DSPDSP
Лекция 2
Digital Signal ProcessingDigital Signal Processing
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
• Классификация сигналов и системКлассификация сигналов и систем• Дискретные сигналы (последовательности) Дискретные сигналы (последовательности) • Дискретные линейные системы с постоянными параметрамиДискретные линейные системы с постоянными параметрами• Устойчивость и физическая реализуемость ДЛСУстойчивость и физическая реализуемость ДЛС• Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентамиЛинейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами• Представление дискретных сигналов и систем в частотной областиПредставление дискретных сигналов и систем в частотной области
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
k
nhnxknhkxny ).(*)()()()(
(n )h (n )
ЛППЛППсистемасистема
ЛППЛППсистемасистема
(1.7)
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Примеры свертки:
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Устойчивость и физическая реализуемость
• Устойчивой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная система с постоянными параметрами устойчива тогда и только тогда, когда
• Достаточность. Если x(n) – ограничена, то есть |x(n)|<M и (1.9) справедливо, тогда
Следовательно, y(n) ограниченная.• Необходимость. Если S=, то для ограниченного входного
сигнала
.)(
k
khS (1.9)
.)()()()()()(
kkk
khMknxkhknxkhny
;0)(,1
;0)(,1)(
nhпри
nhприnx
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
• Необходимость (продолжение) выходной сигнал при n=0 равен
то есть y(0) – не ограничено.
• Физически реализуемая система – это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе. Поэтому отклик y(n0) зависит только от x(n) для nn0 Это требует, чтобы при n<0. Такую систему называют еще каузальной (causal - причинный). Для нее
k k m
Smhkhkhkxy .)()()()()0(
,0)( nh
n
k
knhkxny ),()()(
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы Пример.
Пусть ЛПП – система имеет импульсную характеристику
Поскольку при n<0, система физически реализуема.Вычислим
Если бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму
но, если , ряд расходится. Следовательно, система устойчива только при
).()( nuanh n
,0)( nh
0
.|||)(|k
k
k
akhS
,1|| a
1|| a
,||1
1
aS
.1|| ah (n )h (n )
|a|<1 – система устойчивая |a|>1 – система неустойчивая
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыЛинейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
Важную роль играет подкласс ЛПП – систем, для которых вход x(n) и выход y(n) удовлетворяют линейному разностному уравнению N-го порядка с постоянными коэффициентами вида
Общепринято предполагать, что такое разностное
уравнение (1.10) характеризует физически реализуемую систему, и мы будем придерживаться этого положения, хотя в общем случае это не так. Например, разностному уравнению 1-го порядка
при удовлетворяют как так и
(1.10)
N
k
M
k
knxkbknyka0 0
)()()()(
)()1()( nxnayny (1.11)
)()( nnx ),()( nuany n).1()( nuany n
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Первое решение соответствует физически реализуемой системе, второе нет.Без добавочной информации разностное уравнение (1.10) неоднозначно определяет соотношение между входом и выходом.Например, если уравнению (1.11) удовлетворяет y1(n) при х(n) =х1(n), то ему также удовлетворяет решение вида у(n) = у1(n) +k an, где k - произвольная постоянная. В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить составляющую, удовлетворяющую однородному разностному уравнению (с нулевой правой частью), и эта сумма также будет удовлетворять (1.10). Решение однородного уравнения
имеет вид если zk – совокупность простых
корней характеристического уравнения
,0)()(0
N
k
knyka
,)(1
N
k
nkk zAny
.0)(0
N
k
kNzka
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Константы Ak определяются начальными условиями. Для кратных корней решение записывается иначе. Для физически реализуемой системы разностное уравнение можно переписать в виде
Таким образом, n-е значение выхода можно вычислить, зная n-е значение входа и соответственно N и М прошлых значений выхода и входа.
Как и в случае свертки, разностное уравнение не только дает теоретическое описание системы, но может быть основой для реализации системы.
N
k
M
k
knxakbknyakany1 0
).())0(/)(()())0(/)(()(
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Пример.
