Höhere Mechanik/ Nichtlineare FEM
Beispiel: Simulation eines Crash-Tests
• Grosse Verformungen
• Bleibende Verformungen (kein Zurückfedern nach Entlastung)
1HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Kapitel KW Vorbereitung Termin Nachbereitung Labor Termin
K1. Einführung 11-12V1: Lineare FEM:Fachwerke 29.3.2010 Ü1: s. Lektion
K2. Nichtlineare FEM: Fachwerke 13+15 V2: Tensoranalysis 6.4.2010
Ü2: Zugversuch (Matlab) L0: ANSYS Intro 1.4.2010
K3. Kinematik großer Verformungen 16-18 V3: Tensoralgebra 19.4.2010 Ü3: Kinematik L1: Linear/ nonlinear beams 15.4.2010
K4: Spannungen und Gleichgewicht 20-22V4: Spannungen und Verzerrungen 10.5.2010 Ü4:
L2: Tensile test: elastic/large deformation 29.4.2010
L3: Tensile Test: elastic-
Plan
2HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
K5: Nichtlineare Elastizität 22-23 V5: Lineare Elastizität 25.5.2010 Ü5: L3: Tensile Test: elastic-plastic 27.5.2010
K6: Elastisch-Plastische Deformation 25-26 V6: Plastizität 15.6.2010 Ü6:
L4: Hyperelastic material: rubber cube 10.6.2010
K7: Materielle Systeme (Euler, Lagrange, ALE) L5: Contact 24.6.2010
Gastvorlesungen:
KW 19: Dr. Mesecke-Rischmann (Autoliv): FE-Simulation im geometrisch und physikalisch nichtlinearem Bereich
KW 24: Dr. Rabkin (Vibracoustic): FE-Simulation von Elastomerbauteilen mit hyperelastischen Materialmodellen
Nichtlineare Mechanik/ FEM / Materialtheorie:
• J. Bonet, R.D. Wood, Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis, Cambridge 2008
• G.A. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics, J. Wiley 2000
• H. Parisch, Festkörper-Kontinuums-Mechanik, Teubner Verlag Stuttgart 2003
• K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden, 2. Auflage, Springer Verlag 2002
• T. Belytschko, W.K. Liu, B. Moran, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, J. Wiley 2000
• P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Verlag 2002
Literatur
3HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• J. Rösler, H. Harders, M. Bäker, Mechanisches Verhalten der Werkstoffe, Vieweg 2003
• R. Kreißig, Einführung in die Plastizitätslehre, Fachbuchverlag Leipzig 1992
• Ansys, Theory Reference
Lineare Mechanik (Festigkeit, Elastizitätslehre):
• Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4, Springer-Verlag
• Becker, W., Gross, D., Mechanik elastischer Körper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002
Lektion 1: Einführung in nichtlineare Berechnungen
Inhalt/ Lernziele:
• Spezifik nichtlinearer mechanischer Phänomene und Modelle• Typen der Nichtlinearität• Dehnungs- und Spannungsmaße bei großer Verformung (1-D)• Iterative Bestimmung des Gleichgewichts • Beispiele und Aufgaben
4HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Lineare und nichtlineare Mechanik
Eine mechanische Konstruktion verhält sich unter statischer Belastung linear, wenn eine Veränderung der Belastung um Faktor a eine entsprechende Veränderung der Verschiebungen um denselben Faktor a bewirkt. Andernfalls verhält sich die Konstruktion nichtlinear.
F
2 oF
linear
nichtlinear
5HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
u
o
oF
ou 2 ou
nichtlinear
Lineare und nichtlineare FE-Modelle
Das lineare Verhalten von Bauteilen wird beschrieben durch:
• lineare Differentialgleichungen
(kontinuierlich = für alle x)• lineare algebraische Gleichungen (diskret = in ausgewählten Punkten)
Das nichtlineare Verhalten von Bauteilen wird beschrieben durch nichtlineare mathematische Modelle. Für die numerische Lösung werden diese Modelle „linearisiert“, d.h. die Berechnung wird in mehrere lineare Lösungsschritte unterteilt.
