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Equations aux derives partielles

Plan et avancement du cours.

Clotilde Fermanian

Annee 2008 – 2009

Master 1iere annee

Universite Paris 12 –Val de Marne.

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Bibliographie

[1] G. Allaire :Analyse numerique et optimisation.Les Editions de l’Ecole Polytechnque

[2] C. Zuily :Elements de distributions et d’equations aux derivees partielles.Cours et problemes resolusSciences sup Editions Dunod.

[3] L. Schwartz :Un mathematicien aux prises avec le siecle.chez Odile Jacob

Il s’agit de l’autobiographie de Laurent Schwartz, l’inventeur des dis-tributions. Pour une autre approche des distributions et de l’ana-lyse...

Notations

• C∞0 (Ω) est l’ensemble des fonctions indefiniment differentiables asupport compact inclus dans l’ouvert Ω.• C∞c (Ω) est l’ensemble des fonctions indefiniment differentiables asupport inclus dans Ω.

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Introduction

Ce cours d’equations aux derivees partielles se decoupe en troisparties. Une premiere partie regroupe des chapitres ou l’on met enplace les techniques : les deux premiers chapitres sont consacres a latheorie des distributions et aux espaces de Sobolev d’indice entiers.Les chapitres 5 et 6 sur la transformee de Fourier et les espaces deSobolev d’indice reel viendront ensuite s’y ajouter ; ces deux cha-pitres ont ete reportes apres le chapitre 5 dans la mesure ou ilsn’etaient pas immediatement necessaires pour nos premiers objec-tifs. La deuxieme partie du cours concerne la methode des elementsfinis. Dans ce chapitre, les equations aux derivees partielles quenous allons rencontrer seront des problemes stationnaires, c’est-a-dire independants du temps. La derniere partie du cours concernedes equations d’evolution qui decrivent l’evolution au cours du tempsd’une quantite ; la problematique est alors de resoudre le problemede Cauchy, a savoir de trouver des conditions sur les donnees initialespour avoir existence et si possible unicite des solutions. Nous feronsune courte analyse de quelques resultats de base sur des equationsclassiques : ondes, chaleur, Schrodinger esentiellement.

Le but de ces notes est d’avoir un apercu de ce qui s’est faiten cours et des resultats principaux. Nous ne redigerons pas lesdemonstrations dans ce qui suit et renverrons frequemment aux ou-vrages de la bibliographie dont nous conseillons vivement la lectureaux etudiants.

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Chapitre 1

Distributions

Le 3 premieres seances ont ete consacrees a la definition des dis-tributions et a l’etude de certaines de leurs proprietes. On pourraconsulter les premiers chapitres de la reference [2] ou l’on trouveraune presentation des notions abordees ainsi que des complements.Dans ce qui suit, on donne un plan et un resume du cours. On n’ydetaillera pas les proprietes enoncees et on se limite aux principauxresultats.

1.1 Les distributions

Soit Ω un ouvert de Rn, une distribution T sur Ω est une ap-plication lineaire de C∞0 (Ω) dans C telle que pour tout compact Kde Ω, il existe une constante CK > 0 et un entier NK ∈ N tel que

∀φ ∈ C∞0 (Ω), | < T, φ > | ≤ CK∑|α|≤NK

supx∈K|∂αφ(x)| . (1.1)

Une distribution est donc une forme lineaire continue sur C∞0 pourla topologie induite par les semi-normes qui apparaissent a droitede l’inegalite ci-dessus.Les distributions ont ete introduites par Laurent Schwartz qui notaitD(Ω) l’ensemble C∞0 des fonctions C∞ a support compact. On notedonc D′(Ω) l’ensemble des distributions puisque c’est le dual deD(Ω).

1.2 Ordre d’une distribution

Si l’entier NK de (1.1) est independant du compact K, alors ondit que la distribution T est d’ordre finie N ou N est la valeurcommune a tous les NK lorsque K decrit les compacts de Ω.

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6 CHAPITRE 1. DISTRIBUTIONS

Exemples fondamentaux :1- Si f ∈ L1

loc(Ω), la distribution Tf definie par

∀φ ∈ C∞0 (Ω), < Tf , φ >=

∫φ(x)f(x)dx

est une distribution d’ordre 0.2- Soit x0 ∈ Ω, la distribution de Dirac en x0 est definie par

∀φ ∈ C∞0 (Ω), < δx0 , φ >= φ(x0).

C’est une distribution d’ordre 0.Par ailleurs si pour α ∈ Nd on note δ

(α)x0 la distribution definie par

∀φ ∈ C∞0 (Ω), < δ(α)x0, φ >= (−1)|α|∂αxφ(x0);

la distribution δ(α)x0 est une distribution d’ordre |α|.

3- La distribution valeur principale de 1x

definie par

∀φ ∈ C∞0 (Ω), < vp

(1

x

), φ >= lim

ε→0

∫|x|≥ε

φ(x)

xdx

est une distribution d’ordre 1.4- Il existe des distributions qui ne sont pas d’ordre fini, par exemplela distribution T definie par

∀φ ∈ C∞0 (R), < T, φ >=∑j∈N

φ(j)(j).

1.3 Support d’une distribution

On definit le support d’une distribution comme l’ensemble verifiantl’une des trois proprietes equivalentes suivantes :

(i) x0 ∈ Supp(T )⇐⇒ ∀Vx0 , ∃φ ∈ C∞0 (Vx0), < T, φ >6= 0.

