MAT

Serie A: CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMATICA ISSN: 1515-4904

Propiedad de ACES DIRECTOR

D. A. TARZIA Departamento de Matemática – CONICET, FCE-UA, Paraguay 1950, S2000FZF ROSARIO, ARGENTINA.

Domingo.Tarzia@fce.austral.edu.ar COMITE EDITORIAL Y CIENTIFICO

L. A. CAFFARELLI Department of Mathematics, Univ. of Texas at Austin, RLM 8100 Austin, TEXAS 78712, USA.

caffarel@math.utexas.edu R. DURAN Departamento de Matemática, FCEyN, Univ. de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pab. 1, 1428 BUENOS AIRES, ARGENTINA. rduran@dm.uba.ar A. FASANO Dipartimento di Matematica “U. Dini”, Univ. di Firenze,

Viale Morgagni 67/A, 50134 FIRENZE, ITALIA. fasano@udini.math.unifi.it

J.L. MENALDI Department of Mathematics, Wayne State University, Detroit, MI 48202, USA.

jlm@math.wayne.edu M. PRIMICERIO Dipartimento di Matematica “U. Dini”, Univ. di Firenze,

Viale Morgagni 67/A, 50134 FIRENZE, ITALIA. primice@udini.math.unifi.it

M. C. TURNER FAMAF, Univ. Nac. de Córdoba, Ciudad Universitaria, 5000 CORDOBA, ARGENTINA. turner@mate.uncor.edu

R. WEDER Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas, Univ. Nac. Autónoma de México (UNAM) Apartado Postal 20-726, MEXICO, DF 010000.

weder@servidor.unam.mx N. WOLANSKI Departamento de Matemática, FCEyN, Univ. de Buenos Aires, Ciudad Universitaria, Pab. 1, 1428 BUENOS AIRES, ARGENTINA. wolanski@dm.uba.ar SECRETARIA DE REDACCION

G. GARGUICHEVICH Departamento de Matemática, FCE-UA, Paraguay 1950, S2000FZF ROSARIO, ARGENTINA.

Graciela.Garguichevich@fce.austral.edu.ar MAT es una publicación del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad Austral (FCE-UA) cuyo objetivo es contribuir a la difusión de conocimientos y resultados matemáticos. Se compone de dos series: • Serie A: CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMATICA. • Serie B: CURSOS Y SEMINARIOS PARA EDUCACION MATEMATICA. La Serie A contiene trabajos originales de investigación y/o recapitulación que presenten una exposición interesante y actualizada de algunos aspectos de la Matemática, además de cursos, conferencias, seminarios y congresos realizados en el Depto. de Matemática. El Director, los miembros del Comité Editorial y Científico y/o los árbitros que ellos designen serán los encargados de dictaminar sobre los merecimientos de los artículos que se publiquen. La Serie B se compone de cursos especialmente diseñados para profesores de Matemática de cada uno de los niveles de educación: E.G.B., Polimodal, Terciaria y Universitaria. Las publicaciones podrán ser consultadas en: www.austral.edu.ar/MAT

ISSN 1515-4904

MAT

SERIE A: CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMÁTICA

No. 10

SEGUNDAS JORNADAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES, OPTIMIZACIÓN Y ANÁLISIS NUMÉRICO

Domingo A. Tarzia – Cristina V. Turner (Eds.)

INDICE Marcos Gaudiano – Cristina Turner, “Difusión de un solvente en un polímero vidrioso con una condición de contorno del tipo creciente en el tiempo”, 1-9. Adriana C. Briozzo – María F. Natale – Domingo A. Tarzia, “A one-phase Lamé-Clapeyron-Stefan problem with nonlinear thermal coefficients”, 11-16. Eduardo A. Santillan Marcus - Domingo A. Tarzia, “Un caso de determinación de coeficientes térmicos desconocidos de un material semiinfinito poroso a través de un problema de desublimación con acoplamiento de temperatura y humedad”, 17-22.

Rosario, Diciembre 2005

Las Segundas Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y Análisis Numérico tuvieron lugar en la Facultad de Matemática, Física y Astronomía de la Universidad Nacional de Córdoba, en la ciudad de Córdoba, del 3 al 4 de Marzo de 2005. Fue realizado con el apoyo del Proyecto de Investigación Plurianual “Partial Differential Equations and Numerical Optimization with Applications” subsidiado por la Fundación Antorchas e integrado por los siguientes subproyectos:

• “Free Boundary Problems for the Heat-Diffusion Equation” (UA-UNR-UNRC-UNSa); • “Inverse and Control Problems in the Mathematical Modeling of Phase Transitions in Shape Memory Alloys”

(UNL); • “Geophysical Scale Stratified Flows and Hydraulic Jumps” (UNC-UBA-UNLPa); • “Optimization Applied to Mechanical Engineering Problems” (UNS-UNC-UNCo)

El Comité Organizador estuvo compuesto por: M.C. Maciel (Bahía Blanca), R.D. Spies (Santa Fe), D. A. Tarzia, (Rosario); C.V. Turner (Córdoba, Coordinador). La Secretaría Local estuvo compuesta por: Andrés Barrea, Marcos Gaudiano, Fernando Menzaque, Elvio A. Pilotta, Germán A. Torres. Las Jornadas estuvieron dirigidas a graduados, profesionales y estudiantes de Matemática, Física, Química, Ingeniería y ramas afines, con conocimientos básicos sobre ecuaciones diferenciales, análisis numérico y optimización. En MAT – Serie A, # 10 (2005) se publican tres de las conferencias y comunicaciones presentadas. Los manuscritos fueron recibidos y aceptados en diciembre de 2005.

