Semantische Aspekte pluraler prädikatenlogischer Sprachen

Semantische Aspekte pluralerprädikatenlogischer Sprachen

Jonathan Lukic

AbstractPlural constructions in mathematical speech are no rarity. E.g.,when we want to say that the real numbers are the basis on whichwe construct Calculus (cf. [16], p. 6), and that the integers are anintegral domain (cf. [14], p. 237), we are not talking about onething, namely the set of the real numbers and the set of the inte-gers, respectively, but we are talking about several things, namelythe real numbers and the integers, respectively. In the presentpaper, we introduce a semantics which takes the use of pluralconstructions in mathematical speech as a basis and thus avoidssets and attributes.

Einleitung

Plurale Satzkonstruktionen sind keine Seltenheit in der Sprache der Ma-thematik. Sie werden dort eingesetzt, wo mengentheoretische Satzkon-struktionen sperrig wirken und nichts zum besseren Verständnis des In-halts beitragen. Etwa heißt es in einem Standardwerk der Analysis: “Diereellen Zahlen sind das Fundament, auf dem wir die Analysis aufbau-en” [16, p. 6]. In einem Einführungswerk zum mathematischen Arbeitenheißt es: “Die ganzen Zahlen . . . sind ein Integritätsbereich . . .” [14, p.237]. In beiden Sätzen ist nicht die Rede von einem Ding, nämlich derMenge der reellen Zahlen bzw. der Menge der ganzen Zahlen, sondernvon mehreren Dingen, nämlich den reellen Zahlen bzw. den ganzen Zah-len. Anders ausgedrückt: ‘Die reellen Zahlen’ und ‘Die ganzen Zahlen’sind Namen, die jeweils nicht genau ein Ding, sondern mehrere Dingebezeichnen.

Eine andere plurale Satzkonstruktion in der Sprache der Mathematikfindet sich in einem Standardwerk der Zahlentheorie: “Ist d eine der Zah-len −11,−7,−3,−2,−1, 2, 3, 5, 13, so ist der Ganzheitsring von Q(

√d)

euklidisch” [4, p. 73]. Mengentheoretisch könnte das im Antezedens Be-hauptete durch den Satz ‘d ∈ {−11,−7,−3,−4, −1, 2, 3, 5, 13}’ ausge-drückt werden, doch wird hier die Elementbeziehung der Mengentheorie

Kriterion – Journal of Philosophy (2015) 29: 96–119.http://www.kriterion.at c© 2015 The author

http://www.kriterion.at

Jonathan Lukic: Plurale Prädikatenlogische Sprachen 97

zur Erläuterung herangezogen, während bei der pluralen Konstuktion dieInklusionsbeziehung Eine-der-Zahlen-Sein diese Rolle übernimmt, ohnedabei auf mengentheoretische Konstruktionen Bezug nehmen zu müssen.

Ziel dieses Artikels ist die Darstellung einer Alternative zu gängi-gen Semantiken für plurale prädikatenlogische Sprachen, die weder aufMengen, noch auf Attribute Bezug nimmt (Abschnitt 3). Zunächst wirdeine plurale prädikatenlogische Sprache aufgebaut (Abschnitt 1) und eswerden einige bestehende Semantiken dargestellt (Abschnitt 2).

1 Eine plurale prädikatenlogische Sprache

Es wird eine plurale Prädikatenlogik vorgestellt, welche den Namen ‘PPL’trägt. Die Sprache von PPL, welche mit ‘LPPL’ bezeichnet wird, ist eine“einfache” Erweiterung der prädikatenlogischen Sprache erster Stufe undkann zu bestehenden pluralen prädikatenlogischen Sprachen erweitertwerden.

Wie die Sprache der Prädikatenlogik höherer Stufe kann die Sprachevon PPL mit Hilfe von Typen festgelegt werden1. PPL-Typen werdendabei wie folgt definiert:

Definition 1 τ ist ein PPL-Typ gdw eine der folgenden Bedingungengilt:

(1) τ = 0;

(2) τ = 1;

(3) τ = 〈τ1, . . . , τn〉, mit τi = 0 oder τi = 1 (1 ≤ i ≤ n).

Die PPL-Typen 0 und 1 werden auch ‘PPL-Basistypen’ genannt. Vondiesen sind die restlichen, sogenannten ‘PPL-Funktionstypen’ zu unter-scheiden. Diese haben die Form 〈τ1, . . . , τn〉, wobei τi = 0 oder τi = 1(1 ≤ i ≤ n). 〈τ1, . . . , τn〉 ist der PPL-Typ von Prädikatkonstanten. DerPPL-Typ einer Prädikatkonstante enthält einige wichtige Informationen:

(1) Wenn eine Prädikatkonstante P vom PPL-Typen 〈τ1, . . . , τn〉 ist(n ≥ 1), dann ist P eine n-stellige Prädikatkonstante.

(2) Wenn eine Prädikatkonstante P vom PPL-Typen 〈τ1, . . . , τn〉 ist(n ≥ 1) und τi = 0 (1 ≤ i ≤ n), dann verlangt P an der i-tenStelle eine singuläre Variable – ansonsten verlangt P an der i-tenStelle eine plurale Variable (1 ≤ i ≤ n).

98 Kriterion – Journal of Philosophy (2015) 29: 96–119

Eine n-stellige Prädikatkonstante, welche an jeder Stelle eine Variablevom PPL-Basistyp τ verlangt, ist vom PPL-Typ 〈τ1, . . . , τn〉, wobei τi = τ(1 ≤ i ≤ n). Ein solcher PPL-Funktionstyp kann durch ‘〈τ〉ni=1’ abgekürztwerden.

Auf Grundlage der PPL-Typen kann nun das Vokabular von PPLfestgelegt werden.

Definition 2 Das Vokabular von PPL besteht aus folgenden Symbolen:

(1) ξτ1 , ξτ2 , ξτ3 , . . ., für alle PPL-Basistypen τ ;

(2) P 〈τ1,...,τn〉1 , P〈τ1,...,τn〉2 , P

〈τ1,...,τn〉3 , . . ., für alle PPL-Funktionstypen

〈τ1, . . . , τn〉 (n ≥ 1);

(3) ¬,∧,→,≺,∀

(4) (, )

Die unter (1) angeführten Symbole werden ‘Variablen’ genannt. Ist derTyp einer Variable 0, so wird sie ‘singuläre Variable’ genannt. Ist ihrTyp 1, so wird sie ‘plurale Variable’ genannt. Die unter (2) angeführtenSymbole werden ‘n-stellige Prädikatkonstanten’ genannt, wenn sie vomPPL-Funktionstyp 〈τ1, . . . , τn〉 (n ≥ 1) sind. Die unter (3) angeführtenSymbole werden ‘logische Konstanten’ genannt und heißen der Reihenach ‘Negationssymbol’, ‘Konjunktionssymbol’, ‘Subjunktionssymbol’,‘Inklusionssymbol’, ‘Allquantor’. Die unter (4) angeführten Symbole wer-den ‘Hilfssymbole’ genannt. Zur leichteren Mitteilbarkeit werden für dieunter (1) und (2) angeführten Symbole metasprachliche Namen verwen-det. Für singuläre oder plurale Variablen wird der metasprachliche Na-me ‘ξ’, manchmal auch durch eine natürliche Zahl indiziert, verwendet,für singuläre Variablen werden die metasprachlichen Namen ‘x’ und ‘y’verwendet, für plurale Variablen werden die metasprachlichen Namen‘X’ und ‘Y ’ verwendet, für Prädikatkonstanten wird der metasprachli-che Name ‘P ’ verwendet, wobei die Stellenanzahl der Prädikatkonstanteaus dem Kontext hervorgeht, etwa durch die Anzahl der auf sie folgendenVariablen.

