Проаналізовано фактори, які впливають на виникнення перехреснихзв’язків між провідниками багатопровідних ліній стосовно дозастосування цих ліній у технологіях xDSL та Ethernet.
This article presents factors causing crosstalk in multiconductortransmission lines in regards to their application for xDSL andEthernet.
Вступ
Багатопровідні лінії - це один з основних типів ліній, яківикористовуються в телекомунікаційних технологіях протягом тривалогочасу і не втратили свого значення й на сьогодні. Впровадження новихтехнологій xDSL для пересилання даних через традиційні телефоннібагатопровідні кабелі на відстані до декількох кілометрів [1], а такожвикористання спеціальних багатопровідних кабелів в технологіяхкабельних мереж Ethernet [2] загострило увагу фахівців до проблемпересилання, пов’язаних з існуванням перехресних зв’язків міжпровідниками багатопровідних ліній. У науковій літературі досівідсутній адекватний аналіз причин виникнення таких зв’язків іфакторів, які впливають на їх величину і поведінку в потрібній смузічастот. Вирішення цієї проблеми стосовно до технологій xDSL дозволитьсуттєво збільшити кількість каналів зв’язку, які використовуютьбагатопровідні лінії, і значно покращити їх характеристики, а призастосуванні таких ліній у технологіях Ethernet – підвищити швидкістьпересилання. В даній роботі здійснено спробу проаналізувати цю проблемуна основі теорії багатопровідних ліній та методів комп’ютерногомоделювання.
Постановка задачі
Багатопровідні лінії, утворені системою провідників, розміщених упоперечно-неоднорідному або однорідному діелектричному середовищі,широко використовуються в різноманітних областях, зокрема, умікрохвильовій і сучасній обчислювальній техніці та системах зв'язку.Дослідженню їх властивостей, суттєвих для застосувань у мікрохвильовійта обчислювальній техніці, присв’ячено десятки наукових робіт (див.,наприклад, роботи [4] - [6], де наведено достатньо репрезентативну
1
бібліографію). Однак деякі особливості багатопровідних ліній, важливідля застосувань у сучасних телекомунікаційних технологіях, зокрема,перехресні зв’язки досліджені недостатньо. На думку автора цепередовсім пов'язане з тим, що у мікрохвильових та обчислювальнихпристроях використовують короткі відрізки таких ліній, для якихспіввідношення довжина лінії/довжина хвилі порядку одиниці в робочомудіапазоні частот, тоді як у сучасних зв'язкових застосуваннях цеспіввідношення може становити від часток одиниці до багатьох одиниць.Крім того, у традиційних зв’язкових застосуваннях явища перехреснихзв'язків у багатопровідних лініях можна було трактувати як «паразитні».Такий підхід виразно видно в нормативній літературі для сфери зв’язку[1-3], де значення цих параметрів обмежуються до величин, впливом якиху подальшому можна знехтувати. Однак у вказаних новітніх застосуванняхврахування характеристик передавального середовища повинне бутиздійснене на більш адекватному рівні.
З можливих методів аналізу властивостей багатопровідних ліній, яківключають як строгі та наближені електродинамічні методи, так інаближені методи теорії кіл з розподіленими параметрами, зупинимосялише на останніх, оскільки вони їх аналітичний аппарат достатньорозвинений, а точність достатня для отримання якісно правильних, хочкількісно наближених, результатів. З останніх публікацій, де наведеносистематизований виклад такого наближеного методу, слід передовсімвказати роботи [4]-[6], а також роботи автора [7], [8].
Застосування методів теорії кіл з розподіленими параметрами доаналізу вказаної проблеми базується на використанні схемних параметрівелементів досліджуваного кола для побудови математичної моделі кола вцілому, розрахунках потрібних характеристик та їх подальшійінтерпретації.
Xвильові модові опори та провідності багатопровідної лінії
Загальна схема заміщення відрізка багатопровідної лінії,використана в даній роботі, показана на рис. 1. Відрізок M-провідноїлінії довжиною L обмежений з двох сторін опорними площинами T1 і T2 ,показаними на рис.1 штриховими лініями. У цих площинах розташованіполюси, яким відрізок лінії сполучений з відповідними полюсаминавантажень. Напруги на полюсах відрізка багатопровідної лініївизначені як різниці потенціалів між відповідними полюсами і опорнимполюсом, потенціал якого рівний нулю. Додатні напрями струмів наполюсах лінії розглядаються у варіанті прохідного стрілкування зліванаправо, традиційного для теорії довгих ліній.