∆f
6HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Ku = f T ∆ ≈ ∆K u f
∆u
∆f
const.≡KSteifigkeitsmatrix ( )=T ∇K K uTangenten-Steifigkeitsmatrix
Typen nichtlinearer Modelle
Mechanische Modelle der Form Ku=f werden in drei Schritten hergeleitet:
• Gleichgewicht (zwischen inneren und äußeren Kräften: Prinzip der virtuellen Arbeit)
• Materialgesetz
• Kinematik
Ein Modell heißt:
• physikalisch nichtlinear : nichtlineares Materialgesetz
F
u
σσ εε
↔↔↔
7HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• geometrisch nichtlinear: nichtlineare Kinematik
Darüber hinaus führen Kontaktprobleme auf nichtlineare Berechnungsmodelle, selbst wenn sich die einzelnen Bauteile geometrisch und physikalisch linear verhalten.
δ
u
F
F
uu=δBeispiel aus: P. Wriggers, Nichtlineare FEM, Springer Berlin 2001
bzw.
Wiederholung: Lineare statische Berechnung mit FEM
Ku = f
0= − =r f Ku• f - gegebene äußeren Kräfte, bezogen auf die (Freiheitsgrade in den) Knoten des FE-Modells
• u - Verschiebungen an den Knoten
• K - Steifigkeitsmatrix.
• r - Residuum
8HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Herleitung der Steifigkeitsmatrix:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
m
m T m m m
m V
dV=∑ ∫K B C B
Kinematik + Interpolation
Materialgesetz( ) ( ) ( )
( ) ( )
m m m
m m
σ εε
==
C
B u
( ) ( ):V A
dV F u dAσ δε δ=∫ ∫
( ) ( )( )
( ): :m
m
mV V
dV dVσ δε σ δε=∑∫ ∫
AN BN
Au Bu
l
,E A
Beispiel 1.1: Element-Steifigkeitsmatrix eines Stabelements (lineares Modell)
( ) A A B B
V
dV N u N uσδε δ δ= +∫Gleichgewicht:
9HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
elK
Materialgesetz:
Kinematik:
1 1
1 1
T T
A A A A
B B B B
u u u NEA
u u u Nl
δ δδ δ
− = −
Eσ ε=
du
dxε =
LINEAR
Beispiel 1.2. Biegebalken bei Laststeigerung (1/2)
1. Kleine Verformungen
F
w
• Längsverschiebung u << w Durchsenkung � Vernachlässigung u gegenüber w =
unverformte neutrale Faser
• Material elastisch ( = Spannungen proportional zu Dehnungen)
• Modell: Bernoulli-Gleichung (Technische Mechanik Grundkurs)
F
w
10HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
( )( )( )( )( )
0
2
0 0
' 0
0 0
IV
III
II
EIw x
EIw l F
EIw
w l
w
=
= −
=
=
=
( ) 3
6F EIk
w l l= =
F
k
( )w l
l
F
Biegebalken bei Laststeigerung (2/2)
L dX=unverzerrte Länge
2. Große Verformungen
• Längsverschiebung u darf nicht mehr vernachlässigt werden � Dehnung der neutralen Faser
� nichtlineare Kinematik = geometrische Nichtlinearität.
11HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Mittellinie, unverformt
Mittellinie, verformt
L dX=w w dw+
dwl dx=verzerrte Länge
unverzerrte Länge
22 2
22 :G
l L dw
L dXε − = =
Green‘sche Dehnung
Dehnungsmaße für große Verformungen (1-D)
l
L2 2
22 :G
l L
Lε −=• Green‘sche Dehnung:
• Hencky‘sche (logarithmische) Dehnung: : lnl l
H
L L
dl ld
l Lε ε = = =
∫ ∫
2d dε λ ε=lλ =
12HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• Zusammenhang:2
G Hd dε λ ε=l
Lλ = Streckung
• Kleine Verschiebungen: Dehnung = inkrementelle Dehnung bezogen auf unverformte Länge
1, G Hd dλ ε ε ε= = =
� Für kleine Verschiebungen sind beide Dehnungen identisch mit den „engineering strains“
),,,,,,(2
1
),,,(2
1
),,,(2
1
222
222
yxyxyxxy
yyyy
xxxx
wwvvuuy
u
x
v
wvuy
v
wvux
u
+++∂∂+
∂∂=
+++∂∂=
+++∂∂=
γ
ε
ε
Theorie: Dehnungen bei großen Verschiebungen
Nichtlineare Kinematik Bei großen Verformungen müssen die nichtlinearen Anteile der Verschiebungen an den Dehnungen einbezogen werden.
Diesen Effekt nennt man geometrische
Nichtlinearität.
Finite Elemente für lineare Statik und Dynamik beinhalten nur die linearen Anteile.
13HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
y
u
x
v
y
vx
u
xy
y
x
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
γ
ε
ε
Lineare Kinematik (Dehnung-Verformung)
Annahme: kleine Verschiebungen
21, ,
2x x xu wε = +Balken, große Durchbiegung:
Biege-Normalspannungen nach Bernoulli Normalspannungen entsprechend Dehnung der neutralen Faser
Theorie: Lineare und nichtlineare Differential-Gleichungen
2
2
4
4 ),(),(
t
txWA
x
txWEI
∂∂=
∂∂ ρ
• Lineare DGL (Schwingung eines Balkens)
Koeffizienten hängen nicht von unbekannter Funktion ab
Ableitungen der Funktion kommen nur in 1. Potenz vor
Konstruktionen bestehen i.a. aus kontinuierlichen Bauteilen: Balken (1-D), Schalen (2-D), Massivteile (3-D).
Grundlage der Berechnung sind Differentialgleichungen (DGL). Die Unbekannten in den DGL sind Funktionen (z.B. Verschiebungen), die kontinuierlich von den Ortsvariablen abhängen. Mit diesen Gleichungen kann die Bewegung an jedem Punkt der Bauteile berechnet werden.
14HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• Nichtlinearen DGL : eine oder beide obige Charakteristika sind nicht erfüllt. Beispiel: Dehnungen bei großen Verschiebungen
Mit der FEM werden kontinuierlicher Bauteile wiederum diskretisiert, d.h. die Bewegung wird nur noch an einzelnen Punkten (Knoten des FE-Modells) berechnet. Die linearen DGL werden dabei überführt in lineare algebraische Gleichungssysteme. Für nichtlineare DGL wird die Lösung in einzelne Schritte unterteilt. Innerhalb eines jeden Schritts wird ein genähertes lineares Modell erstellt und gelöst.
),,,,,,(2
1
),,,(2
1
),,,(2
1
222
222
yxyxyxxy
yyyy
xxxx
wwvvuuy
u
x
v
wvuy
v
wvux
u
+++∂∂+
∂∂=
+++∂∂=
+++∂∂=
γ
ε
ε
{ }, ,u v w=u
F
w
Spannungsversteifung (Stress Stiffening)
Beobachtung: Durchsenkung bei nichtlinearer Rechnung ist kleiner als bei linearer Rechnung – warum?
Erklärung: neutrale Faser wird gezogen � Normalspannung σ.
Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) � z-Komponente von σ wirkt der äußeren
= spezieller Effekt der geometrischen Nichtlinearität bei Biegung (Balken, Platten, …)
15HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
F
σ σ
Theorie: Gleichgewicht am verformten Balken (Theorie 2. Ordnung!) � z-Komponente von σ wirkt der äußeren Last entgegen:
Große Verschiebungen � Umverteilung der Spannungen
� Lastaufnahme höher als nach linearer Rechnung vorhe rgesagt.