Definition 3 Die wohlgeformten Formeln von PPL sind induktiv wiefolgt festgelegt:

(1) Wenn ξ1, . . . , ξn (n ≥ 1) Variablen der PPL-Basistypen τ1, . . . , τnsind und P eine Prädikatkonstante des Typs 〈τ1, . . . τn〉 ist, dannist Pξ1 . . . ξn eine Formel von PPL;


(2) Wenn x eine Variable des PPL-Basistyps 0 ist und X eine Variabledes PPL-Basistyps 1 ist, dann ist x ≺ X eine Formel von PPL;

(3) Wenn A und B Formeln von PPL sind, dann sind ¬A, (A∧B), (A→B) Formeln von PPL;

(4) Wenn ξ eine Variable ist und A eine Formel von PPL ist, dann ist∀ξA eine Formel von PPL;

(5) Sonst ist nichts eine Formel von PPL.

Manche Autoren unterscheiden bereits bei der Festlegung des Vo-kabulars zwischen singulären und pluralen Quantoren, indem sie zweiverschiedene Quantoren in das Vokabular aufnehmen2. Diese Unterschei-dung wird bei der Festlegung des Vokabulars von PPL nicht getroffen,da sie sich durch die Festlegung der wohlgeformten Formeln für PPL oh-nehin ergibt: Ein Vorkommnis eines Quantors ist singulär gdw er eineVariable des PPL-Typs 0 bindet. Und ein Vorkommnis eines Quantorsist plural gdw er eine Variable des PPL-Typs 1 bindet.

Aus der Bildungsregel (2) für wohlgeformte Formeln von PPL gehthervor, dass das Inklusionssymbol ‘≺’ eine logische Prädikatkonstantevom Typ 〈0, 1〉 ist. Einige Autoren nehmen auch Inklusionssymbole derTypen 〈0, 0〉, 〈1, 1〉 und 〈1, 0〉 mit in ihre Sprache auf3. Diese drei Inklu-sionssymbole, welche nicht im Vokabular von PPL enthalten sind, sol-len kurz diskutiert werden. Sie werden entsprechend durch die Symbole‘≺〈0,0〉’, ‘≺〈1,1〉’ und ‘≺〈1,0〉’ dargestellt.

Sind x und y Variablen des PPL-Typs 0 (also singuläre Variablen),so ist die Formel x ≺〈0,0〉 y intuitiverweise genau dann wahr, wenn dasDing, das x (semantisch) zugeordnet wird, eines der Dinge ist, die y zu-geordnet werden. Nun wird y genau ein Ding zugeordnet. Damit die In-klusionsformel wahr ist, muss das Ding, das x zugeordnet wird, identischmit dem Ding sein, das y zugeordnet wird. Es stellt sich heraus, dass mitdem Inklusionssymbol ‘≺〈0,0〉’ dasselbe ausgedrückt werden kann wie dasIdentitätssymbol. Es kann also auf das Inklusionssymbol ‘≺〈0,0〉’ bei derAufstellung des Vokabulars von PPL verzichtet werden und stattdessen,wenn nötig, das Identitätssymbol mit in das Vokabular aufgenommenwerden.

Ähnliches gilt für das Inklusionssymbol ‘≺〈1,0〉’. Ist X eine Variabledes PPL-Typs 1 und x eine Variable des PPL-Typs 0, so ist die FormelX ≺〈1,0〉 x intuitiverweise genau dann wahr, wenn die Dinge, die X (se-mantisch) zugeordnet werden, unter den Dingen sind, die x zugeordnet


werden. Da x genau ein Ding zugeordnet wird, können die X zugeord-neten Dinge nur dann unter den Dingen sein, die x zugeordnet werden,wenn X genau ein Ding zugeordnet wird und dieses Ding identisch istmit dem Ding, das x zugeordnet wird. Auch hier bietet es sich an, dasIdentitätssymbol in das Vokabular von PPL aufzunehmen, möchte mansolche Inklusionsformeln formulieren. Es kann also auf das Inklusions-symbol ‘≺〈1,0〉’ bei der Aufstellung des Vokabulars von PPL verzichtetwerden.

Sind X und Y Variablen des PPL-Typs 1 (also plurale Variablen),so ist die Formel X ≺〈1,1〉 Y intuitiverweise genau dann wahr, wenn dieDinge, die X (semantisch) zugeordnet werden, unter den Dingen sind,die Y zugeordnet werden. Dieses Inklusionssymbol lässt sich auf dasprimitive Inklusionssymbol ‘≺’, welches vom Typ 〈0, 1〉 ist, zurückführen:Die Dinge, die X zugeordnet werden, sind genau dann unter den Dingen,die Y zugeordnet werden, wenn alle Dinge, die unter den Dingen sind,die X zugeordnet werden, auch unter den Dingen sind, die Y zugeordnetwerden (vgl. Definition 1(4)). Es kann also auf das Inklusionssymbol‘≺〈1,1〉’ bei der Aufstellung des Vokabulars von PPL verzichtet werdenund auf Grundlage der primitiven Symbole definiert werden.

Weitere logische Konstanten können, wie üblich, auf Basis der primi-tiven logischen Konstanten eingeführt werden.

Definition 4 Für alle Formeln A,B von PPL, für alle Variablen ξ,für alle pluralen Variablen X und Y und für alle singulären Variablen xgilt:

(1) (A ∨B)↔ ¬(¬A ∧ ¬B)

(2) (A↔ B)↔ (A→ B) ∧ (B → A)

(3) ∃ξA↔ ¬∀ξ¬A

(4) X @ Y ↔ ∀x(x ≺ X → x ≺ Y )

Das unter (4) definierte Symbol ist das bereits diskutierte Inklusionssym-bol des PPL-Typs 〈1, 1〉, welches auf Grundlage des Inklusionssymbolsdes PPL-Typs 〈0, 1〉 eingeführt werden kann.

2 Bestehende Semantiken

2.1 Eine mengentheoretische Semantik

Was bedeuten die Formeln von PPL? Zunächst wird eine mengentheo-retische Semantik für die Sprache von PPL vorgestellt4. Es wird sich


herausstellen, dass sich hinter dieser Semantik die Standardsemantik füreine bestimmte Prädikatenlogik höherer Stufe verbirgt.

Um eine präzise Darstellung zu erzielen, wird auf PPL-Typen dernicht-logischen Symbole Bezug genommen. Dazu sei folgende Hilfsdefi-nition gegeben:

Definition 5 Sei D eine nicht-leere Menge.