CONFERENCIAS Y COMUNICACIONES DE LAS SEGUNDAS JORNADAS SOBRE ECUACIONES DIFERENCIALES, OPTIMIZACIÓN Y ANÁLISIS NUMÉRICO

Jueves 3 de marzo de 2005 • Fernando Menzaque (Córdoba), “Estabilidad no lineal de flujos de dos capas”. • Marcos Gaudiano (UNC, Córdoba) “Condición convectiva en la difusión de un solvente en un polímero vidrioso”. • Juan P. Agnelli (Córdoba), “Reconstrucción de atractores extraños (y no tanto)”. • Karina Temperini (Santa Fe), “Regularización de operadores mal condicionados”. • Andrés Barrea (Córdoba), “Métodos matemáticos para el crecimiento de tumores”. • Domingo A. Tarzia.(Rosario), “Solución de un problema de Stefan para una ecuación no-clásica del calor con

condición de temperatura en el borde fijo mediante ecuaciones integrales”. • Germán A. Torres (Córdoba), “A meteorological pre-processor for a chemical transport model”. • Luis T. Villa (Salta), “Consideraciones sobre la absorción del aceite en la primera etapa del freido de papa por

inmersión”. • Claudia Gariboldi (Río Cuarto), “Convergencia débil de soluciones en problemas penalizados de control óptimo

distribuido”. • María F. Natale (Rosario), “Solución exacta a un problema de Stefan a una fase con coeficientes térmicos no

lineales”. • Jorge Blengino (Río Cuarto), “Formulación débil de un modelo de toma de agua. Elección del software

adecuado”. • Juan C. Reginato (Río Cuarto), “Estudio del efecto de reciclado en la toma de radionúclidos por raíces de

cultivos”. Viernes 4 de marzo de 2005: • Ma. Cristina Maciel (Bahía Blanca), “Métodos de bajo costo computacional para problemas de optimización no

lineal irrestrictos”. • Susana Orofino (Bahía Blanca), “Método de gradiente espectral en espacios de Hilbert, parte II”. • Adriana B. Verdiell (Bahía Blanca), “Una técnica heurística para la optimización de estructuras”. • Graciela N. Sottosanto (Neuquén), “Modelos de optimización aplicados a problemas de diseño estructural”. • Elvio A. Pilotta (Córdoba), “Validación de un algoritmo de filtros para programación no lineal usando Hard-

Spheres problem”. • Pablo Jacovkis (Buenos Aires), “El laboratorio del matemático aplicado”. • María G. Eberle (Bahía Blanca), “Región de confianza en espacios matriciales, parte II”. • Flavia E. Buffo (Bahía Blanca), “Simulación de la dinámica de un sistema de cuerpos en contacto vía

complementaridad no lineal instantánea”. • Javier Quinteros (Buenos Aires), “Efectos de la erosión en el levantamiento de los Andes: un modelo matemático”. • Alejandro Otero (Buenos Aires), “Simulación del comportamiento estructural de nuevos generadores eólicos”.

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[L(f)f 0(«)]0 + 2«N(f)f 0(«) = 0 ; 0 < « < «0 +<,

f(0) = � +43,

f(«0) = 0 +44,

f 0(«0) = Á2«0¨040l

k(Tm)(Tb Á Tm) ; +45,

zkhuh N(T ) =4(T )c(T )

40c0; L(T ) =

k(T )

k0dqg k0; 40; c0 dqg ¨0 =

k040c0

duh wkh uhihuhqfh

wkhupdo frqgxfwlylw|/ ghqvlw| ri pdvv/ vshfl�f khdw dqg wkhupdo gl�xvlylw| uhvshfwlyho|1Zh kdyh wkdw wkh sureohp (9) Á (��) lv htxlydohqw wr wkh iroorzlqj qrqolqhdu lqwhjudohtxdwlrq ri Yrowhuud w|sh=

f(«) = �Á © [«; L(f); N(f)]

© [«0; L(f); N(f)]+46,

zkhuh © lv jlyhq e|

© [«; L(f); N(f)] :=2pZ

Z «

0

�

L(f)(t)E(t; f) dt +47,

Eulr}}r0Qdwdoh0Wdu}ld/ %Vwhidq sureohp111% PDW0Vhulh D/ 43 +5338,/ 44049 46

zlwk

E(x; f) := exp

µÁ2Z x

0

N(f(s))

L(f(s))s ds

¦+48,

Wkh frqglwlrq (�2) ehfrphv

E(«0; f)

© [«0; L(f); N(f)]=

«0lpZ

c0(Tb Á Tm) +49,

dqg wkhq wkh iroorzlqj wkhruhp krogv1

Wkhruhp 4 Wkh vroxwlrq ri wkh iuhh erxqgdu| sureohp (�) Á (5) lv jlyhq e| (8) dqgT (x; t) = Tm + (Tb Á Tm) f («) ; zlwk « = x=2

p¨0t zkhuh wkh ixqfwlrq f = f(«) dqg

wkh frh!flhqw «0 > 0 pxvw vdwlvi| wkh qrqolqhdu lqwhjudo htxdwlrq (�3) dqg wkh frqglwlrq(�6) uhvshfwlyho|1´

Iluvw/ lq rughu wr suryh wkh h{lvwhqfh ri wkh vroxwlrq ri wkh v|vwhp (�3) dqg (�6) zhzloo rewdlq vrph suholplqdu| uhvxowv1 Wkhq zh vkdoo suryh wkdw wkh lqwhjudo htxdwlrq (�3)kdv d xqltxh vroxwlrq iru dq| jlyhq «0 > 0 e| xvlqj d �{hg srlqw wkhruhp1 Vhfrqgo|/ lqrughu wr vroyh wkh sureohp (�)Á (5) zh zloo frqvlghu Ht1 (�6)1

