��������
������� ����
x
y
Inlet region Filled region
Entry length
Fully developedflow
h
δ
U U U U(x) (x)1 2
(x)2
> U(x)1
������ �� ��� ����������� �� � �������� ����� �������
��� ����������
��� �� ����������� �� � �������� ����� ������� ��� ���� ��� � �� ������ ��� ������
��� �������� ������� ����� �� ��������� � ����� ���� ��� ������ ����� ������� ��� ��� ��
�� ���� �� �� ����� ����������
��� !����
�!
����������
!�����"���#
�� � ����
!���"����#
�� � ����
!$������ �����
%������ �����
&
� �� ��� ���� �������� �� ��� ����� ��� �������� '������� ������ �� ������� ����������
�� ����� ! &�((
��� �� ��������� ��� ��� )((( "���������# ��� ������� ��� ��� � &�((
$� ��� ��� �� ��� ���������� *���� ��� ���������� �� ��� �������� ������"��� # ��� ��
���� �� ��� ����� ��� �� ������
���
� (�(+���
( �������
���� ,(
-� ����� ������ ��������� ����� ��������� �� ��� "������# (�
���� ������� ������� �������� ������ ���� ��� ����� �������� �� �� ��������� �� ��.
��� � ���� �������� ���
/� ! ����� ! �������)� ��� !
) /�
���"��#
�� !
� ���"�#���
���!
&��� ����"�#���
�����!
&
���
� ��
�
�"�#��� "��&#
�� �������� ������ �� � ���� ������� ���� ���
Rr
z
v (r)z
vzmax
z
vzvφ φ
vr
������ ��& 0����12��������� �� ������� � ����
��� ����� ��������� ���� �� �� ����� ������ 0����12��������� �� "������ ��&#� ���
������� ��������� �3������� ���
�
�����
�����
4���4
�
�����
4�����
! ( "���#
� �������
�����
4 �������
4���
�����
�����
4 �������
! �
�
��
��4 �
��������
4
�
�����
4
���������
4�������
������
&
�������
�"��)#
� �������
�����
4 �������
4���
�����
4�����
4 �������
! �
�
�
��
��4 �
��������
4
�
�����
4
���������
4�������
�����
4&
�������
�"��+#
� �������
�����
4 �������
4���
�����
4 �������
! �
�
��
��4 �
��������
4
�
�����
4
���������
4�������
�"��,#
��� ����� ��������� �� � �� �� ���� ��� ������� ���������� �� ! �� ! (� ���� �����������
"������# ! ( ���������� �� ! ��"�� �� �#
5���� ������ ������ � "��������#��� ! (6 �� �� � ����������� "� 7��� ��������8���# ! (
����������
�� ! ��"�#
���� � ��� � �������� �3������� � ��� � �! �"�� �#6 � ! �"�# ����
���� � �������� �3������� � ���
�������
4
�
�����
!
�
��
��
)
���
�
�
��
�������
�!
�
��
��"��9#
���
������
!
�
��
��
��
&4 ��
���
�����
!
�
��
��
�
&4��
�
���
�� !
)�
��
���� 4 �� �� � 4 �� "��:#
��� �������� ���������� ���
�� � ! (� �� �� ;���� � �� ! (
�� � ! ��� �� ! ( � ( ! ���
������� 4 ��
�� ! �
)�
��
�����
�� ! �
)�
���
��
����
�
��
��
��
5����� �� � � ��� � � ��
�"�# ! �
)�
���
��
����
�
��
��
��
"��<#
� ! ��� �� � ! (
���� ! �
)�
���
��
���� "��(#
�� !&
���
� ��
�
����)�
���
��
��
��
��
�����
+
���
�� !&
���
����)�
��
��
� ���
&���
)���
����
! �
:�
���
��
���� !
���
&"��#
���
�� !
&��� ���
�"�#
��! &
�
��
��
��
"��&#
=���� �������� ������
� !>�
��!�����&��
"���#
���
� !">���#�
�����&!
"������#�
"�����&#"��)#
�������?� �������� ������
�� !��
"�����&#"��+#
�� !"������# "��)#
"�����&#"��,#
@� �����
�� ! ����
������
�� ! ��
�4
)�
��
��
�&���
�����
! �
&
��
���� !
&
����
��
��
&
���������� �� ! ��) ��� ����� ��������� ������� ��
� !"������# "�#
"�����&#
,
A���������
�� ! �
:�
��
������ ��� !
����
�
���
� !:������
��
�����&!
,)����
�
!,)
���"��9#
����� ��������� ������� �� � ! ����
��� ����� ��������� ��������� �� � ��� �������� �� 3���� ��������� @� ���� ������ � ���
������ ��� �������� ������� ��� �����
���� �� ��� � ���������� �������� B���� ������� "���������#� �������� ������ �� � ��������
�� '������� ������ ��� ������� ���������� C����������� ���� ���������� ����� �����
��� ������ �������
� ! (��, ����������������� � &� (� "��:#
9
� ! (�:) ����������������� &� (� "��<#
D��� ���� � � ����� "�����# �� �������� �� ����� ��������� ������
� !�"�����#�
�����&
>� ! �
� ��
��
�� !
