8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
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P h y s i c s F o r m u l a r y
B y i r . J . C . A . W e v e r s
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
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c
1 9 9 5 , 1 9 9 7 J . C . A . W e v e r s V e r s i o n : S e p t e m b e r 3 , 1 9 9 7
D e a r r e a d e r ,
T h i s d o c u m e n t c o n t a i n s a 1 0 7 p a g e L
a
T
E
X l e w h i c h c o n t a i n s a l o t e q u a t i o n s i n p h y s i c s . I t i s w r i t t e n
a t a d v a n c e d u n d e r g r a d u a t e / p o s t g r a d u a t e l e v e l . I t i s i n t e n d e d t o b e a s h o r t r e f e r e n c e f o r a n y o n e w h o
w o r k s w i t h p h y s i c s a n d o f t e n n e e d s t o l o o k u p e q u a t i o n s .
T h i s , a n d a D u t c h v e r s i o n o f t h i s l e , c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e a u t h o r , J o h a n W e v e r s
( j o h a n w @ v u l c a n . x s 4 a l l . n l )
I t c a n a l s o b e o b t a i n e d o n t h e W W W . S e e h t t p : / / w w w . x s 4 a l l . n l / ~ j o h a n w / i n d e x . h t m l , w h e r e a l s o
a P o s t s c r i p t v e r s i o n i s a v a i l a b l e .
I f y o u n d a n y e r r o r s o r h a v e a n y c o m m e n t s , p l e a s e l e t m e k n o w . I a m a l w a y s o p e n f o r s u g g e s t i o n s
a n d p o s s i b l e c o r r e c t i o n s t o t h e p h y s i c s f o r m u l a r y .
T h i s d o c u m e n t i s C o p y r i g h t 1 9 9 5 , 1 9 9 7 b y J . C . A . W e v e r s . A l l r i g h t s a r e r e s e r v e d . P e r m i s s i o n t o
u s e , c o p y a n d d i s t r i b u t e t h i s u n m o d i e d d o c u m e n t b y a n y m e a n s a n d f o r a n y p u r p o s e e x c e p t p r o t
p u r p o s e s i s h e r e b y g r a n t e d . R e p r o d u c i n g t h i s d o c u m e n t b y a n y m e a n s , i n c l u d e d , b u t n o t l i m i t e d t o ,
p r i n t i n g , c o p y i n g e x i s t i n g p r i n t s , p u b l i s h i n g b y e l e c t r o n i c o r o t h e r m e a n s , i m p l i e s f u l l a g r e e m e n t t o
t h e a b o v e n o n - p r o t - u s e c l a u s e , u n l e s s u p o n e x p l i c i t p r i o r w r i t t e n p e r m i s s i o n o f t h e a u t h o r .
T h i s d o c u m e n t i s p r o v i d e d b y t h e a u t h o r \ a s i s " , w i t h a l l i t s f a u l t s . A n y e x p r e s s o r i m p l i e d w a r r a n t i e s ,
i n c l u d i n g , b u t n o t l i m i t e d t o , a n y i m p l i e d w a r r a n t i e s o f m e r c h a n t a b i l i t y , a c c u r a c y , o r t n e s s f o r a n y
p a r t i c u l a r p u r p o s e , a r e d i s c l a i m e d . I f y o u u s e t h e i n f o r m a t i o n i n t h i s d o c u m e n t , i n a n y w a y , y o u d o
s o a t y o u r o w n r i s k .
T h e P h y s i c s F o r m u l a r y i s m a d e w i t h e m T
E
X ( T
E
X 3 8 6 ) , v e r s i o n 3 . 1 4 1 3 c - b e t a - 1 2 ] a n d L
a
T
E
X v e r s i o n
2 . 0 9 . I t c a n b e p o s s i b l e t h a t y o u r L
a
T
E
X v e r s i o n h a s p r o b l e m s c o m p i l i n g t h e l e . T h e m o s t p r o b a b l e
s o u r c e o f p r o b l e m s w o u l d b e t h e u s e o f l a r g e b e z i e r c u r v e s a n d / o r e m T
E
X s p e c i a l s i n p i c t u r e s .
J o h a n W e v e r s
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C o n t e n t s
C o n t e n t s I
P h y s i c a l C o n s t a n t s 1
1 M e c h a n i c s 2
1 . 1 P o i n t - k i n e t i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 1 . 1 D e n i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 1 . 2 P o l a r c o o r d i n a t e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 2 R e l a t i v e m o t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 3 P o i n t - d y n a m i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 3 . 1 F o r c e , ( a n g u l a r ) m o m e n t u m a n d e n e r g y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2
1 . 3 . 2 C o n s e r v a t i v e f o r c e e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3
1 . 3 . 3 G r a v i t a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3
1 . 3 . 4 O r b i t a l e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3
1 . 3 . 5 T h e v i r i a l t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
1 . 4 P o i n t d y n a m i c s i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
1 . 4 . 1 A p p a r e n t f o r c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4
1 . 4 . 2 T e n s o r n o t a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1 . 5 D y n a m i c s o f m a s s p o i n t c o l l e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1 . 5 . 1 T h e c e n t r e o f m a s s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5
1 . 5 . 2 C o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1 . 6 D y n a m i c s o f r i g i d b o d i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1 . 6 . 1 M o m e n t o f I n e r t i a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1 . 6 . 2 P r i n c i p a l a x e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1 . 6 . 3 T i m e d e p e n d e n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6
1 . 7 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s , H a m i l t o n a n d L a g r a n g e m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1 . 7 . 1 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1 . 7 . 2 H a m i l t o n m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1 . 7 . 3 M o t i o n a r o u n d a n e q u i l i b r i u m , l i n e a r i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
1 . 7 . 4 P h a s e s p a c e , L i o u v i l l e ' s e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
1 . 7 . 5 G e n e r a t i n g f u n c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8
2 E l e c t r i c i t y & M a g n e t i s m 9
2 . 1 T h e M a x w e l l e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2 . 2 F o r c e a n d p o t e n t i a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9
2 . 3 G a u g e t r a n s f o r m a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
2 . 4 E n e r g y o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
2 . 5 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
2 . 5 . 1 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n v a c u u m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
2 . 5 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n m a t t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1
2 . 6 M u l t i p o l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1
2 . 7 E l e c t r i c c u r r e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1
2 . 8 D e p o l a r i z i n g e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2
2 . 9 M i x t u r e s o f m a t e r i a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2
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I I P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
3 R e l a t i v i t y 1 3
3 . 1 S p e c i a l r e l a t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3
3 . 1 . 1 T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3
3 . 1 . 2 R e d a n d b l u e s h i f t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
3 . 1 . 3 T h e s t r e s s - e n e r g y t e n s o r a n d t h e e l d t e n s o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
3 . 2 G e n e r a l r e l a t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
3 . 2 . 1 R i e m a n n i a n g e o m e t r y , t h e E i n s t e i n t e n s o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4
3 . 2 . 2 T h e l i n e e l e m e n t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 5
3 . 2 . 3 P l a n e t a r y o r b i t s a n d t h e p e r i h e l i u m s h i f t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6
3 . 2 . 4 T h e t r a j e c t o r y o f a p h o t o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7
3 . 2 . 5 G r a v i t a t i o n a l w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7
3 . 2 . 6 C o s m o l o g y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7
4 O s c i l l a t i o n s 1 8
4 . 1 H a r m o n i c o s c i l l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
4 . 2 M e c h a n i c o s c i l l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
4 . 3 E l e c t r i c o s c i l l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9
4 . 4 W a v e s i n l o n g c o n d u c t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9
4 . 5 C o u p l e d c o n d u c t o r s a n d t r a n s f o r m e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9
4 . 6 P e n d u l u m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9
5 W a v e s 2 0
5 . 1 T h e w a v e e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0
5 . 2 S o l u t i o n s o f t h e w a v e e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0
5 . 2 . 1 P l a n e w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0
5 . 2 . 2 S p h e r i c a l w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1
5 . 2 . 3 C y l i n d r i c a l w a v e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1
5 . 2 . 4 T h e g e n e r a l s o l u t i o n i n o n e d i m e n s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1
5 . 3 T h e s t a t i o n a r y p h a s e m e t h o d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1
5 . 4 G r e e n f u n c t i o n s f o r t h e i n i t i a l - v a l u e p r o b l e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2
5 . 5 W a v e g u i d e s a n d r e s o n a t i n g c a v i t i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 2
5 . 6 N o n - l i n e a r w a v e e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 3
6 O p t i c s 2 4
6 . 1 T h e b e n d i n g o f l i g h t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
6 . 2 P a r a x i a l g e o m e t r i c a l o p t i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
6 . 2 . 1 L e n s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
6 . 2 . 2 M i r r o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
6 . 2 . 3 P r i n c i p a l p l a n e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
6 . 2 . 4 M a g n i c a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
6 . 3 M a t r i x m e t h o d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5
6 . 4 A b e r r a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6
6 . 5 R e e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 6
6 . 6 P o l a r i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7
