Ing. Civil MATERIALES II
RESISTENCIA DE LOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERA
E.A.P. ING. CIVILCURSO: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II
DOCENTE:
RUBEN LOPEZ CARRANZA
CICLO:
XI
ALUMNOS:-
Lavado Palacios Mixuri lozano gonzales jos espinoza matumay santiago obregon flores ronald sanchez camones miguel morales avila edwin
NVO. CHIMBOTE, Noviembre del 2009
TENSIONES COMPUESTAS
1
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RESISTENCIA DE LOS
PROBLEMAS DE CRCULO DE MOHR20. Una barra uniforme de seccin 6x9cm esta sometida a una fuerza de traccin axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensin cortante mxima en la barra Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg 5400kg y =0xy =0
x = P/A x = 5400kg/6x9cm2 x = 1000 Kg/ cm2 Cortante mximo:
mx =
mx = (5400-0)2/2+02
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 500 Kg/ cm2
21. En el problema 20 determinar la tensin normal y cortante que TENSIONES COMPUESTAS 2
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actual que actan en un plano inclinado de 20 con la lnea de accin de las cargas axiales. Datos:
=20x = 1000 Kg/ cm2 y =0xy =0
Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40 )/2+0 Sen40 n =116.98 Kg/ cm2
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen40(1000- 0)/2+0 Cos40 t= 321.39 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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22. Una barra cuadrada de 2 centmetros de lado esta sometida a una
carga de compresin axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actan en un plano inclinado =30 respecto a la lnea de accin de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg =30 2240kg x = P/A x = -2240kg/2x2cm2 x = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60 )/2+0 Sen60 n =-140 Kg/ cm2 2240kg y =0xy =0
Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen60(-560- 0)/2+0 Cos60 t= -242.49 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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RESISTENCIA DE LOS
23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el crculo de
Mohr. Datos: x = -560 Kg/ cm2 y =0xy =0
=30 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=-280 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =0s n,t280 280Sen60 2
-RADIO R2=a2+b2 R=280 2=60
t
s min=-560
C=-280
O
s max=0
s
DEL GRFICO: n =280Sen60 n =242.49 Kg/ cm2 t= 280Cos60
t= -140 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , x = 210 Kg/ cm2, y =0,xy =280
Kg/
cm2
,
determinar
analticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado =45con el eje X. Datos: x = 210 Kg/ cm2 y =0xy =280 Kg/ cm2
=45Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90 )/2+280 Sen90 n =385 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen90(210- 0)/2+280 Cos90 t= 105 Kg/ cm2
TENSIONES COMPUESTAS
6
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RESISTENCIA DE LOS
25. Determinar analticamente, para el elemento del Problema 24, las
tensiones principales y sus direcciones, as como las mximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: x = 210 Kg/ cm2 y =0xy =280 Kg/ cm2
=45a) Calculando los esfuerzos principales: x + y x y 2 2 2
1, 2 =
+ 2 XY 2
max =( (210+ 0) /2)+ ((210- 0) /2+280 max =404.04 Kg/ cm2
min =( (210+ 0) /2)- ((210- 0) /2+280 =-194.04 Kg/ cm2
2
min
b) Hallamos las direcciones:2 xy
tan2 p =
x y
Tan2 p=-2x280/210 2 p=-2.667 IIQ, IVQ 90-2 p=20.554 2 p1=20.554+90 p1=5516 2 p2=20.554+270 p2=14516
TENSIONES COMPUESTAS
7
Ing. Civil MATERIALES II c) Cortante mximo:
RESISTENCIA DE LOS
mx =
mx = (210-0)2/2+2802
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 299.04 Kg/ cm2Tan2 c=(x- y)/2 xy
c=101641
TENSIONES COMPUESTAS
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26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el crculo de
Mohr. Datos: x = 210 Kg/ cm2 y =0xy =280 Kg/ cm2
=45MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=105 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =280 -RADIO R2=a2+b2 R=299.04
t
210
t max=299.04kg/cm s x,t xy
2qp2
280
s min=-194280
O R=299 2qc
C=105 2qp1
s max=404.04
s
s y,t xy
105
DEL GRFICO: Sen2 c=105/299 2 c=20.55 2 p=20.55+90 2 p=110.55
t max=-299.04kg/cm
TENSIONES COMPUESTAS
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27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones
indicadas en la Figura adjunta. Determinar analticamente: a) Las tensiones principales y sus direcciones. b) Las tensiones cortantes mximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar. Datos: 210kg/cm2
280 kg/cm2 210kg/cm2 280 kg/cm2
x =-210 kg/cm2
xy =-280 kg/cm2
y = 0
a) Calculando los esfuerzos principales: x + y x y 2 2 2
1, 2 =
