8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
1/53
HUBUNGAN DERIVATIF UNTUKPARTIKEL FLUIDA
Tujuan untuk menganalisa gerakan fuida(ar!ikel fuida"Pada uraian awal kita ketahui bahwa bentukvektor dari sebuah medan kecepatan bervariasiterhadap ruang dan #ak!u $
Berdasarkan Hukum Newton II untuk sistem
fuida yang sangat kecil dibutuhkan analisavektor medan kecepatan aliran :
arena setiap komponen skalar !u" v" w#
merupakan $ungsi dari % variabel !&" y" '" t# maka
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
2/53
(engan mende)nisikan d&*dt + u" dy*dt + v"d'*dt + w" maka:
(engan demikian hal ini berlaku juga jika udigantikan oleh v dan w sehingga persamaandiatas ditulis :
Hal ini bisa diterapkan terhadap variabel yanglain misalnya konsep tekanan :
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
3/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
4/53
PER%A&AAN DIFEREN%IAL UNTUKK'N%ERVA%I &A%%A
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
5/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
6/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
7/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
8/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
9/53
,peed o$ sound o$
fiudPers Bernoulli ygmengabaikan beda elevasi
-. + /
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
10/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
11/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
12/53
+ 012/ *34
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
13/53
PER%A&AAN DIFEREN%IAL UNTUK&'&ENTU& LINIER
(engan memasukkan persamaan pada tabel kedalam persamaan di atas maka:
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
14/53
(alam kebanyakan aplikasi seperti persamaanBernoulli biasanya arah . diambil vertikal !keatas#
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
15/53
GAA PER&UKAAN ARAH
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
16/53
(5N67N 8N,5P 97N6 ,77 IT7 BI,7 T;
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
17/53
5TI67 P5
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
18/53
P5
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
19/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
20/53
(7
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
21/53
(IINT56
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
22/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
23/53
PER%A&AAN DIFEREN%IAL UNTUK&'&ENTU& ANGULER
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
24/53
PER%A&AAN DIFEREN%IAL
UNTUK ENERGI
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
25/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
26/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
27/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
28/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
29/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
30/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
31/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
32/53
Adalah aliran di mana elemen fluida bergerak dalam medan aliran
tidak mengalami rotasi. 0=ω
0=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂ yu
xv
xw
z u
z v
yw
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
33/53
Dalam koordinat silindris:
0
111
=∂
∂
−∂
∂
=∂
∂
−∂
∂
=∂
∂
−∂
∂
θ θ
θ θ r z r z V
r r
rV
r r
V
z
V
z
V V
r
C t h t h b i li bi di b i li i t ti l
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
34/53
Contoh-contoh bagian aliran yang bisa dianggap sebagai aliran irrotational :
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
35/53
Irrotational Flow Applikasi Pers. Bernoulli
konstan
Persamaan di atas berlaku untuk dua titik pada
streamline yang sama. Nilai konstanta
bergantung pada masing2 stream line.
Syarat inviscid:
Incompressible
Steady
Irrotational
=++ gz
V p
2
2
ρ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
36/53
Dari pers. uler:
Irrotational flow
( )V V z g p
∇⋅=∇−∇−
ρ
1
( ) ( ) ( )V V V V V V
×∇×−⋅∇=∇⋅2
1
0=×∇ V
( ) ( )V V V V
⋅∇=∇⋅2
1
( ) ( )22
1
2
11V V V z g p ∇=⋅∇=∇−∇−
ρ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
37/53
Selama selang dt partikel berpindah dari:
konstan
konstan
!ntegrasi:
r d r r +→ k dz jdyidxr d ˆˆˆ ++=
( ) r d V r d z g r d p ⋅∇=⋅∇−⋅∇− 22
11
ρ
( )2
2
1
V d gdz
dp
=−− ρ
=++∫ gz V dp
2
2
ρ
=++ gz V p
2
2
ρ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
38/53
5. Velocity Potential (Ф)
"ntuk velocity field yang irrotational:
Dan hanya valid #ika $ merupakan fungsi skalar.
"ntuk irrotational flow, harus ada
fungsi $ dimana gradiennya merupakan vektor
kecepatan.
0=×∇ V
0)( =∇×∇= φ φ grad curl
φ −∇≡V
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
39/53
%oordinat silindris:
Velocity potential:
&anya untuk irrotational flow
'alid untuk daerah aliran dimana gaya viskos diabaikan
Irrotational ideal flid !ero viscosity
xu
∂
∂−= φ
yv
∂
∂−= φ
z w
∂
∂−= φ
z k
r e
r er
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇ ˆ
1ˆˆ
θ θ
r V r
∂
∂−= φ
θ
φ θ
∂
∂−=r
V 1
z V z
∂
∂−= φ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
40/53
Stream Fnction " Velocity Potential untuk #wo$
%imensional, Irrotational, Incompressible
Substitusi pers. stream fnction ke kondisi
irrotational:
(&aplace '.)
xu
∂∂−= φ
yv
∂∂−= φ
yu
∂
∂= ψ
xv
∂
∂−= ψ
0=∂
∂−
∂
∂
y
u
x
v0
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
→ y x
ψ ψ
S
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
41/53
Substitusi pers. velocity potential ke
persamaan kontinuitas:
(&aplace '.)
Semua fungsi ) atau Ф yang memenuhi pers.
*aplace mempunyai ciri: aliran dua dimensi+
incompressible, irrotational.
0=∂∂
+∂∂
y
v
x
u0
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂→
y x
φ φ
S f i d l h k t #
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
42/53
Stream fnction adalah konstan sepan#ang
streamline.
, konstan
d ,-
Slope dari sebuah streamline sebuah garis
konstan :
0=∂
∂+
∂
∂= dy
ydx
xd
ψ ψ ψ
u
v
u
v
y
x
dx
dy=
−−=
∂∂∂∂
−=
/
/
ψ
ψ
ψ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
43/53
Sepan#ang garis dengan * konstan d* ,-:
Slope dari sebuah potential line sebuah garis
konstan * :
0=∂∂+
∂∂= dy
ydx
xd φ φ φ
vu
y x
dxdy −=
∂∂∂∂−=
//
φ φ
φ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
44/53
ontoh:
Diberikan persamaan incompressible flow field .
a/ Buktikan alirannya irrotational
b/ 0entukan Velocity potential Penyelesaian:
Irrotational flow +! , -.
22 ayax −=ψ 13 −= sa
y
u
x
v z
∂
∂−
∂
∂=ω 2
yu
∂
∂= ψ
xv
∂
∂−= ψ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
45/53
%omponen kecepatan
!ntegrasi terhadap 1:
( ) ayayax y
u 222 −=−∂
∂= ( ) axayax
x
v 222 −=−
∂
∂=
( ) ( ) 022222 =+−=−
∂
∂−−
∂
∂=
∂
∂−
∂
∂=
aaay yax x y
u
x
v z ω
ay x
u 2−=∂
∂−= φ
ay x
2=∂
∂φ
)(2 y f axy+=φ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
46/53
f = konstan
konstan
yv
∂
∂−= φ
[ ])(22 y f axy y y
axv +∂∂−=
∂∂−=−= φ
dy
df
ax y
y f
axax −−=∂
∂
−−=− 2
)(
22 0=→ dydf
+= axy2φ
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
47/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
48/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
49/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
50/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
51/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
52/53
8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle
53/53