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Page 1: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

cobertura global y de orden superior

ricardo pachรณn cortรฉs

credit suisse

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en esta charla

(1) cobertura dinรกmica

(2) cobertura global y de orden superior: ยฟquรฉ es?

(3) cobertura global y de orden superior: ยฟcรณmo se construye?

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cobertura dinรกmica

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activos subyacentes

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- 1.5 - 1 - 0.5 0 0.5 1 1.5

- 32

- 31.5

- 31

- 30.5

- 30

- 29.5

- 29

- 28.5

- 28

- 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

- 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

- 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

- 1

- 0.5

0

0.5

1

- 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

- 0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

forward opciรณn call

digital power

activo($)

derivado($

)

activo($)

derivado($

)

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opciรณn de compra (call)

activo: AAPL

strike: $100

vencimiento: octubre 18, 2014

pago: max(0, AAPL - $100)

precio*: $3.37 ($3.35/$3.40)

acciรณn de apple ($)

pรฉrd

ida/g

anancia

s($

)

*tomado agosto 18, 2014

este precio ยฟes el correcto?

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*tomado agosto 18, 2014

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Black-Scholes [1973], Merton [1973]

๐‘† ๐‘ก evoluciona de acuerdo a un movimiento Browniano geomรฉtrico con

tendencia ๐œ‡ y volatilidad ๐œŽ:

๐‘‘๐‘† ๐‘ก = ๐œ‡๐‘† ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘† ๐‘ก ๐‘‘๐‘Š(๐‘ก)

donde W(t) es un proceso de Wiener

un supuesto (de muchos otros)

el precio de un derivado ๐‘‰(๐‘†, ๐‘ก) sobre un activo subyacente ๐‘†(๐‘ก) satisface la

siguiente EDP:๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐‘Ÿ๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘‰ = 0

donde ๐‘Ÿ es la tasa de interรฉs sin riesgo

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evoluciรณn de la funciรณn de densidad de probabilidad

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Black-Scholes [1973], Merton [1973]

1. por el lema de Itล, si ๐‘‘๐‘† = ๐œ‡๐‘†๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†๐‘‘๐‘Š, entonces

2. construya el portafolio ฮ  ๐‘ก = ๐‘‰ ๐‘ก + ๐›ฟ๐‘† ๐‘ก , i.e., una opciรณn y ๐›ฟ acciones

3. asuma que el portafolio se auto-financia, i.e., ๐‘‘ฮ  = ๐‘‘๐‘‰ + ๐›ฟ๐‘‘๐‘†, por lo tanto

4. si la cantidad de acciones es ๐›ฟ = ๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†, entonces elimino la aleatoriedad

๐‘‘๐‘‰ =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+ ๐œŽ๐‘†๐›ฟ ๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก

5. portafolio no tiene riesgo, por lo tanto su rendimiento debe ser dado por la

tasa de interรฉs sin riesgo ๐‘Ÿ, ๐‘‘ฮ  = ๐‘Ÿฮ ๐‘‘๐‘ก, de lo que sigue

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก = ๐‘Ÿ ๐‘‰ โˆ’

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘† ๐‘‘๐‘ก

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Black-Scholes [1973], Merton [1973]

1. por el lema de Itล, si ๐‘‘๐‘† = ๐œ‡๐‘†๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†๐‘‘๐‘Š, entonces

2. construya el portafolio ฮ  ๐‘ก = ๐‘‰ ๐‘ก + ๐›ฟ๐‘† ๐‘ก , i.e., una opciรณn y ๐›ฟ acciones

3. asuma que el portafolio se auto-financia, i.e., ๐‘‘ฮ  = ๐‘‘๐‘‰ + ๐›ฟ๐‘‘๐‘†, por lo tanto

4. si la cantidad de acciones es ๐›ฟ = ๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†, entonces elimino la aleatoriedad

๐‘‘๐‘‰ =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+ ๐œŽ๐‘†๐›ฟ ๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก

5. portafolio no tiene riesgo, por lo tanto su rendimiento debe ser dado por la

tasa de interรฉs sin riesgo ๐‘Ÿ, ๐‘‘ฮ  = ๐‘Ÿฮ ๐‘‘๐‘ก, de lo que sigue

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก = ๐‘Ÿ ๐‘‰ โˆ’

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘† ๐‘‘๐‘ก

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Black-Scholes [1973], Merton [1973]

1. por el lema de Itล, si ๐‘‘๐‘† = ๐œ‡๐‘†๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†๐‘‘๐‘Š, entonces

2. construya el portafolio ฮ  ๐‘ก = ๐‘‰ ๐‘ก + ๐›ฟ๐‘† ๐‘ก , i.e., una opciรณn y ๐›ฟ acciones

3. asuma que el portafolio se auto-financia, i.e., ๐‘‘ฮ  = ๐‘‘๐‘‰ + ๐›ฟ๐‘‘๐‘†, por lo tanto

4. si la cantidad de acciones es ๐›ฟ = ๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†, entonces elimino la aleatoriedad

๐‘‘๐‘‰ =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+ ๐œŽ๐‘†๐›ฟ ๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก

5. portafolio no tiene riesgo, por lo tanto su rendimiento debe ser dado por la

tasa de interรฉs sin riesgo ๐‘Ÿ, ๐‘‘ฮ  = ๐‘Ÿฮ ๐‘‘๐‘ก, de lo que sigue

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก = ๐‘Ÿ ๐‘‰ โˆ’

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘† ๐‘‘๐‘ก

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Black-Scholes [1973], Merton [1973]

1. por el lema de Itล, si ๐‘‘๐‘† = ๐œ‡๐‘†๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†๐‘‘๐‘Š, entonces

2. construya el portafolio ฮ  ๐‘ก = ๐‘‰ ๐‘ก + ๐›ฟ๐‘† ๐‘ก , i.e., una opciรณn y ๐›ฟ acciones

3. asuma que el portafolio se auto-financia, i.e., ๐‘‘ฮ  = ๐‘‘๐‘‰ + ๐›ฟ๐‘‘๐‘†, por lo tanto

4. si la cantidad de acciones es ๐›ฟ = ๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†, entonces elimine la aleatoriedad

๐‘‘๐‘‰ =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+ ๐œŽ๐‘†๐›ฟ ๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก

5. portafolio no tiene riesgo, por lo tanto su rendimiento debe ser dado por la

tasa de interรฉs sin riesgo ๐‘Ÿ, ๐‘‘ฮ  = ๐‘Ÿฮ ๐‘‘๐‘ก, de lo que sigue

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก = ๐‘Ÿ ๐‘‰ โˆ’

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘† ๐‘‘๐‘ก

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Black-Scholes [1973], Merton [1973]

1. por el lema de Itล, si ๐‘‘๐‘† = ๐œ‡๐‘†๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†๐‘‘๐‘Š, entonces

2. construya el portafolio ฮ  ๐‘ก = ๐‘‰ ๐‘ก + ๐›ฟ๐‘† ๐‘ก , i.e., una opciรณn y ๐›ฟ acciones

3. asuma que el portafolio se auto-financia, i.e., ๐‘‘ฮ  = ๐‘‘๐‘‰ + ๐›ฟ๐‘‘๐‘†, por lo tanto

4. si la cantidad de acciones es ๐›ฟ = ๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†, entonces elimine la aleatoriedad

๐‘‘๐‘‰ =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก + ๐œŽ๐‘†

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+ ๐œŽ๐‘†๐›ฟ ๐‘‘๐‘Š

๐‘‘ฮ  =๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐›ฟ๐œ‡๐‘† ๐‘‘๐‘ก

5. portafolio no tiene riesgo, por lo tanto su rendimiento debe ser dado por la

tasa de interรฉs sin riesgo ๐‘Ÿ, ๐‘‘ฮ  = ๐‘Ÿฮ ๐‘‘๐‘ก, de lo que sigue

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+ ๐œ‡๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2๐‘‘๐‘ก = ๐‘Ÿ ๐‘‰ โˆ’