� �
�
�����&�
�� !�����&�
"�� � ��# !� ����&�
�
� ! ����
�� ������� �� � � ! (��, ������� ��� ��� � & � (� "��������� �� # ���
� ! (�:) ������� ��� ��� &� (� "��� ��������� �� #
0� ����� ���� ��� ����� �������� � ��� ���. >���� ! ��������
! �
��� ������� ������������� ���� �������� �����
T
wT TwT T
TT
Fully developedThermal entrance region
w
(r,0) T(r,0)T(r,0)
r
(r,0)
w> T(r,0) qw
δ
δΤ
Τ 0y=r −r
r 0
������ ��) ��������� ���������� ���� ��
���� ������� ��������� ������ � ������� ��� ����������� "5-�# ��������� �� � �������
��� ���� �� ��������� "5-0#�
@ ����� ��������� ����������� ���;�� ������ ��������� �� ��� ������� ����������� ���
:
���� ������� ����������� �� ����� ��� ������ �� ���� ��� ���� ����������� � �����
��� �������� ����������� ��������� ��� ���������� � "��������)#� $� ����� �� ����� ���
����������� �� ������� �������� ������� ���������������� ����� ��������� �� ��� ��
���������� "��������+#�
� ��� ������� �� � ��� ������� �������� ������ ��� �� � ������� ��
� �����
���
�
(�(����� �� ��� 5-0(�()���� �� ��� 5-�
"��&(#
� ��� ���� "�����# ! (�(+ ��� ��
C�������� ���� ��� ������������� �������� ������ �� ��� �� ���� ���� �� �� �
������������ �������� ����� ��� � ���� ��������
�� � ���� ��� � Æ Æ� �� ��� �������6 ���� ����� ��� �� "Æ�Æ� #����
���������� ��� �� � Æ ��� �� �� Æ� �
����������������������
����������������������
Unheated wall Heated wall
Temperature profile Velocityprofile (unchanged)
Temperatureprofile
Velocity profile(fully developed)
������ ��+ =��������� �������� ��� ����������� ;����
&� $������ �� ���� ��� �� ��� "�� #��� ��� �����3������ � �� ������� ���� �
0� �������� � ������� 0��� 2������ ������ ����� "���� �� ���#� �� ((� ����
���� ���������� ��� ������� �������� ������� ���������������� ����� ���������
�������� ���;�� ��� �� ������� "��������,#�
<
x
δ T
δ
������ ��, 0����������� ��� ������� �������� ����� ����.���� �� ���
��� ��������� �� � ���������� ��� ������ ����������� �� 2������ ������� $� �� ����
������ �� �����������
�
���
! (� ���. ���� ����������� �� ��� ������� "�# �� �����
��
!� !&
�����
� ��
�
�"�# ! "�# ��� "��&#
����� ������ � � �� ������
"��
� ! "!� � !�# "��&&#
��� ���. ���� ����������� !� �� � ���������� ��������� ����������� ��� �������� �� ��
!� ������� ��.� !� ��� � ������ �� �� E�������� ��������� �� !� ������ �� ��� ��
���������� !� �� ��������� �� ��� �� ��������� �� ���� �������� �� ���� ������� �� �����
����� ����� ��� ����� ��������� ��������
A���� ��� � ������� �� ���������� ���� �������� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ���� ��������
���� ��� ���� ����������� ���� �������� �� ������ ��� �� ��� ����� 3������� ������
����� ��������� ������� ���������� ���� ��� �� �������� ��� ��������� �� ��������� �����1
��� ���� ��� ������������ ����� ��� ���� "�����# ! ( �� ��� ����� ��������� ������� $�
��������� �� ����� �� ���� ��������� "�!����# �� ��� �� "�!���# �� ��� ������ �� ��� *����
(
$���������� � ������������� ����������� "!� � ! #�"!� � !�#� ��������� ��� ���� ����
����� ������� ����������� �� � ��� .�� � �� � ���� @������� ��� ����������� ���;��
! "�# ��������� �� ������ ��� �� ��� �������� ����� �� ��� ���;�� ���� ��� ������ ���
��� �� �� ���� �� �� ����� ���������� $������ �� "�!����# ! ( �� "�!���# ! (� ���
��������� ��
�
��
�!�"�#� ! "�� �#
!�"�#� !�"�#
�! ( "��&�#
����� "!� � ! # ������� �� ��� ���� �� �� "!� � !�#
D� � � ��� ����
"!� � !�#������� ��
��
�� "!� � ! #
������� ���
��
�"!� � !�#�
! (
���
"!� � !�#
�!���
��!
��
"!� � !�#�
!� � !
"!� � !�#��!���
4"!� � ! #
"!� � !�#��!���
! (
���
�!���
��!
���!� � !
!� � !�
�!���
4"!� � ! #
"!� � !�#
�!���
! (
���
�!
��!�!���
�!� � !
!� � !�
�!���
4"!� � ! #
"!� � !�#
�!���
"��&)#
� � ������� ���������� ��� ���������� 5������ ���� �� � ""��
� ! ��������# ��� �������
������� ������������ "�!���� ! (#
��� "��
� ! �������� $� ��� ���� ��� ��� ������ ������������ ��� �� ��� ����� ������� ���
��������� �����������
��� "�!����# ! ( $� � ����� ������ ��� ��������� �� ��� ����� ��������
0� ����� ��� �������� ���� �� � � ���
�!���
!�!���
"��&+#
A����������� ���� ��������� �� ��� ����� �3������ ��� �!���� � ���
�!
��
��������� ���������
!�!���
��������� ���������
"��&,#
��� �������� ������� ������������ �����
! (
�!
��
�������
!"!� � ! #
"!� � !�#
�!���
�������
"��&9#
A������ ��������� �������� �� ��������� ��������� �� ��� �� �������� ���� �3������
"��&)#� A���� �������������� ����������� ���;�� �� ����������� �� �� ���������� �� ���
���;�� ��� ������� �� � "��������# ���� ���� �� ����������� �� �� E��������� ����
���������� �� ��� ���� �������� � ������
�
��
�!� � !
!� � !�
����
!��!�������
"!� � !�#�! �"�# "��&:#
@���� � .�� �
"��
� ! #�!
������ ! "!� � !�#
���
���������
"!� � !�#!