6 . 7 P r i s m s a n d d i s p e r s i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7
6 . 8 D i r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8
6 . 9 S p e c i a l o p t i c a l e e c t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8
6 . 1 0 T h e F a b r y - P e r o t i n t e r f e r o m e t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9
7 S t a t i s t i c a l p h y s i c s 3 0
7 . 1 D e g r e e s o f f r e e d o m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0
7 . 2 T h e e n e r g y d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0
7 . 3 P r e s s u r e o n a w a l l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1
7 . 4 T h e e q u a t i o n o f s t a t e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1
7 . 5 C o l l i s i o n s b e t w e e n m o l e c u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2
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P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s I I I
7 . 6 I n t e r a c t i o n b e t w e e n m o l e c u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2
8 T h e r m o d y n a m i c s 3 3
8 . 1 M a t h e m a t i c a l i n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3
8 . 2 D e n i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3
8 . 3 T h e r m a l h e a t c a p a c i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3
8 . 4 T h e l a w s o f t h e r m o d y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4
8 . 5 S t a t e f u n c t i o n s a n d M a x w e l l r e l a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4
8 . 6 P r o c e s s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5
8 . 7 M a x i m a l w o r k : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6
8 . 8 P h a s e t r a n s i t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 6
8 . 9 T h e r m o d y n a m i c p o t e n t i a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7
8 . 1 0 I d e a l m i x t u r e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7
8 . 1 1 C o n d i t i o n s f o r e q u i l i b r i u m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7
8 . 1 2 S t a t i s t i c a l b a s i s f o r t h e r m o d y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8
8 . 1 3 A p p l i c a t i o n t o o t h e r s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8
9 T r a n s p o r t p h e n o m e n a 3 9
9 . 1 M a t h e m a t i c a l i n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9
9 . 2 C o n s e r v a t i o n l a w s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9
9 . 3 B e r n o u l l i ' s e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1
9 . 4 C h a r a c t e r i s i n g o f o w s b y d i m e n s i o n l e s s n u m b e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1
9 . 5 T u b e o w s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2
9 . 6 P o t e n t i a l t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2
9 . 7 B o u n d a r y l a y e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3
9 . 7 . 1 F l o w b o u n d a r y l a y e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3
9 . 7 . 2 T e m p e r a t u r e b o u n d a r y l a y e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3
9 . 8 H e a t c o n d u c t a n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4
9 . 9 T u r b u l e n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4
9 . 1 0 S e l f o r g a n i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4
1 0 Q u a n t u m p h y s i c s 4 5
1 0 . 1 I n t r o d u c t i o n t o q u a n t u m p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
1 0 . 1 . 1 B l a c k b o d y r a d i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
1 0 . 1 . 2 T h e C o m p t o n e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
1 0 . 1 . 3 E l e c t r o n d i r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
1 0 . 2 W a v e f u n c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
1 0 . 3 O p e r a t o r s i n q u a n t u m p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5
1 0 . 4 T h e u n c e r t a i n t y p r i n c i p l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6
1 0 . 5 T h e S c h r o d i n g e r e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6
1 0 . 6 P a r i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6
1 0 . 7 T h e t u n n e l e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7
1 0 . 8 T h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7
1 0 . 9 A n g u l a r m o m e n t u m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7
1 0 . 1 0 S p i n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8
1 0 . 1 1 T h e D i r a c f o r m a l i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8
1 0 . 1 2 A t o m i c p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
1 0 . 1 2 . 1 S o l u t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
1 0 . 1 2 . 2 E i g e n v a l u e e q u a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
1 0 . 1 2 . 3 S p i n - o r b i t i n t e r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9
1 0 . 1 2 . 4 S e l e c t i o n r u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0
1 0 . 1 3 I n t e r a c t i o n w i t h e l e c t r o m a g n e t i c e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0
1 0 . 1 4 P e r t u r b a t i o n t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0
1 0 . 1 4 . 1 T i m e - i n d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0
1 0 . 1 4 . 2 T i m e - d e p e n d e n t p e r t u r b a t i o n t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1
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I V P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
1 0 . 1 5 N - p a r t i c l e s y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1
1 0 . 1 5 . 1 G e n e r a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1
1 0 . 1 5 . 2 M o l e c u l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2
1 0 . 1 6 Q u a n t u m s t a t i s t i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 2
1 1 P l a s m a p h y s i c s 5 4
1 1 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 4
1 1 . 2 T r a n s p o r t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 4
1 1 . 3 E l a s t i c c o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5
1 1 . 3 . 1 G e n e r a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 5
1 1 . 3 . 2 T h e C o u l o m b i n t e r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6
1 1 . 3 . 3 T h e i n d u c e d d i p o l e i n t e r a c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6
1 1 . 3 . 4 T h e c e n t r e o f m a s s s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6
1 1 . 3 . 5 S c a t t e r i n g o f l i g h t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6
1 1 . 4 T h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m a n d r e v e r s i b i l i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7
1 1 . 5 I n e l a s t i c c o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7
1 1 . 5 . 1 T y p e s o f c o l l i s i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 7
1 1 . 5 . 2 C r o s s s e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8
1 1 . 6 R a d i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 8
1 1 . 7 T h e B o l t z m a n n t r a n s p o r t e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 9
1 1 . 8 C o l l i s i o n - r a d i a t i v e m o d e l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0
1 1 . 9 W a v e s i n p l a s m a ' s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0
1 2 S o l i d s t a t e p h y s i c s 6 2
1 2 . 1 C r y s t a l s t r u c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2
1 2 . 2 C r y s t a l b i n d i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 2
1 2 . 3 C r y s t a l v i b r a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3
1 2 . 3 . 1 A l a t t i c e w i t h o n e t y p e o f a t o m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3
1 2 . 3 . 2 A l a t t i c e w i t h t w o t y p e s o f a t o m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3
1 2 . 3 . 3 P h o n o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3
1 2 . 3 . 4 T h e r m a l h e a t c a p a c i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4
1 2 . 4 M a g n e t i c e l d i n t h e s o l i d s t a t e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5
1 2 . 4 . 1 D i e l e c t r i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5
1 2 . 4 . 2 P a r a m a g n e t i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5
1 2 . 4 . 3 F e r r o m a g n e t i s m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5
1 2 . 5 F r e e e l e c t r o n F e r m i g a s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6
1 2 . 5 . 1 T h e r m a l h e a t c a p a c i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6
1 2 . 5 . 2 E l e c t r i c c o n d u c t a n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6
1 2 . 5 . 3 T h e H a l l - e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7
1 2 . 5 . 4 T h e r m a l h e a t c o n d u c t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7
1 2 . 6 E n e r g y b a n d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7
1 2 . 7 S e m i c o n d u c t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7
1 2 . 8 S u p e r c o n d u c t i v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8
1 2 . 8 . 1 D e s c r i p t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8
1 2 . 8 . 2 T h e J o s e p h s o n e e c t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9
1 2 . 8 . 3 F l u x q u a n t i s a t i o n i n a s u p e r c o n d u c t i n g r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9
1 2 . 8 . 4 M a c r o s c o p i c q u a n t u m i n t e r f e r e n c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0
1 2 . 8 . 5 T h e L o n d o n e q u a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0
1 2 . 8 . 6 T h e B C S m o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0
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P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s V
1 3 T h e o r y o f g r o u p s 7 1
1 3 . 1 I n t r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1
1 3 . 1 . 1 D e n i t i o n o f a g r o u p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1
1 3 . 1 . 2 T h e C a y l e y t a b l e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1
1 3 . 1 . 3 C o n j u g a t e d e l e m e n t s , s u b g r o u p s a n d c l a s s e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1