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†๐‘† ๐‘‘๐‘ก

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opciรณ

ncall (

$)

evoluciรณn del precio opciรณn call

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐‘Ÿ๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘‰ = 0

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opciรณ

ncall (

$)

evoluciรณn del precio opciรณn call

condiciรณn de frontera: perfil de

pago de la opciรณn en la fecha

de vencimiento

๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘ก+1

2๐œŽ2๐‘†2๐œ•2๐‘‰

๐œ•๐‘†2+ ๐‘Ÿ๐‘†๐œ•๐‘‰

๐œ•๐‘†โˆ’ ๐‘Ÿ๐‘‰ = 0

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mรกs que un supuesto es una receta: cobertura dinรกmica (โ€œdynamic hedgingโ€)

cobertura: posiciรณn que cancela el efecto de las fluctuaciones del activo

sobre el derivado objetivo

๐‘Ž1๐ป1 ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก + ๐‘Ž2๐ป2 ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก + โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘š๐ป๐‘š ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก = ๐‘‰(ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก)

cobertura derivado

objetivo

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โ€œโ€ฆsi la cantidad de acciones es ๐›ฟ = ๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†, entonces elimine la aleatoriedadโ€ฆโ€

mรกs que un supuesto es una receta: cobertura dinรกmica (โ€œdynamic hedgingโ€)

cobertura: posiciรณn que cancela el efecto de las fluctuaciones del activo

sobre el derivado objetivo

๐‘Ž1๐ป1 ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก + ๐‘Ž2๐ป2 ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก + โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘š๐ป๐‘š ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก = ๐‘‰(ฮ”๐‘†, ฮ”๐‘ก)

cobertura derivado

objetivo

๐ป = ๐‘† : tomar una posicion en el activoโ€ฆ

๐‘Ž = [๐œ•๐‘‰/๐œ•๐‘†]๐‘† ๐‘ก ,๐‘ก : โ€ฆque cancela la componente lineal

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demostraciรณn: cobertura dinรกmica

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cobertura global y de orden superior:

ยฟquรฉ es?

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idea

sustituir aproximaciones

localespor aproximaciones

y de bajo orden

orden superiorglobales y de

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1. usar derivados para cubrir otros derivados

2. el portafolio de cobertura es estรกtico (no dinรกmico)

3. el portafolio de cobertura aproxima el comportamiento del

derivado desde el inicio hasta el vencimiento

4. el mรกximo error de la aproximaciรณn se conoce de antemano

cobertura de orden superior: ยฟquรฉ es?

Page 24: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. usar derivados para cubrir otros derivados

2. la cobertura es estรกtica (no dinรกmica)

3. el portafolio de cobertura aproxima el comportamiento del

derivado desde el inicio hasta el vencimiento

4. el mรกximo error de la aproximaciรณn se conoce de antemano

cobertura de orden superior: ยฟquรฉ es?

Page 25: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. usar derivados para cubrir otros derivados

2. la cobertura es estรกtica (no dinรกmica)

3. la cobertura aproxima el comportamiento del derivado desde

el inicio hasta el vencimiento

4. el mรกximo error de la aproximaciรณn se conoce de antemano

cobertura de orden superior: ยฟquรฉ es?

Page 26: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. usar derivados para cubrir otros derivados

2. la cobertura es estรกtica (no dinรกmica)

3. la cobertura aproxima el comportamiento del derivado desde

el inicio hasta el vencimiento

4. el mรกximo error de la aproximaciรณn se conoce de antemano

cobertura de orden superior: ยฟquรฉ es?

Page 27: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

demostraciรณn: cobertura de orden superior

Page 28: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

cobertura global y de orden superior:

ยฟcรณmo se construye?

