VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6.2 del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora – M.M.Rey – B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión y hacer los ejercicios de la sección 6.1 Ejemplo Adicional 1 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos –6 y 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos –6 y 4 la dividen en tres grandes intervalos ( )−∞ −6, , [ ]−6 4, y ( )∞4,
( )6,−∞ − [ ]6 4,− ( )4,∞
( )6,x∀ ∈ −∞ − se tiene:
La distancia de cualquier punto x al punto –6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:
( )6 4x x− − < − ⇔ 6 4x x+ < −
[ ]6 4,x∀ ∈ − se tiene:
a. El punto medio entre –6 y 4 es –1, por lo tanto al ubicar el punto x en –1 la distancia entre –6 y x es igual que la distancia entre x y 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como:
( )6 4x x− − = − ⇔ 6 4x x+ = −
b. Si x está más cerca de –6 que de 4, se tiene:
( )6 4x x− − < − ⇔
6 4x x+ < − c. Si x está más lejos de –6 que
de 4, se tiene: ( )6 4x x− − > − ⇔
6 4x x+ > −
( 4,x )∀ ∈ ∞ se tiene:
La distancia de cualquier punto x al punto –6 es mayor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede expresar así:
( )6 4x x− − > − ⇔ 6 4x x+ > −
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
Ejemplo adicional 2 Comparar las distancias entre un número real cualquiera y los puntos 3 y – 5. Observando la recta numérica se tiene:
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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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( )5−−∞; ( )35;− ( )∞;3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 60
El punto medio entre ( )35;− es el punto – 1 y la distancia de este punto a – 5 y a 3 es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como:
( )1 5 1 3− − − = − −
Los ( )15 −−∈ ;x están más cerca de 5 que de 3, lo qué en términos de
valor absoluto puede escribirse: –
( ) 35 −<−− xx
La distancia de cualquier al punto – 5 es
menor que la distancia al punto 3. Este hecho se puede expresar en términos de valor absoluto así:
( 5−−∞∈ ;x )
5 3x x− − < −
ó ( ) 35 −<−− xx
expresiones que son equivalentes
Los ( )31;−∈x están más cerca de 3 que de –5, lo qué en términos de valor absoluto es.
( ) 35 −>−− xx
La distancia de cualquier al punto – 5 es mayor que la distancia al punto 3, lo que escrito en término de valor absoluto es:
( )∞∈ ;3x
( ) 35 −>−− xx
EJERCICIOS
1. Exprese en términos de distancia las siguientes expresiones: a. 38 − b. 54 + c. 6
d. 2− e. 3−x f. 3−x
g. x−1 h. x−5,7 i. 5+x
2. Expresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a 2 unidades del
origen b. Que se encuentran a menos de 3
unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4
unidades de –2 d. Que se encuentran a más de 3 unidades
de 5 e. Que se encuentran a más de 2 unidades
de –1 f. Cuya doble distancia a 2 es mayor que 3
3. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto:
a. La distancia entre dos números x e y es igual a 3 b. El doble de la distancia que hay entre un número x y el punto –2 es igual a 5
4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la expresión:
a. 2−x b. 3+x
5. Diga si es falso o verdadero
a. ( ) ( )5335 −−−=−−−
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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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b. ( ) 14101410 −+=−+
c. 8383 +−≤+−
d. ( ) 22312 −=−− xx
e. 33 −=− ππ
f. 0=x es equivalente a decir que 0=x
g. yx = significa que yx = ó yx −=
h. ℜ∈∀+=+ yxyxyx ,,
i. y ℜ∈∀ yx , yxyx <⇒<
j. La distancia entre y 1−21
− es 21
k. xx −=
l. 3−x es la distancia de x a –3
m. Si el triple de la distancia de x a 2 es 6, x puede estar en 38
n. ℜ∈∀= xxx
,33
6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de
valor absoluto: a. “m está a 5 unidades de –2” b. “x está a menos de 5 unidades de 3” c. “q está a más de 2 unidades de 1” d. Los puntos x cuya distancia a –3 no es
mayor que 7. e. La distancia entre dos números x e
y es igual a 3 f. El doble de la distancia que hay entre
un número x y el punto –2 es igual a 5 g. La distancia entre los puntos x y – y 7. Explique el significado de la expresión 43 >−x
8. Completar las siguientes afirmaciones.:
a. Si x es negativo, entonces = x ________________.
b. El valor absoluto de un número es la distancia al _________________ en la recta numérica.
