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Submitted on 6 Jun 2011

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Contribution à la robustesse des systèmes temps réelembarqués - Approches de dimensionnement du

mécanisme de protection temporelle d’AUTOSAR OSDominique Bertrand

To cite this version:Dominique Bertrand. Contribution à la robustesse des systèmes temps réel embarqués - Approchesde dimensionnement du mécanisme de protection temporelle d’AUTOSAR OS. Modélisation et sim-ulation. Université de Nantes, 2011. Français. tel-00598305

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Interne

Logicielle

Humaine Naturelle Naturelle

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Per. Per. Per.Per. Per. Per. Per.Per. Tr. Tr. Tr. Tr.Tr. Tr.

3 4 5

Per.: Persistante, Tr.: Transitoire

6 7 8 9 12 13 14 15 17 18 19

Externe

Naturelle Humaine

Acc.

Tr.

Acc.

Tr.

Faute

1611

Humaine

Interne

Logicielle

Acc.

Per.

1

Per.

10

D.−n.m.

Per.

2

Humaine

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10−6 < λd ≤ 10−7 10−2 < PFD ≤ 10−3

10−5 < λd ≤ 10−6 10−1 < PFD ≤ 10−2

♥ ①♥

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♣tr ②stè♠s t♠♣s ré ♠rqés t sûrté ♦♥t♦♥♥♠♥t

CEI 62061

EN 50126

EN 50128

EN 50129

CEI 61511 CEI 61513 ISO 26262

CEI 61508

Process Industriel AutomobileMachine FerroviaireNucleaire

r ♥♦r♠ t s érés

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♥térté Pr♦té ♠①♠ tr rét♦♥

sérté é♥ rsq ♠♥é

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10−3 < p ≤ 10−4 104 à 103

10−2 < p ≤ 10−3 103 à 100

10−1 < p ≤ 10−2 100 à 10

♥ ①♥

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SUSPENDED

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Application

+

Plate−Forme

Envirronement

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Interne

Logicielle

Humaine Naturelle Naturelle

D.−m. Acc. D.−n.m. D.−m. Acc. Acc. Acc. D.−n.m. D.−m. D.−n.m. D.−m.

Per. Per. Per.Per. Per. Per. Per.Per. Tr. Tr. Tr. Tr.Tr. Tr.

3 4 5

Per.: Persistante, Tr.: Transitoire

6 7 8 9 12 13 14 15 17 18 19

Externe

Naturelle Humaine

Acc.

Tr.

Acc.

Tr.

Faute

1611

Humaine

Interne

Logicielle

Humaine

Acc.

Per.

1

Per.

10

D.−n.m.

Per.

2

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♦♠♠ s♦♥é ♣r ❱st t r t ❱st ♥ s♦sst♠t♦♥ ♣ ♣t êtr ééré st ♦rs ♥s s♦sst♠r ❲ s tâs s♠♦♥s rtqs ♥

♠♥♠sr ♥ ♣r♦r♠♥ rqs ♦♥r♥♥t ♣r♦ssr ♠♥♠sr ♦rt rqs ♣♦r ♣r♦r ♥ st♠t♦♥ ♣rés t sûr ❲

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ASIL:A ASIL:B ASIL:C ASIL:D

temps

d'exécution

FdPestimation du WCET

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Pr♦é♠tq

♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♦♥séré st ♣r♦♣♦sé ♣r ❯ ♣rés♥té st♦♥ ♦tr ét ♣♦rt sr ♥tt♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t s♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t

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Pr♦rté Pér♦ é♥ ♠♣s ①ét♦♥

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Pr♠ètrs ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ A

Pr♦é♠tq

r♦♥♦r♠♠ r r♣rés♥t séq♥ ①ét♦♥ s ér♥ts tr① ♦ér♥ts ♥st♥s

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32

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19

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é♦rè♠ P♦r ♥ ♥s♠ tâs ♣ér♦qs à éé♥ sr rqêt ♦r♦♥♥♥é♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rté ① ♥st♥t rtq ♥ tâ sr♥t♦rsq t tt♦♥ ♥ ss ♥st♥s ♦ï♥ s ♥ ♥st♥ t♦tss trs tâs ♣s ♣r♦rtrs q

é♦rè♠ ♥s ss s ♣♦tqs ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣ré♠♣ts à ♣r♦rtés ①s t♣♦r ♥ s ♦♥rt♦♥s tâs ♥é♣♥♥ts ♣ér♦qs s②♥r♦♥ t à éé♥ srrqêts ♣♦tq t ♦♥♦t♦♥ ♣s ♣ér♦ st ♣tt ♣s ♣r♦rté té str♥ st ♦♣t♠ stàr q s ♥ t ♦♥rt♦♥ tâs st ♦r♦♥♥♥ç♥ ♣♣q♥t ♥ tt♦♥ rtrr s ♣r♦rtés st ss ♣♦r ♣♦tq t♦♥♦t♦♥

é♦rè♠ P♦r ♥ ♥s♠ n tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts à éé♥ srrqêt ♦r♦♥♥♥é ♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t t ♦♥♦t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ss♥t ♦r♦♥♥♥çté st

U =

n∑

i=1

Ci

Ti≤ n.(21/n − 1)

②♣♦tès éé♥ sr rqêt ♣t êtr r①é ♥♦s ♦♥sér♦♥s s tâsà éé♥ ♦♥tr♥t Di ≤ Ti ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦♣t♠ st ♥♦♥♦t♦♥ ♣s éé♥ rt st ♣tt ♣s ♣r♦rté té st r♥ t ♦♥t♦♥ ss♥t ♦r♦♥♥♥çté st

CH =n∑

i=1

Ci

Di≤ n.(21/n − 1)

s ♦♥t♦♥s ♦r♦♥♥♥çté é♥♦♥és sss ♥ s♦♥t q s ♦♥t♦♥s ss♥tst ♥♦♥ ♥éssr

♣tr ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

①♠♣ Pr♥♦♥s ①♠♣ s②stè♠ ♦♠♣♦sé tâs ♣ér♦qs ♣r♠ètrs①ét♦♥ ts q

T1 = 4; C1 = 1; D1 = T1; π1 = 3;T2 = 6; C2 = 2; D2 = T2; π2 = 2;T3 = 8; C3 = 2; D3 = T3; π3 = 1;

tst♦♥ ♣r♦ssr ♣♦r s②stè♠ st é à

C1

T1+

C2

T2+

C3

T3=

5

6≈ 0.83 > 3.(21/3 − 1) ≈ 0.78

r séq♥ s②♥r♦♥ ♦♠♣♦s♥t ♣r s ①ét♦♥ r♣rés♥té r é♠♦♥trq s②stè♠ st ♦r♦♥♥♥ç

t

t

t

r s s②stè♠ ♦r♦♥♥♥ç U > n.(21/n − 1)

♦

♥s s ♥♥és s ♦♥t♦♥s ♥éssrs t ss♥ts ♦♥t été ♣r♦♣♦sés s ♣r♠èrs s♦♥t sés sr r ♣r♦ssr ♥ i Wi ♦③② t é♥♦♥♥t té♦rè♠ s♥t ♣♦r s tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts à éé♥ sr rqêt té♦rè♠ st ét♥ ♣r ss♦r t rs ♣♦r s tâs à éé♥ ♦♥tr♥t

é♦rè♠ ❯♥ ♥s♠ n tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts à éé♥ ♦♥tr♥t♦r♦♥♥♥é ♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rtés ①s st ♦r♦♥♥♥ç s t s♠♥t s

∀i = 1, . . . , n, ∃t ∈ [0, Di], Wi(t) =i∑

j=1

⌈t

Ti

⌉Cj ≤ t

♥s♠ s ♥st♥ts à ①♠♥r st rét ① ♣♦♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t s tâs♣s ♣r♦rtrs ♦③② t

é♦rè♠ ❯♥ ♥s♠ n tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts à éé♥ ♦♥tr♥t♦r♦♥♥♥és ♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rtés ①s st ♦r♦♥♥♥ç s ts♠♥t s

max1≤i≤n

mint∈Ei

Wi(t) ≤ t

Ei =

k.Tj | j = 1, . . . , i ; k = 1, . . . ,

⌈Di

Tj

⌉

r♦♥♥♥çté s s②stè♠s étr♠♥sts

①♠♣ ♣r♥♦♥s ①♠♣ s②stè♠ ①♣♦sé sss t trç♦♥s r W3(t)♣♦r t ∈ [0, T3] ♥s♠ s ♣♦♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t à étr st

E3 =

k.Tj | j = 1, . . . , 3 ; k = 1, . . . ,

⌈D3

Tj

⌉

= 0, 4, 6, 8

♦s ♦♥s ♦rs r W3(t) ♣♦r q t ♦♥t♥ ♥s E3 Pr ①♠♣ à tt = 6

W3(6) =

3∑

j=1

⌈t

Ti

⌉Cj

= 2.C1 + C2 + C3 = 6

♣rès ♦r é q ♣♦♥t ♥♦s ♦t♥♦♥s ♦r ♣rés♥té r ♣♦♥té

t0 4 6 8

8

6

5

W3(t)

r ♦t♦♥ W3(t) sr ♥tr [0, T3]

rs r♣rés♥t sstr y = t W3(t) ♦♣ tt ♦r ♥ t = 6 ①st ♦♥ t ∈ E3

t q W3(t) ≤ t tâ τ3 st ♦r♦♥♥♥ç♦

P♥♥t t♠♣s ♥ tr r♦♣ rrs ♦r♠ ♥ ♠ét♦ és♦♥ sésr ♣r t♠♣s ré♣♦♥s ♥ ♥st♥ ♥é♣♥♠♠♥t ♦s♣ t P♥② t s② t ♦r♠♥t té♦rè♠ s♥t

é♦rè♠ P♦r ♥ ♥s♠ n tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts à éé♥s ♦♥tr♥ts ♦r♦♥♥♥és ♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rtés ①s ♣r t♠♣s ré♣♦♥s ♥ tâ τi st t q

Ri = Ci+∑

τi∈hp(i)

⌈Ri

Ti

⌉Cj

hp(i) = τjj=1,...,n | πj < πi

♦③② râ é♥t ♥st♥t s②♥r♦♥ ♣♦r s s②stè♠s à éé♥s srrqêts ♦ ♦♥tr♥ts

♣tr ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

é♦rè♠ P♦r ♥ ♥s♠ tâs ♣ér♦qs ♦r♦♥♥♥és ♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rté ① ♣r t♠♣s ré♣♦♥s τi st ♣r♠èr ♥st♥ τi ♥s ♣ér♦ tté s②♥r♦♥ ♥ i s♦t Ri = Ri,1

♥ t ét♥ s ♦♥tr♥ts éé♥s sr rqêt à Di ♦ éé♥s♦♥tr♥ts ♥ ♦r♥ss♥t ♥ tst ①t ♥s s tâs à éé♥s q♦♥qs

①♠♣ ♣r♥♦♥s ①♠♣ s②stè♠ ①♣♦sé ♣réé♠♠♥t t ♦♥s ♣r t♠♣s ré♣♦♥s tâ τ3 st tért ♥ ♣r♥♥t ♦♠♠ ♥tst♦♥ r①ét♦♥ C3

R13 = C3 = 2

R23 = C3 +

⌈R1

3

T1

⌉+

⌈R1

3

T2

⌉= 5

R33 = C3 +

⌈R2

3

T1

⌉+

⌈R2

3

T2

⌉= 6

R43 = C3 +

⌈R3

3

T1

⌉+

⌈R3

3

T2

⌉= 6 = R3

3 = R∗3

♣r t♠♣s ré♣♦♥s tâ τ3 st é à r♦♥♦r♠♠ str tt ♣r♦♣rété ♣r t♠♣s ré♣♦♥s st ♣rés♥t ♦rs ♣r♠èr tt♦♥ à ♥st♥t s②♥r♦♥t st ♥ é à ♥tés t♠♣s ♦

♥②s

Pr♦tt♦♥ t♠♣♦r t ♥②s ♦r♦♥♥♥çté

♥s s ♥ ét ♦r♦♥♥♥çté ♥♦s ♥♦♥s ♦r q s ♣r♥♣① ♣r♠ètrs ♦♥sérés ♣♦r q tâ τi s♦♥t s ♣ér♦ Ti s♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ Ci s♣r♦rté πi t s♦♥ éé♥ rt Di

s éts s♦♥t ♦♥ résés ♥s ♣r s t r♥tss♥t ♥ ♦r♦♥♥♥çté sûr s②stè♠ ♥ ♥st♥ ♥ rt s♦♥ éé♥ ♥ s♥ ts ♥ s②stè♠ ♦♠♣♦sé♥q♠♥t tâs ♥é♣♥♥ts ♦r♦♥♥♥é ♣r ♥ ♣♦tq ♣ré♠♣t à ♣r♦rté ①t s st ♦r♦♥♥♥ç ♥ ♦♥sér♥t ♥ t♠♣s ①ét♦♥ q ♥st♥ é ♣r t♠♣s ①ét♦♥ ♦rs st s rs ①ét♦♥ ♥érrs

t ①ét♦♥ st ♥ r ♠t ①ét♦♥ ①r tt r ♣r t♠♣s①ét♦♥ ♣r♠t r♥tr ♥ ♦r♦♥♥♥çté sûr ♣sq q ♥st♥ é♣ss♥ts♦♥ t st ♦♥séré ♦♠♠ t t st rrêté ♦♠♠ s♣ét♦♥ ❯ ♣t sérr tt r ♣t ♦♥ êtr ♣rs ♣♦r ♦♥rr s ts ①ét♦♥

Pr♠èr ♣♣r♦ ♣♣r♦ ♠♣t

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♣rés♥té st♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♣r♦♣♦sé♣r ❯ st sé sr tr♦s ts tés à q ♥st♥

♠t♦♥s

t ①ét♦♥ EXECUTION❴BUDGET r♥tss♥t ♠①♠♠ t♠♣s①ét♦♥ ♥ ♥st♥

♥êtr t♠♣♦r TIMEFRAME r♥tss♥t ♥ ♥tr t♠♣s ♠♥♠♠♥tr ① tt♦♥s

t ♦ BLOCKING❴TIME❴BUDGET r♥tss♥t ♥ t♠♣s rr♦ ♠①♠♠ ♥ rss♦r ♦ ♥ ♠sq ♥trr♣t♦♥s

♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♥♦s rstr♥♦♥s ① tâs ♥é♣♥♥ts ♥ rss♦r♥ ♣t ♦♥ êtr ♣rés♥t ❯♥ ♣r♠èr ♣♣r♦ ♦♥sst à ♦♥rr ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ s♦♥ sé♠ s♥t

TIMEFRAME = Ti

EXECUTION❴BUDGET = Ci

BLOCKING❴TIME❴BUDGET = NotUsed

♦s ♦♥s ♦rs ér tt ♦♥rt♦♥ sr ♥ ♥s♠ s②stè♠s ♦♥t♥♥ts sts

♠t♦♥s

Pr♠ètr é♥ért♦♥ s ♣♣t♦♥s

P♦r ér s ér♥ts strtés ♦♥rt♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♥♦s ♦♥s é♦♣♣é ♥ ♥r♦♥♥♠♥t s♠t♦♥ ♦r ♥♥① t ♦t st♦♠♣♦sé ① ♣rts é♥értr rttr t s♠tr ♣♣t♦♥s t♠♣sré

é♥értr rttr

é♥értr rttr été ♠♣♥té s♦s t ♣r♠t é♥érr ♥ ♥s♠ tâs q rttr st ♦♠♣♦sé n tâs ♦♥t q ♣r♠ètrτi = Ci, Ti, Di, Li, πi ♦t êtr ①é P♦r é♥ért♦♥ s ér♥ts ♣r♠ètrs ♥♦s①♦♥s s rès s♥ts

♣ér♦ Ti q tâ st ♦s ét♦r♠♥t ♥s ♥ st rs srs s♦♥t ♦ss ♣r ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé ♣r ♦♦ss♥s t q ♥ ♠♥♠sr②♣r♣ér♦ ♥s ♥♦tr ét s rs ♣♦sss s♦♥t trés ♥s ♥s♠

T =2u2 × 3u3 × 5u5 | u2, u3 ∈ 0, 1, 22, u5 ∈ 0, 1

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

②♣r♣ér♦ T ♥s s ♥ s②stè♠ s②♥r♦♥ st é ♣s ♣tt ♦♠♠♥ ♠t♣♣♣♠ s ♣ér♦s ♥s ♥♦tr s ét ♦♠♠ q r st ♦♠♣♦sé ♣ss♥ ♥♦♠rs ♣r♠rs ②♣r♣ér♦ ♥ ♣t ♣s é♣ssr r ♠①♠ ♣♦ss ♣♦r♥ ♣ér♦ max(T ) = 180 ♥té t♠♣s ♣r t♠♣s ①ét♦♥ Ci st ①é ♣r ♥s ♦rt♠s ♣r♦♣♦sé ♣r ♥ t tt③③♦ ❯♥ ❯tt♥ t ❯❯♥st q♣r♠t ①r s rs ①ét♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r ♦ ♣r♦ssr U ésré

♣tr ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

s éé♥s s♦♥t é♥s ts q rt♦ η = Di/Ti s♦t ♠ê♠ ♣♦r q tâ ♦ss♣♣♦s♦♥s s tâs à éé♥s ♦♥tr♥ts ♣r♠ètr η st ♦♥ t q η ≤ 1 ♥s s ♣rtr ♦ù η = 1 ♥♦s ♦♥s Di = Ti s s tâs à éé♥ sr rqêts s♣r♦rtés s♦♥t tés s♦♥ ♦rt♠ ♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♦rt♠ ♦♣t♠ ♥s s ♦ù η ≤ 1 st♦♥

♦♠♣♦rt♠♥t é♥értr st ♥s ♦♥trôé ♣r tr♦s ♣r♠ètrs ♥♦♠r tâs n tst♦♥ ♦ ♣r♦ssr U =

∑ni=1Ci/Ti t séérté s ♦♥tr♥ts t♠

♣♦rs η

r r♣rés♥t ré♣rtt♦♥ s ♣r♥♣① ♣r♠ètrs é♥érés sr ♥ ♥s♠ rttrs s ♣r♠ètrs é♥értr ét♥t ①és à n = 10 U = 0.9 t Di/Ti = 0.75q ♦♦♥♥ sss ♦rrs♣♦♥ à ♥ rttr ♦r♦♥♥é à ré♣rtt♦♥ sr♦① s rs r♣rés♥t♥t ♥s♠ s rs trés s tr♥s t r♦♥s sr♣rés♥t♥t rs♣t♠♥t s rs ♠①♠s t ♠♥♠s ♣♦r q rttr sr♦① ♥♦rs r♣rés♥t♥t s rs ♠♦②♥♥s ♣♦r q rttr t ♥ ♣♦♥té ♠♦②♥♥ sr ♥s♠ s tâs é♥érés

0 10 20 30 40 500

50

100

150

200

T

0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

C

0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

U

0 10 20 30 40 500

0.1

0.2

0.3

0.4

C/D

r é♣rtt♦♥ s ér♥ts ♣r♠ètrs ♠♦ést♦♥ rttrs

t ♣rés♥t ♥ ré♣tt s rs ♠①♠s ♠♥♠s s ♠♦②♥♥st értst②♣s ♦t♥s ♣♦r Ti t Ci/Di sr ♥s♠ s rttrs é♥érés

♠t♦♥s

η max min m σ

Ti

Ci/Di

♦♠♣♦rt♠♥t é♥értr rttr n = 10 U = 0.9 t Di/Ti ∈1, 0.75, 0.67

♦è ts

♦♥r♥♥t s♠t♦♥ s ts ♥♦s ♠♦és♦♥s ♣♦ssté s♦sst♠t♦♥ ❲ ♠s ♥tér♦♥s é♠♥t t q ♣r t♠♣s ①ét♦♥ ♥st ♣s tt♥t ♣rq ♥st♥ Psq st ♠♣♦ss s♠r s②stè♠ ♥s s ♣ér♦ ♦♠♣èt tté ♥♦s é♦♥s ♠♥tr rt♠♥t réq♥ ♣♣rt♦♥ ts ♦♠♠♥♦s ♦♦♥s strssr ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♥♦s ♦♥s ♦♦♥tr♠♥t ♠♥té ♠♣♦rt♥ s ts ér♥ ♥tr r st♠é ❲ t r ①ét♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ ♥ ♥st♥ ♥ tâ τi st ♦♥ ♦s ♥s ♥ ♥tr[cmin, cmax] = [γmin.Ci, γ

max.Ci] ♦s ♦sss♦♥s ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ ♣r♠étré ♣rγmin t γmax ♣r♠ètrs s♠t♦♥ ♦s ♦♥s ♦♥

∀i ∈ 1, . . . , n, ∀j, ci,j = r♥u (γmin.Ci, γmax.Ci)

r r♣rés♥t ♥ ①♠♣ ♦① s ♣r♠ètrs γmin t γmax ♣r r♣♣♦rt à♥ ♦♥t♦♥ ♣r♦té ré ♠ à r

ASIL:A ASIL:B ASIL:C ASIL:D

temps

d'exécution

FdPestimation du WCET

cmin

cmax

r é♣rtt♦♥ s ér♥ts ♣r♠ètrs ♠♦ést♦♥ rttrs

trs strt♦♥s ♦ ♥♦r♠ ♣r ①♠♣ ♦♥t été tstés ♠s s réstts ♦t♥ss♦♥t qs♥tqs t ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ st s♠♣ à ♠ttr ♥ ♣ t à ♥②sr

♠tr s②stè♠ t♠♣sré

s♠tr st sé sr ♦ît à ♦t t♠♥ r♠ ♥ t ♣♣♦rt qqs ♠♦t♦♥s ♣r♠tt♥t ♠♣é♠♥tr ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

♣tr ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

t♠♣♦r s ♠é♥s♠s étt♦♥ s rrrs t♠♣s ①ét♦♥ s♣érr tt étt♦♥ é♥ éé♥ rté s♦♥t ♠s ♥ ♣ ♣♦r ①trr s éé♥♠♥ts♣rt♥♥ts s s♠t♦♥s s ① ♠srs ♣r♠tt♥t rtérsr qté ♥ ♦rt♠ ♦♥rt♦♥ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ❯♥ rés♠é ♦♠♣♦st♦♥ ♦îtà ♦t ♥s q♥ ♣rç s ér♥ts ♠♦t♦♥s ♣♣♦rtés st ♣rés♥té ♥♥①

s♠t♦♥ st résé ♥ é♥ss♥t ♥ ♣ér♦ ét T etude tt ♣ér♦ étst ♦♥t♦♥ ♥♦♠r tt♦♥s tâs s♠és t ②♣r♣ér♦

T etude = k.T | nbActivations[0,k.T ] ≥M

♦ù M st ♥♦♠r ♠♥♠♠ tt♦♥s q ♥♦s s♦t♦♥s s♠r t♦ts tâs ♦♥♦♥s

r r♣rés♥t ♥s♠ s♣♦st s♠t♦♥ é♥értr s♠trss ♥trés ♣r♠ètrs t ss s♦rts ♠srs

Avec

protection

Générateurd'architecture

U

n

T, C, D, π

ϒmin

ϒmax

[c(ij)]

Défaillances

50 CONFIGURATIONS

D/T

C

Générateur de fautes

Simulateur

de système

temps réel

TrueTime modifié

PDF

exectime

min.C max.C

Générateur de configurations

Erreursdétectées

Défaillances

Sans

protection

r é♥értr t s♠tr ♣♣t♦♥s

éstts s♠t♦♥s

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s é♥értr st ♦♥ré s ♣r♠ètrs ♥tré ①és àn = 10 U = 0.9 t η = Di/Ti = 0.67 s♠tr st ♦♥ré t q γmin = 0.95 tγmax = 1.15 s t♠♣s ①ét♦♥ trés ét♦r♠♥t ♣♥t êtr ♣s ♣tts ♦ ♣s r♥sq r ❲ st♠é t tsé ♣♦r ♠♥s♦♥♥r s②stè♠ q s♠t♦♥st st♦♣♣é ♣rès tt♦♥s ♥st♥s rttrs s♦♥t é♥érés t s♠és t s♥s r♦rs à ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r

♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r st ♦♥ré s♦♥ sé♠ ért ♣réé♠♠♥t

TIMEFRAME = Ti

EXECUTION❴BUDGET = Ci

♥♦♠r ♦t♦♥s éé♥ st ♠sré t s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥sq ♥♦♠r ♥st♥s tés ♣r ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♥t r tr♠♥s♦♥ s ①

♠t♦♥s

♠srs ♣r♠tt♥t ér ♦♠♣ét ♠é♥s♠ t♦ts s é♥s s♦♥t sé♠♥és t s ♣rés♦♥ t♦ts s rrrs éttés ♥trî♥♥ts ♥ é♥

s réstts s♦♥t ♦♥♥és r ♥♦♠r ♥st♥s tés ♣r ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ s♣érr t sr ♥s♠ s ♥st♥s é♥érés sttré ♣♦r q rttr ♥ r é r♦t ♥♦♠r ♥st♥s é♣ss♥t r éé♥ s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ st tré ♣♦r q rttr ♥♦♥t♥ é s ♥s ♣♦♥tés r♣rés♥t♥t s rs ♠♦②♥♥s s ①♠srs s réstts ♠♦♥tr♥t q ♠♠♥s ♠♦rté s ts s♠és é♣ss♠♥t

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Deadlines M

issed

Architectures

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Overr

uns

r r①ét♦♥s t éé♥s rtés ♥s s ♦ù D/T = 0.67

st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ ♥♥trî♥♥t ♥ é♥ Ps ♣résé♠♥t ♥♦♠r ♠♦②♥ éé♥s rtés s♥s r♦rs ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ s②stè♠ rst à ♦♠♣rr ♥♦♠r ♠♦②♥ sr①ét♦♥s éttés q st ♣♣rt t♠♣s ①st ♥ t♠♣s r① r♥t q ♥ tâ ♥ rt s①étrq ♣r♠t s②stè♠ ♥♦r♠♠♥t srré s♦rr s♥s♠♥t s ts

η max min m σ

r①ét♦♥s é♥s rtés ♣r♦tt♦♥

é♥s rtéss♥s ♣r♦tt♦♥

r①ét♦♥s t éé♥s rtés ♥s s ♦ù D/T = 1, 0.75, 0.67

t rés♠ s rs ♠①♠s ♠♥♠s ♠♦②♥♥s t értst②♣s s① ♠srs ♣♦r s ér♥ts rs η ∈ 1, 0.75, 0.67

♣tr ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

♦♠♠ ♥♦s ♣♦♦♥s ♣rss♥tr ♥♦♠r ♦t♦♥s éé♥s ♠♥ ♦rsqη = D/T ♠♥t ♥ t s♣♣♦s q s②stè♠ st ♠♦♥s ♦♥tr♥ts éé♥ ♣s♦♥t♥ q ss ♣s ♠r à q ♥st♥ ♣♦r s①étr

♣♣rt s s②stè♠s ♦♥sérés ♠ré ♥ tst♦♥ ♣r♦ssr U éé U = 0.9♣♦ssè s t♠♣s rs q ♣r♠tt♥t à ♦r♦♥♥♥r s♦rr ♠♦rté s ts♣♥♥t rtr ♥ éé♥ ♣t ♦r ♥ ♦♥séq♥ ♥♦♥♥é ♣♦r rt♥stâs s②stè♠ tâs rtqs ♥s s ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♣r♠t ♠♣êr ♣r♦♣t♦♥ rrr t ♦♠♥♦ ♥tr s tâs t r♥tr ♦r♦♥♥♥çté q ♥st♥ tâ

sss♦♥

Pr♥♦♥s ♥ ①♠♣ s②stè♠ é♥éré ♣r é♥értr rttr t ♥②s♦♥s sréstts ♦srés ♥ ♦♥t♦♥ ♦r♦♥♥♥çté s②stè♠

♣rtr ♥ ①♠♣

①♠♣ ♦t S s②stè♠ é♥éré ♥ s②stè♠ ♦♠♣♦sé tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts S = τ1, . . . , τ10 ssés ♣r ♦rr ♣r♦rtés ér♦ss♥ts ♦♥t s ♣r♥♣① ♣r♠ètrs s♦♥t ♣rés♥tés t ❯♥ st♠t♦♥ ♣rt♠♣s ①ét♦♥ C♣♦r q tâ st tré t q tst♦♥ ♣r♦ssr ♦ s♦t ♥r♦♥ Ubase = 0.8965

s t♠♣s ①ét♦♥ s♦♥t trés s♦♥ ♥ ♦ ♥♦r♠ Cmin = ⌈0.95Cbase⌉ tCmax = ⌈1.15Cbase⌉ s♦sst♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ s rs ♠①♠s t♠♥♠s s♦♥t és ♣♦r q tâ ♦r t ♦s ♦t♥♦♥s ♥s ♥ tst♦♥♣r♦ssr ♦♠♣rs ♥tr Umin = 0.8586 t Umax = 1.0394 ♦s ♦♥sér♦♥s q s t♠♣s①ét♦♥ s ♥st♥s q tâ ♦rs ①ét♦♥ s♦♥t strés ♥♦r♠é♠♥t♥tr s ① rs tst♦♥ ♣r♦ssr ♠♦②♥♥ s②stè♠ st ♦♥ U = 0.9490