Page 29: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

polinomios interpolantes: definiciรณn๐’™ = ๐‘ฅ0, โ€ฆ , ๐‘ฅ๐‘›

๐‘‡

๐’‡ = ๐‘“0, โ€ฆ , ๐‘“๐‘›๐‘‡

๐‘ ๐‘ฅ๐‘— = ๐‘“๐‘— , ๐‘— = 0,โ€ฆ , ๐‘›

๐‘ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ(๐‘›)

dados

(talvez

com

ple

jos)

diferentes

Page 30: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘ ๐‘ฅ =

๐‘—=0

๐‘›

๐›ผ๐‘—๐œ™๐‘— ๐‘ฅ , ๐œ™0(๐’™) ๐œ™๐‘›(๐’™)โ€ฆ

๐›ผ0

๐›ผ๐‘›

โ‹ฎ

๐‘“0

๐‘“๐‘›

โ‹ฎ=

๐œ™๐‘— : base para ๐‘ƒ(๐‘›)

matriz de tipo Vandermondede tamaรฑo ๐‘› + 1 ร— (๐‘› + 1)

polinomios interpolantes: construcciรณn

Page 31: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

esquemas interpolantes

definiciรณn de la malla de ๐‘› + 1 puntos,

e.g., puntos equidistantes en [โˆ’1,1]๐‘ฅ0(0)

๐‘ฅ0(1)๐‘ฅ1(1)

๐‘ฅ0(๐‘›)

๐‘ฅ0(2)๐‘ฅ1(2)๐‘ฅ2(2)

๐‘ฅ1(๐‘›)๐‘ฅ2(๐‘›)

๐‘ฅ๐‘›(๐‘›)

โ‹ฎโ‹ฎ โ‹ฎ โ‹ฑ

โ‹ฏ

โ‹ฎโ‹ฎ โ‹ฎ โ‹ฑโ‹ฎ

๐‘ฅ๐‘—(๐‘›)= โˆ’1 +

2๐‘—

๐‘›, ๐‘— = 0, โ€ฆ , ๐‘›

Page 32: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘ฅ๐‘˜ = โˆ’cos๐‘˜๐œ‹

๐‘›, ๐‘˜ = 0,โ€ฆ , ๐‘›

proyecciones de las raices n-esimas de

la unidad (los nodos quedan apiรฑados

hacia los extremos)

una buena malla: nodos de Chebyshev

โˆ’1 1

Page 33: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘“ ๐‘ฅ = 1 + ๐‘ฅ2 โˆ’1

| ๐‘“ โˆ’ ๐‘7| = 4.92 ร— 10โˆ’1

Page 34: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘“ ๐‘ฅ = 1 + ๐‘ฅ2 โˆ’1

| ๐‘“ โˆ’ ๐‘15| = 8.47 ร— 10โˆ’2

Page 35: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘“ ๐‘ฅ = 1 + ๐‘ฅ2 โˆ’1

| ๐‘“ โˆ’ ๐‘31| = 3.46 ร— 10โˆ’3

Page 36: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘“ ๐‘ฅ = 1 + ๐‘ฅ2 โˆ’1

| ๐‘“ โˆ’ ๐‘63| = 6.00 ร— 10โˆ’6

Page 37: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘“ ๐‘ฅ = 1 + ๐‘ฅ2 โˆ’1

| ๐‘“ โˆ’ ๐‘183| โ‰ˆ precisiรณn de mรกquina

Page 38: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

๐‘“ ๐‘ฅ = sin ๐‘ฅ2 ๐ฝ0(๐‘ฅ) + sin ๐‘ฅ ๐ฝ1 20 โˆ’ ๐‘ฅ2

| ๐‘“ โˆ’ ๐‘492| โ‰ˆ precisiรณn de mรกquina

Page 39: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

conexiรณn con series de Chebyshev

si ๐‘“ es una funciรณn Lipschitz continua en [โˆ’1,1] entonces

๐‘๐‘˜ =2

๐œ‹

โˆ’1

1๐‘“ ๐‘ฅ ๐‘‡๐‘˜ ๐‘ฅ

1 โˆ’ ๐‘ฅ2๐‘‘๐‘ฅ,con coeficientes

donde ๐‘‡๐‘˜ ๐‘ฅ = cos(๐‘˜ arccos ๐‘ฅ) es el polinomio de Chebyshev de primer

tipo de grado ๐‘˜

teorema:

