Wanda S. Rodrigues

Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente

simplicidade

Mestrado em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

PUC – SP 2001

Wanda S. Rodrigues

Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente

simplicidade

Dissertação apresentada como exigência parcial para a obtenção do título de

MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA à Pontifícia Universidade Católica de São

Paulo, sob orientação da Professora Doutora Célia Maria Carolino Pires.

PUC – SP 2001

Banca Examinadora _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

Agradecimentos

Esta publicação não existiria sem a participação de muitas pessoas.

Colegas e grandes mestres, que tive o prazer de conhecer ao longo de minha vida, não só na elaboração deste material, mas em todo o caminhar e repensar de minha prática pedagógica.

À amiga e orientadora, Célia Carolino que tanto me ensinou e incentivou durante o desenvolvimento desta dissertação.

Agradeço em especial, às minhas filhas - Lais Helena, Anna Carolina e Amanda - pela paciência, dedicação e colaboração ao longo deste árduo trabalho e, aos meus pais que sempre acreditaram no meu potencial.

Resumo O presente estudo tem como questão central identificar a trajetória da

construção das escritas numéricas e de seu uso, ao longo do ensino fundamental, e tem como finalidade contribuir para a elaboração de propostas didáticas mais consistentes, que levem em conta conhecimentos prévios dos alunos e alguns obstáculos que se interpõem nessa trajetória.

Parte de uma análise histórica da construção de sistemas de numeração e das escritas numéricas em diferentes civilizações, evidenciando a base dez como um grande tesouro matemático. Resgata também a história do ensino do sistema de numeração nas séries iniciais do ensino fundamental nas últimas décadas.

Busca fontes de sustentação em investigações de pesquisadores que realizaram estudos sobre a construção das escritas numéricas, mostrando, por exemplo, que o processo de construção das idéias e procedimentos envolvidos nos agrupamentos e trocas na base dez leva muito mais tempo para ser realizado do que se possa imaginar.

Com base nas respostas de alunos da educação infantil e de diferentes etapas do ensino fundamental, analisa relações entre conhecimentos escolares e conhecimentos construídos socialmente pelos alunos. Mostra que a evolução desses conhecimentos não ocorre de forma linear e destaca a necessidade de um trabalho consistente em relação à produção de escritas numéricas para o cálculo escrito e mental e para a resolução de problemas que envolvem números naturais e números racionais representados na forma decimal. Abstract

The present study has as a central task to identify the way on the

construction of the numerical writing and its usage through the fundamental teaching. The objective is to contribute for the elaboration of more consistent didactic proposals, which may consider students previous knowledge and possible obstacles during the process.

Part of the historical analysis on the construction of numeration systems and the numerical writing in different civilizations has evidenced the decimal basis as a great mathematical treasure. It also brings up the history of the numeral system that has been taught on the first years of the fundamental school for the last few decades.

The investigation is based on studies of numerical writing constructions and showed, for example, that the process and procedures involved in the grouping and exchanges on the ten basis takes much more time to be built than it was previously thought.

Based on the children answers and on the different steps of the fundamental teaching, the study presents an analysis of the relationship between the school knowledge and that socially constructed by the students. It shows that the evolution of these knowledge is not linear and emphasizes the need of a consistent work related to the numerical writing productions to the mental and written calculation and for the resolution of problems that involve natural and rational numbers presented in decimal form.

�������

Apresentação

1

Capítulo I

Base 10: o grande tesouro matemático – retrospectiva histórica da construção desse conceito, do seu ensino e informações de investigações existentes

3

Retrospectiva histórica da construção do sistema de numeração decimal

3

Uma outra história: a do ensino dos números e do sistema de numeração decimal

34

Buscando informações em investigações existentes

41

Capítulo II

Da constituição das primeiras hipóteses sobre as escritas numéricas aos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal

52

Introdução

52

As investigações com crianças de EDUCAÇÃO INFANTIL

53

O trabalho com alunos do Ensino Fundamental algumas informações

64

A investigação, com alunos, referente à situações que envolvem Números Naturais

65

Análise dos resultados dos alunos em atividades que envolvem Números Naturais

73

A investigação, com professores de 2ª e 4ª séries, referente à situações que envolvem Números Naturais

76

Análise dos resultados dos professores referente à situações que envolvem Número Natural

82

Capítulo III

Dos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal à construção das representações decimais para os números racionais

84

Introdução 84

A investigação, com os alunos do ensino fundamental, referente à situações que envolvem Números Racionais em suas representações decimais

85

Análise dos resultados dos alunos em atividades que envolvem Números Racionais em sua representação decimal

100

A investigação, com os professores de 4ª, 6ª e 8ª séries, referente à situações que envolvem Números Racionais em sua representação decimal

105

Análise dos resultados dos professores referente à situações que envolvem Números Racionais em sua representação decimal

113 Capítulo IV

Conclusões

115

Bibliografia

123

Anexos

127

Ficha catalográfica elaborada pela Bib. Nadir Gouvêa Kfouri - PUCSP

DM 510 Rodrigues, Wanda S R Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente simplicidade. - São Paulo: s.n., 2001.

Dissertação (Mestrado) - PUCSP Programa: Matemática: Educação Matemática Orientador: Pires, Célia Maria Carolino

1. Sistema de numeração decimal - Estudo e ensino. 2. Matemática - Estudo e ensino.

Palavra-Chave: Educação matemática - Base dez - Escritas numéricas - Números naturais - Números racionais - Resolução de problemas

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura:____________________Local e data:________

Apresentação

Uma análise histórica dos procedimentos usados pela humanidade para

registrar quantidades cada vez maiores evidencia a concepção da base dez e a

criação de um sistema posicional de numeração como um grande tesouro

matemático. Utilizada inicialmente na representação de números inteiros, ela

foi posteriormente estendida à representação decimal de números racionais e

irracionais, nas notações científicas, cada vez mais presentes no mundo

contemporâneo.

Aparentemente simples, o processo que envolve agrupamentos e trocas

é apresentado às crianças desde seus primeiros contatos com a Matemática,

nas escolas de educação infantil e nas séries iniciais do ensino fundamental;

unidades, dezenas, centenas, o chamado quadro valor de lugar, com suas

ordens e classes, tudo parece ser muito elementar, muito evidente. As relações

entre as unidades das diferentes ordens são tomadas como apoio para a

compreensão dos diferentes algoritmos das operações, dos cálculos

aproximados, das estimativas.

Mais adiante, com a mesma aparente simplicidade, lhes são

apresentados os décimos, centésimos, milésimos, as dízimas periódicas e

depois as representações decimais infinitas, mas não periódicas.

No entanto, estudos e pesquisas mostram que o processo de construção

das idéias e procedimentos envolvidos nos agrupamentos e trocas na base 10

leva muito mais tempo para ser construído do que se possa imaginar. Esse fato

tem implicações importantes no ensino, tendo em vista que especialmente nos

dois ciclos finais do ensino fundamental esse processo é negligenciado, ou

seja, parte-se da idéia de que os conceitos e procedimentos envolvidos já

foram construídos e, dessa maneira, não precisam de novos investimentos.

Nesse sentido, nosso estudo tem como questão central, identificar como

"evolui" a construção das escritas numéricas e seu uso, ao longo do ensino

fundamental, especialmente em relação às técnicas operatórias e às

representações decimais de números racionais. A finalidade é dar

2

contribuições para a elaboração de propostas didáticas mais consistentes que

levem em conta os obstáculos existentes.

No primeiro capítulo, apresentamos uma breve retrospectiva histórica,

apoiada, principalmente, nas obras de Ifrah (1997), Boyer (1974) e Struik

(1987), com o propósito de destacar os marcos da trajetória de construção

daquele que é considerado um grande tesouro matemático, a base dez. Além

dessa história, fazemos também uma síntese da trajetória do ensino desse

tema nas últimas décadas, baseada em alguns documentos oficiais da rede

estadual de São Paulo e nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Destacamos

ainda, nesse capítulo, as pesquisas de Fayol (1996), Lerner e Sadovsky

(1995) e Coulibaly (1987) que embasaram nosso trabalho.

No segundo capítulo, inicialmente, sintetizamos os resultados de

entrevistas realizadas com um grupo de crianças de 5 a 6 anos, com a intenção

de mapear conhecimentos sobre a escrita numérica antes da realização do

trabalho sistematizado que ocorre nas séries iniciais do ensino fundamental. A

seguir, apresentamos nossa investigação feita com 927 crianças e

adolescentes de 7 anos a 18 anos, que estavam curando as séries finais dos

diferentes ciclos do ensino fundamental, com a finalidade de analisar a

evolução dos conhecimentos sobre a escrita dos números e de seus usos ao

longo do trabalho sistematizado que ocorre no ensino fundamental. Incluímos

observações sobre entrevistas e testes realizados com os 29 professores

destes alunos, buscando identificar também em que medida dominam ou

compreendem os princípios do sistema de numeração decimal. Em seguida,

apresentamos os resultados de nossa investigação, feita com alunos e

professores das séries iniciais do ensino fundamental, a fim de identificar a

trajetória da construção dos conhecimentos sobre o sistema de numeração

decimal.

No terceiro capítulo, apresentamos os resultados de nossa investigação,

feita com alunos e professores do ensino fundamental, focada em como se dá

a compreensão dos números racionais em suas representações fracionária e

decimal.

O quarto capítulo é dedicado à análise dos resultados e às conclusões e

implicações para a prática em sala de aula.

3

Capítulo I

Base dez: o grande tesouro matemático - retrospectiva histórica da

construção desse conceito e do seu ensino.

Introdução

Neste capítulo apresentaremos uma breve retrospectiva histórica

apoiada em Boyer, Ifrah e Struik, com o propósito de destacar os marcos da

trajetória de construção daquele que é considerado um grande tesouro

matemático, escondido nos dedos das mãos humanas: a base dez que

caracteriza os agrupamentos e trocas presentes no sistema de numeração

decimal. Relataremos também uma síntese da trajetória do ensino desse tema

nas últimas décadas, baseada em alguns documentos oficiais da rede estadual

de São Paulo e nos Parâmetros Curriculares Nacionais. Salientaremos

também, neste capítulo, algumas pesquisas que embasaram nosso trabalho.

1. Retrospectiva histórica da construção do sistema de numeração

decimal

1.1 A mão, primeira máquina de contar

Quando se fala em base dez, os dedos humanos são imediatamente

lembrados como a provável fonte de inspiração da escolha do dez como base

de um sistema de numeração.

Ifrah (1997) considera que no curso das eras, certamente, a mão é o

mais antigo e difundido auxiliar de contas e cálculos, empregado pelos povos.

Desde Aristófanes até Plutarco, os autores gregos fazem alusão a ela.

Sêneca, o filósofo, escrevia igualmente numa de suas Epístolas (LXXXVII):

“A avareza ensinou-me a contar e a pôr meus dedos à disposição de

minha paixão”. (Ifrah, p.91)

Essa prática não foi o apanágio dos latinos nem dos gregos.

Arqueólogos, historiadores, etnólogos e filósofos reencontram seus traços em

todas as épocas e em todas as regiões do mundo. Quer se trate da Polinésia,

4

da Oceania, da África, da Europa, do Iraque ou da antiga Mesopotâmia, do

Egito faraônico, da terra do Islã, da China ou da Índia, da América pré-

colombiana ou de nosso Ocidente medieval.

Foi pelo uso dos seus dez dedos que o ser humano adquiriu

gradualmente todos esses dados necessários. E não só crianças, mas jovens e

mesmo adultos ainda contam apoiando-se no uso das mãos.

A mão do homem, usada como a máquina de contar mais simples e

mais natural, tem, portanto, papel considerável na gênese de nosso sistema de

numeração.

1.2 O princípio da base e o nascimento do sistema de numeração

Para Ifrah (1997), o homem fez uso de dois conceitos para simbolizar os

números. Um que pode ser qualificado de cardinal, o qual consistia em adotar

desde o início um símbolo-padrão para representar a unidade, que era repetido

tantas vezes quanto o número considerado contivesse de unidades. Outro, que

pode ser qualificado de ordinal, que atribuía a cada número um símbolo

original, e considerava uma sucessão de símbolos que não tinha nenhuma

relação uns com os outros.

Fazendo uso de uma ou outra dessas duas regras fundamentais, o

homem pôde, desde então, aprender a conceber conjuntos cada vez mais

extensos, mas nos dois casos se debateu, desde o início, com grandes

dificuldades, pois para representar números cada vez maiores, não podia

multiplicar indefinidamente pedras, paus, entalhes ou nós de barbante; nem o

número dos dedos da mão nem o das partes do corpo eram indefinidamente

extensíveis. Não podia também repetir uma mesma palavra de uma maneira

ilimitada e nem criar infinitamente novos nomes de número ou símbolos

originais. Deparou-se, então, com um problema insuperável à primeira vista:

como designar números elevados com o mínimo possível de símbolos?

A solução encontrada foi privilegiar um agrupamento particular (como a

dezena, a dúzia, a vintena ou a sessentena, por exemplo), a fim de organizar a

seqüência regular dos números, segundo uma classificação hierarquizada,

fundada nessa base.

Em outras palavras, convencionou-se uma “escala” a partir da qual era

possível repartir os números e seus diversos símbolos, segundo estágios

5

sucessivos, aos quais eram dados os respectivos nomes: unidades de primeira

ordem, unidades de segunda ordem, unidades de terceira ordem, e assim

sucessivamente. Dessa maneira, chegou-se a uma simbolização estruturada

dos números, evitando-se esforços de memória ou de representação. É o que

se chama o princípio da base. Essa descoberta marcou o nascimento dos

sistemas de numeração - sistemas cuja base nada mais é do que a quantidade

de unidades necessária para agrupar no interior de uma dada ordem, a fim de

formar uma unidade de ordem, imediatamente superior. Mas como, então,

considerar uma certa base como mais “natural” do que outra? Ifrah (1997) cita

Lévy - Bruhl, “cada base adotada tem, na verdade, sua razão de ser nas

representações coletivas do grupo social em que a constatamos”. (p. 88)

1.3 A primeira regra numérica da história: o princípio de adição

Segundo Struik (1987), há dez mil anos, no período neolítico, conhecido

como Idade da Pedra, após o degelo ter dado lugar às florestas e aos desertos,

os nômades, que vagueavam à procura de alimentos, foram desaparecendo

pouco a pouco. Eram caçadores e pescadores que foram, em grande parte,

substituídos por agricultores que começaram a construir habitações mais

permanentes. Surgiram, assim, os primeiros povoados.

Restos encontrados em algumas escavações da era neolítica mostram

como se desenvolveram gradualmente certos ofícios elementares como a

cerâmica, a carpintaria e a tecelagem. Coziam o pão, fermentavam a cerveja,

guardavam os excedentes da colheita em celeiros e, no final do neolítico,

fundiam o cobre e o bronze.

Nessa época, ocorreram algumas invenções notáveis como a roda de

oleiro e a roda do carro, e o aperfeiçoamento dos barcos e dos abrigos. Existia

uma atividade comercial entre diversas povoações, estimulada pela descoberta

das técnicas de fundição e de manufatura, primeiro do cobre, depois de

utensílios e armas de bronze. Isto, também, promoveu a formação de

linguagens. A princípio, as palavras destas linguagens exprimiam coisas muito

concretas, mas já havia lugar para alguns termos numéricos simples e algumas

relações de forma. (Struik, p. 30,31)

Há mais de cinco mil anos, sociedades avançadas e em plena

expansão, como as civilizações ditas mesopotâmicas, egípcias, chinesas,

6

maias, gregas, hindus, perceberam que já não era possível armazenar apenas

na memória suas numerosas e diversas operações econômicas, era necessário

também, registrá–las. Utilizaram sinais gráficos traçados sobre a superfície do

solo ou, ainda, sobre tabuletas de argila, pedra, folhas de papiro, cacos de

cerâmica ou casco de tartaruga. Assim, nasciam as primeiras numerações da

história.

Durante os milênios que se seguiram, outros povos também criaram

seus sinais gráficos, isto é, também criaram seus sistemas de numeração.

No início, as numerações escritas repousaram sobre o princípio aditivo,

regra segundo a qual o valor de uma representação numérica é obtido através

da soma dos valores de todos os algarismos contidos nela. Eram, portanto,

muito rudimentares.

1.4 O sistema sexagesimal

A história mostra que os sumérios inventaram um sistema sexagesimal.

Essa importante descoberta constitui incontestavelmente um dos méritos

imperecíveis de sua cultura. A profunda originalidade dessa invenção é um

dos maiores enigmas da história da aritmética, uma vez que nunca se explicou

a razão da escolha de uma base tão elevada. Desde a Antigüidade grega, uma

multidão de autores têm se debruçado sobre essa questão, a fim de emitir

hipóteses, mas nenhuma parece convincente até os dias de hoje.

Os sumérios agrupavam os seres e as coisas por sessentenas e

potências de sessenta, utilizando, assim, a base 60.

Tomar a sessentena como base de um sistema de numeração

sobrecarrega consideravelmente a memória, pois exige o conhecimento de

sessenta palavras ou sinais diferentes para produzir os números de 1 a 60.

Mas os sumérios superaram essa dificuldade, admitindo a dezena como

unidade auxiliar que descarregava a memória, isto é, como patamar

intermediário entre as diferentes unidades sexagesimais (1, 60, 602, 603, etc.).

Quando começaram a utilizar uma notação numérica (isso ocorreu, por

volta de 3 200 a.C.), atribuíram um sinal gráfico especial a cada uma das

unidades seguintes: 1; 10; 60; 600 ( 60 x 10); 3 600 ( 602 ); 36 000 ( 602 x 10),

ou seja, a cada um dos termos da progressão, arranjada da maneira seguinte:

7

1

10

10 x 6

( 10 x 6 ) x 10

( 10 x 6 x 10 ) x 6

( 10 x 6 x 10 x 6 ) x 10

Culturas contemporâneas guardam traços dessa base sexagesimal, pois

a utilizamos ainda hoje, para exprimir a medida de tempo em horas, minutos e

segundos, ou a de arcos e ângulos em graus, minutos e segundos.

Tal princípio constituiu entre os gregos, e depois entre os árabes, um

sistema erudito de numeração usado pelos astrônomos. Contudo, salvo raras e

tardias exceções, desde os gregos, esse sistema só foi empregado para

exprimir frações.

As escavações feitas na Mesopotâmia revelam que surgiram dois

sistemas de numeração inteiramente à parte, servindo para exprimir tanto as

frações quanto os inteiros: o sistema erudito dos matemáticos e astrônomos da

(Ifrah, p.165)

8

Babilônia, que só era empregado nos textos de caráter “científico” (herdado

pelos gregos, antes de legá-lo a nós por intermédio dos árabes); e o outro,

ainda mais antigo, que constituiu para os sumérios, predecessores dos

babilônios, um modo comum e exclusivo de numeração.

Os algarismos da antiga grafia só foram suplantados pelos algarismos

cuneiformes a partir da III dinastia de Ur (2 100 – 2 000 a.C.).

1.5 As numerações mesopotâmicas depois do eclipse dos Sumérios

Por volta de 2000 a.C. o império de Ur III foi aniquilado sob os golpes

simultâneos dos elamitas (a leste) e dos amoritas (a oeste). A civilização

suméria desapareceu, deixando lugar a uma cultura nova: a do mundo assírio-

babilônico.1

Os amoritas, semitas2 vindos do oeste, fundaram a cidade de Babilônia

na Baixa Mesopotâmia, a qual tornou-se a capital do país chamado Sumer e

Acádia. A figura mais marcante da primeira dinastia babilônica foi Hammurábi

(1792 – 1750 a.C.), célebre monarca legislador. Estabeleceu uma política de

conquistas e levou os semitas a expandirem seu território, da Babilônia a toda

Mesopotâmia até o leste da Síria.

A numeração falada dos povos semíticos foi muito diferente do sistema

sumério de expressão oral dos números. E isso não apenas de um ponto de

vista lingüístico, mas também sob o plano matemático, pois ela foi (e

permanece sempre) estritamente decimal. O sistema apresenta uma pequena

singularidade em relação às numerações decimais a que estamos habituados,

essencialmente ligada a considerações de ordem gramatical.

Os acádios, ao tomarem emprestada a notação sexagesimal cuneiforme

dos sumérios, sentiram-se embaraçados pela presença de uma numeração

escrita cuja base era completamente diferente da sua, em que o método

tradicional de expressão oral dos números era estritamente decimal. Em suas

contagens, como utilizavam as centenas e os milhares, introduziram as

notações estritamente decimais no sistema sexagesimal de origem suméria,

criando, assim, uma espécie de sistema misto em que combinavam unidades

1 Cf. Bottero,Cassin e Veroutter; Brinkman; Garelli; King; Parrot; Vieyra. 2 A denominação “semita” encontra sua origem no célebre quadro das nações do capítulo X do Gênesis, no qual Sem, um dos três filhos de Noé, com Cão e Jafé, é dado como pai de Héber (os hebreus), Elam, Assur, Arã, Arfaxad e Lud.

9

sexagesimais e unidades decimais ao mesmo tempo, atribuindo um sinal

especial a cada um dos números: 1, 10, 60, 102, 10X60, 103, 10X 602, ...

1.6 O sistema decimal mesopotâmico

Na Mesopotâmia, quando a língua e a escrita acádias suplantaram

definitivamente suas correspondentes sumérias, a numeração estritamente

decimal prevaleceu no uso corrente. O sistema assírio-babilônio, fundado na

base dez, permitia uma representação de todas as ordens de unidades até o

milhão.

Ifrah, p. 284)

A evolução da numeração popular mesopotâmica antes e depois do eclipse da civilização suméria. (Ifrah, p. 284)

10

Segundo Ifrah, grosso modo, a história das culturas mesopotâmias,

desde a época do império acádio, compreende três etapas essenciais:

� a primeira, que corresponde à época de assimilação pelos semitas

da herança cultural legada por seus predecessores sumérios: fase marcada por

um empréstimo puro e simples do sistema sexagesimal sumério;

� a segunda, que constitui uma espécie de período intermediário:

aparição de um sistema misto, constituindo um compromisso entre unidades

sexagesimais e unidades decimais;

� e a terceira, que corresponde ao período de preponderância dos

semitas na Mesopotâmia: marcada pelo uso de um sistema rigorosamente

decimal, perfeitamente adaptado.

1.7 O princípio de posição dos mesopotâmios

Os eruditos mesopotâmios, por volta da primeira metade do II milênio

a.C., regulamentaram sua numeração escrita, que era eminentemente abstrata

e superior a todos os sistemas até então empregados. Foi a primeira

numeração estritamente posicional da história.

Esse sistema abstrato, inventado a partir da antiga numeração

sexagesimal suméria, exerceu uma grande influência no mundo científico,

desde a Antigüidade até nossos dias, e é bem superior a todas as notações

numéricas usadas no mundo antigo e bastante similar à nossa numeração

atual, diferindo apenas pela natureza de sua base (base sessenta) e pelo modo

de formação de seus algarismos.

Tal sistema foi utilizado pelos astrônomos gregos que adaptaram sua

numeração alfabética a esse uso. Os astrônomos árabes e judeus também o

utilizaram para suas tábuas astronômicas, adaptando-o às suas numerações

alfabéticas respectivas. E, assim, o sistema erudito babilônio chegou até nós,

pelos árabes, perpetuando-se na expressão das medidas de tempo, na dos

arcos e ângulos.

A superioridade e a engenhosidade da numeração escrita que usamos

provêm, na realidade, da admissão do princípio segundo o qual os algarismos

empregados têm um valor variável, que depende da posição que ocupam na

escrita dos números: um dado algarismo será associado às unidades simples,

às dezenas, às centenas ou aos milhares, segundo ocupe o primeiro, o

11

segundo, o terceiro ou o quarto lugar na expressão de um número (indo da

direita para a esquerda).

Os documentos matemáticos babilônios dos quais se tem conhecimento,

até nossos dias, não nos revelam o emprego do zero, a não ser em posição

intermediária. Diante dessa evidência, vários historiadores das ciências

deduziram que os eruditos mesopotâmios só empregavam o zero (espaço) no

A numeração corrente assírio-babilônia: uma adaptação do sistema sumério às tradições de contagem semíticas (Ifrah, p. 490)

12

interior de representações numéricas e que é necessário muita cautela antes

de concluir que a identidade funcional do zero seria semelhante à nossa.

Segundo Boyer, na década de 1870 foi feito um progresso significativo

na leitura de mensagens escritas nas tabletas, pois foi descoberta a Rocha

Behistun que trazia uma narração trilíngüe da vitória de Dario sobre Cambises,

(Ifrah, p. 303)

13

onde a inscrição era feita em persa, elamítico e babilônico. O conhecimento

persa forneceu a chave para a leitura do assírio, língua proximamente

aparentada com o babilônico, mais antigo. Mas, mesmo depois dessa

importante descoberta, a decifração e análise das tabletas com conteúdo

matemático avançou devagar. Só no segundo quarto do século vinte a

percepção das contribuições matemáticas da Mesopotâmia se tornou

apreciável, graças à obra pioneira de Fr. Thureau-Dangin, na França, e Otto

Neugebauer, na Alemanha e América. (Boyer, p. 8)

1.8 Os algarismos da civilização dos faraós

Por volta de 3000 antes de nossa era, os egípcios inventaram uma

escrita e um sistema de numeração escrita, mais ou menos ao mesmo tempo

que os povos na Mesopotâmia. A diferença entre as duas escritas não era

apenas do ponto de vista gráfico, mas também matemático, pois a base da

escrita egípcia era decimal, enquanto a suméria era sexagesimal. Os sumérios

reproduziram seus algarismos e seus sinais de escrita quase exclusivamente

em tabuletas de argila, segundo um traço com uma ponta ou, ainda, pela

pressão de uma ferramenta determinada, os egípcios, por sua vez,

reproduziram seus algarismos e seus hieróglifos gravando-os ou esculpindo-os

com cinzel e martelo em monumentos de pedra, ou ainda, com um caniço com

uma ponta achatada, molhado numa matéria corante e traçando-os em pedaço

de rocha, cacos de cerâmica ou na fibra frágil e quebradiça de folhas de papiro.

A numeração escrita egípcia possui um hieróglifo particular para indicar a

unidade e cada uma das seis potências de dez.

Segundo Vercoutter, “não apenas os sinais hieroglíficos que ela

utiliza são todos tirados da fauna e da flora nilótica, o que prova que

a escrita foi desenvolvida no local, mas ainda instrumentos e

utensílios que figuram nela eram empregados no Egito desde o

eneolítico antigo (início do IV milênio a.C.), o que é a prova de que a

escrita (hieroglífica) é certamente o produto da civilização egípcia

apenas e que ela nasceu nas margens do Nilo.” (Ifrah, p. 331)

14

O primeiro avanço notável deve-se na realidade aos escribas egípcios,

que, querendo satisfazer as necessidades da escrita rápida, procuraram, bem

cedo, simplificar notavelmente a grafia e a estrutura de seu sistema inicial.

Partindo de desenhos hieroglíficos minuciosos demais, esforçaram-se por

chegar a sinais bastante esquemáticos, pela manutenção da continuidade do

traçado, que se obtém ora por pequenos toques rápidos, ora por uma só

pincelada.

Essa notação numérica muito abreviada, conhecida pelo nome de

numeração hierática egípcia, atribuía um sinal particular a cada um dos

números.

Algarismos fundamentais da numeração hieroglífica egípcia e as principais variantes que figuram nos monumentos de pedra. Notar-se-á que esses algarismos mudam geralmente de orientação segundo o sentido de leitura do texto hieroglífico: assim, o girino (100 000) e o gênio do milhão devem estar sempre voltados para o início da linha. Designam dessa maneira o sentido da leitura. Ref. Gardiner; Guitel; Lefebvre; Sethe. (Ifrah, p. 342)

15

Estas notações exigiam um esforço de memória considerável para

permitir reter os sinais postos em jogo, pois eram introduzidos nove sinais

especiais para as unidades simples, nove para as dezenas, nove outros,

ainda, para as centenas, e assim por diante.

Os judeus, os gregos, os siríacos, armênios e árabes adotaram notações

matematicamente equivalentes a esse sistema. Entretanto, em lugar de

proceder como os egípcios, esquematizando progressivamente o traçado de

seus algarismos iniciais, eles forjaram seus sistemas a partir das letras de seus

respectivos alfabetos.

Representação das unidades consecutivas de cada ordem decimal da numeração hieroglífica egípcia. (Ifrah, p. 346)

16

Muito distantes no tempo ou no espaço, homens que foram submetidos

a condições iniciais inteiramente favoráveis, empregaram as mesmas vias para

chegar a resultados senão idênticos, ao menos similares, sem que tenha

havido necessariamente contato entre eles. Na realidade, na alvorada do

III milênio a.C., os egípcios encontraram-se também em condições iniciais

psicológicas, sociais e econômicas semelhantes, perfeitamente favoráveis à

invenção dos algarismos e da escrita.