Iru frqyhqlhqfh ri qrwdwlrq/ zh zloo qrwh © [«; f ] « © [«; L(f); N(f)] :Zh vxssrvh wkdw wkhuh h{lvwv Nm; NM ; Lm; LM srvlwlyh frqvwdqwv vxfk dv

Lm á L(T ) á LM ; Nm á N(T ) á NM : +4:,

Zh frqvlghu C0 [0; «0]/ wkh vsdfh ri frqwlqxrxv uhdo ixqfwlrqv gh�qhg rq [0; «0] ; zlwklwv qrup kfk = max

«2[0;«0]jf («)j1

Ixuwkhupruh/ zh dvvxph wkdw wkh glphqvlrqohvv wkhupdo frqgxfwlylw| dqg vshfl�f khdwduh Olsvfklw} ixqfwlrqv/ l1h1/ wkhuh h{lvwv eL dqg eN duh srvlwlyh frqvwdqwv vxfk wkdw

jL(g)Á L(h)j á eL kg Á hk ; 8g; h 2 C0 ÁR+0 ¢ \ L1 ÁR+0 ¢ +4;,

jN(g)ÁN(h)j á eN kg Á hk ; 8g; h 2 C0 ÁR+0 ¢ \ L1 ÁR+0 ¢ : +4<,

Wkhq zh jhw=

Ohppd 5 Zh kdyh

d,

exp

µÁNMLm

x2¦á E(x; f) á exp

µÁNmLM

x2¦; 8x > 0: +53,

e, Iru 0 < « < «0

�LM

qLmNMerf

µqNMLm

«

¦á © [«; f ] á �

Lm

qLMNmerf�q

NmLM

««: +54,

Eulr}}r0Qdwdoh0Wdu}ld/ %Vwhidq sureohp111% PDW0Vhulh D/ 43 +5338,/ 44049 47

Ohppd 6 d, Ohw «0 eh d jlyhq srvlwlyh uhdo qxpehu1 Zh vxssrvh wkdw wkh glphqvlrqohvvwkhupdo frqgxfwlylw| dqg vshfl�f khdw yhuli| frqglwlrqv (�7)/ (�8) dqg (�9) : Wkhq/ iru doof; fÛ 2 C0 [0; «0] zh kdyh

jE [«; f ]Á E [«; f Û]j á «2

Lm

Ì eN + NM eLLm

!kfÛ Á fk ; 8« 2 (0; «0) : +55,

e, Ohw «0 eh d jlyhq srvlwlyh uhdo qxpehu1 Zh vxssrvh wkdw (�7)/ (�8) dqg (�9) krogv1 Irudoo f; f Û 2 C0 [0; «0] ; 0 < « < «0 zh kdyh

j© [«; f ]Á © [«; f Û]j á 2pZ

�� eN + NM eLLm

««2

3+ eL« «

L2mkf Û Á fk : +56,

Wkhruhp 7 Ohw «0 eh d jlyhq srvlwlyh uhdo qxpehu1 Zh vxssrvh wkdw (�7) ; (�8) dqg(�9) krogv1 Li «0 vdwlv�hv gh iroorzlqj lqhtxdolw|

ø(«0) :=4pNmZ

«0L5=2M NM erf

�qNmLM«0

«L4m erf

2�q

NMLm«0

«ÌÌ eN + NM eL

Lm

!«203+ eL

!< � +57,

wkhq wkhuh h{lvw d xqltxh vroxwlrq f 2 C0 [0; «0] ri wkh lqwhjudo htxdwlrq (�3)1Surri1 Ohw W : C0[0; «0] Á! C0[0; «0] eh wkh rshudwru gh�qhg e|

W (f)(«) = �Á © [«; L(f)]

© [«0; L(f)]; f 2 C0[0; «0]: +58,

Wkh vroxwlrq ri wkh htxdwlrq (�3) lv wkh �{hg srlqw ri wkh rshudwru W / wkdw lv

W (f(«)) = f(«) ; 0 < « < «0 +59,

Ohw f; f Û 2 C0[0; «0] eh; wkhq zh rewdlq

kW (f)ÁW (f Û)k =Max«2[0;«0]

jW (f(«))ÁW (f Û(«))j

áMax«2[0;«0]

øøøø© [«; f Û] © [«0; f ]Á © [«0; fÛ] © [«; f ]© [«0; f ] © [«0; fÛ]

øøøøá A Max

«2[0;«0]j© [«; f Û] © [«0; f ]Á © [«0; fÛ] © [«; f ]j á

á A Max«2[0;«0]

(j© [«; f Û]j j© [«0; f ]Á © [«0; f Û]j+ j© [«0; fÛ]j j© [«; f Û]Á © [«; f ]j)zkhuh