Spannungsmaße für großen Verformungen (1-D)
lL
:T
aσ =• Cauchy:
T
T
A
a
Tl
Lλ =
• Kirchhoff: : Jτ σ=
16HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• Kleine Verschiebungen:
• 1. Piola-Kirchhoff: 1:T
P JA
σ λ −= =
• 2. Piola-Kirchhoff: 2:S Jσλ −=
Lλ =
:v al
JV AL
= =
Volumenquotient
1Jλ = = � Cauchy Spannungen identisch mit „engineering stresses“
Beispiel 1.2: Dehnungen und Spannungen im Zugstab
T
An einem Stab mit Kreisquerschnitt greift die Zugkraft T an. Der Stab wird aus der Ausgangslänge L auf die Länge l gedehnt. Das Material ist linear-elastisch und isotrop, d.h. für die inkrementellen Zuwächse der Dehnung gilt
r ld dε ν ε= −
ldε
1 2J νλ −=
17HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
T a) Zeigen Sie die Beziehung
b) Wie groß ist der Radius r des verformten Querschnitts?
c) Berechnen Sie die Green‘sche und Hencky‘sche Dehnung.
d) Berechnen Sie die Cauchy, 1. und 2. Piola-Kirchhoff sowie die Kirchhoff-Spannung.
1 2J νλ −=
Geg : 1m, 1.4m, 4cm, =0.3, 200kNL l R Tν= = = =
3. Lokale Plastifizierung
FF
w
Biegebalkens bei Laststeigerung/ Fortsetzung
18HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• Längsverschiebung u ~ w darf nicht mehr vernachlässigt werden � nichtlineare Kinematik = geometrische
Nichtlinearität (Stress Stiffening)
• Elastisch-Plastisches Materialverhalten, d.h. großer Dehnungszuwachs bei geringer Spannungssteigerung, bleibende Verformungen nach Entlastung = nichtlineares Spannungs-Dehnungsdiagramm = physikalische
Nichtlinearität
F
w
Physikalische Nichtlinearität (nichtelastisches Material)
σσσσ
εεεε
Fließgrenze
Elastisch:
εσ E=
19HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
εεεε
Fliessen
Verfestigung
( )fσ ε ε= ɺɺ
Elastisch-Plastisch:
20HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
1. geometrisch und physikalisch linear
2. geometrisch nichtlinear
F
w
F
w
F
Biegebalkens bei Laststeigerung/ Zusammenfassung
21HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
3. geometrisch und physikalisch nichtlinearw
F
w
Praktische Konsequenz bei linearer Festigkeits-Berechnung
Das Bauteil verhält sich unter realer Beanspruchung:
F F
geometrisch nichtlinear geometrisch und physikalisch nichtlinear
22HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
w w
Messung/ nichtlineare Berechnung
lineare Rechnung mit gleicher Last
Berechnete Durchbiegungen sind zu groß:
� Tragfähigkeit nicht voll ausgenutzt.
� Vergleichspannung fehlerhaft.
Berechnete Durchbiegungen sind zu klein.
� Tragfähigkeit wird überschätzt!
