Erhvervsøkonomisk institut Forfattere:
Bachelorafhandling Jane Fuglsang Kristensen
HA Almen 6. semester Katrine Sørensen
Vejleder:
Lars Relund Nielsen
Projektnummer: 13,51
Distributionsplanlægning i Arla
Aarhus School of Business and Social Sciences
2012
Abstract
Arla Foods is an international company who produces milk and dairy products. The company is
owned by Danish, Swedish and German dairy farmers. Besides production, logistics is a big part of the
company. The logistics in Arla Foods consists of several parts. This paper focuses on the daily distribution to
customers in southern Denmark. The planning of the distribution can be seen as a Vehicle Routing Problem
(VRP).
VRP deals with the distribution of products from a depot to a set of customers. The objective is to minimize
cost given a set of constrains. Each customer has a demand, which cannot exceed the capacity of the
vehicle. Each customer has to be visited by exactly one vehicle, but each vehicle can serve several
customers on one route. The vehicle has to start and end at the depot. In Arla Foods the customers must
be served within a given time interval, because the products have to be fresh and refrigerated.
Furthermore the terminal is limited by the capacity of the production plant. VRP therefore becomes a
Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW). In VRPTW the objective is further constrained
because each customer needs to be served within a given time window, and the vehicle must stay at the
customer during service.
This paper concerns one of Arla Foods’ terminals located in Christiansfeld and focuses on 126 customers in
Sønderjylland. In this paper different scenarios of the distribution problem will be analysed. The scenarios
will be solved using the online application logvrp. Logvrp uses the algorithm Adaptive Large Neighborhood
Search (ALNS). ALNS uses different heuristics to destroy and repair a solution to find the best solution.
During the search the algorithm evaluates the heuristics to adapt to the problem.
To perform the analysis, different assumptions have been established and the conclusions must therefore
be interpreted with caution. Unlike Arla Foods, the solutions in this paper are optimized every day. Based
on the analysis it is concluded that daily optimization would benefit Arla Foods. However this is unrealistic
in practise because of long solution time. The constraints at the customers and the terminal have a big
influence on the costs. To reduce cost, Arla must consider modifying the time windows. In this paper it is
suggested that each customer must have a time window, which is at least five hours wide. This will result in
more flexibility in the distribution planning and reduce costs. In the paper it has also been investigated how
the latest delivery time affects costs. It is very expensive when the customers require early delivery. The
cost of early delivery should be passed on to the customers. The costs only increase up to a certain point
and therefore customers without any preferences concerning delivery time should be rewarded in some
way. Further it is also possible to reduce cost by focusing on Arla Foods’ own constraints and adapt the
capacity in the best possible way.
Indholdsfortegnelse
1. INDLEDNING ........................................................................................................................................................... 1 1.1 PROBLEMFORMULERING ......................................................................................................................................................... 2 1.2 AFGRÆNSNING .......................................................................................................................................................................... 2 1.3 METODE ..................................................................................................................................................................................... 3
2. TEORI ........................................................................................................................................................................ 4 2.1 VEHICLE ROUTING PROBLEM (VRP) ................................................................................................................................... 5 2.1.1 Notation ................................................................................................................................................................................ 6 2.1.2 Eksakte løsningsmetoder ............................................................................................................................................... 6 2.1.3 Heuristiske løsningsmetoder ........................................................................................................................................ 8 2.1.4 Eksempel på savings heuristik .................................................................................................................................. 11
2.2 VEHICLE ROUTING PROBLEM WITH TIME WINDOWS (VRPTW) ................................................................................ 12 2.2.1 Notation .............................................................................................................................................................................. 13
2.3 METAHEURISTIKKER ............................................................................................................................................................. 15 2.3.1 Large Neighborhood Search (LNS) ......................................................................................................................... 15 2.3.2 Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) .................................................................................................. 16
3. VIRKSOMHEDSBESKRIVELSE .......................................................................................................................... 20 3.1 ARLA CHRISTIANSFELD ......................................................................................................................................................... 20 3.2 NUVÆRENDE PROCEDURE .................................................................................................................................................... 22
4. DISTRIBUTIONSPROBLEMET I ARLA CHRISTIANSFELD ....................................................................... 24 4.1 FORUDSÆTNINGER OG ANTAGELSER .................................................................................................................................. 25 4.2 ANALYSE .................................................................................................................................................................................. 28 4.2.1 Modellering af faktiske ruter ..................................................................................................................................... 29 4.2.2 Beregning af optimal løsning .................................................................................................................................... 32 4.2.3 Løsning uden tidsvinduer ............................................................................................................................................ 33 4.2.4 Løsning med fri tilgængelighed hos butikkerne ................................................................................................ 36 4.2.5 Ændring af tidsvinduerne ............................................................................................................................................ 38 4.2.6 Opdeling i A og B kunder ............................................................................................................................................. 40 4.2.7 Ændring af køretiden .................................................................................................................................................... 44 4.2.8 Diskussion ........................................................................................................................................................................... 46
4.3 BETYDNING AF SENESTE LEVERINGSTIDSPUNKT .............................................................................................................. 50 4.3.1 Diskussion ........................................................................................................................................................................... 54
5. MODELKRITIK ..................................................................................................................................................... 55 5.1 KRITIK AF LOGVRP .................................................................................................................................................................. 57
6. ANBEFALING ......................................................................................................................................................... 59
7. KONKLUSION ........................................................................................................................................................ 61
REFERENCER ............................................................................................................................................................. 64
BILAG ................................................................................................................................................................................
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 1 af 66
1. Indledning Arla Foods er det syvende største mejeriselskab i verden, mens de er verdens største leverandør af
økologiske mejeriprodukter [Arla Foods, 2011a]. Selskabet er et andelsselskab, som er ejet af 8.024
mælkeproducenter i Danmark, Sverige og Tyskland. For at kunne sikre, at mælkeproducenter får værdi for
pengene er det vigtigt for Arla Foods at have en effektiv værdikæde, som samtidig beskytter miljøet og
reducerer klimapåvirkningen [Arla Foods amba, 2012].
Alle Arla Foods’ produkter er baseret på mælk. Arla Foods producerer og sælger sine varer under tre
varemærker; Arla®, Lurpak® og Castello® [Arla Foods, 2012c]. Udover produktion er logistik et stort område
i Arla Foods. Logistikken er meget kompleks og kan opdeles i flere områder:
1. Tankvognstransport
2. Køletransport
3. Mellemtransport
4. Eksport
5. Mellemtransport på tværs af lande
Første led er tankvognstransport til og fra landmændene, hvor mælken afhentes. Efter produktionen finder
køletransport sted. Køletransporten er den daglige distribution af mælk samt færdigvarer til butikker i
Danmark. Mellemtransporten er transport af emballage og færdigprodukter mellem Arla Foods’ afdelinger
og lagre samt eksterne leverandører. Ydermere er der eksport af færdigvarer og eksport af mælkepulver.
Det sidste område er mellemtransport på tværs af de lande, hvor Arla Foods har produktion [Bloch, 2012].
Denne opgave omhandler distribution af varer mellem et depot og et sæt af kunder. Et problem af denne
type er generelt kendt som et Vehicle Routing Problem (VRP). Idet Arla Foods’ problemstilling også
indebærer tidsbegrænsninger er problemet en udvidelse af VRP kaldet Vehicle Routing Problem with Time
Windows (VRPTW) [Toth & Vigo, 2002]. Disse teorier vil blive beskrevet i 2.
Opgaven har fokus på køletransporten, det vil sige den daglige distribution af mælk og færdigvarer fra Arla
Foods’ terminal i Christiansfeld (depotet) ud til butikkerne (kunderne). Dette distributionsområde er vigtigt,
da Arla Foods’ kunder stiller store krav til leveringstiderne i form af begrænsede tidsintervaller, hvor
leveringen kan finde sted. Det koster både penge, ressourcer og ekstra spildplads for Arla Foods at
imødekomme disse krav. Derudover er der også krav til frisk mælk, hvilket gør, at der kun kan produceres i
et begrænset tidsrum. Terminalen og de daglige procedurer i Christiansfeld vil blive yderligere beskrevet i
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 2 af 66
3. Omstændighederne i Arla Foods medfører, at distributionsplanlægningen bliver særdeles vigtig. Såfremt
disse begrænsninger ikke var til stede, ville Arla Foods have helt andre muligheder for at optimere deres
transport, hvilket vil blive analyseret og diskuteret i afsnit 4. I afsnit 5 vil modellens mangler diskuteret, og i
afsnit 6 vil der blive fremsat en række anbefalinger.
1.1 Problemformulering Formålet med denne opgave er at undersøge, hvordan Arla Foods’ omkostninger til distributionsområde 2
(køletransport) ændres, såfremt de nuværende rammer for distributionen modificeres. Dette undersøges
ved at betragte distributionsproblemet under følgende antagelser, som efterfølgende vil blive benævnt
scenarier:
1. Nuværende situation
2. Optimal løsning
3. Ruteplanlægning uden tidsvinduer
4. Ændring af butikkernes tidsvinduer, så Arla har adgang til alle butikker fra kl. 00.01.
5. Ændring af tidsvinduerne, så de er minimum x antal timer
6. Opdeling af kunderne i A og B kunder ud fra henholdsvis seneste leveringstid og adgangsforhold.
7. Reduktion af antal lastbiler, så hver lastbil får to chauffører
8. Betydning af, at butikkerne skal have levering inden kl. XX.
Dette belyses ved at betragte et datasæt over Arlas kunder med tilhørende efterspørgsel i uge 4, 2012. Alle
disse antagelser afsluttes med en samlet diskussion af det overordnede distributionsproblem samt
anbefalinger til, hvorledes distributionsplanlægning bør foretages i fremtiden.
1.2 Afgrænsning I denne opgave er fokus på Arlas ferskvareterminal i Christiansfeld, hvorfor det kun er døgncyklussen for
denne terminal, som vil blive beskrevet. Herudaf er det kun et område af deres transport, som vil blive
analyseret. I den resterende del af opgaven vil Arla i Christiansfeld blive betegnet Arla. Der arbejdes
udelukkende med distribution ud til butikker, hvorfor grosister og eksempelvis kantiner ikke er medtaget.
Butikker med begrænset kundekreds, som eksempelvis Metro og S-‐engros er dog medtaget. Problemet vil
kun blive løst ud fra applikationen logvrp. Her anvendes den billigste af de to algoritmer, Adaptive Large
Neighborhood Search (ALNS) og Jan Dethloff’s Algorithm modified (JDAM), som logvrp benytter. Idet ALNS i
langt de fleste tilfælde vil finde den billigste løsning, er det kun denne, som vil blive beskrevet i dybden.
Opgaven afgrænses fra den matematiske formulering af ALNS.
Transporten består af mange forskellige produkter, men i denne opgave arbejdes der kun med en samlet
efterspørgsel.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 3 af 66
Der eksisterer mange varianter af VRP og der er skrevet rigtig meget om dette emne i litteraturen [Laporte,
1992]. Denne opgave vil kun omhandle VRP samt VRPTW. Under VRP vil der kun blive beskrevet en eksakt
formulering og en heuristisk løsningsmetode. Under VRPTW vil en eksakt formulering ligeledes blive
beskrevet.
1.3 Metode Tilgangen i denne opgave er overvejende positivistisk, idet løsningen af opgavens problemstilling vil blive
foretaget ved hjælp af kvantitativ metode. Det empiriske grundlag, som vil være fundamentet for opgaven,
er data fra uge 4, 2012. Disse data er hentet fra Arlas system og anses derfor som værende yderst valide.
Dataene udgør opgavens primære data og anvendes til løsning af scenarierne 1-‐8 jf. afsnit 1.1.
Kvantitativ metode er i forhold til kvalitativ metode arbejdet med data, der kan måles og kvantificeres,
hvilket er tilfældet med eksempelvis kundeordrer og kapacitet i en lastbil. Kvalitativ metode anvendes
derimod, når der skal undersøges en række forhold, som er svære at måle. Brugen af kvalitative data er i
denne opgave begrænset. Kvalitative data er indsamlet ved besøg i Christiansfeld samt ved møder med
kørselschefen, logistikkoordinatoren og kørselslederen i Christiansfeld. De kvalitative data anvendes til
beskrivelse af virksomheden Arla Foods og den daglige procedure i Christiansfeld. Derudover anvendes
refleksioner herfra til diskussion og anbefaling.
Det teoretiske grundlag tager i denne opgave udgangspunkt i Vehicle Routing Problem (VRP). VRP kan løses
eksakt såvel som med approksimerede metoder, der kaldes heuristikker. I løsningen af scenarierne vil der
dog kun blive benyttet heuristikker, idet datamængden er så stor, at problemet ikke kan løses eksakt. I
denne opgave vil teorien bag de eksakte metoder samt heuristikker blive forklaret. Teorien vil blive
beskrevet på baggrund af publicerede videnskabelige artikler, hvorfor disse anses som valide til denne
opgave. De videnskabelige artikler anvendes i afsnit 2, som omhandler teorien samt til understøttelse af
analyse, diskussion og anbefaling i afsnit 4 og 5.
Problemstillingen for denne opgave vil blive forsøgt løst med anvendelse af online applikationen logvrp.
Logvrp er et web-‐ og GIS-‐ (Geographic Information System) baseret program til ruteplanlægning, som
anvender algoritmerne Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) og Jan Dethloff’s Algorithm modified.
Idet det kun er muligt at håndtere en begrænset datamængde, afgrænses opgaven til kun at omfatte
distributionen i Sønderjylland. Området består af 126 butikker.
For at besvare opgavens problemstilling vil der blive taget udgangspunkt i de ruter, som Arla Foods i
Christiansfeld har kørt efter i uge 4. De opstillede scenarier vil blive sammenlignet hermed for at se,
hvordan ruteplanerne ændres.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 4 af 66
2. Teori Vehicle Routing Problem (VRP) er et af de vigtigste og mest studerede problemer inden for combinatorial
optimization problems. Problemerne omhandler maksimerings-‐ og minimeringsfunktioner med mange
variable samt uligheds-‐ og lighedsbegrænsninger. Yderligere kan der være heltalsbegrænsninger
[Nemhauser & Wolsey, 1988]. VRP omhandler bestemmelse af et antal ruter for en vognpark, der skal
servicere et antal kunder [Toth & Vigo, 2002].
Den første udgave af VRP var ”The Truck Dispatching problem” og blev beskrevet af Dantzig og Ramser i
1959. Problemet omhandlede ruteplanlægningen for en vognpark, der skulle levere benzin fra en terminal
til et antal servicestationer. Hver servicestation havde en efterspørgsel, og afstanden mellem terminalen og
stationerne var kendt. Problemet var at tildele et antal servicestationer til hver lastbil, så deres
efterspørgsel blev imødekommet, og vognparkens samlede transportomkostninger blev minimeret. Hver
station måtte kun besøges af en lastbil, og lastbilens kapacitet skulle overholdes [Dantzig & Ramser, 1959].
Dantzig og Ramser var desuden de første til at fremstille en matematisk programmeringsformulering og
algoritme til problemet [Toth & Vigo, 2002]. I 1964 fremstillede Clarke og Wright en effektiv grådig
heuristik, som forbedrede Dantzig og Ramsers metode [Clarke & Wright, 1964]. Denne vil blive beskrevet i
afsnit 2.1.3. Siden er der udgivet flere hundrede modeller og algoritmer, som søger at finde de bedste
løsninger til forskellige former for VRP problemer [Toth & Vigo, 2002].
VRP stammer fra The Traveling Salesman Problem (TSP). Problemstillingen i TSP er, at én salgsmand skal
besøge et antal byer. Hver by skal besøges en gang, og der er ingen yderligere begrænsninger [Toth & Vigo,
2002]. Et eksempel på TSP er vist i figur 1a. En generalisering af TSP er the Multiple Traveling Salesman
Problem (m-‐TSP), hvor der bestemmes et antal af ruter for en række salgsmænd, der skal besøge en række
byer og derefter vende hjem til deres egen by [Bektas, 2006]. Tilføjes der en specifik efterspørgsel i hver by,
udvikler det sig til et VRP problem. Et eksempel på VRP er vist i figur 1b. Det betyder, at mange af de
metoder, der anvendes i VRP, er fremkommet fra arbejdet med TSP [Kallehauge, 2006].
Figur 1: Eksempel på TSP og VRP. Figur a illustrerer TSP mens b illustrerer VRP. Cirklerne repræsenterer kunder, mens firkantet repræsenterer depotet.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 5 af 66
Både TSP er VRP klassificeres som hårde problemer. Et problem anses som værende hårdt eller let
afhængig af, om det kan løses af en algoritme inden for polynomiel tid [Johnson & Papadimitriou, 1985].
Hvis der er tale om et let problem, stiger løsningstiden lineært med antallet af variable, mens løsningstiden
stiger eksponentielt med antallet af variable, når det er et hårdt problem. Det betyder også, at
problemerne er meget tidskrævende at løse eksakt, når man når et vist antal variable.
Den grundlæggende version af VRP kaldes ofte Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP). Her foretages
ruteplanlægning for en homogen vognpark, hvor den eneste begrænsning er køretøjets kapacitet
[Nemhauser & Wolsey, 1988]. Det vil sige, at kundernes efterspørgsel på en rute ikke må overstige
køretøjets kapacitet [Laporte, 1992]. I mere virkelighedsnære problemer er der dog ofte mange andre
begrænsninger, og der findes flere udvidelser af VRP, hvoraf en af dem bliver behandlet i afsnit 2.2.
2.1 Vehicle Routing Problem (VRP) I VRP er målet, som beskrevet, at finde en optimal rute for levering fra et eller flere depoter til et antal af
kunder. Vejnettet kan beskrives som en graf, hvis kanter repræsenterer vejene, mens knuderne
repræsenterer kunder og depoter. Kanterne er ikke-‐orienterede, hvis der kan køres i begge retninger og
orienterede, hvis der er tale om ensrettede veje. Til hver kant er der tildelt en omkostning, som
eksempelvis kan være udtrykt ved længden eller rejsetiden. Dette afhænger normalt af, hvilket køretøj, der
anvendes og i hvilket tidsrum, der køres.
Alle kunder har en specifik efterspørgsel på en eller flere varer, der skal leveres og/eller hentes. Kunderne
kan have en begrænset åbningstid og derfor have specifikke tidsintervaller, hvor levering og/eller
afhentning kan ske. Yderligere kan det tage noget tid at læsse og aflæsse køretøjet.
En eller flere af knuderne betegnes depoter. Hvert depot har et antal køretøjer og en tilgængelig mængde
efterspurgte varer. Et køretøj har et hjemmedepot, hvorfra det starter, men det kan slutte på andre
lokaliteter. Hvert køretøj har en vis kapacitet, som kan være udtrykt i blandt andet volumen, maksimal vægt
eller antal paller. Desuden har hvert køretøj en omkostning, som kan være defineret pr. km, pr. time, pr.
rute med mere. Køretøjets chauffør skal typisk overholde arbejdstidsbegrænsninger som arbejdsperiode i
løbet af dagen, antal pauser, maksimal køretid og overtid. Disse begrænsninger kan med fordel overflyttes
til køretøjet.
I virkelige problemer er der typisk nogle operationelle begrænsninger, der også skal overholdes, som kan
afhænge af de varer, der transporteres, kvaliteten af service hos kunden samt køretøjernes
karakteristikker. Eksempler på dette kan være, at nogle kunder skal serviceres før andre, eller at nogle varer
ikke kan være i samme køretøj [Toth & Vigo, 2002]. Yderligere kan der være tids-‐ og
distancebegrænsninger [Laporte, 1992]. Som oftest er målet for VRP at minimere de samlede
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 6 af 66
transportomkostninger ud fra den kørte distance og de faste omkostninger. Andre mål kan være at
minimere antallet af køretøjer eller balancere ruterne i henhold til rejsetid og køretøjets belastning [Toth &
Vigo, 2002].
2.1.1 Notation
VRP kan beskrives som en komplet graf 𝐺 = (𝑉,𝐴) hvor 𝑉 = 0,… , 𝑛 er et sæt af knuder, og A er et sæt af
ikke-‐orienterede kanter. Knude 𝑖 = 1,… , 𝑛 repræsenterer kunderne, mens depotet er lokaliseret i knude 0.
Hver knude har typisk en ikke-‐negativ efterspørgsel 𝑑! hvor 𝑖 > 1. For hvert par af knuder 𝑖 og 𝑗 er der
defineret en kant (𝑖, 𝑗). Hver kant har en ikke-‐negativ distancematrix 𝐶 = 𝑐!", hvor omkostningen 𝑐!" er
givet ved omkostningen af den korteste vej, der starter i knude 𝑖 og slutter i knude 𝑗. Hvis G er en orienteret
graf, er omkostningsmatricen asymmetrisk, men hvis 𝑐!" = 𝑐!" for alle 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴 kaldes problemet
symmetrisk. På hver kant (𝑖, 𝑗) er der en rejsetid, 𝑡!". I depotet er der et sæt af 𝐾 tilgængelige køretøjer
med en kapacitet 𝐶. Hver kunde i 𝑉\ 0 skal besøges præcist en gang, og hver lastbil skal starte og slutte i
depotet. Såfremt vognparken er heterogen betegnes kapacitet 𝐶!. Hvert køretøj skal mindst foretage en
rute, og det antages, at 𝐾 ikke er mindre end 𝐾!"#. 𝐾!"# kan udregnes ved at løse the Bin Packing Problem
(BPP) i sammenhæng med VRP. BPP omhandler bestemmelse af det minimale antal køretøjer med en
kapacitet på 𝐶, der er nødvendige for at servicere alle kunder i et kundesæt S. Udregning af 𝐾!"# ses i (1)
[Laporte, 1992; Toth & Vigo, 2002].
(1) 𝐾!"# = 𝑑(𝑆)/𝐶
2.1.2 Eksakte løsningsmetoder
En algoritme er gentagelser af en serie af steps [Balakrishnan et al., 2007]. Eksakte algoritmer kan opdeles i
tre kategorier; direkte søgetræsalgoritmer (direct tree search algorithm), dynamisk programmering og
lineær heltalsprogrammering. Kategorien lineær heltalsprogrammering er meget bred, og det er her, det
meste research er foretaget [Laporte & Nobert, 1987]. Den kan deles op i tre kategorier; set partitioning
formulations, vehicle flow formulations og commodity flow formulations [Magnanti, 1981]. Ud af disse er
vehicle flow formulations den mest anvendte, og denne vil derfor blive beskrevet herunder. Vehicle flow
formuleringer anvender binære variable til at indikere, om et køretøj i den optimale løsning kører mellem
to byer eller ej. Der findes two-‐index og three-‐index formuleringer [Laporte & Nobert, 1987], hvoraf der i
det efterfølgende vil blive lagt vægt på den sidste. Algoritmen three-‐index vehicle flow formulation
garanterer at finde en optimal løsning i et endeligt antal steps, hvis den køres til den er færdig. Der
anvendes binære beslutningsvariabler til at indikere om et køretøj anvender en kant 𝑖, 𝑗 .
Beslutningsvariablen 𝑥!"# 𝑖 ≠ 𝑗 indikerer om kant 𝑖, 𝑗 bruges af køretøjet 𝑘 eller ej. Variablen er lig med
1, hvis kant 𝑖, 𝑗 benyttes af køretøj 𝑘 i den optimale løsning og 0 ellers. Tilsvarende indikerer den binære
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 7 af 66
variabel 𝑦!" om knude 𝑖 serviceres af køretøj 𝑘. Hvis knuden serviceres af 𝑘 er den lig 1 og 0 ellers. Det vil
sige, at der er en specifik variabel for hvert køretøj og hvert knudepar. Denne information er lagt sammen i
two-‐index formuleringer, hvilket vil sige, at variablen 𝑥!" ikke specificerer hvilket køretøj, der anvendes på
kanten 𝑖, 𝑗 .
Formuleringen for three-‐index er:
Objektfunktion
(2) 𝑚𝑖𝑛 𝑐!"𝑥!"#(!,!)∈!!∈!
under bibetingelse af
(3) 𝑑!𝑦!" ≤ 𝐶!
!∈!
∀𝑘 ∈ 𝐾
(4) 𝑦!"!∈!
= 1 ∀𝑖 ∈ 𝑉 ∖ 0
(5) 𝑦!!!∈!
= 𝐾
(6) 𝑥!"#!∈!
= 𝑥!"#!∈!
= 𝑦!" ∀𝑖 ∈ 𝑉,∀𝑘 ∈ 𝐾
(7) 𝑥!"# ≤!,!∈!
𝑆 − 1 𝑆 ⊂ 𝑉; 𝑆 ≥ 2;∀𝑘 ∈ 𝐾
(8) 𝑥!"# ∈ 0,1 ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉,∀𝑘 ∈ 𝐾
(9) 𝑦!" ∈ 0,1 ∀𝑖 ∈ 𝑉,∀𝑘 ∈ 𝐾
Målet er at minimere omkostningerne under en række bibetingelser (3)-‐(9). Betingelse (3) sørger for, at
kundernes efterspørgsel på en rute ikke overstiger køretøjets kapacitet. Det vil sige, at summen af
kundernes efterspørgsel 𝑑! skal være mindre end eller lig med lastbilens kapacitet 𝐶!.
Betingelse (4) sikrer, at hver knude undtaget depotet bliver besøgt af et eller andet køretøj. Betingelse (5)
sikrer, at alle køretøjer forlader depotet. Betingelse (6) sikrer, at når et køretøj besøger en kunde, skal det
også forlade kunden igen.
I betingelse (7) er S et sæt af knuder i en subtur. En subtur er en rute, som ikke har nogen forbindelse til de
øvrige ruter eller depotet som vist i figur 2 ved knuderne 1-‐3. Betingelsen sikrer, at subture bliver
elimineret ved, at der kun kan benyttes 𝑆 − 1 kanter, så den isolerede rute (subturen) ikke kan lukkes. Det
betyder, at et køretøj ikke kan køre i ring mellem knude 1, 2 og 3. Problemet løses altid først uden denne
bibetingelse, og bliver kun tilføjet såfremt der er en subtur. Dette fortsætter, til der ikke er nogen subture.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 8 af 66
Betingelse (7) og (8) sikrer at 𝑥 og 𝑦 er binære variable [Fisher & Jaikumar, 1981; Lawler et al., 1985;
Laporte, 1992; Laporte & Nobert, 1987; Toth & Vigo, 2002].
Det er ikke alle VRP problemer, der kan løses eksakt, da det bliver mere vanskeligt, jo flere variable
problemet indeholder. Det største problem, der konsekvent kan løses, indeholder omkring 50 kunder.
Problemer med flere variable kan kun løses eksakt i særlige tilfælde [Toth & Vigo, 2002]. Da eksakte
løsningsmetoder derfor generelt er utilstrækkelige, anvendes der almindeligvis heuristikker i praksis
[Cordeau et al., 2002].