♦s ♦♥s ♣r t♠♣s ré♣♦♥s q tâ ♥ ♦♥sér♥t s rs ♠♥♠s ♠①♠s t ♠♦②♥♥s ①ét♦♥ ♦s ♦t♥♦♥s rs♣t♠♥t s rs RminRmax t R ♦s ♥♦s ♣r♦♥s q ♥s s t♠♣s ①ét♦♥ ♠♥♠① s②stè♠st t♦t♠♥t ♦r♦♥♥♥ç r t♦s s ♣rt♠♣s ré♣♦♥s s♦♥t ♥érrs ① éé♥s♥s s ♥ s②stè♠ ♠♦②♥♥♠♥t srré ♣rs ♥ ♦♥sért♦♥ C ss s ♥st♥s é♠♥♥t tâ τ10 ♣♥t êtr é♥ts ♥s s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r s Cmax s ♥st♥s τ8 t τ9 é♣ss♥t r éé♥ t ♣r t♠♣s ré♣♦♥s tâ τ10 ♣t êtr ♥♥ ♣é♥♦♠è♥ ♠♥ s ♥st♥s s trs tâs ♠♦♥♦♣♦s♥t ♣r♦ssr ♣♥♥t ♠ê♠ s t♦ts s ♥st♥s τi,j ♥t ♥ t♠♣s ①ét♦♥ éà Cmax

i s ♥ ♥st♥ ♣ér♦ ét ②♣r♣ér♦ ♣t êtr é♥t st♠♣s ①ét♦♥ ét♥t trés ét♦r♠♥t ♣r t♠♣s ré♣♦♥s ♣t ♥ ♠s sr♥rr♥t ♥ s♠t♦♥

s réstts s♠t♦♥ str♥t s r♠rqs ♥ t ♣rs ♥st ♠s sr♥ ♣sq s tâs τ8 t τ9 ♥♦♥t ♠s Pr ♦♥tr tâ τ10 qs♠♥t àq tt♦♥ s②stè♠ été s♠é sr ②♣r♣ér♦s ②♣r♣ér♦ ét♥t é

sss♦♥

τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10

T

D

C

♦è ts

Cmin

C

Cmax

Pr t♠♣s ré♣♦♥s

R

Rmin

R

Rmax

éstts s♠t♦♥

t

r①

é♥srtés

①t♦♥ ♣♦ss

C+

r①

R+

①♠♣ s②stè♠ é♥éré t réstts

à s♠t♦♥ r♣rés♥t s ♠♦②♥ ♦ù s tâ τ10 ♣t rtr s♦♥ éé♥t ♣r♦té ♦♥♥îtr ♥ é♥ tâ τ8 ♦ τ9 ét♥t très t♠♣s s♠t♦♥ ♥éssr à s♦♥ ♣♣rt♦♥ st très r♥ ♥♦♠r sr①ét♦♥s éttés♣r ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ st q♥t à ♠♣♦rt♥t sr①ét♦♥s éttés

♦

s réstts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♠tt♥t ♥ é♥ s ♠ts sé♠ ♦♥rt♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♣r♦♣♦sé ♥s tt st♦♥ s②stè♠♦♠♣♦rt s t♠♣s r① q ♣♥t êtr tsés ♥ r①r s ts r sé♠tsé ♥①♣♦t ♣s s t♠♣s r① ♥s s ♦♥ ♦♥r s②stè♠ tsé ♦♠♠ ①♠♣ s ts r①és ♦♥♥és ♥ s t t♦ts s tâs rs♣t♥t r éé♥R < D t ♥♦♠r rrrs éttés st ♠♦♥s ♠♣♦rt♥t ♥♦♠r sr①ét♦♥s

♣tr ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

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①r s ts ❯♥ t ♣rt♥♥t

s ①♣ér♥s ♠♥és é♠♦♥tr♥t q ssr s②stè♠ s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥t♠♣♦r ♣t êtr ♣s ♦r q ss②r ♠îtrsr tr♦♣ strt♠♥t ♣r ♠é♥s♠ ♠r♦t♠♥t ♠♥s♦♥♥é ❯♥ ♠é♥s♠ ♦♠♠ sr♥ éé♥ ♦♥séré♦♠♠ ♥♦♥ ♣té ♣r st♥r ❯ ♣t ♣rîtr ♣s ♣♣r♦♣ré ♥ ♣♣q♥t ♣r♥♣ q ♦♥sst à trtr ♥ ♣r s q ♥♣♣rît q très rr♠♥t

♥s ♠é♠♦r ♥♦s tr♦♥s sr ♥ r①t♦♥ ♣♦ss s ts ①ét♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♣r♦♣♦sé ♣r st♥r ♥ éqrr ♠① ♥ rrrséttésé♥s ♥ ♥st♥ ♥s r ♦t st ♣r♥r à ré♣érr ♣s t♠♣s r① ♣♦sss ♥ tsr ① ♣♦r râr s ♦♥tr♥ts ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

① ♣♣r♦s s♦♥t ♣r♦♣♦sés ♣r♠èr st ♥ ♣♣r♦ étr♠♥st q r♥tt s②stè♠ ♠♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥ ♦♥trô t♦t s é♥s t♠♣♦rs s♦♥ st ♥ ♣♣r♦ ♣r♦st q r♥tt ♥ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté q ♥st♥ s②stè♠ ♦s ♦♥sér♦♥s ♥s ♠é♠♦r s s②stè♠s ♠trtqs ♦ùs tâs rtqs t ♥♦♥rtqs ♦t♥t ♥s r ♥♦s ♣♣♦rtr♦♥s s éé♠♥ts ré♣♦♥s sr ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♥① rtté ♥s ♦① s ts ①ét♦♥

♠tr ♣rté s♥s ♠tr rss

s sérs ❱t♦r ♦

♣tr

♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

♦♠♠r ♥②s s♥sté

tt rt ①♠♣ s②stè♠

Prs ♥ ♦♠♣t rtté s tâs ①t♥s♦♥ ♠♦è ♣♣t♦♥ ①♠♣ s②stè♠

Prs ♥ ♦♠♣t ♥s s ts ♠t♦♥s

♦t ♦ît s ts éstts s♠t♦♥s

sss♦♥

♣rés♥t ♣tr st ♦♥sré à r①t♦♥ s ts ①ét♦♥ sé sr ♥ét étr♠♥st s②stè♠

Psrs éts ♦♥t été résés sr s ♠é♥s♠s résrt♦♥ rss♦rs ♥s s ♥ s②stè♠ ♦r♦♥♥♥é ♣r ♥ ♦r♦♥♥♥r ♣ré♠♣t à ♣r♦rtés ②♥♠qs ♥s s ré♣ért♦♥ s t♠♣s r① st ss③ s♠♣ ❯♥ ♠ét♦ ♣♦rrésr ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r s♦s ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t st tst♦♥ ♥ srr à♥ ♣ss♥t ① ♦♥st♥t ♥t rr ♥tr♦t ♣r ♥ t ♥ ttt③③♦ ♥ ♦♥♦♥t♦♥ srr s ♠é♥s♠s ré♣ért♦♥ s t♠♣s♥tsés s♦♥t ♠s ♥ ♣ ♦♠♠ ♦rt♠ ♣t② r♥ ♥tr♦t ♣r ♠♦ t ♦ ♦rt♠ ♥t r♥ ♥tr♦t ♣r ♠♦ t

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ① s②stè♠s ♦r♦♥♥♥és ♣r ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rtés ①s ♥s r rr t ré♣rtt♦♥ s t♠♣s r① s♦♥t ♥♣ ♠♦♥s sés ♥ t tâ ♥ ①ét♦♥ ♥st ♣s tâ ②♥t ♣s ♣tt ①té♠s q ét♥t ♣s t ♣r♦rté ♦♥st♥t ①é é♠rr

♣rés♥t ♣tr st ♦♥sré à r①t♦♥ s ts ♣r ré♣ért♦♥ sttq sts ♥ ts♥t s réstts sss ♥②s s♥sté ♥ ♥ t tt t♥q ♣r♠t ♠♥tr t s ts rér ♥♦♠r ①♣♦stsétt♦♥ ♥ rrr ♥ ♠♥♥t ♣s à ♥ é♥ t ♥s ♠é♦rr qté sr ♦r♦♥♥♥r éq♣é ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r

♣tr st ♦r♥sé ♦♠♠ st st♦♥ ♣r♠t r ♥ r♣♣ sr ♥②s s♥sté Ps ♥♦s ♥tr♦r♦♥s ♥ st♦♥ ♠♦è tâ rt♥ ♣♦r ♥♦tr ét st♦♥ ♣r♠t ♣tr s réstts ① s②stè♠s ♠trtqs s s♠t♦♥s♥ st♦♥ ♣r♠tt♥t ♦♠♣rr s ér♥ts t♥qs ♦♥rt♦♥s Ps ♥♦sstr♦♥s ♥ st♦♥ s réstts ♦t♥s t s ♣rs♣ts ♣♦sss

♥②s s♥sté

tt rt

♥ t ♥ t ♦♥t tré sr ♥②s s♥sté ♥ s②stè♠tt ♥②s ♣r♠t ♦♥♥îtr ♥s q ♠sr s②stè♠ rst s s♥s ♦r♦♥♥♥♠♥t ♦rs rt♦♥s s ♣r♠ètrs ♥ tâ Ti Ci ♦ Di ♠♦è♣♣t♦♥ rt♥ st ♦♠♣♦sé ♥ ♥s♠ S = τ1, . . . , τn n tâs ♣ér♦qs t♥é♣♥♥ts q tâ τi st rtérsé ♣r s ♣ér♦ Ti s♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥Ci t s♦♥ éé♥ rt Di ♦r♦♥♥♥♠♥t st ♠♦♥♦♣r♦ssr à ♣r♦rté sttq♣ré♠♣t ♦s s ②♣♦tèss s é♠♦♥tr♥t té♦rè♠ s♥t

é♦rè♠ ♥ ❯♥ ♥s♠ tâs S = τ1, . . . , τn ♣ér♦qs ssés♥s ♦rr s ♣r♦rtés ér♦ss♥ts π1 < · · · < πn st ♦r♦♥♥♥ç s♦s ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rté ① ♣ré♠♣t s t s♠♥t s

∀i ∈ 1, . . . , n, ∃t ∈ schedPi, Ci +i−1∑

j=1

⌈t

Tj

⌉Cj ≤ t

♦ù schedPi st ♥ ♥s♠ ♣♦♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t é♥s ♣r schedPi = Pi−1(Di)t Pi st é♥ ♦♠♠ st

P0(t) = tPi(t) = Pi−1

(⌊tTi

⌋Ti

)∪ Pi−1(t)

♥ ts♥t ♥♦tt♦♥ t♦r t s ♦♣értrs min t max éqt♦♥ ♣t êtrért ♦♠♠ st

maxi=1,...,n

mint∈sPi

ni ·Ci ≤ t

♦ù ni = (⌈ tT1⌉, ⌈ t

T2⌉, . . . , ⌈ t

Ti−1⌉, 1) t Ci = C1, . . . , Ci

♥②s s♥sté

té♦rè♠ r♣rés♥t ♥ rs♦♥ ♠é♦ré ♦♥t♦♥ ♦r♦♥♥♥çté ♣r♦♣♦sé♣r ♦③② t té♦rè♠ ♥ ♠♥t♦♥ ♥♦♠r s ♣♦♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♥②sr schedPi ⊆ Ei

é♥t ♦rs é♥t♦♥ Xs♣ ♥ r♣rés♥tr s♣ ♠ss s rt♦♥ s ♣r♠ètrs ♠♦è

é♥t♦♥ ♦t X ∈ T,C,D X = Xi1≤i≤n ♦s ♦♠♠ ♣r♠ètr ♥ s②stè♠ ♦♠♣♦sé n tâs S = τ1, . . . , τn ♦♠♥ sté Xs♣ ♦rrs♣♦♥ à♥s♠ s rs X t q s②stè♠ S s♦t s

♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s Cs♣ q é♥t ♥s♠ s rs t♠♣s ①ét♦♥ ♣♦r q tâ t q s②stè♠ S rst s

♣rtr ♥ s②stè♠ S = τ1, . . . , τn s ♦♥t tr s t♠♣s ①ét♦♥ stC = C1, . . . , Cn ♥♦s ♣♦♦♥s é♥r ♥ ♥♦ s②stè♠ S′ é♠♥t s ♦♥t tr s t♠♣s ①ét♦♥ st C

′ = C ′1, . . . , C

′n s trs ♣r♠ètrs T t D rst♥t

♥♥és t qC

′ = f(C)

♦ù f st ♥ ♦♥t♦♥ Rn ♥s Rn é♥ss♥t s rt♦♥s ♠sss s ♣r♠ètrs①ét♦♥ Ci P♦r ♥♦tr ♣r♦è♠ t st r①r ♠①♠♠ s rs C

sqà ♣r♥r à ♠t ♦r♦♥♥♥♠♥t s②stè♠ ♦r♥ Cs♣ ♥s r① éts ♣rtèrs ♣♥t êtr ♥térss♥ts

①t♦♥ ♣r♦♣♦rt♦♥♥ ❯♥ s ét st ♦sr ♦♥t♦♥ f t q

f : C 7→ f(C) = (1 + λ) . C

tt ét ♦rrs♣♦♥ à ♥ r①t♦♥ ♣r♦♣♦rt♦♥♥ sr q ♦♠♣♦s♥t ♥s s ♠♦♥t♥t rt♦♥ λ ♠ss ♣t êtr étr♠♥é ♥ ♣♣q♥t ♦♥t♦♥ ♥éssr t ss♥t ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ S′ st ♦rs ♦r♦♥♥♥çs t s♠♥t s

λ ≤ mini=1,...,n

maxt∈sPi

t

ni ·Ci

− 1= λmax

①t♦♥ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ❯♥ tr s ét st ♦sr ♦♥t♦♥ f tq

f : C 7→ (f(C))i = Ci + δik . ∆Ck δik =

1 s i = k0 s♥♦♥

tt r①t♦♥ ♣r♠t ♥ r rr q♥ s r Ck tr t♠♣s①ét♦♥ ss♥t s trs ♥♥és ♥s s S ′ st ♦r♦♥♥♥ç s t s♠♥t s

∆Ck ≤ mini=k,...,n

maxt∈sPi

t− ni ·Ci

⌈t/Tk⌉= ∆Cmax

k

①♠♣ s②stè♠

Pr♥♦♥s ①♠♣ ♥ s②stè♠ ♦♠♣♦sé ① tâs S = τ1, τ2 τ1 ♣s ♣r♦rtrq τ2 τ1 t q T1 = D1 = 9.5 t T2 = D2 = 22 ♦t C1 t C2 s ♣r♠ètrs ts q

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

s②stè♠ S s♦t s ♣r ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣ré♠♣t à ♣r♦rtés sttqs♣♣q♦♥s s rtèrs ♦r♦♥♥♥çté é♥♦♥és ♣r éqt♦♥ sP1

t sP2 ♦♥♥

sP1 = P0(D1) = D1

sP2 = P1(D2) = P0(D2) ∪ P0(⌊

D2

T1

⌋.T1

)= 2T1, D2

♦s ♦t♥♦♥s ♦rs s ♦♥tr♥ts s♥ts ♣♦r s rés ①ét♦♥ C1 t C2

τ1 s⇐⇒ ∃t ∈ schedP1 = D1, C1 ≤ t

τ2 s⇐⇒ ∃t ∈ schedP2 = 2T1, D2, C2 +⌈

tT1

⌉C1 ≤ t

q ♦♥♥ s②stè♠ éqt♦♥ s♥t

C1 ≤ D1∥∥∥∥∥∥

C2 + 2C1 ≤ 2T1

ouC2 + 3C1 ≤ D2

r r♣rés♥t r♣q♠♥t Cs♣ ♣rt ♥ ss♦s s ♠ts ♥s r♦s♦♥t♥s ♦♠♥ sté s②stè♠ été

C1

C1 ≤ D1

C2 + 2C1 ≤ 2T1

C2 + 3C1 ≤ D2

19 22

9.5

7

C2

C-space

r ①♠♣ Cs♣

♣r♥♦♥s s②stè♠ é♥ sss s②stè♠ S st é♥ t q C1 = 4 t C2 = 6♥s s ♥♦s ♦t♥♦♥s r♦♥♦r♠♠ ①ét♦♥ ♣rés♥té r ♦s ♣♦♦♥sr♠rqr ♣rés♥ ♥ t♠♣s r① ♥tr s ts t = 14 t t = 19

0 9.5 19 t

22 t0

Temps creux

14

τ1

τ2

r Prés♥ ♥ t♠♣s r①

s②stè♠ S st s t ♥♦s ♦♦♥s s♦r qs s♦♥t s ♠ts tt sté♥s ♣♥ C1/C2 ♣rés♥té r ♣♦♥t (C1 = 4, C2 = 6) st à ♥térr Cs♣

♥②s s♥sté

Psrs rt♦♥s rr ♠t Cs♣ ♣♥t êtr ♣rss ♥ ♦♠♣t s♣♦♥ts t s♦♥t s ①♠♣s ♣♦♥ts ♠ts tr♦és s♦♥ rt♥s rt♦♥s

C1

19 22

9.5

7

C2

WCET1

WCET2

C-space

S (4,6)

(2')

(1)

(2)

r ①♠♣ r①t♦♥

♣♣q♦♥s ♠♥t♥♥t s ♦r♠s ♦♥♥és sss ♣♦r s ① s ♣rtrs ♣rés♥tés P♦r ét ♣r♦♣♦rt♦♥♥ ♥♦s ♦♥s

λmax = min

[D1

C1− 1,max

(D2

⌈D2/T1⌉C1 + C2− 1,

2T1

⌈2T1/T1⌉C1 + C2− 1

)]

λmax = min

[55

40,max

(4

18,5

14

)]=

5

14≈ 0.357

0 9.5 19 t

t

0 22

τ2

τ1

r ①t♦♥ ♣r♦♣♦rt♦♥♥

♥s s ♥♦s ♦t♥♦♥s ♥ s②stè♠ S′ ♦♥t s t♠♣s ①ét♦♥ r①és s♦♥t C ′1 =

(1 + λmax).C1 = 5.43 t C ′2 = 8.14 ♣♦♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥ ♣♦♥t sr

r r♦♥♦r♠♠ r ♠♦♥tr ♥ ♣rt ①ét♦♥ ♥st♥t rtq stâs τ1 t τ2 ♥s s t♠♣s r① ♣rés♥t ♣réé♠♠♥t st ♦♠é

P♦r ét ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♥♦s ♦t♥♦♥s

∆Cmax1 = min

[D1 − C1

⌈D1/T1⌉,max

(D2 − ⌈D2/T1⌉ .C1 − C2

⌈D2/T1⌉,2T1 − ⌈2T1/T1⌉ .C1 − C2

⌈2T1/T1⌉

)]

= min

[5.5,max

(4

3,5

2

)]=

5

2= 2.5

∆Cmax2 = max

(D2 − ⌈D2/T1⌉ .C1 − C2

⌈D2/T2⌉,2T1 − ⌈2T1/T1⌉ .C1 − C2

⌈2T1/T2⌉

)

= max (4, 5) = 5

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

♥s s ♦♥ ♦t♥t s♦t s②stè♠ S′1 ♦♥t s t♠♣s ①ét♦♥ r①és s♦♥t C ′

1 =C1 + ∆Cmax

1 = 6.5 t C ′2 = C2 = 6 ♣♦♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t r r♦♥♦r♠♠

r s♦t s②stè♠ S′2 ♦♥t s t♠♣s ①ét♦♥ r①és s♦♥t C ′

1 = C1 = 4 t C ′2 =

C2 +∆Cmax2 = 11 ♣♦♥t ♦♥t♦♥♥♠♥t r r♦♥♦r♠♠ r

0 9.5 19

t

t

0 22

τ1

τ2

r ①t♦♥ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♥q♠♥t C1

0 9.5 19 t

0 22 t

τ1

τ2

r ①t♦♥ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♥q♠♥t C2

♣♣t♦♥ s ♦r♠s ♦r♥s sss ♣r♠t étr♠♥r ♣srs s ♠ts①ét♦♥ ♥s s s ét s t♠♣s r① ♥st♥ts ♣♥♥t sqs ♣r♦ssr♥①ét ♥ tâ s♦♥t réts à s rs ♦rrs♣♦♥♥ts à s ♠♥♠ ♦①

Prs ♥ ♦♠♣t rtté s tâs

♥ étr ♣s ♣rtèr♠♥t ♥s q ♠sr ♥♦s ♣♦♦♥s ♣♣qr s éts s♥sté ♣rés♥tés sss ♣♦r r①r s ts ①ét♦♥ ♥♦s ♦♥s ♥s ♥♣r♠r t♠♣s s♣ér ♠♦è ♣♣t♦♥ q ♥♦s ♦♥sér♦♥s

①t♥s♦♥ ♠♦è ♣♣t♦♥

♥ ♣s s ♣r♠ètrs Ci Ti t Di ♥♦s ss♥♦♥s à q tâ ♥ ♥ rttéLi ∈ L Ps ♥ tâ st rtq ♣s s♦♥ ♥ rtté Li st r♥ ♦s s♣♣♦s♦♥sq ♣s ♥ tâ st rtq ♣s ♥ ♦♥♥ sr s rs s ♣r♠ètrs tt tâ st éé ❱st ♥s st tt ét ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥q♠♥t① t②♣s tâs s tâs rtqs Li = 1 t s tâs ♥♦♥rtqs Li = 0

ét s②stè♠s étr♠♥sts st résé ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♣r t♠♣s ①ét♦♥ Ci s②stè♠ st ♦r♦♥♥♥ç ♥ ♦♥sér♥t s rs ①ét♦♥ st ♥s strs s ♣♥♥t étr♠♥t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ st ss③ à résr♦r st♦♥ r♠rq é♥♦♥é ♣réé♠♠♥t sr ♦♥♥ ♥ s ♣r♠ètrs♥ tâ st ♥♦t♠♠♥t ♣♣ ❲ P♦r ♥ tâ rtq Li = 1 ttr st ♥sé êtr ♥ ♦r♥ sûr P♦r ♥ tâ ♥♦♥rtq Li = 0 tt r st♣r ①♠♣ ♣r s ♦sré à ♦s♦♥ ♥ ♠♣♥ tsts q ♥ ♦♥stt ♣s♥ ♦r♥ sûr ♥s st tt r♠rq st étr♠♥♥t ♥s ♦① strté

Prs ♥ ♦♠♣t rtté s tâs

r①t♦♥ s ts

❯♥ s②stè♠ S ♣t ♦♥ êtr ♦♠♠ ♥ ♥s♠ n tâs q tâ τi ét♥trtérsé ♣r ♥ ♣t

(Ci, Di, Ti, Li, πi

)

S = τii=1...n =(

Ci, Di, Ti, Li, πi)

i=1...n

①♠♣ s②stè♠

①♠♣ ♦♥sér♦♥s s②stè♠ S ♦♠♣♦sé tr♦s tâs ♦r♦♥♥♥és sr ♥ ♥q♣r♦ssr à ♥ ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣ré♠♣t à ♣r♦rtés sttqs s rtérstqs♣r♥♣s s tâs τ1 τ2 τ3 s♦♥t ♦r♥s t

â πi Di = Ti Ci Li

τ1 τ2 τ3

①♠♣ ♦♥rt♦♥

♥②s♦♥s ♣rs ①ét♦♥ ♥s s ét ♦rrs♣♦♥ s s②♥r♦♥♦r st♦♥ ♦ù t♦ts s tâs s♦♥t tés s♠t♥é♠♥t ♦♥séré ♦♠♠ t③ér♦ r r♣rés♥t r♦♥♦r♠♠ ①ét♦♥ s②stè♠ ♦s ♣♦♦♥s ♦rq t♦ts s tâs s♦♥t ①étés ♥t r éé♥

t

t

t0 5 10 15 20 25

τ1

τ2

τ3

r Pr s ①ét♦♥ ♥ s②stè♠ étr♠♥st

tâ τ2 ét♥t ♥ tâ rtq L2 = 1 s♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ C2 = 3 st ♥r sûr ♦♥trr s t♠♣s ①ét♦♥ s tâs τ1 t τ2 ♥♦♥rtqs L1 = L3 = 0♣♥t êtr s rs ♥♦♥ sûrs ♦s ♣♦♦♥s ♦♥ s♣♣♦sr q ♥s rt♥s s r①ét♦♥ ♣t êtr ♣s ♠♣♦rt♥t q r ♦♥séré ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥♦s♦♥sér♦♥s ♥ s♦sst♠t♦♥ ♦rr 10% ♣♦r s tâs ♥♦♥rtqs ♥♦s ♣♦♦♥s♠♦♥trr q s②stè♠ st ♥♦r ♦r♦♥♥♥ç ♥ t ♥s s s t♠♣s ①ét♦♥ tâs ♥♦♥rtqs τ1 t τ3 ♣♥t tt♥r s rs rs♣ts C1 = 1.1 t C3 = 5.5♥s s ♥ ét ♦r♦♥♥♥çté ♥ ♣r♥♥t ♦♠♠ r réér♥ t♠♣s①ét♦♥ C1 = 1.1, C2 = 3, C3 = 5.5 ♠♦♥tr q s②stè♠ rst ♦r♦♥♥♥ç

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

s ♣r t♠♣s ré♣♦♥s ♦♥♥

R1 = C1 = 1.1 ≤ D1

R2 = C2 + C1 = 4.1 ≤ D2

R3 = C3 + 2C2 + 3C1 = 14.8 ≤ D3

r♦♥♦r♠♠ r♣rés♥t♥t sé♥r♦ s②♥r♦♥ s②stè♠ st ♣rés♥té r

t

t

t0 5 10 15 20 25

τ1

τ2

τ3

r Pr s ①ét♦♥ ♠♥té Cnc + 10%

♦

t ①♠♣ ♦♥r♠ q ♠ê♠ s rt♥s ♣r t♠♣s ①ét♦♥ s♦♥t s♦sst♠és s②stè♠ ♣t ♥s ♥ rt♥ ♠sr s♦rr s rrrs st♠t♦♥

Prs ♥ ♦♠♣t ♥s s ts

♥②s s♥sté ♣t êtr ♠♦é ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t rtèr ♠trtq ♥ s②stè♠ ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ①♣♦sé ♥s ♥♦tr ♠♦ést♦♥ ♣r t♠♣s①ét♦♥ ♥ tâ rtq ♣t êtr s♣♣♦sé st♠é ♠♥èr sûr é♥ér♠♥t sr♠♥s♦♥♥é ♥ é♣ss♠♥t tt r ♥ ♣t ①str ♦rs ♥ ①ét♦♥ ♥st ♦♥ ♣s t r①r s ts s tâs rtqs ♥s ♥s♠ s t♠♣sr① ♣t êtr stré ♥tr s tâs ♥♦♥ rtqs ♦s ♣r♦♣♦s♦♥s strr ♣r♦♣♦rt♦♥♥♠♥t ❲ st♠é ♥ ♣t♥t ♦♥t♦♥ ♣rés♥té éqt♦♥

♦t♦♥s wi ♣♦s q tâ τi rt♦♥ r①t♦♥ ♣t êtr ré ♣r s♣♦s ♦s ♣♦♦♥s é♥r ♦♥t♦♥ f éqt♦♥ st♦♥

f : C 7→ (f(C))i = Ci + λ.wi.Ci

λ = mini=1,...,n

maxt∈schedPi

t− ni ·Ci

ni ·Cw

i

, Cw = wi . Cii∈1,...,n

♠t♦♥s

Pr ♥ ts♥t éqt♦♥ S′ st ♦r♦♥♥♥ç s t s♠♥t s

maxi=1,...,n

mint∈schedPi

ni ·C′i ≤ t

maxi=1,...,n

mint∈schedPi

ni · (Ci + λwi.Ci) ≤ t

maxi=1,...,n

mint∈schedPi

λ ≤ t− ni ·Ci

ni ·wi.Ci

λ ≤ mini=1,...,n

maxt∈schedPi

t− ni ·Ci

ni ·wi.Ci

∆= λmax

w

s rs sPi t ni s♦♥t é♥s st♦♥

♦s ♣♦♦♥s ①r ♥ r wi ♣s ♠♣♦rt♥t ♣♦r s tâs ♥♦♥rtqs ♥ r①r ♠① r t ①ét♦♥ ♥♦s ♦♥sér♦♥s st♠t♦♥ sûr ❲ ♣♦rs tâ rtqs ♥♦s ♣♦♦♥s ①r wi = 0 ♣♦r s tâs s②stè♠ ♥ ♦♠♣♦rt q♥s tâ ♥♦♥rtq ♥♦s s♦♠♠s ♥s s ♥ r①t♦♥ ♥♠♥s♦♥♥ s②stè♠ ♥ ♦♠♣♦rt q s tâs ♥♦♥rtqs ♥♦s s♦♠♠s ♥s s ♥ r①t♦♥♣r♦♣♦rt♦♥♥ ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé st ♥ é♥érst♦♥ ♣r♠tt♥t ♦sr ♠rrt♦♥ rr ♣♦r r①t♦♥ s ts ♥s s ♥ s②stè♠ ♠trtqs

♠t♦♥s

♦t ♦ît s ts

t ♥s tt st♦♥ ♥st ♣s ♥q♠♥t réstt étr♠♥t♦♥ st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ é♣♥ strté ♦♣té ♦♥rt♦♥ ♠♣t ♥ï ♣r♦♣♦rt♦♥♥ rt ① ♥① rtté ♦s ♦♥s♦♥ rér ♥ ♥♦ ♦♥t♦♥ ♣r♠tt♥t r t ①ét♦♥ q tâ ♣r♠ètr λ

r r♣rés♥t ♥s♠ s♣♦st s♠t♦♥ é♥értr s♠trss ♥trés ♣r♠ètrs t ss s♦rts ♠srs ♥♦ ♦ ♣r♠t r sts ①ét♦♥ t été t♦t ♦♠♠ é♥értr ♠♣é♠♥té s♦s t

éstts s♠t♦♥s

②stè♠s ♠♦♥♦rtq

P♦r ♣r♠èr ①♣ér♥ ♥♦s s♠♦♥s ①t♠♥t s ♠ê♠s rttrs ♠ê♠s♣r♠ètrs ♣♦r q tâ t♠♣s ①ét♦♥ ♥s q ♣♦r ét ♠♣t ♥ï♦s r♣♣♦♥s s ♣r♠ètrs é♥értr rttr n = 10 U = 0.9 t Di/Ti = 0.67 s♠tr st ♦♥ré γmin = 0.95 t γmax = 1.15

♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r st ♠♥t♥♥t ♦♥ré s♦♥ sé♠ s♥t

TIMEFRAME = Ti

EXECUTION❴BUDGET = Bi = (1 + λ).Ci

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

Avec

protection

Générateurd'architecture

U

n

T, C, D, π

ϒmin

Calculateurde budget

d'exécution

ϒmax

B

[c(ij)]

Défaillances

50 CONFIGURATIONS

D/T

C

Générateur de fautes

Simulateur

de système

temps réel

TrueTime modifié

PDF

exectime

min.C max.C

Générateur de configurations

Erreursdétectées

Défaillances

Sans

protection

r é♥értr t s♠tr ♣♣t♦♥s

♥♦♠r ♦t♦♥s éé♥ st ♠sré t s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥s q ♥♦♠r ♥st♥s tés ♣r ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♥t r tr♠♥s♦♥

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5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