2
Рис. 1. Багатопровідна лінія як (М+М)-полюсник і класичні та хвильові змінні
Напруги і струми в довільній точці z багатопровідної лінії можнавиразити як суперпозицію прямих і зворотніх хвиль напруги або струму, авказані хвилі – подати як суперпозицію M власних хвиль – модбагатопровідної лінії:
, (1)
,(2)
де - вектори напруг прямої та зворотньої хвильвідповідно;
- вектори струмів прямої та зворотньої хвильвідповідно;
, - вектори комплексних амплітуд мод для напруг іструмів відповідно;
, , , - вектори комплексних амплітуд моддля прямих та зворотніх хвиль напруг і струмів відповідно:
, (3)
, (4)
де верхні знаки стосуються до прямих, а нижні – до зворотніх хвиль,а верхній індекс Т означає транспонування.;
- комплексні коефіцієнти поширення мод, де k-коефіцієнт загасання, а k- фазовий коефіцієнт k-ї моди;
- матриці власних векторів напруг і струмів відповідно:
; (5)
індекс біля кожного власного вектора означає порядковий номер модиі відповідає індексу коефіцієнта поширення; k-й власний вектор
3
напруги або струму описує відносний розподіл напруги (відповідно,струму) на провідниках багатопровідної лінії:
i – мнима одиниця, - колова частота;матриці - це дійсні квадратні матриці погоннихактивних опорів, індуктивностей, активних провідностей і ємніснихкоефіцієнтів багатопровідної лінії відповідно;
, означає одиничну та нульову матриці порядку M відповідно.Оскільки амплітуди напруг (або струмів) різних мод взаємно
незалежні, то матриці хвильових модових провідностей та опорівдіагональні. Відзначимо, що за означенням (8) діагональні елементиматриць хвильових модових опорів або провідностей – це відношеннякомплексних амплітуд прямих (або зворотніх з урахуванням знаку «мінус»)хвиль напруг і струмів відповідної моди. Вони не визначають відношеньміж відповідними компонентами власних векторів напруги (6) і струму (7)конкретних мод. Ці відношення описують матриці характеристичних опорівабо провідностей, як це показано нижче.
Для обчислення матриць хвильових модових опорів абопровідностей слід застосувати телеграфні рівняння. Для прямих хвильз використанням уведених вище позначень вони мають такий вигляд:
(11)
4
Звідси, застосовуючи означення (8), отримаємо(12)
(13)Якщо власні вектори напруг і струмів незалежно визначати як розв’язкизадач (9) і (10), то матриці хвильових модових опорів або провідностейслід обчислити зі співвідношень (12) або (13):
(14)
. (15)
Характеристичні опори та провідності багатопровідних ліній
З виразів (1) і (2) витікає, що напруги і струми прямих хвиль убагатопровідній лінії пов'язані між собою таким чином:
, (16)
, (17)а напруги та струми зворотніх хвиль – як
, (18)
. (19)Матрицю
(20)вважають матрицею характеристичних опорів, а матрицю
(21)матрицею характеристичних провідностей лінії. Відзначимо, що взагаліхарактеристичні опори і провідності та описані комплекснимиквадратними (недіагональними) матрицями. Їх елементи виражаютьспіввідношення між компонентами власних векторів напруг і струмів зурахуванням відповідних елементів матриці , або інакше, між
компонентами нормованих власних векторів та . Зауважимо, що
означення матриць та в роботі [7] передбачає, що , тобтощо це одинична матриця.
Наведене тут означення матриці характеристичних опорів (абохарактеристичних провідностей) багатопровідної лінії узгоджується зпоняттям характеристичного опору (провідності) у теоріїчотириполюсника, бо, як показано в роботі [7], якщо відрізокбагатопровідної лінії навантажений на виході М-полюсником, описанимматрицею характеристичних опорів, то його матриця вхідних опорівдорівнює матриці характеристичних опорів цієї лінії. Очевидно, що напідставі співвідношень (20) і (21) узгодження в сенсі рівності матриць
5
характеристичних опорів (провідностей) багатопровідної лінії і матриціопорів (провідностей) навантаження автоматично означає узгодження всіхмод і навпаки.
