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ANALISIS MATEMATICO IIISOLUCIONARIO DEMIDOVICH
TOMO III
O O
1
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EDUARDO ESPINOZA RAMOS• :r -vrv¿PVMj{vr; yvai? -*-?*>■1 r1 - > - v r * - ' rr\' 'VK/rgr; ,-•>? '■" '> -■ r ~1 ’ ' ■ r < & -■ t : . *V !•• ;<• “*« r
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IMPRESO EN EL PERÚ11 - 10 - 2010
5 /0 EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS. KMB WVWIOKmHmWmKtf f lS K 33wKVM««»irMpBHBnnW SS5?5BSSB8SS8B85SSSS!BBBB3
ESTE LIBRO NO PUEDE REPRODUCIRSE TOTAL Ó PARCIALMENTE POR NINGÚN MÉTODO GRÁFICO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO, INCLUYENDO LOS SISTEMAS DE FOTOCOPIA, REGISTROS MAGNÉTICOS O DE ALIMENTACIÓN DE DATOS, SIN EXPRESO CONSENTIMIENTO DEL AUTOR Y EDITOR.
RUCLey de Derechos del Autor Registro comercial Escritura PublicaHecho el deposito legal en la Bilblioteca Nacional del Perú con el número
N° 20520372122 N °13714 N °10716 N° 4484
N° 2007 - 12592
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PROLOGO
Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los
conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más
alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto
nace aun antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como
la vida misma.
El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que
estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes
conquistas.
La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a
descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este tercer
tomo, en su cuarta edición del solucionarlo del libro problemas y ejercicios de análisis
matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se
presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a
la captación de los diferentes problemas.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
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Este libro lo dedico a mis hijos:
RONALD, JORGE y DIANA
que Dios ilumine sus caminos para que
puedan ser guías de su prójimo
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6.1.6.2.6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.6.9.
6.10.
6.11. 6 . 12.
6.13.
6.14.
6.15.
6.16.
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Conceptos Fundamentales.
Continuidad.
Derivadas Parciales.
Diferencial Total de una Función.
Derivación de Funciones Compuestas.
Derivada de una Función dada y Gradiente de una Función.
Derivadas y Diferenciales de Ordenes Superiores.
Integración de Diferenciales Exactas.
Derivaciones de Funciones Implícitas.
Cambio de Variables.
Plano Tangente y Normal a una Superficie.
Formula de Taylor para las Funciones de Varias Variables.
Extremo de una Función de Varias Variables.
Problemas de Determinación de los Máximos y Mínimos
Absolutos de las Funciones.
Puntos Singulares de las Curvas Planas.
Envolvente.
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242
246
257
277
290
323
335
345
362
373
384
420
435
479
493
%
Longitud de un Arco de una Curva en el Espacio.
Función Vectorial de un Argumento Escalar.
Triedro Intrínseco de una Curva en el Espacio.
Curvatura de Flexión y de Torsión de una Curva en el Espacio.
INTEGR VLES MULTIPLES Y CURVILINEAS
Integrales Dobles en Coordenadas Rectangulares.
Cambios de Variables en la Integral Doble.r
Calculo de Areas de Figuras Planas.
Calculo de Volúmenes.1 ■’ » 7 i 1 M i . * ' / ; í i- ■ t
/
Calculo de Areas de Superficies.
Aplicaciones de la Integral Doble a la Mecánica.
Integrales Triples.
Integrales Impropias, Dependientes de un Parámetro. Integrales
Impropias Múltiples.
Integrales Curvilíneas.
Integrales de Superficie.
Formula de Ostrogradski - Gauss.
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Funciones de Varias Variables 1
FUNCIONESDE VARIAS VARIABLES
6.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.
( 7 ) DEFINICIÓN.- A una función de dos variables x e y se designa porz = f(x,y) donde las variables x e y se llaman
argumentos o variables independientes, en forma similar para el caso de
tres variables.
2 J CONCEPTOS DE EXISTENCIA DE LA FUNCION.-
Se entiende por campo de existencia de la función z = f(x,y) al conjunto de puntos (x,y) del plano XY que determinan la función dada.
( ? ) LINEAS Y SUPERFICIES DE NIVEL DE LAS FUNCIONES.-
La línea de nivel de la función z = f(x,y) es la línea f(x,y) = c del plano XY, en cuyos puntos de la función toma un mismo valor z = c.
Se entiende por superficie de nivel de una función de tres variables u = f(x,y,z) a la superficie f(x,y,z) = c, en cuyos puntos la función toma un valor constante u = c.
1782 Expresar el volumen V de una pirámide cuadrangular regular en función de Su• • , ; i ' ; • ; . 1 • ' ' , 1 ' ■ ' ’ *
altura x y de su arista y.Desarrollo
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2 Eduardo Espinoza Ramos
1783
Por Pitágoras se tiene: 4b2 = 2a2 => a 2 - 2b2
En el triángulo ABC, se tiene: y 2 = b 2 + x 2 => b2 = y 2 - x2
a 2 2 — = y - x2
a 2 = 2 ( y 2 - x 2)
Como V = ^(area basé)x(altura) , en donde
Area base = aA = 2( y 2 - x 2) y la altura es x
Luego F = j 2 ( y 2 - x 2)x = -^ - (y2 - x 2) r r 2x 2 2 \V = - ( y 2 - x ~)
Expresar el área S de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular, en
función de los lados x e y de las bases y de la altura z.
Desarrollo
Haremos la representación gráfica de acuerdo a los datos^del problema.
En el A ABC se tiene: a 2 = ( x - y ) 2 + z 2 •••(!)
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Funciones de Varias Variables 3
1784
2 2 x - y 2por Pitágoras se tiene: h - a - (------- ) (2)
ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:
, j 4 - ! + 3(. t - , , ,h = — de donde
h = + 3;) _ además área de la superficie laterales:
x *+■ vS = 6A¡ donde Ax = -------./*, que al reemplazar h se tiene:
S =6(x + y) y]4z 2 +3(.x->>)i
S = - ( x + y)y¡4z2 +3 ( x - y ) ‘
Hallar f A ,3) y f( 1 1 ) si f ( x , y ) = xy + -2 y
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4 Eduardo Espinoza Ramos
1785
1786
Desarrollo
1
Como f ( x , y ) = xy + - => / ( i , 3 ) = (I)(3 ) + | = | + i = |y 2 2. 3 2 6 3
2 2Hallar f(x,y), f(-x,-y), / ( - , 2 ) , - si f ( x , y) = X y
x y f ( x , y ) 2
Desarrollo
f , , X 2 - y 2 _ ( - x ) 2 x2 - y 2f ( x , y ) = — ------- => f ( - x , - y ) = — ~ = —i------2 xy 2(- x ) { - y )
1 1
f ( L i ) = i L _x ' y 2(—)(—) 2xy
x y
, x2 - y 2 1 2xyf ( x , y ) = — => — — ~ = ~ — 7
2xy / ( x ,y ) x - /
Hallar los valores que toma la función f(x,y) = 1 + x - y en los puntos de la2 r 2parábola y = x y construir la gráfica de la función F(x) = f ( x 9x ) .
vvDesarrollo
Se tiene que f(x,y) = 1 + x - y entonces
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Funciones de Varias Variables 5
1787
1788
F(x) = / ( x ,x “) = 1 + x - x => y - l + x — xJ
5 1 2ahora completamos cuadrados se tiene y - — = - ( x - —)
que nos representa una parábola de vértice V(— ) cuya gráfica es:2 4
4 2 2 2 4Hallar el valor de la función z = en los puntos de la
i 2 21 - x - y
circunferencia x2 + y 2 = R2
Desarrollo
Como z = f { x , y ) x4 + 2 x2y 2 + y 4 (x2 + y 2)21 ~ x2 - y 2 l ~ ( x 2 + y 2)
7 9 9 í>Como x + y = R entonces z = / ( x ,y ) =R¿
1 - R '
n 2Determinar f(x) si / ( —) = — , (xy > 0)
x y
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6 Eduardo Espinoza Ramos
1789
1790
Desarrollo
K -)2 + 1 =y ii1
A 2+ i
r , x I 1 , Vl + X'/ ( * ) = ./— + ! = Vi / w = Tí+ x'X
Hallar f(x,y) si f ( x + y , x - y ) = xy + y'
Desarrollo
Haciendox + y = u x - y - u
x =u + v ^2~~ u - v
y =
„ \ r , \ U + V U~ V , U~ V\2Como f ( x + y , x - y ) = f ( u , v ) = —— . - y - + ( - ^ —)
u2 - v 2 u2 2uv v2 w2 wv u2 - u v_ l ---------------------------------------------------------------------
4 4 4 4 2 2
Sea z = yfy + / ( Vx -1 ) . Determinar las funciones f y z si z = x para y - 1
Desarrollo
Como z = yfy + / ( Vx -1 ) y z = x para y = 1NT
Entonces x = l + / ( V x - l ) => / ( V x - l ) = x - l
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Funciones de Varias Variables 1
Sea U = yfx -1 => yfx =U + 1 => X = ( u + 1)2
/ (Vx - 1 ) = / ( w ) = ( u + 1)2 - 1 = u 2 + 2m / (x) = x2 + 2x
como / ( V x - l ) = x - l entonces z = x - \ + yfy
1791 Sea z = x f (—). Determinar las funciones f y z, si z = >/l + y 2 , para x = 1.x
Desarrollo
Como z = x f ( —) => \J\ + y 2 = / ( y ) , donde z = >Jl + y 2 , para x = 1x
Como z = x f '(—) y / (y) = >jl + y 2 entoncesx
/ ( - ) = J l + ( - ) 2 = ~ ~ ~ de donde z = x f ( - ) = ^ - + - ~X V x I X | X | X |
í v.. z = x - -----------| x|
1792 Hallar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones:
a) z = y j \ - x 2 - y 2Desarrollo
Para que z = y j l - x 2 - y 2 esté bien definida debe cumplirse quei i # y * > '' f *4 * i-i' * r. " "
1 - x2 - y 2 > 0 de donde x2 + y 2 < 1
Luego su campo de existencia es el disco de radio 1.
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8 Eduardo Espinoza Ramos
b) z = 1 +Desarrollo
Para que z = 1 + y ¡ - { x - y ) 2 esté bien definida debe cumplirse que
- ( x - y ) 2 > 0 de donde (x - y ) 2 < 0 como (x - y ) 2 < 0 => y = x
Luego y = x es el campo de existencia de la función z = 1 + >/-(* - y y
c) z = In (x + y)Desarrollo
Para que z = ln (x + y) esté bien definida debe cumplirse x + y > 0, que nos representa un semi - plano que se encuentra sobre la recta x + y > 0
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Funciones de Varias Variables 9
d) z = x + árceos yDesarrollo
Sea w = árceos y => eos w = y, pero como coseno varia entre -1 y 1 es
decir para este caso - 1 < y < 1 y la x toma todos los valores reales.
Luego el campo de existencia nos representa una faja comprendida entre
- i y 1Y -
1
, i .. \ V , f t * <u y i; . j v
*
2? * '1 X " 1'hU a . 0 ;
t . V ■ v <'V V *> t -~l. ' Y * • /. •' • * J y f V
0 X
- 1
e) z = V T -x2 + y ] \ - y 2Desarrollo
z = y j \ - x 2 + y j \ - y 2 está bien definida si 1 - x2 > 0 a 1 - y 2 > 0
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10 Eduardo Espinoza Ramos
donde x2 < 1 a y 2 < 1 =í> un cuadrado
Y 4
-1 < x < 1 a -1 < y < 1, que nos representa
- i
« ' ..Vi i / ’t-tH . .... > ■ -V ' ................. - • ;x: • A-'a t. •........
i* .
0 y i:
’:;VV í;Vi1 x
-1
f) z = \¡(x2 + y 2 - a 2)(2a2 - x 2 - y 2) , (a > 0)
Desarrollo
z = f(x,y) está bien definida si se cumple que:
(x2 + y 2 - a 2 )(2a2 - x2 - y 2) > 0 de donde se tiene:
(x2 + y 2 - a 2 > 0 a 2al - x ¿ - y ¿ > 0) v (xz + / - a ¿ < 0 a 2aL - x z - y A < 0)2 2 2 2 2 2
(x2 + y 2 > a 2 a x2 + y 2 < 2 a2) v (x2 + y 2 a 2 a2 < x 2 + y 2)
{a2 < x 2 + y 2 < 2 a z ) v (2az < xz + y z < a z )2 ^ 2 . .2 ^ 2
a 2 < x2 + y 2 < 2 a2 v (p => a 2 < x2 + y 2 < 2a
9 9 9 9Luego a < x + y < 2¿r nos representa su anillo.
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Funciones de Varias Variables 11
i) z = J y senxDesarrollo
z = yjy sen x está definida si y sen x > 0
” .1 • • • '...................■............... -i - V. •' [.! ‘ •*, '• ¿ i '
como y sen x > 0 <=> (y > 0 a sen x > 0) v (y < 0 a sen x < 0)
<=> (y > 0 a 2nn < x < (2n + 1 )7i) v
(y < 0 a (2n + 1)ti < x < (2n + 2)n
i
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12 Eduardo Espinoza Ramos
j) z = ln(x + y)Desarrollo
La función z = ln(x + y) está definida si jc + y > 0 que nos representa2
la parte del plano por encima de la parábola y - - x
/ x ~ y xk) z = arctg{------— )1 + 0
Desarrollo
/ x—y x x~yComo z = arctg{- T- T) => t g z =1 + x 2y 2 1 + x2y 2
^ • 7Ü 7TComo tg z vana e n tre y — se tiene:6 2 2
n x - y n , 2 2 ^ *— < y —y < — y como 1 + x y > 0 entonces22 i + x y
— (\ + x1y 1) < x - y < —{\ + x1y 2) de donde 2 2
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Funciones de Varias Variables 13
1) z =
ambas desigualdades son validas para tos x , y e R
Luego el campo de existencia es todo el plano XY
1
La función z =1
2 2 + /
Desarrollo
está definida para todo x,y e R que cumple
x2 + y 2 * 0 es decir que el campo de existencia es R2 menos el origen
m) z =y jy -y fx
Desarrollo
La función z = .................. está definida si y - V * > 0 a x > 0 de donde
y > \ f x a x > 0 que nos representa la parte del plano sobre la rama de
la parábola y = J x y a la derecha del eje Y sin incluirlo.
n) z = h —x — \ y
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14 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
La función z = —-— f — está definida para x - 1 * 0 a y ^ 0, es decirx - \ y
que el campo de existencia es todos los puntos del plano menos los puntos de las rectas x = 1 a y = 0
, *j • i!1' ín;/ v ' ’ .V *Y '
■ j; 9bol . |
i -%; ?$'m-M'swx'j ■'>0
i
, ..... '. ‘i • •' : ' • ,r: : ; •;
yomuzi u;Á A: ;
ip. , i i i r \n ’ V-: ' "í ■
L A r Oa ~ ?<:’. .. ' • ■%
• ' : .■' . ' ... •
X'
X V
o) z = yjsen(x2 + y 2)Desarrollo
La función z = yjsen(x2 + y 2) está definida para sen(x2 + y 2) > 0
de donde 2nn < x 2 + y 2 < (2n +1 , n e Zk
Y
+
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Funciones de Varias Variables 15
1793 Hallar los campos de existencia de las siguientes funciones de tres argumentos.
a) ti - Vx + yjy + VzDesarrollo
La función u = Vx + J y + Vz está definida si x > 0 a y > 0 a z > 0
que nos representa el primer octante incluyendo la frontera.
b) u = ln (xyz)Desarrollo
La función u = ln (xyz) está definida si xyz > 0
De donde ( x > 0 a y > 0 a z > 0 ) v (x < 0 a y < 0 a z > 0 ) v
( x < 0 a y > 0 a z < 0) v ( x > 0 a y < 0 a z < 0 )
Que nos representa el 1er, 3er, 6to y 8vo octante sin incluir la frontera.
c) u = arcsec x + arcsen y + arcsen z
Desarrollo
Como la función seno varia entre -1 y 1 se tiene:
-1 < x < 1 a -1 < y < 1 a -1 < x < 1, que nos representa un cubo.
d ) U = yJ 1 - X 2 - - - 2 ~2yDesarrollo
La función u = y j l - x 2 - y 2 - z 2 está definida si:
1 - x2 - y 2 - z 2 > 0 ==> x2 - fy2 + z 2 < l que nos representa el interior
de una esfera incluido el borde.
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16 Eduardo Espinoza Ramos
1794 Construir las líneas de nivel de las funciones que se dan a continuación y averiguar el carácter de las superficies representadas por dichas funciones:
a) z = x + y
Desarrollo
Hacemos z = c donde c = 0, ±1, ±2,...
Luego x + y = c nos representa rectas, que vienen hacer líneas de nivel.
b) z = x2 + y 1Desarrollo
2 2 \En forma similar que la parte a) se tiene x + y =*c, donde c = 0,1,2,...
y las líneas de nivel son circunferencias concéntricas con centro en (0,0)
donde c > 0
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Funciones de Varias Variables 17
v 2 2c) z = x - yDesarrollo
Haciendo z = c, c e R se tiene x2 - y 2 - c que son hipérbolas que nos
representa a las líneas de nivel.
Desarrollo
Hacemos z = c luego c = yjxy => xy = c2 que son hipérbolasequiláteras y nos representan a las líneas de nivel.
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18 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
7 'yHacemos z = c de donde (1 + x + y Y - c => x + y +1 = c
=> x + y = k que son rectas paralelas y nos representa a las líneas de nivel.
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Funciones de Varias Variables 19
f) z — 1 - | x | - 1 yDesarrollo
Hacemos z = c => c = 1 - 1 x | - 1 y | de donde
| x | + | y | = k donde k = 1 - c que nos representa las líneas de nivel que son cuadrados
g) z = y
Desarrollo
Sea z = c, c e R es decir: y - exrepresenta las curvas de nivel.
que son parábolas y que nos
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20 Eduardo Espinoza Ramos
1795
h) yyfx
Desarrollo
Hacemos z = -~= - c , c e R => y = cj~x que nos representa ramas deV i
la parábola y que son las líneas de nivel.
i)2x
2 2 x2 + /Desarrollo
_ . 2x 2 2Hacemos z = c, c e R es decir: —----- - ~ c => x + y = —x que
x 2 + y ~ c
son circunferencias que nos representa las líneas de nivel.
Hallar las líneas de nivel de las siguientes funciones:
a) z = 'ln(x -y y)Desarrollo
Hacemos z = c, c e R entonces:
ln(x2 + y) = c entonces x2 + y = ec - k
V:V
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Funciones de Varias Variables 21
1796
Luego x~ t v = k que son parábolas que nos representan las líneas de nivel.
b) z = arcsen (xy)Desarrollo
Hacemos z = c ==> sen c = xy = k que son hipérbolas equiláteras
En forma similar para las demás
c) z = f ( y j x 2 + v2 ) d) z = f(y - ax) e) z = / ( —)
Hallar las superficies de nivel de las funciones de tres variables independientes,
a) u = x + y + zDesarrollo
Hacemos u = c, c g R, entonces x +,y + z = c que son planos paralelos que nos representan las superficies de nivel.
■ ^ 2 7 2b) u = x + y + zDesarrollo
9 0Hacemos u = c, donde c > 0 entonces x + y~ + z“ = c que son esferas
concéntricas de centro (0,0,0) y nos representan las superficies de nivel.
v 2 2 2c) u — x + y — zDesarrollo
? iHacemos u = c donde c e R, luego x" + - z~ = c a queconsideremos dos casos.
7 7 7Cuando c > 0, x + y -?z~ - c nos representan hipérbolas de revolución de una hoja alrededor del eje Z.
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22 Eduardo Espinoza Ramos
cuando c < 0, v + y~ - z - c nos representan hiperboloides de
revolución de dos hojas, alrededor del mismo eje, ambas superficies están
divididas por el cono x + y ' - = c .
6.2. CONTINUIDAD.-
O LIMITE DE UNA FUNCION.-
Sea z = f(x,y) una función de dos variables, entonces:
lim /(a*, y) = L o V c > 0, 3 ó > 0 tal que si(.v,r »—>(<?,'?)
0 < ! (x,y) - (0,0) I < 6 entonces | f(x,y) - L | < 8
© CONTINUIDAD Y PUNTO DE DISCONTINUIDAD.-• !' i $ • f1 , •' i •*, ’ ’’ ,
La función z = f(x,y) es continua en el punto P(a,b) si:
lim / ( .v , v ) .= f ( a , b )(,v. y )—>( a.h)
Si la función es continua en todos los puntos de un campo determinado,
se llama continuidad en ese campo.
Las condiciones de continuidad de una función f(x,y) puede no cumplirse en puntos aislados o en puntos que formen una o varias líneas y a veces figuras geométricas más complicadas.
1797 Hallar los siguientes limites de las funciones.
a) lim (x2 + y 2)sen(— )(A-, v)-K(),0) " xy V
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 23
Se conoce que: -1 < sen{— ) < 1xy
-(x2 + y 1 ) < (x2 + y 2 )sen{— ) < x2 + y 2xy
lim - ( x 2 + y 2) < lim (x2 + y 2 )sen{— ) < lim (x2 + y 2) (x, )->(o,o) >(0,0) xy (-*■*>')—>(o,o>
0 < lim (x2 + y 2 )sen{— ) < 0 lim (x2 + y 2 )sen(— ) = 0(*,.y)->(0,0) xy (x,y)-*( 0,0) xy
b) lim x + >(x, )->(oo,ao) x 2 _|_ y 2
Desarrollo
Tomemos el camino y = x que para por e origen
Un, - Í Ü L = |lm 4 ± £ _ = lim i = o(*,>-)->(oc,go) x + y *->0° x + x •X->Q0 x
tomamos otro camino que pase por el origen y = xV ' 'i
x + y x + x 1 + xlim — = lim — = lim = 0
(x,y)-+(cc,oo) x¿ + *->00 x + X x—>oc x -f x
lim 4 ^ = 0(■jO-H00,00) * + y i í
ahora se aplica la definición de limite y se demuestra que si existe
lim 4 ± 4 = 0( a- ,^ ) - > ( oo,x ) x + y
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24 Eduardo Espinoza Ramos
senxyc) lim —
(*,>-)->( 0,2) x
Desarrollo
Sea y = 2 una recta que pasa por (0,2)
senxy s e n l x ^ s e n l x lim -------- = lim -------- = lim 2 ---------- = 2
(a'O’)- >(0,2) x a—>0 x, a—>0 2x
tomemos otro camino y = 2 + x que pasa por (0,2)
2 2 2 senxy sert(2x + x ) , sen lx . eos x eos2x.senx xlim - = lim 1 = lim(------------------+ ------------------ )
(a,v)->(0,2) x a-»0 X *->0 X X
= lim 2 eos x2 + lim x eos 2x. = 2 + 0 = 2■->o 2x a —>o X
2
d) lim (1 + - ) *(A,.y)->(ao,Á:) X
Desarrollo
Sea y =k entonces se tiene:
X
lim (1 + — )x = lim (1 + — )x = lim [(1 + —)k ]k - e k( x , y ) —> ( o c , k ) X a -> o c x X
e) lim(a,.v)->(0,0) x + y
Desarrollo
Tomemos dos caminos que pasen por el origen
y = 2x, y = 5x entonces se tiene: , , ^v ' y
lim —— = lim — - — = — ... (1)(a,>>)—>(0,0) x y *-»ox + 2x 3
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Funciones de Varias Variables 25
1798
i
i- x .. x 1 ...hm -------- = lim ---------= — ... (2)>(0,0) x + y *—>o x + 5x 6
xcomo (1) * (2) entonces / í lim
(*,.y)->(0,0) x + y
2 2f) lim * - y
(A-,^)->(0,0) x2 + y 2
Desarrollo
Tomemos dos rectas que pasan por el origen de coordenadas tal como y = 2x, y = 3x
x2 — y2 x2 — 4x2 —3x2 3Si y = 2x, lim - = lim - = l i m - ~ V = — ... (1)
(aj’)->(0,0) x + y *->o x + 4x 5x 5
*2 - y 2 r *2 - 9 * 2 r -8jc2Si y = 3x, lim — - = lim — 7 = l i m -(x,y)->(0,0) x + y X-+0 X + 9x *->° \ Qx
8 410 5
2 2, x — ycomo (1 )^ (2 ) entonces A lim
... (2)
(a, )->(0,0) x 2 + y 2
Averiguar si es continua la función / (jc, y) =
Desarrollo
y j l - x 2 - y 2 si x 2 + y 2 <1
0 si x2 + y 2 >1
9 9Consideremos z = x + y , luego se tiene: F(z) = f (x, y) =y J \ - Z SÍ Z < 1
0 si z < 1
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26 Eduardo Espinoza Ramos
1798
ahora calculamos el limite de F(z) cuando z —> 1
3 lim F (z) <=> lim F(z) = lim F(z)z—>1 z—► 1 z— 1
lim F(z) = lim \ l \ - z = V1-1 = 0z—> r z—>r
lim F(z) = lim 0 = 0z->r z->r
como lim F(z) = lim F(z) = 0 => 3 lim F(z) = 0z-»r z—>r z —> i
además lim F(z) = F (l) = 0 se concluye que F(z) es continuaz —> 1
Hallar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
a) z = ln yjx2 + y 2Desarrollo
Como V (x,y) * (0,0), x 2 + y 2 > 0 entonces la función z = ln y¡.x2 + y2 es continua en todo R~ menos en el origen
b) z = ( x -y)2Desarrollo
La función z = ------—- es discontinuidad en todos los puntos y - x.( x - y )2
* 1 ' v C) Z =\ - x 2 - y 2
Desarrollo
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Punciones de Varías Variables 27
1800
>*
La función z = ------ es discontinua en todos los puntos de la1 2 2 - x - y
circunferencia x2 + y 2 =1
Demostrar que la función z =
t v2 xy
si x1 + y 2 ^ 0x2 + y 2 es continua con
0 si x - y = 0
relación a cada una de las variables x e y por separado, pero no es continua en el punto (0,0) respecto al conjunto de estas variables.
Desarrollo
Veremos la continuidad de x e y por separado:
2kxSea y = k entonces /¡ (v) = — — es continua en todas partes puesto quex +ky yx + L ^ 0 y para el caso k = 0, f\ (x) = 0
2 myEn forma similar para x = m se tiene: /> (y) = — -----— es continua en todas
y +m
partes puesto que y 2 + m 2 * 0 , m * 0 y para el caso m = 0, f 2 (y) = 0
Ahora veremos que en (0,0) la función no es continua
Tomemos y = x que pasa por (0,0)
i- 2j*y 2x2lim —-~ = l i m — - = 1 ...(1)
(v,>’)—>(0,0) x2 + y2 v—>0 2x' ■ I : " " ’■ ,■ ¡ l '• . ■ : 1 '■ Í
para y = 4x que para por (0,0)
2 xy Sx2 8lim —------ 7 = lim - — *..(2 )
(Xi\’)—>(0,0)x + y .r->0 \7x2 17
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28 Eduardo Espinoza Ramos
como (1) y (2) son diferentes
es discontinua en (0,0).
$ lim2xy
por lo tanto la función
6.3. DERIVADAS PARCIALES.-
1) DEFINICION DE LAS DERIVADAS PARCIALES.-
Sea z = f(x,y) una función de dos variables si consideramos a la variable y como constante entonces: la derivada parcial de z con respecto a x es:
,im f ( x + A x , y ) - f ( x , y )r - - ,limA -------- Jx (x >y)C X A x ~ > 0
l HA■s ? yi
si consideremos a la variable x como constante entonces la derivada parcial de z con respecto a y es:,
( 2 ) TEOREMA DE EULER.-
La función f(x,y) se denomina función homogénea de grado n, si para cada factor real k se cumple que:
f(kx,ky) = kn f (x,y)
una función racional entera será homogénea si todos los puntos de la misma son del mismo grado para toda función homogénea diferenciable de grado n, se verifica siempre la igualdad (Teorema de Euler).
xf' (x, y ) + v f ‘y (x, y) = nf (x, y)
Hallar las derivadas parciales de las funciones
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Funciones de Varias Variables 29
1801 z = x3 - yr’ - 2axyDesarrollo
Como z = x3 - y3 - 3axy
dzdxdzdy
- 3x - 3ay
- - 3 y - 3ax
1802 z = x - yx + >>
Desarrollo
dzdx
Ó Ó2y
(x + yY (x + yY (x +
dz 2 ydx (x + yY
(x + >>) — (x - y) - (x - y) — )(x + y) dz dy y dy * (x + y ) ( - \ ) - ( x - y ) - 2 xdv (x + yY (x + y ) ‘ (x + jy)'
dz -2x
¿y (x + y ) :
1803 z = yX
Desarrollo
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30 Eduardo Espinoza Ramos
1804
1805
1806
í~2 2= >Jx - yDesarrollo
Z = y[ :2 2 x - y
dzdx
dz
2x
yjx2 - y-y
d>; v? y
ix1 + y 2Desarrollo
dzdy
+y í 2 2 x + y y2 2
X + V(x2 + y 2)2
V 7 7 7 w ) - - J L .dz _ yjx + ydy x2 + y 2
-xy
(x2 + y 2)2
z - ln(x + y]x2 + y 2 )Desarrollo
1 +dzdx
>íX + y l X 2 + y 2 1yjx' + y 2 s]x2 + y 2 {x + yjx2 + V2 ) yjx2 ^ 2
dzCX
+ V '
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Funciones de Varias Variables 31
l«807
1808
0-fv
cz V I 1 x ' + y y
dy x + V-v2 + V2 a/x2 + v 2(x + A/.v2 + r )
dz
" o 7 7 T 7 (-v+ V ^ 7 )
arc tg(-)X
Desarrollo
ydzdx
vVi+ (z rx
X + v “
dz_dy
1
i + ( - r.Y
o 9 .Y” + V"
CZ<3x
dz'■N
2 2 A' + V
Z = X
Desarrollo
Z = .Y
dz~dxdz•*>
i-i= VA'
= a* 1 ln x
.Vt//(1809 z = e v
Desarrollo
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32 Eduardo Espinoza Ramos
1810
1811
' VC ) Z s e n ( - ) y ] 1 s e n ( ~ ) y
~ - e ' cos(—)(—) = — e v cos(—)cy x x x x
arcsen•> i
x ~ - v “1 ■>
X “ + V
Desarrollo
, , i -i i— -> o / i _ ■)cz c x ]¡ x + y “ v 2 xv ~ x y “ J 2 x ~ - 2 v ".2 _ -> -> -> I o ¡ 1 / 4 4 \C*Y I x~ - v~ i V j (a*“ 4- _v" ) y x~ - v“ ! .v ; ( v ~ y )
j 2 ~ ~ ~ 2\ v +
cz xv2y]2x~ - 2 y
- - C | A - V
c r c y y x ‘ -f v 2 ~ v~ ^ 2 x 2 - v 2
<* v ~ ! v !(-y 4 - v 4 )’lX “ + v;“
1 -V + a ■ Vr = ln(.s^/7(— 7=“ ))
V-vDesarrollo
x + ci 1 v cos( j— )
2 = = I t.(Jf(í± í . ,
y y,x +
cos( f=~)cz V y , x + «. x + a , x +— = y — ( y ) = yC-lgi—f ^ )c y r x + a \ - - v v• sen j y 2 v2 2>’2
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Funciones de Varias Variables 33
1812
1813
1814
Desarrollo
u = (xy): => <
cudxSuoydu
— 7
= (.vv)’ ln(.vv)
11 = z uDesarrollo
u =
av
dycudz
= _yz'u ln z
- xzxy ln z
xyz'.AV-I
Hallar 2,1) y f ‘(2,1) si f ( x , y ) = Jxy + -
Desarrollo
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34 Eduardo Espinoza Ramos
1815
1816
1817
J U 2,1)
f (2,1) =
14-1 _ 12-Jl + l 22 - 2 O
O2 7 2 + 2 4
/ , (2,1) = -
./;'(2,n=o
Hallar / V(L2,0) , f (1,2,0) y f l (1,2,0) si f(x.y.z) = ln (xy + z)
Desarrollo
/ VU\ y , r ) = v
f(x,y,z) = ln (xv + z) => < /,. (x,y, z) -
/ . (x, v\-) =
xy + z x
XV 4- Z
1XV 4- Z
/; .d,2,o)i
=> 2 /; (1.2,0)
./: d,2,o)
2 4 - 0
12 + 0
1
22 ¿mé
17 + 0 ” 2
Comprobar el Teorema de Euler sobre las funciones homogéneas del 1816 1819
/ ( x , y) - Ax~ + 2Bxy + Cy‘Desarrollo
/(A x,ky) = Ak2x2 + 2Bk~xy + CA: V = A‘ ( Ax1 + 2&vv + ( V - A ^/(x ,y )■>
Luego f(x,y) es homogénea de grado k = 2
? oa - + y -
Desarrollo
f (kx,ky) = — = A: 1 , A = k 1 / ( .v , v )A:“ x + A “ y x^ + v “
por lo tanto / (Ax, Ay) = A !/ ( x ,y )
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Funciones de Varias Variables 35
1818
1819
1820
1821
i
f ( x , y ) = ln(—)X
Desarrollo
f{kx,ky) = l n ( ^ ) = ln(—) =kx x
Luego f(x,y) es homogénea de grado cero
x + y
t iDesarrollo
n i c . k y ) = , tfM,- = - 4 >/<*•>•)yjk2X2 + k 2y 2 yjx2 + y'
por lo tanto f ( k x ,k y ) = k 3f ( x , y )
i j----------------Hallar (—) , donde r = >/x2 + y 2 + z2
Desarrollocbt r
/ o ó"V + z' — = (x2 + y 2 + z2) 2
v>.dx r
— (x2 + y 2 + z 2) 22x = 2x
2x0(x + y + z “ )
Calcular
dx dxdr d#qy qy dr d#
, si x = r eos 0, y = r sen 0
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36 Eduardo Espinoza Ramos
1822
1823
Desarrollo
x - r eos 0
dxdr
= cosG
dx~dó
- - r sen G
y = r sen 0
dy_drcydo
= sen 0
eos 6 - r sen 6 sen 6 r eos 6
2= r cos^ 0 + r 0 = r
dz dz . . 1 / 2 2 2nDemostrar que x — + y — = 2 , si z = ln(x + y + z )dx dy
Desarrollo
ln(x2 + y 2 + z2)
dz 2 x + ydx
dz
2 2x + yx + y2 y + x
2 2 "x + yx + y
dz dz 2x + xy 2y2 + xy 2(x2 + xy + y 2)
* dx ^ dy x2 + xy + y 2 x2 + xy + y 2 x2 + xy + y 2= 2
dz dzx — + y — = 2
dx dy
dz dzDemostrar que: x — + y -— = xy + z si z - xy + xe
dx ' dy
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Funciones de Varias Variables 37
1824
1825
Desarrollo
xy + xe
dzex
, V T - y - - - e a + e .\
dzdy
= x + e Y
' V »CZ CZ ■ — — — —x + y — = xy - yeY + x e Y -f vev + xv = xy + (xy + x e Y) = xy +
ex dv
dz dzx h v— = xy + z
ex " dv
Demostrar que — + ~ = 0 , si u = (x - y )(y - z)(z - x)dx dv cz
Desarrollo
u = (x - y)(y - z)(z - x)
CU
dxcucycu
.dz
= ( y - z ) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z )
= (a- - y)(z -x)-(y - x)
= (x- v)(y - z) - (x -
du 8u du w , w .— + — + — = ( y - z ) ( z - x ) - ( x - y ) ( y - z ) + ( x - y ) ( z - x ) ex ev cz
~(y - z)(z - x) + (x - >’)(>’ - z) - (x - y)(z - x) = 0
du cu du— + — + — - () ^ex ev cz
_ du du cu , . x - yDemostrar que: — + — + — = 1, si « = x +^ex ev cz y - z
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38 Eduardo Espinoza Ramos
1826
1827
Desarrollo
u = x 4- x - yy - z
cuexcudycucz
1 +1
y-<z - x
( y - z ) : X - y
du du du 1 z - x x — y+ --- + -----= 1+ ------- + ----------r +
ex dy dz y - z ( v - z ) (y - z)‘
i * z ~ y i i= 1 + --------- 4 ----------- ^ - r = 1 + ------V-Z ( v - z ) ' v - z v - z
CU ^ CU CU _ Jex cy cz
Hallar z = z(x,y) si. cz
dy x2 4- y
Desarrollo
dz xcy x~ + y4
— , integrando se tiene:
í: .y dy , v , V, , ,— z = arctg(—) + (p{x)X~ + V A*
Hallar z ~ z(x,y), sabiendo que: — = ------- — y z(x,y) - sen y « cuando xex
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 39
1828
2 , 2 2 C Z X “I- V X-— = —. integrando se tiene: z = — + yMnx + g(>>)dx x 2
cuando x = 1, z = sen y entonces y = — + g(jy) => g(.y) = v - —2 .2
x2 2 , 1_ = l -y lnx + sen y —2 2
J 9Por el punto M (l,2,6) de la superficie z = 2x~ + y se han hecho pasar planos
paralelos a las coordenadas XOZ e YOZ. Determinar, que ángulos forman con los ejes coordenados las tangentes a las secciones así obtenidos en su punto común M.
Desarrollo
a) Si se considera el plano paralelo al plano XOZ, este plano es
perpendicular al eje Y y por lo tanto p = 90° y tg p = co y la pendiente
dzde la tangente seria: tga =
dx= 4(1) = 4 => tg a = 4 y el ángulo
A '= l
formado por la tangente y el eje Z será a + y = 90° => y = 90° - a
de donde t gy = t g ( 9 0 - a ) = c t g a = — => t g y = —4 4
b) Si se considera el plano paralelo al plano YOZ entonces dicho plano es
perpendicular al eje X y su ángulo a = 90° de donde tg a = ao y la
pendiente de la tangente será
Luego t g p -
dy
dz
= 2y = 4- v=2>-2
ay= 4 => tg P = 4
>-2
Y el ángulo formado por la tangente y el eje X será:
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40 Eduardo Espinoza Ramos
1829
1830
P + y = 90° => y = 90° - p
tgr = tg{9o° - p ) = c tgp = i4
1/ory — _
ft/ 4
El área de un trapecio de bases a, b y de altura h es igual a Sa + b
h , hallar
as as asda db dh
S
y mediante su dibujo, establecer su sentido geométrico.
Desarrollo) ' ' ■ V | • i as _ h
CUf ~ 2>'y:a + b ! as h------ h => < — —
2 aa 2as a + blch 2
Demostrar que la función / ( x , v) = <2 xv
7 7 si x +y~ * 0x“ + y" tiene derivadas
0 si x ~ y — 0
parciales / ’ (x ,y) y / ’ (x ,y) en el punto (0,0) a pesar de ser discontinua en
este punto.Desarrollo
Calculando las derivadas parciales en el punto (0,0)
m i Mizim, lim i m - i m , lim « z » . 0//->o h //->o // /j—»o h
r l (0,0) = lim / < M ± * W Í M = lim / ( Q .* ) - / ( ° .Q ) = l i mo ^ 2 _ „ //—>0 h /?—»o h /?—>0 >/?
ahora veremos la discontinuidad, para esto tomamos dos caminos que pasen por (0,0), tales como y = x, y = 4x
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Funciones de Varias Variables 41
r 2xy r 2x2 1lim —----- — = lim — - = 1 ... (1)(a', v)—>(0,0) x + y -v_>0 2x
2 xy 8a* 8lim — = lim = — ... (2)
(A-,v)->(0,0) X2 + y 2 -V->0 17X2 17
como (1 ) ^ ( 2 ) entonces $ lim f ( x , y )(a,v)—>(0,0)
por lo tanto f(x,y) es discontinua en (0,0)
6.4. DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-
INCREMENTO TOTAL DE UNA FUNCION.-
Si z - f(x,y) es una función de x e y entonces el incremento total de una función definiremos por:
Az = Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) — f(x,y)
DIFERENCIAL TOTAL DE UNA FUNCIÓN.-
Si z = f(x,y) es una función de x e y entonces a la diferencial total de la función z = f(x,y) es definida por:
( ? ) APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN A LOS CÁLCULOS APROXIMADOS.-
Si z = f(x,y) se verifica la igualdad aproximada: Az = dz
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42 Eduardo Espinoza Ramos
1831 Para la función f ( x , y ) = x~y, hallar el incremento total y la diferencial total
en el punto (1,2) compararlo entre sí.
a) Ax = 1; Ay = 2Desarrollo
Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay ) - f(x,y)
Af( 1,2) = f( 1 + 1, 2 + 2) - f( 1,2)
/ ( 2 ,4 ) - / ( l , 2) = f(2)24 - (l)22] - 16 - 2 - 14 /. Af( 1,2) - 14
jyv df (x, v) . of(x, y) df (x, y) = — — dx + dyex cy
# (1 ,2 ) == df y y ) Ax + g / £ j ) - 2(1)2 + (1 )22 = 4 + 2 -- 6dx
Luego Af( 1,2) - df( 1,2) = 1 4 - 6 = 8 .*. Af(l,2) - df(l,2) = 8
b) Ax = 0.1 , Ay = 0.2Desarrollo
Af(x,y) = f(x + Ax, y + Ay) - f(x,y)
Af( 1,2) = f( 1 + 0.1, 2 + 0.2) - f( 1,2) = f( 1.1,2.2) - f( 1,2)
(1.1)2 (2.2) - (l)2 2 = 2.662 0.662 Af(l,2) = 0.662
# (1 ,2 ) = ^ ) ^ x + l AyV
dx dy
2(2)(0.1) + 1(0.2) = 0.4 + 0.2 = 0.6 df( 1,2) = 0.6
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Funciones de Varias Variables 43
1832
1833
Luego Af(1,2) - df( 1,2) - 0.662 - 0.6 - 0.062
Af( 1,2) - df( 1,2) = 0.062
Demostrar, que para las funciones u y v de varias variables (por ejemplo de dos) se verifican las reglas ordinarias de derivación.
a) d(u + v) = du + dv b) d(uv) = u dv + v du
,/u. vdu-udvC ) d(-)=------------------
v \ r
Desarrollo
d(u + v) 6(u + v) du dv du dv a) d i n + v ) = — dx + -----------dv - — dx + — dx + — dv-H----- dv
ex cy ex ex ey ey
,du . cu . x .dv . dv . .- ( — dx h------ dv) + ( — dx h---- d v ) = du + dv
dv dy ' dx dy
Hn forma similar las anteriores
Hallar las diferenciales totales de las siguientes funciones:
Desarrollo
CZ . CZdz - — d x + — d y
dx dv
dz - (3.v2 - 3y)dx + (3 v~ - 3x)dy
1834 : = .vVDesarrollo
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44 Eduardo Espinoza Ramos
1835
1836
1837
í7'7 r)'rd z = — dx + — d y
ex dy
7 7
dz = 2 xy dx + 3x~y~dy
7 7.v“ - y
7 7
x" + y"Desarrollo
dz - — dx + — dv/-V,ex cy
(o
y ix~ - \ry y
X 4~ V
C Z 4.vv‘
czdv
(..v*' + v~ Y
-4v2 y( P T 7 ) T
(2 )
ahora reemplazamos (2) en (1): dz4.v y
/ 2 2x2(x 4-y )dx
4x~ v7 7 7( v“ i- y ~ )“
dv
7 7 :
z — sen~x + eos" vDesarrollo
dz dz dz - — dx 4 — dy
dx dv
dz = 2 sen x eos x dx - 2 eos y sen y dy
dz = sen (2x) dx - sen (2y) dy
z - yxDesarrollo
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Funciones de Varías Variables 45
1838
1839
1840
dzdz = — dx-\----------- ay
dx
O 1dz — y xy~ dx + xy (1 + y ln x)dy
i iz = ln(x" + y - )
dz dzdz - — dx H dydx dy
2x 2ydz = — --d x + — -dyx + y x + y
f ( x , y ) = ln(l + —)y
Desarrollo
Desarrollo
dx dy
d f (x,y) = —— d y ---- —-— - dyx + j y(x + y)
y xz = arctg — + arctg — x y
Desarrollo
dz dzdx = — dx H dy
dx dy... (1)
y xz - arctg — b arctg —x y
dzdx
dz
y2 2 x +y
... (2)
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46 Eduardo Espinoza Ramos
1841
1842
1843
v xahora reemplazando (2) en (1) se tiene: dz - — dx — dy
x2 + y x z + y z
z = ln t g ( - )X
Desarrollo
dz dzdx = — dx H dy
dx dy
dz2 v— — (d y — dx)
Xxsen(— ) x
Hallar df( 1,1) si / (x, y) =
Desarrollo
n 5 /0 ,1 ) . 3 /0 ,1 ) .df{ 1,1)= 7 - -~dx + -d- :— - dydx dy
(1 )
/ (x, y) =y
3/(1,1)dx
3/(10) = -2(2)
reemplazando (2) en (1) se tiene: df( 1,1) = dx - 2 dy
u = xyzDesarrollo
du , du , <3*/ .du = — dx + — ay H------azdx dy dz
du = yz dx + xz dy + xy dz
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Funciones de Varias Variables 47
1844
1845
1846
1847
x + y + zDesarrollo
, cu . du . du , du = — dx H dy h dz
dx dy ' dz
x dx y dy z dzdu = + —= = +
yjx2 + y 2 + z 2 yjx2 + y 2 + z 2 y]x2 + y 2 + z 2
u = (x^+—yy
Desarrollo
. du . du . du . du = — dx + — dy -l- — dz
dx dy dz
du = (xy + — )z 1 ((y + — )z dx + ( 1 — \r)xz dy + (xy + —) \n(xy + —)dz)y y y 1 y y
xyu = arctg(— ) z
Desarrollo
du . du . du .du = — dx + — dy-\ dzdx dy dz
du = % - ( y d x + x d y - ^ ^ - d z )(xy)2 + z4 z
Hallar df(3,4,5) si f ( x , y , z ) =\R~+ /
Desarrollo
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48 Eduardo Espinoza Ramos
1848
d(3 ,4,5) = dx + ^ (3; 4’5) dy + dzdx dy dz
d f (x, yz) =xz dx
3 r “ ,y • 12 2
/ 2 2x9 / 2 2x9 \ M + V(v + .T ) 2 (* + / ) 2 *
15 2 0 1rf/(3,4,5) d x dy + - ¿/z
125 125 5
d f (3,4,5) = — (-3 dx - 4 dy + 5 c/z) 2 5
Uno de los lados de un rectángulo es a = 10 cm, el otro b = 24 cm ¿Cómo variara la diagonal L de este rectángulo si el lado a se alarga 4 mm y el lado b se acorta 1 mm? Hallar la magnitud aproximada de la variación y compararla con la exacta.
Desarrollo
I 1 7Por Pitágoras se tiene: L - \Ja~ + ¿r
dL = — da + — db donde a = 10 cmoa oh
b = 24 cm, da = 0.4 cm, db - -0.1 cm
dL = 7 a ■ - da + 7 = - db 10 (0.4)+ . 2 4 _ ( 0 . 1 )L J d b 2 L d d b 2x/lOO + 576 ' Vi 00+ 576
4 2.4 1 .ó ^ r\/-r\dL —------------ = — = 0.062 cm26 26 26
AL = yJ(a + Aa)2 +(b + Ab)2 - y ¡ a 2 + b 2 -0 .0 6 5 cm
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Funciones de Varias Variables 49
1849
t .
1850
Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 10 cm, 8 cm y 6 cm; esta hecha de madera contrachapada de 2 mm de espesor. Determinar el volumen aproximado del material que se gasto en hacer la caja.
Desarrollo
Sean x,y,z las dimensiones de la caja, luego el volumen de la caja es:
V = xyz, además x = 10 cm, y = 8 cm, z = 6 cm y dx = dy = dz = 0.4 cm
dv = yz dx + xz dy + xy dz = (8)(6)(0.4) + (10)(6)(0.4) + (10)(8)(0.4)
= (48 + 60 + 80X0.4) = 188(0.4) = 75.2
dV = 75.2 en? con relación a las dimensiones anteriores.
El ángulo central de un sector circular es igual a 80° y se desea disminuirlo en I o ¿En cuánto hay que alargar el radio del sector, para que su área no varié, si su longitud inicial era igual a 20cm?
sDesarrollo
área del sector circular =f A = -- -- - , donde360°
r = 20 cm, es el radio y x = ángulo central = 80°, dx = -1 °
,, 8A , 8A , , . k r 2 , 2nxr ,dA = — dx h----- dr dA = —— dx H-------- dr
dx dr 360 360
¿JA = r^dx + xv dr reemplazando se tiene:
iñ (— D0 = ± ^ ± J ± + 2 0 m ) d r => 1600 dr = 200
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50
1851
Eduardo Espinoza Ramos
dr = = - => dr = - es lo que debe alargar el radio p*ra que el área no1600 8 8
k .
vane.
Calcular aproximadamente:
a) (1.02)3.(0.97)2 b) /(4 .0 5 )2 + (2.93)2
c) sen 32° eos 59° (al convertir los grados en radianes y cuando se calcule el sen 60°, tomar solamente tres cifras decimales; la ultima cifra debe redondearse)
Desarrollo
a) Sea f { x , y ) = x3y 2 donde x = 1, y = 1, Ax - 0.02 , Ay = -0.03
n k a \ -w -Tí a df(x,y) A ,<3/ (A',.y) Af ( x + A\% v + Ay) = f (x, v) 4------------Ay -f----------- Avdx dy
/ ( l .02,0.97) s / ( l , 1 ) + — 11 -■ (0.2) + - - A Ü (_o.()3 )dx dv
(l.02)3(0.97)2 s 1 + 3(1 )(0.02)-2(l)(0.ft3)
= 1 + 0.06 - 0.06 = 1
b) J \x , y ) = J x 2 + y 2 donde x = 4, y = 3, Ax = 0.05, Ay - -0.07
f ( x + Ax, y + Ay) = j \ x , y ) + A* + A>’dx cy
/(4 .05 ,2 .93) s / (4 ,3 ) + (0.05) + 3). (-0.07)cv dv
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Funciones de Varias Variables 51
yj(4.05)2 +(2.93)2 = 5+ - (0 .0 5 )+ - ( -0 .0 7 ) = 4.9985 5
.'. V(4-05)2 +(2.93)2 s 4.998
1852 Demostrar, que el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores.
Desarrollo
Consideremos z = x¡.x2.x3...xn producto de números positivos, entonces
ln z = ln(jc} .x2 .x3 ...xn) = ln jc, + ln x2 + ln x3 +... + ln xn
dz dx, dx*, dx** dx„ , ,— = — L + —- + —- + ...+ —- dedondez x, x2 x3 x„
Az A-Vt Axo Aas A x „ , . Az— = ------ 1---- — + — - + ... + ------ , donde — es el error relativo de unz X, x2 x3 x„ z
Axi Ax? Áx3 Ax..producto y -----,------ ,------,...,----- son los errores relativos de los factores, por
Xj X2 X3 xn
lo tanto el error relativo de un producto es aproximadamente igual a la suma de los errores relativos de los factores.
1853 Al medir en un lugar el triangulo ABC, se obtuvieron los datos siguientes: el
lado a = lOOm ± 2m el lado b = 200m ± 3m y el ángulo c = 60° ± Io ¿Con que grado de exactitud puede calcularse el lado c?
Desarrollo
Por la ley de los cosenos se tiene que:
V 'l 1a “ +b~ - 2abcosC , la exactitud que puede calcularse el lado c es de
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52 Eduardo Espinoza Ramos
1854
i
1855
de dx dede donde d e == — Aa + — Ab - \------AC
da db dC
, a - b c o s C b - a c o s C 4f absenCdc = —j=== A<7 + - = = = = = = = A&+ = = ■ — — AC
y¡a2 +b2 - la b e o s C yja2 +b2 - la b c o s C \la2 +b2 - la b c o s C
reemplazando los valores para a = lOOm, b = 200m, C = 60°, Aa ~ 2, Ab = 3,
AC = Io = — , de = 4.25 m180° i M j M ' é i
El periodo T de oscilación del péndulo se calcula por la fórmula T = l n L
g
donde L es la longitud del péndulo y g, la aceleración de la gravedad. Hallar el error que se comete al determinar T, como resultado de los pequeños errores
AL = a , Ag = p cometidos al medir L y g.
Desarrollo
El error que se comete al determinar T es:< ' '! •" ; . ’) ■. . - V •' ■ i , \> '■ , ‘ , ‘ i ,f ‘ ■ ■ . • i , .
J r r d T K r d T n ttsÍ L T r i g a - dT = — AL + -— Ag => dT = —= a ------ ¡= p
L i
dT = ga~g j g L
La distancia entre los puntos /q (a*0 , y 0) y P(x,y) es igual a p, y 1 ángulo
formado por el vector P0P con el eje OX, es igual a a ¿En cuánto variará el
ángulo a , si el punto P toma la posición P¡(x + dx,y + d y ) , mientras que el
punto P0 sigue invariable?
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 53
x -x ,co sa =
sena
____ o_P
y - y op
r- «
/ocosa = x - x 0
p s e n a - y - y ^
tga = ——— diferenciandox — x.o
sec a .d a =( x - x Q) d y - ( y - y 0)dy
(x - x0 f
pero del gráfico se tiene se/i a =x - x .o
P ¿ ) d y - ( y - y 0)dx( x - x 0) ( x - x 0y
d _ ( x - x 0) d y - ( y - y 0)dx _ cosa dy - sena dx
P Á P
.....6.5. DERIVACION DE FUNCIONES COMPUESTAS.-
( ¡ ) CASO DE UNA SOLA VARIABLE INDEPENDIENTE.-
Si z = f(x,y) es una función diferenciable en x e y, y a la vez funciones
diferenciables de una variable independiente t: x = cp(t), y = \|/(t), la
diferenciación de la función compuesta z = f(cp(t), i|/(t)) se puede calcular por la fórmula:
dz dx dz - - — i
dt dx dt dy
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54 Eduardo Espinoza Ramos
1856
■ j
1857
©
► t
► t
CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.-
Si z es una función compuesta de varias variables independientes tal
como z = f(x,y), donde x = cp(u,v), y = v|/(u,v), las derivadas parciales de
z con respecto a u y v se expresa así:
& _ dz dx dz dy du dx dy dy du
5v ñ r dv dy dv
dz xHallar — si z = —, donde x = e*, y = ln t
* : '' .y ' ¡Desarrollo
U
V
uV
¿Zz dz ¿/x dz dy , , , é/z e' x 1 ^ e— = — .— + — de dondedt dx dt dy dt dt y y 2 t ln í t in2 í
dzdt t ln2 t
(t ln ¿ - l )
Hallardudt
X 2 r 2, si m = ln sen(—j = ) , donde x = 3t = v i +1
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Funciones de Varias Variables 55
1858
1859
Desarrollo
du du dx du dy t ,+ — .— de donde se tiene:
dt dx dt dy dt
du , x . 1 _ 1 y x w x , tCtg(-¡=).-¡= .6t - Ctg(-¡=r)(--- 7=)
dt J y 'Jy 2 V r + i
du t x x= c tg ( - = ) ( 6 - — )
dt d y 2y~
Hallar — , si u = xyz, donde x = t2 +1 , y = ln t, z = tg t dt
Desarrollo
du du dx du dy du dz . , t du xz ?— - — — + — .— + — .— dedonde — - y z 2 t + — + xysec~ tdt dx dt dy dt dz dt dt t
2du t +1 o 1 \ i 2— = 2í¿g¿lnM .tgt + (t + Oln/.sec" ¿dt t
Hallar — , si u - —= J = = . ■, donde x = R eos t, y = R sen t, z = Hdt i
v ?
> Desarrollo
du du dx du dv du dz— — — _ f- -— ;-----1-----.—dt dx dt dy dt dz dt
du xz . _ . yz . n . 1— ---------------(-Rsent) ----------------- — (/? eos/) + —= = = = = (0)/// 3 3 / 2 2/ 2 2 \o / 2 2 \ -> v y *(.x2 + y ‘■)2 (x2 + y 2) 2 y
du HR eostsent HR" sen t cosí „ du— = — + 0 = 0 — = 0
d t - - dt(x2 + y 2)2 (x2 + y 2)2
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56 Eduardo Espinoza Ramos
1860
1861
1862
dzHallar — si z = u , donde u = sen x, v = eos x
dx
Desarrollo
dz dz du dz dv v_jdx du dx dv dx
-l .— = vuv cosx + t/v ln u{-senx)
= cosz (sen x)C0SX 1 - (sen jc)C0S Y sen x. ln (sen x)
dz— = (senx)C0SX [eos x.ctg x - sen x. ln sen x] dx
TT „ dz dz . .y. 2Hallar — y — , si z = arctg(~-) e y - x
dx dx x
Desarrollo
dz _ dx x _ x2 _ y . _ ydx í - f (Z ) 2 1 + zí_ j f 2 + >;2 dx *2 + y 2
X x 2
dz dz dz dy , , , dz y 2 x~ 2 x - y— = — + — .— de donde — = — - + —5----- — = jdx dx dy dx dx x + y x + y x + y
dz _ 2x2 - y“ 2 . . 2dx x + y
Hallar — y — si z = xy donde y = (p(x)dx dx
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Funciones de Varias Variables 51
1863
1864
Desarrollo
^ = yxrv~' dx
dz dz dz dy dz v._j y— = -----1-----de donde — = yx + x ln xxp (x)dx dx dy dx dx
v r y »/ M 1 — = x; [— + (p (x) ln x]dx x
dz dzHallar — y — , si z = f(u,v), donde u = x
dx dyDesarrollo
U
2 2
V
X
yX
y
dzex
dz cu dz dv dz— >— -i .— de donde — = 2xfu (u,v)+ vexy y (u,v)du dx dv dx dx
cz cz cu cz ov , t , cz — de donde+ - 2 yfu (m, v) + xe™ f v (u, v)
dy du dy dv dy dy
TT „ cz cz XHallar — y — si z - arctg— , donde x = u sen v, y = u eos vdu dv y
Desarrollo
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58 Eduardo Espinoza Ramos
1865
U
VuV
cz oz ex cz cy_ — — — _ ——f —— # ——du dx cu dy du
cz y X u sen v eos v u sen v eos v
du X1 4 v 2sen v 2 2 X + V
eos V2 2 x 4 y 2 2 xÁ + y
0
czdu
0
d -“\ «**/■>z cz ex cz cydv ex dv dy cv
dzi iCV X 4 v
y *u eos V 4 1 1 X- -f y
u sen v y 4X
i iX~ 4 Vi i ' i i i i
X + y~ f 4 V X 4 V
02dv
- 1
CZ CZ VHallar — y — si z = f(u) donde u = xv 4 —
dx dv ' x
Desarrollo
U
CZ ( Z ( a Vf (u).(y — V ) de donde
ex cu ex
dz'"Sex
f ( x j + — ) v ( l — ]~ )■x
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Funciones de Varias Variables 59
cz dz du / 1 dz / y 1_ = + dedonde — = f ( x v + — )(x + - )dy cu dy x dy x x
1 8 6 6 Demostrar que si u = <j>{x2 + y 2 + z z ) donde x = R eos <p eos y ,
_ r> r» . du duy - K eos (p sen v|/, z = R sen cp entonces —— = 0 y = 0ccp dy/
Desarrollo
9 9Sea w = x~ + y + z" => u = <j)(w)
U y
9
9 9
9
9
dw dvi> ex cu dv du dz H .----.------(-
d(p dw dx dep dw dy d(p dw dz ccp
dud(p
ib/ (w)2x(-Rsencp eos y/) + cf)' (w)2y(-Rsencpseny/) + ^ \w)2zR eos cp
dud(p
- (j)' (w)2R(-x sen cp eos y/ - y sen cp sen y/ + z eos cp)
i 2- 2R(p (w)[-/? sen cp eos (p eos" y/ - R sen (p eos (p sen y /+ R sencp eos cp]
= 2R~(¡)! (w)[-sencp eos (p{eos2 y /+ sen2y/)+sencp eos cp]
2 / 7 i2 R $ (w)[-s en cp eos cp +sencp eos cp] = 2R"c¡)(w)(0) = 0 duccp
= 0
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60 Eduardo Espinoza Ramos
1867
1868
du du dw dx du 6\v dv+
8 y/ dw dx dy/ dw dy dy/
Cudy/
- (/)' (w)2x(-R eos cp sen y/) + </>f (w)2 y Reos <p eos y/
= 2R(j)! ( h ’) ( - x eos cp sen y/ + y eos cp eos y/)
/ ¿ ¡V í •; " ' ‘f .11 ’
~ 2R(¡) (w)[-R cos“ (peosy/ seny/ + R eos" (p sen y/ eos y/]
2R(¡) (w)(0 ) = 0ducy/
0
Hallar — si u - f(x,y,z) donde y = cp(x), z = v|/(x,y)dx
Desarrollo
X
U XX
du du du dy du dz— ~ 1 . 1 .—dx dx dy dx dz dx
— = — + de donde — = y/x (jr, y) + y/[, (x, y).<p' (x)dx ex dv dx dx
dudx
f x (x, y, z) + f v (x, v, z).<p (x) + f ! (x, y, z )O a.(x, y) + y/\. (x, y).<p (x)]
v
Demostrar, que si z = f(x + ay), donde f es una función difereneiable, entonces
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Funciones de Varias Variables 61
1869
Desarrollo
„ du _ duSea u = x + ay — = 1, — = a
dx dy
z = f(u) donde u = x + ay
U
dz dz du „/dx du dx = / »
dz dz du i — = — .— = af (u)dy du dy
dz i dz a — - af (u) = —
d* dydz dz— = a —dy dx
Demostrar que la función w = f(u,v) donde u = x + at, v = y + bt, satisfacen a
dw dw . dw la ecuación — - a — + b —
dt dx dy
Desarrollo
X
t
y
t
dw dw du dw dv dw f dw — - — .— -f — .— - a — + b —dt du dt dv dt du dv
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62 Eduardo Espinoza Ramos
dw dw , dw— = a — + b —dt du dv
... (1)
dw dw du dwdxdw
du dx dw dv
dudw
dy dv dy dv
... (2)
dw dw dwreemplazando (2 ) en ( 1) se tiene: — = a — + b —
dt dx dy
1870 Demostrar que la función z = y(p(x2 - y 2) satisface a la ecuación
1 dz ^ 1 dz zx dx y dy y
Desarrollo
2 2z = y (p(u) donde u - x - y
UX
ydz dz d u /— = — .— = 2 xy(p (u)dx d u dx
dz dz dz du 2 ¡— = — + — .— = (p(u)-2v (p (tt)dy oy du dy
- . — + — .— = -{2xytp l {n)) + — (<<p{u)-2y2(pl (u))x dx y dy x y
2y<p'(u) + ^ - - 2 y < p ' ( y ) - ^ - ^ = y dondey y y -v
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Funciones de Varias Variables 63
1 dz 1 dz zx dx y dy y 2
y1871 Demostrar, que la función z = xy + xcp(—)
xdz dz
x f- y — = xy + zdx dy
Desarrollo
satisface a la ecuación
yz - x y + xcp{—) =>
x
i - V AGX X X X
5z , / / A— = x + ^ ( - )qy x
^ i i y w / i<ywX— + y — = x(y + cp(—) ---- (p i—)) + y(x + (p (—))dx dy x x x x
= xy + x ^ (—) - (—) + x.y + y V (—) = x j + (xy + x ^ ( - ) ) = xy + zX X X X
dz dz x — + y— = xy + z
dx ' dy
X
1872 Demostrar, que la función z = ey(p{ye v ) satisface a la ecuación
2 2 ,d z dz(X - y )— + xy— = xyzdx dy
Desarrollo
.V*
Sea z = ey<f>(ye2 y ) = ey(j)(u) donde u = ye 2/
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64 Eduardo Espinoza Ramos
Aplicando la regla de la cadena se tiene:
i
dóiu) dó(u) du t , du x y = --------.— donde — - —e y
dx du dx dx y
x
d<j>{u) _ d<p{u) du = x_ /dx du dx y
x- 2 x~dtfu) _ d f tu ) a» donde d u = e 2 y - _ £ _ e2y
dy du dy dy y 2
x- 2 x-d(j)(u) __ at/ _ 2y~ x J l y 1 ______
dy du dy y 2(e~y —e y )(j) (u) , como z = ey(p{u), entonces
& =eV ^ = * e V , y (M)dx dx y
x~ 2 -v~í , + M i l = e>m + ey ^ r * « V , /ay ay y
.Y 2 **az . v .i, x -x*é"v (w) + e ve 2v (/>'( u ) - — ey .e2y </> (u) dy /
-5 X" -Y
a z x é, v(x2 - jy 2) — = — — e 2v (/)'(u)- xyeye 2y (j)‘(u) ... (1)
ax y
3 vxy — = xvey(¡)(u) + xyeye 2y (j)1 (u) — — eye 2y (p1 (u) ... (2 )
dy " y
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funciones de Varias Variables 65
2 2 dzsumando ( 1 ) y (2 ) se tiene: (x - y ) — + xy — = xyey <¡>(u) - xyzdx dy
2 2^dz dz(x - y )— +'xy — = xyz
dx dy
1873 IJn lado de un rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 5m/s, el otro lado de y = 30m, disminuye con una velocidad de 4m/s ¿Con qué velocidad variarían el perímetro y el área de dicho rectángulo?
Desarrollo
X
El perímetro del rectángulo es:
P = 2x + 2y además se tiene:
— - - A m i s e g , — = 5m/ seg dt dt
' ' i
la velocidad con que varía el perímetro es:
dP dP dx dP dy— = — #— + — uJL - 2(5) + 2(—4) = 2m / seg dt dx dt dy dt
por otra parte el área = A = xy; la velocidad de variación del área es:
dA dA dx dA dy x— - — .— + — — y(5) “ 4 (x ), para x = 20, y = 30 se tiene: dt dx dt dy dt
dAdt
= 30(5) - 4(20) = 150 - 80 = 70dA~dt
lOm / seg
1874 Las ecuaciones del movimiento de un punto material son x = t, y = t2 , z - t 3¿Con qué velocidad aumentara la distancia desde el punto al origen de coordenadas?
Desarrollo
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66 Eduardo Espinoza Ramos
La distancia del punto (0,0,0) al punto P(x,y,z) es:
V 2 2 o / 2 4 6x + y + z = v ¿ + f + ¿ , ahora calculamos la velocidad con que aumenta la distancia del origen al punto P
dr 1 + 212 + 3 tA
^ Vi + t2 + t i
1875 Dos barcos, que salieron al mismo tiempo del punto A, va uno hacia el norte y el otro hacia el ñor - este. Las velocidades de dichos barcos son 20km/hr, 40km/hr, respectivamente. Con que velocidad aumenta la distancia entre ellos.
Desarrollo
Por la ley de los cosenos tenemos que:
z = yfx2 + y 2 - 2xv eos 45
reemplazando valores se tiene:
'202 + 402 - 2(20)(40)—
20V 5-2V 2
6.6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DADA Y GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.- V - V +■ ; ■■
(T ) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UNA DIRECCIÓN DADA.-■ v "
La derivada de una función z = f(x,y) en una dirección dada t = PXP se
define por:
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Funciones de Varias Variables 67
donde f(p) y / ( / } ) son los valores de la función en los puntos P y P} .
Si la función z es diferenciable, se verifica la fórmula
dz dz dz ..'f—. = — eos a + — senad i dx dy
donde a es el ángulo formado por el vector l - P{P con el eje X
En forma similar para función u = f(x,y,z) se verifica la relación
du du du „ du-— = —- cos a + — eos 6 + — eos yd i dx dy dz
— >donde a , P y y son los ángulos entre i - P/¡ y los ejes coordenados.
( ¿ ) GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN.-
Se da el nombre de gradiente de una función z = f(x,y) a un vector, cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son sus derivadas parciales de
dicha función:
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68 Eduardo Espinoza Ramos
1876
i i i - -i i 7 1 cz ■? dz
grua\z j<\r .— l -7
dx dy
La derivada de la función en la dirección esta relacionada con el gradiente de la misma función mediante la fórmula
dz wigr-adiz)), , -Prd i . / : i ■ ■ : <■
La dirección del gradiente de la función en un punto dado, es la dirección de la velocidad máxima de crecimiento de la función en este punto, es decir: cuando
¿-grad(z), la derivada02
dítoma su valor máximo igual a:
dz i ,dz| ( _ _ _ ) + (— )
ex cy
En forma similar para una función u = f(x,y,z) se tiene:
EL gradiente de una función de tres variables, en cada punto lleva la dirección de la normal a la superficie de nivel que pasa por dicho punto.