2.1.3 Heuristiske løsningsmetoder
En heuristisk algoritme er en metode, som giver en god approksimeret løsning på et problem [Moore &
Weatherford, 2001]. De metoder, der anvendes til VRP, er som oftest af typen konstruktionsheuristikker,
da VRP indeholder mange bibetingelser. En konstruktionsheuristik starter fra bunden, hvorefter der i en
række steps tilføjes en knude eller en kant til løsningen. Heuristikken fortsætter indtil der ikke kan tilføjes
flere knuder eller kanter. Ved anvendelse af konstruktionsheuristikker til VRP respekteres bibetingelserne
kontinuert [Lysgaard, 1993]. Et eksempel på en konstruktionsheuristik er en grådig heuristik. En grådig
heuristik er en heuristik, som i hver iteration vælger den beslutning, som resulterer i den bedste løsning på
det pågældende tidspunkt [Zanakis et al., 1989]. Det betyder, at der i forbindelse med hver iteration tilføjes
den knude eller kant, som giver den billigste løsning.
Der findes en række klassiske heuristikker, hvor målet har været at opnå en mulig løsning på kort tid. Disse
heuristikker er savings algoritme, sweep algoritme samt Fisher og Jaikumar algoritme. De seneste 20 år er
heuristikker dog udviklet på baggrund af research baseret på metaheuristikker. Metaheuristikker forsøger
at forbedre eksisterende løsninger ved at flytte løsningen fra et lokalt optimum [Gendreau & Potvin, 2010].
Hertil er der anvendt to principper; local search og population search. Ved metoden local search flyttes der
fra en løsning til en anden lovende løsning i nabolaget. Eksempler på dette er Simulated Annealing (SA),
som vil blive beskrevet i afsnit 2.3.2, og Tabu Search (TS).
Figur 2: Eksempel på subtur
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 9 af 66
I population search er metoden at fastholde en pulje af gode forældreløsninger, som rekombineres til at
producere afkom [Cordeau et al., 2002]. Et eksempel på dette er genetic search (GS), som kombinerer to
forældreløsninger til at producere afkom [Masum et al., 2011]. Metaheuristikker er generelt mere
tidskrævende, men til gengæld resulterer de i konsistente løsninger af høj kvalitet. Anvendeligheden af
heuristikker vurderes som regel ud fra hurtighed og korrekthed, som måles ud fra forskellen mellem en
given heuristik og den optimale løsning. Derudover er simpelhed og fleksibilitet også essentielle attributter
for gode heuristikker. Heuristikken skal være simpel, så den er let at forstå og kode, samt fleksibel så den
kan imødekomme forskellige bibetingelser [Cordeau et al., 2002].
Den bedst kendte traditionelle heuristik er konstruktionsheuristikken Clarke og Wrights savings heuristik.
På trods af mangler er den stadig meget anvendt i dag, og denne vil derfor blive forklaret herunder
[Cordeau et al., 2002]. Algoritmen blev første gang anvendt i 1964 af Clarke og Wright til at løse et CVRP,
hvor antallet af køretøjer var frit. Målet er at finde en løsning, der minimerer de totale
transportomkostninger samtidig med at en række af de tidligere nævnte bibetingelser overholdes. Der kan
være tale en symmetrisk eller asymmetrisk omkostningsmatrice. Savings konceptet bygger på den
eventuelle omkostningsbesparelse, der opnås ved at sammenlægge to ruter til en, som vist i figur 3. Det vil
sige, at hvis knude 𝑖 og knude 𝑗 besøges på hver sin rute, kan man alternativt besøge begge kunder på
samme rute. Når kunderne er på hver sin rute, kan disse kaldes henholdsvis 0-‐i-‐0 og 0-‐j-‐0, hvor 0 betegner
depotet. Lægges de to ruter sammen, opstår der en ny rute 0-‐i-‐j-‐0.
Den eventuelle besparelse, der opnås ved sammenlægning, kan udregnes, idet transportomkostningerne er
givet. Transportomkostningen mellem to givne punkter 𝑖 og 𝑗 defineres som 𝑐!", og den totale
transportomkostning benævnes 𝐷!.
Den totale transportomkostning for de to ruter 0-‐i-‐0 og 0-‐j-‐0 ses i (10). Hvis de to ruter lægges sammen, til
rute 0-‐i-‐j-‐0 benævnt 𝐷! er transportomkostningen (11). Ved at kombinere de to ruter opnås en
omkostningsbesparelse betegnet 𝑆!", som ses i (12).
Figur 3: Eksempel på saving
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 10 af 66
(10) 𝐷! = 𝑐!!+𝑐!! + 𝑐!!+𝑐!!
(11) 𝐷! = 𝑐!!+𝑐!" + 𝑐!!
(12) 𝑆!" = 𝐷!−𝐷! = 𝑐!!+𝑐!! − 𝑐!"
Når der er tale om store værdier af 𝑆!" indikerer det, at det er attraktivt at besøge knude 𝑖 og 𝑗 på samme
rute.
Udgangspunktet for metoden er ruter, der indeholder depotet og en anden knude. Herefter er
fremgangsmåden at sammenlægge ruter i henhold til de største besparelser, som kan genereres. Der
gennemføres følgende step:
Step 1: Udregn besparelserne 𝑆!" = 𝑐!! + 𝑐!! − 𝑐!" for 𝑖, 𝑗 = 1,… , 𝑛 og 𝑖 ≠ 𝑗. Lav 𝑛 − 1 ruter
0, 𝑖, 0 𝑖 = 1,… , 𝑛
Step 2: Opstil besparelserne med tilhørende ruter i faldende orden.
Step 3: Betragt to ruter fra toppen af listen indeholdende kanterne 𝑖, 0 og 0, 𝑗 . Hvis 𝑠!" > 0
undersøges det, om det er muligt at sammenlægge de to ruter ved at danne kanten 𝑖, 𝑗
og slette kanterne 𝑖, 0 og 0, 𝑗 . Hvis den fremkomne rute er mulig, beholdes kanten.
Dette step gentages, indtil det ikke er muligt at lave flere forbedringer.
Savings algoritmen findes i en sekventiel og en parallel version. I den sekventielle version bygges en rute af
gangen, og der begyndes derfor fra toppen af listen hver gang, der er foretaget en ny sammenlægning.
Dette er nødvendigt, da der kan være fremkommet nye kombinationer, som ikke tidligere var mulige. I den
parallelle version kan der bygges på flere ruter samtidig, og her kræves det derfor kun, at listen gennemgås
en gang [Clarke & Wright, 1964; Laporte, 1992; Lysgaard, 1997].
Algoritmen har nogle mangler, da den implicit ignorerer køretøjets faste omkostning samt vognparkens
størrelse. Køretøjets omkostning kan der dog tages højde for ved at tilføje en konstant for hver 𝑐!! 𝑗 =
1,… 𝑛 . I tilfælde med en fast vognpark kan step 3 gentages, indtil det ønskede antal ruter er opnået,
uafhængig af, om besparelserne bliver negative [Laporte, 1992]. Det er yderligere en stor mangel, at
algoritmen ikke er særlig fleksibel. Det er muligt at tilføje bibetingelser, men det forringer kvaliteten af
løsningen, da heuristikken er baseret på en grådig heuristik, der ikke er i stand til at fortryde tidligere
utilfredsstillende rutesammenlægninger. De store fordele ved metoden er dog, at den er meget hurtig og
simpel [Cordeau et al., 2002].
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 11 af 66
2.1.4 Eksempel på savings heuristik
Følgende eksempel består af 5 kunder 𝑖 = 1,2,… , 5 og et depot repræsenteret ved 0. Efterspørgslen hos
de fem kunder er vist i tabel 1. Omkostningsmatricen, som angiver transportomkostningen mellem depotet
og kunderne, er vist i tabel 2. Omkostningerne antages at være symmetriske, hvorfor det kun er halvdelen
af tabellen, der er udfyldt. Der er et uendeligt antal homogene køretøjer til rådighed, hvis kapacitet er på
100 enheder.
Kunde 1 2 3 4 5 Efterspørgsel 37 35 30 25 32
Tabel 1: Efterspørgsel hos kunde 1-‐5
Fra
0 1 2 3 4 5
Til
0 -‐ 1 28 -‐ 2 31 21 -‐ 3 20 29 38 -‐ 4 25 26 20 30 -‐ 5 34 20 32 27 25 -‐
Tabel 2: Transportomkostninger fra knude i til knude j
Ved brug af savings heuristikken udregnes besparelserne 𝑆!". Besparelsen ved eksempelvis at lægge kunde
1 og 2 på samme rute udregnes ved brug af (12) fra afsnit 2.1.3:
(13) 𝑆!" = 28 + 31 − 21 = 38
Alle besparelser 𝑆!" er udregnet og fremgår af bilag 1. I tabel 3 er besparelserne opsat i stigende orden med
tilhørende kundepar.
Besparelse Kundepar 42 1-‐5 38 1-‐2 36 2-‐4 34 4-‐5 33 2-‐5 27 1-‐4 27 3-‐5 19 1-‐3 15 3-‐4 13 2-‐3
Tabel 3: Besparelser i stigende orden
Løses problemet sekventielt er fremgangsmåden som følger. Først kigges der på kunde 1 og 5, hvor der er
en besparelse på 42. Lægges de to kunder på same rute bliver deres samlede efterspørgsel 69 enheder. Da
dette ikke overstiger køretøjets kapacitet lægges disse derfor ved siden af hinanden på samme rute. Den
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 12 af 66
næste besparelse på 38 er mellem kunde 1 og 2. Hvis disse to kunder skal placeres ved siden af hinanden
på en rute, kræver det, at ruten hedder enten 2-‐1-‐5 eller 1-‐5-‐2. Den samlede efterspørgsel på en sådan rute
bliver 104, hvilket overstiger lastbilens kapacitet. Ruten er derfor ikke mulig. Næste par er kunde 2 og 4.
Tilføjes disse skabes der en ny rute, hvilket ikke er tilladt i den sekventielle metode, da den er begrænset til
kun at lave en rute af gangen. Den næste kombination er kunderne 4-‐5, hvilket vil resultere i rute 1-‐5-‐4
eller 4-‐5-‐1. Rutens efterspørgsel er 94, og kunde 4 tilføjes derfor ruten. Det er ikke muligt at tilføje flere
kunder til ruten, da køretøjets kapacitet i så fald ville overstiges. Den endelige rute er dermed 0-‐1-‐5-‐4-‐0, og
har en transportomkostning på 98. Derefter gennemgås listen fra toppen igen. Det er kun kunde 2 og 3,
som ikke er blevet serviceret, hvorfor ruten 0-‐2-‐3-‐0 oprettes. Ruten har en efterspørgsel på 65 og en
transportomkostning på 89. Den sekventielle fremgangsmåde giver en løsning med to ruter og en total
transportomkostning på 187.
I den parallelle fremgangsmåde kombineres kunde 1 og 5 også først. Som før kan kunde 1 og 2 ikke lægges
på ruten på grund af manglende kapacitet. I denne metode er det tilladt at lave flere ruter af gangen,
hvorfor der oprettes en ny rute 0-‐2-‐4-‐0 med en efterspørgsel på 60. Tilføjelse af kundepar 4-‐5 vil resultere i
en sammenlægning af to ruter. Dette er ikke muligt da kapaciteten overstiges. Det samme er gældende for
kundepar 2-‐5 og 1-‐4. Til sidst kombineres kundepar 3-‐5 til rute 0-‐1-‐5-‐0, hvilket giver ruten 0-‐1-‐5-‐3-‐0 med en
efterspørgsel på 99. Den parallelle fremgangsmåde giver dermed en løsning med 2 ruter og
transportomkostninger på i alt 171.
I dette eksempel gav den parallelle løsning et bedre resultat end den sekventielle, hvilket også forekommer
oftest. Den parallelle metode kan dog, afhængig af hvordan den er implementeret, involvere mere
beregningsarbejde, da der skal holdes styr på flere ruter samtidigt. Generelt er den ene metode derfor ikke
bedre end den anden [Lysgaard, 1997].
2.2 Vehicle Routing Problem with Time Windows (VRPTW) Vehicle routing problem with time windows (VRPTW) er en udvidelse af VRP [Toth & Vigo, 2002]. VRPTW
begrænses yderligere af, at hver knude skal besøges og serviceres indenfor et givet tidsinterval, kaldet et
tidsvindue. Desuden skal køretøjet blive hos knuden under service [Kallehauge, 2006]. Tidsvinduerne kan
være bløde eller hårde. De er bløde, når det er tilladt at overtræde dem for en given omkostning, hvorimod
hårde tidsvinduer ikke tillader, at knuden serviceres uden for tidsvinduet. Dette betyder, at hvis et køretøj
eksempelvis ankommer for tidligt til en given knude, skal køretøjet vente, før det kan påbegynde service af
knuden [Kallehauge et al., 2005]. VRPTW er ligesom VRP NP-‐hard [Toth & Vigo, 2002].
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 13 af 66
2.2.1 Notation
VRPTW er defineret på et netværk 𝐺 = (𝑉,𝐴). VRPTW problemet består af en vognpark K og en mængde af
kunder 𝑁 = 𝑉 ∖ 0, 𝑛 + 1 , hvor vognparken typisk anses for værende homogen. I netværket 𝐺 er
startdepotet repræsenteret af knude 0 og slutdepotet af knude 𝑛 + 1. Tidsvinduet for knude 𝑖 er defineret
ved 𝑎! , 𝑏! , hvor 𝑎! er tidligste tidspunkt for service og 𝑏! er seneste tidspunkt for service. Tiden for service
af knude 𝑖 betegnes 𝑠! og rejsetiden fra knude 𝑖 til knude 𝑗 er defineret 𝑡!" Til depoterne er der tilknyttet et
tidsvindue 𝑎!, 𝑏! = 𝑎!!!, 𝑏!!! = 𝐸, 𝐿 , hvor 𝐸 er den tidligste afgang fra depotet og 𝐿 den seneste
ankomst til depotet. Der er ingen efterspørgsel og servicetid i depot knuderne, hvilket vil sige, at 𝑑! =
𝑑!!! = 𝑠! = 𝑠!!! = 0.
Der eksisterer kun mulige løsninger såfremt den tidligste afgang fra depotet er mindre end eller lig med
minimum for seneste servicetidspunkt i knude 𝑖 fratrukket rejsetiden til knude 𝑖. Det vil sige 𝑎! = 𝐸 ≤
𝑚𝑖𝑛!∈!∖ ! 𝑏! − 𝑡!!. Yderligere skal det gælde, at den seneste ankomst til slutdepotet, skal være større end
eller lig med minimum for tidligste servicetidspunkt hos knude 𝑖 plus den tid, det tager at servicere knuden
og rejse til slutdepotet. Det betyder, at 𝑏!!! = 𝐿 ≥ 𝑚𝑖𝑛!∈!∖ ! 𝑎! + 𝑠! + 𝑡!!. En kant 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴 kan
elimineres, hvis der sker overtrædelse af et tidsvindue. Det vil sige, hvis 𝑎! + 𝑠! + 𝑡!" ≥ 𝑏!. Det kan
yderligere ske som følge af kapacitetsbegrænsninger. Givet en knude 𝑖 betegner ∆!(𝑖) de kanter som går
ind i knude 𝑖. Modsat betegner ∆!(𝑖) de kanter, der går ud af knude 𝑖. Det vil sige, det betegner de kanter,
som er opnåelige til og fra knude 𝑖. Dette er illustreret i figur 4.
Modellen består af beslutningsvariablene 𝑥!"# og 𝑤!", hvor 𝑥!"# er defineret i afsnit 2.1.1. Variablen 𝑤!"
angiver start af service i knude 𝑖 foretaget af køretøj 𝑘.
VRPTW kan matematisk beskrives som et multicommodity netværks-‐flow model med tidsvinduer og
kapacitetsbegrænsninger [Kallehauge et al., 2005; Toth & Vigo, 2002].
Objektfunktion:
(14) 𝑚𝑖𝑛 𝑐!"𝑥!"#(!,!)∈!!∈!
Figur 4: illustration af delta
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 14 af 66
under bibetingelse af
(15) 𝑑! 𝑥!"# ≤ 𝐶!∈∆!(!)!∈!
∀𝑘 ∈ 𝐾
(16) 𝑥!"# = 1!∈∆!(!)!∈!
∀𝑖 ∈ 𝑁
(17) 𝑥!!" = 1!∈∆!(!)
∀𝑘 ∈ 𝐾
(18) 𝑥!"# − 𝑥!"# = 0!∈∆!(!)!∈∆!(!)
∀𝑗 ∈ 𝑁,∀𝑘 ∈ 𝐾
(19) 𝑥!,!!!,! = 1!∈∆!(!!!)
∀𝑘 ∈ 𝐾
(20) 𝑥!"#(𝑤!" + 𝑠!" + 𝑡!" − 𝑤!") ≤ 0 ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴,∀𝑘 ∈ 𝐾
(21) 𝑎! 𝑥!"#!∈∆!(!)
≤ 𝑤!" ≤ 𝑏! 𝑥!"#!∈∆!(!)
∀𝑖 ∈ 𝑁,∀𝑘 ∈ 𝐾
(22) 𝐸 ≤ 𝑤!" ≤ 𝐿 ∀𝑘 ∈ 𝐾, 𝑖 ∈ 0,𝑛 + 1
(23) 𝑥!"# ≥ 0 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐾
(24) 𝑥!"# ∈ 0, 1 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴, 𝑘 ∈ 𝐾
(14) er problemets objektfunktion, hvor formålet er at minimere de samlede omkostninger under
bibetingelserne (15)-‐(24). Bibetingelse (15) er en kapacitetsbegrænsning, som sikrer at køretøjets kapacitet
ikke overstiges. Bibetingelse (16) sikrer, at hver knude er på præcis et køretøjs rute. Bibetingelserne (17)-‐
(19) er flowligninger. Bibetingelse (17) sikrer, at hvert køretøj begynder i depotet. (18) sikrer, at når et
køretøj ankommer til en kunde, skal den også køre videre til en ny kunde. Det vil sige, at det som går ind i
knuden skal også være lig det, som går ud af knuden. Bibetingelse (19) sikrer, at køretøjerne ender ruterne i
depotet. Begrænsningerne (20)-‐(22) sikrer, at tidsvinduerne overholdes. Bibetingelse (20) sikrer, at efter
endt service af knude 𝑖 starter service af knude 𝑗. Bibetingelse (21) sikrer, at start af service i knude 𝑖 er
større end det tidligste tidspunkt for service heraf. Samtidig skal start af service være mindre end det
seneste tidspunkt for service. Tilsvarende sikrer bibetingelse (22) at depotets tidsvindue overholdes.
Begrænsning (23) sikrer ikke-‐negativitet og (24) sikrer, at beslutningsvariablene er binære [Toth & Vigo,
2002].
VRPTW indeholder variable, som definerer start af service. Dette sikrer en unik ruteretning, som medfører,
at subturbegrænsningen fra det klassiske VRP er redundant [Kallehauge et al., 2005].
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 15 af 66
2.3 Metaheuristikker VRPTW løses ofte ved brug af metaheuristikker. Der er lavet meget research omkring VRPTW, og der er
derfor anvendt mange forskellige metaheuristikker til at løse problemet [Ropke & Pisinger, 2007]. To af
disse er Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) og Jan Dethloff's Alg. Modified, som er de algoritmer,
applikationen logvrp benytter. Jan Dethloff’s alg. Modified (JDAM) kan kun benyttes til at løse VRP med
simultan levering og afhentning (VRPSDP), mens Adaptive Large Neighborhood search (ALNS) kan bruges til
at løse flere forskellige typer af VRP problemer, herunder CVRP, VRPTW, VRPSDP, site-‐dependent VRP
(SDVRP), Open VRP (OVRP) samt Multi-‐depot VRP (MDVRP) [Logvrp, 2012b]. Det vil sige, at begge
algoritmer kan anvendes i denne problemstilling. ALNS vil dog i langt de fleste tilfælde komme frem til en
bedre løsning end JDAM, hvilket er baggrunden for, at ALNS vil blive beskrevet i dybden.
ALNS er en udvidelse af Large Neighborhood Search (LNS). Både LNS og ALNS tilhører klassen af heuristikker
kendt som Very Large Neighborhood Search (VLNS) algoritmer. VLNS algoritmer søger i store nabolag, da
dette resulterer i, at der findes lokale optima af høj kvalitet, og der findes dermed bedre løsninger. Det er
dog tidskrævende at søge store nabolag, og derfor anvendes forskellige teknikker til at begrænse
søgningen. Nabolaget, der søges i, er dermed kun en del af det overordnede problem [Pisinger & Ropke,
2010].
2.3.1 Large Neighborhood Search (LNS)
I LNS tages der udgangspunkt i en brugbar løsning, som gradvist forbedres ved skiftevis at ødelægge og
reparere løsningen. Dette virker ved først at fjerne nogle knuder fra løsningen ved at fjerne deres ordrer,
hvorefter knuderne genindsættes på en bedre måde og løsningen dermed re-‐optimeres.
Ødelæggelsesmetoden er stokastisk, således at det er forskellige knuder, der fjernes hver gang.
Reparationsmetoden kan eksempelvis foretages med en grådig heuristik, som er beskrevet i afsnit 2.1.3.
Et eksempel på, hvorledes ødelæggelses-‐ og reparationsmetoden virker, ses af figur 5 a, b og c. Figur 5a
illustrerer en løsning på et VRP problem med 10 kunder repræsenteret ved cirkler, og et depot
repræsenteret ved et kvadrat. Figur 5b viser ødelæggelsesmetoden, som her er valgt til, at 30 % af
kunderne tilfældigt fjernes fra ruterne. Herefter repareres ruterne ved at indsætte kunderne igen på en
måde, der forbedrer løsningen, som vist i figur 5c. Som tidligere nævnt, kan reparationen eksempelvis
foretages ved at benytte en grådig heuristik.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 16 af 66
Figur 5: Eksempel LNS
Algoritmen tager udgangspunkt i en brugbar løsning x. Som udgangspunkt er den brugbare løsning x, lig
med den bedste løsning xb indtil videre. Der foretages en søgning i nabolaget, hvorefter ødelæggelses-‐ og
reparationsmetoden benyttes til at finde en ny løsning xt. Det vurderes herefter om den fremkomne løsning
xt skal erstatte den nuværende løsning x, eller om den skal forkastes. Hvorvidt løsningen x skal erstattes kan
vurderes ud fra forskellige metoder. En simpel metode er, at der kun accepteres en bedre løsning. Hvis
løsning x erstattes, tjekkes det derefter, om den nye løsning xt er den bedst kendte løsning. Er dette
tilfældet bliver xt lig med xb. Denne proces gentages indtil et stopkriterium nås. Stopkriteriet er typisk en
begrænsning på antallet af gentagelser eller tid. LNS søger ikke i hele nabolaget, men foretager kun
stikprøver. I LNS kan der anvendes forskellige ødelæggelses-‐ og reparationsmetoder. I forbindelse med
ødelæggelsesmetoden er det vigtigt, hvor stor en del af løsningen der ødelægges, da effekten af at anvende
et stort nabolag forsvinder, hvis det kun er små dele, som ødelægges. Når løsningen skal repareres, kan der
vælges mellem en eksakt og en heuristisk metode. Eksakte løsninger vil tage længere tid, men giver
potentielt bedre løsninger. I LNS benyttes der kun en ødelæggelses-‐ og en reparationsmetode, hvorimod
ALNS benytter flere inden for samme søgning [Shaw, 1998; Pisinger & Ropke, 2010].
2.3.2 Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS)
Da der i ALNS anvendes flere ødelæggelses-‐ og reparationsmetoder tildeles hver af disse en vægt, som
kontrollerer, hvor ofte metoden forsøges anvendt i søgningen. Vægtene tilpasses under søgeprocessen, så
heuristikken tilpasser sig problemet og søgningens stadie. Yderligere adskiller ALNS sig fra LNS ved, at der
søges i flere nabolag af gangen. Hvilket nabolag, der anvendes, kontrolleres ud fra performance. ALNS
algoritmen er i store træk opbygget på samme måde som LNS. Algoritmen fremgår af figur 6. Der tages
udgangspunkt i en brugbar løsning x, som initialt er lig med den bedste løsning xb. Der udvælges en
ødelæggelsesmetode og en reparationsmetode ud fra den tildelte vægt og en sandsynlighed. Ødelæggelsen
består i af fjerne q knuder fra de eksisterende ruter ved at fjerne deres ordrer, hvorefter
reparationsmetoden indsætter knuderne i en
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 17 af 66
1. Konstruér en mulig løsning x; sæt xb:=x
2. Vælg ødelæggelses-‐ og reparationsmetoder baseret på tidligere opnåede scorer og en
sandsynlighed.
3. Generer en ny løsning xt fra x
4. Hvis xt kan accepteres, så sæt x : = xt
5. Opdater scorer
6. Gentag 2-‐5 indtil stopkriterium er nået
7. Anvend xb
Figur 6: ALNS algoritme
eller flere mulige ruter. Herefter accepteres eller forkastes den nye løsning på sammen måde som i LNS.
Inden denne proces igen foretages, opdateres de anvendte metoders vægte. Vægtene opdateres efter,
hvor god performance den enkelte ødelæggelses-‐ og reparationsmetode har haft. Vægtene justeres for at
sikre, at de metoder, som giver bedre løsninger, har større sandsynlighed for at blive valgt igen. Denne
proces fortsætter indtil et stopkriterium nås [Pisinger & Ropke, 2010].
ALNS kan gøre brug af 7 forskellige heuristikker til fjerne knuder fra løsningen. Hver heuristik søger i et givet
nabolag. Det er muligt at vælge mellem random remowal, worst removal, related removal, cluster removal,
time-‐oriented removal, historical node-‐pair removal samt historcial request-‐pair removal.
I random removal fjernes q knuder tilfældigt fra løsningen, hvilket sikrer, at løsningen diversificeres. Dette
er den mest simple heuristik [Ropke & Pisinger, 2007].
Worst removal fjerner derimod knuder, som er meget dyre, eller som på en eller anden måde ødelægger
strukturen af den nuværende løsning. Dette gøres, indtil q knuder er fjernet fra løsningen. Løsningen
randomiseres med parameteren p for at sikre, at det ikke er de samme knuder, som fjernes igen og igen.
Det betyder, at hvis p er lille vælges de dyreste ruter, mens mindre dyre knuder vælges, når p er større
[Ropke & Pisinger, 2006a].
I fjernelsesheuristikken related removal er formålet at fjerne et sæt af knuder, som er indbyrdes forbundne
og dermed nemme at bytte om på. Sammenhængen defineres udelukkende ud fra distancen mellem
knuderne. Der udvælges tilfældigt en knude i, derefter vælges gentagende gange en ny knude j, som er
mest forbundet til i. Også her benyttes parameteren p for at randomisere processen. Hvis denne er lig med
0 vælges altid den mest relaterede knude.
Cluster removal ligner til dels related removal. I cluster removal fjernes klynger af forbundne knuder fra
nogle få ruter. Klynger kan eksempelvis være kunder, der er grupperet i samme geografiske områder.