(ii) x0 /∈ Supp(T )⇐⇒ ∃Vx0 ∀φ ∈ C∞0 (Vx0), < T, φ >= 0.

(iii) Supp(T ) ⊂ F ⇐⇒ T = 0 dans F c.

Proposition : Si Supp(T ) ∩ Supp(φ) = ∅ alors < T, φ >= 0.

On notera E ′(Ω) l’ensemble des distributions a support compact.Si T ∈ E ′(Ω), on peut definir < T, φ > pour toute fonction φ ∈C∞(Ω) en posant < T, φ >=< T, φχ > ou χ ∈ C∞0 (Ω) est telle queχ = 1 sur Supp(T ). L’ensemble E ′(Ω) est donc le dual de l’ensembleE(Ω) = C∞(Ω).

1.4. OPERATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS 7

1.4 Operations sur les distributions

1.4.1 Multiplication par une fonction C∞

Si T ∈ D′(Ω) et a ∈ C∞(Ω), on definit la distribution aT par

∀φ ∈ C∞0 (Ω), < aT, φ >=< T, aφ > .

1.4.2 Derivation des distributions

Si T ∈ D′(Ω) et j ∈ N, on definit la distribution ∂T∂xj

par

∀φ ∈ C∞0 (Ω), <∂T

∂xj, φ >= − < T,

∂

∂xjφ > .

Application : Soit P un operateur differentiel a coefficients constants,on appelle solution elementaire de P une distribution E telle quePE = δ0.

1.4.3 Distribution image

Soit f un diffeomorphisme de l’ouvert Ω1 dans l’ouvert Ω2 etT ∈ D′(Ω2). On rappelle la formule de changement de variable∫

Ω1

u f(x)φ(x)dx =

∫Ω2

u(y)φ(f−1(y)

)|detJ(f)(y)|−1 dy

ou J(f) est le jacobien de f . On associe a la distribution T sur Ω2

une distribution sur Ω1 definie a partir de f par

∀φ ∈ C∞0 (Ω1), < T f, φ >=< T,Φ >,

ou Φ est la fonction de C∞0 (Ω2) definie par

∀y ∈ Ω2, Φ(y) = φ(f−1(y)

) ∣∣detJ(f−1)(y)∣∣ .

1.4.4 Produit tensoriel de deux distributions

Soient Ω1 et Ω2 deux ouverts de Rn1 et Rn2 respectivement. Siφ1 ∈ C∞0 (Ω1) et φ2 ∈ C∞0 (Ω2), on definit la fonction φ1 ⊗ φ2 ∈C∞0 (Ω1 × Ω2) par

∀(x1, x2) ∈ Ω1 × Ω2, (φ1 ⊗ φ2)(x1, x2) = φ1(x1)φ2(x2).

On peut demontrer que l’espace vectoriel engendre par les elementsde C∞0 (Ω1) ⊗ C∞0 (Ω2) est dense dans C∞0 (Ω1 × Ω2). Ce resultat dedensite permet de definir une distribution sur Ω1 ×Ω2 en decrivant

8 CHAPITRE 1. DISTRIBUTIONS

son action sur les elements de C∞0 (Ω1)⊗ C∞0 (Ω2).Soient maintenant T1 ∈ D′(Ω1) et T2 ∈ D′(Ω2), on definit une dis-tribution T1 ⊗ T2 sur Ω1 × Ω2 par

∀φ1 ∈ C∞0 (Ω1), ∀φ2 ∈ C∞0 (Ω2),

< T1 ⊗ T2, φ1 ⊗ φ2 >=< T1, φ1 >< T2, φ2 > .

1.4.5 Convolution

Soit T ∈ D′(Rn) et S ∈ E ′(Rn), on definit la distribution T ∗ Sproduit de convolution de T par S en posant

∀φ ∈ C∞0 (Rn), < T ∗ S, φ >=< Ty ⊗ Sz, φ(y + z) >

ou par la notation Ty on signifie que la distribution T agit sur lavariable y. Par exemple, si T = Tf et S = Tg ou f et g sont deuxfonctions de L1

loc(Rn), g a support compact, alors

∀φ ∈ C∞0 (Rn), < Tf ∗ Tg, φ >=

∫f(y)g(z)φ(y + z)dydz.

Application : Soit P un operateur differentiel a coefficients constantspossedant une solution elementaire E, alors si S ∈ E ′(Rn), il existeT tel que PT = S : T = E ∗ S convient.

Chapitre 2

Espaces de Sobolev

Pour ce chapitre, on peut se referer au chapitre 4 de [1] ou au cha-pitre 8 de [2]. On y trouvera en particulier les preuves des resultatssuivants qui ont ete vuess en cours.

2.1 Definition

Soit m ∈ N, on definit

Hm(Ω) = u ∈ L2(Ω), ∂αu ∈ L2(Ω), |α| ≤ m.

Cet espace muni du produit scalaire

(u, v)m =∑|α|≤m

(∂αu, ∂αv)L2(Ω)

est un espace de Hilbert.• C∞c (Ω) est dense dans H1(Ω).• H−1(Ω) est defini comme le dual de C∞c (Ω) pour la norme H1.

2.2 Inegalite de Poincare

Soit Ω un ouvert borne de Rn de diametre D(Ω),

∀u ∈ H10 (Ω), ‖u‖L2(Ω) ≤ 2D(Ω) ‖∇u‖L2(Ω).