(1) D0 = D;

(2) D1 = ℘(D) \ ∅;

Die Zuordnung x 7→ Dτ (τ = 0, 1) wird für die Interpretation der nicht-logischen Variablen und Konstanten benötigt. Dadurch können die Men-gen, über welche die singulären und pluralen Variablen laufen, festgelegtwerden, ebenso wie die Extensionen der Prädikatkonstanten bestimm-ter PPL-Funktionstypen. Dies wird mit der folgenden Definition einerInterpretation geregelt.

Definition 6 I ist eine Interpretation bzgl. D gdw gilt:

(1) D 6= ∅;

(2) I(ξ) ∈ Dτ , für alle Variablen ξ eines PPL-Basistyps τ ;

(3) I(P ) ⊆ Dτ1 × · · · ×Dτn , für alle Prädikatkonstanten P des PPL-Funktionstyps 〈τ1, . . . , τn〉 (n ≥ 1).

Ist x eine singuläre Variable, so wird x durch I ein Element in D zuge-ordnet. Ist X eine plurale Variable, so wird X durch I ein Element in℘(D) zugeordnet, also eine nicht-leere Teilmenge von D. Ist P beispiels-weise eine Prädikatkonstante vom Typ 〈0, 1〉, so ist sie zweistellig, wobeidie erste Stelle eine Variable vom Typ 0 (also eine singuläre Variable)verlangt und die zweite Stelle eine Variable vom Typ 1 (also eine pluraleVariable) verlangt. Die Extension der Prädikatkonstante P ist definiertals eine Teilmenge von D × ℘(D), d.h. als eine Menge von geordnetenPaaren, wobei das erste Glied ein Element des Gegenstandsbereiches unddas zweite Glied eine Teilmenge des Gegenstandsbereiches ist.

In der nächsten Definition werden Interpretationsvarianten definiert.Diese werden für die Interpretation von Quantorenformeln benötigt.


Definition 7 I′ ist eine ξ-Variante von I bzgl. D gdw gilt:

(1) I und I′ sind Interpretationen bzgl. D;

(2) ξ ist eine Variable eines PPL-Basistyps;

(3) I und I′ unterscheiden sich höchstens darin, welchen Wert sie ξzuordnen.

Definition 8 Sei D 6= ∅ und sei I eine Interpretation bzgl. D. Sei xeine singuläre Variable und d ∈ D. Ix/d ist diejenige Interpretationsva-riante von I bzgl. D, für die gilt: I(x) = d.

Nun kann die zweistellige Wahrheitsrelation definiert werden, die zwi-schen einer Interpretation bzgl. einer Menge und einer Formel von PPLbestehen kann.

Definition 9 Sei D 6= ∅ und sei I eine Interpretation bzgl. D. Füralle Variablen ξ1, . . . , ξn (n ≥ 1) der entsprechenden PPL-Basistypenτ1, . . . , τn, alle Prädikatkonstanten P des PPL-Funktionstypen 〈τ1, . . . , τn〉,alle singulären Variablen x, alle pluralen Variablen X, alle Formeln A,Bvon PPL gilt:

(1) I � Pξ1 . . . ξn gdw 〈I(ξ1), . . . ,I(ξn)〉 ∈ I(P );

(2) I � x ≺ X gdw I(x) ∈ I(X) ist;

(3) I � ¬A gdw I 6� A;

(4) I � (A ∧B) gdw I � A und I � B;

(5) I � (A→ B) gdw I 6� A oder I � B;

(6) I � ∀xA gdw für alle x-Varianten I′ von I bzgl. D gilt: I′ � A;

(7) I � ∀XA gdw für alle X-Varianten I′ von I bzgl. D gilt: I′ � A.

Logische Folge und logische Wahrheit werden wie gewöhnlich definiert:

Definition 10 Eine Formel A folgt logisch aus der Formelmenge Mgdw für alle D, alle Interpretationen I und alle B ∈M gilt: Wenn I � B,dann I � A. Eine Formel A ist logisch wahr gdw A aus ∅ logisch folgt.

I � ∀xA gdw für alle d ∈ D gilt: Ix/d � A.


I � ∀XA gdw für alle δ ⊆ D gilt: IX/δ � A.

Die bisherigen Definitionen erinnern stark an die Standardsemantikeiner bestimmten prädikatenlogischen Sprache höherer Stufe. Es handeltsich dabei um diejenige prädikatenlogische Sprache, die neben den In-dividuenvariablen und Prädikatkonstanten vom Typ 〈0〉ni=1 auch (durchQuantoren bindbare) Prädikatvariablen vom Typ 〈0〉 und Prädikatkon-stanten vom Typ 〈τi〉ni=1 mit τi = 0 oder τi = 〈0〉mj=1 enthält5. Das bedeu-tet, dass sich PPL in der Prädikatenlogik höherer Stufe einbetten lässt.Bestimmte Eigenschaften der entsprechenden Prädikatenlogik höhererStufe lassen sich sodann auf PPL übertragen, etwa die Unvollständigkeitvon PPL.

An dieser Stelle drängt sich die Frage auf, wozu das logische SystemPPL eingeführt wird, ist es doch, semantisch gesehen, eine bestimm-te Prädikatenlogik höherer Stufe. Tatsächlich ist PPL technisch gesehenkeine Neuheit. Der Vorzug von PPL gegenüber Prädikatenlogiken höhe-rer Stufe hat allerdings keine technischen, sondern ontologische Gründe.Während nämlich bei der Formulierung der Standardsemantik (d.h. inder Metasprache) der Prädikatenlogik höherer Stufe mengentheoretischeKonstruktionen herangezogen werden, wird diese Vorgehensweise bezüg-lich PPL abgelehnt. Der Grund dieser Ablehnung ist der nur scheinbareBeitrag der mengentheoretische Semantik zum Verständnis der Formelnvon PPL: “It is difficult to see any advantage in the set-theoretic approachto the semantics of plurals.”6 Das zeigt sich etwa in der Interpretation derInklusionsbeziehung als mengentheoretische Elementschaftsbeziehung; inder Erklärung pluraler Sätze durch singuläre Konstruktionen; in der Re-de von Mengen anstatt von Dingen selbst, die Elemente der Menge sind.

Von allen wissenschaftlichen Theorien sind es die mathematischen, inwelchen Mengen hauptsächlich eingesetzt werden. Die dort ontologischunreflektierte Verwendung von Mengen wirft die Frage auf, inwieweit dieMathematik überhaupt ohne Mengen auskommt. Etwa kann bereits inPPL (mit Identität) ein kategorisches (d.h. die natürlichen Zahlen cha-rakterisierendes) Axiomensystem der Peano-Arithmetik angegeben wer-den, ohne dabei auf Mengen Bezug zu nehmen7.

2.2 Eine pluralistische Attributsemantik

Es bleibt also noch die Aufgabe, eine Semantik für PPL zu formulieren,welche einerseits mengentheoretische Begriffe in der Metasprache vermei-det, und welche andererseits die Formeln von PPL nicht nur technisch,sondern auch philosophisch zufriedenstellend erklärt. Die verbleibenden


Abschnitte widmen sich dieser Aufgabe.