Såfremt blot én knude fra klyngen ikke fjernes sammen med de øvrige knuder fra klyngen er der en tendens
til, at de fjernede knuder blot vil blive sat ind på den samme rute igen på grund af den tilbageværende
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 18 af 66
knude. Motivationen bag denne heuristik er dermed at fjerne store klumper af relaterede knuder fra nogle
få ruter i stedet for at fjerne få knuder fra hver rute [Ropke & Pisinger, 2006b]. En illustration heraf ses i
figur 7.
I time-‐oriented removal fjernes knuder, som betjenes på nogenlunde samme tidspunkt. Det gøres, fordi det
burde være nemt at bytte om på disse knuder. Da der ofte er tale om et stort geografisk område, udvælges
der først en mængde af geografisk forbundne knuder, hvorefter de knuder, som bliver betjent på
nogenlunde samme tidspunkt, fjernes. Hvis knuder udelukkende fjernes ud fra betjeningstidspunktet, ville
det kun være få knuder, som blev fjernet, hvilket ville gøre det svært at lave en forbedret løsning [Ropke &
Pisinger, 2007].
I historical node-‐pair removal tages der udgangspunkt i den historiske succes af at besøge to knuder efter
hinanden. Hver kant mellem et knudepar tilføjes en vægt, som opdateres hver gang der findes en ny
løsning. Vægtene bruges til at fjerne de knuder, som har de største omkostninger. Omkostningen for hver
knude beregnes ved at summe vægten af de tilstødende kanter. Dette fortsætter indtil q knuder er fjernet.
Der er også tilføjet noget tilfældighed, så det ikke altid er de knuder med de højeste omkostninger, som
fjernes, hvilket sikrer, at det ikke er de samme knuder som fjernes igen og igen [Ropke & Pisinger, 2006b;
Ropke & Pisinger, 2007].
Historical request-‐pair removal tager modsat histroical node-‐pair udgangspunkt i den historiske succes af at
servicere to knuder med den samme bil, hvilket betyder, at de ikke nødvendigvis besøges efter hinanden.
Der tilføjes en vægt til de to knuder, som fortæller hvor mange gange de har været på samme rute.
Vægtene indikerer, hvor forbudne de to knuder er, og knuderne fjernes herefter på samme måde som ved
related removal [Ropke & Pisinger, 2007]. Efter at q knuder er blevet fjernet, skal de genindsættes ved
parallelt at konstruere brugbare ruter. Til dette kan der gøres brug af den almindelige grådige heuristik og
fortrydelsesheuristikken.
Figur 7: Cluster removal heuristic. Figuren til venstre viser den nuværende løsning, mens figuren til højre viser en bedre løsning efter fjernelse af klyngen, der indeholder knuderne 6-‐8
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 19 af 66
I den grådige heuristik indsættes en knude altid på den billigste position i den billigste rute. Dette gøres
indtil der ikke er flere knuder, eller til det ikke er muligt at indsætte flere. Fortrydelsesheuristikken forsøger
at være fremadrettet for at undgå, at det er de dyreste knuder, som er tilbage til sidst, hvor der ikke er
særlig mange muligheder for at indsætte dem. I fortrydelsesheuristikken udregnes forskellen i
omkostningen ved at indsætte en knude på den billigste og den næstbilligste rute. Dette gøres for alle de
fjernede knuder. Den knude, hvor der er den største forskel i omkostningen indsættes billigst position i den
billigste rute. Det vil sige, at de knuder som indsættes først er dem man vil fortryde mest ikke at have
indsat, hvis det resulterede i, at de skulle indsættes på den næste bedste position. Dette skyldes, at
forskellen mellem at indsætte knuden på den bedste og den næstbedste position er meget stor. Udregning
af omkostninger og indsættelse af de enkelte kunder fortsættes, indtil der ikke er flere knuder, som kan
indsættes [Ropke & Pisinger, 2006a; Ropke & Pisinger, 2007].
I LNS benyttes et simpelt acceptkriterium for om den fundne løsning i hver iteration benyttes eller ej. Der er
dog risiko for, at acceptkriteriet bliver fanget i et lokalt minimum. For at undgå dette anvendes der i ALNS
simulated annealing, som i nogle tilfælde vil acceptere løsninger, der er dårligere end den nuværende, for
at undgå lokalt minimum [Ropke & Pisinger, 2006a]. Simulated annealing stammer fra en
hærdningsproces, hvor formålet er at fremstille faste stoffer ved brug af lave mængder af energi.
Annealing er en proces, hvor et fast stof smeltes ved at temperaturen øges, hvorefter temperaturen
gradvist reduceres i en række stadier med lav energi for at opnå en fast tilstand. Hvert stadie fastholdes
indtil den ønskede tilstand af stoffet opnås. I sammenhæng med VRP svarer et stadium til en løsning eller
et sæt af ruter, og den anvendte energi svarer til løsningens omkostninger [Gendreau et al., 2008]. Givet
den nuværende løsning x accepteres xt med en sandsynlighed angivet i (25)
(25) 𝑒!(! !! !! ! )/!
T angiver en temperatur større end 0. Temperaturen T reduceres i hver iteration med en kølingsrate c, som
ligger mellem 0 og 1. Starttemperaturen udregnes ud fra den problemstilling, der arbejdes med. Ved høje
temperaturer er der større sandsynlighed for, at dårlige løsninger accepteres. I takt med at temperaturen
nedkøles er det bedre og bedre løsninger, som accepteres.
Udover at benytte simulated annealing tilføjes der også noget ”noise” i ødelæggelses-‐ og
reparationsheuristikkerne. Dette gøres for at sikre, at det ikke er altid er den bedste lokale løsning, som
vælges, og at løsningen dermed ikke bliver fanget i et lokalt minimum [Ropke & Pisinger, 2006a].
Denne heuristik minimerer omkostninger, hvilket betyder, at der skal bruges en to-‐trins model for også at
reducere antallet af anvendte lastbiler. Dette gøres ved gentagende gange at fjerne en rute, hvorefter
kunderne på denne rute forsøges placeret på andre ruter. Hvis dette er muligt, fortsættes der i ALNS med
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 20 af 66
det lavere antal af ruter. Hvis det derimod ikke kan lade sig gøre, anvendes den sidst mulige løsning, og
ALNS køres indtil stopkriteriet er nået [Ropke & Pisinger, 2007].
3. Virksomhedsbeskrivelse Arla Foods opstod som en fusion mellem svenske Arla og danske MD Foods d. 17. april 2000 [Arla Foods,
2012a]. De to mejeriers rødder går helt tilbage til henholdsvis 1881 i Sverige og 1882 i Danmark, hvor de
første andelsmejerier startede. Mejeriselskabet Danmark (MD) blev stiftet d. 1. oktober 1970 som en fusion
af flere mejerier, og efterfølgende kom endnu flere mejerier til. I 1988 skiftede mejeriet navn til MD Foods,
og i 1989 blev MD Foods International oprettet for at kunne drive virksomhed internationalt og opkøbe
mejerier i udlandet. I 1999 fusionerede MD Foods med Kløvermælk og tilsammen stod de nu for 90 % af
den samlede mælkeproduktion i Danmark. Herefter fusionerede de med svenske Arla, som står for 65 % af
den svenske mælkeproduktion [Arla Foods, 2012b]. Arla Foods fortsatte derefter med at ekspandere ved
opkøb og fusioner i Danmark såvel som i udlandet, seneste har de fusioneret med tyske Hansa-‐Milch i 2011
[Arla Foods, 2012a]. Det er fortsat en del af Arla Foods’ strategi at ekspandere ved opkøb og fusion, idet
markedet for mejeriprodukter er meget konkurrencepræget, og det er nødvendigt at være stor for at
overleve [Arla Foods amba, 2012]. I dag har Arla Foods produktion i 13 lande, og deres produkter sælges i
mere end 100 lande, hvoraf kernemarkederne er Storbritannien, Danmark, Sverige, Finland, Tyskland og
Holland [Arla Foods, 2012c]. I 2011 havde Arla Foods en nettoomsætning på 54.893 mio. kr., hvoraf 70 % af
omsætningen blev realiseret på kernemarkederne. Årets resultat før minoritetsinteresser var på 1.332 mio.
kr. sammenlignet med 1.253 mio. kr. i 2010. Arla Foods beskæftigede i gennemsnit 17.417 ansatte i 2011
[Arla Foods amba, 2012].
Idet Arla Foods er ejet af landmændene er en del af deres vision at opnå den højeste mælkepris til ejerne,
derfor er arlaindtjeningen en vigtig regnskabsmæssig post. Arla Foods og deres ejere benytter
arlaindtjeningen til at sammenligne deres indtjening med andre mejeriselskaber. Arlaindtjeningen er det
samlede resultat pr. kilo mælk i en begrænset periode. I 2011 er arlaindtjeningen steget med 11 % til 2,80
kr., hvilket er på niveau med de bedste resultater [Arla Foods amba, 2012].
3.1 Arla Christiansfeld I Christiansfeld ligger en af Arla Foods’ 4 ferskvareterminaler. De øvrige ferskvareterminaler er placeret i
Hobro, Slagelse, og Ishøj. Terminalen i Ishøj adskiller sig dog fra de øvrige terminaler, idet den ikke har eget
mejeri og udelukkende koncentrerer sig om distributionen til København og omegn. Ferskvareterminalerne
i Slagelse og Ishøj dækker Sjælland og København, mens terminalen i Hobro dækker Jylland nord for
Ringkøbing og Horsens. Christiansfeld dækker det resterende Jylland og Fyn. Terminalernes områder ses af
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 21 af 66
bilag 2. Ferskvareterminalen i Christiansfeld består af et mejeri, et ostelager og en transportterminal, på
22.700 m2. Her er der desuden også en eksportafdeling, som varetager forsendelser til blandt andet
Grønland og Færøerne samt leverancer til NATO.
Der er 100 ansatte i distributionen, og Arla Christiansfeld råder over en vognpark på 51 lastbiler, som kører
ca. 10 timer i døgnet. Der leveres til i alt 950 butikker, hvoraf 750 af disse får levering dagligt. Der sker
levering 6 dage om ugen, fra mandag til lørdag[Arla Foods, 2011b; Bloch, 2012].
I Christiansfeld produceres Lærkevang mælk, skolemælk, fløde og madlavningsfløde, kærnemælk, A38,
koldskål samt produkter til eksport, som alle hører ind under varemærket Arla®. Derudover produceres der
også mælk under en række private labels, hvilket også kaldes billigmælk [Arla Foods, 2011b]. Lærkevang er
frisk mælk, som hentes hos udvalgte landmænd hver dag, hvorimod mælken, som bruges til produktion af
billigmælk, kun hentes hver anden dag. Mælken ankommer til Christiansfeld igennem hele dagen, hvor det
bliver indvejet, testet og forarbejdet.
Lærkevang skal være frisk mælk, og derfor begyndes produktionen heraf først kl. 00.00, så
datomærkningen har dags dato, når den ankommer til butikkerne. Når produktionen af Lærkevang er
afsluttet, begynder man at producere billigmælken, som først bliver leveret den efterfølgende dag. Når
mejeriet udnytter sin kapacitet fuldt ud, kan der produceres op til 80.000 liter mælk i timen.
Mælken produceres efter ordrer, som butikkerne har sendt til deres respektive kæder. Kæden splitter
ordrerne op og sender de ordrer, som vedrører Arla videre til de enkelte ferskvareterminaler. I
Christiansfeld skal ordren være modtaget kl. 20.00. Herefter kan de begynde at planlægge nattens
produktion og transport.
Udover mælk transporterer terminalen i Christiansfeld også mejeriprodukter, der produceres på andre af
Arlas mejerier samt varer fra eksterne producenter, som kan transporteres under samme forhold som
mælken. Dette kan være kød og pålæg samt frugt og grønt, som også skal tidligt ud i butikkerne. Arla
tilbyder at varetage transporten af disse produkter som et tilbud til de forskellige butikskæder, således at
de enkelte butikker modtager færre leverancer samt for at optimere Arlas egen transport. Det er dermed
kun omkring 1/3 af lastbilernes indehold, der er mejeriprodukter. Mælken er dog den styrende faktor for
planlægningen. Varerne, som kommer udefra, ankommer til Christiansfeld med Arlas egne lastbiler i løbet
af dagen frem til kl. 23.00. Alle varerne er mærket fra producenten og håndteres elektronisk, så det så vidt
muligt undgås at flytte rundt på varerne. Det betyder desuden, at der er mange systemer, der arbejder
sammen på tværs, da de eksterne producenters systemer er koblet op på Arlas. Den sene ordreafgivelse og
den eksterne levering gør, at det først er kl. 23.00, at de i Christiansfeld har en viden om hvor meget, der
skal transporteres ud til de enkelte butikker den efterfølgende nat og morgen[Bloch, 2012]. På dette
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 22 af 66
tidspunkt er 90 % af ordrerne tilgængelige i deres system [Arla Foods, 2011b]. Da planlægningstiden er så
kort, har de et stamrutenet, som der køres efter. Det er kun eventuel overlast, der skal planlægges manuelt
i systemet. Til at håndtere denne overlast har de tilknyttet nogle eksterne vognmænd, som står til
rådighed, hvis der skal oprettes ekstra ruter[Westergaard, 2012].
I terminalen plukkes og ekspederes alle de forskellige produkter ud fra ordrerne. Dette gøres ved hjælp af
et pick-‐to-‐voice system, hvor medarbejderne går med head-‐sets, og ordrerne læses op for dem. Det
medfører høj sikkerhed for korrekt ordrehåndtering og giver medarbejderne mulighed for at benytte begge
hænder til at håndtere varerne. I terminalen håndteres der i alt ca. 27.000 ordrelinjer pr. døgn [Arla Foods,
2011b]. Til distribution om natten anvendes 17 porte, hvor varernes rankes op foran. Dele af ordren kan
rankes op i god tid, mens Lærkevang først tilføjes ranken til sidst på grund af den sene produktion. Når hele
ordren er på plads læsses den i lastbilen i en hensigtsmæssig rækkefølge.
Den første lastbil forlader allerede terminalen kl. 01.00, mens den sidste kører kl. 06.00. 85 % af varerne er
leveret inden kl. 09.00, mens de sidste leveres frem til kl. 12.00. Leveringen til butikker sker i henhold til
forskellige kædeaftaler, hvor kæderne køber sig til levering inden for et bestemt tidspunkt. Dette betyder,
at eksempelvis Bilka skal have leveret inden kl. 08.00. Kædeaftalerne fremgår af bilag 3. Ud fra
stamrutenettet kan Arla estimere en forventet leveringstid, som de derefter lover butikken at holde. Den
lovede tid med en tilladt afvigelse på 15 minutter er deres anløbstid. Dette er et vigtigt servicemål for Arla
at opretholde, da det især er vigtig for butikker uden ekstra kølerum at vide, hvornår mælken ankommer. I
dag ligger anløbskvaliteten på ca. 95 %. Når morgenens transport er overstået, anvendes ca. halvdelen af
lastbilerne til mellemtransport. Det er transport af emballage mellem mejerierne, samt afhentning af
mejeriprodukter hos de øvrige mejerier og kød, frugt og grønt hos eksterne producenter. Disse produkter
er en del af den efterfølgende dags leveringer. Om aftenen anvendes ca. 10 af lastbilerne til leveringer hos
grossister og cateringfirmaer, som ønsker andre leveringstider end butikkerne, idet de skal levere til deres
egne kunder om morgenen. Når disse lastbiler kommer tilbage om natten, indgår de i transporten til
butikkerne. Denne døgncyklus gentages seks dage om ugen fra mandag til lørdag[Bloch, 2012].
3.2 Nuværende procedure Arla benytter et system fra Transvision til at planlægge distributionen. Systemet benytter sig af seks
forskellige algoritmer. En af de anvendte algoritmer er LNS. I Arla fungerer LNS ved at udtage og
genplanlægge ordrer efter forskellige principper fra gang til gang. Ved udtagelse af ordrer anvendes blandt
andet tilfældig udvælgelse, og i nogle tilfælde vil der også blive udtaget en hel rute. De øvrige algoritmer
sørger blandt andet for udregning af hurtigste ruter, fordeling af ordrer på et passende antal ruter,
ændringer ruterne imellem, sekvensoptimering og en form for fortrydelsesheuristik [Lerke, 2012].
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 23 af 66
I Arla er systemet udformet i en analysedel og en driftsdel. Analysedelen bruges til at lave stamruteplaner,
samt til at løse problemstillingen under forskellige scenarier.
Når det faste rutenet skal opbygges, tages der først og fremmest udgangspunkt i de forskellige kædeaftaler,
da disse er bestemmende for, hvornår levering skal have fundet sted. Derudover skal der også tages hensyn
til butikkernes adgangsforhold, da det kun er nogle butikker, de kan levere til uden, at der er bemanding i
butikken. I systemet er alle butikker tilføjet med ovennævnte tidsbegrænsninger, og der er tilmeldt x antal
lastbiler i forskellige tidsintervaller. Dette er gjort, idet der skal tages hensyn til antallet af porte, samt
mejeriets kapacitet, som medfører, at alle lastbiler ikke kan køre på samme tidspunkt [Westergaard, 2012].
Chaufførernes arbejdstidsbestemmelser er ligeledes en begrænsning, der skal tages højde for i
planlægningen. I henhold til køre-‐ og hviletidsreglerne må chaufførerne køre 4,5 time, hvorefter der skal
holdes 45 minutters pause. Herefter må de igen køre 4,5 time. Køretiden er kun den tid, hvor lastbilen
kører, og køretiden kan derfor godt være opdelt i mindre tidsintervaller [Politiet, 2011]. Dette er således
også en begrænsning, som Arla skal være opmærksom på i deres planlægning af transporten. Derudover er
der nogle EU-‐direktiver omkring natarbejde, som Arla følger, selvom det endnu ikke er offentligt bestemt,
hvem der skal kontrollere dette. Det betyder, at personer, der har natarbejde, højest må arbejde 10 timer i
døgnet [EF-‐tidende, 2002].
Når der er taget højde for begrænsningerne, sættes systemet til at beregne den billigste løsning. Løsningen
gennemgås manuelt, hvorefter der korrigeres for at gøre den mere praktisk anvendelig. Man vil for
eksempel kunne opleve, at systemet sender to forskellige lastbiler ud til en lille by, men da dette ikke altid
er logisk i praksis, rettes løsningen til ved at afprøve forskellige alternativer[Westergaard, 2012].
I stamrutenettet køres der med dagsspecifikke ruter, idet mængderne varierer væsentligt på de forskellige
ugedage. Yderligere er der forskellige stamruter i løbet af året på grund af sæsonudsving. For at undgå for
stor overkapacitet er vognparken fastsat derefter. Dette betyder, at på dage med meget store ordrer,
hvilket typisk er mandag, fredag og lørdag, er der behov for eksterne vognmænd, som varetager ca. 15 % af
transporten. På mindre dage vil der være lastbiler, som står stille, men dette er dog nødvendigt i forhold til
vedligeholdelse, reparationer, syn med videre[Bloch, 2012].
Systemet sættes ikke til at beregne nye ruter dagligt, idet denne procedure er en tidskrævende proces. I
stedet synkroniseres ordrerne hver aften med stamruterne i Transvision. Herefter kan alle oplysninger om
de enkelte ruter ses. Det er blandt andet port nr., pålæsningstidspunkt, hjemkomst og kapacitet, samt om
der er overlast på ruten. Såfremt dette er tilfældet, skal medarbejderne på Arla manuelt flytte overlæs fra
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 24 af 66
en rute over til en anden. Dette gøres i praksis ved at overflytte til ruter, som kører i samme område, og
hvor der er ledig kapacitet. Denne procedure gentages hver aften[Westergaard, 2012].
De faste stamruter modificeres med jævne mellemrum. Der kan laves tiltag ved at åbne og lukke ruter,
samt bytte rundt på kunderne indtil man har noget, som ser optimalt ud. I systemet er det derefter muligt
at se, hvor meget tid og hvor mange penge man kan spare[Westergaard, 2012]. Stamruterne burde ifølge
Arla modificeres oftere, men det er svært på grund af lang bearbejdningstid i forhold til de aftalte
kundetider. Hovedkonteret i Viby skal bruge 3 uger til at lave nye aftaler med de pågældende butikker,
derefter har butikkerne selv 3 uger til at godkende den nye plan. Samlet set er der altså en behandlingstid
på 6 uger for at kunne ændre væsentligt i ruteplanerne. De små ændringer, som bliver lavet dagligt som
følge af overlæs, er ikke noget problem, men man passer alligevel på, at det ikke er de samme butikker,
som bliver ”ramt” gentagende gange[Schjerning, 2012].
Distributionen i Arla er meget kompleks, og der er mange aspekter, der skal tages højde for.
Kompleksiteten gør, at det ikke er muligt at foretage daglig optimering. I den resterende del af opgaven vil
Arlas distributionsproblem blive analyseret. Her vil der dog blive foretaget daglig optimering.
4. Distributionsproblemet i Arla Christiansfeld Distributionsområde 2, som styres fra Christiansfeld er et område, som består af i alt 950 butikker, hvoraf
750 af butikkerne serviceres hver dag [Arla Foods, 2011b]. Idet vi ikke har mulighed for at håndtere så
meget data, har vi udvalgt delområdet Sønderjylland. Området består af 126 kunder samt terminalen i
Figur 8: Christiansfelds geografiske område med kunder placeret i Sønderjylland
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 25 af 66
Christiansfeld. Bilag 4 viser en oversigt over data for de 126 kunder med tilhørende efterspørgsel. I dette
område er det heller ikke alle kunder, som bliver serviceret hver dag. Der er 89 ud af de 126 kunder, som
får levering dagligt jf. bilag 4. Nedenstående figur 8 viser området, som terminalen i Christiansfeld
servicerer samt kunderne for delområdet i Sønderjylland.
Der tages udgangspunkt i data fra uge 4. Efterspørgslen og gennemsnittet heraf ses i figur 9, hvor det
fremgår, at efterspørgslen er størst først og sidst på ugen. Efterspørgslen er mindst om onsdagen.
Efterspørgslen varierer fra uge til uge, men fordelingen følger det samme mønster.
Distributionsplanlægning af distributionsområde 2 svarer til et VRPTW, idet der er et depot (terminalen) og
en mængde af kunder, som skal serviceres inden for et givet tidsinterval af et antal lastbiler med en given
kapacitet. Hver kunde har tilknyttet et tidsvindue, hvori det er muligt at foretage levering. Idet Arlas
tidsbegrænsning er fastsat efter aftale med kunderne, som ydermere betaler en vis pris for at få leveret i
det givne tidsinterval, må tidsvinduerne betragtes som værende hårde tidsvinduer, der ikke må
overskrides. Yderligere er en chauffør nødsaget til at vente til tidsvinduet åbner, hvis han ankommer til en
kunde, hvor der ikke er noget kølerum eller noget personale til at tage mod leveringen.
Arla har som sådan ikke nogen begrænsning på antallet af lastbiler, idet de har mulighed for at hyre
eksterne vognmænd til en fast pris. I det efterfølgende vil problemerne fra afsnit 1.1 blive løst i henhold til
de forudsætninger, som opstilles i afsnit 4.1. Til sidst vil løsningerne blive diskuteret i forhold til hinanden,
og det vil munde ud i en anbefaling.
4.1 Forudsætninger og antagelser For at det er muligt at løse scenarier nævnt i afsnit 1.1 er det nødvendigt at opstille en række
forudsætninger og antagelser, idet det ikke er muligt at tage højde for alle begrænsninger i logvrp. Arlas
kunder efterspørger mange forskellige produkter, som blandt andet pakkes på rullepaller, i mindre bure og
i kasser. For at planlægge distributionen af disse er det nødvendigt at have en samlet enhed for
Figur 9: Efterspørgsel i uge 4 Note: Stregen viser gennemsnit for efterspørgslen.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 26 af 66
efterspørgslen. Efterspørgslen er derfor defineret i rullepaller. Dette medfører, at efterspørgslen fx kan
være 2,52 rullepaller på grund af de forskellige rullepalle størrelser. Det er Arlas mål i gennemsnit at have
41 rullepaller pr. tur, hvilket svarer til en fyldningsprocent på 80,39 % [Westergaard, 2012].
logvrp beregner et kapacitetsbrug i procent for hver lastbil, hvorefter der er beregnet en
gennemsnitskapacitetsbrug pr. rute. I opgaven benyttes denne dog ikke. I stedet benyttes lastbilens
fyldning fra den forlader terminalen, og der beregnes et gennemsnit af disse til at angive
fyldningsprocenten.
Arlas lastbiler har en kapacitet på 51 rullepaller, men rent praktisk er det ikke muligt at fylde lastbilerne
helt, idet der ofte skal være plads til en palleløfter[Westergaard, 2012]. I løsningen af scenarierne vil der
dog blive set bort fra dette, og det forudsættes, at lastbilen kan indeholde op til 51 rullepaller.
Ved planlægning af distributionen af mælk ud til butikkerne arbejder Arla også med en på-‐ og aflæsningstid.
Det tager 1 minut at pålæsse én rullepalle på lastbilen [Schjerning, 2012]. Idet efterspørgslen godt kan være
angivet med decimaler vil det betyde, at pålæsningstiden bliver x antal minutter og sekunder. logvrp kan
ikke håndtere sekunder, og der vil derfor blive afrundet til hele minutter efter almindelige afrundingsregler.
Fx vil en efterspørgsel på 2,52 rullepaller medføre en pålæsningstid på 2 minutter og 31 sekunder, hvilket
afrundes til 3 minutter. Der er også tilfælde, hvor efterspørgslen er mindre end 1. I disse tilfælde vil der
altid blive rundet op til 1 minut, da det ikke er retvisende at have en pålæsningstid på 0 minutter.
Det skal bemærkes, at pålæsningstiden ikke anvendes, når de faktisk kørte ruter modelleres i logvrp, idet
de reelle afgangstider er tilgængelige. Arla regner med en aflæsningstid hos kunden på 5 minutter plus 2
minutter pr. rullepalle[Schjerning, 2012]. Dette håndteres på samme måde som pålæsningstiden.
For at ruterne kan beregnes i logvrp skal der indtastes en gennemsnitshastighed for lastbilen. logvrp
modtager data fra Google omkring gennemsnitshastigheder på de forskellige vejtyper, men der benyttes
den samme gennemsnitshastighed uanset hvilken biltype, der benyttes. Derfor skal man indtaste en
gennemsnitshastighed for den type bil, som benyttes for at balancere hastighederne med Google[Logvrp,
2012a]. Det vil her antages, at lastbilerne har en gennemsnitshastighed på 60 km/t. Denne hastighed er
fastsat ud fra de faktisk kørte ruter og de tidspunkter, som er tilknyttet dertil. Der er dog ikke helt
overensstemmelse mellem de faktisk kørte ruters tidspunkter, når de modelleres i logvrp, hvorfor
tidsvinduerne i enkelte tilfælde bliver overskredet. Der ses dog bort fra overskridelsen, da systemet fra
Transvision er langt mere præcist og anvender 16 forskellige vejtyper. Den oprindelige løsning, vil derfor
kun analyseres ud fra modelleringen i logvrp. Dette giver et mere retvisende billede, da ruterne er lavet ud
fra samme forudsætninger.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 27 af 66
Solotrækker 475,20 kr. Trækker/citytrailer 521,86 kr. Trækker/trailer 528,19 kr. Anhængertræk 549,69 kr. Total 2.074,94 kr.