1.9 O alfabeto e a numeração

Por volta do século XV a C., os semitas do nordeste, povos que viviam

próximo da costa, na Síria-Palestina, inventaram o alfabeto, a fim de romperem

com as escritas extremamente complicadas de tipo egípcio ou assírio-

babilônio, então em uso no Oriente Próximo. A invenção do alfabeto, último

aperfeiçoamento da escrita, e forma superior de transcrição da palavra,

adaptável às inflexões de qualquer linguagem articulada, passou a permitir a

escrita de todas as palavras de uma dada língua mediante um pequeno

número de sinais fonéticos simples chamados de letras.

Em razão das múltiplas relações mantidas com os povos mais diversos,

os fenícios, grandes mercadores e ousados navegadores, asseguraram à

invenção um sucesso e uma difusão consideráveis. No Oriente, transmitiram-

na inicialmente a seus vizinhos imediatos. A escrita alfabética, de origem

fenícia, difundiu-se pela orla do Mediterrâneo e foi pouco a pouco adotada

pelos povos ocidentais, que a adaptaram a suas respectivas línguas,

modificando ou acrescentando a ela alguns sinais.

No tempo dos reis de Israel e Judá, as vinte e duas letras fenícias

originaram a escrita dita “paleo-hebraica”, da qual deriva o alfabeto dos

samaritanos atuais. Um pouco mais tarde, inventaram a escrita aramaica, que

deu origem aos alfabetos hebraico, árabe e indiano, servindo de base também

para a elaboração do alfabeto grego. Este foi o primeiro alfabeto da história,

que comportava uma notação rigorosa e integral das vogais, servindo de fonte

de inspiração aos alfabetos itálicos, depois ao latino, gótico, armênio,

georgiano e cirílico (russo). Em outras palavras, os alfabetos atualmente em

uso no mundo são quase todos descendentes mais ou menos diretos do

alfabeto fenício. Ifrah reporta-se a Février (p. 449), que explica:

17

“A ordem das letras fenícias, assegurada pela concordância

absoluta entre os velhos abecedários etruscos (o de Marsilana

remonta a 700 a. C.) e as numerosas poesias hebraicas contidas no

Antigo Testamento, apresentando o alfabeto em acróstico (Salmos,

9, 10, 25, 34, 37, 111, 112, etc.). Os mais antigos abecedários

etruscos tinham conservado as vinte e duas letras do alfabeto

fenício, o que torna seu testemunho ainda mais precioso”.

O fato de as letras alfabéticas terem sido conservadas na mesma ordem

em que foram concebidas desempenhou um papel importante no domínio da

numeração.

O alfabeto grego foi fundamental na história da nossa escrita e da nossa

civilização. Serviu para notar a língua da cultura mais rica do mundo antigo,

transmitindo a mensagem de um pensamento incomparável. Tornou-se o

intermediário ocidental, não somente histórico, geográfico e gráfico, mas

também estrutural, entre o alfabeto semítico e o alfabeto latino, já que foram os

gregos os pioneiros na idéia de notação rigorosa e integral das vogais.

O alfabeto grego clássico do século IV era composto de vinte e quatro

letras: vogais e consoantes.

A numeração, por sua vez, além de empregar as vinte e quatro letras do

alfabeto grego clássico, acrescentava três sinais alfabéticos: digama, kopa e

san, que pouco a pouco caíram em desuso na língua. Esses vinte e sete sinais

eram repartidos em três classes numéricas. A primeira, destinada às unidades,

continha as oito primeiras letras do alfabeto clássico e o antigo digama (antigo

waw semítico), que representava o sexto valor.A segunda classe, das dezenas,

era formada pelas oito letras seguintes, mais o sinal kopa (o antigo Qof), ao

qual era atribuído o valor 90. A terceira classe, das centenas, comportava as

oito últimas letras clássicas e o sinal San (antigo Sade), ao qual era atribuído o

valor numérico de 900. Para os primeiros nove múltiplos de mil, adotaram as

primeiras nove letras do alfabeto, um uso parcial do princípio posicional; mas

para maior clareza essas letras eram precedidas por um risco ou acento:

,α ,β ,γ ,δ ,ε ,ς ,ζ ,η ,θ

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Dentro desse sistema, qualquer número inferior a 10 000 podia ser

escrito facilmente com apenas quatro símbolos. (Boyer, p. 44)

18

1.10 A origem da numeração chinesa

Ifrah ressalta que no final do século passado, no sítio arqueológico de

Xiao Dun (vila situada no nordeste do distrito de An’ yang, província de Henan),

foram descobertos alguns milhares de ossos e cascas de tartaruga,

constituindo os mais antigos testemunhos atualmente conhecidos da escrita e

da numeração chinesas; estes jiaguwen (ou “ossos oraculares”) datam da

época de Yin (século XIV-XI a.C.). Essas inúmeras peças, outrora pertencentes

a adivinhos-sacerdotes ligados à corte, provavelmente serviram para a prática

da adivinhação pelo fogo. Continham em uma das faces, inscrições gravadas

com ponta, e na outra, apresentavam rachaduras devido ao calor.

Para exprimir os números, os chineses habitualmente utilizavam um

sistema decimal que continha treze sinais fundamentais, representando as

nove unidades e as quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1 000, 10 000).

Esses sinais numéricos de traçado simples ainda são empregados, da mesma

forma, em nossos dias.

(Ifrah, p.467)

Algarismos chineses e nomes de número sino-anamitas. Ref. G. Dumoutier. (Ifrah, p. 568)

19

Essa numeração escrita corresponde ao tipo das numerações fundadas

no princípio “híbrido”, pois as dezenas, centenas, milhares e dezenas de

milhares são expressas segundo o princípio multiplicativo. Para todos os

números intermediários, os chineses utilizam, ainda hoje, a adição e a

multiplicação ao mesmo tempo. Por exemplo: para decompor o número 79 564,

ele ficaria escrito na forma:

Os tradicionais caracteres japoneses (que continuam a ser utilizados até

os dias de hoje) foram emprestados da escrita chinesa. Mas, os algarismos

japoneses não são lidos como os chineses; possuem duas pronúncias

diferentes. Uma, dita “sino-japonesa”, derivada do chinês (mais exatamente da

pronúncia chinesa da época e da região do empréstimo japonês da escrita

correspondente) e a outra, propriamente japonesa. Coexistindo, até hoje, na

língua japonesa, duas séries completamente diferentes de nomes de número.

Para exprimir as grandes quantidades, tanto os chineses como os

japoneses raramente precisam, no uso ordinário, de outros sinais numéricos

além daqueles treze que conhecem, pois, servindo-se unicamente desses

caracteres fundamentais de sua numeração corrente, chegam a representar e

registrar qualquer número. Por exemplo, para representar o número

487 390 629, escreve-se:

números intermediários, os chineses utilizam, ainda hoje, a adição e a

(Ifrah, p.552)

(Ifrah,p. 577)

20

Para representar o número abaixo, usam a decomposição:

Esse tipo de representação mostra que o sistema empregado pelos

chineses, além de ser decimal é também posicional.

Diversos tratados escritos por matemáticos chineses, japoneses e

coreanos, que chegaram até nós, mostram que a partir do século II a.C., havia

um alto desenvolvimento intelectual no Extremo Oriente. O sistema utilizado

por eles é análogo à nossa numeração moderna, pois, além de sua base

decimal, o valor dos algarismos é determinado pelo lugar que ocupam na

leitura dos números. Trata-se, portanto, de uma numeração decimal

estritamente posicional.

Essa numeração combinava regularmente barras horizontais e verticais,

segundo um princípio ideográfico. Por mais engenhosa que fosse essa

numeração, os chineses souberam contornar quase todos os obstáculos

surgidos. Mas, durante vários séculos, os matemáticos chineses ignoraram o

zero.

A partir do século VIII d.C., talvez por influência dos matemáticos da

civilização indiana, os sábios chineses introduziram em sua numeração

posicional um sinal especial (figurado por um pequeno círculo) para marcar a

ausência das unidades de uma certa ordem.

Esse sinal especial também era usado para representar uma fração

decimal, quando colocado à esquerda de pelo menos um dos treze caracteres

fundamentais que representavam sua numeração.

Todas as regras aritméticas ou algébricas relativas aos números inteiros,

fracionários ou irracionais, atingiram, desde então, um grau de perfeição mais

ou menos semelhante àquele das regras de nosso ensino científico atual.

(Ifrah, p. 579)

21

1.11 A civilização maia

Entre os povos pré-colombianos do Novo Mundo, os que habitavam a

Meso-América (região que se estende do México à Guatemala e Honduras)

parecem ter sido os únicos a possuírem uma verdadeira forma de escrita. Por

ser esse território muito grande, proliferaram múltiplos particularismos

regionais, e os principais foram: o dos maias, o dos zapotecas (povo localizado

em torno do Monte Albán no vale de Oaxaca, entre o território maia e os altos

planaltos mexicanos); o dos mixtecas (fixados no sudoeste mexicano, ao Sul

das terras zapotecas); e, enfim, o dos astecas (no centro do México, em torno

da atual capital).

De todas as culturas pré-colombianas da América Central, a Civilização

Maia é, certamente, a mais célebre, e a influência que ela exerceu sobre as

outras, principalmente sobre a dos astecas, foi comparável à influência dos

gregos sobre os romanos durante a Antigüidade.

Como todos os povos dessa região, os maias tinham como base não a

dezena, mas a vintena, hábito que herdaram de seus ancestrais: contar não

apenas com os dez dedos, mas também com seus artelhos. Até dez (inclusive),

os números são nomeados de maneira independente; para além, trata-se de

nomes compostos, fazendo com que a dezena desempenhe o papel de base

auxiliar na nomenclatura dos números inferiores a vinte. Essa numeração

repousava sobre o princípio da adição.

Infelizmente, quase todos os manuscritos maias foram destruídos pelo

fanatismo dos inquisidores espanhóis. O que se pode ler nos textos e

inscrições deixadas por eles, são apenas dados numéricos, astronômicos e

calendários. É permitido, contudo, formular uma hipótese muito plausível a

partir desses dados. Na verdade, as únicas menções numéricas que

possuímos da civilização maia se referem não à aritmética prática, mas à

astronomia e à marcação do tempo.

Notável é o fato que revela a existência, entre os sacerdotes e

astrônomos maias, de um sistema de notação de base 20, munido de um

verdadeiro zero e cujos algarismos têm um valor determinado pela sua posição

na escrita dos números. A razão da introdução de um hieróglifo que

representava o zero, num sistema em que um tal conceito não era

matematicamente necessário, tinha uma razão de existir, pois os sacerdotes

22

eram muito preocupados com a ordem gráfica, estética e religiosa. No plano

religioso, cada unidade de tempo era concebida como um fardo que um deus

guardião do tempo levava em suas costas, e como reagiriam os deuses caso

fossem suprimidas suas esfinges de uma estela comemorativa? Os escultores

e os modeladores maias não podiam correr o risco de encolerizá-los.

As dezenove primeiras unidades (unidades de primeira ordem) dessa

numeração vigesimal eram representadas por pontos e traços.

Cada número superior a vinte era escrito numa coluna vertical. A escrita

dos números 21 (1 X 20 + 1) e 79 ( 3 X 20 + 19) eram representadas:

1 X 20 + 1 3 X 20 + 19

Curioso era a terceira posição desse sistema de base 20, pois não

mantinha a regularidade, isto é, esse terceiro andar indicava, na realidade, os

múltiplos de 360. Assim, a escrita seguinte, por exemplo, correspondia a:

12 X 360 + 3 X 20 + 19

(Ifrah,p. 639)

(Ifrah,p. 640)

(Ifrah, p. 640)

(Ifrah, p. 640)

23

Para as posições seguintes, retornava-se a utilização estrita da base 20

e, cada patamar, a partir do quarto, valia vinte vezes mais do que o patamar

imediatamente inferior. Três multiplicações e uma adição permitiam ler uma

representação de quatro algarismos, por exemplo:

Essa mudança de regularidade na 3ª posição fez com que o zero maia

não desempenhasse o papel de operador aritmético. A numeração maia não

era estritamente vigesimal e, devido a essa característica peculiar, o zero maia

foi privado de toda possibilidade operatória.

[1;0] corresponde a 1 X 20 + 0 = 20

[1;0;0] corresponde a 1 X 360 + 0 X 20 + 0 = 360

[1;2;0] corresponde a 1 X 360 + 2 X 20 + 0 = 400

As descobertas não foram um fenômeno partilhado por todos os povos

ao mesmo tempo. Este é o caso do conceito de zero, que os povos ocidentais

precisaram esperar a Idade Média para que lhes fosse transmitido pelos

árabes, que tinham, por sua vez, recebido dos sábios da Índia.

(Ifrah, p. 640)

(Ifrah, p. 643)

24

1.12 A descoberta do princípio multiplicativo

Esses diversos povos mantiveram-se, durante muito tempo,

profundamente ligados ao uso do velho princípio de adição. Quando os

obstáculos apresentados pelo registro de grandes números surgiram, alguns

povos foram levados a mudar radicalmente de regra numeral, adotando para

tanto um princípio misto, dito “híbrido parcial”, que se calcava simultaneamente

na multiplicação e na adição.

Os assírio-babilônios e os aramaicos reservaram um algarismo particular

para cada um dos números 1, 10, 100 e 1000, recorrendo, assim, ao

princípio multiplicativo, segundo combinações aritméticas, mas, para notação

dos números inferiores a 100, limitaram-se a repetir o algarismo da unidade e o

da dezena tantas vezes quanto fosse necessário.

Os habitantes da ilha do Ceilão, numa época um pouco mais tarde que a

dos assírios, partiram de um sistema inicial muito mais bem concebido do que

o deles, e atribuíram sinais especiais não somente a cada potência de dez,

mas também a cada uma das nove unidades simples e a cada uma das nove

dezenas, aplicando-lhes o princípio precedente, de modo que o número 7 659

passou a ser decomposto: 7 X 1000 + 6 X 100 + 50 + 9.

Mas foram os chineses e os povos da Índia meridional que melhor

souberam tirar proveito do princípio em questão. Criaram também sinais

particulares para representar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100,

1 000, 10 000. Em lugar de fazer as dezenas figurarem por meio de sinais

especiais, tiveram a idéia de estender o princípio multiplicativo à notação de

todas as ordens de unidades superiores ou iguais à base de sua numeração.

Já os números intermediários eram expressos pela inserção do sinal indicador

da dezena entre o algarismo das unidades simples e o das unidades de 2a

ordem, do sinal indicador da centena entre o das unidades de 2a ordem e o das

unidades de 3a ordem, e assim por diante. É o que se chama numeração de

tipo “híbrido completo”, em que a representação dos números é feita seguindo

a expressão dos diversos valores numéricos de um polinômio, onde o que

muda de uma escrita para a outra é a base. A descoberta do princípio “híbrido”

foi muito vantajosa para as necessidades daquele momento, já que permitiu

não somente evitar as repetições cansativas de sinais idênticos, mas ainda

25

aliviar a memória – evitando a fixação de um número considerável de símbolos

originais.

1.13 A descoberta do princípio de posição

O sistema de numeração que usamos, além de possuir o princípio

multiplicativo, possui também o princípio de posição, regra segundo a qual um

algarismo tem um valor que varia em função da posição que ocupa tanto na

escrita de um número quanto na oralidade dele. Na numeração decimal atual,

um “5” tem como valor 5 unidades, 5 dezenas ou 5 centenas, dependendo se é

(Ifrah, p. 552)

26

colocado na primeira, segunda ou terceira posição, da direita para a esquerda,

numa representação numérica. Para escrever o número três mil setecentos e

vinte e quatro, basta colocar simplesmente nessa ordem a seqüência de

algarismos 3, 7, 2, 4, já que, segundo essa regra, a escrita 3 724 significa o

valor de: 3 X 1000+7 X 100+2 X 10+4.

Esse princípio foi ignorado completamente pelas civilizações gregas e

egípcias, e mesmo a humanidade tateou e hesitou durante milênios antes de

descobri-lo. A civilização que elaborou as bases de nosso sistema atual não foi

nem a primeira e nem a única a descobrir o princípio de posição.

Ifrah comenta que três outros povos também realizaram as primeiras

numerações de posição da história:

� uma primeira vez, no início do II milênio a .C., pelos sábios da

Babilônia;

� uma segunda vez, um pouco antes do início de nossa era, pelos

matemáticos chineses;

� e uma terceira vez, entre os séculos IV e IX d.C., pelos

sacerdotes-astrônomos da civilização maia.

Os sábios babilônios descobriram o princípio de posição e aplicaram-no

rigorosamente ao seu sistema de numeração, cuja base era 60. Jamais lhe

ocorreu a idéia de associar um algarismo particular a cada uma das unidades

significativas de seu sistema sexagesimal. Assim, em lugar de usar 59

símbolos diferentes, usavam apenas dois, que era uma linguagem cuniforme:

um representando a unidade, e o outro, a dezena, limitando-se a repeti-los, no

interior de cada ordem, tantas vezes quanto era necessário, até a 59a unidade.

Os chineses também descobriram a regra de posição e empregaram-na

sobre uma base decimal. Mas não fizeram melhor do que os babilônios, pois

conservaram sua notação ideográfica em vez de estabelecer sinais diferentes

para suas nove unidades simples. Representavam o número 8, por exemplo,

reproduzindo uma vez o algarismo para o 5 e três vezes o algarismo da

unidade.

Os maias também usaram, em seu sistema de numeração, o princípio

de posição, aplicando-o à sua base 20 e aos seus dois algarismos: um para a

unidade e outro para 5. Segundo Ifrah (p. 639) , as únicas menções numéricas

27

que possuímos da Civilização Maia referem-se não à aritmética, mas à

astronomia e ao cômputo do tempo.

A “ciência maia” foi concebida no alto dos santuários para satisfazer às

necessidades dos sacerdotes, que também eram astrônomos, na contagem do

tempo e nas observações do Cosmos, como no ritmo contínuo das estações e

sua influência na cultura do milho; no retorno cíclico e previsível dos

fenômenos celestes; no ciclo da vida e da morte, do dia e da noite, etc.

Os maias possuíam dois calendários distintos que eram usados

simultaneamente, um de origem essencialmente religiosa (Tzolkin), e outro,

considerado “civil” (Haab), usado pela população em geral.

O ano litúrgico dos maias era formado por vinte ciclos de treze dias,

contando, assim, com duzentos e sessenta dias, para o qual usavam o

calendário Tzolkin .

O outro calendário (Haab), utilizado pelos maias, era um calendário

solar, no qual o ano correspondia a 365 dias, composto de dezoito uinal

(período “mensal” de vinte dias cada um) e de um curto período complementar

de cinco dias, acrescido ao final do décimo oitavo uinal. Esse período de cinco

dias, chamado de uayeb (“o que não tem nome”), qualificado por eles de

“fantasmas” ou “inúteis”, era considerado pelos maias, de dias vazios, tristes e

nefastos para o ser humano.

1.14 A Civilização Indiana: Berço da Numeração Moderna

A partir de uma rica e sólida documentação, desde o início do século XX,

provas completas de que nossa numeração atual é de origem indiana, foram

obtidas através de vários setores e especialidades. Não foi feita, entretanto,

demonstração de síntese que levasse em conta tais provas em seu conjunto,

segundo um raciocínio rigoroso e uma metodologia inteiramente satisfatória.

A fim de provar que a civilização indiana constituiu o berço da

numeração moderna, George Ifrah subdividiu a questão em vários problemas

subjacentes, e com o apoio de toda uma documentação válida que se impõe,

procedeu, em seu livro A História Universal dos Algarismos, tomo 2 (pg 23), da

seguinte maneira:

28

� demonstrou que a civilização hindu descobriu efetivamente o

princípio de posição e que o aplicou regularmente, com toda a consciência,

nas diversas potências de dez.

� provou que ela inventou o conceito de zero, ao qual soube dar

não somente o sentido do lugar vazio, mas também o do número nulo.

� estabeleceu que ela chegou a algarismos de base livres de

qualquer intuição visual direta.

� demonstrou que os grafismos, ligados a seus algarismos desde a

alta época, prefiguram não somente todas as variedades atualmente em

uso na Índia, Ásia central e sudeste asiático, mas também as formas

respectivas dos algarismos dos árabes orientais e ocidentais, bem como a

grafia de nossos algarismos atuais e seus diversos predecessores europeus

do mesmo gênero.

� provou que os sábios dessa civilização estabeleceram os

métodos de cálculo que deram origem aos nossos.

� estabeleceu, enfim, que todas essas descobertas foram

realizadas pela Índia e somente pela Índia, independentemente, portanto,

de qualquer influência estrangeira.

1.15 A época provável das maiores descobertas

O período imperial dos Gupta, dinastia que reinou sobre todo o vale do

Gânges e seus afluentes, de 240 a 535 d.C., período chamado clássico,

abrigou a mais alta expressão da arte indiana (a escultura e a pintura, como as

das grutas de Ajanta, por exemplo), o desenvolvimento da prática da

dissecação, na Medicina, bem como a descoberta do zero e da numeração

decimal de posição.

O tratado de Lokavibhâga remonta precisamente a 458 d. C. Ele oferece

o mais antigo registro conhecido do uso do zero e da numeração decimal

posicional indiana; percebe-se, portanto, que o limite inferior da data dessa

descoberta se situa justamente em meados da época gupta.

O comércio estava nessa época em pleno florescimento, tanto com o

Oriente Próximo, por intermédio da Pérsia, como com o Império Romano, por

via marítima, particularmente por Lâta, a parte oriental do estado atual de

Gujarât.

29

No domínio literário, o sânscrito, até então língua oficial da corte e do

bramanismo, foi adotado pelos budistas e pelos Jaina3 . Foi a época das

primeiras redações do Mahâbhârata , um dos maiores poemas épicos indianos,

e da maioria dos Dharmashâstra, coletânea de textos que trata em particular,

dos usos, das leis e das castas.

Desde o século V os aritméticos indianos serviram-se do sistema

posicional dos nove algarismos e do zero, chegando por vezes a operações

muito complicadas.

A numeração sânscrita era de uma excelente qualidade conceitual. A

descoberta do zero e da numeração de posição que se produziu em meados

do período imperial dos Gupta, dinastia que reinou sobre todo o vale do

Gânges e seus afluentes de 240 a 535 d.C., permitia a concepção e o manejo

dos números mais elevados ou menos elevados que se pudesse imaginar.

O período Gupta foi testemunha dos progressos mais espetaculares em

quase todos os domínios, constituindo por assim dizer uma verdadeira

explosão da expressão da cultura indiana. Certamente não é por acaso que a

época Gupta coincide com o início do grande impulso da Matemática indiana.

Nessa época, deu-se a redação definitiva do Lalitavistara Sûtra4, em

que se conta a lenda de Buda, lidando constantemente com números

gigantescos.

É preciso levar em conta, entretanto, o fato de que os documentos que

atestam o uso dos símbolos numéricos e da notação posicional dos nove

algarismos só passam a ser em quantidade significativa a partir do século VI.

A cultura indiana fez da ciência dos números a primeira e mais nobre de

suas artes, desenvolvendo desde cedo suas espantosas especulações

aritméticas que versavam sobre números gigantescos.

A ciência dos números não foi inspiração individual de um inventor, mas

de vários cientistas indianos. O cientista indiano era um homem dedicado à

reflexão contínua e aos estudos sobre os domínios mais diversos, em que o

primordial eram as considerações místicas, simbólicas, metafísicas e religiosas.

3 nome de uma seita religiosa que parece ter sido fundada por volta do século VI antes de nossa era.(cf.G. Ifrah) 4 Lalitavistara Sûtra ou Desenvolvimento dos jogos [do Buda] – texto sânscrito do budismo do Mahâyâna, composto em verso e prosa, tratando da vida de Buda, o “Santo da familia dos Shâkya” tal como ele teria contado a seus próprios discípulos. (cf G. Ifrah)

30

Esses eruditos dominavam simultaneamente astronomia, poesia, métrica,

literatura, fonética, filosofia, mística, astrologia, cosmologia e mitologia.

A aptidão para o estudo dos números e para as pesquisas aritméticas

freqüentemente combinava-se com uma tendência surpreendente para as

abstrações metafísicas, ancoradas no pensamento e nas tradições indianas

que eram encontradas por toda parte e em todos os domínios desde as

criações Matemáticas mais avançadas até as elaborações mais longínquas das

ciências exatas. A ciência indiana germinou e floresceu num terreno semeado

de elementos místicos e religiosos.

Estudos sobre a Índia antiga, vinculados à gramática e à interpretação,

mostram que a poesia e a métrica sânscrita iniciavam os sábios indianos tanto

na aritmética quanto na gramática, tornando-os poetas, gramáticos,

cosmólogos, e todos os demais, eruditos tão competentes em matéria de

cálculo quanto os próprios aritméticos de profissão.

1.16 Última descoberta fundamental: o zero

À medida que o princípio de posição foi sendo regularmente aplicado,

fez-se necessário um sinal gráfico especial para representar as unidades

faltantes; assim, a descoberta do zero marcou a etapa decisiva de uma

revolução sem a qual não se poderia imaginar o progresso da Matemática, das

ciências e das técnicas modernas. Era indispensável existir um sinal que

tivesse justamente por objetivo marcar a ausência das unidades de uma certa

ordem. Esse algo que significava nada, ou antes, o espaço vazio de uma

unidade faltante, era finalmente o zero. A percepção de que o vazio pode e

deve ser substituído por um símbolo, que tem precisamente por significado o

vazio, representava a última abstração.

Segundo Ifrah, no início, esse conceito foi sinônimo apenas do lugar

vazio assim preenchido. Mas pouco a pouco, percebeu-se, pela força da

necessidade e da abstração, que vazio e nada, concebidos inicialmente como

noções distintas, na realidade, eram duas expressões de um mesmo conceito.

Ifrah comenta que por causa dessas imperfeições, os sistemas posicionais

babilônio, chinês e maia jamais estiveram verdadeiramente adaptados à prática

das operações aritméticas e jamais puderam dar lugar a desenvolvimentos

31

matemáticos idênticos aos nossos. Todos estes sistemas só eram eficazes

para notar e registrar números.

O passo decisivo na adoção de sistemas de representação numérica de

capacidade ilimitada, ou seja, simples, racional e prontamente utilizável para

diversos cálculos, só poderia ser dado pela invenção de uma numeração de

posição bem concebida. E foi a descoberta suprema e tardia dos aritméticos

que produziu o sentido propriamente numérico da quantidade nula.

(Ifrah,p. 551)

32

1.17 A introdução dos algarismos indianos na Terra do Islã

Após a morte do profeta Muhammad (Maomé), os árabes islamizados

edificaram, através da conquista, um imenso império. No início do século VIII,

este estendia-se dos Pirineus aos confins da China, passando pela Espanha,

Itália do Sul, Sicília, África do Norte, Tripolitânia, Egito, Palestina, Síria, uma

parte da Ásia menor e do Cáucaso, a Mesopotâmia, a Pérsia, o Afeganistão e o

vale do Indo. Viviam essencialmente do comércio de especiarias, drogas,

pigmentos e perfumes. Tinham uma escrita rudimentar e manipulavam alguma

aritmética. Sua ciência limitava-se a rotinas de uso prático, que consistiam em

simples receitas, plenas de aritmologia, mística, e de toda espécie de prática

mágica ou divinatória.

No empreendimento de suas conquistas e relações comerciais, entrando

em contato com povos de diversas culturas, ciências e técnicas mais

desenvolvidas que as suas, souberam adaptar-se a elas, assimilando os

conceitos e conhecimentos que os sábios, intelectuais e engenheiros dos

países conquistados tinham acumulado ao longo das eras. Construíram assim,

com esses povos, uma ciência e uma cultura originais.

Do século VIII a XIII, enquanto a civilização ocidental era devastada

pelas epidemias, fome e guerras, tornando-se incapaz de assegurar a

sucessão da herança cultural da Antigüidade, na Terra do Islã, os sábios

arábico-muçulmanos procuraram não só preservar, mas propagar e fazer

frutificar obras de Matemática, astronomia, filosofia, medicina, farmacêutica,

zoologia, botânica, química, mineralogia e mecânica. Traduções e obras de

síntese multiplicaram-se; universidades e bibliotecas foram construídas por

toda parte do mundo islâmico. A língua que servia de elo para os letrados e

sábios do mundo muçulmano era a árabe.

Dentre as diversas culturas assimiladas, a Pérsia contribuiu com

numerosos e brilhantes sábios como Al Khowarizmi. Os árabes também foram

ajudados por vários brâmanes hindus que os califas ilustres de Bagdá

acolheram em seus domínios e por sábios do mundo árabe, não muçulmano,

como os intelectuais judeus e cristãos.

