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“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

Universidad Andina del Cusco

Asignatura: Modelación y Simulación de Sistemas

Docente: Ing. Américo Estrada Sanchez

Alumno: Luis Velarde Esenarro

Código: 012100587K

Cusco- 2015

Teoría de Números y Planteamiento de

Ecuaciones Matemáticas

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Contenidos

Introducción _______________________________________________________________________ 3

Marco Teórico ______________________________________________________________________ 4

CAPITULO I: TEORIA DE NUMEROS _____________________________________________________ 4

1. El inicio de la teoría de números ____________________________________________ 4

a. El legado de Fermat __________________________________________________ 4

b. Euler y su teorema compartido _________________________________________ 5

c. Los dos cuadrado de Lagrange__________________________________________ 6

2. Teoría de números _______________________________________________________ 6

a. Euclides ____________________________________________________________ 7

2.1 Teorema de los números primos __________________________________________ 8

CAPITULO II PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES MATEMÁTICAS _______________________________ 9

1. Planteamiento de ecuaciones ______________________________________________ 9

2. Método de reducción ____________________________________________________ 10

3. Método de igualación ____________________________________________________ 10

4. Método de sustitución ___________________________________________________ 11

5. Método de Gauss _______________________________________________________ 11

CAPITULO III: MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS ___________________________________ 12

1. Modelamiento de Sistemas _____________________________________________________ 12

2. Tipos de Modelos de Sistemas ___________________________________________________ 13

3. Modelos Matemáticos __________________________________________________________ 14

4. Obtención de las Diferentes Relaciones o Funciones de Transferencia ___________________ 15

5. Tabla de resumen de los principales tipos de transformaciones presentes en los diagramas de

bloques __________________________________________________________________________ 17

CONCLUSIONES ______________________________________________________________________ 19

Bibliografía _________________________________________________________________________ 20

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Introducción

El presente trabajo tratará de hacernos entender la teoría de números y lo relacionado a planteamiento

de ecuaciones matemáticas, aptitudes que nos despertaran lo antes ya adquirido en semestres pasados.

Trabajo que nos refrescara la memoria.

El trabajo hablará de los conceptos de teoría de números y algunos conceptos iniciales de matemáticas.

Tratando de teoremas, definiciones y conceptos importantes.

Además contará con el planteamiento de ecuaciones matemáticas y los pasos que se deben de seguir para

lograr hacer ecuaciones de cualquier sistema.

Al final de mi investigación tratare de explicar un poco más del modelado matemático de sistemas que ya

es un tema que encierra a los dos anteriores. Causa de esto se expandirán más nuestros conocimientos

matemáticos y de modelación.

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Marco Teórico

CAPITULO I: TEORIA DE NUMEROS

1. El inicio de la teoría de números

Podemos decir que la teoría de números empezó con el matemático griego Diofanto de Alejandría en el

siglo III d.c. Diofanto escribió trece libros (siete de los cuales se han perdido) dedicados a la resolución de

ecuaciones algebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales.

Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números

al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo?

a. El legado de Fermat

Pierre de Fermat es uno de los matemáticos más importantes de la historia. Aunque de hecho no

era matemático "profesional" sino juez. Vivió durante la mayor parte de su vida en Toulouse,

dedicándose en las horas libres a las matemáticas. Entre los resultados más importantes que

obtuvo podemos destacar la invención (junto con Descartes) de las ahora llamadas coordenadas

cartesianas, que permiten "traducir" los problemas geométricos a problemas algebraicos.

Pero los resultados que le han hecho más famoso fueron sin duda los que obtuvo trabajando

inspirado en el libro de Diofanto, que dieron origen a la teoría de números. Aunque debido a la

forma de trabajar de Fermat, que no publico sus resultados en vida y solo divulgaba a través de

cartas a sus amigos y colegas, tenemos pocas indicaciones de cuáles eran sus métodos para

resolver los problemas.