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30

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45

Deadlines M

issed

Architectures

5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Overr

uns

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②stè♠s ♠trtqs

P♦r s♦♥ ①♣ér♥ ♥♦s ♦♥sér♦♥s s s②stè♠s ♠trtqs Pr r♣♣♦rt ①r♠rqs ♣♣♦rtés sr ♣rés♦♥ st♠t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ rtté s t♠♣s ①ét♦♥ ♥ tâ rtq t ♥ tâ ♥♦♥rtq s♦♥t trés ér♠♠♥t s ♣r♠ètrs é♥értr rttr s♦♥t t♦♦rs ♠ê♠s n = 10 U = 0.9 t Di/Ti = 0.67 ♠♦è t st ér♥t ♥♦s ♦♥sér♦♥s s rs γmin t γmax ♣r ♥ rtté ♦s ♦♥sér♦♥s ♥s tt ét ♥① rtté ré♣rtt♦♥ ♥♦♠r tâs ♣r ♥ rtté t s rs γmin t γmax s♦♥trés♠és t

♠♣s ①ét♦♥ nniveauASIL P♦s w

rand(0.95, 1.25)×WCET

rand(0.95, 1.15)×WCET

rand(0.95, 1)×WCET

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P♦r s s♠t♦♥s ♥♦s s♦♥s s ②♣♦tès s♥ts ♥ tâ ②♥t ♥ ♥ rtté ♦ ♥ st♠t♦♥ sûr s♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ γmax = 1 ❯♥

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

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TIMEFRAME = Ti

EXECUTIONBUDGET = Bi = (1 + λ.wi).Ci

♥♦♠r ♦t♦♥s éé♥s st ♠sré t s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥sq ♥♦♠r ♥st♥s tés ♣r ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♥t r tr♠♥s♦♥

s réstts s♦♥t ♦♥♥és r ♥♦♠r ♥st♥s tés ♣r ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ s♣érr t sr ♥s♠ s ♥st♥s é♥érés sttré ♣♦r q rttr q ♥ rtté t q ♠♥s♦♥♥♠♥t t ♦♥rt♦♥ ♥ï ♠♣t ♦♥rt♦♥ ♣r♦♣♦rt♦♥♥ ♦♥rt♦♥ ♣♦♥éré♣r s ♥① rtté ♥♦♠r ♥st♥s é♣ss♥t r éé♥ s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ st tré ♣♦r q rttr t q ♥ rtté r s ♥s ♣♦♥tés r♣rés♥t♥t s rs ♠♦②♥♥s s ① ♠srs s ♥① rtté s♦♥t trés ♦♠♠ st → × → → + t →

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5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

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Architectures

Ove

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5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

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Architectures

Ove

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5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

500

1000

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Architectures

Ove

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

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8

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18

Architectures

Deadlines M

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♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s s♥sté

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♥s s ♥ ét étr♠♥st ♥ ♠♦r♥t r ♣r♦ssr wi(t) sr t♦t♥tr [ai,j , fi,j [ st ♦♥♥é ♣r

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k=1

⌈t/Tk⌉∑

l=1

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jci,j éqt♦♥ ♣réé♥t ♥t

wi(t) ≤ wi(t) = ci +

i−1∑

k=1

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Tk

⌉.ck

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♥s s ♦ù s t♠♣s ①ét♦♥ s♦♥t s rs ét♦rs wi(t) st ♥ rét♦r ♦t♦♥s Wi(t) tt r ét♦r ♣t s①♣r♠r ♦♠♠ st

Wi(t) = Ci ⊗i−1⊗

k=1

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Tk

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s♥ ⊗ ♦rrs♣♦♥ ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ rs ét♦rs ♣ss ①♣r♦ts ♦♥♦t♦♥ ♥st ♣♦ss q ♥s s rs ét♦rs ♦♥sérés ♥é♣♥♥ts ♦r ♥♥①

♣r♦té Sτi,j q♥ ♥st♥ tâ τi s♦t ♦r♦♥♥♥ç st ♠♥♦ré ♣r

Sτi,j ≥ maxt∈E

P(Wi(t) ≤ t)

♦ù E st ♥s♠ s ts tt♦♥s s ♥st♥s s tâs ♣s ♣r♦rtrs Tk, 2Tk,. . . , ⌊Di/Tk⌋Tk, ∀k ∈ 1, . . . , i − 1 ∪ Di ♦r♥ ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ ♦♥sèr♠♣t♠♥t q tt♦♥ ♥st♥ τi,j à ♥st♥t rtq t ♥st♥t rtq♥s ♥ t s②stè♠ r♣rés♥t s s②♥r♦♥ ♦ù t♦ts s tâs st♥t ♠ê♠ ♥st♥t st ♥ ♦♥♥ ♣s t ②♥ q t ♥st♥t ♦rrs♣♦♥ ♣r s♦♥r♥♥t t♠♣s ré♣♦♥s s tâs ♥s s tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts♥♦♥ ♦♥rèts à éé♥ ♦♥tr♥t Di < Ti ♦ à éé♥ sr rqêt Di = Ti

éqt♦♥ ♦♥♥ ♥s ♥ ♦r♥ ♥érr sr ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté q ♥st♥ τi,j ♥ st q ♥ ♦r♥ t ♥♦♥ ♥ ①t ♥ t tst♣r♦♣♦sé ♦♥sst à étr r Wi(t) à s ts ♣réss ♥st♥ts tt♦♥ P♦r

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q r t Wi(t) ♣t ♣r♥r ér♥ts rs ♦rrs♣♦♥♥t à ér♥ts trt♦rs ♥ t q séq♥ ①ét♦♥ ♣♣♦rt ♥ r ♣♦r r ♣r♦ssr ét♥t ♣♦♥éré ♣r ♣r♦té ♦rr♥ tt séq♥ r st ♣♦ss qrt♥s trt♦rs ♦rrs♣♦♥♥t à s s♥r ♦ù ♥st♥ tâ été st éàtr♠♥é ♥ ♥♦r♥t ♣ssé tst st ♦♥ ♣ss♠st

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ①♠♣ s②stè♠ S ♦♠♣♦sé tâs τ1 τ2 t τ3 qtâ st r♣rés♥té ♥q♠♥t ♣r s♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ s ♣ér♦ t s♦♥ éé♥rt τ = (C, T,D) t q

τ1 = (

(1 2

0.50 0.50

), 3, 3), τ2 = (

(1 3

0.50 0.50

), 8, 8), τ3 = (

(2

1.00

), 12, 12)

3 6 8 9 12 t3

4

5

6

7

8

9

10

11

C1 + C2 + C3

W3(3) + C1

W3(6) + C1

W3(8) + C2

W(9) + C1

C

B

W3(t)

A

r ①♣t♦♥ ♥①tt s♦t♦♥

r r♣rés♥t ♥ ♣rt s rs ♣♦sss ♣♦r r ♣r♦ssr W3(t)① ér♥ts ♣♦♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t E3 = 3, 6, 8, 9, 12 ♦r trt é♣sr♣rés♥t s rs ♠♥♠s r ♥ q ♣♦♥t ♦rrs♣♦♥♥t à séq♥①ét♦♥ ♦♠♣♦sé s t♠♣s ①ét♦♥ s ♣s s tt ♦r ♣ss ♥ ss♦s sstr ♥ t = 6 ♣♦♥t A tt trt♦r st ♦♥ ♦r♦♥♥♥ç stàr qq q s♦t séq♥ ①ét♦♥ térr à t t = 6 t ♦♠♣♦rt♥t ♣réé♠♠♥ttt séq♥ st ♦r♦♥♥♥ç r trt♦r ♣r♥♥t à r C ss ♣♦♥t A ♥st ♣s ♦r♦♥♥♥ç ♣♦♥t sss sstr tt ♥♦♥ ♣rs ♥♦♠♣t ♣ssé ♠è♥ ♦♥ ♣ss♠s♠ é♥♦♥é sss ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r ③t ♣rés♥té st♦♥ ♣r♠t r t♠♣s ré♣♦♥s ♥ ♥st♥t ♣r ♦♥séq♥t ♥ r ①t s♦♥ ♦r♦♥♥♥çté r ♦t♥ ♣♦r ♣r♦té ♠♥♠ ♦r♦♥♥♥çté ♥ ♥st♥ tâ τ3 st t q Sτ3,j ≥ 0.60937

♣s ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♥ ♣r♥ ♣s ♥ ♦♠♣t s réss r ♣r♦ssr rés s à ♥♦♥♦r♦♥♥♥çté ♣♦ss s ♥st♥s s tâs ♥ t

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

♦rsq♥ ♥st♥ ♥ ♥t ♣s s♦♥ ①ét♦♥ ♥t s♦♥ éé♥ ♣t ♠♣♦sr ♥ ésr ①ét♦♥ s tâs ♠♦♥s ♣r♦rtrs

Pr♥♦♥s s séq♥ ①ét♦♥ s♥t ♣♦r ①♠♣ ♣réé♥t

c1 = 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 1 . . ., c2 = 3, 1, 3, . . ., c3 = 2, 2, . . .

♦s ♦t♥♦♥s r♦♥♦r♠♠ ♣rés♥té r ♥s s s éé♥s rt♥stâs ♥ s♦♥t ♣s rs♣tés ♠s ♥①st ♥ rés à ♥ ②♣r♣ér♦

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

24 t

t

t

τ1

τ3

τ2

r ①♠♣ ①ét♦♥ s♥s ♣rés♥ rés

Pr♥♦♥s ♠♥t♥♥t s séq♥ ①ét♦♥ s♥t

c1 = 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, . . ., c2, c3 ♥♥és

♦s ♦t♥♦♥s r♦♥♦r♠♠ ♣rés♥té r ♥s s s t♠♣s ré♣♦♥ss s♥st♥s τ2 s♦♥t ♣s ♠♣♦rt♥ts q rtr ①ét♦♥ s ♥st♥s tâ τ3 ♥ ②♣r♣ér♦ rst ♥ ♣rt ①ét♦♥ ♥st♥ τ3,2 à ①étr ❯♥rés st ♦♥ ♣rés♥t t s t♠♣s ré♣♦♥s s ♥st♥s ♣rés♥ts ♥s ①è♠②♣r♣ér♦ sr♦♥t ♣s ♠♣♦rt♥ts q s ♦♥ ♦♥sèr ♥ s②stè♠ s♥s rés ♥st♥trtq étr♠♥é ♣r t ②♥ ♥s s étr♠♥st st ♦♥ ♣s ♦♠♣①♥s rt♥s s t ♦srr ♣srs ②♣r♣ér♦s ♥ ♥ ér ♣rs

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

27 t

t

t

τ1

τ3

τ2

r ①♠♣ ①ét♦♥ réss

♦

t ①♠♣ str q ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r t ♣t ♠♥r à s réstts♥♦rrts

tt rt

♦♥ ♣♣r♦ s ♥ s②stè♠ à tâs ♦♥rèts

s éts ♠♥és ♣r ③ t ó♣③ t ♣♣♦rt♥t ♥ ♠ét♦ és♦♥ ♦r♦♥♥♥çté ♥ tâ ♥s s ♥ ♣♣t♦♥ ♦♠♣♦sé tâs ♦♥rèts ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts t ♦r♦♥♥♥és sr ♥ ♥q ♣r♦ssr s♦♥♥ ♣♦tq à ♣r♦rté ① ♣ré♠♣t ♠♦è st ♥tq à ♣r♦♣♦sé sss♣♥♥t ♥s s ét s ♦sts s tâs s♦♥t ♦♥sérés ♦♥♥s t ①és ♠♦è st ♦♠♣été ♥ ♥tr♦s♥t ♥ ♥♦ ♣r♠ètr ♣♦r q tâ q st s♦♥ ♦st♦ rtr é♠rr φi t tt♦♥ ♥st♥ τi,j ai,j st ♦♥ ai,j = φi+j.Ti

♥ s♠♣r s ♥♦tt♦♥s ♥ s♠♣ ♥ sr ♣r♦s tsé ♣♦r é♥r ttt♦♥ ♥ ♥st♥ tâ ♦s ♥♦tr♦♥s ak tt t tt♦♥ s♠♣ ♥ ♦rrs♣♦♥ à ♦rr tt♦♥ s ♥st♥s s tâ ♦♥sérés ♥ s♥t ②♣♦tèsj1 < j2 ⇒ aj1 ≤ aj2

t♠♣s ré♣♦♥s ♥ ♥st♥ Ri,j st étr♠♥é ♣r éqt♦♥ s♥t

Ri,j =Wπ(ai,j)⊗ Ci ⊗ Ji,j

♦ùWπ(t) st π ♦ ♣rès t Ji,j st r é♥éré ♣r s ♥st♥s ♣s♣r♦rtrs q τi,j t q s①ét♥t ♣♥♥t [ai,j , ai,j +Ri,j ]

π ♦Wπ(t) é♥t s♦♠♠ s ①ét♦♥s rst♥ts à t t s ♥st♥s tâs ♦♥t ♣r♦rté st s♣érr ♦ é à π tt r st é ♥ ts♥t ♣r♦ér tért s♥t ó♣③ t

Wπ(ak0) = 0Wπ(ak) = sr♥ (W(ak−1)⊗ Ck−1, ak − ak−1)

k0 st t tt♦♥ ♣r♠èr ♥st♥ tâ ♦♥t ♣r♦rté st s♣érr ♦é à π té ♥s ②♣r♣ér♦ ♦♥séré ♣r♦ér st ♥s téré ♣♦r q♥st♥ té ♥t t t ♣r♦rté s♣érr ♦ é à π ♦♥t♦♥ sr♥(·) ♣r♦t♥ r ét♦r t q

fsr♥(W,∆)(x) =

0 s x < 00∑

w=−∞

fW(w +∆) s x = 0

fW(x+∆) s x > 0

tt tr♥s♦r♠t♦♥ ♣r♠t rr t♦ts s rs s♣érrs à ∆ ∆ t ♠rt♦ts s rs ♥érrs à ∆ ♥ 0 r str sr ♥ ①♠♣ ♣r♦ér π ♦ sr ♥ tért♦♥

t♠♣s ré♣♦♥sRi,j st ♦rs é ♥ ♦t♥t t♠♣s ①ét♦♥ ♥st♥ τi,j ♦ ♥st q s ♥ ♥trér♥ tâs ♣s ♣r♦rtrs ♥ ♥♥♦t R[ai,j ,aj+1]

i,j =W(ai,j)⊗Ci t♠♣s ré♣♦♥s ♣rt ♦ù aj+1 st t tt♦♥ ♣r♠èr ♥st♥ ♥ tâ ♣s ♣r♦rtr à τi st♥t st ♣rès t aj = ai,j ①♣♦s♥t r♣rés♥t ♥s ♦♠♥ té t♠♣s ré♣♦♥s ♣rt é P♦r

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fC

c

w

fWi(t)

π ♦ à t t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 w

fWi(t)⊗C

tt♦♥ ♥♦ ♥st♥ ♦♥♦t♦♥

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

fWi(t′)

w

π ♦ à t t′

sr♥♥

r ①♠♣ ♥ tért♦♥ π ♦ ③ t

étr♠♥r t♠♣s ré♣♦♥s tr τi,j t ♥s ♦tr tért♠♥t s ér♥ts♥trér♥s s tâs ♣s ♣r♦rtrs ♣r♦ér st é♥ ♣r

R[ai,j ,aj+1]i,j = Wπ ⊗ CiR[ai,j ,ak+1]

i,j = (R[ai,j ,ak+1]

i,j , ak − ai,j , Ck)

♦ù st é♥ ♦♠♠ st

f(R,∆,C)(x) =

fR(x) ♣♦r x ≤ ∆∞∑

i=∆+1

fR(i).fC(x− i) ♣♦r x > ∆

r str sr ♥ ①♠♣ ♣r♦ér t♠♣s ré♣♦♥s sr ♥tért♦♥

s éts ♣r♠tt♥t é♠♥t ①r ♥ ♥êtr ét s ♥st♥s à ♥②sr ♥t ③ t é♠♦♥tr stté t♠♣s ré♣♦♥s ♥s s ♦ùtst♦♥ ♣r♦ssr ♠♦②♥♥ U st ♥érr à tt tst♦♥ ♠♦②♥♥ st é♥ ♣r

U =

n⊗

i=1

Ui =n⊗

i=1

CiTi

♥s s ①st ♥ étt stt♦♥♥r s t♠♣s ré♣♦♥s s ♥st♥s q ♣t êtré ♥ étr♠♥♥t étt stt♦♥♥r s réss ①ét♦♥ ♥ ♥ ♥ ②♣r♣ér♦st② stt ♦ s réss s♠♥t sqà tt♥r ♥ étt stt♦♥♥r s t♠♣s ré♣♦♥s s ♥st♥s ♥s ♥ ②♣r♣ér♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s

tt rt

0 1 2 3 4 5 6 7 8

fR[ai,j ,ak−1]

i,j

r

ak

♠♣s ré♣♦♥s ♣rtt ak−1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

fR[ai,j ,ak]

i,j

r

♠♣s ré♣♦♥s ♣rt t ak

r ①♠♣ ♥ tért♦♥ t♠♣s ré♣♦♥s ③ t

réss étt stt♦♥♥r r♣rés♥t ♥s ♣rs s s ♣s ♦rs ♣♥t êtr♣rés♥ts ♥t ♠t♦♥ ♦♠♣èt s réss

Psrs ♠ét♦s t étt stt♦♥♥r s♦♥t ♣♣♦rtés ♥②tq t tért ♥s ③ t s ♠ét♦ é♥ér rt♥ st t tért rét ♥②tq sèr ♦r ♥ s t ♠ ♦♥t♦♥♥é ♠ét♦ tért ♦♥sst à r s réss ♦ ♦t ♥ ♣s ① ♣s ②♣r♣ér♦s sqà♦t♥t♦♥ ♥ étt stt♦♥♥r ❯♥ rtèr ♦♥r♥ ♦♠♠ rrr qrtq ♥tr① tért♦♥s ssss ♣t ♦♥sttr ♣♦♥t rrêt étt stt♦♥♥rétt stt♦♥♥r ♣♦r q tâ Bstatπ étr♠♥é ♠♣t t♦ts s ♥st♥s à♥②sr

Ri,j = Bstatπ ⊗Wπ(ai,j)⊗ Ci ⊗ Ji,j

♥s s ♦ù tst♦♥ ♣r♦ssr ♠①♠ Umax st ♥érr à ét ③t ♥q q étt stt♦♥♥r st tt♥t à ♥ ♣r♠èr ②♣r♣ér♦tt tst♦♥ ♠①♠ st é♥ ♣r

U =n∑

i=1

Umaxi =

n∑

i=1

Cmaxi

Ti

ét ts s②stè♠s ♥s s ♥ ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t ♣ré♠♣t à ♣r♦rtés①s st ♥térss♥t ♣sq rt♥s s②stè♠s ♦♥t tst♦♥ ♠①♠ st ♥érr à ♣♥t êtr ♥♦♥ ♦r♦♥♥♥çs s② t

t ré♣rt♦r s ér♥ts s ét ♥s t T r♣rés♥t r ②♣r♣ér♦ é♣♥ s②stè♠ ♦♥séré ♥s s s②♥r♦♥ ②♣r♣ér♦ st é ♣s ♣tt ♦♠♠♥ ♠t♣ ♣♣♠ s ♣ér♦s s tâs ♦♥sérés T = ♣♣♠i=1,...,nTi ♥s s tâs ♦♥rèts ②♣r♣ér♦ st t qT = maxi=1,...,nφi+2 ∗ ♣♣♠i=1,...,nTi s ♦ù Umax ≤ 1 ♣r♠t ♥ ♣s rétt stt♦♥♥r q ♥trî♥ ♥ ♠♣♦rt♥t s♠♣t♦♥ s s

①♠♣ ♣r♥♦♥s ①♠♣ ♣rés♥té ♣rt é♦♣♣♠♥t s s st ♣r♦♣♦sé ♥♥① ①♠♣ st ♦♠♣♦sé tâs s②♥r♦♥s φi = 0 tst♦♥ ♦♠♦②♥♥ st U = 0.9167 ≤ 1 t tst♦♥ ♠①♠ Umax = 1.2083 > 1 ♦s s♦♠♠s♥s s ④ t ♥②s ♦t êtr résé sr ♥ ②♣r♣ér♦ ♥ ♥t

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

❯tst♦♥ ♣r♦ssr Umax ≤ 1 U ≤ 1

âs ♦♥rètsPér♦ ét 2.T Pér♦ ét T

Ps st②stt ① st②stt ②

s s②♥r♦♥Pér♦ ét T Pér♦ ét T

Ps st②stt ③ st②stt ④

ér♥ts s ét t ♥êtr ♥②s s ♥st♥s

♣ré étt stt♦♥♥r

étt stt♦♥♥r st étr♠♥é ♣r tért♦♥ ♦♠♠ ①♣qé sss r r♣rés♥t réstt s s ♦ à ♥ q tért♦♥ 1, 2, . . . k②♣r♣ér♦s ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ st②stt ♦ st r♣rés♥té ♣r ♦r♥ r♦ rs st ♦t♥ ♦t k = 9 tért♦♥s

0 5 10 15 20 25 30

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Time Value

Cum

ulat

iv F

onct

ion

r tért♦♥s étt stt♦♥♥r

t ①♠♣ ♣r♠t ♠♦♥trr s réss ♣♦♥t êtr ♣rés♥ts à ♥ ♥②♣r♣ér♦ t ♥trî♥r ♥ é sr t♠♣s ré♣♦♥s s ♥st♥s ♠ét♦ ♣r♦♣♦sésss st ♣♣qé s②stè♠ été r ♦t♥ ♣♦r ♣r♦té ♠♥♠♦r♦♥♥♥çté ♥ ♥st♥ tâ τ3 st 0.40586 réstt st ♥érr à r ♦t♥ ♣r ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé st♦♥ ♠♦♥tr q ♠ét♦ é♦♣♣é♣r t ♣r♦t s réstts rr♦♥és r ♥ t♥t ♣s ♦♠♣t s réss

♦

♦ést♦♥ s②stè♠

ét♦ rt♥ ♣♦r ét

s ♦♥s♦♥s sr s ① ♠ét♦s ♥②s ♣r♦sts ♦r♦♥♥çté♥♦s rt♥♦♥s ♣♦r st ét ♠ét♦ ♣r♦st ♣r♦♣♦sé ♣r ③ t

♦ést♦♥ s②stè♠

♦t♦♥ ♠♦è ♣♣t♦♥

♥ ♣s s ♣r♠ètrs Ci Ti t Di ♥♦s ss♥♦♥s à q tâ ♥ rtr é♠rr♦ ♦st φi s t tt♦♥ s ♥st♥s ♥ tâ ♣ér♦q τi ♣ér♦ Ti s♦♥tts q ai,j = φi + j ∗ Ti ♥s s tâs ♦♥rèts s ♦sts s♦♥t ♦♥sérés ♦♥♥st ①és ❯♥ s②stè♠ st t s②♥r♦♥ s ∀i, φi = 0

♥ rtté Li ss♦é à q tâ τi rtérs ♥ ssr♥ s♦♥tr♥ts t♠♣♦rs ♦s ss♥♦♥s à q ♥ rtté ♥ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté à rs♣tr Ol=Li

♥ rtté st é♠♥t ss♦é ♥ ssr♥ st♠t♦♥ t♠♣s①ét♦♥ P♦r s tâs rtqs ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ♦♥♥ss♥ ♥ ♦r♥ s♣érrsûr Csup ♣r t♠♣s ①ét♦♥ P♦r s tâs ♥♦♥ rtqs ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ♦♥♥ss♥ ♥ st♠t♦♥ r ét♦r Ci ♦♥t t♠♣s ①ét♦♥ ♥ trτi,j st ♥ rést♦♥ tt r ♣t êtr r♣rés♥té s♦t ♣r s ♦♥t♦♥ ♥sté ♣r♦té fCi s♦t ♣r s ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ FCi ♦r ♥♥① tt r ét♦r♣t êtr é♥t♦♥♥é ♥ rér t s strt♦♥s t ♦♥ rér ♦♠♣①té s s t t ♥s st ♥♦s ts♦♥s ♥♦tt♦♥ ♠trs♥t

Ci =(

ckP(Ci = ck)

)

k∈[1,...,Ki]

♦ù ci st ♥ t♠♣s ①ét♦♥ ♣♦ss tâ τi P(Ci = ck) ♣r♦té q t♠♣s①ét♦♥ s♦t é à ck t Ki ♥♦♠r rs t♠♣s ①ét♦♥ ♣♦r tâ

t♠♣s ①ét♦♥ q tâ st é♠♥t rtérsé ♣r ♥ ♦♥t♦♥ Ci rt ❱st N ♥s R+ q s♣é ♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ Ci(l) ♣r ♥ rtté l ∈ L tt ♦♥t♦♥ rs♣t ♣r♦♣rété s♥t

∀i ∈ 1 . . . n, ∀l ∈ L, Ci(l) ≤ Ci(l + 1)

q ♦♥t♦♥ Ci st à ♠ttr ♥ rt♦♥ st♠t♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ t r♣rés♦♥ ♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♣♦r s tâs rtqs ♦♥t♦♥ Ci t q

Ci(l = 0) = Ci(l = 1) = Csup

♥ t ♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t s tâs ♦t êtr sûr t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦r♥s♣érr ♣r♠t r♥tr P♦r s tâs ♥♦♥rtqs ♥♦s ♦sss♦♥s é♥r ♦♥t♦♥ Ci ç♦♥ s♥t

Ci(l = 0) = C, P(Ci ≤ C) ≥ piCi(l = 1) = ζi.C, ζi ≥ 1

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

r C r♣rés♥t ♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ ♠♦②♥ ♦♥t ♣r♠ètr pi ① té ♣r♠ètr ζi ♣r♠t ①r ♥ ♠r sérté ♣r♠ètr ♦t êtr ♦sss♠♠♥t r♥ ♥ sssrr q r ζi.C s♦t ♥ ç♦♥ rt♥ ♥ ♦r♥s♣érr r ①ét♦♥ tâ ssé t

r r♣rés♥t s ① t②♣s strt♦♥s tsés tâ rtq t ♥♦♥rtq ♥s q s rs ♦rrs♣♦♥♥ts ♦♥t♦♥ C(l = ·)

fCi

c0

1

Csup

â rtq

fCi

c0

â ♥♦♥rtq

r ①♠♣ ♦♥t♦♥s ♥sté ♣r♦té ♣♦r t♠♣s ①ét♦♥

♥ rés♠é ♥ s②stè♠ S ♣t ♦♥ êtr ♦♠♠ ♥ ♥s♠ n tâs q tâτi ét♥t rtérsé ♣r ♥ ♣t

((Ci,Ci) , φi, Di, Ti, Li, πi

)

S = τii=1...n =(

(Ci,Ci) , φi, Di, Ti, Li, πi)

i=1...n

②stè♠ ♠trtq t ♦① s ♣r♦rtés

♦s ts♦♥s s é♥t♦♥s ♣r♦♣♦sés ♣r r t ❱st sr s s②stè♠s ♠trtqs t s ♥♦t♦♥s sté ♦rrs♣♦♥♥ts

é♥t♦♥ q s♦t s②stè♠ ♠trtq S ♦♠♣♦sé tâs s♣♦rqs ♦♥♣t é♥r s②stè♠ trt♦♥♥ S t q

S =( (Ci, Ci

), φi, Di, Ti, πi

)i=1...n

♦ù Ci = Ci(l = Li) ♥s s s②stè♠ trt♦♥♥ ♥ ♦♠♣♦rt ♣s ♥ rtté

é♥t♦♥ ❯♥ s②stè♠ ♠trtq S ♦♠♣♦sé tâs s♣♦rqs st t ss t s♠♥t s s②stè♠ trt♦♥♥ S ♦rrs♣♦♥♥t st s

①♠♣ ♦t s②stè♠ s②♥r♦♥ ♣rés♥té ♣r r t ❱st ♦♠♣♦sé tâsS = τ1, τ2 t q

C1(l = 0) = 2, C1(l = 1) = 2, φ1 = 0, D1 = T1 = 4, L1 = 1C2(l = 0) = 2, C2(l = 1) = 5, φ2 = 0, D2 = T2 = 7, L2 = 0

♥s s ♥ ét ♦r♦♥♥♥çté ssq ♣r s ♦t êtr ♦♥séré s②stè♠ été st ♦♥ s②stè♠ s♥t S1 = (2, 4, 4), (5, 7, 7) ♥s s ♥♦♥rt♦♥ ♥ ♣r♠t ♦r♦♥♥♥r s②stè♠ ♥ ♦r♦♥♥♥r t②♣ P

♦ést♦♥ s②stè♠

♥s s ♥ ét ♦r♦♥♥♥çté ♠trtqs s②stè♠ trt♦♥♥ étést s②stè♠ s♥t S1 = S = (2, 4, 4), (2, 7, 7) ♥s s ♦♥rt♦♥ ♣♦r q tâ τ1 st té ♣s ♦rt ♣r♦rté st ♦r♦♥♥♥ç

t ①♠♣ ♣r♠t ♠♦♥trr q ét s②stè♠s ♠trtqs t ♠ét♦tt♦♥ s ♣r♦rtés ♣r♦♣♦sé ♣r ❱st t ♣r♠t ♦r♦♥♥♥r s s②stè♠s ♥♦♥♦r♦♥♥♥çs ♥ é♥t♦♥ ssq ♦r♦♥♥♥çté ♥ tâ

♦

♦s ts♦♥s ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé ♣r ❱st sé sr ♦rt♠ s② s② ♣♦r ①r ♣r♦rté s tâs t ♦rt♠ st sé sr ♥♦t♦♥ sté♥ s②stè♠ ♦♥♥é ♣r é♥t♦♥

♦① s ♣r♦rtés st s♠♣ ♥ ♥♦t τcur ♥s♠ s tâs ♥♦♥ ♥♦r tés♥ ♣r♦rté ♥t♠♥t ♥ ♣r♦rté ♥st té ① tâs s②stè♠ τcur = Stt♦♥ s ♣r♦rtés s t ♣s ♣tt à ♣s r♥ ♣r♠èr tâ tést ♠♦♥s ♣r♦rtr q tért♦♥ ♦r♦♥♥♥çté q tâ st étr♠♥é♦s ♦t♥♦♥s ① ♥s♠s st♥ts ♥s♠ s tâs ♥♦♥♦r♦♥♥♥çs τhi t s tâs ♦r♦♥♥♥çs τo t q