'l 'lHallar la derivada de la función z - x ~ x y ~ 2 y ' en el punto P( 1,2) y en la
dirección que forma con el eje X un ángulo de 60°.i ■. V ■' '
Desarrollo
o*7 d f ( x vi cz dz- 7 1 , 7 ' “ eos 60° + sen60°
df d i dx cy
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Funciones de Varias Variables 69
«877
«878
1879
" • 2 ) . (2 - 2 , i - K - U S ) ^ + 0 + => < m 2 > ^d i 2 2 2 (•'/ 2
7 7Hallar la derivada de la función z -- x - 2 ,y 'j’ + a t “ + 1 en el punto M (l,2) en
la dirección que va desde este al punto N(4,6)„
Desarrollo
3 4Se tiene eos a = —, sen a = -•
5 5
C)2Z 'y o "*>— - — eos a + —-- sen a = (3.v' - 4xy + v“) eos « + (-2x~ + 2xy )sen adi ex dy
calculando en el punto M (l,2)
dz „ . .3 , . 4 3 8 5 . dz( 3 ~ 8 "f" 4 ) f ( —2 + 4) “ “ t* ~ — — — 1 —v> —— — 1
di 5 5 5 5 5 di
Hallar la derivada de la función z = \nyjx2 + y 2 en el punto P ( l ,l) en la
dirección de la bisectriz del primer ángulo coordenado.
Desarrollo
O ''**1,
— - — eos 45° + —- se/i 45° = —4 —~ eos 45° + —- sen 45°51 ex dy x y x ~ + y 2
calculando en el punto P( 1,1) se tiene:
& 1 \Í2 _1 7 7 7 2 72 __ 7 2 & _ 72~di~2'~2 ’I ’T “ 4 4 ~ 2 “ 2
OHallar la derivada de la función u = 3x~ - 3 y z + 5 en el punto ) en la
dirección que forma ángulos iguales con los ejes coordenados.
Desarrollo
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70 Eduardo Espinoza Ramos
1880
1881
y
Se conoce que eos2 a + eos2 fi + eos2 y = 1\ » • ; . , 1 1' ■ , ■ . '■( ! '!% •' ' ...
VsPero como a = p = y => co sa = ± —
3
du du du _ du _ . „ ^— = — co sa + — cosp + — eos r = 2x eos a - 3z eos p - 3y eos adx dx dy dz
calculando en el punto M( 1,2,-1)
8u _ 2V3 3a/3 6%/3 _ 5n/3 6>/3 _ V3 ó» _ 73~ 3 + 3 3 ~ 3 ~ 3 3
Hallar la derivada de la función u = xy + yz + xz en el punto M(2,l ,3) en la dirección que va desde el punto N(5,5,15)
Desarrollo1 ■>
" t.
~ 3 „ 4 12Como eos a = — , eos p = — , eos y = —
13 13 13
dw du du _ du— = — eos a + — eos B + — eos rd¿ dx dy dz
dw- = ( y + z) eos a + (x + z) eos ¡3 + (y + x) eos ydi
calculando en el punto M (2,l,3) se tiene:
dw , 3 , 4 , 12 6 8 . du _ 6 8— — 4(— ) + 5(— ) + 3(— ) — — • • ~~d£ 13 13 13 13 ' di 13
Hallar la derivada de la función u = ln(eA + ey + e z ) en «el origen deif. -■
coordenadas, en la dirección que forma con los ejes de coordenadas x, y, z los
ángulos a , p y y, respectivamente.
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Funciones de Varias Variables 71
1882
Desarrollo
du du du n du— = — co sa + — eos p eos ydx dx di di
ex ey „ e-cos a + eos B + eos y
Y* 1 J T 9 Y i ; 7 9
ex + ey + ez ex + ey + ez ex + ey + e”
calculando en el punto (0 ,0 ,0 ) se tiene:
du eos a eos B e o s / co sa + cos/? + cosy— = + — + — = -di 3 3 3 3
El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a cero, se llama punto estacionario de esta función. Hallar los puntos estacionarios de las siguientes funciones.
7 7a) z — x + xy + y - A x - 2 y
Desarrollo
dz— = 2 x + v - 4 = 0 r „dx \x — 2: => \ n => p(2,o>8 z , O T O V = 0— = x + 2 v — 2 = 0 u
b) z = jc3 + _y3 - 3 xvDesarrollo
§ - * > - 3 , - 0 ^ p ¡m )
— = 3 y 2 - 3 x = 0 ^ P=(U )dy
c) u = 2y 2 + z 2 - xy - y z + 2x
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72 Eduardo Espinoza Ramos
1883
Desarrollo
dudx
- y + 2 = 0
du- - 4 y ~ z — x = 0 => p(7,2,1)oyCJU
ÜZ2x - y = 0
Demostrar que la derivada de la función z = -— , tomada en cualquier punto dex
9 9 9la elipse 2x* +y~ = c~ a lo largo de la normal de la misma, es igual a cero.
‘ r i ’ j " ■ l > •, *.V ' ■ '■ ; f ■;{. ■ ' ;■ ’ v * 1 i . \ \ •! í ' ' . • i ■ .. . : • ' • J. i ... •
Desarrollo
¿/y 2 x? ? o2x~+ v = c ‘ =>dx y
= tgO
dy 2 vitiLf = — - = = ¿g# => mL( - tgO de donde mZ,jVdx v
1
tgG
mLN = tgatgO
1 + - 4 - ) = tga
2xcosa = sena y
C'Z a-
2 2 + V
oz
+ y
= — cosa h----- senadf dx dv
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Funciones de Varias Variables 73
1884
1885
1886
+ - M - = Q , ^ = 0•y¡Ax2 + y 2 X y ¡ 4 x 2 4- y 2 d t
Hallar el grad(z) en el punto (2,1) si z = x3 4- y 2 - 3xy
Desarrollo
dz~t d z ^ grad(z) = — i 4-— / , calculando se tiene:dx dy
grad(z) = (3x2 - 3>’) i + (3y 2 - 3x) j en (2,1)
grad(z) = 9 i + (-3 ) j = 9 i - 3 j
Hallar el grad(z) en el punto (5,3) si z = yjx - y 2
Desarrollo
oz ! a z -rgrad(z) = — i + — j
dx dy
X/ 1 ygrad(z) = - = = = ■ í — - = = = = j en (5,3)
V* 2 - y 2 y* 2 2 X - y
5 3 1grad(z) = - i - - j = - ( 5 /' - 3 y)
4 4 4
Hallar el grad(u) en el punto (1,2,3), si u = xyz
Desarrollo
dugrad(u) = — i + — j + — k
dx dy dz4.
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74 Eduardo Espinoza Ramos
1887
1888
grad(u) = yz i + xz j + xy A: en (1,2,3)
— >grad(ii) - 6 / + 3 j - v 2 k
Hallar la magnitud y la dirección del grad(u) en el punto (2,-2,!) si
Desarrollo
,. , du 0 «A 01/ 7grad (u) = — i + —- j +
ex cy cz
grad(u) = 2 x / + 2 y / + 2 z A en (2 ,-2 , 1)
grad(u) = 4 i - 4 j + 2 k , su magnitud es: j grr/<7(//) j = Vi 6 + 16 + 4 - 6
ahora encontraremos los cosenos directores
4 4 2eos a = — , eos Z? = — , eos y = ~
6 6 3
2 2 2es decir: eos a = —, eos B = — , eos y = —
3 3 3
vHallar el ángulo entre los gradientes de la función z = ln— en los puntosx
y B (l,l) .2 4
Desarrollo
dz~* dz 1 1grad(z) = — i + -— j = — i + —j
dx cy x y
calculando en los puntos A y B se tiene:
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Funciones de Varias Variables 75
1889
1890
— > — > — grad(z) = -2 i + 4 j , grad(z) = - i + j
( -2 ,4 ) .( - l ,l) 2 + 4 6 3eos üt = - _v 4 + 1 6 .v m V2ÓV2 ^4 0 Vio
COSÉ? ^Vio2 2Hallar la magnitud de la elevación máxima de la superficie z = x + 4y en el
punto (2 ,1 ,8 ).Desarrollo
dz fe ~Tgrad(z) = - L i +-— / => grad(z) = 2 x / + 8 y j en (2 ,1 ,8 )
dx dy ‘•)
>;• ■ V
grad(z) = 4 i + 8 j
La magnitud de la elevación máxima es:
¿g# = (— )2 + (— ) 2 = V l6 + 64 = 8.944 es decir:]¡ dx dy
0 = arctg (8.944) s 83°37’
Construir el campo vectorial del gradiente de las siguientes funciones,
a) z = x + yDesarrollo
dz~> dz~* grad(z) = — i + — j = i + j
dx dy
Luego el campo vectorial es el vector normal a la superficie z = x + y
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76 Eduardo Espinoza Ramos
b) z = xyDesarrollo
¿V $7grad(z) = —- (' + — j = y i + x j
ex ey
Luego el campo vectorial es una familia de vectores normales a la superficie z = xy en el punto P(x,y).
c) z - x ~ + y 2 'Desarrollo
grad(z) = 2x i + 2 y j , luego el campo vectorial es una familia de7 7vectores normales a la superficie z = x“ + v~ en el punto P(x,y)
6J. DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.*
( 7 ) DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SU PERIORES.-
Se llaman derivadas parciales de segundo orden de una función z = f(x,y) a las derivadas parciales de sus derivadas parciales de primer orden.
Para designar las derivadas de segundo orden se emplean las siguientes
notaciones.> i
a ^2O CZ C Z ;( - - ) = —T =7 v 7 ?dx dx dx"
dy dx dxdyv’
análogamente se determinan y se designan las derivadas parciales de
orden superior al segundo.
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Funciones de Varias Variables 11
Si las derivadas parciales que hay que calcular son continuas, el resultado de la derivación no depende del orden de dicha derivación.
(5) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-
Recibe el nombre de diferenciables de segundo orden de una función z = f(x,y), la diferencial de la diferencial de primer orden de dicha función:
i f* ”d2z = d(dz)
y en general^ ¿ ^ d ( d n z )
Si z = f(x,y), donde x e y son variables independientes y la función f tiene derivadas parciales continuas de segundo grado, la diferencial de 2 do orden de la función z = f(x,y) se calcula por la fórmula:
... (1)
E11 general, cuando existen las correspondientes derivadas se verifica la fórmula simbólica
Que formalmente se desarrolla según la ley binomial.
Si z = f(x,y), donde los argumentos x e y son a su vez funciones de una o varias variables independientes, tendremos:
... (2)
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78 Eduardo Espinoza Ramos
Si x e y son variables independientes, d 2x = 0 , d 2y se hace equivalente a la fórmula ( 1)
1891 Hallard2z d 2z d2zdx2 ’ dxdy ' dy
2 2 x y '•, si: z = c j — + —
a 2 b2
Desarrollo
2 2 X v c
Z = C J — + —,- = —a b2 ab
1,1 i 1 ?y¡b~x- +a~y
dzV-‘ W cbx a 2z abey2CX üyj t f x 2 + a 2 y 2
' ,»■ ■ ' ‘ 1 ;Í, ■■..¡i
ax2
! ... / '«((b2x2 + a 2y 2 ) 2
dz : ; ; ‘; ¡ bcx ==>-.2 C7 Z -abcxv
dx ay 1 ,2 2 , 2 2 Jb x + a y''1 1.'
dxdy 3/ 1 2 2 2 2 \o(b x + a y ) 2
dz acy=>
a 2z abex2dy
h \l u 2 2 . 2 2 jb x + a y e>’2 3
/ l.2 2 2 2x7(o x + a y ) z
n2 ^2 ^2-rr ,1 d Z O Z O Z . t / 2 X1892 Hallar — , — - si z = ln(x + y )
dx~ dxdv dyáDesarrollo
z =
az 2 xf -,2 O z 2 ( v - x 2)
dx x2 + y dx1 (X2 4- y ) 2
dz 2 x d2z - 2 xdx 2xz + y dxdy (x2 + y ) 2
dz 1 d2 z!»
1
dy x2 + y dy2 ‘ (x2 + v) 2
= 0 y la fórmula (2 )
••
i1
&r www.FreeLibros.me
Funciones de Varias Variables 19
1893 Hallara 2z
dx dysi z = + y ‘
Desarrollo
= 7 ^7
dzdx
y
d2z
y¡2 xy + y 2
xydxdy -
( 2 xy )2
1894 Hallar si z = arctg(—-—- )dxdy 1 -x y '
Desarrollo
J + V v= arctgV— —) 1 - x y
dz 1
dx 1 + x2
= 0d2z
dxdy
P>2 ___________1895 Hallar —4 , si r = yfx2 + y 2 + z 2
dx*
Desarrollo
dr2 2+ V + Z =>
✓ ^exk 7 * 2 + 7 + z 2
S2r (x2 + _y2 + z2) - jc2 r 2 2
dx2(x2 + V’2 + z 2 ) 2
-¡2o r r
dx2
1896 Hallar todas las derivadas parciales de segundo orden de
u = xy + yz + zx
x" .3
la función
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80 Eduardo Espinoza Ramos
1897
1898
Desarrollo
du d 2u . d2u ,— = y + z => ------- = 1 => = 1dx " dxdy dxdz
”5 2 ->2 ^2cu c u d u o udy dv2 oydx dydz
du d 2u _ d2 u d2u— = y + x => —— = 0 => ------- = 1 ~ -> --------- = 1dz dz~ dzdx dzdy
c uHallar , si u = xa y z r
Desarrollo
u ~ xa yPzy => — - a x a ly ^ z rdx
d ^ U „ ¿/—I B—1 y = a p x vA z'a*dy
5 U j a-\ fí-1 /-I ap yx y h z rdxdydz
d2 7H a l la r ^ , si z = sen xy
cxcyDesarrollo
dzz = sen xy => — = y eos xy
dx
~s2o z eos xy - xy sen xydxdy
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Funciones de Varias Variables 81
d3z
dxdy— - - x sen xy - x sen x - x 1 y eos xy
dxdy'= -2 x sen x y - x y eos xy
1899 Hallar / " ( 0 ,0 ) , / " ( 0 ,0 ) , / " ( 0 ,0 ) si
Desarrollo
f U x,y ) = m(\ + x)m \ \ - y ) n => / xÍ(jc ,j) = o t(o t - 1)(1 + jt)'" 2 (l+ .y)"
/v> ( JC- > ) = m « ( l + a:) " ' ‘ (1 + j O" 1 => / ^ ( 0 , 0
f l \ x , y ) = n(\ + x)m{\ + y ) n 1 => f = n (« - l ) ( l + x)'”(l + j ) " 2
f ‘‘ (0 , 0 ) = n ( n - l )
d 2z <32z .1900 Demostrar que ------ = -------- , si z = aresenA
dxdy dydx
Desarrollo
x - y x — y yz = aresenÁ/—— => sen z = J — -— = J 1 ----
cz y yeos z — = -----p - pero eos z = * —
dx 2x \¡x .y jx -y V *
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82 Eduardo Espinoza Ramos
1901
<*>czex
y y2 x y fx s jx - y eosz 2 x ] ¡ x - y
1
dxdv -4 y ¡ y ( x - y ) 2
(1)
y dzsenz = J 1 - — -z> cosz —
x dyv x - y
dzdy 2\[x y] x - y eos y 2 JJ'^Jx-y
^2 o z
4 yfy(x-y)... (2 )
comparando ( 1) y (2 ) se tiene:d 2z
■',2Demostrar que
c * OSI Z = X
Desarrollo
c)z2 = X = VX
dxv-l O
dxdvxy 1 + y.xy 1 inx
x y ( l + y l n x ) (1 )
tízz - xy => — = x v ln x^2 C7 Z = xy 1 + vxy~l Inx
dy
= xJ 1 (1 f v ln x) (2 )
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I unciones de Varias Variables 83
comparando ( 1) y (2 ) se tiene:->2 .2C Z O Z
dxdy dydx
2 2 X —yI c>02 Demostrar que para la función f ( x , y ) = xy(— - ) con al
x 4- y
complementaria de f(0 ,0 ) = 0 , tenemos /^ , ( 0 , 0 ) = - l , / ^ . ( 0 , 0 ) = +
Desarrollo
¡) s¡ y < 0 ^dx *->o x *-»o x + y
82f ( 0 , y ) } ^ 8 2m 0 ) _ ,dxdy dxdy
dy y->o y v->o x- + y z
d~f(x, 0 ) } ^ g¿/ ( 0 , 0 ) _ 1
dydx dydx
d 2 z d 2z d2z1903 Hallar — - , , — ^ si z = f(u,v) donde u = x2 + y 2 , v = x y
dx2 dxdy dy2Desarrollo
Xu _
yX
dz dz du dz dvdx du dx dv dx
condición
1
= -y
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84 Eduardo Espinoza Ramos
d"z d dz du. d .dz dv— — = — ( — . — ) + — ( — . — )
dx" dx du dx dx dv dx
dz d du du d dz dz d dv dv d dz— • — (— + — •— (— )cu ex ex dx dx eu dv dx dx dx dx dv
ez d~u du d .dz dz d v dv d .dz.— .— - + — .— (— ) + — .— - + — .— (— )cu dx" dx dx du dv dx dx dx dv
Sz Sz8)li ’ 8v
c d z .. d , d z . cu d . dz dv c ( ^ ) = — (— )— + — (— )
oz cu o z cv
— 4--------.—dx cu cu du dx dv du dx -\du 1 dx dudv ex
.. (2 )
c .a d dz du „ ...(— — + — (— )( ) d ,d z . dv ~<2 o z cu o z enni ;
+ -> •dx dv du cv ex dv dv ex dudv dx dv" ex
reemplazando (2 ), (3) en ( 1)
-2_ -,2.. qu ¿)2:Zj¿)u z v ov d2z du d 2z dvo z cz o udx2 du dx" dx
+O * ^du" dx dudv ex cv cx‘+— ( 4'
dx dudv ox O v ex)
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Funciones de Varias Variables 85
I <>04
O zex
f int(w,v)Ax2 + f vv{u, v )y2 + 4xyfjlt(u, v) + 2f v (w,v)
(7 Z 7 r-H} = 4.V f;nt (u,v) + / / , ' ' ( « , v) + 4.ry/TO (m, v) + 2 /u («, v)av
En forma similar para el casoC7 2 CV
O Z O Z CU O C Z OV 2 ^— r + — (— ) * + 2
cj2z du dv dz d 2u dz d2v
dy~ cu" oy dv2 ^+
dy dvdu dy dy du dy dv dv'
( 2 2 U - X “ -f V
cu= 2 y
oydv
— = Xdy
=> <OV2
a 2vcfy2
7Z w
0
^2 O z7 = ^y2fuu(«>v) + (M’,;)+ («> v> + 2 («, V)
2 rll IIdy
en forma similar para el casoa2z
ax-av
5 * = 4xyfl¡u (u,v) + (w,v) + 2 (x2 + j 2 )/„"(« ,v) + (u,v)dxcv
Hallara2 aT TGX
si u = f(x,y,z) donde z = cp(x,y)
Desarrollo
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86 Eduardo Espinoza Ramos
1905
U
X
yz
X
y
dudx
= fx (x, y, z ) + = f'x (*, y , z ) + <p'x (x, y)f'z (x, y, z)dz ex
d 2 u , v du d u dz , d ,dudx dz dx dx dx dz
= f n ( x , y , z ) +du d 2z dz ,d2u dzdz dx2 dx dz2 dx+ t 1 i r r r - + f í (*> y*z))
d2udx2
U u dz du d2z dz= fxx{*>y>z )+ fx z (x>y>z ) - z - + — • —dx dz dx dx dz dx
r" , . -> fU, ^ , du d Zfjcx (*> y>z ) + 2fxz (* ,.y ,z )— + —y ( — ) + — .—y
d x d z d x d z d x
—x=f!L ( y >’>z)+ 2 /c (*> 3’,z Vx (■*. >0+/ i (*> 3, z K 2 (x, y, z )+ f ' (x , y, z)<¡>" (x, y) or
Hallard2z d2z d2zdx2 ’ dxdy ’ dy2
, si z = f(u,v) donde u = cp(x,y), v = v)/(x,y)
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 87
dz dz du dz dvdx du dx dv dx
d"z d .dz du dz dv 8 .dz dux 8 .dz dv.— 7 = — (— .— + — .— ) = — (— .— ) + — (— .— )dx~ dx du dx dv dx dx du dx dx dv dx
dz d .du. du d .dz. dz d .dv. dv o .dz.— . — ( — ) + — . — ( — ) + — . — ( — ) + — . — ( — )
du dx dx dx dx du dv dx dx dx dx dv
dz o u du d .dz. dz d v dv d .dz. . T- + --- .---- (--- ) + ----.----7 + ---- .----(----)du dx" dx dx du dv dx dx dx dv
O)
dz u
V
dzdv
d .d z . d .dz .du d .dz üv d z du d z dv ( -----) = ------( ---- ) ----- + ----- ( ---- ) ---- = ----- -- ---- 4---------- . -----dx du du du dx dv du dx du" dx dudv dx
(2 )
d dz. d dz du d d z .d v d2z du d2z dv— (— ) = — (— ) — + — (— )— ------ .— + — 7 .—dx dv du dv dx dv dv dx dudv dx dv dx
(3)
reemplazando (2 ), (3) en ( 1)
d2z dz d 2u du / d 2z du d 2z dv dz d2v dv d2z du d"z dv— 7 = — .— 7 + — (— 7 .— + -------.— ) + — .— 7 + — (------- .— + — 7 .— )dx" du dx dx du" dx dudv dx dv dx dx dudv dx dv dx
d"z d z ,du. 2 d z ,dv. 2 ~ d~z du dv dz d u dz o v— - = — - ( — y + — 7 (— y + 2 -------.— .— + — .— 7 + — .— 7dx" du dx dv dx dudv dx dx du dx dv dx
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88 Eduardo Espinoza Ramos
1906
1907
en forma similar se obtiene:
d2z d2z du du d2z .du dv dv du. d2z dv dv dz d2u dz d2v+ —TÍ— —T-— •— + — -T-T- +dxdy du dx dy dv dx dy dx dy dv dx dy du dxdy dv dxdy
d2z d2z ,d u .2 d2z .dv^ d2z du dv dz d2u dz d2v= — - ( — y + _ ( _ ) - + 2 -------dy du dy dv dy dudv dy dy du dy dv dy~
Demostrar que la función u = arctg(—) satisface a la ecuación de Laplace
d2u d2u _— + —y - 0dx" dy
Desarrollo
y, du - y d u 2xy— ) => = ------- ----- zz> --------= H------------------x dx x2 + y 2 dx2 (x 2 + )'
du x d u - 2 xy2 . . \
dy x 2 + y 2 dy2 (x 2 + y 2 f
d 2u d2u _ 2xy 2xy _ # d"u d2u _
dx2 dy2 (x2 +>>2 ) 2 (x2 + y 2 ) 2 dx2 dy2
Demostrar que la función u = ln(—) donde r = y j ( x - a )" + \ y - b) 2 , satisface ar
la eeuación de Laplace ^ ^ = 0dx2 dy2
Desarrollo
u = ln (-) = - I n r = - ~ l n [ ( x - a ) 2 + ( v - 6 )2] r 2
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Funciones de Varias Variables 89
1908
= yl(x-a)2+(y-b)2 => <
dr _ , x - a _ x - a
8x J ( x - a)2 + ( y - b ) 2 rc r _ y -/? _ y ~ b
dy J ( x - a)2 + ( y - b ) 2 r
du _ d u dr 1 x - a _ x - adx dr dx r r r2
du du dr _ 1 (y — b . _ y - bdy dr dy r r r 2
d 2u (y - b)2 - (x - a)2
dx1 [( x - a)2 + { y
d 2u _ {y - b)2 - (x - a)2
~dy* ~ [{X~ a )2 + ( y - b ) 2]2
. . . (1 )
... (2 )
d2u d2usumando ( 1) y (2 ) se tiene: — — + — - = 0
dx dy
Demostrar que la función u(x,t) = A sen (a^t + cp) sen A,x satisface a la., . d 2u 2 d2u
ecuación de las vibraciones de la ecuación —— = adt2 dx2
Desarrollo
duu(x,t) = A sen (aXt + (p) sen Ax ==> — = AaA cos(aAt + (p)senAx
dt
= - A a A sen(aAt + q>)senAxd2uXA— = AAseniaAt + cp) eos Axdx
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90 Eduardo Espinoza Ramos
1909
d2 u— - - —AAsen(aAt 4- (p)senÁx dx~
d 2 u c 2a " — ^ = a~ (-AA"sen(aÁt + (p)senAx) = -Aa^Á‘~sen(aAt 4- (p)senÁx - ——
¿br dt
2 - \ 2 CU 1 c ua , 2 2ct ex
( x - X r , ) 2 - H v - R , ) + ( - - - fi ->
Demostrar que la función u(x,y ,z , t ) = 7==r~Te 4ot( 2 a^7Ct)'
( x0, v0, z0 son constantes) satisface a la ecuación de ia conductividad calorífica
cu o <32u d2u d2u — = a “(— r + T T 4 — --)ct dx dy~ dz~
Desarrollo
A (x-xü )■+(>'->•„f+(z- =(,yCl l A Xr
ex 2a2t(2a\!~7rt)
_(-v~4))~ +(.V->,o ): +(¿-~r, )2ó2u e7 4ü7 ( x - x 0 )2 1
2 - 1 1 . T o _ o /CX~ (2 tfV/zt)3 4 a 2/ 2 2¿72r
(-y~4 )) +(v-r0)~+(z-¿..,):= e 2 ( - .yo )2__l_x
c¡>’2 (2aV//7) 3 4 a 2/ 2 2 a 2/
( x - v 0 )2 +(y - v0)- + ( z - z 0 )-d2u _ e ( z - z 0 ) 2 1
& 2 ” ( 2 a j ñ t ) 3 4 a 2/ 2 2a2/
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Funciones de Varias Variables 91
1910
( a - x 0)2+ ( y - y {))2+ (z - z 0)2d2u d2u d2u ^ e_______ ^ (x - x 0 ) 2 + { y - y () f + ( z - z 0 )2 ___3_
d x 2 d y 2 dz2 (layfxt)2 4a212 2a21
(x-Xq)2+(y-y0f+(z-z0)21¡dLu tfu e y x - x ^ f + { y - y (í)2 3^
a W dy2 dz2) ( 4t2 2tM )
(x-x0 )2 +(y-yü); +(z-z0 )2du _ e 4a>‘ , ( x - x0)2 + ( y - y 0)2 + ( z - z0)2 3dt ( 4t2 - ( >
<3w o d2 u d2 u d2 ucomparando ( 1) y (2 ) se tiene: — = a (— - + — — H--—)
dt dx dy dz
Demostrar que la función u = (p(x — at) + V (x + at), donde cp y \|/ son unas funciones cualquiera, diferenciables dos veces, satisface a la ecuación de las
vibraciones de la cuerda = a2dt2 dx2
Desarrollo
du / /u = <p(x - at) + \|/(x + at) => — = -a(p (x - at) + ay/ (x + at)
dt
o u 2 // / \ 2 l¡, X— —~ a (p (x-a t) - \ -a y/ (.x + at)d r
d2u— — = a2^ 11 { x - a t ) + y/!l\ x + at)) ... (1 )dt2
du ¡ /u = cp(x - at) + \\f(x + at) => — = <p (x - at) + y/ (x + at)
dx
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92 Eduardo Espinoza Ramos
d2u n N //: <p' ( x - a O + y' (x + at)
ox2
2 2 / U / x // / xN 7 = ^ (#> (x - tf /) + ty/ (x + tf/))-ZCX
c u 3 uahora comparamos ( 1) y (2 ) se tiene: —— = a “ — --
2 dv
y y1911 Demostrar que la función z = x(p(~) + \j/(—) satisface a
x x
2 d 2z 4 ¿52z t d2z■V —T + 2>y — — + y —- = 0dv2 dxdy dy2
Desarrollo
z = * * K > W (Z ) => ^ = ^ ) _ z ^ (z ) _ 4 ^ (z )X X OX X X X x X
- - - V < V 4 * ' < ¿ > + 4 / < z >+ V < - > + 4 * ' ,'<z >dx~ x" x x -X x x x x x x
dx x x x' x x x
(2)
la ecuación
(1)
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Funciones de Varías Variables 93
1912
(2 )
z = x(p{-) +X X
dz 1 / y 1 , y- = -<p { - ) + -<// ( - )oy x x x x
oy' xx x x
(3)
1 1 11 • 2 d ~ z ^ d Z 2 d ' Zsumando (1) + (2) + (3) se tiene: x — - + 2xy ------- + v — r- = 0
dx2 dxdy ' dy'
Demostrar que la función u = <p(xy) + yfxyi//(—) satisface a la ecuaciónx
i d'u 2x~ - - yox
d2 u
dy= 0
Desarrollo
Sea w = xy, v = — ; u - <p(w) + y/w i//(v)x
U
V
X
yX
Se ha deducido que:
r\2c u d2u ,dw . i d2u dv 2 ~ d2u dv dw du d 2w du d2v T = T-( Y + TÍ ) + 2 ------- •----•---- + ---- •----T- + --- •----Tdx' dw dx dv dx dwdv dx dx dw dx dv dx'
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94 Eduardo Espinoza Ramos
dwII£ ■ yy => < V — —
dx => <dv y
l x.dx2 x2 <
d2 w
dx2 d 2v
= 0
2 yk dx2 x3
u — (p{w) + dw / 1— = p (w) + — = ^ ( v )dw 2 v w
d2w //, x i / ,— - = <2> (w )------ 5-^ (v )34h ’2
u = ^>(w) + Vw ^(v) ® ü = V í r ' , v ) , i ! í _ = £ > )5v ovc?w 2 >/w
5 2m
av= Vw y(v)
Adx2
= >'2((p '(w )---- - 34u ’2
^(v^ + -jy/ñ-y/11 (v) + 2^ -j ^ ( - ^ t ) + 0 +2 v w x"
w y/ (v)x
chr2 //, x y2 , , , y2Jñ J!, , y2V '(v) , 2y^fw y/1 (v)T = y (p(w)-r K y)+— — ^ (v)— ^-r- +3
4w2Vwvvx
_2 a 2M 2 2 , j i t . A ^ ( VK , y 24 w y / n(v): — y = x j ( í ? (m )-------- r - ) + ----------- -- 7 = — + • • • ( * )
(3x - X V W *4w 2
0 0 0 O O Od u d u ,dw\i d~u , dv , ? ^ dv ow di/ d~w du d~v - = ----- ( ---- )“ + ----- ( )" + 2 --------.----.-----+-----•----T- + T - - ---7dy" dw~ dy dv~ dy dvdw dy dy dw dy dv dy
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Funciones de Varias Variables 95
cw/•
3 II
dy= JC
1 V => i V — —
=> \dv 1
l X dy
J
I HII
d2w
d 2v
S y 2
= 0
0
d2u -> d 2u 1 d2u — T = jc — - + — .— - +c y dw2 x2 dv2 2Vvv
d2uy z = x2j f (<pl¡ (w)
dy t;'" x¿ + yy/ (v) (2)
d ¿ ll y 8 ¿ UX
dx'- v
dy'
2y 2y/'(v) ( lyfmyiy (v) yfw X
2 / ^ / (v) + 2 vvy^(v)Vvv yfwx
2 y 2 y / \ v ) | 2 y 2 y / \ v ) _ Q
Vw Vw2 d 2 U 2 d 2 Ux — - ~ y —7dx dy
— 0
1913 Demostrar que la función z = f(x + <p(y)) satisface a la ecuación
dz d2z dz d 2zdx p dy dx2
Desarrollo
z ~ f(u) donde u = x + (p(y)
U
dxCZ c u
-'“N
CZ= f (u)
CU CX Cl l
-\2C
^ /-*.
t í CZ . c ud dzébrcv 5v o» 5i/ du
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96 Eduardo Espinoza Ramos
1914
1915
... (1 )
cz az cudy du dy = f'(u)<p (.y)
$■ = / ( « ) CX
d "~ ,u »CU CXdx2 dx
dz d z du dx2
... (2)
comparando ( 1) y (2 ) se tiene:dz d2z _ dz d 2z dx dxdy dy dx2
Hallar U = u(x,y) si _ qdxdv
Desarrollo
d u(x, v)cxcy
0 integrando con respecto a y
cu(x, y)dxdy
= f ( x ) integrando con respecto a x
u(x,y) = F(x) + G(y)
d2 uDeterminar a la ecuación u = u(x,y) que satisface a la ecuación - j - = 0
Desarrollodx'
dx‘0 , integrando respecto a x
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Funciones de Varias Variables 97
1916
I c> 17
dudx
= p ( y ) , integrando respecto a x
u = x (p(y) + v|/(y) u(x,y) = x (p(y) + \j/(y)
Hallar z , si z = eDesarrollo
_ , dz , dz .Como dz — — dx + — av , entonces se tiene:
dx dy
z - e '-XV
dzdxdzdy
ye XV
reemplazando= xe XV
dz - yexv dx + xexydy = exy (ydx + x dy)_ „xy dz = eAV (y dx + x dy)
r2 ^ 2z • ? d2z d2zd z = — —d x + 2 -------dxdy-\ - d y
dx2 dxdy dy'
dz<?xdzdv
= yeA;v
= xe XV
d2zdx~ d2zd 7 '
d2zdxdy
2 xv7 = y e •
XVx e ■
XV . XV= e • + xye
reemplazando
d Lz = y 2exvd 2x + 2(xyexv + eAV )¿/x¿/y + x exyd Lyxv , xv .2 xv i2
c/zz = exy [y2d 2x + 2(xy + 1 )dx dy + xzd zy] = eA> [(y dx + x ¿/y)z + 2 dx dy]2 12
Hallar <r/2a si u = xyzDesarrollo
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98 Eduardo Espinoza Ramos
1918
,2 d 2 U 2 d 2 U j 2 d 2 U j 2 d 2 u 7 7d u - — ^-d“x + — - d y + -—j d z + 2(— ~~dydz +d x d y ' dvdz
d2udxdz
dx dz Hrd2u
dxdy)
u = xyz =>
du!k
dudy
dudz
xz ,
= xy ,
c?2t<¿)x2-s2O w
ay2
a 2^az2
- o ,
o
o
d2uoycz^2 c> u
dxdz
= X
= y
a2waxay
= z
w w — 0 + O + O + 2 (x dy dz + y dx dz + zdx dy)
9d u = 2 (x dy dz + y c/x c/z + z dx dy)
7 7Hallar c/“z , si z = cp(t) donde t — x + y~
Desarrollo
d2 z i c 2 z d~ zd~z — — — dx + 2 dx dy -i---- — dy"
ax2 cxcy 2cy
dz __ az a/ax dt dx
= (p‘ (t)2 x = 2 xcp (/)
2O z T~Tex
2cp! (t) + 2x(p \ t ) . 2 x Ax2 <p1 (t) + 2(p> (t)
dz dz dt' - y .CV ct cv
(p1 {t).2y = ycp (t)
d 2z
dv2= 2<p!(t) + 2 y y ( t ) 2 y = y 1 <p!‘ (t) + 2(p (/)
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/ unciones de Varias Variables 99
¡919
_ 9
cdxdy dy dx dy
(2 xqJ (t)) = 2 x (p \ t )2 y - 4xyip (l)
d 1 z = (4x2<p (t) + 2cp (t))dx2 + 8 xycp" (t)dxdy + (4y 2 (p‘" (r) + 2cp! (t))dy'
d z = 4 > (t)(xdx + ydy)~ + 2 > (t)(dx + dy )
Hallar dz y r/“z si z = u , donde m = — , v - xy
Desarrollo
. dz , cz . A , dz dz du dz dv v_| 1 v . d z - — d x h dy , donde — = — .------(- — . — = vu + u m u.y
dx dy dx du dx dv dx y
dzdx
= A T ( - V " 1 - + ( - ) " ln ( - ) .y = y ( - r (1 + ln - ) = y ( - ) * (ln e + ln - )y >’ y y y y y y
dz dz du dz dv+
dy du dy dv dyvuv 1 (— + uv ln u .x
y “
X ) + (—) 'v in(—,.xx Á - r ~ ' ( ,y y- y y
CZ= jr(—) (ln(— )) => dz = y ( —)xv ln(— )dx + (x(—)xy. ln(— ))dv
dy y ye y y y ye
d z ^ i - ^ ’lyln — dx + x W — ldy]y y
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! 00 Eduardo Espinoza Ramos
1920
1921
En forma similar para:
-) Y' i* -> Y' Y P Y
d~z = (—) [v~ ln"(— ) + —]dx~ + 2 [ln — -f xy ln(-—).ln(— )]dxdvv * y x y ‘ v ve
+(x2 in2 ( - ) - - ) d v 2V V
7
Hallar d z , si z - f(u,v), donde u = ax, v = by
Desarrollo
az . czdz = — dx + — dy = afu (ii. v)dx + £/¡; (¿z> v)c/v
cbr oy
? , ">• / / /: 2 ♦;■ /■d ¿'z = a^fuu (//, v)dx~ + 2abfm\u , v)dxdy + b fv, (m, v)t/y‘
Hallar si z = f(u,v) donde u - xe} , v = ye'f<"‘¡ n:í} "i ■-■)"! | - jrJ ;• ■ Y ! "i )
i í í
Desarrollo
O ,v?•T « /’ 7 5 ■' y 1 _d ~z = — ~ ¿/a*‘ + 2 — dx dy h— — c/y"
C Y “ OAY V* .........
^ •> ^ ^ '■) . ^ • ' " v
c “z o “z dz/. o d"z d v ■•> d~z cz/ dv cz 6~u dz d '\— (— ) --i------ (— ) -f- 2 ------- .— . — i . — r' ~ydv2 dz/ 2 dx ¿V2 dv dz/Sv clr dv du Sx* dv d\
~ r = ..c, (w. v) 4- r 2fc'“ ' (íf, v) + 2 f 'Uu,y)ye' ey + j u (//. v)(0 ) + (u, i)(0 )6 A “
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Funciones de Varias V ariables 101
1922
~ ~ T = x2e2yf!m ( « , v ) + 2 ye* eyf+ e2x f ' l v) + xev f'„ (u, v) + 0
^2
7 - 7 = fuu(«» v) + 2y e' e> fuv(u> v) + *2'V/vv («»v) + xe fu (">v)CV "
<32z 5 ,3z, . =-~~ir^-) = eyfú(u,v) + xe2yf¡^{utv) + exf^.{u,v) +cxcy cy ex
+ex+y (1 + xy)f¿l(u, v) + (", v)
^ - T = e' fu v’) + xelyfuu («’v) + e*fí («>v) + é>A+'’ 0 + -KV)/„v (M>V) + Ví’2* /^ (M- V)exoy
d 2z = [elyf!m(w, v) + y 2 e2x ff(«> v) + 2v +
+ k 7 « (u, v) + xe2 v (u,v)+exf l (u, v)+ e v +v (1+ xv)/„t («, v)+ ye2x f ' i (11, v)]dx dy( . '
+f-v2e'-v.4 / (">>') + 2 yexe' f yv(u,v) + e2v/ w («•v) + (u,v)]dy2
Hallar d z si eosDesarrollo
-> d t.d~z - (dx— + d v— ) z , desarrollando
ex dv
,3 j 3 o dJz y 2 / -j , , 2 1 3d z - — - í/.y + 3 — -— dx dv + 3------- dx dy + — - dv~dv av qy arqy qv
dz x c z Y c z x— - eos v , — - = £ eos y , — - = e eos veos y , — - = e eos y , — -¿ir ' 8x2 ‘ dx3
-3 -n3O Z v . <7 Z v .
— -— = - e sen y , = - e eos ydx dy cxdy
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102 Eduardo Espinoza Ramos
1923
1924
d i z - ex eos y dx3 - 3ex sen y dxl dy - 3ex eos y dx dy2 + ex eos y dy
3 3 ? 2 3d' z - e x (eos y dx' - 3 sen y dx"dy - 3 eos y dx dy + eos y dy )
Hallar la diferencial de 3er orden de la función z = x eos y + y sen x
Desarrollo
i d 2 z i d2 z d~ z ?d z - — - dx + 2 — — dx dv -\ dy
dx2 exoy dV
z = x eos y + y sen xczdx
eos y + y eos x
d z
dx2-y sen x
dxdy- eos x - sen y
czdv
s e n x - xsen y
^2C
2- - x eos v
oy
d~z - - y sen x dx + 2 (cos x - sen y)dx dy - x eos y dy
Hallar df( 1,2) y d 2f ( 1,2) si: f(x,y) = a:2 +xy + y 2 -4 1 n jc - lO ln y
Desarrollo
dx cy
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Funciones de Varias Variables 103
dx xg / ( U )
dx2 + 2 - 4 = 0
^ y l = x + 2 y J l => ^ = 1 + 4 - ^ = 5 - 5 = 0dy y dy 2
dz = df( 1,2 ) = 0 dx + 0 dy = 0 d f(l,2 ) = 0
d ~ f ( l 2 ) =d f ( \ , 2 ) 2 .
dxÁdx + 2
dxdydx dy +
d / ( 1, 2 ) 2
- 2 +cy
df(x ,y ) dx
cf(x, y) dy
= 2 x + y - ■
a + 2 >>
d2f { x , y )
4 dx2— =>A >c 2f ( ^ y )10 ' — => dxdy; . .
y d2f ( x , y- 2
-
2 +
= 1
= 2 +10
2y
d V i 1. 2 )a*2
a 2/ d , 2 )dxdy
82f(U 2) 2 cy
- 1
_ 9 ” 2
é/2/(1 , 2) = 6¿/a2 + Idxdy + 4.5 dy2
1925 Hallar d 2f i f i , 0 ,0 ), si / (a, y,z) = a 2 + 2 j ’2 + 3z2 - 2a;v + 4az + 2_yzr
Desarrollo
d 2f ( x , y , z) = ( d x f + d y ~ + - ^ - ) 2 /ca cy cz
d 2f ( x , y , z ) = ^ f d x 2 + ^ f d y 2 + ^ f d z 2*v 2 2ov cv dz dxdy dxdz dydzdydz)
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104 Eduardo Espinoza Ramos
c f ( x , \ \ z )dx
df(x ,y ,z )dy
3 f (x ,y ,z )CZ
- 2 x - 2 v + 4;
= 4 v - 2x + 2.
— 6z + 4x + 2 y
d ~ f ( x , y , z )|
a r
8 f ( x , y , z)
ov '
cr f ( x , y, z) dz2
= 2
= 6
d 2f ( x , y , z )dxdy
d f ( x , y, z)dxcz
d f ( x , y , z )
= 4
= 20V<7Z
d~ f ( 0 , 0 . 0 ) = 2dx2 + 4¿/vz + 6dzz -f 2 ( 0 + 4áxc/z + 2 dy dz)
d 2 f ( 0 , 0 , 0 ) = 2 dx2 + 4¿/y2 + 6 <iz2 + 8 dx dz + 4c/v (iz
6.8. INTEGRACIÓN DE DIFERENCIALES EXACTAS.-
Ira. CONDICIÓN DE DIFERNCIAL EXACTA.-
Para que la expresión P(x,y)dx •+• Q(x,y)dy, en que las funciones P(x,y) y Q(x,y) son continuas conjuntamente con sus derivadas parciales de primer orden en un recinto simplemente con D, represente de por si, en el recinto D, la diferencial exacta de una función determinada u(x,y), es necesario y suficiente
que se cumpla la condición.
dQ dF[dx dy
2da. CASO: DE TRES VARIABLES.-
La expresión P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz, en que P(x,y,z), Q(x,y,z) y R(x,y,z) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son funciones continuas de las variables x, y, z representa la diferencial exacta de una función determinada u(x,y,z), en un recinto simplemente conexo D del espacio, y solo
cuando en D se cumpla la condición:
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Funciones de Varias Variables 105
1926
dQ dP dR dQ dP dRdx dy ’ dy dz dz dx
Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son diferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones.
y dx + x dyDesarrollo
(P(x,y)
Q(x,yyX
=> <
dPdydQ
„ dx
= 1
dQ cP -i , x icomo — - = — es exacta entonces 3 u(x,y) tal que:dx dy
du(x ,y) dx
= y , integrando respecto a x
u(x,y) = xy + g(y), derivando respecto a y
du(x,y)dy — x + s (.v)
g (y) = 0 => g(y) = c •. u(x,y) = xy + c
I‘>27 (eos jc + 3x2 y)clx + (.v3 - y i )dy
Desarrollo
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106 Eduardo Espinoza Ramos
1928
cP cQ ‘ x ,como — = es exacta => 3 u(x,y) tal que:dy dx
dw(x,y)dx
7 7= eos x + 3x y , integrando u(x, y) = x + x y + g ( y ) , derivando
di/(x,y) 3 / 3 2- = x + g (y) = 0 (x ,y) — x - y
dy
g 0 ;) = -.v3 => £(>•) = “
3 yu(x,y) = x y vsen x
(x + 2 y)dx + y dy
(x + y)'Desarrollo
P(x, =
Q(x,y) =
x + 2 y (x + y ) 2
=>v
(x +
d P jx X ,dy
SQ{x,y)dx
2 y(x + y)
2_y
(x + y)'
dP dOcomo — = — es exacta => 3 u(x,y) tal que:
dy dx
du(x,y) n x + 2 y— i—— = p = v , integrando respecto a xdx (x+y) '
u(x,y) J; x + 2 y
(x + y) dx+ g (y ) = ln(x + .y) .V
x + y +g(y)
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Funciones de Varias Variables 107
1929
u(x, y) = ln(x + y ) — + g{y)x + y
du(x,y) 1
dy x + y (x + y )A + ¿ (y) = Q(x,y) = y
(x + y)'
x + y - x / y— — T + g \ y ) = — T(x + y ) (X + y ) 2
y + g ' ( y ) = y(x + y)'
g ' ( y ) = 0 => g(y) = cy
u(x,y) = lníjc + y ) 1-cx + y
2 2 x 4-y X 2 + y 2Desarrollo
P =
Q =
x + 2 y2x + y
2x — y2 2 X + V
=> i
6P 2x~ - 2xy - 2y 4dy
dQdx
(x2 + y 2)2
2x2 - 2xy - 2y 2
(x2 + y 2)2
dP dQ _ e x ,como — = — es exacta => 3 u(x,y) tal quecy ex
du(x.y) x + 2y , = P = — , integrando respecto a x
dx x + y
u (x ,y )= f dx + g (y ) = | ln(.v2J x~ + y- 2 y
1 . - 2 , 2 • - Xu(x, y) = - ln(jc + y ) + la rc tg— + g ( y ) , derivando2 y $
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108 Eduardo Espinoza Ramos
1930
1931
6u(x,y) y 2x , 2 x - y— - — = — — ~ — T— T + S — 7
oy x + y~ x + v jc + y
2x - y / 2x - y—— v + s 0 0 = — 5— " tjc + y x 4- y "
=> g (y) = o => g(y) = c
i -) -) xa(x, y) = — ln(.r" 4- y" ) 4- 2arctg{—) 4- c
1 " y
— dx — -~dyv
Desarrollo
ydP i
=> <
Q = y
dy
dQdx y
dP dQ _ . . .como — = -= • es exacta => 3 u(x,y) tal que:
dy dx
= P - — integrando se tiene: u(x, y) = — 4- g ( y ) , derivandodx y y
du(x,y) x ¡ x — = —y + g (y) = Q(x,y) = -—
dy y y
g (y) = 0 => g(y) = c u(x,y) = — f ey
X d x 4- 7= £ = d y
sjx2 + V2
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Funciones de Varias Variables 109
1932
Desarrollo
P =
Q =
477/y
V* 2 + y 2
8Pdy
dQdx
xy
( * 2 + / ) 2
-x y
(x2 + y 2)~2
dP dQ , x 1como — = —— es exacta ==> 3 u(x,y) tal quedy dx
du(x, y ) _ p _ _ x integrando u(x, y ) = ^ x 2 + y 2 + g ( y ) , derivandodx
$ y i x 2 + y 2 x 2 +
g (y) = 0 => g(y) = c u(x ,y ) = \Jx2 + y 2 +!■ t
Determinar las constantes a y b de tal forma, que la expresión
(ax2 + 2 xy + y 2 )dx - (x2 + 2xy + by2 )dy
(x2 + y 2)2
función z, y hallar esta ultima.
sea la diferencial exacta de una
Desarrollo
Q =
ax +2xy + y
(x2 + y 2)2
x 2 + 2xy + by2
(x2 + y 2)2
dPdy
dQdx
2x3 - 6xy2 + (2 - 4a)x2y - 2y 2
(x2 + y 2 )3 2x3 + (4b - 2)xy2 + 6x2y - 2y }
(x2 + y 2 )3
para que sea exacta debe cumplirse que:
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110 Eduardo Espinoza Ramos
2x3 - 6xy2 + (2 - 4á)x2y - 2 y 3 2x3 + (4b - 2)xy2 + 6 . Q ’ - 2>’3cy dx
de dondeí 4¿> — 2 = —6 ífl = - l 2-4úf = 6 ^ \b = - 1
ahora calculamos la función z = u(x,y) de acuerdo a los criterios establecidos
Después de comprobar que las expresiones que se dan más abajo son lasdiferenciales exactas de ciertas funciones, hallar estas funciones.
< . .• • . T 7■ , \ ': j f • i ■■ ;■ ¡ •• ; i y ;■■ - ú-;\ ,
1933 (2x + y + z)dx + (x + 2y + z)dy + (x + y + 2z)dz
Desarrollo
P = 2x + y + z , Q = x + 2y + z , R = x + y + 2z
se tiene: z - u(x, y ) = —x + y
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Funciones de Varias Variables 111
g'y (y , z ) = 2 y + z => g ( y , z ) = y 2 + yz + <p(z)
g lz ( y , z ) = y + <p'(z)
I I 2v + (p (z) = y + 2 z => cp (z) = 2z => (p(z) = z + c
g(y, z) = y 2 + yz + z 2 + c
7 7 7ll(x, v, z) = X~ + XV + XZ + + VZ + Z “ + C
1934 (3x2 + 2 v2 + 3z)dx + (4xy + 2y - z)dy + (3x - y - 2)dz
Desarrollo
P = 3x2 + 2y 2 + 3z , Q = 4xy + 2y - z , R = 3x - y - 2
dP , dQ dR , dP dR „— = — = 4g ; — = — = -1 ; — = — = 3dy dx dz dy dz dx
/ v i 5 m ( x , y , z) es exacta => 3 u(x,y,z) tal que = Pdx
^u(x\-y±z) - i x 2 + 2 y 2 -f 3z , integrando respecto a xdx
u(x,y ,z) = x + 2x;v“ + 3xz + g ( y , z ) , derivando
u i (a , y , ¿) _ + ^ Z) = 0 = 4xy + 2 y - z => g ',(>-,z) = 2 v - zcv
✓
^ Z) = 3* + g í (>-, z) = R = 3x - y - 2oz
g í (7 , z) = - y - 2 => g(y,z) = -yz - 2 z + (p(y), derivando respecto a y
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112 Eduardo Espinoza Ramos
1935
g'y (y, z) = - z + <p' (y) =2 y - z = g' (y,
/ 7 ’(p (y) = 2y => cp(y) = y" +c de donde g(y , z) = - yz - 2 z + y^ + c
u(x, y, z) = xJ + 2xy -f 3xz - yz - 2z + y~ + c
( 2 xyz - 3yr z + 8 xy ~ + 2 ) d x + (x z - 6 xyz + 8 x y + 1 ) d y + (x y - 3xv“ -f 3) d z
Desarrollo
ÍP =
Q =2 xyz
2x~ z
r - 3 y 2z + 8 .vv2 + 2
6 xyz + 8 .v“ y +■1
dPdv
cQ
- 2xz - 6 yz +16xy
_ i xz - 6 vz +16xyf x
ap cooy ex
P = 2xyz - 3 y z + 8 xv“ + 2
(2 = x 2 y - 3xv’2 + 3
apozap
l CX
2 xv - 3 v“
= 2 x y -3 y
a p apcz ax
Luego es exacta => 3 u(x,y,z) tal que:
du(x,y\z)dx
7 7= P - 2xyz - 3 y“z + 8 xy“ + 2 , integrando
w(x, y, z) - A'2 yz - 3xv2z + 4x2 y2 + 2x + g(y\ z ) , derivando
^ C i Z i í l = X2Z _ 6 xyz + 8 x 2 y + g v (y, z) = O = x 2z - 6 xyz + 8x2y + 1 dy
g (y \z ) = 1 => g(y,z) = y + cp(z) de donde g z(y ,z ) ^ cp\z)
du(x,y ,z)dz
= x“y - 3xy + yy (y, z) = P = x y - 3xv" -i- 3
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Funciones de Varias Variables 113
1936
g'z(y,z) = 3 de donde g'z(y,z) = tpl ( z ) - 3 => <p(z) = 3z + c
g(y,z) = y + 3z + c
u(x,y,z) = jczj>z-3Ayzz + 4jt >> + 2x + .y + 3z + c
(— — y + ( - — y )d y + ( - - -y)í/zy X z y x Z
Desarrollo
P = —
Q = —
R
Q = —
R = —
P = -~
1 z 1$ II 1 1y => <
ay /i X dQ iz '7 dx y21 y I
5S2L i
X z 2:=> 8y< z 2
1 X dQ 1z "7 . dz z2
1 y dR 1X z2 ==> < dx x21 Z dP 1y X2 dz x 2
dP = dQ dy dx
dR dQdy dz
dR dPdx dz
es exacta => 3 u(x,y,z) tal que ’ = P = - — integrandodx y x
X zu(x,y , z ) = —+ —+ g ( y , z ) , derivando
y x
e ,
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114 Eduardo Espinoza Ramos
1937
/ I ygv(y,z) = - =>
g lz {y ,z ) = - ^ j + ( p l (z)Z
= = , ¿ w - J L
CZ X X z z
"17 / y Mi* $ w yLuego — - + ^ / ( z ) = — Y => (p(z) = c => g ( > \ z ) = - + c
z “ Z z 2
/ x x z yu(x,y ,z) — — l----i he
xdx + y dy + zdz
V* 2 + >'2 + 2 2i
D esarrollo
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Funciones de Varias Variables 115
1938
Ryjx2 + y ’ + z 2
X
+ z ‘
dRdx
dPaz
■xz
(x + >’~ + z“ )-xz
=> cRex
dPdz
(x2 + V2 + Zz )3
2 \ ?
entonces es exacta => 3 u(x,y,z) tal que
í/m(x,y,z) = dyjx2 + v2 + z 2 , integrando w(x,y, z) = ^/x2 + y 2 + z 2 + c
Se dan las proyecciones de una fuerza sobre los ejes de coordenadasv ’' 1 ' AxX - — :— - , Y = ------ 1—- , donde X es una magnitud constante ¿Cuál debe
(x + y) (x + y)} ’• í y , ; ' . i' . i " + i {• 1 i jy ' ■[. ,»• •?.'*» ;Vf
ser el coeficiente X; para que la fuerza tenga potencial?
Desarrollo
Consideremos dF(x, y)y ' í x
ax 3----------- dy(x + y ) 2 ( x + y ) 2
Donde
P
Q
y(x + y)
Ax
(x + y y
=>
dPdy
dQdx
x - y(•V + v ) 3
(jc + j )3
5P dQPara que sea exacta debe cumplirse que — = — es decir:
8v dx
- Á ( x - y ) = x - y
(x + j ) 3 (x + y)'=> X - - l A — - 1
1939 ¿A qué condición debe satisface la función f(x,y), para que la expresión f(x,y)
(dx + dy) sea una diferencial exacta?
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116 Eduardo Espinoza Ramos
1940
Desarrollo
f(x,y) (dx + dy) = f(x,y)dx + f(x,y)dy, donde
P(x, y) = f ( x , y ) Q(x,y) = f ( x , y )
cPdy
oQdx = f x (x>y)
para que sea exacta debe cumplirse que:d P _ c Qdy dx
Luego la condición que debe cumplirse es f x (.y , y) = f v ( .y , v )
Hallar la función u, si du = f(xy) (y dx + x dy)
Desarrollo
du = y f(xy) dx + x f(xy) dy, de donde
P = y f (x ,y ) Q = x f (x , y)
8P8y
oQ„ dx
= f ( x y ) +
= f ( x y ) + (xy)
Luego — = —— es exacta entonces como du = f(xy)(ydx +xdy) = f(x,y)d(xy)dy dx
Integrando el 1er miembro con respecto a y, y el segundo miembro con respecto a xy.
d u = \f (xy)d (xy) + ch =í*xy
u = I
i -
f (t)dt + c , donde t = xy, a constante
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Funciones de Varias Variables 117
6.9. DERIVACIONES ÜÉ FÜNCIÜNteÍ IÍÉ ÍÍf(:ifÁ S>
ler. CASO DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE.-
esta función f y (x,y) * 0 , se puede hallar por la fórmula — = - L í ^ l Z .2 jas
Sea f(x,y) = 0 una función diferenciable de las variables x e y, la derivada de
'idx f y ( x , y )
derivadas de orden superior se hallar por derivación sucesiva de la fórmula dada.
2do. CASO DE VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES.-
En forma similar si la ecuación F(x,y,z) = 0 donde F(x,y,z) es una función diferenciable de las variables x, y, z, determina a z como función de las
variables independientes x, y, y: Fz (x ,y ,z ) * 0 ; las derivadas parciales de esta
función dada de forma implícita puede hallarse por la fórmula:
' dz _ F¿(x,y ,z) dz _ Fy(x ,y ,z)
F ' (x ,y , z ) ’ FÍ(x ,y ,z )
otro procedimiento para hallar las derivadas de la función Z es el siguiente: diferenciando la ecuación F(x,y,z) = 0, obtenemos
8F 8F 8F— dx + — dy + — dz = 08X 8Y 8Z
de donde puede determinarse dz, y por consiguiente:
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118 Eduardo Espinoza Ramos
3er. SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.-
, ÍF(x,y,u,v) - 0Si el sistema de dos ecuaciones < determinar y y v funciones
[G(x,y,w,v) = 0diferenciables de las variables e y y el jacobiano.
dF dFD(F,G)D(u, v)
las diferenciales de estas funciones se pueden hallar de las siguientes ecuaciones:
dF , 3F J dF dF dF J A— dx + — dy H------- 4- — du H-----dv = 0dx dy dz du dv
dG J dG , dG dG dG J A— dx + — dy-\ dz + — du + —-d v = 0dx dy dz du dv
4to. FUNCIONES DADAS EN FORMA PARAMETRICA.-
Si la función diferenciable Z de las variables x e y se da en ecuaciones
paramétricas X = x(u,v), Y = y (u ,v ), Z = z(u,v) yi • i ; - j ' , { '* . " ; f | . , - . t , ■
diferencial se puede hallar el sistema de ecuaciones:
dx dxD(x ,y ) _ du
* 0D(u,v) dy dy
du dv
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Funciones de Varias Variables 119
1941
1942
conociendo la diferencial dz = p dx + q dy hallamos las derivadas parciales
- - P . - . Qex cy
x2 2 dvSea Y una función de X, determinada por la ecuación — + — = 1 . Hallar — ,
a b~ dx
d~ y d 3y
dx2 dx3Desarrollo
2 2Sea f ( x , y ) = 2 - + Z - - 1
a Ir
f í ( v . y) = —7 , f í ( x , y) = -¿-a~ o
2xdy _ f í e y) = _ y _ _ _ _ ^ £A- / , W ) 2 y rt-v
6 2
dyd y = d_ dy__ d fe2x = ¿>2 y dx_
dx2 dx dx dx a 2y a2 y 2
ib“x
T ? , 7 / 2 » 2 0 I 2 f2 »2 2 / 2 , 4d~v _ b a b~ a y ~ + b x d~y _ b a b b——y — — ( 2 4~* í ■ j 2 ~ 4 3 ' — 2 3¿Zx a~ y a y dx a y a y
d y d , d y . d b 3b dv d y 3b b x 3b x — - ( —) = — (-----------------------1- Z=> — — = ------- (-------- ) = ----------/ 3 / v ^ ' J v ? 1 1 *> 4 j | 3 2 4 v 2 7 4 sz/jc' d!x: í/jc dx a y a~y dx dx a y a y a y
Sea Y una función determinada por la ecuación .r2 y- y 2 + 2 axy = 0 (a > 1).
d 2yDemostrar, que — y = 0 y explicar el resultado obtenido.dx~
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120 Eduardo Espinoza Ramos
1943
Desarrollo
-> iSea / ( x , y) - x~ + y" -+- 2axy
f ' (x, v) = 2x -t~ 2ay , / (x. y) = 2y + 2ax
c/v 2x -f 2av x + ay dy x + ay2 y + 2ax v + ax dx y + ax
dx\ , w dr. ,2 , ( y + ax)(1 + a — ) -- (x + av){ a + )d y = d (x + ay = _ v_ __ (/.Y dx_dx2 dx y + ax (v + ax)'
1wi ax + a~ \ \ x + c/v .
7 ( y + ¿?x)(1------------------) - (x -f ay)(a----------- —)d~y ' y + ax y + ax
y ~ 7dx" ( v’ + ax)~
2 > (-V + ay)(a, i ( y - a v ) ------------------------------------------ — --------------------------------------------------
d~v Y + ax, -> 2
í /x “ ( v + ax)~
d " v (¿T - 1 )[(>' + ax) v + x(x -f ay))
dx2 ( y + ax)3
d 2 v (a2 - 1)[ y2 + x2 + 2tfxy] ia~ - 1) d~y- - ( 0 ) = 0 . Luego — ~ 0¿/x2 (y -fax)2 (y + ax)' dx
Hallar — si y = 1 + yx dx
Desarrollo
/(x , v) = 1 + / - v => f x (x, >0 = y x ln x
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Funciones de Varias Variables 121
1944
1945
f U x , y ) = xyx- ' - i
dy f x (x ,y) v ' ln -v >’' lndx f y ( x , y ) 1 - 1 1 -A y ' 1
TT tl dy d y .Hallar — y — — si y = x + ln y
dx dxDesarrollo
f(x,y) = y - x - l n y => 1
f i f \ i 1 y ~ l f v(x ,y) = 1 — = ------y y
dy fí(x,y)- 1 y
dx fí(x,y)Z z l y -1
dy dy y - t </2>’ _ f* ( J; ) - dx 7 dx = y d 2y _ 1
í/x2 dx >’- 1 (.y-l)2 ( y -O2 dx2 ^ (^ “ 0
Hallar ^dx
d 2v
x=\ dx2si x 2 - 2 x y + y 2 + x + y - 2 = 0 utilizando los
A - l
resultados obtenidos, representar aproximadamente la gráfica de esta curva en el entorno del punto x = 1 .
Desarrollo
/ (x, y) = x2 - 2 xy -f y2 + x + >> - 2
f í ( x , y ) = 2 x - 2 y + l , f y (x ,y ) = 2 y - 2 x + \
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122 Eduardo Espinoza Ramos
1946
dy fx (x ,y ) 2x - 2y + 1 2— = — = -------------------para x = 1, v - v = O, y = O, y = 1dx f v (x,y) 2 y - 2x +1
paradx
— 36 — 1V = 1
d 2 y d 2 .Y -2 y + l -8 d 2 v' = — ----- --— 7)dx2 dx 2 y - 2 x + \ ( 2 y -2 x + l)3 dx4
= 8 6 - 8
A' —l
V i 1 yx + y~ = arctg — (a * 0 ).x
dy d^y Hallar — y
dx dx~Desarrollo
2 2 ySea / ( y) = — ln(x 4- y " ) - a.arctg —2 ' x
« ( - 4 ) ,x v- x + ay
f l ( x , y )
1 1 x + y
i
l+71
1 1 j c " + y
y. . . . . . . . 4 ..................
y - a x
2 1 1 1 1 x y , v y" + y~ 1 + - o
. Y “
x + ay
= f í (*> >’) = x 2 + / = x + ay
* / VW ) Z z ^2 , 2X + y
d 2y _ d x + ay^ _( + l)(x 2 + y 2)dx2 dx a x - y (a x - y ) 3
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Funciones de Varias Variables 123
2
1947 Hallar y L X si 1 + xy - ln(e 'v + e_Jev) = Odx dx2
Desarrollo
Sea / (x , y) = 1 4 xy - ln(eAV 4 e xy)
z ye™ - ve xy yexy + ve xv - yexy 4 ye xy 2xe xf x (x, y ) = y ~ * ' *
exy 4 e xv e rv 4 e xy exy 4 e~
dy _ f x ( * , _ ydx fUx,yx
d 2y d v 2 y<¿r c/v .x x 2
ID48 La función Z de las variables x e y se da por la
x 1 4 2 y3 4 z 3 - 3xyz - 2 y 4 3 = 0 . Hallar — y —ex dv
Desarrollo
■ •>' , •> dz dz , 7 v dz3x~ 4 3z" ----- 3 y v - 3xy — = 0 => (z^ - xv) — = vz -- xex ex ex
7 2ez yz - x v - yz7 7
ex z “ - x v x y - z ~
6 y2 4 3z~ — - 3xz - 3xy — - 2 = 0 => (3z2 - 3xv) — = 3xz - 6 y"dv dy " dy
dz 3xy - 6 y 4 2 _ 6 y" - 3xy - 2 dy 3z2 -3 x y 3( x y - z 2)
A'V
ecuación:
4 2
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124 Eduardo Espinoza Ramos
1949
1950
TT dz dz .Hallar — y — si x eos y + y eos z + z eos x = 1
dx dy
Desarrollo
x eos y + y eos z + z eos x = 1
dz dzeos v - v sen z — + eos x — - z sen x = 0
e x CX
dz(eos jc - y sen z)-^- = — eos y - z sen x
ex
dz _ - eos y + z sen x _ z sen x - eos y dx eos x - y sen z eos x - v sen z
dz dz-x sen z + eos z - y sen z -----h eos x — = 0
dy dy
dz dz x sen y - eos z(cosjc- y s e n z ) — = x sen y - eos z
dy dy eos x —y s e n z
9 CZLa función Z viene dada por la ecuación x2 + y “ - z - x y = 0 . Hallar — y
ex
dz— para el sistema de valores: x = - 1, y = 0 , z = 1 .dy
Desarrollo
r, dz n _ dz y - 2 x 2 x - 2 z y = 0 => — = ---------
dx dx —2 z
CZpara x = - 1 , y = 0 , z = 1 , — = - 1
dx
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Funciones de Varias Variables 125
1951
^ ~ dz x — 2 y2y — 2 z ------- x = O => — = ---------dy dy - 2 z
\ n 1 dz 1para x = 1, y = O, z = 1, — = —2
dz cz d z d z . x y zH a lla r— , — , — 7 , si — + — + — = 1
ex dy dx dxdy a b c
Desarrollo
2x 2z dz dz c2x_ + _ — = o => — = — —a c dx dx a~z
dz c2x 22 Z - X 2 z +
d z _ c í dx \ _ c / a z .2 _2 _2 ' 2 ' _2ck" 0 z 0 z ‘
2 2 _2 2 2 2 22/ 7 2 2\c z _ c , 0 2 + c x ^ _ c , 0 c (b —yá 2 ~ T* 3 ' “ ~T* , 2 3 ” 'ex a z a b z
= S ( £ z y ~ \8x1 a 2¿>2z 3 W z 3 '
2 y 2 z dz . & c2 y— = 0 => — = ----- -f-b c dy dy b~z
d 2z c4 (a 2 - x 2) dy2 “ a 2d 2z 3
d2z c2x= ± ( * ) = ± ( dy dx dj> a 2z
0 - x
) = — r(-0
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126 Eduardo Espinoza Ramos
1952
1953
d 2 z = c 2 ( b 2 z > = c 4 x y
d x d y a 2 z 2 a 2 b 2 z 3
f(x,y,z) = O demostrar que = -1d y d z d x
Desarrollo
d x J y X . y ) d y _ f í ( x , y ) & _ _ f x ( x , y )
¿y / ; ( * , .y) & /;(x ,.y ) av / r (x, y)
— ?y. — ~ ( f y ( x , y K f í ( x , y ) Z i lh z l ) = _ ia / a z ' a * / / ( * , v ) / ; ( x , y ) ' / . ; ( x , y
Z = cp(x,y) donde y es función de r determinada por la ecuación y(x,y) = 0. d z
Hallard x
Desai rollo
d z * d z (y*"* d v— calcularemos por la formula siguiente: — = — + —d x d x d x d y d x
d z , , , , / , w V/X(x,y)— = <pK(x, y) + <pv(x,y)(---- 7 )d x y/ ( x , y )
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Funciones de Varias Variables 127
1954
<C<X>') <p¡y (x, y )
¥ y {x ,y )
v)
Hallar dz y d 2z, si x2 + + - a 2
Desaíro!!'mmmmmmmmmmmmrnmmmmmmaa» m
dz I'd z = — dx + — í/y donde V
ex oy ex F dv F
i iSea F(xsy , z ) = x~ + y “ + z ' - a~ entonces: Fx = 2x , Fv = 2y , FJ - 2z
cz .v cz v x yLuego — - — - , — - . Entonces: dz = — dx - — dv
ex z ay z z z
->2 >2 "> a z ") c z o z od ‘ z = — r/x' + 2 —— dx dv + - dy donde-v 2 * -s 7ex” oxoy cy~
dzc
- CX
X -f X
CX2 2 X + Z~ C
P-r 2\ y-,2 Z + -— 2 2 2c z cv - ■ v + z x — a- . 2 2 2 CV Z Z
d2z d . x x x v t _ = — (— ) = — V? luego se tiene:dxdy dy z z3
2 2 7 2 2V - a 2 2 xv , , x - a 2dz - I d x — CX c/v H Cjv¿i z z
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128 Eduardo Espinoza Ramos
1955 Sea Z una función de las variables x t y determinadas por la ecuación9 9 9 y
2x" + 2 y + z - 8 x z - z + 8 = 0 . Hallar dz y d z para el sistema de valores:
x = 2 , y = 0 , z = 1
Desarrollo
Sea F(x, y, z) = 2x2 + 2y 2 + z 2 - 8 xz - z + 8
Fjr'= 4 x - 8 z , F' = 4y , / z = 2 z - 8 x - l
& /y 4x - 8 z cz 4 ydr FL 2 z - 8 x - l cv F_ 2 z - 8 x - l
, dz . cz , 4 x -8 z , 4>y ,az = — ax h dv = ----------------a x ----------:-------ay
dr <3y 2 z - 8 x - l 2 z - 8 x - 1
para x = 2 , y = 0 , z = 1 se tiene dz = 0
'v 2 ^2 ^2i C Z n C Z C Z o
é/'z = — -dx" + 2 -------dxdy-i— — í/v'dx1 dxdy '
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Funciones de Varias Variables 129
d 2z _ ^ d z d 4 x - S z dxdy dy dx dy 2z - 8x - 1
para x = 2 , y = O, z == 1, — = O, — — = 0 , d 2z = — (dx2 +dy2)dy dxdy 15
1956 Hallar dz y d 2z , si ln z = x + y + z - 1 ¿A qué son iguales las derivadas
primera y segunda de la función Z?