#"��&<#
���� "��&:# ��� "��&<#� � ���� ���! �"�# ��� ����� ��������� �� "������ ��9#� 0��� . ��
������� �� �� ��������� ����� �� ����������� �� ��
����� ����� � � �� � ������ �����
������� ��� �� �� � ���� �� ���������� ��������� �� ������ ������� ��� �� ������� ��
��������� �� ��� ���� ����������� "!�# ������ ��� �������� ����� ��� ���� ��� ��
��� ����� ���������� ���� �������� �� ������� �� ��� ��������� �� ������������ �� ��� ����
����� ������� C������� ������ ��:�
�"��� 4 /�"$ !� 4 ��#�
�/�"$ !� 4 ��# 4 /�
�"$ !� 4 ��#
����
�! (
&
h
xxf, d,t
f,dh
������ ��9 0��� �������� �������� ��� ��������� ����� ��������� ��
dx
mpv
Tm mT +dTm
pv +d(pv)
q Pdxconv w=q
x
Inlet Outlet
������ ��: E����� ������� �� � ���� ��
���
�"��� ! /� �"$ !� 4 ��# "���(#
��� ������������ ��
�"��� ! /� �"$ !� 4 ��#
���
�"��� ! /� �"$ !� 4�!�#
�
���
�"��� ! /� �7$ !� 4 "$� � $ #!�8
���
�"��� ! /� $��!� "���#
��� �������������� ��
�"��� ! /�$��!� 7����� �"��# ! ( ��� $� ! $ 8
���������� ������ ��� �� �� ������������ �� ��������������� � ��� ����
"��� ! /�$�"!��� � !��!# "���&#
-� ��� ���� ����
�"��� ! /�$��!�
���
"��
���� ! /�$��!� 72 �� ��� ������� ��������� ! ��8
���
�!���
!"��
��
/�$�!� "!� � !�#
/�$�"����#
A� ����� !� !�� ���� �� ����������� �� ���� ��� !� ��������� ��� �� ��� ������ ��
���� �3������ "����# ������ ������ �� ������
����� ������� ����������
� ��� ���� ��� �� ��� �� �� �������� ��� ����� �� ��$� �� ��������� ��� ����� ���������
�� � �� ��������� �������� �� ������ ��� � �� ��� �������� ������� ������� !� �� ���1
������ A�� !� ��� ���� ��� � � ���� ��� ��� ������� ���� "!� ! !�# �� �� ���� ��������
"������ ��<#�
)
T
x
T
T
T i
w
w− TmT (x)mΔ
������ ��< %�������� �� ���.1���� ����������� �� � ���� "C������� -��� �����������#
����� ��� ����
"��
� �� ����������� �� �� ����� ���� �������� ���� "����� ! "��
���6 ������ ���� �3������
Τ
x
Entrance region
Fully developed region
T (x)
w
m
T (x)
Tw− Tm
������ ��( %�������� �� ���.1���� ����������� �� � ���� "C������� ��� 0��� ��� #
"���(1���&#� "��
��� ! /�$�"!��� � !��!#� A�� �� "��
�� /�� $� ��� ��� �������� ��� .�� �� ��
�� �������� �� ��������� ��� ���� ����������� ���� "!��� � !��!#�
����� ���
�!���
!"��
��
/�$��� !� !
"��
��
/�$�� 4 $�
+
�� � ! (� !� ! !��! ��������� $� ! !��!
!�"�# ! !��! 4"��
��
/�$�� "���)#
-� ��� ��� ��� ��������� !�"�# ��� � ��� �������� ��� ���� �� "������ ��(#� F�� ��
�� ;�� ��� ��� ������������ �������� ��� ��������� �� !�"�# ��� � ��� �������� ���
����������� �����
���� ! ���� ��� � ��� ��� ��� � �� ��� �� ����� ��� ���� �� �� ������ ����
� ��� ���� ��� �� ��� �� �� �������� ��� ����� �� /�$� �� ��������� ��� ����� ���������
�� � �� ��������� �������� �� ������ ��� � �� ��� �������� ������� ������� !� �� ���������
A�� !� ��� ���� ��� � � ���� ��� ��� ������� ���� "!� ! !�# �� �� ���� ���������
���� �3������ "����#� �����
! "��
�#����
! #� ����������
� ��;���� >! ! !� � !� ! ���������
��� ��� ������� ����������� ��� ���� ������������
�!���
! ��">! #
��!� ">! #
/�$�"���+#
��� � ���
��
�">! #
">! #!��
/�$�
� �
�
��
���
��">!�#
">!!#! �
��
/�$��
�
� �
�
��
���
��>!�>!!
! ���
/�$� �
>!�>!!
!!� � !���
!� � !��!! ���
����
/�$�G �
�"���,#
,
0�� � ���������� ���� ��� ���� ����� �� ���� � ��� �������� � ����� ��� ����� � ����
���� �������� ��� �������� ��� ���� ������� � ���������
!� � !�"�#
!� � !��!!!� � !�"�#
!� � !��!! ���
����
/�$�G
�"���9#
���� G �� �� ��� ������� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� �������� �� ���� ������
�������� ���� ��� ����������� ��������� "!��!�# ������ � ����������� "���� ����� ����
��� ;���� ��� � �������#� -� ��� ���� ����
"��� ! /� $�"!��� � !��!#
���
"��� ! /� $� 7"!� � !��!#� "!� � !���#8
���
"��� ! /� $�">!! �>!�� "���:#
H� ��� ����� ���� � ���� ���� ����
��>!�>!!