τcur = τhi ∪ τo, τhi ∩ τo = ∅

❯♥ tâ τi ♥s♠ τo st sét♦♥♥é ♣♦r tt♦♥ ♥ t ♣♦r ♥s♠ stâs ♥♦♥♦r♦♥♥♥çs ♣r♦rté q tâ r êtr s♣érr ♥ tâ t ♥s♠ ♥ ♣t ♦♥ êtr ♦s ♣♦r tt♦♥ ♦♠♠ ♥♦s ♥ ♦♦♥s tr q♥tâ ♣r ♥ ♣r♦rté ♥ ss♠♥t ♦t êtr résé ♥s ♥s♠ s tâs ♦r♦♥♥♥çs ♦rr ♦s st sé sr ♥ rtté q tâ ♦r♦♥♥♥ç tâ ②♥t ♥ rtté ♣s st sét♦♥♥é ♦① st s♣éq à♥♦tr ét ♥ t ♣r♠t ér ♥ ♠①♠♠ t ①ét♦♥ r ♥ târtq ♣é à ♥ ♥ ♣r♦rté s ♦♥tr♥t ♣s ♦rt♠♥t s②stè♠ ♥t♦r ♥ ♦r♦♥♥♥çté sûr ① tâs ♦♥t ♠ê♠ ♥ rtté ♥ ♦① rtrr sr té

♣s♦♦rt♠ ♦① s ♣r♦rtés st ♦♥♥é ♥s ♦rt♠ ♦♠♠♥♥t ♣♦r tt♦♥ st ♠♥ts②(S, 1)

♦① sét♦♥ tâ ♦r♦♥♥♥ç ♣r ♥ rtté st s♣éq à♥♦tr ét ♦① s ts ♥ tâ trs ♦① ♣♥t êtr tés ♦♠♠ ♣r♦♣♦sé ♣r ❱st q ♣r♠t ér ♥ ①té ♠①♠ ♣♦r q tâ♥t à ♥♦tr ♦① ♣r♠t ér ♥t t ①ét♦♥ ♣♦r s tâs♥♦♥rtqs t ♥♦tr ét

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

♦rt♠ ♠♥ts② τcur p

t tr s ♣r♦rtés ① tâs ♦♥t♥s ♥s τcur ♥ ♦♥t♦♥

r ♥ rtté

étτo ← ∅ ♣♦r τ ∈ τcur r

s τ st ♦r♦♥♥♥ç ♦rsτo ← τo ∪ τ

♥♥s τo = ∅ ♦rs

②stè♠ ♥♦♥ ♦r♦♥♥♥ç s♥♦♥

♦sr tâ τ ②♥t ♣s ss rtté tr π = p τcur ← τcur \ τ s τcur = ∅ ♦rs

②stè♠ ♦r♦♥♥♥ç s♥♦♥

♠♥ts②τcur p+ 1 ♥

♥♥

①♠♣ s②stè♠ t tst♦♥ ♦rt♠

①♠♣ ♦t s②stè♠ s②♥r♦♥ S t q

C1 =(

2210 2730 2860 2989 33800.10 0.37 0.30 0.13 0.10

), T1 = D1 = 10000, L1 = 0

C2 =(

1615 1995 2090 2185 24700.18 0.26 0.36 0.18 0.02

), T2 = D2 = 30000, L2 = 0

C3 =(

126001.00

), T3 = D3 = 60000, L3 = 1

C4 =(

106001.00

), T4 = D4 = 60000, L4 = 1

C5 =(

20570 25410 26620 27829 314600.05 0.11 0.38 0.31 0.15

), T5 = D5 = 120000, L5 = 0

♣r♠èr ét♣ ♦♥sst à étr♠♥r ♦♥t♦♥ C(l = ·) s tâs ♥♦♥rtqs ♣rr♣♣♦rt à r P ①ét♦♥ s ♣r♠ètrs pi t ζi éqt♦♥ ♣♦r s tâs ♥♦♥rtqs s♦♥t rs♣t♠♥t ①és à 80% t 1.25 ♣rtr s rs ♥♦s ♦t♥♦♥s s②stè♠ ♠trtqs s♥t

C1(l = 0) = 2989, C1(l = 1) = 3736, T1 = D1 = 10000, L1 = 0C2(l = 0) = 2185, C2(l = 1) = 2731, T2 = D2 = 30000, L2 = 0C3(l = 0) = 12600, C3(l = 1) = 12600, T3 = D3 = 60000, L3 = 1C4(l = 0) = 10600, C4(l = 1) = 10600, T4 = D4 = 60000, L4 = 1C5(l = 0) = 27829, C5(l = 1) = 34786, T5 = D5 = 120000, L5 = 0

♥②s

♣♣q♦♥s ♦rt♠ ♦① s ♣r♦rtés s②stè♠ S ♦♥séré t r♣rés♥t réstt q tért♦♥ t ♦① tâ sét♦♥♥é s②stè♠ été st ♦r

τ1 τ2 τ3 τ4 τ5

trt♦♥ ♦r♦π5 = 1

trt♦♥ ♦r♦♦r♦π4 = 2

trt♦♥ ♦r♦π2 = 3

♦r♦

trt♦♥ ♦r♦π3 = 4

trt♦♥ ♦r♦π1 = 5

①♠♣ ♣♣t♦♥ ♦rt♠ ♦① s ♣r♦rtés

♦♥♥♥ç r q tâ st té ♥ ♣r♦rté tért♦♥ ♠♦♥tr ♦① tâ ♥ rtté ♥érr τ2

♦

♥②s

t tt ét st râr ♠① s ts ①ét♦♥ t♦t ♥ r♥tss♥t♥ ♥ sûrté ss♥t ♣♦r q tâ ♥ r♣♣♦rt à s♦♥ ♥ rtté ♦♠♠♥♦s ♦♥s t ♣réé♠♠♥t ♥♦s ts♦♥s ♥s tt ét s♠♥t ① ♥① rtté s♦t ① t②♣s tâs s tâs rtqs t s tâs ♥♦♥rtqs

t s②stè♠s ♠trtqs ♥②s ♣r♦st t ♦r♦♥♥♥çté

♥s s s tâs rtqs ♥ ♦r♦♥♥♥çté sûr ♦t êtr r♥t t qq s♦t r ♦♥séré ♣♦r s♦♥ ①ét♦♥ ♥s s ♥ ét étr♠♥st ssq♦t êtr tsé ♦s ts♦♥s ♦♥t♦♥ ♦r♦♥♥♥çté é♥♦♥é ♣r ♥ ♥t

♥s s s tâs ♥♦♥rtqs ♥♦s s♦t♦♥s r♥tr q tâ rst ♥s ♥♦♠♥ ♣t ♦r♦♥♥♥çté rs♣t s ♣r♦tés ♦r♦♥♥♥çté ♦♣t♠sOl=Li

♣r ♥ rtté

♦s ♣♦♦♥s é♥r ♦♠♥ ♣tté ♦♠♠ st

é♥t♦♥ s②stè♠ st ♣t ♣♦♥t ♦r♦♥♥♥♠♥t s t s♠♥ts

∀τi ∈ S,

τi ♦r♦♥♥♥ç, s τi rtqSτi ≤ Ol=Li

, s τi ♥♦♥rtq

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

t t ①ét♦♥ sr ①ét♦♥

♥s s ♥ tâ rtq t st ①é ♥ ts♥t s réstts ①♣r♠és ♣rrtr♥ t ♣♦r s ♥ s②stè♠ ♠trtq stàr q s♦♥ t st①é à s♦♥ ❲ st♠é q st ♥ ♦r♥ s♣érr sûr s♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ ♠①♠ ♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ ♥st ♦♥ ♣s té

♥s s ♥ tâ ♥♦♥rtq t ①ét♦♥ st ♦s s♦rt q s②stè♠ rst ♣t r ♣t êtr ♣s ♣tt q r ♠①♠♦♥t♥ ♥s P ①ét♦♥ tâ ♦♥séré t ①ét♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♣r♦♣♦sé ♣r ❯ ♦♥tr♥t t♠♣s ①ét♦♥ t q

∀i ∈ 1 . . . n, ∀j, ci,j ≤ Bi

P ①ét♦♥ ♣t ♥s êtr tr♦♥qé ♦rsq ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ st ♣♣qé♥ t t♦ts s rs ①ét♦♥ q s♦♥t s♣érrs à r t ♥ s♦♥t ♣s♣ts s rs s♦♥t ♦♥ r♠♥és à r t B s tâs s♦♥t st♦♣♣és♣r étt♦♥ rrr ♦rsq ci,j > B ♦s ♣♦♦♥s r♣rés♥tr ♠♦t♦♥ P ♣r ♦♥t♦♥ s♥t

tr♥(Ci, B) =

( (ck

P(Ci = ck)

)

ck<B

BP(Ci ≥ B)

)

①♠♣ Pr♥♦♥s ①♠♣ ♥ tâ ②♥t ♥ t♠♣s ①ét♦♥ r♣rés♥té ♣r Ps♥t

Ci =(

4 7 8 10 120.05 0.22 0.50 0.15 0.08

)

t ①ét♦♥ tt tâ Bi st ①é à 9 strt♦♥ tr♦♥qé ♥t

tr♥(Ci, 9) =(

4 7 8 90.05 0.22 0.50 0.23

)

♦

tst♦♥ ♥ t ①ét♦♥ Bi ♣♦r q tâ τi ♥trî♥ ♥ ♠♦t♦♥♦ s②stè♠ ♦♥séré ♦s ♥♦t♦♥s B tr s ts t S(B) s②stè♠ ♠♦é s②stè♠ st é♥ ♣r

S(B) =(

(tr♥(Ci, Bi),Ci) , Di, Ti, Li, πi)

i=1...n

♥ é♥t é♠♥t s②stè♠ étr♠♥st ♣r s Smax(B) t q

Smax(B) =

(Bi, Di, Ti, Li, πi

)i=1...n

♦rsq t ①ét♦♥ ♥ tâ st ♠♦é P ①ét♦♥ st♠♦é t ♣r ♠ê♠ s♦♥ ♦r♦♥♥♥çté ♥s q s t♦ts s tâs ♠♦♥s♣r♦rtrs ♦s ts♦♥s tt ♣r♦♣rété ♣♦r étr♠♥r ♥ t ①ét♦♥ ♣♦r qtâ s②stè♠

♥②s

P♦st♦♥ ♣r♦è♠

♦s r♦♥s ♥s à ♦♣t♠sr t s ts Bi q tâ ♥♦♥rtq ♥♦♠r n ♥ ♦♥t♦♥ rtèr ♦r♦♥♥♥çté é♥♦♥é ♣r é♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♣t sérr s♦s ♦r♠ ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ à rs t♦rs s♥t

r♠♥B∈En

‖f(B)‖

♦ù B st tr ts s tâs ♥♦♥rtqs Bi1≤i≤n E st é♥ ♣s ♦♥ t fst ♦♥t♦♥ é♥ ♣r

f : Xn → Rn

B 7→ (f(B))i =

schedτi(B), ♣♦r i t q τi rtq

Sτi(B)−Ol=Li, ♣♦r i t q τi ♥♦♥rtq

♥s s é♥ér ♥♦s ♣♦♦♥s é♥r ♦♥t♦♥ ♥s ♦♠♥ s rés X = R♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♥♦s ♠t♦♥s ① ♥♦♠rs ♥trs X = N ♥♦♠r ♣t êtr ♥♥♦♠r ② ♦r♦ ♦ ♥ ♥té t♠♣s rst♥t à é♥r ♦♥t♦♥ f r♣r♥ srtèrs ♦r♦♥♥♥çté é♥s ♣r ♣r♠èr ♣rt ♦♥r♥♥t s tâs rtqsr♣rés♥t r ♦r♦♥♥♥çté ♦♥t♦♥ sched st t q

schedτi(B) =

1, s τi ♥s Smax

(B) st ♦r♦♥♥♥ç−∞, s♥♦♥

①è♠ ♣rt ♦♥r♥♥t s tâs ♥♦♥rtqs é♥t st♥ ♥tr ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté t ♣r♦té ♦♣t♠ ♦r♦♥♥♥çté ♥ rtté tâ ♦♥séré Ol=Li

q st ♦t à tt♥r tt éqt♦♥ ♦t ♣r♥r ♥♦♠♣t ♣rés♥ ♠é♥s♠ t ①ét♦♥ t s♦♥ t sr ♠♦t♦♥ s②stè♠ Sτi(B) r♣rés♥t ♦♥ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté tâ τi ♥s s②stè♠ S(B) tt r ♣t êtr étr♠♥é ♣r ♠ét♦ é♥♦♥é st♦♥ ③t s ②♣♦tèss t r♠rqs é♥♦♥és ♥s s st♦♥s ♦♥t êtr ♣rss ♥ ♦♠♣t♥ tsr ♦rrt♠♥t s

♦♠♥ rr ♦rt♠ ♦♣t♠st♦♥ ♦t ♦rs êtr é♥ ♦s①♦♥s ♣♦r q t ①ét♦♥ tâ ♥♦♥rtq ♥ r ♠①♠ q st r ♦♥t♦♥ C(l = 1) r ♠①♠ ①ét♦♥ ♥s s ♣s rtq t♥ r ♠♥♠ q st r ♦♥t♦♥ C(l = 0) r ♠♦②♥♥ ①ét♦♥♥s s ♥♦♥rtq ♦s ♦♥s

Ei = JCi(l = 0),Ci(l = 1)K

s tâs rtqs q♥t à s ♦♥t ♥ t ①é à r ♠①♠ Csup t r t♥ ♣s s♦♥ êtr ♦♣t♠sé

♥s s ♥ s♣ ♥ t♦ts s ♥♦r♠s s♦♥t éq♥ts ♦s ♦sss♦♥s ♥♦r♠ ♥s s♣ s ♥trs ♥trs ‖ · ‖ = ‖ · ‖1 ♦s r♣♣♦♥s q

∀x = x1, . . . , xn ∈ Nn, ‖x‖1 = |x1|+ · · ·+ |xn|

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

♣t♠st♦♥ ♥rt♦♥♥

♦s ♣r♦♣♦s♦♥s rér ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♠tr B ∈ En ♥ ♣r♦è♠♦♣t♠st♦♥ ♥rt♦♥♥ ①♣♦rt♦♥ s♣ étt st rstr♥t à ♥ ♥qrt♦♥ ♦s ♠ê♠ q ♥s s ♠trtqs étr♠♥st ♦r st♦♥ tr B st t q

∀i ∈ 1, . . . , n, Bi = (1 + λ.wl=Li).Ci(l = Li)

♦ù wl=List ♣♦♥ért♦♥ sr r①t♦♥ s tâs ♥ rtté Li t λ t①

r①t♦♥ ♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥q♠♥t ♥① rtté rtq t♥♦♥rtq s ♣♦♥ért♦♥s ts q wl=0 = 1 t wl=1 = 0 ♦r♥ sûr trB ♣t s rér à ét

Brtq = C(l = 1)B♥♦♥rtq = (1 + λ).C(l = 0)

♦s ♣♦♦♥s ♥s rér ♥♦tr ét ♦♣t♠st♦♥ ♦♠♠ st

r♠♥λ∈[0,λmax]

‖g(λ)‖ , g(λ) = f(B), B =⌊(1 + λ).C(l = 0)

⌋

♥s s λ st ♥ sr ré ♦♠♣rs ♥tr 0 ♥ ♠♥tt♦♥ t λmax ♠♥tt♦♥ ♠①♠ λmax st é♥ ♦♠♠ st

λmax = min1≤i≤n

C(l = 1)/C(l = 0)

♦s ts♦♥s ♥ ♠ét♦ ssq ♦♣t♠st♦♥ ♦♥t♦♥ sr ‖g‖ : R → R♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♦♥t♦♥ g ♥ét♥t ♣s ♦♥t♥ st ♦♥♥îtr♥ éré tt ♦♥t♦♥ ♦s ♦♥s ♥♦s ♦r♥tr rs s ♠ét♦s ♣r rét♦♥♥tr s ♦♥sst♥t à ♣rtr ♥ ♥tr é♣rt ∆0 = [λmin

p , λmaxp ] t

rér sqà ♦t♥r ♥ ♣rés♦♥ ♦ ♦r ♥♥① ♠ét♦ rt♥ st ♠ét♦ ♥♦♠r ♦r q st ♥ ♠ét♦ à rét♦♥ ♥tr rér ♦♠♣rà ♦t♦♠ ♠s ♥ ♥t q♥ s ♣♦♥t à q tért♦♥

①♠♣ s♠♣ s②stè♠

①♠♣ ♠♣t s strt♦♥s t♠♣s ①ét♦♥ ♣r♥♦♥s ①♠♣ ♣rés♥tést♦♥ ① tâs ♣ér♦qs ♥é♣♥♥ts ♦♥t s rtérstqs s♦♥t ♦♥♥ést ♦s ♦♥sér♦♥s s ① tâs ♥♦♥rtqs r♣rés♥tt♦♥ r♣q ♦♠♥ ♦r♦♥♥♥çté Cs♣ ♥ ♦♥t♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ C1 t C2 és♣réé♠♠♥t st r♦♥♥é r ♦s ♥ ♦♥sér♦♥s q s rs ♥tèrs ♥♠♥tr ♣rés♦♥ s s ♥♦s s♣♣♦sr♦♥s t♦ts s rs ♠t♣és ♣r C1 = 9.5 ∗ 100 = 950

♥s tt stt♦♥ tt♦♥ sttq s ts résé ♣r ♥ ♥②s étr♠♥st ♠trtq ♦r st♦♥ ♥♦s ♦♥♥ s rs Bd1 = 543 t Bd2 = 814 ♣♦rs tâs τ1 t τ2

♥②s

C1

1900 2200

950

C2

WCET1

WCET2

C-space

S (400,600)

S' (543,814)

r ①♠♣ Cs♣

♣rés♥t♦♥s ♠♥t♥♥t q t♠♣s ①ét♦♥ ♣r ♥ r ét♦r srèt Ci♦♠♣♦rt♥t mi rs s strt♦♥s s♦♥t ♦ss ts qs s♥t ♥ ♦ ♥♦r♠srétsé ♠♦②♥♥ ci t ért t②♣ σi Ci ∼ Nd(ci, σ

2i ,m) ♥s♠ s ♣r♠ètrs

q tâ st rés♠é t r r♣rés♥t ♦♥t♦♥ ♥sté ♣r♦té t♠♣s ①ét♦♥ C2 ♥s s s ♣rtrs ♦ù c2 = Bs2 t σ2 = 0.01.c2 ♥♦♠r rs m st ①é à ♦ rs

C Bd Cτ1 Nd(c1, σ

21,m)

τ2 Nd(c2, σ22,m)

♥s♠ s ♣r♠ètrs ♣♣t♦♥

♣rtr s strt♦♥s ♥♦s ♣♦♦♥s étr♠♥r ♣r♦té ♥♦♥♦r♦♥♥♥çté tâ τ2 ♠♦♥s ♣r♦rtr ♦s ♦sss♦♥s tsr ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r③ t ♠ét♦ rt♥ ♣♦r ♥♦tr ét s réstts ♦t♥s s♦♥t ♣rés♥tésr

♦s ♣♦♦♥s r♠rqr q s ♣rs ♣♣rss♥t s rtèr srt s strt♦♥s ♥♦♠r rs m t♠♣s ①ét♦♥ ♣♦ss ♣♦r ♥ ♥st♥ tâ♥♥ç♥t sr ♥♦♠r ♣rs Ps r t ①ét♦♥ ♠♥t ♣♦r♥ s ① tâs ♣s s ♦♥tr♥ts t♠♣♦rs ♠♣♦sés ① tâs ♠♥♥t ♣r♦té ♥♦♥♦r♦♥♥♥çté tâ τ2 ♠♥t

♦s ♣♦♦♥s é♠♥t r♠rqr ♥ trç♥t s ♥s ♥① ♦r♦♥♥♥çtér q ③♦♥ ♥s q s②stè♠ st ♦r♦♥♥♥ç ♣r♦té ♥♦♥♦r♦♥♥♥çté ♥ st ♣s ♠♣♦rt♥t q ③♦♥ ♦r♦♥♥♥çté é♥ ♣r Cs♣ s étr♠♥st ♣é♥♦♠è♥ s①♣q ♣r rtèr srt t ♥ s P①ét♦♥ C ♣♦ssè ♥ r ♠♥♠ Cmin t ♥ r ♠①♠ Cmax ①ét♦♥ ♥s s ♦ù Bi ≥ Cmax

i t ①ét♦♥ ♥ ♥ t sr ①ét♦♥ tâ ♦♥séré tr♥(C, B) = C ♥s s ♦ù Bi ≤ Cmin

i s r ①ét♦♥♣♦ss st ①é ♣r r t ①ét♦♥ tr♥(C, B) = (B; 1) s ① r♠r

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

790 795 800 805 810 815 820 825 830 8350

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

s ♣♦r m = 5

790 795 800 805 810 815 820 825 830 8350

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

s ♣♦r m = 10

r ♦♥t♦♥s ♣r♦té P ①ét♦♥ ♦♥sérés

700

750

800

850

900

500

520

540

560

580

6000

0.2

0.4

0.6

0.8

Task 2 budgetTask 1 budget

Ta

sk 2

sch

ed

ula

bili

ty

s ♣♦r m = 5

700

750

800

850

900

500

520

540

560

580

6000

0.2

0.4

0.6

0.8

Task 2 budgetTask 1 budget

Ta

sk 2

sch

ed

ula

bili

ty

s ♣♦r m = 10

r Pr♦tés ♥♦♥♦r♦♥♥♥çté τ2 ♦r♦♥♥é ♣♦r s ① P♦♥sérés ♥ ♦♥t♦♥ r t ①ét♦♥ sss

qs ①♣q♥t ♣rés♥ ♥ ♦♠♥ ♦r♦♥♥♥çté r♥ ♣♥ ♥ s à t ♥ ♣r s♣érr ♣r♦té ♠①♠ ♥♦♥♦r♦♥♥♥çté ♥ t à r♦t

♦

t ♥♦tr ét st ♦♣t♠sr ♠① s ts ♥ s♣♣r♦r ♣s♣rès ♥ ♥ ♥ Sτi = Ol=Li

♥s ①♠♣ ♣rés♥té s tâ τ2 st ♦♥séré r♣rés♥tt♦♥ 1− Sτi r tâ τ1 rst t♦♦rs ♦r♦♥♥♥ç ♥s ③♦♥ét ♥s s é♥ér st ♣réér ♥②sr ♥s♠ s st♥s sé♣r♥t ♣♦♥t été s ♥s ♦t rré ♦♠♠ é♥♦♥é ♣r éqt♦♥

①♠♣ ❯tst♦♥ ♠ét♦ ③ t ♣♦r rr s ts♣r♥♦♥s ①♠♣ ♣réé♥t ♥s s ♦ù s ♣r♠ètrs ci σi t mi s♦♥t ①és rs♣t♠♥t à 0.9.Bdi 0.1.ci t 10

♥②s

Task 2 budget

Task 1

budget

740 760 780 800 820 840 860 880

510

520

530

540

550

560

570

580

590

r ♣rés♥tt♦♥ ♣r ♥s ♥① s réstts t Cs♣

r r♣rés♥t é♦t♦♥ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté tâ τ2 Sτ2

♥ ♦♥t♦♥ ♦① s ts ③♦♦♠ r♣rés♥t ♥ ♣rt ♦r ♦rrs♣♦♥♥tà ♥ tr♥st♦♥ tâ ♦r♦♥♥♥ç sûr♠♥t♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté

r r♣rés♥t é♦t♦♥ rtèr crit(B) = ‖f(B)‖ f é♥ ♣r éqt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♦① s ts ♣r♦té ♦♣t♠ ♦r♦♥♥♥çté stâs st ①é à Ol=0 = 99% τ1 t τ2 s♦♥t ♥♦♥rtqs ♦rsq s②stè♠ st ♦r♦♥♥♥ç r rtèr crit st 2% Sτi = 100% s ts ♠♥t♥t s②stè♠ s r♣♣r♦ s ♦♥t♦♥s ♦♥t♦♥♥♠♥t ésrés ♣♦♥ts s ♦r ♣s s②stè♠ ♥♥t ♠♦♥s ♥ ♠♦♥s ♦r♦♥♥♥ç r ♦♥t♦♥ ♠♥t t ♦♣t♠st♦♥ ♣rés♥té ♥s tt ét st tr♦r ♥ ♠♥♠♠ rtèr

♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♦♣t♠st♦♥ ♥rt♦♥♥ rtèr ♥t crit(λ) = ‖g(λ)‖g é♥ ♣r éqt♦♥ s rs t r♣rés♥t♥t rs♣t♠♥t ♦r♦♥♥♥çté tâ t é♦t♦♥ rtèr ♥ ♦♥t♦♥ ♣r♠ètr λ q ① sts ①ét♦♥

ét ♦♣t♠st♦♥ ♥rt♦♥♥ st ♦♣ ♣s t st t♦♦rs ♠♥♠sr rtèr ♠s ét ♥ ♦♥t♦♥ sr ♠♥♠s très r♥♠♥t t♠♣s ♥s t ①♠♣ s②stè♠ st ♦♠♣♦sé ① tâs q rst rs♦♥♥♣♥♥t ♥s rété ♥♦♠r tâs st ♣tôt ♦rr 10 ♦ 20 ♦♣t♠st♦♥ ♥rt♦♥♥ st ♥s s ♥ ♣s ♥ts ♥ rété ♦rsq ♥♦s ♣r♦♥sét ♥rt♦♥♥ ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♥q rt♦♥ rr sr ♦r♣rés♥té r ♥trst♦♥ ♦r ♥ ♣♥

♦

t ①♠♣ ♣r♠t strr ♥ ① ♠♥s♦♥s ① tâs ♦♠♠♥t s ts①ét♦♥ ♦♥t êtr ♦ss ♥ ♦♥t♦♥ réstt sr ♦r♦♥♥♥çté ♥s♠s tâs s②stè♠ ♥s st♦♥ s♥t ♥♦s ♦♥s é♥érr ♥ rt♥ ♥♦♠r ♦♥rt♦♥s ♥ étr♠♥r ♥ ♦t♥ sr r①t♦♥ s ts ♣r tst♦♥ tt ♠ét♦

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

r♦♥♥♥çté

750

800

850

900

520

540

560

580

6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Task 2 budgetTask 1 budget

Task 2

schedula

bili

ty

❩♦♦♠

r r♦♥♥♥çté τ2 ① ③ ♥ ♦♥t♦♥ ♦① s ts ① ① t ②

rtèr

750

800

850

900

480

500

520

540

5600

0.05

0.1

0.15

0.2

Task 2 budgetTask 1 budget

Crite

ria

❩♦♦♠ sr ♠♥♠♠ ♦

r ❱r rtèr g ① ③ ♥ ♦♥t♦♥ ♦① s ts ① ① t ②

♠t♦♥s

Pr♠ètr é♥ért♦♥ s ♣♣t♦♥s

♥ s♠r ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♠♥s♦♥♥é à s♠ét♦s ♣rés♥tés sss ♥♦s é♥ér♦♥s ét♦r♠♥t ♥ ♥s♠ ♣♣t♦♥s ♦tré♥értr st sé sr ♣rés♥té st♦♥ ♦s ♦♥sér♦♥s ♠ê♠ q ♥s ♣tr ♣réé♥t s s②stè♠s s②♥r♦♥s ∀i, Oi = 0 s ♣r♥♣① ♣r♠ètrs ♥trés♦♥t ♥♦♠r tâs n ♥♦♠r tâs ♥♦♥rtqs n t tst♦♥ ♣r♦ssr ♥s♠ s tâs U s ♦♥♥és ♥ ♥s♠ ♣r♠ètrs Ti ♣ér♦Di éé♥ Li ♥ rtté Ci ♣♦r q tâ τi st étr♠♥é s tâs s♦♥ts♣♣♦sés à éé♥ sr rqêt D = T é♥ért♦♥ s rs ①ét♦♥ ♠♦②♥♥ Ci

♣r♠t st ♦♥♥r ♥ ♦rr r♥r ♣♦r s t♠♣s ①ét♦♥ t q tst♦♥♣r♦ssr s♦t ♦rr U t ♦rs é♥érr ♣♦r q tâ s ♦♥t♦♥ ♣r♦té ①ét♦♥

♠t♦♥s

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Lambda

Task 2 schedulability

r♦♥♥♥çté

1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.120.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

Lambda

Task 2 schedulability

❩♦♦♠ sr ♠♥♠♠ ♦

r r♦♥♥♥çté τ2 ♦r♦♥♥é ♥ ♦♥t♦♥ ♦① λ sss

0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.160

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Lambda

Criteria

rtèr

1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.125

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10x 10

−3

Lambda

Criteria

❩♦♦♠ sr ♠♥♠♠ ♦

r ❱r rtèr g ♦r♦♥♥é ♥ ♦♥t♦♥ ♦① λ sss

P♦r ♥ tâ rtq ♥♦s ts♦♥s r Ci ♣♦r é♥r ♥q r ①ét♦♥♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦r♥ s♣érr

Ci =(

Ci

1.00

)

P♦r ♥ tâ ♥♦♥rtq r Ci ♣r♠t é♥r ♥s♠ s rs ①ét♦♥♦♠♣♦s♥t P ①ét♦♥ ♦s ①♦♥s ♥♦♠r rs à 5 t q s rs s♦♥t0.85.Ci, 1.05.Ci, 1.10.Ci, 1.15.Ci, 1.30.Ci s ♣r♦tés ♦rrs♣♦♥♥ts s♦♥t trését♦r♠♥t s♦♥ s rtèrs é♥♦♥és ss♦s ♥

Ci =(

0.85.Ci 1.05.Ci 1.10.Ci 1.15.Ci 1.30.Ci

p1 p2 p3 p4 p5

)

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1.00p1 + p5 = 0.20

♣rtr s strt♦♥s ♥♦s ♦♥s s rs ♦♥t♦♥ ①ét♦♥ Ci(l = ·)♦♠♠ ①♣qé st♦♥ s rs s ♣r♠ètrs pi t ζ éqt♦♥ ♣♦r stâs ♥♦♥rtqs s♦♥t rs♣t♠♥t ①és à 80% t 1.25

s ♣r♦rtés πi q tâ s♦♥t ♦rs étr♠♥és à ♦rt♠ ♣rés♥tést♦♥ ♦s ♦t♥♦♥s ♥s ♥ s②stè♠ t q

S = τii=1...n =(

(Ci,Ci) , Oi, Di, Ti, Li, πi)

i=1...n

♦t♦♥ ♦ît s ts

t é♣♥ strté ♦♣té ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s étr♠♥st ♠ét♦ ♠trtq ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦ ♣r♦st ♠ét♦♣rés♥té ♥s ♣tr ♦s ♦♥s ♦♥ ♠ttr à ♦r tr t ①ét♦♥ q tâ s ♣r♠ètrs λdeterministe t λprobabiliste