Foi a civilização islâmica que se preocupou em provocar um movimento

de internacionalização da ciência, inscrevendo-a num movimento de pesquisa

unificado. Nem as conquistas persas, nem as de Alexandre, nem mesmo as

33

conquistas romanas influenciaram os povos submetidos tão profundamente

quanto as invasões muçulmanas. Isto porque os guerreiros do islã desejavam

converter o mundo dos infiéis. Essa não foi a única razão que provocou um

movimento de unificação e de universalização, mas também a necessidade

imposta pelo comércio internacional. Outra razão foi a de que, desde o início

da história da ciência arábico-islâmica, todo escrito que desejasse adquirir um

valor e uma importância nas ciências devia obrigatoriamente ser escrito em

árabe. Essa língua tornou-se, durante longo período, o veículo intelectual entre

os letrados e sábios de diversas origens.

Desde o final do século X, os algarismos e a numeração moderna

ficaram conhecidos pelos europeus, mas sua utilização, por mais de duzentos

anos, foi considerada primitiva. O sistema serviu para simplificar métodos

arcaicos e acabar, no final das contas, segundo a palavra de Guilherme de

Malmesbury, em “regras que os abacistas, suando, compreendiam com

dificuldade”.

De 1095 a 1270, os poderosos príncipes e cavaleiros cristãos tentaram

impor, pelo gládio, sua religião e suas tradições aos infiéis do Oriente. Graças

às numerosas trocas feitas, alguns clérigos posteriores às cruzadas

aprenderam o cálculo escrito à maneira indo-arábica. Os cristãos, por sua vez,

criaram o hábito de traduzir em latim tudo o que lhes chegava às mãos.

No início do século XIII, quando Leonardo de Pisa, o Fibonacci, em visita

à África muçulmana, dirigia-se ao Oriente Próximo, encontrou aritméticos

árabes que lhe ensinaram seu sistema de numeração, seus métodos de

cálculo, as regras algébricas e os princípios fundamentais da geometria. Ao

retornar à Europa, compôs, em 1202, um tratado destinado a tornar-se o

breviário de todos os detentores do algorismo: o Liber Abaci (tratado do ábaco),

que contribuiu para uma difusão considerável dos algarismos arábicos, bem

como para o desenvolvimento da álgebra na Europa ocidental. Essa obra

explicava todas as regras do cálculo escrito, levando em consideração o uso do

zero e dos nove algarismos regidos pelo princípio de posição.

A invenção e a democratização de nossa numeração de posição tiveram

sobre as sociedades humanas conseqüências incalculáveis, pois facilitaram a

explosão da ciência, da Matemática e das técnicas.

34

A numeração de posição permitiu um desenvolvimento considerável da

aritmética, tornando muito mais evidentes as propriedades dos números. Abriu

as portas à infinita complexidade do universo dos números.

2. Uma outra história:::: a do ensino dos números e do sistema de

numeração decimal

Nas últimas décadas, o ensino dos números e do sistema de numeração

decimal no ensino fundamental tem sofrido mudanças, provocadas por

diferentes tendências didáticas e pedagógicas.

Programas oficiais, propostas curriculares, documentos subsidiários e

livros didáticos são documentos importantes para analisar essas mudanças e

procurar identificar as teorias que as fundamentam, para compreender

melhor o que se propõe e o que se faz na sala de aula.

Tomando como referência o sistema estadual de ensino público do

Estado de São Paulo, em 1949, verificamos que foram lançados programas

oficiais cuja vigência se estendeu até 1968, ano em que foi elaborado um novo

programa. Nesses programas, em que se apresentava o estudo de Aritmética e

de Geometria, o ponto central do trabalho com a numeração era a

aprendizagem da seqüência numérica, baseada numa progressão de etapas

que levava em conta a grandeza dos números envolvidos e uma

hierarquização de prováveis dificuldades. O trabalho era apoiado na

memorização das escritas, com exercícios em que se propunha ao aluno copiar

várias vezes a seqüência numérica de 1 a 10, de 1 a 20, de 1 a 100.

Os programas de 1ª a 4ª séries enfatizavam o trabalho com resolução de

problemas, jogos, e uma conexão íntima com o ensino da leitura e da

linguagem, a fim de despertar o interesse infantil e favorecer o

desenvolvimento geral do aluno.

Nesses programas, já se propunha, para os primeiros dias de aula, uma

investigação dos conhecimentos numéricos que as crianças traziam ao entrar

na escola, a fim de proporcionar, concomitantemente, um início de adaptação

da criança ao ambiente escolar e, ao professor, a faculdade de conhecer

qualidades de atenção e compreensão de seus alunos, e promover o

desenvolvimento dessas qualidades durante o ano letivo. (Anexo 1)

35

No período de 66 a 76, sob grande influência da Matemática Moderna,

novas orientações fizeram surgir novas práticas. Os Guias Curriculares (1974)

para as matérias do núcleo-comum (Comunicação e Expressão, Estudos

Sociais e Ciências) do ensino do 1º grau traziam orientações que, de certo

modo, já haviam chegado aos professores por meio de livros didáticos.

A marca desse período foi a inclusão de elementos da teoria dos

conjuntos para o trabalho com números e a exploração do processo de

agrupamentos e trocas em diferentes bases, difundindo-se a idéia de que seria

aconselhável trabalhar com bases menores, como as bases 2, 3, 4, 5, etc.,

anteriormente à base 10, dando ênfase ao material conhecido como multibase.

Jogos como nunca 2, nunca 3, nunca 5, etc., antecediam o nunca 10, que era

usado como mote para a exploração das regras do sistema de numeração

decimal.

Raramente as atividades sobre o assunto eram abordadas a partir de

resolução de problemas ligados ao cotidiano. A justificativa da importância do

domínio do SND para uma boa compreensão das operações já era muito forte.

Como os Guias Curriculares se mostraram um documento complexo e

insuficiente para o trabalho dos professores, foram elaborados os Subsídios

para a Implementação do Guia Curricular de Matemática.

Além de explicitar os princípios apresentados nos guias, esses

documentos procuravam fornecer informações para professor sobre os

conteúdos matemáticos, com algumas sugestões sobre como abordar esses

conteúdos em sala de aula. O Material Dourado, as caixinhas de contagem, os

palitos amarradinhos, eram uma forte tendência apresentada nesse material,

para que os alunos pudessem se apropriar do sistema de numeração.

Objetivos, pré-requisitos, material e atividades dos Subsídios, sobre o

sistema de numeração decimal de 1ª a 4ª séries, encontram-se no anexo 2.

Como os Subsídios foram considerados ainda insuficientes para atender

à grande demanda do professor sobre como ensinar, a Secretaria de Educação

do Estado de São Paulo, através do Centro de Estudos e Normas

Pedagógicas, elaborou os documentos Atividades Matemáticas, que ainda hoje

são material de apoio ao trabalho do professor.

36

Esse material subsidiário ao trabalho do professor, acompanhado da

orientação realizada por monitores e supervisores, em discussões relativas à

elaboração e implementação da Proposta Curricular de Matemática, destinava-

se a apoiar as decisões didáticas, oferecendo embasamento teórico que

promovesse o atendimento às necessidades e interesses das crianças.

Uma das marcas do trabalho com as operações, nesse material, residia

no rompimento com a abordagem dos números e das operações pela via da

teoria de conjuntos. As atividades propostas usavam como recurso a resolução

de situações-problema, visando a desafiar o aluno à reflexão, discussão em

grupo, elaboração de hipóteses e procedimentos, bem como à aplicação do

aprendido em situações novas.

Faziam parte do material atividades sobre o sistema numeração decimal,

que visavam a proporcionar experiências com agrupamentos e trocas, também

em bases diferentes da decimal, a fim de promover a compreensão do

processo de agrupamentos e trocas que caracterizam o sistema posicional de

numeração decimal. Com essas atividades procurava-se desenvolver a

compreensão do aluno de que é possível designar o número de objetos de uma

coleção finita, fazendo agrupamentos e nomeando-os ou realizando trocas com

valores pré-estabelecidos.

Outra idéia introduzida foi a de analisar outros sistemas de numeração,

como o dos egípcios, o dos romanos, o dos maias, para que, no processo de

comparação, o aluno tivesse mais clareza do sistema hindu-arábico.(ANEXO 3)

A Proposta Curricular para o Ensino de Matemática no Ensino de 1º grau

é o documento orientador das práticas da década de 86/96 para a rede

estadual de ensino em São Paulo. Nela reafirmam-se os pressupostos do

trabalho com as operações apresentados nos Atividades Matemáticas.

Na Proposta Curricular de Matemática, o professor encontra ainda a

distribuição dos conteúdos por séries e observações de ordem metodológica.

(ANEXO 4)

Mais recentemente (1998), no Brasil todo, os sistemas de ensino

dispõem dos Parâmetros Curriculares Nacionais - os PCN.

Nos PCN, encontra-se a constatação de que, embora o estudo dos

números e das operações seja um tema importante nos currículos do ensino

fundamental, com freqüência, muitos alunos chegam ao final do Ensino

37

Fundamental com um conhecimento insuficiente dos números, sobre como eles

são utilizados, e sem terem desenvolvido a compreensão dos diferentes

significados das operações.

O documento indica, ainda, a possibilidade de este fato ocorrer em

função de uma abordagem inadequada para o tratamento dos números e das

operações e da pouca ênfase que tradicionalmente é dada a este assunto nos

terceiro e quarto ciclos. Ressalta-se que, mesmo os alunos das séries mais

adiantadas, que calculam corretamente, muitas vezes não sabem interpretar os

números obtidos para dar resposta a um problema.

O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo, SARESP, criado em 1996, com a intenção de gerar uma cultura de

avaliação que agilizasse tomadas de decisão de melhoria no ensino, em uma

de suas avaliações, mostra o seguinte exemplo:

Em situações como: “Quantos ônibus de 36 lugares são necessários, no

mínimo, para transportar 1128 passageiros, se nenhum ônibus pode

transportar mais que 36 pessoas?” são freqüentes respostas como 31,333...

ou 31, e não 32 que, no caso, é a correta. Além de não saberem interpretar os

números, os alunos demonstram não saber o significado da operação

envolvida. Também é comum apresentarem dificuldade para ler, escrever e

comparar números com vários dígitos.

Os PCN destacam, também, que no terceiro e quarto ciclos, o trabalho

com os conteúdos relacionados aos números e às operações deve privilegiar

atividades que possibilitem ampliar o sentido numérico e a compreensão do

significado das operações, ou seja, atividades que permitam estabelecer e

reconhecer relações entre os diferentes tipos de números e entre as diferentes

operações. Sugerem que, no terceiro e quarto ciclos, os problemas

relacionados à evolução histórica dos números podem ser usados como

interessantes contextos para ampliar a visão dos alunos sobre os números

naturais, não apenas relatando como se deu essa evolução, mas explorando

as situações com as quais as civilizações antigas se defrontaram, como: as

limitações dos sistemas não-posicionais, os problemas com a representação

numérica antes do surgimento do zero, os procedimentos de cálculo utilizados

pelas civilizações suméria, egípcia, grega, maia, chinesa, etc.

Falam da importância de o professor mostrar que a história dos números

38

está ligada às necessidades e preocupações de povos que, ao buscar

recensear seus membros, seus bens, suas perdas, ao procurar datar a

fundação de suas cidades e as suas vitórias, usando os meios disponíveis,

construíram interessantes sistemas de numeração. Quando foram além e se

impuseram a obrigação de representar grandes quantidades, como exprimir a

quantidade de dias, meses e anos, a partir de uma data específica, ou de tentar

fazer cálculos, utilizando os próprios símbolos do sistema, foram colocados no

caminho da numeração posicional.

Com relação aos números naturais, destacamos dos PCN alguns fatores

que, provavelmente, têm concorrido para que sua aprendizagem acabe não se

consolidando ao longo do ensino fundamental. Apontamos os aspectos

relacionados à complexidade do conteúdo envolvido, tais como:

• compreensão das relações de inclusão — que caracterizam o

sistema decimal — como saber quantos agrupamentos de dezenas

ou de centenas são necessários para se construir a dezena de

milhar;

• leitura dos números — que implica a compreensão de regras

estabelecidas para a formação das classes — agrupamentos de mil

(milhares, milhões, bilhões, trilhões...);

• valor posicional dos algarismos na escrita numérica – que nem

sempre é percebido: mesmo alunos que sabem escrever números

corretamente, muitas vezes, não sabem interpreta-los, afirmando, por

exemplo, que 2.343 é próximo de 2.340, mas não reconhecendo que

em 2.343 há 234 dezenas.

Discutimos, também, alguns aspectos do tratamento habitualmente dado

ao estudo dos números naturais nos ciclos finais do ensino fundamental, que

também comprometem sua aprendizagem:

• ausência de situações-problema que envolvam números grandes;

• desestímulo ao uso dos procedimentos aritméticos, considerados

raciocínios inferiores quando comparados aos procedimentos

algébricos;

• ausência de um trabalho com estimativas e com cálculo mental e o

abandono da exploração dos algoritmos das operações fundamentais;

39

• trabalho centrado nos algoritmos, como o cálculo do mmc e do mdc,

sem a compreensão dos conceitos e das relações envolvidas, ou

identificação de regularidades que possibilitem ampliar a

compreensão acerca dos números.

Diante dessas dificuldades, a compreensão dos números naturais, de

acordo com os PCN, acontece por um processo de sucessivas aproximações.

Para que sua aprendizagem se consolide é necessário explorar, ao longo do

primeiro e segundo ciclos, situações-problema que, inicialmente precisam

apoiar-se em recursos como materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução

de cédulas e moedas), instrumentos de medida, calendários, embalagens, para

que, de forma progressiva, os alunos realizem ações mentalmente. Para que a

linguagem matemática deixe de ser um código indecifrável, os alunos destes

ciclos devem ser incentivados a falar sobre matemática, escrever textos sobre

conclusões, comunicar os resultados, usando, para tanto, elementos da língua

materna e alguns símbolos matemáticos.

Deve-se levar em conta, também, que as capacidades cognitivas dos

alunos sofrem avanços significativos e, por isso, devem ser incentivados a

começar a estabelecer relações de casualidade, a fim de buscarem

explicações e finalidades para as ocorrências. A reversibilidade do pensamento

deve ser estimulada, de modo a permitir ao aluno a percepção das

transformações. Ao longo dos terceiro e quarto ciclos, é necessário

desenvolver um trabalho sistemático de exploração das funções dos naturais

(quantificar, ordenar, codificar), de análise e produção de números que

expressem diferentes ordens de grandeza e do reconhecimento da

característica posicional de sua escrita, de interpretação de suas variadas

formas de representação (canônica, decomposta, fatorada, polinomial,

científica).

O documento ressalta que embora as representações fracionárias e

decimais dos números racionais sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos

iniciais, o que se constata é que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem

compreender os diferentes significados associados a esse tipo de número ou

os procedimentos de cálculo, em especial os que envolvem os racionais na

forma decimal.

Uma possível explicação para as dificuldades encontradas deve-se ao

40

fato de que a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias

construídas para os números naturais. Ao trabalhar com os números racionais,

os alunos têm de enfrentar vários obstáculos, dentre os quais se destaca:

• se a seqüência dos números naturais permite estabelecer sucessor e

antecessor, para os racionais isso não faz sentido, uma vez que

entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar

outro racional; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9

estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.

A abordagem dos números racionais, conforme sugerido nos PCN,

deveria incluir os problemas históricos que envolvem medidas e que deram

origem a esses números, por oferecerem bons contextos para essa

aprendizagem.

O documento ressalta ainda que, ao abordar os racionais pelo seu

reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que eles aparecem muito

mais na forma decimal do que na forma fracionária.

Embora o contato com representações fracionárias seja bem menos

freqüente nas situações do cotidiano, seu estudo também se justifica, entre

outras razões, por ser fundamental para o desenvolvimento de outros

conteúdos matemáticos (proporções, equações, cálculo algébrico). Também

nas situações que envolvem cálculos com dízimas periódicas, a representação

na forma fracionária favorece a obtenção dos resultados com maior precisão,

uma vez que na forma decimal é preciso fazer aproximações.

O estudo do cálculo com números racionais na forma decimal pode ser

facilitado se os alunos forem levados a compreender que as regras do sistema

de numeração decimal, utilizadas para representar os números naturais,

podem ser estendidas para os números racionais na forma decimal. Além

disso, é importante que as atividades com números decimais estejam

vinculadas a situações contextualizadas, de modo que seja possível fazer uma

estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais

próximos. Ao tentar encontrar o valor da área de uma figura retangular que

mede 7,9cm por 5,7cm, o aluno pode recorrer à estimativa, calculando

mentalmente um resultado aproximado (8 x 6), que lhe pode dar uma razoável

referência para conferir o resultado exato, obtido por um procedimento de

cálculo escrito.

41

Também é importante que os alunos compreendam as regularidades

das multiplicações de números racionais na forma decimal por 10, 100, 1.000...

O domínio desse conhecimento é importante para dar sentido aos

procedimentos de cálculo com esses números, como por exemplo, as

multiplicações do tipo: 32,7 x 2,74 .

3. Buscando informações em investigações existentes

Antes de iniciarmos nossa investigação, lemos e analisamos alguns

trabalhos de pesquisa sobre o assunto, como os de Fayol (1996), Lerner e

Sadovsky (1995), Coulibaly (1987), e as colocações apresentadas em

documentos do INRP de Paris (1988), que estimulam professores a trabalhar

com os chamados números familiares (como os que indicam sua idade, o

número da casa, ou o número do telefone), e com os denominados freqüentes

(como os dias do mês, o do ano em que estão).

Em seu trabalho, Lerner e Sadovsky relatam entrevistas, feitas em

duplas, com 50 crianças, em que os integrantes de cada dupla pertenciam à

mesma série. O objetivo dessas pesquisadoras era o de averiguar como as

crianças se aproximavam do conhecimento do sistema de numeração, para

projetar situações didáticas que lhes desse oportunidade de colocar em jogo

suas próprias conceituações, compará-las com as de outras crianças e permitir

que elaborassem diversos procedimentos.

Tinham a intenção de que as crianças, ao explicitarem argumentos para

justificar suas decisões, pudessem descobrir lacunas e contradições em suas

suposições. Poderiam detectar seus próprios erros e questionar e reformular

suas idéias a fim de aproximarem-se progressivamente da compreensão da

notação convencional.

As autoras, preliminarmente, realizaram estudos com o intuito de

descobrir quais aspectos do sistema de numeração as crianças consideravam

relevantes ou de seu interesse, que idéias elaboravam sobre os números, que

tipo de problema formulavam, como construíam suas hipóteses e soluções,

quais conflitos poderiam ser gerados pelas suas próprias conceitualizações ou

entre seus conceitos e determinadas características do objeto que estavam

tentando compreender.

42

As entrevistas clínicas foram realizadas com duplas de crianças de cinco

a oito anos e, desde o começo da análise dos dados, as pesquisadoras

conseguiram estabelecer certas regularidades. A aparição e reaparição, por

parte das crianças, de determinadas respostas em forma de idéias,

justificativas, conflitos, estabelecimento de relações, perguntas e

procedimentos impulsionaram linhas de trabalho didático antes do previsto.

Ao iniciar a pesquisa, as autoras tinham como questões:

• que conclusões poderiam as crianças tirar a partir de seu contato

cotidiano com a numeração escrita?

• que informações relevantes poderiam obter ao escutar seus pais

queixarem-se do aumento dos preços, ao tentar entender como é

que sua mãe sabe qual das marcas de determinado produto é mais

barata, ao ver que seu irmão recorre ao calendário para calcular os

dias que ainda faltam para seu aniversário, etc.

Dito de outro modo: o que poderiam aprender as crianças ao presenciar

situações nas quais os usuários do sistema de escrita denominam, escrevem e

comparam números?

Para essas pesquisadoras, as crianças constroem, desde cedo, critérios

para comparar números; muito antes de suspeitarem da existência de

unidades, dezenas e centenas, estabelecem alguma relação entre a posição

dos algarismos e o valor que eles representam; detectam regularidades ao

interagirem com a escrita de fragmentos da seqüência numérica.

Repetidas vezes as autoras observaram, em aulas, algumas produções

não-convencionais e, formularam duas suposições:

• as crianças elaboram critérios próprios para produzir representações

numéricas;

• a construção não segue a ordem da seqüência (numérica), ainda que

esta desempenhe um papel importante nessa construção.

A fim de verificarem e validarem essas suposições, planejaram uma

situação experimental focada na comparação de números, e outra, na

produção de números.

As autoras observaram a comparação com números, trabalhando com

crianças de 5 a 6 anos que cursavam o jardim de infância ou a primeira série.

Alina (6 anos, primeira série) afirma “que 23 é maior que 5, (sem nomear o

43

número 23, apenas apontando-o) porque esse (número) tem dois números e o

5 (apontando-o) tem só um número”.

Segundo as pesquisadoras, as afirmações das crianças entrevistadas

mostram que elas elaboram uma hipótese que poderia ser explicitada assim:

“quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o número”.

Esse critério elaborado pela criança, a partir da interação com a numeração

escrita e relativamente independente da manipulação da seqüência dos nomes

dos números, é uma ferramenta usada por ela para comparar qualquer par de

números cuja quantidade de algarismos seja diferente, mas essa ferramenta,

usada por todas as crianças observadas, não se generaliza de maneira

imediata a todas as situações.

A comparação entre números de igual quantidade de algarismos

também gerou hipóteses bem interessantes entre as crianças. Elas

demonstraram descobrir que a posição dos algarismos cumpre uma função

relevante em nosso sistema de numeração.

Segundo as autoras, essas hipóteses levantadas pelas crianças sobre o

critério de comparação, baseado na posição dos algarismos, estão longe de

construir-se de uma vez só e para sempre, pois sua generalização requer a

superação de alguns obstáculos.

As crianças pesquisadas por elas ainda não descobriram as regras do

sistema (agrupamentos de 10 em 10), porém isso não impede que elas

elaborem hipóteses referentes às conseqüências dessa regra – a posição e a

base 10 – e as empreguem como critérios válidos de comparação entre

números. Tendo como ponto de partida essas hipóteses e o auxilio do

professor ao formular questões que levem à reflexão sobre essas hipóteses, a

criança descobre a regra do sistema.

Quanto à produção dos números, as pesquisadoras perceberam que a

apropriação da escrita convencional dos números não segue a ordem da série

numérica, pois as crianças manipulam primeiro a escrita das dezenas,

centenas, unidades de mil..., exatas, denominadas por elas de “nós”, e só

depois elaboram a escrita dos números que se posicionam nos intervalos entre

esses nós.

As crianças, para produzir números cuja escrita convencional ainda não

dominam, elaboram conceitualizações a respeito da escrita, baseando-se nas

44

informações que extraem da numeração falada. A hipótese que as crianças

fazem, ao corresponder a numeração escrita à falada deve-se ao fato de a

numeração falada não ser posicional.

Outra questão que precisa ser levada em conta é a de que a numeração

escrita envolve operações de raciocínio. A numeração falada, em alguns casos,

utiliza-se de uma adição, como é o caso de mil e sete, que significa 1000 + 7.

Em outros, utiliza-se de uma multiplicação, como é o caso de três mil, que

significa 3 X 1000 e, em outros, essas operações aparecem combinadas, isto

é, utiliza-se de uma multiplicação e de uma adição, como em cinco mil

quatrocentos e cinco, que significa 5 X 1000 + 4 X 100 + 5. Entretanto, não é

tarefa fácil descobrir o que está por trás da numeração falada e o que está por

trás da numeração escrita.

Das conceitualizações apresentadas pelas crianças entrevistadas e do

questionamento das pesquisadoras, alguns conflitos foram gerados. Um deles

diz respeito à numeração escrita estar relacionada com a numeração falada. O

outro foi a percepção de que, em nosso sistema de numeração, a quantidade

de algarismos está relacionada à grandeza do número representado. Isto

porque escreve-se convencionalmente 2 000 e 3 000, percebendo que ambos

os números possuem quatro algarismos, mas, ao registrarem, por exemplo,

dois mil quatrocentos e cinqüenta e sete, o fazem assim: 2000400507, ou

assim, 21000410057. A criança poderia até aceitar que esse número é maior

do que 2 000, mas entra em conflito quando tem que comparar com o 3 000,

pois, por hipótese, três mil é maior que dois mil quatrocentos e cinqüenta e

sete, mas, no registro, três mil fica menor. Mas este conflito só é percebido pela

criança quando faz o registro do número e é questionada por alguém, ou tem

que fazer comparação com a escrita de outra criança. Como dizem as

pesquisadoras: “tomar consciência deste conflito e elaborar ferramentas para

superá-lo parecem ser passos necessários para progredir até a notação

convencional”.

Em suas pesquisas, Fayol analisa questões como seqüência numérica

verbal, procedimentos de quantificação, conservação, algoritmos e resolução

de problemas. Ele destaca que, mesmo que exista uma certa autonomia de

cada domínio, não há compreensão da sintaxe da numeração falada e escrita

sem se fazer alusão à decomposição aditiva e multiplicativa dos números, e

45

nem a compreensão da percepção imediata do cardinal de uma coleção, sem

se fazer alusão à enumeração. O fato de os primeiros problemas significativos

para a criança envolverem números pequenos e transformações de uma ou

duas unidades a mais ou a menos não basta para fazer dos números algo mais

do que uma seqüência ordenada. Para o autor, o que dá sentido ao conceito de

número é um conjunto relativamente grande e diversificado de situações e

práticas sociais, nas quais a quantificação e comparação, transformação e

combinação, quantificações de comparações (ter a mais, ou a menos, do que),

e composições de transformações (ganhar dois, depois cinco), desempenham,

todas, um certo papel.

Ele mostra que as atividades numéricas apresentam um duplo aspecto.

Por um lado, remetem à numeração como sistema organizado, elaborado e

desenvolvido no cerne de uma determinada cultura, como um produto sócio-

histórico exterior à criança, mas que dele deve apropriar-se, interiorizando-o

para resolver problemas com os quais se defronta. Por outro lado, recorrem a

um certo número de noções lógico-matemáticas (seriação, equivalência,

interação, adição, subtração, etc), que estruturam o sistema de maneira

subjacente e que condicionam sua organização interna. Esses fenômenos

trabalham com operações relativas aos fundamentos lógicos do número e da

numeração, e só podem ser socialmente transmitidos da mesma maneira que a

cadeia numérica verbal. Eles devem compor o objeto de uma construção da

própria criança, sendo apenas indireta a intervenção das dimensões sociais e

culturais.

Segundo Fayol, da aquisição para a enumeração verbal, que se instala

entre dois e seis anos, observa-se que as seqüências verbais obtidas a partir

da instrução “diga até quanto você sabe contar”, deixam-se decompor em

aproximadamente três partes: estável (reencontrada em cada experiência), e

convencional (correspondendo às regras adultas); estável (relativamente),

mas não convencional (quer porque a ordem dos itens não seja a adotada

pelos adultos, quer porque faltem elementos) e, nem estável nem

convencional (varia, no mesmo sujeito, de uma experiência a outra). Uma das

razões dessas diferenças depende da diversidade dos estímulos fornecidos

pelo ambiente, desde as interações com a mãe até aquela com outros adultos

ou crianças maiores.

46

A aprendizagem “decorada” da corrente numérica verbal, além de exigir

um esforço enorme, não permitiria a enumeração de uma coleção qualquer de

cardinal até então desconhecido. O armazenamento dos princípios de

construção lingüística da cadeia numérica, às vezes, alivia a tarefa e autoriza a

etiquetagem verbal de todo conjunto numérico, seja qual for seu tamanho e a

freqüência de sua ocorrência. Para a criança, o problema em descobrir essas

regras é do mesmo tipo daquelas que regem o conjunto dos fatos da

linguagem.

Fayol demostra que em estudos recentes sobre a aquisição da

numeração escrita, três ordens de fenômenos são apresentadas:

• As crianças parecem perceber muito cedo a diversidade das funções

do número, mesmo sem compreendê-las completamente.

• As dificuldades surgem com a utilização da notação posicional e,

principalmente na sua compreensão.

• Os obstáculos mais árduos e difíceis de serem eliminados são os

relativos à compreensão e ao emprego dos sinais de operações.

Para o autor, existem duas problemáticas diferentes, uma que evidencia

mais a aquisição da cadeia numérica e suas propriedades, aquela em que se

constata, e a outra, relacionada ao desenvolvimento das noções lógicas,

aquela em que se conclui. Essas duas concepções coexistem, apresentando

muitas dificuldades para se coordenarem mas o estudo do desenvolvimento

dessas noções obriga a criança a efetuar uma certa síntese, pois permite, em

parte, dissociar o que provém da cultura daquilo que tem relação com os

fatores endógenos. Há que se levar, também, em consideração a diversidade

das conquistas cognitivas das crianças, suas reorganizações sucessivas dos

esquemas e das concepções, a modulação dos processos e dos objetos de

pensamento, e o lugar sempre renovado das novas conceituações. A

experiência da criança é uma experiência social e suas competências

dependem de algumas características culturais e sociais.

Em seu trabalho, Fayol destaca uma interessante citação de Vergnaud:

”... é preciso entregar-se à evidência: o conceito de número não

se reduz nem ao critério da conservação, nem à atividade de

enumeração, nem à resolução de uma classe de problemas, nem

a alguns procedimentos automatizáveis, nem à compreensão e à

47

manipulação de sinais no papel. Mas é desse conjunto de

elementos diversos que emerge, com a ajuda do ambiente familiar

e escolar, uma das construções cognitivas mais impressionantes”.