Матриця розсіяння відрізка багатопровідної лінії
Для проведення аналізу схем із використанням багатопровідних лінійнеобхідно отримати співвідношення між напругами і струмами на кінцяхвідрізка багатопровідної лінії, тобто описати відрізок такої лініїсхемними параметрами подібно до лінійного (М+М)-полюсника загальноговиду (рис. 1). Спочатку будемо вважати, що відрізок багатопровідноїлінії зліва від площини Т1 і справа від площини Т2 навантаженийнапівнескінченними багатопровідними лініями з параметрами, ідентичнимипараметрам відрізка лінії..
Введемо позначення для модових хвильових амплітуд у двох точках і лінії, відстань між якими ,
(22)та взаємозв’язки між якими мають такий вигляд:
(23)
де ,
- комплекснідіагональні матриці.Звідси видно, що співвідношення між модовими амплітудами напруги можнаописати модовою матрицею розсіяння:
. (24)
Беручи до уваги співвідношення між амплітудами прямих і зворотніх хвильнапруги та відповідними модовими амплітудами на підставі виразів (1) і(2), отримаємо матрицю розсіяння для опису взаємозв’язків міжкомплексними амплітудами прямих і зворотніх хвиль напруги [7]
або
(25)
Матриця розсіяння стику, утвореного сполученням двох багатопровіднихліній
Розглянемо обчислення матриці розсіяння стику двох багатопровіднихліній (рис.2 а). При використання хвильових параметрів такий стик
6
трактується як багатополюсник (M+M-полюсник), показаний на рис.2 апунктирною лінією. Подібним чином можна визначити матрицю розсіяння,при з’єднанні (стику) двох багатополюсників (рис. 2 б).
Рис. 2. Стик двох багатопровідних ліній (а) або двох багатополюсників (б)
Виходячи з умов неперервності напруг і струмів на стику і беручи доуваги взаємозв’язки між напругами, струмами, провідностями та прямими ізворотніми хвилями на стику, отримаємо ненормовану матрицю розсіяннястику:
. (26)
Матриця розсіяння навантаженого відрізка багатопровідної лінії
Загальна схема заміщення відрізка багатопровідної лінії знавантаженнями на входах, використана в даній роботі, показана на рис.3 а. Навантаження імітовані двома М-полюсниками, описаними матрицямипровідностей та . Зв'язок між багатополюсниками-навантаженнямиздійснюється лише через відрізок багатопровідної лінії. Окремий випадокнавантаження відрізка багатопровідної лінії іншими лініями показаний нарис. 3 б. Для цього випадку і , де та - матриціхарактеристичних провідностей ліній зліва і справа.
7
Рис. 3. Відрізок багатопровідної лінії, навантаженої багатополюсниками (а) або іншими лініями(б)
Схему рис. 3 можна інтерпретувати як каскадне сполучення трьохбагатополюсників: стику багатополюсника (або напівбезмежноїбагатопровідної лінії) зліва з даним відрізком лінії, багатополюсника,який представляє даний відрізок лінії, і стику даного відрізка лінії збагатополюсником (або напівбезмежною багатопровідною лінією) справа.
Стики з навантаженнями зліва і справа описані відповіднимиматрицями розсіяння, а саме стик зліва – матрицею , отриманою зіспіввідношення (26) підстановкою , і стик справа – матрицею ,
отриманою подібним чином з . Матриця розсіяння відрізкабагатопровідної лінії описана виразом (25). Матриця розсіяннясполучення двох багатополюсників з урахуванням уведених тут позначеньмає вигляд [9]
.
(27)Для отримання результуючої матриці розсіяння спочатку обчислимо
матрицю розсіяння для сполучення лівого стику з відрізком лінії,використовуючи формулу (27):
, (28)
, (29)
, (30)
. (31)
Далі обчислимо матрицю розсіяння двосторонньо навантаженого відрізкалінії, під’єднуючи правий стик. Аналітичні результати для цього випадкудостатньо громіздкі, а тому тут не наведені.
Отримані співвідношення дозволяють здійснити комп’ютернемоделювання процесів у багатопровідних лініях.
Аналіз перехресних зв’язків у багатопровідних лініях
Передовсім розглянемо найпростіший випадок відрізка багатопровідноїлінії, ідеально узгодженого на обидвох кінцях. Матриці розсіяння длямодових амплітуд і амплітуд хвиль напруги описані виразами (24) і (25)відповідно.