Page 40: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

๐‘‡3 ๐‘ฅ = 4๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

๐‘‡4 ๐‘ฅ

๐‘‡5 ๐‘ฅ ๐‘‡6 ๐‘ฅ

Page 41: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

ChebyshevLaurent

interpolaciรณn en puntos de

Chebyshev ๐‘ฅ๐‘˜ = cos(๐‘˜๐œ‹/๐‘›)coeficientes se obtienende resolver un sistemade Vandermone (FFT)

Page 42: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

ChebyshevLaurent

coeficientes de Chebyshev

obtiene los valores de la funciรณn en puntos de Chebyshev (iFFT)

Page 43: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

www.chebfun.org

Page 44: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. descomponga el pago del derivado objetivo ๐‘‰(๐‘†, ๐‘‡) en series de Chebyshev

2. descomponga el pago de los ๐‘š+1 derivados de cobertura {๐ป๐‘–(๐‘†, ๐‘‡)} en

series de Chebyshev

3. encuentre los pesos ๐‘Ž๐‘– de tal manera que

๐‘Ž0โ„Ž0,๐‘— + ๐‘Ž1โ„Ž1,๐‘— +โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘šโ„Ž๐‘š,๐‘— โ‰ˆ ๐‘๐‘— , ๐‘— = 0, โ€ฆ ,๐‘š

coeficiente ๐‘˜ de

la cobertura

๐ป๐‘– ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

โ„Ž๐‘–,๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘– = 0,โ€ฆ ,๐‘š, ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

๐‘‰ ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

๐‘๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

coeficiente ๐‘˜ del

derivado objetivo

cobertura de orden superior: ยฟcรณmo se construye?

Page 45: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. descomponga el pago del derivado objetivo ๐‘‰(๐‘†, ๐‘‡) en series de Chebyshev

2. descomponga el pago de los ๐‘š+1 derivados de cobertura {๐ป๐‘–(๐‘†, ๐‘‡)} en

series de Chebyshev

3. encuentre los pesos ๐‘Ž๐‘– de tal manera que

๐‘Ž0โ„Ž0,๐‘— + ๐‘Ž1โ„Ž1,๐‘— +โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘šโ„Ž๐‘š,๐‘— โ‰ˆ ๐‘๐‘— , ๐‘— = 0, โ€ฆ ,๐‘š

coeficiente ๐‘˜ de

la cobertura

๐ป๐‘– ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

โ„Ž๐‘–,๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘– = 0,โ€ฆ ,๐‘š, ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

๐‘‰ ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

๐‘๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

coeficiente ๐‘˜ del

derivado objetivo

cobertura de orden superior: ยฟcรณmo se construye?

Page 46: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. descomponga el pago del derivado objetivo ๐‘‰(๐‘†, ๐‘‡) en series de Chebyshev

cobertura de orden superior: ยฟcรณmo se construye?

2. descomponga el pago de los ๐‘š+1 derivados de cobertura {๐ป๐‘–(๐‘†, ๐‘‡)} en

series de Chebyshev

3. encuentre los pesos ๐‘Ž๐‘– de tal manera que

๐‘Ž0โ„Ž0,๐‘— + ๐‘Ž1โ„Ž1,๐‘— +โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘šโ„Ž๐‘š,๐‘— โ‰ˆ ๐‘๐‘— , ๐‘— = 0, โ€ฆ ,๐‘š

๐ป๐‘– ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

โ„Ž๐‘–,๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘– = 0,โ€ฆ ,๐‘š, ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

๐‘‰ ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

๐‘๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

Page 47: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. descomponga el pago del derivado objetivo ๐‘‰(๐‘†, ๐‘‡) en series de Chebyshev