A =NML

2M

Lm erf2�q

NMLm«0

« > 0 +5:,

Ilqdoo|/ iru Ohppdv 5/ 6 dqg wdnlqj lqwr dffrxqw wkdw 0 < « < «0 / zh kdyh

kW (f)ÁW (fÛ)k á ø («0) kf Û Á fk :Wkhq W lv d frqwudfwlrq rshudwru dqg wkhuhiruh wkhuh h{lvwv d xqltxh vroxwlrq ri wkh

lqwhjudo Ht1(�3) li wkh frqglwlrq (24) lv vdwlv�hg1´

Eulr}}r0Qdwdoh0Wdu}ld/ %Vwhidq sureohp111% PDW0Vhulh D/ 43 +5338,/ 44049 48

Uhpdun 4 Wkh vroxwlrq f ri wkh lqwhjudo htxdwlrq (�3) ; jlyhq e| wkh Wkhruhp 7/ ghshqgvrq wkh uhdo qxpehu «0 > 0: Iru frqyhqlhqfh lq wkh qrwdwlrq iurp qrz rq zh wdnh

f(«) = f«0(«) = f(«0; «) ; 0 < « < «0 ; «0 > 0:´ +5;,

Ohw l eh wkh vhw gh�qhg e|

l =©«0 2 R+=ø («0) < �

»=

=©«0 2 R+=wkhuh h{lvwv d vroxwlrq ri Ht1 (�3)

»1

Ohppd 8 Li2L2M eLL3m

< � +5<,

wkhuh h{lvwv d srvlwlyh qxpehu «Û0 vxfk wkdw

ø(«0) < � li 0 < «0 < «Û0 ; ø(«0) ü � li «0 ü «Û0:

Surri1 Zh kdyh ø(0) =2L2M eLL3m

; ø(+1) = +1 dqg ø 0(«0) > 0 8«0 > 0: Wkhq

l = (0; «Û0) zkhuh ø(«Û0) = �:´

Wr suryh wkh h{lvwhqfh ri wkh vroxwlrq ri wkh Ht1(�6) ; zh gh�qh wkh uhdo ixqfwlrq

H(x) :=E(x; f)

© [x; f ]; x > 0 +63,

zkhuh f lv wkh vroxwlrq ri Ht1(�3) jlyhq e| Wkhruhp 71

Wkhruhp 9 Wkh Ht1(�6) kdv dw ohdvw rqh vroxwlrq «0: Pruhryhu/ li x0 lv wkh xqltxhvroxwlrq ri htxdwlrq

H�(x) =xlpZ

c0(Tb Á Tm) ; x > 0; +64,

dqg x0 < «Û0 wkhq «0 2 l zlwk «0 < x0; zkhuh uhdo ixqfwlrq H� lv gh�qhg e|

H�(x) :=LMpNM exp

�ÁNmLM

x2«

pLm erf

�qNMLm

x« ; x > 0 +65,

Surri1 Zh kdyh

Ht1 (�6)() H(x) =xlpZ

c0(Tb Á Tm) ; x > 0:

Wkhuhiruh/ wkhuh h{lvw dw ohdvw rqh vroxwlrq «0 > 0 ri Ht1(�6) ehfdxvh H(x) á H�(x) dqgH(0+) = +1; H(+1) = 0 dqg wkhq «0 < x01 ´

Uhpdun 5 Wkh vroxwlrq x0 ri Ht1(3�) fdq eh h{suhvvhg dv iroorzv

x0 :=MÁ�µLMpNMc0(Tb Á Tm)lpZLm

¦+66,

Eulr}}r0Qdwdoh0Wdu}ld/ %Vwhidq sureohp111% PDW0Vhulh D/ 43 +5338,/ 44049 49

zkhuh

M(x) := x erf

ÌrNMLm

x

!exp

µNm

LMx2¦

+67,

lv dq lqfuhdvlqj uhdo ixqfwlrq1 Wkhq zh kdyh

ø(x0) < �() ø

µMÁ�

µLMpNMc0(Tb Á Tm)lpZLm

¦¦< �:´

Dqg vr zh kdyh wkh iroorzlqj Wkhruhp

Wkhruhp : +l, Li N dqg L yhuli| rqo| wkh frqglwlrqv (�7) ; (�8) ; (�9) ; (29) dqg ø(x0) < �zkhuh x0 lv gh�qhg e| (33) wkhq wkhuh h{lvwv dw ohdvw rqh vroxwlrq ri wkh sureohp (�)Á (5)zkhuh wkh iuhh erxqgdu| s(t) lv jlyhq e| (8) dqg wkh whpshudwxuh lv jlyhq e| T (x; t) =Tm + (Tb Á Tm)f(«); zlwk « = x=2

p¨0t zkhuh f lv wkh xqltxh vroxwlrq ri wkh lqwhjudo

htxdwlrq (�3) dqg «0 lv jlyhq e| Wkhruhp 431+ll, Li N dqg L yhuli| rqo| wkh frqglwlrqv (�7) ; (�8) ; (�9) dqg (29) wkhq wkhuh h{lvwv

dw ohdvw rqh vroxwlrq ri wkh sureohp (�)Á (5) iru doo odwhqw khdw ri ixvlrq l > l0 iru jlyhqrwkhuv sdudphwhuv zkhuh l0 lv jlyhq e|

l0 :=LMpNMc0(Tb Á Tm)pZLmM («Û0)

zkhuh «Û0 > 0 lv fkdudfwhul}hg e| wkh frqglwlrq ø («Û0) = �:´

Dpruh frpsohwh yhuvlrq ri wkhvh uhvxowv dqg wkh fruuhvsrqglqj vwxg| iru wkh dqdorjrxvsureohp zlwk d khdw x{ frqglwlrq rq wkh �{hg idfh x = 0 lqvwhdg ri wkh whpshudwxuhfrqglwlrq (2) zloo eh jlyhq lq d iruwkfrplqj sdshu1

DfnqrzohgjphqwvWklv sdshu kdv ehhq sduwldoo| vsrqvruhg e| wkh surmhfwv SLS Qo2000=2000 iurp