♥s tt ét ♥♦s ♥ s♦♥s ♣s ♣♣ s♠tr ♣♣t♦♥ t♠♣s ré r♠ ♥ t ♦t éé à trrs s ♣trs ♣réé♥ts st r①r ♠① sts ①ét♦♥ ♦tr ♠sr ♣r♥♣ st ♦♥ t① r①t♦♥ ♦t♥ sr qtâ ♥♦♥rtq ♣♣t♦♥ s tâs rtqs ♥ét♥t ♣s r①és

r r♣rés♥t ♥s♠ s♣♦st s♠t♦♥ é♥értr ♣r♥♣ é♥értr strt♦♥s ♣♦r s t♠♣s ①ét♦♥ ss ♥trés ♣r♠ètrs t ss s♦rts♠srs ♦ s ts ①ét♦♥ été ♠s à ♦r

Générateur principal

d'architecture

U

n

T, D, L, π

Calculateurde budgetsd'exécution

50 CONFIGURATIONS

D/T

C

Générateur de temps d'exécutionPDF

exectime

Générateur de configurations

ñ PDF

exectime

(C, C)

~ B

StatistiquesRelaxations

r é♥értr ♣♣t♦♥s t ts ①ét♦♥

♠t♦♥s

éstts s♠t♦♥s

♦s ét♦♥s ♥s st ♣srs rt♦s ♥tr tâs rtqs t ♥♦♥rtqs ♦s①♦♥s ♥♦♠r tâs à n = 10 t ♥♦♠r tâs ♥♦♥rtqs à n = 2, 5, 8♥ strr s ér♥ts ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠ét♦ ♦♣t♠st♦♥ ♥ ♣rés♥ ♥♠♦rté ♦ ♥ ♠♥♦rté tâs rtqs

t ét st r①r s ts ①ét♦♥ ♥ ♠é♦rr qté sr ♠é♥s♠ étt♦♥ rrrs ♦rsq st tsé sr ♥ s②stè♠ ♠ étr♠♥é t♦t♥ r♥tss♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t t♠♣♦r ♣t ♠sr té sr q tâ♥♦♥rtq τi st é♥ ♣r r♣♣♦rt ♥tr ♥♦ t st♠é t r t♠♣s①ét♦♥ Ci(cl = 0) r t ♠♣t ③♦♥ rr Bi st résé♥s ♥tr JCi(l = 0),Ci(l = 1)K = [1, 1.25].Ci(l = 0) ♠sr st t♦♦rs ♦♠♣rs♥tr 1 t 1.25 t ♣rés♥t t① ♠♦②♥ r①t♦♥ ♦t♥ sr ♥s♠s tâs ♥♦♥rtqs ♦ts s ♦♥rt♦♥s r♣rés♥t♥t s s②stè♠s q s♥s ♥♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r ♥ rs♣t♥t ♣s s ♦♥tr♥ts ♦r♦♥♥♥çté ♠♥és ♣r tstr Sτi ≥ 99% ♣♦r s tâs ♥♦♥rtqs s réstts s♦♥t ♣rés♥tés ♣♦r qr ①é ♣♦r n t ♣♦r s ér♥ts ♠ét♦s ♥②ss étés ♥②s s♥sté♦ ♣r♦st

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n = 2①t♦♥

♠♣s s

n = 5①t♦♥

♠♣s ♠s

n = 8①t♦♥

♠♣s ♠s

❱rs ♠♦②♥♥s s r①t♦♥s ♦t♥s t s t♠♣s s

50 100 150 200 250 300 350 400 4501

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Number of studied architectures

Budget evolution

n = 2

50 100 150 200 250 3001

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Number of studied architectures

Budget evolution

n = 5

50 100 150 200 2501

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Number of studied architectures

Budget evolution

n = 8

r ♦t♦♥ ♠♦②♥♥ ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r ♣♣t♦♥s étés ♦rss ♥②s s♥sté ♦r t ♥②s ♣r♦st

♥♦♠r rttrs à ♥②sr ♥ ♦t♥r ♥ ♠♦②♥♥ r♣rés♥tt été

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

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1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Budget relaxation

Budget repartition

n = 2

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Budget relaxation

Budget repartition

n = 5

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Budget relaxation

Budget repartition

n = 8

r é♣rtt♦♥ s rs ♥s ♦t♥s

♦s ♣♦♦♥s r♠rqr q♥ ♦♥rt♦♥ ♦ù s tâs ♥♦♥rtqs s♦♥t ♠♥♦rtrsé ♦♣ ♣s s♦♥t r♦s ts q♥ ♦♥rt♦♥ ♥rs r♠rq ♣réé♥t strt♦♥ s rs r①t♦♥ ♣rsq t♦t ♦ r♥ ♥s s n = 8♣t é♠♥t ①♣qr té à ♦♥rr rs ♥ ♠♦②♥♥ st ♥s s ♦ù stâs ♥♦♥rtqs s♦♥t ♣ré♣♦♥ér♥ts ré♣rtt♦♥ rss♠ à ♥ ♦ ♥♦r♠ ♥trésr r ♠♦②♥♥ +9% ♥ ♣ é♠♥t ♣rés♥t sr r qs ♠①♠ +25% ①é ♣r ③♦♥ rr JCi(l = 0), 1.25.Ci(l = 0)K ♥s s r♠♦②♥♥ ♦♥♥é t r♣rés♥t ♥ r r♣rés♥tt t ♦♥♥ ♥s ♥ ♦♥♥♠sr qté tt ♠ét♦

♦s ♦♥s ♦ ♦rs ♣rés♥tr s réstts ♦t♥s ♣r ♥ ♣r♦rté ♦s ♦♥s s♠é s ♣♣t♦♥s ♦♠♣♦rt♥t ♥ tâs tés ♣r♦rtés πi ér♥ts♦s r♣♣♦♥s q ♣s r πi st ♠♣♦rt♥t ♣s tâ st ♣r♦rtr ♣s♣♦r s réstts ♥♦s ♦♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥q♠♥t s tâs ♥♦♥rtqs ♣rés♥tt♦♥ ré♣rtt♦♥ s tâs ♥♦♥rtqs s♦♥ ♥ ♣r♦rté ♣r♠t ♦♥♥îtr ♣♦r♥t tâs ♣rss ♥ ♦♠♣t Ps ♣♦r♥t st s ♣s ♠♦②♥♥ srs étés st ♣♦t♥t♠♥t sé ♠♦♥s ♣♦♥ts ♥ ♣rés♥ s réstts s♦♥t♣rés♥tés rs ♣♦r s ér♥ts rs n

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s ♣♦♦♥s r♠rqr r q ré♣rtt♦♥ s tâs

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♣♥♥t tâ ♠♦♥s ♣r♦rtr st s②sté♠tq♠♥t tâ q st ♣s ①♣♦sé à s é♥s ♥t ♣♦tq ♦r♦♥♥♥♠♥t à ♣r♦rtés ①s rt♥♥s s s②stè♠ ♦r♦♥♥♥é ♣r ♥ ♣♦tq à ♣r♦rtés ②♥♠qs ♣r♦rté s

♣tr ♦♥rt♦♥ ♣r ♥②s ♣r♦st

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Priority level

Criticality level repartition

é♣rtt♦♥ s tâs ♥♦♥rtqs ♣r♥ ♣r♦rté

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Priority level

Budget relaxation (Deterministic: black/+, Probabilistic : blue/square)

①t♦♥ s ts ♣r ♥ ♣r♦rté

r s n = 2 tâs rtqs ♣ré♣♦♥ér♥ts

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Priority level

Criticality level repartition

é♣rtt♦♥ s tâs ♥♦♥rtqs ♣r♥ ♣r♦rté

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Priority level

Budget relaxation (Deterministic: black/+, Probabilistic : blue/square)

①t♦♥ s ts ♣r ♥ ♣r♦rté

r s n = 5 éqré♣rtt♦♥ s tâs rtqs t ♥♦♥rtqs

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Priority level

Criticality level repartition

é♣rtt♦♥ s tâs ♥♦♥rtqs ♣r♥ ♣r♦rté

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Priority level

Budget relaxation (Deterministic: black/+, Probabilistic : blue/square)

①t♦♥ s ts ♣r ♥ ♣r♦rté

r s n = 8 tâs ♥♦♥rtqs ♣ré♣♦♥ér♥ts

sss♦♥

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♥s s ♥ ♥②s ♣r♦st ♥♦s ss♦♥s rt♥s ♥st♥s tâs ♥♦♥rtqs s①étr à r éé♥ t① ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté ♥♥st♥ st ♦♥trôé t ssr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣t ♣♦r s trs ♥st♥s ♣♥♥t ①ét♦♥ à ♥ éé♥ st ♥ é♥ tt ①ét♦♥ ♥ rt ♣s♦r t ♦♥ êtr st♦♣♣é tt r♠rq ♥♦s ♠è♥ à ♥♦s ♣♦sr qst♦♥ ♥térêt ♠s ♥ ♣ ♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ s♣♣é♠♥tr ♣♦r ♦♥trôr sé♥s

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♣♣♦rt ♣♦r ♦ tés ♦t♦♥ rt♥

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Pr♥♣ sr♥ éé♥s

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♣tr ❯tst♦♥ t♦♥♥ sr♥ éé♥s

①♠♣ ♣r♥♦♥s ①♠♣ ♣rés♥té ♥s ♣rt ♦♥t séq♥ ①ét♦♥s♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ st r♦♥♥é r

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

27 t

t

t

τ1

τ3

τ2

r ①♠♣ ①ét♦♥ s♥s r♦rs à sr♥ éé♥s

r str t♦♥ sr♥ éé♥s sr ♠ê♠ séq♥ ①ét♦♥ s tâs

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

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t

τ1

τ3

τ2

r ê♠ ①♠♣ ♥ ts♥t sr♥ éé♥s

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♦

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♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣tr ♣réé♥t s s sr ♥ ♣♦ssté é♥ ①ét♦♥ ♥ ♥st♥ à s♦♥ éé♥ rt ♣♦r s tâs ♥♦♥rtqs ê♠ s♥②s r♥tt ♥ ♦r♦♥♥♥çté ♦♠♣èt s tâs rtqs tst♦♥ ♣rs ♥st ♣s ♣r♥t ssr ♥ é♥ s ♣r♦r s♥s ♥ ♦♥trôr ♠♠ét♠♥t s♦♥séq♥s

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♠é♥s♠ sr♥ éé♥s ♣r♠t ♦♥trôr s é♥s ♥ s étt♥t t ♥ ss♥t s♦♥ s s♣ét♦♥s ♠♥és ♣r tstr ♥s ♥♦tr s ♥♥st♥ tâ é♥t st st♦♣♣é

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♣♣♦rt ♣♦r ♦

♥♦s ♦♥sér♦♥s q♥ ♥st♥ t st st♦♣♣é tst♦♥ sr♥éé♥s ♠♣q q♥ rés ①ét♦♥ ♥ ♣t êtr ♣rés♥t à éé♥♥ ♥st♥ tâ ♥s s ♥ s②stè♠ à éé♥ ♦♥tr♥t Di < Ti ♦ àéé♥ sr rqêt Di = Ti tt ♣r♦♣rété ♠♣q q♥ rés ♥st♥ ♥térr♥ ♠ê♠ tâ ♥st ♣rés♥t ♦rs tt♦♥ ♥ ♥♦ ♥st♥ ♠é♥s♠r♥tt ♦♥ ♥ rés ①ét♦♥ stt♦♥♥r ès ♣r♠èr ②♣r♣ér♦ T réss ♥s♥s s ♥ s②stè♠ s②♥r♦♥ ♦s ♣♦♦♥s ♥ ér q ♣ér♦ ét ♥ ts②stè♠ ♣t s ♠tr à ① ②♣r♣ér♦s T ♦s r♣♣♦♥s q ♥s s s②♥r♦♥②♣r♣ér♦ st é à T = ♣♣♠i=1,...,nTi t ♥s s tâs ♦♥rèts ②♣r♣ér♦ st t q T = maxi=1,...,nφi+ 2 ∗ ♣♣♠i=1,...,nTi

①♠♣ ♣t êtr r♠rqé sr ①♠♣ ♣rés♥té ♥ t r ♥ rés♥ ♣rsst ♦rs ♣r♦♥ ②♣r♣ér♦ ♦♥trr♠♥t s s♥s r♦rs à sr♥éé♥s ♣rés♥té r

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t♠♣s ré♣♦♥s ♥st♥ ♣r♦♣♦sé ♣r ③ t rst ♥q♠♥t ♥s s ♦ù ♥ ♥st♥ tâ ♥trér♥t ①ét♦♥ ♥st♥♥②sé ♥st st♦♣♣é ♣r ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥s s ♦♥trr ♣r♦té♦r♦♥♥♥çté é ♣réé♠♠♥t ♥st q♥ ♦r♥ ♥érr à r ①t ♥♣rés♥ sr♥ éé♥s ♥ t ès q ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t rét ♥trér♥ sr ♥st♥ ♥②sé ♦♥ rét s♦♥ t♠♣s ré♣♦♥s t ♦♥ t srs ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté

♠♣t sr♥ éé♥s ♣t êtr ♠sré s ♦♥ ♣r♥t à étr♠♥r s♦♥t♦♥ sr q ♥st♥ Ps ♣résé♠♥t ♣♦r ♦♥♥îtr ♦r♦♥♥♥çté ♥ tâ t ♦♥♥îtr t♦♥ ♠é♥s♠ sr t♦ts s ♥st♥s tâs ♣s ♣r♦rtrs ts ♥st♥s ♥térrs tâ ♥②sé tt t♦♥ ♦rrs♣♦♥ à ♥ tr♦♥tr strt♦♥ t♠♣s ①ét♦♥

❯♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t étr♠♥r ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté ♥ ♥st♥st ♥②sr s ér♥ts séq♥s ①ét♦♥ ♣♦sss ♣♦r s ♥st♥s tâs ♣s♣r♦rtrs P♦r q séq♥ ①ét♦♥ st étr♠♥r ♦♠♠♥t s ♦♠♣♦rt♥st♥ été ♥ ♥st♥ tâ ♣s ♣r♦rtr ♣t êtr rrêté ♣r ♠é♥s♠t étr♠♥r s ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté ♦♥t♦♥ s P t♠♣s ①ét♦♥ ♣♥♥t ♠♥s♦♥ s ♦♥t♦♥s ♣r♦té ①ét♦♥ ♥ t ♥♦♠r séq♥s à ①♠♥r ♣♥t êtr très ♠♣♦rt♥ts t t♠♣s ♥②s s②stè♠ ♣t♥r rt♠♥t ♦♥

①♠♣ ♦♥sér♦♥s ①♠♣ s②stè♠ S ♦♠♣♦sé tâs τ1 τ2 t τ3 qtâ st r♣rés♥té ♥q♠♥t ♣r s♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ s ♣ér♦ t s♦♥ éé♥rt τ = (C, T,D)

τ1 =

((1 2

0.70 0.30

), 3, 3

), τ2 =

((1 3

0.50 0.50

), 4, 4

), τ3 =

((1 2

0.50 0.50

), 12, 12

)

r r♣rés♥t qqs t♠♣s ré♣♦♥s s ♥st♥s τ3 ♥ ♦♥t♦♥ ér♥ts séq♥s ①ét♦♥ ♣♦r τ1 t τ2

séq♥ ①ét♦♥ ♣rés♥té r r♣rés♥t séq♥ ♦♠♣♦rt♥t ♠♦♥s r ♣r♦ssr t♠♣s ①ét♦♥ ♠♥♠① ♥s s s ① ♥st♥s tâ τ3 rs♣t♥t r éé♥ q q s♦t r t♠♣s ①ét♦♥ ♦♥séré♣♦r ♥ t♦♥ sr♥ éé♥s ♥st résé ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté s ♥st♥s τ3 ♥s tt ♦♥rt♦♥ st ♦♥ Sτ3,1 = Sτ3,2 = 1 ♣r♦té ♦r séq♥ ①ét♦♥ ♦♥séré ♣♦r s tâs τ1 t τ2 st (P(C1 = 1)

)8.(P(C2 = 1)

)3

séq♥ ①ét♦♥ ♣rés♥té r r♣rés♥t séq♥ ♦♠♣♦rt♥t ♣s r ♣r♦ssr t♠♣s ①ét♦♥ ♠①♠♠s ♥s s ♥ ♥st♥

♣♣♦rt sr♥ éé♥s ♣♦r ♥②s

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

t

t

t

τ1

τ3

τ2

τ1 séq♥ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 τ2 séq♥ 1, 1, 1

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

t

t

t

τ1

τ3

τ2

τ1 séq♥ 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 τ2 séq♥ 3, 3, 3

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

t

t

t

τ1

τ3

τ2

τ1 séq♥ 2, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 1 τ2 séq♥ 3, 3, 3

63 159 12 18 21 240

0 8 16 24

24120

t

t

t

τ1

τ3

τ2

τ1 séq♥ 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1 τ2 séq♥ 3, 3, 3

r ♠♣s ré♣♦♥s s ♥st♥s τ3 ♣♦r qqs séq♥s ①ét♦♥

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(P(C1 = 2)

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50 100 150 200 250 300 350 400 4501

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Number of studied architectures

Budget evolution

n = 2

50 100 150 200 250 3001

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Number of studied architectures

Budget evolution

n = 5

50 100 150 200 2501

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Number of studied architectures

Budget evolution

n = 8

r ♦t♦♥ ♠♦②♥♥ s ts ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r ♣♣t♦♥sétés ♦r ss ♥②s s♥sté ♦r t ♥②s ♣r♦st

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1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Budget relaxation

Budget repartition

n = 2

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Budget relaxation

Budget repartition

n = 5

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.02

0.04

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0.08

0.1

0.12

Budget relaxation

Budget repartition

n = 8

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1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.05

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0.15

0.2

0.25

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0.35

0.4

Budget relaxation

Budget repartition

n = 2

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Budet relaxation

Budget repartition

n = 5

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.250

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Budget relaxation

Budget repartition

n = 8

r é♣rtt♦♥ s rs ♥s ♦t♥s sr♥ s éé♥s

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

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0.2

0.25

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Priority level

Criticality level repartition

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.05

1.1

1.15

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1.25

Priority level

Budget relaxation (Deterministic: black/+, Probabilistic : blue/square, DM : red/o)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

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0.04

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0.08

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0.12

0.14

0.16

0.18

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Priority level

Criticality level repartition

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.05

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1.15

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1.25

Priority level

Budget relaxation (Deterministic: black/+, Probabilistic : blue/square, DM : red/o)

①t♦♥ s ts

r s n = 5 éqré♣rtt♦♥ s tâs rtqs t ♥♦♥rtqs

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

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Priority level

Criticality level repartition

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Priority level

Budget relaxation (Deterministic: black/+, Probabilistic : blue/square, DM : red/o)

①t♦♥ s ts

r s n = 8 tâs ♥♦♥rtqs ♣ré♣♦♥ér♥ts

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measured execution time

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minimal

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measured

maximal

upper

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safe

lower

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distribution

possible execution time

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of execution times

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♦ést♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥

❯♥ ♠♦ést♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ s♦s ♦r♠ ♥ strt♦♥ ♠ ♠ été ♣r♦♣♦sé ♣r r♥s t r Pr r♣♣♦rt ♦♠♣♦rt♠♥t s②♠♣t♦tq s réstts s♠t♦♥ strt♦♥ ♦♥séré ♣t êtr ♥q♠♥t tr♦st②♣s réér♥ à sr t ♣♣tt

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G(µ,σ)(x) = exp

(−exp

(−x− µ

σ

))

♦♥ r♥s t ❲♥s ♥ ♠♦è st ♦♥strt à ♥ é♥t♦♥ ét♦r ♠srs t♠♣s ①ét♦♥ ❯♥ é♥t♦♥ st ♦♠♣♦sé n ♠srs x1, . . . , xn ♣rtr s ♠srs ♥ strt♦♥ ♠ G(µ,σ)(t) ♠♦és♥t s t♠♣s ①ét♦♥st é t r♣rés♥t t♠♣s s rs s st♠trs ♥♦♥sés s ♣r♠ètrs µt σ s♦♥t ①♣r♠és ♥ ♦♥t♦♥ ♠♦②♥♥ x t r♥ σ2

µ = x− λ.σ, x =1

n

n∑

i=1

xi, λ ≈ 0.5772 ♦♥st♥t r

σ =

√6

πσ, σ2 =

1

n− 1

n∑

i=1

(xi − x)2

st ♦♥ r♣ étr♠♥r ♥ ♠♦ést♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ s♠srs tés ♣rtr tt strt♦♥ G(µ,σ)(t) s trs ♦♥strs♥t ♥ ♦♥t♦♥ strt♦♥ st♠t♦♥ ❲ θi ①♣r♠é ♣r

θi(x) =G(x+maxkxk)−G(maxkxk)

1−G(maxkxk)

tt ♦♥t♦♥ ♣r♠t étr♠♥r ♦♥♥ q ♥♦s ♣♦♦♥s ♦rr à r ❲ ♦s Ps ♣r t♠♣s ①ét♦♥ ♦♥séré st ♠♣♦rt♥t ♣s ♦♥♥♦♠♠ ♦r♥ s♣érr sûr st éé ♣♥♥t ♥ r tr♦♣ ♠♣♦rt♥t ♥st ♣s

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

♥térss♥t ♣♦r ♥ ét ♦r♦♥♥♥çté ♦♥t♦♥ ♣r♠t ♣résr r♥tq ♦♥ ♣t ♦r ♥s r ❲ r r♣rés♥t ♥ ①♠♣ ♠♦è t♠♣s ①ét♦♥ ♥s q ♦♥t♦♥ ♦♥♥ ❲

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 18000

2

4x 10

−3

Pro

babili

ty D

ensity

Time0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0

0.5

1

Theta

Function

Model of Execution Time

Model of likely WCET

r ré s ♥stés ♣r♦té t st♠t♦♥ ❲ ♣r r♣♣♦rt à s♦♥♥és ②♣♦tétqs r♥s t ❲♥s

♥t♦♥♥

t t ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠ét♦ ♣r♠tt♥t é♥t♦♥♥r ♥ strt♦♥ ♦♥♥é s♦s ♦r♠ ♥ strt♦♥ rét t q ♣ss êtr tsé ♣♦r♥ ét ♣r♦st ♦r♦♥♥♥çté é♥t♦♥♥ ♣ss♠st

ét s s sr s ♦♥♣ts ♣ss♠s♠ ♥ ♥②s ♣r♦st ①♣♦sés ♣r ③t

é♥t♦♥ ♦t X ′ t X ① rs ét♦rs r ét♦r X ′ st ♣sr♥ q X ♥♦té X ′ ≻ X s ∀X, P(X ′ ≤ X) ≤ P(X ≤ X) t s ① rs ♥ s♦♥t♣s ♥tqs

é♥t♦♥♥ ♦♥séré ♦t ♣r♥r ♥ ♦♥sért♦♥ ♣r♦té ♦rr♥ q t♠♣s ①ét♦♥ ♥ t ♥ t♠♣s ①ét♦♥ ②♥t ♥ ♦rt ♣r♦té ♦rr♥ ♦t ♦r ♥ ♣s ♦rt ♥ ♣♣rîtr ♥s é♥t♦♥♥ é♥t♦♥♥♣r♦♣♦sé ♣r♠t sét♦♥♥r k é♥t♦♥s ♣r♠ s N rs ♣♦sss strt♦♥rét fe′ ①trt strt♦♥ ♦r♥ fe s①♣r♠ ♣r

fe′(x) =k∑

i=1

fe(xi)δ(x− xi) +

(1−

k∑

i=1

fe(xi)

)δ(x− xw)

ét♦s ♥②s s t♠♣s ①ét♦♥

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δ(x) =

1 s x = 00 s x 6= 0

♣r♠r tr♠ éqt♦♥ r♣rés♥t ♥s♠ s rs é♥t♦♥♥ s♦♥ tr♠ r♣rés♥t rst s ♣r♦tés ♠és sr t♠♣s ①ét♦♥ ♠①♠♥ ♣résrr ♣ss♠s♠

♦① s k rs é♥t♦♥♥ xii=1,...,k st résé ♣r r♣♣♦rt à ♣r♦té♦rr♥ ♦t strt♦♥ ♦r♥ r ét♦r X rtérsé ♣r

P(X = xj) = pj

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x′i =

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∑jk=0 pk

xn s

∑n−1k=0 pk ≤ U < 1

tt ♣r♦ér st ré♣été k ♦s ♥ ♦t♥r ♥s♠ s ♣♦♥ts é♥t♦♥♥ ♥é♥t♦♥ st éà ♣rés♥t ♥ ♥♦ r st tré ♥ ♦t♥r k rs st♥ts

r ♣rés♥t ♥ ①♠♣ é♥t♦♥♥ ♥ strt♦♥ ♦♠♣♦rt♥t rs st♥ts k st ①é à ♣s à rs

♥s ♣r♠r s k = 75 r strt♦♥ ♦t♥ st ss③ ♣r♦ strt♦♥ ♦r♥ ♣♥♥t ♣s r k ♠♥ k = 20 r ♣ss rs é♥t♦♥♥ s♠♥t ♥ts ♣r r♣♣♦rt à ♣r♦té té à r♠①♠ ①ét♦♥ ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ ♣rés♥té r ♣r♠t ♠♦♥trrs érts ①st♥t ♥tr ré♣rtt♦♥ ♦r♥ t s ① é♥t♦♥♥s é♥♠♦♥s t stré r st ♠té ♣sq é♥t♦♥♥ t résé à q tért♦♥ st②stt ♦

tt ♠ét♦ é♥t♦♥♥ ♣r♠t ♠♥♠sr t s s st②stt♦ ③ t ♥ rés♥t t s strt♦♥s ♠ss ♥ ♥s s ♣r♦ts ♦♥♦t♦♥ ♥ t ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ ① rs ét♦rs srèts X tY ts rs♣t♠♥t nX t nY ♣r♦t ♥ r ét♦r Z t nX ∗ nY ♥é♥ér st②stt ♦ s♥t ♥tr♥r réq♠♠♥t ♥ ♥♦♠r ♠♣♦rt♥t ♣r♦ts ♦♥♦t♦♥ t s strt♦♥ ♥t très t ss③ ♠♣♦rt♥t❯♥ rét♦♥ s rs ♣r é♥t♦♥♥ st ♥ s♦t♦♥ ♣♦r ♥ ♠♥r t❯♥ é♥t♦♥♥ s strt♦♥s st résé à q tért♦♥ ♦♥♦t♦♥ t♣t ♣r♠ttr ♦♥srr ♥ t ♦♥st♥t s ♦♥♥és ♠♥♣és

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.005

0.01

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0.02

0.025

0.03

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

strt♦♥ ♦r♥

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

strt♦♥ é♥t♦♥♥é ♣ts

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

strt♦♥ é♥t♦♥♥é ♣ts

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cum

ula

tive D

istr

ibution

Original Distribution

Sampling (75 pts)

Sampling (20 pts)

♦♥t♦♥s ré♣rtt♦♥

r ①♠♣ é♥t♦♥♥ ♥ strt♦♥

❯tst♦♥ ♣♦r ♥♦tr ét

♥s ♥♦tr s ♥♦s ♥♦s ♠t♦♥s à s ♠srs t♠♣s ①ét♦♥ sr ♥ ♥s♠ tsts ♠ét♦ ♥♦r très r♠♥t tsé ♥s ♠ ♥str

P♦r ♥♦tr ét ♥♦s ♣♦♦♥s tsr ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r r♥s t r ♥ é♥r st♠t♦♥ ❲ ♥ tâ rtq ♥ rt♥ ♦♥♥ sst♠t♦♥s ♣♦rr♦♥t êtr ♣s tés ♥ ♦♥t sérté ♥ r♥tr ♥♦r♥ s♣érr

t♠♣s ①ét♦♥ ♥ tâ ♥♦♥ rtq ♣t êtr ♠♦ésé ♣r ♥ r ét♦ré♥ à ♣rtr ♥ strt♦♥ ss s ♠srs st②stt ♦ r♣♣ à ♥ é♥t♦♥♥ t t résé à q tért♦♥ é♥t♦♥♥ér♥t à q ♥♦ ♦♥♦t♦♥ ♥ ♠♥♠sr t s strt♦♥s ♠ss ♥

♦s ♣♣♦rt♦♥s ♥ éèr ♠♦t♦♥ à ♠ét♦ é♥t♦♥♥ ♣r♦♣♦sé ♦①

ét♦s ♥②s s t♠♣s ①ét♦♥

s é♥t♦♥s rst ♠ê♠ ♠s ♥♦s ♠♦♦♥s éqt♦♥ ♣r éqt♦♥ s♥t

fe′(x) =Fe(x0)δ(x− x0) +

k∑

i=2

(Fe(xi)− Fe(xi−1)) δ(x− xi)

+ (1− Fe(xk)) δ(x− xw)

♣r ♣r♦♣rété ♣ss♠st é♥t♦♥♥ ♦t♥ st ♥tq à ♣r♦r♠é ♣r t t ♥ t ♣sq s ♣r♦tés s♦♥t ♣r♦tés sr ♥r ①ét♦♥ s♣érr ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ ♦t♥ sr t♦♦rs ♥érr à ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ é♥t♦♥♥é ♦s r♥tss♦♥s ♥s ♣ss♠s♠ E ′ ≻ E

r ♣rés♥t ♥ ①♠♣ é♥t♦♥♥ ♥ strt♦♥ ♦♠♣♦rt♥t rs st♥ts ♣r ♠ét♦ ♣réé♥t ♣r♦♣♦sé ♣r t t t rs♦♥♠♦é

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

strt♦♥ ♦r♥

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.1

0.2

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0.4

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Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

strt♦♥ é♥t♦♥♥é t t

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

strt♦♥ é♥t♦♥♥é rs♦♥ ♠♦é

97 98 99 100 101 102 103 104 105 1060

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cum

ula

tive D

istr

ibution

Original distribution

Sampling 1

Sampling 2

♦♥t♦♥s ré♣rtt♦♥

r ♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s é♥t♦♥♥

strt♦♥ ♦t♥ rs♦♥ ♠♦é r ♦♠♣♦rt s rs s♥ts ♣♦r trs rs q r ♠①♠ ①ét♦♥ ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

♣rés♥té r ♣r♠t ♦♥r q ré♣rtt♦♥ ♦t♥ ♣r é♥t♦♥♥ ♠♦é s♠♣♥ st ♣s ♣r♦ q ♦t♥ ♣r é♥t♦♥♥ ♣r♦♣♦sé ♣r t t s♠♣♥ t♦t ♥ rst♥t ♣ss♠st ♦r é♥t♦♥♥é rst ♥ t♦t♣♦♥t ♥érr à ♦r ♦r♥