Entre los resultados más conocidos que obtuvo (o anunció) hay:

El llamado "Pequeño teorema de Fermat": Para todo número primo p y para todo número natural

a no divisible por p tenemos que p divide a

El resultado más famoso de Fermat en la actualidad no es de hecho un resultado suyo, aunque

se le denomina el "último teorema de Fermat". Parte de su fama es debida a la manera como

formuló el resultado y también porque se han tardado más de 350 años para darle la razón. La

historia empieza después de su muerte en que su hijo publico la edición que tenia Fermat del

libro de Diofanto junto con las anotaciones originales de Fermat. En una de ellas, concretamente

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al margen de la parte en que Diofanto habla de las ternas pitagóricas, Fermat dejo escrito el

siguiente enunciado (traducido al lenguaje moderno):

Para cualquier número natural n mayor o igual que 3, la ecuación:

No tiene soluciones (naturales) salvo que A, B o C sean cero.

b. Euler y su teorema compartido

Euler es el matemático universal, que con el nuevo Cálculo infinitesimal describe y explica el

mundo físico, pero que a la vez está dotado de una intuición numérica no igualada.

La aplicación de las técnicas del nuevo Cálculo Infinitesimal a la resolución de problemas de la

Teoría de Números, es un objetivo que se propuso Euler, convencido de las posibilidades

ilimitadas de los nuevos métodos. Se trata, en efecto, de un propósito aparentemente

contradictorio, por cuanto los métodos Infinitesimales no parecen los adecuados para llegar a

soluciones enteras ajenas al sentido de la aproximación.

En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es

uno referente a números compuestos análogo al 1 pequeño teorema de Fermat, y como tal

afirma una proposición sobre la divisibilidad de los números enteros. El teorema establece que:

Sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la siguiente forma:

donde es la función φ de Euler.

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c. Los dos cuadrado de Lagrange

Durante mucho tiempo fue Euler casi el único geómetra que se ocupó de la Teoría de Números.

Posteriormente Lagrange participó también en la misma carrera, y sus primeros pasos estuvieron

señalados por el mismo éxito que los que había cosechado en las investigaciones de un género

más sublime.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, también conocido como la conjetura de Bachet

se demostró en 1770 por Joseph Louis Lagrange.

Dice que cada número entero positivo puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados de

enteros. Por ejemplo:

Adrien-Marie Legendre mejoró el teorema en 1798 demostrando que un entero positivo puede

expresarse como la suma de tres cuadrados si y sólo si no es de la forma 4 k (8 m + 7). Su prueba

estaba incompleta, dejando un hueco que después llenó Carl Friedrich Gauss.

En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi encontró la fórmula exacta para el número total de maneras

en que un número entero positivo n dado puede representarse como la suma de cuatro

cuadrados. Este número es ocho veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la

suma de los divisores impares de n si n es par.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange es un caso especial del teorema del número

poligonal de Fermat y del problema de Waring.

2. Teoría de números

La teoría de números se resume en estudiar las propiedades de los números, los enteros en gran

parte. Estas propiedades son del estilo: números primos, representaciones de números como

sumas de otros, números irracionales, números trascendentes, etc.

Teoría de números es una rama de las matemáticas que se sub-clasifica en muchas:

Teoría analítica de números

Teoría algebraica de números

Teoría combinatoria de números

Teoría computacional de números

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Los griegos trataron problemas relacionados con el tema, como las soluciones enteras a

ecuaciones lineales con dos incógnitas. Conforme a como avanzaba el tiempo y las épocas surgían

nuevos problemas; Pitágoras al aplicar el ‘teorema de Pitágoras a el triángulo con catetos iguales

a uno, supo que la hipotenusa no tenía un tamaño entero, Arquímedes notó que la razón del

perímetro del círculo y el diámetro era constante, pi, el problema vino al querer saber si era

racional.

El componente principal en la teoría de números, son los números primos.

Un número se dice primo si es diferente de uno y sus únicos divisores son uno y él mismo.

Los números primos forman el componente principal en el estudio de los números enteros, todo

esto por el teorema fundamental de la aritmética

Todo número entero positivo se factoriza de manera única en el producto de potencias

de números primos

a. Euclides

Esto hace parte de algo que se llama teoría elemental de. Los grandes avances se ven

cuando se logra relacionar estos conceptos con otras ramas, como el análisis real y

complejo, el álgebra, teoría ergódica, geometría, topología, combinatoria, probabilidad,

etc. Todo esto logra enriquecer la materia, dándole herramientas para su búsqueda de

propiedades y logrando avances significativos. A modo de comentario personal,

Dirichlet y Euler hicieron un punto de quiebre en la forma en como se estudiaba la teoría

de números. Euler con su refutable fórmula.