Im einleitenden Abschnitt wurde angedeutet, dass in der mathema-tischen Sprache neben singulären Variablen auch plurale Variablen ver-wendet werden. Diese sollen in der Metasprache von PPL herangezogenwerden. Um die Unterscheidung zwischen singulären und pluralen Va-riablen zu erleichtern, soll sichtbar gemacht werden, ob es sich bei denverwendeten Variablen um singuläre oder plurale Variablen handelt. Isteine in der Metasprache von PPL verwendete Variable (d.h. eine Metava-riable von PPL) µ eine singuläre Metavariable, so wird ihr das Symbol ‘S’angehängt, d.h. µS. Analog wird einer pluralen Metavariable µ das Sym-bol ‘P’ angehängt, d.h. µP. ‘S’ und ‘P’ sind als einstellige Prädikate derMetasprache von PPL (d.h. als einstellige Metaprädikate von PPL) auf-zufassen, die an ihren freien Stellen Metavariablen oder Metakonstantenvon PPL verlangen.

Durch die Unterscheidung zwischen singulären und pluralen Metava-riablen, die in einer Semantik verwendet werden, kann präzise zwischensingularistischen und pluralistischen Semantiken unterschieden werden:Eine Semantik ist singularistisch gdw in ihr nur singuläre Metavariablenvorkommen. Und eine Semantik ist pluralistisch gdw in ihr mindestenseine plurale Metavariable vorkommt. Die oben vorgestellte mengentheo-retische Semantik für PPL ist in diesem Sinne singularistisch, sind dochsämtliche in den Definitionen vorkommenden Metavariablen singulär:I(ξ) ist genau ein Element aus dem Gegenstandsbereich oder genau eineTeilmenge des Gegenstandsbereiches, I, D, Dτ , I(P ) sind jeweils ein-deutig bestimmte Mengen, x, X, P , usw. sind jeweils eindeutig bestimmteSymbole des Vokabulars von PPL.

Die Vermeidung mengentheoretischer Begriffe in der Semantik fürPPL kann durch eine pluralistische Semantik erzielt werden. Zunächst istfestzuhalten, dass singulären Metavariablen (d.h. Metavariablen mit an-gehängtem ‘S’) jeweils genau ein Ding zugeordnet wird, und dass pluralenMetavariablen (d.h. Metavariablen mit angehängtem ‘P’) jeweils minde-stens ein Ding zugeordnet wird. Da einer pluralen Metavariable mehrereDinge zugeordnet werden können, ist der Bezug auf eine entsprechendeMenge, deren Elemente die Dinge sind, nicht notwendig. Beispielsweisetritt anstelle des Bezugs auf die Menge {−11,−7,−3,−2,−1, 2, 3, 5, 13}der Bezug auf die Zahlen −11,−7,−3,−2,−1, 2, 3, 5, 13 selbst. Allgemeintritt nun anstelle des Bezugs auf eine nicht-leere Menge der Bezug aufdie Elemente dieser Menge selbst. Das erste Beseitigungsprinzip – “be-seitigt” werden mengentheoretische Konstruktionen in der Metasprachevon PPL – lautet also wie folgt:


(P1) αS 6= ∅ 7→ es gibt αP

(‘7→’ kann z.B. als ‘wird übersetzt in’ gelesen werden.)Die mengentheoretische Elementbeziehung besteht zwischen zwei Din-

gen, welche jeweils durch singuläre Variablen bzw. Konstanten bezeich-net werden – ein Ding ist Element einer Menge. Diese Menge kann nachdem Prinzip (P1) beseitigt werden, indem auf die Dinge selbst, die Ele-ment der Menge sind, Bezug genommen wird. Der mengentheoretischenElementschaftsbeziehung entspricht nun die plurale Inklusionsbeziehung:Ein Ding ist nicht mehr Element einer Menge von Dingen, sondern einesvon mehreren Dingen. Das zweite Beseitigungsprinzip lautet demnachwie folgt:

(P2) αS ∈ βS 7→ αS ist eines der Dinge βP

Sind mehrere Dinge jeweils Element ein und derselben Menge, so kanndies mit Hilfe der Teilmengenrelation abgekürzt werden. Der Teilmen-genrelation entspricht die Inklusionsbeziehung Unter-den-Dingen-Sein,welche zwischen Dingen bestehen kann. Das dritte Beseitigungsprinziplautet wie folgt:

(P3) αS ⊆ βS 7→ αP sind unter den Dingen βP

Mit Hilfe dieser drei Prinzipien kann die Semantik von PPL bereitszu einem großen Teil von mengentheoretischen Begriffen befreit werden.Übrig bleiben die mengentheoretischen Relationen, die Prädikatkonstan-ten zugeordnet werden, und Interpretationen selbst, welche Funktionensind, also Mengen von geordneten Paaren.

Prädikatkonstanten vom PPL-Typ 〈1〉 (beispielsweise) werden in dermengentheoretischen Semantik als Mengen von Mengen interpretiert.Die Beseitigungsprinzipien (P1)–(P3) können die Bezugnahme auf solcheMengen nicht beseitigen. Dieses Problem lässt sich dadurch lösen, dassPrädikatkonstanten Attribute zugeordnet werden8. Allgemein wird einern-stelligen (n ≥ 1) Prädikatkonstante P ein n-stelliges Attribut I(P )S

zugeordnet.Es bleibt noch die Menge I, welche zu beseitigen ist. I ist eine Funk-

tion, d.h. eine Menge von geordneten Paaren. Die Anwendung von (P1)führt dazu, dass nicht mehr von der Menge I die Rede ist, sondern vonihren Elementen, also von geordneten Paaren. Geordnete Paare werdenfür gewöhnlich als zweielementige Mengen definiert, die Prinzipien (P1)–(P3) sind jedoch zu schwach, um auch diese Mengen zu beseitigen. Ab-hilfe schafft hier die Auffassung, dass geordnete Paare nicht als Mengen


definiert werden müssen: “Although ordered n-tuples are ordinarily mo-deled by sets (when the general resources of set theory are available),we can take them as objects themselves.”9 Dazu wird das dreistelligeMetaprädikat ‘. . . ist ein geordnetes Paar bestehend aus . . . und . . .’ ein-geführt, welches durch ‘Π’ abgekürzt wird. Die folgenden zwei Postulatebestimmen das Prädikat Π näher:

(1) Für alle α und für alle β gibt es ein γ, sodass gilt: Πγαβ.

(2) Für alle α, für alle β, für alle γ, für alle ϕ, für alle ψ und für alleχ gilt: Wenn Πγαβ und Πχϕψ, dann gilt: γ = χ gdw α = ϕ undβ = ψ.

Das erste Postulat besagt, dass zwei Objekte zu einem geordneten Paar“zusammengefasst” werden können. Das zweite Postulat besagt, dass zweigeordnete Paare genau dann miteinander identisch sind, wenn ihre erstenund zweiten Glieder jeweils miteinander identisch sind. Aus den beidenPostulaten folgt unmittelbar die Eindeutigkeit geordneter Paare: Für alleα und für alle β gibt es genau ein γ, sodass gilt: Πγαβ. Damit kann derzweistellige Metafunktor [·, ·] definiert werden:

Definition 11 [α, β] ist dasjenige γ, für welches gilt: Πγαβ.