+ 2 XY 2
max =( (-210+ 0) /2)+ ((-210- 0) /2+-280 max =194.04Kg/ cm2 min =( (210+ 0) /2)- ((210- 0) /2+280 -404.04Kg/ cm22
min
Hallamos las direcciones:tan2 p = 2 xy
x y
Tan2 p=-2x-280/-210 2 p=-69.44 IIQ, IVQ 90-2 p=20.554 2 p1=20.554+90 TENSIONES COMPUESTAS 2 p2=20.554+270 10
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p1=5516b) Cortante mximo:
p2=14516
mx =
mx = (-210-0)2/2+-2802
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 299.04 Kg/ cm2Tan2 c=(x- y)/2 xy
c=101641 28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actan en un plano inclinado 30 con el eje X Datos: x =-210 kg/cm2 y = 0xy =-280 kg/cm2
=30Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60 )/2+280 Sen60 n =-294.99 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen60(-210- 0)/2+-280 Cos60 t= -230 Kg/ cm2
29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones x =560kg/cm2, TENSIONES COMPUESTAS 11
Ing. Civil MATERIALES II y =560 kg/cm2 y Datos: x =560 kg/cm2 y =560 kg/cm2 Cortante mximo:
RESISTENCIA DE LOS determinar analticamente la tensin cortante
mxima que existe en el elemento.xy =0
mx =
mx = 560-560)2/2+02
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 030. Qu forma adopta el crculo de Mohr para las solicitaciones
descritas en el problema 29? Datos: x =560 kg/cm2 y =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=560 a = (x - y)/2 a=0 b= xy =0El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del origen.O C=560
xy =0
-RADIO R2=a2+b2 R=0
t
s
31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones x =560 kg/cm2 y y =-560 kg/cm2. Determinar analticamente la tensin cortante TENSIONES COMPUESTAS 12
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mxima que existe en el elemento. Cul es la direccin de los planos en que se producen las mximas tensiones cortantes? Datos: x =560 kg/cm2 y =-560 kg/cm2 Cortante mximo:xy =0
mx =
mx = 560--560)2/2+02
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 560 kg/cm2Tan2 c=(x- y)/2 xy 2 c=45
32. Para el problema 31 determinar analticamente las tensiones
Normal y Cortante que actan en un plano inclinado un ngulo de 30 con el eje x. Datos: x =560 kg/cm2 y =-560 kg/cm2
xy =0
=30Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60 )/2+0 Sen60 n =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen60(560--560)/2+0 Cos60 t= 484.974 Kg/ cm2TENSIONES COMPUESTAS 13
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33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones x =560 kg/cm2 y y =-560 kg/cm2. Determinar el crculo de Mohr, las tensiones que actan en un plano inclinado 20 con el eje X. Datos: x =560 kg/cm2 y =-560 kg/cm2xy =0
=20MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=0 a = (x - y)/2 a=560 b= xy =0 2 =40 -RADIO R2=a2+b2 R=560
t
DEL GRFICO:
t =560sen40 t =-359.961 kg/cm2n =560cos40 n =-428.985kg/cm234.
s y,t xy-560
sn t40 R=560 O=centro
s x,t xy560
s
Un elemento
plano
extrado de una envuelta cilndrica delgada, sometido a torsin, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen. TENSIONES COMPUESTAS 14
Ing. Civil MATERIALES II 560 kg/cm2 560kg/cm2 560 kg/cm2 Datos: x =0 y =0 Calculando los esfuerzos principales: x + y x y 2 2 2
RESISTENCIA DE LOS
560 kg/cm2
xy =560 kg/cm2
1, 2 =
+ 2 XY 2
max =( (0+ 0) /2)+ ((0- 0) /2+560 max =560 Kg/ cm2 min =( (0+ 0) /2)- ((0- 0) /2+560 min 2
=-560 Kg/ cm2
tDEL GRFICO: 2 p=90560
s x,t xy
2qp O=centro
s
35. Un elemento plano
-560
s y,t xy
esta sometido a las tensiones indicadas en la figura determinar analticamente.a) Las tensiones principales y sus direcciones.
TENSIONES COMPUESTAS
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b) Las tensiones cortantes mximas y las direcciones de los planos
que actan.840 kg/cm2 560kg/cm2 1400 kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 1400 kg/cm2 560 kg/cm2
Datos: x =1400 kg/cm2 y = 840 kg/cm2
840 kg/cm2
xy =-560 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales: 1, 2 = x + y x y 2 2 + 2 XY 2
max =( (1400+ 840) /2)+ ((1400- 840) /2+-560 max =1746.099 Kg/ cm2 min =( (1400+ 840) /2)- ((1400- 840) /2+-560 min 2
2
=493.901 Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones:tan2 p =
2 xy
x y
Tan2 p=-2x-560/1400-840 2 p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2 p2=+63.435 2 p1=+63.435 +180
p2=3143c) Cortante mximo:
p1=1214657
TENSIONES COMPUESTAS
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RESISTENCIA DE LOS
mx =
mx = (1400-840)2/2+-5602
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 626.099 Kg/ cm2Tan2 c= (x- y)/2 xy Tan2 c= (1400- 840)/2(-560) 2 c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90-26.565 /2
03
c=7643
36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el crculo de
Mohr.