! ���
/�$�G � "���<#
A����������� ��� /�$� �� "���:# ���� "���<# � ���
"��� !G ���">!� �>!!#
��">!��>!!#! G ��>!��� "��)(#
���� �� � ���� �� D� ���?� �� �� ������� ��� ��� ������ ����� >!��� �� ��� �����������
������� �� ����������� ��������� ��� ��� ������ ����� ��� ��� ������ �� ���� �������
����������� ��������� 7�� �������� �� �� ���������� ���� ����������� ��������� �� ���
���� >!� ! �������
8 �� ��� �� � ��������� ������ �� ��� ������
9
�� !������ ���� �� � ������� �"�
��� ������� �� ������� �� �� � �������� ���� ��� ���� ������� ������������� ��� ���
������� ��� ���� ������� �� � ����� ���������� ���������� -� ��� �� ��������� ����
�������� ����� ���������������� ��� ��������� ����� ��������� ���������� @� ��� �����
�� ��� ���� ��� �������� ����� ����� �������� ��� �� ��������
�� �� "� � �� ���� ������� ������ � ��#� ��� ������� ��$� ��� ��������� � ����� ��� ��������� %�� ���� &�$���� ' �� "� � ���( )&"�* �������
��� ��������� �3������ ��
��!
��4 �
�!
��!%
�
�
��
���!
��
�"��)#
0��������������� ����� ��������� ���������� � ! (� ����
! ( ��� �"�# ! &��7� "����#�8
&��
�
��
��
���!���
!%
�
�
��
���!
��
�"��)&#
@� ��� �� ����
! �����
6 � ��� ������� ��� ! "�� ��� �# ��� ������� �� �� @� � ����� �
" ���� �!���� �� .�� �#� ! ������� � �������� �� � ����� -� ��� ����
�
�
��
���!
��
�!
&��%
�!���
�
��
��
��
���
��!
��!
&��%
�!���
���
&���
)���
�4 ��
���
�!
��!
&��%
�!���
��
&���
)���
�4��
�
���
! "�# !&��%
�!���
���
)�
��
,���
�4 �� �� � 4 �� "��)�#
:
I � ! (� ! �� ;����6 �� ! ( I � ! ��� ! ! !�
�� ! !� �&��%
��!���
�����,
! "�# ! !� �&�� �
��
%
��!���
��
,4
,
��
��
��
�
)
��
��
��
"��))#
D� � !� ! �����
�
� ����"�# ! "�# ���
!� !
� ��
�
�"�# ! "�# ����
� ��
�
�"�# ���
!� !
� ���
&��
�� ��
���
��
�!� 4 "
��
����
����
��� �
�
����
��� �
�
����
� ���
&��
��
����
������
!� !&��
�!�
����
��
���
����
�4 "
��
����
� ���
�� � ��
���
����
���
� ����
���
� ��
����
&��
����
��
���
����
�
!� � !� !"��
���#
��
&)
�"��)+#
"��
�
"!� � !�#
&��#�
! &�� !&� &)
! )��, "��),#
-����� "��
� ! "!� � !�# ! #���������
���� 5������ -��� 0��� ��� "50�# �������� ���������� ������� ����� ��������� ��
�� � ����� &�� ! )��, 7����������� �� �� ��� ��8� �������� �� ��� �� ��� � ����
! "�# ! !� 4 "��
����
�����
��� �
�
����
��� �
��
��� ��� ����� ��������� ����������� ���;�� �� �
�����
�� �� "� � �� ���� ������� ������ � ��#� ��� ������� ��$� ��� ��������� � ����� ��� ��������� %�� ���� &�$���� ' �� ������ ���� )&'�* �������
������� ���� ���
��!
��!%
�
�
��
���!
��
�"��)9#
<
A��� �� ����� � �� ����������� �� �� � ! ! ��������
�!
��! %
���!
���4
�
�!
��
�"��):#
���
��!
���4
�
�!
��!
%
�!
��"��)<#
! �� � �������� �� � ��� �
A����������� ���������
! ' ��� ���
! ( ��� � !$��
�
%)� � ���
��'
�( �4
(
�'
�(!�'
�)"��+(#
@����� ' ! * ")#+",# ���� * ! * ")# ��� + ! +"( #
*��+
�( �4*
(
�+
�(! +
�*
�)
���
+
���+
�( �4
(
�+
�(
�!
*
�*
�)! �-��
��� ����������� �� ��� ���� ���� �������� ���� �� ��� ��� ��� ���������� ) �� �� ��
��������� �� ������ * �� � �������� ��������
*
�*
�)! �-��
���
�*
*! �-���)
���
��� * ! �-��) 4 ��� � "��+#
* ! ���&�' ���� � �� � ���������
C���������� ��� ���� ���� ���� �� ��� �3������� � ���
+
���+
�( �4
(
�+
�(
�! �-��
&(
��+
�( �4
(
�+
�(4+-�� ! (
( � ��+
�( �4 (
�+
�(4 ( �+-�� ! (
A����������� ( �-�� ! ��� � ���
��
-��
��+
��
&
�� 4 �
-�
�+
��
&
� 4+�� ! (
���
����+
���4 �
�+
��4+"�� � (# ! ( "��+&#
���� �� �������� ������ �3������ ��� ��� ������� �������� �� ����� �� ��� �3������
+ ! �.�"�# 4/(�"�# "��+�#
���� .�"�# ��� (�"�# ��� *��� ����� ������ ��������� �� ��� ;��� .��� ��� ������ .����
D� � ��� ����
' ! � � ��&�' ��.�"�# 4/(�"�#
' ! ��� .�"�# 4/� (�"�# ��&�' "��+)#
�������� ����������
I � ! ��� ! ! !� ��� � (
I ( ! � ' ! ( "��������� ��� � ! -�#
I � �� ��� � ! (� ! ! !�� ���� ����� �� I ) ! (� ' !