Y su afirmación

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En sentido de que la suma de los inversos de los primos diverge como el logaritmo del

logaritmo. Dirichlet, con su brillante teorema, más importante es la forma en la cual lo

prueba,

Si a y b son primos relativos entonces la progresión aritmética ax+b tiene infinitos primos

Fueron los que mostraron una luz de lo que hoy se denomina teoría analítica de

números. La gama de resultados acerca de teoría de números usando estas

herramientas es amplia.

Si bien es importante conocer de dónde surge la teoría de números, más interesante es

ver qué propone, ver a fondo las preguntas que trata y las soluciones que logra.

Fascinantes cosas se han logrado y se están tratando aún.

2.1 Teorema de los números primos

El teorema de los números primos es quizá el resultado más emblemático de la teoría analítica

de números apareciendo con frecuencia en textos de divulgación científica. Se enuncia

habitualmente como:

donde π(x) = #{p primo ≤ x} y f ∼ g significa lim x→+∞ f(x)/g(x) = 1.

Al revisar algunas tablas es fácil percatarse de que x/ log x no es numéricamente una buena

aproximación de π(x) aunque el error relativo tienda a cero. De hecho, se conoce que a la larga

π(x) − x/ log x ≥ x/ log2 x por tanto el error relativo no decae más rápido que 1/ log x que es

comparable al inverso del número de cifras.

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CAPITULO II PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES MATEMÁTICAS

1. Planteamiento de ecuaciones

Para resolver un problema relativo a números o cantidades desconocidas se debe expresar una

información escrita en idioma normal, en el simplificado idioma de las matemáticas, las cuales nos

permiten operar con más comodidad y rapidez que otros procedimientos. Esto implica realizar una

especie de traducción de situaciones de la vida real, al simbolismo matemático, tarea que constituye

el argumento más útil en todo el proceso de solución. Algunos ejemplos son:

El resultado de sumar un número a 7: 7+x

La suma de algún número y 13: x+13

El resultado de restar a 18 algún número: 18-y

Dos veces la suma de un número y 5: 2(x+5)

Debemos de notar que cada vez que nos referimos a un número, en la traducción matemática,

ésta se ha representado por una letra (x,y,z) o un símbolo.

Ahora, cuando se tenga que traducir una frase a una ecuación, debemos determinar el significado

de cada parte y asimismo tendremos que reconocer qué es lo que vamos a reemplazar por una

variable. Ejemplo:

Un número aumentado en 5 da como suma 23: x+5=23

Entonces a la hora de resolver un problema que requiera el planteamiento de una ecuación o un

sistema, debemos tener en cuenta lo siguiente:

Leer atentamente el enunciado en su totalidad.

Detectar qué nos piden y llamarlo x o y o z.

Plantear la ecuación o el sistema que relaciona algebraicamente los datos del enunciado y

las incógnitas; para ello, suele ser recomendable hacer una tabla en los problemas de

edades, o un dibujo en los de tipo geométrico, o un diagrama en problemas de mezcla, etc.

Resolver el problema.

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Interpretar los resultados obtenidos y comprobar que verifican las condiciones del

enunciado.

2. Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas

hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita.

3. Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

Donde a , b , y c representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones

algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

b = c

Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en a ni en b, entonces la

ecuación

b = c

No contendría dicha incógnita.

Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una

ecuación con solo una incógnita, digamos x .

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Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye x por su solución en otras

ecuaciones donde aparezca x para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones.

4. Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

Entonces podemos despejar a en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la

ecuación:

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida.

5. Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello

tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la

transformamos en una matriz triangular superior (o inferior). De esta forma obtenemos un

sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como

se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los

coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento

cual es la incógnita a la que multiplican.

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CAPITULO III: MODELADO MATEMÁTICO DE SISTEMAS

1. Modelamiento de Sistemas

Un sistema representa una unidad donde se hacen tratamientos físicos o químicos de materiales que

puede ser contrastada con un modelo que representa una descripción matemática del sistema real. La

disposición de varios sistemas unidos entre sí por flujos comunes de materiales y/o información

constituye un proceso. La salida del proceso es una función no solamente de las características de sus

sistemas (o subsistemas) sino también de sus interacciones o interrelaciones. Una propiedad del sistema

o de su entorno a la que se le puede asignar valores numéricos arbitrarios se denomina como un

parámetro. También puede ser una constante o el coeficiente de una ecuación.