2.3 Traces

Soit Ω un ouvert borne regulier C1, l’application continue

γ0 : H1(Ω) ∩ C(Ω) → L2(∂Ω) ∩ C(∂Ω)v 7→ v|∂Ω

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10 CHAPITRE 2. ESPACES DE SOBOLEV

se prolonge par continuite en une application continue de H1(Ω)dans L2(∂Ω), i.e. il existe une constante C > 0 telle que

∀v ∈ H1(Ω), ‖v|∂Ω‖L2(∂Ω) ≤ 2D(Ω) ‖v‖H1(Ω).

On a alorsH1

0 (Ω) = u ∈ H1(Ω), γ0(u) = 0.

2.4 Formule de Green

Soit Ω un ouvert borne regulier de classe C1 de Rn et w ∈ H1(Ω)alors pour tout i ∈ 1, · · · , n,∫

Ω

∂w

∂xidx =

∫∂Ω

w(x)Ni(x) ds

ou Ni est la i-ieme composante de la normale exterieure de Ω.

Corollaire :1- Si u, v ∈ H1(Ω),∫

Ω

u(x)∂v

∂xid x = −

∫Ω

v(x)∂u

∂xidx+

∫∂Ω

u(x)v(x)Ni(x) ds.

2- Si u ∈ H2(Ω) et v ∈ H1(Ω),∫Ω

v∆u dx = −∫

Ω

∇u · ∇v dx+

∫∂Ω

∂u

∂nv ds.

2.5 Theoreme de Rellich

Theoreme : Soit Ω un ouvert borne regulier, l’injection de H1(Ω)dans L2(Ω) est compacte.

Chapitre 3

Elements finis

Pour ce chapitre, on pourra lire les chapitres 3 et 6 de la referencebibliographique [1]. On y trouvera les preuves vues en cours ainsique de nombreux complements. Lire en particulier l’introduction duchapitre 6.

3.1 Fomulation variationnelle

On s’interesse au probleme suivant : soit Ω un ouvert borneregulier et f une fonction continue sur Ω, trouver u telle que

−∆u = f dans Ωu = 0 sur ∂Ω.

(3.1)

Proposition : Soit u ∈ C2(Ω) et

X = φ ∈ C1(Ω), φ = 0 sur ∂Ω.

Alors, u est une solution de (3.1) si et seulement si u ∈ X et verifie

∀v ∈ X,∫

Ω

∇u(x) · ∇v(x) dx =

∫Ω

f(x)v(x)dx. (3.2)

Le probleme (3.2) est appele formulation variationnelle ou for-mulation faible du probleme aux limites (3.1).

L’idee est alors de resoudre (3.2) dans H10 (Ω). En effet H1

0 (Ω) estun espace de Hilbert et on peut donc utiliser le theoreme de Lax-Milgram qui donnera l’existence de solutions. Ce Theoreme a ete vuau Semestre 1 en cours d’analyse fonctionnelle.

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12 CHAPITRE 3. ELEMENTS FINIS

Thoreme de Lax-Milgram : Soit V un espace de Hilbert, L uneforme lineaire continue sur V et a(·, ·) une forme bilineaire continuecoercive sur V (i.e. il existe ν > 0 tel que a(v, v) ≥ ν‖v‖2 pour toutv ∈ H). Alors le probleme variationnel :

trouver u ∈ V tel que ∀v ∈ V, a(u, v) = L(v) (3.3)

admet une unique solution. De plus, cette solution depend continue-ment de la forme lineaire L.

Application : V = H10 (Ω), on verifie alors aisement que

a(u, v) =

∫Ω

∇u(x) · ∇v(x) dx et L(v) =

∫f(x)v(x) dx

verifient les hypotheses de Lax-Milgram. On peut donc resoudre (3.2)dans H1

0 (Ω) et la norme de la solution u est controlee par la normede L a savoir ‖f‖L2(Ω).

Dans le cas ou a est symetrique, on peut caracteriser la solution uobtenue par le theoreme de Lax-Milgram en fonction de la quantite

J(v) =1

2a(v, v)− L(v), ∀v ∈ V

appelee energie de v.

Proposition : Sous les hypotheses du theoreme de Lax-Milgramet avec a symetrique, la solution u realise l’unique minimum de J .De plus, si J a un unique minimum u, alors le probleme variation-nel (3.3) a une unique solution u.

3.2 Approximation interne generale

L’idee est de remplacer le probleme variationnel (3.3) par leprobleme (3.4) :

trouver uh ∈ Vh tel que ∀vh ∈ Vh, a(uh, vh) = L(vh) (3.4)

ou l’espace de Hilbert V a ete remplace par un de ses sous espacesvectoriels de dimension finie Vh, le reel h est un parametre. L’ob-jectif est ensuite de choisir Vh convenablement pour que lorsque leparametre tend vers une certaine limite que l’on prendra 0, la solu-tion uh de (3.4) approche la solution u de (3.3). Nous allons discuterles questions suivantes :

3.2. APPROXIMATION INTERNE GENERALE 13

– Qu’a-t-on gagne en remplacant V par Vh ?– Comment estimer ‖u− uh‖ ?– Comment faire pour que uh approche u ?