' ! ��� .� "( -�# 4 /� (� "( -�# ��&�'
I � ! (� ( ! (� '! ;����� A���� (�"(# ! ��� /� ! (
' ! �� .� "( -�# ��&�' "��++#
I � ! ��� ! ! !�6 ���� ����� �� I ( ! � ' ! (
.�"-�# ! ( "��+,#
&
-� ! &�)():� +�+&(� :�,+�9� �9<+� )�<��(<���������������������
��� ���� ����� �� -�� ��� ������� �� �����;�� ���� ���� ��� ���� ���� �� ����������
' !����
�� .�"-�( # � � "�-��)# "��+9#
��� ��������� �������� ��������� I� ! (� ! ! !� �� I) ! (� ' ! �������
���.�"-� ( # ! "��+:#
-���� �� � ��3�������� �� � ����� �� � ������� ������ �� ������ ��������� ���� ��� �����
( � ( � � �
�
( .� "-�( # �( !
� �
�
�� ( .�� "-�( # �(
�� !
� �
�( .� "-�( # �(� �
�( .�� "-�( # �(
!
� &�
&.� "�#
� &
��.�� "-�#
"��+<#
��� ��� ����� � ��������� ��� �� ����� �� ��� ����� ��� ���������� ��������� �� ������
���������
!����� "
�
��7��.�"�#8 ! �
�.���"�#
�
��7�.�"�#8 ! �.�"�#�
��.�"�#�� ! �.�"�#
@����
0
�7.�"�#8� .
�
�"�# ! .���"�#
-���� ������� ��� 0 ! (� �� ��� ����� .�
�"�# ! �.�"�#
!����� "" �
�
�.��"1�# �� !2�
&
��.�
�"12#��
4
��
0�
1�2�
�.��"12#
�
&&
��� �
�
�.�� "1�# �� !2�
&
�"�.�"12##
� 4 .�� "12#�
D� � � �
�
( .�� "-�( # �( , !
&
�"�.�"-�##
� 4 .�� "-�#�
$� ��� ���� .� "-�# ! (
���������
�� !
�&�
� &�
�.�"�# ����.�� "-�#
!
�&�
7�.� "�#8&�
��.�� "-�#
�� !&
-�.�"-�#
' ! &����
.� "-�( #
-� .� "-�#��&�' "��,(#
!� !&
�����
� ��
�
�"�#! "�#���
'� ! &
� �
�
'( �( ! )
� �
�
( .� "-�( # �(
-� .� "-�#��&�'
'� ! )����
��&�'
-��"��,#
@�����
�
�(�.�"-�( # ! �-�.�"-�( #
�'
�(
����(�
! �&����
� �&�'� "��,&#
"!� � !�# ! #�!
������ "��,�#
&�
�
#!
&� &�
�
�� ��&�'
'�!
��
�� ��&�'�
�
��"��&�'#�-��
"��,)#
��� -�� �
#!��&�
�' -��
��&��'
! -��
��� &�� ! +�9:� "��,+#
������� #���$��� %����� #��&�� ��' (�������� )�������' ��� "��� 5������
-��� ����������� �������� C��������#
��� ��������� �3������ ��
�$���!
��!#
�
�
��
���!
��
�"��,,#
'"�# ! ���������
� ���� !� �� ��� ���������� ����������� ��� !� �� ��� ��� �����������6
����������� 3 ! ���� � ! �
��� "3# ! �
��
-� ����
�$���"3#
��
�!
��!#
���
3
�
�3
�3�!
�3
�
���$�#
� ������!
��!
3
�
�3
�3�!
�3
�
�����&
�!
��!
3
�
�3
�3�!
�3
�
D� � ! ! !� 4 "!� � !�#'"�#6 !� � ��"�#
�!
��! '"�#
�!���
�!
��! "!� � !�#
�'
��
�!
�3! "!� � !�#
�'
�3
&)
H� �������������
��'
&
�!���
!
3
�
�3
�3�'
�3
�"!� � !�#
���
�
!�"�#� !�
���
�!���
!
�)
��)
�3 �*�)
�$ )��'"3#
! �1� "��������# "��,9#
�� �!����
!� � !�! �1�
!�"�# ! !� 4 ���+���#�
��� ������ �3������ �����
3
�
�3
�3�'
�3
�41�
&' ! (
-����� ���
! &
��
����
���! &7� 3�8
'��
4
3'�
4 1�"� 3�#' ! (� �� �E���� C����� E3������
"��,:#
�������� �����������
I � ! (� I 3 ! ( ' !
I � ! �� � I 3 ! ' ! (
��� �������� �� ����� �3������ �� �� ��;���� �������
F�� ��� ������� �������� ��
' !����
��3�
D� �
' ! �� 4 ��3 4 ��3� 4 ��3
� 4 ������� 4 ��3�
���� '�
! �� 4 & ��3 4 � ��3� 4 ������� 4 "04 # ����3
�
��� '�� ! &
&+
2������� �� �� ��� �������� �3������� ��� �����
& �� 4 � � & ��3 4 ������� 4 "04 &#"04 # ����3�
4��
34 & �� 4 � ��3 4 ������� 4 "04 # ����3
��� 4 "0 4 &# ����3�
4 1��� 4 1���3 4 1
���3� 4 �������4 1���3
�
! 1���3� 4 1���3
� 4 1���3� 4 ������� 4 1���3
���
E3������ ��� �3��� �� ��� �� 3
�� ! (
&��� 4 &�� 4 1��� ! (
��&�� 4 ��� 4 1��� ! (
)���� 4 )�� 4 1��� ! 1
���
+�)�� 4 +�� 4 1��� ! 1
���
���
"04 &#"04 #���� 4 "04 &#���� 4 1��� ! 1�����
@� �� ! (� ��� ������� ��� ��� ��������� ��� *����
������� 0 ! &�
"&�4 &#"&�4 #����� 4 "&�4 &#����� 4 1���� ! 1������
"&�4 &#������ 4 1���� ! 1������
����� !1�
"&�4 &#�"����� � ���#
��� !1�
"&�#�"����� � �����#
���������� � ��� ����
' !����
���3�� "��,<#
���� ��� !1�
"&0#�7����� � �����8 ��� 0 &
&,
-� ��� ���� ����
' !����
���3�� ! �� 4 ��3
� 4 ��3� 4 �3
4 �����
$���.��� ��� �������� ����������� I3 ! (� ' !