Es kann also die Menge I mit Hilfe des Prinzips (P1) beseitigt werden,d.h. es wird jetzt nicht mehr auf eine Menge von geordneten PaarenBezug genommen, sondern auf die geordneten Paare selbst. Die geord-neten Paare wiederum werden nicht als Mengen aufgefasst, sondern alsDinge, die gewissen Postulaten genügen, sodass es möglich ist, jeweilsverschiedene geordnete Paare voneinander zu unterscheiden.

Ein letzter Bezug auf Mengen ist noch zu beseitigen. Es handelt sichdabei um die Interpretation pluraler Variablen. In der mengentheoreti-schen Semantik wird jeder pluralen Variable ein Element aus der Po-tenzmenge des Gegenstandsbereiches (bzw. eine Teilmenge des Gegen-standsbereiches) zugeordnet. Ist also X eine plurale Variable, dann gibtes eine Teilmenge M des Gegenstandsbereiches D, sodass 〈X,M〉 ∈ I.Durch Anwendung der Prinzipien (P1) und (P2) resultiert folgende plu-rale Satzkonstruktion:

[XS,MP]S ist unter den IP.

Endlich kann das pluralistische Pendant zum mengentheoretischenInterpretationsbegriff definiert werden. Da nun IP geordnete Paare sind,wird nicht mehr von der Interpretation die Rede sein, sondern von PPL-Zuordnungen.


Definition 12 IP sind PPL-Zuordnungen bzgl. DP gdw gilt:

(1) Für jede singuläre Variable xS gibt es genau ein δS unter den DP,sodass gilt: [x, δ]S ist unter den IP;

(2) Für jede plurale Variable XS gibt es eindeutig bestimmte ∆P unterden DP, sodass gilt: [X,∆]S ist unter den IP;

(3) Für jede n-stellige (n ≥ 1) Prädikatkonstante P S gibt es genau einAttribut AS, sodass gilt: [P,A]S ist unter den IP;

(4) Jedes ϑS unter den IP ist ein geordnetes Paar [α, β]S, das eine derfolgenden drei Bedingungen erfüllt:

(a) αS ist eine singuläre Variable von PPL und βS ist unter denDP;

(b) αS ist eine plurale Variable von PPL und βP sind unter denDP;

(c) αS ist eine Prädikatkonstante von PPL und βS ist Attribut.

IP sind PPL-Zuordnungen gdw es DP gibt, sodass IP PPL-Zuordnungenbzgl. den DP.

Es seien noch einige abkürzende Schreibweisen eingeführt:

Definition 13 Seien IP PPL-Zuordnungen bzgl. DP.

(1) I(x)S ist dasjenige dS unter den DP, für das gilt: [x, d]S ist unterden IP;

(2) I(X)P sind diejenigen ∆P unter den DP, sodass gilt: [X,∆]S istunter den IP;

(3) I(P )S ist dasjenige Attribut AS, für das gilt: [P,A]S ist unter denIP.

Das pluralistische Pendant zur mengentheoretischen Interpretations-variante wird entsprechend wie folgt definiert:

Definition 14 KP unterscheiden sich von IP bzgl. ξS und DP gdw gilt:

(1) IP und KP sind PPL-Zuordnungen bzgl. DP;

(2) ξS ist eine Variable;


(3) Für alle von ξS verschiedenen Variablen νS und für alle αS/P gilt:[ν, α]S ist unter den IP gdw [ν, α]S ist unter den KP.

Das in Bedingung (3) an die Metavariable α angehängte Symbol ‘S/P’deutet an, dass es vom PPL-Typ von αS abhängt, ob βS/P eine singuläreoder plurale Variable ist. Ist αS eine singuläre Variable von PPL, so istβ eine singuläre Metavariable, d.h. βS. Ist αS eine plurale Variable vonPPL, so ist β eine plurale Metavariable, d.h. βP.

Nun kann die Wahrheitsrelation der pluralistischen Semantik defi-niert werden. Sie kann zwischen PPL-Zuordnungen und einer Formel vonPPL bestehen.

Definition 15 Es seien IP PPL-Zuordnungen bzgl. DP. Für alle Va-riablen ξS1 , . . . , ξSn (n ≥ 1) der entsprechenden PPL-Basistypen τS1 , . . . , τSn,alle Prädikatkonstanten P S des PPL-Funktionstypen 〈τ1, . . . , τn〉S, allesingulären Variablen xS, alle pluralen Variablen XS, alle Formeln AS, BS

von PPL gilt:

(1) IP � Pξ1 . . . ξn gdw das Attribut I(P )S von I(ξ1)S/P, . . . ,I(ξn)S/P

in dieser Reihenfolge exemplifiziert wird;

(2) IP � x ≺ X gdw I(x)S unter den I(X)P ist;

(3) IP � ¬A gdw IP 6� A;

(4) IP � (A ∧B) gdw IP � A und IP � B;

(5) IP � (A→ B) gdw IP 6� A oder IP � B;

(6) IP � ∀xA gdw für alle KP, die sich von IP bzgl. x und DP unter-scheiden, gilt: KP � A;

(7) IP � ∀XA gdw für alle KP, die sich von IP bzgl. X und DP unter-scheiden, gilt: KP � A;

In Bedingung (1) deutet das an die Metavariablen I(ξ1), . . . ,I(ξn) an-gehängte Symbol ‘S/P’ an, dass es vom PPL-Typen der Metavariablenξ1, . . . , ξn abhängt, ob I(ξi)

S/P (1 ≤ i ≤ n) eine singuläre oder pluraleMetavariable ist. Ist ξi vom PPL-Typen 0, so ist I(ξi) eine singuläre Me-tavariable, d.h. I(ξi)

S. Ist ξi vom PPL-Typen 1, so ist I(ξi) eine pluraleMetavariable, d.h. I(ξi)

P.Auch in den Definitionen der logischen Wahrheit und logischen Folge

können mengentheoretische Begriffe beseitigt werden:


Definition 16 Eine Formel AS ist logisch wahr gdw für alle DP undalle PPL-Zuordnungen IP bzgl. DP gilt: IP � AS. Eine Formel AS folgtlogisch aus den Formeln MP gdw für alle DP, alle PPL-Zuordnungen IP

bzgl. DP und alle Formeln BS unter den FormelnMP gilt: Wenn IP � BS,dann IP � AS.

In der obigen Semantik werden singuläre Allformeln ebenso wie plura-le Allformeln mit Hilfe des metasprachlichen singulären Quantors erklärt.Der Einwand könnte erhoben werden, plurale Allformeln mit Hilfe sin-gulärer Quantoren der Metasprache zu erklären, sei inadäquat. DiesemEinwand kann mit einer Modifikation der Semantik begegnet werden.

Definition 17 Seien IP PPL-Zuordnungen bzgl. DP. Sei ξS eine Va-riable und sei/en ∆S/P unter den DP. IPξ/∆ sind diejenigen PPL-Zuord-nungen bzgl. DP, für die gilt: IPξ/∆ unterscheidet sich von IP bzgl. ξ undDP, und [ξ,∆]S ist unter den IPξ/∆. Die letzten beiden Bedingungen derWahrheitsrelation können nun wie folgt umformuliert werden:

(6′) IP � ∀xA gdw für alle δS unter den DP gilt: IPx/δ � A;

(7′) IP � ∀XA gdw für alle ∆P unter den DP gilt: IPX/∆ � A.