3.2.1 Un probleme lineaire

Comme Vh est un espace vectoriel de dimension finie Nh, leprobleme (3.4) est en fait un systeme de Nh equations a Nh in-connues. Il s’ecrit

KhUh = bh

ou Uh est l’inconnue, bh et Uh sont des vecteurs de CNh et Kh est unematrice Nh×Nh appelee matrice de rigidite. On verifie aisementque l’hypothese de coercivite sur a implique que Kh est inversible.On est donc assure de pouvoir resoudre (3.4).

3.2.2 Lemme de Cea

Le lemme de Cea montre que la difference entre u et uh estcontrolee par la distance de u au sous-espace vectoriel Vh.

Lemme de Cea : Si u (resp. uh) est une solution du problemevariationnel (3.3) (resp. (3.4)), alors

‖u− uh‖ ≤M

νInfvh∈Vh

‖u− vh‖

ou M est la constante de continuite de a et ν la constante de coer-civite. Si de plus a est symetrique

‖u− uh‖ ≤√M

νInfvh∈Vh

‖u− vh‖.

3.2.3 Approximation de la solution du probleme variatio-nel

D’apres le lemme de Cea, pour que uh approche u, il suffit de pou-voir approcher n’importe quel element de V par un element de Vh.Il suffit donc de disposer d’un operateur rh appele operateur d’in-terpolation, defini au moins sur une partie dense V de V et a valeurdans Vh tel que

∀v ∈ V , ‖v − rh(v)‖ −→h→0

0.

Alors, la methode d’approximation variationnelle interne converge :

‖u− uh‖ −→h→0

0.

14 CHAPITRE 3. ELEMENTS FINIS

Pour resumer : l’espace Vh doit satisfaire aux deux criteres suivants :– il faut avoir un operateur d’interpollation entre une partie dense

de V et Vh.– il faut que la matrice de rigidite Kh ne soit pas trop compliquee

pour que la resolution du systeme lineaire KhUh = bh ne soitpas trop couteuse.

3.3 Methode des elements finis

3.3.1 Principes generaux

Dans cette methode, on choisit des espaces d’approximation in-terne Vh associes aux espaces fonctionnels usuels V = H1

0 (Ω) parexemple. Ils sont bases sur un maillage du domaine Ω, c’est-a-diresur un recouvrement de Ω par des volumes elementaires simples(triangles, tetraedres, parallelepipedes). Le parametre h correspondalors a la taille maximale des mailles de sorte que lorsque h tendvers 0, Vh approche de mieux en mieux V . Une base de Vh seraconstituee de fonctions a support dans une ou quelques mailles desorte que la matrice Kh aura la plupart de ses coefficients nuls.

3.3.2 Elements finis P1

On se place en dimension 1 et on prend Ω =]0, 1[. Rappelons quenotre probleme modele s’ecrit

−u′′ = f dans ]0, 1[u(0) = u(1) = 0.

Par le theoreme de Lax-Milgram, pour f ∈ L2(Rd), il existe uneunique solution u dans H1

0 (]0, 1[) que nous voulons approcher.

La donnee d’un maillage de ]0, 1[ est la donnee d’une subdivision

x0 = 0 < x1 < · · · < xn < xn+1 = 1.

Si les points sont equidistants

∀j ∈ 0, · · · , n, xj+1 − xj = h,

le maillage est dit uniforme. Sur ce maillage uniforme, on considerel’espace vectoriel Vh des fonctions continues qui sont affines sur cha-cun des intevalles [xi, xi+1] pour tout i ∈ 0, · · · , n et son sous-

espace vectoriel V(0)h des fonctions de Vh s’annulant en 0 et en 1.

3.3. METHODE DES ELEMENTS FINIS 15

Les fonctions de Vh et de V(0)h se representent facilement a l’aide de

fonctions de base tres simples. Soit Φ ∈ C0(R) donnee par

Φ(x) =

1− |x| si |x| ≥ 1,0 sinon

et pour 0 ≤ j ≤ n+ 1,

Φj(x) = Φ

(x− xjh

), ∀x ∈ R.

On note φj leurs restrictions a [0, 1].

Proposition : L’espace Vh (resp. V(0)h ) est un sous-espace vectoriel

de dimension n+ 2 (resp. n) de H1(]0, 1[) (resp. H10 (]0, 1[)). De plus

∀vh ∈ Vh, vh =∑

0≤j≤n+1

vh(xj)φj,

∀vh ∈ V (0)h , vh =

∑1≤j≤n

vh(xj)φj.

Pour demontrer cette proposition, on compare les deux fonctions surles intervalles [xj, xj+1] et on utilise que deux fonctions affines sontegales si elles prennent la meme valeur en au moins deux points.

Mise en oeuvre de la methode : On verifie aisement que lamatrice de rigidite Kh est tridiagonale :

Kh =

(∫ 1

0

φ′j(x)φ′i(x)dx

)1≤i,j≤n

avec ∫ 1

0

φ′j(x)φ′i(x)dx =

−1/h si |j − i| = 1,2/h si j = i,0 si |j − i| > 1.

Le vecteur bh est donne par

bh =

(∫ 1

f(x)φ1(x)dx, · · · ,∫ 1

0

f(x)φn(x)dx

)Il faut donc utiliser des methodes de calcul de valeur approcheesd’integrales pour determiner bh (methode du point milieu ou methodedes trapezes par exemple).