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♥s tt ♣rt ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♥s♠ ♣r♦r♠♠s rtérstqs s♣r♦r♠♠s s♦♥t ①étés sr s ♥ résr s ♠srs t♠♣s ①ét♦♥ ♦s♦♥sér♦♥s ♣♣t♦♥ ♦♠♣♦sé ♥ tâ ♥q ♥ ♣♦♥t ♦♥ ♣s êtr ♣ré♠♣tés ♠srs s♦♥t résés ♠é♥s♠ tr q ♣r♠t tr♥s♠ttr s tstt♦♥ t tr♠♥s♦♥ tâ ♦♥séré

étr♠♥t♦♥ s ér♥ts ♣r♠ètrs

s ♠srs ♦t♥s ♣r ①♣ér♠♥tt♦♥ s♦♥t ♥②sés ♥ étr♠♥r s ér♥ts♣r♠ètrs ts ① éts ♦r♦♥♥♥çté érts à trrs s ♣réé♥ts ♣trs♥②s étr♠♥st t ♣r♦st

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♠♦è ♣r♦st ♣rés♥té st♦♥ rtérs q tâ ♣r ♥ ♣t ((Ci,Ci) , φi, Di, Ti, Li, πi

)

♥s ♥♦tr ét ♦st φi éé♥ Di ♣ér♦ Di t rtté Li s♦♥t s♣♣♦sés①és s ♣r♦rtés πi s♦♥t étr♠♥és à ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé ♣r ❱st ♦rst♦♥ s ss ♣r♠ètrs à étr♠♥és s♦♥t (Ci,Ci) rtérs♥t t♠♣s ①ét♦♥ q tâ

♣r♠r ♣r♠ètr Ci st r ét♦r rtérs♥t t♠♣s ①ét♦♥ tâ τi P♦r ♥ tâ rtq ♥ r ♥q ①ét♦♥ st ♦♥séré r♣rés♥t♥t ♥ ♦r♥ s♣érr sûr ①ét♦♥ Csup ♥s ♥♦tr s ♥♦s ♦♥sér♦♥s r♦t♥ ♣r s tr① r♥s t ❲♥s ért sss P♦r ♥ tâ ♥♦♥rtq Ci ♦rrs♣♦♥ à strt♦♥ ♠sré s t♠♣s ①ét♦♥ ♦r♦♥♥♥çté ♥ tâ ①♣♦s♥t ♦rsq s strt♦♥s ♦♥sérés ♦♥t ♥ ♠♥s♦♥♠♣♦rt♥t st ♥éssr é♥t♦♥♥r s ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r t t ♦♥sèr ♥ é♥t♦♥♥ à q tért♦♥ t tt ♠ét♦ ♥♣s été ♠♣é♠♥té ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ é♥t♦♥♥ ♣ré résé ♠♥♠♥t ♥ts♥t éqt♦♥ ♥tq ♣♦r q tért♦♥

s♦♥ ♣r♠ètr Ci st ♥ ♦♥t♦♥ é♣♥♥t ♥ rtté ♥s s♥ tâ rtq ♥♦s ♦♥s ♣r♦♣♦sé ①r ♦♥t♦♥ t q

Ci(l = 0) = Ci(l = 1) = Csup

♥s s ♥ tâ ♥♦♥ rtq ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s ①r ♦♥t♦♥ t q

Ci(l = 0) = C, P(Ci ≤ C) ≥ piCi(l = 1) = Csup

s ér♥ts tâs t ♦♠♣♦rt♠♥ts t♠♣♦rs

♦è étr♠♥st

♥s s ♥ ét étr♠♥st ♦r♦♥♥♥çté s tâ st ♦♥séré ♥♦♥rtq r rt♥ ♣♦r ♣r t♠♣s ①ét♦♥ st r C tâ strtq r ♦♥séré st r Csup

srtr ♥rr

Prés♥tt♦♥ ♣r♦r♠♠

♦s ♦♥s ♦r ♥ ♣tr ♦ ♦ ♦srtr s♦♥ ♠♦è ♣r♦♣♦sé ♣r ♥rr ♣tr ♣r♠t ♣rès ♥tt♦♥ ♥ s②stè♠ st♠r s♦♥ étt ♥tr♥♥ ré♣érr rt♥s ♥♦r♠t♦♥s ♥♦♥ s♣♦♥s rt♠♥t ♦t s②stè♠ ♥érsrt s♥t

Xk+1 = AXk +BUk

Yk = CXk

❯♥ ♦srtr ②♥♠q ♦r♠ s♥t

Xk+1 = AXk +BUk + L(Yk − CXk)

♦srtr ♣r♠t r♦♥strr ♥ st♠t♦♥ X étt ♥tr♥ X à q ♥st♥t kà ♣rtr s♦rt s②stè♠ Y ♥tré U t r tr ♥tr♥ à ♥st♥t♣réé♥t r r♣rés♥t ♥ ①♠♣ tst♦♥ ♦srtr ♥s ♥ ♦ ♦♠♠♥

Uk YkVk

Xk

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♥s ♥♦tr s ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr ♥ s②stè♠ t q ♠♥s♦♥ tr ♥tr♥st ♦♠♣♦rt♥t ♥ s ♥tré t ♥ s s♦rt ♠sré ♦s ♦♥s ♥s ♠tr15×15 B tr ♦♦♥♥ 1×15 t C tr ♥ 15×1 t st r ♥ st♠t♦♥X tr ♦♦♥♥ 1 × 15 ♥ ♦♥t♦♥ r ♥tré uk t ♠sr yk t♦s s① srs ♥ t ♣s ♥tr♥r ♠t♣t♦♥ ♠trs ♥q♠♥ts ♠t♣t♦♥s ♠trtr ♦♦♥♥ ♣♥♥t s ♠t♣t♦♥s s♦♥t résés♥tr ♥♦♠rs ♦tt♥ts

① ♥s♠s n rs ♣♦r r Xk t Yk ♦♥t été é♥érés é♥ért♦♥ srs s♦rt ♣r s♠t♦♥ s②stè♠ s♦s t♠♥ ♥ ♦t♥r s s♦rts♦ér♥ts t ♥térés ♣r♦r♠♠

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

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♠♣é♠♥tt♦♥ ♦srtr été résé ♣s ①été sr s réstts♦t♥s s♦♥t ♣rés♥tés r ♦s ♣♦♦♥s r♠rqr q ♥♦♠r rs ér♥tsrés ♥st ♣s très ♠♣♦rt♥t r ♠♦②♥♥ s t♠♣s ①ét♦♥ ♠srés st ♥r♦♥ ♠s ♥ ért t②♣ ♦rr ♠s ♥ r ♠♥♠ ♠s t ♠①♠ ♠s ♦♠♣♦rt♠♥t st û ♥ rt s♠♣té s s ♦rt♠ ♦srtr été

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

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2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 65000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

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r éstts s ♠srs s rs ①ét♦♥ ♦srtr ♥rr

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90% ♠s99% ♠s99.9% ♠s99.99% ♠s

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❯♥ é♥t♦♥♥ strt♦♥ ♦t♥ ♣r ♠sr été résé r r♣rés♥t é♥t♦♥♥ ♣♣qé ① ♠srs

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Ci =(

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)

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2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000

0.05

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0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

♥sté ♣r♦té

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cu

mu

lative

Dis

trib

utio

n

♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥

r éstts é♥t♦♥♥ s ♠srs ①ét♦♥ ♦srtr ♥rr

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Prés♥tt♦♥ ♣r♦r♠♠

♦s ♦♥s ♠♦ésr ♥ ①è♠ t②♣ ♣tr ♦ ♣♣é tr ♠♥s♦♥ ♠♦è ①♣♦sé ♥s ♠♥ ♠ê♠ q ♦srtr ♣réé♥t tr ♠♥ st ♥ st♠tr rérs s♥ q ♣♦r st♠r étt ♦r♥t ssétt ♣réé♥t t s ♠srs ts s♦♥t ♥éssrs ♦t s②stè♠ ♥ér srt rtés♥t s rts ❲ t ❱ s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ s rts ♥s ♠trs ♦r♥ t

Xk+1 = AXk +BUk +Wk

Yk = CXk + Vk

tr ♠♥ ♦♠♣♦rt ① ♣ss st♥ts ♣s ♣rét♦♥ t ♣s ♠s à ♦r ♣s ♣rét♦♥ ts étt st♠é ♥st♥t ♣réé♥t ♣♦r ♣r♦r

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

♥ st♠t♦♥ étt ♦r♥t

Xk|k−1 = AXk−1|k−1 +BUk−1

Pk|k−1 = APk−1|k−1AT +Q

♥s ét♣ ♠s à ♦r s ♦srt♦♥s ♥st♥t ♦r♥t s♦♥t tsés ♣♦r ♦rrrétt ♣rét ♥s t ♦t♥r ♥ st♠t♦♥ ♣s ♣rés

Kk = Pk|k−1CT (CPk|k−1C

T +R)−1

Xk|k = Xk|k−1 +Kk (yk − Cxk|k−1)

Pk|k = (I −KkC)Pk|k−1

♥s ♥♦tr s ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr ♥ s②stè♠ t q ♠♥s♦♥ tr ♥tr♥st ♦♠♣♦rt♥t ♥ s ♥tré t ♥ s s♦rt ♠srés t ♠♥t♥♥t♥tr♥r s ♠t♣t♦♥s ♠trs ♠s ♣s ♥rs ♥rs ♥sr

♠ê♠ q ♣♦r ①♠♣ ♣réé♥t ♥ ♥s♠ n rs ♣♦r Xk t yk ♦♥t étéé♥érés t ♥térés ♣r♦r♠♠

srs t♠♣s ①ét♦♥

❯♥ ♣r♠èr ♠♣é♠♥tt♦♥ tr ♠♥ été résé ♦♠♣♦rt♥t ♥ ♠t♣t♦♥ ♠tr ssq ♣♥♥t s ♣r♦è♠s ♦♥t été r♥♦♥trés ♦rs ♠s ♥ ♣ ♥ ♣♣t♦♥ t s ♣ré♠♣t♦♥s q tt tâ ♣♦t sr t ét♥t s♠♥t ♦ t ♠t♣t♦♥ ♠tr ♦♠♣♦rt ♠ss ♦tés s♣t t t♠♣♦r s éts s♦♥t r♠♥t ♣rés♥ts ♦rs ♣ré♠♣t♦♥s

❯♥ ♠ét♦ ♣♦r ♠♥tr s ♦tés st résr s ♠t♣t♦♥s ♠trs♣r ♦s ♦s ♦sss♦♥s ♥ t ♣r ♦ 3× 3 ♠♣é♠♥tt♦♥ tr ♠♥ tt ♠ét♦ été résé ♣s ①été sr s réstts ♦t♥s s♦♥t♣rés♥tés r ♦s ♣♦♦♥s r♠rqr q ♥♦♠r rs ér♥ts rés st♦♣ ♣s ♠♣♦rt♥t q ♥s s ♣réé♥t ♣é♥♦♠è♥ st û à ♦♠♣①té♣s ♠♣♦rt♥t s s ♥ ♥♦♠rs ♦tt♥ts r ♠♦②♥♥ s t♠♣s ①ét♦♥♠srés st ♥r♦♥ ♠s ♥ ért t②♣ ♦rr ♠s ♥ r ♠♥♠①ét♦♥ ♠s t ♠①♠ ♠s

♥②s s réstts

♦♥t♦♥ θ ♣r♦♣♦sé ♣r r♥s t ❲♥s st é t tré t rés♠ s rs st♠t♦♥ ❲ ♥ ♦♥t♦♥ qqs ♥s ♦♥♥

❯♥ é♥t♦♥♥ strt♦♥ ♦t♥ ♣r ♠sr été résé r r♣rés♥t é♥t♦♥♥ ♣♣qé ① ♠srs

é♥t♦♥♥ s rs ♦♥♥ strt♦♥ s♥t

Ci =(

128 129 139 1400.052 0.020 0.011 0.917

)

s ér♥ts tâs t ♦♠♣♦rt♠♥ts t♠♣♦rs

1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4

x 105

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0.16

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

srs

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

x 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

st♠t♦♥ ❲

r éstts s ♠srs s rs ①ét♦♥ tr ♠♥

♦♥♥ st♠t♦♥ ❲

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st♠t♦♥ ❲ ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♦♥♥ tr ♠♥

t rés♠ s rs ①ét♦♥ ♦♥sérés ♥s ♦① s ♣r♦rtés ♥ ♥♦♥rtq ♣♦r rt♥s rs pi

♦♥♥ st♠t♦♥ ❲

80% ♠s90% ♠s100% ♠s

❱r ①ét♦♥ ♣♦r ♥ ♥♦♥rtq s♦♥ pi tr ♠♥

â ♦♥t t♠♣s ①ét♦♥ st ♥ ♦ ♠

Prés♥tt♦♥ ♣r♦r♠♠

ét ♠♥é ♣r r♥s t ❲♥s sèr q t♠♣s ①ét♦♥ ♥ tâ♣t êtr r♣rés♥té ♣r ♥ strt♦♥ ♠ ♦s ♦♥s ♦♥ é♥érr ♥ tâ à♣srs ♠♥s ①ét♦♥ ♥ s ♠♥s ②♥t ♥ ♣r♦té ♦rr♥ ♥s♥ ♣r♠r t♠♣s ♥♦s sréts♦♥s strt♦♥ ♠ ♥ é♥érr ♥ strt♦♥ réér♥ ♣♦r ♦① ♠♥ tt srétst♦♥ st résé sr ♣♦♥ts é♥t♦♥♥ éqré♣rts strt♦♥ réér♥ st ♣rés♥té r ♠♦②♥♥

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

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1

Execution Time

Pro

ba

bili

ty D

istr

ibu

tio

n

♥sté ♣r♦té

1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4

x 105

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0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cu

mu

lative

Dis

trib

utio

n

♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥

r éstts é♥t♦♥♥ s ♠srs ①ét♦♥ tr ♠♥

strt♦♥ réér♥ st ♥té t♠♣s t s♦♥ ért t②♣ ♥té t♠♣s

0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♥sté ♣r♦té

0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time (us)

Cum

ula

tive d

istr

ibution

♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥

r strt♦♥ réér♥ ♠ srétsé

♣rtr tt strt♦♥ t ♥ tr ét♦r ♥ r U ♦ ♥♦r♠ ♥r ①ét♦♥ st ♦s à ♠ ♦① é♥t♦♥ ♣rés♥té ♣réé♠♠♥t

❯♥ ♥s♠ n rs U ♦♥t été é♥érés t ♥térés ♣r♦r♠♠ ♥ ♦sr ♠♥ q ♦t sr ♣r♦r♠♠ à q ①ét♦♥ q ♠♥ st ♠♦ésé ♣r♥ ♦ ♥ ♦♥t ♥♦♠r tért♦♥ é♣♥♥t r ♠♥ ♥♦s ♦♥sréé ♦ t q r ♠♥ ♥trî♥ ♥ t♠♣s ①ét♦♥ ♥r♦♥ ♠s♦♥

s ér♥ts tâs t ♦♠♣♦rt♠♥ts t♠♣♦rs

srs t♠♣s ①ét♦♥

s réstts ♦t♥s s♦♥t ♣rés♥tés r ♦s ♣♦♦♥s r♠rqr q ♥♦♠r rs ér♥ts rés st ♣s ♠♣♦rt♥t q ♥♦♠r ♠♥s é♥érés stû ① és é♥érés ♣r ♣t♦r♠ ♠tér s♣rs♦♥ t♦r q ♠♥ r ♠♦②♥♥ s t♠♣s ①ét♦♥ ♠srés st ♥r♦♥ ♠s ♥ ért t②♣ ♦rr ♠s ♥ r ♠♥♠ ①ét♦♥ ♠s t ♠①♠ ♠s

1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

srs

1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

st♠t♦♥ ❲

r éstts s ♠srs s rs ①ét♦♥ ♦ ♠ srétsé

♥②s s réstts

♦♥t♦♥ θ ♣r♦♣♦sé ♣r r♥s t ❲♥s st é t tré t rés♠ s rs st♠t♦♥ ❲ ♥ ♦♥t♦♥ qqs ♥s ♦♥♥

♦♥♥ st♠t♦♥ ❲

90% ♠s99% ♠s99.9% ♠s99.99% ♠s

st♠t♦♥ ❲ ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♦♥♥ ♦ ♠srétsé

strt♦♥ réér♥ rst ♥ ♦♥♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♦r é♥t♦♥♥ ♣♥♥t ♥♦♠r r sr rét à ♥ ♠♥tr r♣té s s ♥②s♣r♦st ♦s ♥ r♦♥s ♥s q♥ ♣♦♥t sr ① strt♦♥ réér♥ r r♣rés♥t é♥t♦♥♥ ♣♣qé ① ♠srs

é♥t♦♥♥ s rs ♦♥♥ strt♦♥ s♥t

Ci =(

13.7 13.9 14.0 14.2 14.5 15.1 15.80.091 0.422 0.297 0.096 0.047 0.042 0.005

)

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6

x 104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

♥sté ♣r♦té

1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cu

mu

lative

Dis

trib

utio

n

♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥

r éstts é♥t♦♥♥ s ♠srs ①ét♦♥ ♦ ♠ srétsé

t rés♠ s rs ①ét♦♥ ♦♥sérés ♥s ♦① s ♣r♦rtés ♥ ♥♦♥rtq ♣♦r rt♥s rs pi

♦♥♥ st♠t♦♥ ❲

80% ♠s90% ♠s100% ♠s

❱r ①ét♦♥ ♣♦r ♥ ♥♦♥rtq s♦♥ pi ♦ ♠ srétsé

â t②♣ ♠♥ à étts

Prés♥tt♦♥ ♣r♦r♠♠

t②♣ tâs ♠♦ésés ♥s tt st♦♥ st ♥ tâ ♦♠♣♦rt♥t ér♥ts ♠♥s①ét♦♥ q ♦♥t ♥ ♥ ♣r♦té ♦rr♥ t②♣ ♠♥ à étts ♦s♣♦♦♥s é♥érr s strt♦♥s s♠s à s ♦♥sérés ♥s s♠t♦♥s s éts♣r♦sts ♣trs t

♦s r♣♣♦♥s q ♦rt♠ ♦① s rs ①ét♦♥ ♣t êtr ♦s ts q

Ci =(

17000 21000 22000 23000 26000p1 p2 p3 p4 p5

)

s ér♥ts tâs t ♦♠♣♦rt♠♥ts t♠♣♦rs

5∑

i=1

pi = 1.00

p1 + p5 = 0.20

♦① ♣r♠t ♥ ♣s ♦r ♣r♦té tr♦♣ ♠♣♦rt♥t sr s rs ①trê♠s①ét♦♥ s ♣s réq♥t ❯♥ ①♠♣ strt♦♥ é♥éré ♣r tt ♠ét♦ st♣rés♥té r

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

x 104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Execution Time

Pro

babili

ty D

ensity

1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cum

ula

tive D

istr

ibution

r ①♠♣ ♥ strt♦♥ réér♥

strt♦♥ é♥éré ♣♦r ①♠♣ ♣♦r ♠♦②♥♥ ♥tés t♠♣s t ♣♦r értt②♣ ♥tés t♠♣s

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s réstts ♦t♥s ♣♦r s t♠♣s ①ét♦♥ s♦♥t ♣rés♥tés r r♠♦②♥♥ s t♠♣s ①ét♦♥ ♠srés st ♥r♦♥ ♠s ♥ ért t②♣ ♦rr ♠s ♥ r ♠♥♠ ①ét♦♥ ♠s t ♠①♠ ♠s

♥②s s réstts

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♠ê♠ q ♣♦r s ♣réé♥t strt♦♥ réér♥ rst ♥ ♦♥♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣♦r é♥t♦♥♥ r r♣rés♥t é♥t♦♥♥ ♣♣qé ① ♠srs

é♥t♦♥♥ s rs ♦♥♥ strt♦♥ s♥t

Ci =(

27.3 32.4 33.9 36.6 41.10.078 0.112 0.478 0.200 0.132

)

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

srs

2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

st♠t♦♥ ❲

r éstts s ♠srs s rs ①ét♦♥ strt♦♥ ét♦r

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80% ♠s90% ♠s100% ♠s

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♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♥♦s ♠t♦♥s à s strt♦♥s réér♥ ♦♠♣♦rt♥t ♥q♠♥t rs ♥ tr ét t rér t♠♣s s ♥②ss ♣r♦sts♦r♦♥♥♥çté ♣♥♥t é♥t♦♥♥ ♣r♦♣♦sé st♦♥ ♣réé♥t rét r♠♥t t ♣r♠t rés♦r s s②stè♠s ♦♠♣♦rt♥t s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦♠♣①s

sss♦♥

tt ét ♣r♠t strr ♦♠♣♦rt♠♥t qqs ♦rt♠s ♦srtr ♥rr tr ♠♥ t é♥r trs ♦♠♣♦rt♠♥ts rtérstqs strt♦♥ s♦♥ ♥ ♦ ♠ ♦ t②♣ ♠♥ à étts

sss♦♥

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Execution Time

Pro

babili

ty D

istr

ibution

♥sté ♣r♦té

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Execution Time

Cu

mu

lative

Dis

trib

utio

n

♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥

r éstts é♥t♦♥♥ s ♠srs ①ét♦♥ strt♦♥ ét♦r

s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♦t♥s ♣r♠tt♥t ♥♦s r♥s♥r sr s és ♠térs q ♣♥t sr♥r ♥♦t♠♠♥t sr s ♥♦♠rs rés ♦srtr ♥rr ttr ♠♥ ♥ t ♣r♦ssr ❳ ❳ tsé ♥ ♦♠♣♦rt ♣s ♦♣r♦ssr ♥♦♠rs ♦tt♥ts s ♦♣ért♦♥s sr s ♥♦♠rs rés s♦♥t ♦♥résés ç♦♥ ♦ q ♠♥t s♣rs♦♥ t♠♣s

♠♦ést♦♥ ♣r é♥t♦♥♥ strt♦♥ ♦t♥ ♣r ♠sr ♥s s♥ ét ♣r♦st ♦r♦♥♥♥çté été résé ♥ ♥ts♥t q ♣rt♠♥t sréstts ①♣♦sés ♣r t t ♥ t ♥♦s ①♣♦t♦♥s éqt♦♥ rs♦♥♠♦é éqt♦♥ ♥ ♦t♥r strt♦♥ é♥t♦♥♥é ♠s ♣rt ♦①s é♥t♦♥s été résé ♠♥♠♥t ♦s ♥♦♥s ♣s ♠♣é♠♥té é♥t♦♥♥♥s ♣r♦sss t♠♣s ré♣♦♥s ♥ ♥st♥ t ♥♦s ♦♥s ♦♥ û rstr♥r ♥♦tr ét à s strt♦♥s t♠♣s ①ét♦♥ ♣r tâ réts t t ♦♥sèr♥t ♥ é♥t♦♥♥ ér♥t à q ♥♦ ♥st♥ ♦♥♦é ♥s ♣r♦sss q ♣r♠t ♦♥srr ♥ t rs♦♥♥ P♦r ♥♦tr ét ♥♦s♦♥sér♦♥s ♥ é♥t♦♥♥ ♣ré ♦ ♥tq ♣♦r q tért♦♥

♦s ♦♥s ♦♥ à ♥♦tr s♣♦st♦♥ s rqs éé♠♥trs ♣♦r ♦♥strr ♥ ♣♣t♦♥ ♦♠♣♦sé ♥ ♥s♠ tâs ♦♥t q ♣r♠ètr st ♦♥♥ ♦ ♣t êtr st♠é ♣r♦♥ ♣tr ♦♥sst à é♦♣♣r tt ♣♣t♦♥

♣tr st♠t♦♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥

s♦rs trs♥t ♥ ①♣ér♥st s♦♥t ♣s ♠♣♦rt♥t q①♣ér♥ ♠ê♠

s ♥t♦♥ts r♥r ❲rr

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t ♥ ♣♣t♦♥

♦♠♠r Prés♥tt♦♥ ♣♣t♦♥

♦♥rt♦♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

Pr♠èr ♦♥rt♦♥ t s♥sté t ♣r♦st

sss♦♥

ts s ♣ré♠♣t♦♥s sr t♠♣s ①ét♦♥ ♦sst♠t♦♥s t ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r

♣tr st ♦♥sré à ①♣ér♠♥tt♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r sr♥ ♣♣t♦♥ ①été sr ♣t♦r♠ ♠tér ①ét♦♥ P

♣tr srt ♦♠♠ st st♦♥ ♣r♠t r ♥ ♣rés♥tt♦♥ ♣♣t♦♥ ♦s ①♣ér♠♥t♦♥s st♦♥ ♥s♠ s ♦♥rt♦♥s ♣r♦♣♦sés ♥s ♠é♠♦r ♥♥ ♥♦s st♦♥s ♥ st♦♥ s réstts ♦t♥s

Prés♥tt♦♥ ♣♣t♦♥

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tâs ♦♥t t♠♣s ①ét♦♥ st ♥ ♦ ♠ st♦♥ ❯♥ s tâsst ♦♥séré rtq tr ♥♦♥ rtq

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

tâs t②♣ ♠♥ à étts ♦♥t ♣r♦ ①ét♦♥ st ♣rés♥té st♦♥ ❯♥ s tâs st ♦♥séré rtq s trs s♦♥t ♥♦♥ rtqs

s ♦♠♣♦rt♠♥ts t♠♣♦rs s s① ♣r♠èrs tâs ♦♥t été étés ♣tr ♣réé♥t tr ♣r♦s ①ét♦♥s t②♣ ♠♥ à étts ♦rrs♣♦♥♥t ① qtrr♥èrs tâs ♦♥t été é♥érés s♦♥ s rtèrs é♥t ♣tr ♣réé♥t s ♠srss t♠♣s ①ét♦♥ tés sr s qtr ♣r♦s ♣rès ♠♣é♠♥tt♦♥ t ①ét♦♥ sr s♦♥t ♣rés♥tés r ♦s r♣♣♦♥s q s ♠srs s♦♥t résés ♥ ♦♥sér♥t tâ s♦é ♣s ♣ré♠♣t♦♥ ♣♦ss ♣rtr s ♠srs ♥♦s étr♠♥♦♥s

2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

Pr♦

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

Pr♦

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

Pr♦

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

x 105

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

Pr♦

r srs s t♠♣s ①ét♦♥ s ♣r♦s é♥érés

♠ê♠ q ♣tr ♣réé♥t ♣♦r q tâ s ér♥ts ♣r♠ètrs ts à ♥②s t rés♠ ♥s♠ s ♣r♠ètrs

♦s ①♦♥s s ♣ér♦s Ti q tâ ♥ ♦t♥r ♥ tst♦♥ ♠♦②♥♥ U =⊗ni=1 Ci/Ti ♥r♦♥s 90% Ci r♣rés♥t strt♦♥ é♥t♦♥♥é ♥s s tâs

♥♦♥ rtqs t ♥ tst♦♥ ♠①♠ Umax =∑10

i=1 WCET i/Ti s♣érr à s tâss♦♥t ♦♥sérés à éé♥s sr rqêts Di = Ti s ♣r♦rtés s♦♥t ①és s♦♥ ♣♦tq

Prés♥tt♦♥ ♣♣t♦♥

❱rs ♠srés ♠s WCET x% ♠s Cx% ♠s♠♥ ♠① ♠♦② σ

Pr♦ Pr♦ Pr♦ Pr♦

és♠é s ♣r♠ètrs s tâs t②♣ ♠♥ à étts

♥ ♦♥♦t♦♥ ♣♦tq ♦♣t♠ ♥s s étr♠♥st ♦r st♦♥ ts♦♥ ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé ♣r ❱st ♦r st♦♥ ♣tr ♥s s ♥ét ♣r♦st

♥s♠ s ♣r♠ètrs q tâ ♦♠♣♦s♥t ♣♣t♦♥ st ♣rés♥té t

Pr♠ètrs ①és Pr♠ètrs sss ♠srs Pr♦rtés②♣ Li Ti = Di Ci(l = 0) Ci(l = 1) Ci ❱st

τ1 srtr ♠s ♠s ♠s C1 τ2 srtr ♠s ♠s ♠s C2 τ3 ♠♥ s ♠s ♠s C3 τ4 ♠♥ s ♠s ♠s C4 τ5 ♠ ♠s ♠s ♠s C5 τ6 ♠ ♠s ♠s ♠s C6 τ7 Pr♦ ♠s ♠s ♠s C7 τ8 Pr♦ ♠s ♠s ♠s C8 τ9 Pr♦ ♠s ♠s ♠s C9 τ10 Pr♦ s ♠s ♠s C10

s ér♥ts ♣r♠ètrs ①és ♦ st♠és ♣♣t♦♥

s strt♦♥s é♥t♦♥♥és ♦rrs♣♦♥♥ts ♣♦r q tâ τi s♦♥t

C1 =(

61.000

)C2 =

(2.53 3.79 3.88 3.93 5.000.016 0.358 0.132 0.456 0.038

)

C3 =(

1781.000

)C4 =

(161 166 170 1710.046 0.003 0.919 0.032

)

C5 =(

171.000

)C6 =

(13.7 13.9 14.0 14.2 14.5 15.1 15.80.091 0.422 0.297 0.096 0.047 0.042 0.005

)

C7 =(

27 32 33.5 35.1 40.70.157 0.323 0.135 0.337 0.048

)C8 =

(53

1.000

)

C9 =(

47.3 57.1 59.8 62.5 71.70.107 0.228 0.188 0.358 0.119

)C10 =

(107 132 138 144 1630.093 0.271 0.230 0.295 0.111

)

♥s s ♥ tâ rtq s rs Ci(l = 0) t Ci(l = 1) s♦♥t é♥s tsq

Ci(l = 0) = Ci(l = 1) = WCET 99%

r WCET st ♦t♥ ♥ ts♥t ♣♣r♦ r♥s t r ♥♦♥♥ sr st♠t♦♥ 99% ♥s s ♥ tâ ♥♦♥ rtq s rs Ci(l = 0)

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

t Ci(l = 1) s♦♥t é♥s ts q

Ci(l = 0) = C80%, P(Ci ≤ C) ≥ 0.80

Ci(l = 1) = WCET 99%

tst♦♥ ♠♦②♥♥ ♣r♦ssr U tt ♣♣t♦♥ é à s strt♦♥sé♥t♦♥♥és st 94.3% tst♦♥ ♠①♠ Umax ♥ ♦♥sér♥t s rs Ci(l = 1)st 111%