TENSIONES COMPUESTAS
17
Ing. Civil MATERIALES II Datos: x =1400 kg/cm2 y = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=1120 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =-560
RESISTENCIA DE LOS
xy =-560 kg/cm2
-RADIO R2=a2+b2 R=626.099
t(8400,560)
t max=626.099kg/cm
2qp O
s min=493.9kg/cm2qc
C=1120
s max=1746.099kg/cm
s
-560
(1400,-560)
37.
Considerar
nuevamente
el
problema
35.
Determinar
analticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ngulo de 20 con el eje X. Datos: x =1400 kg/cm2
xy =-560 kg/cm2
TENSIONES COMPUESTAS
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Ing. Civil MATERIALES II y = 840 kg/cm2
RESISTENCIA DE LOS
=20Esfuerzo normal: n =( (x+ y) /2)-((x- y) Cos2 )/2+ xy Sen2 n =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40 )/2+-560 Sen40 n =-280 Kg/ cm2 Esfuerzo cortante:
t= Sen2 (x- y)/2+ xy Cos2 t= Sen40(1400-840)/2+-560 Cos40 t= -249 Kg/ cm2
38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el crculo de
Mohr. Datos: x =1400 kg/cm2 y = 840 kg/cm2 MOHR TENSIONES COMPUESTAS 19xy =-560 kg/cm2
=20
Ing. Civil MATERIALES II -CENTRO C= x+ y) /2 C=1120 a = (x - y)/2 a=280 b= xy =-560
RESISTENCIA DE LOS -RADIO R2=a2+b2 R=626.099 2 =40
t(8400,560)
t max=626.099kg/cm
s tO
b
40
a
s min=493.9kg/cm
C=1120
s max=1746.099kg/cm
s
560
626.099
-560 bsenb=560/626.099 b=63.435
626.099sen a (1400,-560)
626.099
b=63.435 a=23.435
a=23.435626.099cos b 626.099sen =249 a 626.099cos =574.45 b
560
626.099
626.099sen a
626.099
bsenb=560/626.099 b=63.435
t =249kg/cmb=63.435 a=23.435 a=23.435626.099cos b 626.099sen =249 a 626.099cos =574.45 b
s =R-574.45+493.9 s =545.54kg/cm39.
Un
elemento
plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura, determinar analticamente. a)
t =249kg/cm
s =R-574.45+493.9 Las tensiones principales y sus direcciones s =545.54kg/cm
TENSIONES COMPUESTAS
20
Ing. Civil MATERIALES II
RESISTENCIA DE LOS
b) Las tensiones cortantes mximas y las direcciones de los planos que actan.840 kg/cm2 700kg/cm2 560 kg/cm2 700 kg/cm2 840 kg/cm2 700 kg/cm2 560 kg/cm2 700kg/cm2
Datos: x =-560 kg/cm2
xy =700 kg/cm2
y = -840 kg/cm2
a) Calculando los esfuerzos principales: 1, 2 x + y x y = 2 2 + 2 XY 2
max =( (-560+-840) /2)+ ((-560--840) /2+700 max =13.863 Kg/ cm2 min =( -560+-840) /2)- ((-560--840) /2+700 min 2
2
=-1413.863 Kg/ cm2
b) Hallamos las direcciones:tan2 p = 2 xy
x y
Tan2 p=-2x-700/-560--840 2 p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90-78.69=11.3099 2 p1=11.3099+90 2 p2=11.3099+270
p1=5039c) Cortante mximo:
p2=14039
TENSIONES COMPUESTAS
21
Ing. Civil MATERIALES II
RESISTENCIA DE LOS
mx =
mx = (-560--840)2/2+7002
x + y 2
+ J xy 2
2
tmax= 713.863 Kg/ cm2Tan2 c= (x- y)/2 xy Tan2 c= (-560--840)/2(700) 2 c=11.3099 (IIQ, IVQ)
17.88
c=539
40. Repetir el problema 39 utilizando el crculo de Mohr.
Datos: TENSIONES COMPUESTAS 22
Ing. Civil MATERIALES II x =-560 kg/cm2 y = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO C= x+ y) /2 C=-700 a = (x - y)/2 a=140 b= xy =700
RESISTENCIA DE LOSxy =700 kg/cm2
-RADIO R2=a2+b2 R=713.86
tt max=713.86kg/cm2qc R=713.86 2
s x,t xy700
2qp
s min=-1413.86
C=-700
O
s max=13.86
s
s y,t xyt max=-713.86kg/cm840
TENSIONES COMPUESTAS
23