2. descomponga el pago de los ๐‘š+1 derivados de cobertura {๐ป๐‘–(๐‘†, ๐‘‡)} en

series de Chebyshev

3. encuentre los pesos ๐‘Ž๐‘– de tal manera que

๐‘Ž0โ„Ž0,๐‘— + ๐‘Ž1โ„Ž1,๐‘— +โ‹ฏ+ ๐‘Ž๐‘šโ„Ž๐‘š,๐‘— โ‰ˆ ๐‘๐‘— , ๐‘— = 0, โ€ฆ ,๐‘š

coeficiente ๐‘˜ de

la cobertura

๐ป๐‘– ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

โ„Ž๐‘–,๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘– = 0,โ€ฆ ,๐‘š, ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

๐‘‰ ๐‘†, ๐‘‡ = ๐‘—=0

โˆž

๐‘๐‘—๐‘‡๐‘—(๐‘†) , ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘]

coeficiente ๐‘˜ del

derivado objetivo

cobertura de orden superior: ยฟcรณmo se construye?

Page 48: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

cobertura de orden superior: coeficientes de opciones call

๐‘ˆ๐‘— ๐‘ฅ =sin((๐‘— + 1) arccos๐‘ฅ)

sin(arccos ๐‘ฅ)

el pago en la fecha de vencimiento de una call con strike ๐‘˜๐‘– โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘], sobre una

activo ๐‘† โˆˆ [๐‘Ž, ๐‘] se puede descomponer como max 0, ๐‘† โˆ’ ๐‘˜๐‘– = ๐‘—=0โˆž โ„Ž๐‘–,๐‘—๐‘‡๐‘— ๐‘† ,

donde

๐‘˜๐‘–โ€ฒ: ๐‘˜๐‘– transformado

linealmente a [โˆ’1,1]โ„Ž๐‘–,0 =๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

2๐œ‹1 โˆ’ ๐‘˜๐‘–

โ€ฒ2 โˆ’ ๐‘˜๐‘–โ€ฒ arccos ๐‘˜๐‘–

โ€ฒ

โ„Ž๐‘–,1 =๐‘ โˆ’ ๐‘Ž

2๐œ‹arccos ๐‘˜๐‘–

โ€ฒ โˆ’๐‘˜๐‘–โ€ฒ 1 โˆ’ ๐‘˜๐‘–

โ€ฒ2

โ„Ž๐‘–,๐‘— =(๐‘ โˆ’ ๐‘Ž) 1 โˆ’ ๐‘˜๐‘–

โ€ฒ2

๐œ‹

๐‘˜๐‘–โ€ฒ

๐‘— ๐‘—2 โˆ’ 1๐‘ˆ๐‘—โˆ’1 ๐‘˜๐‘–

โ€ฒ โˆ’1

๐‘—2 โˆ’ 1๐‘‡๐‘—(๐‘˜๐‘–โ€ฒ) , ๐‘— โ‰ฅ 2

Page 49: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

cobertura de orden superior: sistema lineal de mรกximo contacto

๐’‰๐ŸŽ ๐’‰๐Ÿ ๐’‰๐’Žโ‹ฏ๐‘Ž0

๐‘Ž1

๐‘Ž๐‘š

โ‹ฎ๐’„=

๐’‰๐’Š = โ„Ž๐‘–,0, โ„Ž๐‘–,1, โ€ฆ , โ„Ž๐‘–,๐‘€๐‘‡

๐‘€ โ‰ฅ ๐‘šcoeficientes

mรญnimos

cuadrados

coeficientes del derivado

objetivo obtenidos

mediante interpolaciรณn

de Chebyshev

Page 50: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. el error de la cobertura se mantiene acotado para cambios

bruscos del precio del activo o saltos en la volatilidad

(ยกconsecuencia de la difusiรณn!)

2. el portafolio de cubrimiento tiene la misma fecha de

vencimiento que el derivado objetivo (y es para esa fecha donde

se busca el mรกximo contacto)

3. se pueden establecer estrategias semi-estรกticas, en las que el

portafolio y el derivado tienen mรกximo contacto para una fecha

anterior (pros: el perfil es mรกs suave y series convergen

rรกpidamente; cons: depende del modelo? error diverge despuรฉs

de dicha fecha, consecuencia de la difusiรณn en reversa!)