Der Metaquantor ‘für alle’ in Bedingung (6′) bindet die Metavariable δS,eine singuläre Metavariable, und ist daher ein singulärer Allquantor derMetasprache, d.h. der objektsprachliche singuläre Allquantor wird durchden metasprachlichen singulären Allquantor erklärt. Der Metaquantor‘für alle’ in Bedingung (7′) bindet die Metavariable ∆P, eine plurale Me-tavariable, und ist daher ein pluraler Allquantor der Metasprache, d.h.der objektsprachliche plurale Allquantor wird durch den metasprachli-chen pluralen Allquantor erklärt.

3 Pluralistische attributfreie Semantiken

In der mengentheoretischen Semantik werden Prädikatkonstanten alsmengentheoretische Relationen interpretiert. Dieser Bezug auf Mengenwird in der pluralistischen Semantik dadurch unterbunden, dass Prä-dikatkonstanten Attribute zugeordnet werden. Die Annahme von At-tributen in der pluralistischen Semantik scheint also im Vergleich zurAnnahme von mengentheoretischen Relationen in der mengentheoreti-schen Semantik das “kleinere Übel” zu sein: “My primary goal, however,is not ontological reduction. My goal is to give a semantics that avoidsthe singularizing effects of set theory . . .”10. Der Bezug auf Attribute ist


jedoch philosophisch problematisch, denn PPL könnte nur dann ange-wendet werden, wenn die Existenz von Attributen vorausgesetzt würde.Es ist daher naheliegend, nach einer alternativen Möglichkeit, Prädikat-konstanten zu interpretieren, Ausschau zu halten.

Die in folgenden Unterabschnitt 3.1 vorgestellte Alternative ist aufeinstellige Prädikatkonstanten beschränkt. Die Erweiterung auf belie-bige n-stellige Prädikatkonstanten wird sich aufgrund der begrenztenAusdruckskraft der natürlichen Sprache als problematisch erweisen. InUnterabschnitt 3.2 wird eine pluralistische attributfreie Semantik auf-gebaut, in der auch n-stellige Prädikatkonstanten interpretiert werdenkönnen.

3.1 Superplurale Metavariablen

Plurale Variablen und plurale Quantoren kommen in der natürlichenSprache vor, sie können mittels bestimmter Strategien eindeutig von sin-gulären Variablen und singulären Quantoren unterschieden werden, siesind “verständlich” und können daher zur Erläuterung der Formeln vonPPL herangezogen werden. Wird der Schritt von singulären auf plura-le Variablen und von singulären Quantoren auf plurale Quantoren ein-malig iteriert, ist die Rede von sogenannten “superpluralen Variablen”und “superpluralen Quantoren”. Was sind superplurale Variablen undsuperplurale Quantoren? Kommen sie in der natürlichen Sprache vor?Zunächst wurde dies negativ beantwortet11, doch wurden schnell ver-ständliche Beispiele dafür gefunden12. Ein Beispiel für eine superpluraleVariable in der natürlichen Sprache ist ‘die Eltern der Kinder’ etwa indem Satz ‘Die Eltern der Kinder freuten sich auf den Elternsprechtag’.Es ist nicht nur von den Eltern eines Kindes die Rede, sondern von denEltern der Kinder. Mit der Ausdruckskraft superpluraler Variablen kannalso beispielsweise von verschiedenen Eltern mehrerer Kinder gesprochenwerden, ohne die Eltern dabei zu “vermischen”. Allgemein können mit derAusdruckskraft superpluraler Variablen Dinge “gruppiert” werden, ohnedabei die “Gruppen” als singuläre Dinge aufzufassen.

Superplurale Variablen finden auch in der Sprache der Mathematikihre Anwendung. Mathematisch kann gezeigt werden, dass es für jedenatürliche Zahl n (n ≥ 1) komplexe Zahlen z gibt, welche jeweils dieGleichung zn = 1 erfüllen. (Es ist hier eine Nebensache, dass es genau nsolcher komplexen Zahlen gibt.) Die Lösungen dieser Gleichung sind

1, e2πin ,

(e

2πin

)2

,(e

2πin

)3

, . . . ,(e

2πin

)n−1

.


Diese komplexen Zahlen werden ‘n-te Einheitswurzeln’ genannt und mit‘ n√

1’ bezeichnet. Das Symbol ‘ n√

1’ “steht also für n verschiedene Zah-len . . .”13 und ist demnach eine plurale Variable. Nun können aber auchAussagen über n-te Einheitswurzeln für alle natürlichen Zahlen n auf-gestellt werden, etwa ‘Einheitswurzeln sind komplexe Zahlen’. In diesemFall ist das Symbol ‘ n

√1’ eine superplurale Variable, welche alle Einheits-

wurzeln bezeichnet, ohne sie dabei zu “vermischen”: Es wird über alleEinheitswurzeln (die dritten und die zwölften usw.) geredet und es kannweiterhin zwischen den Einheitswurzeln (den dritten und den zwölftenEinheitswurzeln) unterschieden werden.

Sowohl in dem Beispiel aus der natürlichen Sprache als auch in demBeispiel aus der Mathematik haben superplurale Variablen die Aus-druckskraft, Dinge zu “gruppieren”, ohne sie zu “singularisieren”. Aller-dings ist damit ihre Ausdruckskraft schon ausgeschöpft. SuperpluraleVariablen sind nicht ausdrucksstark genug, um gruppierte Dinge unter-einander zu ordnen, geschweige denn, ungeordnete Gruppen zu ordnen(was mengentheoretische Relationen bzw. Tupel leisten können). Diesführt letztlich dazu, dass nur einstellige Prädikatkonstanten mit Hilfesuperpluraler Metavariablen von PPL interpretiert werden können, dennin diesem Fall ist die Ordnung bzw. die Reihenfolge der Dinge nichtrelevant.

Um in der Metasprache von PPL eine superplurale Variable µ vonpluralen oder singulären Variablen zu unterscheiden, wird ihr das Symbol‘PP’ angehängt, d.h. µPP.

Einer Prädikatkonstante P vom PPL-Typ 〈0〉 (d.h. einer einstelligenPrädikatkonstante, welche eine singuläre Variable verlangt) wird keinoder mindestens ein Ding zugeordnet, d.h. ‘I(P )’ ist eine plurale Meta-variable, d.h. I(P )P. Die entsprechende Bedingung in Definition 12 derPPL-Interpretation kann zunächst wie folgt modifiziert werden:

(3′) Für jede n-stellige (n ≥ 1) Prädikatkonstante P S sind die I(P )P

unter den Dingen DP (wobei P S vom PPL-Typ 〈0〉 ist);

Die Wahrheitsbedingung für Atomformeln (Definition 15(1)), deren Prä-dikatkonstanten vom PPL-Typ 〈0〉 sind, wird auf naheliegende Weiseangepasst:

(1′) IP � Px gdw I(x)S unter den I(P )P ist (wobei P S eine Prädi-katkonstante vom PPL-Typ 〈0〉 ist und x eine singuläre Variableist);