1 3 . 1 . 4 I s o m o r s m a n d h o m o m o r s m ; r e p r e s e n t a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
1 3 . 1 . 5 R e d u c i b l e a n d i r r e d u c i b l e r e p r e s e n t a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
1 3 . 2 T h e f u n d a m e n t a l o r t h o g o n a l i t y t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
1 3 . 2 . 1 S c h u r ' s l e m m a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
1 3 . 2 . 2 T h e f u n d a m e n t a l o r t h o g o n a l i t y t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
1 3 . 2 . 3 C h a r a c t e r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2
1 3 . 3 T h e r e l a t i o n w i t h q u a n t u m m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
1 3 . 3 . 1 R e p r e s e n t a t i o n s , e n e r g y l e v e l s a n d d e g e n e r a c y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
1 3 . 3 . 2 B r e a k i n g o f d e g e n e r a c y b y a p e r t u r b a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
1 3 . 3 . 3 T h e c o n s t r u c t i o n o f a b a s e f u n c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3
1 3 . 3 . 4 T h e d i r e c t p r o d u c t o f r e p r e s e n t a t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4
1 3 . 3 . 5 C l e b s c h - G o r d a n c o e c i e n t s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4
1 3 . 3 . 6 S y m m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n s o f o p e r a t o r s , i r r e d u c i b l e t e n s o r o p e r a t o r s : : : : : : 7 4
1 3 . 3 . 7 T h e W i g n e r - E c k a r t t h e o r e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
1 3 . 4 C o n t i n u o u s g r o u p s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
1 3 . 4 . 1 T h e 3 - d i m e n s i o n a l t r a n s l a t i o n g r o u p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5
1 3 . 4 . 2 T h e 3 - d i m e n s i o n a l r o t a t i o n g r o u p : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 6
1 3 . 4 . 3 P r o p e r t i e s o f c o n t i n u o u s g r o u p s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 6
1 3 . 5 T h e g r o u p S O ( 3 ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 7
1 3 . 6 A p p l i c a t i o n s t o q u a n t u m m e c h a n i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 8
1 3 . 6 . 1 V e c t o r m o d e l f o r t h e a d d i t i o n o f a n g u l a r m o m e n t u m : : : : : : : : : : : : : : : 7 8
1 3 . 6 . 2 I r r e d u c i b l e t e n s o r o p e r a t o r s , m a t r i x e l e m e n t s a n d s e l e c t i o n r u l e s : : : : : : : : : 7 8
1 3 . 7 A p p l i c a t i o n s t o p a r t i c l e p h y s i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9
1 4 N u c l e a r p h y s i c s 8 1
1 4 . 1 N u c l e a r f o r c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 1
1 4 . 2 T h e s h a p e o f t h e n u c l e u s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2
1 4 . 3 R a d i o a c t i v e d e c a y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 2
1 4 . 4 S c a t t e r i n g a n d n u c l e a r r e a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3
1 4 . 4 . 1 K i n e t i c m o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3
1 4 . 4 . 2 Q u a n t u m m e c h a n i c a l m o d e l f o r n - p s c a t t e r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 3
1 4 . 4 . 3 C o n s e r v a t i o n o f e n e r g y a n d m o m e n t u m i n n u c l e a r r e a c t i o n s : : : : : : : : : : : 8 4
1 4 . 5 R a d i a t i o n d o s i m e t r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 4
1 5 Q u a n t u m e l d t h e o r y & P a r t i c l e p h y s i c s 8 5
1 5 . 1 C r e a t i o n a n d a n n i h i l a t i o n o p e r a t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 5
1 5 . 2 C l a s s i c a l a n d q u a n t u m e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 5
1 5 . 3 T h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6
1 5 . 4 R e a l s c a l a r e l d i n t h e i n t e r a c t i o n p i c t u r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 6
1 5 . 5 C h a r g e d s p i n - 0 p a r t i c l e s , c o n s e r v a t i o n o f c h a r g e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7
1 5 . 6 F i e l d f u n c t i o n s f o r s p i n -
1
2
p a r t i c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7
1 5 . 7 Q u a n t i z a t i o n o f s p i n -
1
2
e l d s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 8
1 5 . 8 Q u a n t i z a t i o n o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 9
1 5 . 9 I n t e r a c t i n g e l d s a n d t h e S - m a t r i x : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 9
1 5 . 1 0 D i v e r g e n c e s a n d r e n o r m a l i z a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 0
1 5 . 1 1 C l a s s i c a t i o n o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 0
1 5 . 1 2 P a n d C P - v i o l a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2
1 5 . 1 3 T h e s t a n d a r d m o d e l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3
1 5 . 1 3 . 1 T h e e l e c t r o w e a k t h e o r y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 3
1 5 . 1 3 . 2 S p o n t a n e o u s s y m m e t r y b r e a k i n g : t h e H i g g s m e c h a n i s m : : : : : : : : : : : : 9 4
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
8/107
V I P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
1 5 . 1 3 . 3 Q u a n t u m c h r o m o d y n a m i c s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4
1 5 . 1 4 P a t h i n t e g r a l s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 5
1 5 . 1 5 U n i c a t i o n a n d q u a n t u m g r a v i t y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 5
1 6 A s t r o p h y s i c s 9 6
1 6 . 1 D e t e r m i n a t i o n o f d i s t a n c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 6
1 6 . 2 B r i g h t n e s s a n d m a g n i t u d e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 6
1 6 . 3 R a d i a t i o n a n d s t e l l a r a t m o s p h e r e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 7
1 6 . 4 C o m p o s i t i o n a n d e v o l u t i o n o f s t a r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 7
1 6 . 5 E n e r g y p r o d u c t i o n i n s t a r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8
T h e r - o p e r a t o r 9 9
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
9/107
P h y s i c a l C o n s t a n t s
N a m e S y m b o l V a l u e U n i t
N u m b e r 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5
N u m b e r e e 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9
E u l e r ' s c o n s t a n t = l i m
n ! 1
n
P
k = 1
1 = k l n ( n )
= 0 5 7 7 2 1 5 6 6 4 9
E l e m e n t a r y c h a r g e e 1 6 0 2 1 7 7 3 3 1 0
1 9
C
G r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t G 6 6 7 2 5 9 1 0
1 1
m
3
k g
1
s
2
F i n e - s t r u c t u r e c o n s t a n t = e
2
= 2 h c "
0
1 = 1 3 7
S p e e d o f l i g h t i n v a c u u m c 2 9 9 7 9 2 4 5 8 1 0
8
m / s ( d e f )
P e r m i t t i v i t y o f t h e v a c u u m "
0
8 8 5 4 1 8 7 1 0
1 2
F / m
P e r m e a b i l i t y o f t h e v a c u u m
0
4 1 0
7
H / m
( 4 "
0
)
1
8 9 8 7 6 1 0
9
N m
2
C
2
P l a n c k ' s c o n s t a n t h 6 6 2 6 0 7 5 5 1 0
3 4
J s
D i r a c ' s c o n s t a n t h = h = 2 1 0 5 4 5 7 2 7 1 0
3 4
J s
B o h r m a g n e t o n
B
= e h = 2 m
e
9 2 7 4 1 1 0
2 4
A m
2
B o h r r a d i u s a
0
0 5 2 9 1 8
A
R y d b e r g ' s c o n s t a n t R y 1 3 . 5 9 5 e V
E l e c t r o n C o m p t o n w a v e l e n g t h
C e
= h = m
e
c 2 2 4 6 3 1 0
1 2
m
P r o t o n C o m p t o n w a v e l e n g t h
C p
= h = m
p
c 1 3 2 1 4 1 0
1 5
m
R e d u c e d m a s s o f t h e H - a t o m
H
9 1 0 4 5 7 5 5 1 0
3 1
k g
S t e f a n - B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t 5 6 7 0 3 2 1 0
8
W m
2
K
4
W i e n ' s c o n s t a n t k
W
2 8 9 7 8 1 0
3
m K
M o l a r g a s c o n s t a n t R 8 . 3 1 4 4 1 J / m o l
A v o g a d r o ' s c o n s t a n t N
A
6 0 2 2 1 3 6 7 1 0
2 3
m o l
1
B o l t z m a n n ' s c o n s t a n t k = R = N
A
1 3 8 0 6 5 8 1 0
2 3
J / K
E l e c t r o n m a s s m
e
9 1 0 9 3 8 9 7 1 0
3 1
k g
P r o t o n m a s s m
p
1 6 7 2 6 2 3 1 1 0
2 7
k g
N e u t r o n m a s s m
n
1 6 7 4 9 5 4 1 0
2 7
k g
E l e m e n t a r y m a s s u n i t m
u
=
1
1 2
m (
1 2
6
C ) 1 6 6 0 5 6 5 6 1 0
2 7
k g
N u c l e a r m a g n e t o n
N
5 0 5 0 8 1 0
2 7
J / T
D i a m e t e r o f t h e S u n D
1 3 9 2 1 0
6
m
M a s s o f t h e S u n M
1 9 8 9 1 0
3 0
k g
R o t a t i o n a l p e r i o d o f t h e S u n T
2 5 . 3 8 d a y s
R a d i u s o f E a r t h R
A
6 3 7 8 1 0
6
m
M a s s o f E a r t h M
A
5 9 7 6 1 0
2 4
k g
R o t a t i o n a l p e r i o d o f E a r t h T
A
2 3 . 9 6 h o u r s
E a r t h o r b i t a l p e r i o d T r o p i c a l y e a r 3 6 5 . 2 4 2 1 9 8 7 9 d a y s
A s t r o n o m i c a l u n i t A U 1 4 9 5 9 7 8 7 0 6 6 1 0
1 1
m
L i g h t y e a r l j 9 4 6 0 5 1 0
1 5
m
P a r s e c p c 3 0 8 5 7 1 0
1 6
m
H u b b l e c o n s t a n t H ( 7 5 2 5 ) k m s
1
M p c
1
1
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
10/107
C h a p t e r 1
M e c h a n i c s
1 . 1 P o i n t - k i n e t i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m
1 . 1 . 1 D e n i t i o n s
T h e p o s i t i o n ~r , t h e v e l o c i t y ~v a n d t h e a c c e l e r a t i o n ~ a a r e d e n e d b y : ~r = ( x ; y ; z ) ~v = ( x y z )
~a = ( x y z ) . T h e f o l l o w i n g h o l d s :
s ( t ) = s
0
+
Z
~v ( t ) d t ~r ( t ) = ~r
0
+
Z
~v ( t ) d t ~v ( t ) = ~v
0
+
Z
~a ( t ) d t
W h e n t h e a c c e l e r a t i o n i s c o n s t a n t t h i s g i v e s : v ( t ) = v
0
+ a t a n d s ( t ) = s
0
+ v
0
t +
1
2
a t
2
F o r t h e u n i t v e c t o r s i n a d i r e c t i o n ? t o t h e o r b i t ~e
t
a n d p a r a l l e l t o i t ~e
n
h o l d s :
~e
t
=
~v
~v
=
d ~r
d s
~e
t
=
v
~e
n
~e
n
=
~e
t
~e
t
F o r t h e c u r v a t u r e k a n d t h e r a d i u s o f c u r v a t u r e h o l d s :
~
k =
d ~e
t
d s
=
d
2
~r
d s
2
=
d '
d s
=
1
k
1 . 1 . 2 P o l a r c o o r d i n a t e s
P o l a r c o o r d i n a t e s a r e d e n e d b y : x = r c o s ( ) y = r s i n ( ) . S o , f o r t h e u n i t c o o r d i n a t e v e c t o r s h o l d s :
~e
r
= ~e
~e
= ~e
r
T h e v e l o c i t y a n d t h e a c c e l e r a t i o n a r e d e r i v e d f r o m : ~r = r ~e
r
~v = r ~e
r
+ r ~e
~a = ( r r
2
) ~e
r
+ ( 2 _r +
r
) ~e
1 . 2 R e l a t i v e m o t i o n
F o r t h e m o t i o n o f a p o i n t D w . r . t . a p o i n t Q h o l d s : ~r
D
= ~r
Q
+
~! ~v
Q
!