8
Очевидно, що згідно з виразом (24) окремі моди поширюються вздовжлінії, не взаємодіючи одна з одною, а режим ідеального узгодженняозначає відсутність відбиттів від кінців відрізка лінії, а отже,відсутність інтерференції прямих і зворотніх хвиль. Однак традиційніспособи під’єднання генераторів і приймачів коливань не забезпечуютьрежиму збудження і приймання окремих мод в багатопровідній лінії.Під’єднання генераторів і навантажень (приймачів) між певнимипровідниками (полюсами) лінії та землею (екраном) спричиняє збудження іприймання всього спектру мод багатопровідної лінії. У виразі (25) цевідображене добутками . Розподіли амплітуд модових напруг
і струмів при конкретному способі збудження, визначеномузаданим вектором напруг або струмів ) в точці z можнаобчислити як розв’язки систем лінійних рівнянь рівнянь (1) і (2):
, (32)при відомому модовому спектрі багатопровідної лінії, заданому матрицямивласних векторів . Для кожного конкретного значення координати zіснує взаємно однозначна відповідність між розподілом напруг абострумів на провідниках лінії та комплексними амплітудами мод. Відеальному випадку однорідного діелектричного заповнення лінії тавідсутності втрат у провідниках (Т-хвилі) коефіцієнти поширення всіхмод однакові і амплітудно-фазові співвідношення між модами незмінюються вздовж відрізка лінії. Тоді відносний розподіл напруг абострумів по провідниках лінії не залежить від координати z, а це означаєвідсутність перехресних зв’язків між провідниками лінії. Іншимисловами, при збудженні, наприклад, першого полюса (провідника)одиничною напругою саме таке збудження буде прийнято на протилежномукінці відрізка лінії, а на інших полюсах напруга буде відсутня.
За наявності втрат у провідниках та передовсім неоднорідногопоперечного діелектричного заповнення у багатопровідній лініїпоширюються квазі-Т-хвилі з різними коефіцієнтами поширення різних мод,тобто при . Внаслідок цього амплітудно-фазовіспіввідношення між різними модами змінюються залежно від координати z,що призводить до зміни відносного розподілу напруг і струмів напровідниках лінії, тобто до появи перехресних зв’язків. Підкреслимо, щоце відбувається навіть за умови ідеального узгодження обидвох сторінвідрізка багатопровідної лінії.
9
Рис.4. Модулі коефіцієнтів пересилання між полюсами ідеально узгодженого відрізка безвтратної(а)
та втратної (б) двопровідної лінії над екраном
На рис. 4 а, б для двопровідної лінії, утвореної двома круглимипровідниками в ізоляції, розташованих на однаковій висоті над провіднимекраном, показані результати обчислень модулів коефіцієнтів пересиланняміж полюсами 1 і 3, які належать одному провіднику лінії та розташованіпо різних сторонах відрізка та полюсами 2 і 4, які відносяться додругого провідника. Довжина лінії дорівнює 6000 м, частота 2 МГц (дані,типові для технологій xDSL). Рис. 4 а відповідає ідеалізованому випадкубезвтратної лінії, тоді як рис. 4 б – лінії з втратами в провідниках таізоляції. Для безвтратного варіанту бачимо характерну картинуінтерференції двох хвиль з однаковими амплітудами. Період пульсаційвизначається різницею фазових коефіцієнтів двох мод, наявних в лінії, ідля цього прикладу становить 2642 м, що значно більше від довжин хвильокремих мод, які дорівнюють 141.71 м і 134.495 м. Оскільки амплітудимод однакові, то за половину такого періоду перехресний зв’язок міжпровідниками змінюється від нуля до повного зв’язку. Наявність втратсуттєво змінює кількісні співвідношення (рис. 4 б), але якісна картинаколивної зміни перехресного зв’язку залишається. Відзначимо, щоперехресний зв’язок між провідниками виявляється лише на полюсахсторони відрізка лінії, протилежної відносно розташування джерелазбудження, В англомовній літературі це називають перехресним зв’язкомна віддаленому кінці (far end crosstalk –FEXT). Вказана інтерференціяне може спричинити появу перехресних зв’язків між полюсами на ближньомукінці лінії.
При більшій кількості провідників лінії інтерференційна картиназначно ускладнюється, але саме суперпозиція мод з різними фазовимикоефіцієнтами обумовлює існування перехресних зв’язків на віддаленомукінці лінії в режимі ідеального узгодження лінії. На рис. 5 показанірезультати моделювання для 20-провідної лінії довжиною 200 м, утвореноїпаралельними еквідистантними провідниками в ізоляції, розташованими на
10
однаковій висоті над плоским провідним екраном. Модулі коефіцієнтівпересилання обчислені на частоті 100 МГц (частота, характерна дляEthernet).