9. Explique porqué 2 es el único valor que satisface 02 ≤−x
10. Exprese en palabras el significado de:
a. 213 >+x b. 215 <−x c. 50 << x
RESPUESTAS
1.a La distancia entre 8 y 3 1.b La distancia entre 4 y –5 1.c La distancia entre el origen y 6 1.d La distancia entre el origen y –2
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1.e La distancia entre un real x y 3 1.f La distancia entre un real x y 3 1.g La distancia entre 1 y un real x 1.h La distancia entre 7,5 y un real x 1.i La distancia entre un real x y –5
2.a 20 =−x 2.b 35 <−x 2.c 42 <+x 2.d 35 >−x
2.e 21 >+x 2.f 322 >−x
3.a 3=− yx
3.b 522 =+x
4.c 0 4.d 0
5.a Verdadero 5.b Falso 5.c Verdadero 5.d Verdadero 5.e Verdadero 5.f Verdadero 5.g Verdadero 5.h Falso 5.i Falso 5.j Verdadero 5.k Verdadero 5.l Falso 5.m Falso 5.n Falso
6.a 52 =+m 6.b 53 <−x 6.c 21 >−q 6.d 73 <+x
6.e 3=− yx 6.f 522 =+x 6.g yx +
7. Los puntos sobre la recta numérica cuya distancia a 3 es mayor de 4 unidades.
8.a ….–x … 8.b … origen 9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número
positivo, por lo tanto el único valor de x que satisface es 2=x
10.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a –3 es mayor de media unidad 10.b Los puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a 1 es menor de 2
unidades. 10.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva y menor
que cinco. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Estudiar previamente la SECCIÓN 6.3 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN y realizar los ejercicios de la sección 6.2 EJEMPLO ADICIONAL 3 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de
3 4x − = En éste caso 3x − significa la distancia entre x y 3, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es 3 .
29/08/05 4
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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Al ubicar 3 en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: ( )3,−∞ y [ )3,∞ ( )3,−∞ [ )3,∞
( )3 3 3,x x∀ ∈ x−∞ ⇒ < ∨ > Como la distancia de x a 3 es 33 x> x− (el número mayor menos el número menor), de donde:
3 3x x− = − Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
3 4 3 4 1x x x− = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −1x La solución en éste intervalo será:
( ) { } { }3 1,−∞ − = −∩ 1
[ )3 3,x x 3 x∀ ∈ ∞ ⇒ ≥ ∧ ≤ Como la distancia de x a 3 es 3x ≥ 3x − (el número mayor menos el número menor), de donde:
3 3x x− = − Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
3 4 3 4 7x x x− = ⇒ − = ⇒ = La solución en éste intervalo será:
[ ) { } { }3 7, 7∞ =∩
El conjunto solución de 3 4x − =
{
será por lo tanto } { } { }1 7 1 7,x x∈ − ⇒ ∈ −∪ ó { }1 7x x x= − ∨ =
El conjunto solución se representa gráficamente así:
EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de
112 44
x + =
Para solucionar ésta ecuación en primer lugar hay que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto x en la recta. Para leer 2 4x + en términos de distancia hay que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numérica es la diferencia entre el mayor y el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como
una diferencia ( ) 112 44
x − − = , por lo tanto ( )2 4x − − significa “la distancia entre el doble de x y –
4”, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación:
2 4 0x x 2+ = ⇒ = − Por lo tanto el punto de referencia es –2
( )2,−∞ − [ )2,− ∞