♥s s ♥ ét étr♠♥st s②stè♠ ♦♥séré st s②stè♠ S = Ci(l =Li), Ti, Di, πi ♥s s ♥ ♦t♦♥ s ♣r♦rtés s♦♥ ♦rt♠ ♥ ♦♥♦t♦♥ s②stè♠ st ♦r♦♥♥♥ç ♥s s ♥ ét étr♠♥st ♦rt♠ ♣r♦♣♦sé ♣r ❱st ♣r♠t ♦r s ♣r♦rtés s②stè♠ t q s♦t ♦r♦♥♥♥çs♦♥ s rtèrs ♠trtqs ♣r♦♣♦sés ♦① ♣rtrs s ♣r♦rtés ♣r♦♣♦sé st♦♥ ♣r♠t ♦r s ♣s ts ♣r♦rtés ① tâs s ♣s rtqs ♦① st♦♥ ér♥t ♦t♥ ♣r ♣r♠èr ♠ét♦

②♣r♣ér♦ ♣♣t♦♥ st é ♣s ♣tt ♦♠♠♥ ♠t♣ s ♣ér♦s s②stè♠ ét♥t ♦♥séré s②♥r♦♥ ②♣r♣ér♦ st ♦♥ é à s♦♥s

♦♥rt♦♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

Pr♠èr ♦♥rt♦♥

♦s ♦♥s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♦♥ré ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r s♦♥ sé♠ ♣r♦♣♦sé ♣tr

TIMEFRAME = Ti

EXECUTION❴BUDGET = Ci

♦s ♦♥s é♠♦♥tré q tt ♦♥rt♦♥ ♥♦r ♣s ♥ ♦♥♥ ♣rés♦♥ ♠é♥s♠♥s s s②stè♠ s♦s♠♥s♦♥♥é Ci = C80% ♦s ♣♣q♦♥s tt ♦♥rt♦♥t ①ét♦♥s ♣♣t♦♥ sr ♣t♦r♠ s♦♥ s ① ♦① ♣r♦rtés ♣r♦♣♦sés

s②stè♠ été ①été sr ♥ ré ♥r♦♥ ♠♥ts q r♥tt ♥ ♥♦♠rs♥t tt♦♥ ♣♦r q tâ ②♣r♣ér♦s ♥r♦♥ t ♣s tt♦♥s ♣♦r tâ ♣s r♥ ♣ér♦ t r♥s ♥♦♠r ♥st♥stés♥ tt♦♥s ♥♦♠r ♥st♥s rrêtés ♥ rrrs éttés t ♥♦♠r é♥s ♥ éé♥s rtés

r r♣rés♥t s t① rrrs éttés ♥♦♠r rrrs éttés ♥♦♠rtt♦♥s ♣♦r s ① ♦♥rt♦♥s ♦① s ♣r♦rtés s tâs s♦♥t ssés ♣r♦rr ♣r♦rtés r♦ss♥t s tâs s ♣s ♣r♦rtrs s♦♥t ♥ t

♦s r♠rq♦♥s q♥ tâ rtq ♥ é♣ss s♦♥ t ①ét♦♥ s tss♦♥t ♦♥ ♦rrt♠♥t ♠♥s♦♥♥és ♥ ♥ ♣s ♥trr♦♠♣r r ①ét♦♥ ❯♥ tâ ♥♦♥

♦♥rt♦♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

â τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10

tt♦♥s

♦① s ♣r♦rtés ♥ ♦♥♦t♦♥ Pr♦rté rrrs éttés é♥s rtés

♦① s ♣r♦rtés ♦rt♠ ❱st Pr♦rté rrrs éttés é♥s rtés

♦♠r tt♦♥s t rrrs éttés ♦♥rt♦♥ ♥ï

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Luenberger (c)

Gumbel (c)

Luenberger (nc)

Gumbel (nc)

State Machine 1 (nc)

State Machine 2 (c)

State Machine 3 (nc)

Kalman (c)

State Machine 4 (nc)

Kalman (nc)

Detected Error Rate

♥ ♦♥♦t♦♥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Luenberger (c)

Gumbel (c)

State Machine 2 (c)

Luenberger (nc)

Gumbel (nc)

State Machine 1 (nc)

Kalman (c)

State Machine 3 (nc)

Kalman (nc)

State Machine 4 (nc)

Detected Error Rate

♦rt♠ ❱st

r ① rrrs éttés ♦♥rt♦♥ ♥ï

rtq ♣t ♥ té♦r sr ♥ t① rrrs éttés ♥r♦♥s 20% r t♦s t q Ci = C80% ♦ts s tâs rs♣t♥t rtèr ①♣té tâ ♠♥♥ ♦♥t ♥ ♥♦♠r ♠♣♦rt♥t ♥st♥s ♥ rs♣t♥t ♣s r t ①ét♦♥ 85%s ♥st♥s ♥r♦♥s s♦♥t tés ♣♦r s ① ♦① ♣r♦rtés

s♦sst♠t♦♥ tt tâ ♣♣rît ♥♦♥ ♥é tâ ♠♥ ♥ t♣rt s tâs ♠♦♥s ♣r♦rtrs st ♦♥ ♣ré♠♣té ♣r ♥ ♥♦♠r ♠♣♦rt♥t ♥st♥s ♦rs s♦♥ ①ét♦♥ r r♣rés♥t ①ét♦♥ ♥ ♥st♥ tâ ♠♥ ♥

tâ ♠♥ ♥ st ♥ tâ ♠tt♥t ♥ s s ♠trs ê♠ s s♦tés s♣ts t t♠♣♦rs s ♦♥♥és ♥s ♦♥t été ♠é♦rés ♣r ♠s ♥♣ ♥ ♠t♣t♦♥ ♠tr ♣r ♦s à q ♣ré♠♣t♦♥ ♥ ♣rt s ♦♥♥és♦♥t♥s ♥s ♣t êtr é ♣r ①ét♦♥ ♥ tâ ♣s ♣r♦rtr ♣r ①♠♣ ♥ s tâs t②♣ ♦srtr ♥rr ♦ tâ ♠♥ ♣s♣r♦rtr s t♠♣s ①ét♦♥ s♦♥t ♦♥ ♠♥tés q ①♣q ♥♦♠r rrrséttés ❯♥ tâ s♥t ♣ ♣♣ ♦♠♠ s tâs t②♣ ♠♥ à étts

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

r Pré♠♣t♦♥s ss ♣r ♥ ♥st♥ tâ ♠♥ ♥

s♦♥t s ♣ ♠♣tés ♣r s ♣ré♠♣t♦♥

❯♥ ♣ré♠♣t♦♥ ♣r ♥ tâ ♣s ♣r♦rtr ♣t s♣♣r♠r s rs tsé♥t ♣ré♠♣t♦♥ ♣r tâ ♣ré♠♣té ♦rsq tâ ♣ré♠♣té s①ét à ♥♦s rs ♦♥t êtr rrés ♥s q ♠♥t ♦♥sér♠♥t t♠♣s①ét♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ ♠srés ♦rs ♥ st♠t♦♥ ♥ ♦♥sér♥t tâ s♦é♣t ♦♥ êtr ♥s très r♠♥t s♦sst♠és

t s♥sté

♦s ♦♥s ♥s tt st♦♥ ♦♥rr ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r s♦♥ sé♠ ♣r♦♣♦sé ♣tr

TIMEFRAME = Ti

EXECUTION❴BUDGET = (1 + λ.wi).Ci

♠ê♠ q ♣réé♠♠♥t ♥♦s s♦♥s s ②♣♦tès q♥ tâ rtq ♥ st♠t♦♥ sûr s♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ q s♠ ♦♥r♠é ♣r s ♠srs téssss ❯♥ r①t♦♥ t ♥st ♣s ♥éssr w = 0 ❯♥ tâ ♥♦♥ rtq ♣t♦r ♥ ♣r t♠♣s ①ét♦♥ s♦sst♠é ❯♥ r①t♦♥ s ts st ♣♦ss w = 1

ét s♥sté ♣♣qé ① ① s②stè♠s ♦① s ♣r♦rtés s♦♥ ♥♦♥♦t♦♥ t ♦rt♠ ❱st ♦♥♥ s ♠ê♠s réstts s ♣rtr ♣♦r ♥♦trs②stè♠ r①t♦♥ s ts s tâs ♥♦♥ rtq st ♥r♦♥s 5% s ts①ét♦♥ ♦és ♣♦r q tâ s♦♥t ♦♥♥és t

τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10

Ci ♠s Bi ♠s

♦t♦♥ s ts ét s♥sté

♦♥rt♦♥s ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥

♦s ♣♣q♦♥s tt ♦♥rt♦♥ t ①ét♦♥s ♣♣t♦♥ sr ♣t♦r♠ s♦♥ s① ♦① ♣r♦rté ♣r♦♣♦sés

♠ê♠ q ♣♦r ♦♥rt♦♥ ♣réé♥t s②stè♠ st ①été ♣♥♥t ♥r♦♥ ♠♥ts t r♥s ♥♦♠r ♥st♥s tés ♥♦♠r ♥st♥s rrêtést ♥♦♠r é♥s

â τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10

tt♦♥s

♦① s ♣r♦rtés ♥ ♦♥♦t♦♥ Pr♦rté rrrs éttés é♥s rtés

♦① s ♣r♦rtés ♦rt♠ ❱st Pr♦rté rrrs éttés é♥s rtés

♦♠r tt♦♥s t rrrs éttés ét s♥sté

♥♦♠r rrrs éttés r♠♥t ♠♥é t♦t ♥ r♥tss♥t q♥ ♥st♥♥ s①ét à s♦♥ éé♥ ♦① ♦t♦♥ s ♣r♦rtés s♦♥ ♦rt♠♣r♦♣♦sé ♣r ❱st s♠ ♠♦♥s ♣♣r♦♣ré ♣sq ♥ ♣r♠t ♣s rér ssr♠♥t ♥♦♠r rrrs étté sr tâ ♥rr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥tst û à ♣r♦rté ♠♦♥s ♠♣♦rt♥t tt tâ ♥s tt ♦♥rt♦♥ tâ Pr♦ ♣s rtq st ♣s ♣r♦rtr t ♦♥ ♥ ♥♦♠r ♣ré♠♣t♦♥s ♣s ♠♣♦rt♥ts♣♥♥t t ♦rt♠ éré ❱st st ♣r♦tér s tâ rtqs ♣t ♦♥ rr stt♦♥ s ♣♦r s tâs ♥♦♥ rtqs

r r♣rés♥t s t① rrrs éttés ♥♦♠r rrrs éttés ♥♦♠rtt♦♥s ♣♦r s ① ♦♥rt♦♥s ♦① s ♣r♦rtés s tâs s♦♥t ssés ♣r♦rr ♣r♦rtés r♦ss♥ts s tâs s ♣s ♣r♦rtrs s♦♥t ♥ t

t ♣r♦st

♦s ♦♥s ♥s tt st♦♥ ♦♥ré ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r s♦♥ sé♠ ♣r♦♣♦sé ♣tr

TIMEFRAME = Ti

EXECUTION❴BUDGET = Ci(l = 0) + λ.(Ci(l = 1)− Ci(l = 0)

)

t q

r♠♥λ∈[0,1]

‖g(λ)‖ , g(λ) = f(B), B =⌊Ci(l = 0) + λ.

(Ci(l = 1)− Ci(l = 0)

)⌋

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Luenberger (c)

Gumbel (c)

Luenberger (nc)

Gumbel (nc)

State Machine 1 (nc)

State Machine 2 (c)

State Machine 3 (nc)

Kalman (c)

State Machine 4 (nc)

Kalman (nc)

Detected Error Rate

Naive Budget

Sensibility Ananlysis

♥ ♦♥♦t♦♥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Luenberger (c)

Gumbel (c)

State Machine 2 (c)

Luenberger (nc)

Gumbel (nc)

State Machine 1 (nc)

Kalman (c)

State Machine 3 (nc)

Kalman (nc)

State Machine 4 (nc)

Detected Error Rate

Naive Budget

Sensibility Ananlysis

♦rt♠ ❱st

r ① rrrs éttés ét s♥sté

s éts résés ♣tr ♥ s♣♣♦st ♣s ♦♥♥ st♠t♦♥ ❲ ♥ étr♠♥r ♥ r Ci(l = 1) ♥ tr sérté étt ♣♣qé rr ♦♣t♠♠ étt ♦♥ résé ♥s ♥tr [1, 1.25].Ci(l = 0) P♦r ♣♣t♦♥ ♦♥séré ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ♦♥♥ ♥ st♠t♦♥ ❲ q tâ ét♥t ♦t♥♣r ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r r♥s t r ♥tr rr st ♦♥ ♠♦

é t ♥t [Ci(l = 0), Ci(l = 1)] = [C80%, WCET 99%] ♣♦r s tâs ♥♦♥ rtqs sts s tâs rtqs ♥ s♦♥t ♣s r①és Ci(l = 0) = Ci(l = 1)

s②stè♠ ♦♥séré ♣♦r ét ♣r♦st st s②stè♠ S = (Ci,Ci), Ti, Di, πi♦s ♦♥sér♦♥s ♠ê♠ q ♣tr q ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté à rs♣trst 100% ♣♦r s tâs rtqs t 99% ♣♦r s tâs ♥♦♥ rtqs ♥s s♦t♦♥ s♦♥ ♥ ♦♥t♦r♥ ét♦♥ ♦r♦♥♥♥çté s②stè♠ ♣rr♣♣♦rt rtèr ♥st ♣s rs♣té ❯♥ ♦♣t♠st♦♥ t st ♦♥ à résé Bi

♥érr Cmaxi ♠sré ♥s s ♥ ♦t♦♥ s♦♥ ♦rt♠ ❱st ♠♦é

ét♦♥ ♣r r♣♣♦rt rtèr ♦r♦♥♥♥çté st rs♣té ♥ ♦♣t♠st♦♥ ♥stà résr t s ts s♦♥t ①és ① rs ♠①♠s Ci(l = 1) s ts ①ét♦♥♦és ♣♦r q tâ s♦♥t ♦♥♥és t

τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10

Ci ♠s

♦① s ♣r♦rtés ♥ ♦♥♦t♦♥ Bi ♠s

♦① s ♣r♦rtés ♦rt♠ ❱st Bi ♠s

♦t♦♥ s ts ét ♣r♦st

♦s ♣♣q♦♥s tt ♦♥rt♦♥ t ①ét♦♥s ♣♣t♦♥ sr ♣t♦r♠ s♦♥ s① ♦① ♣r♦rtés ♣r♦♣♦sés

sss♦♥

♠ê♠ q ♣♦r ♦♥rt♦♥ ♣réé♥t s②stè♠ st ①été sr ♥ ré ♥r♦♥ ♠♥ts t r♥s ♥♦♠r ♥st♥s tés ♥♦♠r ♥st♥stés t ♥♦♠r é♥s

â τ1 τ2 τ3 τ4 τ5 τ6 τ7 τ8 τ9 τ10

tt♦♥s

♦① s ♣r♦rtés ♥ ♦♥♦t♦♥ Pr♦rté rrrs éttés é♥s rtés

♦① s ♣r♦rtés ♦rt♠ ❱st Pr♦rté rrrs éttés é♥s rtés

♦♠r tt♦♥s t rrrs éttés ét ♣r♦st

♥s s ① s ♥♦♠r rrrs éttés st ♥ ♣♦r q tâ ♦♠♣♦s♥t ♣♣t♦♥ ♥♦♠r éé♥s rtés st ♥ s♦♥♦♥s q st ♣♦rt♥t té♦rq♠♥t♣♦ss ♣♥♥t ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté q ♦t rs♣tr q ♥st♥ stéé t ♣ér♦ ét st rstr♥t s ②♣♦tétq ♥s q ♥ ♥st♥ tâ ♥st ♣s ♦r♦♥♥♥ç ♥st ♦♥ ♣s sr♥

♠ê♠ ♥♦♠r rrrs éttés ♥s s ♥ ♦t♦♥ ♥ ♦♥♦t♦♥ st ♥ ♦① t ①ét♦♥ ♥s s tâs ♥♦♥ rtqs st ♥érrà r ♠①♠ ♠sré ①ét♦♥ ♣s s s♦sst♠t♦♥s s ① ♣ré♠♣t♦♥s♣t êtr ♣rés♥ts ♣♥♥t t♦ts s rs ♠srés ♥ s♦♥t ♣s ♣rés♥ts ♦rs s♠t♦♥ t ♥ r♣rés♥t q♥ é♥t♦♥ s rs s ②♣♦tétq ♥s q♥ ♥st♥ tâ ♥ stst ♣s s♦♥ t ♥st ♦♥ ♣s sr♥

r rés♠ ♥s♠ s t① rrrs éttés ♣♦r s ① ♦♥rt♦♥s ♦① s ♣r♦rtés t s ér♥ts ♦♥rt♦♥s ts étés

sss♦♥

ts s ♣ré♠♣t♦♥s sr t♠♣s ①ét♦♥

♦s ♣r♦t♦♥s s réstts ♦t♥s sr r♥èrs ♦♥rt♦♥ ♥ étr s t♠♣s①ét♦♥ s tâs à ♥térr ♣♣t♦♥ s♥s ♣rtrt♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥ rrrs éttés

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s t r♠rqr s ♣ré♠♣t♦♥s ♣♥t ♠♥tr t♠♣s ①ét♦♥ tt ♠♦t♦♥ st ♣r♥♣♠♥t ① és s ♣ré♠♣t♦♥s rts t Pr♠♣t♦♥ ② ♥s ♥♦tr s ♣é♥♦♠è♥ st s sr s tâs t②♣ ♦srtr ♥rr t t②♣ tr ♠♥ q ♠♥♣♥t ♥ r♥

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Luenberger (c)

Gumbel (c)

Luenberger (nc)

Gumbel (nc)

State Machine 1 (nc)

State Machine 2 (c)

State Machine 3 (nc)

Kalman (c)

State Machine 4 (nc)

Kalman (nc)

Detected Error Rate

Naive Budget

Sensibility Ananlysis

Probabilistic Analysis

♥ ♦♥♦t♦♥

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Luenberger (c)

Gumbel (c)

State Machine 2 (c)

Luenberger (nc)

Gumbel (nc)

State Machine 1 (nc)

Kalman (c)

State Machine 3 (nc)

Kalman (nc)

State Machine 4 (nc)

Detected Error Rate

Naive Budget

Sensibility Ananlysis

Probabilistic Analysis

♦rt♠ ❱st

r ① rrrs éttés ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥rt♦♥s ts ①ét♦♥

♥♦♠r ♦♥♥és ♦♥s ♥ tâ st ♣r♦rtr ♣s st ♣ré♠♣té t ♣s ♣têtr s♦♠s à s ♠♦t♦♥s s♦♥ t♠♣s ①ét♦♥

♦rs ①ét♦♥ ♣♣t♦♥ s ér♥ts éé♥♠♥ts ♦r♦♥♥♥♠♥t tt♦♥ ♣ré♠♣t♦♥ tr♠♥s♦♥ s♦♥t ♥rstrés ♦s ♣♦♦♥s ♦♥ étr♠♥r s t♠♣s①ét♦♥ s ♥st♥s q tâ ♥s ♣♣t♦♥ s réstts ♠srs s♦♥t♦r♥s ♥s s ♥ ♦t♦♥ s ♣r♦rtés s♦♥ ♦rt♠ ♥ ♠♦♥♦t♦♥ rs t

♦s ♣♦♦♥s r♠rqr q s tâs t②♣s tr ♠♥ s♦♥t ♣rtèr♠♥tt♦é ♣r t s ♣ré♠♣t♦♥s t♠♣s ♠①♠♠ ①ét♦♥ ♦r♥ ♣tr ♣réé♥t ♠s st é♣ssé t st♠t♦♥ r ♠①♠ srt ① ♥t♦rs ♠s s♦t ♥ s♦sst♠t♦♥ ♥r♦♥ 5% s tâs t②♣ ♦srtr ♥rr s♦♥t ♣ ♠♦és ♣sqs ♦♣♥t s ♣r♦rtés éés

s trs tâs s♦♥t ♦♣ ♠♦♥s ♠♦és Pr ♦♥tr ♥♦s ♣♦♦♥s ♦srr q♣s ♥ tâ st ♣ré♠♣té ♣s ré♣rtt♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ st s♣rsé

♦sst♠t♦♥s t ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ t♠♣♦r

ét sr ♥ ♣t♦r♠ ré ♣r♠t ♦♥r♠r s réstts ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♦rs s ♣trs ♣réé♥ts

Pr♠èr♠♥t ♥♦s ér♦♥s q♥ s♦sst♠t♦♥ s t♠♣s ①ét♦♥ st ♣♦sstt s♦sst♠t♦♥ st ♥s s ♥♦tr ét à ♥ ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s♥trt♦♥s ♥rts s trs tâs s②stè♠ ♦rs ♣s ♠♦ést♦♥

①è♠♠♥t ♥♦s ér♦♥s q s t♥qs ♦♥rt♦♥s ♣r♦♣♦sés ♥s ♠é♠♦r ♣r♠tt♥t ♠♥s♦♥♥r ♠① s ts ♥ ♦♥t♦♥ ♦rt ♥st ♥sst♠t♦♥ ❲ ♦s r♠rq♦♥s à trrs tt ét s q s r①t♦♥s♣r♦♣♦sés ♣r♠tt♥t ♠é♦rr ♣rés♦♥ ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♥ ♦♥sr♥t ♥

sss♦♥

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♥rr s

1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4

x 105

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♠♥ s

3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 52000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♥rr πi = 10

1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46

x 105

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♠♥ πi = 3

2500 3000 3500 4000 4500 5000 55000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

♥rr ♥ πi = 8

1.28 1.3 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 1.48

x 105

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♠♥ ♥ πi = 1

r srs s t♠♣s ①ét♦♥ srtr tr ♠♥

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♠ ♥ πi = 9

1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

♠ πi = 7

2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ s

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ ♥ πi = 6

r srs s t♠♣s ①ét♦♥ ♠ ♥ à tts

r♥t sûr ♦♥t♦♥♥♠♥t

♣♥♥t t r tt♥t♦♥ à ♣rés♦♥ ♠é♥s♠ à ①ét♦♥ ♥ t st♠♣s s②stè♠ ♥ s♦♥t ♣s ♥s ♦rr µs ♦r ♣tr t s ♠rs sérté♦♥t êtr ♣rss ♥ ♠♣êr t♦t é♥ ♥s ♥♦tr s ét s t♠♣s ①ét♦♥ s tâs s♦♥t ♠♣♦rt♥ts t s ts ♦♥t été rr♦♥s à ♠s♦♥ ♥érr♦s ♥♦sr♦♥s ♥ é♥ ♦rs ①ét♦♥ ♣♥♥t ♥s ♣rtq ♦♥♣tr r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s t♠♣s s②stè♠ t s ♣ré♠♥r ♥ ♦♥séq♥

sss♦♥

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ s

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

x 104

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ πi = 5

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

x 104

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ s

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

x 104

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

Execution Time (us)

Pro

babili

ty D

ensity

Pr♦ ♥ πi = 4

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

x 105

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ s

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

x 105

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Execution Time (us)

Pro

ba

bili

ty D

en

sity

Pr♦ ♥ πi = 2

r srs s t♠♣s ①ét♦♥ ♥s à tts

♣tr t ♥ ♣♣t♦♥

♥r q ♠♥ s rrs♦r srt ♦♥r q ♥② ♣s r♥ à é♦rr

r ♣ss♦♥♥é♠♥t Prr♦♦t

♦♥s♦♥

s s②stè♠s ♥♦r♠tqs ♠rqés ♦♥t ♣ré ♥s s ♦♠♥s très rés ♣sqqs ♥♥és ♦♠♥ t♦♠♦ ♦♥♥ît r♥s ♥♠♥ts ♥ ts♥t st♥♦♦s ♥ ♠é♦rr sérté ♦♥♦rt ♦ ♦♥s♦♠♠t♦♥ ♦r ♠t♣s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦r♠tsés s♦♥t é♦♣♣és t ♥térés ① t♦♠♦s s ♦♠♣♦s♥ts♦♥t ♦rr ♥ ♥ sûrté ♦♥t♦♥♥♠♥t ♥ r♣♣♦rt rtté s srsqs ér♥t ♣s s ♦♠♣♦s♥ts ♣ rtqs ♥ ♦♥t ♣s ♥♥rr é♥s ♣r ♣r♦♣t♦♥ sr s ♦♠♣♦s♥ts ♣s rtqs ❯♥ s♦t♦♥ s ♦♠♣♦s♥ts st♦♥ ♥éssr ♥s ♦♥t①t ♥♦tr tr ♣♦rt sr r♦stss sûrté ♦♥t♦♥♥♠♥t sàs s ts ①tr♥s t♠♣♦r s s②stè♠s t♠♣s ré ♠rqés

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Arrival, Release Start FinishSuspend Resume

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Handler2_TaskB

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Handler2_TaskB

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TaskA

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Handler3_TaskA

Handler2_TaskA Handler2_TaskA

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Pr♦ér ♥trr♣t♦♥ étt♦♥ é♣ss♠♥t éé♥

Pr♦ér ♥trr♣t♦♥ étt♦♥ é♣ss♠♥t t ①ét♦♥

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P♦r rs♦♥ ♥ t ♥st ♠♣é♠♥té ♦s ts♦♥s étt♦♥ é♣ss♠♥t éé♥ ♥ éttr ♣r♦♣t♦♥ s ts à trrs s②stè♠ étt♦♥ é♣ss♠♥t ♥ t ♣s r q tâ é♥t st st♦♣♣é ♣s ♥♦♥t♦r♥ ♥st♥ ♦♥t♥ à s①étr sqà s tr♠♥s♦♥ t ♣t ♦♥ rtrr♥s♠ s②stè♠ tâs ♠♦♥s ♣r♦rtrs ♦s ♠♦♦♥s r rtts♣♣ ♥♥térr ♣r ét éttr ♣♦r q tâ étt♦♥ ♥ rrr st ♥rstré♥s ♥ r ♠♦t♦♥ r ♦♥t♦♥s♣♣ értr ♥ rttr♥♣♣

❱rs♦♥ Pr♦tt♦♥ ♣r t ①ét♦♥

❱rs♦♥

P♦r rs♦♥ t ①ét♦♥ st é ♣r t♠♣s ①ét♦♥ ♥s ♥♦s♣♦♦♥s tsr éttr é♣ss♠♥t t ♣r♦♣♦sé ♥s rs♦♥ s éttr é♣ss♠♥t éé♥ st ré ♥ ♦♥trôr ♦♥ ♦♥t♦♥♥♠♥t r♦r

♣tr ♠tr s②stè♠ t♠♣sré

♠♥t ♦♠♣t ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♦s ♠♦♦♥s ♣♦r r rtts♣♣

♣s ♥ ♥♦② r ttr♥♣♣ ♥♦s ♠♦♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦r♦♥♥♥r ♦rs étt♦♥ é♣ss♠♥t ♥ t ♦rsq♥ é♣ss♠♥t stétté ♥♦② r♣r♥ ♠♥ ♠♦♠♥t tâ t♠♥t ♥ ①ét♦♥ tst st♦♣♣é ♣♣ à s tr♠♥s♦♥ s♣♣rss♦♥ ♥s st r②

❱rs♦♥

P♦r rs♦♥ r①t♦♥ s ts st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ B = λ.C ♦s ♦t♦♥s ♥ r♠♥t à ss s②s q ♦rrs♣♦♥ tr r①t♦♥ λ ♦s ré♦♥sé♠♥t ♥ ♥♦ ♦♥t♦♥ ♠t tttts ♣r♠tt♥t tr tr ♣r♦r♠♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥t♦♥ st é♥ ♥s r stts♣♣

②♥t ès t q tâ ♠s à s♣♦st♦♥ λ t C ♠é♥s♠ ♣r♦tt♦♥ ♣t êtr ♠s ♥ ♣ ♣r♦ér étt♦♥ ♥ ♦t ♣s êtr ♣♣é♦rsq c > C ♠s ♦rsq c > B r ♠s à ♦r ♠é♥s♠ étt♦♥t♦♦s♣♣ ♦t êtr ♠s à ♦r ♥ ♣r♥r ♥ ♦♠♣t tt ♠♦t♦♥ ♦rs é♠rr tâ ♣r♦ér strt ♦♦ ♥ts t t q B = Binit = λ.C r ♥t t st ♥ ♥♦ r♠♥t ♥ tâ ♠♦t♦♥ rsrts

❱rs♦♥

P♦r rs♦♥ s ♥♠♥t ♣r r♣♣♦rt à rs♦♥ ♣réé♥t st ♣rés♥♥ ♣♦s ♣♦r q tâ ♣♦r r①t♦♥ t B = λ.w.C

st ♦tr ♥ ♥♦ r♠♥t à tâ q st ♣♦s w st té ♣r ♦♥t♦♥ ♠t ttt❲ts ♣r♦r♠♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥t♦♥ st é♥ ♥s r stts♣♣

és♠é s ♠♦t♦♥s

s ér♥ts ♠♦t♦♥s sr s rs s♠tr r♠ s♦♥t rés♠és t

r ❱rs♦♥ ❱rs♦♥ ❱rs♦♥ ❱rs♦♥

rtts♣♣ ① ① ① ①♦♥t♦♥s♣♣ ① ① ① ①srts ①t♦♦s♣♣ ① ①ttr♥ ① ①ttr♥♣♣ ① ① ①stts♣♣ ① ①stts♣♣ ①

♦t♦♥s ♣♣♦rtés s♠tr r♠

♥♥①

❱rs ét♦rs t♣r♦tés

♥s tt ♣rt Ω és♥ ♥ ♥rs ♥ ♥♦t P(Ω) ♥s♠ s ♣rts Ω tω ∈ Ω ♥ éé♥♠♥t éé♠♥tr Ω

❱rs ét♦rs rés

①♦♠tq ♦♠♦♦r♦

é♥t♦♥ ❯♥ ♠ F ♣rts Ω st ♥ tr ♦ σèr s

Ω ∈ F Λ ∈ F Ω− Λ ∈ F (Λn, n ∈ N) st ♥ st éé♠♥ts ♥s F ♦rs ∪Λn ∈ F

é♥t♦♥ ♥ ♣♣ ♠sr ♣r♦té ♦ ♣r♦té sr ♥rs Ω ♥ ♣♣t♦♥ P : P(Ω)→ [0, 1] q ér s ①♦♠s s♥ts

P(Ω) = 1

Λ t Λ′ s♦♥t ① ♣rts s♦♥ts Ω ♦rs P(Λ ∪ Λ′) = P (Λ) + (Λ′)