(Fayol, p. 11)

Em um dos trabalhos de pesquisa da equipe de matemática do INRP,

“Os números: um trabalho para crianças”, há um destaque quanto à

apropriação dos números pela criança. A equipe comenta que as crianças

empregam procedimentos diversos para resolver problemas que envolvam o

pensamento numérico, porém levam em conta o tamanho dos números. Em

análise de pesquisas com crianças do jardim de infância e da primeira série,

distinguem-se 4 domínios numéricos:

• O domínio dos números “visuais”. São os números reconhecidos

rapidamente e/ou globalmente como o 3, 4 ou 5. Nesse domínio, é

possível que a criança lembre, mentalmente, a quantidade de objetos

que compõe uma coleção com uma dessas quantidades.

• O domínio dos números “familiares”. O uso social dos números é

relativamente freqüente, como o número da casa.

• O domínio dos números “freqüentes”. São os números que

representam a quantidade de alunos na classe, os números do

calendário, etc.

• O domínio dos números “grandes”. Este é um procedimento de

enumerar ou de ler escritas numéricas (agrupar, comparar), em que

ela, a criança, coloca todo o seu interesse no tamanho, para fazer as

comparações.

Dentre os trabalhos de pesquisa lidos e analisados sobre a

representação decimal de números racionais, destacamos o de Coulibaly, em

seu trabalho “Les décimaux en quatrième: analyse des conceptions” (1987), no

qual evidenciou dois tipos de concepções sobre esses números:

I. Um número racional na forma decimal é considerado como

número inteiro com vírgula.

II. Um número racional na forma decimal são dois números

inteiros separados por vírgula.

48

Em seu trabalho, destacou que os conhecimentos adquiridos no domínio

dos números naturais são levados para outro domínio numérico, o dos

racionais. Por exemplo:

� “todo número natural tem sucessor e, se ele é não nulo, um

antecessor”;

� “o produto de dois números naturais não nulos é maior ou

igual a cada um deles”.

Os erros dos alunos, relativos a estas concepções, são de diferentes

tipos, dentre os quais o autor evidenciou:

1. Erros relativos à densidade e/ou o discreto, identificados em

exercícios como, por exemplo:

a) Numa lista, os números são colocados do menor para o maior.

Escreva um número no espaço vazio.

5,2 XXX 5,3

b) Um número misterioso está entre 5 e 6. Se ele for multiplicado por

10, obtém-se 57. Qual é esse número?

c) Será que existe um número decimal entre 2,746 e 2, 747?”

Esses estudos mostraram que 37% de 126 alunos franceses do primeiro

ano do segundo grau, pesquisados, responderam que é impossível encontrar o

número solicitado no item c.

O fato de que entre dois números racionais existem infinitos números

racionais não é utilizado pelos alunos, mostrando que a densidade que

caracteriza o conjunto dos números racionais não é percebida facilmente por

eles. É mais forte para eles a ordem que vem do conjunto dos números

naturais.

2. Erros relativos às operações como a multiplicação por 10,

identificados em exercícios como, por exemplo:

a) 10 X 5,13 = XXX

Uma resposta freqüente é 5,130 na qual a regra da multiplicação de um

natural por 10 está aplicada aos números racionais na forma decimal, sem

levar em conta a vírgula.

b) Comparar: 8 X 0,4 com 8 : 0,4

0,8 X 0,4 com 0,8 : 0,4

49

É freqüente obter respostas do tipo:

8 X 0,4 > 8 : 0,4 e

0,8 X 0,4 > 0,8 : 0,4

na qual a idéia de que “a multiplicação aumenta e a divisão diminui”, é

transportada pelos alunos às situações que envolvem números racionais na

forma decimal.

3. Erros relativos à ordem.

Dentre os erros relativos à ordem, podem ser observados alguns de

naturezas diversas pela aplicação de diferentes regras, como:

a) O número maior é aquele cujo número “inteiro” formado pelos

dígitos depois da vírgula é maior. Esse tipo de erro é evidenciado

em registros tais como :

• 12,8 < 12,17 “pois” 8 < 17

• 12,4 < 12,113 “pois” 4 < 113

Os alunos consideram a parte decimal como um número “diferente” que

tem também, centenas, dezenas, unidades. Esta regra permite classificar

corretamente os números racionais cuja parte decimal tem mesmo

comprimento, mas evidentemente não vale no geral.

b) O número que tem um número maior de “casas” decimais é o

número racional menor. Esse tipo de erro pode ser constatado em

produções tais como:

• 12,289 < 12,18

• 4,249 < 4,06

c) O número menor é aquele em que o primeiro número após a vírgula

é nulo; os outros números ficam classificados segundo a regra tipo

a). Esse tipo de erro pode ser constatado em produções tais como:

• 4,06 < 4,3 < 4,249

• 11,09 < 11,8 < 11,98 < 11,898

4. Erro nas operações/ representação, em que muitas vezes os

alunos fazem, separadamente, a adição da parte inteira e a adição da parte

decimal. Por exemplo: 9,7 + 3,8 = 12,15.

50

Duval, em curso sobre as aprendizagens intelectuais (PUC-SP – 1999),

destaca pesquisas feitas na França nos anos de 1992 e 1997, que levamos em

consideração para a elaboração dos instrumentos que usamos.

No quadro a seguir, podemos ver uma grade de desempenho de

pesquisas realizadas com alunos no ingresso da “sixième”, que podemos

comparar à 6ª série no Brasil. Elas ocorreram na França, em anos diferentes

(1992 e 1997)5. Foram reagrupados, nesta tabela, apenas os itens referentes à

compreensão ou manipulação de escrita de posição.

Itens do questionário ( entrada na 6ème)

Setembro 1992(%)

Setembro 1996(%)

Compreensão Em 124,753 o número de centenas é 62,2 da

numeração Em 180,254 o número de décimos é 52 48,5

de Em...o número de dezenas 62,7 64,4 posição Em 13,456 o número 4 é aquele das ... 52,1 48,6

38,45 x 10 (2,34 x 10)

60 64,1 e 63,3

(45 x 0,1) 44,2 38,45:10 63,8 (68:10) 57,7 27,1 x 100 47,3 27,1 :100 47,7 (8006 : 100) 44 (3320 x 10 x 10) 56,6 18,7 x 1000 48 18,7 :1000 37 64,2 - 18,67 54,4 55,7 (748 - 65) (90,3) 62,34 x 45 34,1 8,38 – 3,7 57,6 55,7

Reescrita Reescrever os quatro números do maior

55,3

de números para o menor (24,4 % 19,9 19,19 1,991 9,191 19,9 19,19)

Intercalar Intercalar um número compreendido entre 8,27 e 8,8

68,3 69,9

números (entre 12,5 e 12,6) 65,3

5 Direction de l’évaluation et de la prospective: Évaluation CE2-6ème. Résultats nationaux – septembre 1992. Dossier Education et Formations nº 21 (décembre 1992) p. 190, 198-199, 182-183, 186-187. (sur un échantillon national de 2100 élèves de 300 collèges pris dans une population totale ayant passe le questionnaire: 800 000 élèves) Direction de l’ évaluation et de la prospective: Évaluation CE2-6ème. Résultats nationaux – septembre 1996. Dossier Education et Formations nº 79 (février 1997) p. 194, 211-212, 209 (itens: 12-15, 27, 29, 31, 42, 44, 46-50) (sur échantillon national de 3 280 élèves en mathématiques).

51

Duval mostra que numa primeira leitura, percebe-se que todos os itens

arrolados na tabela fazem referência à escrita dos números e que os acertos

foram por volta dos 50%. Argumenta que as aquisições não podem ser

avaliadas sobre os resultados a itens considerados isoladamente, mas sobre

resultados com seqüências ou cruzamentos de itens. Muitos dos itens

destacados referem-se às técnicas de cálculos.

Mostra que os resultados apresentados tomam como base apenas o

mês em que foram aplicados e não o desenvolvimento dessas atividades ao

longo de um período, mas apresentam problemas interessantes como

“intercalar um número entre...” ou “reescrever os números do maior para o

menor”.

Em sua análise, Duval demonstra que a maioria dos acertos foram nas

técnicas de cálculo e que os alunos têm tais competências na entrada da

quinta série. Nessas competências, porém, está excluído tudo que se refere à

compreensão da numeração de posição e os números racionais na

representação decimal. Comenta que apenas 20% dos alunos, ao entrarem na

6ª série, têm esse conhecimento mais aprofundado.

52

Capítulo II

Da constituição das primeiras hipóteses sobre as escritas

numéricas aos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal.

1. Introdução

Neste capítulo apresentaremos os resultados de nossa investigação

realizada com alunos de educação infantil e ensino fundamental, buscando

identificar a trajetória da constituição das primeiras hipóteses sobre as escritas

numéricas aos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal.

Os alunos com os quais trabalhamos são de escolas particulares e

públicas localizadas na cidade de Santos, Estado de São Paulo. Fizeram parte

da pesquisa alunos de 4 escolas particulares, 3 escolas municipais e 3 escolas

estaduais, num total de 927, distribuídos em 35 turmas, que estavam cursando

as séries finais dos diferentes ciclos do ensino fundamental. O trabalho

realizou-se ao longo do 4o trimestre do ano 2000.

Além dos alunos do ensino fundamental, entrevistamos também

crianças da educação infantil, com idades entre 5 e 6 anos, de uma das

escolas particulares, com a finalidade de analisar a constituição de

conhecimentos sobre a escrita numérica, antes da realização do trabalho

sistematizado que ocorre nas séries iniciais do ensino fundamental.

Embora o objetivo de nosso trabalho seja o de verificar como as crianças

e jovens do ensino fundamental se apropriam do processo de agrupamentos e

trocas na base dez, decidimos entrevistar também os 29 professores das

classes envolvidas. Como percebemos que havia um clima favorável na

relação com os professores, solicitamos a eles que respondessem a alguns

itens sobre assuntos pertinentes às séries em que lecionavam. Analisar as

questões nos ajudou muito na interpretação das respostas dos alunos.

Nomeamos os grupos de alunos e de professores para facilitar sua

identificação. Os grupos aos quais nos referimos neste capítulo são os

seguintes:

53

Grupo A – crianças de 5 anos a 6 anos

Grupo B – alunos de 7 anos a 11 anos – 2ª série

Grupo C – alunos de 10 anos a 13 anos – 4ª série

Grupo F – professores de 2ª série

Grupo G – professores de 4ª série

2. As investigações com crianças de EDUCAÇÃO INFANTIL

2.1 Algumas informações sobre as crianças do Grupo A

Em entrevistas realizadas individualmente, perguntei às crianças e registrei

alguns itens. O roteiro da conversa foi basicamente o seguinte:

Qual é o seu nome?

Você sabe escrever seu nome?

Qual sua idade?

Você tem irmãos?

Eles são mais velhos ou mais novos que você?

Você tem amigos?

Gosta de brincar?

Do que você mais gosta?

Qual a data do seu nascimento?

Qual o dia do seu aniversário?

Qual o mês do seu aniversário?

Qual o seu endereço?

Das 10 crianças entrevistadas, quatro tinham cinco anos, duas meninas

e dois meninos. Seis tinham seis anos, sendo duas meninas e quatro meninos.

Todas freqüentavam classes de pré-escola em escolas particulares. Três

souberam dizer seu endereço e sua data de nascimento.

Todas souberam escrever seu primeiro nome, e três sabiam escrever

seu nome completo. Uma delas sabia o número de seu telefone e soube

soletrá-lo como código. Essas crianças mostraram-se muito comunicativas e

sociáveis e disseram que gostavam de brincar com amigos e com os irmãos,

gostavam de desenhar e assistir desenhos na televisão.

Para o grupo de crianças de 5 anos a 6 anos, procuramos planejar

situações didáticas em que elas tivessem a oportunidade de colocar em jogo

54

suas próprias conceituações e seus procedimentos. Essas crianças foram

entrevistadas individualmente.

2.2 Os itens formulados e as respostas das crianças do Grupo A

I. Ditado de números

23 35 100 108 2000

1000 (hum mil) 80 90 800 823

Considerando que as crianças têm oportunidade de elaborar

conhecimentos acerca do sistema de representação muito antes de ingressar

na primeira série, uma das questões escolhidas foi um "ditado" de números.

Alguns números foram escolhidos por considerarmos que pudessem ser

familiares ou freqüentes para elas. Pretendíamos verificar o que conheciam e

se saberiam compor escritas usando a linguagem oral.

No ditado de números, Am (5 anos) e Li (5 anos) não registraram,

corretamente, nenhum dos números. Para o número 23, Am perguntou: “é o

um e o cinco?” Perguntamos “o que você acha?”, e ela registrou:15.

Li também perguntou: “é o um e o três?” Perguntamos: “o que você

acha?”, e ela registrou primeiro o número 1, e perguntou: “O três é na frente ou

atrás?” Como não respondemos, ela acrescentou um três:13.

Para o número trinta e cinco, Am disse: “é o dois e o um”, e registrou 21.

Li disse: “é o cinco e o um”, e registrou 51, com o cinco “espelhado”. Para o

número cem, Am disse: “eu não sei escrever”, e não registrou. Li disse: “eu sei

escrever”, e registrou $. Para o número dois mil, Am e Li disseram: “acho que é

o dois e o um”, e registraram 21.

Para o número mil, Am disse: “acho que é o 3 e o 7”, e registrou: 37; Li

disse: “já sei, é igual a esse (apontando para o $), só que com mais traços”, e

registrou $ .

Para o número oitenta, Am disse: “acho que é o oito e o nove”, e

registrou 2, e disse: “errei”, e riscou. Perguntamos: “Você não disse que era o

oito e o nove?” Am falou: “é, mas eu não sei o oito”, e não registrou.

55

Para o mesmo número, Li disse: “ já sei é o oito e o zero”, e registrou 80.

Para o número noventa, Am disse: “é o três e o zero”, e registrou ao lado do

número dois riscado, o número 30.

Li disse: “é o nove e o um”, e registrou 91 (com o nove “espelhado”) .

Para o número oitocentos, Am disse: “é o quatro e o cinco”, e registrou 45; Li

disse: “é o oito e o nove”, e registrou 89. Para o número oitocentos e vinte e

três, Am disse: “é o três e o quatro”, e registrou 34; Li disse: “é o um e o três”, e

registrou 13.

Para os números vinte e três e trinta e cinco, Lu (5 anos) sabia que

precisava registrar um 2 e um 3, mas não sabia em que ordem; o mesmo

aconteceu para o trinta e cinco. Registrou corretamente os números oitenta e

noventa, mas, para o número cem, disse: “eu não sei, tia, como é?” No entanto,

registrou corretamente o número dois mil.

Ma (5 anos) contou baixinho até chegar ao número 35. Solicitado a

registrar o número 80, também fez a contagem "baixinho" e disse “não sei”; foi

possível perceber que ele fez a contagem até o 59 para dizer: “não sei”,

registrou corretamente o número 2000, e registrou 1000 para o número cem.

Ao registrar o número mil, perguntou: “é igual a este?”, e apontou o registro que

fez do número cem, e como não fizemos nenhum comentário, registrou ao lado

novamente o número 1000; para os outros números (800 e 823), disse não

saber.

Ga (6 anos) registrou 305, quando solicitado a escrever 35. Para o

número 108, registrou 1008; não registrou o número 2000, mas acertou o 1000;

registrou corretamente o número 80, mas não registrou o número 90; para o

número 800, registrou 80, e para o número 823, registrou primeiro 80, depois

riscou o zero e acrescentou 23.

Tw (6 anos), registrou 25. Para o número 100, registrou 1000, para o

108, registrou 8100, acertou o registro do 2000 e do 1000, mas não conseguiu

acertar os outros registros. Para o número oitenta, registrou 8300; para o

número noventa, registrou 8500; para o número 800, registrou 82 000 e, para

o número oitocentos e vinte e três, registrou 825030.

Ge (6 anos), para o número 100, registrou 1000, e, para o número 1000,

pensou bastante e registrou 000; para o número 2000 disse: “esse é fácil”, e

registrou corretamente; registrou corretamente também os números 80 e 90,

56

mas para os números 800 e 823, registrou respectivamente 800000 e

80000023.

Er (6 anos), para o número 108, registrou o 1 e perguntou: “o que faço?”

e, como não obteve resposta, acrescentou 08; para o 2000, disse: “é fácil”, e

registrou corretamente, para o número 1000 disse: “como se escreve... não sei

como...é, tudo zero?”, acho que é assim, e registrou corretamente; acertou os

registros dos números 80 e 90, para o número 800 disse: “eu sei que começa

com 8, tem que ter zero e zero”, e registrou 800; para o número 823 registrou

80023.

Ot (6 anos) registrou corretamente os números 23,35 e 100, mas para o

108 perguntou: “como é o cento?” - não sei como é o cento, não sei...,e não

registrou; acertou o registro dos números 2000, 1000,80,90, mas para o

número 800, registrou 8000, e para o número 823, registrou 800023.

MT (6 anos) só não registrou corretamente os números 1000 e 823; para

registrar o número 800, parou para pensar e registrou corretamente; para o

número 823, também parou para pensar e disse: “esqueci” ... “lembrei” ,

registrou, riscou e não conseguiu registrar.

II. Qual dos números é o maior

146 ou 2001

1000 ou 399

3000 ou 4000

123 456 ou 99 999

Este item referia-se à comparação entre dois números grandes. Os

números foram apresentados aos pares e as crianças deveriam indicar qual era

o maior.

Esperava-se que, para os dois primeiros pares apresentados, em que

um dos números era formado por três algarismos e o outro por quatro

algarismos, que o número de algarismos interferisse na decisão. Para o par

seguinte, em que eram apresentados os números 3000 e 4000, esperava-se

que, tendo eles a mesma quantidade de algarismos, elas fizessem a

comparação, observando o três e o quatro. E, para o último par, em que a

comparação era entre 123 456 e 99 999, queríamos verificar se o fato de o

57

segundo número ser composto de vários nove interferiria em suas escolhas,

mesmo que o outro número fosse composto por mais algarismos.

Na comparação entre 146 e 2001, quase todos apontaram o número

2001, Am justificou: “este tem 00 e 1”.

MT e Li justificaram: “porque tem mais números”.

Lu justificou: “este tem o 2 e este tem o 1” (apontando o 1º algarismo de

cada uma das escritas).

Ma e Ge justificaram, contando os algarismos: “este tem quatro e o

outro tem três”.

Ga disse: “este é 1, 0, 0, e 1, e o outro é 146”; perguntamos: “este é o

mil e um?”, e ele respondeu: “não, é dois mil e um", mostrando segurança.

Tw comparou os algarismos 1 (de 146) com o 2 (de 2001), e disse: “o 1

vem antes do 2”, comparou o 0 (de 2001) com o 4 (de 146), e disse: “o zero

vem muito antes do quatro”; comparou o segundo zero do 2001 com o 6 (de

146), e disse: “o zero vem muito antes do seis”, “e aqui tem o um”, “portanto o

maior é este” e apontou para o 146, dizendo: “é isto que eu sabia”.

Er apontou o 2001 e justificou: “escolhi este porque não sei, eu acho que

este é o maior”, e leu duzentos e um, e para o outro número leu quatorze e

seis.

Ot (6 anos) apontou o número 146 e disse: “eu acho”; ao ser

questionado sobre o porquê, pensou e respondeu: “não sei”.

Na comparação entre 1000 e 399, Am apontou o 1000 e justificou: “ este

tem um, zero, zero, zero”; MT apontou o 1000 e disse: “este tem mais

números”; Lu, apontou o 399 e disse: “este, porque tem o 3, o 9 e o 9, e o outro

só tem o 1”; Ma apontou o 1000 e disse: “este, porque tem quatro, e o outro

tem três”; Li apontou o 399 e disse: “agora escolhi este e, apontando o 1000,

disse: “este é maior mas eu quero escolher o menor”.

Ga apontou o 1000 e justificou: “porque sim”; Tw, comparando os

algarismos, disse: “3 vem muito antes do 1, 9 vem muito antes do zero, 9 vem

muito antes do zero, e aqui tem zero e, é como eu disse, este (apontando o

399) é o maior”; Er apontou o 1000 e disse: “este é o mil”, ficou em dúvida:

“acho que é este”, e apontou o 399, e justificou: “3 é maior que 1, 3 e 99 é

maior porque aqui tem zero”; Ge, apontando o 1000 disse: “este, porque tem

58

quatro e o outro tem três, a minha mãe disse que onde tem mais é o maior” ;

Ot, apontando o 1000, disse: “eu acho...porque eu não sei” .

Na comparação entre 3000 e 4000, Am, apontando 4000, disse: “este,

porque tem quatro”; MT (apontando para 3000) disse: “aqui é três mil” e,

(apontando para 4000), disse: “aqui é quatro mil” e “quatro mil é maior do que

três mil”; Lu, apontando para o 4000, disse: “este tem um quatro e o outro tem

um três e quatro é maior do que três”; Ma, olhou, pensou e respondeu “os

dois”; Li, disse: “os dois, porque têm a mesma coisa, olha: (e apontando o

número 3000, contou seus algarismos) um, dois, três, quatro e (apontando o

número 4000, contou seus algarismos), um, dois, três, quatro”.

Ga, apontando o número 4000, disse: “quatro é maior do que três”; Tw,

apontando o número 4000 comparou seus algarismos dizendo: “quatro vem

depois do três, zero e zero, zero e zero, zero e zero é como eu disse

(apontando o número 4000), é maior”; Ge, apontando o 4000 disse: “este

porque tem quatro”; Er, apontando o número 4000, disse: “porque quatro é

maior do que três”; Ot disse: “entre esses dois é este (e apontou para o 4000),

porque aqui é quatrocentos e este outro é trezentos”.

Na comparação entre os números 123 456 e 99 999, Am apontou o

número 123 456, e disse: “um, dois, três, quatro, cinco, seis”; MT, Ma e Li

apontaram o número 123 456 e disseram: “porque aqui tem seis e o outro tem

cinco”; Lu e Er apontaram o número 99 999, dizendo: “porque tem tudo nove”;

Ga disse: “ é difícil não sei lê-los, eu acho que é este e apontou para o número

123 456, porque tem mais números”.

Tw fez comparação entre os algarismos, dizendo: “nove vem depois do

um, nove vem depois do dois, nove vem depois do três, nove vem depois do

quatro, nove vem depois do cinco, seis, é como eu disse, (apontando para o

número 99 999), este é o maior”; Ge pensou e apontou para o número 99 999,

dizendo” este só tem nove e o outro tem isso, nove é muito maior do que estes

números aqui”; Ot apontou para o número 99 999 e disse: “este é o último

número, o nove, porque eu não sei” .

59

III. “Qual o maior número que você acha que existe e qual o menor

número?”

Além de buscar verificar as hipóteses das crianças sobre a existência de

um maior número, nossa intenção era verificar também o que elas pensavam

sobre o menor número. Neste caso, a resposta esperada era a de que

indicassem o zero ou o um.

Am respondeu: “eu acho que é o sete”. Depois verifiquei que ela não

sabia registrar nem o 8, nem o 9.

MT disse: “é o número 2000, mas não sei escrever, só sei escrever o

número 900”, e registrou esse número. Interessante foi que no ditado de

números escreveu o número 2000 corretamente. Lu disse: “não posso falar,

vou escrever para você”, e registrou o número 10101010 e, diante de nossa

pergunta: “por que você acha que esse número é grande?”, respondeu:

“porque é tudo dez”. Ma disse: “mil” e registrou 1000; Li disse: “é oitenta mil” e,

diante de nosso pedido de registro, escreveu um zero e o número mil; Ga

disse: “escrever eu não sei , só sei o nome, quatrocentos e noventa e nove” e,

diante de nossa pergunta: você pode escrever?, respondeu: “vou tentar”, e

registrou 40000 99; Tw disse: “nove mil” e registrou 9 000; Ge disse: “acho

que é o mil”, ao registrar o número, perguntou: “mil é só zero?”. Retribuímos a

pergunta: “O que você acha?” E ele registrou 000 000; Er disse: “é infinito,

mas vou registrar”, e registrou o número 500; Ot perguntou: “infinito é número?”

e registrou 99 + 999.

Diante da questão em que pedimos para escrever o menor número que

conheciam, as respostas das crianças foram surpreendentes. Am respondeu:

“quatro” e registrou o 4, dizendo: “este tem esse negócio” e apontou para o seu

registro onde o quatro era o dígito da máquina, fechado; MT disse: “você quer

um número bem pequeno?”, e registrou o número 2; Lu disse: “o zero”, e

registrou 0, e ao ser perguntado por que era o número menor, disse: “porque

não tem nenhum ano”; Ma registrou o zero e, ao ser perguntado por que era o

número menor, disse: “porque esse é o zero”; Li , Ga, Tw, Ge e Ot disseram e

registraram o zero; Er disse e registrou o número 1.

60

IV. Reconhecimento dos algarismos de 0 a 9

Também apresentamos uma questão em que as crianças deveriam

reconhecer números de um algarismo, sem que esses números aparecessem

em seqüência; seriam mostrados a elas aleatoriamente. Ao identificá-los,

também solicitar-se-ia que apontassem o número que representava sua idade.

Am apontou o número quatro, reconheceu-o e leu “quatro”. Quando

apontamos o número 9, disse: “preciso pensar”, e disse “nove”; quando

apontamos o número oito, respondeu “oito”, aos números apontados em

seguida, foi respondendo corretamente: dois, seis, um, três. Ao apontarmos

novamente o número oito, respondeu: “espera deixa eu pensar”, e respondeu:

“sete”, quando apontamos o número sete, disse: “espera”, e cantou a

seqüência baixinho, dizendo: “sete” e, diante da pergunta: Qual desses

números representa sua idade?, pegou a cartela de número cinco. O que

pudemos perceber foi que Am conhece os números até o sete; para os

números oito e nove ainda mostra insegurança.

MT nomeou todos os números pela seqüência. Lu, Ma, Li, Tw, Ge, Er

e Ot reconheceram todos os números apontados, fora da seqüência. Ga

esperou que todos os números fossem colocados e começou a leitura pelo

número um, dois, três, ....., nove, nesse momento percebeu a existência do

número zero e voltou a nomear a seqüência, começando pelo zero. Todos

reconheceram o número de sua idade.

V. Identificação de números em contextos diversos

A proposta final era a de que identificassem, em um anúncio de jornal,

diferentes números e que comentassem sobre seus significados. Uma

propaganda de sapatos infantis foi escolhida6, com o objetivo de verificar se as

crianças distinguiam letras de números, se diferenciavam os números que

representavam o tamanho do sapato e os números que representavam preço;

também queríamos verificar que hipóteses tinham sobre a leitura desses

números.

6 A propaganda escolhida encontra-se no Anexo 5.

61

Diante do anúncio apresentado às crianças, em que havia o preço e o

número de alguns sapatos, muitas crianças acharam que “R$” também era

número; apenas o Ge, às vezes, lia o preço dos sapatos corretamente como,

por exemplo, vinte e quatro reais e noventa centavos; outras vezes, lia como se

fossem dois, o número vinte e quatro e o número noventa.

Todas as crianças distinguiram números de letras. Am só enxergou os

números que representavam dinheiro, mas não soube lê-los. MT, Li e Ot

diferenciaram os números que representavam dinheiro dos números dos

sapatos, mas, ao lerem os números que representavam dinheiro, leram como

se fossem dois números, por exemplo, para R$ 19,90, leram dezenove e

leram noventa.

Lu e Ma apontaram todos os números do anúncio, mas não souberam

fazer sua leitura. Para Ma e Li, o "R$" também era número; Ga apontou todos

os números, mas leu 18 como se fossem dois números: o número um e o

número oito; Tw também apontou todos os números, mas, para aqueles que

representavam dinheiro como, por exemplo R$ 24,90, leu: dois, quatro, nove e

zero; Ot leu todo o anúncio inclusive os números que representavam os preços

dos sapatos e, depois da leitura, falou: “eu sei ler e também sei amarrar

sapatos” .

Com base nessas entrevistas, pudemos perceber que muitos conhecem

a seqüência numérica pelo menos até cinqüenta e que fizeram uso dela para a

escrita dos números 23 e 35; esse procedimento não foi adequado para

números maiores, como 80 ou 90.

O número 2000 foi associado ao ano em que estavam (a entrevista foi

realizada em outubro do ano 2000), e a maioria disse que era muito fácil; a

mesma "facilidade" não foi expressa para o número 1000. Algumas crianças

produziram escritas convencionais baseadas nas informações que extraem da

numeração falada, como é o caso do registro de 1008 para o número 108;

80023 para o número 823. A numeração falada, nesse caso, utiliza a adição

100 + 8 ou de 800 + 23.

Um aspecto significativo das entrevistas com essas crianças foi o

levantamento de hipóteses e suas justificativas, quando solicitadas a apontar o

número maior.