( )2 2 2 4 4 2x x x x⇒ < − ⇒ < − ∨ − >,∀ ∈ −∞ − Como la distancia de 2x a –4 es 4 2x− > 4 2x− −(el número mayor menos el número menor), de donde:
2 4 4 2x x+ = − − Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
[ )2 2 2,x x x 4∀ ∈ − ∞ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − Como la distancia de 2x a –4 es 2x ≥ −4
( )2x 4− − (el número mayor menos el número menor), de donde:
2 4 2 4x x+ = + Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene:
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
11 11 27 272 4 4 2 24 4 4
x x x+ = ⇒ − − = ⇒ − = ⇒ = −8
x
La solución en éste intervalo será:
( ) { } { }27 2728 8
,−∞ − − = −∩
11 11 5 52 4 2 4 24 4 4
x x x x8
+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = −
La solución en éste intervalo será:
[ ) { } { }5 528 8
,− ∞ − = −∩
El conjunto solución de 112 44
x + = es por lo tanto
{ } { } { }27 5 27 58 8 8
,x x∈ − − ⇒ ∈ − −∪8
ó { }27 58 8
x x x= − ∨ = −
El conjunto solución se representa gráficamente así:
EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 3 9 2 1 1x x x− = + + − 0
3x
En éste caso existen dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación:
3 9 0x − = ⇒ = y 12 1 02
x x+ = ⇒ = −
La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos: 12
,⎛ ⎞−∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
1 32
,⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )3,∞
12
,x ⎛ ⎞∀ ∈ −∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
3 9 9 3x x− = − y 2 1 1 2x x+ = − − Por lo tanto:
3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒ 9 3 1 2 10x x x− = − − + − ⇒
2 20 1x x− = − ⇒ = 0
La solución en éste intervalo es:
{ }1 102
,⎛ ⎞−∞ − = ∅⎜ ⎟⎝ ⎠
∩
1 32
,x ⎡ ⎤∀ ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
3 9 9 3x x− = − y
( )2 1 2 1 2 1x x x+ = − − = + Por lo tanto:
3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒ 9 3 2 1 10x x x− = + + − ⇒
6 18x x 3− = − ⇒ =
La solución en éste intervalo es:
{ } { }1 3 3 32
,⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦∩
( )3,x∀ ∈ ∞ :
3 9 3 9x x− = − y ( )2 1 2 1 2 1x x x+ = − − = +
Por lo tanto:
3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒ 3 9 2 1 10x x x− = + + − ⇒
0 0=
La solución en éste intervalo es:
( ) ( )3 3, ,∞ ℜ = ∞∩
El conjunto solución de 3 9 2 1 1x x x 0− = + + − es:
{ } ( ) [ )3 3 3, ,x x∈∅ ∞ ⇒ ∈ ∞∪ ∪ ó {
-4 -3 -2 -1 0278− 5
8−
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 612−
}3x x ≥
EJERCICIOS
29/08/05 6
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
Encontrar la solución de: a. 523 =−x b. 45
32
−=−x c. 425 =− x
d. 35 =− x e. 45 =− x f. 5312 =−−x g. xx −=+ 21 h. xx =2 i. 442 =−x
j. ( )( ) 623 =+− xx k. 121
−=−
xx
x l. xx
x=
−−
45
m. 52
21
52204 2
−=+
−−
xx
xx n. 1
22
−=++
xx
RESPUESTAS
a. 3
1131 ó
b. No hay solución c.
21
29 ó
d. 2± e. 91 ±± ó f. 35 −ó
g. 21
h. 10 ±ó i. 220 ±ó
j. 1043− k. No hay solución l.
2293 ±
m. 2
261−−
n. ( ) ( )0,22, −−−∞ ∪
SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM 21 EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solución de 3 2x − ≥
Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir 3 0 3x x− = ⇔ = , ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( )3;−∞ y ( )∞;3
-2 -1 1 2 3 4 5 6 70
29/08/05 7
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
En éste intervalo por lo tanto: 3 0x − <3 3x x− = −
Lo que nos lleva a decir que se tiene.