2
w i t h
~
Q D = ~r
D
~r
Q
a n d ! =
F u r t h e r h o l d s : =
m e a n s t h a t t h e q u a n t i t y i s d e n e d i n a m o v i n g s y s t e m o f c o o r d i n a t e s . I n a
m o v i n g s y s t e m h o l d s :
~v = ~v
Q
+ ~v + ~! ~r a n d ~a = ~a
Q
+ ~a + ~ ~r + 2 ~! ~v ~! ( ~! ~r )
w i t h ~! ( ~! ~r ) = !
2
~r
n
1 . 3 P o i n t - d y n a m i c s i n a x e d c o o r d i n a t e s y s t e m
1 . 3 . 1 F o r c e , ( a n g u l a r ) m o m e n t u m a n d e n e r g y
N e w t o n ' s 2 n d l a w c o n n e c t s t h e f o r c e o n a n o b j e c t a n d t h e r e s u l t i n g a c c e l e r a t i o n o f t h e o b j e c t w h e r e
t h e m o m e n t u m i s g i v e n b y ~p = m ~v
~
F ( ~ r ; ~ v ; t ) =
d ~p
d t
=
d ( m ~v )
d t
= m
d ~v
d t
+ ~v
d m
d t
m = c o n s t
= m ~a
2
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
11/107
C h a p t e r 1 : M e c h a n i c s 3
N e w t o n ' s 3 r d l a w i s g i v e n b y :
~
F
a c t i o n
=
~
F
r e a c t i o n
F o r t h e p o w e r P h o l d s : P = W =
~
F ~v . F o r t h e t o t a l e n e r g y W , t h e k i n e t i c e n e r g y T a n d t h e
p o t e n t i a l e n e r g y U h o l d s : W = T + U T = U w i t h T =
1
2
m v
2
T h e k i c k
~
S i s g i v e n b y :
~
S = ~p =
Z
~
F d t
T h e w o r k A , d e l i v e r e d b y a f o r c e , i s A =
Z
2
1
~
F d ~s =
Z
2
1
F c o s ( ) d s
T h e t o r q u e ~ i s r e l a t e d t o t h e a n g u l a r m o m e n t u m
~
L ~ =
~
L = ~r
~
F ; a n d
~
L = ~r ~p = m ~v ~r
~
L = m r
2
! . T h e f o l l o w i n g e q u a t i o n i s v a l i d :
=
@ U
@
H e n c e , t h e c o n d i t i o n s f o r a m e c h a n i c a l e q u i l i b r i u m a r e :
P
~
F
i
= 0 a n d
P
~
i
= 0
T h e f o r c e o f f r i c t i o n i s u s u a l l y p r o p o r t i o n a l t o t h e f o r c e p e r p e n d i c u l a r t o t h e s u r f a c e , e x c e p t w h e n
t h e m o t i o n s t a r t s , w h e n a t h r e s h o l d h a s t o b e o v e r c o m e : F
f r i c
= f F
n o r m
~e
t
1 . 3 . 2 C o n s e r v a t i v e f o r c e e l d s
A c o n s e r v a t i v e f o r c e c a n b e w r i t t e n a s t h e g r a d i e n t o f a p o t e n t i a l :
~
F
c o n s
=
~
r U . F r o m t h i s f o l l o w s
t h a t r
~
F =
~
0 . F o r s u c h a f o r c e e l d a l s o h o l d s :
I
~
F d ~s = 0 ) U = U
0
r
1
Z
r
0
~
F d ~s
S o t h e w o r k d e l i v e r e d b y a c o n s e r v a t i v e f o r c e e l d d e p e n d s n o t o n t h e t r a j e c t o r y c o v e r e d b u t o n l y o n
t h e s t a r t i n g a n d e n d i n g p o i n t s o f t h e m o t i o n .
1 . 3 . 3 G r a v i t a t i o n
T h e N e w t o n i a n l a w o f g r a v i t a t i o n i s ( i n G R T o n e a l s o u s e s i n s t e a d o f G )
~
F
g
= G
m
1
m
2
r
2
~e
r
T h e g r a v i t a t i o n a l p o t e n t i a l i s t h e n g i v e n b y V = G m = r . F r o m G a u s s l a w i t t h e n f o l l o w s : r
2
V =
4 G %
1 . 3 . 4 O r b i t a l e q u a t i o n s
I f V = V ( r ) o n e c a n d e r i v e f r o m t h e e q u a t i o n s o f L a g r a n g e f o r t h e c o n s e r v a t i o n o f a n g u l a r m o m e n -
t u m :
@ L
@
=
@ V
@
= 0 )
d
d t
( m r
2
) = 0 ) L
z
= m r
2
= c o n s t a n t
F o r t h e r a d i a l p o s i t i o n a s a f u n c t i o n o f t i m e c a n b e f o u n d t h a t :
d r
d t
2
=
2 ( W V )
m
L
2
m
2
r
2
T h e a n g u l a r e q u a t i o n i s t h e n :
0
=
r
Z
0
"
m r
2
L
r
2 ( W V )
m
L
2
m
2
r
2
#
1
d r
r
2
e l d
= a r c c o s
1 +
1
r
1
r
0
1
r
0
+ k m = L
2
z
!
I f F = F ( r ) L = c o n s t a n t , i f F i s c o n s e r v a t i v e : W = c o n s t a n t , i f
~
F ? ~v t h e n T = 0 a n d U = 0
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
12/107
4 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
K e p l e r ' s e q u a t i o n s
I n a f o r c e e l d F = k r
2
, t h e o r b i t s a r e c o n i c s e c t i o n s w i t h t h e o r i g i n o f t h e f o r c e i n o n e o f t h e f o c i
( K e p l e r ' s 1 s t l a w ) . T h e e q u a t i o n o f t h e o r b i t i s :
r ( ) =
1 + " c o s (
0
)
o r x
2
+ y
2
= ( " x )
2
w i t h
=
L
2
G
2
M
t o t
"
2
= 1 +
2 W L
2
G
2
3
M
2
t o t
= 1
a
a =
1 "
2
=
k
2 W
a i s h a l f t h e l e n g t h o f t h e l o n g a x i s o f t h e e l l i p t i c a l o r b i t i n c a s e t h e o r b i t i s c l o s e d . H a l f t h e l e n g t h
o f t h e s h o r t a x i s i s b =
p
a " i s t h e e x c e n t r i c i t y o f t h e o r b i t . O r b i t s w i t h a n e q u a l " a r e o f e q u a l
s h a p e . N o w , 5 t y p e s o f o r b i t s a r e p o s s i b l e :
1 k 1 : a h y p e r b o l e , c u r v e d t o w a r d s t h e c e n t r e o f f o r c e .
5 k > 0 a n d " > 1 : a h y p e r b o l e , c u r v e d a w a y f r o m t h e c e n t r e o f f o r c e .
O t h e r c o m b i n a t i o n s a r e n o t p o s s i b l e : t h e t o t a l e n e r g y i n a r e p u l s i v e f o r c e e l d i s a l w a y s p o s i t i v e s o
" > 1
I f t h e s u r f a c e b e t w e e n t h e o r b i t c o v e r e d b e t w e e n t
1
a n d t
2
a n d t h e f o c u s C a r o u n d w h i c h t h e p l a n e t
m o v e s i s A ( t
1
t
2
) , K e p l e r ' s 2 n d l a w i s
A ( t
1
t
2
) =
L
C
2 m
( t
2
t
1
)
K e p l e r ' s 3 r d l a w i s , w i t h T t h e p e r i o d a n d M
t o t
t h e t o t a l m a s s o f t h e s y s t e m :
T
2
a
3
=
4
2
G M
t o t
1 . 3 . 5 T h e v i r i a l t h e o r e m
T h e v i r i a l t h e o r e m f o r o n e p a r t i c l e i s :
h m ~v ~r i = 0 ) h T i =
1
2
D
~
F ~r
E
=
1
2
r
d U
d r
=
1
2
n h U i i f U =
k
r
n
T h e v i r i a l t h e o r e m f o r a c o l l e c t i o n o f p a r t i c l e s i s :
h T i =
1
2
*
X
p a r t i c l e s
~
F
i
~r
i
+
X
p a i r s
~
F
i j
~r
i j
+
T h e s e p r o p o s i t i o n s c a n a l s o b e w r i t t e n a s : 2 E
k n
+ E
p o t
= 0
1 . 4 P o i n t d y n a m i c s i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m
1 . 4 . 1 A p p a r e n t f o r c e s
T h e t o t a l f o r c e i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m c a n b e f o u n d b y s u b t r a c t i n g t h e a p p a r e n t f o r c e s f r o m
t h e f o r c e s w o r k i n g i n t h e r e f e r e n c e f r a m e :
~
F =
~
F
~
F
a p p
. T h e d i e r e n t a p p a r e n t f o r c e s a r e g i v e n
b y
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
13/107
C h a p t e r 1 : M e c h a n i c s 5
1 . T r a n s f o r m a t i o n o f t h e o r i g i n : F
o r
= m ~ a
a
2 . R o t a t i o n :
~
F
= m ~ ~r
3 . C o r i o l i s f o r c e : F
c o r
= 2 m ~! ~v
4 . C e n t r i f u g a l f o r c e :
~
F
c f
= m !