62

2.3 Análise dos resultados dos alunos do Grupo A

Analisando o desempenho desse grupo, pudemos verificar que, de fato,

o universo numérico das crianças em idade pré-escolar é bem mais amplo e

diversificado do que talvez suponham seus professores. Esse universo não é

apenas oral, mas também escrito - as escritas fazem parte dele e são

fortemente associadas ao contato cotidiano com esses números. Chamou-nos a atenção o fato de que quando solicitadas a escrever um

número que não "conheciam", as crianças escreviam quaisquer algarismos

conhecidos, evidenciando que sabem distinguir escritas de números das que

não representam números.

A escrita apoiada na fala, apresentada na forma decomposta, é, sem

dúvida, um ponto que merece nossa atenção. É muito freqüente em nossa

prática - e nos livros didáticos também - uma grande ênfase nos exercícios de

decomposição de um número dado, nas unidades das diversas ordens. Bem

menos freqüentes são as atividades de composição. Seria o caso de, levando

em conta as produções dos alunos, propormos com mais freqüência atividades

deste tipo.

As crianças do grupo pesquisado também identificaram no

"comprimento" da escrita numérica um critério para comparar números. Um

número "grande" é um número comprido, um número com muitos algarismos.

Esse critério, que é válido para números naturais, pode ser um bom

aliado do professor para provocar conflitos cognitivos, tais como solicitar que

comparem 800205 (825) com 1000, fazendo-as pensar como um número que é

menor que 1000 pode ser escrito com 6 algarismos.

Verificamos ainda que, para comparar números de mesmo

"comprimento", o critério de comparação anteriormente usado se mostrou

insuficiente para elas. Um novo critério foi, então, construído e o mais freqüente

foi explicitado por elas, ao dizer que “o primeiro é quem manda” ( 535 > 246).

Observamos que, para essas crianças, que pesquisamos, o zero é

fortemente indicado como o menor número que existe, mas a indicação do

maior número que existe é bastante variável. Embora soletrem o número do

seu telefone como um código, não o identificam como um número grande.

63

Observamos, também, entre as crianças de cinco–seis anos

pesquisadas, que algumas já sabiam ler e escrever os símbolos matemáticos.

O que constatamos é que as crianças procuram compreender

ativamente o mundo que as rodeia e trata de resolver as interrogações que

esse mundo provoca. Não esperam que alguém que possui um conhecimento

o transmita, mas aprendem, basicamente, por meio de suas próprias ações

sobre os objetos do mundo.

Assim, é difícil imaginar criança que, crescendo num ambiente urbano,

no qual vai encontrar, necessariamente, textos escritos em qualquer lugar (em

seus brinquedos, nos cartazes publicitários ou nas placas informativas, na sua

roupa, na TV) uma criança não faça nenhuma idéia a respeito da natureza

desse objeto cultural, antes de ter 7 anos e uma professora à sua frente.

Como diz Fayol, “um sujeito intelectualmente ativo é um sujeito que

compara, exclui, ordena, categoriza, reformula, comprova, formula hipóteses,

reorganiza, em ação interiorizada (pensamento) ou em ação efetiva (segundo

seu nível de desenvolvimento). Um sujeito que está realizando algo

materialmente, porém seguindo instruções ou modelos a serem copiados, dado

por outro, não é, habitualmente, um sujeito intelectualmente ativo”.

Consideramos que os resultados obtidos são bastante semelhantes aos

indicados nos estudos de Lerner, Sadovsky, Fayol e também com as

orientações às colocações apresentadas nos documentos do IREM de Paris,

que estimulam professores a trabalharem com os chamados números

familiares (como os que indicam sua idade, o número de sua casa, ou o

número do seu telefone), e com os denominados freqüentes (como os dias do

mês, o do ano em que estão).

O sistema de numeração como produto cultural, objeto de uso social

cotidiano se oferece à indagação infantil desde os endereços das casas, as

páginas de revistas, a listagem dos preços do supermercado, os calendários,

as chapas dos carros, etc. E esse fato não pode mais ser ignorado no processo

de ensino e aprendizagem. Ele precisa ser investigado pelos professores da

educação infantil e das séries iniciais para ser tomado como ponto de partida

das atividades planejadas e desenvolvidas na escola.

64

3. O trabalho com alunos do ENSINO FUNDAMENTAL

3.1 Algumas informações sobre esses alunos

Conversando informalmente com os alunos e por meio do

preenchimento de uma ficha informativa, buscamos identificar as idéias que

fazem sobre a Matemática, sua utilidade, além de procurar conhecer um pouco

o conceito que têm de seu desempenho nessa disciplina.

Dos 927 alunos que participaram da pesquisa, 512 eram meninos e

415 meninas. Nesse grupo, 358 eram alunos de escolas municipais; 227

alunos de escolas estaduais e 342 alunos de escolas particulares.

128 alunos disseram que precisam de professor particular de

Matemática, sendo que 218 alunos disseram que precisam, mas não têm

dinheiro para pagar e, por isso, freqüentam as aulas de reforço.

75% dos alunos que gostam de Matemática justificaram:

“porque eu gosto de fazer contas”;

“Matemática é complicada, mas tem lógica, eu consigo entender”;

“porque é interessante e trabalha bastante com a mente”;

“se a aula for bem descontraída”;

“ depende como o professor dá a aula”;

“é complicado, mas depois de treinar fica fácil”;

“porque é muito necessário no mercado de trabalho”;

“ gosto de álgebra”;

“gosto só quando sei fazer”;

“sim, apesar de ter dificuldade, ela me interessa muito, mas não gostaria de

fazer alguma faculdade que tivesse Matemática como matéria, apesar de

querer cursar Engenharia Aeronáutica que tem Matemática”.

14% dos alunos não gostam de Matemática, e justificaram:

“é chato”;

“é a matéria que eu tiro mais notas baixas”;

“são muitas regras”;

“tenho dificuldade”;

“os cálculos são muito chatos”;

“tenho muitos problemas”;

65

“é a matéria mais difícil”;

“é uma matéria que uns 80% da população brasileira acha que é complicada”;

“eu acho horrível fazer cálculos. Existe a calculadora para isso, não eu!”;

“exige muita atenção”;

“eu não presto atenção na aula, a professora repete muitas vezes a explicação

e eu fico com sono, perco o interesse”;

“tem muita letra em vez de número”.

11% dos alunos gostam mais ou menos de Matemática, e justificaram:

“com ela aprendo a usar os números no cotidiano, mas é chato calcular muito

sem um propósito além de acertar a conta”;

“ ela vai servir para minha vida e tenho que aprender a lidar com isso”;

“depende da matéria, equação eu gosto, sistema, eu não gosto”;

“algumas vezes o professor vai muito rápido e não consigo assimilar”;

“ tem coisa muito chata e que, na minha opinião, não serão usadas no meu

futuro”.

3.2 A investigação com os grupos B e C, referente a situações que

envolvem NÚMEROS NATURAIS.

Nas investigações com alunos de 2ª e 4ª séries, nosso objetivo era o de

analisar a evolução dos conhecimentos sobre a escrita numérica, após a

realização do trabalho sistematizado que ocorre nas séries iniciais do ensino

fundamental.

Sabemos que nas duas primeiras séries do ensino fundamental as

chamadas atividades numéricas constituem o principal foco de atenção dos

professores. A leitura e escrita de números pela compreensão dos princípios

que regem o Sistema de Numeração Decimal são, geralmente, bastante

exploradas nessas séries, havendo uma relação muito forte entre a língua

materna e a linguagem Matemática.

Já na 4ª série, em geral, os professores tendem a considerar que os

conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal já estão construídos e,

naturalmente, vão se estendendo na apresentação de números com classes

cada vez mais numerosas (milhões, bilhões, trilhões...).

66

A seguir, apresentamos os resultados das investigações com crianças

de 2ª e de 4ª séries.

3.2.1 Grupo B7

I. Ditado de números

23 35 100 108 2000

1000(hum mil) 80 90 800 823

Com este ditado de números esperávamos verificar se as crianças

tinham ampliado seu repertório de números familiares, isto é, que já fosse de

seu convívio, números até 1000.

Pudemos perceber que a grande maioria dos participantes (82,8%)

registraram corretamente números até a ordem dos milhares.

Uma minoria (17,2%) ainda registrou 305 para trinta e cinco; 8023 ou

80023 para oitocentos e vinte e três; 1008 para cento e oito e 200 para dois mil,

baseando-se na leitura.

O avanço observado do Grupo A para o Grupo B foi, portanto, muito

significativo.

II. Pinte de azul o quadro em que está escrito o número que representa a

maior quantidade de bolas e de amarelo o que representa a menor

quantidade de bolas. 146 9999 11800 200

895 8380 12320 100000

No reconhecimento do número menor e do número maior, num rol de

oito números, a grande maioria dos participantes (83,2%) também respondeu

corretamente.

Pudemos perceber que alguns alunos (16,8%) ainda usaram critérios de

comparação de números como as crianças de 5 ou 6 anos que entrevistamos.

7 Este grupo de alunos que estava no final da 2ª série, era composto de 238 crianças, 127 meninos, 111 meninas, 1 aluno com 7 anos completos, 140 alunos com 8 anos completos, 86 alunos com 9 anos completos, 9 alunos com 10 anos completos, 2 alunos com 11 anos completos; 64 alunos de escola particular, 174 alunos de escola pública estadual/municipal; 19 alunos cursando, pela segunda vez, a 2ª série.

67

Assim, por exemplo, para elas o número 200 é o menor, porque possui apenas

um dígito significativo, enquanto o número 146 possui três dígitos significativos.

Alguns que foram questionados, responderam: “só tem um número, por

isso é o menor”. O mesmo aconteceu para o número maior. Identificaram o

número 9999 como o maior, pois ele é formado por “nove”, enquanto o número

100000 tem apenas um dígito significativo.

Em algumas classes havia uma tabela de números até 5000 afixada na

parede e, segundo as professoras, os alunos faziam uso constante dela.

Algumas professoras ficaram circulando pela classe e, muitas vezes,

apontavam algo para os alunos que, em seguida, mudavam suas respostas.

Embora esse fato não tenha tido interferência significativa na pesquisa, ele

revela que a relação de dependência do aluno em relação ao professor é

construída e fortalecida por atitudes desse tipo.

III. Rita guardou algumas balas em saquinhos e deixou outras fora. Em

cada saquinho colocou 10 balas. Observe o desenho da distribuição que

Rita fez a seus irmãos:

Para André Para Lia Para Pedro

•••• •••• ••••

•••• •••• •••• •••• •••• •••• ••••

a) Quem ganhou mais balas?

b) Quem ganhou menos balas?

c) Quantas balas vai ganhar André?

Houve uma dificuldade bastante generalizada para que os alunos

compreendessem a situação apresentada, o que permite supor que eles não

estão acostumados a resolver situações-problema, mas, sim, a responder a

outro tipo de exercício.

68

Convém ressaltar que a figura apresentada originou algumas dúvidas

nas crianças, pois o problema falava em saquinhos e balas, e o desenho

apresentado se parecia mais com latas e pontinhos.

Como as crianças não estavam familiarizadas com esse tipo de

situação, de trocas, foi necessário fazer a leitura. Feita a leitura, observamos

que colocavam, ao lado, a quantidade de balas de cada criança. Obtivemos

71% de acertos.

Um número significativo de crianças não percebeu as duas “unidades”

envolvidas e adicionou o número de saquinhos com as balas. Nenhuma criança

percebeu diretamente que, se Lia tinha 3 saquinhos, ela tem mais balas que as

demais, provavelmente por não fazer uma análise prévia do problema e,

imediatamente, partir para registrar números e fazer operações.

Em algumas classes foi preciso fazer a leitura aos alunos para que eles

não ficassem constrangidos. Feita a leitura, neste item houve acerto de 71%

das crianças.

Um número significativo de crianças não percebeu as duas “unidades”

envolvidas. Os alunos que não acertaram a questão adicionaram a quantidade

de saquinhos e de balas, concluindo que Pedro tinha mais que os outros.

Em algumas classes, houve a intervenção da professora para que as

crianças colocassem a quantidade de balas ao lado de cada saquinho.

IV. Escreva como se lê:

17: _________________________________________

71: __________________________________________

23: __________________________________________

32: __________________________________________

Com os números escolhidos, queríamos verificar se os alunos nesta

etapa da escolaridade observavam, sem dificuldade, a posição dos algarismos

no número e a usavam na leitura e na escrita (por isso, a escolha de 17 e 71 e

23 e 32). A porcentagem de acerto foi bastante significativa: 96%.

Percebemos, pelas respostas dadas por alunos de duas classes, que

as professoras se preocupavam com a ortografia correta, pois a maioria desses

69

alunos escreveram corretamente por extenso. Mas isso não foi observado nas

demais classes.

V. Calcule “de cabeça” e escreva o resultado na linha de baixo:

20 + 30 90 - 1 10 + 10 + 10 69 + 1 2 X 100 60 + 9

Os cálculos apresentados poderiam ser feitos mentalmente, usando-se

os conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal, como sucessor e

antecessor, adição de dezenas, etc.

No entanto, mesmo explicitando várias vezes que o cálculo era para ser

feito “de cabeça”, a grande maioria armou as contas na carteira e, nessas

circunstâncias, mais da metade dos alunos (58,4%) acertou todos os cálculos.

Dentre os erros mais freqüentes, registramos os seguintes

90 – 1 = 80

90 – 1= 91

69 + 1 = 07

20 + 30 = 5

Alguns alunos colocaram um número qualquer como resposta à questão.

Foi possível também observar que alguns alunos eram muito dependentes da

professora e não escreviam nada sem lhe perguntar se estava certo. Como

algumas circulavam pela classe, algumas vezes diziam aos alunos que

determinada questão não estava correta e, às vezes, apenas apontavam a

questão. Consideramos que isso pudesse ser hábito em algumas classes. Por

mais que pedíssemos para que não houvesse intervenção, elas argumentavam

que estavam apenas vendo como os alunos resolviam as questões, pois

tinham certeza de que todos sabiam fazer.

3.2.2 Grupo C8

8 Este grupo de alunos que estava no final da 4ª série, era composto de 258 alunos, 142 meninos e 116 meninas; 153 alunos com 10 anos completos, 77 alunos com 11 anos completos, 18 alunos com 12 anos completos, 10 alunos com 13 anos completos. Destes, 74 alunos eram oriundos de escola particular e 184 alunos de escola pública estadual/municipal; 19 alunos, cursando pela 2ª vez a 4ª série, 7 alunos refizeram a 3ª série, 26 alunos repetiram a 2ª série e 25 alunos repetiram a 1ª série, sendo que alguns repetiram mais de uma série e, mais de uma vez, a mesma série.

70

I. Ditado de números:

a) 235 b) 305 c) 1087 d) 82344 e) 200000

Nossa expectativa era que no ditado de números houvesse um acerto

significativo, especialmente tendo em vista que no grupo de crianças de 7 a 9

anos havíamos constatado um bom desempenho. Tal expectativa, porém, não

se confirmou, pois o acerto total não ultrapassou 68% dos participantes.

O uso de ponto para separar as classes provocou algumas dificuldades,

pois os alunos separaram as classes da esquerda para a direita, por exemplo:

823.44; 1.08.7. Outros usaram uma vírgula, no lugar do ponto: 200,00 ou

2,000.

Destacamos alguns registros que nos chamaram a atenção.

87 para 1087; 200,00 para 200 000; 100087 para 1087; 8000,344 para

82 344 e 200,000 para 200 000, ou 10087 para 1087 e 2000 para 200 000, ou

1.08.7 para 1087; 2 000 ou 200,00, ou 200,000, ou 2 000,00 para 200 000.

II. Num jogo, cada ficha verde que um jogador ganha vale 10 pontos.

Quando ele junta 10 fichas verdes ele as troca por uma azul e quando ele

junta 10 fichas azuis ele as troca por uma amarela. A figura mostra a

situação de três jogadores.

André Paulo César

É correto afirmar que:

André é o que tem mais pontos

Paulo é o que tem menos pontos

César tem menos pontos que André

Paulo tem 40 pontos

André tem 10 pontos a menos que César

71

Com relação a este item, os alunos fizeram muitas perguntas, tais como:

“O que tenho que fazer aqui?”

“Posso contar as fichas?”

“Como resolver esse problema, pois eu não sei quanto vale a ficha

amarela e nem a ficha verde?”

Fizemos uma leitura do problema em voz alta. Tivemos a impressão de

que era uma situação bastante incomum para eles.

Mesmo assim, 41,5% acertaram a questão; mas, para isso, tiveram que

fazer cálculos de conversão dos pontos. Vários alunos converteram as fichas

coloridas em números e fizeram contas chegando aos valores de: André 1010,

Paulo 220 e César 1100, mas, mesmo chegando a esses valores, respondiam

que André tinha 10 pontos a menos que César.

Muitos demonstraram, mesmo depois da leitura, não terem

compreendido a questão (39%) e perguntaram se podiam chutar a resposta,

pois a questão estava redigida em forma de teste.

Um aluno registrou:

“André = 100,10 ; Paulo 20,20 ; César 10,100”.

Esse registro evidencia a interferência de uma nova aprendizagem (a

das representações decimais de números racionais), um conhecimento

construído anteriormente: fato esse que, em geral é pouco trabalhado em sala

de aula.

Outro aluno assinalou ao lado das fichas de André, 10 para a amarela e

10 para a verde; ao lado das fichas de Paulo colocou 10 para cada ficha verde

e 100, para cada ficha azul, e para César, colocou 100 para cada ficha azul, e

10 para cada ficha amarela, e sua resposta para o problema foi - Paulo tem 40

pontos.

III. Escreva :

a) o maior número que pode ser escrito com 4 algarismos, todos

diferentes;

b) o menor número que pode ser escrito com 3 algarismos.

OBS: informamos que 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são algarismos.

72

Com relação ao item a, 55,4% dos alunos responderam corretamente,

mas com relação ao item b apenas 19% acertaram.

Em algumas classes os alunos fizeram perguntas, tais como:

“O que quer dizer quatro algarismos?”

“Posso colocar qualquer número que eu quiser?”

Observamos que, provavelmente, como no item a havia referência a

algarismos diferentes, o mesmo “critério” deve ter sido usado no segundo item.

Mais uma vez, os alunos apresentaram escritas em que os algarismos

eram separados por vírgulas.

Alguns alunos registraram o número nove como sendo o maior número

de quatro algarismos e para o menor número de três algarismos, o número

zero. Muitos alunos responderam 102 para o menor número de três algarismos.

Outros registraram 021, 023 ou 001, o que mostra que ainda persiste grande

ambigüidade quanto ao papel do zero.

IV. Escreva como se lê:

17: _________________________________________

71: __________________________________________

23: __________________________________________

32: __________________________________________

Com os números escolhidos, queríamos verificar se os alunos nesta

etapa da escolaridade observavam, sem dificuldade, a posição dos algarismos

no número e a usavam na leitura e na escrita. A porcentagem de acerto foi

bastante significativa - 96%, e muito semelhante à dos alunos do ciclo anterior.

V. Calcule “de cabeça” e escreva o resultado na linha de baixo:

200 + 300 900 - 1 699 + 1 3 X 4000 315 : 3 600 + 20 + 8

Mais uma vez, nossa intenção era a de verificar se os alunos usariam

seus conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal num exercício de

cálculo mental.

73

A maioria dos alunos perguntou se podia armar as contas e, mesmo

solicitados a fazer os cálculos “de cabeça”, muitos usaram rascunho ou

armaram a conta na carteira.

Ainda assim, uma minoria (26,4%) acertou todos os resultados das

operações. A maioria dos erros concentrou-se na divisão (44%) e na subtração

(38%). Muitos deixaram o resultado da divisão em branco.

O resultado mais freqüente apresentado para a divisão (315 : 3) foi 15,

mas outros resultados indicados com razoável freqüência foram:

103

12

13

101

Para a subtração (901 – 1), os registros mais freqüentes foram 901,

889 ou 800. Alguns registros chamaram a atenção e os consideramos bastante

preocupantes:

699 + 1 = 6.100

699 + 1 = 799

600 +20 +8 = 88

900 – 1 = 809

315 : 3 = 9112

315 : 3 = 141

3 X 4000 = 12,000 ou 12,00 ou 1,200

3.3 Análise dos resultados dos alunos dos Grupos B e C em atividades

que envolvem números naturais

Uma constatação inicial foi a de que permanecem ainda, embora em

pequena escala, na 4ª série, escritas apoiadas na fala e na decomposição

(10008 para mil e oito).

Mas, o primeiro aspecto que nos chamou muito a atenção foi a

observação de que a evolução da construção de escritas numéricas não se dá

de forma linear nem cumulativa. Pudemos verificar que, ao final da 2ª série, a

produção de escritas numéricas evidenciava um avanço significativo em

relação aos registros das crianças da educação infantil, pois o índice de acerto

74

no ditado de números atingiu os 82,8% ao final da 2ª série. A expectativa de

que esse percentual aumentasse, no ditado de números naturais dos alunos da

4ª série, no entanto, não se confirmou, pois decaiu para 68%.

Verificamos que, para os alunos de 4ª série, a vírgula usada para

separar a parte inteira da parte não inteira dos números racionais, na forma

decimal, passou a ser usada também na representação de números naturais,

para separar classes, provocando grande confusão.

Percebemos que muitos alunos não sabiam ao certo para que servia o

ponto de separação e, talvez por estarem realizando um trabalho sistemático

com os números racionais, tenham confundido o ponto com a vírgula. Em

algumas classes, as professoras mantêm cartazes com números de 1 a 10,

múltiplos de 10 e múltiplos de 100, até o número 5000.

Mesmo dentre os que pareciam lembrar da função do ponto – facilitar a

leitura - eles o colocavam da esquerda para a direita, como em 82 344

registravam: 823.44 ou 83.34.4.

Uma hipótese que pode ser considerada é a de que os alunos -

baseados em um aspecto do contrato didático - que é o de que, para resolver

um exercício em Matemática, deve-se usar aquilo que se está estudando no

momento - tenham feito uso da vírgula que está tão presente nos trabalhos de

4ª série.

Essas constatações fazem também supor que os professores não estão

atentos ao fato de que os conhecimentos construídos em séries anteriores

precisam ser constantemente revisitados para que se explicite também que

idéias ou procedimentos permanecem válidas em novas situações e quais

precisam ser transformadas. Parece que ainda está longe de ser incorporada

no trabalho dos professores a concepção de que o conhecimento é construído

pelo aluno num processo de interações, a partir de dados e informações e que,

ao contrário de acumular simplesmente, ele precisa constantemente se

reorganizar.

Isso também se deve, provavelmente, a um certo descrédito que os

professores revelam no que se refere a aproveitar os conhecimentos prévios

dos alunos, interpretados mais como erros absurdos do que como fortes

indícios de construção de conhecimentos.

75

Há uma dependência bastante generalizada dos alunos em relação à

leitura dos enunciados, feita pelo professor. Tanto na 2ª série como na 4ª série,

muitas perguntas surgiram, evidenciando que não haviam compreendido a

situação e que não haviam, em séries anteriores, resolvido situações

parecidas.

Também em relação à compreensão do sistema de trocas, não houve

uma melhora no desempenho dos alunos da 2ª série para a 4ª série. Esse

resultado pode estar ligado ao fato de que no 2º ciclo, há uma certa convicção

por parte dos professores de que os alunos já construíram conceitos

relacionado a esse assunto e, uma vez “construído”, não é necessário

retomá-lo.

Com relação ao uso dos conhecimentos sobre o sistema de numeração

decimal para efetuarem cálculos, vimos que, entre os alunos pesquisados,

tanto na 2ª série como na 4ª série, o trabalho com o cálculo mental ou a

estimativa não deve estar sendo desenvolvido. Eles pediram para “armar as

continhas” e, mesmo sendo alertados de que não era necessário, deixaram-nas

registradas, ou na folha da pesquisa, ou na carteira, ou ainda, em outra folha.

Diversos cálculos exploravam os conhecimentos sobre o sistema de

numeração decimal como antecessor (90 - 1), ou sucessor (69 + 1), adição de

dezenas (20 + 30 e 10 + 10 + 10) ou de centenas (2 X 100). O índice de

sucessos foi de 58,4%, demonstrando que a relação entre o SND e os cálculos

não é evidente para os alunos de 2ª série. Isso também foi constatado entre os

alunos de 4ª série, que não colocaram em uso seus conhecimentos sobre

antecessor para calcular 900 - 1, sobre sucessor, para totalizar 699 + 1, nem

sobre adição de centenas (200 + 300), etc.

Ao final da 2ª série, o índice de acertos na comparação de números

naturais foi na ordem de 83,2%. Percebemos que alguns alunos ainda

comparam números como as crianças de cinco - seis anos, levando em conta

apenas os algarismos significativos. Ainda não têm clareza sobre o papel do

zero para indicar a “falta” de determinadas ordens; para eles, o zero apenas

não vale nada, não é um algarismo. Por isso, ao comparar números como 200

e 146, o número 146 é “maior”, porque tem três algarismos (significativos) e o

200 tem apenas um algarismo (significativo).

76

Ainda com referência à comparação entre números, na 4ª série, uma

questão que envolvia uma formulação (qual o maior número que pode ser

escrito...), o índice de acertos decaiu para 55,4%. Nessa mesma questão, (qual

o menor número que pode ser escrito...), muitos alunos registraram o número

começando por zero, isto é, registraram 001. Esse conflito das funções do zero,

apresentado pelas crianças, poderia ser bastante explorado pelas professoras

se elas tivessem conhecimento dessas funções. Como vimos no primeiro

capítulo, historicamente a humanidade levou muitos séculos para constatar

essas funções e elas foram muito importantes para a constituição de um

sistema de numeração decimal.

4. A investigação com os professores de 2ª e 4ª séries

4.1 Os itens formulados e as respostas dos professores de 2ª série9

I. Em relação ao número 3483, é correto afirmar que ele contém

exatamente:

a) 4 centenas

b) 34 centenas

c) 8 dezenas

d) 83 dezenas

e) 3 unidades

Neste item, a maioria assinalou mais do que uma resposta e não apenas

34 centenas como prevíamos.

Apenas uma professora indicou a alternativa b).

As respostas mais assinaladas, concomitantemente, foram:

4 centenas; 8 dezenas e 3 unidades; (2 professoras)

4 centenas; 8 dezenas (ao lado, a professora registrou: “dúvida!!!” ) 9 Participaram desta investigação 9 professoras de 2ª série, com idade variando de 32 a 37 anos; em média 12 anos de experiência profissional; sendo que 4 professoras concluíram apenas o curso de magistério, 2 professoras estavam concluindo curso superior, 2 professoras concluíram o curso de Pedagogia, 1 professora fez também curso de especialização; 3 professoras lecionavam em escola particular, 6 professoras em escola pública municipal (3 professoras são efetivas e 3 professoras são contratadas).

77

34 centenas; 8 dezenas e 3 unidades; (1 professora)

4 centenas; 34 dezenas; 8 dezenas e 3 unidades; (2 professoras)

Duas professoras assinalaram uma única alternativa. Uma assinalou

3 unidades, e a outra, 83 dezenas.

Uma professora acertou a questão, assinalou 34 centenas como

resposta.

II. Na operação abaixo,

0 9 9 10

1 0 0 0

- 3 4 7

6 5 3

ao efetuá-la o aluno substituiu o número 1000 por:

999 + 1

900 + 90 + 10

1001 - 1

900 + 100

9 + 9 + 10

Seis professoras responderam corretamente (900 + 90 + 10) e três,

responderam 9 + 9 + 10. Uma delas comentou que sempre faz assim, mas não

sabe o que está fazendo.

Embora há pelo menos duas décadas, por meio de várias publicações e

também de ações de formação continuada de professores, a Secretaria

Estadual de Educação venha insistindo no fato de que o professor precisa se

apropriar de fatos e propriedades que justificam os procedimentos das diversas

técnicas operatórias, ao que tudo indica, o problema ainda não foi superado.

Em se tratando de professores jovens, podemos inferir que na formação inicial

essa preocupação esteja, ainda, bastante ausente.

78

III. O número representado no contador da ilustração abaixo é:

a) 345

b) 543

c) 3405

d) 5043

e) 5034

Todas as professoras indicaram a alternativa correta neste item,

resultado este que, comparando ao obtido nas situações anteriores, pode nos

mostrar que há uma compreensão parcial do processo de agrupamentos e

trocas que caracteriza o sistema de numeração decimal.

Acreditamos que é muito forte, para os professores, a idéia de que o

número de unidades, dezenas, centenas, etc., que compõem um número

corresponde ao número que aparece em cada haste do ábaco; assim, no caso

do número 5043, a idéia mais comum é a de que ele contém exatamente

3 unidades e não 5043 unidades, 4 dezenas e não 504 dezenas, 50 centenas e

não 0 centenas.