16 CHAPITRE 3. ELEMENTS FINIS

Convergence et estimation d’erreur : Pour montrer la conver-gence de la methode, il nous faut trouver un operateur d’inter-polation. L’operateur

rh : f 7→n+1∑j=0

f(xj)φj

est nul sur Vh. Il est bien defini sur les fonctions continues. Deplus, comme la dimension d’espace est 1, H1(]0, 1[) ⊂ C0(]0, 1[) etl’operateur rh est donc bien defini sur H1(]0, 1[). Le lemme suivantnous donne la convergence de la methode par le lemme de Cea.

Lemme d’interpolation : On a

∀v ∈ H1(]0, 1[), ‖v − rh(v)‖H1 −→h→0

0

∀v ∈ H2(]0, 1[), ‖v − rh(v)‖H1 ≤ Ch‖v′′‖L2 .

3.3.3 Quelques notions sur les elements finis Pk, k > 1

Elements finis P2 : L’espace Vh est constitue des fonctions coınci-dant avec un polynome de degre 2 sur chacun des intervalles [xj, xj+1],

0 ≤ j ≤ n + 1. L’espace V(0)h est le sous-espace des elements de Vh

s’annulant en 0 et 1. On parle alors d’elements finis de Lagranged’ordre 2 et l’on peut faire le choix des fonctions meres :

Φj(x) = Φj

(x− xjh

)pour 0 ≤ j ≤ n+ 1 et

Ψj+ 12

= Ψ

(x− xj+ 1

2

h

)pour 0 ≤ j ≤ n

ou xj+ 12

=xj + xj+1

2et ou Φ et Ψ sont definies par

Φ(x) =

(1− |x|)(1− 2|x|) si |x| ≤ 1,0 sinon,

Ψ(x) =

1− 4x2 si |x| ≤ 1

2,

0 sinon.

On note ψj et φj leurs restrictions a [0, 1]. L’operateur d’interpol-lation est alors defini sur l’ensemble des fonctions C∞ a supportcompact dans [0, 1] qui est une partie dense de H1(]0, 1[) par

rh(f) =∑

0≤j≤n+1

f(xj)ψj(x) +∑

0≤j≤n

f(xj+ 12)ψj+ 1

2.

3.4. QUELQUES NOTIONS SUR LES ELEMENTS FINIS EN DIMENSION D’ESPACE N ≥ 217

Elements finis P3 : La aussi, on peut prendre l’espace Vh constituedes fonctions coıncidant avec un polynome de degre 3 sur chacun

des intervalles [xj, xj+1], 0 ≤ j ≤ n + 1 et le sous-espace V(0)h des

elements de Vh s’annulant en 0 et 1. On parle alors d’elements finis deLagrange d’ordre 3. Mais on peut aussi demander aux fonctions deVh d’etre C1, on parle alors d’elements finis de Hermite. Les fonctionsmeres des elements finis d’Hermite sont Φ et Ψ donnees par

Φ(x) =

(1− |x|)2(1 + 2|x|) si |x| ≤ 1,0 sinon,

Ψ(x) =

x(1− |x|)2 si |x| ≤ 1,0 sinon.

On definit alors φj et ψj comme la restriction a [0, 1] des fonctions

Φj(x) = Φj

(x− xjh

)et Ψj = Ψ

(x− xjh

)pour 0 ≤ j ≤ n+1

3.4 Quelques notions sur les elements finis endimension d’espace N ≥ 2

Le lecteur interesse est renvoye a la section 6.3 de la reference [1].

18 CHAPITRE 3. ELEMENTS FINIS

Chapitre 4

Equation des Ondes

L’operateur =∂2

∂t2−∆x est appele operateur des ondes ou

d’Alembertien. L’equation d’evolution associee u = 0 dans D′(]0,+∞[×R3)u(0, .) = f,∂tu(t, 0) = g,

(4.1)

est une equation modele pour l’etude physique des phenomenes depropagation d’ondes (lumiere, cordes vibrantes,...). On se reporteraau chapitre 9 de [2].

4.1 Solution elementaire de

4.1.1 Preliminaires

Dans ce paragraphe, on analyse la distribution definie pour t ∈ Rpar

∀φ ∈ C∞0 (R3), < Tt, φ >=t

4π

∫S2

φ(tω) dω

ou S2 designe la sphere unite de R3 et dω la mesure de Lebesquesur S2.

Proposition :

1. Tt est une distribution d’ordre 0 pour tout t ∈ R.

2. Supp(Tt) ⊂ x ∈ R3, |x| = |t|.3. Tt ∈ C∞(R, E ′(R3)).

4. T0 = 0,

(d

dtTt

)t=0

= δ0,

(d2

dt2Tt

)t=0

= 0,

19

20 CHAPITRE 4. EQUATION DES ONDES

5.d2

dt2Tt −∆Tt =

d3

dt3Tt −∆

d

dtTt = 0 dans D′(R3) pour tout t > 0.

4.1.2 Solution elementaire de

Theoreme : La distribution E definie par

∀ψ ∈ C∞0 (Rt ×R3x), < E, ψ >=

∫ +∞

0

t

4π

∫S3

ψ(t, tω)dω dt

verifie E = δ0 dans D′(Rt ×R3x).

Remarques : 1) < E,ψ >=∫ +∞

0< Tt, ψ(t, ·) > dt

2) Supp(E) = (t, x) ∈ Rt ×R3x, t ≥ 0, |x| = t.