Zusammenfassung (1/3): Lineare und nichtlineare Berechnung mit FEM
F
Linear
F
1nF +oF
( )K u
Nichtlinear
23HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
uou
const.K ≡
u1nu +
1
Geg:
Ges:
Lsg:
o
o
o o
F
u
u F−=
K
1
1
11 1
Geg: ,
Ges:
Lsg:
n n
n
n T n
F u
u
u F
+
+
−+ +∆ = ∆
K
nu
( )T nK u
Steifigkeitsmatrix Tangenten-Steifigkeitsmatrix
( )11 1 n n T n nu u F F−
+ +⇒ ≈ + −K
Linear Nichtlinear
Gleichgewicht
an unverformtem Volumen an verformtem Volumen
Material
Hooke‘sches Gesetz Elastisch, Hyper-Elastisch, Elastisch-Plastisch, …
( ) ( ):V A
dV F u dAσ δε δ=∫ ∫ ( ) ( ):v a
dV F u dAσ δε δ=∫ ∫
ij ijkl klCσ ε=( )( )
σ = σ ε
σ = σ εɺ ɺ ɺi i i
Zusammenfassung (2/3): Modellbildung
24HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Kinematik
• „engineering strains“•Green-Almansi Dehnungen
• logarithmische Dehnungen
L l L
L Lε ∆ −= =
2 2
22 G
l L
Lε −=
l
L
L
dl
lε = ∫
( )σ = σ εɺ ɺ ɺi i
Typ der Berechnung Typische Formulierung Spannungs-/ Verzerrungsmaß
Nur materiell nichtlinear Nichlineares Materialgesetz Grundkurs Technische Mechanik „engineering“ stresses/ strains
Große Verschiebungen , große Rotationen, kleine Verzerrungen
Total Lagrangian (TL)
Updated Lagrangian (UL)
2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor, Green‘scher Verzerrungstensor
Cauchy‘scher Spannungstensor, Almansi‘scher Verzerrungstensor
Große Verschiebungen , Total Lagrangian (TL) 2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor,
Tabelle 1: (nach K.J. Bathe)
Zusammenfassung (3/3): Klassifikation nichtlinearer Berechnungen
25HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Große Verschiebungen , große Rotationen, große Verzerrungen
Total Lagrangian (TL)
Updated Lagrangian (UL)
2. Piola-Kirchhoff‘scher Spannungstensor, Green‘scher Verzerrungstensor
Cauchy‘scher Spannungstensor, Logarithmischer Verzerrungstensor
Weitere Berechnungstypen:
• Kontakt,
• Fluid-Struktur-Interaktion
Formulierungen: Eulerian, Arbitrary Lagrange-Eulerian (ALE)
Anhang: Beispiele, Illustrationen, Aufgaben
B1.3: System mit großen Rotationen und Verschiebungen
Illustration: Klassifikation nichtlinearer Berechnungen
B1.6: Kontakt
B1.4: Durchschlagsproblem
B1.5: Zugstab elastisch-plastisch
Illustration: Inkrementelle Vorgehensweise bei nichtlinearer Berechnung
Aufgaben
Illustration: Steifigkeitsmatrix des Bernoulli-Balkens bei großen Verformungen
26HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Illustration: Steifigkeitsmatrix des Bernoulli-Balkens bei großen Verformungen
Aufgaben (Vorkenntnisse)
Beispiel 1.3: System mit großen Rotationen und Verschiebungen
(aus: Gross, Hauger, Schnell, Aufgaben zur TM)
27HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
• Lineares Materialverhalten (Drehfeder); Verformung an Stab vernachlässigt.
• Große Rotationen � nichtlineare Bewegungsgleichung
• Kleine Schwingungen um die Gleichgewichtslage � lineare Schwingungsgleichung
Am Massenpunkt treten auch große Verschiebungen auf:
sin
(1 cos )
w l
u l
ϕϕ
== − −
,x u
,z w
ϕ
Illustration: Klassifikation nichtlinearer Berechnungen (Bathe Bild 6.1)
a) linear-elastisch
b) Nur materiell nichtlinear
c) Große Verschiebungen und Rotationen, kleine Verzerrungen
d) Große Verschiebungen und Rotationen, große Verzerrungen und nichtlineares Materialverhalten
28HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Beispiel 1.4: Durchschlagsproblem
0ϕ
L
RDie skizzierte Konstruktion aus zwei gelenkig verbundenen und gelagerten Stäben wird durch eine transversale Kraft am Zwischengelenk belastet. Ein seitliches Ausknicken der Konstruktion wird verhindert.
Es ist die Verschiebung am Last-Angriffspunkt in Abhängigkeit von der Last R zu berechnen. Dabei wird langsame Last-Steigerung angenommen und das Eigengewicht der Stäbe vernachlässigt. Für die Stabkraft gilt d. lineare Materialgesetz
in dem k eine elastische Konstante und δ die Verlängerung des Stabs bezeichnen.