( )3;−∞∈∀x
3 2 1x x x− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ 1 Dada la condición de , el conjunto solución es:
( )3;−∞∈∀x
( ],1−∞
En éste intervalo 3 0x − > por lo cual
3 3x x− = − , por lo tanto se tiene.
3 2 5x x− ≥ ⇔ ≥
Dada l a condición ( )∞∈∀ ;3x , el conjunto solución es:
( ) [ ) [ )3; 5, 5,∞ ∞ = ∞∩
C.S.: ( ] [ ),1 5,−∞ ∞∪
EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solución de 43 ≤+− x
Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de x donde 303 =⇔=+− xx , ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( )3;−∞ y ( )∞;3
-2 -1 1 2 3 4 5 6 70
En éste intervalo por lo tanto: 03 >+−x33 +−=+− xx
Lo que nos lleva a decir que se tiene:
( )3;−∞∈∀x
1143 −≥⇔≤−⇔≤+− xxx Dada la condición de ∀ , el conjunto solución es:
( )3;−∞∈x
( ) [ ) [ )3113 ;;; −=∞−−∞ ∩
En éste intervalo 03 <+−x por lo cual ( )33 +−−=+− xx , por lo tanto se tiene.
( ) 4343 −≥+−⇔≤+−− xx
77 ≤⇔−≥− xx , ( )∞∈∀ ;3x , por lo
tanto el conjunto solución es: ( ) ( ] [ ]7373 ;;; =−∞∞ ∩
C.S.: [ ) [ ] [ ]717331 ;;; −=− ∪ Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM 22 HASTA 24 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solución de xx 332 >−
En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que 3 no es un real positivo para todo valor de x. Qué podemos hacer para resolverlo?
x
Haciendo un análisis sobre la recta numérica.Primero se determina el punto donde 2 , lo que permite establecer dos intervalos
03 =−x
29/08/05 8
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−
23; ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞;23
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−∈∀
23;x se tiene que , por
lo tanto
032 <−x
( )3232 −−=− xx
Por lo que la situación planteada equivale a resolver: ( ) xx 332 >−−
5335332 <⇔−>−⇔>+− xxxx
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞∈∀ ;
23x se tiene que , por lo
tanto
032 >−x
3232 −=− xx
Por lo que la situación planteada equivale a resolver: xx 332 >−
33332 −<⇔>−⇔>− xxxx
C.S. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−
53
53
23 ;;; ∩ C.S. ( ) ∅=−∞−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞ 323 ;; ∩
C.S. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−=∅⎟
⎠⎞
⎝∞−
53
53 ;; ∪⎜⎛
EJEMPLO ADICIONAL 9
Encontrar el conjunto solución de xx 32132 −>−
Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir
aquellos puntos donde 0132 =−x y 032 =− x , al resolver estas ecuaciones se tiene que:
32y
23 == xx , lo que permite establecer tres intervalos
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−
32, ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
23
32 ; ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞;23
En este intervalo 0132 <−x por lo
tanto ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=− 1321
32 xx y
por lo tanto 032 >− xxx 3232 −=−
En este intervalo
0132 <−x por lo
tanto
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=− 1321
32 xx
y 032 <− x por lo tanto
( )xx 3232 −−=−
En este intervalo 0132 >−x por
lo tanto 1321
32 −=− xx y
032 <− x por lo tanto ( )xx 3232 −−=−
De lo anterior el problema
planteado xx 32132 −>− se
convierte en
De lo anterior el problema planteado
xx 32132 −>−
De lo anterior el problema
planteado xx 32132 −>− se
convierte en
-2 -1 1 2 3 4 5
3/2
0
1 2
3/22/3
0
29/08/05 9