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = l n z - x - y - z + l ddonde Fv = - 1 , F !y = - 1 , F'z = — -1
dz dz dz F —1dz = — dx + — dy donde — = — ^ = —-----
dx dy dx Fzz
5 z _ z _ z dz _ zdx 1 - z z - 1 dx z - 1
dz _ Fy _ - 1 _ z
dy FÍ I _ i Z _ 1
dz = — r— ¿/x---- — dy = —— (dx + ¿/y)z - 1 z — 1 1 — z
2 C'2Z 2 ^ 2z i / ^ 2Z j 2d z - — - c/v + 2 --------- dxdv + — r-rfydx2 dxdy " ay2
(2 z - 8 x - 1X-8 ~ ) - (4x - 8z)(2 — )______________ qr_____________ dy
(2 z —8 x - 1)2
í / 2 z = — - — r (d x 2 (1- z ) 3
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130 Eduardo Espinoza Ramos
1957
1958
O 7 9Sea la función Z dada por la ecuación x~ + y + z“ = <p(ax + by + cz) donde cp
es una función cualquiera diferenciable y a, b, c constantes. Demostrar que:
(cy - b z ) — H (az - ex) — = bx - ayx dy
Desarrollo
i 2x~ + y~ + z - (p(ax + by + cz)
dz dz dz l x -a (p '2 .V + 2 z — = <p'[a + c — ]
dx dx dx ccp'-2z
_ . dz dz dz 2 y - bcp'2 y + 2 z — - (p [b + c. — ] ^ r
dx dy dy c(p'~2z
d~ d**(cy - b z ) — + (az - cjc) — - bx - ay
dx dy
. w2 x — a(p\ , 2 y — b(p\ 2ayz - 2bxz + bcxcpaccp ' y(cy - feX ----— - ) + («- - crX =-— ------------7 V ---------- “c(p — 2 zc<p - 2 z —
- 2z ay Z + c<p VZ Z aA = (2 z -c^ ')(a> '-fev ) = bx _ avc(p'—2z c c p 2 z
Demostrar que la función Z, determinada por la ecuación F(x - az, y - bz) = 0 donde F es una función diferenciable cualquiera de dos argumentos
dz dz , a — + b — = 1
dx dv
Desarrollo
Sean u = x - az , V = y - bz
dF dF du ^dx d u dx
= F 1 - FU II
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Funciones de Varias Variables 131
1959
°IL - — — - f i -dy dv dy ' '
dF dF du dF dv ¡ cF ¡— = = Fu.{-a) + Fv (-b) ^ — = -aFu - b F vdz du cz dv cz cz
dz F ' Fv/
¿y Fi-(aF'+bFÍ) aF,í+bF'
dz u 8z aFu bF' aFu + bF'a — + b — = — — - + ----— 5— 7 = — --------- V = 1
dyaFu + bF' aFu + bF' c,Fu +bFv
dz . dz a v b — = 1
dx dv
n /x y , * _ dz dzF( — ) - 0 . Demostrar que x — + y — = z
z dx dyr r
Desarrollo
Sean u = — y v = — como F (—,—) = F(u,v) = 0 z z z z
cF dF du _/ 1 cF= F . .~ =>
dx du ex “ z dx z
dF cF dv , 1 dF F'= F - => -
dy cv dy z dy z
dF _ d F du ^ dF dv cz du dz dv dz
=> ? ¡ r — \ r f + yF!)dz z z cz z
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132 Eduardo Espinoza Ramos — q
1960
dz F' zFu dz Fy zFv
dx F xF' + vF 1 cu F xFf + vF: u -' V z u ~ v
_ dz dz xzF yzFvLuego x hv — = + — 1— -—
dx ' dy xfu + */<; + }f\
dz dz xF + vF.,x — + y — = Z ( 1------- ) = Z
ex cy xFu +yFv
Demostrar, que la función Z, determinada por la ecuación y = x <p(z) + vp(z)
., d 2z dz 2 dz dz d2z d 2z dz 2 Asatisface a la ecuación — - ( — ) - 2 — .— .-------- f — - ( — ) - 0
dx cy ex cy cxcy dy ex
Desarrollo
dz _ <p(z) dz _ 1 í t ^— IZ> — - ... ( 1)dx x(p\z)-\-y/\z) cy x(p\z) + y / \ z )
d 2z = 2 <p(z)(p >(r)[x ^ '( -) + W '(z )] - (z )[-Y "(-) + V "(■z )3
ex2 [x(p\z) + y / \ z ) f(2)
C~Z X(p'Xz) + i//"{z)
dy2 [x (p\z) +(3)
d 2z <p(z)(.xtp "(z) + y/ "(z) - (p '{z)){xcp ’(z) + '(z))3dxdy
de (1), (2), (3) y (4) se tiene que:
d 2z t d z ^ dz dz d 2z — T (— )- - 2 — .— .------- + — T (— ) = 0ex dy dx dy dxdy ‘
(4)
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Funciones de Varias Variables 133
1961 Las ftmciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de
ecuaciones x2 + y 2 - z 2 = 0 , x 2 + 2y 2 + 3z2 = 4 . Hallar — , — , — ydx dx ’ dx1
d 2 z n 1— — para x = 1 , y = 0 , z = 1 .dx
Desarrollo
Diferenciando las dos ecuaciones se tiene que:
2x dx + 2y dy - 2z dz = 0, 2x dx + 4y dy + 6 z dz = 0
despejando z dz y reemplazando en la otra ecuación
8 dz = x dx + y dy => x dx + 2y dy + 3(x dx + y dy) = 0
, dy Ax4x dx + 5y dy = 0 => — = -------
dx 5 y
dypara x = 1 , y = 0 , z = 1 => — = o
dx
dy , 4x"d 2y 4 y ~ x Jx 4 ' Sy 4 5y 2 4x2
dv2 5 v2 S l y 2 ’ /
d 2 ypara x = 1 , y = 0 , z = 1 => — — = oo
dx
despejando y dy y reemplazando en la otra se tiene:
y dy = z dz - x dx => x dx + 2z dz - 2x dx + 3z dz = 0
dz x5z dz = x dx
dx 5 z
rx i dz 1para x = 1 , y = 0 , z = 1 => — = —dx 5
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134 Eduardo Espinoza Ramos
1962 Las funciones Y y Z de la variable independiente x se dan por el sistema de
ecuaciones: xyz = a, x + y + z = b. Hallar dy, dz, d 2y , d 2z
Pesarroilo
Diferenciando a la ecuación xyz = a se tiene:
xy dz + xz dy + yz dx = 0 ... ( 1)
Diferenciando a la ecuación x + y + z = b se tiene:
dx + dy + dz = 0 => dz - - dx — dy ... (2 )
reemplazando (2 ) en ( 1) se tiene:
yí -r — y)xy(-dx - dy) + xz dy + yz dx = 0 de donde d \ - :— —— dx . . .( a )
x ( y - z )
de dx + dy + dz = 0 se tiene dy = -dx - dz ... (3)
reemplazando en ( 1) se tiene: xy dz + xz (-dx - dz) + yz dx = 0
de donde se tiene: dz = —— dx ... (B)x ( y - z )
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Funciones de Varías Variables 135
I '>63
, cz cz 8y cy ozP,2 „ (z + x ■— - y - - - z ~ ) ( x y - xz)~ (xz - yz)(x-y- + y - x - — z) f > dx av (’Y____________________ av_______av____- 2 2, x2e x x ( y - z )
d 2z a [ ( x - v) 2 + ( y - z ) 2 + ( z - x ) 2] .— ~ = — r~ - , de las ecuaciones (a) y (p) se tiene:
L . j i \ j
e x X (> ’ - z)
ov . o y _ .—- = 0 , —— = 0 luego tenemos:d z dz~
d 2y = ^y-jdx2 = — r— - [ (x - y ) 2 + (y - z ) 2 + (z - x ) 2 ]¿/x2dv x ( y - z )
d 2z ~ ~~y~ydx2 = — — — y [ ( x - y ) 2 + ( y - z ) 2 + ( z - x ) 2 ]dx2 d x “ x ( y - z )
Las funciones u y v de las variables independientes x e y, se dan por el sistema
de ecuaciones implícitas:du du d2u d2u d2u dv dv d2v d2 vdx ’ d y ’ d x 2 ’ d x d y ’ d y 2 * d x ’ d y d x 2 d x d y
d “ v— - , para x = 0 , y = 1.d y “
D esarrollo
Diferenciando la ecuación u = x + y se tiene: du = dx + dy ... (1)
diferenciando la ecuación uv = y es decir: u dv + v du = dy ... (2 )
yreemplazando (2 ) en ( 1) se tiene: ( t + y ) d v 4 de donde
x + y
X vd v = d y ---------1— - d x de aquí se tiene:
(x + _v) (x + y)
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\
13 6 Eduardo Espinoza Ram
dv y j dv x-— = — - a x , — = --------- de dondedx (x + y)~ dy (* + >•)
c"v 2 y d 2v 2x
dx2 (x -f y f dy1 (jc+ y ) 3
. i
8 v y - x , du Bu = ademas — = 1, — = 1. Luego:dxdy (x + y ) dx
d~u _ o~u . dru— - = 0 , — - = 0 , = 0 para x = 0 , y = 1 tenemos que:dx dy2 dxdy
du . du .d2u d 2u , d2u . , dv ,„ 1 . — = 1 . — 7 = 0 , — = 0 , — - = 0 , — = - 1 , — = 0 , — = 2 dx dy dx dv' dxdy dx dx'->2 ^2 ° V - A ° V= o ,
dy dxdy
1964 Las funciones u y v de las variables independientes x e y se dan por el sistemé2 ?
de ecuaciones implícitas: u + v = x, u - y v = 0. Hallar du, dv, d"u, a v .
Desarrollo
Diferenciando u + v = x => du = d x - dv •••(!)
Diferenciando u - yv = 0 => du - y dv - v dy = 0 ... (2)
Reemplazando (1) en (2) se tiene:
1 . v , , dv 1 dv vdv d x ---------dy de aquí se tiene:Y V » V V 4 V * * t - X V V i v í y ^
y + 1 y + 1 ' dx y + \ dy y + 1
" ) y
o" v o 'v 2 v 1luego: — - = 0 , — - = , —— = -----------y
dx' d y (v + 1) cxdy (v + 1)
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Funciones de Varias Variables 137
!% 5
reemplazando en ( 1) se tiene:
, y ,v , du y vdu = dx + dy , de aquí se tiene: - -
y + 1 y + 1 ' dx y + \ dy y + \
d2u „ d 2u —2 v d2wLuego: -7 - 7 = 0 , , 9 ,
ox 0 + 1)“ SxSy (y + lV
Reemplazando estos valores en:
,2 C U , 2 ~ O U O U 2d~u = — -úfjc + 2 ------dxdy + — - d y1 o . . ¿ex dxdy " dy1
j 2 2v 2d 11 = ----------- — dx d y dy y en d~v es decir:Cv + i)- (v + 1)
~,2 í>2 2 , n o y , 9 c v , , o v , ■>d~y = — — ax“ 4- 2 ox c/y + — 7 ay“
cv“ 3x5y ' dy-
d 2 y - - ------ -— 7 c/.x Jy 4 ——7 dy2(y + \ y ' (y + i y
Las funciones u y v de las variables x e y se dan por el sistema de ecuacionesx tt 11 cu du dv dv implícitas: x = cp(u,v), y = \|/(u,v). Hallar
dx dy dx dvDesarrollo
Diferenciando las ecuaciones es decir:
dx - (pudu 4- <pvdv •*•(!) dy - y/"du 4- y/vdv ... (2)
dx-(p dude ( 1 ) despejamos dv = -----
<Pv
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138 Eduardo Espinoza Ramos
1966
i t • ' i / / 7 ^ — (Pndllreemplazando en (2 ) se tiene: ¿/v = y / u d u + y / v d v = y Hd u f (--------- —— )
^ '/(v = (<3,V;i - ) < / « + = > du = — — — — + ;■ v"rf>.— - (3)<PvVu -Vv<Pu <P‘vV U - V V<P,,
!
de donde — = — r;Ho.v ’ dv <p!vy/'u - y / v<p:u
reemplazando (3) en dv se tiene: í /v = --------— :— -í/,y + ---------- ——r— n'v<PÍ,¥v -<P'v¥u V u V r ~ <PvVu
de donde * - < 5v -av 9Í,v[. ‘P ‘K o <PÍ¥Í - f , . K
CUa) Hallar — y — si x = u eos v , y = u sen v y Z ~ cv
a r ¿¡yDesarrollo
Diferenciando las 3 ecuaciones se tiene:
dx = eos v du - u sen v dv ... ( 1)
dy = u eos v dv + sen v du ... (2 )
dz = c dv ... (3)
dx senvde ( 1) despejando du f- u ------- dv
eos v eos v
7 / dx senvreemplazando en (2 ) se tiene: dv = v eos v.dv + sen v( H- u dv)
eos v eos v
eos v.dy = u eos2 v.dv + sen v.dx + u sen2v.dv
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i unciones de Varías Variables 139
1967
eos v dy = u dv + sen v dx
cp n y COS Vdv dx h dx reemplazando en (3)
u u
c.senv . c. eos v ,d z - ----------- dx + ----------dy de aquí
u 11
dz senv dz c.cosv . .— = - c . ------- , — = ---------- , en forma similar para:dx u dv u
dz dzb) Hallar — , — si x = u + v , y = u - v , z = uv
dx dy
c) Hallar dz, si x = el,+v, y - e 11 v , z = uv
Z = F(r,cp) donde r y cp son funciones de las variables X e Y determinadas pordz dz
el sistema de ecuaciones X = r eos cp, Y = r sen cp. Hallar — a —dx dy
Desarrollo
Diferenciando: dz = F' dr + F^dcp ... (1)
dx = eos cp dr - r sen cp dep ... (2 y
dy = sen cp dr + r eos cp dep ... (3)
i i , dx + r sen(pd(pdespejando de (2 ) dr --------------------cos^>
. dx + r sen (pd(p v .reemplazando en (3) se tiene: dy = se/Kp(-------------------- ) + r eos <pd(p
eos cp
eos cp dy = sen cp dx + r dep
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140 Eduardo Espinoza Ramos
1968
. eos dy - sen x dx fay = ------ 1--------------- reemplazando en dr se tiene:
r
_ (1 - sen"cp)dx + sew eos dyeos (p
reemplazando los valores de dr y dep en ( 1) se tiene:
/ ¡ sencp / / cos<pdz = (t r eos ( p - F )<zr + (Fr sen (p + F )av
r r
, , , oz / j sen (p cz ¡ , coscpde donde: — = Fr eos (p - F -------- , — = Fr sen ( p - F --------
dx r dv r
dz dzConsiderando z como función de x e y, hallar — y — si: x = a eos cp eos \p,
dx dy
y = b sen cp eos \p , z = c sen ip.
Desarrollo
Diferenciando dx = -a sen cp eos vp dep - a eos cp sen vp dvp ... (1)
dy = b eos cp eos vp dep - b sen cp sen vp dvp ... (2)
dz = c eos vp dvp ... (3)
1 / , X • CXde ( 1) se tiene: —— = - a eos cp sen y/dy/
oyde (2 ) se tiene: = - b sen y/ sen y/
cy/*
• *
02de (3) se tiene: = ccosy/
dy/
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Funciones de Varias Variables 141
dzdz
dy/ ecos y/dx dx a eos (p sen y/
dy/
dzdz l ecos y/dy dy v sen tp sen \p
dy/
c= — sec (p.ctg y/
a
- 7 CSC {y/)ctg{y/) b
6.10. CAMBIO DE VARIABLES.-
ler. CAMBIO DE VARIABLS EN LAS EXPRESIONES QUE CONTIENEN DERIVADAS ORDINARIAS.-
2do. CAMBIO DE VARIABLES EN LAS EXPRESIONES QUE CONTIENEN DERIVADAS PARCIALES.-
d v dv1969 Transformar la ecuación: x — — + 2x— + v = 0 haciendo x = e'dx
Desarrollo
dydy = dt_ = e-t <ty_ ^ dy = e->dydx dx dt dx dt
dt
dy'
dx dx dx dt dtdt
d 2 y -yt / d 2y dy i d 2 y dy— f = c “ (— f - — ) como x — — + 2x— + v = 0dx~ d r dt dx dx
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142 Eduardo Espinoza Ramos
2t -2t , d 2y dy , _t dy d 2y dysetiene: e .e (— ;----- ) + 2e .e — + y = 0 => — f- + — + y = Odt2 dt dt dt1 dt
d 2 * dv1970 Transformar la ecuación ( 1 - x 2 )— y - x — = 0 poniendo x = eos t.
dx~ dx
Desarrollo
dxx = eos t => — = -sen t
dt
dy
— = - ___ L &dx dx sen t dt
dt\ í ; ^ . A - f >U : /':■ ■ -.a.- / ; ,v,.:
d 2y _ d y ' _ 1 dy' _ 1 d 2y cosí dydx2 dx sent dt sen2t d t2 ser?t dt
2 d 2y dy como (1 - x )— —- x — = 0 se tiene que:
dx2 dx
2 xr 1 d y cosí ¿/v, , 1 d ) \(1 -c o s /)[ -—.— — •—~ ]~ c o s í( --------------•“ r ) = 0
sen~t dt sen t dt sent dt
d y , x dv , . d y d y— -— ctg(t)— + ctg(t)~j - = 0 => — ^ = 0d r dt dt d r
1971 Transformar las siguientes ecuaciones tomando y como argumento.
d 2y dv ia) — f + 2 y ( - ~ ) 2 ^ 0dx dx
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 143
I *>72
d 2xdv 1 d 2 v dv2
dx dx dx2 ( - - ) 3dy dy
reemplazando en la ecuación diferencial se tiene:
d~x1 *)
dv' , I -> „ d 'x _ a.v- 2 >’(— )- = 0 => — - 2 v— = 0
. d * 3 ' ' ^ ' ~ J v 2 ' d \
dv dv
k> . »¿v J * 3 J a 2
Desarrollo
d 2xd 2y dv2
Se tiene que — — = ----- — entonces:dx {dxd
dy_ 3 i. ,d~x ? ,c/.v -> í7 x , d\\%3 ( )-( ) - ------------( )-'
dy _ í/v" íA; t/i- í/v
¿x3 ( </ydy
reemplazando en la ecuación se tiene: — - = 0í/j.3
La tangente del ángulo u, formado por la tangente MT y el radio vector OM del
y - zpunto de tangencia (fig 69) se expresa de la forma siguiente: tgu = ------- —
1 + — y 'X
transformar esta expresión, pasando a las coordenadas polares x = r eos cp, y - r sen (p
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144 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Diferenciando las ecuaciones x = r eos (p , y = r sen (p
dx = eos cp dr - r sen cp dep •••(!) dy = sen ip dr + r eos cp dep . . .( 2 )
dy senepdr + r eos (pd cpdividiendo (2 ) entre ( 1) se tiene:
dx eos cp dr - r sen cp d cp
de donde y ' =
drsencp— + r eos cp
depdr
eos cp r sen cpd(p
yademás tgu =
1 U y 'X
reemplazando ( 1) en (2 ) se tiene: tg u
drsen cp — + r eos cp
depdr
eos cp r sen (pdep
... (2)
r sencp r eos cp
drsen (p 1- reos (p
dep -, r sen (p ,]_i---------- (reoscp eos (p rsernp
dep
)
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Funciones de Varias Variables 145
dr 2 2 g drr eos (p sen (p.----- f r eos (p - r sen (p(cos (p rsenep)d(p dep
t g U = ---------------------------
r eos 4?(cos (p r sen (p) + r sen ep(sen ep h r eos ep)d(p d(p
r2 (sen2(p + eos2 (p) r r rtg u —-------------------------— — — — ~ => t g u = —
t 2 , 2 x dr dr r ' r'r(eos cp^-sen (p)dep dep
y1973 Expresar la fórmula de la curvatura de una línea: k = ----- — en
[ i+(y')2Vcoordenadas polares x = r eos (p, y = r sen cp.
Desarrollo
Diferenciando las ecuaciones se tiene:
dx = eos cp dr - r sen cp dep •••(!)
dy = sen cp dr + r eos cp dep ... (2 )
, i • , i • , eoscp.dr-dxde ( 1) despejamos dep es decir: dep -----------------r sen (p
rs f /Cos (pdr-dx .reemplazando en (2 ) se tiene: dy - sen ep.dr + r cos(p{----------------- )r sen (p
7 7/• sen (p dy + r cos cp dx - r sen~cp.dr + r cos“ (p dr
r = sen cp dy + r cos cp dx = r dr => dr = sen cp dy + cos cp dx
()t*de donde — = cos <p , — = sencp además:
ex cy
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146 Eduardo Espinoza RamoÉ Ük
1974
drsen ep - — + r eos (p
_2 _ = -------- -JfL------------ p0r 0 ra parte reemplazando dr en d(p es decir en:dx deos (p.------- r sen (p
dep
^ _ eos (p.dr - dx _ eos ep(sen (pdy + eos (pdx- dx) r sen (p r sen (p
. eos (p . senep , , dep senep dep eos epdep = —d y —dx de donde: —- = --------— ; —- = -----—
r r dx r dy r'í
, , dep dep dep dyademas — = —— + —— aquí hacemos los reemplazos respectivos se tiene:
dx dx dy dx
dep _ senep eos (p dy " i •
dx r r dx
P>m dr n2 d 2r 2, r — + senep ,2 i2 ~ r ~7~2+ rdy dx 1 1 1 d y . d y dep dep_j_ - — ----------- calculando — ~ se tiene: — — --------- ------------------
dx C0S(P dx dx (eosdep
_. dr .2 d 2r 22 (— Y - r — — + r l
y" . dep dep~reemplazando en k — se tiene que: k = -----^--------------- ------
— d r —[ 0 + (>,f) 2 ] 2 [(-T“ ) 2 + r 2 ] 2dep
Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuaciónd z d z 2 2 x — = 0 s i U = X , V = X + v .dx dy
Desarrollo
az dz cu dz dv Conocemos que: — = — .— + — . —
dx du dx dv dx
v
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Funciones de Varias Variables 147
1975
-— V '■*> ' “ NCU cz cz cz cv cvPero como - — = 1 entone > ■•■tiene: — = — + — .— además — = 2x
dx ex du cv dx dx
dz dz ; "z— = — -+ . . . ( 1 )ex cu r
, ., dz dz dv dz dv cu dvtambién se conoce que: — --- ■ —. — ■-+ donde — = 0 , — - 2 y
dy du dy dv dy dy dy
es decir: — = 2 v — ••• (2 )dy ' cv
d7 dzreemplazando en la ecuación: y — - x — = 0 se tiene:
dx dy
.dz dz. dz dz dzy(---- f 2x— ) - x ( 2 y — ) = 0 => y — = 0 de donde — = 0
du dv dv du du
Transformar a las nuevas variables independientes u y v la ecuación
dz dz . yx h y z = 0 si u = x, v — —
dx dy x
Desarrollo
cz cz du dz cv du dv ySe conoce que — = — .— h----- .— donde — = 1, — = — -
dx du dx dv dx dx dx x
dz dz y dzluego se tiene: — = — ... (1 )
ex cu x~ cv
dz dz du cz■ cv , , . cu rs cv 1ademas — = — .— + — .— de donde se tiene: — = 0 , — = —
dy du dy dv dy oy dy x
dz 1 dzLuego se tiene: — = — ... (2)
dy x c v
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148 Eduardo Espinoza Ramos
1976
Reemplazando (1) y (2) en la ecuación .v — + y - z = 0dx ' dv
C < C Z y C Z \ z 1 ASe tiene que: x( — )+ y (—.— ) - z = 0du x2 dv x dv
dz y dz y dz dz . dz .y H— .------ z - 0 => x z = 0 o u z = 0
dw x d v x d v dw dw
d2w d2wTransformar la ecuación de Laplace — - h---- - = 0 a las coordenadas polares r
ax2 ay2
y (p, poniendo x = r eos (p, y = r sen (p.
Desarrollo
V ~? 7 vx~ + y~ y 0 = arctg —
dr x d2r x 2
dx J x2 + v 2 dx2 ? 0 -+> (x2 + / ) 2
->2 2 dr v o r y
d y y j x 2 + V2 ^ y ~ 2 2 x 1^ ' (x2 + y “)2
dO —y c 20 2xy==>
a.v a- + v“ ax~ (x +>■■)■
a (9 x d20 - 2J —, ademas se conoce que:dy x 1 + v2 oy2 (x2 + y 2)
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Funciones de Varias Variables 149
reemplazando en esta ecuación se tiene:
2 2 2 2 d~w , x d w -x y , d w y du= ( - f r = r ) T T + 2( ------- ^ - T ) T ^ +2 j_ , , 2 r? r“ ' . - drd<9 - dr, 2 \ o / 2 \ o
( X + y " ) 2 ( X + y ) -
v- 5 u 2xy duH Z T-J. - + — r - T — ... (1)
(x + y “) dO“ ( x ~ + y )“ dx
también se conoce que:
d 2 u d r . 2 d 2# _ d 2w d r d 0 d 2r dw , d 0 *> d 2w d 2# dw— — = (— ) — - + 2 .— .— + — —.— + (— )“ — - + — —d y d y d r d r . d O d y d y d y d r o d y d O d y " d O
haciendo los reemplazamos en esta ecuación:
2 2 ->2d "w y 2 d “ w 2 x y d w
dy2 ~ i ' » * *
9 9x dw x 2 d w 2 x y dw
+ + ( 2 . 2 * - , „2 , 2 . 2 \2 ' a / i • " ^/ 2 § > v + / ' s e 1 ( x ' + S Y d e(X2 + y - ) 2
sumando ( 1) y ( 2 ) se tiene que:
d 2w d 2w d 2w 1 dw 1 d 2w— y + — 7 — ~ r = = — + t — 7 ... ( a )d x 2 d y dr" ^ + ^ 2 dr x2 + y o0
pero r 2 = x 2 + y 2 entonces reemplazando en (a)
d~w d~w d 2w 1 dw 1 d"w + — - = — - + — +
dx2 dy2 dr2 r dr r 2 dO1
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150 Eduardo Espinoza Ramos
1977
1978
(32z j d2z xTransformar la ecuación: x —y - y —- = 0 . Haciendo u = xy, v = —
dx dv v
Desarrollo
w A . ,, , . dz dz du dz dvMediante la formula se tiene que: — = — .— h----- .—
dx du dx dv dx
, , du dv 1 . dz dz 1 dzdonde — - y , — = — luego se tiene: — = y 1-------
dx dx y dx du y dv
d2u 7 d2z d2z 1 d2z . . .— r- = y — t + 2 ------- + ——— - de acuerdo al ejercicio 1976.dx2 du2 dudv, y 2 dv-
c u 7 o z _ x o z x~ c z 2 x dz- = x* — - ~ 2 —r . --------+ —----— h— -----de acuerdo al ejercicio anteriori -s 2 2 4 ^ 7 i ^q¡y du y du.dv y H dv y cv
d'zz d2 ,
reemplazando en la ecuación x2 — - - y 2 —y = 0dx dy
i , 7 d2z d2z 1 d2u . 7 , o c 2z 2 x2 d 2z x2 d2z 2x d zx- ( y - - — + 2 —— - y (x~— j ------r T T + ' T 7 7 + _ T~ ) - 0
du du.dv y - dv* diC y~ dudv y* cv~ y~ dv
7 c 2z 2x dz d2z 1 dz drz 1 dz4x~ — = 0 => 2 — — = 0 => 2 - — = ——
du.dv y cv du.dv xy dv du.dv u dv
dz dzTransformar la ecuación v — - x — = (y — x)z introduciendo las nuevasdx cy
2 7 1 1variables independientes u ~ x + y , v = — + — y la nueva funciónx y *'
w = ln z - (x + y).Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 151
1979
du _ ^ du _ ^ ^v _ 1 dv _ 1
dx dy dx x2 ’ dy y 2
w = l n z - ( x + y) => ln z = w + x + y de donde: z = e ■ luego se tiene
dz dw du dw dv dz _ dw 1 c\v— = — .— + — .— => — = 2x --------- 7 .—dx du dx dv dx dx du x~ dv
dz dw du dw dv dz _ dw 1 dw— = — .— + — .— => — = 2 y ----------- --—dy du dy dv dy dy du y“ dv
CZreemplazando en la ecuación: y - - x — = ( y - x ) z y después simplificando
dx dv✓
dwse tiene que — = 0
dv
d 2 z d 2 z d2 zTransformar la ecuación — - - 2 ---------1 :r = 0 tomando como nuevas
dx2 dxdy dy2
y Zvariables independientes u = x + y, v = — tomando una nueva función w = — .x x
Desarrollo
du _ j du _ dv _ y dv _ 1
dx ’ dy ’ dx x 2 dy x ’
zademás como w = — => z = xw de donde:
dz dw .cw du dw cv = W + X = W + X y . ------ 1-------. -----)dx dx du dx cv dx
dz dw y dw = w + X ----------— . —dx cu x ov
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152 Eduardo Espinoza Ramos
'y Zc zo 2ex
ew du dw dv dw , d 2w du d 2w e v .— .------1------ . ------1--------b a*(-------. ------ 1---------- . — )du dx ev dx du du2 dx du.dv dx
y , d w d~w dv dw ev- - ( --------+ — 7 -.— + — .— )V a / A A» A /x du.dv dv~ dx ev ex
ahora reemplazando se tiene:
2 2 2 2 <3 z dw y dw dw d~ w y d w y~ e w y d w y dw_______________ — ________________________ _ _ i ________________________| _____________________j _ y ________________________ — - ____________________________ | ~ — _________________ — . i — | . _ - ____________________
dx2 du x 2 ev du du2 x du.dv x3 dv2 x du.dv x dv
ez dw du dw dv dw dw— = x — .— + x — .— = x — h-----dy du ey ev dy du ev
e zA 2ey
d 2 a a2 a a 2 a a 2 aw cu e w ev o w ev c w cuA* —. ------b X -------- . ------ 1 — . b
du2 dy du.dv ey dv1 ey du.dv dy
d2zA 2ey
^2 a2 1 a2 a2c w c w l e w o w= A'
e w + +
du2 du.dv x dv.2~b
du.dv
d 2z dw du 1 dw dv+ ---- .— + y
d2w dv d2w du+ x
dx.dy du dy dv dy " du.dv dy du2 dy
y d 2w ev d2w du 1 dw+ —(— — + --------.— ) + - • —
x dv" dv du.dv dv x ev
d 2w dw 1 dw d2w d2w y d2w y d2w 1 dw+ -b + x
dx.dv du x dv du.dv du2 x3 dv2 x du.dv x dv
reemplazando en la ecuaciónd 2 z
- 2A 2 a2c z d z
+dx~ cx.dy ey
0 y simplificando se tiene
que:d 2w
dv2= 0 .
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Funciones de Varias Variables 153
1980^2 ^2 ^2C7 Z ^ O Z O Z— r + 2 --------+ —cbt o x .o y <3y
v = x - y, w = xy - z, donde w = w(u,v).
U L u ¿ u ¿ .
Transformar la ecuación: . + 2 - + —y = 0 poniendo u = x + y,
Desarrollo
Su du dv _ dv _c r qy gx qy
de la ecuación w = xy - z se tiene: z = xy - w derivando se tiene:
dz dw du dw dv _ dw dwdx ^ du dx dv dx ^ du dv
d2z d2w du d2w dv d2w dw d 2w dudx cu dx du.dv dx dv dx du.dv dx
d2z d2w d2w d 2wdx2 du2 du.dv dv2
en forma similar para — es decir:dy
d 2z d 2w d 2 w d2w + 2 -
cy 2 du2 du.dv dv2
d2w . d2w d2w1 + — y reemplazando en la ecuación
dx.dy diV dv
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154 Eduardo Espinoza Ramos
6.11. PLANO TANGENTE Y NORMAL A UNA SUPERFICIE.
ler. ECUACIONES DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTÉ DADA EN FORMA EXPLICITA.-
Se llama plano tangente de una superficie en el punto M al plano en donde están situados todas las tangentes en el punto M, a las curvas trazadas en dicha superficie que pasan por el punto M.
Si la superficie está dada en forma explicita en un sistema de coordenadas cartesianas z = f(x,y) donde: f(x,y) es una función diferenciable, la ecuación
del plano tangente en el punto M(xQyy 0, z0) a la superficie es
2 - zo = f.x ( *0 ’ yox* - *0 ) + fí(*o, yo )(.v - ) donde z0 = , y„) a x,y, z,
son las coordenadas variables de los puntos del plano tangente.
La ecuación de la normal tiene la forma:
y - y o z “ zo/ r (•*()’>’o) / , ( -W o ) - 1
2do. ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE Y DE LA NORMAL PARA EL CASO EN QUE LA SUPERFICIE ESTE DADA EN FORMA IMPLÍCITA.-
En este caso la ecuación dada en forma implícita es: F(x,y,z) = 0 y
F(x0, y0, z0) = 0 y la ecuación del plano tangente es:
Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + E,; (.v0 , y 0 , z0)(>- - + (x0, y0, z0)(z - z0) = 0 y la
ecuación normal es:
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Funciones de Varías Variables 155
1981
i
Escribir las ecuaciones de los planos tangentes y las de las normales a las siguientes superficies en los puntos que se indican:
9 9a) Al paraboloide de revolución z = x~ + y en el punto (1,-2,5).
2 2 2 x y zb) Al cono — + ---------- = 0 en el punto (4,3,4)
16 9 8
9 9 9c) A la esfera x + y + z = 2Rz , en el punto: (R eos a , R sen a , R)
Desarrollo
2 2 dz dza) Como z = x + y => — = 2 x , — = 2y en el punto x = 1 e y = -2 sedx dy
dz dztiene que: — = 2 , — = -4 y la ecuación del plano en el punto (1 ,-2,5)
dx dyes: z - 5 = 2(x - 1) - 4(y + z) que simplificando es: z - 2x + 4y + 5 = 0.
x — \ y + 2 z - 5La ecuación de la normal en el punto (1,-2,5) es:
-4 -1
2 2 2 X V zb) Sea / ( jc, y, z) = — + — — que esta en forma implícita: de donde
fy — ~~ i f í = “ en el punto (4,3,4) se tiene que:
1 2f'x - — , f v - — , f [ - - 1 . Luego la ecuación del plano tangente es:
3
1 2— (x - 4) + — (y - 3) - l(z - 4) = 0 y la ecuación de la normal es:^ 3
2{x — 4) 3 0 ; - 3 ) z - 4 v t .---------- = — = ------- que escrito de otra rorma es:1 2 - 1
x — 4 v —3 z - 4
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156 Eduardo Espinoza Ramos
1982
c) Sea / ( x , y, z) - x2 + y 2 + z 2 - 2Rz de donde se tiene: f x - 2 x ,
f y - 2 y , f i - 2 z - 2 R en el punto: (R eos a , R sen a , R) se tiene
f x = 2 R c o s a , f y = 2 R s e n a , / / = 0 . Luego la ecuación del plano
tangente es: 2R eos a (x - R eos a ) + 2R sen a (y - R sen a ) = 0 dedonde al simplificar se tiene: x eos a + y sen a - R = 0 y la ecuación de
t , x - R c o s a y - R s e n a z - Rla normal es: = = --------
2 /? coser 2Rsena 0
2 2 2 X y z¿En qué punto del elipsoide — + r- + — = 1 la normal forma ángulos iguales
a b c“con los ejes coordenados?
Desarrollo
Para que la normal forme ángulos iguales con los ejes coordenados los cosenos directores deben de ser iguales es decir:
f i = fy = fz donde f ( x , y,z) = ^ - + - + — - 1a b c
2 y 2 y ¡ ^de donde f i = — , , f! = —~ y de acuerdo a la condición se tiene
j x 2 > i 2 z 2a b e
2x 2y 2z - 1 1 1 j • b2que: — = — = — de esta igualdad despejamos: y = —y x , z - — xa b c a a~
2 2 2 x y zesto reemplazando en la ecuación — + — + — = 1 se tiene que
a" b c
4 a2x2 = ---------------- => x = ± , ■...—— y esto reemplazando en
, 2 j 2 2 2 1 2 2a + b + c v a + b + c %
b 2 c 2 b 2 c 2y = — x , z = — x se tiene: y = ± - 7== = , z = ± - 7=----- —
a2 ’ a2 ' 4 a 2 + b2 + c 2 4 ¿ ^ b 2l Z 2-f- b 4- c
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Funciones de Varias Variables 157
1983 Por el punto M(3,4,12) de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 169 pasan planos
perpendiculares a los ejes OX, O Y. Escribir la ecuación del plano que pasa por las tangentes a las secciones que originan aquello, en el punto común M.
Desarrollo
Como jc2 + y2 + z 2 - 169 => z = 169-
dz x dz vDe donde — - — , — = - — en la cual:
dx z dv
dz xdx
= — es perpendicular al eje OY.
dz vcy
es perpendicular al eje OX y para el punto M(3,4,12) se tiene:
dz 1 dz _ 1
dx 4 ’ dy 3
De acuerdo al gráfico se tiene BMP es paralela al plano XOZ, y la curva BMP
es paralela al plano YOZ, el plano que pasa por la curva BMP es perpendicular
al eje OY, el plano que pasa por la curva AMC es perpendicular al eje OX y la
czpendiente a la curva BMP en el punto M es — y al pendiente a la curva AMC
exOcz
en el punto M es —- y el plano que comprende estas dos tangentes es:dy
z - 1 2 - ( x - 3 ) - - - ( y - 4 ) de donde: 3x + 4y + 12 z - 169 — 04 3
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158 Eduardo Espinoza Ramos
1984
1985
Demostrar, que la ecuación del plano tangente a la superficie central de 2do
orden ax~ + by2 + cz2 = k en su punto M(x0, y0 , z0) tiene la forma
ax(jX + by0z + cz0z ~ k .
Desarrollo
Sea f ( x , y , z ) = ax2 + byz -fez2 - k de donde: f x = 2 a x , f'y = 2 by , / 7 = lea
En el punto M es f x - 2ax0 , f'Y = 2by0 , f¡. - 2cz0 y la ecuación del plano
es: 2 ax0 (x - x0) + 2 by0 (y - >’0) + 2 cz0 (z - z0) = 0
de donde ax0x + óy0>’ -f ez0z - (í/Xq + f cz¿) = 0
ax0x + by0y -f cz0z = k
Dada la superficie x2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 2 1 , trazar a ella planos tangentes que sean paralelos al plano x + 4y + 6 z = 0.
Desarrollo
Sea / z) = x2 + 2y 2 + 3z^ - 21 de donde: / 7 = 2x , J v = 4y , /_; = 6z
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Funciones de Varias Variables 159
1986
Calculando en el punto (x0, y 0, z0) se tiene: = 2 x 0 , f y = 4y0 , / z = 6 r 0
además los planos tangentes son paralelos al plano x + 4y + 6 z = 0 entonces:
2x0 = 1 , 4y 0 = 4 , 6 z0 - 6 de donde se tiene: a0 = -- , v0 = 1 , z0 = 1
por lo tanto el plano paralelo a: x + 4y + 6 z es (x - —) + 4(y — 1) + 6 (z -1 ) = 0
de donde 2 x + 8 y + 12 z — 21 = 0
1 1 1 X~ y “Dado el elipsoide — + - 1, trazar a los planos tangentes que
a~ b~ cinterceptan en los ejes coordenados segmentos de igual longitud.
Desarrollo
2 2 2 x y zSea f (x) = — + — + — - 1 de donde se tiene:a2 b2 c2
f ' = — /•/ = 2 z f i =J A' 9 ’ J V , ? ’ J Z 1
a~ b~ c
Calculando en el punto (x0 , ; 0 ,z0) esta en el elipsoide, entonces se tiene:
.2 2 9
« 2 />2 c
la ecuación del plano tangente es: (.v-Jt0 )-::::y- + (.y-;>’0)—^- + ( z - z 0 ) - — = 0, 2 > ’ r 2
«• 6 *
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160 Eduardo Espinoza Ramos
1987
í5 L + a L + 5 . „ 4 + 4 + 4 * * * , 3 i + ff i> + . 5 i , i . . . (2)a " c ¿r b~ c a " 6 *" c“
ahora encontrarnos los puntos de intercepción con los ejes coordenadas:
npara y = z = 0 => x = —-
nx = z = 0 => y - —>'o
AX — y = 0 => Z ---Z0
cf b~ c~es decir que los puntos de intercepción son: (— , 0 ,0 ) , (0 ,— , 0), (0,0, — )
*0 >0 z 0
además los segmentos que se interceptan son iguales, o sea:
2 / 2 2 2 2 2 a b e * 0 v0 Zn ,x — y = z => — - — = — como —~ 4 —~ 4 = 1 se tiene:*o yo zo <** ^ c-
2 , 2 2A a O C 2 i 2 . 9 , 2 2 \ 4 i i j~ 4 —j X Q 4 — x0 = 1 => jc0 (a + b 4 c ) = a , de dondea " a a
*> , i ?. _____ 6 " , g~______
, / 2 1 1 1 r / 2 ; 1 ^ , 2 2±Va 4 4 c~ +yla*'+b“ + c ±yja~+b 4 c
reemplazando (3) en (2) se tiene: x 4 y 4 z -- ±\fa^ 4 / / 4 c'
Hallar en la superficie x2 4 y2 - z 2 - 2a - 0 los puntos en que los
tangentes a ella sean paralelos a los planos coordenados.
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..y / ' ’ í : '• '* J : ' > i ’' "i i >Funciones de Varias Variables 161
Desarrollo
2 2 2Proyectamos sobre el plano XOY la superficie .y + y~ + z - 2x = 0 haciendo•~i ■) , 2 2
z = 0. Luego tenemos x“ + y~ - 2 x = 0 lo que es lo mismo (x -1 ) + y = 1
que nos representan una circunferencia cuyo gráfico es:
Por los puntos A y B pasan planos tangentes paralelos al plano XOZ donde:
A( 1,1,0) a B( 1,-1,0) y por los puntos 0(0,0,0) y C(2,0,0) pasan planos tangentes paralelos al plano YOZ.
1988 Demostrar, que los planos tangentes a la superficie x y z - n ? forman con los
planos coordenados tetraedros de volumen constante.
Desarrollo
Consideremos el punto /?(x0 ,y 0 ,z0) en la superficie f ( x , y , z ) = x y z - m ?> en
donde / ; - >’0z0 , f ’y = x0z0 , f z = x0y0 .
Luego la ecuación del plano tangente es:
(* ~ x0 )y0z0 + (y - y Q )x0z0 + (z - z0 )x0y 0 = 0
de donde xy0z0 + yx0z0 + zx0y 0 = 3m3
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162 Eduardo Espinoza Ramos
1989
r r
Luego para y = z = 0 se tiene x = 3 m}
>o-o
Para x = z = 0 se tiene y - 3m3x0z0
r» /x • 3/72Para x = y = 0 se tiene z =Ao>o
Además el volumen de un tetraedro es: V = 0.1178 a* - 0.1178xyz
. 3/m\ 3/«3 w 3 /w \ rr (0.1178X27)F = 0 .1178(------ )(------- )(-------) => F = --------- -f-— - es constante
-Vor o V o *o>o rn
Demostrar, que los planos tangentes a la superficie \[x + + s T z ^ r a
interceptan en los ejes coordenados segmentos cuya suma es constante.
Desarrollo
Tornemos un punto P(x0, y0, z0) de la superficie / (x , y, z) = yfx + >/y + - yfq.
de donde / v = , f!. = — 1==, f i = 12yíx0 ' 2Jyo ’ ‘ , 2P o
Y Y y __ y 7 __ 7
La ecuación del plano tangente a la superficie es: :— + — — - = 02 ^ - \¡zo
de donde: —L=- + - ~ = + — =r = J xq + = yfaV a o v >’o V z o
Ahora interceptamos con los ejes coordenados para:
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Funciones de Varias Variables 163
1990
y = z = 0 se tie n e x - yja:axo
x = z = O se tie n e y =
x = y = O se tie n e z — yjüz0
sum and o lo s segm entos se tie n e :
x + y + z = yjax^ + y[ay^ + yjaz^ = yfa(y[x¿ + =
L u e g o x + y + z = a es una constan te
1 7a “ v z~D e m o s tra r, que e l cono — + -r- y = — y la es te ra¿T b" c~
,2 , 2 . »2;,A ~ + y " + ( - ) “ = — 0 y c “ ) son tangentes e n tre si en los p un tos
c c"( 0 ,±b ,c )
Desarrollo
2 ^ 2 A V ZC o n s id e re m o s f ( x , y , z ) = — + — ycr b~ c~
b“ + c~ b~g (A * ,y ,z ) = a 2 + v 2 + ( - -----------------)2 — y (b2 + c 2 ) en e l p u n to ( 0 ,± b ,c )c c~
se tie n e : f ' = 0 , / , ' = ± , f l = - - y g ' = 0 , g '. = ±2b, gí =b e c
L u e g o para que sean tangen tes am bas s u p e rfic ie s es necesa rio que sean2b1
p ro p o rc io n a le s las d e rivad as p a rc ia les c o m o : ( ü ,± 2¿?,— —-) es p ro p o rc io n a l ac
2 *> o( 0 , ± — , — ) p ues to que al m u lt ip lic a r p o r ¿ r se o b tie n e lo s té rm in o s de la b c
p rim e ra .
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164 Eduardo Espinoza Ramos
1991
1992
Se llama ángulo entre dos superficies en el punto de su intersección, al ángulo que forman los píanos tangentes a dichas superficies en el punto que se considera ¿Qué ángulo forman su punto de intersección el cilindro
x2 -f y 2 - R2 y la esfera ( x - R ) 2 +>’2 -fz 2 = R2 en el punto M (—, — - ,0)2 2Desarrollo
Consideremos / ( x , y) = x2 + y 2 - R2
-> R \Í3g (x ,y , z ) = ( a ~7?)2 + v2 + z 2 - / ? 2 en el punto: A/(—,—- ^ ,0 )
se tiene que f ' = R , f'. = 3R , g'x = - R , = 73 R , g : 0
/■*/ I /’ / i /■/ /.fx-Sx+Jv-Sv+Jz-Szse conoce que cos 0 =
(./, )2 + ( / ; )2 + )2 + cg' >2 + (g, )2 + (g i >■
2 7? 1COS 6 = ——- = — => 0 = 60°
47? 2
Se llaman las superficies que se cortan entre si formando un ángulo recto en cada uno de los puntos de la línea de su intercepción. Demostrar que las
superficies x2 + y 2 + z 2 - r 2 (esfera), y=x tg (plano) y z2 = ( x 2 + y 2)tg2cono
que son superficies coordenadas del sistema de coordenadas esféricas r, cp, i{/,
son ortogonales entre si.Desarrollo
Como las coordenadas esféricas son r, cp, \j/, se tiene que:
x = r cos cp cos i;/
y = r cos cp sen \p
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Funciones de Varias Variables 165
9 9 9 9z = rse n c p y c o ns id e rem os f ( x , y , z ) = x +y + z - r , g (x ,y ) = y - x tg cp,
h(x, y, z) = z 2 - (x2 + y 2 )tg de donde f í = 2 x , f'y z , = - í g ,
g'y = 1 , > K = ~ 2 v ^ , h'z = 2z
si ( x 0 , y 0 , z0 ) es u n p u n to de la s u p e rfic ie e n tre dos
x 02 + y \ + z02 = r 2 , y0 = x0tg(p , z0 = (x] + y02 ) íg ^
para que las su p e rfic ie s sean p e rp end icu la res deben c u m p lirs e que:
f í . g í + f í . g í + / / -g í = o , f í K +f í .gí + .h í=0
h'x .g'x + h'y .g!y + hí ,g'z = 0 es d ec ir: - 2 x0tg<p + 2y0 = 0 = -2 y 0 + 2yn = 0
- 4 x0tg2<p-Ayltg2 + 4zq = - 4 z 0 + 4 z 0 = 0
2 x0tg<p.tg2y/- 2y0tg2<p = 2y0tg2<p - 2y0tg2(p = 0
y1993 D e m o s tra r, que to d o s lo s p la n o s tangentes a la s u p e rfic ie c ó n ic a z = x f (— ) en
xsu p u n to M ( x 0 , y 0 , z 0 ) donde x 0 * 0 pasan p o r e l o r ig e n de coordenadas.
Desarrollo
yC o m o z = x f (—) en tonces en e l p u n to M
JC
dx x x 0 x0
— = / ' ( — ) lu e g o la e c uac ión d e l p la n o es:dy x0
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166 Eduardo Espinoza Ramo
Z - z Q = f ( * ) - > ! ° f '( -Xx-x0 ) + f - y0) x0 x0 x0 x0
simplificando se tiene: x ( f (— ) - — / ' ( — )) + / \ — )(y - y 0) - z = 0x0 x0 ‘ x0 x0
que es la ecuación del plano que pasa por el origen
y y1994 Hallar las proyecciones del elipsoide x + y + z - xy -1 = 0 sobre los planos
coordenados.Desarrollo
Para hallar la proyección sobre el plano XOY se hace z = 0 obteniéndose;2 2x + y - x y - 1 = 0 en forma similar para el plano XOZ se hace y = 0 de
donde x2 + z2 = 1 y por ultimo para el plano YOZ se hace x = 0 de donde
y 2 + z 2 - 1 = 0 .
1995 Demostrar que la normal, en cualquier punto de la superficie de revolución
z = / ( V x2 + y 2) ( / ' * 0) corta a su eje de rotación.
Desarrollo
Como z - f (yjx2 + y 2 ) entonces se tiene:
dz _ f x j ? + y 2)x / ' ( V * 2 + J 2 )>’dx y ? + / ’ & V 7 + / "
T J , , ( X - x ) y j x 2 + y 2 { Y - y)yjx2 + y 2 Z - zLa ecuación de la normal es: = = = = = — = ........... ..... =====— = -------
xf'(\¡x2 + y 2 ) rf'ixjx2 + y 2) "•
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i unciones de Varias Variables 167
, J J „ ( X - x ) J T T y 1 V (Y -y y J . de donde Z - z ------------, ■■■ y Z - zf'(\jx2 + / ) * / W * 2 + v2 )
donde x,y,z son las variables de la recta normal.
Si x = 0 se tiene z = / (<yx2 + y 2 ) +x2 + y2
f \ y ¡ x 2 + y 2)
Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y.
Si y = 0 se tiene z
Corta al eje de rotación para cualquier valor de x e y.
6.12. FÓRMULA DE TAYLOR PARA LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.-
Suponiendo que la función f(x,y) alrededor del punto (a,b) tiene derivadas parciales continuas hasta el orden (m - 1) inclusive. Entonces se verifica la fórmula de Taylor.
/ (*, y) = / ( « , *) + yj [fx (a> - 6)]
+ b x ~ a)2 + fyy (a'b)(y - h)2 + 2/ (a>b)(x ~ a)(y ~ b)\Zmt •
+... + — U x -a ) -^ - + (y-b)-^-]" f ( a , b ) ... (l)donden\ dx dy
R(x,y) = — i — [ ( x - a ) ^ r + ( y - b ) ^ - r ix f ( a + d ( x - a ) ,b + d ( y - b ) ) , (0<9< 1) (« + !)! dx dy
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168 Eduardo Espinoza Ramos
1996
en o tras ano tac iones :
f ( x + h,y + k) = f ( x , y ) + ~ [hf' (x , y) + kf'v ( x , y ) ]
(x, y ) + 2h*f£ ( x , y) + k1 f'Jy (x, y)]
+ l ( h£ + kA ) - f ( x , y) + — !— { h ^ + k ) " +1 (2)ni ex cy (ft + 1)! ex cy
o b ie n : A / (x,y) = d f ( x , y ) + ^ 7a2f ( x , y ) + ... +— d"_f(x,y)2! ni
+ — -— d"+l f ( x + 8h ,y + 8k) ...(3)(ji +1)!
para e l caso p a r tic u la r cuando a = b = 0 la fo rm u la ( 1) rec ib e e l n o m b re de M a c lo u r in .
D e s a rro lla r f ( x + h , y + k ) en p o tenc ias en teras y p o s it iv a s de h y k , si2 2 / ( x , y) = ax + 2bxy + cy
Desarrollo
f'x = 2 xa + 2by => f ^ = 2 a
fy = 2¿>x + 2cy => / " = 2c
f ( x + h,y + k) = / ( x , y) + h f x + kf.í + 2 + k 1 f " ) r/xy
= ax2 + 2¿*xy + cy2 + 2 hax + 2 tóy + Ikbx + 2kcy + — (h2l a + lh k 2b + A'2 2c)2
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Funciones de Varias Variables 169
f ( x + h ,y + k) = ax2 + 2bxy + cy2 + 2h(ax + by) + 2k(bx + cy) + ah2 + bhk + ck2
1977 D e s a rro lla r la fu n c ió n / ( x , v) = - x 2 + 2 x y + 3y - 6.v - 2 v - 4 para la fó rm u la de T a y lo r en u n e n te ro de l p u n to ( -2 ,1 ) .
Desarrollo
C a lc u la rn o s sus d e rivad as en e l p u n to ( -2 ,1 )
fx = 0 > = - 2 . / v = 0 , fyy. = 6 , / " = 2
/ ( x , y) = / ( a , ¿>) + [f'x (a, b)(x - a) + f'y (a, b)(y -/>)] +
+ \ [ f ^ a , b ) U ~ a)2 + 2 f " (a, b)(x - - b ) + / " - ]
f ( x , y ) = 1 - ( x - 2 )2 + 2 (x + 2 )(y - 1 ) + 3(v - 1 )2
1978 Hallar el incremento que recibe la función f ( x , y ) = x y al pasar de los
valores x = 1, y = 1 a ios valores x, = 1 + h , y x =1 + k
Desarrollo
/ ( x , y) = / ( I + h, 1 + *:) - / ( l , 1) = h f l ( x , y) + kf'y (.v, y) +
+ \ [ h 2C i x , y ) + 2 k h f^ ( x ,y ) + k 2f ^ ( x , y ) ] +
+7 tffZ(x, >>) + 3h2kf(*, y) + lhk2f ^ (x, y)]o
L u e g o y ^ ( l , l ) = 2 , 4 ( 1 , 1 ) = 2 , 4 ( 1 , 1 ) = 2 , / , ' ( 1 ,1 ) = 1 , 4 = 0 ,
4 ( U ) = o , 4 d , i ) = 2 , 4 ( i , i ) = o , 4 ( i , d = o
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170 Eduardo Espinoza Ramos
1999
2000
Reemplazando A /(x,y) = Ih + k-rh2 + 2hk + klr
1 1 1Desarrollar la función /(.v, v, z) = x“ + y~ + z“ 4- 2xy - yz - 4x - 3y - r + 4 por
la fórmula de Taylor en el entorno del punto (1,1,1).
D e s a r ro lloSe conoce que:
/( x , y,z) = f (aj i .c) + f x (aj.\c)(x -a) + /;! (a,b,c)(y -b) f f . {aj\c)(z -c) +
4 “ [ / v a - (a ’ C)(X - a ) 2 + fvv (a>b' C X - V “ b ) 2 + fzz b- C ) ( - “ C . ) ¿ +
+ 2 / ’:;. (a, K c)(x - a)(y - /?) -f 2/ v. (a, ¿x c)(y - b)(z - c) +
4-2/.,r {ajy c)(y - b)(z - c) + 2 / / (a, c)(x - a )(z - c)]
1 1 *9como /(.v, v,z ) = .V + y" + r~ + 2.yy- vz- 4.v- 3y - z + 4 en el punto ( 1.1, 1)
se tiene: / ; = 0, /,.( = 2 , /,! = 0 , 2 , . / 2 = 0 , f í - 2 , f xv= 2,V‘- 1 • • •'.! ■ f .i;; • ¡ 1 ‘7 ■ • 7 <, {u / / //
/ / -- - 1, / / = 0 , reemplazando se tiene:
/( x ,y ,z ) = ( x - 1)2 4- (y — l)2 + ( z - l ) 2 + 2(x - l)(y - 1) - (y - l ) ( z - 1)
Desarrollar f(x + h, y + k, z + 1) en potencias enteras y positivas de h, k y 1 si1 1 1
f ( x , v, z) = x" + y~ + z~ - 2xy - 2xz - 2yz
Desarrollo
Se conoce que: f ( x + h,y + k, z + l ) - / ( x , y, z) + /z/v + kfy + lfz f
+ ^ h 2f ¿ + k 2f £ +l2y +2hkf“ - 2 / ; / / v_ • 2 A / / ; , ] ... (1 )
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i unciones de Varías Variables 171
9 9 9c o m o f ( x , y , z ) = x + y~ + z - 2xy - 2xz - 2yz entonces
fx = 2 x - 2 y - 2 z => f £ = 2
f í = 2 y - 2 x - 2 z => f ^ = 2
f ' = 2 z - 2 x - 2 y => f z í = 2
füy = - 2 . f í = - 2 , / " = - 2
re e m p la za n d o en la e c uac ión ( 1) se tie n e :*
f ( x + h,y + k,z + l) = f ( x , y , z ) + 2 h(x - y - z ) + 2 h(y - x - z + 2/(z - x - y) +
+h2 + k 2 + l 2 - 2 h k - 2 h l - 2 k l
2001 D e s a rro lla r p o r la fó rm u la de M o c la u r in hasta lo s té rm in o s de 2 o o rd en in c lu s iv e , la fu n c ió n / (x, y) = ex sen y
Desarrollo
Se conoce que:
f ( x , y ) = / ( 0 , 0 ) + xfl ( 0 , 0 ) + yf'y ( 0 , 0 ) +
+ U x 2f í ( 0 , 0 ) + 2xyf í (0 ,0) + y 2f í ( 0 M ... (1)
c o m o / (x, y => f ( 0 ,0 ) = 0
f ' ( x , y ) = exseny => / x (0,0) = 0
f í ( x , y ) = ex sen y => / " ( 0,0) = 0
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172 Eduardo Espinoza Ramos
2003
fx y (x ,y) = ex eos y => / " ( 0 , 0 ) = 1
f l (x, y) = ex eos y => / , ' ( 0 , 0 ) = 1
fyy (x,y) = - e xseny => / ^ ( 0 , 0 ) = 0
/ ( x , V ) = / ( 0 , 0 ) + x f ' ( 0 ,0 ) + v / ; ( 0 ,0 ) +
+ ^ ( * 2/ « ( 0 , 0 ) + 2 x y / " { 0 , 0 ) + y 2/ " ( 0 , 0 ) ) +
^ (x3/ ^ (0,0) + 2x2/ ^ (0,0) + 3x2/ " ; (0,0) +
+ \ - M Af L (0,0)+4x3y Q , (0,0) + 6 x2 y 2 (0,0) + 4xf3/ ^ (0,0)+y4/ ^ (0,0))4!
c o m o f ( x ,y ) = eos x eos y en e l p u n to ( 0 ,0 ) se tie n e :
f(oo)=o f 1 = o f 11 = i f 111 = o r = 1 / , / =o f n = - i f !/l = ov , j x v ? 7 jor A’ xxxv v ’ Jxxxx v -> J y ^ •> J y y 1 > -'vyy ’
=1 f 7/ = o f '" = 0 f 111 = 0 = 0 = 1 = oJ y yy y ’ x xy ’ J xxy > J xyy ’ y x u y ’ / xxyy 1 x yvvy
re e m p la za n d o y s im p lif ic a n d o se tie n e :
2 2 4 x- 2 2 4/v a , * + .V x + 6x y + y/ ( x , y ) = 1 ---------- — + —2! 4!
D e s a rro lla r p o r la fó rm u la de T a y lo r , en u n e n to rn o d e l p u n to (1 ,1 ) hasta lo s té rm in o s de 2 o o rd en in c lu s iv e , la fu n c ió n / (x , y) = y x
yí, ^ •
Desarrollo
Se conoce que:
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h unciones de Varias Variables 173
/ ( x , y) = A l 1) + & * X * - 1) + f'y d , 1X.V - 1) + / « ( U D ( * - D 2 +
+ f y y ( 1, A ) ’ - I ) ' + 2 f ' y I X * ~ ~ 0 ]
c o m o f ( x , y ) = y x en e l p u n to ( 1, 1) se tie n e : f ( l , l ) = 1, / * = 0 , f'y = 1 ,
- 0 , f[ ! y = 0 , f-J y ~ 1 ? aho ra re e m p la za n d o se tie n e :
f ( x ,y ) = 1 + ( y - l ) + ( x - l ) ( y - 1)
2004 D e s a rro lla r p o r la fo rm u la r de T a y lo r , en u n e n to rn o de l p u n to (1 ,-1 ) hasta los té rm in o s de 3er. o rd en in c lu s iv e , la fu n c ió n f ( x , y ) = ex+y
Desarrollo
Se conoce que:
A x , y) = A l - 1 ) + J jt /x . ( 1 - I X * - 1 ) + f y 0 . - l ) ( y + 1 )] +
+ ^ [ / » a - 1 X * - 1 )2 + / " ( 1, - 1)(>' + 1)2 +2füy { l - \ ){x -X ){y + \)}
- I X * - D 3 + 3 / ^ ( 1 , - i x * - 1)2O + 1 )
+ 3 /" , (1, - ix * - ix J + o 2 + C í1 -W -v + 1)3]
c o m o f ( x , y ) = e**1 en e l p u n to ( 1, - 1) se tie n e : f ( l , - l ) = 1, 1 , j xx = 1 ■
f ! L = 1 > / r = 1 . fy , = 1 • f m = 1 » / w = 1 ’ füty = 1 ’ re e m P la za n d o se tie n e :
/ ( x , jO = 1 + ( x - 1) + O + 1) + 2 - ( ( x - 1)2 + (y l )2 + 2 ( x - 1 +1)
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174 Eduardo Espinoza Ramos
2005
+ ~ [ (* ~ 1 )3 + 3 ( x - l ) 2(^ + l) + 3 (x - l) (y - f l)2 + (v + l)3]
« \ i xt n / n i [ ( ^ - D + (^ + l )]2 [(-V — 1) + ( y + 1)]3/ (x, y) = 1 + [( jc - 1) + ( V + 1)] + — — — — + — — —2 * 3 *
D e d u c ir las fó rm u la s a p ro x im a d a s , con e xa c titu d hasta lo s té rm in o s de 2d o o rd en , con re la c ió n a las m a g n itu d e s ex y P para las exp res iones:
1 + a (l + a ) m + (1 + fi)na) a rc tg j—^ b) ÍV
S i | a | y | P | son pequeños en c o m p a ra c ió n con 1.
Desarrollo
1 + (Xa) Sea f ( a , /?) = arctg------- , de donde se tie n e :
r
/ l - l f ,i 2(1-/?)(! + a )* (1 -f a ) 2 + (1 - /? )2 “ [(l + <z)2 + ( l - / ? ) 2]2
r¡ l + ____ // _ 2 (l-/7 )( l + ar)* ( l + a f + Q - t f ' & [(1 + a ) 2 + (1_ /?)2]2
W/ ( l - ^ - ( l - a ) Z u • jf aB = r — , h ac ien d o a = P = 0W [(1 + a ) + (1 - /? ) ]
-/ 1 ,// 1 w 1 w/ 1s e tie n e : f a =-,f aa = - , f p = - , f e =
f ( 0 ,0 ) = a rc tg 1 = 4 5 ° re e m p la za n d o en la fo rm u la r de T a y ló r se tie n e :
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Funciones de Varias Variables 175
b) Consideremos f { a , P ) - J - — —-— de donde
Ja\ \ + a ) m +(1 + P ) n
C = - J (1 + a r + ( 1 + /? r ( ro - l) ( l+ a )m~2 ~ ( l + « r ' w(1+a)4 V 2
m-1
í ( l + a f + ( 1 + ^ "
/ ; =« a + /? )-*
'(1 + « ) m + (1 + y0)"
4 V 2
fap = ( | ( 1 + / ? r ‘ + « ) m_1 ]
para a = p = 0 se tiene: f(0,0) = \ = ~ 7 ■. f L = TTÍ3"1 _ 4 ) , / « = ^ ,4 16 4
/-// 2 // AW/2 f ,f w = - y > n - A ) , f a/}= — , reemplazando se tiene:
¡ ( U g T + Q + jy = | + = « ü A + l [£ . (3m_ 4)a2 + i ( 3 „ _ 4)J2 4 2! 16 16 16
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s Á Á x M w r M J E w m m M w m
2006 Aplicando la fórmtda d^ Taylor, irasta los términos de 2do orden, calcular" ( \ \ 4 i l f - | W _ _
aproximadffiiéWt: a j yJl.Üi.f ^ rn ^ ü ia n c ^ q ^ S fo i
Desarrollo" í d 4- I ) u \' ~ l" i 14 4- ! }\\\
vAa) Sea f ( x , y ) = Jxyfy en el punto ()v(fsp t¡¡esr\e& + | n ,
14 -
\írl 1 rll 1 />/ 1 rll 2 „// 1
A = - - f xx = ~. / r = - , / w = - entonces"'(tt+Iim , v . , w , / 'W + [)+ ’" (» + 1)| m ,H= = = = = 7- (» + [ ) - (iVr l)(l ~H\)---------------------------------- \
1\+ i)+ y + k) = f( 1 + 0.03, 1 - 0.02)C \f Wü -f1
/ ( I + 0.03,1 - 0.02) = /(1,1) + -(0 .03 ) - 0.2(—) +2 ____ ' ‘V ^3 ( ¡h
, i '’{4\ + í)+ “'(v ++ — [(0.03)2(— )2 - 2(0.03)((K.02)------- f-0 .02)2] = 1.0081
21 4 6 9
íb)\ Consideremos f (x¿y ) = x en el p^ptp]^ l,2) ^ ti^ne\que t( 1,2) = 1.