Esse problema é crucial e certamente constitui um dos obstáculos para a

compreensão, por exemplo, de procedimentos usados nas técnicas

operatórias, como ficou evidenciado na questão anterior em que alguns

professores responderam que 1000 foi substituído por 9 + 9 + 10.

IV. Saiu no jornal: 1,345 bilhão de dólares foram desviados pela máfia da

corrupção... Assinale o valor que corresponde a essa cifra, em dólares:

a) 134 500

b) 1 345 000

c) 13 450 000

d) 134 500 000

e) 1 345 000 000

Esta questão apresentou grande dificuldade para o grupo de

professoras. Apenas duas responderam corretamente, assinalando a

alternativa e. Quatro assinalaram a alternativa b, sendo que uma justificou:

79

“Essa cifra eu leio como 1bilhão, 345 milhões de dólares, que transformados

em milhões seria 1.345.000”. Uma assinalou a alternativa c e duas assinalaram

a alternativa d .

V. Num jogo, cada ficha verde que um jogador ganha vale 10 pontos.

Quando ele junta 10 fichas verdes, ele as troca por uma azul e, quando ele

junta 10 fichas azuis, ele as troca por uma amarela. A figura mostra a

situação de três jogadores. Responda: quem tem mais pontos? Quantos

pontos cada um dos jogadores tem no momento?

André Paulo César

Neste item, uma professora deixou de responder e as demais

responderam corretamente, associando a cada ficha o valor correspondente e

adicionando esses valores. Observei, porém, que precisavam fazer os cálculos

para chegar a alguma conclusão, ou seja, não se guiavam pela cor das fichas

para concluir que César tem mais pontos que André, que tem mais pontos que

Paulo.

Numa situação semelhante, os alunos dessas professoras fizeram

muitas perguntas, foi necessário fazer a leitura do problema em voz alta. Pelas

conversas com as professoras, pudemos perceber que elas não apresentam

situações-problema desse tipo a seus alunos.

4.2 Os itens formulados e as respostas dos professores de 4ª série10

10 Participaram desta investigação 9 professoras de 4ª série, em que a média de idade era 32 anos e mais ou menos uns 10 anos de experiência profissional; 4 professoras concluíram apenas o ensino médio (magistério), 2 professoras estavam concluindo o curso superior, 3 professoras concluíram o curso de Pedagogia, 3 professoras lecionavam em escola particular, 6 professoras em escola pública municipal, dessas, 1 professora era efetiva, 3 professoras eram estatutárias e 5 professoras eram contratadas.

80

I. A escrita 2 X 103 + 5 X 10 2 + 6 X 10 + 8 corresponde à decomposição do

número:

a) 2 000 500 608

b) 2 00 050 608

c) 25 680 000

d) 2 050 608

e) 2568

Das nove professoras investigadas, apenas uma não respondeu

corretamente. Sua resposta foi a alternativa a, o que faz supor a não

observação, ou respeito, do sinal de adição presente na escrita que leva a uma

representação análoga àquela produzida pelas crianças da educação infantil ou

séries iniciais, que se apóiam na leitura do número. Não houve nenhuma

pergunta sobre a notação exponencial. Quatro professoras fizeram uma

associação direta das escritas e quatro tiveram que fazer cálculos para

encontrar a resposta.

II. Ao efetuar a operação abaixo, o aluno substituiu o número 1135 por:

10 12 15

1 1 3 5

7 4 9

3 8 6

a) 1134 + 1

b) 1000 + 120 + 15

c) 1136 - 1

d) 1000 + 135

e) 10 + 12 + 15

Neste item, cinco professoras responderam corretamente, assinalando a

alternativa b . Uma deixou em branco. A mesma professora que não respeitou

o sinal de adição, na questão anterior, assinalou a alternativa e , evidenciando

81

que o sinal de adição presente na escrita não tem função para ela, e que

identifica apenas o valor absoluto e não o valor relativo do 10, do 12 e do 15.

Uma assinalou a alternativa c, e outra assinalou duas alternativas: b e e .

III. Saiu no jornal: 1,345 bilhão de dólares foram desviados pela máfia da

corrupção... Assinale o valor que corresponde a essa cifra, em dólares: 134 500

1 345 000

13 450 000

134 500 000

1 345 000 000

Todas as professoras deste grupo assinalaram a alternativa correta,

obtendo um resultado bastante diferente do de suas colegas que atuavam no

primeiro ciclo. Esse desempenho deve estar ligado ao fato de que na 3ª e 4ª

séries, há um trabalho com ordens e classes mais elevadas e, também, com

leitura de números que expressam medidas (como 1,5km; 3,45g), o que lhes

permitiu responder ao item com mais segurança.

IV. Em relação ao número 5413, é correto afirmar que ele contém

exatamente:

a) 54 centenas

b) 413 centenas

c) 1 dezena

d) 41 dezenas

e) 3 unidades

Também neste grupo de professoras, este tipo de questão apresentou

dificuldades. Apenas duas professoras responderam corretamente.

Uma deixou em branco.

Uma assinalou a alternativa b.

Uma assinalou as alternativas b e c.

Duas assinalaram a alternativa e.

Duas assinalaram três alternativas: a , c e e.

82

Convém ressaltar que a maioria dos livros didáticos apresenta exercícios

que condicionam alunos e professores a apresentar essa resposta, uma vez

que não diferenciam consignas em que se pede é a quantidade de centenas,

dezenas e unidades, e apresentam como resposta, ao que se pede, somente a

identificação do algarismo que ocupa a ordem das centenas, das dezenas ou

das unidades.

V. Escreva por extenso, como se lê os seguintes números:

13378999

2006008000

Todas as professoras acertaram a questão, reafirmando os comentários

que fizemos relativamente ao item III.

4.3 Análise dos resultados dos professores dos grupos F e G em

atividades que envolvem números naturais

A primeira constatação é a de que pairam muitas dúvidas relacionadas

ao assunto investigado, no que diz respeito aos professores.

A compreensão dos princípios e das regras do SND certamente é muito

superficial, haja vista que indicam, com freqüência, o algarismo que ocupa

uma dada ordem como equivalente à quantidade de unidades, dezenas ou

centenas que compõem um número.

Os procedimentos envolvidos em técnicas operatórias – como nova

escrita do minuendo na subtração, que aparece na técnica conhecida como a

de “recurso” à unidade de ordem superior – parecem ser ainda bastante

enigmáticos para alguns professores.

O fato de não dominarem totalmente os conceitos implícitos no emprego

do sistema de numeração decimal pode ser responsável pelo fato de que o

significado das unidades, dezenas e centenas também não sejam bem

compreendidos por seus alunos.

Mesmo aqueles que declaram trabalhar com alguns recursos, como o

material dourado, com a finalidade de explicitar as regras do SND para os

83

alunos, não demonstraram clara compreensão do valor posicional intrínseco no

aprendizado do sistema de numeração decimal. Em geral, consideram como caminho mais natural, principiar pelo ensino

dos números de 1 a 9 e, depois de "apresentar" o zero, introduzir a noção de

dezena como agrupamento de dez e sua escrita. Usam procedimento

semelhante para apresentar as outras ordens.

A construção da notação numérica é feita indiferentemente às hipóteses

das crianças e aparece para elas como algo novo e, principalmente, como

conhecimento "escolar".

Discutimos que a numeração escrita existe fora da escola e que, por

isso, a criança tem oportunidade de elaborar conhecimentos acerca do sistema

de representação como objeto de uso social cotidiano e, ao que parece, elas

acreditam que fazem essa conexão. No entanto, a relação numeração

falada/numeração escrita é pouquíssimo explorada, apesar de se saber que a

seqüência oral é um recurso importante na hora de compreender ou anotar as

escritas numéricas, como também recorrer à seqüência escrita é um recurso

para reconstruir o nome do número.

Ao comparar números, as crianças estão em busca de regularidades,

que permitem gerar avanços no uso da numeração escrita. Investigar

regularidades faria certamente com que as crianças pudessem avançar na

compreensão do sistema, conseguindo um uso cada vez mais adequado da

notação convencional.

Parece que não é consenso para os professores o trabalho com

situações problema como ponto de partida para a problematização dos

conceitos, pois não é de domínio de todos. Para eles, problemas só servem

como desafio para avaliarem se os alunos são capazes de empregar o que

lhes foi ensinado ou para verificarem o que foi aprendido quando fora

trabalhadas as técnicas das operações.

84

Capítulo III

Dos conhecimentos sobre o sistema de numeração decimal à

construção das representações decimais para os números racionais .

1. Introdução

Sabemos que no segundo ciclo do ensino fundamental, além do trabalho

de sistematização da leitura e da escrita de números naturais, o foco começa a

ser colocado na compreensão dos números racionais em suas representações

fracionária e decimal.

Da mesma forma que os alunos estabelecem relações entre os números

naturais e os números de seu cotidiano, como vimos especialmente nas

investigações com crianças da educação infantil apresentadas no capítulo

anterior, elas também estabelecem algumas conexões com os chamados

“números com vírgula” por meio de seu uso no contexto social, como no

sistema monetário e nos sistemas de medidas de comprimento, massa e de

capacidade. Neste capítulo vamos analisar como a representação decimal dos

números racionais evolui, a partir do 2o ciclo do ensino fundamental. Para isso,

trabalhamos com alunos de 4ª, 6ª e 8ª séries.

Apresentamos, na seqüência, os resultados de nossa investigação,

realizada com alunos e professores do ensino fundamental, o mesmo grupo já

caracterizado no capítulo anterior, ampliado agora com alunos e professores de

6ª e 8ª séries.

Nomeamos os grupos de alunos e de professores para facilitar sua

identificação, da seguinte maneira.

Grupo C – alunos de 10 anos a 13 anos – 4ª série

Grupo D – alunos de 11 anos a 18 anos – 6ª série

Grupo E – alunos de 13 anos a 18 anos – 8ª série

Grupo G – professores de 4ª série

Grupo H – professores de 6ª série

Grupo I – professores de 8ª série

85

2. A investigação com os grupos C, D e E referente a situações que

envolvem NÚMEROS RACIONAIS EM SUAS REPRESENTAÇÕES

DECIMAIS .

Nas investigações com alunos de 4ª, 6ª e 8ª séries, em situações que

envolvessem números racionais em suas representações decimais, nosso

objetivo era o de analisar os níveis de aprofundamento desse conteúdo em

função de uma maior possibilidade de compreensão dos alunos, e levando em

conta que um mesmo tema precisa ser explorado em diferentes momentos da

aprendizagem, pois a sua consolidação se dá, entre outras condições, pelo

número cada vez maior de relações que vão sendo estabelecidas pelo alunos

entre esse conteúdos e outros. No caso das representações decimais de

racionais, pelo seu uso nos diversos sistemas de medidas (de comprimento, de

massa, de capacidade), além do sistema monetário, de grande uso.

Além disso, nos últimos anos, vem sendo muito discutida pelos educadores

matemáticos e também pelos professores, a ênfase maior ou menor que deve

ser dada a cada conteúdo, buscando identificar que pontos merecem mais

atenção e que pontos não são tão essenciais. Um dos exemplos mais

freqüentemente salientado é o de que o estudo da representação decimal dos

números racionais é fundamental, devido à disseminação das calculadoras e

de outros instrumentos que utilizam essa representação. No entanto, ao que

tudo indica, essa importância ainda está longe de ser compreendida.

A seguir, apresentamos os resultados das investigações com alunos

dessas séries.

2.1 Grupo C11

I. Ditado de números:

R$ 1,25 R$ 3,50 R$ 0,83 R$ 0,10 R$ 10,01

A representação decimal de racionais faz parte do repertório que os

alunos trazem para a escola, muito especialmente, ligada ao nosso sistema

11 Este grupo de alunos é o mesmo que já foi caracterizado no capítulo anterior

86

monetário. Por isso, escolhemos para o ditado de números, o contexto do

sistema monetário.

Durante o ditado, muitos perguntaram: “tudo é dinheiro?” Mesmo diante

da resposta de que os números ditados referiam-se a dinheiro, muitos alunos

registraram sem o R$.

59,3 % fizeram todos os registros corretamente.

Dentre os que escreveram de forma não convencional, destacamos:

R$ 10,1 ou R$ 10,001 para dez reais e um centavo;

R$ 83 ou R$ 83,00 ou R$ ,83 ou R$ 00,83 para oitenta e três centavos;

R$ 10 ou R$ 10,00 ou R$ ,10 ou R$ 00,10 para dez centavos;

De registrou assim: R$ 1,00 25 centavos; R$ 300; 3,50; R$ 83 centavos;

R$ 10 centavos e R$ 10 01 centavos.

Ra registrou: R$ 1,25 centavos; R$ 3,50 centavos; 83 centavos; 10

centavos e R$ 10,01 centavos.

II. Assinale o maior número na lista abaixo:

9,191 19,9 1,991 1,999 19,19

Das crianças observadas, apenas 55 alunos (21,3%) assinalaram 19,9

como o maior número da lista.

Noventa e seis alunos (37,2%) assinalaram o número 19,19 como o

maior, provavelmente, observando dois números: um antes e outro depois da

vírgula e considerando que na parte decimal 19 é maior do que 9.

20,5% assinalaram como número maior o 9,191, provavelmente, porque

fizeram a comparação sem considerar a vírgula e comparando-os como se

fossem números naturais.

III. Escreva como se lê: 0, 1: _________________________________________

0.01: _________________________________________

0,001: ________________________________________

1,1: __________________________________________

36,8% dos alunos acertaram a questão e, desses, 22% registraram com

alguns erros ortográficos.

87

Mas nossa impressão foi a de que muitos alunos não tinham idéia sobre

a leitura e a escrita de números na representação decimal, pois deixaram a

questão em branco.

Dentre os demais registros, destacamos:

Para 0,1

um centavo;

zero vírgula um;

zero vírgula décimos;

0 dezenas e 1 unidade.

Para o número 1,1

um décimo e um inteiro;

um vírgula um;

um inteiro e um meio;

um real e um centavo;

uma dezena e uma unidade.

IV. Calcule “de cabeça” e escreva o resultado na linha de baixo:

2,1 + 3,2 2,5 + 0,5 2 - 0,1 3 X 0,5 3,3 : 3

Como já ocorrera nos itens relativos a cálculo mental envolvendo

números naturais, também neste caso não conseguimos que os alunos

respondessem ao item sem armar as contas. Alguns apresentaram as contas

no próprio instrumento e outros registraram na carteira.

Mesmo “armando” as contas, apenas 26% responderam corretamente.

Muitos (21%) deixaram em branco.

Dentre os demais registros, destacamos:

Para a operação 2 - 0,1 foram obtidas as respostas:2,1; 0,1; 1,99; 1,0;

0,9.

Para a operação 2,5 + 0,5, surgiu 2,10 ou 30.

Para 3 X 0,5 um dos resultados foi 0,15.

88

V. O quadro desenhado a seguir está dividido em 100 quadradinhos

idênticos. A parte colorida pode ser representada por qual dos seguintes

números?

3,6 b) 0,36 c) 0,63 d) 0, 036

69,4% dos alunos acertaram a questão. Das classes investigadas, em

quatro delas, todos os alunos acertaram. Em duas classes, num total de 53

alunos, apenas 5 acertaram, os outros (48 alunos), deixaram em branco. Isto

nos mostra que talvez, nessas classes, não tenha havido um trabalho com a

representação em papel quadriculado. O segundo item mais assinalado foi o

que indicava o número 3,6, talvez porque, ao interpretarem o desenho, tenham

contado três colunas coloridas e seis “quadradinhos” coloridos.

VI. Paulo comprou um brinquedo de R$ 20, 00 com desconto de 10%. Ele

pagou:

a) R$ 10,00 b) R$ 12,00 c) R$ 16,00 d) R$ 18,00

O percentual de acertos foi de 39,1%. A segunda resposta mais indicada

foi a a ou seja, consideraram que 10% de R$20,00 são R$10,00 e

aparentemente essa idéia não conflitou com o fato de que R$10,00 é a metade

de R$ 20,00.

2.2 Grupo D12 12 Esse grupo era composto de 221 alunos, 114 meninos, 107 meninas, 11 alunos com 11 anos completos, 150 alunos com 12 anos completos, 44 alunos com 13 anos completos, 13 alunos com 14 anos completos, 2 alunos com 15 anos completos e 1 aluno com 18 anos completos; 124 alunos de escola particular, 97 alunos de escola pública estadual; 2 alunos cursando pela segunda vez a 6ª série, 5 alunos repetiram a 5ª série, 5 alunos repetiram a 4ª série, 8 alunos repetiram a 3ª série, 5 alunos repetiram a 2ª série e 11 alunos repetiram a 1ª série, sendo que alguns repetiram mais de uma vez e mais de uma série.

89

I. Ditado de números:

R$ 1,25 13,52m 0,83g 0,103 l 10,01 km

Como a partir do segundo ciclo há, em geral, um trabalho com sistema

de medida, usamos esse contexto para a proposta do ditado de números.

Neste item, apenas um aluno acertou todos os registros.

41,6% escreveram corretamente a parte numérica, mas não

conseguiram registrar a unidade de referência.

Desses, quase a metade não registrou o símbolo R$ para representar

dinheiro. Foi possível observar que muitos alunos criaram suas próprias

abreviaturas, como podemos ver nos exemplos seguintes:

83,000; 83 cg; 83ctgr; 83 ctg; 0,083cg; 83.000cgr; 83 ctgs; 83, cg;

83segamas; 83 100gr; 00,83000; 83c; 83cgrs; 83ctgr para oitenta e três

centigramas;

103,000; 103 mm; 0,103ml; 103.000mml; 103mml; 103mlm; 0,103ml;

103.000mml para cento e três mililitros;

13 m2 52 cm2; 13m52cm; 13,52 Kg; 13,52cm; 13,52 m2 para treze

metros e cinqüenta e dois centímetros;

10K1dk; 10 ql 1dc; 10 km 1d; 10km e 1dm; 10 km 1dm; 10Q e 1d; 10.K

1dh; 10km2; 10 km 1 dec; 10,1Km; 10,1m; 10K1D; 10Km1dcm; 10Q10Km;

10Km; 10,1 bm para dez quilômetros e um decâmetro.

II. Reescreva a lista de números, na linha de baixo, começando do maior

para o menor:

9,191 19,9 1,991 1,999 19,19

Este item foi proposto com a finalidade de estabelecer uma comparação

com o desempenho dos alunos do 2º ciclo, em proposta similar.

37,6% acertaram a questão.

6 alunos consideraram que 1,991 é maior que 1,999;

60 alunos registraram 19,19 como maior que 19,9;

5 alunos registraram: 19,9 > 19,19 > 1,991 > 1,999 > 9,191;

90

12 alunos registraram: 9,191>1,999>1,991>19,19>19,9.

Um número bem reduzido deixou em branco.

Dg interpretou a questão de outro modo e, para cada número, registrou

o que considerou provavelmente o sucessor e o antecessor, isto é:

para o número 9,191 registrou: 9,192 e 9190;

para o número 19,9 registrou: 19,10 e 19,8;

para o número 1,991 registrou: 1,992 e 1990;

para o número 1,999 registrou: 2,000 e 1,998;

para o número 19,19 registrou: 19,20 e 19,18 .

Ps registrou os números invertidos, isto é, primeiro a parte decimal,

depois a parte inteira, e ficou assim: 91,9 > 19,9 > 991,1 > 999,1 > 19,19.

III. Preencha cada linha da 1ª coluna da segunda tabela com letras que

correspondam a escritas equivalentes à da primeira tabela.

(a) 20% ( ) 1/5

(b) 25% ( ) 9/10

(c) 75% ( ) 1/2

(d) 90% ( ) 1/4

(e) 50% ( ) 3/4

Neste item, pela primeira vez, pudemos perceber um desempenho

bastante distinto entre os alunos que eram de escolas particulares e os que

eram de escola pública, o que até então não havia acontecido.

A maioria dos alunos das escolas particulares, 87,1%, acertaram a

questão. Dentre os alunos de escolas estaduais, num universo de 97, apenas

4 acertaram totalmente a correspondência, 18 corresponderam 50% a 1/5 e,

20% a 1/2, 20 deixaram em branco, 30 corresponderam a representação

fracionária a qualquer porcentagem, e 20 alunos corresponderam 90% a 9/10.

A justificativa para essa diferença pode estar ligada ao fato de que os

alunos das escolas estaduais não estudaram o assunto e se basearam apenas

em conhecimentos do seu dia-a-dia. É interessante observar que muitos

professores de 5ª série e 6ª série dão pouca ênfase a temas que consideram

que o aluno deveria ter estudado na 4ª série, como porcentagem e operações

com decimais, e não incluem esses assuntos em seu planejamento.

91

III. Dê o resultado de:

a) 34,5 + 5, 92 + 0,034

b) 1 - 0,87

c) 3,25 X 0,45

d) 8 : 0,5

Também neste item houve um desequilíbrio entre acertos de alunos de

escolas públicas e de escolas particulares.

50,8% dos alunos acertaram todos os itens, sendo que a maioria destes

era de escola particular.

26% deixaram em branco ou não conseguiram acertar nenhuma das

operações.

Os demais erraram uma ou duas operações.

Três alunos resolveram a divisão, multiplicando 8 e 0,5 por 10, ou seja,

transformando os números em inteiros para, depois, efetuar a divisão.

Muitos deixaram de resolver a divisão e registraram ao lado: “não sei”.

Vi, registrou: 3,25

X 0,45

16,25

13,00

29,25

Fe, registrou: 34,5

5,92

00,34

09,71

V. Os quadros abaixo estão divididos em 100 quadradinhos idênticos. A

parte colorida pode ser representada por qual dos seguintes números?

a) 1,5 b) 100,25 c) 1,25 d) 0,125

92

Neste item, similar a outro proposto para alunos do 2º ciclo, 52% dos alunos

acertaram a questão.

32,1% registraram que a parte colorida estava representada pelo

número 100,25.

8,6% registraram duas alternativas: 100,25 e 1,25.

7,7% registraram: “não sei”.

Entre os números 1,2 e 1,3 há :

a) dez números racionais

b) cem números racionais

c) mil números racionais

d) milhões de números racionais

e) infinitos número racionais

46,2% assinalaram a alternativa e) “infinitos números racionais”;

26,2% assinalaram a alternativa a) “dez números racionais”;

7,2% assinalaram “cem números racionais”;

9,5% deixaram em branco ou assinalaram mais de uma alternativa.

Am criou uma nova alternativa: zero números racionais.

Gi, Co, Ma e Fe registraram que não havia alternativa correta.

2.3 Grupo E13

13 Esse grupo era composto de 210 alunos; 129 meninos, 81 meninas, 11alunos com 13 anos completos, 140 alunos com 14 anos completos, 48 alunos com 15 anos completos, 8 alunos com 16 anos completos, 2 alunos com 17 anos completos e 1 aluno com 18 anos completos; 80 alunos de escola particular, 130 alunos de escola pública estadual; 2 alunos repetiram a 7ª série, 1aluno repetiu a 6º série, 8 alunos repetiram a 5ª série, 5 alunos repetiram a 4ª série, 5 alunos repetiram a 3ª série, 7 alunos repetiram a 2ª série e 1 aluno repetiu a 1ª série, sendo que um aluno repetiu mais de uma vez e mais de uma série.

93

Ao receberem o instrumento, os alunos desse grupo fizeram muitas

perguntas:

“quando não tem pergunta do porquê não precisa explicar?”;

“metro, decímetro ou centímetro, lado direito ou esquerdo?”;

“como ‘somo’ no exercício número 5?”;

“decrescente é do maior para o menor?”

Fizeram também alguns comentários:

“não sei, não vou sair chutando”;

“acho que isso não é de 8ª série”;

“Isso é muito difícil”;

“Pensei que era coisa que eu estava estudando”.

Muitos (17%) entregaram o instrumento em branco ou registraram, ao

lado de cada questão, a expressão: “não entendi”.

Seguem-se os resultados observados:

I. Considere o número 183,254. A respeito dele é correto afirmar:

a) ele tem exatamente 3 unidades

b) ele tem exatamente 1832 décimos

c) ele tem exatamente 5 milésimos

d) ele tem exatamente 254 milésimos

e) ele tem exatamente 25 centésimos

30,5% acertaram esta questão.

27,1% assinalaram mais de uma alternativa.

Um aluno - que não assinalou nenhuma alternativa - comentou: “o

número não indica se ele está em milésimos, décimos, centésimos, etc”.

2 alunos assinalaram que nenhuma alternativa estava correta e 16

alunos deixaram em branco.

II. “Sabe-se que 1 litro equivale a 1 dm3 . Quantos litros cabem numa

caixa d’água cujo volume é de vinte e três metros cúbicos mais vinte e

cinco decímetros cúbicos?”

As respostas a esta questão aberta foram as mais diversas.

Th respondeu 23,25l e justificou: “somei 23m3 com 25 dm3 .

94

Da fez algumas notações do tipo 23m3, 2,5m3 e uma conta 2,50 : 3,0

encontrou 0,833333 resto 100, mas não colocou resposta.

Hg fez a seguinte notação: 233 X 253 = 225litros.

Mt registrou: 255litros, 10 dm3 = 1m3.

Br só respondeu 255litros.

Dez alunos registraram:

23 m3 + 25 dm3 = 230 dm3 + 25 dm3 = 255dm3 → 255l.

Li registrou: 1 dm3 X 25 = 25 dm3 ou 25l

23 m3 X 1 dm3 = 2300 dm3 ou 2300l

Resposta: 2325litros.

Dg registrou: 23 X 10 = 230 25 X 10 = 250

Resposta: 480 litros de água.

Na registrou: temos que trabalhar tudo com a mesma unidade.

1 m3 = 1000l

V = 25 m3 + 25 dm3

V = 25 000 l + 25 l

V = 25025 l

Tn registrou: 23,925 litros;Kt registrou: 23,5 litros; Rb registrou: 28 litros.

Vc registrou: 233 = 23 X 23 X 23 = 102.167

253 = 25 X 25 X 25 = 15.625

Cabem 117.792 litros d’ água.

Outros registros:

23m + 5 = 28 (11 alunos);

2,3litros (8 alunos); 23 + 25 = 48 (8 alunos);

23m3 + 25 dm3 = 12.167m + 15,625dm = 27.792m (3 alunos) ;

23 m3 + 25 m3 = 12,16m + 15,62dm = 27,78m resposta: 27,78 litros (2

alunos);

1 litro = 1 dm3 portanto 23 + 25 = 48 dm3. Cabem 48 dm3 (4 alunos);

23 m3 + 25 dm3 = 23 000 dm3 + 25 dm3 = 23 025 l (13 alunos).

Alguns alunos registraram:

“não lembro a transformação de dm para m”;

“não lembro o que é dm”;

“não sei porque não me dou muito bem com volume”;

“não lembro como se transforma litro para metro”;

95

“não lembro esse conteúdo, como calcula decímetros, litros, etc ...”;

“não lembro a tabela”;

“não sei, pois não me recordo neste momento da fórmula”;

“não estou a fim”.

29% deixaram em branco.

III. “O que você responderia” - e que explicações daria a um colega que

lhe perguntasse:

Quando divido o número 38,45 por 0,1 o resultado fica maior ou menor

do que 38,45? Por quê?

Quantos números há entre 1,2 e 1,3 ?

A fração 1/7 é equivalente a 0,1428571...? A fração é um número racional

e esse número parece ser irracional. Isso é possível?

Para o primeiro item da questão, as justificativas foram as mais variadas

possíveis:

29% disseram que ficaria maior e justificaram:

“porque ele está dividindo por menor que uma unidade”(4 alunos);

“porque é a mesma coisa que multiplicar por dez (5 alunos);

“porque na divisão o zero anda para a esquerda”;

“porque, quando você multiplica um número por zero, ele fica menor”;

“pois, assim como na multiplicação de números decimais, onde a vírgula vai

para a esquerda, acontece o mesmo na divisão, mas, ao contrário”;

“para resolver essa conta é só andar uma casa com a vírgula para direita”;

“porque, se na multiplicação o número diminui, conseqüentemente, quando se

divide ele aumenta”;

“porque você teria que dividir o número em maior parte do que um”;

“porque, se você for dividir 38,45 pirulitos por 0,1 pessoas, essa pessoa fica

com muito mais de 0,1; então, no caso, o produto é maior que ...”;

“não sei porque, não consigo explicar”;

“porque é um décimo, primeiro vai ter que chegar no inteiro, o que der

multiplica por 38, que vai dar 384,5”;

“Eu acho que fica maior que 38,45. Tem o número 38,45, dividindo o número,

você vai conseguir 384,5”;

96

Na, Le e Fe justificaram: “maior, pois dividir por 0,1 é o mesmo que multiplicar

por 10”;

Li disse: “Fica maior, porque se dividir dará 384,5 ou então também, porque a

vírgula vai uma casa para trás”;

Da justificou: “maior, porque eu faço qualquer número multiplicado por decimal,

vai diminuir uma casa decimal. Portanto, quando é divisão vai aumentar”;

Ra disse: “Pois ele é dividido por um número menor que zero, ou seja, ele vai

ser maior do que ele mesmo”;

Rf justificou: “maior, pois se você dividir por 1 será a mesma coisa, mas como

0,1 é menor do que 1, precisariam de mais 0,1 e mais 0,1, e assim por

diante”;

Ro disse: “maior, pois esse número é menor do que 1 unidade”;

Br e Vi disseram: “maior, porque se dividir por 1 vai dar o mesmo número e se

dividir por um número menor, o resultado vai ser maior”;

Lv justificou: “maior, pois quando igualamos a casa de vírgula altera o número

do divisor”;

Th respondeu: “o resultado fica maior, pois dividimos o número por 10,

aumentando o número”;

Ho, Ms e Bn disseram: “maior, porque tem que ter casas iguais”;

Die disse: “maior”. MC respondeu: “não sei”.