FRQLFHW0XD/ Urvdulr +Dujhqwlqd,/ Surmhfw Qo 53900=4 iurp Ixqgdflöq Dqwrufkdv +Du0jhqwlqd,/ DQSF\W SLFW &03Á ���65 iurp Djhqfld +Dujhqwlqd, dqg �Irqgr gh D|xgdd od lqyhvwljdflöq� iurp Xqlyhuvlgdg Dxvwudo +Dujhqwlqd,1

Uhihuhqfhv

^4` M1 U1 Fdqqrq/ Wkh rqh0glphqvlrqdo khdw htxdwlrq/ Dgglvrq0Zhvoh|/ Phqor Sdun+4<;7,1

^5` M1 Fudqn/ Iuhh dqg prylqj erxqgdu| sureohpv/ Foduhqgrq/ R{irug +4<;7,1

^6` V1 F1 Jxswd/ Wkh fodvvlfdo Vwhidq sureohp1 Edvlfv frqfhswv/ prghoolqj dqg dqdo|vlv/Hovhylhu/ Dpvwhugdp +5336,1

^7` G1 D1 Wdu}ld/ D eleolrjudsk| rq prylqj 0 iuhh erxqgdu| sureohpv iru wkh khdw0gl�xvlrqhtxdwlrq1 Wkh Vwhidq dqg uhodwhg sureohpv/ PDW0Vhulh D &5 +5333, +zlwk 8;9< wlwohvrq wkh vxemhfw/ 633 sdjhv,1 Vhh zzz1dxvwudo1hgx1du2PDW0VhulhD25+5333,

^8` J1 D1 Wluvnll/ Wzr h{dfw vroxwlrqv ri Vwhidq*v qrqolqhdu sureohp/ Vrylhw Sk|vlfv Grn0odg|/ 7+4<8<,/ 5;;0<51

Un caso de determinación de coe�cientes térmicosdesconocidos de un material semiin�nito poroso através de un problema de desublimación conacoplamiento de temperatura y humedad. �

Eduardo A. SANTILLAN MARCUS (1) - Domingo A. TARZIA (1)(2)

(1)Depto de Matemática, F.C.E.,Universidad Austral,Paraguay 1950, S2000FZF Rosario, ARGENTINA

(2) CONICET, ARGENTINAE-mail: Eduardo.Santillan@fce.austral.edu.ar;

Domingo.Tarzia@fce.austral.edu.ar

Resumen

Se considera un modelo de �ujo de calor y humedad a través de un semiespacio porosodurante congelamiento, con sobrecondición de temperatura y de �ujo de calor en el borde�jo para la determinación de un coe�ciente desconocido del material semi-in�nito decambio de fase. Se trata de un problema de frontera libre con acoplamiento de las funcionestemperatura y concentración (ecuaciones de tipo Luikov) con ocho parámetros. Para unode los casos de determinación posibles, se hallan condiciones necesarias y su�cientes parala existencia de una solución y las fórmulas correspondientes para las temperaturas yconcentraciones de ambas fases, la frontera libre y el coe�ciente desconocido.

1. Introducción.Los problemas de transferencia de calor y masa con cambio de fase que se llevan a

cabo en un medio poroso, tales como evaporación, condensación, congelamiento, derre-timiento, sublimación y desublimación, tienen una gran aplicación en procesos de se-paración, tecnología de alimentos, migración de calor en terrenos y suelos, etc. Debidoa que este tipo de problemas es no lineal, el resolverlos usualmente tiene di�cultadesmatemáticas. Sólo se han encontrado unas pocas soluciones exactas para casos ideales(ver [1],[2],[3],[4],[6],[7],[14] por ejemplo). Una extensa bibliografía sobre problemas defrontera libre y móvil para la ecuación de calor-difusión está dada en [15].

La formulación matemática de la transferencia de calor y masa en cuerpos de capilaresporosos fue establecida por Luikov ([8],[9],). Mikhailov [10] presentó dos modelos difer-entes para resolver el problema de la evaporación de humedad líquida desde un medioporoso. Para el problema del congelamiento (desublimación) de un semiespacio poroso

�MAT - Serie A, 10 (2005), 17-22.

17

Santillan Marcus-Tarzia, "Coe�cientes térmicos..." MAT-Serie A, 10 (2005), 17-22 18

húmedo, Mikhailov también presentó una solución exacta [11] para una condición de tem-peratura constante en el borde �jo x = 0: En el trabajo [12] fue presentada una soluciónexplícita para las distribuciones de temperatura y humedad en un semiespacio poroso conuna condición de �ujo de calor en el borde �jo x = 0 del tipo q0p

t.

Ahora se considerará el modelo presentado en [11]-[12] con una sobrecondición en elborde �jo para hallar condiciones necesarias y su�cientes sobre los datos para la determi-nación de un coe�ciente desconocido siguiendo la idea de [16] para una fase y de [5] parados fases.