= = — — H r r r r = r r r ^ r - - ) ( \ \ - f f ) - i - j ) { f - - V\ } — ------------------- : i. * ~ = v v . \'"/o r, . o-,... , r C |/ L v' ■
5 C \ 'í~ ; i “t“ * í ) - 4- ( ) “ * *
r
Luego f(x,+ h , ; v + ^ 7 = i r - p , 0 ^ 2,+ 0.01)í "i" ■ i 1 : !•< ------------------------ .,(-- ! "Íí\ t-!) - ) = ,.u\
\ t í \ \- / . . _
/ ( I - 0.05,2 + 0.1) = 1 - 0.05(2) + - (0 .0 5 )2 (2) - 2(0.05)(0.01)(0.95)2 012\
\ \ \ V i i
- — - * . \ * - m ^ . } — , ^ \ , — - v \ . i ----- ( 0 , 0 ) 1 . ‘ j í v j U * j r ; 0 - t \ ~ X ) i r t B q
■’ ' ' = 1 - 0.1 + (0.05)2 -(0.05)(0.01) = 0.902
2007 Sea Z u n a ;; ftmcióiv,nimplj deu & e y, determinada por la ecuación» o j fV> ’ r)í
z - 2xz + y = 0 que toma el valor de z = 1 cuando x = 1 e %y = 1. Escribir
varios términos del desarrollo <Je la función ^ e f í pótenciasr crecientes de las»<\*\m <• , r m i T\u -i-m\\ t (A i-IH- ’0o+í)| a ¡ ñ c r i? x%{ k v r m a ) — ¡ — ■ f- ~ : - i .dffererfelá^ x - T (fe y - T ^ f bA ¿ ~ + l ~ r ~ ~
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/ unciones de Varias Variables 177
* Cf •:
Desarrollo
Calcularemos su diferencial: 3z dz - 2(x dz + z dx) + dy = 0
~ . 2 z d x - d y dz 2 z dz 1De donde dz = entonces — = — ------- y — = — — -~ 2 o . . 2 m J 3 , . 23z - 2 x 3x 3z“ — 2x a_y 3z — 2x
,2 2 — (3z2 - 2x) - 2z(6z — — 2)d z 5x ; v cbcax2 (3z2 - 2x)2
¿ & 5z6 z^ “ 6 z ------ 2a z a>- a z
dy- (3z - 2x) axa^ (3z2 ~ 2 x f
para x = y = 1 = z se tiene:
dz _ d2z d2z dz d2z— = 2 , - = - 1 6 , —— = 10, — = - 1 , - = - 6 . Luegoex dx dxdy dy dy
z = f ( x , y) = 1 + 2(x -1 ) - (y -1 ) + i ( -1 6(x - 1)2 - 6 (y - 1)2 + 20(x - l)(v -1))W ’;v/ J ( J
f ( x , y ) = l + 2 ( x - l ) - ( y - l ) - 8(x- 1)2 - 3 ( y - 1)2 +10 (x -1 )(^ -1 )
(>. 13. EXTREMO DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.-
lra. DEFINICIÓN DE EXTREMO DE UNA FUNCIÓN.
Una función f(x,y) tiene un máximo y un mínimo f(a,b) en el punto p(a,b), si
para todos los puntos Px(x,y) diferentes de p(x,y), de un entorno
suficientemente pequeño del punto P, se cumple la desigualdad f(a,b) > f(x,y) o f(a,b) < f(x,y), el máximo o mínimo de una función se denomina extremo, en forma similar se termina los extremos para una función de tres variables.
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178 í
Eduardo Espinoza Ramos
2do. CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS.
Los puntos, en que la función diferenciable f(x,y) pueda alcanzar un extremo (es decir, los llamados puntos estacionarios) se hallan resolviendo el sistema de
ecuaciones f'x (x, y) = 0 , f'y (x, y) = 0 ... (1)
(Que es la condición necesaria para la existencia de extremo)
El sistema (1) es equivalente a la ecuación df (x,y) = 0, en el caso general, en el punto extremo P(a,b) de la función f(x,y) o no existe df(a,b) o df(a,b) = 0.
3ro. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMO.
Si P(a,b) es un punto estacionario de la función f(x,y) es decir df(a,b) = 0; entonces
i) Si d 2f { a , b ) < 0 , siendo dx2 + d y 2 > 0 , f(a,b) es un máximo de la función f(x,y).
ii) Si d 2f ( a , b ) > 0 , siendo dx2 + d y 2 > 0 , f(a,b) es un mínimo de la función f(x,y).
iii) Si d 2f ( a , b ) cambia de signo, f(a,b) no es punto extremo de la función
f(x,y)
Las condiciones mencionadas equivalen a:< ; y f / t - v ff ;v r j "ví; ■
f *(a,b) = f ' ( a , b ) = 0 y A = f £ ( a , b ) , B = f " ( a , b ) , C = f £ ( a , b ) .
2formamos el discriminante A = AC - B , entonces: *>
, . , 1 . . . , . • e * V •i f • • [ ; " • t. • • ■ i ' • : • ! - ;VÍ . •< > , ! ; . : f : ■
i) Si A > 0, la función tiene un extremo en el punto P(a,b) y es un máximo si
A < 0 (o C < 0) y un mínimo si A > 0 (o C > 0).
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Funciones de Varias Variables 179
ii) Si A < O, en el punto P(a,b) no existe extremo.
lii) Si A = 0 en el punto P(a,b) no existe extremo (si A = 0 la existencia del
extremo de la función en el punto P(a,b) queda indeterminada es necesario continuar la investigación).
4to. CASO DE FUNCIONES DE MUCHAS VARIABLES.-
Para las funciones de tres o más variables las condiciones necesarias para la existencia de extremos son análogas que los casos anteriores.
5to. EXTREMO CONDICIONADO.-
Se llama extremo condicionado de una función f(x,y) en el caso más simple, al máximo o mínimo de esta función, alcanzando con la condición de que sus
argumentos estén ligados entre si por la ecuación <p(x,y) - 0 (ecuación de enlace) para hallar el extremo condicionado de la función f(x,y) con la
ecuación q>(x,y) = 0 se forma la llamada función de Lagrange.
F(x,y) = f(x,y) + X tp(x,y) donde X es un multiplicador constante indeterminado, y se busca el extremo ordinario de esta función auxiliar. Las condiciones necesarias para que haya un extremo se reduce el sistema de tres ecuaciones.
+ ÁÉ £ = odx dx dx
í £ = á C + / l£ 2 = 0dy cy cy
... (2)
con tres incógnitas, x, y, A. de las que, en general, se pueden deducir estas.
El problema de la existencia y el carácter del extremo condicionado se resuelve sobre la base di estudio del signo que tiene la segunda diferencial de la función
de Lagrange.
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. ’ t* ' M - I * • r * . a. J ■ I f M t H K - Vrt ..4’ .«<- <«•- 4..- MtrflM 'l.w m iKVO 4' .JUHHil' ••%.•« .-«*b*W.‘U 1» I * V •>.» • « ■MMri’MOT» <• / W H H Í ' lW W l
1 l? {i*d r c x c y d y
Mv BíomieVAO ai 0 ~ ¿ a&i/.o ah (n,r á] oJi'u/q i f-- ■ 0 - /., iZ (¡si
r¿ ' C n p ^ ^l s i ^ to a de C a l o r e s - J A , que ^hyestigaiáosjobtétndó de (2), con la condición de que dx y dy> pstén^lapionaáqs*jeptr^ ^ p ^ p r la ecuación
^ dx + dy = 0 , (dx2 + dy2 * 0 ).OX J f l A I H / ' / ^ A I I b b J M 3 0 ^ 3 / Ü I >/■!" ! 3 0 O ^ A 3 .o ) ! '
1 1 '■í iá 1 fü í íé ió ii ft>cí,5r)Jííé iiüfáí' ií f iJ rníá^ im o "¿bríd i6to ii¿ tfo ; k i 3 f 2F <f b f tm m ín im o. ? w > h 3 ! n & ¿ o z a o ? o i - ' ¿ u o f c f c j a o b n s n o * z o : i : t í - ? x y : > b e i Q í n i ^ i x o
condicionado, si d"F > O ; en particular, si el discriminante A para la función
F(x,y) en el punto estacionario* é&í póMtivó|CM(éSte(piÉitOl Káteá,<wñ. máximocondicionado de la función f(x,y) si A < O (o C < 0) y un mínimo
iv; Iqüí,'¿ chiH Q%K0 h ív ./íl ^on/iui un¿) ajL obhr.oblbao^ ornVi?¡to smaH o?, condicionado, si A > 0 (o C > 0).
rüjn oup üt> n o b ib n o o ib noo oi>/iisfAhjU: .n o b n u -i v.- ev¿ O.) o rrr ic ifn o orrdxf-;mb nóiofiEirafoftna Similar íoárbd. easdde>Iasífunciones«delüesnvamble&^rnu2-u
¿íi n o 'j (y>fx)'i n o h m i í ü o b n o io í f>no_ o .n ^ i ix : ) b m í b r i m e oInvestigar si tiene extremos las siguientes funciones de dos variables.
.ugnmgfíJ vi? riobniil #L&fn&!í. ib .íinrnói ^ 0 •■ ív././o í/>;b&u:b •
2008 z = ( x - 1 ) 2 + 2 y2v i n o f ó n o o l o b i í o i l q i í l u m n u A ■ ^ e ¿ a r r o l Í o ' / ' ' ^ A r
y .n J . w i l i x i f s r r o i jm J i s ú z z v b o n ^ m l n o o r í i ín t / o h w r d d 3 3 v o L im í/ t n s i id im
g^ii so gSe$d¿ « t)$ x#2y? í¿haHa*em<s«#Sr:.puntos:'ostacácwrairio^:.para esto
encontramos las derivadas parciales: a : .j
d z
1 ) d x
d z
= 2(x - 1) = 0 => x = 1 10<\V~i . Vj
; X'") x ’> y. >=> p( 1,0) punto estacionario
= 4 y = 0 => y = 0d y
.zñías li'juhvh mlsj-nq qz Alhhhaá1 vj .oup.acl sL ,.b,7 ..r, ncyi nvahora encontramos las derivadas parciales de 2do. orden en el punto p(l,0),
oh.fí/ioíaibnco onmix'j b b i^t:bi£3 h v e,iP 2Z „ , t . d 2 r r d 2 Z
í¿1()i ’Ji > UI iiÁL.»[33? 2 | ¿rf’ p-4 M¡>4 4 ¡d x 2 ’ Sri9>» ’ (3v2
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Funciones de Varias Variables 181
2009
2010
Formando el discriminante se tiene: A - AC -B^ = 2(4) - 0 = 8 > 0 a A > 0
Luego en el punto P( 1,0) la función tiene un mínimo es decir: para x = l , y = 0 se tiene: z min = 0
z = ( x - \ ) 2 - 2y2Desarrollo
z = ( x - l ) 2 - 2 y 2 — = 2 ( x - l )dx
d2 z
dx2= 2
czdy
= - 4 yd2z
dv2= - 4
d .dz. d (— ) = — ( 2 * - l ) = 0
dxdy dy dx dy
para encontrar los puntos estacionarios se tiene:
didx
= 0 de donde x = 1
dzdy
= 0 de donde y = 0
a = A)Adx dy dxdy
2(—4) - 0 < 0( 1,0 )
como A < 0, la función no tiene extremos.
z = x2 +xy + y 2 - 2 x - yDesarrollo
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182 Eduardo Espinoza Ramoi
2011
2 2 z - x + xy + y - 2 x - y CZ— = 2x 4- y - 2dx
d z => — = 2
dx"
dz
dy
d2zx + 2y — 1 => — - = 2
dv'
d z ddxdy dy
(2x + y - 2 ) = \
dz dzpara encontrar los puntos estacionarios se tiene: — = 0 y — = 0
dx dy
de donde se tiene:2x + y - 2 = 0
x + 2 y -1 = 0resolviendo
x = 1
>> = 0
A =~)2 ^2 2 o z d zdx2 dy2 'dxdy
(2)(2) — 1 = 3 > 0( 1,0 )
a 2zcomo
ax'> 0 => existe un mínimo en el punto p(l ,0).
( 1,0 )
Es decir zmin = l2 +1(0) + 0 - 2 ( 1 ) - 0 => zm in = -l
z = x3y 2( 6 - x - y ) , (x > 0, y > 0)
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 183
2012
CZ CZ,encontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos — = 0 y ^
dx ' cv0
x2y 2 (18 - Ax - 3y) = 0
1 2x3y - 2 x4 y - 3 = 0es decir: resolviendo el sistema se tiene:
x = 0, y = 0, p(0,0), x = 3, y = 2, p 2(3,2)
- 36x2v2 - 1 2x2y 2 - 6 xy3, - 1 2 x3 - 2 x4 - 6 x3 vax2 ay2
a2zdxdy
2 23 6 x y - S x y - 9 x y
a2z a2z a2z 2para el punto p x (0,0) se tiene: A = — 7 7 - ( ) = 0
dx2 dy2$ extremo
ahora veremos para el punto P2 (3,2)
a2z a2z a2z 2 &2z aA = — — - - ( ------ ) =11664 y c o m o — - < 0•2 °--2 'dxdydxz d y dx'
se tiene un máximo en el punto P2(3,2) donde z max = 106.
z = x4 + y 4 - 2x2 + 4xy - 2 y‘Desarrollo
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184 Eduardo Espinoza Ramos
2013
dz czencontraremos los puntos estacionarios para esto hacemos: — = 0 a — = 0
dr dy
, . 4 r 3 - 4 x + 4y = 0es decir:
4 y 3 + 4x - 4y = 0resolviendo el sistema se tiene:
x - 0, y = 0 => /¡(0 ,0 ), x = \¡2
y = - J 2 => P2(V2,-y¡2)
x = ~\Í2 , >’ = V2 =>
-\2 ~*2 ^2 -v2,c z ^ c z , o z c zPara los puntos A y P3 se tiene que: A = (— -)(— ~) - (------ ) > 0 a — ~ = 0
dx" dy dxdy dx~
entonces la función tiene un mínimo en z min = -8 y para el punto /^(0 , 0 ) se tiene A = 0 no tiene extremo.
a 2 b 1Desarrollo
1 x y xy i 2,2 Z ~ X}> a2 ~ ab
^ •> *> 3cz v / i 7 x~ y a~b y —2x"v—v~
I - - I ‘ ✓v / -7, o 9 o x v— Ja~b^ -x" - \r ,.......... -
-T ab^a2b2 - x 2 - y 2 abyja^b2 - x 1 - y 2
, 2 2/2 o - 3GZ X / 1 , 2 2 7 # r - 2xv - xyja^b - x - y ^
abyja2b2 - x2 - v2 ab^¡a2b2 - x 2 - y 2■ » ■ V . '
dr drhaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene:
dx dy
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Funciones de Varias Variables 185
2014
a 2b2y - l x 2y - y 3 = 0
a2b2x - 2xy2 - x3 = 0resolviendo el sistema se tiene:
a bx = 0, y = 0, x — ± j= , y = ±-r=
73 73
a b x <2 b .Luego para los puntos / j (— =r) y P2{ - —j = , - —j=) se tiene:
d2z d 2z d2z 2 A A = (— )(— ) - (-T-r -) > 0 y como _ 2a2z <0
ojc ay
entonces la función tiene un máximo en Z max =373
^ 6 x ✓ a b xy para los puntos P3( - j = , — y PA{— -¡=,—¡=) se tiene:7 3 ’ 73
a2zd2z d2z d 2z 2 n v l _A = ( - ) ( — ) - ( — — ) > 0 y como — > 0ax ay ax'
entonces la función tiene un mínimo en Z min
se tiene A = 0 no tiene extremo.
ab373
para el punto P5 (0,0)
z = l - ( x 2 + / ) 3Desarrollo
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186 Eduardo Espinoza Ramos
2015
dz dzHaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy
A A • 32 Z r, 32 Z r, d2 Z r,x = 0 ; y = 0 y para este punto se tiene: — - = 0 , — - = 0 y = 0dx dy dxdy
y como para cualquier valor de x e y se resta de 1 de la gráfica
2z = \ - ( x + y ) 3 se tiene z max = 1 esto ocurre en el punto (0,0).
z = (x 2 + y 2)e (x2+y2)Desarrollo
z = (x2 + y 2)e~(x2+y2) => — = { 2 x - 2 x y 2 - 2 x } )eHx2+y2)dx
~ = ( 2 y - 2 x 2y - 2 x i )eHx2+yl) dy
dz dzhaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy
2x - 2xy2 - 2x3 = 0
2y - 2x2y - 2x3 = 0resolviendo el sistema se tiene:
9 9x = 0, y = 0, x + y =1 luego para el punto p(0,0) se tipne:
d 2z d 2z 8 2z 2 r, d2zA = > 0 A T T < 0dx dy dxdy dx
' 2 2La función tiene un mínimo en z min = 0 para el caso en que jc + y =1 se
* a d2z A , , • , . 1tiene A > 0 y como — - < 0 , la función tiene un máximo en z max = —dx2 e
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Funciones de Varias Variables 187
2016
2016
Vil + x ~ 2
9 9+ x + y~Desarrollo
1 + x — y cz y~ —x + xy + 1
•y/l + x 2 + y 2 ex yj\+X2+ y
dz _ x + xy + y +1
dy yj\ + x 2 + y 2
dz dzHaciendo — = 0 y — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy
y - x + xy -l-1 = 0
- ( x 2 +jty + y + l) = 0resolviendo el sistema se tiene:
d 2z ,d2z v , d2x = 1, y = -1 de donde en este punto: A = (— r)(— - ) - ( > 0
dx~ dy dxdy
como:d2zdx2
< 0 => la función tiene un máximo en Z max = V3
8 x y z = — + — + y (x > 0, y > 0 )x y
Desarrollo
8 xz = — i y
x ydzdx
8 1 + _
* ydz _ x dy y :
+ 1
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188 Eduardo Espinoza Ramos
Sz SHacemos — = 0 y — = 0 es decir:
dx dv
4 +i = 0
+ 1 = 0y
Resolviendo el sistema se tiene: x = 4, y = 2
a2zen donde para este punto se tiene: A = ( - ) ( > 0 y —t > °
dx~ dv~ dxoy dx“
entonces la función tiene un mínimo en: z min = 6
2016 z = ex }'(x2 — 2y 2)Desarrollo
ex y (x2 - 2 y 2 ) => — = (x2 + 2x - 2y2 )ex vdx
dz ,-— = (2y~ - x~ - 4 y)edy
X - V
Sz Zhaciendo — = 0 a — = 0 es decir:
dx cv
x 2 + 2 .y - 2 y 2 = 0
2 y2 — x 2 ~ 4 y = 0resolviendo el sistema se tiene que:
x = y = 0, x = 4, y = -2 . Luego para el punto fj (0,0) se tiene:
-\2.C Z . .O Z v O Z jA = (-— )(——) - (~:-----Y < 0 no tiene extremo y para el punto B> (-4 ,2 )ax2 dy*- dxdy
T",a2z. , a V „ a2z v? a2.
se tiene: A = ( ^ X ^ r y ) - ( j r z r Y > 0 y como — < 0dx dy dxoy dx"
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I unciones de Varias Variables 189
2(117
entonces la función tiene un máximo en z max = 8e
Hallar los extremos de las funciones de tres variables:
u = x~ + y" + z - xy + x - 2z
Desarrollo
2 o 9u = x + y + z~ - xy + x - 2z derivando se tiene:
du du du _ _2 x — y + 1 , — = 2 y — x , — - 2 z - 2
dx dy dz
haciendo — = — = — = 0 para obtener los puntos estacionarios es decir:dx dy dz
2x~ y + 1 = 02 v - x — 0
✓
2z - 2 = 0
2 1resolviendo el sistema se tiene: x = —, y = —
3 3
' * > ' 2 / - s 2 2 2o u d u d u - d zademas — — = — - = — — = 2 a --------- = 2
dx2 dy2 dz2 dxdy
d2udxdz
d2u0 ; ------- = 0 además se conoce que:
dydz
2 d u 2 d 11 j 2 d 11 i 2 - d~ud uO
8^u d 2udxJ
dx~ h -d y H-------— dz~ + 2 dxdy + 2 -------- dxdx + 2 ---------dyd ;ay dz dxdy dxdz dydz
2 1 2 i - v d~ Uen el punto (— ,— ) se tiene d u > 0 y como — - > 03 3 dx
entonces la función tiene un mínimo en Z min = -
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190 Eduardo Espinoza Ramos
i ? O2018 u = x-\------+ — + — , (x > 0, y > 0, z > 0)
4x y zDesarrollo
2 2^ y z 2Como w = x + ------ 1 h—, se tiene:
4* y z
du _ y 2 dw _ y z 2 dw _ 2z 2dx 4x2 dy 2x y2 ’ dz y z 2
TT . du du du _ t .Haciendo — = — = — = ü para obtener los puntos estacionarios es decir:
dx dy dz
1 -4x2
2y Z
2x /2 z 2
= 0 resolviendo el sistema se tiene: , = ± I , y = ± 1, z = ± 1
comod w y d u 1 2z d w 2 4
= — +dxz 2x3 ’ dy2 2x y 3 ’ dz2 y z3
d 2u y d udxdy 2x2 ’ dxdy
= 0 ,d 2wdydz
2z
1 . n ^ J i > Q ja función tiene un mínimopara el punto (— ,1,1), w > 0 y como
1dx'
en z min = 4 y para el punto: (— ,-1 ,-1 ) no se tiene en cuenta de acuerdo a2mt
las condiciones del problema.
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Funciones de Varias Variables 191
2019
2020
Hallar los extremos de las funciones Z, dadas de forma implícita:
x2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4y - 6 z - \ l = 0
Desarrollo
Consideremos / ( x , y, z) = x 2 + y 2 + z2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 de donde
f l = 2x - 2 , f ' = 2y + 4 , / / = 2z - 6 haciendo = f[, = f l = 0
para obtener los puntos estacionarios es decir:
2 x - 2 = 0
2^ + 4 = 0 2 z - 6 = 0
resolviendo el sistema se tiene que: x = 1, y = -2, z = 3
como x2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 6z -11 = 0 determina dos funciones es decir:
z = 3 ± y 2 5 - ( x - l ) 2 -(>> + 2)2 para una función en el punto x = 1, y = -2 se
tiene un máximo en z = 8 y para la otra función en el punto x = 1, y = -2,
se tiene un mínimo en zmin = -2 .
x3 - y 2 - 3x + 4y + z2 + z - 8 = 0
Desarrollo
Sea / (x, y, z) = x3 - y 2 - 3x + 4y + z 2 + z - 8 = 0 de donde se tiene:
f l = 3x2 - 3 , f ¿ = - 2 y + 4 , f l = 2z + I dedonde = f [ = 0
para obtener los puntos estacionarios es decir x = ± 1, y = 2. Luego para el
punto / j( l ,2 ) se tiene:
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192 Eduardo Espinoza Ramos
2021
2022
d2z d 2z d2z 2 d 2z . .A = (— -)(— -) - ( ) > 0 y como — - > 0 la función tiene un mmimo en
dx1 dy2 dxdy dx2
zmin = 1; para el punto Px{ - 1,2) se tiene > 0 y A < 0 => la función tiene un
máximo en zmax = -2 .
Determinar los extremos condicionados de las funciones:
Z = xy si x + y = 1Desarrollo
Sea F(x,y) = xy + A(x + y - 1) de donde se tiene:
F ‘ = y + A , F ’ = x + A, F * = 0 , F " = 1 , F " = 0xy*//vv
formamos el sistema siguiente
F ' = 0
f ; =ox + y = 1
y + A x + A x + y
= 0 = 0 = 1
x = v2 2
2 2diferenciando x + y = 1 se tiene dx + dy = 0 además d F = -2¿/x < 0
entonces la función tiene un máximo en: Z max = para el punto
z = x + 2y , si x + y" = 5
Desarrollo
Sea /^(x, v) = x + 2 + y + Z(x + y - 5) de donde
= 1 + 2Ax, F ' = 2 + 2Ay, , f " = 0 , f£ =2/1
ahora formamos el sistema siguiente:
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Funciones de Varias Variables 193
f ; - oF v - O
v) •“ Oí
1 + 2Áx O< 2 - i- 2Xy = Oi ■> ix~ 4- v~ - 5 = 0
resolviendo el sistema se tiene:
x t' 1, y - 2, - . x -• - l . v - -2, A = ---") ' " 9
corno d ¿F ~-2?AdxJ rdy~) para x p l, y *=2, i
Se tiene t / 'F < 0 => la función tiene un máximo en zmax = 5
para x - i, y - -2, 2 ~ - se tiene: d F > 0
~min ~
la función tiene un mínimo9/ _
9 . X V .- .r ‘ + v" , si ~ + — = 12 3
Desarrollo
, v) = x¿ + v2 + 2 ( - -f — -1 ) de donde:2 3
f ¡ ? X' + ■— F - v -t- --- F // = 2 F !/ = 0 F lf = 2í v » * v 3 ' XV *V ’ _V V
ahora formamos el sistema siguiente:
r?1 , ¿ 2v -i—9/•; = o
<3i!
F ' = 0 0 ¡ !A _
9 ^2 y -f- —* 3
O1!
f ( V. .n = 0> X V7 ---h —--1 3
i ii O
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194 Eduardo Espinoza Ramos
2024
v - i £ - 1 1X ~ 3 ’ y ~ 13’ ~ 13
para este punto se tiene d 2F - 2(dx2 + dy2) > 0
la función tiene un máximo en Z max = 3613
? ? ncos“ x + eos y“ , si y - x - —4
Desarrollo
Sea F(x, y ) = eos2 a* + eos2 v + A( y - x - —) de donde: Fx - -2 eos a.sen x - Á ,4
Fy = -2 eos y sen y , F'x - - 2 eos 2a* , Fvy = -2 eos 2 y , /^ . = 0
Fonnamos el sistema siguiente:
Fx = 0
F v = 0
<P(X, V) = 0
-2 eos a* sen x - A = 0 -2 eos y y + / = 0
71y - x = —
4
> z=> séw 2x - -sen 2y
71como v - x + — => sen 2x = -sen(2x H— )
4 2
o o 71 K osen 2x - -sen 2x eos----- sen — eos ¿a'2 2
sen 2x = - eos 2x
sen 2x = — eos" x + sen"x => 2sen x eos a* = 2sen"x — 1 , de donde
4 ° — 2- • 1 A J -1- ^ —- -> sen x = ± 0.9238 y,sen x - %sen~x + 1 = 0 , de donde sen x - ±,
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Funciones de Varias Variables 195
2025
sen x = ±0.3856 de estas soluciones tomamos las siguientes:
para x = 67.5°, y =157.5°
3>7Tsen x = 0.9238 => x = arcsen(0.9238) = — + kn donde k = 0,l,2,3.
Sen x = -0.3826 => x = arcsen (-0.3826)
x = —7r + kn para k = 0,1,2, en este punto d F > 0 la función tiene un 8
3 3mínimo en el punto (— n + kn,—x + kn)
8 8
^ . 2 - V 2 , ,1 n . 9n . xZ min = --------- y para el punto (— + kn, h kn)
2 8 8
de donde d 2F < 0 => la función tiene un máximo en: Z max =2 + V 2
u = x - 2y + 2z , si + z2 = 9
Desarrollo
Sea F(x ,y , z ) = x - 2 y + 2z + A(x2 + y 2 + z 2 - 9 ) , de donde se tiene
F' = l + 2Ax, F ' = - 2 + 2Ay , Fz/ = 2 + 2Az , F " = 2 A , F " = 2 A , F " = 2 A ,
= 0 , FyZ - 0 , F"z = 0 . Formamos el sistema siguiente:
=JCF 7 =y
0
0
1 + 2x = 0-2 + 2y = 0 resolviendo el sistema se tiene que:
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196 Eduardo Espinoza Ramos
2026
2x = ± l , y = ± 2 , z = ± 2 , A = + — además d 2F = 2A(dx2 + d y 2 + d z 2)
para los valores x = 1, y = 2, z = 2, A =
se tiene d F < 0 => la función tiene un máximo en z max = 9
1 2para los valores x = -1, y = -2, z = -2, A = — se tiene d F > 0
entonces la función tiene un máximo z min = -9.
2 2 2u = x 2 + y 2 + z 2 , si -t-~~r”"i- — 1 ( a > b > c > 0 )
a 2 b2 c2
Desarrollo
2 2 2 7 7 7 x y zSea F{x , y, z) = x + y + z + + + —y -1 ) de donde se tiene:
a b c
Fl = 2 x +2 Ax
F Í = 2 + , F " = 2 +
a 2A
F ' = 2 y +2 Ay
u 2Ayy 9 - ZZ
Z777 — f 11 xy * yz
_¡ 2AzFz = 2 z + —
F " = 0XZ
F 11 = 2 + 2ÁXXa
Ahora formamos el sistema siguiente:
F ’ = 0
f; = o
f ' = o
<p(x, y, z
2x2x + - y = 0
a
2 V + = 0
2z2z + — = 0
c2 2 2 x y z
—r + + r = 1a
resolviendo el sistema se tiene que:
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/ unciones de Varias Variables 197
2027
2028
para x = ± a, y = z = 0, A = - a
y = ± b, x = z = 0, A - - b ‘
z - ± c, x = y = 0, A — - c ‘
para x = ± a, d F < 0 tiene máximo en Umax = a
para z = ± c , d F > 0 tiene mínimo en Umin = c
u = xy2z 3 , si x + y + z = 1 2 , (x ,y ,z>0)
Desarrollo
Sea
F' = 2jtyz3 + / l , f ; J x y V + A, F £ = 0 , F " = 2xzJ , Fz" = 6xyzz ,
F(x,y , z ) = x\ ::* + A(x + y + z — 12) de donde:2 . 2 II .// .//
.y
.//F ” = 2yz i , F 1' = 6,v , / 'v; = 3j>zzz , formamos el sistema siguiente:.// 2 _2
K = o
F ' = 0
f; = o
<p(x,.y,z) = 0
• z + /í = 0
2 xyz + A = 0 resolviendo el sistema se tiene:
3.xy2z 2 + A = 0
x = 2, y = 4, z = 6, X = -3456
2 2 3donde este punto d F < 0 => la función tiene un mínimo en Umin = 2.4 .6
u = xyz con las condiciones x + y + z = 5, xy + yz + zx = 8
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = xyz + A(x + y + z - 5) + p(xy + yz + xz - 8) de donde:
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198 Eduardo Espinoza
F xí = yz + A + Py + p z , F'y = xz + A + p x + Pz ,
adem ás se tiene : F[' - FÍL = F l = O , FA A V V A
F vr = y + p aho ra fo rm a m o s el s is tem a s ig u ie n te :
Fz - xy + A + p v + Px
z + P , Fvz — x + p \
Fí - 0X
f ; - o f : = o<p(x,y,z)y/(x,y,z)
00
16
yz + A + p y -f PzXZ ~h A Px Pz xy + A + P y -f- P x x + y 4- z = 5 xy + yz + xz = 8
000 re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e que:
para A = — , /? 4 se tie n e : ¿ A A A3 3 3 3 “ 3 3 3 3 3 3
para A = 4 , (3= -2 , se tie n e : F4 ( 2 , 2 , 1 ), F5( 2 , l , 2 ) , F6 ( l , 2 . 2 )
c o m o las co n d ic io n e s son:
x + y + z = 5 , x y + y z + x z = 8 d ife re n c ia n d o se tie n e dx dy + dz = 0
(y + z )d x + (x + z )d y + (y + x )d z = 0
re s o lv ie n d o en té rm in o s del d ife re n c ia l dy se tie n e :
dxv x — v- - dy , dz — dy
x
{5 4d~F = (z + A )dx dy + (x + p)dy dz + ( y + p)dx dz para A — — , P — — en.9 3
2 • , 1 1 2 4estos p un tos d F < 0 en tonces la fu n c ió n tie n e un m á x im o en U m a x = ------2 í
para lo s v a lo re s A = 4, (3 = -2 en estos p un tos d 2F > 0 la fu n c ió n tie n e uni m ín im o en U m in = 4
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/ unciones de Varias Variables 199
2029
2030
"X* | 12 | ^ .......... ....... .Demostrar la desigualdad 1— - —— > -y xyz , si x > 0, y > 0, z > 0
F
INDICACION: Buscar el máximo de la función u = xyz con la condición deque x + y + z = s
Desarrollo
Sea F(x,y,z) = xyz + X(x + y + z - s) de donde: Fx = yz + A , Fv = xz + A ,
Fz = xy + A además: Fxx = F VT = FÍ = 0 , Fxy = z , Fyz = x , Fxz = y
ahora formamos el sistema siguiente:
f ; = o f ;
= 0= 0
yz + /i = 0 xz + A- - 0 xy + A = 0 x + y + z = s
resolviendo el sistema se tiene que para A — ; x = y = z = ^
s s scomo d 2F < 0 la función tiene un máximo para el punto »“ ) en
zz max =27
Luego la desigualdad — > yxyz es verdadera con lo cual queda
demostrada.
Determinar el máximo absoluto de la función: z = 1 + x + 2y en las regiones:_
a) x > 0 , y > 0 , x + y < l
b) x > 0 , y < 0 , x - y < l
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200 Eduardo Espinoza Ram<
Desarrollo
E x a m in a n d o en la fro n te ra de la re g ió n .
C uand o x = 0 se tie n e z = 1 + 2 y com o x + y < 1 en tonces z max = 3
en e l p u n to (0 ,1 ) y adem ás en el p u n to (0 ,0 ) se tie n e Z m in abs = 1
A h o ra cuando y = 0 se tie n e z = 1 + x c o m o x + y < 1 en tonces z max
abs = 2 para el p u n to (1 ,0 ) y para e l p u n to (0 ,0 ) se tie n e Z m in abs = 1, lu e g o el v a lo r m á x im o a b so lu to es z = 3 para el p u n to (0 ,1 ).
b) C u a n d o x = 0 se tie n e z = 1 + 2 v , -1 < y < 0 com o x - y < 1 (ver
g rá fic o ) => Z m a x abs = 1 en el p u n to (0 ,0 ) y en el p u n to (0 ,-1 ) se tie n e
A h o ra cuando y = 0 se tie n e z = 1 + x , 0 < x < 1 ==> z m a x - 2 en el— -d t-p u n to ( 1,0 ) y en el p u n to ( 0 ,0 ) se tie n e : Z m in abs = 1.
L u e g o el v a lo r m á x im o a b so lu to es z = 2 para v a lo re s de x = 1, y = 0.
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¡ unciones de Varias Variables 201
m \ Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones:
9 2 9 • ' 2 2a) z ~ x y b) z - x - y en la región x + y < 1
Desarrollo
2 2 2 ">a) Suponiendo que x + y - 1 => x = 1 - y~
O O f/.Z ^como z = x " y = y ( l — ~ y - z de donde — = 1 - 3 y" = 0
dy
1 , 2 i . . /2 1y = ± —— x = ± J — luego se tiene para el punto ( ± J - ,—pr)V 3 V 3 V 3 V 3
2 2 1 2 Z max «fe = — pr y para el punto ( / — + / - ) , Z min =/--- J V/i 4/ ? 4/ / 9 ^ ****** *1 7 /--3 ^ 3 V 3 V 3 3 V 3
b) Sea f ( x , y ) = x2 - y 2 + A(x2 + y 2-1 ) de donde:
ahora formamos el sistema
./; - 2 . v 2/l.v , f ' = 2 A y - 2 y,f''x =2 + 2A, / " = 2 A - 2 , / " = 0
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202 Eduardo Espinoza Ramos ________________________
fx = 0 2x + 2Ax = O~ O > => ^ 2 d y - 2 y - 0 resolviendo el sistema se tiene:
<p(x,y) = 0 x 2 + y 2 = 1
para X = -1, x = 0, y = ± 1
A, = 1, x = ± 1, y = 0
Luego se tiene que para el punto (± 1 ,0 ) se tiene z max abs = 1 y para el
punto (0,±1) se tiene z min abs = -1
Para la región dentro del circulo el valor de la función es menor que 1 y a menos l .
2032 Determinar el máximo y mínimo absoluto de las funciones z = sen x + sen yTí Tí
sen (x + y) en la región 0 < x < — , 0 < v < —2 " 2
Desarrollo
Como z = sen x + sen y + sen (x + y) entonces
cz- eos x + cos(x + y ) , eos y + cos(x + y) y para encontrar los puntos
ex cv
estacionarios hacemos — = 0 , — = 0 es decir:cz „ cz
de donde eos x + eos y = 0 => x = y , x = -y
reemplazando en la ecuación eos x + eos (x + y) = 0
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Funciones de Varias Variables 203
7T 71 71 77x — — como x = y => y = — como — < — está dentro de las condiciones
3 3 3 2y para el caso de que eos x = -1 => x - tu que no está dentro las condiciones
K Kdel ejercicio. Luego para el punto se tiene un máximo interno
3 3
3n/3Z maxa/)5 = — — y para el punto (0,0) se tiene un mínimo en la frontera
Z mintí¿)v - 0.
2033 Determinar el máximo y mínimo absoluto de la función z = x3 + y - 3xy en la
región 0 < x < 2 , -1 < y < 2Desarrollo
7 7 CZ i CZ 7Como r = x + y - 3xy entonces se tiene: — = 3x“ - 3 y , —- = 3 y“ - 3x y
ex oy
cz dzpara encontrar los puntos estacionarios hacemos — = 0 , — = 0 es decir:
ex dv
3x - 3 y = 0
3 y 2 -3.v = 0=> resolviendo el sistema se tiene: (0,0) y (1,1)
ahora de acuerdo a las condiciones del problema se tiene cuando x = 2, y = -1 se tiene un máximo absoluto (máximo de frontera) en z =13 y cuando x = y = 1 se tiene un mínimo absoluto (mínimo interno) en z = -1 y cuando x = 0, y - -1 se tiene mínimo de frontera en z = -1.
6.14. PROBLEMAS DE DETERMINACIÓN DE LOS MÁXIMOS V MÍNIMOS ABSOLUTOS DE LAS FUNCIONES.-
2034 Entre todos los paralelepípedos rectangulares de volumen V dado, hallar aquel cuya superficie total sea menor.
Desarrollo
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204 Eduardo Espinoza Ramos
Por condición dei problema se tiene:
VV = xyz de donde z = — además la superficie es:
xv
2 x v 2 y vA = 2xy + 2xz + 2yz d donde: A - 2xv H--------h ——
XV XV
. . 2v 2vA = 2 x y + h —
V x
cA , 2v o A Derivando se tiene: — = 2 v — - , —
ex x~ cv2x -
2v
V
cA cAHaciendo — = 0 , — - 0 para obtener los puntos estacionarios se tiene:cv
V -2Vx
0
IV2x - —— = 0
V
> resolviendo el sistema se tiene que: x - y - \>
d A 4V 5~A V. . . . _ _
ex x cy
y a i*» ^ v exoy
> 0 en el punto x = y - IÍV y como2 4 2 ic A x A
ex cv dxcv
2 4c A
ex> 0
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inficiones de Varias Variables 205
2035
la superficie total seria menor cuando x = y = z = 1¡V donde At = 6V3
Que dimensiones deberá tener un baño abierto, de volumen V dado, para que su superficie sea la menor posible?
Desarrollo
Consideremos las dimensiones del baño x,y,z donde: V = xyzVxv
además su área es: A = xy + 2xz + 2yz donde:
2F 2VA = xv + — h derivando se tiene:y *
dA 2V cA 2V = y , = .Vdx x“ oy V
d2A 4Vd 2A 4V d 2A
dx2 3 ’ z 2X CV1 ’ dxdy
= \
/ ! 711!1
/ // x // /
f .................................. ..............J/
formando el sistema siguiente se tiene:
dAdxdAdy
= y 2V2
X
2V- x -
0
0
resolviendo el sistema se tiene: x = y = i f lV
2 i 4 ,2 a 2 48 A c A . o A o 8 Acomo — —.— — — —)“ > 0 y — — > ü .
dx2 dy2 dxdy dx2
Luego la superficie es mínima para x = y = \¡2V , z 2C
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Eduardo Espinoza Ram-
E n tre todos los tr iá n g u lo s de p e rím e tro ig u a l a 2p , h a lla r e l que tie n e mayo^| área.
Desarrollo
c o n d ic ió n del p ro b le m a :
x + y + z = 2p ... ( a )
adem ás el área de un tr iá n g u lo conoc iend o sus lados es:
A = y¡P(P - x)( P - y) (P - z) , com o z = 2p - x - y , re e m p la za n d o se tie n e :
2 p ( x + y) - p ( x + y + 3 x y ) + p x y (x + y ) - p
dAdx
2 p 3 - 2 p 2x — 3 p 2 V + 2 p x y + pyf 'X ^ ^ ^
2 y 2 p ( x + y ) - p ( x + y + 3 x y ) + p xy ( x + y ) - p
dA-y p
2p - 2 p y - 2px + px + 2 p x yEV 2 ^ 2 p 3 (x , y ) - p 2 ( x 2 + y 2 + 3 x y ) + p x y (x + y ) - p ‘
fo rm a n d o e l s is tem a s ig u ie n te :
dÁ = o> =>
dxd /l
2 p 3 - 2 p 2x - 3 p 2y + 2 p xy + p y 2 = 0
dy0 2 p - 2 p y - 3 p x + p x " + 2 p x y = 0
- ( I )
•..(2)
s im p lif ic a n d o y sum and o ( 1) y ( 2 ) se tie n e : (x - y ) ( x + y - p) - 0 de donde:
x - y - 0
x + y - p = 0x - yx + y = p
com o 2 p ' - 2 p “ x - 3 p 2y + 2 p x y + p y = 0
2p 2 - 2px - 3py + 2xy + y = 0 como x = y tenemos:
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/ unciones de Varias Variables 207
2037
2p 2 - 2 p x - 3 p x + 2x2 + x2 = 0
i i 2 p3x" - 5 p x + 2p = 0 de donde al resolver se tiene: x = — = y = z
Luego se trata de un triángulo equilátero.
Hallar el paralelepípedo rectangular de área s dada, que tenga el mayor volumen posible.
.Desarrollo
Se conoce que: V = xyz
S = 2xy + 2xz + 2yz S ~ 2xy 2 (x + y)
Sxy - 2x2 y 2 , .Luego V - — — derivando se tiene:
2(x + y)
5V _ 1 Sy2 - 2 x 2y 2 - 4 x y 3 _ 1 Sx2 - 2 x 2y 2 - 4 r V~~ ~ V ’ 1 ) > ^ ~ ^ V _ ^2 '
dx 2 (x + y ) ‘ dy 2 (x + v)
formando el siguiente sistema se tiene:
dVa*d vdy
S - 2x" - 4xy = 0
S - 2y 2 - 4xy = 0x = y
como S = 2xy + 2xz + 2yz 5 - 2x‘S = 2x + 4xz => z =4x
2 2como - 2x“ - 4xy - 0 => s - 2x = 4xy
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208 Eduardo Espinoza Ramos« - . . ■ ■ m . » ,, — — - . . — -I— — ............................................ ..... . i i ■ l l » ■ ■■ » ,— M— r — n, - — ■■■■— .— ■— — .11 .. • m
S - 2x2 4xyLuego z = ----------- = —— = y ; x = y = z. Luego se trata de un cubo
4x 4x
2038 Representar el número positivo A en forma de producto de cuatro factores positivos, cuya suma sea la menor posible.
Desarrollo
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene: a = xyzt, s = x + v + z + t
Sea f(x,y,z,t) = x + y + z + t +A(xyzt) de donde se tiene:
f x ~ 1 4- A y z t , f y - 14- Axzt , f l - 1 + Axyt , f j = 1 + Axyz
formando el sistema se tiene:
fx = 0J X 1 4- yzt = 0fy = 0 1 4- xzt = 0
!i o > => <1 4- yyt - 0
oII
oII&
cp(x,y,z,t) = 0y
xyzt = a
\_
resolviendo el sistema se tiene: x = y = z = t = ci4 .
1 i 1 1Luego a - a 4 .a4 .a4 .a4
2039 En el plano XOY hay que hallar un punto M(x,y) tal, que la suma de ios cuadrados de sus distancias hasta las tres rectas x = 0, y = 0, x - y + 1 = 0 sea la menor posible.
Desarrollo
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/ unciones de Varias Variables 209
2040
Y 4
\\
\^ M (x,y)
l
A X
condición del problema es: F - [d(A,M)\ + [ d ( B , M )] +[d(M,C)]'
De donde: d(A,M) = y , d(B,M) = x , d (M ,C) = ——-V 2
Luego / ( jc, y ) - x“ + y +2 , 2 , (x ~ >* + 1)* derivando se tiene:
f l = 2x + (x - y +1), f y = 2y - (x - y +1)
es decir: f x = 3x - y +1 , / v = 3y - jc - 1, formando el sistema se tiene:
K = o
f í = o> => <
3x - y +1 = 0 3 y - x - 1 = 0
x = v
Luego el punto M (x, y) = M4 4
Hallar el triángulo de perímetro 2p dado, que al girar alrededor de uno de sus lados engendra el cuerpo de mayor volumen.
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210 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
A p lic a n d o la le y de cosenos se tiene :
9 9 9y — x" + z " - 2xz eos 0 eos 61 ~> x “ + z " y
2 xz
9 7adem ás cos~ 0 = 1- sen 6 re em p lazand o se tie n e :
2 2 21 2n ( x + z - y .21 - sen 6 = (— i
Y => sen26 = 1 - ( 2L j t £ ------2 1 )2xz 2xz
adem ás se tie n e sen6 = — => h2 = z 2sen"6
por condiciones del problema se tiene:
/ r xx + y + z = 2p y F = — reemplazando se tiene:
i
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/' unciones de Varias Variables 211
por el multiplicador de Lagrange se tiene:
ti 4x2z2 - ( x 2 + z 2 - y 2)2f ( x , y , z) = — ( — — + 2(x + y + z - 2/?))3 4x
/ /r 2x2y 2 + l x 2z 2 - 2 y 2z 2 - 3 x 4 + y4 + z4 .f x = 7 T ( ^ : ) + ¿12 x
r = — ( J y 12
t i 4x2y + 4yz2 - 4 y 3 ) + A
ti 4x z + 4y z - 4 z '■) + A
formado el sistema siguiente se tiene:
f x = 0
fy = 0 =>
f l = o
O 2 2 , o 2 2 o 2 2t i I x y + 2x z - 2 y z l 4 , 4 . 43x -f y + z12 x;r 4x2 y + 4 vz2 -- 4 v3 x ( — ) + A12 xk 4x2z + 4y2z - 4 z 3 x
(----------- :-------------) + A12
— 0
0
) + A = 0 ... (1)
... (2)
(3)
(x,y,z) = x + y + z = 2p - (4)
resolviendo el sistema se tiene: de (2) y (3) tenemos:
(z - y)(zL + 2jyz + y 2 - x2 ) = 0 luego y = z, z"+2yz + y z - x z - 02 2
de (2) y (1) se tiene que:
2x2y 2 + 2x2z2 - 2 y2z ? - 4xJ - 3xH + y '' + zH + 4xzJ - 4xyAz = 0 (5)
reemplazando y = z en las ecuaciones (4) y (5):
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212
2041
Eduardo Espinoza Ramos
- 3 x 2 - 4xy + 4y 2 = 0 ... (6)
x + 2 y = 2p ... (7 )
3de (7) despejamos x = 2p - 2y reemplazando en (6 ) se tiene que y = — p
4
_ pcomo x + 2 y = 2 p => x - ~
p 3 3luego los lados del triangulo es: x = — , y = — p , z = — p
2 4 4
En un plano se dan tres puntos materiales: Px (xj, y l ) , P2 (x2, y 2) Y i 3 ( * 3 , J;3 )
cuyas masas respectivas son mx, y m3 , que posición deberá ocupar el
punto P(x,y) para que al momento cuadrático (momento de inercia) de este sistema de puntos, con relación a dicho punto P (es decir, la suma
9 9 ?m]P]P + m2P2P + m3P3P ) sea el menor posible.
Desarroílo
De acuerdo a las condiciones del problema se tiene:
I = mx (x - Xj) + m2 (x - x2 ) + m3 ( x - x3) de donde
d l v—— = 2ml (x — Xj) + 2 m2 (x — x2 ) + 2 m3 (x - x3 ) = 0 , entonces dx
(2ml + 2m2 + 2m3)x = 2mxxx + 2m2x2 + 2 w3x3 de donde se tiene:
mxx | + m2x2 + m3x3 mx -f m2 + m3
Ix = m l ( y - v,)2 + w2(>>->-2)2 + )'
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¡ unciones de Varias Variables 213
2042
dlxdy = 2m\ (y - y \ ) + (y - y 2) + 2nh (y ~ >3) = 0
( 2 m, + 2 w 2 + 2m3)y - 2mxy\ + 2m2y2 + 2m3y3 de donde se tiene :
v^ mxy { +m2y2 +m3y3
m{ + m2 + m3
H a c e r pasar u n p la n o p o r e l p un to M (a ,b ,c ) que fo rm e con lo s p la n o s coordenados un te tra e d ro que tenga el m e n o r v o lu m e n p os ib le .
Desarrollo
1 • ' 1 1 1 • 1 A V _L a ecuac ión del p la n o que in te rc e p ta a los ejes es: — 4- — 4— = 1a y b' c'
ci b cadem ás el p la n o pasa p o r e l p u n to : M (a ,b ,c ) = > ------1------- 1— = 1a ' b y c y
aho ra fo rm e m o s la fu n c ió n de acuerdo a las c o n d ic io n e s del p ro b le m a :
Abh „ a b c - L a yb yc y , a b e - LV = ------- + M — 4- — 4--------- ) = ------------4-A(— +------------- )
k a y b y c y 2k a y b y c y
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214 Eduardo Espinoza Ramos
2043
donde k es un factor de proporcionalidad.
dV b'c' „ a Luego ---- = ---------A
da' 2 k a ’ db' 2kdV a 'c ' „ b dV b'a' „ c— = --------- A—- , — = /t
a b'2 de' 2 k ,2
Formando el sistema se tiene:= o
2 ka'c'
a'2Ab
2 k b a
0
= 0
di r
de'a b e_ » i» ia b e
= i
a '¿ ' . c A2 k ,2
a b e— i----- 1—
Va' b' c'
resolviendo el sistema se tiene que: — = — = — y reemplazando en la ultimaz b c
ecuación se tiene: a ' - 2 a , b' = 2b, c ' - 2 c
x y z . x y zcomo P — \------ \— = 1 => P - — t- — + — = 3
a ' b ' c ' a b e
Inscribir en un elipsoide un paralelepípedo rectangular que tenga el mayor
volumen posible.Desarrollo
2 2 2, t 1 • • , V V zLa ecuación del elipsoide es: — + — + — = I
a~ b c
Y el volumen del paralelepípedo es xyz.\ -
~~Í
J 1 7x ir z~Luego formamos la función: V - xyz + A(— + -1 ) de donde:
a ~ b ~ c ~
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¡ unciones de Varias Variables 215
2044
8Vdx
vz +2Ax 8Va 2 ’ dy
xz2Ay dV 2AzIr cz
- xy +
aho ra fo rm a m o s el s is tem a s ig u ien te :
exdVdydV
0
= 0 =>
= 0
2Ax vz + ------- = 0
¿r 2 A v
X Z ■+ = Ub2
2Az xy -f — - 0
c
...(1)
• (2)
. . . (3)
2 2 2
<p(x,y,z) = 0 => —- + ^ - 4 - - — =1Z i _ ¿a b c
... (4)
re s o lv ie n d o el s is tem a se tiene : de ( 1), ( 2 ) y (3 )
*> •■> 2a*" y “ z~
a 2 1 2 2 b cre em p lazand o en la ecuac ión (4 ) se tiene :
a b cx - ± —p r , y - ± —= r , z - ± —t=- esto es en los sem ie jes .
V3 ' y3 v3
2f/ 2/2 2 cL u e g o las d im e n s io n e s del p a ra le lep íp ed o es:V 3 V3 v 3
C a lc u la r las d im e n s io n e s e x te r io re s que deberá te n e r un ca jón re c ta n g u la r a b ie rto , del que se dan e l espesor de las paredes ó y la capacidad ( in te r io r ) V , para que a l h ace rlo se gaste la m e n o r can tid ad p o s ib le de m a te r ia l.
Desarrollo
S i las d im e n s io n e s del c a jó n re c ta n g u la r son x , y , z su v o lu m e n in te r io r es:
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216 Eduardo Espinoza Ramos
¡
i tí
2045
V7 = (x - 25)(y -- 26)(z - 26) y la superficie es: A = 2xy + 2xz + 2yz
Luego fonuemos la función siguiente:
V = 2xy + 2xz + 2yz + X(x - 26)(y - 25)(z - 26)
T /elex
2y -f 2z + A(y - 26)(z - 26)
6V
ov- = 2x + 2z + A(x - 26)(z — 26)
eVCZ
- 2x + 2y + A(x - 2S)(y - 26)
ahora formamos el sistema siguiente:
e v/■■Vex
eVovdV
0
= 0
o
[<p(x,y,z)oz
2 v + 2z + A(y~ 26) = 0 2 v + 2.v + A(x - 26)(z - 26) = 0
2.v + 2 v + 2. (x — 26)( y - 26) - 0 (a - 26)( v - 26)(z - 26) = E
z) = 0V '
resolviendo el sistema se tiene: de ( I), (2) y (3) se tiene x - y 2z
(1)(2)
(3)14)
de donde en (4) se tiene:
V ( X “ 2 ) - Vl = -------------------- - V A\Jl V
nJL
t f lF + 2 8 , v = $Í2V + 2 8 , = +.s
i 2Y“ >TEn que punto de la elipse 7
a~ b~coordenados él triangulo de menor área.
+ —---1 la tangente a esta forma con los ejes
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i unciones de V arias Variables 217
Desarrollo
► X
x yLa recta tangente a la elipse que intercepta a los ejes es: L : — H— = 1
¿L b'
Formamos la función siguiente:
a 'b ' , /x v 1v , , a'b' , ,q ------- (_ 1_ — ]) ¿onde ------ es el area2 a' b' 2
Luego se tiene:dA b' Ax dA a 1 Xy
Ahora formamos el sistema siguiente:
d 4 b f /l y£ 1 = 0 ; = o
a/?’o
i ,¿ aa ' /l vT ~ /lt
= o
(p{a\b') = 0 ; —; + 77 = 1<7 h
. . . (o
...(2)
...(3)
resolviendo el sistema se tiene: de (1) y (2) se tiene que . b ' „
a x
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218
2046
Eduardo Espinoza Ramos
b 'p o r o tro lado la p end ien te de L es tga = y la p end ie n te de la ta ng en te aa f
2 2 , 2 1 1 - x ^ 1 *la e lip se : — + — = l es t g a - — —
a~ b a y
L u e g o se tie n e : t g a =b' b2.x b' y x2 y2/t! 2 i 2 2 i 2o a y a a y x a b
2x2 . a bR e e m p la za n d o en la e lip se se tie n e : — — = 1 => x = ± —j=r, y = ±«2 ■ ” 7 5
H a lla r los ejes de la e lip se sx" + 8xy + 5y = 9
Desarrollo
2 2 ^ L a ecuac ión genera l de 2do g rado es: Ax + By + Cxy + Ex + Dy + F = 0
Para e lim in a r el té rm in o x y , cons id e rem os a e l á n g u lo que se va a g ira r ,
C 8 n kD ond e tg l a = ------- = -------- entonces 2a - — => a - —A - B 5 - 5 2 4
x = x ' cos 4 5 ° - y ’se /7 4 5 ° - —— —
v = jc 's e n 4 5 ° + v 'c o s 4 5 ° = A" + 47 5
' 2 2 ahora re e m p la za m o s en la ecuac ión 5x* + 8x y + 5y - 9
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/ unciones de Varias Variables 219
9 9s im p lif ic a n d o se tie n e : 9x '+ > > ’ = 9 lo que es lo m is m o
Y ’ y ' 0 \--— = 1 => a = 9 a b = 1
1 9
L u e g o el e je m a y o r es 2a = 6 y el e je m e n o r 2b = 2
2047 Es una es fe ra dada, in s c r ib ir e l c il in d ro cuya s u p e rfic ie to ta l sea m á x im a .
Desarrollo
A ltu ra del c il in d ro = H = 2h ; R a d io de la es fe ra = R ; R a d io del c il in d ro = r
área to ta l del c il in d ro = 2icrh + 27ir
D e acuerdo a las c o n d ic io n e s de l p ro b le m a fo rm a m o s la fu n c ió n s ig u ie n te :
$ A - Ircrh + 2 /z r2 + Á(r2 + h2 - R2) donde (h ,r ) pertenece a
ax2 -f y 2 = R2 en tonces: h2 +r2 - R2
c A c)A.— = 2/rh -f 4 itr + 2Ar , — = 2nr + 2Ah , aho ra fo rm a m o s el s is tem a s ig u ie n te : dr dh
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220 Eduardo Espinoza Ram
2048
= 0drdA = 0dh(p(rJi)
=> <2/7 + 2 n r + 2Ar = 0 ... ( 1)2 /z r + 2 /l/z = 0 . . . ( 2 )r2 + h2 = R2 ... (3 )
re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e que: de (1 ), (2 ) y (3 ) se tie n e que:
8 r 4 - 8/-2/?2 +R4 = 0 d e d o n d e r = — V 2 + 7 2 . r = — y ¡ 2 - 4 l1 ?
para r = — y¡2 + \ í l => h = — \ ¡ 2 - \¡2 2 2
y = — \J 2 - y¡2 => h = — yJ 2 - y¡21 1^ i w
, d 2/4 o 2/! d 2.4adem as — — = 4 ;r + 2 /t , — — = 2 / , ----------= 2 /rc> 2 a //2 aro/z
d 2A d 2 A o 2A 2 n • , . ÍZ TZ , ^ [Z /H(— r-)(— —) - ( ---------)“ < 0 tiene m áxim o en r = — yj 2 + v 2 , h = — \ ¡2 - \ ¡ .dr dh2 drJñh 2 2
c o m o H = 2 /i = R\¡2~ y¡2 , r = — \¡2 + J~22
lueg o el ra d io de la base del c il in d ro es:
y = — V 2 + V 2 y la a ltu ra es RyJ2 - ^ 2 donde R es el ra d io de la esfera.2
L o s cursos de dos río s (d e n tro de los lim ite s de una re g ió n determ inada]rep resen tan a p ro x im a d a m e n te una p aráb o la y - x y una recta, x - y - 2 = 0 ,H a y que u n ir estos río s p o r m e d io de un cana l re c tilín e o que tenga la m enoi lo n g itu d p os ib le . P o rq ue p u n to s habrá que tra z a r lo ?
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/ unciones de Varias Variables 221
Desarrollo
G ra íic a n d o la parábo la y — .v“ y la recta x - y - 2 = 0
Sea Px (Ay, V j ) de la p a ráb o la => y { - jc, y la d is ta n c ia del p u n to /^(jc, , y , )
X, — y, — 2 7a la recta x - y - 2 = 0 es D = — — -¡= — pero y, = jc,- V 2
JC - A'2 - 2E n to n c e s re e m p la za n d o se tie n e : D = —— ’-j=—- V 2
. , . d D 1 - 2x,D e riv a n d o se tie n e : ------= --------------= 0 => jc, =d x . ■y¡2
1c o m o y { = A*f => V] = — lueg o la d is ta n c ia es D
- 2I s í l
-1 8
la p end ien te de la rec ta x - y - 2 = 0 es m} = 1 y la p e n d ie n te de la
p e rp e n d ic u la r a esta rec ta es m2 = -1 .
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222 Eduardo Espinoza Ramos
2049
2050
L a ecuac ión que pasa p o r P A — , —) y m1 = - \ es v - — = - l ( j t - —) es decir2 4 ‘ 4 2
4 x + 4 y - 3 = 0 ahora re so lv ie n d o el s is tem a s ig u ie n te : x - y —2 = 0se4 x + 4 v - 3 = 02tie n e x = ~ , y = - ~ de donde el p un to de la p a ráb o la : v = x
debe u n irse con el p u n to / ? ( — ) de la recta x - y - 2 = 0 con una“ 8 8
lo n g itu d8
£ = = £ 1 - 3 ~ 2
D e s a r ro l lo
H a lla r la d is tanc ia m ás co rta del p u n to M ( í ,2 ,3 ) a la recta
L a ecuac ión de un p lano que pasa p o r el p u n to M ( 1,2 ,3) y que sea.r v rr
p e rp e n d ic u la r a la recta: es: H x ~ O ~ 3 (y - 2 ) + 2 (z - 3 ) = 0
es d e c ir x - 3 y + 2 z - 1 = 0 ahora hacem os la in te rse c c ió n del p la n o con lax - 3 y + 2z = 1
J J 4 1 3 1recta es d ec ir: < x v z de donde jc = — , v = — , z = —- = ^ - = - 4 4 7
.1 - 3 2
1 3 1 -ahora h a lla re m o s la d is ta n c ia d en tre lo s p un tos : M í 1,2,3) y P( — , ------ , —) es14 14 7
i ' ^ — \n \2 /o \2 \ 2 _ v 2 7 3 0d ec ir: d — . 1(1 ) + (2-h------ ) -t- (3 — ) —------------14 14 7 14
L o s p un tos A y B están s ituad o s en d ife re n te s m ed io s óp tic o s , separados el uno a l o tro p o r una línea rec ta ( f ig 7 2 ) la ve lo c id a d de p rop ag ac ión de la lu z en el p r im e r m e d io es ig u a l a V¡ , en el segundo a V2 . A p lic a n d o el “ p r in c ip io de
1 r HFe i-m at” , según el cua l e l ra y o lu m in o s o se p ropaga a lo la rg o de la lín e a A M B , para c u yo re c o rr id o neces ita e l m ín im o de t ie m p o , d e d u c ir la le y de la re fra c c ió n del ra yo de la lu z .
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I unciones de Varias Variables 223
D e s a r ro llo
Sea u — f + A (a tg a + b tg p - c)eos a V2 eos p
cu a 2 du b 2— = — tga sec a 4- Áa sec a ; — = — tgn sec o + Ab sec pda V] c p V2
fo rm a n d o e l s is tem a s ig u ie n te se tiene :
dudacu
= 0
0
a— tga sec a + Aa sec" a = 0
:z> <!Cpa tga + btg p - c
— tgp sec p + Ab sec~ P = 0
re so lv ie n d o el s is tem a se tie n e : sena _ V¡ senP ~ V2
2 0 5 1 A p lic a n d o el “ P r in c ip io de F e rm a t” d e d u c ir la le y de la re f le x ió n del ra yo delu z de un p la n o en u n m e d io hom og éneo , ( f ig 73)
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224 Eduardo Espinoza Ramos
2052
D e s a r ro llo
P o r tra ta rse de un p lano en un m e d io h o m og éneo se tie n e V¡ - V1
L u e g o sea u a b , 1-----------------+ a tga + b tg ¡3 — c)Y¡ cos a \\ cos p
du a 2 cz/ b 1 ntga sec a + A a sec a ; = — tgp sec p + Ab sec“ / )
da l i cp V
fo rm a n d o el s is tem a se tie n e que: cuda
dudp
= 0
= 0
o
/g t f sec « + / l í / sec~ a = 0
/ tgp sec P + Ab sec" /? - 0
a tg a + b t g p - c = 0 => a tg a + b tg p = c
re s o lv ie n d o e l s is tem a se tie n e : sen a = sen p de donde a = p
S i p o r un c irc u ito e lé c tr ic o de re s is te n c ia R pasa p o r u n a c o rr ie n te í, la can tidad? 'de c a lo r que se desprende en u n a un id ad de tie m p o es p ro p o rc io n a l a !~R
¿ D e te rm in a r, com o habrá que d is tr ib u ir la c o rr ie n te 1 en / , , / 2 e p
v a lié n d o s e de tres cond uc to res de re s is te n c ia R2 y R3 , re sp e c tiva m e n te para c o n se g u ir que e l d e sp re n d im ie n to de c a lo r sea m ín im o ?
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/unciones de Varias V ariables 225
D e s a r ro llo
D e acuerdo a las c o n d ic io n e s del p rob lem a se tie n e :
ah o ra d e fin ire m o s la fu n c ió n : / 7(7 , , í¿ > / 3 ) - / ( A * A »^3 ) f ^ de donde:
F ( / j , / 2, / 3) = / f At + / 2- r 2 + / 3 a 3 + / ( / i + / 2 + / 3)
aho ra h a lla re m o s sus d e rivad as parc ia les :
dF cF dF— = 21 F + A , — = 2 F I F + Á , = 2 I , R , + ÁcL 1 1 dF - “
fo rm a re m o s el s is tem a s ig u ie n te :
5 /,c Ff / T
0
o
o
=>
d i 2
1 = 1, + / 2 + / 3
2 / , A, 4-A — 0212R2 +A = 0 2 /3A3 + A = 0/ j + /-) + / 3 — /
re s o lv ie n d o el s is tem a se tiene :
/,/?! = = / 3A3 esto reem p lazand o en al ecuac ión / j + / 2 + / 3 = / se tiene :
/, -/A 2A 3
A¡ A2 + Aj A3 + A2 A3/ , =
//?, /?3
R\R¿ 4~ Aj A3 + A2A, / i
/A, AA, A. + A, A3 a- A, A
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226 Eduardo Espinoza Ramos
6.15. PUNTOS SINGULARES DE LAS CURVAS PLANAS.-
Ira. DEFINICIÓN DE UN PUNTO SIGULAR.-
U n p u n to M (x0,y 0 ) de una cu rva p lana f ( x ,y ) = 0 , se lla m a p u n to s in g u la r, si sus coordenadas sa tis facen s im u ltá n e a m e n te a las tres ecuaciones.
/ 0*0 ’ >'o) = 0 . / v l W o ) = 0 , / / ( x o ,.F0 ) = 0
2do. TIPOS PRINCIPALES DE PUNTOS SINGULARES.-
S up ong am os que en el p u n to s in g u la r M (-Y0 , v0 ) las derivadas de 2do o rden.
A = f x Á x^y<))
B = f'xy(* 0 > 3 ’0 )
C = f ’y y ( X Q , y 0 )
A = AC - B2no son tod os ig ua les a cero y que:
en este caso tend rem os:
a ) S i A > 0 , M será un p u n to a is lad o ( f ig 74 ) ✓
b) S i A < 0, M será un p u n to c runad a l (p u n to d o b le ) ( fíg 75 )
c) S i A = 0, M puede ser u n p u n to de re troceso de 1 ra especie ( f ig 7 6 ) o de2 da especie ( f íg 7 7 ) o un p u n to a is la d o , o p u n to dob le cotangentesc o in c id e n te s o tecnod o ( f íg 78).
A l re s o lv e r los p ro b le m a s de este apartado, se cons id e ra o b lig a to r ia m e n te la c o n s tru c c ió n de las cu rvas.
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/■ unciones de V arias Variables 227
1053
M
FIG. 74 R G . 75
M
FIG. 77
FIG. 78
> curvas s ig u ie n te s :
v = -v~ + xDesarrollo
Sea / (x,y) = x 2 + v 2 - .v4 de donde f x (x,y) = 2x - 4 x 3 , / v (a \ y ) = 2 y
A h o ra fo n n a m o s el s is te m a s ig u ie n te : <f ( x , y ) = x 2 +- .v 4 = 0
f x i ^ y ) - 2 a - - 4 r 4 = 0
f ' ( x , y ) = 2y = 0
re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e : x = y = 0 => p (0 ,0 )
r fyy(X,y
{f^,(x,y)
2
0
12x2<
f í (0,0)
fyy (° ’ 0)
A (0,0)
7/
2
0
A - / v; . ( 0 , 0 ) - / vv( ( ) , 0 ) - ( / ^ ( 0 , 0 ) ) = 4 > 0 , lu e g o el p u n to p (0 ,0 ) es p u n to a is lad o .
FiG.76
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228 Eduardo Espinoza Ramos
2054 ( y - x 2)2D e s a r ro l lo
7 5 5Sea / ( x , y) = ( y - x~)~ -- x~ de donde se tie n e :
fie (-V, V) = -4 .V (y - -V2 ) - 5 x 4 , / ' ( x , y ) = 2 ( y - . f )
f ( x , y ) = ( y - - = 0ahora fo rm a m o s el s is tem a s ig u ie n te : ■! f x (x, y ) = - 4 x ( y - x~) - 5 x - 0
f í Ú ,);) = 2 ( y - x 2 ) = 0
re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e x = y = 0 es d e c ir p (0 ,0 )
f y y ( V. V ); ¡
f n A . X - . V )
4 y + 12x 2 - 20x 3 f í (0.0)
< f y y (0,0) = 2
I 0 ( 0 , 0 ) - 0Ax
A ~ f[íx( 0 ,0).fyV( 0 , 0 ) - - ( f ^ :( 0 ,0 ))2 = 0 , lu e g o ei p u n to p (0 ,0 ) es un p u n to de
re troceso de 2da especie.
4 2 2 4 62 0 5 5 a v = a x - xD e s a r r o l lo
Sea / ( .x ,y) - a*y2 - a 2x4 + x6 de donde se tie n e :
J'x ( x , y) - -4 a 2x3 + 6 x 5 , f (x. y) = 2a4y
ahora formamos el sistema se tiene:
f ( x , y ) = a 4 y 2 - a 2x 4 f x 6 = 0/ * ( x , >■) = ~ 4 a 2 x 3 + 6x D = 0/ v (-X, y ) = 2 a4 y = 0
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/• unciones de Varias Variables 229
re s o lv ie n d o el s is tem a se tie n e x = y = 0 es d e c ir p (0 ,0 )
f £ ( x , y ) I2a2x 2 +3 0 x 4f í ( x , y ) = 2ayy
•//
/ " ( 0 , 0 ) = o4 ( 0 , 0 ) = 2 a 4
4 (0,0) = 0f xy ( * , y) = 0
A = 4 ( 0 , 0 ) . / " ( 0 ,0 ) - < 4 ( 0 ,0 ) )2 = 0 , lu e g o el p u n to p (0 ,0 ) es u n p u n to tacnod o .