Gns. Timepris 518,74 kr.
Gns. Hastighed 60 km/t
Pris pr. km 8,65 kr.
Tabel 4: Pris pr. km
For at beregne omkostninger for de kørte ruter skal der angives en omkostning på bilen pr. kilometer.
Denne omkostning er fastsat ud fra de interne afregningspriser modtaget af Arla jf. bilag 5. [Bloch, 2012].
Tabel 4 viser prisen pr. km.
De anvendte timepriser er blot en vejledende gennemsnitspris, da priserne varierer afhængig af hvilken dag
og tidspunkt på døgnet, der er tale om. Det er derfor ikke den faktiske pris, men blot et udgangspunkt som
kan bruges til sammenligning. Det er ydermere muligt at indtaste en fast omkostning for bilen. Ifølge
Laporte (1992) giver det ofte mening at tildele en fast omkostning f til bilen, når antallet af lastbiler ikke er
fast. Der vil dog blive set bort fra faste omkostninger i denne opgave, da vi ikke har et brugbart grundlag
herfor. Det skal dog bemærkes jf. bilag 5, at nogle af de interne timepriser kunne være faste omkostninger.
De interne afregningspriser anvendes ligeledes, når Arla hyrer eksterne vognmænd, da de anvender Arlas
køretøjer. I opgaven vil der derfor ikke blive skelnet mellem egne og eksterne vognmænd.
Terminalen i Christiansfeld har 17 porte. Det betyder, at det ikke er alle lastbiler, som kan forlade
terminalen samtidig. Antallet af porte, samt mejeriets begrænsning gør, at det er nødvendigt at anvende en
rankeplan. Rankeplanen viser, hvornår lastbilerne kan begynde pålæsning i terminalen og fremgår af bilag
6. I løbet af uge 4 er der maksimalt brugt 9 lastbiler i det udvalgte område, hvorfor dette vil være antallet af
lastbiler i scenarierne. Ud fra rankeplanen, ses det af nedenstående tabel 5, hvornår disse lastbiler
begynder pålæsning. Afgangstider anvendes i scenarierne medmindre andet er nævnt.
Størstedelen af litteraturen ignorerer arbejdstidsbegrænsninger og forudsætter, at chaufføren kan arbejde
Lastbil L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 Læsning 01.00 01.00 02.00 02.30 03.00 03.15 04.30 05.00 05.30
Tabel 5: Starttidspunkt for pålæsning af lastbilen i terminalen efter rankeplan
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 28 af 66
uendeligt [Xu et al., 2003]. Dette er også tilfældet i logvrp, da der ikke tages højde for, at chaufførerne ikke
må arbejde mere end 10 timer og efter 4,5 timers kørsel skal holde 45 minutters pause jf. afsnit 3.2. I
forbindelse med de faktisk kørte ruter vides det ikke, om chaufføren holder øvrige pauser, eller om der er
forstyrrelser på ruten. For hver enkelt rute er der i logvrp beregnet en køretid, samt en totaltid for alle
ruterne den pågældende dag. Sidstnævnte tid er beregnet, fra den første lastbil kan forlade terminalen, til
den sidste lastbil returnerer til terminalen. Det er derfor ikke nødvendigvis én lastbil, som kører i hele dette
tidsrum. I de i opgaven indsatte tabeller er tiden den maksimale køretid blandt ruterne den respektive dag.
Det vil sige, at det er køretiden for den lastbil, der kører i længst tid. Denne tid er valgt, idet det giver en
indikation af, om chaufførens arbejdstid overskrides.
Arla kører med faste ruter, mens der i logvrp optimeres hver dag. I de forskellige scenariers løsning
undersøges det derfor, om ruterne på de forskellige dage ligner hinanden. Sammenligningen vil tage
udgangspunkt i mandag, da dennes efterspørgsel ligger tættest på gennemsnittet jf. figur 9 i afsnit 4.
Da tidsvinduerne i denne problemstilling er hårde, er lastbilen nødt til at vente med at servicere kunden til
tidsvinduet åbner. I Arla kaldes denne ventetid for slack [Westergaard, 2012]. I logvrp er der ingen lastbiler
der venter, da programmet i stedet regulerer lastbilens hastighed, så denne blot kører langsommere. Dette
bevirker, at lastbilen, i stedet for at vente, ankommer på præcist det tidspunkt, hvor tidsvinduet
åbnes[Logvrp, 2012a]. Det forudsættes derfor, at der forekommer slack i de tilfælde, hvor lastbilen
ankommer præcis, når tidsvinduet åbner.
Idet logvrp anvender heuristikker, fremkommer der ofte forskellige løsninger hver gang, man løser
problemet. Der er derfor mulighed for, at finde bedre løsninger, jo flere gange den køres. Hvert delproblem
løses derfor tre gange, hvoraf den bedste løsning anvendes i opgaven. Det antages, at den bedste løsning er
løsningen med færrest omkostninger. I nogle løsninger forekommer ruter, hvor den samme lastbil kører 2
ture. Disse løsninger anvendes ikke uanset omkostningen, fordi Arla kun har 17 tilgængelige porte. Når
lastbilen ankommer til terminalen efter den første tur, vides det ikke, om der er en port tilgængelig, og
løsningen er derfor ikke hensigtsmæssig. Antallet af lastbiler svarer dermed til antallet af ruter.
4.2 Analyse I de efterfølgende afsnit vil distributionsproblemet i Arla blive analyseret under antagelserne 1 til 7 fra
afsnit 1.1. Til sidst vil resultaterne blive sammenlignet og diskuteret.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 29 af 66
4.2.1 Modellering af faktiske ruter
I hele Christiansfelds kundekreds har Arla i uge 4 kørt 271 planlagte distributionsruter. Derudover har de
kørt en ekstra rute mandag og fredag samt to ekstra ruter lørdag. Desuden har de haft 21 ruter ud til
grossister, som trods afgrænsningen er indeholdt i de efterfølgende generelle tal. Der har i gennemsnit
været 13,84 kunder pr. rute. Kunderne på distributionsruterne har i alt haft en efterspørgsel på 10.403,6
rullepaller, og den gennemsnitlig vognfyldning har dermed været på 77,2 % svarende til 38,4 rullepaller pr.
rute. Det betyder, at Arla ikke har opnået målet for gennemsnitsfyldningen på 80,39 %. De generelle data
fremgår af bilag 7.
I datasættet er de faktiske kørte ruter for Sønderjylland angivet, men for at tilpasse disse under vores
forudsætninger og antagelser, indtastes de i logvrp. Hermed bliver de faktisk kørte ruter også tildelt en
omkostning, som kan anvendes til sammenligningsgrundlag for de efterfølgende scenarier. Arlas faktisk
kørte ruter i Sønderjylland med tidspunkter fremgår af bilag 8. En sammenligning af ruterne fremgår af
bilag 9, og den specifikke løsning for mandag er vist i bilag 10. Resultatet af de kørte ruter ses af tabel 6. Der
har i alt været en efterspørgsel på 1.572,11 rullepaller og kørt 46 ruter på samlet 8.104 km. Dagligt er der
foretaget mellem 7 og 9 ruter, og i gennemsnit været 14,24 kunder pr. rute. Ruterne i
Sønderjylland hedder henholdsvis 200, 202, 203, 204, 205, 208, 209 og 212, samt 701, der er en ekstra rute,
der kun kører om lørdagen. De totale omkostninger for uge 4 er 70.077 kr. jf. tabel 6. Som nævnt i afsnit 4.1
er der ikke overensstemmelse mellem de faktisk kørte tider og køretiden i logvrp. Dette giver i få tilfælde
problemer med overholdelse af tidsvinduerne, da lastbilen enkelte steder ikke kan nå at levere før
tidsvinduet lukker. logvrp behandler ikke tidsvinduerne som hårde, når løsningen indtastes manuelt, men
der bliver dog gjort opmærksom på problemet. Der bliver derfor leveret til kunden, selvom lastbilen
ankommer efter, tidsvinduet lukker.
Mandag leveres der til 112 butikker fordelt på 8 ruter. Rute 200 har en vognfyldning på 59,50 % og forlod
oprindeligt terminalen kl. 05.36 og kom tilbage kl. 11.20 efter servicering af 14 kunder i Haderslev området.
I logvrp løsningen er lastbilen allerede tilbage i terminalen kl. 09.22, men en del af denne tidsdifference kan
Omkostning Antal Km Tid Gns.
fyldning Antal
butikker Efter-‐
spørgsel Antal
lastbiler Slack Mandag 11.695 kr. 1.352 km 08.09 62 % 112 251,50 8 11 Tirsdag 11.428 kr. 1.321 km 09.06 67 % 114 237,97 7 9 Onsdag 10.459 kr. 1.211 km 08.38 60 % 104 213,94 7 10 Torsdag 10.644 kr. 1.232 km 08.46 64 % 104 228,46 7 11 Fredag 12.046 kr. 1.393 km 08.23 70 % 113 283,56 8 9 Lørdag 13.805 kr. 1.596 km 07.59 78 % 108 356,68 9 11 Total 70.077 kr. 8.104 km 50:51 67 % 655 1.572,11 46 61
Tabel 6: Oprindelig løsning
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 30 af 66
dog skyldes chaufførens pause. Der er ingen tidsvinduer på denne rute, som overskrides, hvorfor forskellen
udelukkende skyldes antagelsen om bilens hastighed og chaufførens pause. Rute 200 er meget stabil, da 10
af kunderne altid ligger på denne rute. De resterende 4 kunder skifter 1 eller 2 dage til rute 202 og 203
henholdsvis fredag og lørdag jf. bilag 9. Dette skyldes højest sandsynligt den øgede efterspørgsel på disse
dage. Om mandagen servicerer rute 202 10 butikker i Vojens. Der er kun ca. en times tidsforskel jf. bilag 8
og 10, hvilket skyldes chaufførens pause samt en levering til en kantine på Høgelund Mejeri, som ikke er
medtaget i vores kundesæt. Ruten kører jf. bilag 9 kun mandag, fredag og lørdag. De øvrige dage
overflyttes de 5 kunder, som serviceres alle dage, til rute 205, mens de resterende enten flyttes til
forskellige andre ruter eller kun serviceres nogle af ugens dage. Rute 203 er alle ugens dage en lille lokal
rute, som servicerer butikkerne i Christiansfeld. Distributionen til disse butikker løses på denne måde for at
få chaufførernes timeantal til gå op. Alle 4 butikker i Christiansfeld ligger kun på denne rute. De 3 dage,
hvor den sidste kunde i Christiansfeld, kunde 21222, får levering, ligger den også på rute 203. Desuden
tilføjes der yderligere 3 butikker om lørdagen fra rute 200 jf. bilag 9. Rute 204 er en stor stabil rute, som
servicerer 21 kunder om mandagen, der hovedsageligt er beliggende i Aabenraa området. 17 af kunderne
ligger fast på ruten, mens de resterende jf. bilag 9 overflyttes til ekstraruten 701 om lørdagen grundet den
højere efterspørgsel. Rute 205 kører i Sønderborg, Rødekro og på Sydals. Denne er stort set ens mandag og
fredag, men de resterende dage flyttes ca. halvdelen af kunderne rundt mellem rute 208 og 209. Lørdag
reduceres ruten til 9 kunder jf. bilag 9. Den reducerede rute skyldes højest sandsynligt en øget
efterspørgsel hos Bilka (22474) og Føtex (18830) på henholdsvis 5,24 og 5,15 rullepaller i forhold til om
mandagen. På ruten overskrides et tidsvindue, da lastbilen forlader kunde 18830 otte minutter for sent.
Dette fremgår af bilag 10 og er markeret med en tyk ramme. Rute 208 servicerer en række mindre byer
samt Gråsten og Padborg. Ruten er rimelig stabil, men får som nævnt nogle kunder fra rute 205. Det
samme er gældende for rute 209, som kører i Aabenraa, Sønderborg, Nordborg og Augustenborg. Rute 212
har om mandagen 15 kunder, hvoraf 11 af disse ligger fast på ruten. Af de resterende kunder flyttes 3 af
dem til rute 202 om lørdagen, hvor der er høj efterspørgsel jf. bilag 9.
Der er kun 7 ruter om tirsdagen, som i alt leverer til 114 butikker jf. tabel 6. Rute 202 kører ikke denne dag.
Der er en gennemsnitlig vognfyldning på 67 %. Det er 2 butikker mere end om mandagen, men til gengæld
er efterspørgslen 13,53 rullepaller mindre og vognflydningen er 5 % -‐point større. På rute 205 overskrides 2
tidsvinduer. Hos kunde 18830 når tidsvinduet at lukke inden, der er sket fuld levering. Derudover sker der
levering 18 minutter for sent hos kunde 3892.
Onsdag og torsdag er de dage, hvor efterspørgslen er mindst, og der er kun 104 kunder, som serviceres jf.
tabel 6. Det er også disse dage, hvor omkostninger og antal kilometer er lavest. Yderligere er der kun 7
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 31 af 66
ruter, da rute 202 ikke kører. Begge dage overskrides tidsvinduet hos kunde 3892. Kunden ligger onsdag på
rute 205, hvor tidsvinduet når at lukke, inden der er nået at ske fuld levering. Yderligere når der slet ikke at
ske rettidig levering torsdag, da lastbilen først ankommer 09.14, og leveringen skal ske inden kl. 09.00.
Fredag er der 8 ruter, hvilket betyder, at rute 202 kører igen. Der er 113 kunder, som serviceres.
Vognfyldning, antal kilometer og omkostninger er de anden højeste for ugen, hvilket hænger sammen med
den anden højeste efterspørgsel på 283,56 rullepaller. Lørdag er den største dag med en efterspørgsel på
356,86 rullepaller. Her kører den ekstra rute 701 permanent og indeholder denne lørdag 10 kunder, som
tidligere har været på rute 200, 204, 205 og 208. Der overskrides ingen tidsvinduer hverken fredag eller
lørdag.
I de oprindelige kørte ruter er der ingen af ruterne, som overstiger chaufførens arbejdstid, selv når der
medtages pauser jf. tabel 6. Selv om lastbilernes hastigheder ikke stemmer helt overens med de rigtige
tider, holder ruternes tider sig stadig inden for tidsrammerne for chaufførens arbejdstid.
Når Arlas oprindelige kørte ruter indtastes i logvrp opstår der slack 61 gange jf. tabel 6. Det vil sige, at
lastbilen er nødsaget til at vente ved 61 af kunderne. Mandag og tirsdag er der ikke slack på henholdsvis
rute 209 og 200. Der opstår slack de steder, hvor kunden først kan serviceres fra kl. 05.00 til kl. 07.00 jf.
bilag 10. Onsdag indeholder ruterne 200, 203 og 208 ikke slack. På de ruter, hvor der er slack, forekommer
det hos kunder, der ligger midt på ruten, og som kun kan få leveret efter kl. 05.00 og kl. 07.00. Torsdag er
det kun på rute 209, der ikke forekommer slack. Dette skyldes formentlig, at lastbilen, som kører på rute
209, forlader terminalen sent. Slack ligger hovedsageligt midt på ruterne. Ligesom mandag, tirsdag og
fredag er der her slack på Christiansfeld-‐ruten (rute 203), og om torsdagen er der slack hos 2 af de 3
kunder, som ligger på ruten, hvilket skyldes, at lastbilen forlader terminalen for tidligt i forhold til det, som
er planlagt. Fredag forekommer der ikke slack på rute 200, 202 og 209, mens der lørdag ikke forekommer
slack på ruterne 202 og 203. Både fredag og lørdag forekommer slack varierende steder på ruten, hos
kunder hvor der først er tilgængelighed efter kl. 05.00.
I de faste ruter er det tydeligt, at antallet af anvendte lastbiler varierer med efterspørgslen.
Udgangspunktet for undersøgelserne i ruternes stabilitet er foretaget ud fra mandag, men da det her kan
ses, at 92 ud af 126 kunder ligger på den samme rute hver gang, der leveres, foretages der ikke yderligere
undersøgelser. De fleste af ruterne servicerer dermed de samme kunder, og det er kun få kunder, der
flytter sig. Det kan ses, at de største ændringer sker på baggrund af den varierende efterspørgsel, som er
skyld i, at der tirsdag til torsdag og lørdag henholdsvis nedlægges og tilføjes en rute. Den gennemsnitlige
fyldning ligger på 66 % jf. tabel 6, hvilket er under Arlas mål på 80,39 % jf. afsnit 4.1. Generelt har kun 18 ud
af de i alt 46 ruter en fyldning, som ligger over målet. Det er kun fredag og lørdag, at over halvdelen af
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 32 af 66
bilerne har en fyldning på mere end den ønskede fyldning. Generelt er det hovedsageligt rute 203, der
trækker ned i gennemsnittet, men ruterne 200 og 202 opnår heller ikke en fyldning over 70 %.
I forhold til fyldningen er ruterne dermed ikke så optimale som ønsket. De forholdsvis faste ruter gør dog
den daglige planlægning lettere for Arla, da de ikke har mulighed for at optimere hver dag. I de
efterfølgende scenarier vil der blive optimeret hver gang, og det forsøges dermed ikke direkte at finde
stabile anvendelige ruter.
4.2.2 Beregning af optimal løsning
I dette afsnit vil distributionsproblemet blive løst med samme begrænsninger og forudsætninger som i
afsnit 4.2. I modsætning til afsnit 4.2 vil der i dette afsnit foretages daglig optimering. De planlagte ruter og
en sammenligning heraf fremgår af bilag 11, og de samlede resultater kan ses i nedenstående tabel 7. Den
specifikke løsning for mandag kan desuden ses i bilag 12.
Som det fremgår af tabel 7, er omkostningerne over hele ugen på 64.859 kr., og der køres 7492 km.
Omkostningerne følger efterspørgselsmønstret, idet omkostningerne er størst først og sidst på ugen. Der er
ingen dage, hvor arbejdstidsbegrænsningen på 10 timer overskrides, men medregnes chaufførernes pause
sker dette alle dage undtagen lørdag. Der opnås en gennemsnitsfyldning på 68 %, hvilket er under Arlas
målsætning. Der er ingen af ugens dage, hvor målet for gennemsnitfyldningen opnås. Der anvendes 7
lastbiler mandag til torsdag, mens der fredag og lørdag anvendes henholdsvis 8 og 9 lastbiler. Det er
desuden de dage, hvor efterspørgslen er størst. Der forekommer slack hos 67 kunder, hvilket vil sige, at der
i gennemsnit forekommer slack hos mere end en kunde på hver rute. Mandag til onsdag forekommer der
slack på alle ruterne jf. bilag 12, mens der torsdag og lørdag kun er en enkelt rute, hvor der ikke
forekommer slack. Fredag forekommer der ikke slack på tre ud af otte ruter. Slack forekommer generelt
inden for de første 5 kunder på ruter. Herunder er der 17 ud af 45 ruter, hvor der er slack hos den første
kunde. Alle dage er der dog mindst en rute, hvor der er slack hos en kunde midt på ruten. Tirsdag, onsdag,
fredag og lørdag sker dette hos kunde 24013, som først kan få levering efter kl. 08.15. De resterende dage
er det hos forskelige kunder, hvor der forekommer slack midt på ruten. Disse kunder kan hovedsageligt
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler Slack Mandag 10.359 kr. 1.198 km 09.28 70% 7 10 Tirsdag 10.773 kr. 1.245 km 09.39 67% 7 14 Onsdag 9.986 kr. 1.155 km 09.30 60% 7 15 Torsdag 10.240 kr. 1.184 km 09.46 64% 7 8 Fredag 11.335 kr. 1.310 km 09.47 70% 8 7 Lørdag 12.166 kr. 1.400 km 09.02 78% 9 13 Total 64.859 kr. 7.492 km 57:12 68% 45 67
Tabel 7: Optimal løsning med alle begrænsninger
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 33 af 66
først få levering efter kl. 07.00. Tages der udgangspunkt i mandag er slack generelt højt, da lastbilen i
gennemsnit skal vente 1 time og 27 minutter, de steder, hvor der er slack.
Mandag har nogle forholdsvis lange ruter, hvoraf 5 af ruterne har mellem 16 og 21 kunder. Ruten som
køres med L8 har kun 8 kunder, hvilket formentlig skyldes, at lastbilen begynder pålæsning i terminalen
senere end de øvrige lastbiler. Der er desuden kun en fyldning på 29,5 % på denne lastbil jf. bilag 12. Ruten
for L1 er rimelig stabil alle dage, men tirsdag, fredag og lørdag er ruten dog delt op. Generelt ligger
butikkerne i mindre områder på samme rute. Et eksempel herpå er de 3 butikker, som ligger i Skærbæk jf.
bilag 11. Butikkerne i Skærbæk ligger på L1 mandag, onsdag og torsdag, de øvrige dage ligger kunderne på
andre ruter, men stadig sammen. Om mandagen kører L2 i flere forskellige byer. Ruten er heller ikke særlig
stabil, når man ser på de øvrige dage. Ruten indeholder de 3 butikker, som ligger i Tinglev. Disse ligger altid
sammen, dog med forskellige lastbiler. Desuden ligger butikkerne i Tinglev sammen med butikkerne
Padborg mandag, onsdag og fredag dog med forskellige lastbiler. Lastbilerne L3 og L6 indeholder kunder,
som ligger i samme geografiske områder, hvorfor disse kunder også blandes på de resterende dage i ugen.
L4 kører hovedsageligt i Aabenraa, og disse kunder er delt ud på mindst 4 ruter de øvrige dage. Det samme
er tilfældet for ruten, der køres med L5, som hovedsageligt kører i Haderslev. Der benyttes 9 lastbiler om
lørdagen, hvilket medfører, at 2 af ruterne kun indeholder henholdsvis 3 og 5 kunder jf. bilag 11. Ruten, der
køres med L7, servicerer 3 butikker i Christiansfeld, hvorfor denne ligner rute 203 i de faktisk kørte ruter.
Der er slack hos den første kunde på over 2 timer, hvorfor det ville være mere hensigtsmæssigt at benytte
en lastbil, som begynder pålæsning på et senere tidspunkt, end L7 gør.
Dette kunne godt være en løsning, som kunne realiseres i praksis. Det vil dog blive analyseret nærmere ved
sammenligning med de øvrige løsninger i afsnit 4.2.8.
4.2.3 Løsning uden tidsvinduer
I løsningen uden tidsvinduer fjernes alle bibetingelser, der vedrører tidsvinduer hos butikkerne, og der ses
bort fra terminalens kapacitet. Alle lastbiler kan således begynde pålæsning kl. 01.00. Problemet bliver
dermed reduceret til et traditionelt VRP, hvilket giver mulighed for at finde den mest optimale måde at
køre på, idet antallet af begrænsninger er minimeret. I henhold til BPP i afsnit 2.1.1 udregnes det antal
lastbiler, der mindst skal være tilgængeligt for kunne servicere alle kunderne. Til løsningen skal der som
minimum anvendes 33 lastbiler, hvilket fremgår af tabel 8. I løsningen anvendes der dog 36 lastbiler. Dette
fremgår af tabel 9, som viser de overordnede tal for de respektive dage. Bilag 13 viser de planlagte ruter og
en sammenligning herimellem. Bilag 14 viser de specifikke ruter for mandag.
I de planlagte ruter anvendes der tirsdag, onsdag og fredag kun det minimale antal lastbiler, mens der
mandag, torsdag og lørdag anvendes flere lastbiler. Grunden til det øgede antal lastbiler er, at BPP ikke
tager højde for, at én kundes ordre ikke kan deles ud på flere lastbiler. Dette er tilfældet mandag og lørdag,
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 34 af 66
Efterspørgsel Min. antal lastbiler Mandag 251,50 5 Tirsdag 237,97 5 Onsdag 213,94 5 Torsdag 228,46 5 Fredag 283,56 6 Lørdag 356,68 7 Total 1572,11 33
Tabel 8: minimum antal lastbiler
hvor det ikke er muligt at finde en brugbar løsning med 7 lastbiler. Løsningerne er ikke brugbare, da flere af
lastbilerne kører to ture. Torsdag er det muligt at finde 1 brugbar løsning, som benytter minimum antal
lastbiler, men den er ikke optimal. Når der anvendes 6 lastbiler, køres der 999 km, hvilket giver en
omkostning på 8.638 kr. Anvendes der i stedet 5 lastbiler, køres der 13 km længere, hvilket giver en øget
omkostning på 116 kr. jf. bilag 15, som viser resultatet ved brug af henholdsvis 5 og 6 lastbiler. Det betyder,
at det godt kan være fordelagtigt at anvende flere lastbiler, hvis de tilsammen kører færre kilometer. Det er
dog kun tilfældet, når der ikke er tildelt en fast omkostning til den enkelte lastbil. Ved anvendelse af 5
lastbiler er der en fyldning på 90 %, mens fyldningen kun er på 75 % ved anvendelse af 6 lastbiler. Hvilken
løsning, der er mest fordelagtig, afhænger dermed af hvilken parameter, der er vigtigst i det enkelte
problem. I denne opgave anses omkostningen som værende den vigtigste parameter.
Af tabel 9 ses det, at omkostningerne for problemet i alt er 55.855 kr. Beløbet anses for at være den lavest
opnåelige omkostning for distributionsproblemet. Omkostningerne er baseret på antallet af kilometer, som
er på 6.457 km. Da der ikke er nogen tidsbegrænsninger kan kunderne serviceres i den mest
hensigtsmæssige rækkefølge, og antallet af kørte kilometer må derfor være det mest optimale. Dette kan
desuden ses af bilag 16, som viser et plot af de kørte ruter om mandagen. Lastbiler kommer endvidere
tidligt tilbage til terminalen, fordi de ikke er begrænsede af tidsvinduer. Det ses ydermere, at det er muligt
at opnå en gennemsnitlig vognfyldning på 86 %, hvilket ligger over Arlas mål.
Rute 1 indeholder 22 kunder og kører hovedsageligt i Haderslev samt de mindre byer Rødekro og Tinglev.
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler %-‐vis
afvigelse Mandag 9.717 kr. 1.123 km 08:17 82 % 6 -‐6,20 % Tirsdag 8.576 kr. 992 km 07:40 93 % 5 -‐20,39 % Onsdag 7.857 kr. 908 km 06:55 84 % 5 -‐21,32 % Torsdag 8.638 kr. 999 km 07:09 75 % 6 -‐15,64 % Fredag 9.678 kr. 1.119 km 07:04 93 % 6 -‐14,62 % Lørdag 11.389 kr. 1.316 km 07:10 87 % 8 -‐6,39 % Total 55.855 kr. 6.457 km 44:26 86 % 36 -‐13,88 %
Tabel 9: Løsning uden tidsbegrænsninger
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 35 af 66
På de resterende dage er ruten opdelt, men kunderne fra de samme byer serviceres stadig efter hinanden.