Se considera el �ujo de calor y humedad a través de un semiespacio poroso durante elcongelamiento. La posición del frente de cambio de fase al tiempo t está dada por x = s (t)que divide al cuerpo poroso en dos regiones. En la región congelada, 0 < x < s (t), no haymovimiento de humedad y la distribución de temperatura está descripta por la ecuacióndel calor

@T1@t(x; t) = a1

@2T1@x2

(x; t) ; 0 < x < s (t) ; t > 0; a1 =k1�c1: (1)

La región s (t) < x < +1 es la parte húmeda del cuerpo de capilares porosos en donde�uyen acoplados el calor y la humedad. El proceso está descripto por el ya conocidosistema de Luikov [9] para el caso " = 0 (" es el factor de conversión de fase de líquido envapor) dado por

@T2@t(x; t) = a2

@2T2@x2

(x; t) ; x > s (t) ; t > 0; a2 =k2�c2

(2)

@u

@t(x; t) = am

@2u

@x2(x; t) ; x > s (t) ; t > 0: (3)

Las distribuciones iniciales de temperatura y humedad son uniformes�T2 (x; 0) = T2 (+1; t) = t0;u (x; 0) = u (+1; t) = u0:

(4)

Se supone que sobre la super�cie del semiespacio el �ujo de calor depende del tiempode la siguiente manera, como en [13]

k1@T1@x

(0; t) =q0pt

(5)

donde q0 > 0 es un coe�ciente que caracteriza el �ujo de calor en el borde �jo x = 0.Sobre el frente de congelamiento, existe una igualdad entre las temperaturas

T1 (s (t) ; t) = T2 (s (t) ; t) = tv; t > 0; (6)

donde tv < t0:El balance de calor y humedad en el frente de congelamiento da lo siguiente

k1@T1@x

(s (t) ; t)� k2@T2@x

(s (t) ; t) = � r u (s (t) ; t)ds

dt(t) ; t > 0; (7)

@u

@x(s (t) ; t) + �

@T2@x

(s (t) ; t) = 0; t > 0: (8)

Santillan Marcus-Tarzia, "Coe�cientes térmicos..." MAT-Serie A, 10 (2005), 17-22 19

Se considera además una sobre condición en el borde �jo x = 0 dada por

T1 (0; t) = ts (9)

donde ts < tv:Se tratará de hallar fórmulas para la determinación de un coe�ciente térmico des-

conocido elegido entre � (densidad de masa); am (difusividad de la humedad); c1 (calorespecí�co de la región congelada); c2 (calor especí�co de la región húmeda); k1 (conduc-tividad térmica de la región congelada); k2 (conductividad térmica de la región húmeda);� (coe�ciente de gradiente térmico); r (calor latente) junto a la frontera libre s(t); lastemperaturas T1; T2 y la humedad u:Siguiendo [12], se tiene que

T1 (x; t) = tv �p�a1q0k1

�� erf

�x

2pa1t

�+ erf

��

pa12

��; 0 < x < s(t); t > 0 (10)

T2 (x; t) = tv +t0 � tv1� erf(�)

�erf

�x

2pa2t

�� erf(�)

�; x > s(t); t > 0 (11)

u (x; t) = u0 � ��c2am(t0�tv)k2�1� �amc2

k2

��erf�

x2pa2t

��

exp��

k2�amc2

�1��2�

q�amc2k2

�1� erf

�x

2pamt

���;(12)

x > s(t); t > 0

s (t) = 2�pa2t: (13)

donde el parámetro � (que caracteriza la frontera libre) y el coe�ciente térmico des-conocido deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones trascendentales:

p�q0p

k2c2� (t0 � tv)exp

��k2c1k1c2

�2�� F1 (�) = (14)

=

p�r u0

c2 (t0 � tv)�

241� � (t0 � tv)u0

�k2

am�c2� 1�0@1� Q

� pk2�pam�c2

�Q (�)

1A35erf

�

rk2c1k1c2

!=tv � tsq0

r�k1c1�

: (15)

donde

F1 (x) =exp (�x2)erfc(x)

; Q (x) =p�x exp

�x2�erfc(x):

De los ocho casos posibles en la presente comunicación sólo se considerará el caso de ladeterminación de f�; �g.Primero se tiene el siguiente lema:

Lema 1: Se tiene que

E (x) =m2 � 11� Q(mx)

Q(x)

< 0; 8x > 0; 8m > 0; m 6= 1:

Santillan Marcus-Tarzia, "Coe�cientes térmicos..." MAT-Serie A, 10 (2005), 17-22 20

Demostración: La función Q tiene las siguientes propiedades

Q (0) = 0; Q (+1) = 1; Q0 (x) > 0 8x > 0:

Entonces si se considera que m > 1, entonces se tiene que m2 � 1 > 0 y Q (mx)Q (x)

> 1,

con lo que surge E (x) < 0.

Si en cambio se contempla el caso 0 < m < 1, surge que m2 � 1 < 0 y Q (mx)Q (x)

< 1,

con lo que también resulta E (x) < 0.�

Entonces se tiene el siguiente resultado para la determinación del caso f�; �g:

Teorema 2: Si

max

0BBB@(tv � ts)

r�k1c1�

q0 erf

�rk2c1k1c2

��� ; (t0 � tv)

q0

r�k2c2�

1CCCA < 1; (16)

donde �� > 0 es la única solución de la ecuación

g1 (x) = g2 (x) ; x > 0 (17)

con 8>><>>:g1 (x) = F1 (x) +

u0rp�

c2 (t0 � tv)x;

g2 (x) =q0

t0 � tv

r�

�k2c2e� k2c1k1c2

x2;

(18)

entonces 9!� > 0, � > 0 dados por las expresiones

� =

rk1c2k2c1

erf�1

tv � tsq0

r�k1c1�

!(19)

� =u0

t0 � tv

k2�amc2

� 1

1�Q

��

rk2

�amc2

�Q (�)

�1� c2 (t0 � tv)

�ru0p�

�q0

t0 � tv

r�

�k2c2e��2k2c1

k1c2 � F1 (�)��

:

(20)

Demostración: Considerando que de (16) se tiene

tv � tsq0

r�k1c1�

< 1 (21)

surge trivialmente que existe un único � > 0 solución de la ecuación (15) en la forma(19). Luego, sustituyendo � en (14) y despejando � se obtiene (20). Resta aún mostrarque � > 0.