4.2 Le probleme de Cauchy homogene

On etudie le probleme de Cauchy (4.1) avec des donnees initialesf, g ∈ D′(R3).

Theoreme : Le probleme (4.1) admet une solution u ∈ C∞(R,D′(R3))donnee par

u(t, ·) = Tt ∗ g + ∂tTt ∗ f.

Remarques : 1) On peut demontrer que u est l’unique solutionde (4.1) (cf. paragraphe 4.5).2) Si f, g ∈ C∞(R3), alors u ∈ C∞(R4) (propriete de la convolution).

4.3 Proprietes de la solution

4.3.1 Dispersion

La propriete de dispersion concerne la propriete de decroissanceen grands temps.

Proposition : Si f, g ∈ C∞0 (R3), alors ∀t > 1, ∀x ∈ R3,

|u(t, x)| ≤ 1

4πt

∑1≤i≤3

‖∂xig‖L1(R3) +∑

1≤|α|≤2

‖∂αf‖L1(R3)

.

4.4. LE PROBLEME INHOMOGENE 21

4.3.2 Propagation a vitesse finie, principe d’Huyghens

Proposition (Propagation a vitesse finie) : Soit f, g ∈ C∞0 (R3) tellesque Supp(f) ∪ Supp(g) ⊂ |x| ≤ R alors pour tout t > 0

Supp(u(t, ·)) ⊂ |x| ≤ R + t.Proposition (Principe d’Huyghens) : Sous les memes hypotheses,u = 0 dans t > R et |x| < t−R.

Proposition (Domaine d’influence) : La valeur de u en (t0, x0) nedepend que de la valeur des donnees initiales f et g sur l’intersectionde t = 0 et du cone retrograde de sommet t0, x0.

Faire un dessin !

4.3.3 Conservation de l’energie

Soit u la solution du theoreme, on appelle energie de u la quan-tite

E(t) =

∫ (|∂tu(t, x)|2 + |∇xu(t, x)|2

)dx.

Proposition : Soit f, g ∈ C∞0 (R3) et u la solution du theoreme,alors

∀t ∈ R, E(t) = ‖g‖2L2(R3) + ‖f‖2

L2(R3).

Corollaire : Si g ∈ L2(R3) et f ∈ H1(R3) alors u(t, ·) ∈ H1(R3) et∂tu(t, ·) ∈ L2(R3) pour tout t ∈ R.

4.4 Le probleme inhomogene

Soit F ∈ C∞(R4

+

)ou

R4+ = (t, x) ∈ R×R3, t ≥ 0.

La fonction F est alors une fonction de ]0,+∞[×R3 dans C et ilexiste G ∈ C∞(R4) telle que F (0, ·) = G.

Theoreme : Soit F ∈ C∞(R4

+

), et f, g ∈ D′(R3), il existe une

unique solution u ∈ C∞(R,D′(R3)) telle que u = F dans D′(]0,+∞[×R3)u(0, .) = f,∂tu(t, 0) = g.

(4.2)

22 CHAPITRE 4. EQUATION DES ONDES

4.5 Unicite des solutions

Theoreme : Si u ∈ C∞(R,D′(R3)) est solution de

u = 0, u(0, ·) = ∂tu(0, ·) = 0

alors u = 0.

Ce theoreme implique l’unicite des solutions des problemes deCauchy que nous avons etudies.

Chapitre 5

La transformation deFourier

5.1 Rappels

On rappelle que si f ∈ L1(Rn), on lui associe la fonction ξ 7→ f(ξ)definie par

∀ξ ∈ R, f(ξ) =

∫eix·ξf(x) dx.

La fonction f est continue bornee, ‖f‖L∞ ≤ ‖f‖L1 et elle tend vers 0a l’infini.De plus, si f ∈ C∞0 (Rn), on remarque que

∀α ∈ Nn, ξαf(ξ) = (−i)|α|∂αf(ξ) et ∂αf(ξ) = i|α|xαf(ξ).

Il en resulte que f ∈ C∞(Rn) et f(ξ) ainsi que toutes ses deriveestendent vers 0 lorsque ξ tend vers +∞ plus vite que n’importe quellepuissance de ξ.

5.2 L’espace S des fonctions a decroisance ra-pide

5.2.1 Definition et premieres proprietes

Definition : Soit f ∈ C∞(Rn), on dit que f est dans S(Rn) (ou quef est a decroissance rapide) si

∀α, β ∈ Nn, ∃Cα,β > 0, ∀x ∈ Rn,∣∣xα∂βxf(x)

∣∣ ≤ Cα,β.

23

24 CHAPITRE 5. LA TRANSFORMATION DE FOURIER

Exemples : 1- Les fonctions C∞ a support compact sont a decroissancerapide.2- Pour tout z ∈ C avec Re(z) > 0, la fonction x 7→ e−z|x|

2est a

decroissance rapide.

On munit S(Rn) des semi-normes pα,β definies pour α, β ∈ Nn par

∀u ∈ S(Rn), pα,β(u) = supx∈Rn

∣∣xα∂βu(x)∣∣ .

On a alors les proprietes suivantes

1. Pour tout α ∈ Nn, les applications u 7→ xαu et u 7→ ∂αu sontcontinues.

2. C∞0 (Rn) est dense dans S(Rn).

5.2.2 La transformation de Fourier dans S

Une fonction de S(Rn) est une fonction de L1(Rn), on peut doncdefinir sa transformee de Fourier en posant

∀ξ ∈ Rn, F(f)(ξ) =

∫e−ix·ξf(x)dx.

