l l t o R 2 a n 4 8 2 t o l l b e c o m e s J k 1/ (m + ÕTr A)

9

"c

g

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a n d r e s p e c t i v e l v A s a r e s u l t,

t h e m a t r i x A i n E q n (1) w i l l n o t b e s y m m e t r i c H e n c e,

c a n n o t b e c o m p a r e d t o t h e H a m i l t o n i a n o l a t w o l e v e l q u a n t u m s y s t e m H o w e v e r i r

0 0 « V t , V 2 ,

t h c c o r r e c t i o n i s s m a l l a n d t h e a n a l o g y h o l d s b e t t e r,

w h i c h i s e v i d e n t i n

Fj g 5 C o r n p l e t e a n a l o g v c a n i d e a l l y b e d e m o n s t r a t e d b 3 · p e r f o r m i n g t h e c x p e r i m e n 1 ; b y

c h a n g i n g o n ly k . . Ke e p i n g k a n d m %x e d I n t h i s c a s e t h e c o u p l i n g b e b v e e n t h e o s c i l l a t o r s

i s s y m m e t r i c a n d h e n c e Æ w i l l r e m a i n s y m m e t r i c f o r a n y d e t u n i n g i n o u r e x p e r i m e n t,

i t

w a s d i ffi c u l t t o c h a n g e k r i l s i t d e p e n d e d o n t h e t e n s i l e p r o p e r l y o f t he r u l e r I t w a s o b s e r v e d

t h a t c h a n g i n g t h e c o u p l i n g or R ] bY c o u p l i l r g ó v i l h a r ig id w a l l r e s u l t e d i n l a r g e r d a m p i n g ,

w h i c h i n d u c e d l a r ge r e r r o r s i n t h e e x p e r i m e n t a l d a l a

I V C O N C L U S I O N

T h e c q u i v a l c n c c b c t w c c n a p a i r : o f c l a s s i c a l c o u p l e d o s c i l l a t o r s a n d t w o l e v e l q u a n t u m

s y s t e m h a s b e e n e x p l i c i t l y w o r k e d o u t So m e a s p e c t s o f t h e e q u i v a l e n c e w e r e c l e m o n s t r a t e d

u s i n g a s i r n p l e e x p e l : i r n e n t a l s e t u p s u i t a b l e fo r u n d e r w a d u a t e s Su c h m a t h e m a t i c a l e x e r c i s e s

a n d e x p e r i m e n t a l d e m o n s c r : a t i o n s c o u l d a i d s t u d e n t s i n t h e d e v e l o p m e n t o f i n t u i t i o n i n t h e

n o n i n t u i t i v e s u b j e c t o f q u a n t u m m e c h a n i c s

T h c m a t h e m a t ic a l e q u i v a l e n c e s e e m s t o s u gg e s t t h a t t h i s c l a s s i c a l s y s t e r n i s c a p a b l e o f

r e p r o d u c i n g a l l p h e n o m e n o n o b s e ]. v a L l e i n i t s q u a n t u m c a u n t e r p a i : t St u d e n t s,

e s p e c i a l l y

t h o s e w h o h a v e h a d e x p a s u r : e t o e l e m e n t a r y q u a n t u m o p t i c s,

c o u l d b e e n c o u r a g e d t o t h i n k

o f t h e l i m i t a t i o n s o f t h i s a n a l o gy I n n o v a t i v e i d e a s t o c o n s t r u c t a s i m p l e p a i r o f c o u p l e d

o s c i l l a t o r s,

w h o s e n a t u r a l f r e q u e n c i e s c a n b e a dj u s t e d w i t h o u t c h a n g i n g t h e i r m a s s e s,

w o u l d

h e a n i m p r o v e m e n t t o t h e s e t u p a n d w a u l r l e n a h l e o n e t o d i s p e n s e w i t h t h e m a s s c o r r e c t i o n

t h a t h a d t o b c p e r f o n n e d i n t h i s c a s e E x t e n s io n o f t h i s e x p e r i m e n t c o u l d a l s o b c u s e d

t 0 d e m o n s t r a t e m o r e a dv a n c e d id e a s l ik e g e o m e t r i c p h a s e a n d e l e c : t r o m a g n e t i c a l ly i n d u c e d

t ] : a n s p a ] : e n c y

A C K N O W L E D G M E N T s

T h e a u t ho r s a c k n o w le dge t h e he lp o f Su s h a n t h K u m a r Si n gh i n p e r fo r m i n g t h e a d a p t e d

c a l c u la t i o n s s h o w i n g t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n c l a s s i c a l o s c i l l a t o r s a n d q u a n t u m t w o l e v e l

10

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H D n n i n l ï L 1) r n Rt r r l t r ï r r q n r1t t t n t 11 r : t rB+ si r n l n N H / r J : /1r : H Hi n l l \ p, 1\ r , I l m l i n N i 1w Y 1w lt ,

2 l 10 l l

l Pa u l A M D i r I LC T l ru r l r r1m l \ l l l l 1l l ¢x ) r y o l 1l r u m r r in H lo r r n l l d n l )n m P I lm r [ }> l n t l ln t In 1ï P t n r r r r l i t t !/ H

7 s S n Lp n LI l y , A 1t t )y ,

1u r r l A M u l l n l n \ l I B\ I m w l In l u r f\ I > l l > 1! l r 1 > ïn Hn l> n ] n n t : l l ln l 1) I H / l u l u / 1r w n

H c : L Gar ndo A l z n r , M A ( : r, In > L i l l t z , Bl l H ] 11 Nl l M1uww] t ç c : lH HH lm l l n l ï n lw j f (ó : I > m

n c t i c n l ly i n d \ I c e d Lr t u 1Hl n u c r 1c y Tr AcTp A r a / u u ?7 R l u f P bu1t , 70 ( j ) : 1 7 I I

, 200 2

u ] o s l t t u 1 I i n r i l c : I I , A m i l n b l r Ju H l r l , 11 I I 1I ) i \ n l l I ) Su r l r r1 l ) u t n o r 1n t I n l to l l o f ¢ lo r r b lu ICIT r rHi n ( : nl l pl ¢l

l m r m m r i c m c i l ln t u >H m 1[ l m , c ( : h. C t l l t H n rt T+w t m J m M rmt ° p /t w im , W 2) : û I I,

2 1

I O I i c r lw r t G o l [h i l Ci l l M 1 w i c a l m ec / t tm i r : H A M IH{ JH W tH l( : y , Sn n ï : 1 n 11c14w 2 (H) 2

11 M a r k FOx QTm n t u m Qr) t i c s : A n hMrr} t B1u : l i rw O x $) 1 [ l M n H 1(: > i wi w h l > hy H ic H O TJ= o x l t ) >{ l,

2006