F kδ=
8
10x 10-3 Snap-through problem for slab
Kra
ft
Lösung:
29HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-4
-2
0
2
4
6
u/L
R/2
kL
Durchsenkung in Richtung der Kraft
Kra
ft
u=0:0.002:0.6;s15=sin(15/180*pi);r=( -1 + 1./sqrt(1-2*u*s15+u.^2) ).*(s15-u);plot(u,r,'linewidth',3)grid on; fs=18;title('Snap-through problem for slab','fontsize',fs)xlabel('u/L','fontsize',fs); ylabel('R/2kL','fontsize',fs);set(gca, 'fontsize', fs)
Beispiel 1.5: Zug-Druckstab, elastisch/ plastisch (Bathe Beispiel 6.1)
Ein beidseitig eingespannter Zug-Druck-Stab wird wie skizziert a) durch eine Kraft R belastet. Der zeitliche Verlauf der Belastung ist in c) skizziert. Das Materialverhalten ist elastisch-plastisch, s. Skizze b).
Es ist der zeitliche Verlauf der Verschiebung am Last-Angriffspunkt zu
30HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Es ist der zeitliche Verlauf der Verschiebung am Last-Angriffspunkt zu berechnen.
Beispiel 1.6: Kontakt (Bathe Beispiel 6.2)
Ein vorgespanntes Seil nimmt in der Mitte zwischen den Lagern eine transversale Last auf. Unter dem Seil befindet sich in Abstand wgap eine Feder.
Es ist die Verschiebung am Last-Angriffspunkt in Abhängigkeit von der Last R zu berechnen. Dabei wird langsame Last-Steigerung angenommen.
31HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Gegeben:
• äußere Lasten:
• FE-Modell (Knotenschnittkräfte)
( ) tt= =F F F
( )t tu=T T
0t t− =F TGesucht:
• Verschiebungen so daß zu jedem Zeitpunkt t. t u
t
( )R t
Lösung: i.a. inkrementell, d.h. in mehreren Zeitschritten( )R t t△
Illustration: Inkrementelle Vorgehensweise bei nich tlinearer Berechnung
32HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Lösung: i.a. inkrementell, d.h. in mehreren Zeitschritten
ttu t tu+△
Ausgehend von bereits berechnetem mit
(1)
und gegebenem wird gesucht so dass für
(2)
( )t t tu=T T
0t t− =F Tt t+ F△
0t t t t+ +∆− =F T△
t t+ u△ ( )t t t tu+∆ +∆=T T
Rechnungen innerhalb des Lastinkrements
t t t
t
+ = +=
T T T
T K u
△△
△ △
Es wird ein linearer Zusammenhang zwischen Lastzuwachs und Verschiebungszuwachs angenommen:
Die Tangentensteifigkeitsmatrix wird jeweils aus den Ergebnissen des vorherigen Lastschritts errechnet t
tt
∂=∂
TK
u
(3)
(4)
(5)
Linearisierung!
33HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
∂ u
Aus (1) — (5) folgt die Berechnungsvorschrift:
t t t t
t t t
+
+
= = −= +
K u F F F
u u u
△
△
△ △
△(6)
Wegen der Linearisierung (4) kann man nicht davon ausgehen, dass mit den Verschiebungen (6) berechneten Knotenkräfte
die wesentliche Gleichgewichts-Bedingung (2) erfüllen.
( )t t t t+ +=T T u△ △
Effekt der Linearisierung
t=F K u△ △
tt
t
∂=∂
FK
u
Je nach Größe des gewählten Lastinkrements kann die Annahme (4) zur Verfälschung des Ergebnisses führen:
( )F u
t F
t t+ F△
34HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
( )u t
t K
berechnetu△ gesuchtu△
Im allgemeinen sind Iterationen innerhalb jedes Lastschrittes erforderlich, um (2) mit einer vorgegebenen Fehlertoleranz zu erfüllen!