-� ���
�� ! '�� )� !
-� ���� .�� � I� ! ��� ����� I3 ! � ' ! (
�� 4 �� 4 �� 4 � 4 ����� ! (
�� �1�
)�� 4
1�
,
� 4
1�
)
��� �
1�
�,
�+1�
,41�
,)
��� 4 ����� ! (
��
��
1�
)41�
,41�
,)�
+1�
�,� ,�
1
�,� ,)
�4 ����� ! (
C���������� ���� )�� �� �� �� ��� ������
��
��
1�
)41�
,41�
,)�
+1�
+9,
�! (
A���� �� �! (�
�1�
)41�
,41�
))! (
1� � &91� 4 )) ! (
A������ ����������� �� D� ��� '������ �������
1 ! &�9()�,) "��9(#
*����� ���$�� ��� +,(
���� ��� ��������� �3������� � ���� ��
�
�$��'
��
�!������ ! #��
�!
������
&9
��� � ��
�
#�
%
��&���
�
&���
�
��"! � !�#
�!����
"!� � !�#�� ! ��"
��
�
� ��
�
����������
"!� � !�##�
&���
�
��"! � !�#
&�
&��� ! ��"
��
�
��� � ��
�
�1�#
&
&���"! � !�#��
&������! ��"
��
�
���
�1�#
)
� ����!&����
�������!�
� ����&����
������
�! ��"
��
�
���
�1�#
)"!� � !�# ! ��"
��
�
���
"��
�
"!� � !�#
&��#
! �
#!1�
&
D������ ������ ��� ���������������� ��� ��������� ����� ��������� �� "���J��� ��
������� ��� �����������#
&�� !1�
&! ��,+, "��9#
��� �������� ����� ��������� ����� ��������� D������ ������
&� ! 9�+)(9 "�������� ��� �����������#
&� ! :�&�+& "�������� ��� ���� �� #
$� ��� ����� � � � ���������� ��� D������ ������ ��� ���� ���������� ����� �� ������1
��������� ������ &4� ���� 4 �� ��� ������� �������
&:
��# $����% &��"���
0��������������� ���������� ��������� ���������� �� ���J��� �� ������� ��� ���� ��
�� ��� � �� ������ ��� ��� ������� �� ���� .�� � �� K����* 2�������
Heated zonex
r xr0
qw is the wall heat flux
(does not vary with )x
δ
������ �� K����* ������� ��� C������� -��� 0��� ��� �������� ���������
��� � ( ���� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ������� ������������ ��� !�
��� � ( 5������ ��� ���� �� �� �������
2������� -� ����� ��� � ��������� ���� �������� �� � ���� ����� �
2����� ����� �� ���������������� ��� ��������� ����� ��������� �� ��� ������� ���
���� �� �
-� ���
! "�# ! !� �&���
��
%
��!���
� �
,4
,
��
��
��
�
)
��
��
��
@���� ������������ ��������
�
! "�# ! !� 4"��
���#
��
��
��
�
)
��
��
��
��
)
"��9&#
!� ! !� �
):
&"��
���#
"��9�#
&<
���� "��9&# ��� "��9�#
! "�# ! !� 4"��
���#
��
��
��
�
)
��
��
��
�9
&)
"��9)#
@��� � ���� �����
���� ������ �������
!�"�# ! !��! 4"��
��
/�$��
� ! &���6 /� ! �������
!�"�# ! !��! 4&"
��
��
�$�����"��9+#
A��������� "��9+# �� "��9)# � ���
! ! !��! 4&"
��
��
�$�����4"��
���#
��
��
��
�
)
��
��
��
�9
&)
! � !��!
""������##!
)"����#
�� ��4
��
��
��
�
)
��
��
��
�9
&)
"��9,#
��� ��� ������� �������� ��� �3������ "��9,# ��� �� ������ ��
!�� � !�""������##
!)"����#
�� ��4
��
��
��
�
)
��
��
��
�9
&)
"��99#
$� ��� ���������� ������� ��� �� ��;�� !� �� ���� � ������
!� ! ! � !�� "��9:#
��� ����� ����� ���� �� ������ �3������ "�������� ����� ����� ������� ��� ���� ��1
��.��6 ���� � ��� ���������� �� �������;����#�
��!
��!%
�
�
��
���!
��
�"��9<#
��!���
!%
�
�
��
���!���
�"��:(#
��� �������� ���������� ���
!�"(� �# ! !� � !��"(� �#��� �� � ! (
�(
�!���
������
! ( 6�!���
�������
! ( LLL -�� M
D� �
#�!