Santillan Marcus-Tarzia, "Coe�cientes térmicos..." MAT-Serie A, 10 (2005), 17-22 21

Primero se observa que gracias al Lema 1, para tener � > 0 basta imponer que

1� c2 (t0 � tv)�ru0

p�

�q0

t0 � tv

r�

�k2c2e��2k2c1

k1c2 � F1 (�)�< 0

es decir que

F1 (�) +ru0p�

c2 (t0 � tv)� <

q0t0 � tv

r�

�k2c2e��2k2c1

k1c2

lo que de acuerdo a las de�niciones (18) se puede escribir como

g1 (�) < g2 (�) : (22)

Como las funciones g1 y g2 tienen las siguientes características:

g1�0+�= 1; g1 (+1) = +1; g01 (x) > 0; 8x > 0:

g2�0+�=

q0t0 � tv

r�

�k2c2; g2 (+1) = 0; g02 (x) < 0; 8x > 0:

se puede concluir que cuando

q0t0 � tv

r�

�k2c2> 1; (23)

existirá un único �� > 0 tal que g1 (��) = g2 (�

�). Entonces surge que (22) es válidacuando

0 < � < ��: (24)

Para �nalizar se observa que las hipótesis necesarias (21), (23) y (24) se pueden resumirde la manera siguiente: Como la función erf es creciente, (24) es equivalente a

erf

rk2c1k1c2

�

!< erf

rk2c1k1c2

��

!;

y entonces (21) y (24) se pueden resumir en

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etapa de preparación.

Santillan Marcus-Tarzia, "Coe�cientes térmicos..." MAT-Serie A, 10 (2005), 17-22 22

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MAT

INDICE GENERAL Serie A: CONFERENCIAS, SEMINARIOS Y TRABAJOS DE MATEMÁTICA ISSN 1515-4904 # 1 (2000): E.Mascolo – F.Siepe, “Functionals of the Calculus of Variations with non standard growth conditions”. # 2 (2000): D.A.Tarzia, “A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat-Diffusion Equation. The Stefan and Related Problems”. # 3 (2001): D.A.Tarzia (Ed.), “VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones”, Primera Parte:

• Ma. Cristina Sanziel, “Conditions to obtain a waiting time for a discrete two-phase Stefan problem”, 1-6.

• Ariel L. Lombardi – Domingo A. Tarzia, “On similarity solutions for thawing processes”, 7-12.

• Ricardo Weder, “Direct and inverse scattering for the nonlinear Schrödinger equation with a potential”, 13-20.

• Domingo A. Tarzia, “Stefan problem for a non-classical heat equation”, 21-26. • Pedro Morin – Rubén D. Spies, “A quasilinearization approach for parameter

identification in nonlinear abstract Cauchy problems”, 27-41. # 4 (2001): D.A.Tarzia (Ed.), “VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones”, Segunda Parte:

• Omar Gil, “El problema de Hele-Shaw como un problema límite para la ecuación de los medios porosos”, 1-10.

• Juan C. Reginato – Domingo A. Tarzia, “Estimations of nutrient uptakes by roots of crops through a moving boundary model”, 11-16.

• Oscar D. Quiroga – Luis T. Villa – Fernando Suarez, “Problemas de frontera libre en procesos de transferencia de materia y energía con reacción química”, 17-22.

• Edgardo A. Spiazzi – Rodolfo H. Mascheroni, “Modelo de deshidratación osmótica de alimentos vegetales”, 23-32.

• Eduardo A. Santillan Marcus – Domingo A. Tarzia, “Exact solutions for phase change processes in humid porous half spaces”, 33-38.

# 5 (2001): D.A.Tarzia (Ed.), “VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones”, Tercera Parte:

• Adriana C. Briozzo – Domingo A. Tarzia, “On a two-phase Stefan problem with nonlinear thermal coefficients”, 1-10.

• Germán Torres – Cristina V. Turner, “Métodos de diferencias finitas para un problema de Bingham unidimensional”, 11-26.

• Analía Gastón – Gustavo Sánchez Sarmiento – Horacio Reggiardo, “Un problemas de frontera libre: Fusión de una vaina de acero dentro de una cuchara de acería”, 27-32.

• Ma. Fernanda Natale – Domingo A. Tarzia, “An exact solution for a one-phase Stefan problem with nonlinear thermal coefficient”, 33-36.

• Claudia Lederman – Juan L. Vazquez – Noemí Wolanski, “Uniqueness of solution to a free boundary problem from combustion with transport”, 37-41.

# 6 (2002): F.Talamucci, “Some Problems Concerning with Mass and Heat Transfer in a Multi-Component System”. # 7 (2004): D.A.Tarzia (Ed.), “Primeras Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y Análisis Numérico”, Primera Parte:

• Adriana B. Verdiell – María C. Maciel – Susana L. Orofino – Tatiana I. Gibelli, “A survey of the spectral gradient method”, 1-14.

• María F. Natale – Domingo A. Tarzia, “An integral equation in order to solve a one-phase Stefan problem with nonlinear thermal conductivity”, 15-24.

• María C. Sanziel – Domingo A. Tarzia, “Optimization on the heat flux in a mixed elliptic problem with temperature constraints”, 25-30.

• Claudia M. Gariboldi – Domingo A. Tarzia, “A new proof of the convergence of distributed optimal controls on the internal energy in mixed elliptic problems”, 31-42.

# 8 (2004): D.A.Tarzia (Ed.), “Primeras Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y Análisis Numérico”, Segunda Parte:

• Rubén D. Spies, “Differentiability of the solutions of a semilinear abstract Cauchy problem with respect to parameters”, 1-10.

