Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri

(1-5)

Posted on June 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.

1. Nilai dari cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75° adalah...

Penyelesaian:

Soal dengan bentuk seperti ini dapat dikerjakan dengan rumus Kuadran I. Dimana:

sin α = cos (90-α) atau cos α = sin (90-α).

Penyelesaiannya juga bisa menggunakan identitas trigonometri. Dimana:

sin²α + cos²α = 1

Jadi,

cos²15° + cos²35° + cos²55° + cos²75°

= cos²15° + cos²75° + cos²35° + cos²55°

= cos²(90-75)° + cos²75° + cos²(90-55)° + cos²55°

= sin²75° + cos²75° + sin²55° + cos²55°

= 1 + 1 = 2 -------> (identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

2. Jika sin(x-600)° = cos(x-450)° maka nilai dari tanx adalah...

Penyelesaian:

Penyetaraan antara sisi kiri dan sisi kanan. Menggunakan aturan Kuadran I (seperti pada

soal nomor 1).

sin(x + α) = cos (x + α)

sin(x + α) = sin (90 - (x + α))

Setelah sisi kiri dan kanan sama, nah bisa ditentukan nilai x nya.

Setelah nilai x di dapat, baru deh dihitung nilai tanx nya

Jadi,

sin(x-600)° = cos(x-450)°

sin(x-600)° = sin(90 - (x-450))°

sin(x-600)° = sin(540 - x)°

x - 600° = 540° - x

2x = 540° + 600°

x = 1140°/2 = 570°

tan x = tan 570°

= tan (360 + 210)° = tan 210°

= tan (180 + 30)° -----> Kuadran III

= tan 30° = 1/3 √3

(bernilai + karena tangen pada kuadran III bernilai positif).

3. Diketahui sinx + cosx = -1/5. Maka nilai dari sin2x adalah...

Penyelesaian:

Identitas Trigonometri yang berpengaruh pada soal ini yakni:

sin²α + cos²α = 1 dan aturan sudut rangkap.

Jadi,

sinx + cosx = -1/5

(sinx + cosx)² = (-1/5)² -----> (Kuadratkan kedua ruas.)

sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1/25

sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1/25

1 + 2sinxcosx = 1/25 -----> (Identitas trigonometri sin²α + cos²α = 1)

2sinxcosx = 1/25 - 1

2sinxcosx = 1/25 - 25/25

2sinxcosx = -24/25

sin2x = -24/25

(aturan sudut rangkap sin2x = 2sinxcosx).

4. Diketahui sinα.cosα = 8/25. Maka nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah...

Penyelesaian:

Karena berbentuk pecahan maka samakan dulu penyebutnya.

Identitas trigonometri yg berlaku pada soal ini adalah sin²α + cos²α = 1

Perhatikan pembahasannya pada gambar di bawah ini.

Jadi, nilai dari 1/sinα - 1/cosα adalah 1 7/8.

5. Nilai tanx dari persamaan cos2x - 3sinx - 1 = 0 adalah...

Penyelesaian:

Karena berbentuk persamaan maka unsur trigonometrinya mesti disamakan/disetarakan.

Menggunakan aturan sudut rangkap cos2α. Dimana:

cos2α = cos²α -sin²α atau

cos2α = 2cos²α - 1 atau

cos2α = 1 - 2sin²α

Setelah nilai x di dapat, kemudian dilanjutkan penentuan tanx nya.

Jadi,

cos2x - 3sinx - 1 = 0

cos2x - 3sinx = 1

(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1

(mengubah cos2x yang sesuai dengan -3sinx sehingga persamaan dapat dikerjakan karena

bervariabel sama yakni sinx).

(1 - 2sin²x) - 3sinx = 1

-2sin²x - 3sinx = 1 - 1

-2sin²x - 3sinx = 0

sinx(-2sinx - 3) = 0

sinx = 0 atau -2sinx - 3 = 0

sin x = 0 atau sinx = -3/2

x = 0°

(sinx = -3/2 tidak memenuhi)

maka nilai tan x = tan 0° = 0

Soal dan Pembahasan Persamaan

Trigonometri (1-4)

Posted on July 2, 2013 by @Rudolph_BL in Kalkulus, Trigonometri XI IPA.

1. Penyelesaian:

2. Penyelesaian:

a. b. Mencari nilai maksimum/minimum sebuah

fungsi f(x), dapat dilakukan dengan menurunkan fungsi kemudian mencari nilai x untuk f'(x) = 0

[stationer] lalu mensubtitusikan nilai x tersebut ke fungsi awal f(x).

3. Penyelesaian:

4. Penyelesaian:

Soal Nomor 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x

Pembahasan

y = 5 sin x

y' = 5 cos x

Soal Nomor 2

Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x

Tentukan nilai dari f ' ( π/2).

Pembahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x

f '(x) = 3 (−sin x) f '(x) = −3 sin x

Untuk x = π/2 diperoleh nilai f '(x)

f '(π/2) = −3 sin ( π/2) = −3 (1) = −3

Soal Nomor 3

Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x

Pembahasan

y = −4 sin x

y' = −4 cos x

Soal Nomor 4

Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y'

Pembahasan

y = −2 cos x

y' = −2 (−sin x) y' = 2 sin x

Soal Nomor 5

Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x

Pembahasan

y = 4 sin x + 5 cos x

y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x) y ' = 4 cos x − 5 sin x

Soal Nomor 6

Tentukan turunan dari

y = 5 cos x − 3 sin x

Pembahasan

y = 5 cos x − 3 sin x

y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x) y' = −5 sin x − cos x

Soal Nomor 7

Tentukan turunan dari:

y = sin (2x + 5)

Pembahasan

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = sin (2x + 5)

y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2

↑

Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5

y' = 2 cos (2x + 5)

Soal Nomor 8

Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)

Pembahasan

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = cos (3x − 1)

y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3

↑

Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1

Hasil akhirnya adalah

y' = − 3 sin (3x − 1)

Soal Nomor 9

Tentukan turunan dari:

y = sin2 (2x −1)

Pembahasan

Turunan berantai:

y = sin2 (2x −1)

y' = 2 sin 2−1

(2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2

y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2

y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)

Soal Nomor 10

Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x)

Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....

A. 6 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)

B. 3 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)

C. –2 sin2 (3 – 2x) cos (3 – 2x)

D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)

E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)

(Soal Ebtanas 2000)

Pembahasan

f(x) = sin3 (3 – 2x)

Turunkan sin3 nya,

Turunkan sin (3 – 2x) nya,

Turunkan (3 – 2x) nya,

Hasilnya dikalikan semua seperti ini:

f(x) = sin3 (3 – 2x)

f ' (x) = 3 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2

f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ

f ' (x) = −6 sin 2 (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x) f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)

|_____________________|

↓

sin 2 (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x) f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)

atau:

f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)

Soal Nomor 11

Diketahui fungsi f(x) = sin2 (2x + 3) dan turunan dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …

A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)

D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

(Ebtanas 1998)

Pembahasan

Turunan berantai

f(x) = sin2 (2x + 3)

Turunkan sin2 nya,

Turunkan sin (2x + 3) nya,

Turunkan (2x + 3) nya.

f '(x) = 2 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3) ⋅ 2

f '(x) = 4 sin (2x + 3) ⋅ cos (2x + 3)