Det drejer sig eksempelvis om butikkerne i Rødekro jf. bilag 13. Rute 2 indeholder 17 kunder. Den kører
hovedsageligt i Aabenraa, men er ikke stabil resten af ugen. Rute 3 er en stor rute med 27 kunder, som er
fordelt over flere forskellige småbyer. Kunderne er de resterende dage delt ud over flere ruter. De fleste af
dagene er ruten kombineret med rute 4, som hovedsageligt kører i Sønderborg. Rute 5 er ligeledes en stor
rute, som kører i en række mindre byer. Ruten er rimelig stabil. Et eksempel herpå er, at de samme 7
kunder beliggende i Løgumkloster, Tønder og Bredebro altid ligger sammen jf. bilag 13. De enkelte kunder,
som flyttes til andre ruter, ligger hovedsagligt i Haderslev og Christiansfeld. Rute 6 er en lille rute, som
servicerer 5 butikker i Vojens og en enkelt butik i Christiansfeld. Denne rute er sandsynligvis planlagt
grundet manglende plads på de øvrige ruter, da det er den eneste dag, disse kunder serviceres på en rute
for sig selv. De resterende dage ligger kunderne i Vojens fortsat sammen, og alle dage undtagen fredag er
de koblet sammen med kunderne fra rute 5 jf. bilag 13.
Det kan ud fra sammenligning ses, at det ofte er de små byer, som konsekvent serviceres efter hinanden på
samme rute på de respektive dage. Dette gælder dog ikke for butikkerne i Christiansfeld, da disse i de fleste
tilfælde ligger spredt og ofte ligger enten først eller sidste på ruterne. Den sidste søjle i tabel 9 viser den % -‐
vise afvigelse fra den optimale løsning. Sammenlignet med den optimale løsning i afsnit 4.3, er der her
fundet en billigere løsning, og der er en overordnet procentvis afvigelse på 13,88 %. Afvigelsen fra den
optimale løsning er størst de dage, hvor efterspørgslen er mindst. Mandag og lørdag er afvigelsen kun på
ca. 6 %. I det der stort set er det samme antal butikker, som skal serviceres hver dag, er gennemsnits-‐
efterspørgslen pr. kunde større mandag og lørdag. Dette kan gøre det vanskeligt at sammensætte ordrerne
optimalt på de enkelte dage. I modsætning hertil kan grunden til, at afvigelserne er størst på dagene med
mindst efterspørgsel, være, at de enkelte butikkers ordrestørrelser i gennemsnit er mindre. Det er derfor
lettere at omrokere ordrerne i forhold til lastbilernes kapacitet. Yderligere er der mandag og lørdag
anvendt flere lastbiler end minimum, hvilket også kan være med til at reducere forskellen. Fredag har en
højere efterspørgsel end mandag, og den procentvise afvigelse burde derfor også være mindre, hvis den
skulle følge de øvrige dages mønster. Den høje afvigelse skyldes formentlig, at der i den optimale løsning er
fundet en meget god løsning. Løsningen er god, da omkostningerne er mindre end om mandagen og der
samtidig anvendes minimum antal lastbiler jf. tabel 7 i afsnit 4.3.
Scenariet i dette afsnit er ikke realistisk i praksis, da der ikke er taget højde for nogen af Arlas
begrænsninger. Den kan dog anvendes til sammenligning med de øvrige scenarier, da den viser, hvor langt
ned omkostningerne kan komme.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 36 af 66
4.2.4 Løsning med fri tilgængelighed hos butikkerne
Arla er ved levering til sine kunder afhængig af, at der er mulighed for, at varerne kan komme på køl eller,
at der er personale til at tage imod det. Dette er med til at gøre, at Arla ikke kan levere i løbet af hele
natten, idet det ikke er alle kunder, som har tilgængelige kølerum. Såfremt Arla havde mulighed for at
levere til alle kunder i løbet af hele natten ville de ikke have så store begrænsninger i deres planlægning af
distributionen. For at se, hvor stor betydning dette har for løsningen, forudsættes det i dette scenarie, at
Arla har adgang til butikkerne hele natten. Det vil sige, at lastbilen kan ankomme til den enkelte butik fra kl.
00.01 og indtil det seneste tidspunkt for levering. Ud af de 126 kunder, som det udvalgte
distributionsområde består af, er der 47 butikker, hvor der ikke er mulighed for levering i løbet af hele
natten. Dette svarer til, at 37 % af butikkerne begrænser distributionsplanlægningen.
De planlagt ruter og en sammenligning herimellem kan ses i bilag 17, og de specifikke ruter for mandag er
vist i bilag 18. Set over hele ugen er der jævnfør tabel 10 en samlet omkostning på 63.018 kr., og der køres
7285 km. Der opnås en gennemsnitsfyldning af lastbilen på 81 %, og der benyttes fra 6 til 8 lastbiler hver
dag svarende til i alt 38 lastbiler. Såfremt Arla havde fri tilgængelighed hos butikkerne ville det betyde, at
de kunne få opfyldt deres overordnede mål med en gennemsnitsfyldning af lastbilen på 80,39 % jf. afsnit
4.1. Dette mål opfyldes jf. tabel 10 3 ud af de 6 dage. Det skal ydermere bemærkes, at der torsdag opnås en
gennemsnitsfyldning på 93 %. Den høje fyldning er medvirkende til, at der opnås en høj fyldning for hele
ugen, da den gør op for de dage, hvor gennemsnitsfyldningen ligger under målet.
Der er ikke nogen af dagene, hvor chaufførens arbejdstid på 10 timer overskrides, idet længste tur på alle
ugens dage er på 8 timer og 11 minutter.
Ser man på ruterne i dette scenarie, fremgår det af bilag 17, at ruterne ikke ligner hinanden hver dag. Når
der tages udgangspunkt i ruterne om mandagen, kan det ses, at der er mellem 15 og 23 kunder på hver
rute, og at disse ligger meget spredt ud over ruterne på de resterende dage. Eksempelvis er butikkerne på
ruten for lastbilen L1 om mandagen spredt ud over 21 af de 32 ruter på de resterende dage. Det ses dog,
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler %-‐vis
afvigelse Mandag 10.238 kr. 1.184 km 07:32 82 % 6 -‐1,17 % Tirsdag 10.852 kr. 1.255 km 07:37 78 % 6 0,73 % Onsdag 10.030 kr. 1.159 km 08:11 70 % 6 0,44 % Torsdag 9.930 kr. 1.148 km 06:36 75 % 6 -‐3,03 % Fredag 10.253 kr. 1.185 km 07:45 93 % 6 -‐9,55 % Lørdag 11.715 kr. 1.354 km 07:09 87 % 8 -‐3,71 % Total 63.018 kr. 7.285 km 44:50 81 % 38 -‐2,84 %
Tabel 10: Løsning med fri tilgængelighed (rankeplan)
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 37 af 66
at der er nogle butikker, som altid er efterfulgt hinanden lige meget hvilken rute, de befinder sig på. Et
eksempel herpå er, at 4 ud af de 6 butikkerne placeret i Rødekro ligger efter hinanden på samme rute.
Fredag og lørdag er en af de 4 butikker dog placeret på en anden rute. På samme måde ligger alle
butikkerne i Padborg sammen hver dag.
Selv om det i dette problem er antaget, at lastbilerne kan ankomme til kunderne gennem hele natten, er
dette dog ikke tilfældet, idet lastbilerne er begrænset af kapaciteten på terminalen. Lastbilerne kører efter
rankeplanen, der er nævnt i tabel 5 i afsnit 4.1. For at se, hvor stor betydning dette har på løsningen, løses
problemet, hvis alle lastbilerne kan begynde pålæsning i terminalen kl. 01.00. Resultatet heraf ses i tabel
11, og de specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 19. En oversigt over hele ugens ruter og
sammenligning herimellem er yderligere vist i bilag 20
Når alle lastbilerne kan begynde pålæsning i terminalen kl. 01.00, er omkostningerne lavere end, når
lastbilerne kører efter rankeplanen. Der er en forskel i omkostningerne på kr. 6.738, svarende til 11,97 %.
Der er tilsvarende kørt mindre antal kilometer. Det er kun onsdag og torsdag, der bruges færre lastbiler, og
set over hele ugen er der i alt kun brugt 2 lastbiler mindre.
Det fremgår af tabel 11, at der opnås en gennemsnitsfyldning på 86 % sammenlignet med 81 %, når
lastbilerne begynder pålæsning efter rankeplanen jf. tabel 10. Det skal ydermere bemærkes, at hvis
lastbilerne alle kan begynde pålæsning i terminalen kl. 01.00, så er det kun 1 ud af 6 dage, hvor målet for
den gennemsnitlige fyldning ikke opnås.
Når der tages udgangspunkt i de ruter, som køres mandag ses det, at der er mellem 13 og 23 kunder på
hver rute jf. bilag 20. Dette indikerer, at der i løsningen med rankeplanen serviceres det maksimalt mulige
antal kunder på hver rute, idet det ikke kan nås at servicere flere kunder uden rankeplanen. På hver rute
serviceres der kunder i forskellige områder, men som det også var tilfældet for de ruter, hvor rankeplanen
blev fulgt, følger kunderne i de samme små områder i mange tilfælde hinanden.
Når man sammenligner ruterne på de forskellige ugedage med ruterne efter rankeplanen, synes der ikke at
være nogen lighed.
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler %-‐vis
afvigelse Mandag 9.921 kr. 1.147 km 08:26 82 % 6 -‐4,23 % Tirsdag 8.982 kr. 1.038 km 07:32 78 % 6 -‐16,62 % Onsdag 8.301 kr. 960 km 07:11 84 % 5 -‐16,87 % Torsdag 7.976 kr. 922 km 06:58 90 % 5 -‐22,11 % Fredag 9.725 kr. 1.124 km 08:05 93 % 6 -‐14,20 % Lørdag 11.375 kr. 1.315 km 06:30 87 % 8 -‐6,50 % Total 56.280 kr. 6.506 km 44:42 86 % 36 -‐13,23 %
Tabel 11: Løsning med fri tilgængelighed (pålæsning kl. 01.00)
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 38 af 66
Sammenlignes de to løsninger med den optimale løsning ses det, at omkostningerne i begge tilfælde er
lavere. Løsningen med rankeplan afviger jf. tabel 10 med 2,84 %. Tirsdag og onsdag er løsningen dårligere
end den optimale løsning, men afvigelserne ligger dog under 1 %. Da der er flere begrænsninger i den
optimale løsning, vil resultatet i denne kunne anvendes her. Forskellen skyldes derfor formentlig, at der er
anvendt heuristikker. Fredag har den største afvigelse på 9,55 %. Det skyldes en meget god løsning, da der
kun køres 1 kilometer længere end om mandagen. Det kan således konkluderes, at denne løsning ikke
afviger særlig meget fra den optimale løsning, og det derfor ikke har så stor betydning, at Arla har fri
tilgængelighed til alle butikker. I løsningen med fri tilgængelighed uden anvendelse af rankeplanen er
afvigelsen fra den optimale løsning på 13,23 % jf. tabel 11. Det kan dermed ses, at det er rankeplanen, som
har den største indflydelse på løsningen og ikke det tidligst mulige leveringstidspunkt.
4.2.5 Ændring af tidsvinduerne
Tidsvinduernes bredde har indflydelse på, hvor mange mulige løsninger, der findes. Jo bredere
tidsvinduerne bliver, jo flere mulige løsninger findes der. Dette har dog betydning for løsningtiden, da
denne som følge heraf vil blive længere [Kolen et al., 1987]. I dette scenarie ændres tidsvinduerne dermed
til at være minimum 5 timer brede for at udvide antallet af mulige løsninger. Der er 52 kunder svarende til
41 % af kunderne, som har et tidsvindue, der er mindre end 5 timer bredt jf. bilag 21. Tidsvinduerne
markeret med rød er mindre end 5 timer brede. Bredden begrænser antallet af mulige ruter, og det er
derfor interessant at undersøge, hvorledes løsningen ændres såfremt kundernes tidsvindue skal være
minimum 5 timer bredt. Til sammenligning er der kun 19 % af kunderne, der har et tidsvindue på mindre
end 4 timer, og det vil derfor formentlig ikke have nogen større effekt på løsningen. Øges tidsvinduet i
stedet til 6 timer, vil det indebære, at 57 % af kunderne skal udvide deres tidsvindue. Tidsvinduet på 6 timer
er fravalgt, da ruterne i mange tilfælde tager omkring 6 timer, og den bredde derfor vil ligne løsningen med
fri tilgængelighed for meget.
De steder, hvor tidsvinduerne ændres, fastholdes det seneste leveringstidspunkt, hvilket betyder, at
tidsvinduerne øges ved at tillade en tidligere levering. De planlagte ruter og en sammenligning herimellem
fremgår af bilag 22. De specifikke ruter for mandag kan ses i bilag 23.
Tabel 12 viser de overordnede resultater. Den ugentlige omkostning er på 64.553 kr., og der køres 7463 km.
Der anvendes mellem 6 og 8 lastbiler, svarende til i alt 42 lastbiler over hele ugen. Længden af ruterne er
nogenlunde balanceret således, at de fleste lastbiler returnerer til terminalen ved 10-‐11-‐tiden. Den længste
rute er på 9 timer og 12 minutter, hvilket kan give problemer med den tilladte arbejdstid.
Da Arla har begrænset adgang til butikkerne, er der risiko for slack, hvor lastbilen er nødt til at vente indtil
tidsvinduet åbner. Generelt er der i denne løsning slack hos 50 kunder set over hele ugen, hvilket svarer til,
at der ventes hos 7,63 % af kunderne. På ruteniveau er der derimod slack på 33 ud af de 42 ruter. Det vil
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 39 af 66
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler Slack %-‐vis
afvigelse Mandag 10.228 kr. 1.182 km 09.26 82% 6 6 -‐1,26% Tirsdag 11.575 kr. 1.338 km 09.24 67% 7 9 7,44% Onsdag 9.852 kr. 1.139 km 08.49 60% 7 9 -‐1,34% Torsdag 9.945 kr. 1.150 km 08.29 75% 6 9 -‐2,88% Fredag 10.800 kr. 1.249 km 09.12 70% 8 9 -‐4,72% Lørdag 12.153 kr. 1.405 km 08.55 87% 8 8 -‐0,11% Total 64.553 kr. 7.463 km 54:15 73% 42 50 -‐0,47%
Tabel 12: Ændring af tidsvinduer (rankeplan)
sige, at der på 78,57 % af ruterne er mindst et tidspunkt, hvor chaufføren er nødt til at vente. Mandag er
der eksempelvis slack hos 6 kunder, hvoraf ventetiden varierer fra 2 minutter helt op til 1 time og 53
minutter. Der er slack hos den første kunde på ruten for lastbilen L4. Dette er kundenummer 20071, som
ligger i Christiansfeld. Her venter lastbilen 1 time og 53 minutter, inden tidsvinduet åbner kl. 05.00. Dette
virker ikke særlig fordelagtigt i praksis, da chaufførens arbejdstid formentlig kunne udnyttes bedre, især når
kunden kun ligger 700 meter fra terminalen. Yderligere venter L4 også hos den fjerde kunde på ruten,
nummer 35115, men her ventes der dog kun 2 minutter. Mandag og lørdag forekommer der kun slack
inden for de første fem kunder på ruterne. Tirsdag til fredag forekommer der slack helt op til den tiende
kunde. Generelt er det dog oftest hos den første kunde på ruten, at der er slack. Dette ses blandt andet om
fredagen, hvor der på fire ud af de otte ruter er slack hos den første kunde jf. bilag 24.
Der opnås en gennemsnitsfyldning på 73 % set over hele ugen, hvilket betyder, at målet på 80,39 % ikke er
opfyldt. Det er kun 2 ud af de 6 dage, det er muligt at opnå målet jf. tabel 12. Løsningen om onsdagen
skiller sig ud, da der anvendes flere lastbiler end mandag og torsdag, selv om efterspørgslen er lavere. Der
opnås også kun en gennemsnitsfylding på 60 %, hvilket svarer til at lastbilerne i gennemsnit kun har 30
rullepaller med. Til sammenligning er der om mandagen i gennemsnit 42 rullepaller pr. lastbil.
Ruterne i dette scenarie ligner ikke hinanden hver dag jf. bilag 22. Igen ses det dog, at der er flere klynger af
butikker, som følger hinanden. Det drejer sig specielt om de områder, hvor der er få butikker. Butikkerne
serviceres dog af forskellige lastbiler, som forlader terminalen på forskellige tidspunkter. Et eksempel herpå
er de 3 butikker i Tinglev og de 3 i Skærbæk. I modsætning hertil er de butikker, som ligger i områder med
stor koncentration, spredt på forskellige ruter. Det er eksempelvis områder som Sønderborg, Haderslev og
Aabenraa.
Sammenlignes resultatet i dette problem med den optimale løsning ses det af tabel 12, at der er en
afvigelse på 0,47 %. Der er generelt små afvigelser de enkelte dage undtagen tirsdag, hvor omkostningerne
er større i denne løsning og svarer til en afvigelse på 7,44 %. Løsningen, der er fundet tirsdag, må anses som
dårlig, da omkostningerne er højere end både mandag og fredag. Det burde ydermere være muligt at opnå
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 40 af 66
en bedre eller den samme løsning, som i den optimale løsning, da begrænsningerne her er lempede. Det vil
sige, at en udvidelse af tidsvinduerne ikke har en særlig stor betydning for distributionsomkostningerne.
4.2.6 Opdeling i A og B kunder
En anden måde at planlægge distributionen på er at opdele kunderne i henholdsvis A og B kunder.
Kunderne er på nuværende tidspunkt allerede opdelt i henhold til kædeaftalerne, der fremgår af bilag 3. I
dette scenarie vil der tages udgangspunkt i at prioritere A og B kunderne på en sådan måde, så de to
grupper serviceres hver for sig. Det vil sige, at alle A kunder ligger på de samme ruter og alle B kunder ligger
på samme ruter.
I det efterfølgende opdeles alle kunderne i A og B efter kædeaftalens seneste leveringstidspunkt. I dette
scenarie er A-‐kunder alle de kæder, der skal have leveret inde kl. 09.00, mens B-‐kæderne er dem, der skal
have leveret senere end dette jf. tabel 13. Det betyder, at der er 20 A-‐kunder og 106 B-‐kunder jf. bilag 25.
Der, hvor der er forskel i tidligste levering i kæden, tages den tidligste tid. Eksempelvis skal nogle Superbest
butikker have levering kl. 09.00, mens andre skal have levering kl. 10.30. Her vælges kl. 09.00 for hele
kæden. I logvrp skilles kunderne ad, så problemet først løses med alle A-‐kundernes ordrer, og hvor alle
lastbilerne fra rankeplanen er tilgængelige. Derefter løses problemet med alle B-‐kunderne, hvor det kun er
de lastbiler, som A-‐kunderne ikke har anvendt, der er tilgængelige.
Det overordnede resultat for de enkelte dage ses i tabel 14, og resultaterne for A og B opdeling ses i bilag
26. Ruterne for A-‐ og B-‐kunderne og en sammenligning herimellem fremgår af bilag 27. Desuden fremgår
de specifikke ruter for A og B om mandagen i bilag 28.
Leveringstid
A
Navn Antal Seneste tid
B
Navn Antal Seneste tid Bilka 1 08.00
Netto 15 10.00
Føtex 3 08.00
Superbrugsen 17 10.00 Kvickly 4 09.00
Fakta 20 10.30
Løvbjerg 1 09.00
Kiwi 4 10.30 Metro 1 09.00
Rema 1000 10 10.30
S-‐Engros 3 09.00
DK tank 1 11.00 Superspar 2 09.00
Kvik spar 7 11.00
Superbest 5 09.00
Spar 15 11.00
Letkøb 2 11.00
Abena 1 12.00
Dagli' Brugsen 7 12.00
Fleggaard 3 12.00
Lokalbrugsen 3 12.00
Statoil 1 12.00
Tabel 13: Opdeling i A-‐ og B-‐kunder efter kædeaftaler
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 41 af 66
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler Slack %-‐vis
afvigelse Mandag 11.842 kr. 1.369 km 08.56 63% 8 12 14,32% Tirsdag 12.780 kr. 1.478 km 09.34 50% 9 13 18,63% Onsdag 11.355 kr. 1.312 km 09.14 59% 7 8 13,71% Torsdag 12.382 kr. 1.431 km 08.45 63% 7 8 20,92% Fredag 13.292 kr. 1.536 km 10.02 60% 9 10 17,27% Lørdag 14.805 kr. 1.712 km 09.34 74% 9 9 21,69% Total 76.456 kr. 8.838 km 56:05 61% 49 60 17,88%
Tabel 14: Løsning opdeling i A og B kunder efter kædeaftaler (leveringstider)
Der køres i alt 8.838 km, hvilket svarer til en omkostning på 76.456 kr. jf. tabel 14. De længste ruter tager
mellem 8 timer og 45 minutter og helt op til 10 timer og 2 minutter, hvilket overskrider chaufførens
arbejdstid. Den lange tid kan dog skyldes, at der forekommer slack. Gennemsnitsfyldningen er på 61 %,
hvilket ligger væsentligt under Arlas mål på 80,39 %. Om tirsdagen er fyldningen endda helt nede på 50 %
grundet det høje antal af anvendte lastbiler. Der anvendes mellem 7 og 9 lastbiler, hvilket svarer til 47
lastbiler i alt. Tirsdag, fredag og lørdag anvendes det maksimale antal lastbiler. Der forekommer slack alle
dage, men dog ikke på alle ruter. Mandag forekommer der eksempelvis slack på 6 ud af de 8 ruter jf. bilag
28.
Mandag, onsdag og torsdag anvendes der kun 2 lastbiler til at servicere A-‐kunderne, mens der de øvrige
dage er anvendt 3 lastbiler jf. bilag 26. Tirsdag og fredag er der dog en rute, som kun består af kunde 22664
i Christiansfeld jf. bilag 27. Grunden til dette er formentlig, at den ligger så tæt på terminalen, og der ikke er
nogen fast omkostning forbundet med at benytte en ekstra lastbil. Det er derfor billigere at have den på en
rute for sig selv. Alle dage ligger butikkerne nogenlunde fast på den samme rute, men der anvendes dog
forskellige lastbiler jf. bilag 27. A-‐kunderne anvender lastbilerne L3, L4, L5, L6 og L7, som forlader
terminalen mellem kl. 02.00 og kl. 04.30. Selvom der skal ske tidlig levering anvendes de tidlige lastbiler
ikke, hvilket formentlig skyldes butikkernes adgangsforhold. Der er kun 8 ud af de 20 A-‐kunder, som har fri
tilgængelighed jf. bilag 25. De 2 ruter, som servicerer A-‐kunderne om mandagen, servicerer samlet 19
kunder i 10 forskellige byer, hvilket svarer til, at der køres 21 km pr. kunde. I modsætning hertil køres der
kun 10 km pr. B-‐kunde. Dette indikerer, at de ruter, der køres hos A-‐kunderne, er meget geografisk spredte
i forhold til ruterne hos B kunderne, da disse kan udnytte, at der ligger flere butikker i samme område.
Alle dage anvendes der 6 lastbiler til at servicere B-‐kunderne, med udtagelse af onsdag og torsdag, hvor der
kun benyttes 5 lastbiler, idet efterspørgslen er mindst jf. bilag 26. Ruterne, der servicerer B-‐kunderne,
besøger oftest kunderne i klynger i forhold til deres beliggenhed. Eksempelvis kører rute L1 hovedsageligt i
Aabenraa om mandagen. I de områder, hvor der ligger få butikker, følger butikkerne desuden altid
hinanden. Et eksempel herpå er de tre butikker i Padborg og de tre i Tinglev jf. bilag 27.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 42 af 66
Sammenlignet med den optimale løsning ses det jf. tabel 14, at omkostningerne er større ved at opdele
kunderne i A-‐ og B-‐kunder. Der er en % -‐vis afvigelse på 17,88 %. Af tabellen fremgår det, at
omkostningerne alle dage er større, og at afvigelserne ligger mellem 13,71 % og 21,69 %. Det synes derfor
ikke at være nogen fordel for Arla at opdele kunderne efter kædeaftaler på en måde, som det er gjort her.
En anden naturlig måde at opdele kunderne i A-‐ og B-‐kunder på er efter, hvornår Arla har adgang til
butikken. A-‐kunderne består her af alle de butikker, hvor der er fri tilgængelighed, så lastbilen kan
ankomme fra kl. 00.01, og B kunderne består af alle de resterende butikker jf. bilag 29. Antallet af A-‐ og B-‐
kunder varierer hen over ugen afhængig af antallet af butikker, der skal serviceres og fremgår af tabel 15.
Scenariet er løst på samme måde som det foregående, hvilket betyder, at scenariet først løses med alle A-‐
kunderne og derefter med B-‐kunderne, hvor kun de lastbiler, der ikke anvendes af A-‐kunderne, er
tilgængelige.
Resultatet af denne opdeling fremgår af tabel 16, og bilag 30 viser en uddybelse heraf. Ydermere ses
ruterne for A-‐ og B-‐kunderne, samt en sammenligning herimellem i bilag 31. Desuden fremgår de specifikke
ruter for mandag for A-‐kunderne og B-‐kunderne i bilag 32. Omkostningen ved at køre de 47 ruter er på
76.900 kr., og der køres 8.870 km. På tre ud af seks dage overskrider mindst en rute chaufførens arbejdstid.
Der er jf. tabel 15 en gennemsnitsfyldning på 68 %, hvilket ligger under det ønskede mål på 80,39 %. Der er
desuden ingen af dagene, der opfylder målet. Der anvendes mellem 6 og 9 lastbiler. Grundet den
varierende efterspørgsel varerier antallet af lastbiler, som servicerer A-‐kunderne. Mandag, tirsdag, torsdag
og fredag anvendes der 3 lastbiler, onsdag anvendes der kun 2 lastbiler, mens der lørdag anvendes 4 til at
servicere A-‐kunderne. Onsdag er der desuden en gennemsnitsfyldning på 98 % hos A-‐kunderne, så de 2
lastbiler bliver udnyttet til fulde. Til A-‐kunderne anvendes lastbilerne L2, L3, L4, L6, L7 og L9. Det vil sige, at
den tidlige lastbil L1 slet ikke anvendes, og L2 anvendes desuden kun om tirsdagen jf. bilag 31. Dette virker
ikke hensigtsmæssigt, da der er fri adgang til alle A-‐kunderne fra kl. 00.01. Der opstår ikke slack hos A-‐
kunderne, da der fri tilgængelighed. Hos B-‐kunderne er der derimod slack hos 44 kunder i alt. Slack opstår
hovedsageligt hos første og anden kunde på ruten, hvilket blandt andet ses af bilag 32. Det er kun 4 ud af
de 29 B-‐ruter, hvor der ikke er slack hos den første kunde på ruten. Dette kunne sandsynligvis være
undgået, hvis flere af de sene lastbiler havde været tilgængelige, hvilket ville betyde, at A-‐kunderne skulle
være tvunget til at bruge de tidlige lastbiler.
Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag A 46 44 42 45 46 46 B 66 70 62 59 67 62
Total 112 114 104 104 113 108 Tabel 15: Antal A og B kunder efter adgangsforhold
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 43 af 66
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler Slack %-‐vis
afvigelse Mandag 12.863 kr. 1.488 km 10.00 63% 8 7 24,17% Tirsdag 13.652 kr. 1.578 km 10.24 55% 9 9 26,72% Onsdag 11.188 kr. 1.273 km 10.38 77% 6 8 12,04% Torsdag 11.472 kr. 1.326 km 08.41 65% 7 5 12,03% Fredag 13.638 kr. 1.577 km 09.14 72% 8 9 20,32% Lørdag 14.087 kr. 1.628 km 09.31 77% 9 6 15,79% Total 76.900 kr. 8.870 km 58:22 68% 47 44 18,56%
Tabel 16: Opdeling i A og B kunder efter adgangsforhold
Om mandagen køres tre A ruter L3, L6 og L9. De butikker, som ligger på ruten med L3 om mandagen, ligger
også sammen de resterende dage, men ruten er dog opdelt i to. Om mandagen kører ruten med L6
hovedsageligt i området omkring Sønderborg og Als, men servicerer også kunder i Haderslev, først og sidst
på ruten. Denne rute er forholdsvis stabil, og det er kun lørdag, den afviger med mere end 4 kunder. Den
rute, som køres med L9 om mandagen, kører kun denne dag, hvilket formentlig skyldes at de 4 butikker på
ruten ligger i forskellige områder. De resterende dage er disse butikker splittet op på forskellige ruter.
Desuden ses det i denne løsning, at butikker, som ligger i det samme lille område, generelt følger hinanden,
eksempelvis Toftlund jf. bilag 31.
Også denne opdeling af A-‐ og B-‐kunder har en større omkostning sammenlignet med den optimale løsning,
og afvigelsen er på 18,56 % jf. tabel 16. Omkostningerne er alle ugens dage større og afvigelserne ligger på
mellem 12,03 % og 26,72 %. Denne opdeling af A og B kunder synes derfor heller ikke at være nogen fordel.
Sammenlignes de to forskellige måder at opdele kunderne i A og B kunder ses det, at omkostningen er
størst, når der opdeles efter adgangsforhold. Forskellen er dog kun på 444 kr. svarende til 0,58 %. Ud fra
omkostningen kan det dermed ikke konkluderes, hvorvidt den ene opdeling er bedre end den anden.
Forskellen kan lige såvel skyldes forskellige løsninger i logvrp. Gennemsnitsfyldningen er højest, når der
opdeles efter adgangsforhold, da gennemsnitsfyldningen er 11 % bedre end opdelingen efter seneste
leveringstid. Fyldningen er dog stadig langt fra Arlas mål, hvilket gør, at ingen af opdelingerne formentlig er
at foretrække set i forhold til den gennemsnitlige fyldning.
Hos alle de kunder, som kan få levering fra kl. 00.01, vil der aldrig forekomme slack. Sammenlignes slack i
de to løsningsmetoder, forekommer der markant flere slack ved opdeling efter kædeaftaler. Ved at opdele
kunderne efter adgangsforhold forekommer der kun slack 44 gange sammenlignet med opdelingen efter
kædeaftaler, hvor der forekommer slack 60 gange jf. henholdsvis tabel 16 og 15. Dette svarer til, at der
forekommer slack 36 % mere ved opdelingen efter kædeaftaler. Denne forskel skyldes hovedsageligt, at der
ved opdeling efter adgangsforhold garanteres, at der på ruter for A-‐kunderne aldrig vil forekomme slack.
Når der opdeles efter kædeaftaler, er der derimod risiko for slack på alle ruter. Som tidligere nævnt
forekommer slack ved opdeling efter adgangsforhold oftest hos de første kunder på ruten, hvorimod der
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 44 af 66
ved opdelingen efter leveringsaftale forekommer slack på en mere usystematisk måde. Dette skyldes, at
lastbilen ved opdeling efter adgangsforhold i mange tilfælde er nødsaget til at vente hos den første kunde,
hvorefter det ikke er nødvendigt at vente mere. Denne ventetid kunne måske undgås, hvis Arla kunne flytte
om på lastbilernes afgangstider i terminalen, således at lastbilerne kunne forlade terminalen på et senere
tidspunkt. Den mulighed er der ikke ved opdelingen efter leveringsaftaler, da slack er spredt ud over ruten.
Afvigelsen fra den optimale løsning er størst, når der opdeles efter adgangsforhold. Forskellen mellem de to
måder at opdele kunderne på er dog kun på 0,68 % -‐point fra den optimale løsning. Det ses dog, at der er et
større spænd på afvigelserne, når der opdeles efter adgangsforhold jf. tabel 16.
Ud fra ovenstående synes det dermed at være opdelingen efter adgangsforhold, som giver det bedste
resultat, hvorfor denne anvendes til sammenligning og diskussion af de forskellige scenarier i afsnit 5.
4.2.7 Ændring af køretiden
I den optimale løsning i afsnit 4.2.2 fremgik det, at der alle dage undtagen lørdag var mindst en rute, som
ville overskride chaufførens arbejdstid. Det kunne derfor være interessant at se, om det er muligt at opdele
nogle ruter, således at to forskellige chauffører kan betjene samme lastbil. I logvrp kan der ikke sættes
nogen begrænsninger for køretiden eller stilles krav til at lastbilen skal returnere til terminalen midt på
ruten. Derfor forsøges problemet løst ved at halvere antallet af tilgængelige lastbiler, så disse bliver tvunget
til at returnere til terminalen for at genopfylde lastbilen på grund af manglende kapacitet. I den optimale
løsning anvendes der 7, 8 eller 9 lastbiler, hvorfor distributionen først forsøges løst med 4 lastbiler om
dagen. Til løsningen anvendes de tidlige lastbiler, som begynder pålæsning i terminalen mellem kl. 01.00 og
kl. 02.30. De tidlige lastbiler anvendes, da der er behov for et stort tidsrum, hvis lastbilerne skal nå at køre 2
ruter. Problemet kan ingen af ugens dage løses med 4 lastbiler, da der i alle tilfælde er kunder, som ikke
bliver serviceret. Grunden til dette er, at tidvinduerne ikke kan overholdes, når der ikke er flere lastbiler
tilgængelige. Mandag og tirsdag er der henholdsvis 31 og 22 kunder, som ikke får serviceret deres ordre.
Onsdag drejer sig det kun om 7 kunder, mens der torsdag er 17 kunder, som ikke bliver serviceret. Fredag
og lørdag er det helt op til henholdsvis 34 og 39 kunder, som ikke bliver serviceret. Antallet af uservicerede
ordrer ved brug af 4 lastbiler fremgår af bilag 33. Da problemet ikke kan løses med 4 tilgængelige lastbiler,
tilføjes der en femte lastbil, som kan forlade terminalen kl. 03.00. Ved brug af 5 lastbiler er det kun onsdag
og torsdag, der fremkommer en brugbar løsning. Der er ingen af løsningerne, som har et brugbart resultat i
forhold til dette scenarie, idet ingen af lastbilerne kører tilbage til terminalen midt på ruten. Der er dog en
af ruterne hver dag, som efter at have serviceret en enkelt kunde kører tilbage til terminalen, hvorefter den
fortsætter med at servicere de resterende kunder på ruten. Begge dage er kunde 22664 i Christiansfeld. De
øvrige dage er der stadig problemer med at servicere alle kunderne, og der er mellem 10 og 25 kunder, der
ikke serviceres med 5 tilgængelige lastbiler.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 45 af 66
Der tilføjes en sjette lastbil, som begynder pålæsning i terminalen kl. 03.15. Herefter er det muligt at løse
problemet mandag, tirsdag og fredag. De specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 34. I den billigste
løsning, som fremkommer om mandagen kører ingen af ruterne tilbage til terminalen for at læsse lastbilen
igen, hvilket også er tilfældet tirsdag og fredag. Ingen af løsningerne er således relevante for scenariet. For
at kunne løse problemet lørdag er det nødvendigt at tilføje en syvende lastbil, som begynder pålæsning i
terminalen kl. 04.30. Selv om problemet løses mere end 3 gange, er der ved hver løsning 1 til 3 kunder som
ikke bliver serviceret. Det er derfor nødvendigt at tilføje en ottende lastbil, for at der kan fremkomme en
brugbar løsning. Dette giver dog ikke mening i forhold til scenariet, da dette også er det antal lastbiler, som
bruges i den optimale løsning i afsnit 4.2.2. I den optimale løsning er der ingen af lastbilerne, som kører
tilbage til terminalen for at genopfylde. Det er således ikke muligt at sætte 2 chauffører på en lastbil om
lørdagen.
Hvis hver lastbil kunne køre 2 ruter med 2 forskellige chauffører kunne både chaufførens arbejdstid og
antallet af lastbiler reduceres. Dette er dog ikke en mulig løsning i praksis, da det tager for lang tid at køre
frem og tilbage til terminalen i forhold til de tidsvinduer, som skal overholdes hos kunderne. Hvis
problemet blev løst med et sæt af lastbiler, som alle har mulighed for at begynde pålæsning i terminalen kl.
01.00, ville det være muligt at anvende færre lastbiler tirsdag og lørdag, idet der er større tidsinterval til
service af kunderne. Mandag, onsdag, torsdag og fredag er det ikke muligt at løse problemet med færre
lastbiler end ved anvendelses af rankeplanen. Det er kun fredag, det foreslås at lastbilen skal vende tilbage
til terminalen og læsse igen. Det sker dog efter, at kun 2 kunder er blevet serviceret. Tirsdag er det muligt
at finde en løsning med kun 5 tilgængelige lastbiler. På en af ruterne i denne løsning kører lastbilen tilbage
til terminalen efter at have serviceret 4 kunder. Det ville give den første chauffør en arbejdstid på 1 time og
15 minutter, hvilket ikke ville afhjælpe problemet. Lørdag er det muligt at finde en brugbar løsning med 7
lastbiler tilgængelige. I løsningen kører 1 af lastbilerne ud til 5 kunder, for derefter at returnere til
terminalen for at genopfylde, inden de sidste 12 kunder på ruten serviceres. Dette ville svare til, at den
første chauffør fik en arbejdstid på 4,5 time, mens den anden chauffør ville få en arbejdstid på 5,5 timer jf.
bilag 35. Arbejdstiden er ikke særlig lang, men man kunne forestille sig, at chaufførerne i stedet kunne
bruge mere tid på terminalen, hvor de eksempelvis selv kunne stå for at ranke ordrerne op og læsse disse
på lastbilen.
Det fremgår af løsningen, at det ikke er muligt at sætte 2 chauffører på en lastbil. Løsningerne for de
enkelte dage kan i stedet anvendes til sammenligning med den optimale løsning for at se, om det er
fordelagtigt at tvinge løsningen til at anvende mindst mulige antal lastbiler. Her ses det dog bort fra, at en
lastbil onsdag og torsdag kører tilbage til terminalen efter at have serviceret en kunde, hvorefter den
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 46 af 66
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler Slack %-‐vis
afvigelse Mandag 15.708 kr. 1.816 km 10.26 82% 6 7 51,64% Tirsdag 15.257 kr. 1.764 km 09.20 78% 6 7 41,62% Onsdag 10.591 kr. 1.224 km 09.40 73% 5 10 6,06% Torsdag 12.109 kr. 1.400 km 09.45 82% 5 9 18,25% Fredag 14.861 kr. 1.718 km 10.02 93% 6 8 31,11% Lørdag -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ -‐ Total 68.526 kr. 7.922 km 49:13 68% 28 41 30,05%
Tabel 17: Ændring af køretid
fortsætter ruten. Af tabel 17 ses det, at omkostningerne er væsentlig større, selv når lørdag undlades.
Afvigelsen er på 30,05 %. Afvigelserne mandag til fredag ligger mellem 6,06 % og 51,64 %, hvilket er et
meget stort spænd. Onsdag er afvigelsen mindst, hvilket formentlig skyldes, at efterspørgslen pr. kunde er
lav, og der derfor er mulighed for at opnå en god løsning, selvom der anvendes færre lastbiler.
Det giver ikke Arla nogen fordel at reducere antallet af lastbiler, såfremt der ikke er en fast omkostning
forbundet med at benytte en ekstra lastbil. Færre lastbiler giver derimod flere omkostninger, da det er
nødvendigt at køre flere kilometer.
4.2.8 Diskussion
I det følgende afsnit vil scenarierne løst i afsnit 4.2.1 til 4.2.7 blive diskuteret og sammenlignet. Tabel 18
viser en oversigt over problemstillingerne med totaler herfra.
Den oprindelige løsning er dyrere end den optimale løsning, og der er en afvigelse på 8,05 % jf. tabel 18. I
modsætning til den optimale løsning optimerer Arla ikke hver dag. I stedet arbejder Arla ud fra stamruter,
som stort set servicerer de samme butikker hver dag jf. afsnit 4.2. Det kan være en af grundene til, at den
optimale løsning er bedre end den oprindelige. Den ændrede løsning kan dog også skyldes, at Arla benytter
et andet program til at beregne ruterne, og der kan derfor være forskel på de anvendte algoritmers
heuristikker. I den optimale løsning anvendes der én lastbil mindre end i den oprindelige løsning, hvorfor
gennemsnitfyldningen er et procentpoint større. Det vil sige, at det heller ikke er muligt at opnå målet for
gennemsnitfyldningen på 80,39 % i den optimale løsning. I den oprindelige løsning forekommer der slack 61
gange i løbet af ugen, mens der i den optimale løsning er slack 67 gange jf. tabel 18. Det øgede antal slack i
den optimale løsning kan skyldes, at det ikke koster noget, at lastbilen holder stille. Det er derfor mere
fordelagtigt at køre færre kilometer og vente hos nogle kunder, end det er at undgå slack. Generelt er
antallet af slack stort, men det kan skyldes antagelsen om lastbilernes hastighed, hvorfor de ikke
nødvendigvis har lige så mange slack i virkeligheden. I den optimale løsning er der ingen af ruterne, som
overstiger chaufførens arbejdstid på 10 timer. Tages der dog som tidligere nævnt, højde for pauser,
overstiger mindst en rute chaufførens arbejdstid alle dage undtagen lørdag. Det er til gengæld ikke tilfældet
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 47 af 66
nogen af dagene i den oprindelige løsning. Det er derfor usikkert, om det vil kunne lade sig gøre at køre den
optimale løsning i praksis. Det er dog kun 7 ud af de 45 ruter, som køres i hele ugen, hvor arbejdstiden
overstiges, hvis der medtages pause. På alle ruterne er der dog slack hos 1 til 2 kunder, og der er derfor
mulighed for, at chaufførens pause kan ligge i disse tidsrum. Et eksempel herpå er mandag, hvor ruten med
L1 tager 9 timer og 19 minutter. Her forekommer der slack hos en enkelt kunde, men der er slack på i alt 1
time og 52 minutter jf. bilag 12. Det betyder, at der er rigeligt med tid til pause. På de resterende ruter er
der også nok slack til at pauserne kan ligge i dette tidsrum. Selvom der ikke vil være problemer på nogen af
ruterne, er der dog yderligere regler for, hvornår på ruten pausen skal ligge, samt at den skal afholdes
sammenhængende.
Som ventet har løsningen uden tidsvinduer de laveste omkostninger. Yderligere anvendes der også det
færreste antal lastbiler, og der opnås den højest gennemsnitfyldning. Den procentvise afvigelse i forhold til
den optimale løsning er jf. tabel 18 meget stor. Det ville derfor være en stor fordel, hvis Arla ikke havde
nogen tidsmæssige begrænsninger, da det ville medføre en stor omkostningsreduktion. Det er dog ikke
muligt i praksis, da typen af varer er bestemmende for størstedelen af begrænsningerne. I takt med, at der i
problem 4 og 5 tilføjes flere begrænsninger, stiger omkostningerne og antallet af anvendte lastbiler i
forhold til løsningen uden tidsvinduer. Ligeledes bliver den % -‐vise afvigelse fra den optimale løsning
mindre. Ved at tilføje et seneste leveringstidspunkt, som det er tilfældet i løsningen med fri tilgængelighed,
stiger omkostningerne kun med 425 kr. sammenlignet med løsningen uden tidsvinduer. Tilføjes det
yderligere, at lastbilerne begynder pålæsning i terminalen efter rankeplanen, stiger omkostningerne med
7.163 kr., hvilket svarer til en stigning på 13 %. Det er således primært brugen af rankeplanen, som er
årsagen til omkostningernes store stigning, hvilket også blev konkluderet i afsnit 4.2.4 i forhold til afvigelsen
fra den optimale løsning. Scenariet er mere realistisk i praksis, da der er taget højde for
begrænsning i terminalen, samt seneste leveringstidspunkt hos kunden. Det er dog tvivlsomt, om den fri
tilgængelighed er realistisk i praksis, da det kræver ændringer hos mange kunder.
Omkostning Antal km Tid Gns.
fyldning Antal
lastbiler Slack %-‐vis
afvigelse 1 Oprindelig løsning 70.077 kr. 8.104 km 50:51 67 % 46 61 8,05% 2 Optimal løsning 64.859 kr. 7.492 km 57:12 68 % 45 67 0,00% 3 Ingen tidsvinduer 55.855 kr. 6.457 km 44:26 86 % 36 -‐ -‐13,88% 4a Fri tilgængelighed u. rank 56.280 kr. 6.506 km 44:42 86 % 36 -‐ -‐13,23% 4b Fri tilgængelighed m. rank 63.018 kr. 7.285 km 44:50 81 % 38 -‐ -‐2,84% 5 Ændring af tidsvinduer 64.553 kr. 7.463 km 54:15 73 % 42 50 -‐0,47% 6 A og B kunder 76.900 kr. 8.870 km 58:22 68 % 47 44 18,56% 7 Ændret køretid 68.526 kr. 7.922 km 49:13 68 % 28 41 5,65%
Tabel 18: Oversigt over scenarierne Note: Ændret køretid indeholder kun 5 dage
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 48 af 66
Ved scenarie 5 begrænses løsningen yderligere af, at der tilføjes et tidligste tidspunkt for, hvornår lastbilen
kan ankomme til kunden. Tidsvinduerne hos kunderne er ikke de samme som i den oprindelige og den
optimale løsning, idet de sættes til minimum at være 5 timer. Sammenlignet med løsningen uden
tidsvinduer er der en forskel i omkostningerne på 8.698 kr. svarende til 16 % jf. tabel 18. Sammenlignes
løsningen derimod med problem 4b, er forskellen kun på 1.535 kr. Det tyder derfor ikke på, at det tidligste
tidspunkt for levering har den store betydning for omkostningerne, når tidsvinduerne er minimum 5 timer
brede. En af grundene til dette er, at Arla har adgang til 48 butikker hele natten, hvorfor det reelt er 78 af
butikkerne, hvor der er tilføjet yderligere begrænsninger. Som beskrevet i afsnit 4.2.5 er omkostningerne
kun 0,47 % mindre end den optimale løsning. Sammenlignes der derimod på andre parametre, ses det, at
der jf. tabel 18 er færre antal slack, når tidsvinduerne er bredere. Mandag er der 10 slack i den optimale
løsning, mens der kun er 6, når tidsvinduerne udvides. Dette fremgår af bilag 12 og 23. Det gennemsnitlige
slack pr. kunde om mandagen er i den optimale løsning 1 time og 27 minutter, hvorimod det kun er 57
minutter, når tidsvinduerne udvides. Det gennemsnitlige slack pr. kunde er dermed blevet reduceret med
en halv time. Yderligere anvendes der også 3 færre lastbiler i problem 5, hvilket alt andet lige giver en
lavere omkostning og højere gennemsnitsfyldning.
I problem 6, hvor der opdeles i A-‐ og B-‐kunder, forekommer den højeste omkostning sammenlignet med
alle de andre problemer, og der anvendes ligeledes flest lastbiler. Det vil sige, at løsningen er dårligere end
den oprindelige løsning. En af grundene hertil er, at der er mulighed for at kunder, som ligger tæt på
hinanden, er henholdsvis A-‐ og B-‐kunder, hvilket betyder, at to forskellige lastbiler skal køre ud til samme
lille område. Det kan betyde, at der køres flere antal kilometer. Imellem alle problemets knuder er der 86
kanter, som er mindre end eller lig med 1 kilometer. Ud af disse er der 27 kanter, hvis knuder består af en
A-‐ og en B-‐kunde. Det betyder, at det ikke længere kan udnyttes, at kunderne ligger tæt på hinanden, og
det bliver dermed nødvendigt at køre flere kilometer. Der anvendes 2 lastbiler mere i forhold til den
optimale løsning, men alligevel køres der flere kilometer pr. lastbil. I den optimale løsning køres i
gennemsnit 166,4 km pr. lastbil, mens der ved opdeling i A-‐ og B-‐kunder køres 188,7 km. En fordel ved
denne opdeling er dog, at antallet af slack jf. tabel 18 er reduceret til 44 i forhold til 67 i den optimale
løsning. Dette skyldes, at der ikke forekommer slack på alle ruterne med A-‐kunder, og at slack
hovedsageligt ligger hos de første kunder på ruterne med B-‐kunder jf. afsnit 4.7. Overordnet er opdeling af
A-‐ og B-‐kunder dog ikke nogen fordelagtig løsning, da omkostninger og antallet af lastbiler er høje. Den
øgede omkostning kunne overvæltes på kunderne, men det vil de sandsynligvis ikke acceptere, da det ikke
giver nogen yderligere fordele end i den nuværende løsning.
I scenarie 7, hvor det forsøges at løse problemstillingen ved at hver lastbil kører 2 ture, er det ikke muligt at
løse det ønskede problem. Det er ikke muligt at hver lastbil kører 2 ture på grund af tidsbegrænsninger.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 49 af 66
Resultatet anvendes i stedet til at se, om det at fordelagtigt at reducere antallet af tilgængelige lastbiler.
Resultatet i tabel 18 indeholder kun 5 dage, hvorfor det ikke giver mening at sammenligne denne løsning
med de resterende. Undlades lørdag også i den optimale løsning, så der er mulighed for sammenligning, er
antallet af lastbiler 36, mens slack er 54 og gennemsnitfyldning er på 66 %. Jf. tabel 18 er slack dermed
reduceret i problem 7, hvilket formentlig skyldes, at der anvendes færre lastbiler. Yderligere er den
gennemsnitlige fyldning 2 % -‐point bedre, hvilket også skyldes reduktionen af antal lastbiler i forhold til i
den optimale løsning. Hvorvidt det er fordelagtigt at reducere antallet af lastbiler afhænger dog af
lastbilens faste omkostninger, hvorfor det ikke er muligt at konkludere ydereligere på denne
problemstilling.
Som konkluderet ovenfor er det en fordel at optimere hver dag, idet løsningen bliver bedre. Dette er dog
ikke muligt, da Arla servicerer 950 kunder i alt og udregning af en optimal løsning vil være meget
tidskrævende, da løsningstiden stiger eksponentielt med antallet af kunder. Yderligere opererer Arla med
en lovet leveringstid, hvorfor det ikke på nuværende tidspunkt er praktisk muligt at optimere hver dag. Der
er ikke nogen faste tidsintervaller for, hvornår stamruter omlægges, men som beskrevet tidligere er
omlægningen også en meget lang proces, da en godkendelse heraf skal igennem flere led. Hvis denne
proces ikke var så krævende, ville det være muligt at optimere langt oftere, hvilket vil give Arla en større
mulighed for at spare penge på distributionen.
Som skrevet i afsnit 4.2 har Arla rute 203, som kun servicerer de butikker, der ligger i Christiansfeld og
omegn, for at få chaufførens timetal til at gå op. Denne rute køres kun i en af de mange løsninger, som er
foreslået i denne opgave. I alle andre løsninger er butikkerne i Christiansfeld hovedsageligt placeret først
eller sidst på en rute. Det vil sige, at rute 203 er ikke optimal, da den reducerer gennemsnitsfyldningen og
gør, at der skal anvendes en lastbil mere end nødvendigt. Det vil være en fordel for Arla at få timetallet til
at gå op på en anden måde.
Mange problemer løses ofte ved at foretage manuelle justeringer til allerede eksisterende løsninger, selv
om der kunne anvendes algoritmer [Solomon, 1987]. Dette gøres også i Arla, da man efter planlægning ser
om ruterne er fornuftige i praksis, således at der ikke køres for meget frem og tilbage i den samme by.
Dette er ikke gjort her, da det primære mål i opgaven er at finde en optimal løsning til de mindst mulige
omkostninger. Der kan desuden heller ikke ændres på ruterne i logvrp. Bilag 36 viser plot fra mandag af
Arlas eksisterende ruter, den optimale løsning, løsning uden tidsvinduer, løsning med fri tilgængelighed
samt løsningen med ændrede tidsvinduer. Ud fra disse plots er det ikke muligt at se, hvor meget der køres
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 50 af 66
frem og tilbage i byerne, men overordnet ses det, at flere lastbiler ikke kører optimalt rent geografisk i den
oprindelige og den optimale løsning. Eksempelvis ser det ud til, at Skærbæk, Løgumkloster og Tønder, som
ligger på samme rute, serviceres i en uhensigtsmæssig rækkefølge i den oprindelige løsning. Dette er
markeret med en rød cirkel. Det samme er gældende for den optimale løsning. Det sker dog i mindre grad,
hvilket formentlig skyldes slack. Som skrevet i afsnit 4.2.3 er det muligt rent geografisk at køre optimalt, når
der ikke er nogen tidsvinduer. Ved fri tilgængelighed er dette stort set også muligt. Dog er der flere
lastbiler, som kører i samme område. Det ses blandt andet i øst og vest og er markeret i bilag 36.
Det er tydeligt at se på den geografiske løsning, når flere begrænsninger tilføjes. Selv om det ikke ser
optimalt ud rent geografisk, kan dette dog godt være tilfældet givet problemets begrænsninger. Det er
derfor vigtigt at kigge på omkostninger og andre parametre, når ruterne forsøges optimeret manuelt.
4.3 Betydning af seneste leveringstidspunkt Arlas kunder betaler et gebyr for at få levering inden et bestemt tidspunkt. Det er derfor interessant at se,
hvor meget omkostningerne ændrer sig, såfremt man ændrer på det seneste leveringstidspunkt for alle
kunderne. På denne måde kan omkostningerne sammenlignes, og det bliver muligt at se, hvor stor forskel
der vil være. Ud fra dette kan det vurderes, hvor stor betydning det bør have for kunderne at kræve tidlig
levering i forhold til ikke at have noget krav.
