"Guide to the expression of Uncertainty in Measurement”
(GUM)
Norma IRAM 35050
"Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”
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MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata
Es un documento propuesto en 1980 por la autoridad internacional en
metrología, el Comité Internacional de Pesas y Medidas (CIPM), bajo la
denominación INC-1.
Se ha convertido en un procedimiento aceptado mundialmente para la
expresión de la incertidumbre de medición, de manera que mediciones
realizadas en diferentes países puedan compararse fácilmente. Se emplea para:- Comparaciones internacionales de patrones- Investigación y desarrollo- Calibraciones y mediciones en general- Certificación de materiales de referencia- Generación de normas de referencia
A esta guía se la conoce comúnmente como “GUM”
La norma IRAM 35050:2001 denominada “Estadística – Procedimientos
para la evaluación de la incertidumbre de la medición” es un documento
nacional que sigue la recomendación INC-1.
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Filosofía de la GUM:
Distingue claramente entre el concepto de error y el de incertidumbre.
Es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de la magnitud en
cuestión. Es un único valor. Puede ser positivo o negativo. Es un concepto teórico pues el valorverdadero nunca se conoce.
Error Incertidumbre
Es un parámetro que caracteriza la dispersión de los valores que pueden
atribuirse razonablemente a una magnitud determinada.
Nunca es negativa ni nula. Sumado o restado al valor medido defineun intervalo con cierta probabilidad decontener el valor verdadero. Refleja la falta de un conocimientocompleto del valor de una magnitud.
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Filosofía de la GUM:
En la práctica de la medición existen muchas posibles fuentes de
incertidumbre, entre ellas:
a) definición incompleta del mensurando.
b) realización imperfecta de la definición del mensurando.
c) muestra no representativa del mensurando.
d) conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre
la medición, o medición imperfecta de dichas condiciones ambientales.
e) lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del operador.
f) resolución finita del instrumento de medida.
g) valores inexactos de los patrones de medida o de los materiales de referencia.
h) valores inexactos de constantes y otros parámetros.
i) aproximaciones y suposiciones establecidas en el método y procedimiento de
medición.
j) variaciones en la repetición de las observaciones del mensurando bajo
condiciones aparentemente idénticas.
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Filosofía de la GUM:
La GUM considera un enfoque más “realista” que “pesimista”, es decir,
presenta un método que contrasta con otros enfoques más antiguos, en
los cuales se le daba a la incertidumbre un valor deliberadamente
grande.
Para la GUM todas las magnitudes son tratadas como variables
aleatorias.
Como todas las magnitudes son tratadas como variables aleatorias es
la desviación normal o típica (lo que denominamos “σ” en la clase
anterior) el parámetro que se usa como incertidumbre de esa variable
aleatoria, y la ley de propagación de la varianza la que entra en juego
como veremos enseguida.
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Sea un mensurando Y que se puede determinar a partir de otras N magnitudes
de entrada X1, X2….. XN a través de una relación funcional f:
𝑌 = 𝑓(𝑋1, 𝑋2, ……𝑋𝑁)
Cada magnitud de entrada X1, X2….. XN no se puede conocer con exactitud por
lo que cada una de ellas tendrá una incertidumbre asociada, es decir:
𝑋1 = 𝑥1 ± 𝑢(𝑥1) 𝑋2 = 𝑥2 ± 𝑢(𝑥2) 𝑋𝑁 = 𝑥𝑁 ± 𝑢(𝑥𝑁)
En general:
𝑋𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝑢(𝑥𝑖)
Desarrollo matemático de la GUM:
Donde:
""imagnitudladevalorX i
"")( imagnitudlademedidoestimadovalorxi
"")( imagnitudladeestimaciónlaenbreincertidumxu i
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Según la GUM, tanto el valor de la estimado de la variable xi como el de
u(xi), se obtienen a partir de una distribución de valores posibles,
porque para la GUM todas las variables de entrada tienen errores
aleatorios.
La distribución de probabilidad de la variable Xi puede estar basada en
frecuencias, es decir, “basadas en una serie de observaciones de Xi”
o puede ser una distribución que se supone “a priori” con base en la
experiencia del operador.
Esto da origen a dos métodos de evaluación de la incertidumbre u(xi): de
cada variable Xi: Evaluación Tipo A y Evaluación Tipo B.