��
�������
! "��
�
���
#
��"!� 4 !��#
��
����
! "��
� � #�!���
�������
! "��
� � #�!����
�������
����
4#�!����
�������
! "��
�
A���� �� ��� ����� ��������� ����������� ���;�� �� ���� �� ��� ����������� ���;�� ��
��������� ���������� �� �
����������
�!���
�������
! ( !�!���
������
@���� �� �������� I ���� ! � !�� ��� !� � (
-� .�� �����
�
��! &
�
��
��
��
"��:#
���� "��:(# ��� "��:#� � ���
&��
�
��
��
���!���
!%
�
�
��
���!���
�"��:&#
D��1����������� ���������� N� ! ����� N� ! ������ #�
! �%�����
�
'� !!�
"������#!! � !��"������#
����������
�!���
!%
&������"��
���#
��'��N�
�
�!���
!"��
���#��
�'��N�
!"��
�
#
�'��N�
�
��
���!���
�!"��
���#��
�
�N�
�N��'��N�
�!"��
�
#
�
�N�
�N��'��N�
�
A����������� ����� �� "��:&# ��� ������������ � ;����� ����
"� N��#�'��N�
!��'��N��
4
N�
�'��N�
"��:�#
�������� C��������� ���
'�"(� N�# !!� � !��"(� N�#
"������#
�'��N�
�������
!�'��N�
�������
! (
-� ����� ��� ��� ������ �� A��������� �� %��������
D� ��� '� "N�� N�# ! )"N�# � "N�#
A����������� �� �3������ "��:�# ��� ������������ � ���
)
�)
�N�!
�"� N��#
����
�N��4
N�
��
�N�
�"��:)#
D� ���� ��� �������� ��� ���������� ���� ��������� ����� ��� �� �3����� �� � ��������
! �-� "���#
)
�)
�N�! �-�
) ! ����&��� "��:+#
���
�N��4
N�
��
�N�4�-��"� N��# ! ( "��:,#
���
N����
�N��4��
�N�4�N�-��"� N��# ! ( "��:9#
��� �������� �� �3������ "��:, ��� ��:9# �� �� ��� ����
� !����
�� ��
�&
��� ���������� ��� ���� �����;� ������ �� -� "E���� ������#
��� �������� �������� �� ����� ��
'�"N�� N�# !����
4� ����&��� "��::#
���� �� ! E���� ��������� ���
-� ! E���� ������ �� "��:, �� ��:9#
E3������ "��:, ��� ��:9# ��� ������ A���� F�������� �3�������
A����������� ������ ��
�
��7�"�# ,
�
8 4 7""�# 4 1�"�#8 , ! (
�������� ��������� ��� ,�
"2# ! � ,"2# ( 2 �
,�
"4# ! � , "4# ( 4 �
������ ����� ��� �� �� ����� � ��� � ��� ���� ���������
��� �������� �� ��� �������� ��;��� �� ��� ����� ������ �� ����� ��
�"�# !����
2�)�"�#
C������ ���� ��� ��� ���� �� �������� � �������� ��� �3������ "��:, ��� ��:9#� $�
����� ��� ��������� 2� ��� ����� ��
2� !
� ,
�"�# )�"�#��� ,
)�
�"�#��
D� ��� ���. �� �� ������� ��� �3������ "��:, ��� ��:9# ��� ��� ����� F�������� ���
�������� ��� ���������
@������� ��� �������� ��������� ��� �3������ "��:, ��� ��:9# � ���
'� ! "(� N�# !%�
��
4���
A����������� � ! ( �� �3������ "��99#
'� ! "(� N�# !!� � !��"������#
! �
�N�� �
)N�� �
9
&)
�
��
C�������� ����� � � � ���
�"�# !%�
��
4��� ! �
�N�� �
)N�� �
9
&)
�"��:<#
D� � ���� ������
4� !�� �
�7"N� � N��#8��
�N�� � �
�N�� � �
��
��N�� �
�7"N� � N��#8��
��N�"��<(#
���� 1 ! -�� ��� ��� E���� ������
D� �� ����������� �3������ "��:, ��� ��:9# � ���
� �
�
�
�N�
�N����
�N�
��N� 4
� �
�
��"N� � N��# 1 �N� ! ( ��� � ! ��
A�� � �
�
��"N� � N��#1�N� ! ( "��<#
-� ��� ��� 1 ���� "��<# ��� 4� ��� �� �������� ��
4� ! �
� �
�"N� � N��#��"N�
� � ��N�� � �
��#�N�� �
�"N� � N��#��
��N�"��<&#
K���� ���. �� ��� �������� �� �3������ "��::#
'� !! � !��"������#
!%�
��
4���&�
� ��� ����"N�#
@���� � .�� !�� ���� �3������� "��99# ��
!�� � !�"������#
!)"����#
�� ��4
��
��
��
�
)
��
��
��
�9
&)
C�������� ����� � � � ���
! "�� �# ! !� 4"��
���#
)"����#
�� ��4
��
��
��
�
)
��
��
��
�9
&)
4%�
��
4� �� ���
��-������#
�� ��
�"��<�#
���� �� ��� �������� ��������� ��� ����� 4� ��� 1 ��� �� �� ���������� ���� �3�������
"��< ��� ��<&#�
�)
(�$�� ���
-��� ������ ��' -��� ��������
0 -�� ��"# 4�
&+�,9<, 1(�)<&+<9 (�)(�):�
& :��:,: (��<++(: 1(�9+
� 9)�,9 1(��)+:9& (�(++<)
) &<,�+�, (��)()9 1(�9�&:()
+ )+(�<)9 1(�&<&+& (�(++(�+9
, ,�9��:9 (�&9�:(: 1(�()�):�
9 :++�:+( 1(�&+<:+& (�(�++<9
D� � ������� �� ;�� ��� D������ ������
'� !!�
"������#� '�� !
!��"������#
� '� !!�
"������#
���� �3������ "��::#
'�"N�� # ! '� � '�� !%�
��
4���"#��&��� "��<)#
���� �3������ "��99# � ��� ����
"'�� � '�# ! )N� 4 N�� �
)N�� �
9
&)"��<+#
@����� �3������� "��<)# ��� "��<+# �� N� !