Aufgaben
Aufgabe 1.1. Berechnen Sie die Durchbiegung in der Mitte des frei drehbar gelagerten Balkens (Folie 10)a) aus dem Randwertproblem (analytische Lösung)b) mit FEM (ein Element der Länge l) nach Bernoulli Theorie (schubstarr)c) mit FEM (ein Element der Länge l) nach Timoshenko Theorie (schubweich)
Warum sind die Ergebnisse aus a) und b) trotz grober Vernetzung identisch, aber verschieden von c)? Hinweis: Diskutieren Sie die jeweils verwendeten Formfunktionen.
3
Lösung c): 8
Fl Fw
EI GAκ= +
Aufgabe 1.2. Auf Folie 11 ist die Green Dehnung am Balken bei großer Verschiebung gegeben. a) Leiten Sie den Zusammenhang aus der Geometrie her.b) Der Deformationsgradient ist definiert als (einachsig) . 1x dx
F∂= =
35HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
Aufgabe 1.3. Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Hencky und Green Dehnungen (Folie 12)2
G Hd dε λ ε=
Aufgabe 1.4. Lösen Sie die Aufgabe aus Beispiel 1.3.
Hinweis: Momentensatz, Gleichgewicht wenn , Schwingung mit Ansatz
b) Der Deformationsgradient ist definiert als (einachsig) .
Wie lautet der Zusammenhang zwischen Deformationsgradient und Green-Dehnung?
111
1
FX dX
= =∂
( )211 11
1Lösung c): E 1
2G E F= = − ( )1Allgemein (3-D):
2T −E = F F I
3 3 1 3 3,
2T
gc mgl
lω
π π
= = +
0ϕ =ɺɺ 0ϕ ϕ ψ= +
Vorkenntnisse 1
Frischen Sie Ihre Kenntnisse zur Lösung nichtlinearer Gleichungen mit Newton- bzw. Newton-Raphson Verfahren auf!
Zu empfehlen sind Darstellungen mit Beispiel-Programmen, z.B. meine Suche in Google mit „Newton-Raphson matlab“
http://numericalmethods.eng.usf.edu/mtl/gen/03nle/index.html
http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/loadFile.do?objectId=4313&objectType=file
f(x)
36HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
f(xi)
f(xi+1)
xi+2 xi+1 xi X
θ
( )[ ]ii xfx ,
Vorkenntnisse 2
Grundbeziehungen für Spannungen und Dehnungen in elastischen Körpern. Wichtigste Beziehungen:
( )0
, 0
1, ,
2
ij j i
ij j i
ij ij ij
ij ji i j j i
f
n t
s
u u
e
σσσ σ δ
ε ε
ε ε δ
+ =
=
= +
= = +
= +
• Gleichgewicht am Volumselement
• Gleichgewicht an der Oberfläche
• Zerlegung des Spannungstensors in hydrostatischen und deviatorischen Anteil
• Verzerrungstensor
• Zerlegung des Verzerrungstensors
37HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
0ij ij ij
ij ijkl kl
e
E
ε ε δσ ε
= +
=
• Gross, Hauger, Schnell, Technische Mechanik 2, Technische Mechanik 4
• Becker, Gross, Mechanik elastischer Körper und Strukturen, Springer Verlag Berlin 2002
Literatur:
• Zerlegung des Verzerrungstensors
• Elastisches Materialgesetz
Vorkenntnisse 3: FEM für kleine Verschiebungen, elastisches Material
Regel 1: Mittels FEM werden Systemvariable (z.B. Verschiebungen) an ausgewählten Punkten (Knoten) eines Berechnungsgebietes (z.B. einer mechanischen Struktur) numerisch bestimmt. Zur Herleitung der dazu benötigten Gleichungen wird das Gebiet in finite Elemente unterteilt. Durch numerische Auswertung von mechanischen Beziehungen innerhalb der Elemente werden die relevanten Eigenschaften der Systeme (z.B. Steifigkeit, Masse) in den Knoten konzentriert.