El estudio de un proceso, mediante la manipulación de su representación matemática o de su modelo

físico, constituye una simulación. Los estudios clásicos de un proceso en estado estacionario se

complementan con un análisis dinámico, lo que exige un conocimiento de los criterios de estabilidad y de

los métodos de operación para evaluar exitosamente el funcionamiento del proceso.

El análisis de sistemas se refiere al reconocimiento y definición de problemas, su planteamiento o

modelamiento mediante la aplicación de principios científicos y el desarrollo de procedimientos de

solución con cuyos resultados se adquiera una total comprensión de la situación.

El análisis y la simulación de procesos presentan las siguientes ventajas:

Experimentación Continua: Es posible estudiar procesos existentes en una forma mas rápida,

económica y completa que en la planta real. La simulación puede aumentar o reducir el tiempo

real de una forma análoga a como una cinematográfica acelera o retarda las imágenes; de esta

forma se puede observar más fácilmente la operación del sistema.

Extrapolación: Con un modelo matemático adecuado se pueden ensayar intervalos extremos de

las condiciones de operación, que pueden ser impracticables o imposibles de realizar en una

planta real. También es posible establecer características de funcionamiento.

Estudio de conmutabilidad y evaluación de otros planes de actuación: Se pueden introducir

nuevos factores o elementos de un sistema y suprimir otros antiguos al examinar el sistema con

el fin de ver si estas modificaciones son compatibles. La simulación permite comparar distintos

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diseños y procesos que todavía no están en operación y ensayar hipótesis sobre sistemas o

procesos antes de llevarlos a la práctica.

Repetición de experimentos: La simulación permite estudiar el efecto de la modificación de las

variables y parámetros con los resultados producibles. En el modelo matemático se puede

introducir o retirar a voluntad un error, lo cual no es posible en la planta real.

Control de cálculo: La simulación constituye una importante ayuda material para el estudio de

los sistemas de control con lazos abiertos y cerrados

Ensayo de sensibilidad: Se puede ensayar la sensibilidad de los parámetros de costos y básicos

del sistema; por ejemplo, un incremento de un 10 % en la velocidad de alimentación podrá tener,

según los casos, un efecto mínimo o muy importante sobre el funcionamiento del sistema.

Estudio de la estabilidad del sistema: Se puede examinar la estabilidad de sistemas y subsistemas

frente a diferentes perturbaciones.

2. Tipos de Modelos de Sistemas

Modelos Físicos: Son construcciones materiales que representen sistemas como barcos,

plantas pilotos, maquetas de edificios y otros.

Modelos Analógicos: Son construcciones materiales que representen circuitos

eléctricos, electrónicos o mecánicos.

Teorías Provisionales: Son postulaciones que explican comportamientos

fenomenológicos en sistemas como la de los gases ideales o la de la gota de líquido para

la nucleación.

Gráficos o Mapas: Son representaciones mediante símbolos convencionales de

estructuras de sistemas que explican en algunos casos su organización o su distribución

o su logística, etc. Por ejemplo, la representación de un proceso químico mediante su

diagrama de flujo.

Enunciados matemáticos y modelos en forma de símbolos: Son sistemas de ecuaciones

que expresan simbólicamente el fenómeno que se desarrolla en el sistema. Por ejemplo,

el modelamiento matemático que exprese el flujo y los cambios de materia y energía a

través de un reactor ideal de mezcla completa.

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3. Modelos Matemáticos

El primer paso en el proceso de análisis de un sistema físico consiste en deducir un modelo

matemático a partir del cual pueden estudiarse las características del sistema. En un sentido muy

amplio, se puede considerar el modelo como un medio para representar las relaciones entre los

componentes del sistema y la teoría. Para un mismo sistema físico existen varios modelos

apropiados. Los modelos más útiles y comunes pueden clasificarse en las siguientes categorías:

Analogía directa: reproducciones a escala o no, y modelos analógicos. Una analogía

directa es una réplica, a escala o no, de un sistema físico. Esta representación es

necesaria, porque existen muchos casos en que el estudio de los sistemas reales es

imposible, y la forma de analizar los diversos comportamientos de un sistema es a través

de una réplica.

Representación gráfica: diagramas de bloques y diagramas de flujo señal. Los gráficos

nos permiten visualizar mejor la interrelación que existe entre la entrada y salida de los

elementos componentes del sistema que estamos estudiando.

Representación matemática: Ej. ecuaciones diferenciales, ecuaciones de estado,

relaciones por funciones de transferencias, representaciones matriciales, etc. Por Ej: si

el sistema se modela por ecuaciones integro-diferenciales, las ecuaciones involucran

derivadas e integrales de variables dependientes con respecto a la variable

independiente tiempo.