Положим х(n)=(n) при нулевых начальных условиях y(-1)=0. Тогда решение y(n)=h(n) будет импульсной характеристикой:
Таким образом
).()1()( nxnayny
).()( nuanh n
.)1()(
.
.
;)0()1(
;11)1()0(
;0;0)(
nanahnh
aahh
ahh
nnh
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Пример получения разностного уравнения и его решения из области денежных платежей.
Банк предоставил ссуду в размере 50000 долларов, которая должна быть возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами размером p долларов. Выплачиваемый процент установлен на уровне 15% в год от невозвращенной суммы. Каковы должны быть ежемесячные платежи и общая возвращенная банку сумма денег?Пусть Р(n) - неоплаченная часть ссуды, оставшаяся после выплаты n-го ежемесячного взноса. Тогда будет иметь место следующее соотношение (разностное уравнение):P(n) = (1+r)P(n -1) – p, для n = 1, 2, 3, …, 360,где r = 0,15/12 = 0,0125 – ежемесячная норма процента.Первоначально Р(0) = 50000 и мы хотим найти значение p , при котором Р(360) = 0.
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Пример (продолжение).
Запишем последовательные решения:
Из последнего соотношения, полагая Р(360) = 0, имеем
долларов.
Полная сумма возврата за ссуду составит величину 360*р = 227599,22 долларов.
.1)1(
)0()1()1()0()1()(
];)1()1(1[)0()1()3(
)];1(1[)0()1()1()1()2(
;)0()1()1(
1
0
23
2
pr
rPrrpPrnP
rrpPrP
rpPrpPrP
pPrP
nn
n
k
kn
22,6325000010125,1
0125,1*0125,0)0(
1)1(
)1(360
360
360
360
P
r
rrp
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Типы импульсных характеристик ЛПП систем.
ЛПП может иметь импульсную характеристику как конечной,так и бесконечной длительности.Будем называть системы с конечной импульсной характеристикой - КИХ-системами, а системы с бесконечной импульсной характеристикой - БИХ-системами.Если в (1.10) положить N=0, так что
тогда оно совпадает со сверткой и соответствует КИХ-системе с импульсной характеристикой
Для БИХ-системы должно быть N>0.
,)()()0(
1)(
0
M
k
knxkba
ny
случаях.остальных в - 0
;,...,1,0 )),0(/)(()(
Mnanbnh
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПредставление дискретных сигналов и систем в частотной области.
Особо важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности, поскольку в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал ЛПП-системы является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой.
Пусть входная последовательность х(n) =ejn для -< n<.Тогда выходной сигнал ЛПП-системы
Если ввести (1.13)
то (1.14)
.)()()( )(
k
kjnj
k
knj ekheekhny
,)()(
k
kjj ekheH
.)()( njj eeHny
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
ЛПП-система
Рис. 1.12. Получение частотной характеристики системы
)( jeHnje nje
Частотная характеристика системы.
H(ej) называется частотной характеристикой системы, у которой импульсная характеристика равна h(n).
еjn – собственная функция ЛПП-системы.В общем случае H(ej) - комплексная функция
H(ej) = HRe(ej)+j HIm(ej)= | H(ej) |ejarg[H(.)].
| H(ej) |={[HRe(ej)]2+[HIm(ej)]2}1/2 – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
системы
arg H(ej)=arctg { HIm(ej)/ HRe(ej)} - фазо-частотная характеристика (ФЧХ)
системы
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыЧастотная характеристика системы (продолжение).
Частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал
Отклик на равен
Если h(n) - действительная функция, то отклик на сигнал
является комплексно-сопряженным с откликом y1(n):
Поэтому результирующий отклик
.)2/()2/()cos()( 000
njjnjj eeAeeAnAnx njj eeA 0)2/( .)2/)(()( 00
1njjj eeAeHny
njj eeA
0)2
(
.)2
)(()( 002
njjj eeA
eHny
),cos()(})(Re{
][)()2/(
])()()[2/()(
0
][][
000
000
0000
neHAeAeeH
eeeHA
eeeHeeeHAny
jnjjj
njnjj
njjjnjjj
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыЧастотная характеристика системы (продолжение).