Beispiel: Man berechne die Verschiebungen in einer abgesetzten Welle unter Zug.
1l 2l 3l
F
38HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
1EA 2EA 3EA
Lösung (elementar):
x
( )u x
11
1
F lu
E A= 1 2
21 2
l lu F
E A E A
= +
1 2 33
1 2 3
l l lu F
E A E A E A
= + +
2u1u 3u 4uR
F(1) (2) (3)
(1)1F (1)
2F (2)2F (2)
3F (3)3F (3)
4F
Assemblierung der Element-Steifigkeitsmatrizen
(1)1 0R F− = (1) (2)
2 2 0F F− − = (2) (3)3 3 0F F− − = (3)
4 0F F− + =
• Knoten: Gleichgewicht von inneren und äußeren Kräften
39HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
( )34 3
3
EAu u F
l− =
( )
( )
(1) 11 1 2
1
(1) 12 2 1
1
EAF u u
l
EAF u u
l
= −
= −
• Elemente: Ersetzen der inneren Kräfte durch Verschiebungen
( )
( )
(2) 22 2 3
2
(2) 23 3 2
2
EAF u u
l
EAF u u
l
= −
= −
( )
( )
(3) 33 3 4
3
(3) 34 4 3
3
EAF u u
l
EAF u u
l
= −
= −
( )11 2
1
EAu u R
l− = ( ) ( )1 2
2 1 2 31 2
0EA EA
u u u ul l
− + − = ( ) ( )2 33 2 3 4
2 3
0EA EA
u u u ul l
− + − =
1u
• Knoten: Bestimmungsgleichungen für Verschiebungen
2u 3u4u
� �
1 11
1 1
1 1 2 22
1 1 2 2
3 32 23
2 2 3 3
3 34
3 3
0 0
0 0
0 0
0 0
EA EAu R
l l
EA EA EA EAu
l l l l
EA EAEA EAu
l l l l
EA EAu F
l l
− − + − =
− + − −
u�������������������
Assemblierung: Zusammenfassung der Knotengleichungen in Matrixform:
Knoten 1:
Knoten 2:
Knoten 3:
Knoten 4:
(4)
40HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
� �3 3 Fu
K�������������������
Ku = F
Steifigkeitsmatrix (Stiffness Matrix)
Regel: Für jeden Freiheitsgrad an jedem Knoten ergibt sich genau eine Gleichung der Form:
Linke Seite = Resultierende der inneren Kräfte … Rechte Seite = Resultierende der äußeren Kräfte …
… in Richtung des Freiheitsgrades Ku = T F= − =R F T 0
Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit großen Verschiebungen.
1u2u
1w2w
, ,E A L
( )V
dVσδε∫Materialgesetz: Eσ ε= LINEAR
vgl: Beispiel 1.1.
41HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
V
elK
Materialgesetz:
Kinematik:
( )1 1
1 12 1
2 2
2 2
1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0,
1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0
T
T
A
B
u u
u w wEA FF EA u u
u u uL L
w w
δδ δδ δ
δ
− − + = − −
−
Eσ ε=
( )21' '
2u wε = +
LINEAR
NICHTLINEAR
elGK
Illustration: Steifigkeitsmatrix eines Stabelements mit großen Verschiebungen (2/2)
The resultant strain is:
3.4.3. ImplementationThe stress-stiffness matrices are derived based on (3–35), but using the nonlinear strain-displacement relationships given in (3–58)
For a spar such as LINK8 the stress-stiffness matrix is given as:
Ansys Theory Reference, Chapter 3: Structures
42HAW/MP - Ihlenburg – Nichtlineare FEMEinführung
( )1 1
1 12 1
2 2
2 2
1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0,
1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0
T
T
A
B
u u
u w wEA FF EA u u
u u uL L
w w
δδ δδ δ
δ
− − + = − −
−
Chapter 3: Structureswith geometricnonlinearities