La representación de un sistema físico por medio de expresiones matemáticas y procedimientos

gráficos permite al ingeniero emplear instrumentos matemáticos y topológicos adecuados, tales

como ecuaciones diferenciales y diagramas en bloques y flujo señal. En la práctica por lo general

no se puede hacer la representación matemática exacta de un sistema complejo, pero haciendo

las suposiciones correctas y empleando restricciones permitidas sobre las propiedades del

sistema puede obtenerse información muy valiosa por medio del estudio matemático apropiado.

Es importante recordar que todos los sistemas físicos, son en algún aspecto no lineales, y que el

tratamiento matemático de los sistemas no lineales es bastante complejo, por eso, es necesario

suponer que el sistema estudiado se comporta como lineal dentro de un dominio de

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funcionamiento. El equivalente lineal de un sistema físico solo se realiza, siempre y cuando esté

permitido, para facilitar el análisis matemático.

Una vez que el sistema físico ha sido sustituido por su equivalente modelo lineal, se procede a

deducir las ecuaciones del sistema, aplicando las leyes físicas adecuadas. Estas leyes físicas

relacionan las variables y parámetros de los componentes, describiendo a través de ecuaciones

matemáticas la dinámica de los mismos. Por ejemplo, para los sistemas eléctricos se aplican la

ley de Ohm, las leyes de Kirchoff, la ley de Lenz, etc, y para los sistemas mecánicos las leyes de

movimiento de Newton.

Las ecuaciones que representan un sistema físico pueden adoptar diferentes formas. La forma

convencional para representar un sistema físico es el empleo de ecuaciones integro-

diferenciales, las cuales son ecuaciones que poseen operaciones de derivadas e integrales de las

variables dependientes en función de la variable independiente t.

Una vez obtenidas las ecuaciones del sistema, se busca obtener la solución de las mismas, las

cuales pueden ser resueltas por el método clásico, el método operacional o el computacional.

4. Obtención de las Diferentes Relaciones o Funciones de Transferencia

a. Función de Transferencia de Lazo Abierto. Esta Función de Transferencia se obtiene

cuando se relaciona la señal de realimentación primaria B(s) con la señal de error E(s).

b. Función de Transferencia Directa o de Trayecto Directo. Esta Función de Transferencia

se obtiene cuando se relaciona la señal de salida Y(s) con la señal de error E(s).

Nota: Si la Función de transferencia de realimentación es la unidad o

lo que es lo mismo decir el sistema posee realimentación unitaria

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(H(s)=1), la función de transferencia de lazo abierto y la función de

transferencia de trayecto directo son las mismas.

c. Función de Transferencia de Realimentación. Esta Función de Transferencia se obtiene

cuando se relaciona la señal de realimentación primaria B(s) con la señal de salida Y(s).

d. Función de Transferencia de Lazo Cerrado. Esta Función de Transferencia se obtiene

cuando se relaciona la señal de salida Y(s) con la entrada R(s).

e. Razón de error. Esta Función de Transferencia se obtiene cuando se relaciona la señal

de error E(s) con la entrada R(s)

f. Razón de Realimentación Primaria. Esta Función de Transferencia se obtiene cuando se

relaciona la señal de realimentación primaria con la entrada R(s).

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5. Tabla de resumen de los principales tipos de transformaciones presentes en los diagramas de

bloques

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CONCLUSIONES

Hemos visto que la divisibilidad entre números es posible bajo ciertas circunstancias, pues es

necesario hallar un criterio de divisibilidad para ese número, esto para saber qué tipo de restos

potenciales deja.

Desde tiempos inmemorables se trata de los números, es importante saber que los pensadores

de antes no terminaron e hicieron todo, nosotros todavía podemos plantear y pensar como ellos

lo hicieron.

El planteamiento a partir de variables es la manera más simple para demostrar el funcionamiento

de un sistema

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Bibliografía

J.L, L. (s.f.). Oevres.

L, E. (XVIII). Opera Omnia.

Mora, W. (2010). INTRODUCCIÓN a la teoria de numeros. Costa Rica.

Nieto, J. H. (2005). UCV.ve. Obtenido de

http://www.acm.ciens.ucv.ve/main/entrenamiento/material/TeoriaDeNumeros.pdf