• Adriana C. Briozzo – María F. Natale – Domingo A. Tarzia, “An explicit solution for a two-phase Stefan problem with a similarity exponencial heat sources”, 11-19.

• Domingo A. Tarzia, “An explicit solution for a two-phase unidimensional Stefan problem with a convective boundary condition at the fixed face”, 21-27.

# 9 (2005): M. Amar – R. Gianni,“A Brief Survey on Homogenization with a Physical Application”. # 10 (2005): D.A.Tarzia – C.V. Turner (Eds.), “Segundas Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y Análisis Numérico”:

• Marcos Gaudiano – Cristina Turner, “Difusión de un solvente en un polímero vidrioso con una condición de contorno del tipo creciente en el tiempo”, 1-9.

• Adriana C. Briozzo – María F. Natale – Domingo A. Tarzia, “A one-phase Lamé-Clapeyron-Stefan problem with nonlinear thermal coefficients”, 11-16.

• Eduardo A. Santillan Marcus - Domingo A. Tarzia, “Un caso de determinación de coeficientes térmicos desconocidos de un material semiinfinito poroso a través de un problema de desublimación con acoplamiento de temperatura y humedad”, 17-22.

Serie B: CURSOS Y SEMINARIOS PARA EDUCACIÓN MATEMÁTICA ISSN 1515-4912 # 1 (2000): D.A.Tarzia, “Cómo pensar, entender, razonar, demostrar y crear en Matemática”. # 2 (2003): D.A.Tarzia, “Matemática: Operaciones numéricas y geometría del plano”

INFORMACION PARA LOS AUTORES Los trabajos han de estar escritos en español o inglés. Excepcionalmente el Director y el Comité Editorial podrán admitir trabajos escritos en otros idiomas ampliamente utilizados. Deberá presentarse el texto mecanografiado o elaborado mediante un procesador de textos, con caracteres de 12 puntos, en un rectángulo de 16cm×24cm y en una sola cara del papel. Trabajos escritos en LATEX o en MS-WORD serán bienvenidos y en ese caso el autor deberá adjuntar un diskette con los archivos correspondientes, o bien enviarlos por correo electrónico. En cada trabajo deberá constar, en la primera página, a partir de la quinta línea, el título en letras mayúsculas y sin punto final, el nombre del o de los autores, su identificación institucional y su correspondiente dirección postal y electrónica. Se acompañará un resumen que no exceda las 200 palabras en español y otro en inglés, añadiendo en ambos las palabras claves. También se solicita la inclusión de la corresponiente AMS-Mathematics Subject Classification. Las tablas y gráficos deberán insertarse en el texto y estar numeradas en forma correlativa. Las referencias bibliográficas se compondrán sólo de los trabajos mencionados en el texto y se incluirán al final, por orden alfabético de autores y en orden cronológico, si existieran varios trabajos del mismo autor; cada una precedida por el correspondiente número de orden, entre corchetes. Las citas en el texto se efectuarán según los siguientes modelos: [1]; Caffarelli & Vazquez [1]; Caffarelli & Vazquez (1995, [1]). Y en la referencia final: [1] CAFFARELLI L. A. & VAZQUEZ J.L., A free-boundary problem for the heat equation arising inflame propagation, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), pp. 411-441. [2] FASANO A. & PRIMICERIO M., Blow-up and regularization for the Hele-Shaw problem, in Variational and free boundary problems, Friedman A. & Spruck J. (Eds.), IMA Math. Appl. Vol. 53, Springer Verlag, New York (1993), pp. 73-85. [3] RODRIGUES J. F., Obstacle problems in mathematical physics, North-Holland Mathematics Studies N. 134, North-Holland, Amsterdam (1987). Al final de la última página deberán dejarse al menos 2 líneas en blanco para incluir los datos de recepción.

INTERCAMBIOS Departamento de Matemática – Biblioteca, Servicio de Canje

Facultad de Ciencias Empresariales -Universidad Austral Paraguay 1950, S2000FZF ROSARIO, ARGENTINA

NUMEROS APARECIDOS Serie A: • #1 (2000): E.Mascolo – F.Siepe, “Functionals of the Calculus of Variations with non standard growth conditions”. • #2 (2000): D.A.Tarzia, “A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat-Diffusion Equation.

The Stefan and Related Problems”. • # 3(2001): D.A.Tarzia (Ed.), “VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones”, Primera Parte. • #4(2001): D.A.Tarzia (Ed.), “VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones”, Segunda Parte. • #5(2001): D.A.Tarzia (Ed.), “VI Seminario sobre Problemas de Frontera Libre y sus Aplicaciones”, Tercera Parte. • #6(2002): F.Talamucci,“Some Problems Concerning with Mass and Heat Transfer in a Multi-Component System”. • #7(2004): D.A.Tarzia (Ed.), “Primeras Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y Análisis

Numérico”, Primera Parte. • #8(2004): D.A.Tarzia (Ed.), “Primeras Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y Análisis

Numérico”, Segunda Parte. • #9(2005): M.Amar – R.Gianni, “A brief survey on homogenization with a physical application”. • #10(2005): D.A.Tarzia – C.V. Turner (Eds.), “Segundas Jornadas sobre Ecuaciones Diferenciales, Optimización y

Análisis Numérico”. Serie B: • #1(2000): D.A.Tarzia, “Cómo pensar, entender, razonar, demostrar y crear en Matemática”. • #2(2003): D.A.Tarzia, “Matemática: Operaciones numéricas y geometría del plano”.