7/26/2019 AULA 02 Introducao a Geometria Descritiva (2)
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CENTRO UNIVERSITRIO FACEXCurso: Arquitetura e UrbanismoDisciplina:Geometria Descritiva
Professora:Maria Juliana Leite, Esp.
Introduo
Geometria
Descritiva
Aula 02
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Conceitos Bsicos da Geometria
A Geometria um ramo da Matemtica, e pode ser
definida como a cincia que investiga as formas e asdimenses das figuras existentes na natureza.
A Geometria Descritiva, por sua vez, o ramo daMatemtica Aplicada que tem como objetivo o estudo deobjetos tridimensionais mediante projees desses
slidos em planos.Em Geometria, comum utilizarmos os conceitos de
formae dimenso.Forma o aspecto, ou configurao,de um determinado objeto (forma arredondada, elptica,etc.), enquanto dimenso a grandeza que caracteriza
uma determinada medida desse objeto (largura,comprimento, etc.).
Os elementos fundamentais da geometria so o ponto, aretae o plano.
2Introduo Geometria Descritiva
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Formas Geomtricas
Existem diversas formas planas, mas as mais conhecidas e
usadas por ns so:
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Formas Geomtricas
4Introduo Geometria Descritiva
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Formas Geomtricas
5Introduo Geometria Descritiva
Table de Confrence,Atelier Le Corbusier,
Paris 1958
Portemanteau, Unit deCamping, Roquebrune-
Cap-Martin 1957
Table de Travail avec Rayonnages,Unit d''Habitation, Nantes-Rez 1957
Cadeira Red and Blue.Gerrit Rietveld,1917
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Elementos Fundamentais
O desenho geomtrico a representao grfica das
formas geomtricas, cujos elementos fundamentais so: Ponto: a interseo de duas linhas, ou aquilo que
comum a duas pores contguas de uma linha.
Reta: o resultado do deslocamento de um ponto noespao, no possuindo, portanto, incio e nem fim, ouseja, ilimitada nos dois sentidos.
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Elementos Fundamentais
O segmento de reta o conjunto de infinitos pontos
existente entre dois pontos distintos. A semirreta o vetorcuja origem conhecida, e cujo extremo um ponto noinfinito.
As retas podem ser classificadas em: Coincidentes:possuem todos os pontos em comum;
Concorrentes:possuem um nico ponto em comum (m e n);
Paralelas:participam de um mesmo plano, mas no possuem nenhumponto em comum (r e s);
Perpendiculares:so concorrentes que formam entre si um ngulo de90 (p e q).
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Elementos Fundamentais
ngulo: a regio do plano definida por duas
semirretas que tm mesma origem (vrtice). geralmente medido em graus com uso do instrumentotransferidor.
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Transferidor.
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Elementos Fundamentais
Reto:quando tem ngulo igual a 90;
Raso:quando tem ngulo igual a 180;
Pleno:quando tem ngulo igual a 360;
Nulo:quando tem ngulo igual a 0.
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Construes Fundamentais
Mediatriz: a reta perpendicular que corta o segmento dereta em seu ponto mdio, dividindo-o em duas partes iguais.Na mediatriz, todos os pontos so equidistantes sextremidades do segmento de reta.
Bissetriz: a reta que parte do vrtice e decompe umngulo em dois iguais. Na bissetriz, todos os pontos so, naperpendicular, equidistantes das retas concorrentes queformam o ngulo.
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Construes Fundamentais
13Introduo Geometria Descritiva
Mediatriz
Traar um segmento AB; Fixar o compasso em A e traar um arco;
Fixar o compasso em B e traar um arco de mesma abertura;
Ligar os pontos de interseo dos dois arcos para encontrar a retaperpendicular.
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Construes Fundamentais
14Introduo Geometria Descritiva
Bissetriz
Traar duas retas concorrentes; Centrar no vrtice do ngulo, formado pelas retas concorrentes, e
traar um arco obtendo os pontos 1 e 2 nas retas;
Centrar em 1 e traar um arco;
Centrar em 2 e traar um arco de mesma abertura;
Unir o vrtice a interseo dos arcos para encontrar a bissetriz.
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Construes fundamentais
15Introduo Geometria Descritiva
Perpendiculares
Trace uma reta e defina um ponto em uma das extremidades. Comcentro no ponto da extremidade, traar um arco com uma aberturaqualquer encontrando o ponto 1 na interseo da reta;
Com o centro no ponto 1, com a mesma abertura, cortar o arcoduas vezes, determinando os pontos 2 e 3;
Com centro em 2, e mesma abertura traa-se um arco, com centro
em 3 corta-se o arco anterior e determina-se o ponto 4; Liga-se o ponto 4 ao ponto da extremidade da reta para encontrar
a perpendicular.