2056 x 2y 1 - x 2 = 0Desarrollo
Sea / ( x , y ) = x2y 2 - x 2 - y 2 de donde se tie n e :
fx (x, y) = 2 xy2- 2x , ( x , y) = 2 y
A h o ra fo rm a m o s e l s ig u ie n te s is tem a
r/ \ 2 2 2 2f ( x , y ) = x y - x - y
f l (x, y) = 2xy2 - 2x = 0= 0
f J x , y ) = 2x y - 2 y = Q
re s o lv ie n d o e l s is tem a se tie n e x = y = 0 es d e c ir p (0 ,Q)
f „ (x, y) = 2y - 2
fyy(X, y) =2X2 - 2
f ' l ( x , y ) = 4 xy
=>/ " ( 0 , 0 ) = - 2
4 ( 0 , 0 ) = - 2
4 (0,0) = 0
A = 4 (0,0 ) . 4 (0,0) - ( 4 (0, o))2 = 4 > 0 , en tonces e l p u n to p (0 ,0 ) es un
p u n to a is lado .
1(157 jt3 + y 3 - 3axy - 0 (Folium de Descartes)
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230 Eduardo Espinoza
2058
Desarrollo
*5 *5Sea f ( x , y ) = x + y - 3axy de donde se tie n e :
fx (*> y) = 3* 2 - 3ay> (-*>
aho ra fo rm a n d o e l s is tem a se tie n e :
3 3J(x, y) = x~ + y - 3axy = 0
f l (x, y) = 3x2 -3ay = 0
f í (x, y) = 3y 2 - 3ax = 0
re s o lv ie n d o e l s is tem a se t ie n e x = y = 0 , es d ec ir: p (0 ,0 )
f x x ( x > y ) = 6 x
= 6 y
fíy (x, y) = - lafyy (*> y)
•//
/ « ( 0 , 0 ) = 0
/ v v ( 0 , 0 ) = 0yy•/// " ( 0 ,0 ) = - 3 a
A = ( 0 , 0 ) . / " . ( 0 ,0 ) - ( / " ( 0 ,0 ))2 = - 3 a < 0 , en tonces e l p u n to p (0 ,0 ) esp u n to c runad a l.
y 2 (a - x) = x3 (c iso id e )Desarrollo
Sea f ( x , y ) = y ( a - x ) - x , de donde se tie n e :
fx (x> y) = - y 2 - 3x2 > fy (x> y) = 2 y(a ~ x)
aho ra fo rm a m o s e l s is tem a:f ( x , y ) = y ( a - x ) - x = 0
f í ( x ,y) = - y 2 ~ 3* 2 = °f U x ,y) = 2 y { a -x ) = 0 '*Í'
resolviendo el sistema se tiene: x = y = 0, es decir: p(0,0)
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f unciones de Varias Variables 231
J05‘>
106(1
= -6x
fyy (x, y) = 2 -
fxy (X, y) = ~2y
f!L(o,o> = of " (0,0) = 2a
4 ( 0 , 0 ) = O
A = / " ( 0 , 0 ) / " ( 0 , 0 ) - ( / " ( O , O ))2 = O , lu e g o e l p u n to p (0 ,0 ) es u n p u n to deyy xy
re troceso .
( x 2 + y 2 ) 2 = a2 (x2 - y 2) (L e m n is c a ta )
Desarrollo
Sea f ( x 9y) = (xz + y 2)2 - a 2(x2 - y z ) , de donde
f ' ( x , y ) = 4x(x2 + y 2) - 2 a 2x , f ' ( x , y ) = + y 2)+
aho ra fo rm a m o s e l s is tem af ( x , y ) = (x2 + y 2)2 - a2 (x2 - y 2)
f ’x (x,y) = 4x(x2 + y 2) - 2 a 2x = 0
fy (x, y) = 4 y (x 2 + y 2) + 2a2y = 0
= 0
re s o lv ie n d o e l s is tem a se tie n e : x = y = 0 es d e c ir p (0 ,0 )
fxx(x,y) = \2x2 +4y2 -2a '
f l ( x , y ) = 4x2 + \2y2 + 2a1
f í ( x , y ) = 8 xy
f í i 0 , 0 )XX
*//yy
= -2a'
f " (0,0) = 2a-
f " ( 0 , 0 ) = oxy
A = f xx ( 0 ,0 ).f"y ( 0 ,0 ) - ( / " ( 0 ,0 ))2 = - 4a4 < 0 entonces e l p u n to p (0 ,0 ) es u n
p u n to c runad a l.
(a + x)y2 = ( a - x)x3 (Estrofoide)
Desarrollo
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232 Eduardo Espinoza Ra
2061
9 ^Sea / ( x , y) = (a + x)y ~ - (a - x)x de donde se tiene:
f l (x,y) = y 2 - 3ax2 + 4x3 , f l (x, y) = 2_y(a + x)
ahora formando el sistema se tiene:
2 2 / ( x , = (a + x ) j - - x)x
f í (x , y ) = y 1 ~3ax2 + 4x3 = 0
= 0
f y (x,y) = 2y(a + x) = 0
resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 es decir p(0,0)
f í ( x , y ) = -6ax + l2x-
f í ( x , y ) = 2(a + x)yyf!cy{x,y) = 2 y
/ » ( 0 , 0 ) = 0
2a
0
4 (0,0)
A = 4 (°> ° ) - 4 (°, 0) - ( 4 (°> °))2 = 0 entonces el punto p(0,0) es un p u ifl crunadal
(x2 + y 2 )(x - a)L = bzx z (a < 0, b < 0) (concoide) examinar tres casos:,2 , 2 2
1) a > b 2) a = b
Desarrollo
3) a < b
Sea f ( x , y ) = (xz + y z ) ( x - a Y - b 2x 2 de donde:
f l (*> >0 = 2*(* - a )2 + 2(x2 + y 2 )(x - a ) - 2 b 2x , (x, y) = 2;;(x -
ahora formando el sistema de ecuaciones:
/(*> y) = (x¿ + y¿ )(x - aY of l (x, y) = 2x(x - a)2 + 2(x2 + y 2 )(x - a)
f'y (X, y) = 2 y(x - a)2 = 0
2 b2x = 0
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Funciones de Varias Variables 233
resolviendo el sistema se tiene x = y = 0 > « > \
füx ( x > y) ~ 2(x ~ a )2 + 4 x ( x - a ) + 4 x ( x - a) + 2 ( x 2 + >>2 ) - 2 b2> í ’ j . i.. - - t
f ^ x , y ) = 2 { x - a ) 2 + S x ( x - a ) + 2(x2 + y 1) - 2 b 1 => /" (0 ,0 ) = 2a2' f £'■ y "".ífT'V'i'í r/ ó'- i ■* '7 í »'í ,f! 5*7; V ■! S “
f ^ x , y ) = 2 { x - á ) 2 => /" (0 ,0 ) = 2a2
f ^ x , y ) = 4 y ( x - a ) => /"(■0,0) = 0
A = / " (0 ,0 )./" (0,0) - ( /" (0 ,0))2 = (2a2 - 262 )2a2 - 0" ¡‘ 1 , • ; * •; . • .í ' r ■; ■ •' ' í i. % /
A = 4a2(a2 -¿>2)1 s; • ¿¡ ■' i,-: ? j j, .Ai i* .■ 5 i ';.i i / ■ r.'>¿ í;¡ <; [1 -1 i . \
1) Si a > b se tiene A > 0 entonces p(0,Q) es un punto aislado.
2) para a = b se tiene A= 0 entonces p(0,0) es un punto de retroceso deIra especie,
3) Para a < b se tiene A < 0 entonces p(0,0) es un punto crumadol.f - í. ,0
2062 Determinar como varía el carácter del punto singular de la curvav I f ■ *' I í $ / f ■' /J ?’• , 5 4 <• ’l ;<*■'’ * /'• i? j. * / ' í '.v¿ ’ I #’ i „ ' ■' ■
y 1 - (x - a)(x - b ) ( x - c) en dependencia de los valores de a, b y c (a < b < c
son reales).Desarrollo
■ 'jS; : .■ i.i;/ ■;. •;f " ;.:; j : ry r-jí q ? t, r rX'J ...«; ? >-riSea f ( x , y ) = y - (x - a)(x - b)(x - c) de donde
f x (x,y ) = - 3 x 2 + 2(a + b + c)x + a + b - a b , (x ,y ) = 2y‘ .1 f. r u- > - \ ■■ j'S l..' ' • v' < ./ ..4-t 1 í ... .r. .K4 .i'
ahora formando el sistema de ecuaciones se tiene:
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234 Eduardo Espinoza Ram ' "M M I I ^ ■ I.HI I. , » " " ■ ■— ■■■■ .. . . ,■■■■■■■1111!,. I. I ■■■■■■ IPI, , . I. I I l i l i) , 11 I I I..................................... j j j
f (x , y) = y 2 ~(x~ a)(x - b)(x - c) = O
• fx (x,y) = -3x2 +2(a + b + c)x + a + b - a b = O
fy(x ,y) = 2y = 0<
A _ \ .. • 1 ? ••
resolviendo el sistema se tiene: x = a, x = b, x = c, y = 0
füx (*>y) = ~ 6 x +2 (a + b + c)
■ f w ( x , y ) = 2
füy(.x,y) = o
A = f " (x, y).fl(x,y)-(f¡i(x, y))2
- i fsi a, b y c no son iguales entre sí, entonces no hay punto singular
Si a = b < c, el punto p(a,0) es un punto aislado
Si a < b = c, el punto p(b,0) es un punto crunodal
Si a = b = c, el punto p(c,0) es un punto de retroceso de 1 ra especie.
Ira. DEFINICIÓN DE LA ENVOLVENTE.-
Envolvente de una familia de curvas se llama a la curva (o el copjunto á curvas) tangentes a todas las líneas de dicha familia, además cada uno de sti puntos tiene contacto con alguna de las líneas de la familia que se examinara.
t • _ . , .. í2do. ECUACIÓN DE LA ENVOLVENTE.-
¡ . . . ,
Si una familia de curvas dependientes de un parámetro variable a.
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/ unciones de Varias Variables 235
2(163
2664
t ie n e e n v o lv e n te , las ecuac iones p a ra m é tric a s de esta se d e te rm in a n p o r m e d io de l s is tem a de ecuac iones:
f ( x , y , a ) = 0 f á (x , y ,a ) = 0
... (1 )
E lim in a n d o e l p a rá m e tro a de l s is tem a (1 ) , o b tend rem os u n a ec u a c ió n de la fo rm a :
D (x ,y ) = 0 ... ( 2 )
D e b e a d ve rtirse , que la c u rva (2 ), o b te n id a fo rm a lm e n te lla m a d a c u rva d is c r im in a n te , adem ás de la e n v o lv e n te , s i esta e x is te , puede c o n te n e r lugares g e o m é tric o s de p u n to s s in g u la re s de la fa m il ia dada, que n o fo rm e p a rte de la e n v o lv e n te de la m is m a a l re s o lv e r lo s p ro b le m a s de este p á rra fo se re c o m ie n d a
A,
h a c e r e l g rá fic o .
2 o @H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de c irc u n fe re n c ia s ( ) + = —
Desarrollo
Sea f ( x , y , a ) - ( x - a ) 2 + y— . . . ( 1)
/ a D e donde f a ( x , y,a) - - 2 ( x - a ) - a = 0 => x = —2
R e e m p la za n d o en (1 ) se tie n e y = ± x
H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de rectas y = kx + — ( k es u n p a rá m e tro ,2 k
p = constante)Desarrollo
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236 Eduardo Espinoza Ramos
Sea/ ( * , v , k) = y - k x - — = O
2k
f l ( x , y , k) = - x + ~ - = O2 k
... O )
... ( 2 )
D e (2) se tie n e k = ±<2x
ree m p la za n d o en ( 1)
>’ = ±(2/7X)2 => = 2 /?X
2 0 6 5 H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de c irc u n fe re n c ia s de ra d io s ig u a le s a R , cuyos cen tros se encuen tra en e l e je O X .
D e s a r ro l lo
L a ecuac ión de la c irc u n fe re n c ia de c e n tro en e l e je O X es:
(x - h)2 + y 2 - R2 de donde:
Seaf ( x , y j i ) = ( x - h ) ~ + y - R = 0 f ¿ ( x 9y,h) = - 2 ( x - h ) = 0
. . . ( 1)
. . . ( 2 )
D e la e c uac ión (2 ) se tie n e x = h y que al re e m p la z a r en la ecuac ión (2 ) se tie n e y = ± R .
2 0 6 6 H a lla r la c u rva que e n v u e lv e a u n seg m en to de lo n g itu d 1, cuando sus e x tre m o s resb a lan p o r lo s e jes de coordenadas. < x
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 237
C o m o — + — = 1 de donde b —a b a - x
adem ás en e l A A O B p o r P itá g o ra s se
tie n e : a2 +b2 = 1
2 2a2 + a y. = i donde
{a - x y
2 2\ 2 a yf ( x , y 9a) = a + :(a - x ) A
1 = 0
¡2ay ( a - x - 1) f a (x,y,a) = 2a + ------
( a - x )0
1 3 2 1
de donde a = x + x 3j^2 adem ás b = y + x 3y 3
c o m o a2 +b2 = l 2 => x 3 + ^ 3 = l
2 0 6 7 H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m il ia de rectas que fo rm a n con lo s ejes coordenados tr iá n g u lo s de área constan te s.
Desarrollo
x v ,L a ecuac ión de la re c ta es — + — = 1 ,a b
c o m o datos d e l p ro b le m a se tie n e :
a bs = - 1- (á re a de l t r iá n g u lo ) de donde
2 Sb - — , re e m p la za n d o en la ecuac ión a
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238 Eduardo Espinoza Ramosi 1 't ■'/? r¡¿ ■ :i J ' ■' % - • ' ■ ■ 1 ' 'j
2068
x y i x ay .— + — = 1 se tie n e : — + — = 1 ... ( 1)a = ¿z 2 S
que es lo m im o 2*Sx + a y - 2aS = 0
2
sea / ( x , y, z) = a y + 2Sx - 2aS de donde
fa (*> y^a) - 2ciy - 2S , aho ra fo rm a n d o e l s is tem a de ecuac iones se tie n e :
f ( x , y , a ) = a^y + 2Sx -2aS = 0 S/ a = ~f a (x,y,a) = 2 a y - 2 S = 0 y
que a l re e m p la za r en ( 1) se tie n e : — + — = 1 de donde xy = —S 2 S 2
H a lla r la e n v o lv e n te de las e lip ses de áreas constan te s, cuyos e jes de s im e tr ía co in c id e n .
D e s a r r o l lo
2 2L a ecuac ión de la e lip se es: + ~ r = 1 ... ( a )
a o
2 &adem ás e l área de la e lip se es: S = rcab => b = 2 2 7ü a
2 2 2 4 2 2re e m p la za n d o en la ecuac ión ( a ) se tie n e : x S + y í ira'=a*S* . . . ( 1)
a h o ra cons id e ram os la fu n c ió n <f ( x , y , a ) = x 2S 2 + y 2; r t f4 - a2S 2 = 0
fa (x, y,a) = 4 a37ry2 - 2aS2 = 0 j
S 2 Sde donde a2 = — ^ r- r re e m p la za n d o en la ecuac ión ( 1) se tie n e : xy - ± —2n y ' I ‘ ln
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Funciones de Varias Variables 239
2 0 6 9 A v e r ig u a r e l ca rác te r de las cu rvas d is c r im in a n te s de la fa m il ia de cu rvas s ig u ie n te s (c es e l p a rá m e tro )
a) y - ( x - c ) (p a rá b o la cúb ica)
Desarrollo
Sea f ( x , y , c ) = y - ( x - c ) , de donde
f !c ( jc, y, c) = 3 (x - c)2 a h o ra fo rm a n d o e l s is tem a
/ ( x , y,c) = y - ( x - c ) 3 = 0 ... ( 1)fe (*> y , c ) - 3 ( x - c ) 2 = 0 . . . ( 2 )
de la ecuac ión ( 2 ) se tie n e : x = c
a l re e m p la za r en la ecuac ión ( 1) se tie n e y = 0 p o r lo ta n to la c u rva d is c r im in a n te y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o de lo s p u n to s de in f le x ió n y la e n v o lv e n te de la fa m il ia dada.í .
O lb ) y = ( x - c) (p a ráb o las sem i cúb icas)v
Desarrollo
Sea f ( x , y , c ) = y 2 - ( x - c ) 3 de donde f ¿ ( x 9y,c) = 3 ( x - c )2
A h o ra fo rm a m o s e l s is tem a s ig u ie n te
f { x , y , c ) = y 1 - { x - c f = 0 ... (1)
fc (x ,y ,c ) = \ x - c f = 0 . . . ( 2 )• !' n [} ’ ' ■ v. !’”í . •• ; ‘ -‘I i •:-i ' í , } . •. • ’ *. .* , ■ . / ..'p'ift.. '
de la ecuac ión (2 ) se t ie n e x = c que a l re e m p la za r en ( 1) se tie n e y = 0 , lu e g o la c u rva d is c r im in a n te y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o de lo s p u n to s cusp id o las y la e n v o lv e n te de la fa m ilia . ^ ;
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240 / M Eáüardo Espinoza Ramok
7 i t J J ü) (parábola de Naíl) J<
Desarrolloo /Sea / (x , y , c ) = y - ( x - c) de donde f c ( x , y , c ) = 2 (x - c )
A h o ra fo rm a n d o e l s is tem a se tie n e :obriob sh /(.)•■
f ( x , y,c) = y 2 - ( x - c)2 = 0I ílffíOteitf rJ OÍ
f c ( x , y, c) = 2(x - c ) = u
de la ecuac ión (2 ) se tie n e x = c ,,q u e ,a l re e m p la z a r e p ^ l) se t ie n e y = 0
p o r lo ta n to la c u rva d is c r im in a n te y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o de lo s p un tos cusp ida les p e ro que n o es dé la e n v o lv e n te . no
; • j x « » ✓ * f . V , \ S ^ *( f •.** I • ? v m T O 1 9- y l i V - J * w » i-..* . - M V v , /
d i / . + x ) ( y — c) = x ( a - x ) (e s tro fo id e )A í ! r A l , r w v f o h cr r -V,:* * >V t r< j . T>. • ! « /
Desarrollo bi‘l:
Sea / (x , y , c) = (a + x)(y - c)2 - x 2 (a - x ) de donde
f ñ ( * * y »c ) - - 2 ( a .+ x ) ( v - c ) , aho ra fo rm a m o s e l s is tem ar c V K ” • í r.. i . n A Qonnu *¿b - /. f - ! “ i ) . J , > ) \ \YJS
h tX; ? i j j j rn' i} f f j I ;f ( x , y,c) = (a + x ) ( jy - c ) - Je (a - i ) = Ó
¡fc (* , y,c) = - 2 (a + *)(>>- c ) =¡=:0
(S )V . : ; i_ ' ■ . ide la e c uac ión (2 ) se tie n e y = c, que a l re e m p la za r en la ecuac ión ( 1) se
,0 / s n a ii t id h e ^ ! lu é g o la c u rva d is c r im in a n te S ed e sc Ó m p o n e en las^oínuq <!ol ■ií-téctas'7íx?'^:ij0 (q itó es) e fH u¿ ar geó iW étfícó tíé jiü h tó s C ifeíldales) y x = a
(q ue es la envo lven te^ ;
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Funciones de Varias Variables 241
2070 L a ecuac ión de la tra y e c to r ia que s igue u n p ro y e c til lanzad o desde e l p u n to O , con la ve lo c id a d in ic ia l V0 y fo rm a n d o u n á n g u lo a con la h o r iz o n ta l
2gX(p re sc in d ie n d o de la re s is te n c ia de l a ire ), es y = x t g a — — -— to m a n d o2V¡ eos2 a
e l á n g u lo a com o p a rá m e tro , h a lla r la e n v o lv e n te de todas las tra y e c to r ia s del p ro y e c til s ituad os en u n m is m o p la n o v e r t ic a l (p a rá b o la de seg u rid ad ) v e r f ig u ra .
D e s a r r o l lo
Sea f ( x , y , a ) = y - x t g a + — — , de donde2V0 cos^ a
f a (-L y \a ) = ~ * s e c 2 a + s e c a t g a ajiora f 0rman¿0 ej si ste m a se tie n e :
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242 Eduardo Espinoza Ramos
de la ecuac ión ( 1) se tie n e : tga VrOg X
que al re e m p la za r en ( 1)
y = x tga2Vq cos2 a
=> y =Vro gx2g 2V02
6.17. LONGITUD DE ESPACIO.-'
ARCO DE UNA CURVA EN EL:u íi
L a d ife re n c ia l de l arco de u n a c u rva en el espacio en coordenadas cartes ianas
rec tang u la res es: dS - yj(dx)2 +(dy)2 +(dz)2 desde x ,y ,z son las Icoordenadas v a ria b le s del p u n to de la cu rva .
1 "-.s. ' ‘ -hfi
S i X = x ( t ) , Y = y ( t ) , Z = z ( t) son las ecuac iones p a ram é tric as de la c u rva en e l espacio , la lo n g itu d en el in te rv a lo c o m p re n d id o en tre / - tx y t = t2 será:
H a lla r la lo n g itu d de los arcos de las cu rvas que se dan en los p ro b le m a s 2071 - 2 0 7 6
2p2071 x = t, y = t2 , z = desde t = 0 hasta t = 2.
3Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 243
2072
073
fi d x . 2 , d v . 2 , d z .(— ) + (“7“) + ("T")
d t d t d t2dt = jTVSl + 4 t 2 + 4í4 dt
= y](\ + 2t2)2 dt = j^ ( l + 2 t 2)dt = ( / + ~ - ) ^ = 2 - f y16 22
3
x = 2 eos t, y = 2 sen t, z = — í desde t = 0 hasta t = rc71
Desarrollo
A* =
J =
Z =
2 cosí I s e n t
3£71
dxdtdydtdz~dt
- - 2 sent
= 2cosí
_ 37T
í ls = Idt dt dt
, , . n 4cos2 t + 4sen2t + — dt
+ 9
x — e* eos í , >> = e 'se w í , z = <?' desde t = 0 hasta el valor arbitrario de t.
x — e cosí
yz
= e sen í => <¡
c/jtdtdydtdzdt
Desarrollo
= e' (eos t - s e n t )
= e \ s e n t + cosí)
= e
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244 Eduardo Espinoza Ramos
2 0 7 4
2 0 7 5
.dx. 2 .dy.') .dz. 2 ,( — ) + ( - j -Y + ( — ) d t dt dt dt \
V e2t (eos t - sen t) + e2t (sen t + eos t)2 + e2t dt Í e*^¡3dt ~ ^Í3(el o
2 3y = — , z = — desde x = 0 x = 6
Desarrollo
y = X
~23
dydxdzdx
ri ,dv^ .dz 2 j+ +(— ) dtdt dt 1 + x2 + — dx
rt.
6
o= 6 + 36 = 42
x2 = 3 v , 2 x y = 9z desde e l p u n to 0 ( 0 ,0 ,0 ) has ta e l p u n to M (3 ,3 ,2 ) .
Desarrollo''nurría í^ ’j **
•«*, '•Mrtfl.'fWV «¡¡r/*’í'Hlt#».'»rtru«i i.J
P a ra m e tr iz a n d o la c u rva se tie n e :\ \ 1 3» i1
t . . . ^
x 2 = 3 y2 xy = 9z
y =1
X > 2xT => <i ¿¿X 7 . T
< v
2 x 3 dz 2x27 dx 9
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Funciones de Varías Variables 245
2076
2077
S = \ + (— )2 + (— )2 dx dx dx fl, 4 a2 4 a4 .
1+ + -------9 81
1(1 + dv = f (1 + ( a + ) / ] = (3 + 2) - 0 = 5
X a ^ “H Xy -a rc s e i ir - ) , z = — ln ( --------- ) desde 0 (0 ,0 ,0 ) hasta e l p u n to M { x ^ y ^ z § )a 4 a - xDesarrollo
y = arcsen-a , ,^ + x
z = - l n ( )4 a - z
dx J
dza~ - X 1
2
dx 2(a2 - a2 )
a2 a41+ —:-------r +
a 2 4 ( a 2 - a 2 ) '
,J& ' a 2 ,0 + ~ ) dx
2(a 2 - a2 )“ fjÍ'V , a2 . , r a . .a + A .,/-^ a . ,^ + aó .
(1 + r r-)í/A = [ A + - ln ( ------- ) ] / = A ó + - l n ( ---------) = Xq + Zq
2 (a 2 - A 2) 4 a - A / o 4 a-A¡,■ «
L a p o s ic ió n de u n p u n to en c u a lq u ie r in s ta n te t ( t > 0 ) se d e te rm in a p ara lasecuac iones x = 2 t, y = ln t, z = t1 . H a lla r la ve lo c id a d m e d ia de l m o v im ie n to en tre los ins tan tes t = 1 y t = 10 .
Desarrollo
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246 Eduardo Espinoza Ramos
-Í14 + 4 - + 4 ? dtn
i(2 t + j Y d t = J ( 2 t + - ) d t = ( i 2 + ln f ) /™
= (1 0 0 + ln l0 )- ( l + 0) = 99 + ln l0
s r r oESCALAR.
La función vectorial a = a(f) puede determinarse dando las tres funciones escalares ax{t) , ay (t) y az(f) de sus proyecciones sobre los ejes de
coordenadas:
—> —>La derivada de la función vectorial a = a(t) con respecto al argumento escalar
t es una nueva función vectorial determinada por la igualdad.
r
El modulo de la derivada de la función vectorial es igual a:
—> —)El extremo del radio variable r = r( t ) describe en el espacio una curva.
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Funciones de Varías Variables 247
Q u e rec ib e e l n o m b re de h a d o g ra fo d e l v e c to r r .—>
d rL a d e rivad a -------- rep resen ta de p o r s i un ve c to r, tangente a l h o d o g ra fo en e ldt
p u n to co rresp ond ien te .
—>d r dS| -------1= — , donde s es la lo n g itu d de l a rco d e l h o d o g ra fo , to m a d a desde c ie rto
dt dt
d rp u n to in ic ia l. E n p a r tic u la r | --------1 = 1dt
—> d rS i e l p a rá m e tro y es e l t ie m p o , - j - = v es e l v e c to r de la ve lo c id a d de l
—>e x tre m o de l v e c to r r , y — ~ = — - = w es e l ve c to r de la ace le rac ió n ded? dtd ic h o e x tre m o .
2do. REGLAS PRINCIPALES PARA LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES DE UN ARGUMENTO ESCALAR.-
* i d ¿ a d b d e1 ) - ( a + b - c ) = -------+ ------------------
dt dt dt dt
d / ~\ da— yma) = m , m es una constan tedt dt
d / ^ dtp da . ., , 4— (cp a ) - a — + tp , (p(t) es fu n c ió n de t.dt dt dt
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248 Eduardo Espinoza Ramos
2078
— (a xb ) = - x b + a x W d t dt dt
dH
< /"» . . . .
— a(<p{f)) ----dt dt dt
d a . . i -*,a = 0 , s i | a | = constan tedt
D e m o s tra r que la fu n c ió n v e c to r ia l r - r x - ( r 2- r x) t donde rx , r2 son lo s ra d io s vec to res de dos p un tos dados, es la ecuac ión de una rec ta .
Desarrollo
C o n s id e re m o s r = x i+ y j + z k
f \ = \ i + X j + ^ k
—> —> —> —>r2 = x2 i+ y 2 j + z2 k
c o m o r - r x = ( r 2 - / } ) t , se tie n e :
—>( * - .*¡) /+ ( y - ^ ) j + ( z - z [ ) k = ((a j - a¡) /+ - ) y+ (z 2 - 3 ) k )t
X-Xi = (x2 - ^ ) t
y-Jí =(y2 -Jí)t =>( Z - 2 ¡ = ( z , - ^ ) t
t =
t =
t =
x2- x iy-y y2-yz - zi ^ 2 - 3
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Funciones de Varias Variables 249
2079
, , , . x - x , y - y , z - z, , . , ,de d onde se tie n e : — = - — = — que es la ecuac ión de una recta*2 ~ *i y 2 “ y\ z2 - zi
D e te rm in a r, que líneas son lo s h o d ro g ra fo s de las s ig u ie n te s fu n c io n e s ve c to r ia le s .
i
a ) r = a t + c b )
c) r = a t + b t d )
—>d onde a , b y c son vec to res constan tes, a l m is m o tie m p o lo s ve c to re s a y —►
son p e rp end icu la res e n tre si.
D e s a r r o l lo
r - a eos t - f b sen t
r - a cosh t + b senh t
a) Se tie n e r - a t - v c donde r = x i + y j + z k
a = ax i + av j + ciz k
c = cx i + cv j + cz k
c o m o r = a t+ c => r - c = a t
(x - c v ) i + ( V - c y ) j + ( z - c 2) k = a xt i + a y t j + a z t k
X -C x
y ~ c\c_ =
axta jy
a j
t =x - c .
aX
t = y ~ cv v
t =
ay z - c .
a _
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250 Eduardo Espinoza Ramos
JC C y mmm“' ^ ' c*d e d o n d e s e t i e n e : ---------- -- = — — — = ~ — — q u e e s l a e c u a c i ó n d e u n a
a y a v a .
r e c t a .
b ) r - a c o s í + b s e n t • • • ( ! )
m u l t i p l i c a n d o p o r a a l a e c u a c i ó n ( 1 )
—> —► —> —> —> —y —>r .a =\ a \~ cosí y a . b = 0 p o r q u e a JL b
“ r " r r ^ y ^
r . a =1 a I e o s / = > c o s í = — :—a
m u l t i p l i c a n d o p o r b a l a e c u a c i ó n ( 1 )
- r . b— *
,2r . ¿ > = | é | i ’e n / = > s e n t =
b
—> —> —► —>2 . , 2 . , r b.s e n ^ t + e o s í = ( — :— ) + ( — :— ) = 1 , q u e r e p r e s e n t a a u n a e l i p s e
b I2 l a '2
c) r = a t + b t m u l t i p l i c a n d o p o r a y b
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Funciones de Varias Variables 251
-» -> r . a— Oa Y
( — 1— ) rep resenta a una p a ráb o la
— ^d ) r = í7 cosh t + b senh t , m u lt ip lic a n d o p o r a y b
—■> —> —yIIO a—> -»r . b =
Vb 1
c o s h t =-» -> r . a
z=> <a j
—> -> r . b—>b l2
•—> —> — > — >
/ ■ ¿7 ? r b j (—:— )*- _ ( —:— )*■ ±= 1 5 qUe es la ecuac ión de una h ip é rb o la .a b i~
2 0 8 0 H a lla r la d e rivad a de la fu n c ió n v e c to r ia l a ( / ) = a(t).a°(t) , donde a ( / ) es una—
fu n c ió n escalar, m ie n tra s que a°(í) es un v e c to r u n id a d , en lo s casos en que el— y
v e c to r a(t) va ría .
1) S o la m e n te en lo n g itu d 2 ) S o la m e n te en d ire c c ió nt '■ . . ' . . . . , . . . . . . ’lt . . ' 1 • '
' • . ., . ‘ ■ _ 1 ,i : ,, 'V a •* • ¡% . . ■»■' '. " ! , •' • ■ ¡ ; >. . .*
3 ) E n lo n g itu d y d ire c c ió n (caso g ene ra l)V . ' 1 1 '•
E sc la re c e r el sen tid o g e o m é tric o de los re su ltad os ob ten id os
Desarrollo
— ^C o m o a(t) = a(t).a°(t) se tie n e :
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252 Eduardo Espinoza Ramos
2081
2082
2 ) = a j L ao ^ ( v a r i a j a d ire c c ió n y s e n tid o ) „dt dt
d d a(t) “ t , \ da (t)3 ) — a(t)=— -— ,a°(t) + a(t) —dt dt dt
A p lic a n d o las reg las para la d e r iv a c ió n de fu n c io n e s v e c to r ia le s de u na rg u m e n to esca lar, d e d u c ir la fo rm u la para la d e r iv a c ió n de l p ro d u c to m ix to de
—► —> —>tres fu n c io n e s v e c to r ia le s a , b , c
Desarrollo
d -> -»— ( a .{b x c ) ) - — dt dt
—> —> —>e a , b y c es a .(b x c)
a x ay ü z
b x by b. d e sa rro lla n d o se o b tie n e :
Cx cy cz
d ~? -* d a -? -* d b ~? d e— (a \ b x c)) = --------( b x c)+ a .( x c ) + a ( b x )dt dt dt dt
H a lla r la d e rivad a , con respecto a l p a rá m e tro t, de l v o lu m e n de l p a ra le lep íp ed o— > — > — > — >
c o n s tru id o sobre lo s tres vec to res : a(t)= i + t j + t k
b(t) = 2t i - j + t k
c(t) = -t2
Desarrollo
> > >E l v o lu m e n de l p a ra le lep íp ed o = a . { b x c)
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Funciones de Varias Variables 253
d( a j b x c) — — dt
1 t t2
21 - i / 37- r i 3 i
— (t4 + 2t2 + 1) = 4 +4 r = 4*(/2 +1)dt - ' ■■
La ecuación de un movimiento es r = 3cosí i + 4 sen t j , donde t es el tiempo.
Determinar la proyección de este movimiento, la velocidad y aceleración del mismo. Construir la trayectoria del movimiento y los vectores de la velocidad y
7T 71de la aceleración para los instantes t = G, / = — y / = —
Desarrollo■ í , i i j
r = 3cos¿ i + 4sen l jd r '■ ■■ ' = -3sen t i + 4cos/ /
A
d 2 ra 2
. « 4 V
= —3cos t i —4 sent j
t =a *v = ------= 4 i , fl =
dt,1 L .#” * L* • 1 3. i -
d 2 r dt2
= - 3 i
r..- / Pí íii ím d r y j2~? 4y¡2 “ í— , v = —— = ---- — 1+—— J , a
7r f 2 r <*2
í ¿ •
4 ^ 2 - - i - 1— r
t = ~ r2
d rv = ------= —3 i , a =dt
d2 r dt2
2084 La ecuación de un movimiento es: r - 2 eos t i + 2sen t j + 3í A: . Determinar latrayectoria, velocidad y aceleración de este movimiento ¿A qué son iguales la magnitud de la velocidad y aceleración y cuales son sus direcciones en los
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254 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
tt-Como r = 2cos¿ i + 2 sent j + 31 k
w"l *'J l .
d r = - 2 sent i + 2cosí j + 3 k = v
d 2 r7 — - 2 eost i —ls e n t j = w
dt
para t = 0, se tiene v = 2 j +3 & , w - - 2 iV * •' *1..:
^ r —r —T 7 —f/ = —, se tiene v = -2 / + 3 A:, w = —2 i
2 • . I. • : \CVV/.*
además V t, j j= V Í3 , .2d* dt
2085 La ecuación de un movimiento es: r = cos a cos wt i + sen t cos wt j + senwt k
donde a y w son constantes y t es el tiempo. Determinar la trayectoria, magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración del movimiento.
f , . f ' . f • v ’■ > , .■- - y T ' , y ' . v y , / f ‘ t ,
Desarrollo
-► -> —> -> r = cos a cos wt i + sen orcos wt j + s e n w t k
d r x '• d r- ~ - = —w e o s a s e n w t i ^ w s e n a s e n w t j + w c o s w t k =i> I |= iv
i s?‘‘ •-} *\ IJ i i l, -}¡: firwfrv . - * -■
'JiíO! ?í?¿ ;*■' •/ ‘‘2 . í it»; . - ' - • * h ' ; ; r*WTfÍ - • ' ¡ t-> ’ -■ • 7 - " ‘ * ->rf r 2 ^ 2 2 7 r . 2— r- = - w cosacos wt i — w sena cos wt j - w senwt k => , — r - = w
dt2 : 2
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Funciones de Varías Variables 255
2086
2087
L a ecuac ión del m o v im ie n to de u n p ro y e c til (p re sc in d ie n d o de la re s is te n c iagrt
del a ire ) es: r - r0 t — — k , donde r0 = (Vox + Voy + Voz) es la v e lo c id a d
in ic ia l. H a lla r la ve lo c id a d y la ace le rac ió n en c u a lq u ie r ins tan te .
Desarrollo¡ i
gt2 7 d r 7r =rfít k => --------= r« - gt k
0 2 dt 0
d 2 r dt2
L u e g o V = J V 0l + V 02y + (Vm - g t ) :
2D e m o s tra r, que s i u n p u n to se m u e ve p o r la p a ráb o la y = — , z = 0 de ta la
fo rm a , que la p ro ye c c ió n de la v e lo c id a d sobre e l e je O X se m a n tie n e constan te dx( — = cons tan te ), la a c e le ra c ió n ta m b ié n se m a n tie n e constan te . dt
Desarrollo
x 2 d x A AC o m o y = — , z = 0 adem ás — L = Vx ; | Vx \=VX = constan tea dy
d 2 X A A l = Wx 9 | | = w Y = 0 en este caso la ac e le ra c ió n se m a n tie n e constan tedt2
—sobre la p ro ye c c ió n O X , aho ra cons id e rem os r u n v e c to r de p o s ic ió n—> —y —¥r = x i + y j
x d r t~*.r = x i -\ j => --------= M ----- j =VX
a dt a
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256 Eduardo Espinoza Ramos
2088
2089
d 2 r 2- — = - j = w dt a
L u e g o se m a n tie n e constan te para c u a lq u ie r v a lo r de t.'■ - • v 'í' v i , - ' ‘ ‘ . f »; ) .
U n p u n to s itu a d o en la rosca de l to m il lo , que se enrosca en u n a v ig a , describe u n a h é lic e c irc u la r x = a eos 0 , y = a sen 0 , z = h 0 donde 0 es e l á n g u lo de g iro áé[ to m il lo , a, e l ra d io de l t o m i l lo y h la e le v a c ió n c o rre sp o n d ie n te a l g iro de u n ra d ian te . D e te rm in a r la v e lo c id a d de l m o v im ie n to de l p u n to .
Desarrollo
—> — >C o n s id e re m o s e l v e c to r de p o s ic ió n r - x i + y j + z k y c o m o x =a eos 0 ,
—► —> —> —> y = a sen 0 , z = h 0 en tonces r = a eos 6 i +a sen 0 j + hO k de donde
d r d r dO ~> dO = ------ .— = (—asen9 i + acos6 j + h k)w donde — = w (ve lo c id a ddt dO dt dt
de ro ta c ió n d e l to m i l lo )t
d rL u e g o se tie n e : --------= ( -a sen6 i + a e o s0 j + h k)wdt
dt
H a lla r la v e lo c id a d de u n p u n to de la c irc u n fe re n c ia de u n a m ed a , de ra d io a, que g ira con u n a ve lo c id a d a n g u la r cons tan te w , de ta l fo rm a , que su c e n tro , a l o c u r r ir esto , se desp laza en lín e a rec ta con u n a v e lo c id a d cons tan te V0 .
iDesarrollo
C o n s id e re m o s e l v e c to r de p o s ic ió n de la tra y e c to r ia
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Funciones de Varias Variables 257
r = x i + y j => r — a eos / + a sen wt ja—>
~> d vV --------= -awsen wt i + ¿zwcos wt j , donde F v = aw sen wt , F, = a v íe o s u /
dt
c o m o la c irc u n fe re n c ia se desp laza con u n a v e lo c id a d h o r iz o n ta l z F(o
la v e lo c id a d f in a l es F : V = ( V0 - awsenwt) i +awcoswt j de donde
V ~\V \ - \J{V0 - aw sen wt)2 + (aw eos wt)2
I ó ó I F = | F | = JF0“ +a~w~ - 2awV0sen wt
6.19. TRIEDRO INTRÍNSECO DE UNA CURVA EN EL ESPACIO.-
E n to d o p u n to M ( x ,y ,z ) que no sea s in g u la r, de una c u rva en el espacio—> —r - r(t) , se puede c o n s tru ir un tr ie d ro in trín se c o fo rm a d o p o r tres p lanos
p e rp end icu la res e n tre si. V e r fig u ra .
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258 Eduardo Espinoza Ramos
d y1) E l p la n o o sc u la d o r MMlM 2 , en e l que están s ituad o s lo s v e c to r e s y
dt
d 27dt2
d y2 ) E l p la n o n o rm a l MM2M 3 , p e rp e n d ic u la r a l v e c to r ydt
3 ) E l p la n o re c tif ic a n te MM]M 3 , p e rp e n d ic u la r a lo s dos p la n o s p r im e ro s .
L a s in te rse c c io n e s de estos tres p la n o s fo rm a n tres rectas:
i) la tang en te ii) L a n o rm a l p r in c ip a l MM2
iii) la b in o rm a l MM3
que se d e te rm in a n re sp e c tiva m e n te p o r lo s vec to res—>
d r1) T -------- (v e c to r de la ta ng en te )dt
— ^2 ) B = — — x ---- - (v e c to r de la b in o rm a l)
dt dt2
— ^3 ) N = B x T (V e c to r de la n o rm a l p r in c ip a l)
-> T B Z NL o s co rre sp o n d ie n te s ve c to re s u n ita r io s T = --------, B = , N = ——
B I I V
A —> A ti y A A A—> d y ~
Se pueden c a lc u la r p o r las fo rm u la s T = — — , V = - ^ - , B = T x NdS *, d y
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Funciones de Varias Variables 259
2090
S i X , Y , Z , son las coordenadas v a ria b le s d e l p u n to de la tang en te , las ecuac iones de d ichas tangen tes en e l p u n to M ( x ,y ,z ) te n d rá n la fo rm a .
X - x _ Y - y Z - z Tx Tv Tz ... ( 1)
dx dv dzdonde T' = — , Tv = — , T = —x dt y dt 2 dt
p a rtie n d o de la c o n d ic ió n de p e rp e n d ic u la rid a d de la rec ta y e l p la n o , ob tenem os la ecuac ión d e l p la n o n o rm a l.
Tx (X - x) + Ty ( Y - y ) + T2 ( Z - z ) = 0 ... (2 )
s u s titu y e n d o en las ecuac iones ( 1) y (2 )
Tx ,Ty , Tz p o r Bx ,By ,Bz y Nx , Ny , N z ob tenem os las ecuac iones de las
rectas b in o rm a l y n o rm a l p r in c ip a l y re sp e c tiva m e n te , de lo s p la n o s o sc u la d o r y re c tif ic a n te .
S i la c u rva en e l espacio se da c o m o la in te rse c c ió n de dos su p e rfic ie s->
d k d rF(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 en lu g a r de lo s ve c to re s ----- y se puede
dt
2 2 2 2 r to m a r lo s vec to res d r = ( d x , d y , d z ) y d r = ( d x , d y, d z ) , p ud iénd osec o n s id e ra r u n a de las v a ria b le s x,y,z c o m o in d e p e n d ie n te y sup one r su segunda d ife re n c ia l es ig u a la cero.
A A A
H a lla r lo s ve c to re s u n ita r io s p r in c ip a le s T ,B 9N de la c u rv a x - 1 - eos t, y -
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260 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
Sea r ( t ) = ( \ - c o s t , s e n t , t ) en tonces
a
-> d r - rT = -------= (sen t, eos t, 1) , — r - = (eos -s e n t, 0 )
dt dt '
n d r pa ra t = — , — = (1, 0 , 1) ,
2 dt
d 2 r
dt2= (0 , - l , 0 )
de donde T = ( 1, 0 , 1) => , = - = ( - ) = , 0 , 4 =)I T\ \Í2 \ ¡ 2
d rB = -------x — —dt dt
i j k
1 0 1
0 - 1 0
( 1, 0 , - 1)
» B , 1 « 1 x i ~ kB = — = ( - 7 = ,0 , - - — ) =B \¡2 V T 42
— > — > — >
— >
«
*
— >
j A:N = B x T =
■ " i V > *. ( r1 0 - 1 = ( 0 , - 2 , 0 )1 0 1
—►A ^
AT = — = ( 0 - 1, 0 ) = - J
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Funciones de Varias Variables 261
2091 H a lla r lo s vec to res u n ita r io s de la ta ng en te y n o rm a l p r in c ip a l de la e sp ira l
c ó n ic a r ( t ) = el (e o s / i + sent j + k ) en u n p u n to a rb itra r io . D e te rm in a r lo s á n g u lo s que fo rm a n estas rectas con e l e je O Z .
Desarrollo
d r , t t = e (eos t - sen t) i + e (eos t + sen t) j + e kdt
d 2 r
d t2- l e 1 sen t i + 2 el eos t j + e * k
~2 d r d r B jcdt dt2
e (eos t - sen t)
- l e 1 sen t
—> j
ét (eos t + sen t)
l e 1 eos t
^ r y --------------------------------------------------------------------------------------- ------ ^B = e2t(sent - e o s t) i - e * (sen t +cosí) j + l e f k
N = B x Tr \ .
e ( s e n t - e o s t ) - e Ll(sent + cos¿) 2e e* (eos t - s e n t) el (eos t s e n t) el
21 2t
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262 Eduardo Espinoza Ramos
2092
sent + eos t sent - eos t) j
Aeos <(T,OZ) =
A<(T,OZ) =
=>A
c o s < ( jV , OZ ) = 0A
<(N,OZ) =
K~67T
A A AH a lla r lo s vec to res u n ita r io s p r in c ip a le s T ,B , N de la c u rv a y = x , z - 2 x en e l p u n to x = 2 .
Desarrollo
—2 d rSea r = ( x , x , 2 x ) de donde - 7 — = ( l , 2 x ,2 )
dxd 2 r dx2
( 0 , 2 , 0 ) para x = 2
—>~> d rT = — = (1 ,4 ,2 )
dxT I = V Í + T 6 + 4 = V Í I
—> —>2, T . 1 4 2 d rT = —— = ( - = , - = , - = ) c o m o - 7— = (1 ,4 ,2 ) ,1— ? /— ? i—
V 21 V 21 v 21 ¿/xJ 2 r dx1
= ( 0 , 2 , 0 )
k2
0
= ( “ 4 ,0 ,2 )
A 5 4 2* = = ( - — , 0 , - 7= )
20 V 20
— ^N = B x T
i-41
J0
4
k22
= (-8 ,10 ,-16 )
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Funciones de Varias Variables 263
2093
A-» v
\N\
8 1016 4
82\/l05 ’2VÍ05 ’ 2VÍ05 VT05 ’ Vl05 ’ x/í05
)
Dada ía hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = bt escribir las ecuaciones
de las rectas que forman las aristas del tetraedro intrínseco en un punto
arbitrario de dicha línea. Determinar los cosenos directores de la tangente y de
la normal principal.
D e s a r r o l loi, 1 " , '( - " .7 ' ‘w
—>Sea r (/) = (¿7 eos t, a sen t , ¿tf), derivando
_> d rTdt
r~j ?(-a sen t, a eos t,b) => | T |= sja~ +
de donde T-»A J7 a sent a eos ¿
T si a2 +b1 si a2 + b2 sia2 +1?)
d 2 7dt
(-a eos t, -¿7 se/? 0), ahora calculamos
.d r d r
B = ------- x — -dt d r
1
■a sen t -acost
jacost
-a sent
kb0
(ab sen t , eos t, a“ )
—>B = (absent,-abcost,a ) i? 1=
2, i? , absent B = ------- = ( abeost a
si a2 + b2 asía2 +b2 asía2~+'b2
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264 Eduardo Espinoza Ramos
b s e n t - b c o s t b
yja2 + b 2 yja2 + b 2 yja2 + b 2
—> —> —N = B x T =
i j k
a b s e n t - a b c o s í a
—.a s e n t a eos t b
- ( - ( ab2 + a3) eos /, - ( a b z + a J ) s e n t , 0 )
N = ( ab2 + a3)V c o s 2 t + s e n 21 = a(a2 +b2)
NN = —— = ( - eos t, - s e n t , 0 )
I N I
L u e g o la ecuac ión de la rec ta ta ng en te que pasa p o r e l p u n to
(a eos t, a sen t, b t) es: x - a eos t _ y - a s e n t _ z - b t
-a s e n t a eos t
L a rec ta b in o m ia l es: j t - ¿ i c o s / _ y - a s e n t _ z - b t
b s e n t - b c o s t a
L a rec ta n o rm a l p r in c ip a l se tie n e : x - a eos t y - a s e n t z - b t
eos / s e n t a
L o s coseno d ire c to re s son:
-a s e n t n a e o s / beos a = , ......... — , eos [5 - -r ■■ =....= , eos / ='Ja* ~+b2 4 a -2 + b 2
Y lo s cosenos d ire c to re s de n o rm a l p r in c ip a l son:*
eos P x - s e n t , eos y x = 0eos a x - eos / ,
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Funciones de Varias Variables 265
2094
2095
E s c r ib ir las ecuaciones de los p lanos que fo rm a n e i te tra e d ro in tr ín s e c o de la¡ f : ■ . • '■ t
c u n a x = t, y = t2 , z = P en e l p u n to M (2 ,4 ,8 ) .
Desarrollo
Sea r (t} = (/, r , t ) , de donde se tie n e :
— = (1 .2 / ,3 r ) dt para t = 2
d 2 r = ( 0 ,2 ,6 0
-> d rdt
- (1 ,4 ,1 2 )
i 2d r
dt— = ( 0 , 2 , 12)
— —)■2d r d~ r
B = x —~dt
l1
0
J42
—> A'12
12( 2 4 , - 1 2 ,2 )
L a ecuac ión de la ta ng en te en el p u n to M (2 ,4 ,8 ) se tiene :
a* - 2 v - 4 o
La ecuac ión del p la n o o sc u la d o r es:
2 4 (x - 2 ) - 12 (y - 4 ) + 2 (z - 8 ) = 0 de donde 12 x - 6y + z -- 8 = 0
L a ecuac ión de l p la n o n o rm a l es: l ( x - 2 ) + 4 (y - 4 ) + 12 (z - 8 ) = 0
x - f 4 y + 12z — 114 = 0
E s c r ib ir las ecuac iones de lo s p lanos que fo rm a n el te traed ro in trín se c o de la c u rva x + y + r = 6 , x “ - y* + z^ = 4 en el p u n to M ( 1 ,1 ,2 )
Desarrollo
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266 Eduardo Espinoza Ramos
C:x 2 + y 2 + z 2 = 6
x 2 - v2 + z 2 =4p a ra m é triza n d o la c u rva se tie n e :
sum and o las dos ecuac iones se tie n e :
'y * ) * ) I O2x"'+2z = 1 0 => x +z = 5 => z = V 5 — jc adem ás v “ =1 - y = l
Sea r(t) ~ ( / , ! , V s T 2 ) para t = l se tiene :
7xo=(i,o,-7=4=) => 7(i)=(i,o,-7)7 5 - t 2 2
la ecuac ión de l p la n o n o rm a l es:
1( a - 1) - 0 ( v - 1) ~ — (z - 2 ) = 0 de donde 2x - z =: 0
;• '(/) = (1,0, — 7= ) :=> r \ t ) = (0 ,0 ,----------------- => r"(l) = (0,0,7 5 ~ 2 (5 - ñ 2
^£ = r \ \ )x r ”( l )
k
1 0 —
0 0 -
< P ¿ Q >O
L a e c uac ión de l p la n o o sc u la d o r es: 0 (x - 1 ) + — (y - 1 ) + 0 (z - 2 ) = 08
de donde se tiene: y - 1 = 0
OO i ÍS
i
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/ unciones de Varias Variables 267
N = B x T =
i
0
1
J58
O
->k
O
2
( 1 6 ’ ° ’ 8 }- — ( 1, 0 , 2 )16
L a ecuac ión de l p la n o re c tif ic a n te es: 1 ( x - 1) + 0 (y - 1) + 2 (z - 2 ) = O
2 x + z - 5 = O
2096 H a lla r las ecuac iones de la tangente , de la n o rm a l p r in c ip a l y de la b in o rm a l eni4 P t2u n p u n to a rb itra r io de la c u rva : x = — , y - — , z - — . H a lla r lo s p u n to s en4 3 <2
que la tang en te a esta c u rva es p a ra le la a l p la n o x + 3 y + 2 z - 10 = 0
Desarrollo
t4 t3 r Sea r {t) = {— ) =>4 3 2
,3 ,2
r " ( í ) = (3 / , 2 / , 1)
B = ~r\t)x r"(t)
—>/
—» j
—> k
/ 3 t2 t
3 í2 2 / 1
—> -> —i 7 k
N = B x T = - / 2 2 r 3
r 1 / 2 t
= ( í 6 + 2 f 4, / 3 - - 2 t h)
- P { r + 2 t , \ - t H, ),
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268 Eduardo Espinoza Ramos
2097
4 1 2t t tL a ecuac ión de la tangen te que pasa p o r el p u n to M ( — , — , — ) es:4 3 2
t t rx V z ------
4 _ 3 _ 2t2 t 1
, 4 í 3x V -- - z ------
4 ' 1 oL a ecuac ión de la b in o rrn a l es: - -- 1 21 -~t2
4 1 0t t rx V - - z -------4 3 2L a ecuac ión de la n o rm a l p r in c ip a l es: - -2t + t4 1 - I 4- t 2/3
S i P: x + 3 y + 2z - 10 = 0 en tonces
~r\t)HP « ~r\t) Jl N = ( L 3 ,2 ) r \ t ) .N = 0
(1,3, 2 ) . ( í3, í 2 , 0 = 0 => íi +3t1 +2t = 0
t(t2 +3t + 2) = 0 => t = 0 , t = - 1, t = -2
para t = 0 , x = 0 , y - 0 , z = 0
t = - 2 , x = 4 , y — — , z ~ 23
«■
H a lla r las ecuac iones de la tang en te , de l p la n o oscu 1 ador, de la n o rm a l0 - yt 2p r in c ip a l y de la b in o m ia l de la c u rva x = t, y = - t, z = — en el p u n to t r;r 2 .
C a lc u la r lo s cosenos d ire c to re s de la b in o m ia l en este p u n to .
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Funciones de Varias Variables 269
D e s a r ro l lo
Sea r(t) = ( / , - / , *— ) => ( 1 , - 1 , í )
r ' \ t ) = (0,0,1)
para t = 2 , 7* = ( 1, - 1, 2 ) , r " ( 2 ) = ( 0 , 0 , 1)
i j k1 -1 20 0 1
= ( - 1 - 1, 0 )
N = B x Ti j k-1 - 1 0
1 -1 2= ( -2 ,2 ,2 ) = 2 ( - l , l , l ) = -2(1,-1,-1)
para t = 2 se tie n e x = z = 2, y = -2 , P (2 ,-2 ,2 )
L a rec ta tangen te : x —2 >> + 2 z - 2
R ecta n o rm a l es: x - 2 v + 2 z - 2
1 - 1
J
e l p la n o o sc u la d o r es: 1 (x - 2 ) + 1 ( y + 2 ) + 0 (z - 2 ) = 0
L o s cosenos d ire c to re s de la b in o m ia l es: c o s a = —J=r, eos /? =V 2
—p r , eos y = 0 V 2
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270 Eduardo Espinoza Ramos
2 0 9 8 E s c r ib ir las ecuac iones de la ta ng en te y del p la n o o sc u la d o r a las c u rva s s ig u ien tes .
7 7Ta ) .v = R~ eos t , y = R sen t eos t, z = R sen t, cuando t = —4
b ) z = x 2 + y 2 , x = y en e l p u n to ( 1, 1,2 )
c) x 2 + y 2 + z2 = 25 , x + z = 5 en e l p u n to ( 2 , 2> /3 ,3 )
D e s a r r o l lo
—a ) Sea r(t) = (Rcos t ,Rsentcosí ,Rsent)
—>r ’( í ) = (-Rsen 2tyRcos2t,Rcost)
r \ t ) - ( - 2 / ? eos 2t, -2R sen 21, - R sen t )
ti R R Rpara t - — , x - — , v = — , z = —j=r4 2 2 V 2
r ’( ^ ) = = - * ( 2 , 0 , - V 2 )
y —X _ 2 y ~ 2 ‘ V 2L a recta tang en te es: — —— = ----------- = ------- ;=—
2 0 —v/2
i? R r~ RL a ecuac ión del p la n o n o rm a l es: 2 (x - - - ) + 0 (y - — - y 2 (z — 7= ) =f 0
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Funciones de Varias Variables 271
2099
b ) z = x +y , y = x => z = 2x . Sea r(t) = (t,t,2t )
C a lc u la n d o t = ? se tie n e (t,t,2t2) = (1 ,1 ,2 ) => t = l
r ' ( 0 = (1 ,1 ,4 0
r " ( 0 = (0 ,0 ,4 )para t = 1
r ' ( l ) = (1 ,1 ,4 )
> 1 (1 ) - ( 0 , 0 , 4 )
la rec ta tang en te es: jc — l y — l z — 2
L a ecuac ión d e l p la n o n o rm a l es: 1 (x - 1) + 1 ( y - 1) + 4 (z - 2 ) = 0
x + y + 4 z - 10 = 0
c) x 2 + y 2 + z 2 = 2 5 , x + z = 5 = > z = 5 - x
.v2 + y 2 + (5 - x ) 2 = 25 => 2;c2 + y 2 = 1 0 x
V 10x - 2 x 2 de donde r (¿ ) = ( ¿ ,V l0 í - 2¿2 , 5 - t ) para t = 2
V l O í - 2 r7 ( 2 ) = (1 ,— 7= , - l ) = - L ( 2 > / 3 , l , —2> /3)
2 V 3 2 V 3
L a rec ta de la tang en te es x - 2 _ y - 2 \ Í 3 _ z - 32%/3 -2^3
L a ecuac ión de l p la n o n o rm a l: 2y¡3(x - 2 ) + l(y - 2^3) - 2y¡3(z -3 ) = 0
Es d ec ir: 2a /3x + v - 2V3z = 0
2 .Hallar la ecuación del plano normal a la curva z = x z + y , y = x en e l origen de coordenadas.
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272 Eduardo Espinoza Ramos
2100
Desarrollo
C2 2 z - x - y
y = xp a ra m é triza n d o la c u rva se tiene :
y = x , z = x 2 - x2 = 0 de donde a(t) = (t,t, 0 ) , para t = t0 se tie n e
a(t0) = (t0,t0,0) = (0,0,0) => ¿0 = 0
« •(0 = ( 1, 1, 0 ) => a \ 0 ) = ( 1, 1, 0 )
la ecuac ión de l p la n o n o rm a l es: 1 ( x - 0 ) + l ( y - 0 ) + 0 (z - 0 ) = 0
x + y = 0
H a lla r la ecuac ión d e l p la n o o sc u la d o r a la c u rva x = el , y = e~l , z = 7 2 / en el p u n to t = 0 .
Desarrollo
Sea r(t) = (et9e t ,y¡2t)
? ’( / ) = 2 ) _
r " ( í ) = ( e ' , e - ' , 0 )
r ’( 0 ) = ( l , - l , V 2 )
7 " ( 0 ) = ( 1, 1, 0 )
5 = r ' ( 0 ) x r " ( 0 ) =? j
1 -1 V 2
1 1 0
= ( - V 2 , V 2 , 2 )
1 .
L a ecuac ión de l p la n o n o rm a l es: -y¡2(x - 1) + \¡2(y - 1) + 2 (z - 0 ) = 0
y¡2x - \ f l y - 2 z - 0
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Funciones de Varias Variables 273
2101 Hallar las ecuaciones de los planos osculador a las curvas:
o 'y o o oa ) jc“ + = 9 , -+■ - 3 en el p u n to ( 2 , 1,2 )
D e s a r r o l lo
C>’ = v ? - 3
r = V 1 2 - 2 ,v2
Sea
'■’( 0 = ( 1,■2?
)
r " ( í ) = ( 0 ,
7 r - 3 ’ V l 2 - 2 í 2
- 3 24 =>—>
B = 7\2)x~r\2)
3 ’2 (12 - 2¿2 )
— -> —>/ j1 2 - 2 —
0 - 3 - 3
r \ 2 ) = ( 1, 2 , - 2 )
^ "(2 ) = ( 0 , - 3 , - 3 )
( - 1 2 , 3 , - 3 )
L a ecuac ión de l p la n o o sc u la d o r es: -1 2 (x - 2 ) + 3 (y - 1) - 3 (z - 2 ) = 0
4 x - y + z = 9
b) x 2 = A y , x3 = 2Az en e l p u n to (6 ,9 ,9 )■4
Desarrollo
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274 Eduardo Espinoza Ramos
— > p pSea r(t) = (t,— , — ) donde t = 6
4 24
t t
1 tr \ t ) = ( 0 , - , - )
7 x6) = (1,:3 , | ) = | (2 ,6 ,9 )¿ L * j L *
> ( 6 ) = ( 0 , i | ) = 1 ( 0 ,1 ,3 )
B = r ' ( 6 ) * r " ( 6 )1 j k2 6 90 1 3
= (9 ,- -6 , 2 )
L a ec u a c ió n del p la n o o sc u la d o r es: 9 (x - 6 ) - 6 ( y - 9 ) + 2 (z - 9 ) = 0
9 x - 6y + 2 z = 18
c) x + z =a , y +z~=b~ en c u a lq u ie r p u n to de la c u rva ( x 0 ,^ 0 , z 0 )
D e s a r r o l lo
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Funciones de Varias Variables 275
2102
i
B = r \ t )x r \ t ) =
j
a‘j b 2 - 12
¿ 22 .2x3
k
1
0
( b - z 2)(a2 - t 2)2
[ b 2 ( a 2 - t 2 ) 2 , a 2 ( b 2 - t 2 ) 2 , - t 2b 2 + ¿ 3 a 2 )
1 ( ¿ 2 X o , a 2 ^ o , - Z o ( - ¿ 2 + a3 3• V o
L a ecuac ión de l p la n o o sc u la d o r es:
b 2x l ( x - x 0) + a 2Jo (.v - j 0 ) + z¿ ( - 6 2 + a 2 ) (z - z0 ) = 0
b 2 x^x - a2Vq y + ( —b 2 + a 2 )zqZ =b2x^ + Jq + Zq ( - ¿ 2 + a 2 )
= b2(x04 - z04 ) + a 2(jo4 + z04 ) = a2¿>2 ( a 2 + b2 - 4 z 0 ) + 2 a 4z04
H a lla r las ecuac iones d e l p la n o o sc u la d o r, de la n o rm a l p r in c ip a l y de la b in o rm a l a la c u rva y = x , x = z en e l p u n to ( 1, 1, 1).
Desarrollo
y =xX = z
=> <x = y
z - y
Sea r(t) = (t2, t , t4) , t = 1
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276 Eduardo Espinoza Ramos
2103
r '(0 = ( 2 Ú 4 /3)
r \ t ) = (2 ,0 ,1 2 r)
r'(l) = (2,1,4) = JO )
7"(D = (2 , 0 , 1 2 )
B =1 j k2 1 42 0 12
= (12 ,-16 ,-2 ) = 2(6, -8 ,-1 )
La ecuación del plano osculador es: 6(x - 1) - 8(y — 1) — l ( z — 1) = 0
— —y —yN = B x T
z + 3 = 0
— > — »i j k6 -8 -12 1 4
= (-31, -26 ,22) = -(31,26, -22)
La ecuación de la recta binormal que pasa por el punto (1,1,1) es:
x -1 y - 1 z -1-8 - 1
La ecuación de la normal principalx —1 y -1 z — 131 26 -22
Hallar la ecuación del plano osculador, de la normal principal y de la binormal! •
a la hélice cónica x = t eos t, y = t sen t, z = bt en el origen de coordenadas. Hallar los vectores unitarios de la tangente, de la normal principal y de la binormal en el origen de coordenadas.
Desarrollo
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Funciones de Varias Variables 277
r ' ( t ) = ( c o s í sen t,sen t - f 1 c o s í , b)—r"(t) = (~2 sen t - i eos /, 2 eos/ - 1 sent, 0)
i • : '• <5 : r P ) = ( l ,0 ,6 )= 7 ’(l)
/•"(O) = (0 , 2 , 0 )V
B = r'(0).v r"(0) =
— —) —£i j té
1 0 b0 2 0
I" ... *
“Vi
ri (-26 ,0 ,2 ) = 2 (-6 ,0 ,l)
La ecuación del plano osculador es: -b(x - 0) + 0(y - 0) + 1 (z - 0) = 0
-bx + z = 0 n i
— > - >
N - B x T
I Hii; n ‘;: í'í í/i o.í
—> ->' j k-b 0 11 0"/ ; i O íí! í
n;
: ij'. i4::i
La ecuación del plano rectificante que pasa por el punto (0,0,0) es:ÍT! i, l
i ■ i-10(x - 0) 4- (b +1)(y - 0) + 0(z - 0) - 0 /. y = 0
y la ecuación de lá binórrñál (recta) es la intersección de los planos normal yl.í O í *„ ;; i ' í. j, ? ,¿ ¿ Á / ' -J ¿i Lf ■' • üj f ¡jc + bz -- 0
rectiíicante es decir: ^¡ . i 'í 5
V = 0f' : ! : ¡V'
6.20. CURVATURA DE FLEXION Y DE TORSION DE UNACURVA EN EL ESPACIO*- Vler. CURVATURA DE FLEXION.-i .. - jf •
La curvatura de flexión de una curva es un punto M, es el número
k -1 <p
= lim -H-y donde 9 . es el ángulo de giro de la tangente (ángulo deR As-a0
contingencia) en el segmento de curva MN y As, la longitud del arco de este segmento de curva R se llama radio de curvatura de flexión.
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278 Eduardo Espinoza Ramos
Si la curva se da por la ecuación r == r (s ) donde s es la longitud de arco, tendremos:
para el caso en que la curva se da en forma paramétrica general, tenemos:
1
—> > d r d " r ,
dis^ 1R • d r >3
2do. CURVATURA DE TORSION.-
Se entiende por curvatura de torsión de una cura en el punto M, él número
donde 0 es el ángulo de giro de la binormal (ángulo de contingencia de la curva
M N . La magnitud p se llama radio de curvatura de la torsión.
Si r = r (s ) se tiene:
d r d r d tds ds2 ds
P dsr f r
ds'
d¡5
■V ' I?f Á'
donde el signo menos se toma cuando los vectores — y v tienen la mismads
dirección, y el signo más en el caso contrario.
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Funciones de Varias Variables 279
2104
-> —>S i r - r (t) donde t es u n p a rá m e tro a rb itra r io se tend rá :
3ra. FÓRMULA DE FRENET.-
d r _ V dV r P dJS Vdt R ’ dS R P ds P
D e m o s tra r , que s i la c u rv a tu ra de f le x ió n es ig u a l a cero en to d os lo s p u n to s de u n a lín e a , esta es u n a recta .
Desarrollo
D e l tr ia n g u lo Bkl^ se tie n e :
BK - BL + L{k donde LAk = t
—com o la lo n g itu d del v e c to r t es e l m is m o entonces
t | = | t + At ¡ p o r lo ta n to é l A Bkl^ es isósce les y e l á n g u lo 0 es e l v é rt ic e de
la tang en te a la c u rva cuando pasa del p u n to A a l p u n to B , com o 6k = l im | — | c o m o 0 = 0, puesto que e l á n g u lo de ro ta c ió n se c o n fu n d e con
As-»0 As
0la recta. L u e g o se c o n c lu ye : k = l im j — ¡ = 0As—>0 As
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280 Eduardo Espinoza Ramos
2105
2106
2107
Demostrar, que si la curvatura de torsión es igual a cero en todo los puntos de una curva, esta es una curva plana.
Desarrollo
La demostración es similar al ejercicio 2104, por lo tanto se deja como un entrenamiento.
9 9 9Demostrar, que la curva x = 1 + 3t + 2t , y - 2 - 2t + 5t , z = \ - t es plana,
hallar el plano en que se encuentra.
Desarrollo
Como
x
y= l + 3í + 2 r
= 2 - 2 t + 5t2
z — 1 — t
Eliminamos el parámetro t, se tiene:
2x — 2 + ót + 41
3y = 6 - 6 t + 15/'
19z = 1 9 - 1 9 / 2
- (1)
- (2 )
.. (3)
sumando las tres ecuaciones tenemos 2x + 3y + I9z = 27, que es la ecuación del plano en donde se encuentra la curva.