22,4% disseram que ficaria o mesmo resultado e, justificaram:

“pois o número 1 não altera nada, a não ser que seja negativo”;

“porque qualquer número vezes 1 é ele mesmo”;

“porque nós dividimos por 1”;

“fica o mesmo resultado, porque 1 não tem diferença quando você calcula” (5

alunos);

“eu responderia que ficaria igual, nem maior nem menor - eu acho” (2 alunos);

“38,45: 0,1 = 38,45, portanto, o resultado fica igual a 38,45” (10 alunos);

“número dividido por 1 dá ele mesmo” (5 alunos);

“acho que não fica nem maior e nem menor, o resultado será o mesmo” (10

alunos);

97

Dl respondeu: “Se fosse dividido por outro número, o resultado seria a metade

de 38,45, mas já que é dividido por 0,1 o resultado vai ser, nem maior e

nem menor, e sim igual”;

Ld justificou: “Permanece o mesmo resultado, pois o número 1, elemento

neutro da multiplicação e divisão”;

JV disse: “não lembro se é dividindo ou multiplicando que se faz esta conta”.

17,1% disseram que ficaria menor e justificaram:

“porque é negativo”; “porque está dividindo”;

“porque não dá para ser maior, porque está dividindo”;

“é errado dividir o número e obter outro maior”;

“porque você está dividindo por um número ímpar”;

“porque o divisor é menor que 1”;

“pois divide um número por uma fração de outro, o que o torna mais divisível”;

“porque você está dividindo um número por um número que não é inteiro”;

“você vai dividir um número por um número menor ainda”;

“é o mesmo que dividir, dividindo”;

“está sendo dividido por números decimais” ;

“o resultado indica que 38,45 é menor do que outros números”;

“ é uma fração”;

“divisão é dividir”;

“é um número muito pequeno e eu acho que não dá para ser maior”;

“mesmo dividindo um número baixíssimo como 0,1 eu estou dividindo”.

31,4% deixaram a questão em branco.

Para o segundo item da questão (“quantos números há entre 1,2 e 1,3”),

obtivemos os seguinte resultados:

49 alunos (23,3%) responderam: “infinitos”;

42 alunos (20%) deixaram em branco;

11 alunos (5,2%) responderam: “dez”;

13 alunos (6,2%) responderam: “um”;

31 alunos (14,8) responderam “nenhum”;

20 alunos (9,5%) responderam:” entre o 1 e o 2 nenhum, mas entre o 1 e o 3

há o 2, isto é, um número”;

98

1 aluno respondeu: “bastante”;

7 alunos disseram: “vários”;

1 aluno disse: “muito”;

2 alunos disseram: “nove”;

5 alunos disseram que há dois números;

1 aluno disse: “0,1”;

1 disse: “não sei”.

Alguns justificaram:

“porque após o 1º número, depois da vírgula, vêm vários outros, exemplo: 1,21;

1.22 ; ...” ; “ 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; ...”

Gu, justificou:

“1,2 - 1,1 / 1,2 / 1,3 / 1,4 / 1,5 / 1,6 / 1,7 / 1,8/ 1,9

1,3 - 1,1 / 1,2/ 1,3 / 1,4 / 1,5 / 1,6 / 1,7 / 1,8 / 1,9 / 2 / 2,1 / 2,2 / 2,3 / 2,4 / 2,5

/ 2,6 / 2,7 / 2,8 / 2,9”;

Ga respondeu: “muitos, exemplo: 1,239 ; 1,912 ; 1,321 ; ...” ;

Jr disse: “se os quatro números forem inteiros 1,2 nenhum; 1,3 um número. Se

forem números decimais, infinitos”.

Para o terceiro item da questão (A fração 1/7 é equivalente a

0,1428571... A fração é um número racional e esse número parece ser

irracional. Isso é possível?), anotamos os seguintes resultados:

33,8% responderam sim, mas não justificaram;

30% não sei ;

20,5% deixaram em branco;

um aluno respondeu: “um número racional pode ser irracional mas irracional

não pode ser racional”;

6,2% responderam não;

6,2% disseram que esse número não é irracional.

Algumas respostas foram destacadas:

“sim, porque não tem os números adequados e termina em 71”;

“sim! Uma hora os números vão parar (eu acho)”;

“existem formas diferentes de se representar números”;

99

“porque a fração 1/7 é um número racional, mas quando se divide fica um

número infinito irracional”;

“a fração, nesta forma, é considerada racional. Só não sei porquê...”;

“pois os números na forma fracionária, o número aparenta ser finito, na forma

decimal, o número é infinito e os números não são consecutivos e, assim,

ele não se encaixa nos racionais”;

“esqueci o que é número irracional”;

“porque a conta indica que com exagero do resultado sempre vai dar

irracional”;

“sim, pois há a divisão do menor pelo maior”;

Le e Na disseram: “sim, pois a seqüência 0,1428571 vai se repetindo”;

Am justificou: “a fração não tem nada a ver com os números, isso é possível”;

Li disse: “sim, pois são representações do mesmo número, mas de formas

diferentes”;

Ma registrou: “sim, pois as formas de se expressar um número variam”;

Th respondeu: “sim, pois um número decimal pode ser irracional e uma fração

não”.

IV. Preencha cada linha da 1ª coluna da segunda tabela com letras que

correspondam a escritas equivalentes a da primeira tabela.

(a) 12,5% ( ) 1/5

(b) 42% ( ) 7/20

(c) 20% ( ) 21/50

(d) 22% ( ) 1/8

(e) 35% ( ) 2/9

Apenas 35,7% dos alunos acertaram integramente as correspondências;

13,3% acertaram apenas a correspondência entre 20% e 1/5;

23,3% corresponderam incorretamente todos os itens;

16,2% deixaram em branco, e os demais conseguiram acertar de duas a

três correspondências.

100

V. Calcule os resultados de cada operação e depois escreva-os em ordem

decrescente, na linha abaixo do último item:

a) 34,5 + 5, 92 + 0,034

b) 1 - 0,87

c) 3,25 X 0,458

d) 8 : 0,5

Alguns armaram as contas na própria folha do instrumento, outros fizeram

em rascunho.

15,2% acertaram todas as operações, mas só 8,1% colocaram os

resultados em ordem decrescente, de forma correta;

22,4% erraram todas as operações;

19% deixaram em branco;

13,8% acertaram a adição e a subtração;

11,4% acertaram apenas a adição.

Esse resultado, ao final do último ciclo do ensino fundamental constitui,

sem dúvida, um grande desafio aos educadores matemáticos e levanta uma

questão: onde, de fato, está a origem desse insucesso. Em nossa opinião, o

abandono do trabalho com o sistema de numeração decimal, a ausência de

atividades problematizadoras, a não consideração das hipóteses dos alunos

são fortes concorrentes.

3. Análise dos resultados dos Grupos C, D e E em atividades que

envolvem números racionais em sua representação decimal

Em nossa investigação, um primeiro aspecto que nos chamou a atenção

foi o fato de que a escrita, para estes adolescentes, permanece apoiada na fala

pois quando solicitados a escrever R$1,25 ou 0,83g registraram,

respectivamente, 1 real e 25 centavos ou 83 gramas, ou seja, não usam a

representação decimal.

Analisando os resultados obtidos neste teste, com os alunos de 4ª, 6ª e

8ª séries, observamos que são comparáveis aos obtidos nos estudos de

101

Coulibaly, e também com as avaliações de alunos franceses de 1992 e 1997

apresentadas nos documentos de Duval, ambos comentados no capítulo I.

Com relação às concepções elaboradas pelos alunos, sobre números

racionais escritos na forma decimal, destacam-se:

- a de que o número racional na representação decimal é considerado

como um número natural com vírgula.

- a de que um número racional representado na forma decimal é a

justaposição de dois números naturais separados por vírgula.

Também é muito forte a idéia de que os conhecimentos adquiridos no

domínio dos números naturais podem ser levados para esse outro domínio

numérico como, “todo número natural tem sucessor e, se ele não for nulo, tem

antecessor”.

Uma conseqüência de tais concepções revela-se nas operações com

números racionais na representação decimal. Como presumivelmente

“enxergam” um número antes da vírgula e outro após a vírgula, encontramos

respostas curiosas como, por exemplo, 2,5 + 0,5 = 2,10 e 3 X 0,5 = 0,15, em

que os alunos adicionam (ou multiplicam) a parte inteira pela parte inteira, e a

parte decimal pela parte decimal .

A dificuldade de operar com números racionais na forma decimal

permanece na 6ª e na 8ª séries. Muitos alunos deixaram de resolver tais

operações, deixando a questão em branco (26% na 6ª série e 19% na 8ª série).

A operação com mais insucesso foi a divisão.

Também na comparação de dois números racionais na representação

decimal, “enxergando” como se fossem dois número naturais, um antes e outro

depois da vírgula, cometem equívocos. Os alunos de 4ª série procederam

como se os números dados fossem números naturais, isto é, ignoraram a

vírgula e realizaram as comparações. Poucos conseguiram identificar o maior

número da lista.

Outra observação foi a de que a representação decimal de racionais

ligadas ao sistema monetário, embora faça parte do repertório que os alunos

trazem para a escola, não impediu que, quando convidados a registrarem esse

tipo de número, fizessem uso da linguagem falada e criassem suas próprias

notações. Registraram “um real e um centavo” para 1,1 ou “um centavo” para

0,1. Outros ignoraram a vírgula e os relacionaram aos conhecimentos

102

anteriores, isto é, registraram “uma dezena e uma unidade” para 1,1 ou “zero

dezenas e uma unidade” para 0,1.

Nas turmas de 4ª série, no ditado de números racionais (tendo como

contexto o sistema monetário), o desempenho foi de 59,3%.

Algumas escritas não convencionais mostraram que mesmo trabalhando

com dinheiro, muitos não usaram o símbolo que representa dinheiro e não

estavam familiarizados com a escrita. Registraram como na linguagem oral, ou

seja, para dez centavos, o registro foi: R$ 10; para oitenta e três centavos foi:

R$ 83, mostrando que talvez não tenham percebido que o registro deveria ser

com números racionais na representação decimal, pois estava-se falando de

centavos, a centésima parte do real.

Na 6ª série, o percentual de acerto total despencou ainda mais e, mesmo

computando acerto parcial, o índice não chegou aos 50%. Nesta série, o ditado

envolvia não só os números racionais na representação decimal, como também

os sistemas de medidas trabalhados nas séries anteriores.

Percebemos que, mesmo para o primeiro número ditado, que

representava dinheiro, quase a metade dos alunos pesquisados não

registraram o R$.

Em geral, constatamos que, quando o registro envolve, além da

representação decimal do número racional, a referência a uma unidade de

medida, os alunos produzem registros não convencionais.

Notamos que os alunos não estão familiarizados com os múltiplos e

submúltiplos dos sistemas métrico, de massa e de capacidade. Talvez saibam

apenas fazer reduções mecânicas a uma mesma unidade de medida, mas,

quando têm que registrar quantidades, não são bem sucedidos. Criam suas

próprias abreviaturas, até com uma certa lógica, pois para centigrama usaram:

ctgr; ctg; cgr; cgrs.

Os resultados apresentados pelos alunos mostram que já ouviram falar

das unidades apresentadas no ditado, como centigramas, milímetros,

centímetros, quilômetro, mas não estabelecem relação entre elas e, por isso,

continuam se apoiando exclusivamente na fala.

Esse fato é, de certo modo, surpreendente uma vez que é freqüente nos

livros didáticos uma grande ênfase no estudo dos múltiplos e sub-múltiplos das

medidas de comprimento, capacidade, massa, tempo.

103

Observamos também que, quando solicitados a escrever por extenso um

número racional na representação decimal, recorrem à leitura da

representação, registrando “um vírgula um” para 1,1 ou “zero vírgula décimos”

para 0,1.

Propusemos, também, uma questão de comparação entre números

racionais na representação decimal para os adolescentes de 6ª série, pois

queríamos estabelecer uma comparação com o desempenho dos alunos de 4ª

série. O índice de acertos destes adolescentes não foi muito superior ao obtido

pelas crianças de 4ª série, e suas hipóteses foram muito parecidas. Alguns

adolescentes em vez de ordenarem os números, encontraram, para cada um

deles, um antecessor e um sucessor.

Ao que tudo indica, atividades de comparação e de ordenação são bem

pouco exploradas pelos professores, nesses ciclos.

Como já ocorrera nos itens relativos a cálculo mental, envolvendo

números naturais, também não conseguimos que os alunos de 4ª série

respondessem ao item sem “armar as contas”.

Alguns deixaram as contas registradas no próprio instrumento e outros

registraram na carteira. Mesmo “armando as contas”, pouquíssimos acertaram

todas as propostas. Muitos deixaram em branco, outros operaram como se os

números fossem compostos por dois naturais.

Já entre os adolescentes de 6ª e 8ª séries, observamos um desequilíbrio

entre os acertos dos alunos de escolas públicas e os de escolas particulares. A

maioria dos alunos de escolas particulares responderam corretamente,

demonstrando que o cálculo de números racionais na representação decimal

faz parte de seu aprendizado. Alguns alunos usaram como recurso o produto

dos termos das operações por 10 ou múltiplos de 10, conforme sua

conveniência, a fim de transformar os números racionais em inteiros, e depois

efetuaram as operações.

Os alunos de escolas públicas apresentaram as mesmas

representações que os alunos da 4ª série, demonstrando muito pouco avanço

na construção de conhecimentos sobre os números racionais na representação

decimal.

104

Quanto à tarefa de representação de um número racional na forma

decimal em malhas quadriculadas, esta não representou dificuldade para os

alunos de algumas classes de 4ª série.

Pela quantidade de acertos dos alunos, nessas classes, presumimos

que esse tipo de exercício foi explorado pelas professoras, o que não

percebemos em outras classes de mesma série; mesmo assim, a quantidade

de acertos foi significativa.

O mesmo aconteceu com os alunos de 6ª série, que apresentaram uma

quantidade significativa de acertos, embora muitos tenham deixado a questão

em branco ou tenham assinalado que a representação do inteiro, por estar

dividida em cem partes, caracterizava 100,25 em vez de 1,25.

Com relação à representação da porcentagem, observamos

desempenhos distintos entre os alunos de escolas públicas e os de escolas

particulares. Os das escolas particulares acertaram a correspondência, mas

pouquíssimos alunos de escolas públicas conseguiram êxito. Conversando

com os professores, pudemos verificar que os alunos das escolas estaduais

estudaram de maneira estanque, como assuntos distintos: frações e

porcentagem.

Foi possível observar também que muitos professores de 5ª e 6ª séries

dão pouca ênfase a temas que consideram que o aluno tenha estudado na 4ª

série e não incluem esses assuntos em seu planejamento. O trabalho com

racionais na forma decimal e a porcentagem se incluem nesse rol de assuntos.

Finalmente, analisando as questões respondidas pelos alunos de 6ª e

8ª séries sobre quantos números há entre 1,2 e 1,3 pudemos perceber que na

6ª série, numa questão em forma de teste, muitos alunos (46%) responderam

que há infinitos números, mas, na 8ª série, em que a questão era aberta, a

quantidade de acertos caiu para 23. Convém ainda assinalar o fato de que um

número significativo de alunos respondeu que entre 1 e 2 não há nenhum

número e, entre 1 e 3 há um número.

Esses mesmos alunos de 6ª série, na comparação de números racionais

na forma decimal, apresentaram um índice 21,3% de sucesso.

105

4. A investigação com os professores de 4ª , 6ª e 8ª séries

4.1 Os itens formulados e as respostas dos professores do GRUPO G de

4ª série14

I. Escreva, se possível, três números que estejam compreendidos

entre 8,276 e 8,3.

Todas as professoras deste grupo responderam corretamente.

Quatro professoras registraram: 8,277; 8,278; 8,279.

Duas registraram: 8,28; 8,29; 8,295.

Uma registrou: 8,282; 8,290; 8,295.

Uma registrou: 8,282; 8,291; 8,293.

Uma registrou: 8,281; 8,292; 8,299.

II. Em um metro e quarenta e cinco decímetros quantos centímetros há?

Duas professoras responderam 550cm.

Uma professora deu duas respostas, dizendo: “no caso de ser em

centímetros 1,45cm = 145cm, 100centímetros mais 45 decímetros”, e não

colocou valor para sua segunda resposta.

Quatro responderam 145cm.

Uma respondeu 1450,cm.

Uma registrou: 104,5cm.

III. Dê o resultado de:

a) 34,5 + 5, 92 + 0,034

b) 1 - 0,87

c) 3,25 X 0,45

d) 8 : 0,5

Todas acertaram a adição e a subtração.

14 Este grupo é o mesmo que já foi caracterizado no capítulo anterior.

106

Cinco acertaram a multiplicação, sendo que uma delas registrou a

resposta apenas com três ordens decimais. E deixou registrado:

3,25

X 0,45

1625

1300

1,4625

Três professoras registraram 146,25 como resultado da multiplicação.

Quatro professoras acertaram a divisão.

Cinco registraram 1,6 como resultado da divisão, sendo que uma delas

deixou registado:

8 0,5

3,0 1,6

0

Neste item, nossa expectativa era de acerto total, pois a maioria das

crianças que disse não gostar de Matemática foi por terem que fazer muitas

contas.

IV. Os quadros abaixo estão divididos em 100 quadradinhos idênticos. A

parte colorida pode ser representada por qual dos seguintes números:

a) 1,5 b) 100,25 c) 1,25 d) 0,125

Todas as professoras indicaram a alternativa correta neste item.

Comparando com situações anteriores, isso nos mostra que há uma

compreensão parcial quanto à representação de números racionais na forma

decimal.

107

V. Paulo comprou um brinquedo com desconto de 10%. Ele pagou

R$ 18,00. O preço anterior do brinquedo era de: a) R$ 28,00 b) R$ 26,00 c) R$ 20,00 d) R$ 16,00

Todas acertaram este item.

4.2 Os itens formulados e as respostas dos professores do GRUPO H

de 6ª série15

I. O que você responderia - e que explicações daria a um aluno que lhe

perguntasse:

Quando divido o número 38,45 por 0,1, o resultado fica maior ou menor

do que 38,45? Por quê?

“Maior, porque 0,1 é menor que 1, ou seja, a décima parte”.

“Maior, porque 0,1 significa a décima parte. A explicação para o discente

começaria com suposições do dia-a-dia, por exemplo: temos que comprar um

presente que custa R$ 38,45; cada pessoa só poderá colaborar com R$ 0,10

(dez centavos) e o resultado indicará quantas pessoas terão que colaborar

para comprar este presente. Dependendo do aluno, a explicação começaria

com os alunos da classe e a pergunta seria: - Se cada aluno der apenas

R$ 0,10 (dez centavos) quanto teremos? - Supondo que a classe tenha 30

alunos. (para chegar a esse resultado o aluno ficará livre para trabalhar,

utilizando somente seu raciocínio). Dará R$ 3,00 (três reais), então eu entraria

com a conclusão, precisamos de 30 alunos para ter apenas R$ 3,00 e assim

até ele concluir que se dividir uma quantia, seja ela qual for por décimos,

sempre obteremos um número mais que o pedido”.

“Maior, pois 0,1 é a décima parte de 1. O resultado ficaria dez vezes maior do

que 38,45”.

15 Participaram desta investigação 6 professoras de 6ª série, com idades variando entre 25 anos a 58 anos e mais ou menos uns 13 anos de experiência profissional; todas as 6 professoras concluíram o ensino superior; 3 professoras lecionavam em escola particular, cada uma em duas classes de 6ª série sendo que uma delas é professora aposentada da rede estadual e está cursando mestrado; 3 professoras lecionavam em escola pública estadual sendo que uma delas também lecionava em duas classes de 6ª série; uma das professoras da rede estadual é formada em Biologia, leciona Matemática mas prefere dar aulas de Ciências.

108

“Menor. Tenho que igualar as casas cortando as vírgulas e, na realidade,

divido o número por 10”.

“Menor, porque indica apenas quantas vezes 0,1 cabe dentro de 38,45”.

“Sempre mostrando situações fracionárias equivalentes ou material

dourado”.

Quantos números há entre 1,2 e 1,3 ?

“Infinitos”. (2 professoras)

“Infinitos. Mais uma vez recorreria ao dinheiro para poder estar

explicando, um bom exemplo é o preço do litro da gasolina que, mesmo não

trabalhando com milésimos, somos obrigados a entender, ou até a cotação do

dólar que se utiliza de várias “casas” para impor seu preço, e assim por diante,

mostrando que poderiam ser colocados vários números após a vírgula, digo à

direita”.

“Infinitos. Trabalhando com a reta numérica, mostraria ao aluno como

encontrar e localizar a média aritmética entre esses dois números e, em

seguida, a média aritmética entre um dos extremos e esse número encontrado.

Faria o aluno encontrar muitos números até perceber que entre dois racionais

sempre há outros racionais”.

“9 números, pois tenho: 1,20; 1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25; 1,26; 1,27;

1,28; 1,29; 1,30”.

Uma professora deixou em branco.

A fração 1/7 é equivalente a 0,1428571... A fração é um número racional e

esse número parece ser irracional. Isso é possível?

“Não. Todo racional na forma fracionária gera um decimal exato ou

dízima periódica”.

“Não. Todo número racional pode ser representado tanto na forma

fracionária quanto na forma decimal exato ou periódico. Fazendo uso de uma

109

calculadora com mais de oito dígitos, mostraria ao aluno que 1/7 equivale a

0,142857142857... “.

“Não. Pode até parecer mas se continuar a conta verá que o período

142857 se repete, tornando um número racional infinito e periódico (não tem

fim, porém repete-se o mesmo período) 0,142857142857142857...”.

“Sim, porque dá uma dízima periódica”.

“Sim”.

Uma professora deixou em branco.

Com as respostas dadas por algumas professoras a esse item, pudemos

perceber que alguns obstáculos, ocasionados pela ampliação dos números

inteiros para os racionais, ainda não foram superado por elas. Como fazer seus

alunos transpô-los?

II. Preencha cada linha da 1ª coluna da segunda tabela com letras que

correspondam a escritas equivalentes da primeira tabela

(a) 12,5% ( ) 1/5

(b) 42% ( ) 7/20

(c) 20% ( ) 21/50

(d) 22% ( ) 1/8

(e) 35% ( ) 2/9

Todas as professoras acertaram este item.

III. Calcule os resultados de cada operação e depois escreva-os em ordem

decrescente, na linha abaixo do último item:

34,5 + 5, 92 + 0,034

1 - 0,87

3,25 X 0,458

8 : 0,5

Todas as professoras acertaram as operações, mas, duas delas

escreveram suas respostas em ordem crescente.

110

IV. Considere o número 183,254. A respeito dele é correto afirmar:

a) ele tem exatamente 3 unidades

b) ele tem exatamente 1832 décimos

c) ele tem exatamente 5 milésimos

d) ele tem exatamente 254 milésimos

e) ele tem exatamente 25 centésimos

Esta questão apresentou grande dificuldade para algumas professoras.

Três professoras assinalaram a alternativa d.

Uma professora assinalou a alternativa b.

Uma professora assinalou três alternativas: b, d e e.

Uma professora respondeu que não havia alternativa correta, pois: “tem

3 unidades simples, 3 unidades do mile...” e, não completou seu pensamento.

V. Sabe-se que 1 litro equivale a 1 dm3. Quantos litros cabem numa caixa

d’água cujo volume é de vinte e três metros cúbicos mais vinte e cinco

decímetros cúbicos?

Quatro professoras responderam 23025l.

Uma professora registrou: “Não me lembro”.

Uma professora deixou em branco.

4.3 Os itens formulados e as respostas dos professores do GRUPO I de

8ª série16

I. O que você responde - e como você explica - se um aluno lhe perguntar:�

Quando divido o número 38,45 por 0,1 o resultado fica maior

ou menor do que 38,45? Por quê?

“Maior. Dividir por um décimo é o mesmo que multiplicar por 10”.

16 Os professores tinham idade variando de 20 a 43 anos; os mais velhos, em média, 19 anos de experiência profissional e os mais jovens, em média, 2 anos de experiência profissional; 3 professores concluíram o curso superior, sendo que um fez especialização. Outros dois ainda estavam cursando a licenciatura em Matemática. Participaram deste instrumento cinco professores em sete classes. Dois professores eram de escolas particulares sendo que um deles lecionava em duas classes de 8ª série. Os outros três professores eram de escolas estaduais sendo que um deles também lecionava em duas 8as séries. Um dos professores, de escola particular, estava substituindo a professora que precisou se ausentar para fazer uma cirurgia de emergência, e não tinha experiência de magistério. Dois professores, de escolas estaduais, são estudantes. Um estava cursando o 3º ano de licenciatura em Ciências com habilitação em Matemática, e o outro, o 3º ano em licenciatura de Matemática.

111

“Maior, pois 0,1 significa a décima parte de 1, portanto, meu resultado

seria maior, já que meu número de divisor diminui”.

“Maior, porque é o mesmo que multiplicar por 10”.

“Maior, pois 3845 / 100 : 1 / 10 = 3845 / 100 X 10 / 1 = 384,5”.

“Estamos dividindo, separando”.

Quantos números há entre 1,2 e 1,3 ?

“Infinitos reais, racionais,....naturais e inteiros - nenhum”.

“Infinitos números”.

“Infinitos, pois há números racionais e irracionais, como por exemplo,

1,25 ou 1,2999”.

“Infinitos”.

“Um número”.

A fração 1/7 é equivalente a 0, 1428571.... A fração é um

número racional e esse número parece ser irracional. Isso é possível?

“Sim, pois neste caso, o período desta dízima periódica é 142857 (a

partir do 1, começa um novo período) “.

“Sim, (mas) em certo momento é possível ‘enxergar’ o período”.

“Sim, você está dividindo”.

“É, pois a divisão de 1 por 7 é uma dízima periódica em 17285, esse é o

período que vai se repetir”.

Um professor deixou em branco.

II. Preencha cada linha da 1ª coluna da segunda tabela com letras que

correspondam a escritas equivalentes da primeira tabela.

(a) 12,5% ( ) 1/5

(b) 42% ( ) 7/20

(c) 20% ( ) 21/50

(d) 22% ( ) 1/8

(e) 35% ( ) 2/9

112

Dois professores responderam corretamente.

Um professor não encontrou correspondência para 22% e 12,5%.

Um professor acertou apenas as correspondências de 20% e 22%.

Um professor só acertou a correspondência de 20%.

III. Calcule os resultados de cada operação e depois escreva-os em ordem

decrescente, na linha abaixo do último item:�

34,5 + 15, 92 + 0,034

100 - 9,87

43,25 X 0,458

8 : 0,05

Um professor que “armou as contas” acertou todas. Os demais

professores usaram calculadora, e três acertaram a adição; dois acertaram a

subtração; dois acertaram a multiplicação e, três acertaram a divisão. O

professor que acertou não colocou suas respostas em ordem decrescente.

IV. Considere o número 183,254. A respeito dele é correto afirmar:

a) ele tem exatamente 3 unidades

b) ele tem exatamente 1832 décimos

c) ele tem exatamente 5 milésimos

d) ele tem exatamente 254 milésimos

e) ele tem exatamente 25 centésimos

Esta questão representou grande dificuldade para o grupo de

professores. Apenas um, respondeu corretamente, assinalando a alternativa d.

Um professor assinalou a alternativa a.

Um professor assinalou a alternativa b.

Dois professores assinalaram as alternativas: a, b, d e e.

113

V. Como explicar ao aluno a resolução do problema:

Quantos litros cabem numa caixa d’água, cujo volume é de vinte e

três metros cúbicos mais vinte e cinco decímetros cúbicos?

Como resposta à esta questão, os professores registraram:

“V = 23m3 + 25dm3. Ensinar ao aluno que o volume se calcula em

litros, em metros cúbicos elevados ao número 3. Explicar ao aluno como

passar de decímetros para metros, desenvolver com o aluno que o volume é

em litros, ensinar que litros vale 1000. Tomar os metros, achando a resposta”.

“Trabalhando com a relação de litros / m3 e dm3”.

“1m3 = 1000l 23000 + 0,023 = 23023m3”.

23m3 = 23000l

“Usando-se a fórmula (já demonstrada) determinam-se as dimensões da caixa

e sua capacidade”.