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Construes fundamentais
17Introduo Geometria Descritiva
Perpendicular por um ponto externo reta
Traar uma reta r e definir um ponto A fora da mesma; Com centro em A e abertura qualquer, traar um arco,
determinando os pontos 0 e 1 na interseo com a reta r;
Com centro em 0 e abertura qualquer, traar um arco;
Com centro em 1 e a mesma abertura cortar o arco anterior,determinando o ponto 2 na interseo dos arcos;
Ligar 2 a A para determinar a perpendicular desejada.
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Construes fundamentais
18Introduo Geometria Descritiva
Paralelas Traar uma reta r e definir um ponto A fora dela. Com centro em A
e abertura qualquer, traar o arco que cruza a reta r em 0; Com centro em 0, e mesma abertura, traar o arco que cruza a
reta no ponto 1; Com centro em 1, faz-se abertura at A; Transporta-se, ento, a medida do arco 1A a partir de 0, sobre o
primeiro arco traado, obtendo-se o ponto 2; A paralela procurada a reta que passa pelos pontos A e 2.
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Construes com uso do jogo de esquadros
Os esquadros so utilizados para o traado de linhashorizontais, verticais e em ngulo. Podem ser utilizadosapoiados rgua paralela, ou ainda apoiados um ao outro.
O traado de retas paralelasou perpendiculares pode serrealizado movendo-se umesquadro apoiado sobre ooutro fixo.
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Construes com uso do jogo de esquadros
Podem ser utilizadostambm para o traadode linhas emngulos determinadoscom o uso dos ngulosdos prpriosesquadros (30, 45, 60
e 90) ou com acombinao dos ngulosdos esquadros.
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Construes com uso do jogo de esquadros
21Introduo Geometria Descritiva
Traado de paralelas com o jogo de esquadros
Traar uma reta; Apoiar a hipotenusa do esquadro de 45 na reta;
Apoiar a hipotenusa do esquadro de 60 no esquadro de 45;
Mover o esquadro de 45 no sentido da hipotenusa do esquadro de60;
Na hipotenusa do esquadro de 45, encontraremos a paralela a
reta.
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Construes com uso do jogo de esquadros
24Introduo Geometria Descritiva
Diviso de segmentos de reta em partes proporcionais
Traar o segmento AB e uma reta concorrente passando por A; Sobre a reta concorrente, marcar consecutivamente as medidas a
(encontrando o ponto 1) e b(encontrando o ponto 2);
Unir os extremos das duas retas, ou seja, B a 2;
Traar a B2 pelo ponto 1, encontrando as divises proporcionais.
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Exerccios
2. Na mesma folha A3, trace um segmento AB com 7.5 cme, em seguida, encontre a mediatriz mdeste segmento.
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Exerccios
3. Trace duas retas concorrentes (r e s). Em seguida, tracea bissetriz bdo ngulo formado por estas retas.
27
r
s
Introduo Geometria Descritiva
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Exerccios
4. Trace uma reta re defina um ponto Aexterno a ela. Emseguida, trace a reta sperpendicular a reta r, passandopelo ponto A.
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Exerccios
6. Trace um segmento AB com 13 cm e, em seguida, divida-o em quatro partes iguais.
7. Desenhe a figura abaixo:
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Polgonos
Os polgonos so determinados pelo seu nmero delados. Os principais polgonos so:
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Tringulo 3 lados; Enegono 9 lados;
Quadriltero 4 lados; Decgono 10 lados;
Pentgono 5 lados; Undecgono 11 lados;
Hexgono 6 lados; Dodecgono 12 lados;Heptgono 7 lados; Pentadecgono 15 lados;
Octgono 8 lados; Icosgono 20 lados.
TRINGULO QUADRADO HEXGONO OCTGONO
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Tringulos
34Introduo Geometria Descritiva
Tringulo o polgonocomposto por 3 lados e 3ngulos.
So classificados quanto aoslados e quanto aos ngulos.
QUANTO AOS LADOS QUANTO AOS NGULOS
Equiltero Trs lados iguaisTrs ngulos iguais(60)
Retngulo Tem um ngulo reto(90)
Issceles Dois lados iguaisDois ngulos iguais
Obtusngulo Tem um nguloobtuso
Escaleno Trs ladosdiferentesTrs ngulosdiferentes
Acutngulo Tem os trs ngulosagudos
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Linhas notveis do Tringulo
35Introduo Geometria Descritiva
Altura: a perpendicular quevai de um vrtice e o lado
oposto do tringulo. As alturascruzam-se num ponto comumchamado Ortocentro.