2
~r
n
=
~
F
c p
~
F
c p
=
m v
2
r
~e
r
1 . 4 . 2 T e n s o r n o t a t i o n
T r a n s f o r m a t i o n o f t h e N e w t o n i a n e q u a t i o n s o f m o t i o n t o x
= x
( x ) g i v e s :
d x
d t
=
@ x
@ x
d x
d t
T h e c h a i n r u l e g i v e s :
d
d t
d x
d t
=
d
2
x
d t
2
=
d
d t
@ x
@ x
d x
d t
=
@ x
@ x
d
2
x
d t
2
+
d x
d t
d
d t
@ x
@ x
s o
d
d t
@ x
@ x
=
@
@ x
@ x
@ x
d x
d t
=
@
2
x
@ x
@ x
d x
d t
T h i s l e a d s t o :
d
2
x
d t
2
=
@ x
@ x
d
2
x
d t
2
+
@
2
x
@ x
@ x
d x
d t
d x
d t
H e n c e t h e N e w t o n i a n e q u a t i o n o f m o t i o n
m
d
2
x
d t
2
= F
w i l l b e t r a n s f o r m e d i n t o :
m
d
2
x
d t
2
+
d x
d t
d x
d t
= F
T h e a p p a r e n t f o r c e s a r e t a k e n f r o m h e o r i g i n t o t h e e e c t s i d e i n t h e w a y
d x
d t
d x
d t
1 . 5 D y n a m i c s o f m a s s p o i n t c o l l e c t i o n s
1 . 5 . 1 T h e c e n t r e o f m a s s
T h e v e l o c i t y w . r . t . t h e c e n t r e o f m a s s
~
R i s g i v e n b y ~v
~
R . T h e c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r e o f m a s s a r e
g i v e n b y :
~r
m
=
P
m
i
~r
i
P
m
i
I n a 2 - p a r t i c l e s y s t e m , t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c e n t r e o f m a s s a r e g i v e n b y :
~
R =
m
1
~r
1
+ m
2
~r
2
m
1
+ m
2
W i t h ~r = ~r
1
~r
2
, t h e k i n e t i c e n e r g y b e c o m e s : T =
1
2
M
t o t
R
2
+
1
2
r
2
, w i t h t h e r e d u c e d m a s s g i v e n
b y
1
=
1
m
1
+
1
m
2
T h e m o t i o n w i t h i n a n d o u t s i d e t h e c e n t r e o f m a s s c a n b e s e p a r a t e d :
~
L
o u t s i d e
= ~
o u t s i d e
~
L
i n s i d e
= ~
i n s i d e
~p = m ~v
m
~
F
e x t
= m ~a
m
~
F
1 2
= ~u
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
14/107
6 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
1 . 5 . 2 C o l l i s i o n s
W i t h c o l l i s i o n s , w h e r e B a r e t h e c o o r d i n a t e s o f t h e c o l l i s i o n a n d C a n a r b i t r a r y o t h e r p o s i t i o n , h o l d s :
~p = m ~v
m
i s c o n s t a n t , a n d T =
1
2
m ~v
2
m
i s c o n s t a n t . T h e c h a n g e s i n t h e r e l a t i v e v e l o c i t i e s c a n b e
d e r i v e d f r o m :
~
S = ~p = ( ~v
a f t
~v
b e f o r e
) . F u r t h e r h o l d s
~
L
C
=
~
C B
~
S ~p k
~
S = c o n s t a n t a n d
~
L
w . r . t . B i s c o n s t a n t .
1 . 6 D y n a m i c s o f r i g i d b o d i e s
1 . 6 . 1 M o m e n t o f I n e r t i a
T h e a n g u l a r m o m e n t u m i n a m o v i n g c o o r d i n a t e s y s t e m i s g i v e n b y :
~
L = I ~! +
~
L
n
w h e r e I i s t h e m o m e n t o f i n e r t i a w i t h r e s p e c t t o a c e n t r a l a x i s , w h i c h i s g i v e n b y :
I =
X
i
m
i
~r
i
2
T = W
r o t
=
1
2
! I
i j
~e
i
~e
j
=
1
2
I !
2
o r , i n t h e c o n t i n u o u s c a s e :
I =
m
V
Z
r
n
d V =
Z
r
n
d m
F u r t h e r h o l d s :
L
i
= I
i j
!
j
I
i i
= I
i
I
i j
= I
j i
=
X
k
m
k
x
i
x
j
S t e i n e r ' s t h e o r e m i s : I
w r t D
= I
w r t C
+ m ( D M )
2
i f a x i s C k a x i s D .
O b j e c t I O b j e c t I
C a v e r n c y l i n d e r I = m R
2
M a s s i v e c y l i n d e r I =
1
2
m R
2
D i s c , a x i s i n p l a n e d i s c t h r o u g h m I =
1
4
m R
2
H a l t e r I =
1
2
R
2
C a v e r n s p h e r e I =
2
3
m R
2
M a s s i v e s p h e r e I =
2
5
m R
2
B a r , a x i s ? t h r o u g h c . o . m . I =
1
1 2
m l
2
B a r , a x i s ? t h r o u g h e n d I =
1
3
m l
2
R e c t a n g l e , a x i s ? p l a n e t h r . c . o . m . I =
1
1 2
( a
2
+ b
2
) R e c t a n g l e , a x i s k b t h r . m I = m a
2
1 . 6 . 2 P r i n c i p a l a x e s
E a c h r i g i d b o d y h a s ( a t l e a s t ) 3 p r i n c i p a l a x e s w h i c h s t a n d ? t o e a c h o t h e r . F o r a p r i n c i p a l a x i s
h o l d s :
@ I
@ !
x
=
@ I
@ !
y
=
@ I
@ !
z
= 0 s o L
n
= 0
T h e f o l l o w i n g h o l d s : _!
k
= a
i j k
!
i
!
j
w i t h a
i j k
=
I
i
I
j
I
k
i f I
1
I
2
I
3
1 . 6 . 3 T i m e d e p e n d e n c e
F o r t o r q u e o f f o r c e ~ h o l d s :
~ = I
d
~
L
d t
= ~ ~!
~
L
T h e t o r q u e
~
T i s d e n e d b y :
~
T =
~
F
~
d
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
15/107
C h a p t e r 1 : M e c h a n i c s 7
1 . 7 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s , H a m i l t o n a n d L a g r a n g e m e c h a n i c s
1 . 7 . 1 V a r i a t i o n a l C a l c u l u s
S t a r t i n g w i t h :
b
Z
a
L ( q q t ) d t = 0 w i t h ( a ) = ( b ) = 0 a n d
d u
d x
=
d
d x
( u )
t h e e q u a t i o n s o f L a g r a n g e c a n b e d e r i v e d :
d
d t
@ L
@ q
i
=
@ L
@ q
i
W h e n t h e r e a r e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s a p p l y i n g t o t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m J ( u ) = 0 o f t h e t y p e
K ( u ) = c o n s t a n t , t h e n e w p r o b l e m b e c o m e s : J ( u ) K ( u ) = 0 .
1 . 7 . 2 H a m i l t o n m e c h a n i c s
T h e L a g r a n g i a n i s g i v e n b y : L =
P
T ( q
i
) V ( q
i
) . T h e H a m i l t o n i a n i s g i v e n b y : H =
P
q
i
p
i
L I n
2 d i m e n s i o n s h o l d s : L = T U =
1
2
m ( r
2
+ r
2
2
) U ( r )
I f t h e u s e d c o o r d i n a t e s a r e c a n o n i c a l t h e H a m i l t o n e q u a t i o n s a r e t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e
s y s t e m :
d q
i
d t
=
@ H
@ p
i
d p
i
d t
=
@ H
@ q
i
C o o r d i n a t e s a r e c a n o n i c a l i f t h e f o l l o w i n g h o l d s : f q
i
q
j
g = 0 f p
i
p
j
g = 0 f q
i
p
j
g =
i j
w h e r e f g
i s t h e P o i s s o n b r a c k e t
f A B g =
X
i
@ A
@ q
i
@ B
@ p
i
@ A
@ p
i
@ B
@ q
i
T h e H a m i l t o n i a n o f a H a r m o n i c o s c i l l a t o r i s g i v e n b y H ( x p ) = p
2
= 2 m +
1
2
m !
2
x
2
. W i t h n e w c o o r d i -
n a t e s ( I ) , o b t a i n e d b y t h e c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n x =
p
2 I = m ! c o s ( ) a n d p =
p
2 I m ! s i n ( )
w i t h i n v e r s e = a r c t a n ( p = m ! x ) a n d I = p
2
= 2 m ! +
1
2
m ! x
2
i t f o l l o w s : H ( I ) = ! I
T h e H a m i l t o n i a n o f a c h a r g e d p a r t i c l e w i t h c h a r g e q i n a n e x t e r n a l e l e c t r o m a g n e t i c e l d i s g i v e n b y :
H =
1
2 m
~p q
~
A
2
+ q V
T h i s H a m i l t o n i a n c a n b e d e r i v e d f r o m t h e H a m i l t o n i a n o f a f r e e p a r t i c l e H = p
2
= 2 m w i t h t h e
t r a n s f o r m a t i o n s ~p ! ~p q
~
A a n d H ! H q V . T h i s i s e l e g a n t f r o m a r e l a t i v i s t i c p o i n t o f v i e w : t h i s i s
e q u i v a l e n t t o t h e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e m o m e n t u m 4 - v e c t o r p
! p
q A
. A g a u g e t r a n s f o r m a t i o n
o n t h e p o t e n t i a l s A
c o r r e s p o n d s w i t h a c a n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n , w h i c h m a k e t h e H a m i l t o n e q u a t i o n s
t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r t h e s y s t e m .