'� � '� ! )N� 4
��
)�
9
&)
�4
%���
4���"#��&���
���
"'� � '�# ! )N� 4
&)4
%���
4���"#��&��� "��<,#
�+
���� ������ �������
!� ! !�! 4&"
��
��
�$�����
��.��� !�! ! !�
"!� � !�# !)"
��
���#
������� ��
�
���
"'� � '�# ! )N� "��<9#
���� �3������� "��<,# ��� "��<9# � ���
"'� � '�# !
&)4
%���
4���"#��&���
�� ��;�������
&�� ! &��#
!"��
�
"!� � !�#
&��#
!&
'� � '�
F������� ����
&�� !&
����
4�
�
�� 4���"#��&���
I N���� &�� � &�����
0��� I ���
&����� !):
! )��, "��<:#
��� ������ ������� ��� ��� ���� �� ���������������� ��� ��������� ����� ���������
�� �
��' (����� �� ��� (������� ��� ������ ���� ��
)��� �������� (������� �� �������� �����
@ ��������� ����������� �� �������� ������� ��� �� ������� �������������� ��� ��������� ��
A��� ��� F����� "<9:# 7A���� '� O�� ��� F������ @� F�� @������� �� 0��� ���������
�,
1 F������ ��� ������ C��������� �� ������ @������� 2����� D� P��.� <9:8� ������
��& �������� ��� ������� �� � ������������� �������
Simultaneouslydeveloping flow
Thermallydeveloping flow
Constant wall heat flux
Constant surface temperature
Pr = 0.7
NuD
4.36 f,d(t)3.66 f,d(t)
1
10
20
100
0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1
������ ��& %�������� �� D������ ������ �� � �������� ����
&�� �� ������� ������� ��� ������������� ��������� ����� #�
�� ���������� �� K����* ���1
���� "K����* ������ + � � �� #��
#� ����� ��������� ������ ��� ����������� �� 2������
������� ����� ��������� ���������� ��� ������� ��� ����� #�
� (�(+�
��� ��� �������� ������� ����������� ���������� �� �� ��������� �� .�� ��� ������� ���1
������� �������� "�� ��� ����� ������# ��� ��� ��� �3������ "��)(# "��� ! �� >!����
0����� �������� ��� ����� ��� ����������� ��� ���������������� ����� ��������� �� "���1
����# �� ����� �� �������� ��� �����������
&�� ! ��,, 4(�(,,:"���#��� ��
4 (�()7"���#��� ��8���
������� ��� ����� ������ �� ��� ��������� ���������� �� � �� �� ��� ��������� �����������
��� �������������� ���������� �� � � �������� ����������� ��� �� A����� ��� ���� "<�,#
�� �� ��� ����
&�� ! �:,
���� ��
���
���� ��
��
��-��
�9
@�� ���������� ��� ��������� �� !� ! "!��� 4 !��!#�&� �� �� ��� ��������� �� ��� ���� ��
��� ������������
(�$�� ���� D������ ������� ��� ����� ��������� ������� �� ������� �� �������� ����� ��������
Cross sectionConstant q "
s Constant T w
NuD =(hDn)/ kba
4.36 3.66−
a
b
1.0
a
b
1.43 3.73 3.08
a
b
2.0 4.12 3.39
b
3.0 4.79 3.96
" 4.0 5.33
8.0 6.49
8.23 7.54α
3.00 2.35
a
"(parallel plate)
4.44
5.60
3.61 2.98
��* ���������� ������������ ��� ���+������� �"��,
�� � ;��� ����� �������� ���� �� ��� �������� ���� ������� ��� �� ������� �� �����
��������� �������� �� �������������� ������ ���� ��
�� !)�$
�
0���� �$ �� ����� ��������� ���� ��� � ����� ���������
0� ����� �� � ���1�������� ����� ��� ���������� ��������� ���� ������ ��� ����������
�:
���������� *��� �� ��� ��������
��� ��������� �� 7 ����� ��� ���� &�((8 ����� �� �� ���������� �� ��� ��� ����;�� "=
� ��# �������� ���� ������������� 0� ����� ��� ������� �� � ��� ��� �� �������� ����
������������ ��� ���� ��������� ��� ���� ����� D������ ������ ������������� �� �����
��������� ��������� ��� �� �������� ���� A��� ��� F�����?� ���.� A��� ������� ���
��� � �� ����� ���
-���������
� A������� Q� '�� ������� B�� ��� O����� Q� A�� <+,� 0��� �������� �� F������ ��� ��
� '���� ���� �� ��� C������1 ��� K����* 2������ E ������� ����� @ABE� %���
9:� ��� ))1)):�
&� A������ '�� A����� � E� B�� ��� 0������� �� B�� <+:� A����� F������ ��� 0���
�������� �� � C������� ���� ��� � 2��������� -��� 0��� ��� � @���� A������ '����
@9� ��� �:,1�<&�
�� A���� '� O�� <9+� F������ ��� �������� ��� ������ C��������� 0��� �������� ��
=���� �� @�������� K�������� $��� Q� 0��� B��� ��������� %��� :� ��� :)<1:,&�
)� ����� ��� ��� '��� =� D�� <:+� F������ 0��� �������� �� � ���� ��� %������
=����������� $��� Q� 0��� B��� ��������� %��� &:� ��� ,<<19(�
+� A���� '� O�� ��� F������ @� F�� <9:� @������� �� 0��� ��������� F������ ���
������ C��������� �� =����� @������� 2����� D� P��.�
,� A������ E� D�� ��� ����� K� E�� <�,� 0��� �������� ��� 2������� =��� �� F�3����
�� ������ $��� E��� C����� %��� &:� ��� )&<1)�,�
�<