Mediatriz: a perpendicularque passa pelo ponto mdio de
cada lado do tringulo. Asmediatrizes cruzam-se numponto chamado Circuncentro,que equidistante dos vrticese, portanto, o centro dacircunferncia que circunscreve
o tringulo.
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Trapzios
38Introduo Geometria Descritiva
So quadrilteros que possuem dois lados paralelos.
TRAPZIOS
Trapzio RetnguloPossui dois ngulos retos
Trapzio IsscelesOs lados no paralelos so iguais e osngulos das bases tambm so iguais
Trapzio EscalenoQuatro lados diferentes
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CONSTRUO DE POLGONOS REGUL RES INSCRITOS
39Introduo Geometria Descritiva
Construo de polgonos regulares inscritos mltiplos dequatro lados (QUADRADO E OCTGONO) Traar uma circunferncia qualquer, seu dimetro (1-2) e o
dimetro perpendicular (3-4) atravs da mediatriz de 1-2; Ligando os pontos 1,2,3 e 4, encontra-se o quadrado; Para encontrar o octgono, traar as mediatrizes de 1-3 e 1-4,
encontrando os pontos 5, 6, 7 e 8 na circunferncia; Ligando os pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, encontra-se o octgono.
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CONSTRUO DE POLGONOS REGUL RES INSCRITOS
41Introduo Geometria Descritiva
Construo do hexgono inscrito Traar primeiramente uma
circunferncia qualquer e seudimetro;
A partir de uma das extremidades dodimetro, traar na circunfernciaconsecutivamente a medida do raio,que igual a medida do lado do
hexgono inscrito. Sero encontradosseis pontos; Ligando os pontos, constri-se o
hexgono inscrito.
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Tangncia
Em desenho, significa interceptar elementos geomtricosem apenas um nico ponto.
Pode ocorrer entre reta e arco ou circunferncia, e entrecircunferncias ou arcos.
Para que haja a construo de uma tangncia, necessrio encontrar o ponto nico de interseo entre
os elementos geomtricos envolvidos, e o(s) centro(s) detangncia.
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Tangncia
Construo de circunferncia tangente interna
Traar uma circunferncia e marcar um ponto de tangncia T sobrea mesma;
Unir o centro da circunferncia (ponto C) ao ponto T com um raio;
Marcar sobre o raio, a partir de T, o raio da circunfernciatangente, definindo o centro Cinterno circunferncia original;
Centrar em Ce traar a circunferncia tangente.
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Tangncia
Construo de circunferncia tangente externa
Traar uma circunferncia e marcar um ponto de tangncia T sobrea mesma;
Unir o centro da circunferncia (ponto C) ao ponto T com um raio, eprolong-lo;
Marcar sobre o prolongamento do raio, a partir de T, o raio dacircunferncia tangente, definindo o centro C externo circunferncia original;
Centrar em Ce traar a circunferncia tangente.
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Concordncia
Em desenho, significa unir elementos geomtricos demaneira a formar uma linha contnua sem quinas oungulos.
Pode acontecer entre uma reta e um arco ou entre arcos.
Para que haja a construo de uma concordncia, necessrio encontrar o ponto de encontro entre os
elementos geomtricos envolvidos, e o(s) centro(s) deconcordncia.
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Concordncia
Construo de concordncia entre reta e arcopassando por um ponto externo reta
Traar um segmento de reta e um ponto distinto a esta;
Pela extremidade da reta, traar uma perpendicular;
Traar a reta que une a extremidade do segmento ao pontodistinto, e traar sua mediatriz;
O encontro da mediatriz com a perpendicular da reta define ocentro de concordncia;
Traar o arco que concorda com o segmento de reta e passapelonponto distinto.
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Concordncia
Construo de concordncia entre arcos Traar um arco e definir um ponto de concordncia (T) sobre este;
Definir um ponto externo (P) ao arco original;
Ligar o centro do arco original (C) ao ponto de concordncia (T) e prolongar areta;
Ligar o ponto de concordncia (T) ao ponto externo (P) e traar a mediatrizdo segmento;
O cruzamento da mediatriz de PT com o prolongamento da reta CT define o
centro do arco que concorda com o original (C); Com centro em C,traar o arco de T a P que tem raio igual a CTou CP,e
que concorda com o arco original;