Рис. 5. Модулі коефіцієнтів пересилання ідеально узгодженого відрізка втратної 20-провідної лініїнад екраном: між полюсом 1 і полюсами 21..40 (а); між полюсом 10 і полюсами 21..40 (б)
На рис. 5 а показані результати обчислення модулів коефіцієнтівпересилання між полюсом 1 (перший провідник) на одній стороні відрізкалінії та полюсами 21..40 на протилежній стороні цього відрізка. Зрисунка видно, як внаслідок інтерференції мод максимум модулякоефіцієнта пересилання переміщається від провідника до провідника призбільшенні значень повздовжньої координати z. Очевидно, що цірезультати можна також інтерпретувати як значення амплітуди прямоїхвилі гармонічного коливання напруги при одиничному збудженні першогополюса.
На рис. 5 б подібні результати ілюструють поведінку модулівкоефіцієнтів пересилання між полюсом 10, який належить провіднику 10,розташованому посередині системи з 20 провідників лінії, і полюсами21..40. Максимуми коефіцієнтів пересилання тепер переміщаються в обидвабоки від центрального провідника, «відбиваються», досягнувши поперечнихкраїв лінії, і поширюються назустріч. Це зустрічне переміщеннядодатково ускладнює інтерференційну картину, яка нагадує картинустоячих хвиль як у поперечному, так і в повздовжньому напрямках.Теоретичний аналіз цих явищ необхідний, однак виходить за межі цієїроботи.
Під’єднання неузгодженого навантаження до полюсів однієї сторонивідрізка багатопровідної лінії вносить додаткове джерело перехреснихзв’язків. Передовсім, як це видно з виразу (26) для матриці розсіяння
11
стику, неузгодження викликає появу зворотніх хвиль від стику, кількісніспіввідношення для яких описують матриці-клітки і . Наприклад,для лівого стику (рис. 3а) модулі діагональних елементів матриці-клітки
описують зворотні втрати на лівому кінці відрізка багатопровідноїлінії, викликані відбиттям хвиль від відповідних полюсів, апозадіагональні елементи характеризують перехресні зв'язки між різнимиполюсами на одній стороні стику з боку навантаження. Ці зв'язки відомів літературі як перехресні зв'язки на ближньому кінці лінії (near endcrosstalk –NEXT). Якщо протилежний кінець відрізка лінії ідеальноузгоджений, то вказаний фактор є єдиним джерелом NEXT; це безпосередньослідує з виразу (28). Ненульові значення діагональних елементівматриці-клітки лівого стику, крім збільшення втрат пересиланнясправа наліво, викликають інтерференцію між хвилями, що приходятьсправа, і відбитими хвилями, тим самим порушуючи режим біжучих хвиль увідрізку багатопровідної лінії. Ненульові позадіагональні елементи є ще одним фактором, який викликає появу FEXT на правій сторонівідрізка лінії, що підтверджує співвідношення (31).
Елементи матриць-кліток і - це коефіцієнти пересилання міжполюсами, які лежать по різні боки стику, тобто з боку навантаження і збоку лінії. Коефіцієнти пересилання та відповідаютьпрямому каналу пересилання через стик, а коефіцієнти і ,
описують ще одне джерело FEXT для лівої та правої сторін відрізкалінії відповідно, як це видно з виразів (29) і (30).
Для ілюстрації ствердженого вище на рис. 7 показані модуліелементів матриці розсіяння стику багатопровідної лінії, утвореноївісьмома паралельними провідниками в ізоляції, розташованими наоднаковій висоті над провідним екраном, з восьмиполюсником-навантаженням, матриця провідності якого дорівнює діагональнимелементам матриці характеристичної провідності описаної лінії.
12
Рис. 7. Модулі елементів матриці розсіяння стику багатопровідної лінії з навантаженням
Діаграма на рис. 7 а показує відносні величини та розташуваннявказаних модулів елементів матриці розсіяння, а діаграма рис. 7 білюструє модулі елементів другого стовпця з використаннямлогарифмічної шкали по осі ординат внаслідок великих різниць міжчисловими значеннями цих елементів. Стовпець 2 діаграми рис. 7 бвідповідає модулю коефіцієнта відбиття , який характеризуєзворотні втрати. Інші елементи , характеризуютьNEXT. Стовпець 10 діаграми рис. 7 б відповідає модулю коефіцієнтапересилання прямого каналу, утвореного другим провідником з полюсами 2і 10. Безпосередньо на стику (з боку лінії) ця величина найбільша зусіх. Інші стовпці з номерами понад 8 (крім стовпця 10) характеризуютьFEXT безпосередньо на стику з боку лінії і є джерелами FEXT для правоїсторони відрізка лінії. Розподіл цих модулів коефіцієнтів пересиланняна протилежному кінці відрізка лінії відрізнятиметься від показаноговнаслідок міжмодової інтерференції, як це видно з виразів (35) і (36) іпроілюстровано вище.