Problemet vil derfor blive løst ved, at leveringstidspunktet sættes til at være ens hos alle kunder. Det vil
blive løst med seneste levering kl. 08.00, kl. 09.00, kl. 10.00, kl. 10.30, kl. 11.00 og kl. 12.00. Disse
tidspunkter er baseret på de nuværende aftaler, der er for leveringstidspunkterne jf. bilag 3. Tabel 19 viser,
hvor mange butikker, der på nuværende tidspunkt skal have levering inden de forskellige tidspunkter. Det
antages yderligere, at der er fri tilgængelighed hos alle kunderne, idet fokus for dette scenarie er det
seneste leveringstidspunkt. Derudover vil nogle kunder få meget smalle tidsvinduer, såfremt de nuværende
adgangsforhold bibeholdes. Det vil også begrænse løsningsmængden væsentlig, og det vil i nogle tilfælde
ikke være muligt at løse problemet, idet der vil forekomme ordrer, som ikke kan serviceres. Når
leveringstiderne indskrænkes er det i nogle tilfælde ikke muligt at løse problemet med antallet af
tilgængelige lastbiler, da der er butikker, som ikke bliver serviceret. Idet Arla som sådan ikke har nogen
begrænsning på antallet af lastbiler, vil der i disse tilfælde blive tilføjet en ekstra lastbil, som kan begynde
pålæsning i terminalen kl. 01.00. Ligegyldigt om det har været nødvendigt at tilføje en ekstra lastbil, har
logvrp i flere tilfælde haft svært ved at finde en brugbar løsning, og det har derfor været nødvendigt at løse
problemet mere end tre gange.
Levering 08.00 09.00 10.00 10.30 11.00 12.00 Antal butikker 4 13 32 37 24 16
Tabel 19: Antal butikker med leveringstid
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 51 af 66
Når kunderne alle skal have levering inden kl. 08.00 er omkostninger 79.217 kr. jf. tabel 20. Der benyttes 8
lastbiler om mandagen. De specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 37. Af de 8 lastbiler der benyttes,
køres der tidligst fra den sidste kunde kl. 06.12, dette sker med L7. De andre lastbiler kører først fra den
sidste kunde mellem kl. 07.41 og 07.56, hvilket indikerer, at tidsvinduet næsten udnyttes fuldt ud. Den
eneste lastbil, som ikke benyttes om mandagen er L9, hvilket formentlig skyldes, at det er den lastbil, som
forlader terminalen senest. Om tirsdagen benyttes der 9 lastbiler, som forlader den sidste kunde på ruten
mellem kl. 07.28 og 07.59. Grunden til, at der benyttes flere lastbiler om tirsdagen, er, at der er flere
kunder, som skal serviceres inden for samme tidsrum, end det er tilfældet om mandagen. Onsdag forlades
den sidste kunde mellem kl. 07.14 og 07.59, og det er kun L7, som ikke benyttes. Det vil sige, at de lastbiler,
som begynder pålæsning sent også er taget i brug. Torsdag forlades den sidste kunde på de 8 ruter mellem
kl. 06.47 og 07.57. Den eneste lastbil, som ikke benyttes er L8, som også først kan begynde pålæsning kl.
05.00. Fredag forlades den sidste kunde på de kørte ruter mellem kl. 06.27 og 07.59. Om fredagen er det
ikke muligt at løse problemet med de 9 lastbiler, som fremgår af rankeplanen og som har pålæsningstider
jf. tabel 5 i afsnit 4.1. Der er derfor tilføjet en ekstra lastbil, som kan begynde pålæsning kl. 01.00. Herefter
er det muligt at løse problemet med 9 lastbiler, men L9 benyttes ikke. Lastbilen benyttes ikke, da det er den
lastbil, som begynder pålæsning i terminalen senest, hvilket giver et meget lille tidsinterval til at servicere
kunder i. Om lørdagen benyttes de 9 lastbiler, som fremgår af rankeplanen, men der benyttes også en
ekstra lastbil, som er sat ind, for at det er muligt at finde en løsning. Dette medfører, at der køres flere
kilometer og dermed også, at omkostningerne stiger.
Når alle kunderne skal have levering inden kl. 08.00, udnytter hver rute generelt tidsvinduet, idet levering
til den sidste kunde på ruterne først sker kort tid før, tidsvinduet lukker.
Når den seneste levering skal ske inden kl. 09.00 er omkostninger på 67.299 kr. jf. tabel 20. Mandag og
tirsdag anvendes der 7 lastbiler. De specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 38. Om mandagen
benyttes L7 og L9 ikke, mens det om tirsdagen er L5 og L9, der ikke benyttes. Omkostningerne er højere
tirsdag end mandag, hvilket skyldes, at der er flere kunder om tirsdagen. Der er kun en af de ruter tirsdag,
som ikke forlader den sidste kunde mellem kl. 08.38 og 08.59. Det drejer sig om L8, der forlader den sidste
kunde allerede kl. 06.07, men ruten består også kun af 4 kunder.
Onsdag og torsdag benyttes der 6 lastbiler, og forskellen i omkostningerne er meget lille. Onsdag benyttes
L5, L7 og L9 ikke, mens det torsdag er L7, L8 og L9, der ikke benyttes. Fredag og lørdag anvendes 8 lastbiler.
Begge dage er det L8, som ikke benyttes. Fredag er der kun 1 lastbil, som ikke forlader den sidste kunde
mellem kl. 08.21 og kl. 08.59. L1, L2 og L3 udnytter tidsvinduet hos den sidste kunde på ruten til det
yderste, idet disse 3 lastbiler forlader den sidste kunde, højest 4 minutter før tidsvinduet lukker. Lørdag
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 52 af 66
forlades den sidste kunde på de kørte ruter mellem kl. 08.37 og 08.59, hvilket indikerer, at tidsvinduet
udnyttes fuldt ud. Når levering skal ske inden kl. 09.00, benyttes alle 9 lastbiler ikke nogen af dagene.
Generelt er det L8 og L9, som er blandt de lastbiler, der ikke anvendes, hvilket skyldes, at de forlader
terminalen sent.
Når alle butikkerne skal have leveret inden kl. 10.00 er omkostningerne i alt på kr. 65.911 kr. jf. tabel 20. De
specifikke ruter for mandag fremgår af bilag 39. Der anvendes mellem 5 og 8 lastbiler, og L9 benyttes ikke
nogen af dagene. Mandag anvendes der 6 lastbiler. 2 af lastbilerne udnytter tidsvinduet hos den sidste
kunde på ruten til fulde, idet kunden forlades henholdsvis kl. 09.58 og kl. 09.59. L2 er den første lastbil, som
kommer tilbage til terminalen, idet denne forlader sidste kunde allerede kl. 06.33. Lastbilerne L6, L8 og L9
anvendes ikke. Tirsdag er der ingen af de 7 anvendte lastbiler, som udnytter tidsvinduerne fuldt ud.
Lastbilerne L7 og L9 anvendes ikke. Onsdag anvendes der ligeledes 7 lastbiler, og det er lastbilerne L8 og L9,
som ikke anvendes. Her udnyttes tidsvinduerne heller ikke fuldt ud, da lastbilerne forlader den sidste kunde
mellem kl. 04.18 og kl. 09.51. Torsdag anvendes der færre lastbiler end alle de andre dage, da der kun
anvendes 5 lastbiler. Selvom der kun anvendes 5 lastbiler, udnyttes tidsvinduet ikke fuldt ud, da den sidste
kunde forlades mellem kl. 07.59 og kl. 09.56. Det er desuden også L6 til L9, der ikke anvendes, hvilket
betyder, at det kun er de tidlige lastbiler, der benyttes. Fredag og lørdag anvendes 8 lastbiler. Fredag
forlades den sidste kunde mellem kl. 07.58 og 09.23, mens det lørdag sker mellem kl. 05.32 og kl. 09.47. L9
benyttes ingen af disse dage.
Når der skal leveres inden kl. 10.30 er omkostningerne 63.809 kr. jf. tabel 20. Ruterne for mandag fremgår
af bilag 40. Der anvendes generelt mellem 6 og 8 lastbiler, hvor lastbil L1 og L2 altid anvendes. Mandag,
tirsdag og onsdag anvendes lastbilerne L8 og L9 slet ikke. Mandag til torsdag anvendes der 6 lastbiler, mens
der fredag og lørdag anvendes henholdsvis 7 og 8 lastbiler. Mandag udnyttes tidsrummet kun i ét tilfælde,
da L6 forlader den sidste kunde kl. 10.21. Tirsdag er der 2 tilfælde, hvor tidsvinduet udnyttes, idet L3 og L6
forlader den sidste kunde henholdsvis kl. 10.28 og kl. 10.22. Ved ruterne, som køres onsdag, forlades den
sidste kunde senest kl. 09.05, hvilket indikerer, at det ikke er nødvendigt at kunne levere indtil kl. 10.30.
Det skyldes sandsynligvis den lave efterspørgsel. Torsdag og fredag udnyttes tidsvinduet også kun af 1
lastbil, der forlader sidste kunde henholdsvis kl. 10.20 og 10.22. Det sker med lastbilerne L3 og L5.
Lørdag forlades den sidste kunde senest kl. 10.18. Det sker med L7. L8 udnytter også tidsrummet, da den
forlader den sidste kunde kl. 10.16. Udnyttelse af tidsrummet skyldes derfor den sene afgang fra
terminalen. Generelt anvendes tidsrummet ikke fuldt ud, og L4 forlader allerede sidste kunde kl. 04.28. De
resterende lastbiler forlader desuden sidste kunde, senest en time før tidsvinduet lukker.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 53 af 66
08.00 09.00 10.00 10.30 11.00 12.00
Omkost-‐ning
Antal last-‐biler
Omkost-‐ning
Antal last-‐biler
Omkost-‐ning
Antal last-‐biler
Omkost-‐ning
Antal last-‐biler
Omkost-‐ning
Antal last-‐biler
Omkost-‐ning
Antal last-‐biler
Mandag 11.329 kr. 8 10.831 kr. 7 11.083 kr. 6 9.168 kr. 6 9.599 kr. 6 10.001 kr. 6 Tirsdag 15.228 kr. 9 11.210 kr. 7 11.354 kr. 7 10.762 kr. 6 11.084 kr. 7 9.927 kr. 6 Onsdag 12.624 kr. 8 9.905 kr. 6 8.999 kr. 7 10.185 kr. 6 9.285 kr. 5 9.404 kr. 5 Torsdag 11.519 kr. 8 9.863 kr. 6 9.362 kr. 5 10.165 kr. 6 9.776 kr. 7 9.910 kr. 5 Fredag 13.472 kr. 9 12.788 kr. 8 13.438 kr. 8 10.760 kr. 7 10.546 kr. 6 11.613 kr. 7
Lørdag 15.045 kr. 10 12.702 kr. 8 11.675 kr. 8 11.769 kr. 8 12.457 kr. 8 11.606 kr. 8 Total 79.217 kr. 52 67.299 kr. 42 65.911 kr. 41 62.809 kr. 39 62.747 kr. 39 62.461 kr. 37
Tabel 20: Omkostninger for levering inden et bestemt tidspunkt Note: De røde mærker indikerer, at der er brugt en ekstra lastbil.
Når alle butikker skal have leveret inden kl. 11.00, er omkostningerne på 62.777 kr. jf. tabel 20. Ruterne for
mandag fremgår af bilag 41. Mandag anvendes 6 lastbiler, men tidsrummet udnyttes ikke til fulde. Der er
kun 1 lastbi,l som kører fra den sidste kunde kort før tidsvinduet lukker. Det sker kl. 10.48. Grunden til det
sene tidspunkt er, at det er L8, som anvendes. De resterende lastbiler forlader den sidste kunde på ruten
mellem kl. 07.36 og 10.00. Tirsdag og onsdag er der ligeledes kun 1 lastbil, der udnytter tidsrummet, hvor
L4 og L5 forlader deres sidste kunde henholdsvis kl. 10.35 og kl. 10.51. Yderligere anvendes L9 hverken
tirsdag eller onsdag. Torsdag er der en bedre udnyttelse af tidsrummet, da både L7, L8 og L9 forlader den
sidste kunde på ruten henholdsvis kl. 10.55, kl. 10.50 og kl. 10.17. Fredag anvendes der 6 lastbiler, som
forlader den sidste kunde mellem kl. 09.13 og 10.55. Tidsrummet udnyttes ved lastbilerne L5 og L7, der
forlader den sidste kunde henholdsvis kl. 10.55 og 10.37. De 8 lastbiler, som anvendes lørdag, forlader den
sidste kunde mellem kl. 05.55 og kl. 10.16. Tidsvinduet udnyttes derfor langtfra. Det lader derfor ikke til, at
lastbilerne har behov for at kunne levere frem til kl. 11.00.
Når lastbilerne kan ankomme helt indtil kl. 12.00, er de samlede omkostninger på 66.177 kr., og der
anvendes mellem 5 og 8 lastbiler jf. tabel 20. Ruterne for mandag fremgår af bilag 42. Selv om lastbilen har
mulighed for at ankomme så sent, udnyttes dette kun på 7 ud af de i alt 37 ruter. Mandag forlader L8 den
sidste kunde kl. 11.49. Derudover er der ingen af de andre lastbiler, der udnytter den seneste leveringstid.
L3 forlader tilmed allerede den sidste kunde kl. 06.00. Tirsdag, onsdag og torsdag er det ligeledes L8, som
udnytter tidsrummet, da den forlader den sidste kunde henholdsvis kl. 11.28, kl. 11.40 og kl. 11.51. Torsdag
udnyttes tidsrummet yderligere af L6, som forlader den sidste kunde kl. 11.20. Fredag er der ingen lastbiler,
der har behov for at ankomme helt indtil kl. 12.00. Den lastbil, der forlader den sidste kunde på ruten
senest, kører kl. 10.45. Fredag anvendes alle 9 lastbiler, men det er kun den sene lastbil, L9, der forlader
den sidste kunde sent, hvilket sker kl. 11.57. Lørdag anvendes der 8 lastbiler og ingen af disse udnytter
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 54 af 66
tidsvinduet, idet det seneste tidspunkt, hvor den sidste kunde forlades, er kl. 11.13. Dette sker med lastbil
L7. Det er således ikke ret mange tilfælde, hvor lastbilen har behov for at kunne ankomme helt til kl. 12.00.
En del af dette kan dog også skyldes, at der er adgang til butikken helt fra kl. 00.01, så det ikke er noget
problem at nå at servicere alle kunderne inden kl. 12.00, og der er derfor ikke behov for den ekstra time i
forhold til kl. 11.00.
Af tabel 20 fremgår det, at omkostningerne er størst, når der skal leveres inden kl. 08.00. Derefter falder
omkostningerne jo senere, levering er tilladt. Ligeledes falder antallet af anvendte lastbiler. Faldet skyldes,
at tidsintervallet er mindre, når der skal leveres inden kl. 08.00, og der skal derfor anvendes markant flere
lastbiler. Efterhånden som tidsvinduet bliver større, er der tid til at hver enkelt lastbil kan servicere flere
kunder, hvorfor der benyttes færre lastbiler.
4.3.1 Diskussion
Omkostningerne falder med 15 % når det seneste leveringstidspunkt ændres fra kl. 08.00 til kl. 09.00,
hvilket er et væsentligt fald, som bør have konsekvens for kunden. Faldet fra at få levering kl. 10.00 i
forhold til kl. 09.00 er derimod kun på 2 %, hvorfor det ikke har den store betydning, om kunden ønsker
levering senest kl. 09.00 eller kl. 10.00. Omkostninger ved at få levering kl. 10.30 i stedet for kl. 10.00 falder
med 4 %, hvilket heller ikke synes at være særlig meget, men sammenlignes dette med kl. 08.00 falder
omkostningerne med 21 %. Omkostningerne for levering inden kl. 10.30, kl. 11.00 og kl. 12.00 er stort set
de samme. De små forskelle skyldes formentlig udelukkende forskellige løsninger i logvrp som følge af de
anvendte heuristikker. Yderligere er der kun få lastbiler, som har behov for at udnytte tidsvinduerne fuldt
ud ved disse sene leveringstidspunkter.
Såfremt scenariet var blevet løst med anvendelse af faktiske adgangsforhold, ville det formentlig også have
en indflydelse på omkostningerne, da der ville være færre muligheder for at løse problemet. Det ville
måske gøre forskellen mellem kl. 09.00 og kl. 10.00 større. Ydermere vil der sikkert være behov for flere
lastbiler, idet tidsvinduerne hos mange af kunderne ville være meget smalle. Anvendelse af flere lastbiler
ville øge omkostningerne yderligere, såfremt der var tilknyttet en fast omkostning til at anvende en ekstra
lastbil.
Som tidligere nævnt fremgår det af tabel 20, at antallet af lastbiler falder, jo senere leveringen kan
foretages. Tilsvarende stiger den gennemsnitlige fyldningsprocent, idet færre lastbiler medfører flere
kunder pr. rute. Tabel 21 viser den gennemsnitlige fyldningsprocent, samt gennemsnitligt antal kunder pr.
rute for mandag. Lastbilernes fyldningsprocent er bedre ved de sene leveringstidspunkter, idet der er tid til
08.00 09.00 10.00 10.30 11.00 12.00 Gns. Fyldning 61,61 % 70,43 % 82,20 % 82,20 % 82,20 % 82,20 % Gns. antal kunder pr. rute 14 16 18,2 18,2 18,2 18,2
Tabel 21: Vognopfyldning og gennemsnitlig antal kunder pr. rute for mandag
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 55 af 66
at servicere flere kunder, og lastbilernes kapacitet dermed udnyttes på en bedre måde. Det er først, når
levering skal ske inden kl. 10.00, kl. 10.30, kl. 11.00 og kl. 12.00, at det er muligt at opnå målet for
gennemsnits-‐fyldningen på 80,39 %, da der jf. tabel 21 opnås en gennemsnitsfyldning på 82,20 %. Af tabel
21 fremgår det ligeledes, at det gennemsnitlige antal kunder pr. rute stiger fra 14 til 18,2 jo senere, det er
tilladt at levere. Dette er eksempelvis tilfældet, når man sammenligner ruten for L6 kl. 08.00 og kl. 10.30.
Når det seneste leveringstidspunkt er kl. 08.00, serviceres 12 kunder, og der opnås en fyldningsprocent på
51 %. Ydermere udnyttes tidsvinduet, da den sidste kunde forlades kl. 07.44 jf. bilag 37. Da tidsvinduet
udnyttes fuldt ud, er det ikke muligt at have flere kunder på ruten. Ved levering inden kl. 10.30 kan L6
derimod nå at servicere 22 kunder, hvilket giver en fyldning på 87 %. Her udnyttes tidsvinduet også fuldt
ud, da den sidste kunde forlades kl. 10.21 jf. bilag 40.
Det er dyrt for Arla, når kunderne kræver levering inden kl. 08.00, da det giver flere begrænsninger i
distributionen, og der bliver behov for flere lastbiler. Det giver ydermere en dårlig udnyttelse af kapaciteten
og medfører, at den gennemsnitlige fyldning er lav. Den økonomiske konsekvens heraf bør overvæltes på
kunden. Det samme gør sig gældende kl. 09.00 og kl. 10.00. Det bør derimod ikke have nogen økonomisk
betydning for kunden, hvis de vil have levering mellem kl. 10.30 og kl. 12.00, da det ikke giver nogen
væsentlig forskel i omkostningerne. Derimod kan Arla tilbyde en form for rabat til de kunder, som ikke har
nogen
præferencer for leveringen, da det vil give større fleksibilitet i planlægningen. Fleksibiliteten vil givetvis
reducere antallet af lastbiler og dermed give mulighed for maksimal udnyttelse af kapaciteten. Dette vil
reducere omkostningerne og kan derfor komme kunderne til gode.
5. Modelkritik For at løse opgavens distributionsproblem har det været nødvendigt at opstille en række forudsætninger og
antagelser jf. afsnit 4.1. Dette medfører, at der skal tages forbehold i problemernes løsning, og at der er
nogle kritikpunkter til modellen. Nogle kritikpunkter vedrører brugen af logvrp mens andre skyldes
antagelser, samt de empiriske data. Kritikpunkter i forhold til logvrp vil blive behandlet i afsnit 5.1.
Som tidligere nævnt er det ikke muligt at anvende hele lastbilens kapacitet i praksis, hvorfor en fyldning på
over 98 % svarende til 50 rullepaller, kan være problematisk. Det er dog kun 35 ud af 272 ruter fra
scenarierne 2 til 7, som overstiger denne fyldning. Det er tvivlsomt om disse ruter ville være mulige at køre
i praksis.
I opgaven er rankeplanen benyttet til at afgøre, hvornår lastbilen tidligst kan begynde pålæsning i
terminalen. Rankeplanen er lavet ud fra aftræk pr. time jf. bilag 39 og alle stamruternes varighed. Dette
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 56 af 66
betyder, at rankeplanen ikke er tilpasset antagelserne i denne opgave, hvilket medfører risiko for slack. Der
forekommer ofte slack hos første og anden kunde på ruterne som følge af rankeplanen. Det kunne
formentlig være undgået, hvis rankeplanen blev tilpasset, så der var mulighed for at nogle af lastbilerne
kunne forlade terminalen på et senere tidspunkt.
I kundemængden er der undladt nogle kunder, som ville være nødvendige at medtage i praksis. Dette
drejer sig eksempelvis om Gram Slot. De undladte kunder kan betyde, at der er nogle ruter, som skulle
ændres som følge af behov for ekstra tid og kapacitet. I den oprindelige løsning er det kun ruterne, 200,
202, 203, 204, 205, 208, 209, 212 og 701, som der fokuseres på. Om onsdagen er kunde 3488 som eneste
kunde overflyttet til rute 109. Omkostningerne til servicering af denne kunde er dog medtaget i
beregningen. De resterende dage kører rute 109 med kunder, som ligger uden for det valgte område. Der
er derfor set bort fra ruten.
Omkostningerne for de kørte ruter er i denne opgave et fiktivt tal, da der kun anvendes en estimeret
kilometerpris, som er fastsat ud fra interne afregningspriser pr. time. Omkostningerne skal derfor ikke
tillægges stor betydning, det er derimod de procentvise afvigelser og sammenligninger, som er væsentlige.
Som nævnt i afsnit 1.1 er det empiriske grundlag i opgaven kun data fra uge 4. Dataene anses som værende
repræsentative for den normale efterspørgsel, da der er tale om en almindelig uge uden ferier, helligdage
eller kampagner i butikkerne. Dette fremgår også af figur 10, som viser efterspørgslen for henholdsvis uge
4, 5 og 6. Efterspørgslen varierer fra uge til uge men følger det samme mønster. Dog skal det bemærkes, at
efterspørgslen også er sæsonafhængig, hvorfor efterspørgslen ikke vil være repræsentativ for alle uger. For
at understøtte resultaterne bør analysen dog foretages over flere uger. Dette vil også gøre resultaterne
mere valide.
50
100
150
200
250
300
350
400
Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Lørdag
E]erspørgsel
Uge 4 Uge 5 Uge 6
Figur 10: Efterspørgslen for uge 4, 5 og 6
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 57 af 66
I opgaven er der kun behandlet 126 ud af de 950 kunder, som terminalen i Christiansfeld servicerer.
Området anses som værende repræsentativt, da begrænsningerne i andre områder er de samme.
5.1 Kritik af logvrp Onlineapplikationen logvrp har en række begrænsninger, som gør, at det ikke vil være muligt for Arla at
benytte det til daglig optimering. Yderligere giver disse begrænsninger et vist forbehold for opgavens
konklusioner.
Ved løsning af problemerne er der ikke taget højde for chaufførens tilladte arbejdstid. Der er få ruter, som
overstiger den tilladte køretid på 10 timer, men der er flere ruter, som ville give problemer i praksis, da
chaufførernes pauser ikke er medtaget. Selv om den maksimale køretid holdes inden for 9 timer og 15
minutter, så der rent tidsmæssigt ville være plads til chaufførens pause, er der ikke taget højde for, hvornår
på ruten pausen kan holdes. Det betyder, at der er risiko for, at pausen kommer i strid med nogle
tidsvinduer. Hvis pauser blev medtaget kunne slack i nogen tilfælde eventuelt undgås, da chaufføren kunne
udnytte noget af den tid til pause. Det er derfor ikke alle de ruter, som logvrp foreslår, der ville være mulige
at gennemføre i praksis. I det system Arla benytter til at planlægge ruterne, er der en funktion, som kan
tage højde for chaufførens arbejdstid og pauser. Funktionen benyttes dog ikke. I stedet indsætter Arla selv
en pause manuelt i samarbejde med chaufførerne [Schjerning, 2012]. Dette ville også være tilfældet,
såfremt ruterne i denne opgave blev benyttet.
De fleste af de eksisterende modeller arbejder kun med to omkostninger, en fast og en variabel
omkostning, som er afhængig af, hvor mange kilometer der køres. I praksis udgør den tid, hvor lastbilen
står stille ofte en stor del af chaufførens arbejdstid pga. arbejdstidsbegrænsninger og tidsvinduer.
Omkostningerne til dette har stor betydning og burde derfor også være en del af modellen[Xu et al., 2003].
I logvrp er det kun muligt at angive en fast og en variabel omkostning for lastbilen. Den variable omkostning
afhænger af antal kørte kilometer. Det betyder, at der ikke tages højde for, at det også koster penge, når
lastbilen holder stille undervejs. Det vil sige, at det i modellen koster 0 kr. at læsse varerne af hos kunderne,
samt at holde stille ved slack. Dette har ikke nogen betydning, når den samme dag i ugen sammenlignes på
tværs af de forskellige scenarier, da efterspørgslen er ens og tiden, hvor lastbilen står stille, dermed også vil
være den samme, når der ses bort fra slack. Det giver derimod problemer når forskellige ugedage
sammenlignes, da efterspørgslen og dermed af-‐ og pålæsningstiden ændrer sig. Såfremt det var muligt at
angive en omkostning for, når lastbilen står stille, ville det give en stor ændring i omkostningerne.
Yderligere ville nogle ruter formentlig se anderledes ud, da formålet er at minimere omkostninger. Det
betyder, at logvrp formentlig ville forsøge at minimere slack. Det kunne gøres ved at servicere kunder, som
kan få levering fra kl. 00.01, som de første, idet slack undgås. Arlas nuværende system udregner en
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 58 af 66
omkostning fra ruternes start til slut, og tager heri højde for, at der også er en omkostning forbundet med
at lastbilen står stille [Schjerning, 2012]. Det vil sige, at dette kritikpunkt i logvrp ikke eksisterer i Arlas
nuværende system.
I logvrp indtastes et tidspunkt for, hvornår lastbilen skal forlade terminalen. Det betyder, at der i mange
tilfælde opstår slack hos den første kunde. Det ville således være mere hensigtsmæssigt, hvis det i stedet
var muligt at indtaste et tidsvindue for, hvornår lastbilen kan forlade terminalen. Derudover burde det også
være muligt at indtaste et tidspunkt for, hvornår lastbilen senest skal være tilbage i terminalen, da det også
kunne løse problemerne med chaufførens arbejdstid.