Einer Prädikatkonstante vom PPL-Typ 〈1〉 (d.h. einer einstellige Prä-dikatkonstante, welche eine plurale Variable verlangt) werden auch Dinge


zugeordnet, nur nicht “im pluralen Sinne‘” wie bei Prädikatkonstantenvom PPL-Typ 〈0〉, sondern “im superpluralen Sinne”. In der mengentheo-retischen Semantik wird einer Prädikatkonstante vom PPL-Typ 〈1〉 eineTeilmenge der Potenzmenge des Gegenstandsbereiches zugeordnet. Hierwird dieser Effekt durch superplurale Variablen in der Metasprache vonPPL erreicht. Ist P vom PPL-Typ 〈1〉, so ist I(P ) keine singuläre Me-tavariable, sondern eine superplurale Metavariable, d.h. I(P )PP. Zu (4’)wird nun folgende Bedingung hinzugefügt:

(3′′) Für jede n-stellige (n ≥ 1) Prädikatkonstante P S sind die I(P )PP

unter den Dingen DP (wobei P S vom PPL-Typ 〈1〉 ist);

Auch die Wahrheitsbedingung für Atomformeln, die eine Prädikatkon-stante vom PPL-Typ 〈1〉 enthalten, kann durch die Hinzunahme der fol-genden Bedingung erweitert werden:

(1′′) IP � PX gdw die I(X)P unter den I(P )PP sind (wobei P S eine Prä-dikatkonstante vom PPL-Typ 〈1〉 ist und XS eine plurale Variableist);

Analog wird mit einstelligen Prädikatkonstanten vom beliebigen PPL-Typ verfahren. Auf mehrstellige Prädikatkonstanten kann diese Vorge-hensweise nicht angewandt werden, da die zugrundeliegende natürlicheSprache nicht ausdrucksstark genug ist, um die dafür nötigen “Gruppie-rungen” auszudrücken. Der folgende Abschnitt widmet sich daher derAufgabe, eine plurale attributfreie Semantik zu entwickeln, welche auchmehrstellige Prädikatkonstanten interpretieren kann.

3.2 n-Tupel

Zunächst kann auf Basis des zweistelligen Metafunktors λα1λα2[α1, α2](mit dessen Hilfe geordnete Paare gebildet werden können) für jedesn (n ≥ 3) ein n-stelliger Metafunktor λα1 . . . λαn[α1, . . . , αn] wie folgtdefiniert werden:

Definition 18 [α1, . . . , αn] := [[α1, . . . , αn−1], αn] (n ≥ 3).

Damit können n-Tupel gebildet werden, ohne auf Mengen Bezug nehmenzu müssen. Entsprechend der mengentheoretischen Schreibweise kanndas n-Tupel [α1, . . . , αn] durch ‘[αi]ni=1’ abgekürzt werden. Wie auchin der Mathematik üblich, wird ein aus einem Objekt bestehendes 1-Tupel als das Objekt selbst definiert, d.h. [α] := α. Ebenso gilt folgendesLemma:


Lemma 1 [α1, . . . , αn] = [β1, . . . , βn] gdw αi = βi, für alle i(1 ≤ i ≤ n).

Beweis. Der Satz wird mittels vollständiger Induktion nachn bewiesen.

Induktionsanfang. Für n = 1 gilt α1 = [α1] = [β1] = β1. Fürn = 2 folgt die entsprechende Behauptung aus dem zweitenAxiom der Theorie der geordneten Paare.

Induktionsvoraussetzung. Für alle n (n ≥ 1) gelte:[α1, . . . , αn] = [β1, . . . , βn] gdw αi = βi, für alle i (1 ≤ i ≤ n).Induktionsschritt. [α1, . . . , αn+1] = [β1, . . . , βn+1] gilt nachDefinition genau dann, wenn[[α1, . . . , αn], αn+1] = [[β1, . . . , βn], βn+1]. Nach dem zweitenAxiom der Theorie der geordneten Paare gilt das genau dann,wenn [α1, . . . , αn] = [β1, . . . , βn] und αn+1 = βn+1. NachInduktionsvoraussetzung gilt das genau dann, wenn αi = βi,für alle i (1 ≤ i ≤ n+ 1).

Zunächst können PPL-Funktionstypen auf Basis des “neuen” Tupelbe-griffes definiert werden. Jedem Funktionstyp 〈τ1, . . . , τn〉 entspricht einTupel [τ1, . . . , τn].

Nun können die n-stelligen Prädikatkonstanten einer pluralen prä-dikatenlogischen Sprache dadurch interpretiert werden, dass ihnen je-weils n-Tupel, bestehend aus Objekten des Gegenstandsbereiches, zu-geordnet werden. Formal würde eine entsprechende Interpretation füreine n-stellige Prädikatkonstante P etwa das geordnete Paar [P,R] ent-halten, wobei die plurale Metavariable R n-Tupel bezeichnet, welcheaus Objekten des Gegenstandsbereiches bestehen. Der Begriff der PPL-Zuordnungen kann also wie folgt definiert werden:

Definition 19 Seien DP gegeben. IP sind PPL-Zuordnungen bzgl. denDP gdw gilt:

(1) Für jede singuläre Variable xS gibt es genau ein dS unter den DP,sodass [x, d]S unter den IP ist;

(2) Für jede plurale Variable XS gibt es eindeutig bestimmte δP unterden DP, sodass [X, δ]S unter den IP ist;

(3) Für jede Prädikatkonstante P S des PPL-Funktionstyps [τi]ni=1 gibt

es eindeutig bestimmte n-Tupel RP, sodass gilt:


(a) [P,R]S ist unter den IP;

(b) Für jedes n-Tupel [αi]ni=1 unter den RP sind die αS/P

i (1 ≥ i ≥n) unter den DP;

(4) Jedes ϑS unter den IP ist ein geordnetes Paar [α, β]S, das eine derfolgenden drei Bedingungen erfüllt:

(a) αS ist eine singuläre Variable von PPL und βS ist unter denDP;

(b) αS ist eine plurale Variable von PPL und βP sind unter denDP;

(c) αS ist eine Prädikatkonstante von PPL und βP sind n-Tupel,bestehend aus Dingen unter den DP.

Sind PPL-Zuordnungen I bzgl. den D gegeben, so kann folgendesleicht gezeigt werden:

(1) Für jede singuläre Variable x gibt es genau ein geordnetes Paar[x, d] unter den I, wobei d unter den D ist;

(2) Für jede plurale Variable X gibt es genau ein geordnetes Paar[X, δ] unter den I, wobei δ unter den D sind;

(3) Für jede Prädikatkonstante P gibt es genau ein geordnetes Paar[P,R] unter den I, wobei R geordnete Tupel sind, welche aus Ob-jekten unter den D bestehen.

Sind diese drei Eindeutigkeitsnachweise erbracht, so können abkürzendeSchreibweisen eingeführt werden, wie sie bereits aus der Mengentheoriebekannt sind.

Definition 20 Seien DP gegeben und seien IP PPL-Zuordnungen bzgl.den DP. Sei x eine singuläre Variable, X eine plurale Variable und Peine Prädikatkonstante.

(1) I(x)S ist dasjenige dS, sodass gilt: [x, d]S ist unter den IP;

(2) I(X)P sind diejenigen δP, sodass gilt: [X, δ]S ist unter den IP;

(3) I(P )P sind diejenigen RP, sodass gilt: [P,R]S ist unter den IP.