Найскладнішим випадком є двостороннє неузгоджене навантаженнявідрізка багатопровідної лінії. До вже описаних ефектів додається щеінтерференція хвиль, які поширюються у відрізку багатопровідної лінії увзаємно протилежних напрямках внаслідок відбиттів від стиків, включно зможливими резонансами. Однак внаслідок впливу втрат в лінії цяінтерференція має суттєвий вплив тільки для відносно коротких відрізківбагатопровідної лінії, загасання в яких орієнтовно не перевищує 20 дБ.З точки зору ефектів впливу інтерференції прямих і зворотніх хвильдовші відрізки можна вважати практично узгодженими на протилежномукінці. Деякі результати аналізу характеристик пересиланнябагатопровідної лінії в частотній області наведені в роботі автора [8].
13
Висновки
1. Отримано співвідношення для обчислення діагональної матриці модовиххвильових провідностей та опорів, а також для симетричнихнедіагональних матриць характеристичних провідностей та опорівбагатопровідної лінії.
2. Побудовано математичну модель відрізка багатопровідної лінії,навантаженого з двох сторін. Отримано аналітичні вирази для матрицірозсіяння такого відрізка для випадків ідеального узгодженняобидвох сторін та одностороннього неузгодженого навантаження.
3. Показано, що важливою причиною виникнення перехресних зв’язків навіддаленому кінці багатопровідної лінії (FEXT) є міжмодоваінтерференція квазі-Т-хвиль при різних коефіцієнтах поширеннярізних мод в лінії.
4. Показано, що причиною виникнення перехресних зв’язків на ближньомукінці багатопровідної лінії (NEXT) є неідеальне узгодженнянавантаження і лінії, яке виникає внаслідок того, що матрицяхарактеристичних провідностей або опорів багатопровідної лінії недорівнює матриці провідностей або опорів навантаження. Цей факторспричиняє також додатковий вплив на величини FEXT, а у випадкувідсутності міжмодової дисперсії є основною і єдиною причиноювиникнення FEXT.
1. ITU-T Recommendation G.996.1 (02/2001)/Amd.1 (03/2003), Annex B Test loops and crosstalkdisturbers of ADSL transceivers with extended bandwidth for enviroment coexisting with TCM-ISDN DSL asdefined in ITU-T Rec.G.961 Appendix III. 2. Commercial Building Telecommunications Cabling Standard -Part 2: Balanced Twisted Pair Cabling Components (ANSI/TIA/EIA-568-B.2-2001). 3. Commercial BuildingTelecommunications Cabling Standard - Part 2: Balanced Twisted Pair Components - Addendum 1 -Transmission Performance Specifications for 4-Pair 100 Ohm Category 6 Cabling (ANSI/TIA/EIA-568-B.2-1-2002). 4. R.D. Marks, D.F. Williams. A general wavequide csrcuit theory. - J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol.97, 1992. pp. 533-562. 5. D.F. Williams, L.A.Hayden, R.B. Marks. A complete multimode equialent-circuittheory for electrical design. - J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 102, 1997. pp. 405-423. 6. J.D. Khan, A.Z.Esherbeni, C.E. Smith, D. Kajfez. Characteristics of cylindrical multiconductor transmission lines above aperfectly conducting ground plane. Progress in Electromagnetics Research, PIER 15, 1997, pp. 191-220. 7.Павликевич М.Й. Схемні параметри багатопровідних ліній// Моделювання та інформаційнітехнології. Зб. наук. пр. ІПМЕ НАН України. - Вип. 42. –К.: 2007. - С. 125-137. 8. Павликевич М.Й.Аналіз характеристик багатопровідної лінії у частотній області// Моделювання таінформаційні технології. Зб. наук. пр. ІПМЕ НАН України. - Вип. 49. –К.: 2008. - С. 109-126. 9. СазоновД.М. Гридин Ф.Н., Мишустин Б.А. Устройства СВЧ: Учебное пособие/Под ред. Д.М. Сазонова. -М.:Высш. школа, 1981. -295 с.