1 . 7 . 3 M o t i o n a r o u n d a n e q u i l i b r i u m , l i n e a r i z a t i o n
F o r n a t u r a l s y s t e m s a r o u n d e q u i l i b r i u m t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s a r e v a l i d :
@ V
@ q
i
0
= 0 V ( q ) = V ( 0 ) + V
i k
q
i
q
k
w i t h V
i k
=
@
2
V
@ q
i
@ q
k
0
W i t h T =
1
2
( M
i k
q
i
q
k
) o n e r e c e i v e s t h e s e t o f e q u a t i o n s M q + V q = 0 . I f q
i
( t ) = a
i
e x p ( i ! t ) i s
s u b s t i t u t e d , t h i s s e t o f e q u a t i o n s h a s s o l u t i o n s i f d e t ( V !
2
M ) = 0 . T h i s l e a d s t o t h e e i g e n f r e q u e n c i e s
o f t h e p r o b l e m : !
2
k
=
a
T
k
V a
k
a
T
k
M a
k
. I f t h e e q u i l i b r i u m i s s t a b l e h o l d s : 8 k t h a t !
2
k
> 0 . T h e g e n e r a l s o l u t i o n
i s a s u p e r p o s i t i o n i f e i g e n v i b r a t i o n s .
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
16/107
8 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
1 . 7 . 4 P h a s e s p a c e , L i o u v i l l e ' s e q u a t i o n
I n p h a s e s p a c e h o l d s :
r =
X
i
@
@ q
i
X
i
@
@ p
i
!
s o r ~v =
X
i
@
@ q
i
@ H
@ p
i
@
@ p
i
@ H
@ q
i
I f t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y , @
t
% + r ( % ~v ) = 0 h o l d s , t h i s c a n b e w r i t t e n a s :
f % H g +
@ %
@ t
= 0
F o r a n a r b i t r a r y q u a n t i t y A h o l d s :
d A
d t
= f A H g +
@ A
@ t
L i o u v i l l e ' s t h e o r e m c a n t h a n b e w r i t t e n a s :
d %
d t
= 0 ; o r :
Z
p d q = c o n s t a n t
1 . 7 . 5 G e n e r a t i n g f u n c t i o n s
S t a r t i n g w i t h t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n :
Q
i
= Q
i
( q
i
p
i
t )
P
i
= P
i
( q
i
p
i
t )
o n e c a n d e r i v e t h e f o l l o w i n g H a m i l t o n e q u a t i o n s w i t h t h e n e w H a m i l t o n i a n K
d Q
i
d t
=
@ K
@ P
i
d P
i
d t
=
@ K
@ Q
i
N o w , a d i s t i n c t i o n b e t w e e n 4 c a s e s c a n b e m a d e :
1 . I f p
i
q
i
H = P
i
Q
i
K ( P
i
Q
i
t )
d F
1
( q
i
Q
i
t )
d t
, t h e c o o r d i n a t e s f o l l o w f r o m :
p
i
=
@ F
1
@ q
i
P
i
=
@ F
1
@ Q
i
K = H +
d F
1
d t
2 . I f p
i
q
i
H = P
i
Q
i
K ( P
i
Q
i
t ) +
d F
2
( q
i
P
i
t )
d t
, t h e c o o r d i n a t e s f o l l o w f r o m :
p
i
=
@ F
2
@ q
i
Q
i
=
@ F
2
@ P
i
K = H +
@ F
2
@ t
3 . I f p
i
q
i
H = P
i
Q
i
K ( P
i
Q
i
t ) +
d F
3
( p
i
Q
i
t )
d t
, t h e c o o r d i n a t e s f o l l o w f r o m :
q
i
=
@ F
3
@ p
i
P
i
=
@ F
3
@ Q
i
K = H +
@ F
3
@ t
4 . I f p
i
q
i
H = P
i
Q
i
K ( P
i
Q
i
t ) +
d F
4
( p
i
P
i
t )
d t
, t h e c o o r d i n a t e s f o l l o w f r o m :
q
i
=
@ F
4
@ p
i
Q
i
=
@ F
4
@ p
i
K = H +
@ F
4
@ t
T h e f u n c t i o n s F
1
F
2
F
3
a n d F
4
a r e c a l l e d g e n e r a t i n g f u n c t i o n s
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
17/107
C h a p t e r 2
E l e c t r i c i t y & M a g n e t i s m
2 . 1 T h e M a x w e l l e q u a t i o n s
T h e c l a s s i c a l e l e c t r o m a g n e t i c e l d c a n b e d e s c r i b e d b y t h e M a x w e l l e q u a t i o n s . T h o s e c a n b e w r i t t e n
b o t h a s d i e r e n t i a l a n d i n t e g r a l e q u a t i o n s :
Z Z
(
~
D ~n ) d
2
A = Q
f r e e i n c l u d e d
r
~
D =
f r e e
Z Z
(
~
B ~n ) d
2
A = 0 r
~
B = 0
I
~
E d ~s =
d
d t
r
~
E =
@
~
B
@ t
I
~
H d ~s = I
f r e e i n c l u d e d
+
d
d t
r
~
H =
~
J
f r e e
+
@
~
D
@ t
F o r t h e u x e s h o l d s : =
Z Z
(
~
D ~n ) d
2
A =
Z Z
(
~
B ~n ) d
2
A
T h e e l e c t r i c d i s p l a c e m e n t
~
D , p o l a r i z a t i o n
~
P a n d e l e c t r i c e l d s t r e n g t h
~
E d e p e n d o n e a c h o t h e r
a c c o r d i n g t o :
~
D = "
0
~
E +
~
P = "
0
"
r
~
E
~
P =
P
~p
0
= V o l , "
r
= 1 +
e
, w i t h
e
=
n p
2
0
3 "
0
k T
T h e m a g n e t i c e l d s t r e n g t h
~
H , t h e m a g n e t i z a t i o n
~
M a n d t h e m a g n e t i c u x d e n s i t y
~
B d e p e n d o n
e a c h o t h e r a c c o r d i n g t o :
~
B =
0
(
~
H +
~
M ) =
0
r
~
H
~
M =
P
~m = V o l ,
r
= 1 +
m
, w i t h
m
=
0
n m
2
0
3 k T
2 . 2 F o r c e a n d p o t e n t i a l
T h e f o r c e a n d t h e e l e c t r i c e l d b e t w e e n 2 p o i n t c h a r g e s a r e g i v e n b y :
~
F
1 2
=
Q
1
Q
2
4 "
0
"
r
r
2
~e
r
~
E =
~
F
Q
T h e L o r e n t z f o r c e i s t h e f o r c e w h i c h i s f e l t b y a c h a r g e d p a r t i c l e t h a t m o v e s t h r o u g h a m a g n e t i c e l d .
T h e o r i g i n o f t h i s f o r c e i s a r e l a t i v i s t i c t r a n s f o r m a t i o n o f t h e C o u l o m b f o r c e :
~
F
L
= Q ( ~v
~
B ) = l (
~
I
~
B )
T h e m a g n e t i c e l d i n p o i n t P w h i c h r e s u l t s f r o m a n e l e c t r i c c u r r e n t i s g i v e n b y t h e l a w o f B i o t - S a v a r t
a l s o k n o w n a l s t h e l a w o f L a p l a c e . I n h e r e , d
~
l k
~
I a n d ~r p o i n t s f r o m d
~
l t o P
d
~
B
P
=
0
I
4 r
2
d
~
l ~e
r
I f t h e c u r r e n t i s t i m e - d e p e n d e n t o n e h a s t o t a k e r e t a r d a t i o n i n t o a c c o u n t : t h e s u b s t i t u t i o n I ( t ) !
I ( t r = c ) h a s t o b e a p p l i e d .
T h e p o t e n t i a l s a r e g i v e n b y : V
1 2
=
2
Z
1
~
E d ~s a n d
~
A =
1
2
~
B ~r
9
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
18/107
1 0 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
H e r e , t h e f r e e d o m r e m a i n s t o a p p l y a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n . T h e e l d s c a n b e d e r i v e d f r o m t h e
p o t e n t i a l s a s f o l l o w s :
~
E = r V
@
~
A
@ t
~
B = r
~
A
F u r t h e r h o l d s t h e r e l a t i o n : c
2
~
B = ~v
~
E
2 . 3 G a u g e t r a n s f o r m a t i o n s
T h e p o t e n t i a l s o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d s t r a n s f o r m a s f o l l o w s w h e n a g a u g e t r a n s f o r m a t i o n i s
a p p l i e d :
8
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
19/107
C h a p t e r 2 : E l e c t r i c i t y & M a g n e t i s m 1 1
T h e r a d i a t e d e n e r g y c a n b e d e r i v e d f r o m t h e P o y n t i n g v e c t o r
~
S
~
S =
~
E
~
H = c W ~ e
v
. T h e i r r a d i a n c e
i s t h e t i m e - a v e r a g e d o f t h e P o y n t i n g v e c t o r : I = h
~
S i
t
. T h e r a d i a t i o n p r e s s u r e p
s
i s g i v e n b y
p
s
= ( 1 + R )
~
S = c , w h e r e R i s t h e c o e c i e n t o f r e e c t i o n .