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
29/08/05 10
xx 32132 −>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
xx 32132 +−<−
12332 +−<− xx
731
37 >⇔−<− xx
se convierte en
( xx 32132 −−>⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
( )xx 32132 −<⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
12332 +<+ xx
3311 <x
119<x
( )xx 32132 −−>−
12332 +−>− xx
137 −>− x
73<x
C.S. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∞−
32
73
73
32 ;;, ∩ C.S. ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
119
32 ; C.S. ∅
C.S. ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=∅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞
⎝ 119
32
32
73
119
32
32
73 ;;;; ∪∪∪⎜⎛
El conjunto solución de xx 32132 −>− puede darse utilizando diferentes notaciones:
En notación de intervalos: ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
119
32
32
73 ;; ∪ ó { }
32
119
73 −⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ;
En notación de inecuación compuesta 119
32ó
32
73 <<<< xx
En representación gráfica:
1
2/33/7 9/11
0
EJEMPLO ADICIONAL 10 Encontrar el conjunto solución de xx 4462 −≥−
Usando propiedades del valor absoluto se tiene:
xx 4462 −≥−
1231231432 −≥−⇔−≥−⇔−≥−⇔ xxxxxx
Lo que en términos de distancia significa “ los números reales cuya distancia a 3 es mayor o igual al doble de la distancia a 1”
En este intervalo y
03 <−x01 <−x
Por lo tanto
En este intervalo 03 <−x y 01 >−x
Por lo tanto
En este intervalo 03 >−x y 01 >−x
Por lo tanto
1 2 30
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
29/08/05 11
⇔−≥− 123 xx
( ) ( ) ⇔−−≥−− 123 xx ( )123 −≤− xx
232 −≤− xx 11 −≥⇔≤− xx
⇔−≥− 123 xx
( ) ( ) ⇔−≥−− 123 xx ⇔−≥+− 223 xx
3553 ≤⇔−≥− xx
⇔−≥− 123 xx
⇔−≥− 223 xx ⇔+−≥− 322xx
1−≤x
C.S. ( ] [ ) [ ]1111 ;;; −=∞−−∞ ∩ C.S.
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ ∞−
351
3531 ;;; ∩
C.S. [ ) ( ] ∅=−−∞∞ 13 ;; ∩
C.S. [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
351
35111 ;;; ∪
El conjunto solución representado en la recta numérica es:
-1 1 2 3
5/3
0
EJERCICIOS 1. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones:
a. 237 >− x b. 0243 ≤−−x c. 3432y24 >−=+ xx
d. 432 >−x e. 2132
≥−x f. 232≤−x
g. 53 +< x h. 53 =−x y 2>x i. ( ) 532
≤+− xx
j. 22y21 ≤−≤− xx k. 11y41 >−≥+ xx l. 221 ≤+≤ x ó 01
<−x
x
m. 02<
+xx n. 7113 ,>+x o. 0
31
>−x
p. 1537 ,>−− x q. 4533 >−+ xx r. xx 4153 −<− s. 747 +>− xx t. 128 +≥− xx u. 1732 +−≤− xx
v. 21274 >−−++ xx w. 3312 −+≤+ xx
RESPUESTAS
a. ( )∞⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞− ,3
35, ∪ b. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 2,
32
c. 62 −=−= xóx
d. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞− ,
27
21, ∪ e. ⎟
⎠⎞
⎢⎣⎡ ∞⎥⎦
⎤⎜⎝⎛ −∞− ,
29
23, ∪ f. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
38,
34
g. ( ) ( ∞−−−∞ ,28, ∪ ) h. 82 =−= xóx i. [ ]4,6−
VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
Documento Preliminar
j. [ ]3,0 k. ( ] [ )∞−∞− ,35, ∪ l. ( )0,−∞ m. ( )2,−−∞
n. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞− ,
307
109, ∪
o. { }3−ℜ
p. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞− ,
7021
7081, ∪ q. ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞− ,
87
21, ∪ r. ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−∞−
35,
764, ∪
s. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− 0,
314
t. u.
v. w.