(Λn, n ∈ N) st ♥ st r♦ss♥t éé♥♠♥ts ♦rs P(⋃Λn) = lim

n→∞P(Λn)

é♥t♦♥ ❯♥ s♣ ♣r♦sé ♦ s♣ ♣r♦té st ♥ tr♣t (Ω,F , P ) ♦r♠é♥ ♥s♠ Ω ♥ tr F sr Ω t ♥ ♠sr ♣r♦té P sr tt σèrP♦r ♥ éè♥♠♥t ω F P(ω) s♣♣ ♣r♦té éè♥♠♥t e

é♥t♦♥ ♥ ♣♣ s♣ ♠sr ♥ ♦♣ (E, E) ♦ù E st ♥ ♥s♠ t E♥ tr sr E s éé♠♥ts E s♦♥t ♣♣és ♥s♠s ♠srs

é♥t♦♥ ♦♥t Ω F P ♥ s♣ ♣r♦sé ♦ s♣ ♣r♦té t EE♥ s♣ ♠sr ♥ ♣♣ r ét♦r Ω rs E t♦t ♦♥t♦♥ ♠sr X

♣tr ❱rs ét♦rs t ♣r♦tés

Ω rs E t qX : Ω → E

ω 7→ X (ω) X st ♥ r ét♦r ré ♦♥ rstr♥t ♥s♠ rré E à R

♥s st ♠♦t r ét♦r és♥ ♣r ét s rs ét♦rs rés

rtérst♦♥ ♥ r ét♦r

é♥t♦♥ ♦t X : (Ω,F ,P) → (E, E) ♥ r ét♦r ♥ ♣♣ ♦ X ♠sr ♣r♦té PX sr (E, E) ♦♥♥é ♣r

PX (A) = P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A), A ∈ E

❯♥ r ét♦r X st rtérsé ♣r s ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ FX

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ ♥ r ét♦r X st ♦♥t♦♥ FX tq

FX : R → [0, 1]x 7→ FX (x) = PX (x ∈]−∞, x]) = P(X ≤ x)

tt ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ X st ♥ ♦♥t♦♥ r♦ss♥t ♦♥t♥ à r♦t

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♥sté ♣r♦té ♥ r ét♦r X st ♦♥t♦♥fX é♥ ♣r

fX : R → R

x 7→ fX (x) = F ′X (x)

éré F ′X st ♣rs s♥s é♥érsé ♥ FX (x) =

∫ x

−∞fX (t) dt

♦♠♥ts ♥ r ét♦r

é♥t♦♥ ❯♥ r ét♦r X ♥sté ♣r♦té fX ♠t ♥ ♠♦♠♥t♦rr k s

mk(X ) =∫ +∞

−∞xk.fX (x) dx

st ♦♥r♥t

é♥t♦♥ X st ♥ r ét♦r ♥sté ♣r♦té fX ♦♥t ♠♦♠♥t♦rr m1(X ) ①st ♦♥ ♣♣ s♣ér♥ ♦ ♠♦②♥♥ X ré E(X ) ♠♦♠♥t♦rr

E(X ) =∫ +∞

−∞x.fX (x) dx

s tt ♥tér st ♦♥r♥t

é♥t♦♥ ♦t X ♥ r ét♦r ♦♥t ♠♦♠♥t ♦rr (m2(X ) = E(X 2)

①st ♥ ♣♣ r♥ X ré V ar(X ) é♥ ♣r

V ar(X ) = E(X 2)− (E(X ))2 = E

[(X − E(X ))2

]

♥ ♣♣ ért t②♣ ré σ(X ) t q σ(X ) =√V ar(X )

❱ ♥é♣♥♥ts t s♦♠♠s

❱rs ét♦rs ♥é♣♥♥ts t s♦♠♠ rsét♦rs

é♥t♦♥ ♥ t q s rs ét♦rs X1, . . . ,Xn s♦♥t ♥é♣♥♥ts s

P(X1 ∈ A1, . . . ,Xn ∈ An) =n∏

i=1

P(Xi ∈ Ai)

♣♦r t♦t A1 ∈ E1, . . . , An ∈ En

é♥t♦♥ ♦♥t X t Y ① rs ét♦rs ♥stés ♣r♦té rs♣tsfX t fY ♥sté ♣r♦té ♦♥t♦♥♥ X s♥t Y ♥♦té fX|Y st t q

fX|Y(x, y) =fX ,Y(x, y)

fY(y)

é♥t♦♥ s♦♠♠ ① rs ét♦rs X t Y ♥stés ♣r♦térs♣ts fX t fY st r ét♦r Z é♥ ♣r s ♥sté ♣r♦té fZ tq

fZ(z) =

∫ +∞

−∞fX|Y(z − y|y).fY(y) dy

♥s s ♦ù s ① rs ét♦rs X t Y s♦♥t ♥é♣♥♥ts s♦♠♠ st r ét♦r Z = X ⊗ Y ♣r♦t ♦♥♦t♦♥ X ♣r Y t q s ♦♥t♦♥ ♥sté ♣r♦té

fZ(z) =

∫ +∞

−∞fX (z − y).fY(y) dy

❱rs ét♦rs srèts

é♥t♦♥ ♥ t q♥ r ét♦r st srèt s ♥ ♣r♥ q♥ ♥♦♠r♥ ♦ é♥♦♠r rs

X ∈ xk , k ∈ K ⊂ N

❯♥ r ét♦r srèt X st rtérsé ♣r ♥s♠ s rs q ♣t♣r♥r t ♣r ♣r♦té ♦rr♥ s rs

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣r♦té ♥ r ét♦r srèt X st ♦♥t♦♥fX t q

fX : Ω → R

x 7→ fX (x) = P(X = x)

é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ré♣rtt♦♥ ♥ r ét♦r srèt X st ♦♥t♦♥FX t q

FX : Ω → [0, 1]

x 7→ FX (x) = P(X ≤ x) =c∑

i=−∞

fX (x)

♣tr ❱rs ét♦rs t ♣r♦tés

s ♠♦♠♥ts ♥ r ét♦r srèt s♦♥t é♥s ♦♠♠ st

é♥t♦♥ ♦t X ♥ r ét♦r srèt s♣ér♥ X st ré E(X )t q

E(X ) =+∞∑

k=−∞

x.P(X = k)

é♥t♦♥ ♦t X ♥ r ét♦r srèt ♥ ♣♣ r♥ X réV ar(X ) é♥ ♣r

V ar(X ) = E(X 2)− (E(X ))2 = E

[(X − E(X ))2

]

♥ ♣♣ ért t②♣ ré σ(X ) t q σ(X ) =√V ar(X )

é♥t♦♥ s♦♠♠ ① rs ét♦rs ♥é♣♥♥ts srèts X t Y st r ♥é♣♥♥t Z = X ⊗ Y t q

P(Z = z) =+∞∑

k=−∞

P(X = k).P(Y = z − k)

♥♥①

①♠♣ rés♦t♦♥ ♣rér♥ts ♠ét♦s ♥ sét s♠♣

Prés♥tt♦♥ ①♠♣

s②stè♠ S été st ♦♠♣♦sé tâs τ1, τ2, τ3 q tâ st rtérsé ♣rs♦♥ t♠♣s ①ét♦♥ C ♦♥séré ♦♠♠ ♥ r ét♦r s ♣ér♦ T t s♦♥ éé♥rt D ♦♥sérés ♣rt♠♥t ♦♥♥s ♥s ♥♦tr s ♥♦s ♦♥s

τ1 = (

(1 2

0.50 0.50

), 3, 3), τ2 = (

(1 3

0.50 0.50

), 8, 8), τ3 = (

(2

1.00

), 12, 12)

♦s ♣♦♦♥s étr♠♥r tst♦♥ ♦ s②stè♠ st é♠♥t ♥r ét♦r U t q

U = U1 ⊗ U2 ⊗ U3=

(1/3 2/30.50 0.50

)⊗(

1/8 3/80.50 0.50

)⊗(

2/121.00

)

=

(0.625 0.875 0.958 1.2080.25 0.25 0.25 0.25

)

tst♦♥ ♦ ♠♦②♥♥ st ♦♥

U = 0.9165

♥ ♣t é♠♥t s♣ér q tst♦♥ ♠①♠ Umax st s♣érr à ♥ t♥♦s ♦♥s

Umax =

3∑

i=1

Cmaxi

Ti= 1.208

♣tr s ét s♠♣

①♠♣ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté

♦s é♦♣♣♦♥s s s ♣r ♠ét♦ ③ t s♥s st②stt ♦ t♠♣s ré♣♦♥s ♦ τ3,0 ♦s s♦♥s ♦♥ ②♣♦tès réss♥s ♣rès ♥ ②♣r♣ér♦ ♣s s②stè♠ st ♦♥séré s②♥r♦♥

♥ ♦♥

R3,0 = Bstatπ ⊗Wπ(a3,0)⊗ C3 ⊗ J3,0= C3 ⊗ J3,0

R3,0 st tért ♥ ♦t♥r s ♥trér♥s s ♥st♥s tâ ♣s♣r♦rtrs ♦s é♦♣♣♦♥s s réstts ♣♦r q tért♦♥ ♣rt ♦♥t♦♥ ♣r♦té à r♦t rr rt st ♣rt q ♥ r ♣s ♦rs s ♣r♦♥stért♦♥s

tért♦♥

R[0,3]3,0 = C1 ⊗ C2 ⊗ C3 =

[4 5 6 7

0.25 0.25 0.25 0.25

]

tért♦♥

R[0,6]3,0 =

(R[0,3]

3,0 , 6, C1)=

[5 6 7 8 9

0.125 0.25 0.25 0.25 0.125

]

tért♦♥

R[0,8]3,0 =

(R[0,6]

3,0 , 8, C1)=

[5 6 8 9 10 11

0.125 0.25 0.125 0.25 0.1875 0.0625

]

tért♦♥

R[0,9]3,0 =

[5 6 8 10 11 12 13 14

0.125 0.25 0.125 0.125 0.09375 0.15625 0.09375 0.03125

]

tért♦♥

R[0,12]3,0 =

[5 6 8 11 12 13 14 15 16

0.125 0.25 0.125 0.0625 0.109375 0.125 0.125 0.0625 0.015625

]

éé♥ tâ τ3 st é à ♦s ♦t♥♦♥s ♦♥ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté ♣♦r ♥st♥ τ3,0

Sτ3,0 = P(R3,0 ≤ D3) = 0.67185

①♠♣ ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté

tt r st q srt ♦t♥ ♥s s ♦r♥ ♥érr sr ♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté ♥st♥ τ3,0 ♦rs tst♦♥ ♥ ♦♥t♦r♥

st②stt ♦ st résé ç♦♥ ♥♠érq tért♦♥s sssssqà ♦♥r♥ r r♣rés♥t s ér♥ts tért♦♥s ♣rès ②♣r♣ér♦s rtèr ♦♥r♥ ♣r♠t rér ♥♦♠r tért♦♥s à

0 5 10 15 20 25 30

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Time Value

Cum

ulat

iv F

onct

ion

r tért♦♥s étt stt♦♥♥r

♣r♦té ♦r♦♥♥♥çté S3,0 ♥ ♦♥sér♥t st②stt ♦st résé à ♦r♠

R3,0 = Bstatπ ⊗Wπ(a3,0)⊗ C3 ⊗ J3,0= Bstatπ ⊗ C3 ⊗ J3,0

st ♦♥ ♠ê♠ q ♣réé♠♠♥t ♠s ♥ ♥ts♥t ♣r♠èr tért♦♥ à st②stt ♦ é sss ♥ ♦t♥t ♦rs

Sτ3,0 = P(R3,0 ≤ D3) = 0.40586

♣tr s ét s♠♣

♥♥①

Prés♥tt♦♥ qqs♠ét♦s ♦♣t♠st♦♥

♣t♠st♦♥ ♥rt♦♥♥ r sr

♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♦♥séré st s♥t

r♠♥x∈E

f(x)

♦♥t♦♥ f ♦♥séré t q

f : X → R

x 7→ f(x)

ét♦ t♦♥

♦♥t♦♥s tst♦♥ f ① ♦s érs ♦♥♥ss♥ dfdx t d2f

dx2

ét♦ tért t q

xk+1 = xk − df/dxk

d2f/dx2k

x0 = a

a st ♣♦♥t é♣rt ♦rt♠ t df/dxk t d2f/dx2k r♣rés♥t♥t rs♣t♠♥t sérés ♣r♠èr t s♦♥ ♥ x = xk

ét ♠ét♦ ♣s ♦♥r♥ ♦ r♥t é♣♥ ♣♦♥t é♣rt a

tés ♦♥r♥ ♥ ♥ tért♦♥ ♣♦r s ♦♥t♦♥s qrtqs t r♣ ♣♦rs ♦♥t♦♥s ♥ ♣♣r♦①♠és ♣r s ♦♥t♦♥s qrtqs ♦ ♣r s♦♥ é♦♣♣♠♥t ①è♠ ♦rr

♣tr ét♦s ♦♣t♠st♦♥

ét♦ ♣r rét♦♥ ♥tr

Psrs ♠ét♦s ♣r rét♦♥ ♥tr ♦♥t été ♣r♦♣♦sés s ♦♥sst♥t à ♣rtr♥ ♥tr é♣rt ∆0 = [λmin

p , λmaxp ] à rér sqà ♦t♥r ♥ ♣rés♦♥

♦ s ♦♥sst é♥ér♠♥t à r s ♣♦♥ts à ♥térr ♥tr à r r ♦♥t♦♥ ♥ s ♣♦♥ts t é♥r à ♣rtr s rs és ♥ ♥♦♥tr ♣s ♣tt

♣r♠r ♦① st ♦♣t♠sr rét♦♥ ♥tr st ♦rs tsr ♥♠ét♦ ♦t♦♠ ♦ù s ① ♣♦♥ts λ1 t λ2 s♦♥t ts q

λ1 =λminp + λmax

p

2− ǫ λ2 =

λminp + λmax

p

2+ ǫ

r ǫ st ♦rs à ♦sr ♣r tstr é♥ér♠♥t ǫ ♣rés♦♥ ♠♥ ♥♦♠r s ♦♥t♦♥ ♣r tért♦♥ st ① rét♦♥ ♥tr st♦♣t♠ ♠s ♥♦♠r s ♦♥t♦♥ ♣t êtr rét

♦rt♠ r ♣r♠t r ♥s s♥s ♥ réts♥t ♥ s ♣♦♥ts éàés ❯♥ ♣rés♥tt♦♥ é♦t♦♥ rét♦♥ ♥tr st ♦♥♥é r

∆0

∆1

∆2

λ02λ0

1

λ11 λ1

2

λ32λ3

1

λminp λmax

p

r ét♦♥ ♣r ♦rt♠ r

♦rt♠ ♣r♠t rér ♥tr t q ∆k = ∆k+1 +∆k+2 P♦r rr tt♣r♦♣rété ♦① λ1 à ♥tst♦♥ ♦t êtr t q

1

3<

∆1

∆0<

2

5

❯♥ s♦t♦♥ st ♦sr λ01 t q

∆1

∆0= −1−

√5

2= 0.618 λ1 = 0.618.∆0

♥s s ♠ét♦ ♦♣t♠st♦♥ s♣♣ ♠ét♦ ♥♦♠r ♦r

ét♦ r♥t

t ♠ét♦ r♥t r♥t st s r♣♣r♦r s ♣r♦♣rétés ♦rt♠ t♦♥ s♥s ♦♥♥ss♥ s ♦♥t♦♥s érés f t ♥ ♥ ♥t q♥ s

♦♥t ♦s st ♥rs ♥♦♠r ♦r

♣t♠st♦♥ ♠trt♦♥♥ r t♦r

♣♦♥t ♣r tért♦♥

♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♥ ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥t♦♥ f ♣r ♥ ♣r♦ ♣r♠t sr♣♣r♦r ♠ét♦ t♦♥ t rér r♣♠♥t ♥tr rr tt♠ét♦ ♥♥t ♥st ♦rsq ♥tr st tr♦♣ ♣tt tst ♦ér♥ ①è♠♣s ♦♥sst à ♣ssr sr ♠ét♦ ♥♦♠r ♦r ♣♦r ♦t♥r ♦♣t♠♠

♣t♠st♦♥ ♠trt♦♥♥ r t♦r

♥s tt ♣rt ♣r♦è♠ ♦♣t♠st♦♥ ♦♥séré st s♥t

r♠♥X∈En

f(x)

♦♥t♦♥ f ♦♥séré t q

f : Xn → R

x 7→ f(x)

ét♦s ♥②tqs

Psrs ♠ét♦s ♥②tqs ♣♥t êtr tsés t♦ts sés sr s ♠ét♦s s♥t ❯♥ ♠ét♦ s♥t ♦♣t♠s ♦♥t♦♥ ♥s ♥ ♦ ♣srs rt♦♥stért♠♥t ♦s ♣rés♥t♦♥s ① ♠ét♦s trs t P♦

♠ét♦ r♥t ♦♥é trs st é♥ ♦♠♠ st

x0, d0 = − ∂f∂x0

xk+1 = xk + λk.dk, λk = r♠♥λ∈R

f(xk + λ.dk)

dk+1 = − ∂f∂xk+1

+ βk.dk

βk =

(∂f

∂xk+1

)T (∂f

∂xk+1

)

(∂f∂xk

)T (∂f∂xk

)

♠ét♦ P♦ st é♥ ♦♠♠ st

x0, H0 = I

xk+1 = xk − λk.Hk.∂f∂xk

, λk = r♠♥λ∈R

f(xk + λ.Hk.

∂f∂xk

)

Hk+1 = Hk +∆k

∆k =(δk −Hk.γk)

T (δk −Hk.γk)

γTk (δk −Hk.γk),

δk = xk+1 − xkγk = ∂f

∂xk+1− ∂f

∂xk

♣tr ét♦s ♦♣t♠st♦♥

ét♦s rstqs

♦♥t♦♥ f st ♥st ♣s ér ♦ ♠♥t s ♠ét♦s rstqs ♣♥têtr tsés ♥s r ♣srs ♠ét♦s ♦♣t♠st♦♥ ①st♥t ♦♠♠ ♠ét♦ ♦♦ t s ♠ét♦ ♦s♥r♦ ♦ ♠ét♦ r t s♠♣①

♦s ♦♥s ♥♦s ♦♥♥trr sr ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r ♦♦ t s q ♣♦ssè ♥♣r♦rss♦♥ ♥t ♠s sûr ♣t s é♦♠♣♦sr ♥ ① ét♣s ♥ ét♣ ♦ t ♥ét♣ ♣r♦rss♦♥

ét♣ ♦ ♦♥sst à srtr s ♥r♦♥s ♥ ♣♦♥t ♥tré ♥s t ♠é♦rr ♦♥t♦♥ tt srtt♦♥ st résé ♥ ♣s h sss♠♥t s♦♥ s ér♥ts♠♥s♦♥s B1 B2 Bn ♦r r ♥ ♠é♦rt♦♥ t♦r ♣♦♥t ♥tré♥st ♣♦ss ♣s h ♣s st sé ♣r ① h/2 t ♥ ♥♦ srtt♦♥ stté

entrée

sortie

succès

succès

h

s

entrée

sortie

succès

succès

h

échec

s

entrée

sortiesuccès

h

échec

échec

s

entrée

sortie

h

échecsuccès

succès

s

r ①♠♣ s ♣♦sss ♣♦r ét♣ ♦

ét♣ ♣r♦rss♦♥ ♣r♠t ♦♥strr ♣♦♥t ♥tré s♥t ♦♥strt♦♥ ♣♦♥t ♥tré ek+1 s t ♣r ①tr♣♦t♦♥ ♥ér s ① s♦rts sk t sk+1 ♣♦r ♣♦♥t♥tré e1 ♦♥ ts s ♣♦♥ts e0 t s0 ♦r r ♥ ér ♣♥♥t q ♣♦♥t♥tré ek+1 st ♠r q sk+1 s♥♦♥ ek+1 = sk+1

entrée 1

entrée 0

sortie 0

sortie 1

entrée 2

r ①♠♣ ♣r♦rss♦♥

étrstqs t ♦rt♠ é♦t♦♥♥r

♦♥t♦♥ f ♣t ♠ttr ♣srs ♠♥♠♠s ♦① t tstr t ♥s rt♥ss ♦t♥r ♣srs ré♣♦♥ss s t♥qs ♣rés♥tés ♣réé♠♠♥t ♣r♠tt♥t étr

♣t♠st♦♥ ♠trt♦♥♥ r t♦r

♠♥r ♥ s ♣♦♥t ♦♣t♠st♦♥

♥s r s ♦rt♠s é♦t♦♥♥rs ré♦ t ♣r♠tt♥t trtr s♣r♦è♠s t♦rs ②♥t ♣srs ♠♥♠♠s t ♣♥t ♦r♥r ♣srs ♣♦♥ts s♦rt ♣r♥♣ ♦ s ♦r♠s st ♣rés♥té r st ♦sr ét♦r♠♥t♥ ♥s♠ ♣♦♥ts ♥t① ♣♦♣t♦♥ ♥t ér s ♣♦♥ts r ♥♦r♠ f t sét♦♥♥r ♥ ♥s♠ ♣♦♥ts ♣r ♥ ♦① à é♥r ♣♦r r♣r♦t♦♥

Initialisation aléatoire d'une

popultation

Évaluation des

performances des individus

Sélection pour la reproduction

Croise‐ments

Muta‐tions

Évaluation des

performances des enfants

Sélection pour le remplacement

Stop ?

non

oui

meilleur(s) individu(s)

r Pr♥♣ ♥ ♦rt♠ é♦t♦♥♥r

♣tr ét♦s ♦♣t♠st♦♥

Pt♦♥s

rtr♥ é♣♥ ♦ t ♦① t② ♦ t ♦ ♥Pr♦t♦♦ t ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♥♥r♥ ♦ ♦♠♣① ♦♠♣tr ②st♠s ♣ ♣r

rtr♥ t s②stè♠s t♠♣s ré s t♠♣s ①ét♦♥ ♥rt♥s ♦été t♠♣s ré ♣t

rtr♥ ♦ t ❨ r♥qt ♥ ♥②ss ♦ t ❯ t♠♥ ♣r♦tt♦♥ ♠♥s♠ ♦♥r♥ ♦♥ ♠r♥ ♥♦♦s t♦r② t♦♠t♦♥ ♣ ♣t

rtr♥ ♦ t ❨ r♥qt ♦ t♦ ♦♥r ❯ t♠♥ ♣r♦tt♦♥ Pr♦♥s ♦ t ♥♦r srr ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♠ ♦♠♣t♥ ❲♣ t

rtr♥ ♦ t ❨ r♥qt ♠♣♦r s♦t♦♥ ♦r t ♦tt♦♥ ♦ ♣♣t♦♥s ♥ t♦♠♦t ♠ s♦tr Pr♦♥s ♦ t st ❲♦rs♦♣ ♦♥ rt t♦♠♦t ♣♣t♦♥s ♣ ♣r

Pt♦♥s

♦r♣

♥ t tt③③♦ s♦r rsrt♦♥ ♥ ②♥♠ rt♠ s②st♠s ♠②st♠s

♥ tt③③♦ ♣r♦r t ♥♥ ♥trt♥ ♠t♠ ♣♣t♦♥s ♥r rt♠ s②st♠s ♥ Pr♦♥s ♦ t t t♠ ②st♠s ②♠♣♦s♠ ♣

r ♦r♦ts ♥③♥r t ♦ P ②r t♦♠t ♥ ♦rt♠♣♣r♦ t♦ t s♣t♦♥ ♥ rt♦♥ ♦ ②r s②st♠s ♥ r♦ss♠♥ r♦ ♥ t s és ②r ②st♠s ♦ tr ♦ts ♥ ♦♠♣tr♥ ♣ ♣r♥r r♥ r

♦♥s ♣♣t♦♥ s♦tr st♥r ♥tr ♣ t ♣t♦♥

rt r♦③t ❨ srt ❨ r ♣r t P♦ ♦ér♥ ①ts ♥s ♥②♦♣é ♥♦r♠tq t s s②stè♠s ♥♦r♠t♦♥ ❱rt

sr ♥♠ ♠t t ♦t ♦rs rr s♥ ♥ t♦sr ♥ Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♠r♥ ♦♥♦♦s♥ t♦r② ♣t♠r

s② r♥s rs♦♥ ♥ t ❲♥s ♣♣②♥ ♥ s♥t♦r② t♦ stt ♣r♦rt② ♣r♠♣t s♥ ♦tr ♥♥r♥ ♦r♥ ♣

s② ♣t♠ ♣r♦rt② ss♥♠♥t ♥ st② ♦ stt ♣r♦rt② tss trtrr② strt t♠s r♣ ❯♥rst② ♦ ❨♦r ♦♠r

s② r♥s rs♦♥ t ❲♥s r rt♠ s♥ ♥♠♦♥♦t♦♥ ♣♣r♦ ♥ Pr♦♥s ♦ ❲♦rs♦♣ ♦♥ ♠ ♣rt♥②st♠s ♥ ♦tr ♣

❯ ❯ ♣t♦♥ ♦ ♦♣rt♥ s②st♠ ♣ t ❯

P

③♥♥s ♥ t ♥r s ♦♥♣ts ♥ ①♦♥♦♠② ♦ ♣♥♥ r ♦♠♣t♥ tr♥st♦♥s ♦♥ ♣♥ ♥ sr ♦♠♣t♥

r t ❱st t② ♥②ss ♦ s♣♦r tss t ♠t♣ rtt②s♣t♦♥s r♦♠r♦ ♦♥r♥ ♦♥ ♠ ②st♠s ♣ ②

♥♥ r② ♦ t r♥qt ❨ r♠♣♦♥ ♥ ♦♣♥ s♦r ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ t ♦s① rt♦s s♣t♦♥ ♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♠r♥ ♥♦♦s♥ t♦r② t♦♠t♦♥ ♣ s♣

r♥t ♦♥ t Pttrs ❲t ♥②ss ♦ ♣r♦st r rt♠ s②st♠s♥ Pr♦♥s ♦ t r ♠ ②st♠s ②♠♣♦s♠ ♣

rtr♥ ♦ t r♥qt ❨ ♥ ♥②ss ♦ t t♦sr ♦s t♠♥ ♣r♦tt♦♥ ♠♥s♠ ♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♠r♥ ♥♦♦s t♦r② t♦♠t♦♥ ♣

♥ t tt③③♦ s♥ ts ♥ st② ♠srs Pr♦♥s ♦ t tr♦♠r♦ ♦♥r♥ ♦♥ ♠ ②st♠s ♣ ♥ ②

♥ t② ♥②ss ♦ ♣r♦ ① ♣r♦rt② s②st♠s r♥st♦♥s ♦♥♦♠♣trs

♥ t t tt③③♦ ♥stt② ♥②ss ♦r ①♣r♦rt② rt♠s②st♠s ♥ Pr♦♥s ♦ t t r♦♠r♦ ♦♥r♥ ♦♥ ♠ ②st♠s ♣ ❲s♥t♦♥ ❯ ♦♠♣tr ♦t②

♦r♦ ♦r t ♦♥♥t ♥ t ①t♦♥♦rr♥s t♦ ♠♣r♦ tt♠♣♦r r♦st♥ss ♦ rt♠ s②st♠s s ♣ ♥ ♥ Pr♦♥s ♦ t ♦♥♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ②st♠s ♣ ♣r

r♥t P ♦rt♠s ♦r ♠♥♠③t♦♥ t♦t rts Pr♥t

rèr ♥ t t♠②r rt ♣r♠♣t♦♥ ② ♦♠♣tt♦♥ ♦rstss♦t s♣ts ♥ s♦t♦♥s ♥ Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ❲♦rs♦♣♦♥ ❲♦rsts ①t♦♥ ♠ ❲ ♥②ss ♥

r♥s t r Prt♥ ♦♠♣tt♦♥ t♠ ♦r ♥ ♣r♦ss♦r rttrs ♥Pr♦♥s ♦ t t r♦♠r♦ ♦♥r♥ ♦♥ ♠ ②st♠s r♦♠r♦♣

r♥s t ❲♥s ♠ ②st♠s ♥ Pr♦r♠♠♥ ♥s ♠ ♥ ♠ P❳ r t♦♥ s♦♥ ❲s② tr t♦♥ é♥♣r

♠♦ tt③③♦ t ♦♠s ♥t r♠♥ ♥ rsrt♦♥s rt♠s②st♠s t r ①t♦♥ t♠s ♦♠♣trs r♥st♦♥s ♦♥

P

♠♦ tt③③♦ t ♣t② sr♥ ♦r ♦rr♥ ♦♥tr♦ ♥ Pr♦♥s♦ t st ♠ ②st♠s ②♠♣♦s♠ ♣

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ss③ ♠ ♠s ♦r ♦♠♣t♥ ❲♦rsts ①t♦♥♠s ♣ t t♦♥ str ♥② str

♥tr♥t♦♥ st♥r ♥t♦♥ st② ♦ trtr♦♥♣r♦r♠♠ tr♦♥ st②rt s②st♠s P ♣ t ♥tr♥t♦♥ tr♦t♥ ♦♠♠ss♦♥

r♦ ssès t ❱ s♣t ♥ t♠♣♦r ♣rtt♦♥♥ ♣♣r♦ ♦r♣♥ t♦♠♦t s②st♠s ♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♠r♥ ♥♦♦s t♦r②t♦♠t♦♥ ♣

♦♥ t Pttrs ①♣r♠♥t t♦♥ ♦ ♦ ♣r♦♣rts ♦r t ♥②ss ♥Pr♦♥s ♦ t t ♠ ②st♠s ②♠♣♦s♠ ♣

t ♦r r♠♦r ♦r t rs♣♦♥s t♠ ♥②ss ♦ ①♣r♦rt② tss tst♦st ♥trrr t♠s ♣ t ❨♦r ❨ ❯

t Pt tt tr♠♥t♦♥ ♦ ♣r♦st ①t♦♥ t♠s ♥ Pr♦♥s♦ t t r♦♠r♦ ♦♥r♥ ♦♥ ♠ ②st♠s ♣ ♥

❱ ♦♥ rt r♥♥ s♥♦♣ P t Prs P t② ♣r♦♣rts ♥sr ② t ♦ss ♠♦ ♦r st② rt rt♠ s②st♠s ♥ Pr♦♥s ♦ tt ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ♦♠♣tr t② t② ♥ rt② P ♣ ♦♥♦♥ ❯ ♣r♥r❱r

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