2 . 5 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c w a v e s i n m a t t e r
T h e w a v e e q u a t i o n s i n m a t t e r , w i t h c
m a t
= ( " )
1 = 2
a r e :
r
2
"
@
2
@ t
2
@
@ t
~
E = 0
r
2
"
@
2
@ t
2
@
@ t
~
B = 0
g i v e , a f t e r s u b s t i t u t i o n o f m o n o c h r o m a t i c p l a n e w a v e s :
~
E = E e x p ( i (
~
k ~r ! t ) ) a n d
~
B = B e x p ( i (
~
k
~r ! t ) ) t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n :
k
2
= " !
2
+
i !
T h e r s t t e r m a r i s e s f r o m t h e d i s p l a c e m e n t c u r r e n t , t h e s e c o n d f r o m t h e c o n d u c t a n c e c u r r e n t . I f k i s
w r i t t e n a s k = k + i k i t f o l l o w s :
k = !
q
1
2
"
v
u
u
t
1 +
s
1 +
1
( " ! )
2
a n d k = !
q
1
2
"
v
u
u
t
1 +
s
1 +
1
( " ! )
2
T h i s r e s u l t s i n a d a m p e d w a v e :
~
E = E e x p ( k ~n ~r ) e x p ( i ( k ~n ~r ! t ) ) . I f t h e m a t e r i a l i s a g o o d
c o n d u c t o r , t h e w a v e v a n i s h e s a f t e r a p p r o x i m a t e l y o n e w a v e l e n g t h , k = ( 1 + i )
r
!
2
2 . 6 M u l t i p o l e s
B e c a u s e
1
~r ~r
=
1
r
1
X
0
r
r
P ( c o s ) t h e p o t e n t i a l c a n b e w r i t t e n a s : V =
Q
4 "
X
n
k
n
r
n
F o r t h e l o w e s t - o r d e r t e r m s t h i s r e s u l t s i n :
M o n o p o l e : l = 0 k
0
=
R
d V
D i p o l e : l = 1 k
1
=
R
r c o s ( ) d V
Q u a d r u p o l e : l = 2 k
2
=
1
2
P
i
( 3 z
2
i
r
2
i
)
1 . T h e e l e c t r i c d i p o l e : d i p o l e m o m e n t : ~p = Q l ~ e , w h e r e ~e g o e s f r o m t o , a n d
~
F = ( ~p r )
~
E
e x t
a n d W = ~p
~
E
o u t
E l e c t r i c e l d :
~
E
Q
4 " r
3
3 ~p ~r
r
2
~p
. T h e t o r q u e i s : ~ = ~p
~
E
o u t
2 . T h e m a g n e t i c d i p o l e : d i p o l e m o m e n t : i f r
p
A ~ =
~
I ( A ~e
?
)
~
F = ( ~ r )
~
B
o u t
=
m v
2
?
2 B
W = ~
~
B
o u t
M a g n e t i c e l d :
~
B =
4 r
3
3 ~r
r
2
~
. T h e m o m e n t i s : ~ = ~
~
B
o u t
2 . 7 E l e c t r i c c u r r e n t s
T h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n f o r c h a r g e i s :
@
@ t
+ r
~
J = 0 . T h e e l e c t r i c c u r r e n t i s g i v e n b y :
I =
d Q
d t
=
Z Z
(
~
J ~n ) d
2
A
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
20/107
1 2 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
F o r m o s t c o n d u c t o r s h o l d s :
~
J =
~
E = , w h e r e i s t h e r e s i s t i v i t y
I f t h e u x e n c l o s e d b y a c o n d u c t o r c h a n g e s t h i s r e s u l t s i n a n i n d u c e d v o l t a g e V
n d
= N
d
d t
I f
t h e c u r r e n t o w i n g t h r o u g h a c o n d u c t o r c h a n g e s , t h i s r e s u l t s i n a s e l f - i n d u c t a n c e w h i c h o p p o s e s t h e
o r i g i n a l c h a n g e : V
s e l n d
= L
d I
d t
. I f a c o n d u c t o r e n c l o s e s a u x h o l d s : = L I
T h e m a g n e t i c i n d u c t i o n w i t h i n a c o i l i s a p p r o x i m a t e d b y : B =
N I
p
l
2
+ 4 R
2
w h e r e l i s t h e l e n g t h , R
t h e r a d i u s a n d N t h e n u m b e r o f c o i l s . T h e e n e r g y c o n t a i n e d w i t h i n a c o i l i s g i v e n b y W =
1
2
L I
2
a n d
L = N
2
A = l
T h e c a p a c i t y i s d e n e d b y : C = Q = V . F o r a c a p a c i t o r h o l d s : C = "
0
"
r
A = d w h e r e d i s t h e d i s t a n c e
b e t w e e n t h e p l a t e s a n d A t h e s u r f a c e o f o n e p l a t e . T h e e l e c t r i c e l d s t r e n g t h b e t w e e n t h e p l a t e s i s
E = = "
0
= Q = "
0
A w h e r e i s t h e s u r f a c e c h a r g e . T h e a c c u m u l a t e d e n e r g y i s g i v e n b y W =
1
2
C V
2
T h e c u r r e n t t h r o u g h a c a p a c i t y i s g i v e n b y I = C
d V
d t
F o r m o s t P T C r e s i s t o r s h o l d s a p p r o x i m a t e l y : R = R
0
( 1 + T ) , w h e r e R
0
= l = A . F o r a N T C h o l d s :
R ( T ) = C e x p ( B = T ) w h e r e B a n d C d e p e n d o n l y o n t h e m a t e r i a l .
I f a c u r r e n t o w s t h r o u g h t w o d i e r e n t , c o n n e c t i n g c o n d u c t o r s x a n d y , t h e c o n t a c t a r e a w i l l h e a t u p
o r c o o l d o w n , d e p e n d i n g o n t h e d i r e c t i o n o f t h e c u r r e n t : t h e P e l t i e r e e c t . T h e g e n e r a t e d o r r e m o v e d
h e a t i s g i v e n b y : W =
x y
I t . T h i s e e c t c a n b e a m p l i e d w i t h s e m i c o n d u c t o r s .
T h e t h e r m i c v o l t a g e b e t w e e n 2 m e t a l s i s g i v e n b y : V = ( T T
0
) . F o r a C u - K o n s t a n t a n e c o n n e c t i o n
h o l d s : 0 2 0 7 m V / K .
I n a n e l e c t r i c a l n e t w i t h o n l y s t a t i o n a r y c u r r e n t s , K i r c h h o ' s e q u a t i o n s a p p l y : f o r a k n o t h o l d s :
P
I
n
= 0 , a l o n g a c l o s e d p a t h h o l d s :
P
V
n
=
P
I
n
R
n
= 0
2 . 8 D e p o l a r i z i n g e l d
I f a d i e l e c t r i c m a t e r i a l i s p l a c e d i n a n e l e c t r i c o r m a g n e t i c e l d , t h e e l d s t r e n g t h w i t h i n a n d o u t s i d e
t h e m a t e r i a l w i l l c h a n g e b e c a u s e t h e m a t e r i a l w i l l b e p o l a r i z e d o r m a g n e t i z e d . I f t h e m e d i u m h a s a n
e l l i p s o i d a l s h a p e a n d o n e o f t h e p r i n c i p a l a x e s i s p a r a l l e l w i t h t h e e x t e r n a l e l d
~
E
0
o r
~
B
0
t h e n t h e
d e p o l a r i z i n g i s e l d h o m o g e n e o u s .
~
E
d e p
=
~
E
m a t
~
E
0
=
N
~
P
"
0
~
H
d e p
=
~
H
m a t
~
H
0
= N
~
M
N i s a c o n s t a n t d e p e n d i n g o n l y o n t h e s h a p e o f t h e o b j e c t p l a c e d i n t h e e l d , w i t h 0 N 1 . F o r
a f e w l i m i t i n g c a s e s o f a n e l l i p s o i d h o l d s : a t h i n p l a n e : N = 1 , a l o n g , t h i n b a r : N = 0 , a s p h e r e :
N =
1
3
2 . 9 M i x t u r e s o f m a t e r i a l s
T h e a v e r a g e e l e c t r i c d i s p l a c e m e n t i n a m a t e r i a l w h i c h i s i n h o m o g e n i o u s o n a m e s o s c o p i c s c a l e i s g i v e n
b y h D i = h " E i = "
h E i w h e r e "
= "
1
1
2
( 1 x )
( "
= "
2
)
1
w h e r e x = "
1
= "
2
. F o r a s p h e r e h o l d s :
=
1
3
+
2
3
x . F u r t h e r h o l d s :
X
i
i
"
i
!