- значение фазо-частотной характеристики системы на частоте 0.
)](arg[ 0 jeH
Пример расчета частотной характеристики.
Рассмотрим систему с импульсной характеристикой
случаях.остальных в 0
;10 ,1)(
Nnnh
Рис. 1.13 Импульсная характеристика системы.
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Пример расчета частотной характеристики (продолжение).
Частотная характеристика равна
.)2/sin(
)2/sin(
)(
)(
1
1)( 2/)1(
2/2/2/
2/2/2/1
0
Nj
jjj
NjNjNj
j
NjN
n
njj eN
eee
eee
e
eeeH
Рис. 1.14 АЧХ и ФЧХ системы.
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Свойства частотной характеристики
1. Частотная характеристика H(ej) является функцией непрерывной частоты , и это периодическая функция частоты с периодом 2. Это свойство следует непосредственно из определения, так как ej(k = ejk. Поэтому для полного описания H(ej) достаточно задать ее на интервале - (02)
2. Для действительных h(n) АЧХ системы - H(ej) - четная функция , а ФЧХ – argH(ej) – нечетная функция на интервале -. В этом случае интервал задания H(ej) сокращают до 0.
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Преобразование Фурье.
Поскольку H(ej) - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и представляет H(ej) в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть определены через H(ej) как коэффициенты Фурье периодической функции т. е.
где
(1.17),)()2/1()(
deeHnh njj
.)()(
n
njj enheH (1.18)
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПреобразование Фурье (продолжение).
где
Эти равенства можно также трактовать как представление последовательности h(n) в виде суперпозиции (интеграла) экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды которых определяются выражением (1.18). Таким образом, (1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для последовательности h(n), где (1.18) играет роль прямого, а (1.17) обратного преобразования Фурье.
(1.17),)()2/1()(
deeHnh njj
.)()(
n
njj enheH (1.18)
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПреобразование Фурье (продолжение).
Представление последовательности преобразованием (1.18) будет справедливо для любой последовательности. Поэтому для произвольной последовательности х(n) определим прямое преобразование Фурье дискретного времени (ДВПФ) соотношением
а обратное преобразование Фурье - соотношением
X(ej) = | X(ej) |ejarg[X(ej)] – спектральная характеристика последовательности x(n). | X(ej) | - амплитудно-частотный спектр, arg[X(ej)] – фазо-частотный спектр.
Если то спектральная характеристика X(ej) последовательности
х(n) существует.
,)()2/1()(
deeXnx njj (1.20)
,)(
n
nx
,)()(
n
njj enxeX (1.19)
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПреобразование Фурье (продолжение).
Возможность представления последовательности как суперпозиции комплексных экспонент является очень важным качеством при анализе линейных систем с постоянными параметрами.
Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на H(ej), то
Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно
Этот результат может быть получен путем применения преобразования Фурье к свертке
.)()2/1()()()2/1(
.][)()2/1(])()2/1[()]([)(
deeYdeeXeH
deTeXdeeXTnxTny
njjnjjj
njjnjj
(1.21)).()()( jjj eXeHeY
k
knhkxny ).()()(
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПример.
Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем имеет частотную характеристику
Так как H(ej) является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех . Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот
. ,0
; ,1)(
ср
срjeH
. ср
Рис. 1.15 Частотная характеристика идеального дискретного фильтра нижних частот.
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПример (продолжение).
Импульсная характеристика h(n) определяется по (1.17):
)/(sin)2/1()( nndenh срnjср
ср
Рис. 1.16 Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с частотой среза ср.=/2.
Это физически нереализуемый и неустойчивый фильтр.
DSPDSP
Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы
Таблица 1.1. Некоторые важные свойства ДВПФ.
Последовательность ДВПФ
x(n)
x(n-m)
x(n)ejn
k
knhkx )()(
x(n)y(n)
X(ej)
X(ej)e-jm
X(ej(-))
X(ej) H(ej)
deYeX jj )()(2
1 )(