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 51: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. el error de la cobertura se mantiene acotado para cambios

bruscos del precio del activo o saltos en la volatilidad

(ยกconsecuencia de la difusiรณn!)

2. la cobertura tiene la misma fecha de vencimiento que el

derivado objetivo (y es para esa fecha donde se busca el

mรกximo contacto)

3. se pueden establecer estrategias semi-estรกticas, en las que el

portafolio y el derivado tienen mรกximo contacto para una fecha

anterior (pros: el perfil es mรกs suave y series convergen

rรกpidamente; cons: depende del modelo? error diverge despuรฉs

de dicha fecha, consecuencia de la difusiรณn en reversa!)

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 52: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

1. el error de la cobertura se mantiene acotado para cambios

bruscos del precio del activo o saltos en la volatilidad

(ยกconsecuencia de la difusiรณn!)

2. la cobertura tiene la misma fecha de vencimiento que el

derivado objetivo (y es para esa fecha donde se busca el

mรกximo contacto)

3. se pueden establecer estrategias semi-estรกticas, en las que la

cobertura y el derivado tienen mรกximo contacto para una fecha

previa (pros: el perfil es mรกs suave y series convergen

rรกpidamente; cons: ยฟdepende del modelo?)

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 53: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

4. en general, el pago del derivado objetivo debe ser:

de tipo Europeo

continuo

acotado (con caps/floors)

sobre un sรณlo activo subyacente

5. el portafolio de cubrimiento no es รบnico: ยฟcรณmo seleccionar

los derivados que van en el? ยฟbuscar minimizar costos?

ยฟminimizar el error?

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 54: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

4. en general, el pago del derivado objetivo debe ser:

de tipo Europeo

continuo

acotado (con caps/floors)

sobre un sรณlo activo subyacente

5. el portafolio de cubrimiento no es รบnico: ยฟcรณmo seleccionar

los derivados que van en el? ยฟbuscar minimizar costos?

ยฟminimizar el error?

barreras, tal vez Americanas?

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 55: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

4. en general, el pago del derivado objetivo debe ser:

de tipo Europeo

continuo

acotado (con caps/floors)

sobre un sรณlo activo subyacente

5. el portafolio de cubrimiento no es รบnico: ยฟcรณmo seleccionar

los derivados que van en el? ยฟbuscar minimizar costos?

ยฟminimizar el error?

barreras, tal vez Americanas?

discontinuas, aprox. de Padรฉ?

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 56: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

4. en general, el pago del derivado objetivo debe ser:

de tipo Europeo

continuo

acotado (con caps/floors)

sobre un sรณlo activo subyacente

5. el portafolio de cubrimiento no es รบnico: ยฟcรณmo seleccionar

los derivados que van en el? ยฟbuscar minimizar costos?

ยฟminimizar el error?

barreras, tal vez Americanas?

discontinuas, aprox. de Padรฉ?

mapeo a [0,โˆž)? Laguerre?

cobertura de orden superior: consideraciones finales

Page 57: cobertura global y de orden superiorย ยท Black-Scholes [1973], Merton [1973] 1. por el lema de Itล, si =๐œ‡ ๐‘ก+๐œŽ , entonces 2. construya el portafolio ฮ ๐‘ก= ๐‘ก+๐›ฟ ๐‘ก,

4. en general, el pago del derivado objetivo debe ser:

de tipo Europeo

continuo

acotado (con caps/floors)

sobre un sรณlo activo subyacente

5. la cobertura no es รบnica: ยฟcรณmo seleccionar los derivados de

cobertura? ยฟbuscar minimizar costos? ยฟminimizar el error?

barreras, tal vez Americanas?

discontinuas, aprox. de Padรฉ?

mapeo a [0,โˆž)? Laguerre?

cobertura de orden superior: consideraciones finales


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