“V = 23m3 + 25dm3 1m3 = 1000l

V = 23 000l + 25l 1dm3 = 1l

V = 23 025l”.

4. 4 Análise dos resultados dos professores dos grupos G, H e I em

atividades que envolvem números racionais em suas representações

decimais.

Ao analisarmos os instrumentos respondidos pelos professores

pudemos perceber que há muitas dúvidas sobre os números racionais e sobre

suas representações fracionária e decimal; algumas delas, como vimos, são

muito similares às dúvidas dos alunos.

Assim, por exemplo, a idéia de que, quando se faz uma divisão, o

resultado é sempre menor que o dividendo surgiu na pergunta: “quando divido

o número 38,45 por 0,1, o resultado fica maior ou menor do que 38,45? Por

quê?”

“Menor. Tenho que igualar as casas, cortando as vírgulas e, na

realidade, divido o número por 10”.

“Menor, porque indica apenas quantas vezes 0,1 cabe dentro de 38,45”.

114

Quando se perguntou quantos números há entre 1,2 e 1,3, houve uma

resposta bastante inesperada de um professor de Matemática.

“9 números, pois tenho: 1,20; 1,21; 1,22; 1,23; 1,24; 1,25; 1,26; 1,27;

1,28; 1,29; 1,30”.

Do mesmo modo, foi surpreendente a dificuldade em relacionar escritas

fracionárias e porcentagens. Isso deve explicar uma das características

marcantes da prática desses professores, que é a abordagem de assuntos

como números fracionários, números decimais, porcentagem, como se fossem

temas totalmente separados. Segundo eles, a porcentagem, quando

trabalhada, é apresentada como uma aplicação da regra de três.

Sabemos que o professor desempenha um papel de mediador entre o

conhecimento matemático e os alunos e, portanto, precisa ter um sólido

conhecimento de conceitos e procedimentos para que possa transformar o

saber matemático acumulado em saber escolar possível de ser

ensinado/aprendido.

Nas conversas com professores, foi possível perceber que não há

maiores reflexões sobre o uso dos racionais no cotidiano e, muito menos, que a

representação decimal desses números está relacionada às regras do sistema

de numeração decimal. Ao que parece, não existem relações entre temas

matemáticos.

Também em conversa com os professores, notamos que, ao

trabalharem os assuntos com seus alunos, raramente partem da análise de

situações-problema. Todos os professores investigados disseram “apresentar

a matéria” e, depois, fazer uso de um livro didático. Ainda dão muita

importância a fórmulas, técnicas, propriedades, e acham que é fundamental

propor muitos exercícios para fixar o conteúdo ensinado.

Pudemos constatar ainda que, além de não dominarem o conteúdo

matemático, desconhecem os obstáculos envolvidos no processo de

construção dos conceitos e procedimentos, necessários para a compreensão

de aspectos fundamentais da aprendizagem de seus alunos.

115

Capítulo IV

Conclusões

Nosso trabalho permitiu constatar dois fatos: um deles bastante positivo

e outro bastante negativo.

O positivo refere-se ao fato de que as crianças, desde muito cedo,

constroem conhecimentos, fazem conjecturas sobre diferentes assuntos e, em

particular, sobre as escritas numéricas, foco do nosso trabalho. Além disso,

transferem conhecimentos de uma situação para outra, embora algumas vezes

essa transferência não seja possível de maneira adequada, como é o caso de

comparar números racionais na forma decimal como se fossem números

naturais (1,234 > 2,5) . Mas essa transferência tem, sem dúvida, um significado

positivo que é o estabelecimento de relações entre assuntos estudados.

O negativo fica por conta da nossa incapacidade de, no âmbito escolar,

fazer evoluir esses conhecimentos, colocar em xeque essas conjecturas. E isso

se deve, muito provavelmente, ao fato de que os professores ainda conhecem

muito pouco, sobre o que pensam e como pensam seus alunos a respeito dos

temas matemáticos.

É nesse sentido (de contribuir para essa reflexão) que desenvolvemos o

presente estudo, para que possa contribuir com as reflexões que precisam ser

feitas pelos professores que ensinam Matemática, sejam eles os chamados

professores generalistas (que atuam nas séries iniciais), sejam eles

professores especialistas em ensino de Matemática, como educadores

matemáticos, em especial, os que investigam os processos de ensino e

aprendizagem.

Nas entrevistas com os professores que participaram da pesquisa,

pudemos perceber que tendências curriculares e metodológicas bastante

diversificadas se misturam na composição do discurso pedagógico. Mas,

alguns aspectos parecem dominar o rol de convicções dos professores.

Um deles é a idéia de que tudo deve estar ligado a situações do

cotidiano. No entanto, embora haja um discurso forte em relação à Matemática

do cotidiano, o desempenho dos alunos em atividades que envolviam aspectos

116

do seu dia-a-dia - como dinheiro e medidas - indica que essa idéia de trabalhar

em contextos significativos pode não estar sendo, de fato, desenvolvida em

sala de aula. O fato de levarmos rótulos, propagandas, para usar nas

atividades, foi uma novidade para as crianças.

Outra fala freqüente refere-se ao uso de materiais "concretos". Mas

efetivamente, poucos usam materiais como ábacos, material dourado,

materiais de contagem, etc, e esse uso vai diminuindo nas séries mais

adiantadas, em que eles parecem ser totalmente dispensáveis. Um problema

sério reside no fato de que nem sempre os professores têm uma compreensão

dos aspectos matemáticos que sustentam o funcionamento desses materiais,

em particular do material dourado e dos ábacos.

Há ainda uma crença muito forte no sentido de que o conhecimento é

algo que é "passado" pelo professor a seus alunos, que os vai acumulando.

Assim, observamos nos alunos uma forte relação de dependência do professor.

Isso se revelou em falta de confiança para resolver problemas. Acentuaram-se,

de modo geral, as atitudes de insegurança para tomar decisões, para a

abstração de significados e argumentação de idéias e pontos de vista.

Sabemos que a aprendizagem de certas atitudes é fundamental para os

alunos e que o professor tem um papel importante no sentido de estimulá-los a

refletir, pensar, fazer tentativas, conjecturas, argumentar, convalidar resultados.

É preciso, ainda, incentivá-los a compreender a lógica de outras soluções

dadas pelos colegas, pois os alunos costumam ser resistentes em admitir

soluções diferentes das suas, quando não as compreendem plenamente.

É muito presente ainda a aprendizagem de um repertório básico de

cálculo pela simples memorização de fatos de uma dada operação. Ainda não

é muito evidente para o professor a realização de um trabalho que envolva a

construção, a organização e, como conseqüência, a memorização

compreensiva desses fatos. No entanto, ao que parece, os alunos não são

estimulados a explicitar as propriedades e regularidades (corretas ou não) que

observam, ao construir e organizar seu repertório básico de cálculo, por

exemplo.

Notamos, ainda, a ausência do estabelecimento de conexões entre

temas matemáticos, mesmo em casos bastante evidentes como o da extensão

do chamado Quadro Valor de Lugar. A apresentação dos décimos, centésimos

117

e milésimos é geralmente feita sem qualquer referência às relações existentes

entre unidades das diferentes ordens, já conhecidas pelos alunos. A analogia

com as diferentes unidades decimais de medida - seja de comprimento, de

capacidade, de massa - também é pouco enfatizada.

A análise do desempenho dos professores nos permite conjecturar que

eles próprios não têm essas relações claramente explicitadas e que isso revela

um problema muito sério e antigo a ser enfrentado: o domínio que o professor

precisa ter dos conteúdos matemáticos e de sua didática.

Pudemos ainda constatar a forte interferência dos livros didáticos na

cristalização de alguns conceitos e procedimentos. Assim, podemos citar como

exemplo, o problema do número de unidades, dezenas e centenas, tão

presente nos livros didáticos, e que dão como resposta correta apenas o

algarismo que ocupa essas ordens, sem a preocupação das quantidades de

unidades, dezenas e centenas que compõem os números envolvidos.

Outro problema refere-se à determinação de limites rígidos para a

construção da seqüência dos números naturais: até 99 para a 1ª série, até 999

para a 2ª série, até 9999 para a 3ª série, em franca oposição àquilo que é

vivenciado pelas crianças em seu cotidiano, onde convivem certamente

números “grandes” e “pequenos” .

Outro assunto muito presente nos livros didáticos são os exercícios de

decomposição de números nas diversas ordens, sem uma preocupação com a

composição, o que pelo visto é um aspecto fundamental, tendo em vista que as

hipóteses das crianças estão fundadas na escrita decomposta.

Talvez possa também ser computada como influência dos livros

didáticos a dificuldade de trabalhar com os termos antecessor e sucessor, que

aparecem nos livros de forma simplificada (como o “vizinho” de um número), e

também da pouca ênfase dada à não validade de uso destes termos para

campos numéricos como o dos racionais.

Destacaríamos, ainda, como influência dos manuais didáticos, o trabalho

completamente compartimentado em unidades geralmente identificadas pelos

nomes “frações” , “números decimais” e “ porcentagem”, em lugar de uma

abordagem articulada que permita aos alunos a construção da idéia de

número racionai e de suas diferentes representações (fracionária, decimal,

percentual).

118

Nota-se, também, um grande descuido no sentido de promover analogia

entre sistemas de medidas (como os de comprimento, capacidade, massa), e o

sistema de numeração decimal, substituindo-o por meras listas de conversão

entre unidades de medida, sem a preocupação das relações entre elas e sem

uma adequada proposta de contextualização de grandezas e medidas.

Embora nossa intenção não seja a de estabelecer um paralelo entre

uma epistemologia histórica e uma epistemologia de constituição individual de

conhecimentos, não é possível ignorar alguns aspectos aparentemente comuns

a esses dois processos.

Um deles reside no fato de que, de modo análogo ao que ocorreu

historicamente, o uso do princípio aditivo aparece de forma espontânea nos

registros das crianças, enquanto a incorporação do princípio multiplicativo é

bem mais lenta. O uso dos dedos da mão também pôde ser observado como

ferramenta essencial para a contagem e o controle de quantidades.

A compreensão do zero com significado ligado à função de indicar o

lugar da "unidade faltante" na escrita de um número, ou com a finalidade de

indicar a multiplicação de um número natural por 10, quando colocado à sua

direita, ou sem função, quando colocado à esquerda de um natural, foi muito

presente nas produções das crianças, sem falar nas interpretações que

surgiram nas escritas decimais dos racionais. O zero é, sem dúvida, um grande

desafio para os alunos, assim como o foi para a humanidade.

Finalmente, gostaríamos de destacar algumas correlações que pudemos

estabelecer e que se referem aos dois atores do processo ensino-

aprendizagem: professor e aluno.

Primeiramente buscamos uma correlação entre a atitude dos

professores perante a Matemática e a do grupo classe. Para tanto, analisamos

respostas e falas dos professores e as organizamos em três categorias:

“positiva” (quando ele mostra grande entusiasmo pela Matemática e pelo seu

ensino), “negativa” (quando ele explicita medo, insegurança, insatisfação), ou

“mais ou menos” (quando, por exemplo, ele parece reconhecer sua

importância, mas considera difícil ensinar ou envolver os alunos no processo

de aprendizagem). Fizemos análise similar para as respostas dos alunos de

cada turma ( vide anexo 7).

119

Em 55% das situações analisadas há coincidência de atitudes. Apenas

em dois casos registrou-se a coincidência de atitudes negativas e num deles a

coincidência de atitudes “mais ou menos favoráveis”. Nos demais, a

coincidência é de atitudes positivas.

Em 34,5%, uma atitude apenas razoável do professor, diante da

Matemática e seu ensino parece não comprometer a atitude dos alunos, que se

revelou positiva.

72,4% dos alunos apresentam uma atitude favorável perante a

Matemática, enquanto 58,6% dos professores, apresentam essa mesma

atitude favorável.

Outro aspecto a ser observado é que a coincidência de atitudes ocorre

de forma mais freqüente no grupo das séries iniciais - 55% - contra 45% nas

séries finais.

Há que se destacar, ainda, que cresce muito a incidência de atitudes

“mais ou menos favoráveis” entre alunos nas séries finais - 45% - enquanto

nas séries iniciais esse percentual é de 55%. A mesma incidência de atitudes

“mais ou menos favoráveis” ocorre entre os professores das séries iniciais –

44% - enquanto nas séries finais, a incidência é de 18%.

Apenas dois professores apresentaram uma atitude “negativa” diante da

Matemática, refletindo negativamente, também, em uma das classes.

Outra correlação que buscamos estabelecer foi entre o desempenho dos

professores e o de seus alunos.

Para tanto, analisamos o desempenho dos professores e o organizamos

em três categorias: “positivo” (quando ele acertou mais de 70% das questões

propostas), “negativo” (quando ele acertou menos de 40% das questões

propostas), ou “mais ou menos” (quando teve acertos na faixa de 40% a 70 %).

Fizemos análise similar para as respostas dos alunos de cada turma (vide

Anexo 8).

Em 48% das situações analisadas, houve coincidência de desempenho.

No entanto, no caso das séries finais, essa coincidência é bem menos

freqüente ocorrendo em 27% dos casos.

Nas séries iniciais, em dois casos, registrou-se um desempenho

“negativo” dos alunos e de seus respectivos professores e, em dois casos, um

120

desempenho “negativo” dos alunos, mesmo tendo o professor um desempenho

“mais ou menos”.

Observamos mais desempenho “positivo” - 48% - por parte dos

professores do que por parte dos alunos – 34% (incidência maior nas séries

iniciais).

Há que se destacar que, nas séries iniciais, 15,7% dos professores

tiveram desempenho “mais ou menos” e seus respectivos alunos obtiveram um

desempenho “positivo”, o que não ocorreu nas séries finais, pois 54,5% dos

professores tiveram um desempenho “positivo” e seus respectivos alunos

tiveram “positivo” – 9% ; “mais ou menos” - 27% e “negativo”- 18%.

Observamos maior incidência de “positivo” por parte dos alunos das

séries iniciais do que das séries finais, e maior incidência de “mais ou menos”

para os alunos das séries finais do que das séries iniciais.

Notamos também maior incidência de “mais ou menos” por parte dos

professores das séries iniciais do que por parte dos professores das séries

finais.

Procuramos identificar, ainda, se, no caso desta amostra, havia uma

correlação positiva entre a atitude dos professores perante a Matemática e o

seu desempenho nos testes diagnósticos.

A análise dos depoimentos dos professores sobre suas relações com o

conhecimento matemático revelou algumas especificidades, dependendo de

serem eles generalistas ou especialistas.

Também organizamos em três categorias: “positivo”, “mais ou menos” e

“negativo”, seguindo o mesmo critério das tabelas anteriores, para os

professores (vida Anexo 9).

Em 58,6% das situações analisadas, há coincidência de atitude e

desempenho por parte dos professores. Apenas em dois casos, registrou-se

coincidência “negativa”, e em 16,2%, coincidência “mais ou menos favoráveis”.

Nos demais, a coincidência foi de atitudes e desempenhos “positivos”.

Em 13,8% observa-se uma atitude apenas razoável do professor, diante

da Matemática e seu ensino com um desempenho “positivo” por parte desses

professores. Enquanto encontramos, dentre os professores pesquisados,

apenas três com atitudes “positivas” perante a Matemática e seu ensino, e um

desempenho “negativo”; e um professor com atitudes “mais ou menos

121

razoável” perante a Matemática e seu ensino, com desempenho “negativo”.

Observamos que tanto os professores das séries iniciais quanto os professores

das séries finais, que participaram da pesquisa, apresentaram atitudes e

desempenhos “positivos” ou “mais ou menos favoráveis”.

Convém destacar que há mais desempenho “negativo” do que atitude

“negativa”, e mais atitude “positiva” do que desempenho “positivo”, por parte do

professor.

Outro ponto que procuramos identificar para esta amostra particular foi

se havia uma correlação positiva entre a atitude dos alunos perante a

Matemática e o seu desempenho nos testes diagnósticos.

De forma semelhante ao que aconteceu com os professores, também

organizamos uma tabela, agrupando a correlação em três categorias:

“positivo”, “mais ou menos” e “negativo”, seguindo o mesmo critério das tabelas

anteriores (vide Anexo 10).

Constatamos que em 48,3% das situações analisadas há coincidência

de atitudes e desempenhos por parte dos alunos. Apenas em três casos,

registraram-se coincidências de atitudes “mais ou menos favoráveis” e, apenas

em um caso, coincidência “negativa” por parte dos alunos. Nos demais, as

coincidências de atitude e desempenho foram “positivas”.

Há que se destacar que em 72,4% de atitudes “positivas” dos alunos

perante a Matemática e seu ensino, apenas 34,5% deles apresentaram um

desempenho “positivo”, sendo que predominantemente nas séries iniciais do

ensino fundamental.

Uma incidência de atitudes “negativas” pouco expressiva – 7% - por

parte dos alunos, contrasta com uma incidência de 27,6% de desempenho

“negativo”.

24% de incidência de atitudes “mais ou menos favoráveis”, por parte

dos alunos, predominantemente nas séries finais do ensino fundamental,

contrasta com 34,5% de incidência no desempenho de “mais ou menos

favoráveis” por parte dos alunos pesquisados.

Constatamos, observando as tabelas, que em uma das classes

envolvidas na pesquisa, uma de segunda série, tanto os alunos quanto a

professora apresentaram atitudes e desempenhos “negativos”, e observamos

122

também que cinco das classes pesquisadas apresentaram atitudes e

desempenhos “positivos” tanto por parte dos alunos quanto dos professores.

Como recomendações finais podemos sugerir:

- que sejam ampliadas as investigações sobre as hipóteses que as crianças,

jovens e adultos elaboram, para que possam ser consideradas pelos

professores como pontos de partida de seu trabalho;

- que os cursos de formação de professores, inicial ou continuada, de

generalistas ou especialistas, não descuidem do desenvolvimento de

competências do professor, tanto as ligadas ao conhecimento daquilo que será

objeto de ensino, como as que se referem ao conhecimento pedagógico

necessário.

123

Bibliografia

ALFONSO, B. Numeracion y calculo. Madri. Editorial Sintesis, 1989.

CHAMORRO,C. El aprendizage significativo en área de las matemáticas.

Madri. Editorial Sintesis, 1992.

BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São

Paulo. Edgard Blücher, 1974.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares

nacionais: matemática – séries iniciais. Brasília. MEC/SEF, 1997.

. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares

nacionais: matemática – séries finais. Brasília. MEC/SEF, 1997.

CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa. Livraria

Sá da Costa Editora, 1984.

CHARNAY, R. Aprender (por meio de) la resolucion de problemas. In:

Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Argentina. Paidós

Educador, 1994.

CISCAR, S. L. e GARCIA, M. V. S. Fracciones: la relacion parte-todo. Madri.

Editorial Sintesis, 1988.

COXFORD, A. e SHULTE. A. As idéias da álgebra. São Paulo. Atual, 1995.

COULIBALY,M. Les décimaux en quatrième: analyse des conceptions, DEA de

didactique des mathématiques. Université Joseph Fourrier. Grenoble.s/d.

D’AMBROSIO, U. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e

matemática. Campinas. Unicamp, 1986.

D’AUGUSTINE, C. H. Métodos modernos para o ensino de Matemática.

Tradução: Maria Lúcia F. E. Peres. Rio de Janeiro. Ao Livro Técnico,

1984.

DOUADY, R. De la Didactique des Mathématiques a l’heure actuelle. Cahier de

didactique des mathématiques. IREM, Université Paris VII, n0 6, s/d.

DUVAL, R. Argumenter, demontrer, expliquer: continuite ou rupture cognitive.

IREM de Strasbourg, n0 31. França, 1993.

124

______ “L’ analyse cognitive du fonctionnement de la pensée et de l’activité

mathématique “. Curso sobre as aprendizagens intelectuais, PUC/SP –

fevereiro de 1999.

ECO, U. Como se faz uma tese. São Paulo. Perspectiva, 1983.

FAYOL, M. A criança e o número : da contagem à resolução de problemas.

Porto Alegre. Artes Médicas, 1996.

GARDNER, H. Estruturas da mente: a teoria das inteligências múltiplas. Porto

Alegre. Artes Médicas, 1994.

IFRAH, G. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens

contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz e Ana

Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro. Nova Fronteira, 1997 – v1.

IFRAH, G. História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens

contada pelos números e pelo cálculo. Tradução: Alberto Muñoz e Ana

Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro. Nova Fronteira, 1997 – v2.

INRP. Un, deux...beaucoup, passionnément ! les enfants et les nombres.

Rencontres pédagogiques. Paris. France, nº 21.1988 - 2ª ed.

KAMII, C. A criança e o número. Campinas. Papirus, 1984.

LINTZ, R. G. História da Matemática. Rio de Janeiro. Atlas, 1979.

LLINARES, S. e SANCHES, M.V. Fracciones: la relacionn parte-todo. Madri.

Editorial Sintesis, 1988.

LOPES, A. J. Explorando o uso da calculadora no ensino de matemática para

jovens e adultos. In: Alfabetização e Cidadania, n0 6, 1998.

MANNO, A. G. A filosofia da Matemática. Lisboa. Edições 70.

MEDRANO, R. J. Pitágoras e seus versos Dourados: A vida e Filosofia de

Pitágoras e os Comentários aos Versos Dourados. São Paulo. Gráficas

Aduaneiras, 1993.

MIGUEL, A. Três estudos sobre história e educação matemática. Tese de

Doutorado. UNICAMP-SP, 1993.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Estandares

curriculares y de evaluation para la educacion matematica. S. A. E. M.

Thales, s/d.

NIVEN, I. Números racionais e irracionais. Rio de Janeiro. Sociedade Brasileira

de Educação Matemática, 1984.

125

PARRA, C. e SAIZ, I. (org.).Didática de matemáticas. Aportes y reflexiones.

Buenos Aires. Paidós, 1994.

PARRA, C. e Saiz, I (org.). Didática da Matemática: Reflexões

Psicopedagógicas. Porto Alegre. Artes Médicas, 1996.

PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia de

rede. Tese de Doutorado. Faculdade de Educação da Universidade de

São Paulo. USP-SP, 1995.

PUIG, L. e CERDÁN, F. Problemas aritméticos escolares. Madri. Editorial

Sintesis, 1988.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria de Educação. Pontifícia Universidade

Católica de São Paulo. Projeto: inovações do ensino básico. Textos para

professores de Matemática de 5ª a 8ª séries. São Paulo, 1997.

_______ . Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Subsídios para a implementação do guia Curricular de

matemática: álgebra para o 1º grau – 1ª a 8ª séries. São Paulo. SE/CENP,

1977.

________. Secretaria de Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Atividades Matemáticas - 1ª a 4ª séries. São Paulo., 1981.

. Secretaria de Educação. Proposta Curricular para o ensino de

matemática – 1º grau. São Paulo. SE/CENP, 1991.

_______. Secretaria de Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Experiências matemáticas - 5ª a 8ª séries. São Paulo.

SE/CENP, 1994.

_______. Secretaria de Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas

Pedagógicas. Proposta educacional. Currículo e avaliação. São Paulo.

SE/CENP, 1992.

______. Secretaria de Educação. Diretoria Geral da Secretaria de Estado dos

Negócios de Educação. Programa para o Ensino Primário Fundamental –

1ª a 4ª séries. São Paulo. Editora Paulo de Azevedo Limitada, 1949.

______. Secretaria de Educação. Fundação para o Desenvolvimento da

Educação. Sistema de Avaliação e Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo – SARESP/98. Análise Pedagógica dos itens das Provas –

Matemática. vol. IV. São Paulo. SE/FDE, 2000.

126

SCHOENFELD, A. H. Mathematical problem solving. Nova York. Academic

Press, 1985.

STRUIK, D. J. História Concisa das Matemáticas. Tradução: João Cosme

Santos Guerreiro. Lisboa. Gradiva , 1997. 3ª ed.

VERGNAUD, G. e DURAND, C. Estructuras aditivas y complejidad

psicogenética. Tradução de Reyes de Villalonga. Revue Française de

Pédagogie, 1976.

VYGOSTSKY, L.S. Pensamento e linguagem. Lisboa. Antídoto, 1979.

ZUNINO, D.L. A matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre. Artes

médicas, 1995.

127

Anexos

Anexo 1

Programa para o Ensino Primário Fundamental

Ato n.º 17 de 23 de fevereiro 1949

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

Anexo 2

Subsídios para a implementação dos Guias Curriculares 1ª a 4ª séries do 1º grau – álgebra

Atividades Propostas

1ª série

144

145

146

3ª série

147

4ª série

148

149

Anexo 3

Atividades Matemáticas

Ciclo Básico

150

151

152

153

154

155

156

157

3ª série

158

159

160

161

162

163

164

165

Anexo 4

Proposta Curricular para o ensino de Matemática

1º grau – Estado de São Paulo

Observações de ordem metodológica

166

167

3ª série

168

4ª série

169

170

Anexo 5

A propaganda escolhida

171

172

Anexo 6

Produções das crianças

173

174

175

176

Anexo 7

Correlação entre a atitude dos professores perante a Matemática e atitude de seus alunos

�����������

�������

������������

������

+ - ± + - ±

1 MA – 2ª x x 2 AD – 2ª x x 3 HO - 2ª x x 4 KE – 2ª x x 5 AR – 2ª x x 6 ED – 2ª x x 7 EN – 2ª x x 8 CL – 2ª x x 9 RO – 2ª x x 10 MO – 4ª x x 11 NA – 4ª x x 12 AN – 4ª x x 13 CI – 4ª x x 14 NE – 4ª x x 15 MC – 4ª x x 16 VA – 4ª x x 17 PA – 4ª x x 18 SI – 4ª x x 19 ES – 6ª x x 20 EL – 6ª x x 21 JU – 6ª x x 22 TA – 6ª x x 23 HE – 6ª x x 24 CY – 6ª x x 25 CL – 8ª x x 26 MC – 8ª x x 27 MI – 8ª x x 28 VA – 8ª x x 29 AN – 8ª x x

177

Anexo 8

Correlação entre o desempenho dos professores e o de seus

alunos

����� ���������

���������

����� ���������

������

+ - ± + - ±

1 MA – 2ª x x 2 AD – 2ª x x 3 HO - 2ª x x 4 KE – 2ª x x 5 AR – 2ª x x 6 ED – 2ª x x 7 EN – 2ª x x 8 CL – 2ª x x 9 RO – 2ª x x 10 MO – 4ª x x 11 NA – 4ª x x 12 AN – 4ª x x 13 CI – 4ª x x 14 NE – 4ª x x 15 MC – 4ª x x 16 VA – 4ª x x 17 PA – 4ª x x 18 SI – 4ª x x 19 ES – 6ª x x 20 EL – 6ª x x 21 JU – 6ª x x 22 TA – 6ª x x 23 HE – 6ª x x 24 CY – 6ª x x 25 CL – 8ª x x 26 MC – 8ª x x 27 MI – 8ª x x 28 VA – 8ª x x 29 AN – 8ª x x

178

Anexo 9

Correlação entre a atitude dos professores perante a Matemática e o

seu desempenho nos testes diagnósticos

�����������

�������

����� ��������

�������

+ - ± + - ±

1 MA – 2ª x x 2 AD – 2ª x x 3 HO - 2ª x x 4 KE – 2ª x x 5 AR – 2ª x x 6 ED – 2ª x x 7 EN – 2ª x x 8 CL – 2ª x x 9 RO – 2ª x x 10 MO – 4ª x x 11 NA – 4ª x x 12 AN – 4ª x x 13 CI – 4ª x x 14 NE – 4ª x x 15 MC – 4ª x x 16 VA – 4ª x x 17 PA – 4ª x x 18 SI – 4ª x x 19 ES – 6ª x x 20 EL – 6ª x x 21 JU – 6ª x x 22 TA – 6ª x x 23 HE – 6ª x x 24 CY – 6ª x x 25 CL – 8ª x x 26 MC – 8ª x x 27 MI – 8ª x x 28 VA – 8ª x x 29 AN – 8ª x x

179

Anexo 10

Correlação entre a atitude dos alunos perante a Matemática e o seu

desempenho nos testes diagnósticos

����������� �����

����� ��������

�����

+ - ± + - ±

1 MA – 2ª x x 2 AD – 2ª x x 3 HO - 2ª x x 4 KE – 2ª x x 5 AR – 2ª x x 6 ED – 2ª x x 7 EN – 2ª x x 8 CL – 2ª x x 9 RO – 2ª x x 10 MO – 4ª x x 11 NA – 4ª x x 12 AN – 4ª x x 13 CI – 4ª x x 14 NE – 4ª x x 15 MC – 4ª x x 16 VA – 4ª x x 17 PA – 4ª x x 18 SI – 4ª x x 19 ES – 6ª x x 20 EL – 6ª x x 21 JU – 6ª x x 22 TA – 6ª x x 23 HE – 6ª x x 24 CY – 6ª x x 25 CL – 8ª x x 26 MC – 8ª x x 27 MI – 8ª x x 28 VA – 8ª x x 29 AN – 8ª x x