Igennem hele opgaven er hver enkelt dag i hvert scenarie løst 3 gange. I de 3 fremkomne løsninger, har der
i nogle tilfælde været meget stor forskel på omkostningerne. Et eksempel herpå er de 3 løsninger fra lørdag
kl. 12.00 i afsnit 4.3, hvor forskellen fra den billigste til den dyreste er på 2.376 kr. svarende til en forskel på
20 % jf. bilag 40. Dette skyldes programmets anvendelse af heuristikker. Heuristikker har generelt en
mangel på robusthed, og deres performance er ofte problemafhængig [Fisher, 1995]. Det er derfor ikke kun
i logvrp, disse problemer kan opstå. Det har stor betydning, hvilken løsning der vælges og hvor gange
modellen køres i logvrp. Der er dog ingen sammenhæng i, hvilken af de tre løsninger der er bedst.
Yderligere er den billigste løsning i nogle tilfælde fravalgt, da lastbilen har kørt fra og til terminalen mere
end en gang.
Såfremt logvrp skulle anvendes af Arla i den daglige distributionsplanlægning ville det blandt andet kræve:
• Mulighed for automatisk planlægning af chaufførens arbejdstid og pauser
• Beregning af omkostning, når lastbilen står stille
• Mulighed for bestemmelse af løsningstid uden forbedring eller antal af løsninger, som skal køres i
træk, før den optimale løsning vælges
• Automatisk indhentning af ordrer fra andet system samt kompatibilitet hermed
• Forhindre at en lastbil kører to ture
• Mulighed for at flytte enkelte kunder manuelt blandt ruterne
• Mulighed for at optimere lastbilens afgangstidspunkt
logvrp synes derfor ikke at være fordelagtigt for Arla på nuværende tidspunkt.
Det største problem ved opgavens konklusioner er modellens begrænsninger og mangler, som har gjort det
nødvendigt at opstille en række antagelser. Konklusionerne må derfor anses som værende vejledende og
ikke en færdig løsning.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 59 af 66
6. Anbefaling Det mest optimale for Arlas distributionsplanlægning ville være, at der blev optimeret hver dag. Ved
bibeholdelse af de nuværende begrænsninger ville det medføre en omkostningsreduktion på ca. 8 % jf.
tabel 18 i afsnit 4.2.8. Dette er dog ikke muligt på nuværende tidspunkt, da løsningtiden er for lang og det
begrænser muligheden for at yde ekstra service over for kunderne i form af en lovet leveringstid. Daglig
optimering ville kræve et omfattende system med høj løsningshastighed, samt de funktioner der er nævnt i
afsnit 5.1.
Arla fik implementeret systemet fra Transvision tilbage i år 2000, og det er fortsat den samme algoritme,
som benyttes. Transvision anvender i dag en række andre algoritmer, som har forbedret de systemer, der
udbydes. Derudover har Transvision også forbedret nogle af de algoritmer, som anvendes i systemet hos
Arla [Lerke, 2012]. Det betyder, at Transvision kan tilbyde et bedre system, end det Arla anvender på
nuværende tidspunkt. Algoritmen ALNS, som anvendes i logvrp, er udviklet senere end år 2000, hvilket
betyder, at den er nyere end de algoritmer, som anvendes i Arlas system. ALNS er generelt bedre end LNS,
da den løbende evaluerer, hvor godt de anvendte heuristikker virker[Lerke, 2012]. Derfor vil logvrp
formentlig kunne finde bedre løsninger på problemet. Et eksempel på, at en udskiftning af algoritme kan
have stor betydning er et casestudie for en af Grækenlands største virksomheder inden for mejeri. Ved at
benytte en anden algoritme, formåede de at reducere lastbilernes total kørte distance med 28 %
sammenlignet med algoritmen, som tidligere blevet benyttet til samme distributionsproblem [Tarantilis &
Kiranoudis, 2001]. Da systemet i Arla er så gammelt vil der formentlig være flere algoritmer end ALNS, som
kan producere bedre resultater. Arla bør derfor overveje en fornyelse af systemet, såfremt de ønsker
radikale ændringer i distributionsplanlægningen. En sådan beslutning kræver dog yderligere analyse for at
det kan estimeres, hvor meget det er muligt at spare ved at implementere et nyt system. Det er dyrt og
tidskrævende at implementere et nyt system, hvorfor besparelserne skal opveje omkostningerne.
Andre virksomheder har forsøgt at forbedre distributionen ved at udvide lastbilernes kapacitet. Et
eksempel herpå er Tom’s Foods, Inc, som producerer og distribuerer snacks i Columbus, Georgia. Her var
der ved implementering af computerteknologi fokus på bedre udnyttelse af lastbilerne, hvilket gjorde, at de
skiftede fra at anvende lastbiler med trailere på 43 fod til at anvende trailere på 48 fod. Resultatet heraf
var, at det gav bedre ruter [Toth & Vigo, 2002]. Udvidelse af lastbilernes kapacitet er ikke undersøgt i
denne opgave, da Arla i forvejen har svært ved at opnå en ønsket fyldning på 80,39 %. Det er ikke muligt at
opnå en højere fyldning, da der skal tages højde for tidsvinduerne. På baggrund heraf ville en udvidelse af
kapaciteten formentlig ikke give et bedre resultat. Det kan ses af scenarie 7 i afsnit 4.2.7, hvor der var
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 60 af 66
meget begrænsede muligheder for at reducere antallet af lastbiler. Da kapaciteten i gennemsnit udnyttes,
kunne det være en mulighed at reducere lastbilens kapacitet, såfremt det er billigere at anvende en mindre
lastbil. Det vil dog give langt mindre fleksibilitet. I stedet kunne det derfor være en mulighed at arbejde
med en heterogen vognpark. Arla anvender dog på nuværende tidspunkt til dels en heterogen vognpark, da
de har få lastbiler med mindre kapacitet samt forskellige anhængere til lastbilerne. I denne opgave er der
arbejdet med en homogen vognpark, og det vides derfor ikke, hvor stor fordel det kunne have.
I Arla arbejder de med en tilgængelig rankeplan, da der er knap kapacitet i terminalen, og antallet af porte
er begrænsede. Der opstår derfor et scheduling problem. Pålæsningstiden og ventetiden har en indflydelse
på lastbilen afgangstidspunkt fra terminalen, og derfor bør scheduling problemet løses i sammenhæng med
VRPTW [Trinh et al., 2011; Ortega et al., 2009]. Dette ligger uden for omfanget af denne opgave, hvorfor
scheduling problemet ikke er behandlet yderligere. I Arlas samlede planlægningssystem bør der dog være
fokus på at integrere de to problemstillinger, da rankeplanen giver store begrænsninger for planlægningen.
I afsnit 4.2.4 blev scenariet med fri tilgængelighed løst både med og uden rankeplanen. Resultaterne viste,
at med anvendelse af rankeplanen var der en afvigelse fra den optimale løsning på 2,84 % jf. tabel 10, mens
der uden brug af rankeplanen var en afvigelse på 13,23 % jf. tabel 11. Det vil sige, at de i forhold til dette
problem ville spare 11,97 %, hvis de ikke var begrænset af rankeplanen jf. afsnit 4.2.4. Det betyder, at det
ikke kun er kundernes ønsker, som skaber begrænsninger for distributionen, men også Arlas egne interne
forhold. Rankeplanen kan tilpasses ruterne, men det er ikke muligt at sende alle lastbiler af sted samtidigt
både som følge af terminalens kapacitet og mejeriets produktionskapacitet. Hvis lastbilerne ikke skulle
være begrænsede ville det kræve store investeringer i udvidelse af kapaciteten. Dette ville dog medføre, at
produktionsapparaterne ville have mere stilstand, hvilket i sig selv også er meget dyrt. Det bør derfor
overvejes, om besparelserne er store nok til at dække dette.
Som diskuteret i afsnit 4.2.8 ville det mest optimale være, at Arla ikke var bundet af nogen
tidsbegrænsninger. Det giver en reduktion i omkostningerne på 13,88 % i forhold til den optimale løsning
med alle nuværende begrænsninger. Dette er, som nævnt tidligere, ikke muligt på grund af Arlas
produkttype. Arla kunne i stedet arbejde med tidsvinduernes bredde. Det ville give en
omkostningsbesparelse, som ligger et sted mellem 0 og 13,88 %. Et eksempel på fordelen ved at udvide
tidsvinduerne ses af Mans (1997). Her kunne en virksomhed i Philadelphia, som leverer mejeriprodukter,
udnytte deres vognpark bedre og undgå slack som følge af en udvidelse af tidsvinduerne hos kunderne
[Mans, 1997]. På nuværende tidspunkt er Arla bundet af et tidligste og en seneste leveringstidspunkt hos
kunden. Det er svært at ændre de seneste leveringstidspunkter, da butikkerne er afhængige af, at varerne
er i butikken ved åbning. I stedet kunne det være en mulighed at arbejde med de tidligste
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 61 af 66
leveringstidspunkter. I afsnit 4.2.4 blev problemet løst under forudsætning af, at der ikke var tidligste
leveringstidspunkt. Dette gav en reduktion i omkostninger på 2,84 % i forhold til den optimale løsning. Det
vil dog kræve, at der er et tilgængeligt kølerum hos kunden. Det er ikke realistisk, at Arla kan få alle sine
kunder til at have kølerum, da det udelukkende medfører omkostninger for kunden. Såfremt kunderne er
villige til at investere i et kølerum, vil de højest sandsynligt forlange, at det benyttes. Arla kan ikke
garantere at kølerummet benyttes, da der altid vil være nogle butikker, som først får levering, når der er
medarbejdere i butikken. Grundet optimering og varierende efterspørgsel kan det yderligere ikke
garanteres, at det er de samme butikker, hvor det ikke er nødvendigt at have kølerum. En anden mulighed
er derfor at sætte krav til bredden af tidsvinduerne hos kunderne, så de er mindst x antal timer bredde. Det
vil ikke kræve ændringer hos alle butikker, men stadig øge Arlas muligheder for bedre optimering.
Udvidelse af tidsvinduerne er undersøgt i afsnit 4.2.5, hvor tidsvinduet er sat til minimum at være 5 timer
bredde. I forhold til den optimale løsningen giver det en reduktion i omkostninger på 0,47 %. En sådan
løsning ville kun kræve, at 52 butikkers aftale skal ændres og over halvdelen af disse ville kun skulle udvide
tidsvinduet med en time eller derunder. Det maksimale, som tidvinduet skal øges med, er 3 timer, og dette
vil kun berøre 3 kunder. Det er dog relativt store kunder, som alle skal have levering hver dag og med en
gennemsnitsordre pr. dag på mellem 2,95 og 5,43 rullepaller.
Den besparelse, det giver Arla, når tidsvinduerne udvides, kunne komme de berørte kunder til fordel ved,
at der blev ydet en form for prisnedsættelse. Det ville således være op til den enkelte kunde, om
prisnedsættelsen kan modsvare den ekstra omkostning, det medfører at have medarbejdere på arbejde i
leveringstidsrummet. Hvis ikke der stilles et leveringstidsrum på minimum 5 timer til rådighed skal i stedet
pålægges en ekstra omkostning. Det vil sige at Arla, i stedet for kun at medtage seneste leveringstidspunkt i
kædeaftalerne, burde indlægge en separat aftale i forhold til den enkelte butik angående tilgængeligheden.
Alle anbefalinger skal holdes op mod de omkostninger, tid og ressourcer det ville kræve at implementere
dem, i forhold til hvilke omkostningsbesparelser, det vil give. Desuden bør denne opgaves anbefalinger
også ses i sammenhæng med modellens kritikpunkter nævnt i afsnit 5.
7. Konklusion Distribution ud til butikkerne er et vigtigt område i Arla, da de distribuerer forbrugsvarer med begrænset
holdbarhed. Som følge heraf bliver planlægningen af distributionen også vigtig. Yderligere stiller Arlas
kunderne store krav til, hvornår leveringen skal finde sted.
I Christiansfeld ligger en af Arlas fire ferskvareterminaler, som består af et mejeri og et distributionscenter. I
Christiansfeld varetages distributionen ud til 950 butikker placeret i den sydlige del af Jylland og på Fyn. I
Christiansfeld modtages der hver aften ordrer fra butikkerne og mælkeproduktionen af frisk mælk starter
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 62 af 66
herefter kl. 00.00. Fra Christiansfeld transporteres varerne med lastbiler ud til de respektive butikker.
Lastbilerne forlader terminalen efter en rankeplan da der er begrænset kapacitet i mejeriet. Leveringen hos
butikkerne sker inden for aftalte tidsvinduer. Distributionsproblemet i Arla kan dermed ses som et Vehicle
Routing Problem with Time Windows (VRPTW). VRPTW omhandler transporten fra et depot ud til en række
kunder med en givet efterspørgsel. Transporten er begrænset af køretøjets kapacitet samt depotets og
kundernes tidsvinduer. VRPTW stammer fra Vehicle Routing Problem (VRP), som i modsætning til VRPTW
ikke har nogen tidsbegrænsninger. VRP og VRPTW kan løses eksakt og ved hjælp af heuristikker. Eksakte
metoder kan dog kun benyttes op til et vist antal kunder da løsningstiden stiger eksponentielt med antallet
af variable. Heuristikker er derimod approksimerede løsninger som giver mulighed for at finde gode
løsninger til store problemer inden for acceptabel tid. Et eksempel på en heuristik er savings heuristikken.
I denne opgave er der udvalgt et område bestående af 126 kunder i Sønderjylland til at se, hvorledes
omkostningerne ændres, såfremt de nuværende rammer for distributionen modificeres. Til dette anvendes
online applikationen logvrp som benytter algoritmen Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) til at
udregne optimale ruter. ALNS algoritmen anvender forskellige heuristikker til at skiftevis at ødelægge og
reparere den nuværende løsning, for på den måde at finde frem til en bedre løsning. I processen evalueres
heuristikkernes performance løbende så algoritmen tilpasses det enkelte problem. Til løsning af de
forskellige scenarier har det været nødvendigt at opstille en række forudsætninger og antagelser for at
kunne håndtere problemet i logvrp.
På nuværende tidspunkt foretager Arla ikke daglig optimering, da det er for tidskrævende. I stedet for
planlægger de distributionen ud fra stamruter. I denne opgave er der i modsætning hertil foretaget daglig
optimering i de opstillede scenarier. Analysen har vist at det er en fordel at foretage daglig optimering da
omkostningerne reduceres. Dette skyldes at løsningen tilpasses den specifikke efterspørgsel.
Distributionsproblemet er også løst ved at modificere de forskellige tidsbegrænsninger for at hvor stor
betydning de har for omkostningerne. Såfremt Arla ikke havde nogle tidsbegrænsninger fremkom de
laveste omkostninger i hele analysen. Da dette scenarie ikke er realistisk blev problemet også løst ved at
tilføje tidsbegrænsninger gradvist. En tilføjelse af et tidspunkt for seneste levering ville kræve at alle kunder
havde et kølerum. Løsningen gav reducerede omkostninger i forhold til den optimale løsning, men den vil
være svær at gennemføre i praksis på grund af behovet for kølerum. Et andet muligt scenarie, som
reducerer omkostningerne, er at udvide kundernes eksisterende tidsvinduer. Når tidvinduer udvides
slækkes der på begrænsninger, hvilket medfører, at der fremkommer en bedre løsning. Dette scenarie er
nemmere at gennemføre i praksis, da det ikke berører alle kunder.
I opgaven blev det også undersøgt, om det var muligt at varetage distributionen på en ny måde, ved at
opdelingen kunderne i A-‐ og B-‐kunder. Ved dette scenarie fremkom den højeste omkostning i hele
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 63 af 66
analysen. Det var ikke nogen fordel, da det ikke kunne udnyttes at nogen kunder ligger geografisk tæt på
hinanden og ikke giver kunderne yderligere fordele. Yderligere blev det også undersøgt om det var muligt
at reducere antallet af lastbiler og afkorte chaufførenes arbejdstid. Dette kunne dog ikke lade sig gøre på
grund af kundernes tidsvinduer.
Under de nuværende rammer for distributionen skal kunderne have levering inden for bestemte
tidspunkter i henhold til kædeaftaler. I opgaven blev det derfor analyseret hvor stor betydning de seneste
leveringstider har for omkostningerne. Omkostningerne er højest når alle butikker skal have levering inden
kl. 08.00, og her er problemet desuden svært at løse. Når det er muligt at levere senere end kl. 08.00 falder
omkostninger. Dog viste forskellen sig at være lille ved de seneste leveringstider inden kl. 10.30 til kl.
12.00. Det betyder, at det bør være dyrere for de kunder, der ønsker seneste levering inden kl. 10.00 eller
tidligere. I modsætning hertil kan der tilbydes en form for rabat til de kunder, der ikke har nogle
præferencer med hensyn til seneste leveringstidspunkt, da det giver større mulighed for at optimere
distributionen.
Analyse og diskussion af de opstillede scenarier resulterer i en række anbefalinger til Arla som ud fra denne
opgaves model vil reducere deres omkostninger. På bagrund af antagelser og kritikpunkter i forbindelse
med modellen tages der dog forbehold for anbefalingerne.
Ud fra de opstillede scenarier anbefales det at Arla foretager daglig optimering. Det vil kræve
implementering af et nyt system, men selv med et nyt system vil daglig optimering ikke være muligt på
grund af løsningstiden sammenholdt med den korte planlægningstid. Et nyt system vil dog under alle
omstændigheder tilbyde nyere algoritmer, som formentlig vil medføre bedre løsninger. Disse anbefalinger
vil dog kræve store omkostninger og omlægning i deres nuværende procedure. Til forbedring af
omkostningerne kan der dog også foretages mindre justeringer, som vil være lettere at gennemføre i
praksis. På baggrund af opgavens analyse anbefales Arla at indarbejde separate aftaler i forhold til den
enkelte butiks tidsvinduer i kædeaftalerne. Tidsvinduernes bredde påvirker omkostningerne til
distributionen og kunderne bør derfor betale ekstra for at have smalle tidsvinduer. Et smalt tidsvindue kan
eksempelvis defineres som værende mindre end fem timer ligesom i denne opgave.
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 64 af 66
Referencer
Arla Foods 2012a, Arla Foods år 2000 og frem [Homepage of www.arla.dk], [Online]. Available: http://www.arlafoods.dk/om-‐arla/virksomheden/historie/arla-‐foods-‐ar-‐2000-‐og-‐frem/ [2012, 02/15].
Arla Foods 2012b, Historien fra 1881-‐1999 [Homepage of www.arla.dk], [Online]. Available: http://www.arlafoods.dk/om-‐arla/virksomheden/historie/historien-‐fra-‐1881-‐1999/ [2012, 02/15].
Arla Foods 2012c, , Kort om Arla [Homepage of www.arla.dk], [Online]. Available: http://www.arlafoods.dk/om-‐arla/ [2012, 02/15].
Arla Foods 2011a, General presentation 2011, Arla Foods, Viby.
Arla Foods 2011b, Præsentation CMC2011, Arla Foods, Christiansfeld.
Arla Foods amba 2012, Årsrapport 2011, Arla Foods amba, København.
Balakrishnan, N., Render, B. & Stair, R.M. 2007, "Introduction to managerial decision modeling" in Managerial decision modeling with spreadsheets, 2nd edn, Prentice Hall, New Jersey, pp. 2-‐22.
Bektas, T. 2006, "The multiple traveling salesman problem: An overview of formulations and solution procedures", Omega, vol. 34, pp. 209-‐219.
Bloch, N.A. 2012, Møde med kørselschef d. 8/2, Personlig kommunikation, Christiansfeld.
Clarke, G. & Wright, J.W. 1964, "Scheduling of Vehicles from a Central Depot to a Number of Delivery Points", Operations research, vol. 12, no. 4, pp. 568-‐581.
Cordeau, J., Gendreau, M., Laporte, G., Potvin, J. & Semet, F. 2002, "A guide to vehicle routing heuristics", Journal of the Operational Research Society, vol. 53, no. 5, pp. 512-‐522.
Dantzig, G.B. & Ramser, J.H. 1959, "The Truck Dispatching Problem", Management Science, vol. 6, no. 1, pp. 80-‐91.
EF-‐tidende 2002, , Europa-‐Parlamentets og Rådets direktiv 2002/15/EF af 11. marts 2002 om tilrettelæggelse af arbejdstid for personer, der udfører mobile vejtransportaktiviteter [Homepage of www.eur-‐lex.europa.eu], [Online]. Available: http://eur-‐lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:32002L0015:DA:HTML [2012, 02/22].
Fisher, M. 1995, "Chapter 1 Vehicle routing", Handbooks in Operations Research and Management Science, vol. 8, pp. 1-‐33.
Fisher, M.L. & Jaikumar, R. 1981, "A generalized assignment heuristic for vehicle routing", Networks, vol. 11, no. 2, pp. 109-‐124.
Gendreau, M. & Potvin, J. 2010, "Preface to first edition" in Handbook of metaheuristics, 2.th edn, Springer, New York, pp. ix-‐xi.
Gendreau, M., Potvin, J., Bräumlaysy, O., Hasle, G. & Løkketangen, A. 2008, "Metaheuristics for the Vehicle Routing Problem and Its Extensions: A Categorized Bibliography" in The Vehicle Routing Problem:
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 65 af 66
Latest Advances and New Challenges, eds. B. Golden, S. Raghavan & E. Wasil, Springer US, US, pp. 143-‐169.
Johnson, D. & Papadimitriou, C.H. 1985, "Computational complexity" in The traveling salesman problem: a guided tour of combinatorial optimization, eds. E.L. Lawler, J.K. Lenstra, A.H.G. Rinnooy Kan & D.B. Shmoys, Wiley, Chichester, pp. 37-‐85.
Kallehauge, B. 2006, On the vehicle routing problem with time windows, Center for Trafik og Transport, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby.
Kallehauge, B., Larsen, J., Madsen, O.B.G. & Solomon, M.M. 2005, "Vehicle Routing Problem with Time Windows" in Column Generation, eds. G. Desaulniers, J. Desrosiers & M.M. Solomon, Springer, US, pp. 67-‐98.
Kolen, A.W.J., Rinnooy Kan, A.H.G. & Trienekens, H.W.J.M. 1987, "Vehicle Routing with Time Windows", Operations research, vol. 35, no. 2, pp. 266-‐273.
Laporte, G. 1992, "The vehicle routing problem: An overview of exact and approximate algorithms", European Journal of Operational Research, vol. 59, no. 3, pp. 345-‐358.
Laporte, G. & Nobert, Y. 1987, "Exact Algorithms for the Vehicle Routing Problem", Surveys in Combinatorial Optimization, vol. 132, pp. 147-‐184.
Lawler, E.L., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A.H.G. & Shmoys, D.B. 1985, The traveling salesman problem: a guided tour of combinatorial optimization, Wiley, Chichester.
Lerke, H. 2012, Projektleder fra Transvision, Mail korrespondance.
Logvrp 2012a, Support, Mail korrespondance.
Logvrp 2012b, VRP types and algorithms document [Homepage of www.logvrp.com], [Online]. Available: http://logvrp.com/staticcontent/html/Wisects.Logistics.VRP/en/VRPTypesAndAlgorithms.html [2012, 03/14].
Lysgaard, J. 1997, Clarke & Wright's Savings Algorithm, The Aarhus School of Business.
Lysgaard, J. 1993, Decision support systems for vehicle routing and scheduling, Handelshøjskolen, Århus.
Magnanti, T.L. 1981, "Combinatorial optimization and vehicle fleet planning: Perspectives and prospects", Networks, vol. 11, no. 2, pp. 179-‐213.
Mans, J. 1997, "Downloading distribution", Dairy Foods, vol. 98, no. 8, pp. 60-‐66.
Masum, A.K.M., Shahjalal, M., Faruque, M.F. & Hasan Sarker, M.I. 2011, "Solving the Vehicle Routing Problem using Genetic Algorithm", International Journal of Advanced Computer Science and Applications, vol. 2, no. 7, pp. 126-‐131.
Moore, J.H. & Weatherford, L.R. 2001, "Multi-‐Objective Decision Making and Heuristics" in Decision modeling with Microsoft Excel, 6th edn, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., pp. CD12-‐2-‐CD12-‐3.
Nemhauser, G.L. & Wolsey, L.A. 1988, Integer and combinatorial optimization, Wiley, New York. Chapter 1
Katrine Sørensen & Jane Fuglsang Kristensen Bachelor 1. maj 2012 HA Almen 6. Semester Distributionsplanlægning i Arla
Side 66 af 66
Ortega, P., Oliva, C., Ferland, J. & Cepeda, M. 2009, "Multiple ant colony system for a VRP with time windows and scheduled loading", Ingeniare, Revista chilena de ingenieria, vol. 17, pp. 393-‐403.
Pisinger, D. & Ropke, S. 2010, "Large Neighborhood Search" in Handbook of Metaheuristics, eds. M. Gendreau & J. Potvin, 2nd edn, Springer US, New York, pp. 399-‐419.
Politiet 2011, 07/14-‐last update, Køre-‐ og hviletidsreglerne [Homepage of Politiet], [Online]. Available: http://www.politi.dk/da/borgerservice/Fardsel/tunge_koeretoejer/koere_hviletid_reglerne/ [2012, 02/21].
Ropke, S. & Pisinger, D. 2007, "A general heuristic for vehicle routing problems", Computers and Operations Research, vol. 34, no. 8, pp. 2403-‐2435.
Ropke, S. & Pisinger, D. 2006a, "An Adaptive Large Neighborhood Search Heuristic for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows", Transportation Science, vol. 40, no. 4, pp. 455-‐472.
Ropke, S. & Pisinger, D. 2006b, "A unified heuristic for a large class of Vehicle Routing Problems with Backhauls", European Journal of Operational Research, vol. 171, no. 3, pp. 750-‐775.
Schjerning, S. 2012, Møde med Logistikkoordinator d. 20/2, Personlig kommunikation, Christiansfeld.
Shaw, P. 1998, "Using Constraint Programming and Local Search Methods to Solve Vehicle Routing Problems", Lecture notes in Computer Science, vol. 1520, pp. 417-‐431.
Solomon, M.M. 1987, "Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problems with Time Window Constraints", Operations research, vol. 35, no. 2, pp. 254-‐265.
Tarantilis, C.D. & Kiranoudis, C.T. 2001, "A meta-‐heuristic algorithm for the efficient distribution of perishable foods", Journal of Food Engineering, vol. 50, no. 1, pp. 1-‐9.
Toth, P.l. & Vigo, D. 2002, The vehicle routing problem, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia. Chapter 1, 7 and 10.
Trinh, K., Dang, N. & Dinh, T. 2011, "An Approximation Approach for a Real–World Variant of Vehicle Routing Problem" in New Challenges for Intelligent Information and Database Systems, eds. N. Nguyen, B. Trawinski & J. Jung, Springer, Berlin / Heidelberg, pp. 87-‐96.
Westergaard, J. 2012, Møde med Kørselsleder d. 19/2, Personlig kommunikation, Christiansfeld.
Xu, H., Chen, Z., Rajagopal, S. & Arunapuram, S. 2003, "Solving a Practical Pickup and Delivery Problem", Transportation Science, vol. 37, no. 3, pp. 347-‐364.
Zanakis, S.H., Evans, J.R. & Vazacopoulos, A.A. 1989, "Heuristic methods and applications: A categorized survey", European Journal of Operational Research, vol. 43, no. 1, pp. 88-‐11