Calcular la curvatura de las líneas
a) x = eos t, y = sen t, z = cosh t, cuando t = 0
Desarrollo
Sea r (¿) = (eos t, sen t , cosh t) , de dondeV .
r \ t ) = (-sen t, eos t, senh t) r'(0) = (0,1,0)
r"{t) = ( - eos t , -sent , cosh/) r"(0) = (-1,0,1)
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Funciones de Varias Variables 281
r'(0)x r \ 0) =i0
- 1
—> ->j k1 0
0 1
= (1, 0 , 1)
k _ r '(0 )x r" (0 ) | _ | (1, 0 , 1) | ^| p (0) |3 I (0 , 1, 0 ) |3
b) x2 - y 2 + z 2 = 1, y 2 - 2x + z = 0 en el punto (1,1,1)
Desarrollo
2 2 , 2 ix —y + z =1 Sea C : paramétrizando la curva se tiene:
y 2 - 2 x + z = 0
9 9Al suma las dos ecuaciones se tiene: x + z - 2x + z - 1, completando
2 2 1 1cuadrados se tiene: (jc — 1) + (z~ + z + —) = 2 + —4 4
, v2 , 1x2 9 1 3 1 3(jc — 1) + (z + — ) = — entonces x = 1 + — e o s í , z = v — sent
2 4 2 2 2
. 1 3 5 3y = 4/2 + 3cosM se«í => y = J — + 3 c o s í— sent2 2 V 2 2
3 1 3 5 3Sea r (í) = (1 + —cosí,— + — sent,J — + 3 cosí — se«í)
2 2 2 V 2 2
3 sent + — cosí3 3 ?rYí) = (— sent,—cosí ,-----, ....= = = = = )2 2 r
2 J — + 3 cosí — sent V 2 2
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282 Eduardo Espinoza Ramos
2108
- * 3 3 3 r \ t ) = (— eos/,— sen / ,— (
2 2 2 /5
eos /sent
+ 3cos/ — sent 2 2
/ COS/x2 ^ (sent-\ )
25 3 -( - + 3cos/ — sent)2 2 2
))
;r 3 3 -* k 3 3r ’(—) = (— , 0 , - —) , r"(-) = (0, — ,— )
2 2 2 2 2 2
3" 2
0 - - -
71 -* 7Tr \ - ) |
I r X f ) P
4 40 - 1
9= - ( - U , D
2 4
3 32 2
9 /r4 _ 3 >/3 _3V ó3 ^ 2V 2 4
Calcular las curvatura de flexión y de torsión de las siguientes curvas en cualquier punto
a) x - e l eos t , y = elsen t , z - e t
D esarrollo
—>Sea r (/) = (e1 eos /, e sen t ,e‘)
—►r \ t ) = (V eost - e*sen / ,¿ se n t + el eos/ ,el )
—r "(/) = (-2 sefl /.e*, 2 eos )
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Funciones de Varias Variables 283
r \ t ) x r"(t) = e (cos t - sent)
e* ( -2 sen t)
j k
e* (sen t cosí) e*
e* (Icost) e
= e2t (sen t - cos t, -(eos t + sen t ), 2 )
r"'(t) = (-2e* (sen t + cos t\2e* (cos t — sen t),e*)
^r'(t). r"(t)x r'"(t) =
e* (cost - sen t) e* (sen t + cos t) e*
- 2 sen t .e* 2 cos t.e* e*
-2e* (sent + cos¿) 2e* (cos t —sen t) e*
- e3tcos t - sen t sen t + cos t 1
- 2 sen t 2 cos t 1
-2(sent-\-cost) cos t - s e n t 1
= 2e
r'(t) |= 4 l e *, | r'(t)x r"(t) |= y¡6e2*
kr \ t )x r"(t)| 4~2e-1T -
r'(t). r"(t)x r'"(t) e-t
-y ->r\t) \ ! r \ t )x r"(t) |‘
b) x = a cosh t , y = a senh t, z = at (helice hiperbólica)
Desarrollo
r (t) = (a cosh t , a senh t, at) r '(/) = (cz ao/?/z /, a cosh t, a )
—yr"(t) = (a cosh t, a senh t,0) , r"'(/) = (a.sett/z¿,¿zcoshí,0 )
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284 Eduardo Espinoza Ramos
2109
r \ t )x r \ t ) =
—> i
->j
— » k
asenht a cosh t aa cosh/ asenht 0
(-<3 senh t,a cosh t , - a ‘
r \ t ) | = \Í2a cosh t , | r'(Y)* r "(/) | = J l a 1 cosh t
r\ t) . r"(t)x r'"(t)asenht a cosh t a a cosh t asenht 0
asenht a cosh t 0
= a'
k =r \ t )x r \ t ) \ V2 ¿z2 cosh/ 1
r \ t ) 2 ^ a 3 cosh31 2a cosh2 1
T -a' 1
r \ t )x r \ t ) 2a 4 cosh2 t 2a cosh2 t
Hallar los radios vectores de curvatura de flexión y de torsión de las siguientes líneas en un punto arbitrario (x,y,z)
2 3 2a) x = 2a y , x - 6a zDesarrollo
C :x = 2 ay
x 3 = 6 a2 z
xv =
2a
A6 a1
t 2 / 3Sea r ( t ) - ( t ,— ,— - ) , derivando
2 a 6a~
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Funciones de Varias Variables 285
?'(í) = ( 7 " ( í ) = (0 , - , 2 r ) , P"(í) = (0 , 0 , - Ua a aÁ a
r \ t )x r"(t)
— —> ->i j k
1t 2ra 2 a 2
01 t
oa
= (t
' A2a3 ’ a 2 a
t2 /4 í2 + 2 a 2' ,W I = J l + - + 7 7 = -----------
a 4a' 2 a'
-> / 2 + 2 a 2r'(í)*r"(OI =
2 a
r\t)r'(l)x 7"(t) |
(í2 + 2 a 2 ) 2 . ( r '( í )x r ''( 0 ):— ; p =
4 a' r \ t ) . r"(t)x r m(t)
(t2 + 2 a 2 ) 2
4 a 3
b) x - 3 p y , 2xz = p ÁDesarrollo
Cx3 = 3 p 2y
2 xz - p 1
y =V
.2P2x
t3 z?2Sea r (/) = (í, — —, — ), derivando
3p 21
V d 2 21 t)2 2 3r - ( 0 = ( l — , ~ r ) , r " ( O = ( 0 — , ^ r ) , r m(t) = (0 , —2 ’ .3P 1 P A t4
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286 Eduardo Espinoza Ramos
gr ' ( t ) . rX t)xrm(t) = —
t
r \ t ) |3 ( / + 2 r4 ) 2
(7 '( /)* r" (0 ) 2 (/74 + 2 í4 ) 2
2110 Demostrar, que los componentes tangencial y normal del vector de aceleración
dV V1w se expresan por las formular wT = r , vv = - — v , donde V es la
dt R
velocidad, R radio de curvatura de flexión de la trayectoria, x, v los vectores unitarios de la tangente y la normal principal a la curva.
Desarrollo
Consideremos el gráfico siguiente:
A
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Funciones de Varias Variables 287
Si en un instante t, un punto móvil se encuentra en A, determinado por el
vector O A - r ( t ) de acuerdo a la figura y en otro instante t + At se
-> -»encuentra en el punto B determinado por el vector OB = r( t + A t ) .
Luego el vector AB se denomina vector desplazamiento del punto A, la razón
del vector desplazamiento AB con respecto al incremento correspondiente al tiempo t se denomina velocidad media durante un tiempo.
t7 A B A rV med = ------= = AL
At At
La velocidad del punto en un instante dado se determina por:
—> —> —>A r d r d r
V = lim Vmed = l im = — es decir: V =A/—>o A/—>0 At dt dt
ahora tomemos la longitud s del arco, al cual a s consideremos como función—> —> —>
d k d r ds d rdel tiempo t. Luego tenemos V — ------ = -------- .— - t v donde t — — es un
dt ds st dsds
vector unitario de la tangente y v = — es el vector velocidad.dt
dvLa aceleración w de un punto es w = —
dt
ds d 2s d r . ,Como v = — => vv = — — como V = ------= tv ademas
dt d r ds
dV d . x dV T_ d r d r d r dsw = ----- = — (r,v ) = r + V pero — = — .— entonces se tiene:
dt dt dt dt dt ds dt
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288 Eduardo Espinoza Ramos
2111
dV Trdr ds dV TTi d zw = r + V . =T + V -----dt ds dt dt ds
dV vV¿w = r H pero w = wr + w.
dt R r v
dV V2 dv V2Luego wr + wv - r + — v entonces \vr = r — , w = — v
T dt R dt v R
Por la hélice circular R(t) = (a eos t, a sent, bt) se mueve uniformemente un
punto con velocidad v. Calcular su aceleración w.
Desarrollo
Como R(t) = (a eos a sen tybt) , derivando d Rdt
(~a sen t, a eos t,b)
d 2 R d 2 R
dr— = ( - a e o s t , - a s e n t , 0) ; — — = ( a s e n t , - a eost ,0 )
dt'
d R d R •*— r -
dt dt
/-a sen t -acost
Jacost -a sen t
kb0
2= (ab sen t, -a b eos t, a )
V2como wv = — v pero
R
d R d Rx1 dt drR
a
( df ?dt
a + b 4
Luego w.a V 2
Va + b
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Funciones de Varias Variables 289
2112 r • 2 3La ecuación de un movimiento es r(¿) = (t,t ,t ) determinar en los instantes
t = 0 , t= 1 .
1) La curvatura de flexión y de la trayectoria.
2) Los componentes tangenciales y normal del vector de aceleración del movimiento.■, ' 1 -> 1 ' ' í % r , í ' y • ' / . ‘ ■ *. .* %
• s : v • » . • ... i ; * -i: l. . K .? ; • ■■■' • r: f í
Desarrollo
Como r (t) = (f ,/2, /3) , derivando se tiene: ■U ’ ; i: i■ ' 'i' rw J , > ?:
/•’(?) = ( 1 ,2 / ,3 r ) , /■"(*) = ( 0 , 2 , 6 0 , r " ' ( / ) = (0 ,0 ,6 )i r ' - ■ i ; ! , } ; .. ! ‘ i f ' . f t . r \ % l .i' y 3 (,■ : i f
para t = 0 , r '(0 ) = (1, 0 , 0 ) , r"(0 ) = (0 , 2 , 0 ) , r m(0 ) = (0 , 0 , 6 )
—» —»->i j
—> &
r ' ( 0 ) j t r " ( 0 ) = 1 0 0 = (0 ,0 ,2 ) => I0 2 0 •#
-> —>
r'(0)x r"{0 ) |= 2
k 1 | r ' ( 0 ) x r'(0 ) I 2 _ g
* | r ' ( 0 ) 1 1
r ’(0 ) | = 1
componente tangencial wr = ? y la normal wv - ?
— y'i ■ / "• ' •• :l ■■■ . \ ' í :¡ "V = — = ( l ,2 r .3 r ) pero F =1 F | = ó + 4 r + 9 í4
d t
entonces vr¿ F 4/ + 18F
para t - 0 se tiene w
dt Vl + 4 r + 9 í4
dVdt
- 0 . Luego u’r - 0 , wv - 0
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290 Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO VII
INTEGRALES MÚLTIPLES Y CURVILÍNEASs -1 • i.} i. ? 7 j
7.1. INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS RECTANGULARES.-
lro . CALCULO INMEDIATO DE INTEGRALES DOBLES.-
Se llama integral doble de una función continua f(x,y) sobre un recinto cerrado y acotado S del plano XOY al limite de la suma integral doble correspondiente.
f ( x , y ) d x d y = lim > >max Atfj —>0 ¿Lmmd émmmámax Ay k ~>0 i k
... (1 )
donde Ax¿ = xj+l - x ¡ , Auk =Ava+| - y k y la suma se extiende a aquello valores de i y k, para los que los puntos (x ,, y k) pertenecen al recinto S.
2do. COLOCACIÓN DE LOS LIMITES DE INTEGRACIÓN DE LA INTEGRAL DOBLE.-
Se consideran dos formas principales de recinto de integración.
l ) El recinto de integración S, está limitado a izquierda y derecha por las
rectas x = xx y x = x2 (x2 > X j), mientras que por abajo y por arriba lo
está por las curvas continuas y = (p} (x) e y = <p2(x) ( P i W - <P\ (x ))
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 291
Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral reiterada de la forma.
© El recinto de integración S, está limitado por abajo y por arriba por las rectas y, = y e y 2 = y (y2 > y¡) mientras que por la izquierda y por la
derecha lo está por las curvas continuas x = (px(y) , x - { ¡ /2{y)
(y/2(y)>y/\(y))
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292 Eduardo Espinoza Ramos
2113
2114
Luego la integral doble se puede realizar reduciéndola a una integral reiterada de la forma.
*yi eviiy) m m í *)f ( x , y )d x d y = j dy | f { x yy )d x = j ( | f (x ,y )d x )dy
s
Calcular las siguientes integrales reiteradas.
w (x +2y)dx
Desarrollo
dy( (x2 + 2 y)dx = (x2 + 2 y)dx)dy
= J V U 2 x y ) / ' d y = 1 ( 1 + 2 y+ = - + 4 = — + 3
L í
dy
(x + y )Desarrollo
J3 J (x + y Y J) J (x + y f i x + y f i
f (— -------- -—)dx = -[ln |x + 2 | - l n | x + l | ] /x + 2 x + 1 '
4
3
l n | ^ l l | / “ = —(ln— — ,n —> = , n ~ x + 1 / 3 5 4 24
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 293
2115
2116
f dx f xldyi + r
Desarrollo
Í n j ; r x 3 / ] /r— x~ a x = ---------/ = —4 12 / o 12
H x'Vv
JVA
Desarrollo
f Aí i ? = f - f
■(— - — ) / 2 = - [ - - 4 ) - ( - - - ) ] = — ] = —6 4 / i 3 6 4 3 12 12
í " í2117 I dy I ( x + 2 y)dxJy2 -4
Desarrollo
j . ^X + = (x + 2v)dx)dy = J ( ^ - + 2 x v ) j dy
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294 Eduardo Espinoza Ramos
4 i 3 (~y
+ y55
- j U -243
5
4 A 3 . o 2
/ + ^ 3 + 1 8 / + 9 j ) / 33
243-8 1 + 72 + 162 + 27) - (--------8 1 -7 2 + 162-27)] = 50.4
f n mdep
Jas*
2118 I d o I r drm sen q>
Desarrollo
r n m f 2* i** t * V2 / ad(p I r dr - I ( I rdr)d(p= I — j d(p
Ja sen (p J) vasencp ^ asen(p
1 {2/r a2 C2= — I (a2 - a 2sen2(p)d(p = — I cosA (pd(p2
a (l + cos2 <p)d<p = ^ W + ^ y— I (l + cos2 (p)d(p- — [cp +o
2 2 a a n— (2 7i + 0 - 0 ) = ------
f K mdep I rd r =
va sen (p
a n
2119K*2
Kd(p
í
COS (p2 2r sen (pdr
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 295
Desarrollo
n ' k¿o eos cp tucos (p| d(p I r^sen ( p d r - | ( | r~ seiCcp dr)d(p
n*7 r 3 ? , 3cos ‘
— sen~(p d(p * 3 / o
n
" p «3 y a
27 ¡z 3eos (p.sen'(pd(p
JL 3 5 A21 12 „ 2 x "> , 21 sen íd sen'cp. / ->(\-sen~(p)sen (pcoscpdrp = — (-------------- -— ) / ^3 3 5
2 2
71
l
2120i-y
27 1 l 1 1 27 2 2 5- 3 12— [(---- ) -(— + ")] - — ( ) - 18(---:-) - — - 2.43 3 5 3 5 3 3 5 15 5
V i - * 2 - .y 2 dyDesarrollo
sj\ - x 2 - v2 c/v = / 2 2 yj\ — x - y dy)dx
fl _ | _ v 2= | ( ~ ^ \ ~ x - y + —- — aresen
V i — v 2
V T-j=-) / dx.2 / 0
í1 - X
[ (0 + —- — aresen 1) - 0 ]¿t/a:2, í
1 - x“ /r . . — í/x
■7 '2
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296 Eduardo Espinoza Ramos
2121
x + y
2122
Escribir las ecuaciones de las líneas que limitan los recintos a que se extienden las integrales dobles que se indican más abajo y dibujar estos recintos.
M
yf (x ,y )d x
-1
Desarrollo
[ * ■ £ f ( x , y)dx = £ ' £ f ( x , y)dy)dx = if/a , y)dxdyD
donde D :<- 6 < y < 2
y 2^ — 1 < x < 2 - y
l 4
Y ^grafícando la región D se tiene:
Los limites de integración es de
y = 6 a y = 2
y 2De x = ------1 a x = 2 - y
4
H +9f { x , y ) d y
Desarrollo
/«3 f>x+9 fkx+9 p
dx I f ( x , y ) d y = I ( I f (x ,y )d y )d x = I i f ( x , y ) d x d y•I Jx2 J Jx 2+9 J J
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 297
2123
fi/•*-*
2124
donde D :<1 < x < 3
x2 < y < x + 9
graficando la región
í * í
M
0-vf (x ,y )d x
0-vf ( x , y)dx
Desarrollo
i - r f ( x , y)dx)= í l ' 1' ,y )dxdyD
donde D :í
0 <
>’<
X
Los limites de integración es de y = 0 hasta y - 4, de x — y a x - 1 0 - y
K f (x ,y )dy
y < 4, graficando la región se tiene:
x < 1 0 - jy
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298 Eduardo Espinoza Ramos
2125
Desarrollo
*2:
r 4
f ( x , y ) d y = í 'f f ( x , y)dy)dx = u n * , y)dx dyÍ PD
donde D :<1 < jc < 3x , grafícando la región se tiene:— < y < 2 x 3
*3 **¡25-x2
M
f { x , y)dy
Desarrollo
25-jTf ( x , y ) d y =
«í pjlí-(
•of ( x ,y )d y ) d x =
D
donde D :0 < x < 3
0 < y < y j 2 5 - x 2, grafícando se tiene:
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 299
2126
Y
= s¡25x¿
Los limites
t*ri*r
donde D :<- 1 < x < 2
, graficando se tiene:x“ < v < x + 2
*Los limites de integración es de x = -1 a x = 2 de y - x" a y = x + 2
de integración es de x = 0 a x = 3 de y = 0 a v = V25 - x 2
f ( x , y ) d y
Desarrollo
Í
2 pv+2
( j f (x ,y )dy)dx = | |íf'
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300 Eduardo Espinoza Ramos
Colocar los limites de integración, en uno y otro orden, la integral doble
J*J*/(a% y)dxdy para los recintos S qua continuación se indican
s
2!27 S es un rectángulo cuyos vértices son: 0(0,0), A(2,0), B (2,l) y C(0,1).
Desarrollo
Í C
y)dxdy = y)dy
2128 S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A(1,0) y B (l,l) .
Desarrollo
íí/ ( x , y)dx dyi)
f(x ,y)dx)dx{)
s
í í J\x,y)dx)dv
2129 S es un trapecio cuyos vértices son 0(0,0), A(2,0), B( 1,1) y 0(0,1)
Desarrollo
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tw
Integrales Múltiples y Curvilíneas 301
130
2131
(0,1)
0
íff (x, y)dx dy
sH
í 'í
f ( x , y)dy)dx) +M
/ (x, y)dy)dx
f(x ,y)dx)dy
S es el paralelogramo cuyos vértices son A (l,2), B(2,4)
Desarrollo
Y
D íff ( x ,y)dxdyx+3
( I f (x ,y )dy)dx'¿X
X
S es un rector circular OAB con centro en el punto 0(0,0) cuyo arco tiene sus
extremos en A( 1,1) y B( 1 1 ) .
W H N M I
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302 Eduardo Espinoza Ramo
2132
í*í / O , y )+ dyf
rJi-y2
-jb-f (x, y)¿/x
2-jc¿f ( x , y ) d y + f ( x , y ) d y
S es un segmento parabólico recto AOB, limitado por la parábola BOA y por el segmento de recta BA, que une entre sí los puntos B (-l,2) y A (l,2)
f*fJ-if (x , y)dy f (x , y)dx
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 303
2133
2134
S es un anillo circular limitado por las circunferencias cuyos radios son r = 1 y R = 2 y cuyo centro común está situado en el punto 0(0,0).
Desarrollo
O OLas ecuaciones de las circunferencias son: .r + y = 1 , xz + y z = 4
í,14-x2 fi «/ 4-x-
+ I dx l f ( x , y ) d y + dx I f ( x , y ) d yl]~x2 J
f ( x ,y )d x +m
\ d y /—f ( x , y)dx +
f ( x ,y )d x + f ( x ,
está limitado por la hipérbola y2 - .v 2 = l y por la circunferencia
- + y z = 9 (se considera el recinto que comprende el origi
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304 Eduardo Espinoza Ramos
2135
X2 + y2 = 9
Calculando los puntos de intersección se tiene:
-3 X * 2 + / = 9[ y 2 - x 2 = l
==> Sx — ± 2
y = ±V5
J dx( ¡9—x2
-a/9-.v2f ( x , y ) d y + dx
Í 2 p / í + x 2 /*3 p / 9 -.v2
dx I __f(x,y)dy+ dx I J'{x,y)dy =
2 J-vl+ .v“ J-V9-.V2
Í -i r-\ly2~i r -1 W9~>'dy I /(.* , j)d x + I dy | ___ / ( x , >’)¿v +
- 5 J-J9-V2 J-Vs
f ( x , y+r
i p-'Jy2 “i/ ( x , >>)¿x
+J J jy2-]
f (x, >')<&
Colocar los limites de integración en la integral doble / ( * , dy si el
recinto S está determinado por las desigualdades siguientes:
a) x > 0 , y > 0 , x + y < 1
Desarrollo
y2 - x2=1
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 305
M
—Xf(x,y)dy)dx
í'í- V
f (x ,v )dx)dy
b) .v2 + <
Desarrollo
íí f (x,y)dxdy
s
/ ( x , y)dydx
j . ->a -v~f(x .y )dx )dy
Va"
1 "> c) x~ + y~ < x
Desarrollo
x 2 + y 2 - x => (x - —)2 + y 2 = — circunferencia de centro (~ ,0 )
Desarrollo
ííf ( x , y)ddy
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306 Eduardo Espinoza Ramos
J J
/ ( x,y)dxdy
sO
x-x
■yjx—x¿f ( x , y)dy)dx
1 \+\j\-4y2
f ( x , y)dx)dy
d) y > x , x > 1 , y < 1Desarrollo
\ y ( . x , y ) d x d y
sÍ,(f/Ky)dy)dx
í ' í
f (x ,y )dx )dy
e) y < x < y < 2 a
Íi my+2a
n
Desarrollo
f { x , y)dx =
rmx - r ita fiadx I f ( x , y)d + J dx
fi&a
•feadx I / (x, y)dy + I í /(.v , y)dy
a f x - 2 a
Investigar el orden de integración en las siguientes integrales dobles.
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 307
2136M
2xf { x ,y ) d y
Desarrollo
Sea D :0 < x < 4
. graficando la región3x2 < y < 1 2 x
ííf ( x , y ) d x d y =
D
2137f * r•I) *2x
f { x , y ) d y
Desarrollo
w
2xf ( x , y ) d y
y)dx
12
Sea D :0 < x < 1 2x < y < 3x
graficando la región
ííf ( x , y)dxdy =W .
f (x ,y )dy)dx
D
i
( f ( x , y)dx)dy + ( f ( x , y)dx)dyW
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308 Eduardo Espinoza Ramos
2138f
y 2 i {*Ja - x
2 a
f ( x , y ) d y
Desarrollo
Sea D :0 < x < a
2 2 a - x2a
< y < yJa2 -graficando
íff ( x ,y)dxdy =r ¡ 2 2- x
(£ i2 a
f (x ,y )dy)dx
;(
jf ( x , y)dx)dy
¡a - 2 a y
+m
a2
la2-y2f ( x , y)dx)dy
2139 f2 a x -x
dx I / ( x ,
Desarrollo
Sea Z):
a— < x < a 2
0 < y < yjlax -
graficando
J J
f ( x , y)dx dy =m fN 2 a x - x
( I f ( x , y)dy)dxa
D
H ' » -y)dx)dy +
t - L ,
i •
f ( x , y)dx)dy
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 309
2140
2141
r a {*j4axdx\ -
vy2ax-x'f ( x , y ) d y
Desarrollo
0 < x < 2aSea D :
V 2 ax - a*2 < y < a/4ax, graficando
íf/ ( x, y)dx dy; —a f* j4 a x
( I _ f ( xJ\J2ax-x~
Í
i fia- ¡a2~v2( I
W f ( x , y ) dx
+ f ( f ___f(x ,y)dx)dy +•J) J a+yja2- y
ly[2 a+
Jb
míaOy"
4a
f (x ,y )dx)dy
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310 Eduardo Espinoza Ramos,
Desarrollo
Sea D : <0 <.y < 1
->/r y <x<\, graficando
íff ( x , y )d x d y =
D
2142
Desarrollo
Í ' C pJ\x ,y )dx)dy
+
f(x ,y )dy)dx
í ' f »f (x ,y )dy )dx
Sea D0 < < I
, graficando
í í / ( "'f ( x , y)dx dy = ( I , / ( x ,
D
rJT*f(x,y)dy)dx +
J2f(x,y)dy)dx
+ f{x ,y )dy)dx
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 311
2143
2144
& R
í ’ *ídx | /(.v , y)dy + | ^ dx
J2 Rr*i
’R2- x 2
f ( x , y ) d y
Desarrollo
Ir 2- y 2
f ( x ,
f fifi enx
4 f ( x , y ) d y
Desarrollo
Sea D : <0 < x < n 0 < x < sen x
, graficando
Y
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312 Eduardo Espinoza Ramos
2145
2146
íí/ ( x, y)dx dy -
Df msen x
* íf { x ,y ) d y Í fvr-arsen v
dy I
varesen y
f (x ,y )d x
Calcular las siguientes integrales dobles.
J J 'x d x d y , donde S es un triángulo cuyos vértices son 0(0,0), A ( l,l) y B(0,1)
Desarrollo
ííx dx dy -a
í í /
x dx)dy
1 ídy = - | 0 2
= z i / ' = 16 / o 6
ííx d x d y , donde el recinto de integración S está limitado por la recta que
pasa por los puntos A(2,0) y B(0,2) y por el arco de circunferencia de radio 1 que tiene su centro en el punto (0 , 1).
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________________________________________ M i
Desarrollo! y '« i ¡ *»
\ j '4h ] | Tv> /.Vi | |
La ecuación de la circunferencia e s 'x 2 + (y ^ 1)^= 1 de donde X ’k 4%y - y
La ecuación de la recta,es x + y = 2\,=> x = 2 - y ^r V V.< \ • ‘.'V ,v V. V' \,i |j * § \ |0 ñ')>Vj\v> - I ív.-if.-ysKs í 5
í íx dx dv = a* £¿r)¿/y = í í / r dy
•i .* . r .
-if- [ 2 y - y ¿ - ( 2 - y r í (6y - 4 - 2y~ )dyr , \ il¡m»; í i’ ,;.í 11hív ni; 'í;’í 7. "jo.b v ” i — • *
- v ¡ !s I L
3 ■ • f -y
V* Sfr8 ) _ (3 _ 4)]
2 3 f 5 A • o Oh...)
= —[ 5 - — ] = — 2 3 6
oIloTm/'jCIJtS"í*.¿i*T»r«4 VkK V-VÍ'Í*<VÍ»VV* « W M k W m
2147 íí;dxdy *.■
• u i X\ 1
*i*í3w w
, donde S es la parte del círculo de radio a, con centro en el
TV> V
f \ -j | l .... ;vV
V o 7 ¿ r - . rj f *i —------ , ¡*i■* , | 7» f ’l . |
pú ito €)(0 ;G) situado en elvpnjnfer cuadrante.■ ' - í. i íl
Desarrollot
0 ) -y "
V -9’1A ”
Ii 8"i
■-Oy■ %
4 *a-fim aqióad«JíL^«nferencia esr i / ¡o
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314 Eduardo Espinoza Ramóh
2148
ís
idxdy
i i 2 sja~ ~x - y •>
¡mi a X (
dy
J a 2 2 2 x ~ y-)¿/x
aresen 2 = 1 2 ..2 /
¡~~2 2 Va - adx
Va - x o(aresen 1 - aresen O )dx
)
,/ * - / o
,7TX / " /ZY/
^ i O
í f 7 ¿/x d y , donde S es un triángulo con los vértices en los puntos
0(0,0), A( 1 1 ) y B( 1,1).
Desarrollo
f f í v ^ , = f ( f vJ J Jo l x
■y ?x - y”
- k
: í
í
y r T 7 x y _ / A ,í :- \¡x~ y +— aresen —I / ax
' 2 x / -x
x~ x[(0 -f-— aresen 1) - (0+— arasen(~ 1 )]dx
2 í m
x- x(— aresen 1 + — aresen 1 )dx2 2
dxX37T ‘ 1 71
0 6
y
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 315
2149
2150
JPx y - y d x d y , donde S es un triángulo con los vértices en los puntos
0(0,0), A (10,l) y B (l,l) .
Desarrollo
JPxy - v dx dy —í « n xy — y dx)dy = f —J)3>
7 ~ / l0> -(xy - y - ) - j dy
s
Y ‘l3
1/ í ^
A (10,1) -!J( Q j ^ - 0 )d
I^ i
= l 8 .Í y 2dy = 6 v3 j
0 1 X
í íey d x d y , donde S es un triángulo mixtilíneo OAB, limitado por la parábola
y = x y por las rectas x = 0 , y = 1
ííX
e dxdy = j f ( jf e' dx)dy = j e 1’ j dy
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316 j Eduardo Espinoza Ramos
1Í 2 j «*»•*,
(yey - y)dy = ( iv' - e 1’ • ~ ) / = ( e - e ~ 4 ) (0 - 1- 0 )-2 / 0 2 2
2151 íf:x dxdy— , donde S es un segmento parabólico limitado por la parábolax + /
y# i,
y Xy por la recta y = x
Desarrollo
íí:S
xdxdy2 2 x + y
( f , - J dy n yix = t x ( - a r c t g - ) l zdx = f ' AJ' v +v" J) -v x I -- J,
(arctg 1 - arctg—)dx
m2I (-— arctg—)dxJ) 4 2
' 2t n x x , . . ¡ h í= [— - x arctg - + ln(4 + x“ )] / ».
4 2 / o
■; I, í ■■ V ; J'J'i /*• *•; i /
— + In 8 ) ~ ( 0 + ln 4 ) = ln 22 Y 4
i!? i í
2152 Calcular las siguientes integrales y dibujar los recintos a que se extiende
a) f * í+cosx
2
y senxdx
Desarrollo
Í 0 < X < 7TSea Z):^ , graficando
[ 0 < y < 1 + cosx
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 317
ííy sen x dx dy =+ C O S X f fT 3 l 4- r n < ; r2 I v sen x / 1+C0SA
y sen x dy)dx = I -— j dx
s
T j - 1,l+co“ ,‘(1 + eos jc ) senx dx = — .3 Jb , I 3 /
K
o 121 [0 - 2 4]
b)H
y 4dy
Desarrollo
Sea D :0 < jc <
712 , graficando
cosx < y < 1
1 5tt — 16 150
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318 Eduardo Espinoza Ramos
c)n i*3cosv
J > 1 *2 ___ 2sen yd x
Desarrollo
Sea D : <7T 71
< y < -2 2
0 < x < 3 cos y
ti
ííx 2sen2y dx dy =M
f& cosy2 2 x sen ydx)dy
n 7i3 ____ 2
Í 2 x sen y / 3cosy , f 2 3 2 * / «F= 9 cos y sen y dy
* 3 / o JL*2
72T
„ 5 , , 2 x 2 » sen y. / y9 I (1 - .sen >-)■*<?« cos 3; ¿fy = 9(— -----------— ) j
2 2
Antes de resolver los problemas del 2153 - 2157 se recomienda hacer los dibujos correspondientes.
2153 Calcular la integral doble I I xy2d x d y , si S es un recinto limitado por laíí.2parábola y — 2px y por la recta x = p.
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 319
ífÍ pJ2 pp
( I , xyzdx)dy
■ psíl JVÍ P^2 2 2 „
/ f / ¿ *2 p
í
V2 2 2 6
PV2 2 8 p 2
= (/ y y 7 , / P ^ _ 2 p 5yÍ2 &p5y¡2 _ 5 ^ 2 (2 _i_) 4 ^ 2 p 5
6 56/2" • -pd2»/ 56 3 7 21
J P
2154 Calcular la integral doble | Jxydxdy que se extiende el recinto S, limitado
5
por el eje OX y la semi circunferencia superior (x - 2)~ + y =1
Desarrollo
v i y= s/i • (x - 2)2 ífxydxdy = (í
xydy)dx•1)
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320 Eduardo Espinoza Ramos
2155 Calcular la integral doble íídxdy, donde S es un circulo de radio a, tangente
2 a - x
a los ejes coordenadas y que se encuentra en el primer cuadrante.
Desarrollo
La ecuación de la circunferencia es:
( x - a ) 2 + ( y - a ) 2 = a 2
Y ' L
( (a .a) \a ----------| ---------- j
U. i jv ¡ y \
0 a Xy = a ± y ja 2 - ( x - a ) '
íídx dy 2 a - x r e
•Ja2-{x-a dv
-Ja2 -{x-a)2' 2a~* )dx
— -— [(a + aJa2 - ( x - a ) 2 ) - ( a - y]a~ - ( x - a ) 2 )]r/.r 2 a - x
r 2 a - x " J 5
dx - —a-j2a 2a - x 3
2156 Calcular la integral doble J J *y d x d y , donde S está limitado por el eje de
sabscisa y el arco de la cicloide x = R(t - sen t), y = R(1 - eos t), 0 < t < 2n
Desarrollo
í(l-COSÓ
- eos t)dt I y dyf f
R
, 5 i(l + cos¿) dt ~ — R k
2
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 321
íf2157 Calcular la integral I I xy dx dv en la que el recinto de integración S está
slimitado por los ejes de coordenados y por el arco de astroide x - R eos t
y - R sen31 , 0 < t < —2
Desarrollo
2 2 3
[ a * - x 3)2 4 5 2 7f f Ma3-x3)~ j mR ^I J.xy£/x¿/y = I xdx I y dy = — I (R2x - 3 R 3x 3 +3 R3x 3 - x 3)dx
80
92158 Hallar el valor medio de la función f ( x , y ) = xy~ en el recinto
S = {0 < x < 1, 0 < y < 1}.
INDICACIONES.- Se dá el nombre de valor medio de una función
f(x,y) en e. redn.o S al dañero -onde S en e,
5
denominador señala el área del recinto S.
Desarrollo
Calculando el área del recinto S
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322 Eduardo Espinoza Ramos
2159
S - dy ~ dy)dx - dx = 1
f Jj*/ (x, y) dx dy - J*Jxyzdxdy
V - 16 / o 6
Hallar el valor medio del cuadrado de la distancia del punto M(x,y) del circulo9 9 9( x - a) + y < R al origen de coordenadas.
Desarrollo
A la distancia del punto M(x,y) al origen elevado al cuadrado denotaremos por:
/ (x, y) = x2 + y 2 , luego tenemos:
y *a+R *jRz-(x-aY/ = — I ( I (x2 + y 2)dy)dx
>2 , \2
R‘f
+/? -i _£.(x2^ R 2 - ( x - a ) 2 + ~ ( ^ 2 ~ ( x ~ a ) 2)2)dx = a2 +
R
f = a2 +
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integrales Múltiples y Curvilíneas 323
1 .2 . C A M B I O S D E V A R I A B L E S E N L A I N T E G R A L D O B L E ,
1ro. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES.-
Cuando en la integral doble se pasa de las coordenadas rectangulares x e y a las
polares r, 0, relacionados con Jas primeras por las expresiones.
j x ~ r eos 0 , y := r sen 0
Se verifica la fórmula
íí / (x. y ) dx dy = I I / ( r eos O r sen 0 )r dr d0S
Si el recinto de integración S está limitado por los rayos 0 - a , 0 = jó (a <
y por las curvas r = t \ { 0 ) y r = r->( 9 ) donde r , { 0 ) < r , ( 0 ) y además son
funciones uniformes en el segmento a < 0 < p, la integral doble se puede
calcular por la fórmula.
f {0 yr) r dr dOú V'! .
vaS
Í 2 '
(0)f (<9, r)r dr
donde F(r,0) = f(r eos 0, r sen 0)
(0)F(6,r)dr se considera constante la magnitud 0.
0)• , ' ■ • ' , . ,
Si el recinto de integración no pertenece a la forma examinada, se divide en
partes, de manera que cada una de ellas represente de por sí un recinto déla
forma dada.
al calcular la integralI
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324 Eduardo Espinoza Ramos
2160
2do. INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS CURVILÍNEAS.-1
En e! caso más general, si en la integral doble I h , y) dx dy se quiere pasar
de las variables x, y a las variables u y v relacionadas con aquellos por medio de las expresiones continuas y diferenciables.
x = <p(u,v), y = \j/(u,v)
que se establecen una correspondencia biunívoca y continua en ambos sentidos, entre los puntos del recinto S del plano XOY y los puntos de un recinto determinado S ’ del plano wo’v , al mismo tiempo que el Jacobiano.
/ = £(*> y)D(u,v)
conserva invariable su signo en el recinto S, será valida la fórmula.
Los limites de integración se determinan de acuerdo con las reglas generales sobre la base de la forma que tenga el recinto S ' .
Pasar a las coordenadas polares r y 0 y colocar los limites de integración para
las nuevas variables en las siguientes integrales.
j f dx J f (x ,
’s,v i» /
y)dy
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 325
2161
2162
Sea* 5r o < jc < iO < y < 1
x = r eos 0 , y = r sen 0
íf/ ( * , y) dxdy =H
f ( x , y ) d y ‘
7t 1
f4 d6 | C0S<9 / (r eos 0 ,r sen 0)r dr +
7T 1
f (r eos O, r sen G)r dr
í n x í /(^d x 2 + y 2 )dy
Desarrollo
Graficando la región sobre el cual se integra
Pasando a coordenadas polares
x = r co§ 0 , y = r sen 0
r
fXKdx 1 /'(V-x2 + y 2 )dy =
MC0S<9 f ( r )r dr
í í/ ( x ,y)dxdy donde S es un triángulo limitado por las rectas y = x, y = -x,
e y = 1
Desarrollo
Graficando la región S se tiene:
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326 Eduardo Espinoza Ramos
2163
Pasando a coordenadas polares
x'= r eos 0 , y = r sen 0
H
3;rTtr4
dO I / ( /e o s 9 ,r se n 0 ) rd r
n-)dyDesarrollo
Sea S :1 < X < 1
X* < y < 1
graficando la región S se tiene:
, Pasando a coordenadas polares
x = r eos 0 , y = r sen 0
jt senO
Í dx Í / {—)dy = F d 6 ícos 6, f ( íg 0)r dr +Xi Jx2x X X
3 K
+ ^ d d J R / (tg @)r dr +
sen 0
eos2 # f ( t g 0 ) r d r
NOTA.- Como y - x 2 2 a» ^ sen 6r sen ü — r eos 6 => rj = 0 , r2 = ----- —eos 0
2164 íf/ ( * , y ) d x d y , donde el recinto S está limitado por la lemniscata
(x2 + y 2)2 = a 2(x2 - y 2)
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Pasando a coordenadas polares
x =r cos 0 , y = r sen 0
4 2 2 o /ir - a r cos20
r = O, r = a Veos 2#
íí/ O , y ) dxdy = MVeos 2#
dO I / ( r cos O, r sen 0)r dr +
+E - í
Veos 2$/ (r cos 0 , r sen 0)r dr
2165 Calcular la siguiente integral doble, pasando previamente a coordenadas
polares J 'Jydxdy donde S es un semicírculo de diámetro a con centro en el
apunto C(—,0)
La ecuación del gráfico es: ( x - ~ ) 2 + y 2 = —2 •* 4
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358 Eduardo Espinoza Ramos
2166
x 2 + y 2 - ax - O v - M a x - x
como x = r eos 0 , y = r sen 0 entonces
r2 - a r cos# = 0 => r = 0 , r = a c o s 0
íí71
y dxdy =M
pacosO K
r sen 6 rdr f T S“ Vacosé?deo
71 3 3-— [0 - 1] = —
o 12 12
Pasando a coordenadas polares, calcular la siguiente integral doble
Jf( * 2 + y 2)dxdy que se extiende al recinto limitado por la circunferencia
x2 + v2 = 2 axD esarrollo
x2 y 2 - 2ax ( x - a ) 2 + y 2 = a 2
pasando a coordenadas polares
x = r eos 0 , y = r sen 0
r = 2 a r eos (9 => r 2 a eos 0
r .rdr)dO
= 2 ÍT/4 , 2acosé?
0
711 f 2 4 4 ^ _ 4 f 2 / l + COS2<9, 2d 0 = — I 16a eos OdO =%a2 Jb f 1 y d d
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 329
2167
2168
= 2 aT l
(1 + 2 cos 2 #+ eos2 26)d9 - 'z
Calcular la siguiente integral doble, pasando a coordenadas polares
JJvü~ ~ " >’2 donde el recinto de integración S es un semicírculo de
5
radio a con centro en el origen de coordenadas, situado sobre el eje X.
Desarrollo
y = \fa2 - x2/ o o
r = VéT -x"
JPa - x ~ - v dxdv
s
£
/*Ja2-x~-------------------( I yja1 - x 1 - y~ dy)dx
re
2 JT2 ( f V« 2 ~ r 2r d r y i0 = j 2 (a 2 - r 2)* j" d O = j 1 ° *3 / o 3
Calcular la integral doble de la función f(r,0) = r sobre el recinto limitado por
la cardiode r = a(l + eos 0 ) y la circunferencia r = a (se considera el recinto
que no contiene al polo)Desarrollo
J JP/ (x, y) dx dy = | xjx2 + v2 dxdy = 2
K
b íz(l+COS#)
r~dr)dO
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330 Eduardo Espinoza Ramos
2 1 6 9
2170
2a'J f ir [ ( l + c o s 0 )
í f
2 a \¿ t, „ „ i(eos ' 0 + 3 e o s ' 0 + 3 cos 0 )d 6
i i71 Z.L. 3( — -+ )a
2 9
C a lc u la r la s ig u ie n te in teg ra ! pasando a coordenadas
D esarrollo
J k i * J a " - A'2 _________________
dx y x 2 + y 2 dy
i Jo
Sea D : <0 < x < a
0 < y <s¡a2 — x~
x ~ r cos 0y = r sen 0
=> dx d v = r d r d0
F— t r+ y" dxdy = I (
(W 71a -xy¡'x2 + y 2dy)dx = j * ( r.rdr)d0
D
713 r 3 - a/ a __ ü f 2
3 / o “ l la - 12 ... a k d o ------
C a lc u la r la in te g ra l s ig u ie n te , pasando a coordenadas p o la re s
¥
~x2 - y 2 d x d y y donde el re c in to S está l im ita d o p o r Ja h o ja de
le m n isc a ta ( a “ + v ~ ) ~ = a" ( x “ - y ) , x > 0
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2171
Desarrollo
í x = r eos 0 4 ? *> o o< ==> r - a~r1' (cos“ 0 - sen^0)
y - r sen 0
0 *7 /r “ = ¿r eos 26 => r = a\¡ eos 20 , Graficando
• « ______________________________ « — «/V eos 2# _________
^ y ja ^ - x 2, - y 2 dxdv = 2 j ( sí a2 - r 2 r dr)dO
s
a3 ,n 1 6 V 2 - 2 02 3( ~ ^ )
2 ,2Caleular la integral doble | | J l dxdy , que se extiende al recinto S,
2 2 y ylimitado por la elipse — + — = 1 , pasando a las coordenadas polares
¿r ¿rx y
generalizadas r y 0 según las fórmulas — - r eos 0 , — = r 0a b
: ■ '"i- • < . j \ i;
Desarrollo
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332 Eduardo Espinoza Ramos
2172
.Y
ay
= reos Ojc = arcos O v = br sen 9
J(r ,9 ) =
ÍJ
<?(*, y)d (r ,0 )
'1 -a
a rorcydr
2 » 2dxdy
ex89dy89
a eos 9 —arsen 9 b sen 9 br eos 9
a b r , Graficando
abrdr)d9 =ab f d 9 =
2abn
Transformar la integral f dx f f ( x , y ) d y , (0 < a < p, c > 0) introduciendoJ) Xxx
las nuevas variables u = x + y , uv = y
Desarrollo
Comox + y = u y — uv
í x = u( 1 - v)
J(u,v) = d(x, y)d(u,v)
\y- uv
dx dxdu dvdy_ dydu dv
, de donde
V ,
1 - V -u V u
u
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2173
calculando los limites de la integral
x - 0 , u - 0para < C 9
y - ax - uv , va
1 — v
1 + apuv
v = u . v =a 1 + p
X
dx I f ( x£
( 11 ' f ( u ~ uv> uv)u da )dvf - f1 +a
Efectuar el cambio de variable u = x + y, v = x - y en la integral
Hdx I f ( x , y ) d y
Desarrollo
X -f y - u
x - y = v y
U + V
~2 u - V
J (u, v) ~
dr dr 1 1d(x,y) da dv 2 25(m,v) dy dy 1 i
cu dv 2 2
Sea D 1
0 < .v < 1
[ 0 < y < 1
21
D
0 1 ;
Calculando parax = 0 , v — --a ¡y - 0 , v = u
} x = 1 , /./ + v = 2 |v - - 1 , a ~ v - 2
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334 Eduardo Espinoza Ramos
2174
v - u - 2
ííf {x , y ) d x d y dx f (x . y)dy = 1~ ~ ~ )¡ «A»* v) ! ^ll dv
D R
f*C/,ír'!r"i'H" i/ + v u -W-Vw ( , f2 v „ w + v i/ - V ,-— -)du + | rfv J / ( —— ,-y -)¿ /w ]
Calcular la integral doble j J í / x J y , donde S es un recinto limitado por la
5i i i i.x“ y“ 2 * “ v“curva (— + — ) = —
a~ o n k
INDICACIÓN.- Efectuar el cambio de variables x = a r c o s 0 , y = b rse n 0
Desarrollo *
2 2 2 2 x y i x v Como la ecuación es: (— + —;-Y = —r - ~ , entonces
a 2 b2 h k¿
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Integrales Múltiples y Curvilíneas
7 7 7 0a o c t eos* 0 b sen 6
r f = - ------------ -— ) de donde el limite inferior es r = 0 , y el limiteh k
Ur o b2superior es r J — cós" O - s e n ~6
!r k~
a 1 ' 6 2como r debe ser real entonces — cos~ 6 - —- sen10 > 0 , de donde para el
h k~Qfr
primer ángulo coordenado, tenemos que tgO < —bh
Luego por simetría del campo de integración con respecto a los ejes, se puede calcular basándose en el 1er cuadrante multiplicado por 4.
1H v‘4Íoh f a ' i /> t ...
A -~cos~0,1 m »lrd u
s ’ 0 — - - s e n " 6
abr dr
sa 2 ó 2 ak ab
= ab[(—r - 7 T )arctg(—r + — )] h~ k~ bh hk
I X CÁLCULO DE AREAS DE FIGURAS PLANAS -
lro . EL AREA EN COORDENADAS RECTANGULA RES.-
E1 área S del recinto plano (S) es igual a:
Si el recinto (S) está determinado por las desigualdades a: a < x < b,
cp(x) < y <v¡/(x) de donde se tiene:
¡■K*)s = dx dy
«7 •
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336 Eduardo Espinoza Ramos
2do. EL AREA EN COORDENADAS POLARES.-
Si el recinto (S) está determinado en coordenadas polares r y 0, por las
desigualdades a < 0 < p, f(0 ) < r < g(0 ), se tiene:
2175 Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las siguientes integrales:
a) H: dv b) f dy dxva - v
Calcular estas áreas y cambiar el orden de integración.
Desarrollo
a) Sea S :- 1 < v < 2
x 2 < y < x -f 2, graficando
2 t -»X X / "5 - (— + 2 x ) /
2 3 / -
(x + 2 - x 2 )dx
= 4 —i 2
Í
2 M+2 H p/C p/vc/x J dy = j dy J ¿/x + J dy Jj dx
b) Sea 5 :0 < y < a
a - y < x < yfaA ~ y- , graficando
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 337
2176
I, 2 2 [a - y
dym
dx ( ^ - y 2 - a + y)dy
r v T a* y y ^ i / a- [ - yja - y ~ + — arcsen{-) - ay + "— ] /2 2 a 2 / o
2 2 a K a4 2
X
s =f p / á ^ - J 2 p / ? - A ' 2
dy I dx = I dx I
J a - v Jo J a - x
dy
Construir los recintos cuyas áreas se expresan por las integrales.
i r c tg l fñsecO
a) [, dQ | rdr
n
b)(1+COS0)
dO I rd rMCalcular estas áreas.
Desarrollo
a) fr c t g l *3 sec 0 *arc tg2 2 3 sec# 9
" I j / o ¿ í , = 24 4 4
£r c tg l
sec2 6 dQ
92
. arctg 2 Q Q« . « / . - f p - o - j
4
b)
/r
M2
(l+cos¿?)/T 2T*3 / tf(l+cos$) ¿7
r ¿ r = I" — / d& = - ,£ 2 / a 2 JLí2 2
/r
ñ [( l + cos¿7)“ -l]¿/6>
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338 Eduardo Espinoza Ramod i 1------ — *
2177
2a a 2a
^ d x í = ± d y + t d x i - d y +f í/xf dv
A
2apT 2 x - a
J 34
dx +
a2 X p 2a — 3x . l a
dx + I ---------- dx = ------2 k 2 120
5 2
2178 Calcular el área de la figura situada sobre el eje OX y limitada por este eje, la
parábola y 1 - 4ax y la recta x + y = 3a.
Y ♦ Desarrollo
Calcular el área limitada por las rectas x = y, x = 2y, x + y = a,x + 2 y = a, a > 0 .
Desarrollo
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2179
2180
Calcular el área limitada por la elipse ( y - x)~ + x~ - 1
Desarrollo
■\J\ — xA f & \ d y = f [ix + & ) - ( X- ^ 7 )dx
J-l Jv— \J 1 —.Y2 j-l
= J* 2 \ J \ - x 2<dx = 2 [~ Vi - a*2 + aresen x] j
= 2[ ( 0 + ~ ) - ( 0 - —)] = n 4 4
Hallar el área limitada por las parábolas >’ = 1 Ox + 25 , y " - - 6 x + 9
/ís 9 - v
r/vVil r - 2 5
10
dx5 9 - v2 v2 - 25
V í/ 6 10 )</v
iVÍ5
15
v i 5
Vis 15^ ' 3 7-VÍ5
4 [(15V15 - V i5 ) - ( —15n/Ts + V Í5) - 4 ( 2 0 7 l 5 ) = ^ ( V í 5 )15 3 15
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340
2181
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar el área limitada por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polare
x2 + v2 = 2 x , x 2 + y 2 = 4jc , y = x, y = 0
Desarrollo
x - r cos 6
v = r sen 0r 2 = 2 r cos 6 ir = 2 cos 0
=> \r 2 = 4 rc o s # [r = 4cos#
r = 4 cos 0
r = 2 cos 0
Í í ? cos0 f c r 2 , 4co*0 1 ñ 7 2d 0 \ r dr = — / d 0 = - \ (lóeos2 0 - 4 eos2 0)d0
•feeos# J) ^ 2cos# 2
A =
n /T
A = 6 J r eos2 e de = 3 J r <1 + eos 26>)í/6> = 3(6» + sen ° )
nsen 2 , /rkx, 3/t 3 1
3[(— 1---------) ~ ( 0 ) ] —-------1— •• A — 3(— 1— )4 2 4 2 4 2
2182 Hallar el área limitada por la recta r cos 0 = 1 y la circunferencia r = 2 (se
considera la superficie que no contiene el polo).Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 341
2183
2184
n 71
r = s e c 0
A = 2•*) «sec#
r dr —t !
d esec O
A P (4 - sec2 9)d0 = (40 - t g 0 ) j J
A - l í - S
Hallar el área limitada por las curvas r = a (l+ eos 0), r = a eos 0
Desarrollo
71 7(l+cos60A = 2 Í- (1 + c<2 de r
•1/COS#
r dr + 2 H,(I+cos6') 5
r d r =
i i i ix y~ i x~ y~
Hallar el área limitada por la línea (— + -— )“ = ----------4 9 4 9
Desarrollo
Seanx = 2 r eos 0
= 3r sen 0=> dx dy = 6r d0 dr
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342 Eduardo Espinoza Ramos
rA - r2 (eos2 0 - sen^O) => r = 0 , r - Veos 20
— eos 2/9 *— 2 c 7/í6 rrfr = 2 4 F ^ . /
= 12 •Í C O S “
/T
/ 4 = / o
2185 Hallar el área limitada por la elipse (x - 2>’ + 3) + (3x + 4 v - l )
Desarrollo
Sean <(f m = x - 2 y + 3
2 u + v - 5
[v = 3x + 4 y - l
x =
V =v — 3í/ -f- 10
ÍÓ
Calculando el Jacobiano se tiene:
J(u, v) c(-y,.v)5(u,v)
A » JJ 'dxJ, = Jf
CX dx 2
d u di’ 5cy_ dv
•/3
d u CV 10
J(u,v) Idu dv =
5
10
2 +JL-_L50 50 10
10 í fR R
2 = 1 0 0
vr= 10 donde /?: u2 + v2 = 100
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 343
5 H /
7110 1
dO = - o 5 r\QOd0 = 2 O O /2
/ oA = IOtt
2186 Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las parábolas
x2 = a y , x2 - by , y 2 = a x , \v 2 = /?x (0 < a < b, 0 < a < P)V 1 S <Desarrollo
y
yX
- a
a
= P
u - — , a < u < bv
v = — , a < v < p .v
R = {(u,v) / a < u < b a a < v < p }
Av
uxy = uv
u vX
Y
yi 2ICVoí .
■> •>3 => ;>
uv
1 r y = 3 V’3
2 I X = / C V 3
Calculando el Jacobiano se tiene:
4’5 .
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344 Eduardo Espinoza Ramos
2187
J(u,v) = o(x,y)d(u,v)
dxducy_du
dxdvdydv
_ 2 2 2 — - 2 - a 3 v3
ir* - ííA = I \dxdy = I || J(u , v) | du dv =
39 O
1 i í 1- w J -3 3
1
2 2
— lt?V 33
? ■>m3v 3
]_3
¿/v
D R R
V -i
p v ’ ■ R
a
0 a b u
ííA - | | dx dy ~ \ \ d u dv - i * ( ' * . *X X 3
D R
Hallar el área del cuadrilátero curvilíneo limitado por los arcos de las curvas
y 2 =ax , y 2 = b x , xy = a , xy = P (0 < a < b, 0 < a < P)
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 345
yx
yX
a
= b
vu , a < u < b
x yxy
a
pv = xy, a < v < p
R = {(u,v) / a < u < b, a < v < p¡
y vix
xy = vy =uv
i iy - i/3v3
_i ±x - u 3V3
J(u, v) cjxyy)3(«,v)
2 -i
dx dx 2 — - — u 3 v 3
2 - - -- — u 3v 3---- —
du dv 3 3dy dy 1 - - -
- u 3 v 33
1 - - - — t/3 v 33du dv
2 _ - — u i _
4
A =
9 u
J(u ,v ) \dudv = -9 JJ u 9
r V f du
i d v i -
D R R
y * *
9 a 9 a
7.4. CALCULO DE VOLUMENES.-
E1 volumen V de un cilindroide, limitado por arriba por la superficie continua z = f(x,y), por abajo por el plano z = 0 y lateralmente por la superficie cilindrica recta que corta en el plano XOY el recinto S es igual a:
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346 Eduardo Espinoza Ramos
r •
v = \ f (x ,y )d x d yJ « i ' : ; , .
2188 Expresar, por medio de la integral doble, el volumen de una pirámide cuyos vértices son 0(0,0,0), A( 1,0,0), B( 1,1,0) y C(0,0,1), colocar los limites de integración.
D esarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 347
ííV = I \ f {x ,y )dxdy í * í (1 - x)dxti m
, d ' í (1 - x)dy
2189
En los problemas 2189 - 2192, hay que dibujar los cuerpos, cuyos volúmenes se expresan por las integrales dobles que se dan.
H ( l - x - y ) d y
Desarrollo
Sea D :0 < x < 1
0 < y < 1 - jc
La parte sombreada es la proyección del sólido.
2190
2191
Desarrollo
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348 Eduardo Espinoza Ramos
2192
2193
Sea D: <ÍO < x < 2
0 < y < Vi - x
f"vI (4 - x - y ) d y
Sea D:0 < x < 2
2 - x < y < 2
Desarrollo
Dibujar el cuerpo, cuyo volumen expresa la integral
f•> 7ia —x~
dx I y[a2 - x 2 - y Zdy , y basándose en razonamiento geométricos,.
hallar el valor de esta integral.
Desarrollo
Sea D :0 < x < a
0 < y < ^ j a 2 - x 2/ 2 2 2 , z = yja - x - y
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 349
2194 Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elíptico7 7z = 2 a" + y“ + 1 , el plano x + y - 1 y los planos coordenados.
Desarrollo
Sea D :x — 0 , y = 0 , z = 0
x + y = 1planos coordenados
proyectado al plano XY se tiene:
V = H -J f í 3
(2a + y +1 )</y — I [-2a + 2a — a +1 + -]í/a
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350 Eduardo Espinoza Ramos
2195
2196
2197
_ x4 2x* x 1 (1 —jc)* 3 3= [----- + ------------- + x ----------— ] = — u
2 3 2 12 4
Un cuerpo está limitado por el paraboloide hiperbólico z = x " - y ' y los
planos y = 0 , z = 0 , x = 1 calcular su volumen.
Desarrollo
' - H
■ í
(x“ - y )dy = I (x dxo
(xJ - — )dx = — I x c/x 3 3 í
4- / 6 /
1 1
6 / o 6F = - H 3
6
Un cuerpo está limitado por el cilindro x + z - cr y los planos y = 0, z = 0,
y = x calcular su volumen:Desarrollo
f i f i
¿z - x ' d v
V = xsfa2 — x2 dx — — u23
Hallar los volúmenes de ios cuerpos limitados por las superficies siguientes:
? 2 ?¿zz = y " , x + y~ = r “ , z = 0
D esarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 351
2198 y - Va , y = 2\[x , x + z = 6 , z = O
Y *Desarrollo
y = 2 s/x
\
H \
ln
0
" V
CD X
£ yfxV = (6 - x ) d y
V = ( 6 - a ) V * é/a = ^ a/ ó
2199 z = a 2 + v 2 , v = a z , y = l , z = 0
1 ^(a" + y“ )cly)dx
¡i><v;
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352,
Eduardo Espinoza Ramoé..... , .• -
1 1 1 1 1 1 1 L4 ------ I— ) — ( ------ 4- — - — —
21 5 3 3 / -i 21 5 3 3 21 5 3 3
2 2 + 4 _ 8 8
21 5 3 105
3 .Y2200 x 4 y 4 z = a, 3x + y = a, — + y = a , y = 0, z = 0
Desarrollo
a18
2 T 2 i2 2 0 1 — 4 - = 1 , y = —x , y = 0 , z = 0
tí" c «Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 353
2202
V f ‘fb
f ( f ^Jo Jo ^
2 - x2 dy)dx
i) a- l o ¿r J-)jc" jc dx
abe
9 9jc + y = 2ax , z = ax, z = |3x (a >|3)
Desarrollo
Proyectando al plano XY se tiene:
2 9 o 2; r + y " = 2 a x => ( jc - + y “ = a
x = r eos 6?< => dx dy = r dr d0[y - rsen6
Í- ÁüacosO
' A(a - f))r eos 9 r dr)d9
V = ( a - f i ) £*f2
« eos 0
r eos Odr)dO = ( a - f i )2 r eos# i 2acos'*
----------- / du/ o
= ( » - / » p 8“ 3 c° s - g ^ = 8‘,,(< ,- w ■* 39
2 eos4 0 d97T
71
8a- (a - /?) 2 2 + C O S 2 6 J -> f/1
2
jL
í
2a ( a - f í ) \ i (j + 2 eos 2# + eos2
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354 Eduardo Espinoza Ramos— ............— ..... - g .................................—
2203
71
2a ( a - f í ) [2 3 . „ cos4<9 1 (—+ 2 cos 26 + )dO
3 1 ^ 2 22
71
2a- (a - p )PJ_£ 2
_ cos4¿? , _ + 2 eos 2 # -i---------- )d0
7T
2 a ~ \ a ~ P ) r3& __ senAO / -> — [— + sen 20 + ---------] / ~
3 2 8 / ---2
3 4 4F = a ' 7 r ( a - P)
En los problemas 2203 - 2211 empléense coordenadas polares y generalizados.
Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cilindro x“ + y - = a ■7 2 7 7y el hiperboloide x + y - z - a
Desarrollo
x - r eos 0Mediante coordenadas polares se tiene:
[y = rsenOdx dy = r dr d0
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 355
V = 2 ^ r dr)clO = 2 + r^)2 j dO
V = | f (2 a 2 V ía - a 3 ) ¿ / 0 = |C~/T
í <2^-Y)a*dO
3 _ 4av r(2 V2 - D
2204 Hallar el volumen total del espacio comprendido entre el cono7 7 7 7 7
2(x~ + v’ ) - = 0 y el hiperboloide x~ + r z ‘
Desarrollo
7 7 7= —a"
Proyectando al plano XY
0 0 0 2 (.r + v ) = r ‘
x + v ~ = z “ —a “
~ , 7 7 . 22(z - a ) - z => a
1 7 TLuego x“ + v" - a"
F
H
t . /*2/rV r2 + a 2 - y¡2r)rdr)dO = 2 I
*2;rI [(2 a 2 V ia - V ia 3) - (a 3 - 0 )]¿/x
r 1 / 2 2X7 VIr" ¡°[— (r + a ) - ] / dO3 3 / o
F =*2/T
I (a3 V I - a 3 )í/^ = ^ V ( 7 2 - 1 )
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356 Eduardo Espinoza Ramos
O O O O O2205 Hallar el volumen limitado por la superficie 2ax = x + y “ , + y - z - a ,
z = 0 .
? 2 1v~ y r “2206 Determinar el volumen del elipsoide — 4- — + — = 1
a" b“ c“
Desarrollo
2 iX v~ z ~— + = 1 — — proyectando al plano XY, z = 0cr b~ c~
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integrales Múltiples y Curvilíneas 357
V = 2 z dxdy = 2 HO 7i C - v \J(i i ,v) \dudv
D R
V = 2a¿>c* 7 7" - du dv
R
V - labe r - F ’r rd r )dO = labeo
f4 abe
f = n3
2207 Hallar el volumen del sólido limitado por la hiperboloide 2 a* = x + v~ y la7 7 7 7esfera x + y +2~ - 3a “ (se sobre entiende el volumen situado dentro del
paraboloide).Desarrollo
Calculando la proyección
lax — x 2 + y 2
2 2 2 ->2x + y + z = 3a
z + 2az - 3a" = 0 ==> (z + 3a)(z — a) — 0
? 9 ?de donde z = a por lo tanto se tiene x“ + y “ = l a
x = r eos 0V — r ve/2 ó1
dx dy - r dr d0
.u, .
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358 Eduardo Espinoza RamaÁ
2208
n
V -*¿n M í a * W2 a _________ 2
( (z2 - 2, )t/r)£/6> = 4 2 ( ( V 3 a 2 - r 2 - — )r.d r ) d d0 2 a
X
V = 4 (ff*Jla
[(3(3 2 - r 2) 2 r - - —]dr)dO2 ab
x
V = 41 r 4 V2*( _ _ ( 3 _ r 2 )2 ) /
8 ( 3 / 0
;r
F = 4 J p [ (- y - y ) -(-W 3 a 3)]^
x
V - 4 ^ 3 ^ 6 ^ 3 - 5 3— )<3 d ü = a k6 3
Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XOY, el enmaro2 ? ' x + y = 2 <az y el cono xz + y
Desarrollo
.2 , 2 2
Proyectando el plano XY
-7 1j x“ + y = 2az
i i iX 4- V" = Z~
=> z = 2 a
por lo tanto x" 4 y = 4a
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 359
2209
2210
Í l-'/T Ala
(IVr
( r )r dr)dO2 a
3 4r r3 8 a / o»/
fF =V f 2'7— dG =3 Jb
4 a3;r
Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY, la superficie
ae - X - V
Y 4
y el circulo x2 + y 2 = R2
Desarrollo
Xr = R
V 0 / R ^
La proyección sobre el plano XY es
1 " > r , nx + y~ =
X
í z dxdy r r ae 1 rdr)dO
D
V -
R~
V ~ a n { \ - e "R )
Calcular el volumen del sólido limitado por el plano XY el paraboloide2 2 2 x~ v , -i- , , x y 2x -f —r- y el cilindro
a2 ' t 2a a a 2 b2
Desarrollo
Seanx = ar(l + eos#) V = br sen 0
dxdy = abr dr dB
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360
2211
Eduardo Espinoza Ramoh•M
V - 2/•— ÁlcosO
n
abr~ .r dr)dO = 2 I ab4 . 2 co s#
M / : d e
n K
\ í
V = - I " a/>(16)cos4 9 d 9 = 8 i ^ ¿ ( 1 + COs2 6>)2 ^ 6>J W
;r ;r1 + cos4#
V = 2 ¿z6 (l + 2 eos 20 + eos2 20)d0 = 2 afr(l + 2 eos 26 +..)d0
/í
F eos 4<9 40/r
V = 2 I ' a& (- + 2 eos 26» + —— - )d9 = 2ab[- 9 + sen 29 + / 2J> 2 2 2 8 / o
_ , r3;r 3V = 2ab[— + 0] = -------
4 2
0 9 *7¿En qué razón divide el hiperboloide a " -i- v“ - z“ = a" al volumen de la esfera1 o o
x + v~ -f z" < 3a~ ?
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 361
2212
!V“ ---------- wFj = 2 | ( | V r“ - t/“ rdr)dO =
/TF> = 4 p ._( í \¡3a2 - r 2 r dr)dO -
• á r c e o s J — J ~ — —
(óV3 - 8 );zYr
3
Luego » í+ * 2 = — (6> /3 -4 ) por lo tanto la razón que divide al volumen de
la esfera entre el hiperboloide es:F, + F, 3x/3 - 2
F,
Hallar el volumen d el sólido limitado por las superficies z = x + y, xy = 1, xy = 2 , y - x, y = 2 x, x = 0 (x > 0 , y > 0 )
u
Desarrolloy = 2 x
= xy de donde
de donde
1 < u < 2
1 < v < 2
xy = 1
\ x y = 2=>
yX
yX
= 1
— = 2
é,*r\
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362 Eduardo Espinoza Ramoá . , , . .
ademásx> = u
v = ^
ux = j — 1
v y el jacobiano es: J(u ,v )~ -— — 2 v
y -■ yj 11V
V =
v = — 2
J{u, v) ¡ dv)du =Ü ' S
L + \fñv)dv)duv
r+ — r)dv)du = (2\Í2 - 1 )
V2
3
7.5. CALCULO DE AREAS DE SUPERFICIES.-
El área A de una superficie regular z = f(x,y), que tenga como proyección en el
plano XY un recinto S es igual a:
x y z2213 Hallar el área de la parte del plano - + — + - = 1, comprendida entre los planos
a b ecoordenados.
Desarrollo
X V xProyectando al plano XY se tiene: z = 0, — + — = 1 => y = b ( 1 — )
a b a
Yn\
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 363
2214
x v c( 1 - — f )
a b
czCX
cv
cac~b
Aíís
1 + (— )2 + (— ) 2 dx d vdy
X
A =I 2 ?1 + ~ - + ~dy)dx -
4 y a bl
a 2 -\~b2 + ( a 2 + b 2)c2a b
r * ( i - £Jb «)¿/x
AJ ( a 2 +b)2(\ + c2) b / a J ( a 2 + b 2)(\ + c2) ab.
- )(Z?x x2a '' A o> /.
/í = —^(a" + 6 2 )(1 -fe*2)
Hallar el área de la parte de superficie del cilindro j r + f - , (z > 0)
comprendida entre los planos z = mx y z = nx (m > n > 0 )
Desarrollo
Y z = mx
r = R
Proyectando al plano XZ se tiene:
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364
2215
Eduardo Espinoza Ranm .