1
"
X
i
i
"
i
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
21/107
C h a p t e r 3
R e l a t i v i t y
3 . 1 S p e c i a l r e l a t i v i t y
3 . 1 . 1 T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n
T h e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n ( ~x t ) = ( ~x ( ~ x ; t ) t ( ~ x ; t ) ) l e a v e s t h e w a v e e q u a t i o n i n v a r i a n t i f c i s
i n v a r i a n t :
@
2
@ x
2
+
@
2
@ y
2
+
@
2
@ z
2
1
c
2
@
2
@ t
2
=
@
2
@ x
2
+
@
2
@ y
2
+
@
2
@ z
2
1
c
2
@
2
@ t
2
T h i s t r a n s f o r m a t i o n c a n a l s o b e f o u n d w h e n d s
2
= d s
2
i s d e m a n d e d . T h e g e n e r a l f o r m o f t h e L o r e n t z
t r a n s f o r m a t i o n i s g i v e n b y :
~x = ~x +
( 1 ) ( ~x ~v ) ~v
v
2
~ v t ; t =
( t ~x ~v )
c
2
w h e r e
=
1
r
1
v
2
c
2
T h e v e l o c i t y d i e r e n c e ~v b e t w e e n t w o o b s e r v e r s t r a n s f o r m s a c c o r d i n g t o :
~v =
1
~v
1
~v
2
c
2
1
~v
2
+ ( 1 )
~v
1
~v
2
v
2
1
~v
1
~v
1
I f t h e v e l o c i t y i s p a r a l l e l t o t h e x - a x i s , t h i s b e c o m e s y = y z = z a n d :
x = ( x v t ) x = ( x + v t )
t =
t
x v
c
2
t =
t +
x v
c
2
v =
v
2
v
1
1
v
1
v
2
c
2
I f ~v = v ~e
x
h o l d s :
p
x
=
p
x
W
c
W = ( W v p
x
)
W i t h = v = c t h e e l e c t r i c e l d o f a m o v i n g c h a r g e i s g i v e n b y :
~
E =
Q
4 "
0
r
2
( 1
2
) ~e
r
( 1
2
s i n
2
( ) )
3 = 2
T h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d t r a n s f o r m s a c c o r d i n g t o :
~
E = (
~
E + ~v
~
B )
~
B =
~
B
~v
~
E
c
2
!
L e n g t h , m a s s a n d t i m e t r a n s f o r m a c c o r d i n g t o : t
r
= t
0
m
r
= m
0
l
r
= l
0
= , w i t h
0
t h e
q u a n t i t i e s i n a c o - m o v i n g r e f e r e n c e f r a m e a n d
r
t h e q u a n t i t i e s i n a f r a m e m o v i n g w i t h v e l o c i t y v
w . r . t . i t . T h e p r o p e r t i m e i s d e n e d a s : d
2
= d s
2
= c
2
, s o = t = . F o r e n e r g y a n d m o m e n t u m
1 3
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
22/107
1 4 P h y s i c s F o r m u l a r y b y i r . J . C . A . W e v e r s
h o l d s : W = m
r
c
2
= W
0
W
2
= m
2
0
c
4
+ p
2
c
2
p = m
r
v = m
0
v = W v = c
2
, a n d p c = W w h e r e
= v = c . T h e f o r c e i s d e n e d b y
~
F = d ~p = d t
4 - v e c t o r s h a v e t h e p r o p e r t y t h a t t h e i r m o d u l u s i s i n d e p e n d e n t o f t h e o b s e r v e r : t h e i r c o m p o n e n t s
c a n c h a n g e a f t e r a c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n b u t n o t t h e i r m o d u l u s . T h e d i e r e n c e o f t w o 4 - v e c t o r s
t r a n s f o r m s a l s o a s a 4 - v e c t o r . T h e 4 - v e c t o r f o r t h e v e l o c i t y i s g i v e n b y U
=
d x
d
. T h e r e l a t i o n w i t h
t h e \ c o m m o n " v e l o c i t y u
i
= d x
i
= d t i s U
= ( u
i
; i c ) . F o r p a r t i c l e s w i t h n o n z e r o r e s t m a s s h o l d s :
U
U
= c
2
, f o r p a r t i c l e s w i t h z e r o r e s t m a s s ( s o w i t h v = c ) h o l d s : U
U
= 0 . T h e 4 - v e c t o r f o r
e n e r g y a n d m o m e n t u m i s g i v e n b y : p
= m
0
U
= ( p
i
; i W = c ) . S o : p
p
= m
2
0
c
2
= p
2
W
2
= c
2
3 . 1 . 2 R e d a n d b l u e s h i f t
T h e r e a r e t h r e e c a u s e s o f r e d a n d b l u e s h i f t s :
1 . M o t i o n : w i t h ~e
v
~e
r
= c o s ( ' ) f o l l o w s :
f
f
=
1
v c o s ( ' )
c
T h i s c a n g i v e b o t h r e d - a n d b l u e s h i f t , a l s o ? t o t h e d i r e c t i o n o f m o t i o n .
2 . G r a v i t a t i o n a l r e d s h i f t :
f
f
=
M
r c
2
3 . R e d s h i f t b e c a u s e t h e u n i v e r s e e x p a n d s , r e s u l t i n g i n e . g . t h e c o s m i c b a c k g r o u n d r a d i a t i o n :
0
1
=
R
0
R
1
3 . 1 . 3 T h e s t r e s s - e n e r g y t e n s o r a n d t h e e l d t e n s o r
T h e s t r e s s - e n e r g y t e n s o r i s g i v e n b y :
T
= ( % c
2
+ p ) u
u
+ p g
+
1
c
2
F
F
+
1
4
g
F
F
T h e c o n s e r v a t i o n l a w s c a n t h a n b e w r i t t e n a s : r
T
= 0 . T h e e l e c t r o m a g n e t i c e l d t e n s o r i s g i v e n
b y
F
=
@ A
@ x
@ A
@ x
w i t h A
= (
~
A ; i V = c ) a n d J
= (
~
J ; i c ) . T h e M a x w e l l e q u a t i o n s c a n t h a n b e w r i t t e n a s :
@
F
=
0
J
@
F
+ @
F
+ @
F
= 0
T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r a c h a r g e d p a r t i c l e i n a n E M e l d b e c o m e w i t h t h e e l d t e n s o r :
d p
d
= q F
u
3 . 2 G e n e r a l r e l a t i v i t y
3 . 2 . 1 R i e m a n n i a n g e o m e t r y , t h e E i n s t e i n t e n s o r
T h e b a s i c p r i n c i p l e s o f g e n e r a l r e l a t i v i t y a r e :
1 . T h e g e o d e s i c p o s t u l a t e : f r e e f a l l i n g p a r t i c l e s m o v e a l o n g g e o d e s i c s o f s p a c e - t i m e w i t h t h e p r o p e r
t i m e o r a r c l e n g t h s a s p a r a m e t e r . F o r p a r t i c l e s w i t h z e r o r e s t m a s s ( p h o t o n s ) , t h e u s e o f a
f r e e p a r a m e t e r i s r e q u i r e d b e c a u s e f o r t h e m h o l d s d s = 0 . F r o m
R
d s = 0 t h e e q u a t i o n s o f
m o t i o n c a n b e d e r i v e d :
d
2
x
d s
2
+
d x
d s
d x
d s
= 0
8/3/2019 (eBook - PDF - Science) Physics - Physics Formulary
23/107
C h a p t e r 3 : R e l a t i v i t y 1 5
2 . T h e p r i n c i p l e o f e q u i v a l e n c e : i n e r t i a l m a s s g r a v i t a t i o n a l m a s s ) g r a v i t a t i o n i s e q u i v a l e n t
w i t h a c u r v e d s p a c e - t i m e w e r e p a r t i c l e s m o v e a l o n g g e o d e s i c s .
3 . B y a p r o p e r c h o i c e o f t h e c o o r d i n a t e s y s t e m i t i s p o s s i b l e t o m a k e t h e m e t r i c l o c a l l y a t i n e a c h
p o i n t x
i
g
( x
i
) =
: = d i a g ( 1 1 1 1 )
T h e R i e m a n n t e n s o r i s d e n e d a s : R
T
= r
r
T
r
r
T
, w h e r e t h e c o v a r i a n t d e r i v a t i v e
i s g i v e n b y r
j
a
i
= @
j
a
i
+
i
j k
a
k
a n d r
j
a
i
= @
j
a
i
k
i j
a
k
. H e r e ,
i
j k
=
@
2
x
@ x
j
@ x
k
@ x
i
@ x
=
1
2
g
i
( @
k
g
j
+ @
j
g
k
@ g
j k
)
a r e t h e C h r i s t o e l s y m b o l s . F o r a s e c o n d - o r d e r t e n s o r h o l d s : r
r
T
= R
T
+ R
T
r
k
a
i
j
= @
k
a
i
j
k j
a
i
+
i
k
a
j
r
k
a
i j
= @
k
a
i j
k i
a
j
k j
a
j
a n d r
k
a
i j
= @
k
a
i j
+
i
k
a
j
+
j
k
a
i
T h e f o l l o w i n g h o l d s : R
= @
@
+
T h e R i c c i t e n s o r i s a c o n t r a c t i o n o f t h e R i e m a n n t e n s o r : R
= R
, w h i c h i s s y m m e t r i c : R
=
R
. T h e B i a n c h i i d e n t i t i e s a r e : r
R
+ r
R
+ r
R
= 0
T h e E i n s t e i n t e n s o r i s g i v e n b y : G
= R
1
2
g
R , w h e r e R = R
i s t h e R i c c i s c a l a r , f o r w h i c h
h o l d s : r
G
= 0 . W i t h t h e v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e
R
( L ( g
) R c
2
= 1 6 )
p
g d
4
x = 0 f o r v a r i a t i o n s
g
! g
+ g
t h e E i n s t e i n e l d e q u a t i o n s c a n b e d e r i v e d