Theoreme : L’application

F : S(Rn) → S(Rn)f 7→ F(f)

est une bijection bicontinue de S(Rn). De plus pour tout f ∈ S(Rn),

∀x ∈ Rn, F−1(f)(x) = (2π)−n∫

eix·ξf(ξ)dξ = (2π)−nF(f)(−x).

La preuve de ce theoreme utilise le calcul de l’exemple suivant.

Exemple : Si f(x) = e−z|x|2

pour z ∈ C avec Re(z) > 0, alors

F(f)(ξ) =

(√π√z

)ne−|x|24z .

Proprietes : Soit u, v ∈ S(Rn),

1.∫u(x)F(v)(x)dx =

∫F(u)(x)v(x)dx.

2.∫u(x)v(x)dx = (2π)−n

∫F(u)(x)F(v)(x)dx.

3. u ∗ v ∈ S(Rn) et F(u ∗ v) = F(u) · F(v).

4. F(uv) = (2π)−nF(u) ∗ F(v).

5. Pour 1 ≤ j ≤ n,

F(xjf)(ξ) =1

i∂ξjF(f)(ξ) et F(∂xjf) = iξjF(f).

5.3. L’ESPACE S ′ DES DISTRIBUTIONS TEMPEREES 25

5.3 L’espace S ′ des distributions temperees

5.3.1 Definition de S ′

Definition : On appelle S ′(Rn) l’ensemble des formes lineairescontinues sur S(Rn).

On a donc : la forme lineaire T sur S(Rn) est une distribution deS ′(Rn) si et seulement si il existe n, k ∈ N et Cn,k > 0 telle que

∀f ∈ S(Rn), |< T, f >| ≤ Cn,k Sup|α|≤n, |β|≤k

|xα∂βf | .

Proprietes :

1. L’espace S ′(Rn) s’injecte continuement dansD′(Rn) et contientE ′(Rn), l’espace des distributions a support compact :

E ′(Rn) ⊂ S ′(Rn) ⊂ D′(Rn).

2. Si f est une fonction a croissance lente, c’est a dire s’il existek ∈ N tel que

∀α ∈ Nn, ∃Cα > 0, ∀x ∈ Rn, |∂αx f(x)| ≤ Cα(1 + |x|)k,

alors la distribution Tf , multiplication par f , est dans S ′(Rn).

3. Si T ∈ S ′(Rn) alors ∂xjT ∈ S ′(Rn) pour tout j ∈ 1, · · · , n.

5.3.2 La transformee de Fourier dans S ′

Proposition : Soit T ∈ S ′(Rn), la forme lineaire F(T ) appeleetransformation de Fourier de T et definie par

∀φ ∈ S(Rn), < F(T ), φ >=< T,F(φ) > .

est une distribution de S ′(Rn).De plus, l’application de S ′(Rn) dans lui-meme T 7→ F(T ) est unisomorphisme bicontinu de bijection reciproque T 7→ F−1(T ) ouF−1(T ) est definie par

∀φ ∈ S(Rn), < F−1(T ), φ >=< T,F−1(φ) > .

Exemples : 1- F(δ0) = 1 et F(1) = (2π)−nδ0.2- Si Tf est la distribution “multiplication par la fonction f ∈S(Rn)” , alors

F(Tf ) = TF(f).

26 CHAPITRE 5. LA TRANSFORMATION DE FOURIER

3- Si T est la distribution multiplication par eiλ|x|2

ou λ ∈ R∗,

alors F(T ) est la multiplication par la fonction

(√π√|λ|

)ne−i

|x|24λ .

Proprietes : Pour tout j ∈ 1, · · · , n, F(

1i∂xjT

)= ξjF(T ) et

F(xjT ) = i∂xjF(T ).

5.3.3 Transformee de Fourier des distributions a supportcompact

Proposition : Soit T ∈ E ′(Rn) alors la distribution F(T ) est lamultiplication par la fonction a croissance lente ξ 7→< Tx, e

ixξ >.

Remarque : La fonction f : ξ 7→< Tx, eixξ > est bien definie car,

pour tout ξ ∈ Rn, la fonction x 7→ eix·ξ est une fonction bornee deC∞(Rn).

5.3.4 Transformee de Fourier et convolution

Proposition : Soit T ∈ E ′(Rn) et U ∈ S ′(Rn), alors T ∗U ∈ S ′(Rn)et

F(T ∗ U) = F(T )F(U).

Remarque : On remarque que la distribution F(T ) est la multipli-cation par une fonction a croissance lente, on peut donc multiplierF(U) qui est un element de S ′ par cette fonction.

Chapitre 6

Espaces de Sobolev d’indicereel

Du fait des proprietes de la transformation de Fourier, on a lacaracterisation suivante des espaces Hm(Rn) pour m ∈ N : f ∈Hm(Rn) si et seulement si

f ∈ L2(Rd) et ∀α ∈ Nn, |α| ≤ m, ξαf ∈ L2(Rn).

On va donc utiliser cette caracterisation pour definir des espaces deSobolev d’indice reel.

6.1 Definition

Definition : Pour s ∈ R, on pose

Hs(Rn) = u ∈ S ′(Rn), u mesurable et (1 + |ξ|2)s2 ∈ L2(Rn).