A = I I 11 + (— )2 + (— y d x d ydx dv
s
íírwh^ - Ib r rS s
A = 4r < rJb Jnx 4 r
2 2 '«a V K —X dz)dx = 4 R (m -n ) I , A - dzr
fl
O/í = 47?“(a?7 - /i)
7 7 7Calcular el área de la parte de la superficie del cono jc - y = z , situada en el
primer ociante y limitada por el plano y + z = a.
Desarrollo
y = a - z
2 2 2 x - y — z = V ? T 7
dx v
yjy2 + z 2
dx _ z
dz -Jy2 + z 2
I I
1 + (— ) 2 + (— )2dydz = A - | |V2 dydidx dy JJ-
A = \Í2 dy)dz = \¡2 - z)dz = \ [ l {az - j =a
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 365
2216
2217
7 7
Calcular el área de la parte de superfipie del cilindro x~ +y~ = ax , cortada del
mismo por la esfera x2 + y2 + z 1 - a2
Desarrollo
Proyectando al plano XY, (x + —) 2 + y 2 = —2 4
2 . 2
dyex
a - 2x ey
2 yfc0
2 d zax - x
La intersección entre el cilindro y la esfera es
° .2x" + y - ax<
1 2 2x + v + z - a\ *
•a +ja~ - a x I
II ( J• 3 • 3 *
,1 ,d \’ 2 ,dy\ 2 J 1[1 + ( t - ) + ( t “) dxdz
CX CZ
A = 4 f*Jla' -a x dz
y j a x - x 2 í
)dx = 2a I x 2dx - 4a
7 7 7 7Calcular el área de la parte de superficie de la esfera x“ + y “ + z “ = a , cortada
x 2 y2 por la superficie — + = 1
a~ b
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366
Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramal I
2218
czex
dzdy
a2 - x 21
- V
Ai 2 *> 0yja -* X - V
Ví ? 1 1
yja - x~ - \r
i-------------------------------------- —
A = S I I . I1 + *í íV-f v
■> 1 j ■■> 1 2a~ --x~ - y~ a~ -x~ — ydx dv
A =a dv
& x - v
b■)dx = 8 a" crxsení—)
a
C a lc u la r el área de la p arte de s u p e rfic ie del p a ra b o lo id e v~ 4- z “ = 2 a x ,
c o m p re n d id a en tre e l c il in d ro jC = ax y el p la n o x = a.
Desarrollo
y = a x)’ = 6/A'
v*" + z “ = 2 or
y = ±Jax
yjlax - y~X
ozÍ5-
a
2 a x - vcz
2 C'Vy
v2 a.v - v
m , a x 1
f ‘Jí Jy .
.■s1
a y2 ax - y~ 2 ax - y '
-dy)dx
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 367
2219
A = 4 dy)dx = 4b
V2 2 ycix-a arcsenJ 2 ax l o/yfax
dx'
fl - 1(2ax + a~ ) 2 arcsen{—j=)dx - k
V 2
« 1(2 ízx + a ) 2 dx
4 - — (2ax + a )2 I ---- (3V3-1)3a / o 3
7 7Calcular el área de la parte de superficie del cilindro x 4- y = 2ax7 7 7comprendido en el plano XY y el cono x + y ' = z
Desarrollo
a - x-) "> / -> dvxz + v~ - 2 ax => v = ±V2 ¿/x - x" de donde — = —========= ,
a t v 2 ¿zx - xcalculando la intercepción se tiene:
dy<7Z
0
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2220
Eduardo Espinoza Ramos
Calcular el área de la parte de superficie del cono x * - y7 7
del cilindro x + y - lax
Desarrollo
2 2 2 íz" situado dentro
7 9 7La proyección de x - y = z~ sobre el plano XY es
x2 - y 2 =0 => y = x, y = -x
2 2 x + y - ax / &\2 7 a( x — y + y~ = — 2 4
yjx2 -
A = 4 I I./I + (— ) 2 + (— )2dxdy = 4 I IJ1 + — - +‘ cbc
2 2 2 2 x - y x - ydxdy
r eos 6 rd r
V r2 eos2 0 - r 2sen20)d0
A = 4y¡2/* - ÁLacosB
f ‘feos#
Veos2 6 -se n 2 6rdr)dO
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 369
2221
K
A = 4V2 reos#9 O
eos*" 0 -sen"0
y-*- .lacosd
¡2 1 od6 = 8 / 2/ 2 (*4
" 1cos 0
V 7 7cos" 0 -sen"0de
ir
A = 8 / > « 2“ T
eos3 OdOTC
2 sen 0- 8 / 2 / f 0 — sen" 0} cos 0vr 2sen~0
z = sen 0 => dz = cos 0 d0 para 0 = 0 , z = 0 , 0
di
A = 8 / 2 a f> r T í h ¿ B = 8 „ ! ( ^ ) = 3™ : •Ji—l e *
Demostrar que las áreas de las partes de las superficies de los paraboloides7 7 7 7 . 7 7 7
.x"+ y"= 2¿/z y x ~ - y ~ = 2 a z cortados por el cilindro x + y~ = R" son
iguales.Desarrollo
x2 + y2 = R2 Ecuación de la superficie es:
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370
2222
Eduardo Espinoza Ramos-*!
para la superficie x2 - y 2 = 2 a z de donde — ~ —, — =dx a dv a
A = I IJ l + (-T“)z + ( ~ Y d x d y = I IAl+ ?-r + ^ —dxdv
s s2a a
a ~ — I I V ^2 y ~ d% dy ... (2 )
Comparando (1) y (2) se tiene que (1) = (2) con lo cual queda demostrado.
Una esfera de radio a esta cortada por dos cilindros circulares cuyas basesi
tienen los diámetros iguales al radio de aquella y que son tangentes entre sí a lo largo de uno de los diámetros de la misma. Hallar el volumen y el área de la parte de superficie de la esfera que queda.
Pesarrolío
La ecuación de la esfera de radio a es:
2 1 ">A* + V + z = cr => Z yja - x 2 -~y2 de donde
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 371
2223
AK rcos<9/•/* /•-- ma cose/ ,
s
Superficie de la esfera cortada y la superficie de la esfera no cortada es:
'7 9 TC *yA = 4/Ta“ - 8 ¿r ( y -1 ) = 8 “ , ahora calculamos el volumen que queda.
reos# /•va2- /-2
V = 8M cos * \
<1 rdz)dr)dO
71 areos#M
e ó s e / _________ . ^
ry[a2 - r 2dr)d0 = ~~a3
En una esfera de radio a se ha cortado un orificio, con salida de base cuadrada, cuyo lado es igual también a a. El eje de este orificio coincide con el diámetro de la esfera. Hallar el área de la superficie de esta cortada por el orificio.
Desarrollo
La ecuación de la esfera de radio a es: x2 + y 2 + z 2 - a 2
V 9 1 9a - x - y~ =>dz x d.z
f , p L - T 4 - ^ + - T - Z lJ J V ^ Jb Jb V « +JT f l T - j r - y5
= 8 [ P ( P . . = = = )<&] = 8 a f aresen—= = = = = 1 2dxJ, J> ^ a 2 _ x 2 _ y 2 J, Va2 - x 2 1 0
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372
2224
Eduardo Espinoza Ram\
aA = 8 a | arcseni— = = = = = )dx = 9a 2arctg----
2 7 7 ^ 7 5
a
fCalcular el área de la parte de superficie helicoidal z = c arctg — , situada en ei
y9 9 9primer octante y que está comprendido entre los cilindros x - + y - = a ]
x 2 + y 2 = b 2
Desarrollo
c.arctg —x dz cy dz exy dx x 2 + y 2 ’ dy x 2 + y 2
III dz 2 2 f f I c2y 2 c2x 2
s s
A =.2 . _.2 . _2 A2 . .2
jL ± Z _ ± £ ^ 4 = p ( f6 ^ L a ^ — rdr)ddx y J) «L
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integrales Múltiples y Curvilíneas 373
7.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE A LA MECANICA.- Y , __________ ___
le r . MASA Y M OM ENTOS ESTÁTICOS DE LA LAMINAS.»
Si S es un recinto del plano X Y , ocupado por una lamina, y p(x,y), es la
densidad superficial de dicha lamina en el punto (x,y), la masa M de esta y sus
momentos estáticos M x y M y con respecto a los ejes O X y O Y se expresan
por las integrales dobles.
M == Q p ( x yy)clxdy , M x - ^ y p ( x , y ) d x d y , M v - J J v p(x , y )dx dy „,.(!)
s s s
Si la lamina es homogénea, p(x,y) constante., | . . . . . . . . ,
2do. COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SLAMINAS.-
Si C (.\,y ) es el centro de gravedad de una lamina se tiene:
- M ] - M x - —t - , y = M
donde M es la masa de lamina y M x , M x sus momentos estáticos con
respecto a los ejes de coordenadas.
Si la lamina es homogénea, en la fórmula ( l) se puede poner p = 1.í ' V : i !•■.
‘ ■ ' ' ' • M
3er. M OM ENTOS DE INERCIA DE LAS LAMINAS.»
Los momentos de inercia de una lamina, con respecto a los ejes X, Y son
iguales respectivamente a
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374 Eduardo Espinoza Ramos
2225
Ix = Q y 2 p(x ,y)dxdy
s
¡ v = j T t 2/?(.v, y)dxdy
s
... (2 )
El momento de inercia de la lamina con respecto al origen de coordenadas.
7° = J J U 2 + .v 2 )p(x,y)dxdy = Ix + / v .v
... (3)
poniendo p(x,y) = 1 en las fórmulas (2) y (3) obtenemos los momentos
geométricos de inercia de las figuras planas.
Hallar la masa de una lamina circular de radio R, si su densidad es
proporcional a la distancia desde el punto al centro e igual a 6 en el borde de la
lamina.Desarrollo
Yi 1Como la lamina es circular — r = Rentonces x2 + v2 = R2m/
De acuerdo a las condiciones del V 0J X
problema se tiene: p(x ,y ) = — \¡x2 + y 2
ííM ~ I Ip(x ,y )dxdy = x + y 'dxdy - r r R.r.r dr)d 6
s
n 2 k8 ■ <W = - — R
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 375
2226 Una lamina tiene forma de triángulo rectángulo con catetos OB = a y OA = b; su densidad en cualquier punto es igual a la distancia desde este al cateto OA. Hallar los momentos estáticos de la lamina con respecto a los catetos OA y OB.
Desarrollo
(p(x,y) = x)
M X í f vp(x ,v)dxdy
s
J N
ab-bxa
M „ = I ( " xydy)dx =)
f 2 üb~hx ,
2 / o 2
r
Jb a) dx
2af b2 r , 2 3x(a - 2 ax + x )¿/x = — - I (a~x-2ax -fx )dx
2 a 1 Jb
b2 ,a2x2 2ax3 x4 / a b2 ,a4 2a4 a4 . a 2b2
2a(- + >/ — ( 1 ) —
4 / o 2a2 2 3 4 24
ífxp(x ,y)dxdy = I |x =í íab-bx
r( I * x2dy)dx
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376 Eduardo Espinoza Ramos\
2227 Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura OmAnO limitadas por las curvas y = sen x y por las rectas OA que pasa por el origen de
71coordenadas y por el vértice A(— ,1) de la sinusoide.
2
La ecuación de la recta es y = mx donde m = — y p(x,y) = 1 entonces:K
í í71
M — I I y d x d y - r - f y dy)dx =K24
s
p /• mu en x
xdy)dx =1 2 - ^
12
71/• <• peen x
M = I Id!* ¿/y “ 12 I 1dy)dx -4 - K
- M y \ 2 - n á x -
M 3 (4- ; r )K
M 6(4 - tt)
2228 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la
cardioide r = a (1 + eos (p)
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 377
2229
Desarrollo
M - 2
=2
f f f« f
frdr )d (p - I a (1 + eos (py dep3 /rar
( 1 + c o s p )o
r eos (pdr)d(p
fM y = ^ | a 3(l + cos?>)3 eos<pd(p =5/ra'
- M y 5ax -
5apara 7 = 0 por simetría. Luego (x, y ) = (— , 0)
M 6 6
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de un sector circular de radio a,
cuyo ángulo ¿fentral es igual a 2 a.
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378 Eduardo Espinoza Ramos
2230
y
2231
Desarrollo
Usando coordenados polares se tiene:
A/„ - 2
r - í
rrM - 2 | ( | rdr)dO - a 1 ^ d O - a1
r e o s 6 r d r ) d 02a
a
rcosOdO
M2a 3
v 3 sen 0a 2a^sena
como xM 3a
, v = 0 por simetría.
Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las9 9
parábolas v = 4 x + 4 e y~ = -2 x + 4
y2 = 4x + 4
Desarrollo
Mí
4-yy
( j , ' dxyiy = 8
M,. í4 - y"
16( | xdx
Luego x —- M v 2
M 5y y - 0 por simetría (x>y) = ( t» ^ )
Calcular el momento de inercia del triángulo limitado por las rectas x + y - 2,
x = 2 e y = 2 con respecto al eje OX
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 379
2232
Desarrollo
- u < .i
íf-¡x = 1 1 y 2p ( x ,y ) d x d y , como p(x,y) = 1
f íin.riwi’íí.l
por ser segmentos geométricos de inercia de figuras planas
Luego Ix = | lyííl i
í í / dx)dy = 4
• y *-•
. <LHallar el momento de inercia de un anillo circular de diámetros d y D (d < D).
a) Con respecto a su propio centro.í>
b) Con respecto a su diámetro
a) íí
Desarrollo
[x2 + y 2) p (x ,y )dxdy
íí(x2 + y 2)dxdy
Por ser momentos de inercia de figuras planas.
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380 Eduardo Espinoza Ramos
2233
2234
Ahora usando coordenadas polares se tiene:
D
íí<1o = l l ( x2 + y 2• n rdr)dO = — (£>4 - d A) 32
2
D
bi ' - - í í= 11 r*sen20 dO dr - f ' f r*sen20 d r)d 0 = — (D 4 -¿ /4)64
Calcular el momento de inercia de un cuadrado de lado a, con respecto al eje que, pasando por uno de sus vértices, es perpendicular al plano del cuadrado.
Desarrollo
7° = J j + y 2 ^ d x d y
s
(x2 + y 2 )dy)dx =2 d
Calcular el momento de inercia del segmento interceptado de la parábola... j ‘ . . f 1 } , / y ? . •' ; 1 ; i l f ;i V| i 1 I ' - ’.*■
y 1 - ax por la recta x = a, con respecto a la recta y = -a.
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 381
2235
fc
2236
/Í i ax
( (v + a J-yfax
x2 j x i) dy)dx =5
Calcular el momento de inercia de la superficie limitada por la hipérbola xy 4 y la recta x + y = 5, con respecto a la recta y = x.
Desarrollo
La distancia del punto (x,y) a la recta
y = x es: dx - v
xy = 4 o=> .Y" - 5A- + 4 - 0
A' + V = 5
/ = — dy )dx i= ~ | (/•fi X
(a*- - 2 xy + v‘ )dy)dx
í/ 2 2 . y( x V -- VV i— >/
5--v 3dx = 16 ln 2 - 9 —
84
En una lamina cuadrada de lado a, la densidad es proporcional a la distancia hasta uno de sus vértices, calcular el momento de inercia de dicha lamina con respecto a los lados que pasan por este vértice.
!i 1 •••, ■ ■ .i
Desarrollo
r 2 9De acuerdo a las condiciones del problema se tiene p(x ,y ) = xjx + y~ , el
momento de inercia se determina con respecto al eje X, luego pasamos a
coordenadas polares.
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382 Eduardo Espinoza Ramos
2237
2238
K /T
M sec cp m - mi CSC cpkr(r sen<p)~ r dr)d(p + I ( I kr(r sen (p)~ r dr)d(p
;sc cp jF-
n nk t i
Ix = ~ J^4 sen2(p.a5 sec5 <pd<p + sen2(p.aJ cscJ cpdcp
4
ka5/ v = ----- [ 7 ^ + 31n(V2 + l)]
40
Hallar el momento de inercia de la superficie de la lemniscata r~ = 2«" eos 2(p, con respecto al eje perpendicular al plano de la misma que pasa por el polo.
Desarrollo
JTmm m— miyjlcoslcpI0 = I |( jt2 + y 2)dxdy = 4 14 ( I r2dr)d(p
s
n nay j lcos lcpÍ4 . ayj2cos2cp ti A ?
r I d ( p - I a (4 eos 2cp)d(p
= v + - 2 a 4( I + 0 ) = ^
Hallar el momento de inercia de la cardioide r = a( 1 + eos cp) con respecto al
polo.Desarrollo
r r C* pHl+coscp) fitr r 4 „(i+Cos<p)70 = I |( x 2 + y 2)dxdy = 2 I ( I r3dr)d(p = 2 I ~ / Q ^
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 383
’ . x . f!
2239
4
- É í -
4 1
4(l + COS0>)4</ > =— r 2 1
(1 + 2 eos <p + eos2 <p) d<p
19 aA7r.19 _ eos 4 ^ 2 v»(--- h5 cos0 + 4cos2<p + --------- - s e n (peos(p)d(p =4 2 8
t uCalcular el momento de inercia de una lamina homogénea limitada por un arco de la cicloide x = a (1 - sen t), y = a (1 - eos t) y el eje OX, con respecto al eje OX.
Desarrollo
Se tiene que x = a(t - sen t) => dx = a( 1 - eos t )dt' j -j: /r-fi • >4- ; •..( ■ . . >. i
y = a (1 - eos t)
r(l-cos/)
x
+ + fQ. n «(1-cos/)= 1 I v2dfccrfy = I ( I y 1 a ( \ - e o s t)dy)dt
?'K.' ' * i ¿r.<3
= « r ( i - e o s t ) ~ ia(l-cos/) a
dt = — f i a* (\ - eos t)* dt o 3
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384 Eduardo Espinoza Ramos
a 4 ,35/ 7 _ . / 2;r 35/ra ,JJ¡ / „ sen hi sen i . /= — [ -------- 1— sen-------------21- 4 sen H----------- ) /
3 6 4 16 3 / o 12
7.7. INTEGRALES TRIPLES.-si'. s • -5 •• > - • • i •* • ■'&>* - S f f .’y ,
Ira. LA INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS RECTANGULARES.-
. . . f , " k ■ : ■ ■■-, f ■ / ■ I I I I 1 ' > >'■ * ■ 1 J h ■ ■ •• • • ■ • v •' 6 • * * ’• 1 v i < • '• ■ * ■' . . .• , / t »
Se llama integral triple una función f(x,y,z) sobre un recinto V, al limite de la correspondiente suma triple.
\ \ \ f ( x , y , z ) d x d y d z = _J im ^^ ^ ^ f ( x ¡ ,y¡ . z ,)Ar,A>,.Az¡y max Av, — >0 i j k
max Áz, — »0
el cálculo de la integral triple se reduce a calcular sucesivamente tres integrales ordinarias (simples) o a calcular una doble y una simple.
2do. CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL TRIPLE.-
Si en 1» integral triple hay tpte pasa, de las variables
V
x, y, z a las variables u, v, w relacionados con las primeras por las igualdades
x = (p(u,v,w), y = \j/(u,v,w), z = <|>(u,v,w) donde las funciones <p, \j/, <|>.
Son continuas, junto con sus derivadas parciales de primer orden.
Establecen una correspondencia biunívoca continua en ambos sentidos entre los puntos del recinto de integración V del espacio OXYZ y los
V
puntos de un recinto determinado V % del espacio O 'U VW y
El determinante funcional (jacobiano) de estas funciones es:
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 385
J {u,V, = y, z)d(u,v,M’)
CX dx dxdwCZ
cu dv dy dy du dv dw cz cz dzdu cv dw
Conserva invariable su signo en el recinto V, entonces, será válida la fórmula.
I x,y,z)dxdydz = ÍÍJ/w‘ i, v, w), y/(u, v, w), (p(u, v, w) | J(u, v, vv) | du dv dw
v v
En particular:
© Para las coordenadas cilindricas r, cp, hr
x = r eos cp, y = r sen cp, z = h obtenemos que J(r,cp,h) = r
© Para las coordenadas esféricas cp, vp, r ( 9 es la longitud, vp la latitud y r el
radio vector) donde x = r eos vp eos cp , y = r eos vp sen cp , z = r sen vp2 2tenemos J((p,y/,r) = r eos y/
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386 Eduardo Espinoza Ramos
3er. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES.-
E1 volumen de un recinto del espacio tridimensional OXYZ es igual a:*-
La masa de un cuerpo que ocupa el recinto V
donde y(x,y,z) es la densidad del cuerpo en el punto (x,y,z).
Los momentos estáticos de un cuerpo, con respecto a los planos coordenadosson:
• A L- • . \■/ '<% :M yz =
• : *S> i
y(x, y, z)z dx dy dz
y(x, y , z)x dx dy dz, i * . • fe
r / ’ .
ZÜV íy(x,y,zr ; : V G ' .
Ut'
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 387
Las coordenadas del centro de gravedad
- Hyz~ M - A/n.X = i - % v = , z = —
M ' M M
Si el cuerpo es homogéneo, en las fórmulas para determinar las coordenadas
del centro de gravedad se puede poner y(x,y,z) = 1 .
Los momentos de inercia, con respecto a los ejes coordenados son:
/ , = Í Í J c y 2 + z 2)y (x ,y ,z )dxdydz
y
- JJV
| J(jc2 + z 2 )y(x, y\ z)dx d y dz
'■ " |J|( x 2 + y 1 )r(x, y, z )d x d•/ V
V
poniendo en estas fórmulas y(x,y,z) = 1 , obtenemos los momentos geométricos
de inercia del cuerpo.
A) CÁLCULO DE LAS INTEGRALES TRIPLES.
Calcular los limites de integración de la integral triple
Í Í L , y , z )dxdydz para los recintos V que se indican a continuación.
v
2240 V es un tetraedro limitado por las superficies x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
Desarrolloi
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388 Eduardo Espinoza Ramos
JffV = I l^ f (x ,y , z )d x d y d z
v
H - x - Y
f ( x , y , z ) d i
22241 V es un cilindro limitado por las superficies x “ + y~ = R , z = 0, z = H.
Desarrollo
fííF = l l j / ( * , y, z)dx dy dz
v
f p/tf2—.Y2 W/
J-\lR~-x~ Jof (x ,y , z ) d z
2242x v
V es un cono limitado por las superficies2 2 Z
¿r c~Desarrollo
Y
:>a X
* i f
X
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 389
l} ¡ 2 2 -ya -xr r r r1 r ü v r111/ (-*» V,z)dx dy dz = I dx I “ dy i / (a*, v, z )d
V U a ° X
9 92243 V es un volumen limitado por las superficies z = 1 - x - y , z = 0
Desarrollo
V f ( x , z)¿/x dy dz
2244
IH i-.\2
, - v M/l- r Jo
*>
- v - r
f ( x , y , z ) d z
dx I dvdz
y[x + y + z + 1
Desarrollo
dx I d\di
y[X
j ° dx (2tJx + y + 2 - 2yjx + y + 1 )dy
f 4 - 4 “ / lI l~ (x + y + 2)2 - ~ ( x + y + l )2] / d y
4 ¡ o 2 3 3 3“ I [(* + 3) 2 - ( x + 2 ) 2 - ( x + 2) 2 + (x + l)2]¿/x
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390 Eduardo Espinoza Ramos
4 .2 , - 2 , 2. /° 1 6 ..= - b ( - v + 3 ) - —- ( x + 2)2 + -( .v + l)2] / = — (3 /
3 5 5 5 / i 15 2
2245 JT dx f * dy jf~ 2 x dz
Desarrollo
¿ J / T X\¡4x - y 2 dy
1
V2
f2 xy I i y j i 'f *I [ ~ v 4 .x - y “ + 2x aresen — ¡=] / dxJb 2 2\¡x ' o
—7= í [xyfxy/4x- 4 x + 2x aresen 1 ]dxn/2 l
1_ f XTt dx = —j= / =V 2 Jb 2 V 2 ' o
1 7 1 7 ?a"-x~ +Ja~-x - y
2246 I ¿/x I ¿/ydz
1 2 2 2 2 sja - x - y - z
Desarrollo
i ia" ~a"dy
2 2 2 a - x - y dzf~2 2 2 Iy a -X - y - z
*r> 1 ri
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 391
r 1 o oz
arcsen(—F= = = = = ) / c/y\[a2 - x 2 - y2 ' "
I 7 7V ¿r —j raresen l dy I y / dx- f f v o
/r2
r r~i t , /r * r~i 7 a 2 x Ia\a~ - x dx - —I- y j a - x H aresen —
2 2 2 a ! o
— [(0 + a2 aresen l ) — 0] —4 8
H- x M - x - y
2247 I dx | dv | xyzdz
Desarrollo
H •• í ; H ¥/>-H ■x v ( l-x -y ) ,----- :----¿/y
1 f* x3 y2 xy4 2x2 y3 ? ? xy2 2xv3 / !”A‘- I (—— + 1------- x" v“ + —--------— ) / dx2 Jb 2 4 3 ' 2 3 / o
1 1 a i 1 2x5 9x . -t. 5x n /- — (-2x + 9 x - 12x + 5x)dx = — ---------+ -------- 4r3 + — /2 Jb 6 12 5 4 2 /
1 (111) 13312 80 260
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392 Eduardo Espinoza Ramos
2248
2249
Calcular JKdx dy di
(x -f y *f z + 1)', donde V es el recinto de integración que está
limitado por los planos coordenados y por el plano x + y + z = 1 .
Desarrollo
1dx dy di
(x + y + z + 1)dz
( x + J/ + Z + 1)
(1 1
4 (.v -f y + 1)J)dy
]_2
Í
l - . Y
dx
i r r i - v i /A i i[(------+— ) — (() + )]í/.V —
? l 4 2 x + 1 2r , 3 - x i - ,(---------------- )dx
i , 4 x -f 1
1 3 x x “ . . ,_ ------------- ln x + 1 /2 4 8 / o 2 4 8
1 5 ln 2 5— (—- ln 2 ) = -----------2 8 2 16
Calcular J j j ( x + y + z ) 2 dx dy d z , donde V es la parte común del paraboloide
v2 , .2 i i i2ax > x + y y de la esfera x~ + y + z = 3¿z
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 393
Desarrollo
Proyectando la intersección al plano XY
x “ + v' XIZ
1 ■> 1 - ..y" -f v “ + z = 3a
z* + 2 ¿/r - 3//" = 0 z = a
7 7 7por lo tanto \*“ -i- y “ = 2a~ es la intersección proyectada
Yo o
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394 Eduardo Espinoza Ramos
2250
7 7 z3[(x + y)~z + (x + y)z~ + — ] /
3 / o
v = —— [I8>/3 — — ]
Calcular Í J j z 2<¿rrfyífe, donde V es la parte común de las esferas
7 7 7 „ 7 7 7 7 _ _x^ + v“ + z~ < R" y x“ + y~ + z~ < 2 /?z
Desarrollo
z =N/ R2 - x2 - y2
= R - 7 R 2 - x 2 - y 2
Y
Proyectando la intercepción al plano XY se tiene:
x 2 + y 2 + z 2 = R2
X 1 + y 2 + z 2 = 2Rz
7 R=> 2 Rz = R“ => z ——
2
2 2X + V = —
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 395
2251
íífS R s¡ 3R2 -4 a x 2
z~dxdvdz = í¿ (f. O O “>IR--.X- - v2
>/3/? | j3 R ¿--4axdz)dv)dx
vJR-yjfd-X2-.
S R y ¡3 R 2 - .V2 i— —
Í 2 f 2 . 3 .y]R'-\--) 5 9 7 TR
ííí=Calcular " j - dxdydz , donde V es el volumen limitado por el plano z
v
Qy
y“ z ‘por la mitad superior del elipsoide ^ - f ^ ~ + —
a" b c
Desarrollo
a
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396 Eduardo Espinoza Ramos
2252
2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 2 ,, x y i x y— + — + — = « => z = c ( l ---- - ) => Z = c j l J ------ ya 2 62 c2 a 2 b 2 V a b 2
j j j z dx dy dz = 2 ^ zdz)dy)dx
V
£<f\ la2- x 2 2 2
c2 (\ - y - j )dy)dx a b~
3 * J a 2- x 2 , r r 2 „ 2f V = c 2 f ( ! - - $ ■ > V "
J-„ « 2 3 6 / O y a 2 36- / O
c 2 6
rsi1
1
3b2 /
1 6 2
sil "> * 7 1
3/?" a
•7
n - ^ , (a
Í n A* l b~ 2 2 \ ~\ b \~~2 T í[ l - — r(flT - x ¿) ] - \ ¡ a ¿ - x Adx
a 2 3 / r a a
r [ l~ ~ T ---- ^-(<32 -X 2 )]V<32 - X 1 dxi - a 3 í T
j 2bcA r 2 x “ . n 7 , abc~K
x2 dxJLa 3 ¿r
2 2 2Calcular I I I (^r- + - + :Lr)dx dy dz , donde V es la parte interna del elipsoideI 2 l 2 -a b e
x1 y 2 z 2~T + 7 T + — - 1 a b c
D esarrollo
x = p sen (p eos 0y - p s e n ( p s e n 6 => J(p,6,(p) - p 2sen(p
p eos cp
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 397
2253
para el caso del elipsoide se tiene:
x = apsenepcosO2y = bepsenepsenO => J(p,@,ep) = abep senep
z - epeosep
Uf(^ r + ~ r + :Lz- )dx dydz = 8 a 2 b2 c2
n n
0 í( I p~abcp senep d p)dep)dO
v
K TC
8 abe¡ i
/ d e p ) d 6 / o
8 abeTC TC
t í senepdep)dO
k n irSabe f í / y ,^ 8 abe f 2 4abc/r
I - e o s e p / ~ c W - I d(i ~J) ' o 5 J,
f f f h 2 2Calcular 111 zdxdydz , donde V es el recinto limitado por z“ =- — (x~+ y )R
vy por el elipse z = h.
Desarrollo
Mediante coordenadas cilindricas se tiene:
x — r eos 0v - r sen 6 => J (r ,0 ,z ) = rz - z
JJJz dx dy dz = 4 f< f< íir
rzdz)dr)dO — 2 í rzVh r
R
0dr)d6
JC
Jb Jo 47? Jo
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398 Eduardo Espinoza Ramos
2254
2225
ííí‘Calcular I , siguiente Integral, pasando a cootdenadas dlíndHcas |J |* * * ,V
7 7 7 *donde V es el recinto limitado por las superficies x + y + z = 2R z ,
2 2 2x + y = z y que contiene al punto (0 ,0 ,R).
Desarrollo
x = r eos 6y - r s e n O => J(r,0,z) = r , proyectando al plano X Yz - z
2 2 2 x + y = z=> z = 0, z = R
x2 + y 2 + { z - R ) 2 - R2
7 7 7Luego se tiene x~ + y~ = R~ es la proyección sobre el plano XY
\lR2 -rP P P t&x pR mR+yJR*—r"
I I \dx dy dz = I ( 1 ( 1 rdz)dr)dO
v
= £ ( jT [r(7? + \¡R2 - r 2 ) - r 2
i
Rr2 1 r ' /*(---------- ( R - - r - ) 2 ------ ) / dO
2 3 3 / o
f2'7 ,/?3 /?3 tf3= I (— + ----------- )cW - R JiJ, 2 2 3
Calcular dx f " dy f zy¡x2 + y 2 dz , transformando previamente a las
coordenadas cilindricas.
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 399
2256
Desarrollo
Sea D :
0 < x < 2
0 < y < s¡2x — x 2 0 < z < a
ÁL mj 2 x - x 2 ma1*1 x2 + y 2 dz M cosO f»a
<J>rdz)dr)dO
r+~ a2cos# 2 n 2 3
= M2 eos 6
d eo
n
~ a 2 F e o s 3 OdO = “ ~~ \ ¿ ( \ - s e n 20 )c o § 0 d 6
K
f4a‘
(sen 6ser?0v /T 4 a 2 _ L 8 ¿z2
■>/ ■(1— ) = 3 / o 3 3 9
Calcular*2r f d l r x - x 2
I dx•fe J - y j l r x - x 2
. . i i ->[ 4 r ~ - x ~ - y
dy dz
Desarrollo
Sea D : <
0 < x < 2 r
-V2rx - x2 < y < \¡2rx
( ) < z < 2 2X
x = p cos 6y = p sen 6 J(p,0,z) = p
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400 Eduardo Espinoza Ramols
2257
r *' ~A' - v“
dz = 2
M cos 0
<f7 7
«2co$0 p J 4 r ~ - p ‘
( I pdz)dp)dO
= 2Í- *2rcos# _____ /7
p^ d p)d0 23 f 4 - • /
2r cos¿?
o
i /r| f (8 /fW < 9 - 8 r> )d e = ^3 3/i o J w / i _ 1 6 r P ( s e n 3( 9 - l ) r f é l
' . 4 ^ .
16r eos (9 /•, 8 r 4—— [-co stf + — ------ 6» ] / ¿ = — (íTi*,-)
3 3 / o 3 3
CalcularR 2 - x :
dx I dyR j-y¡R2- X2 f
'V-.r2-v;(x~ + y 2
previamente a las coordenadas esféricas.
transformándola
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 401
K*L7T
( r<f• 3 • 3 4)
p 1 sen2 cp.p2 sen cp d p)dcp)d O
f ‘f■3 5 7 *
.p / d(p)dO 5 / o f
: sen~ cp 5 / n , . ,„ R5 *2/r
b
3 1/ COS (D /o . _(-cos#> + ----------- ) / ~d9
3 / o
r
5 j ,
r , m ; , 1 ,n j. f 1*í ( 0 - 0 ) - (y l +-)}d0 = - ~ - 9 = — —3 15 / o 15
2258 C a lc u la r la in te g ra l, pasando a las coordenadas es fé ricas
W
") Jx ~ + y ~ + z dxdy d z , donde V es la p a rte in te rn a de la es fe ra
v1 2 ”> -
X + V + Z “ S. Y
Desarrollo
P ro ye c ta n d o al p la n o X Y se tie n e z = 02 ■ 7
X + V" - X
x = /:? .ve/? cp eos 0 y — p sen cp sen 0 Z - p eos cp
J(pJKcp) = p'sencp
K
m
x + y + z dxdy dz M < fmt (¡sen <p co se O
p.p*'sencp d p)dcp)dO
v
4
71 TC
Í7 í* /i / sen (p cos 0 1 í*2 a" ( I e sencp dcp)d6 = — J ( j sen'cp cos Odcp)dO
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402 Eduardo Espinoza Ramos
2259
X
42* , 2 COS (D eos5 0
(—eos (p + -------------------- —X
)cosAo / dO / o
x x
i r4 JL-[(i ( - i + —- —)] eos4 e de
3 5 3 5 = - f4 X*— eos4 6 d 6
a 152
15
^ /r+ COS 2 . 0 . 2 i 1 _ 2 »/i----------- ) dO = — I (1 + 2 eos 2 # + eos 26)d6
2 15 1 *2 2
x
£<!X
LP15 J_*3 eos 40 1 30 2sen26 sen 40
[— + 2 eos 2 0 + --------- 1úí0 = — [— + ----------- + --------1 5 J * 2 2 15 2 2 8
— [(— + 0 ) - ( - — )] = — 15 4 4 10
B) CÁLCULO DE VOLÚMENES DE INTEGRALES TRIPLES.-
Calcular, por medio de una integral triple, el volumen del cuerpo limitado por9 9 9las superficies y = 4 a — 3ax , y - ax , z = ±h
DesarrolloI
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 403
2260
Proyectando al plano XY se tiene:
y 2 — 4 a2 —3 ax
v~ — ax=> 4a" — 3ax = ax —> x =a , y = ±a
1V = I i \dxdydz
4a -y~
r - r - r ,
( I dz)dx)dy =■ 2h
4 a ~ - V
i < r dx)dy
v a a
r 3a 3a- i /
1 7 > /£7
2*[(4 a 2 4 a 2
V = 32a h 9
Calcular el volumen de la parte de cilindro v 2 -f y 2 = 2a.v , comprendido entre
el paraboloide a" + y = 2az y al plano XY.
7
Desarrollo
x2 - y2 2 a"~
Y
Y
0
0
- x -
r = 2a eos
/Pasando a coordenadas cilindricas se tiene:
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404 Eduardo Espinoza Ramos
x = reos Oy = r sen 6 => J(r,0,z) = rz - z
JIFdx dy dz = 2
7t r(&acosO (+—
H f rdz)dr)dO - 2acosé? 3
l adr)dO
n
í f T / , 2acos6? 1
d O = — o 4a
K
f 16a4 eos4 6 d 0
K 7t
f.3 l ~ „ ------- 0 ^ 2 J / , 3 I ¿ ( 2 + 2cos26> +a I (l + cos2 #) d O - a feos 4#
/r3r3<9 senAG1
= a [ b 2 # +2
] / 2 = a 3 (— + 0 ) = 2 í!2 L 8 / o 4 4
2 7 2 22261 Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x + y" + z = a~ y el7 7 7
arco z = x + y la parte posterior con respecto al cono.
Desarrollo
Proyectando al plano XY se tiene:
2x + y
x
yz
— p sen cp eos 6O < p < a
71 „ Kp sen cp sena , — <g)S —
4 2p eos (p O < 6 < 27ü
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2262
F íffdxdydz = 2 f ‘í ‘f7p sencpdp)d(p)dO
r « fp~ I a 2 a3 f§
sen (p j d(p)dO = — I ( JJ* sen cp d(p)dO
? 3 f2/T *- y - | -C O S(p / ld0-
aO
3 / o/2 ;r 2y[2a37T
2 2 2Calcular el volumen del cuerpo limitado por la esfera x + y + z~ ~ 4 y el7 7 •paraboloide x“ + y“ = 3z (la parte interior con respecto al paraboloide).
Desarrollo
Proyectando al plano XY la intersección de superficies
( i o y ,
x“ + y + z = 4 •> . „=> z ~ + 3 z - 4 - 0 => z —1
2 2 ox + y ~ 3 z
Y- k_ r = \ / 3
2 2 o. x + y = 3
l y ' Í x = r eos <9
V 0 iv/3 I ^y = r sen 0V
z = zV
íííF = I I |¿/xc/y¿/z íK fmjA-r2
( ( rdz)dr)d6
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406 Eduardo Espinoza Ramos
2263
2264
19— d6 =12 J>
19/T
Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano XY, el cilindro9 9 9 9 7 9 *+ v” = a r y la esfera x + + z“ = a~ (interno respecto al cilindro).
Desarrollo
r = a eos 0
x = r eos 6y — r sen 6 => J(r,0,z) = rz = z
71
í í f/*/ eos 0
dx dy dz = 2 I ( I ( r dz)dr)dO
v
71cosO
71
'\¡a2 - r 11dr)dO = —— (a 2 - r 2)2 ja eos 61
o
/r /T
f'[ ( a " - a COS~ 0 ) “ - a ]¿ /0 =3 J. 3 f2a
[—cos0 +.3/. -3eos* 0
v \ ! “ = --------1( -3 / o 3 9.
2 1 y z"Calcular el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide — + —
b cplano x = a.
2 — y al a
Desarrollo %i»1
Proyectando la intercepción
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V = dx dy dz =
b c
2xa
, x = a
Y + = ?i 2 2b C
v - rh eos 6✓
z - r e sen 6 de donde J(r,6 ,x) = bcr
jc = JC
f ' f ' t rdz)dr)dd
v
2264 1 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies2 2 2 2 2 2 .x y z 2 x y z
(— + — + -y ) - —y +-- 2----- Ta 2 b c2 a ¿>2 c 2
Desarrollo
Mediante coordenadas esféricas
x = apsencpeosO y = b p sencp senO z = c p eos cp
J{p,cp,0) = p sencp
reemplazando las coordenadas esféricas en la ecuación
2 2 2 2 2 2X V Z X V Z(----- f-— i---- y = ------(----------V V c2 ' a 2 b2 2
p - p~ {sen cp - eos cp)
p 1 - sen1 cp - eos1 cp => p - y[sen^p-eos^p
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408 Eduardo Espinoza Ramos
V = I i j dx d v dz«2 rr ¿vr ¿*] sen" (p - c o s " <p
abe f r s en cp d p )d cp )t / 0¡
v
a(b e r , r 3 .\sen-<p-cosr<p— I ( | psenepj clipyití
abe r j f (sen1 <p-eos2 <p)2 sen (pchpyifí
V = ^ 1 . I ( j yjsen2cp - eos2 cp (sen~ (/> - cos~ cp)sen cpdcpYlO
y _ aben2
4sf2
2 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies9 0 0 9 0 0
2_ + Z _ + £ l = 2 , 4 + ^ - ^ = o , (z > 0 )a b c~ a b e
Desarrollo
Proyectando al plano XY la intercepción.
2 2 2i L + Z _ + £_ = 2 , ,« 2 b2 c 2 ^ ^ x 2 >-2z = C => ——H r- = 1
£ _ + 2 L _ £ _ = 0a 2 6 2 c 2
.v = a p s e n cp eos 0y - b p s e n cp s e n 6 => J(p,(p,0) - abe p ~ s e n cp
Z = C p C O S í p
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 409
2265
? i 2X y 2 r. 1 1 — 2
0 * 2 2 p 2 — 2 => p — \ j 2
2 2 iÍ l + Z _ _ f l = 0a 2 b2 c2
2 2 2 . 1 ^p~sen (p - p cos <p => tg cp = l => <p = —4
F I r/.v dy dz ( | ( J abep sen <pdp)d(p)dOv
3(
) l)
abe t n í*4 3 / ^ 2 27*2abe C'np sen (p dtpydd ------------ I - eos
/ o 3 Jb4cos<^ / dO
f o
i j l a b c , \Í2 3 ' 2
« ^ 4c/¿><; rr ,
- I ) 2 jt --------- ( v 2 - l )/T }
¿\abe(\¡2 — X)7T
C) A PLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES A LA M ECANICA Y A LA FÍSICA,
Hallar la masa M del paralelepípedo rectangular 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c
si la densidad en el punto (x,y,z) es p(x,y,z) = x + y + z.
Desarrollo
JJJM - | | | p{x, y>z)dxdydz [<J (a* + y + z)dz)dy)dx
v
1 c *.7 W] / dy )dx - (1 o ' 3 • J
[(x + y)c + — ]dy)clx
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410 Eduardo Espinoza Ramos
2266
i 2 2 / 0
b c be' 1 )dx
? 1
x be b1 ex bc2x . ¡a abe ( + +
2 2 r V o 2(a + b + c)
1 9 1 1Del ociante de la esfera x + y" + z~ < c , x > 0, y > 0, z > 0, se ha cortado el
x ycuerpo OABC, limitado por los planos coordenadas y por el plano — + — = 1,
a b(a < c, b < c).
Desarrollo
x2 + y 1 + z 2 < c2 , x > 0 , y >0 , z > 0
X VLa ecuación del plano — + — = 1, a < c, b< c por definicióna b
M = donáQ P(x^ ’z) = z’ dV - dx dy dz
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 411
2267
íf í
O < x < a
M - I I I z dx dy dz => O < y < 6 ( 1 ---- )a
O <Z<yfc^ - X 2 - V
«7Ü ( ü(l*3 • 3 Jb
i -» n
c~ - x * - v~
z dz)dy)dx
(o í
O *1A- -dv )dx = — I (
9 1) ' .*>
¿O...)a ( 2 (c - x - V
f1 T 2 2 V3 / W - - *[(c2 - x 2 ) v - ~ ] / "
3 / o 26 r r 2 /i 2 /, & /, ,[c'( 1 — ) ~ x (1— ) — —(1— ) ]dx
a a 3 ¿z
3 3. . ... r a aM = —[----- + — + —2 3 4 26 ¿zJ a 3 zzc" ¿z6 \
*~íT
. , ¿Z¿> , ? , 0 » 2\ 2 2 i 0 xA/ - — “ -f 6 c~ - b ) - — (6 c - a - h )24 24
9 O 7 7En el cuerpo de forma semiesférica x + y + z" < a ' , z > 0, la densidad varia
proporeionalmente a la distancia desde el punto al centro. Hallar el centro de', ■ í\ - , V. 1 ‘ - ■' i • • • , "i • \ •, ,v » ' Vgravedad de este cuerpo.
Desarrollo
9 9 9 9x~ + y - + z“ < , z > 0 por dato p( r ) = kr
por definición rM -M I
r ám donde Mí í h
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412 Eduardo Espinoza Ramos
rM =m
r p d V = — fT[ r k r d V M J J J M
S í 'd V c V
donde <3V es el volumen que encierra la masa M, en coordenadas polares
71r = r(sen 9 eos <p, sen 9 sen (/>, eos 9 ) , donde 0 <<9< — , 0 < (() < 2tc, 0 < r < a
(sen 9 eos <¡), sen 9 sen (¡), eos 0).r sen 9 drdO d<j)
M x cu = kr4dr)sen 9 d 9) eos <f>d(f> = 0
M yCM í ' f ' f kr4 dr)sen2 9 d9)sen (/) d (¡> = 0
71*¿ 7 1
2 kr4 cos9sen9d9d(j>dr
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 413
2268
2 _ 7T rInsen'O ¡y kr~ ¡ a kna
l ' A I
M = JJJ*. = j*Jj*p d V ~ k | | | / 3sen O drdO d(f)
dr cv dr
kitcC4 t 4 ^, a _ 5 2<7
M - k .— .2 /r = ------- ; zrM = — :—r = —4 2 GW fcra4 5
- n 2aX C M ~ y C U - O >
Hallar el centro de gravedad del cueipo limitado por el paraboloide
y + 2z“ = 4.x: y por el plano x = 2.
D esarrollo
7.Sea 6V : ^X de donde v 2 + ~ - = 4jc
* = 2 * 1
En el problema no da la función de densidad se asume que esta es constante, es
decir p(x,y,z) = p por definición:
rCM i í f f — ¿ J P -dv dr
donde también por definición M - \ p d \ííf'
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414 Eduardo Espinoza Ramos
rCM =(-
ÍJP
I r dV
dV
d V j j í .d V c V
A(x)dx donde A(x) es el área de la
d v
correspondiente a la intersección del plano x = x con dW
V2 z 2-— + — = 1 donde 4x 2x
\a - 2
b = yjlx, A(x) = 27TyJ2x
JJf' x dx - 4x^2
dV = V
ev
l+flx J ~ 4 x - 2 f
(d V
V - 2
-42.x J - \ l4 x - 2 z 2dy)dz)dx
Í \j4x - 2z 2 dz)dx - 2^¡2k I x dx\¡2x •*)
por lo tanto xCM -“ ■ t J s Í S Íd V
x d V =\ 6 - J l— A
3 4
A'ÍItt 3
XCM = - > ycM = zcu = 0 por simetría
de la elipse
V =4s¡2n
2269 Hallar el momento de inercia del cilindro circular, que tiene por altura h y por radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del
propio cilindro.
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 415
2270
Desarrollo
(r"sen"(p + z~)r d<p dr dz Tra h 2 „»? x (3 a1 + 4 i r )12
c V
El eje del cilindro se toma como eje OZ, al plano de la base del cilindro como plano XOY. El momento de inercia se calcula con respecto al eje OX. Después de pasar a las coordenadas cilindricas, el cuadrado de la distancia del elemento
r d<p dr dz al eje OX es igual a r 2sen2cp + z2 .
Hallar el momento de inercia del cono circular que tiene por altura h, por radio
de la base a y de densidad p, con respecto al diámetro de su base.
Desarrollo
h y I d dm
c v
yy 1 d 2<pdV
o V
Iyv JJfp I I Í d l dV
V
d = distancia del punto p al eje Y. En coordenadas cilindricas
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416 Eduardo Espinoza Ramos
2271
opx jixO
-> —> j ky zi o
= - z i + x k
^vy = ^ ~ P C° s2 ^ +d V d V
(1"77) f-71( | ( r 2 eos2 (j) + z 1)rd(j))dr)dz■r r 4' í
“ M(1" i) r 2
r(— + z 2 )dr)dz
„ a4H a2H \ npHa2 2 o » 2 v 2^P(—— + — (3a¿ + 2 H ¿)
40 60 60
Hallar la atracción que ejerce el cono homogéneo, de altura h y ángulo en el
vértice a (en la sección axial), sobre un punto material, que tenga una unidad
de masa y que este situado en su vértice.
D esarrollo
V
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 417
M = masa del cono (se asume que la densidad por la ley de gravitación universal del cono es constante)
—ykm}mj un
Fn - donde ml y m2 son masas puntuales y r12 es la distanciar12
* - k m , u n u nentre ellos, k - constante universal de gravitación Fn = -----~~f—~ — (1)
ri2 > —yFl2 ~ fuerza de atracción de la masa m{ sobre ía masa m2, u n ~ vector
unitario cuyo sentido va de mx a m2
—y —ymx -- dm , ni2 = i , m - (0 , 0 ,//)-- r
en coordenadas cilindricas r - (r eos (p, r sen ó, z)
—>r 12 “ (0 ,0 , h) - (r cos (p, r sen <p, z ) , 0 < (f) < 2 re
0 < z < h
0 < r < a(l - —) h
. k dm(r cos (p, r sen <p,z-h )d i i -i — - 3
[ r + { h - z y ]
para encontrar la fuerza total gravitacional del cono sobre la partícula de masa
m debernos de integrar.
Í Í K - Í Í'dm(r cos (p, r sen <p, z - h )
F r o t a ! = k p
dv dv [r + ( h - z Y ]
\r cos (p, r sen <p, z - h )r dr d<p dz
JIF'éir [r
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418 Eduardo Espinoza Ramos
2272
es evidente que Fx - Fy - O porque | sen^dí/) = | cos <¡)d<¡> = 0r r:n
, j f d t
dv [r + ( z - h ) ]
Mi= 2knp
M h-z) tga
(z — h)dz rdr
[r2 + (/i - z ) 2 ] 2
f2 n k p I (z — h). --- - -- S —- dzh - z
■2/rkp( 1 - cos á ) z j = - 2 xkrph( 1 - cos a )
Ftotal = -2nkph{ \ - cos a ) w.
Demostrar, que la atracción que ejerce una esfera homogénea sobre un punto material exterior a ella no varia, si toda la masa de la esfera se concentra en su centro.
Desarrollo
d F12kmxm2
12«12
¿ F i 2 =k dm m
r 12r312
_ km M dVd Fn = — — — r 12
r 3 Fr12
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 419
hnM dVV * r?
r 1212
r 1 2 = r2 - 1] = (O, O, z0) - (r sen 9 eos <¡), r sen 9 sen </>, r eos 9)
r 12 'i 22 2 '[r .9^7“^ + (z0 + r cos#)z ]2 , entonces se tiene
I
d FkmM 2r senOdrdOdij)
V[r2sen20 + (r eos 9 — z0)" ]2
(r sen 9 eos c¡), sen 9 sen </>, r eos 9 - z0)
íí.ar
*kmM r2sen O drdOd9(r sen 9 eos <j>s sen 9 sen (j), r eos 0 — z0)V
[r2sen20 + (r eos0 - z0)2]2
i«2/res obvio que Fxlolal= 0 (sen<j)d(¡)
Jo
mlrreos (¡)d<¡) = 0)
Fz totalkmM
V f n^ r2sen 9{r eos 6 - z0 )dr d9d<j)
3“[r2sen29 + (r eos 9 - z 0)2]2
2nkmMV ~ ~
Or"sen 9{ r eos 9 - z 0)d 9-)dr
(r + Zq — 2rz0 eos 9 }~
4 r 2f/rAjtkmM
v J í r 2dr
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420 Eduardo Espinoza Ramos
AirkMm R A ir kMm R
Fzo
F.z total'kMm
■o
además la fuerza entre dos masas puntuales
kMm
'0
.. (a)
( P )
por lo tanto (a ) y (p) son exactamente iguales las expresiones.
7.8. INTEGRALES IMPROPRIAS, DEPENDIENTES DE UN PARÁMETRO. INTEGRALES IMPROPIAS MULTIPLES: . • . ... • ■■ ■ ■ i' ■ ■ ■' ; : • • ;_____;_, m '
Ira. DERIVADA RESPECTO DEL PARÁMETRO.-
Cumpliendo ciertas restricciones que se impone a las funciones f(x,a) y
y a las correspondientes integrales impropias, se verifica la regla de
Leibnis.
f / ( jc, a)dx«X
f a (x,a)dx
2do. INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS.-
a) CASO EN QUE EL RECINTO DE INTEGRACIÓN ES INFINITO.-
Si ia función f(x,y) es continua en un recinto infinito S, se supone.
... ó )
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 421
donde C es un recinto finito, situado totalmente en S, entendiéndose por
C —» S, que ampliamos el recinto C según una ley arbitraria, de manera que en este entre y permanezca en el cualquier punto del recinto S.
Si el segundo miembro tiene limite y éste no depende de la elección que se haga de C, la correspondiente integral impropia recibe el nombre de convergente; en el caso contrario se llama divergente.
Si la función subintegral f(x.y) no es negativa (f(x,y) > 0), para que la
integral impropia sea convergente es necesario y suficiente que exista él limite del segundo miembro de la igualdad (1), aunque sea para un sistema de recintos C que completen el recinto S.
b) CASO DE UNA FUNCIÓN DISCONTINUA
Si la función f(x,y) es continua en todo recinto ceñudo y acotado S. a excepción del punto P(a,b), se supone.
... (2)
donde S£ es el recinto que resulta de excluir del S un recinto interior
pequeño de diámetro r, que contiene al punto P. En el caso de que exista él limite (2) y de que no dependa de la fonna de los recintos interiores pequeños que se excluyan del recinto S, la integral considerada se llama convergente, mientras que en el caso contrario, es divergente.
Si f(x,y) > 0, él limite del segundo miembro de la igualdad (2) no depende de la forma de los recintos internos que se excluyen de S; en particular, en
8calidad de tales recintos pueden tomarse círculos de radio -- con centro
-£m*>
en el punto P.
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422 Eduardo Espinoza Ramos
El concepto de integrales impropias dobles es fácil pasarlo al caso de integrales triples.
2273 Hallar / ' ( j c ) , s í / ( j c )
¡mxjxy
. v
f ( x )
e ^ dy , x > 0
Desarrollo
^ _ ,2 re~A> dy ~~~ I e A> dy + I e xy dy , calculando la derivadar > > + r
Ja Jax va va
f ’(.r) = - e ' ' 3 - j y 1e~xy2 dyJa
UW “00
2274 Demostrar, que la función u - I — — satisface a la ecuación de+ (y - z ) ‘
dzu d 2ulaplace — - + — - = 0
ox" 2Desarrollo
u*« a . .f x x f ( z ) d z du _ r ^
J-x x 2 + ( y - z ) 2 dx J .x
d-'-u „ r ° [ 3 ( y - z ) 2 - x 2) x f { z )_dz(J)
- 2 Í•¿-ocdx2 J-oo [x2 + (>> - z )2 ]3
. F™ ( y - z ) x f ( z ) d z- 2 r
J—ooay JIoo fx2+ (y-z)2r
o 2?/ _ r ” [ 3 ( y - z ) 2 - x 2 ] x / ( z ) < f e
ay2 L íx2 + ( y - z ) 2f
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 423
2275
ahora sumando (1) y (2) se tiene:
d2u 32u _ 2 r [3( y --z)2 - X ]x/(z)<7z | 2
J-Xax ay
p [3 ( j ; ~ z ) 2 ~ x 2 ] x / ( z )^2
J-x [ x 2 + ( y - z ) 2[ x 2 + ( y - z ) 2 ]3 3 - 0
d 2u d2u+
.2 a. .20
a x qy
La transformada de Laplace F(p) para la función f(t) se determina por la
fórmula F(p) = e~pt f ( t ) d t . Hallar F(p) sí
a) f ( t ) - l b) f ( t ) = ea t c) f(t) = sen pt d) f(t) = e o s pt
Desarrollo
a) F ( p ) = T e píf ( t ) d t r -ptdte~pt / * 1— / = (0 -1 ) =p í o p
\_
P
F(P)P
b) F(p) ~ e~p‘f ( t ) d t = f e - p'ea,d t = f e ^ ' d tJO í
/* = () 1 1a - P ¡ o a - p p — a
c) F(p) = jT° e p‘f ( t ) d t = | e pt sen p t d tI_pt - p sen p t - P eos p t V x
0 n~P
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424 Eduardo Espinoza Ramos
2276 Aplicando la fórmula
í x il 1 ln x dx
x" 1 ln x dx n > 0, calcular la integralb n
Desarrollo
u — ln x
dv ■- x>l ]dx
du -dx
xnV
n
í x"”1 ln Jt ífr = ——- / 1 - - f x" ■' ífc = 0 ! !n/ o n J,
í x ! l n x dx =
/?“ n
2277 Aplicando la fórmulab
£ ptdt - - - , p > 0, calcular la integral I r e ptdt P f
D esarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 425
2278
2279
f - pl 2j 2 te~pí / x 1 r - p t j i 2 1 1£ / + — I = —[0-h—(—)]
P P ' 0 P Jb P P P
1
p 3
Utilizando la derivación respecto al parámetro, calcular las siguientes integrales.
f — (a > 0, P > 0)v
Desarrollo
- a x ~ f ix r - a x e* - 6 .e — c h \ e , [ edx - I dx — i dx •••(!)
F(a) F(fi)
F(a) = j — <7x => F ’(a ) = - f e axdx = --—- _> F(a) = - ln a ... (2)Jb x J) a
F(/?) = j f rí> F '(/? ) = - £ e = - 2 => F(P) = - ln p ... (3)
Reemplazando (2), (3) en ( i )
P
I
' _ e - f ix ndx = - ln a + ln /? = ln
x a
- a x - Bxe -e-X
senmxdx (a > 0, P > 0)
Desarrollo
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426 Eduardo Espinoza Ramos
2280
Tí \ ^ SL{sen mx) = ----- arctg —2 m
e ax- e Px k s + a . n s + p .----- sen mxj - (----------------arctg-------) - (-----arctg--------)x 2 m 2 m
e ax- e f3x s + P s + aL{----------------sen(mx)dx) - arctg----------arctg-------
f
x m m
-sx e ax - e Px s + p s + ac .----------------sen( mx)ax - arctg---------- arctg-------m m
f. -s x e ax - e px . ,
lim I e ‘ . sen{mx)dx = hm(arctg----------arctg------- )s->o V x v—>o m m
P aarctg arctg —
m m
farctg a x . — — dxx(l + X )
DesarrollorSea F ( a ) = | arC- ?-a * d x , derivandoA'(l + X )
F'(a) = ídx
(1 + x2 )(1 + a V )
s r ,Ax + B Cx + D 1 r , /F \ a ) = I ( — + ------ •— )<:& = ------- - [arcfg x - a arc/g ax ] /A 1 + x 1 + a x 1-a"
ce
0
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 427
2281
r £ í £ £ 2 £ * = £ i 0„ + a ) 1 *(! + * ) 2
Íl n ( l + a 2 j c 2 ) , . .. .i:-;-:- - dXx 2' i \ - x 2
Desarrollo
v f1 ln(l + a zx2) , , . ,Sea F ( a ) ~ I = = - d x , denvando se tiene:
F \ a ) = - 2 a
i) x 2 yj\
f
.v2
dx
A ( l - a 2x 2) j \ - x 2
- - a Í dx f dx ^ ^ + < 2 ... (1)
(a x -h l ) v l - x 2 J) ( a x - Y ) v l - x 2
— = = = = yja2 -1 ln (a2 + a — 1) ... (2)(ax + l)vl~x2
f = • -- -1 ln(¿z2 - a -1 ) ... (3)J) ( a x - \ ) y j l - x 2
reemplazando (2) y (3) en (1)
F ’(a) = - a l y fa 2 -1 ln(a2 + a -1 ) - \ l a 2 -1 ln(a2 - a -1)]
r~5 “ a + c r - l = - a V a - l l n ( — )2 ia - a - 1
Í 2 2 , ___—— jÜLJL = -1 )
x2V l - . r 2
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430 Eduardo Espinoza Ramos
2287
Seax = reos O v - r sen O
dx dy = r dr d0
Pasando a coordenadas polares se tiene: Mdy 71
/ 2 2 a 2(x + y +a ) 4a
La integral de Euler - Poisson, determinada por la fórmula / f e x dx , se
puede escribir también en la forma I - e v dy multiplicando entre sí estas
fórmulas y pasando después a las coordenadas polares, calcular I.
Desarrollo
íh> , rr
- X " i . I - v ~Ip = | e"x dx = | <T-V dyíy sea I - lim / el valor de la integral
p ~ y og
Luego Ip = I A c/x | e y dy - í íDonde R n es el cuadrado O ABC de lado P
Sea Rx la región del primer cuadrante comprendida por la circunferencia de
radio P, es decir: +>
Y R2 la región del primer cuadrante correspondiente por la circunferencia de
radio yflp , es decir:S S ‘
~( x2 + y 2 )dx d y , luegot
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 431
2288
0 ~(jr +>' ] dxdy < I 2 <I |e _<'" +v' >0 dxdy
R-,
x = r cos 6por medio de coordenadas polares se tiene: <
[y = r sen 0
7T
M
e rdr)dO < / “ < f < r - rdr)dO
dx dy = r dr d0
71 71
l
—r— / rd e < i 1 <2 / o p f - í / . d e
7T
f71 2 JL o 2
o t i 1 - e p— — d o < i 2 < d e
2 p 1 2
—(1 -e p2) < l l < — ( \ - e 2 p ), tomando limite cuando p —> oc se tiene: 4 p 4
lim —(1 -e p ) < \ \ m I 2 < lim — (1 -e ¿p )p—>00 4 p—>00 p—■>00 4
7!T _2 1 1 i r2 ^ rn— < I < — de donde / = — => T
f e x dx —
Calcular j ¿/x j dy | — ----- —Jb Jb «o (x * '+ >y +/ + z 2 +1)2
Desarrollo
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432 Eduardo Espinoza Ramos
22 8 9
Pasando a coordenadas esféricas se tiene:
x = p eos 0 sen § , y = p sen 0 sen , z = p eos (j)
C y C ; r dz f , f & w w1 & 1 ¡ 7 7 7 T 7 7 T ? - 1 < 1 ( 1 ¡ 7 +? +7 7 m d '
f'f'I p s m j ) 7TV dp)d(j))d9 = —(p +1) »
Averiguar si convergen las integrales dobles impropias.
íí 2 o 2 oln(x + y )¿/xc/y, donde S es él circulo x" + y < 1
Desarrollo
Excluimos de S el origen de coordenadas con su entorno de amplitud 8, es
decir examinamos I£ - J ] W x2 + y 2d x d y , donde el recinto que se excluye
sr
es un circulo de radio 8 con centro en el origen de coordenadas, pasando a las coordenadas polares tenemos:
L = JJ"ln \Jx2 + y 2 * dxdy - r \nrdr)dO - J " [ ~ l n r j ^ r d r \ d 6
2 2 ,27r[—— — ln £ — ] de donde 7 = l i m / = - —
4 2 4 £--»o 2
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 433
2290
2291
íí d xdv, donde S es un recinto que se determina por la desigualdad
(*“ + v“ )
x2 + y 2 > 1 (parte exterior del circulo).
Desarrollo
5
fx 1 •2x
—— - / dO - f (0 + — -— ) d 0 cuando 2 a - 2 > 0^ - 2 / i l 2 a - 2
/r<2 - 1
si a > 1
ci\ TCLuego | | — = —— 7 es convergente si a > 1íí
5(x + y ~)■
íídx dv
s S ( x - y ) 2, donde S es un cuadrado | x | < 1, | y | < 1
Desarrollo
Ponemos a la recta y = x con una franja estrecha y supongamos
íídxdy ^=2= = lim
3l\x~ y)2 " : ~ > 0b b
—7—^ — V/ v + lim^ 7 ) 2 í c/y
b Ja+s l j ( x - y)
Los dos limites existe por lo tanto f f dx dv es convergente.
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434 Eduardo Espinoza Ramos
2292 ííí; dx dy dz . . — , donde V es un recinto, que se determina por la
(x + y~ + z “)v
2 . 2 2desigualdad + y + z“ > 1 (parte exterior de la esfera)
Desarrollo
Pasando a coordenadas esféricas se tiene:
x = p cos 0 sen (j) , y = p sen 0 sen <\> , z = p cos <|>
v
J) I ( 2 a - 3 ) p i
f ‘í sen(f> d(p)dO si 2 a - 3 > 02 a - 3
f^n — COS (f) /2 a - 3 I
71dO
l a - 3 / o
3 2 3si a > — = ----------- 2 n si a > —
2 2 a - 3 2
JJJi« . . dxdydz 4;r 3
L“'8° 11'(T T T T T f ° " 2 ^ 3 s' a > I
3Por lo tanto es convergente si a > —
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integrales Múltiples y Curvilíneas 435
7.9. INTEGRALES CURVILÍNEAS.^
Ira. INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.-
Sea f(x,y) una función continua e y = cp(x), a < x < b, la ecuación de una
curva plana determinada C. Marcamos un sistema de puntos M¡ (x¡, y ;) (i =
0,l,2,3...,n), que dividen a la curva C en arcos elementales M¡_XM¡ =A Si y, -i ■ >' .. ' '■ '• ■ ' ■); 1 8 ' ■ • ; , ' , ‘ r r ? H / ■ ( ,■ '
formamos la suma integral.
S/7 = ^ f(x¡ ;yi )ASi . El limite de esta suma, cuando n —» oo y —> 0/-i
recibe el nombre de integral curvilínea de primer tipo.
(dS es la diferencial del arco) y se calcula por la fórmula
f f {x , y)dS f 7 ( „ ( WJa
1 + (p w (x) dx
En el caso de que la curva C esté dada en forma paramétrica x = cp(t), y = \j/(t),• 1 . i
(a < t < p) tenemos
Se considera también las integrales curvilíneas de primer tipo de funciones de tres variables f(x,y,z), tomadas sobre una curva en el espacio, que se calculan
* , ■ í • < '■» •' i ' 1 ' -':'h ' •" Í,V|análogamente.
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436 Eduardo Espinoza Ramos
La integral curvilínea de primer tipo no depende del sentido del camino de integración. Si la función sub integral f se inteipreta como la densidad lineal de la curva de integración C esta integral representará de por si la masa de curva C.
2do. INTEGRALES CURVILÍNEAS DE SEGUNDO TIPO.-
Si P(x,y) y Q(x,y) son funciones continuas e y = (p(x) es una curva plana C, que se recorre al variar x desde a hasta b, la correspondiente integral curvilínea de segundo tipo se expresa de la forma siguiente:
En el caso más general, cuando la curva C se da en la forma paramétrica
x = cp(t), y = \|/(t), donde t varia de a hasta p, tenemos:
Fórmulas análogas son validas para la integral curvilínea de segundo tipo tomada sobre una curva en el espacio.
3er. CASO DE INTEGRAL EXACTA.-• > i 1
Si la expresión subintegral de la integral curvilínea de segundo tipo es la diferencial exacta de una función uniforme determinada U = u(x,y), es decir:
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = du(x,y) esta integral curvilínea no depende del camino de integración y se cumple la fórmula de Newton - Leibniz.
... (1)
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 437
donde (jq,y ]) es le punto inicial y (x2, y 2) , el punto final del camino. En
particular, si el contorno de integración C es cerrado se tiene:
P(x, y)dx + Q{x, y)dy = 03 ■ >'•* ''4' .V ■
¿ ■'V / '<5 ‘
... (2)
Si, 1) el contorno de integración C está comprendido totalmente en un determinado recinto simplemente conexo S y 2) las funciones P(x,y) y Q(x,y) junto con sus derivadas parciales de 1er orden, son continuas en el recinto S, la condición necesaria y suficiente para la existencia de la función u es que se verifique idénticamente en todo el recinto S la igualdad .
... (3)
Si no se cumple la condición (1) y (2), la subsistencia de la condición (3) no garantiza a la existencia de la función uniforme u y las fórmulas (1) y (2) pueden resultar ser erróneas.
Señalemos un procedimiento para hallar la función u(x,y) por medio de su diferencial exacta, basado en el empleo de las integrales curvilíneas.
4to. FÓRMULAS DE GREEN PARA EL PLANO.-
© Si C es la frontera del recinto S y las funciones P(x,y) y Q(x,y) son continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden, en el recinto cerrado S + C. Se verifica la fórmula de Green.
donde el sentido del recorrido del contorno C se eligen de forma que el
recinto S queda a la izquierda.
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438 Eduardo Espinoza Ramos
Sto. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CURVILÍNEAS.-
El área limitada por un contomo cerrado C, es igual a:
y d x = Q xdy C 1* C
(el sentido del recorrido del contorno debe elegirse contrario al movimiento de las agujas del reloj).
Mas útil para las aplicaciones en la siguiente fórmula.
El trabajo de una fuerza, cuyas proyecciones sean X = x(x,y,z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) (o correspondientemente, el trabajo de un
• »; • í , 1 ' f.„ , '• • • • i •• ' ! .campo de fuerzas) a lo largo del camino de C, se expresa por la integral.