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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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EJERCICIOS DE REPASO
1. Encuentre el valor de m y n para que el conjunto de números reales que satisface nmx ≤−3 tenga la siguiente representación gráfica:
2/3-10/3
2. Para qué valores de p la inecuación 372
3 −≤− px no tiene solución?
3. Encontrar el conjunto solución.
a. 834 −≤+ xx b. 0243 ≤−−x c. 217 =−x
d. 232 <+− x e. x≥3 f. 154 >+− x
g. 82y1282 <=− x-x h. 22y21 ≤−≤− xx i. 11y41 >−≥+ xx
j. 221 ≤+≤ x k. 3 5 4 2x x− − + ≤ l. ( ) 532
≤+− xx
m. 46 −−− n. 111 −−−−
4. A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la
situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo y en notación de desigualdad, y, exprese en palabras la situación.
a. 2
32 ≤−x
b. 53 +< x c. 53 =−x y 2>x
5. Escriba en notación de intervalo 2−x , si 2>x 6. Los valores de x que cumplen con xx = 7. Los valores de x que cumplen con xx < 8. Completar
a. Si , entonces, 0>a =−a
b. Si , entonces, 0<b =−b
c. La distancia entre es: 5y9−
d. El conjunto de todos los reales tales que xx −=− 22 es
9. Complete la tabla siguiente: X y x y xy yx
yx
y
x
yx + yx +
-5 5 -1
23
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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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10. Simplifique xyyx −−−
11. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las expresiones de la
derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla.
1231 <− xa 551 <≤− xb
( ) xxa 2122 −>− 72 <xb
3520353 −>−−≥− xa 23 >xb
532
567
4 −< xa 214 << xb
515 −>+ xxa ℜ6b
12. Que podemos decir de z, si, 0<zz 13. Demuestre que ( ) 22312 −=−− xx y exprese en palabras el significado de la igualdad. 14. En qué caso es x−1 igual a 1 - x ? En qué caso es igual a x - 1?
15. Encontrar la solución de: a. ( ) 5921 −>−− xx b. ( ) 414 ≤−− xx
c. ( ) 21 −>+− xx d. 4232 ≤++ xx e. 3232 2 ≤−− xx
f. 21062 <+− xx g. xxx 3192523 2 −>−− h. 644614 22 −≥−+ xxx
i. 22 4291144 xxxx −−≥−+ j. 4232 ≤++ xx k. 21343
≤−+
xx
l. 2113 <
+−
xx m.
32
157 >
+−
xx n. 4
223 ≥+−
xx
o. 31
12≤
−+x
x p. 175
1107
>−
+x
x q. ( ) 212 −>+− xx
RESPUESTAS
1. 64 =−= nym 2. 3<p 3.
a. [ )∞,6b. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 2,
32
c. 71
73
−ó
d. ℜ e. [ ]3,3− f. No hay solución g. 2− h. [ ]3,0 i. ( ] [ )∞−−∞ ,35, ∪ j. [ ] [ 0,13,4 −−− ∪ ]
k. ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛−
211,
41
l. [ ]18,2−
m. 2 n. 3− 4.
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VALOR ABSOLUTO EN LA RECTA NUMÉRICA
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a. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
37,
34
b. ( ) ( )∞−−−∞ ,28, ∪ c. 8=x
5. ( )∞,0 6. [ )∞,0 7. ( )0,−∞
8. a. a b. b− c. 14 d. ℜ
9. X Y x y xy yx
yx
y
x
yx + yx +
-5 5 5 5 25 25 1 1 0 10 -1
23 1
23
23
32
32
21
25
23
10. 0 11. , , , ,
41 bcona62 bcona
13 bcona24 bcona
35 bcona
12. 0<z13. 14. Si y cuando 01 ≥− x 01 <− x15. a.
b.
c.
d. e.
f.
g. h.
i.
j. k.
l.
m. n.
o.
p. q.
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