Um die Bedeutung von Quantorenformeln fixieren zu können, muss fol-gender Hilfsbegriff eingeführt werden:


Definition 21 Seien IP PPL-Zuordnungen bzgl. den DP, sei ξS eineVariable und sei/seien ∆S/P ein/mehrere Ding/e unter den DP. IPξ/∆sind diejenigen PPL-Zuordnungen bzgl. den DP, die sich bzgl. ξS undden DP von IP höchstens darin unterscheiden, dass [ξ,∆]S unter denIPξ/∆ ist.

Nun können die Wahrheitsbedingungen für plurale Sätze aufgestellt wer-den. Dies wird anhand einer zweistelligen Wahrheitsbeziehung fixiert,welche zwischen PPL-Zuordnungen und PPL-Formeln bestehen kann.

Definition 22 Seien DP gegeben und seien IP PPL-Zuordnungen bzgl.den DP. Sei P S eine Prädikatkonstante vom PPL-Funktionstyp [τi]

ni=1,

seien ξS1 , . . . , ξSn Variablen der entsprechenden PPL-Basistypen τ1, . . . , τn,sei xS eine singuläre Variable, sei XS eine plurale Variable, AS und BS

seien Formeln.

(1) IP Pξ1 . . . ξn gdw [I(ξ1), . . . ,I(ξn)]S unter den I(P )P ist;

(2) IP x ≺ X gdw I(x)S unter den I(X)P ist;

(3) IP ¬A gdw es nicht der Fall ist, dass I AS;

(4) IP A ∧B gdw I AS und I BS;

(5) IP A→ B gdw es nicht der Fall ist, dass I AS, oder I BS;

(6) IP ∀ξA gdw für alle ∆S/P unter den DP gilt: IPξ/∆ AS.

Schließich kann die logische Wahrheit und die logische Folge definiertwerden.

Definition 23 Eine Formel AS ist logisch wahr gdw für alle DP undfür alle PPL-Zuordnungen IP bzgl. den DP gilt: IP AS. Eine Formel AS

folgt logisch aus Formeln BP gdw für alle DP und alle PPL-ZuordnungenIP bzgl. den DP gilt: Wenn IP BS, für alle Formeln BS unter den MP,dann IP AS.

Schlussbemerkungen

Ziel dieses Aufsatzes war es, eine alternative Semantik zu bestehendenSemantiken pluraler prädikatenlogischer Sprachen anzugeben. Die darge-stellte pluralistische attributfreie Semantik stützt sich dabei auf Sprech-weisen, wie sie etwa in der Mathematik verwendet werden.


Es bleibt noch zu untersuchen, welche ontologischen Konsequenzendiese pluralistische, attributfreie Semantik nach sich zieht. Um das zuuntersuchen, könnte man etwa das Quine’sche Dictum zu Grunde legen,wonach untersucht werden muss, auf welche Arten von Dingen sich diegebundenen Variablen einer Theorie beziehen. Zunächst könnten die inder semantischen Theorie verwendeten Variablen aufgelistet werden:

DP, IP, τ1, . . . , τn, P S, ξS1 , . . . , ξSn, xS, XS, AS, BS.

Von ontologischem Interesse sind dabei die ersten beiden Variablen, dasie den grundlegenden Unterschied zu den anderen Semantiken ausma-chen. Die Variable DP, die den Gegenstandsbereich festlegt, bezieht sichauf die Dinge selbst. Und die Variable IP wurde so konstruiert, dasssie auf n-Tupel Bezug nimmt, die ohne Zuhilfenahme von Mengen kon-struiert werden können. Diese erste grobe Untersuchung zeigt, dass dievorgestellte Semantik nicht auf Mengen Bezug nimmt, dadurch jedochim Vergleich zur Standardsemantik nichts von ihrer Ausdrucksstärke ver-liert.

Notes

1 Vgl. [15].2 Vgl. [9] und [17], [18].3 Vgl. [10], [17], [18], [9].4 Vgl. [9], pp. 103ff.5 Vgl. [15].6 [9], p. 118.7 Vgl. [5].8 Vgl. [11], pp. 215ff, [9], p. 64 und [18], pp. 254ff.9 [9], p. 64.

10 [9], pp. 64–65.11 Vgl. [12], p. 226ff., [6], p. 86, [9], pp. 46ff.12 Vgl. [8].13 [16], p. 169.


Jonathan LukicFachbereich PhilosophieUniversität Salzburg

<[email protected]>

mailto:[email protected]


Literatur

[1] Boolos, G.: “To Be is to be a Value of a Variable (or to be SomeValues of Some Variables)”, The Journal of Philosophy 81, 1984,pp. 430–449.

[2] Boolos, G.: “Nominalist Platonism”, The Philosophical Review 94,1985, pp. 327–344.

[3] Enderton, H.B.: A Mathematical Introduction to Logic, San Diegoet al.: Harcourt Academic Press, 1972.

[4] Bundschuh, P.: Einführung in die Zahlentheorie, Berlin, Heidel-berg: Springer-Verlag, 2008.

[5] Hossack, K.: “Plurals and Complexes”, British Journal for the Phi-losophy of Science 51, 2000, pp. 411–443.

[6] Linnebo, Ø.: “Plural Quantification Exposed”, Noûs 37, 2003, pp.71–92.

[7] Linnebo, Ø.: “Plural Quantification”, in: Zalta, E.N.: Stanford En-cyclopedia of Philosophy, 2012, Online im WWW unter URL:http://plato.stanford.edu/entries/plural-quant/ [5.3.2014].

[8] Linnebo, Ø. / Nicholas, D.: “Superplurals in English”, Analysis68, 2008, pp. 186–197.

[9] McKay, T.J.: Plural Predication, New York: Oxford UniversityPress, 2006.

[10] Oliver, A. / Smiley, T.: “A Modest Logic of Plurals”, Journal ofPhilosophical Logic 35, 2006, pp. 317–348.

[11] Oliver, A. / Smiley, T.: Plural Logic, Oxford: Oxford UniversityPress, 2013.

[12] Rayo, A.: “Beyond Plurals”, in: Rayo, A. / Uzquiano, G. (Hrsg.):Absolute Generality, New York: Oxford University Press, 2006,pp. 220–254.

[13] Rayo, A.: “Plurals”, Philosophy Compass 2, 2007, pp. 411–427.

[14] Schichl, H. / Steinbauer, R.: Einführung in das mathematischeArbeiten, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.


[15] van Benthem, J. / Doets, K.: “Higher-Order Logic”, in: Gabbay,D.M. / Guenthner, F. (Hrsg.): Handbook of Philosophical Logic.2nd Edition. Volume 1, Dordrecht: Kluwer Academic Plublishers,2001, pp. 189–244.

[16] Walter, W.: Analysis 1, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2004.

[17] Yi, B.-U.: “The Logic and Meaning of Plurals. Part I”, Journal ofPhilosophical Logic 34, 2005, pp. 459–506.

[18] Yi, B.-U.: “The Logic and Meaning of Plurals. Part II”, Journalof Philosophical Logic 35, 2006, pp. 239–288.

Date post:	09-May-2023
Category:	Documents
Upload:	independent
View:	0 times
Download:	0 times

Semantische Aspekte pluraler prädikatenlogischer Sprachen

Documents