.
A ■ r . fxdx -\- y d y + , zdzr
• .y\, r: . : . .
— 4----------
Si la fuerza tiene potencial, es decir, si existe una función U = u(x,y,z)• í* ■ ; •; ‘ ’ ' ([ / ’ ' ;(• í í ' / "• . y y . . .*»
(función potencial o de fuerza) tal que: 4 “ - x , ~~ = y , — = zdx dy dz
El trabajo independientemente de la forma del camino C, es igual a:
f;[x2, y2',z2 ) Á x 2,y2, z2 )
A - I ; xdx + y d y + z d z - I du = u(x2, y 2 z 2 ) ~ u(x\ y\->z \)
donde (xl , y l , zx) es el punto inicial y (x2, y 2, z 2 ) punto final decamino.
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 439
A)
2293
INTEGRALES CURVILINEAS DE PRIMER TIPO.-
Calcular las siguientes integrales curvilíneas.
í xy dS , donde C es el contorno del cuadrado | x | + | y | = a, a > 0
a x (t) = ( a - a t , a t ) , 0 < t < 1
(0 = ( -a t , a - a t ) , 0 < t < 1
a 3 ( t ) = ( -a 4- at , -a t ) , 0 < t < 1
# 4 (0 = (at, - a + at) , 0 < t < 1
a 2\ t ) = ( - a , -a ) => | a 2'(01 =
a 3’( 0 = ( « , - a ) = > | « 3' ( 0 | = V 2 a
a 4f(OI=>/20
I x y d S = ^ x y d S + | xydS 4- | x y d S 4- | x y dSí i . í .
(a - at)aty¡2a dt 4- - at)\Í2a dt 4-
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440 Eduardo Espinoza Ramos
2294
+ - a t ( - a + at)\¡2a dt + at( -a + at)\Í2a dt
f xydS = a ^ ¿ - i / 1 + V2a3( 4 + T > / 1 +Jc 2 3 / 0 2 3 / o
¿2 .3 i ,2 .3 i+V2a3( y - ^ - ) / + a i 4 2 { - — + —) /
2 3 / o 2 3 / o
£ ,2 .3 .2 ,3 .2 ,3 ,2 ,3 i;t}>¿S = V2a3[-— -— — + — + -— -—
3 3 2 3 2 2 2 3 / o
= 7 2 a \ t 2 - t 2 + P - t 2) ^ = 0
í s]x2 + y 2 + 4
0(0 ,0) y A( 1,2).
^ , donde C es un segmento de recta que une entre si los puntos
Desarrollo
Sea a(t) = (t,2t) => &X0 = (U2) => | a \ t ) | = y¡5
a(a) = (a,2a) = (0,0) => a = 0
a(b) = (b,2b) = (1,2) => b = 1
f _.r= ( - — ¿ £ = = f1 f ^ dt = ln 1 -Jst + yjst2 +4 | /Jc yjx2 + y 1 + 4 J) V/2 + 4¿2 + 4 i) v 5 ^ + 4 o
/? ^= ln | V? + 3 1 - ln 10 + 2 1= ln| — —
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 441
2295i
2296
í2 2
X Vxy d S , donde C es el cuadrante de la elipse — + — = 1, situado en el
cr b
primer cuadrante.Desarrollo
Sea a(t) = (a eos t, b sen t) => a \ t ) - { -a sen t , b eos t)
¡ a ’(t) |= Va2sen21 + b2 eos2 1
T í
f xy dS — J^2 a cr 2 / 7 o 9 7a eost.bsen tsla~sen~t + b~ cos“ t dt
abi
2 (a2 - b 2)2(¿r - b~)eost sent(a sen~t + b~ eos" í )2¿/í
‘ 3ab 2 i ? ,2 2 \3 / ^ — .—(a sen t + b eos t y
2{a2 - b 2) 3. / o
3 -) oab r/ o .r ab (a ~ -b ) ab(a~ +ab + b )
3 “ [(<*“) “ (*“) “ ] = .— 1~— “T~ = ¡T---------3 (a~—b~) 3 (a“ —b~) 3(a + b)
í
, donde C es el primer arco de la cicloide x = a(t sen t),
y = a(l - eos t).Desarrollo
Sea a(t) = (a(t - sen t), a(l - eos t» , 0 < t < —2
a \ t ) = (a(l - c o s í ) ,asent) => | ar'(/) | = V2«Vl - eos/
/T n
^ y 2dS = ¿ r( l - c o s í ) 2 V2<Wl - c o s í dt = \Í2a} Asen4 — .yflsen — dt
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442 Eduardo Espinoza Ramos
2297
2298
K
j V í / S = 8a3 J p .2 / \2 *(1 -cos —Y sen —dt 2 2
re
= 8<z3 | (1 - 2 eos2 — + cos4 — )sen—dt2 2 2
O 3/ o / 4 3 ¿ 2 5 Y / 2 ^ 5 6 3= 8¿z (-2 eos — + —e o s eos2 3 2 5 2 / o 15
x 2 + y 2 ¿/S, donde C es el arco de la envolvente de la circunferencia
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t, at sent) (0 < t < 2n)
Desarrollo
a(t) = (a(cos t + 1 sen t), a(sen t - 1 eos t)) => a '(í) = (at eos t, at sen t)
dS =| a \ t ) \dt = sja212 eos2 t + a 2t2sen2t = at dt
yjx2 + y 2 dS = yja2 (eos t + t sen t)2 + a 2 {sen t - t eos t)2at dt
f
re _______ 2 3 2K 2 3V Í + 7 íA = y ( l + r ) 2 j = ^ _ [ (1 + 4^2 )2 _ 1]
(x2 + y 2 )2 dS , donde C es el arco de la espiral logarítmica r - aem(p
(m > 0) desde el punto A(0,a) hasta el punto O(-ao,0).
Desarrollo
í
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 443
x = r cos cp , y = r sen cp
x - aem(p cos cp
y — aem<p sen cp
Sea a((p) = (aem(p coscp,aem(p sen<p) , oc < cp < com(p
a '(<p) = aem(p (m cos (p - sen (p, m sen (p + eos cp)
a'icp) |= aenétp V mü + 1r
íO „ 9
I V + V- )-
T,(a 5 yjnT +1 5m?1 / 0 __ a3\Jm~ + 1
5/w —00O
í9 9,9 a5 Vw +1(x + y ) dS ~
5m
í2299 I {x-í- y )(IS , donde C es el lazo derecho de la lemniscata r'
Desarrollo
x = r cos <£>
y = r sen (p
x - ciyfcos2(p cos (p
y - dyfcoslcp sencp
Sea a((p) = ( a j eos 2<p cos (p, a j cos 2^ sew #>)
e5m<p d(p■oo
= a 2 cos 2(¿9
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444f i, ; , _ ____ . ' ' . . ; r ..Eduardo Espinoza Ramos
2230
„ , . senZcp eos3(p xa\<p) = a(— --------- ,—= = £ = )ylcos2(p y eos 2(p
a \ 6 )| = a 1 a^/cos2~cp -Jcoslp
71
| ( x + >’)J5 '= I (aJeo s 2<p eos (p + aJeos l(p sentp) — d (pJb ' J - Í ^cosltp
K K- a 2 (eos <p + sen (p)d(p = a 2 (sert (p - eos #>) j
l u 4 l J 2 . , 2 rz= a~[(------------ ) - ( ---------------)] = a V2
2 2 2 2
4TC
~ 4
f 3 /2 3I (x + z)¿/S , donde C es un arco de la curva x = t, y = - 7= , z - V , 0 < t < 1
Jb V 2Desarrollo
3¿2Sea a ( 0 = , 0 < t < 1
V2
a '( í) = (l,3V2í,3í2) => |a '( 0 |= V T + 1 8 r + 9 /4
f ( x + z )í/5 = jf <7 + /3 ) ^ + 18/2 + 9 t4dt = ~ ( \ + m 2 + 9 t4)2 ^
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 445
2301 ídS
2 ? 2 x + y~ + z, donde C es la primera espira de la hélice circular x
z = a sen t, z = btDesarrollo
Sea a(t) = (a cos t, a sen t, bt), 0 < t < 2n
a \ t ) = ( -a sen t, a cos t,b) => | a \ t ) ^fa2 + b2
1
dS2 , 2 , 2 x + y + z f yja2 + b2dt \¡a2 +Í)2 bt ,2k
a 2 W t 2
DI /arete— /
ab a / o
V#2 +/?2ab
arctg2xb
a
2302 V o o 2 2 2 ^2y “ + z c/S , donde C es el circulo x + y + z - ¿T , y = x
Desarrollo
C :V = -V
paramétrizando la curva se tiene:
a cos t a cos tx = — , z = a sen t, y = 75
, a cosí a cos t ,Sea a ( í) = (— 7=r - , — , asent )75 ’ 75
= a cos t,
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446 Eduardo Espinoza Ramos
2303
2304
3 2Hallar el área de la superficie lateral del cilindro parabólico y = — x , limitado8
por los planos z = 0, x = 0, z = x, y = 6.
Desarrollo
El área de la superficie lateral del cilindro que tiene la generatriz paralela al eje OZ, cuya base es el cilindro de integración y las alturas iguales a los valores de
la función subintegral, por esto S = donde C es el arco O A de la
3x2parábola y = ----- que une los puntos (0,0), (4,6).
8
312Sea a(t) = (t,— ) , 0 < t < 4
8
3 ........................ 1 9 12
o f L 912 , 4 912 ~ ; 4 1 6 rzz 1NS — I x d S — a I h 1 dt —— (1H ) / —— (37V37—1)Je Jb V 4 27 4 / o 27
Hallar la longitud del arco de hélice cónica x = aet cost , y = a e s e n t ,
z ^ a e *, desde el punto 0(0,0,0) hasta el punto A(a,0,a).
Desarrollo
Sea a(t) = (aef eos t, ae*sen t^ae*)
a( tx) = (aet] eos tx, aetx sen tx, aet]) = (0,0,0) => tx —> oo
a ( í2) = (ae*2 eos/2, a e 2sent2, ) = (a,0 ,a) =í> t2 = 0
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 447
2305
2306
a \ t ) = ae*(e o s /- se n t , se n t + cosí, 1) => | a \ t ) |= aefV3
L - j^ | a'(t) \dt = j*0 ayfíe* dt - a\¡3et j — ay¡3 L — ay¡3
i iX~ y
Determinar la masa del contorno de la elipse — + •- = 1 , si su densidad lineala b
en cada punto M(x,y) es igual | y
Desarrollo
M [ p ( x , y)dS donde p(x,y) = | y
2 2c - — + Z _ = i 2 . 2 a b
paramétrizando la curva x = a c o s í, y = b sen t
Sea a(t) = (a eos t, b sen t)
a ' = ( - a sen t , b eos t ) a \ t ) r 2 1 i 2\¡a sen t + b~ eos t
I' rM = I \ y \ d S = | b eos t v eos2
¡O. a b= (b + ——v— aresenia ^ b - a
Hallar la masa de la primera espira de la hélice circular x = a eos t, y = a sen t, z = bt, si la densidad en cada punto es igual al radio vector del mismo.
Desarrollo— — .— » m m » m m i u n a » * .* -»
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448 Eduardo Espinoza Ramos
2307
M = I p (x ,y , z )d S donde p (x ,y , z ) = yjx2 + y 2 + z 2
M = y[x2 + v2 + z 2 dS y C: a(t) = (a cos t, a sen t, bt)
a'(t) = ( -a sen t ía cost,b) => | a \ t ) |= y¡a2 + b 2
M = yja2 + b 2t2 yja2 + b2dt = yja2 + b 2 y]a2 +(bt)2dt
V# vbt í~ 2 , 2 2 i ir / 2 j 2 2 n ¡ 2n—------------ [— yj ci + b t H ln|¿>/-+-\£Z -\-b t | ] /h 2 2 / o
/ - —
= [2 ;rW a2 + 4 ¿> V + a 2 ln | 2jtb + Va2 + 4 ¿ V | - a 2 ln a]2b
/ 2 Tlr n ,,.2 2 a 2 , , 2bx + ']a2 + 4¿>2;r2 n= Va + 6 [W a + 46z;r + — ln | --------------------------- 1]2/? a
Determinar las coordenadas del centro de gravedad del semi arco de la cicloide
x = a(t - sen t), y = a( 1 - cos t), 0 < t < 27t
Desarrollo
Sea a(t) = (a(t - sen t), a(l - cos t)) de donde
a \ t ) = (a(l - cos t \ a sen t ) => | a \ t ) |= a 4 2 ^ \ - eos/ - 2a sen —2*
M - | a \ t ) \ d t - 2a sen-^dt = - A a c o s ^ j - 4 a
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integrales Múltiples y Curvilíneas 449
2308
2309
x —
í a(t - sen t)2a sen — dt 2__
M4 a
y [
a( \ - eos t)2a sen — dt2 4 a
M 3
4 ci 4 aLuego las coordenadas son (— .—-)
3 3
Hallar el momento de inercia con respecto al eje OZ, de la primera espira de la hélice circular x a eos t, y = a sen t, z = bt.
D esarrollo
Sea a(t) - (a eos t, a sen t, bt)
/ pa \ t ) - (-a sen i , eos/ ,b ) | a '(/) ¡ = v a" + h
•2/TI a a 1/ . - Jj (.v2 4- y 2 )/?(.v, y ,z)dS = i (¿T eos" t + a 2sen"i )Ja~ 4- h"'dt
L J)
2 /7 ' > f~ ~> 7 "> j ) _ nü~sja~ 4- b " dt ~ 271 a~ Vu" 4 />"
•o
¿Con qué fuerza influye la masa M, distribuida con densidad constante por la
circunferencia jr“ + y = éC , z = 0, sobre la masa m, situada en el punto
A(0,0,b)?D esarrollo
Sea U(x,y,z) = u función potencial de la ñierza además
. du du duF = I xdx + y d y + zd% donde se tiene: x = — , V = — , z
í dx ' dy dz.
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450 Eduardo Espinoza Ramos
Luego F - I x dx + y dy + zdz =y¡(a2 + 62)3
donde X = x(x,y.z), Y = y(x,y,z), Z = z(x,y,z) son las proyecciones correspondientes al trabajo de campo de fuerza.
R) IN T E G R A L E S C U R V IL ÍN E A S D E S E G U N D O T IP O .-
Calcular las siguientes integrales curvilíneas.
2310 I ( a " - 2xy)dx + (2xy + y ¿ )dv , donde AB es el arco de la parábola y - a 'J a b
que van desde el punto A(1,1) hasta respecto B(2,4).
D esarro llo
Sea a(x) - (x, x2) , 1 < x < 2
Í ( a 2 - 2xy)dx + (2x>’ + v2 )dy = t [ ( x 2 - 2x~) f (2x3 + x 4 )2x]dx
r 3 4 ^ 5 6 ?x x 4x x(x2 - 2x3 + 4 x 4 + 2x5 )r/x = (--------- + — + — ) /
3 2 2 3 /
8 , 128 64 1 1 4 1= ( — 8 + ------- + — - ( -------- + - + - )
3 5 3 3 2 5 3
70 . 124 1 1219 i n 19 8 + ----- + - = ------ = 40—3 5 2 30 30
2311 I (2a - y)dx + x dy , donde C es el primer arco de la cicloide x - a(t - sen t),íy = a(l - eos t) recorrido en el sentido del crecimiento del parámetro t.
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2312
D esarrollo
íK
7
[(a + a cos/)&(l - eos t) + a~(t - sent)sen t]dt
a f [(1 - cos“ t) + t sen i - sen~t]dt = a" I t sen t dtr/ Ln 2
= a~{sent - / e o s / ) / = ¿ r ( 0 - 2 ; r - 0) = -2cCn/ o
í 2 x y d x ~ x 2d } \ tomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten
del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A (2 ,l).
a) Sobre la recta OmA.
b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY.
c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX.
d) Sobre línea quebrada OBA.
e) Sobre la línea quebrada OC A.
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452 Eduardo Espinoza Ramos.... " t
2313
a) Sea cx(t) = (2t,t), O < t < 1
j 2 x y d x - x 2dy = j [ 4 r .2 - 4 t 2]dt = \ ( S t 2 - 4 t 2)dt= f 4t2dtJoa Jo Jo Jo
4t3 /> _ 4T / o’ 3
b) a(t) = (í, — ), 0 < t < 24
I"7
2 x y d x - x dy = —)c/r = 0 2
c) a ( í ) = ( y , í ) , 0 < t < 1
L 2 x y d x - x20 / o 20
L 2xy dx + x 2dv en las mismas condiciones del problema 2312 ■
Desarrollo
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2312
D esarrollo
r [(a + a eos t)a(\ - eos /) + a~ (t - sen t. )sen t]dt
r
n
~) i t 'ya ' I [(1 - cos~ t) + t sen t - sen~t\dt = a~ I / sen / difa (sent - t eos:os t ) / ~ T
/ o= a~( 0 - 2 7T - 0) = ~2cr K
\JOA
2.vi' dx — x~dy , lomándola a lo largo de las diferentes caminos, que parten
del origen del coordenadas 0(0,0) y que finaliza en el punto A (2 ,l).
a) Sobre la recta OmA.
b) Sobre la parábola OnA, cuyo eje de simetría es el eje OY.
c) Sobre la parábola OpA, cuyo eje de simetría es el eje OX.
d) Sobre línea quebrada OBA.
e) Sobre la línea quebrada OCA.
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452 Eduardo Espinoza Ramos
2313
a) Sea a(t) = (2t,t), O < t < 1
í 2 x y d x - x 2dy - í [ 4 / 2.2 - 4 t 2]dt = fJoa Jo Jo
(8¿2 - 4 t 2)dt = I 4tLdt
41 / l 43 / 0 3
í
I Í 4 - 12xy dx - x zdy = | (— - f —)dt - 0
c) a(t) = (— ,í) , 0 < t < l<2
2x y d x - x 2dy= (/3i 3o 20
i. I x y d x + x dy en las mismas condiciones del problema 2312
Desarrollo
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2314
2315
t2b) Sea a(t) = (t,—), 0 < t < 2
4
2xy dx + x 2 dy = ( ~ 4- ~ ~ )d t — tJdt - 4
en todas las demás caso también da 4
(x -f y)dx — (x — y)dv . , ? o ?_— _— _— -----— -- , tomando a lo largo de la circunferencia 4- v" - a
x 4- yen sentido contrario de las agujas del reloj.
D esarrollo
Sea a(t) = (a eos t, a sen t), 0 < t < 2rc
J (x 4- y )dx - (x - y)dy | a(sen t 4- eos t )(-« se/; /) - a (eos t - sen t)ci eos t
J „y2 4- v2 Jb a1 eos" t y a 2sen21
í•'\r '> / 2 7 \¿7" (-sen í - sen t eos t + sen t eos t - eos" t ) _
-dt2
a
Í 7 \ ■ ■ / ¿X( - s e n 7 - eos" t)dt = —r / -2/r
o
y 2dx 4 v2c/v , donde C es la mitad superior de la elipse x=a eos t y=b sen t,
que sigue en el sentido de las agujas del reloj.
D esarrollo
Sea a(t) = (a eos t, b sen t) de donde
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454 Eduardo Espinoza Ramos
2316
¡*71
7 3 9 3( - ab sen t + a~b cos t)dt
íVJZ\—ab2 (1 — eos2 t)sent + a2b{\ - sen21) cos t]dt
9 , eos3 9, • ser? t _ /°= \-ab~ ( - cos t A---------) + a~b(sen t . » ) /
7T
[-ab2( - \ + i ) + a2b( 0 - 0)] - [-a/>2 (1 - 1)]
J
? 2 la b 2 lab2 la b 2 4 2= - a b - ( - - ) - ( -----— = — — A-— — = - a b z
3 3 3 3 3
cos y dx - sen x dy , tomándola a lo largo de segmento AB de la directriz
del segundo ángulo coordenado, sí la abscisa del punto A es igual a 2 y la ordenada del punto B igual a 2.
D esarro llo
Sea a(t) = (-t,t), -2 < t < 2
IJABcos y dx - s e n x dy
XJE
t
( - cos t - sen(-t))dt
( - cos t + sen t)dt
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2317
2318
/2- { - s e n i - eost) j — ( - sen2 - e o s 2 ) - (-sen{-2) - cos{-2))
= (- sen 2 - eos 2) - (sen 2 - eos 2) = -2 sen 2
—íf W ? donde C es el lazo derecho de la lemniscata c x “ + y
r = a eos2<p, que sigue en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
D esarro llo
r 2 = a 2 eos 2(p
r = ay]eos 2 cp
x = r eos cp acospyjeos 2 >
v = r sen cp - a sen cpyjeos 2(p
^ x v ( v d x - x d y ) _ (*4
> ' .v2 - , ’ “ = J
4 ¿/“xen 9 eos <p eos 2 >( - a cp sen 3cp-a eos (p eos 2<p)n4
2 2 . 2 2 ¿/ eos 2(p eos cp + a eos 2cp sen (pd(p
j3 | 4 sen cp eos cp{sen (p senicp + eos (peos2(p)
í
d(pa
a 42 J 5
sen 2(p eos 4<p dcp — 0impar
Calcular las integrales curvilíneas de las expresiones diferenciales exactas
siguientes.
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456 Eduardo Espinoza Ramos
í
;2,3)a) | x dy + v dx
1,2)
D esarrollo
*2 ,3 ) -(2,3) (23)| a* dy + y dx = I d ( a , y ) ~ xy / = 6 - ( - 2 ) = 8
4 -1 ,2 ) 4 - K 2 ) ' (~L2 >
í3,4)
b) | a dy + y dx (0 , 1)
D esarro llo
I
I
3,4) v2 + y2 /<3'4) 25 1xdy + ydx= / = - - - = 12
(0,1) 2 2
i , i )
c) I (a -f y)(dx + dy)(0,0)
D esarrollo
f (1J) f 0 '0 Í A + V ) 2 /I ( a + y)(dx + ¿ /y ) = I (.x- -i- v ) í / ( a + y ) = - — -— /
4 o,0) 4 0,0) 2u+,y ,<'-»=2_0=2
(0,0)
Í 2,l)
2
.2)
2j) dd) | 2 _ _ ( p 0r U11 camino que no corte al eje OX)
D esarro llo
f* ~ ’ 1 } y dx - x dy _ f*2J \ x _ a /
4i,2) • y" 4i,2) y y '(2’i) = 2 _ J _ == 3
y / 0,2) 2 2
■v,3) dx + dy ^e) I ^p0r un camino que no corte a la recta x + y = 0)
í L,i) x + y9 9
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2319
íD esarro llo
x'y ) dx + dy - ln(x + y)
2 2
íÍ-A’2 vv2 )
f) | (p(x)dx + y/(y)dyA , , V, )
D esarrollo
Í (a2,V2 ) py 2cp(x)dx + i//(y)dy = I <p(x)dx + I if/(y)dy
V,, v , ) J x l J y ¡
Hallar las funciones primitivas de las expresiones subintegrales y calcular las
siguientes integrales.
f;3,o)
a) | (x 4 + 4 x y 3)dx + (6 x 2y 2 —5y4)dy2 - 1)
D esarrollo
dP 2 P(x, y) = x4 + 4xv3 cyQ{x,y) = 6x2y 2 - 5 y 4 oQ = 2
dx
dP dOcomo — = — es exacta => 3 f(x,y)dy dx
ta lq u e m h A =P(, , y) y s « i z ) . e ( I O ,)dx dy
— 1—— = P (x , y) = x 4 + 4xy3 integrandodx
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458 Eduardo Espinoza Ramos
v ? ,
f ( x , y) = |( x + 4 xy)dx + g(y) = h 2x 2>'2 + g(y) derivando
Cf(x,y) s 2 2 ií \ n / ¿ 2 2 c 4— = 6* y +g (y) = Q(x, y - 5 ydy
g \ y ) = - 5 y 4 => g(v) = - /
f ( x , y ) = - r + - y 5
Í 3,0) ¿3,0)(x4 + 4 xy3 )dx + (6.v2 v2 - 5 )dy = I df(x, y )
-2 , - 1) 4 - 2 - 1)
/ (3.0) 243 32= f(x, y) = y (3 ,0 ) — / ’(—2, — 1) = ( — ) - ( - — - 8 + l) = 62
/ 1-2,-D 3 5
4o
;u)b) I ( - ¡ ' V , +y)dy + ( J = = = + X)dy
:o,0) yjx~ + y " \¡x~+y
D esarro llo
Y " i ?
(—===== 4- y)dx + -...■'~ 4- „y )¿/v =/ 2 7 1 ”> yjx +y~ yjjir+y
xdx vdy , , xdx+ vdy . .h— p = ^ = - 4- y 4- x dv — — ............... • + y dx 4- x dy
V ~> ~> I 7 T ■ ' ' I 1 1x + v" yjx 4- y \jx 4- y~
d x 4- y 2 ) 4- d(xy) = d(yjx2 + y 2 +xy)
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 459
2320
2321
( i , i )
(J x 4- v~ 4- xv) / —- V2 4- 1/ (0,0)
Calcular la integralx dx 4- vdv!]
, tomándola en el sentido de las agujas del•r ^ 1 + v" + v“
reloj; a lo largo del cuarto de la elipse
primer cuadrante.
D esarrollo
"» 2 X " V’
2 + 7 7a b1, que se encuentra en el
íx dx 4- v dv
V
K04)
4«-0)d(\¡ 1 + a'" 4- y ~ )
Xr X 3 , ( 0 4 )
= 4 1 + X 4- V // (u.0)
— V 1 4 /?” - 1 4 Cí
Demostrar, que si f(u) es una función continua y C es un contorno cerrado
“regular a trozos'1, la f ( x 2 + y 2 )(x dx + y dy) — 0
'■ ' ' 1 i '< ■ ■ . ■ ■■ ■ V'
D esarrollo
o ? ? du . jSea u ~ x~ + v“ — = x ax 4- y dy
2
c ji /( .V 2 + .V2 )(-vdx + ydy)=-^ | / ( « )du = 0I í
' i/ (x2 4- y 2 )(x í/x 4- y dy) = 0
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460 Eduardo Espinoza Ramos
2322 Hallar la función primitiva u, sí:
a) du = (2x + 3y)dx + (3x - 4y)dy
D esarrollo
Sea \ p 2x + 3 y
| Q = 3.v - 4 v=>
dPcydQdx
= 3
= 3
- d P d O _ .Como — = — - es exacta => d u tai quecy ex
duex
P - 2x + 3y , integrando u = | (2x + 3y)dx + g ( y )
7
u ~ x“ + 3xv + g (y ) , derivando respecto a y
ducy
- 3x + g \ y ) = Q = 3x - 4 v
g \ y ) = - 4 y g (y ) = -2y~ 2 -> 2 u - x + 3xv - 2 v. / • /
7 7 7 7b) du - (3x“ - 2xy + y~ )dx - (x“ - 2xy + 3 y“ )dy
D esarro llo
du_ , U l l . C U . C U _ 1 _ 7 ,Como du - — r/x + ■— c/v entonces — - 3x“ - 2xv + y" , integrando*7 -sex qy <7X
f= I (3 jf - 2xy + )dx + g(>’)
u 2 = x - x~y + xv + g ( y ) , derivando respecto a y
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integrales Múltiples y Curvilíneas 461
— = -V- + 2xy + g '(>•) = -(.v2 - 2 xy + 3.V )cv
g '(y) = - 3 y" => g(y) = - v" u - a ' - a " y + a;v" -- v*
, dx dvc) du vx -i- v x 4- y
Desarrollo
. dx dy dx + dv d ( x + y ) ju --------- i-----:— — — —------------ -—
X -r V A* -r V A' 4 V X 4 V
. d (A' 4- V ) ¡ I I I Ilt - i—. in | a' 4 y u = ln x - yf A" 4 V
Calcular las siguientes integrales curvilíneas, tomadas a lo largo de curvas en el1
espacio.
2323 I (y - z)dx 4 (z - x)dy 4- ( a* - v)dz , donde C es una espira de la hélice circularíx - a eos t, y = a sen t, z = bt, correspondiente a la variación del parámetro t
desde 0 hasta 2 ti./■ t .
Desarrollo
& Jt
I ( v -- z)dx 4- (z - x)dy + (a* — y)dz = I [{a sen t - bt)(- a sen t ) 4
af
+(bt - a eos t )a eos t + (aeost - a sen t)b]dt
>2 K9 9( - asen~t 4 bt sen t + bt eos t - a c o s “ t 4 b eos t - b sen t]dt
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462 Eduardo Espinoza Ramos
f 'a I i~a + b(t - \ ) s e n t 4- b(t + 1)eost]dt
= a[-at 4- b (- t eos 14-2 sen t + t sen 14-2 eos t)] J
= a[(-2aji; - 2b7i 4- 2b) - (2b)] = -2a7c(a + b)
l n
0
2324 donde C « 1. d r c u n íé r e n d , x - R c o s a c o s , .
y = R eos a sen t, z = R sen a (a = constante) recorriendo en el sentido del crecimiento del parámetro.
D esarrollo
C^y dx 4- z dy + xd z - [/? eos a sen t ( - R eos a sen t ) +
4-R sen a R eos a eos t + R eos a eos t.0]dt
Á ln
f [- /?7 eos2 a s e n 2t 4- R 2sen a eos a eos t]dt
L eos2 o r(l-co s2 r)R I [-------------------------- (- sen a coser eos t]dtf
O Oeos" a eos a s e n l t _ / 2yT ->- ----- n ------------------- y sena cosa sent] / = - a eos" a.ir
2 4 / o
12325 I xydx+ vzdy + zx d z , donde OA es el arco de la circunferencia14
~) 0 9x" 4- y" 4- z = 2 R x , z = x, situado por el lado del plano XOZ, donde y > 0.
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 463
2326
9 9z = x => 2x + y = 2Rx , paramétrizando
2 „ y2 n , V 2 f l 2x -/JxH = 0 => (x ) +2 2 2 4
j ^ R R s¡2R tdonde x - — i— eos t, y = sen t2 2 2
, R R ' J l R Rsera a(t) = (— I— eos t ,-----Rsent, — + — eo s/), 0 < t < —
2 2 2 2 2 2
7T
xy dx + yz dy + zx dz = [(—R R , V2 n R
+ — eos t ) ----- R sen t(---- sen t) +2 2 2
sÍ2 n ,R R , 42 n R R ^ RR sen t(— + — eos t) R eos t + (— + — eos t y ( sen t)\dt
n
2 2 2 2 2 2 , 2
f f c f í - 1 ^
[------- /?3 (1 + eos t)-sen21 + — (1 + eos t )sen t eos t -(1 + eos t)2 sen
8 4 8
= {l z A - J L y/2)R324 32
Calcular las integrales curvilíneas de las diferenciales exactas siguientes:
£16,4,8)
a) | x dx + y dy - zd z1,0-3)
Desarrollo
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464 Eduardo Espinoza Ramos
c)
d)
X “ 4- V 2 — Z 2 y ( M , 8 ) J L / = —[(36+ 16-64)-(1 + 0 -9 )] = -2
2 / (i,o,-3) 2
£+ Ac)
b) | yzdx + zx dy + xy dz; u , n
D esarro llo
Í{a,b,c) Ma,b, c)
yz dx + zxdy-\- xy dz - I d(xyz) = xyz /
i,u) 4 i,i,d
i
(a%b,c)
( 1, 1, 1 )
3’4,5 xdx + y dy + zdz
o,o,0) a/x +
D esarro llo
fM'5)fga»±£jU f3A5,rf( 7777)+.o,o) y¡x2+ y 2 + z 2 Jo.o.o)
4 x 2 +y 2 +z 2 ñ A'S) = 5 A/ (0 ,0 ,0 )
£* ,J \— )vv yzdx +zxdy + xydz
1,1,1)
D esarro llo
= ln (A ;v z ) /, 1 , r( * ,y ,— )
^ = ln 1 - ln 1 = 0(i.i.O
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 465
C )
2327
2328
F O R M U L A D E G R E E N .-
Valiéndose de la fórmula de Green, transformar la integral curvilínea
I = Q V* 2 + y 2 dx + y[xy + ln(x + yjx2 + y 2 )]dy , donde el contorno C limita Jc
un recinto S.D esarrollo
+ yP = y /^
Q - ylxy + y v •*2 + y2)
dPdy
cQdx
y
+ y
y~ + y
s j y + y 2
i = (j) J x 2 + V'2 dx + y[xv + ln(x + J x 2 + y 2 )]dv = í [(—— - — )dx dyJc J J c-Y cy
S
5r~ ~ r~i 2
y¡X + y ~ yJX + y)dxdy íf-y dxdy
4 2(xlAplicando el teorema de Green, calcular I — ( ^ 2 (x~+ y )dx + (x + y ) dy ,
donde C es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntos A (l,l) , B(2,2) y C (l,3) y que recorre en sentido positivo. Comprobar el resultado obtenido, calculando la integral directamente.
D esarrollo
2 (* 2 + y2)P
£? = ( * + y)=>
dP_dy
dQ, dx
= 2 (x + y)
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466 Eduardo Espinoza Ramos
2329
/ = 2(x2 + y 2 )dx + (x + y ) 2dy = “ ~Z~)dxdydx dy
í í
2(x - y)dx dy
2(x - y)dy)dx
JT (2 x y - y 1) / dx
70 .. 40-Ax)/' = 4(—— + 2) =
Aplicando la fórmula de Green, calcular la integral - x 2y dx + xy2d y ,
donde C es la circunferencia x 2 + y 2 = R2 , que se recorre en sentido contrario
al de las agujas del reloj.D esarro llo
P = - x ¿y
Q =
dP - x “
R x
ay
a £. dx
= y
aplicando la fórmula de Green
i -xzy dx + xy¿dy = \ \ { - ^ - - — -)dxdyíf‘dx dy
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 467
í í(x2 + y 2 )dx■ H r rdr)dO
i
71 / .R4 / o 4
r \
2330 Por los puntos A(1,0) y B(2,3) se ha trazado una parábola AmB, cuyo eje coincide con el eje O Y, y su cuerda es AnB. Hallar la integral
4J A m B n A
(x + y)dx — (jc — y)dy directamente, aplicando la fórmula de Green.
D esarrollo
y - k = 4 px~■t )
para A( 1,0) se tiene: - k = 4p
para B(2,3) se tiene: 3 - k = 1 6 p
' 1 , tentonces p = —, k = 14
Luego y - x 2 -1
4v A m B n A
(x + y )d x - ( x - y)dy = JT \ ^ - = dxdy
s síf
= -2 n a- 3 ídy)dx - - 2 I ( 3 x - 3 - x ~ +\)dx
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468 Eduardo Espinoza Ramos
2331
2332
x 3 3x2 / 2 8 1 3-2(------ + ------- 2x) = -3 [ (— + 6 - 4) - + — 2)]
3 2 ! \ 3 3 2
7 3 23 1= - 2 [ ------- --- + 4] = -2[~— + 4] = - -
3 2 6 3
Hallar la integral I exy(y¿dx + (\ +xy)dy) si los puntos A y B están* A m B
situados en el eje O X y el área limitada por el cam ino de integración A m B y
por el segm ento A B , es igual a S.
Desarrollo
Por diferencial exacta se tiene:
. X V / . . 2
f 7 /<*•'I e^[y dx + {\ + xy)]dy = I
J A m B 4 « ,0 ) a ’
(b, 0)
0)
e A(0) (0) - e a<0) (0) = 0 - 0 = 0
Calcular la Cfc — y_^_ exam inar ¿os casos:1 c x 2 + /
a) Cuando el origen de coordenadas esta fuera del contorno C.
b) Cuando el contorno rodea n veces el origen de coordenadas.
Desarrollo
——ydy
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 469
2333
2334
R R
■ i
x d y - y dx _2 2 c X + y
Demostrar que si C es una curva cerrada, entonces: eos(x,n)dS = 0 donde
S es la longitud del arco y n la normal exterior.. . . i- , ' ' - ;• ■ i
D esarro llo
Si se supone que la dirección de la tangente coincide con la dirección deldy
recorrido positivo del contorno, tendremos que cos(x, n) = eos {y, t) = — , pordS
consiguiente:£ f
cos(x, n)dS = dy = 0 cos(x,n)dS = 0
Valiéndose de la fórmula de Green, hallar la integral
/ = (j^ [jtcosO ,n) + ysen(x ,n)]dS donde dS es la diferencial del arco y n, la
normal exterior del contorno C.
Desarrollo
cos(x,n) = cosíy,t)=-¥;dS
dxsen(x,b) = sen(y,t) - — —dS
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470 Eduardo Espinoza Ramos
2335i ■
Q> [xcos(x,n) +ysen(x,n)]dS = Q (x— - y — )dS = 0 x d y - y d xJc Jc ds ds Jc
í 1[x cos(x, n) + y sen (x, n)]dS = Q x d y -yd xí
p - ~yQ = x
dPdy
dQk dx
= -1
= 1
/ = [xcos(x,n) + ysen(x,n)]dS = ^{-^--~z~)dxdydx dy fí2 dxdy - 2S
R R
i [x cos(x, n) + y sen (x, n)]dS = 2S
Calcular la integral o — —— tomada a lo largo del contorno del cuadradoi 'c x+y\ ii i ' t i " 1 ' í • « ■> , - ■)
que tiene sus vértices en los puntos A(1,0), B(0,1), C(-1,0) y D(0,-1), con la condición de que el recorrido del contorno se haga en sentido contrario al de las agujas del reloj.
D esarro llo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas
r dx — el vi *
( ' x ydt - dt 2t -1
mí
4~-dt - dt
■4"1 í
dt — {—d t) f di dtIt + 1 í ; í
j= 0 - 2 dt -f 0 f f2 di - -4 | dt = -4 t / ° - -4 (0 +1) = -4J-i 1 -i
dr — dv
r + v*- -4
D) APLICACIONES DE LA INTEGRAL CURVILINEA.
Calcular el área de las figuras limitadas por las siguientes curvas.
2336 Por la elipse x = a eos í, y = b sen t
D esarrollo
' V7rv .
xdv V d x1O
(a eos i b eos / + b sen f a sent )dt
ib •) n{eos"/ + scn~
ab?
d/rd? 1,7
J / - r/ZiT/ o
•>
2337 Por el astroide r =■ a cosJ / , v - a sen' í
D esarrollo
.7
1 * 1 fv . ' iA - — Q x dy - y dr - 4[— i “ (<7 eos" t.3a sen't eos / -(asetd t)(~3a eos' t sen t ))dt
2 JoC
r r/ >•
~ (3¿r cos t sen't + 3a~ setr i cos“ ¿)dr
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472 Eduardo Espinoza Ramos
2338
2339
i
= 6 a~K)
/ T - ) 7 1 - i
2 7 2 , 6¿T fz , 6crserrt eos' t dt = I sé77' 2tdt -----4 1 8
T í
7(1 - cos4f)¿//
3¿r r sen 4/ /y 3¿r;rT [' “ r V » = n r
Por la Cardioide x = a(2 cos t - cos 2t), y = a(2 sen t - sen 2t)
D esarrollo
x dy - y dx = (2 cos t - cos 2/)(2 cos t - 2 cos 2 /)
- a (2 sen t - sen 21 )(-2 sen t + 2 sen 2t)]dt
í= I rr[(2cos¿ -cos2 t)(2cost-2cos2 t) + (2sent - sen 2t)(2sen t - 2 sen 2t)]dt
!í= 2a ' I [(2 cos t - co$2t)(cost - cos2t) + {2 sen t - sen 2t)(sen t - sen 2t)]dt
Iy 1 ~ ) " > /
2a~ I (2 eos' t + 2 serrt - 3 cos t cos 21 - 3 sen t sen 2t + eos' 2t + sen“ 2/)r//
2¿72 (3 - 3 cos 3 / - 2 a 1 (21 - ser/ 3o //r
oóa~/r
Por el lazo de Folium de Descartes x3 + y - 3axy = 0 , a > 0
D esarro llo
3<7f 3 « rSea y = tx => x = , v =
1 + /J L + r
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 473
2340
2 í
A = (^) jc dy - y d x , donde la curva es:
->/ . . 3at 3at2 . .« ( 0 = ( 7 , t ) 9 0 < t < o c1 + / 3 1 + c
A = l r ^ ( ~ ) - ~ ^ )2 J) l + r3 i + t3 1 + r 1 + í 3
3at2 v 3¿z/ 2 w 3aí
/Í = 9 í/2 f y dt = 9a2[------- l- r ] / "Jod + / 3 ) 2 3(1 + / ) > o
A = 3a2 (0 + 1) = 3a2u2 A = 3a2u2
iPor la curva (x + y) = axy
D esarrollo
9 9 V , ►
Sea y = xt => (x + xt) = ax~t de donde x = 7 , v = ,o + o 3 ' ( i + / r
at a t2
?at atSea « (/) = ( r , t )
(1 + / )3 (1 + / ) 3
í
¿í, . 1 at at~ a r at
A = — I - d ( --------- ) ------------ T - d { ---------r-)2 J) (1 + / ) (1 + / ) 3 - (1 + 0 (1 + 0
, 1 f114 - 2 / 3 - 2 / 2 - / , a , aA = - I = dt =— ••• A = —
2 J, (1 + 0 60 60
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474 Eduardo Espinoza Ramos
2341 Una circunferencia de radio rueda sin resbalar sobre otra circunferencia fija,
de radio R, conservándose siempre fuera de ella, suponiendo que — sea unr
número entero, hallar el área limitada por la curva (epicicloide) que describe cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil. Analizar el caso particular en que r = R (cardioide)
D esarro llo
La ecuación de la epicicloide tiene la forma:
,_ R + r , _ R + rx = (R + r)cost - re o s 1 ; y = (R +r)sent - r s e n ------- 1
donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de contacto.
rA - — | x dy - y dx
\ í
R + r . . R + rA = ~ \ ([(tf + r) cos t — r cos------- t][(R + r ) c o s t - ( R + r )c o s ------- 1]
2 A, r r
R -f- r R. “l- r-[(/? + r)sent - r s e n /][—(/? + r)sent -f (R + r)sen------- t])dt
R + r f * , •> R + rA - —-— I [(R + r)(sen~t + cos“ z) — [(7? + 2 r)c o s /co s 1
. R + rA = -------
2
~(R + 2r)(sen t + sen 1) + r cos“ -t + r sen t]dtr r r
[(R + 2 r ) - ( R + r ) eos— t]dt = ——~ ( R + 2r) I ( 1 - c o s — t)dt
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Integrales Múltiples y Curvilíneas AIS
A = ^ - ^ ( R + 2 r ) [ t - - s e n - t ] / ^ A = (R + r)(R + 2r)jt2 R . r ¡ o
2342 Una circunferencia de radio r rueda sin resbalar por otra circunferencia fija, de
Rradio R, permaneciendo siempre dentro de ella, suponiendo que — sea un
r
número entero, hallar el área limitada por la curva hipocicloide descrita por cualquiera de los puntos de la circunferencia móvil, analizar el caso particular
en que r ~~~ (astroide).
D esarro llo
La ecuación de la hipocicloide se obtiene de la ecuación de la epicicloide correspondiente (ver problema 2341) sustituyendo r por - r es decir:
R — r R — rx - ( R - r ) eost + r eos 1 ; y - (/? - r ) s e n t - r s e n 1
r " r
donde t es el ángulo de giro del radio del circulo fijo, trazado en el punto de
contacto.
1A = — I x dy - y dx
1 f&X _ y . g __ y -
A = — I ([(i? - r) eos t + r eos —-— í][(7? - r ) eos t - ( R - r ) eos------ í ] -
R — r R — r-[(i? - r)sen t - r sen------- 1] [-(i? - r)sen t - ( R - r)sen------- 1 ])dt
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476 Eduardo Espinoza Ramos
2343
AR - r
í
K(R - 2 r ) | ( 1 - c o s — t)dt = ——- { R - 2 r ) ( t - — sen — t ) ¡
2 R r / oRr
.7 1
AR - r
(R - 2r)(2n - 0) de donde A = (R - r)(R - 2r)n
p i R r , 3RPara el caso en que r = — se tiene A = ------k4 8
Un campo está engendrado por una fuerza de magnitud constante F, que tiene
la dirección del semi eje positivo OX. Hallar el trabajo de dicho campo, cuando
un punto material describe, en el sentido de las agujas del reloj, el cuarto del
círculo = R" que se encuentra en el primer cuadrante.
D esarro llo
rWAB = I F .d i de donde d i - dx i + dy j => F = F i
fWAB = \ F d x = FIf ••• WAB = F.R
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 477
2344 Hallar el trabajo que realiza la fuerza de gravedad al trasladar un punto
material de masa m, desde la posición v4(X),y,,z,) hasta la posición
z 2) )(el eje OZ está dirigido verticalmente hacia arriba).
D esarro llo
Fuerza de gravedad: x = 0, y = 0, z = -mg
Zj < z < z2 , z > 0
como x = y = 0 => dx = dy = 0
cuya magnitud es proporcional al alejamiento del punto respecto al origen de coordenadas, si el punto de aplicación de dicha fuerza describe, en sentido
2345 Hallar el trabajo de una fuerza elástica, dirigida hasta el origen de coordenadas,
x vr r m t r a r i n a l d e l a s a c n i i a s HpI r p l n i e l e n a n t n d e la e l i n s e 1-------------= 1 situado
Fuerza elástica x = kx, y = ky
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478 Eduardo Espinoza Ramos
2346 Hallar la función potencial de la fuerza R(x,y,z) y determinar el trabajo de dicha fuerza en el trozo de camino que se da, sí:
a) x = 0, y = 0, z = -mg (fuerza de gravedad) y el punto material se desplaza
desde la posición A(x{, y x, z x) a la posición B(x2, y 2, z2) •
, . ux uy k z , .
b) x - — - , y = — - , z = — —, donde u = constante yr r r
V9 9 9+ y + z “ (fuerza de atracción de Newton) y el punto material se
desplaza desde la posición A(a,bc) hasta el infinito.
9 9 9c) X - - k ~ x , Y = - k y , Z = - k z , donde k = constante (fuerza elástica),
9 9 9 9estando el punto inicial del camino en la esfera x" +>’“ + z = JR y el9 9 9 9final de la esfera x + y~ +z~ = r~ (R > r)
, : « • . . ' . • - 4 *
D esarro llo
a) Fuerza potencial = diferencial exacta x = y = 0, dx = dy = dz, z = -mg
íw - I -m g d z = -m g ( z l - z 2)
b) w= Jx dx + y dy + z dz =-u x dx - uy dy - u dz u
3 ¡ 2 t2 2, 2 1 V cl + b + c(x“ + y + z~ Y
c) X = - k 2x , y = - k 2y , Z = - k 2z
w = - k 2 \x dx + y dy + zd z es exacto
w = - k 2 ( f ( R2) - f(r))
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Integrales Múltiples y Curvilíneas
/
479
7.10. INTEGRALES DE SUPERFICIE.
le r . IN T E G R A L E S D E SU P E R F IC IE D E P R IM E R T IP O .-
Sea f(x,y,z) una función continua y z = cp(x,y) una superficie regular S.
La integral de superficie de primer tipo representa de por sí él limite de la suma integral.
n
LA___ ___■ « -* 0 0
f ( x , y , z ) d S = lim y
i ____
donde AS¡ es el área de un elemento i de la superficie S, al que pertenece el
punto (x¡, y ¿,z¡); el diámetro máximo de estos elementos en que se divide la
superficie tiende a cero.
El valor de está integral no depende del lado de la superficie S que se elija para la integración si la proyección C de la superficie S sobre el plano XOY es uniforme, es decir que cualquier recta paralela al eje OZ corta a la superficie S en un sólo punto, la correspondiente integral de superficie de primer tipo se puede calcular por la fórmula:
2do. IN T E G R A L D E S U P E R F IC IE D E S E G U N D O T IP O .-
Si P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas y S es
la cara de una superficie regular S que se caracteriza por la dirección de la
normal n(cos a , eos p, eos y) la correspondiente integral de superficie de
segundo tipo se expresan de la forma siguiente:
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480 Eduardo Espinoza Ramos
] P dy dz + Q dzdx + R dxdy = f f(P eos a 4- Q eos f i + R eos y)dS
-v y mi ¿í a h * v > •*
Al pasar a la otra cara S de la superficie, está integral cambia su signo por el contrario.
Si la superficie S está dado de forma implícita F(x,y,z) = 0, los cosenos directores de la normal a esta superficie se determinan por las fórmulas
ip '~ iu'
1 dF 1 dF 1 dFeos a - — .— , eos p —— .— , cosx = — .—D dx D dy D dz
donde D = ± J (— )“ + (— ) + (— ) y el signo que ponga delante deldx dy dz
radical debe elegirse de acuerdo con la cara de la superficie S que se tome.
3er. F Ó R M U L A D E S T O C K E S .-
Si las funciones P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) tienen derivadas continuas y C es un contorno cerrado, que limita una superficie bilateral S, se verifica la fórmula de STOCKES:
r/— < f íP BRJ ^ ¿dQ dP. ,[(—---- — } eos a + (~ — — ) eos P + { - — — ) eos y] dS
dy dz cz dx dx
donde eos a , eos P y eos y, son los cósenos directores de la normal a la superficie S, debiendo determinarse la dirección de la normal de tal forma que, desde esta, el recorrido del contorno C se efectúa en sentido contrario al que siguen las agujas del reloj (en un sistema de coordenadas de manó derecha).
Calcular las siguientes integrales de superficie de primer tipo.
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 481
2347
2348
í í(x 2 + y 2)dS , donde S es la esfera x 2 + y 2 + z 2 - a 2
Desarrollo
2 2 2 2 x + y + z = a
dz
¿k
X dz yV « 2 - * 2 ~ v 2 ’ c> V « 2 - * 2 -
í í í í(x2 + y 2 )dS = I I (x2 + y 2) J l + ( |^ )2 + (— )2 ¿x dy
ex dyS D
í í (*2 + / ) J i + \ — 7 + — 4 — 2 dxdya - x - y a - x - y
D
= a íí2 2 + y
D
I 2 Iy]a - xdxdy
y
dr)dO• t ' h h
3 i) 3
J I / x 2 y y dS, donde S es la superficie lateral del cono2 2 2
= o ,a 2 a 2 2
(0 < z < b)Desarrollo
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482 Eduardo Espinoza Ramos
2349
*2 y 2 zl a b l— + — - - y = 0 => z = - Va a b a
dzdx
bx (7Z bya^jx2 ~+y2 + _y2
JFx 2 + y 2 d s JF + ( ^ ) 2 + A 2* ^dx dy
D
yjx2 + y 2 ll + b2y 2+ — JLJ L — dxdy
Da 2(x 2 + y 2) a2(x 2 + y 2)
JF dxdy
D
<2jV*2+.',2dxdy
D
yJa 2 4-d— T( r,2 í /r V ^ = 2 f W Z ± Z
Calcular las siguientes integrales de superficies de segundo tipo.
Ií>>z ¿/y ¿/z + x z ¿/x ¿/z + x>> í /x dy , donde S es la cara exterior de la superficie
del tetraedro limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a.*
> ’
Desarrollo
Según el teorema de Gauss.
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 483
2350
I íí-( h 1 )dxdydz= \ \P d y d z + Q d zd x + R dxdy
dx dy dzs
Pcomo <| Q
R
yzxz
xy
dP_dxdQdydRdz
= 0
= 0 luego se tiene:
= 0
ííy zd y d z + x zd zd x + xydxdy = | | | (—— + —r~ + ~~)dx dy dzí í í dx dy dz
k
í í í(o + 0 + ü)dx dydz = 0
í í2 2 2 x y z
z dx dy , donde S es la cara exterior del elipsoide T + 7T + T - 1a b~ c
D esarro llo
2 ^ 2x y za b e
1 =>2 2 :
* + ^ = i - za2 b2 ‘ c2
z 2 I z 2el eje mayor es: a j 1— j ; el eje menor es: b j 1
Área de la elipse es: A = 7c(base mayor)(base menor)
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484 Eduardo Espinoza Ramos
2351
Jf fzdxdy = 2n | ab( 1 - ~ ) d z = 2irab{z - ~ t ) j = 27iab{c - Y v3c'
Jfz dxdy = Anabc
ííx dydz + y dzdx + z dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie de
la sem i esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , (z > 0).
D esarro llo
Según el teorema de Gauss.
P = Y
<C? = y
P = z2
a p
SR_dz
= 2x
2z
Jfx 2dy dx + y 2dz dx + z 2dx dy = 1 1 1(2* + 2 v + 2z)dx dy dzhf
A'
Jff71
2 x dx dy dz = 8 Yb J
I 2 I- r
) •
44 * ¿2 7T
r ( r c o s 0)dz)dr)d0 = a arcsen \= -----
íff;r2 I I Ij2¿/x¿/y£/z = 8 ma
(
/ 2 2 'a —rr.r sen 0 dz)dr)dO
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 485
352
2 j j j z d x d y d z = 8 (
( -e o s# ) j
k r?*3(
O JO
o 2
r.zdz)dr)dO = ------
&
por lo tanto se tiene:
4 _ 4 _ 4 _ 4
íí2 2 , , 2 » i a n a n a tc a tíx dyaz + y dz dx + z dxdy = ------------------1-------- = -------
Hallar la masa de la superficie del cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1, si la
densidad superficial en el punto M (x,y ,z) es igual a xyz.
D esarro llo
Sobre el plano XY, 0 < z < 1
1 n \ 2 /dz 2 iZ = i => j i + ( — ) + ( — r = iex dy
Sobre el plano XZ, 0 < y < 1
y - , =* +OX dz
V-14 / 0 4
Sobre el plano YZ, 0 < x < 1
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486 Eduardo Espinoza Ramos
2353
X = 1 =>dy dz
Mi = | < | ( 1 W z W , = |y /W = f U , =
3por lo tanto Masa = M = M x + M 2 + A/3 = —
Determinar las coordenadas del centro de gravedad de la cápsula parabólica
homogénea az = x 2 + y 2 , (0 < z < a)
D esarro llo
p(x,y,z)= 1, 0 < z < a
1 . 2 2 \ dz 2x dz 2yz = - ( x ~ + y z) => — = — , — = —a dx a dy a
2 2 2 2 2 z = a => az = x + y => x + y = a
M = , P ( x , y , z ) l + (— ) + (— ) ¿JhV*'\) dx
_ . _ 2 - 2' 4 a:2 4 /1 + — — + —— dy)dx
V a2
\a2- x 2 1y] a2 + 4(x2 + y 2 )dy)dx
x = rc o s# t=> dx dy = r dr d0
y = rsenG
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 487
2354
M - f ( f ry¡ar +4rI dr)d0 = ~(5^5-1)a Jb J) 6
M xv = f f z p ( x , y , z ) d a = | ( f°— 'Ja2 + 4r2dr)d8 =^-^-{25^[5 +1)JJ J) Jb a a60R
- _ M xy _ a (25^5 + 1) M 10(5^5-1)
x = v = 0 , pues la cápsula es simétrica respecto al eje Z.
Hallar el momento de inercia de la parte de superficie lateral del cono
z = y[x2 + y 2 (0 < z < h) con respecto al eje OZ.
D esarro llo
r “> 2 dz x dz y
8x V x 2 + y '8y
íí-2 2\ I, r z \2 ,dz ~L
I \(x + y + +(— )~dydxR
z = h => z — y¡x2 + v2 => x2 + y 2 - h2
i z = f í ( x 2 + y2) J i + j j ( * 2 +
R R
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488 Eduardo Espinoza Ramos
2355
/ 7 = y¡2 J J í *2 + y 2)dx dy = yÍ2 J 'J r2.rdrd& = y¡2 r3dr)dO
R R
4 j f ) / o 4 / o 2
Valiéndose de la fórmula de STOCKES, transformar las integrales:
a) (x 2 - yz)dx + (y 2 - zx)dy + (z2 - xy)dz b) i y dx + zd y + xd z
P
Q
= x - yz
= y 2 - y z
R - z - x y
D esarro llo
dR dQ dP dR dQ dPdydR
dz
dQdy dz
dz dx dx dy
0 . = 0dz dx dx dy
ia) (x ~ yz)dx + (y - zx)dy + (z - xy)dz
í ídR dQ .dPdR. _
[ ( - f -)cos or + ( - — — ) cos + ( - — — ) cosdy cz dz dx ex cy
í í(0 cos a + 0 cos p + 0 cos y)dS = 0
s
b)
P
QR
yz
X
ioII dQ = xdR SQ
dy dz dy .dz
a p - n , dR 1— = \ => <dP dRdz dx dz dx
a e - o ,
ll&
dQ dPdx dy dx< dy
= -1
= -1
= -1
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I
Integrales Múltiples y Curvilíneas 489
i ¿ ¿ j i i i y ^ dQ, ,dP dR dQ dP.ydx + zdy + xdz = 11[(—----- — )c o s¿2 + (—-— ) e o s¡3+ — — )cos/ ]<i¿dy dz dz dx dx dy
í íeos a + eos p + eos y)dS
2356
Aplicando la fórmula de STOCKES, hallar las integrales que se dan a continuación y comprobar los resultados, calculándolas directamente.
í
(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz , donde C es la circunferencia
x 2 + y 2 + z2 = a2 , x + y + z = 0
D esarro llo
P = y + z Q = z + x R = x + y
í
8R dQSy dz8P dRdz dxdQ dPdx dy
= 1- 1=0
= 1- 1=0
= 1- 1=0
(y + z)dx + (z + x)dy + (x 4- y) dz
í í, ,r/dR a o , ,&P dR. . ,8Q 8P.
= 11[(— “ a ) cos a + + — — )c °s /? + ( - — — ) eos y]dSdy dz dz dx dx dys
í í(o cos ex + 0 cos P + 0 cos y)dS = jJo.¿/ó, = 0
5 S
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490 Eduardo Espinoza Ramos
2357i
O O(y - z)dx + (z - x)dy + (x - y)dz , donde C es la elipse* + y = l , x + z = lc
D esarro llo
Según el teorema de Stockes: Qn.rot(f)dS = f.dr ... (*)
D
como ndS = dS = ruxrv du dv expresamos (*) como xrv .roí f dudvÍFD
tomada sobre la región D sobre el plano uv
f(y - x, z - x, x - y) expresado como vector, tomado sobre el plano x + z = 1 y
la circunferencia x2+ y 2 =l que es D.
Si las ecuaciones del plano se toman comox = uy - v la normal positiva n tiene z = \ - u >
la dirección de ruxrv = [1 ,0 ,- l]x[0,1,1] = [1,0,1]
Donde r = rv = y el elemento de área vectorialCU CU CU OV CV CV
es: n.dS = ruxrvdu dv = [1,0,\]dx dy
ahora él ™ ,(/ ) = . S . í p . )dy dz dz dx dx
= ( - 1 - 1 , - 1 - 1 , - 1 - 1 ) - ( - 2 ^ 2 )
Luego J*j« rot(f)dS = J*J[1,0 ,1].[—2 ,- 2 ,- 2 ]dxdy = -4 JJdxdyD D D
pero D es el área de la circunferencia de radio 1 entonces
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Integraém M úkipfasy Curvilíneas 491
c j (y -z )dx + ( z - x)dy + (x - y)dz - -4 | | í / j c dy - - 4 (n r2) = | -4n | = 4tí
D
i2358 a x dx + (x + y)dy + (x + y + z)dz , donde C es la curva x = a sen t, y= a eos t,
z = a(sen t + eos t) (0 < t < 2n)
D esarrollo
—►a(t) = (a sen t , 0 eos t , t + eos /) ) , 0 < t < 2tc
x dx + (x + + C* + J + z )dz -c
r [a sen t(a eos i) + a(sen t + eos t){-a sen t) + 2a(sen t + eos t)a(eos t - sen t )]dt
a2 (~3sen2t+ 2cos2 t)dt = a2 [ - — —^°S- —■ + 1 + cos2¿]¿/¿
* i 5(----- b — cos2t)dt = - n a 2
2 2
2359 Q y 2dx + z 2dy + x 2d z , donde ABCA es el contorno del A ABC con los J a b c a
vértices en los puntos A(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a)
Desarrollo
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492 Eduardo Espinoza Ramos
2360
AB = {A + { B- A) t l O<t <\ } = {(a
y'dx + z dy + x~dzAB
í
- I [a2t2(-adt + 0) =
/•' t i l -
BC = {B + ( C - B)t / 0 < / < 1}
Joc
= {(0, a - at, at) / 0 < t < 1}
.3(0 + a212 { -a dt) + 0 = - —
CA = {C + ( A - C)t / 0 < t < 1} = {(at, 0, a - at) / 0 < t < 1}
( j v2dx + z 2dy + x 2dz = - a 3 I t 2dt = - —JC4 i ) '
3
3
í
3 3 32 , ? , 2 t a a a 3
v á + z dy + x dz ----------------------- - - aA B C A 3 3 3
¿En qué caso la integral curvilínea / = (j Pdx + Qdy + R dz será igual a cero,
para cualquier contorno C?
D esarro llo
V curva cerrada C se tiene 1 = 0 entonces
P dx + Q dy + R dz es una diferencial exacta
at, at, 0) / 0 < t < 1J
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 493
dR dQ dP dR dQ _ 8Pdx dx dvc v CZ C2
1 =í
Pdx + Qdy + R dz = I I c o s a +í ía p a/? _ . a e ap^+(_------— ) eos p + (----------- ) eos y]dSdz dx dx dv
í í(0 . eos ex -V 0. eos P + 0. eos y )dS — J | O.dS — 0
s sí í
í
/ = n P dx + Qdy + Rdz = Q'c
7.11. FORMULA DE OSTROGRADSKI -■ GAUSS.-
Si S es una superficie regular cerrada, que limita un volumen Vx y P = P(x,y,z),
Q = Q(x,y,z) y R = R(x,y,z) son funciones continuas, junto con sus derivadas parciales de 1er orden en el recinto cerrado V, se verifica la fórmula de Ostrogradski -- Gauss.
í í(P c o sa + £> eos P + R cosy)dS í í í
ap dQ dR _ , . ,( h — h )¿/jc dy dz
dx dy dz
donde eos a , eos p, eos y, son los cósenos directores de la normal exterior a la superficie S valiéndose de la fórmula de Ostrogradski - Gauss, transformar las siguientes integrales de superficie, sobre la superficie cerrada S, que limitan el
volumen V (donde eos a , eos p, eos y son los cósenos directores de la normal
exterior a la superficie S).
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494 Eduardo Espinoza Ramos
2361
2362
2363
í íxy dx dy + yz dy dz + zx dz dx
sD esarrollo
i j i j dx dy + yz dy dz + zx dz dx - J J j/z dy dz + zx dz dx + xy dx dy
s s
í í í[^ - + (zx) + - f - (xy)]dx dy dzex ey ez
v
í í í(o + 0 + 0 )dx dydz = 0
v
ííxy dx dy + yz dy dz + zxd zdx = 0
íí2 2 2 x dydz-\-y dzdx + z dxdy
D esarro llo
J*jx2dy dz + y2dz dx + z 2dx dy - | | | [
5 V
r d 1 d 2 0 2 - * , , ,[— x “ H----- y H z Jdx dy d:dx dy ez
í í í= 2 (x + y + z)dx dy dz
íív
x co sa + y eos J3 + z eos y ío . ;
íx2 + y 2 +dS
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 495
2364
V * 2 +>'2 + z'
Q
R =
y
+ z ‘
,/x 2 + _y2 + z 2
dP 2 2 / + Zdx 3
2 1 + / + z 2)2dQ 2 2 xz + /dy 3
(x2 + y 2 + z 2) 2dR 2 2 x + ydz 2
(X2 + / + Z 2 )2
í íx cos a + jy cos p + z cos y
2 " " 2 " _2v í í í¿/S = I I l ( i 1 )dxdydz
dx dy dzv
í í í2 dx dy dz
V2 2 2x + y + z
í í(— cos a + — cos fl + — cos y)dSdx dy dz
D esarrollo
dup =dxdu
Q = cydu
R =dz
dP d2udx dx2dQ d2udy dy2
dR d2udz dzÁ
í ícu
(— cos a-i----- cos p -i-— cos y)dSdx dy dz
s Ví í í
(SP_+ SQ + SR_)dxdydzdx dy \dz
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496 Eduardo Espinoza Ramos
2365
2366
í í ív
d2u d2 u d2 u
Valiéndose de la formula de Ostrogradski - Gauss, calcular las siguientes integrales de superficies.
í í x dydz + y dzdx + z~dxdy , donde S es la cara exterior de la superficie del
cubo 0 < x < a, 0 < y < a, 0 < z < a
D esarro llo
J dz + y 2dz dx + z 2dx dy = í í í - + 2y + 2 z)dx dy dz
= 2 f < H (x + y + z)dz)dy)dx = 2 f ' f ^ T ■]/dy)dx
= 2 1 ° ( J Í t ( x + y a + ~2^dy'*dx = 2 j ‘(-axy + - j - + ~ y.) / odx
2 jT(a2x + a 3)í/x = 2a2( ^ - + a x ) j = 2 a2 ( ^ ! ) = 3a4 2
ííx dy dz + y dz dx + z dx dy , donde S es la cara exterior de la pirámide
limitada por la superficie x + y + z = a, x = 0, y = 0, z = 0
Desarrollo
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■ I
Integrales Múltiples y Curvilíneas 497
2367
2368
| í ( i dy dz + y dzdx + z dx dy) = J j j ( l +1 +1 )dx dy dz
s v
í í
H - x ma—x —y m m - x( I dz)dy)dx - 3 I ( i (a - x - y ) d y ) d x
Jo J d Jd
= 3f[(<1 dx " 3 ( a - » ) ’ / *
_ _ I [ 0 - ^ 1 = 2 Í3 3
x 5dydz + y 3dzdx + z* d xd y , donde S es la cara exterior de la esfera
2 2 2 2 x + y + z = a
j j 'x3dy dz + y* dz dx + z 3dx dy = 3 í í í
Desarrollo
2 . 2 , 2(x + jT + z )dx dy dz
v0.7T
f ( ^ ^ P Asen<¡)dp)d<l>)de = | £ ( j ^ Sf -~fd<t>)dO
t t ( ^sen^d<¡>)d9 = ^ - £ - e o s # j * d 9
> t ■ • , ■ ' •
3« 5 f2" ............... „ 6 a 5 f 2* ,a 12 5du = — a nf ' - ' - . ' - T Í
f f ( x 2 co sa + j 2 eosP + z 2 c o s y )d S , donde S es la superficie exterior total
2 2 2
del cono + 2 .------7 = 0 , 0 < z < ba2 Ir <■
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498 Eduardo Espinoza Ramos
2369
D esarro llo
j j ( x 2 eos a + y 2 eos ¡3 + z 2 eos y)dS = Jíh + 2y + 2z)dx dy dz
pasando a coordenadas cilindricas
9 2 2 2 b rx~ + y — a => x = r eos 0, y = r sen 0, z = — —a
br
\ \ ( x 2 cos or + y 2 eos f i + z2 eos y)dS = 2 r 2 (eos 6 + sew # + —)¿/z drdO
s
f
n *a 2 br( I [r (c o s# + se/2 6) + ~ V I a dr)dO
_ 2 b f2^ r
a Jo A3 é r((eos 6 + sen 6)r i )dr)dO
2a
2b f2* _ a4 a 4¿>r
jj
[(eos 0 + sen 6)— + ------]d 0a 1 4 8a
2 b r, a o y a 3 w 2*= — [(sen0 - c o s &)— + ------ ]a 4 8 / o
2 2 2 a b 7T(x cos a + y cos P + z cos y)dS = --------
Demostrar, que si es una superficie cerrada y í cualquier dirección constante
(eos(n9 i)dS = 0 donde n es la normal exterior a la superficie S.ÍJ‘5
Desarrollo
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Integrales Múltiples y Curvilíneas 499
Como P, Q, R son constantes t ~ dirección constante
Jfeos (n,£)dS= Jff + dxdydz = JJj^O + 0 + 0 )dxdydz
. dxdydz- 0
370 Demostrar, que el volumen V, limitado por la superficie S, es igual a
K=- j Q(xcosa+ ycos {}+ zcosy)dS, donde eos a , eos p y eos y son los
5
cósenos directores de la normal exterior a la superficie S.
Desarrollo
p = *3
o - i - <
R . í3
dx 3
dy 3
dR_}_^dz 3
V~~ Q(xcos a + ycos P + zcos y) dS5
-i Jff4 ííí
^ r ^ + Í T ^ +^(¿Í)dxdydz=f + 1 + dxdydz V v
Jff' 1 1
3 dxdydz- 111 dxdydzv
Jff 1 ÍJ<V - 111 dxdydz- j | |(* c o sa r + y c o s /? * z c o s / ) ^
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