On munit Hs(Rn) du produit scalaire

(u, v)s =

∫Rn

(1 + |ξ|2)su(ξ)v(ξ)dξ.

Proprietes :– Pour s1 ≥ s2, Hs1(Rn) s’injecte continuement dans Hs2(Rn).– (Hs(Rn), ‖ · ‖s) est un espace de Hilbert.– Si k ∈ N et Ω = Rn, l’espace Hk(Ω) du chapitre 2 coıncide

avec l’espace Hk(Rn) defini ci-dessus.

6.2 Densite des fonctions regulieres

Proposition : S(Rn) et C∞0 (Rn) sont denses dans Hs(Rn).

27

28 CHAPITRE 6. ESPACES DE SOBOLEV D’INDICE REEL

6.3 Operations sur Hs

Proposition :– Si φ ∈ S(Rn) et u ∈ Hs(Rn) alors φu ∈ Hs(Rn) et

‖φu‖s ≤ (2π)−n2|s|2

(∫(1 + |ξ|2)

|s|2 |φ(ξ)|dξ

)‖u‖s.

– Si α ∈ Nn et u ∈ Hs(Rn) alors ∂αu ∈ Hs−|α|(Rn) et

‖∂αu‖s−|α| ≤ ‖u‖s.

La preuve du premier point de la Proposition repose sur l’estimation

∀ξ, η ∈ Rn, (1 + |ξ|2)s ≤ 2|s|(1 + |ξ − η|2)|s|(1 + |η|2)s.

6.4 Structure locale des distributions

Theoreme : Soit k ∈ N et s ∈ R tel que s > n2

+ k. L’espacevectoriel Hs(Rn) est inclus avec injection continue dans l’espacevectoriel des fonctions u ∈ Ck(Rn) qui tendent vers 0 ainsi quetoutes leurs derivees.

Corollaire : L’intersection des Hs(Rn) pour s ∈ R est inclusdans l’espace vectoriel des fonctions indefiniment derivables tendantvers 0 ainsi que toutes leurs derivees.

6.5 Dualite

On remarque que si v ∈ H−s(Rn) et u ∈ Hs(Rn) alors la fonction

ξ 7→ u(ξ)v(−ξ)

est une fonction de L1(Rn). En effet cette fonction est le produitdes deux fonctions de L2(Rn)

ξ 7→ (1 + |ξ|2)s2 u(ξ) et ξ 7→ (1 + |ξ|2)−

s2 v(ξ).

On a donc, ∣∣∣∣∫ u(ξ)v(−ξ)dξ∣∣∣∣ ≤ ‖u‖s ‖v‖−s.

Etant donnee v ∈ H−s(Rn), on peut donc construire une formelineaire continue sur Hs(Rn)

Lv : Hs(Rn) → Cu 7→ (2π)−n

∫u(ξ)v(−ξ)dξ.

6.5. DUALITE 29

Theoreme : L’application

L : H−s(Rn) → Hs(Rn)v 7→ Lv

est lineaire bijective et bicontinue.Elle permet d’identifier le dual de Hs(Rn) a H−s(Rn).

30 CHAPITRE 6. ESPACES DE SOBOLEV D’INDICE REEL

Chapitre 7

L’equation de Schrodinger

On s’interesse dans ce chapitre a l’operateur de Schrodinger

P = i∂t + ∆x

et a l’equation d’evolution qui lui est associeei∂tu−∆xu = 0 dans D′(R×Rn),ut=0 = g(x).

(7.1)

7.1 Le Probleme de Cauchy

7.1.1 Donnees dans S(Rn)

Theoreme : Soit g ∈ S(Rn), il existe une unique solution u ∈C∞(R,S(Rn)) verifiant (7.1). De plus

u(t, x) = (2π)−n∫

eix·ξ−it|ξ|2

g(ξ)dξ.

7.1.2 Donnees dans Hs(Rn)

Theoreme : Soient s ∈ R et g ∈ Hs(Rn), il existe une uniquesolution u ∈ C∞(R, Hs(Rn)) verifiant (7.1). De plus pour k ∈ N,∂kt u ∈ C0(R, Hs−2k(Rn)) et pour tout t ∈ R,

‖u(t)‖s = ‖g‖s et ‖∂kt u(t)‖s−2k ≤ ‖g‖s.

31

32 CHAPITRE 7. L’EQUATION DE SCHRODINGER

7.2 Proprietes des solutions

7.2.1 Dispersion

Proposition : Si g ∈ S(Rn) alors pour tout t 6= 0, la solutionde (7.1) s’ecrit

u(t, x) = (4π|t|)−n2 e−in

π4

sgn(t)ei|x|24t F

(ei|·|24t g

)( ·2t

).

Corollaire : Pour tout t 6= 0 et tout x ∈ Rn

|u(t, x)| ≤ (4π|t|)−n2 ‖g‖L1(Rn).

7.2.2 Vitesse infinie de propagation

Proposition : Soit g ∈ L2(Rn) et supposons

∀α ∈ Nn, xαg(x) ∈ L2(Rn),

alors pour tout t 6= 0, u(t) ∈ C∞(Rn).

La regularite de la solution pour t 6= 0 ne depend pas de la regularitede la donnee a t = 0 mais de son comportement a l’infini : lesproprietes a l’infini reviennent instantanement a distance finie sousforme de regularite. C’est pour cette raison que l’on parle de vitesseinfinie de propagation.