Desarrollo matemático de la GUM:
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Formas de evaluar o
encontrar la incertidumbre u(xi) de cada magnitud de
entrada
en la GUM
Evaluación Tipo A
La incertidumbre u(xi) se determina mediante el análisis estadístico de una serie de
observaciones
Evaluación Tipo B
La incertidumbre u(xi) se determina mediante un procedimiento distinto al análisis
estadístico de una serie de observaciones, como por ejemplo:
a partir de datos de mediciones previas, experiencia, conocimiento del
comportamiento y las propiedades de los materiales e instrumentos, especificaciones de los fabricantes, datos obtenidos de certificados
o manuales, de libros, etc.
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Evaluación Tipo A de la incertidumbre u(xi):
Se utiliza cuando se han realizado “n” observaciones independientes
de una de las magnitudes de entrada Xi.
En este caso:
• El mejor estimador de Xi se considera que es la media aritmética
de las observaciones:
𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 =1
𝑛 𝑥𝑖𝑗
𝑛
𝑗 =1
• El mejor estimador de u(xi) se considera que es la desviación de
la media de la muestra:
𝑢(𝑥𝑖) = σ(𝑥 𝑖) ≅ 𝑆(𝑥 𝑖) = 𝑆(𝑥𝑖)
𝑛
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Evaluación Tipo A de la incertidumbre u(xi):
El número de observaciones “n” debe ser lo suficientemente grande
para que se pueda asegurar que es un buen estimador de Xi y que,
es un buen estimador de
• Si el número de observaciones “n” es pequeño (<10) y se asume
que la distribución de los valores xi es normal, se puede usar la
distribución de Student para mejorar la estimación. En ese caso:
𝑥𝑖 𝑆(𝑥𝑖)
𝑛
𝑢(𝑥𝑖) = σ(𝑥 𝑖) ≅ 𝑆(𝑥 𝑖) = 𝑡 𝑆(𝑥𝑖)
𝑛
σ(𝑥 𝑖)
Siendo:
t : Factor extraído de la tabla de valores de “t de Student” para una
probabilidad de 68,27% y grado de libertad “n-1”, que estima la dispersión
entre la media de una muestra y la media de un universo.
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
La incertidumbre u(xi) se evalúa aplicando un juicio científico basado
en toda la información disponible sobre la posible variabilidad de xi.
Se pueden presentar varios casos:
• Caso 1:
Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, un
certificado de calibración, de manual, o de otra fuente, y su
incertidumbre evaluada se indica como un múltiplo “k” de una
desviación estándar “σ”, simplemente hay que utilizar σ que se
puede encontrar desafectando el dato proporcionado por el k
utilizado:
k
adoproporciondatoxxu i )()( 1
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
• Caso 2:
Si la estimación xi se obtiene a partir de una especificación, un
certificado de calibración, de manual, o de otra fuente, y su
incertidumbre evaluada define un intervalo que posee una
probabilidad de cobertura del 90%, 95% o 99% por ejemplo, a
menos que se indique otra cosa, se puede suponer que ha
sido asumida una distribución normal y calcular con esa
probabilidad el valor σ.
calculadoixu )(
Desviación calculada a partir de una probabilidad que es dato (un área bajo la curva de Gauss o de
otra distribución que se informe).
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
• Caso 3:
Si sólo pueden estimarse los límites superior e inferior, “+a” y “-a”
para la magnitud Xi. (p.e. especificaciones del fabricante de un
instrumento de medición, intervalo de temperaturas, error de
redondeo o de truncamiento, etc), se puede asumir una
distribución rectangular. En ese caso:
3)()( 1
axxu i
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
¿De donde surge que σ = a / √3 para una distribución rectangular?
Partiendo de la varianza para “n” variantes que se calcula como:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =1
𝑛 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2
𝑛
𝑖=1
Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando
una distribución de probabilidades “f(v)” (una función continua) en
lugar de las “n” mediciones, quedando esta expresión:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑣 − 𝜇 2∞
−∞
𝑓 𝑣 𝑑𝑣
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
¿De donde surge que σ = a / √3 para una distribución rectangular?
Resolviendo para una distribución de probabilidades rectangular de
µ = 0 y ancho “a” se tiene:
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑎
3
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥 − 𝜇 2∞
−∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥21
2𝑎
𝑎
−𝑎
𝑑𝑥
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 1
2𝑎
𝑥2
3 −𝑎
𝑎
=1
2𝑎 𝑎3
3−
(−𝑎)3
3 =
𝑎2
3
EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES RECTANGULARES
El error límite de un instrumento se puede usar para calcular “uintrumento”:
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100
Alcanceclasemedidovalor
100
Alcanceclasemedidovalor
La resolución de un instrumento digital:
dígito1
El valor verdadero puede estar con igualprobabilidad en cualquier punto entre:
100
AlcanceclaseVmedido
Dos mediciones que difieran en menos de laresolución de un instrumento digital semostrarán iguales con la misma probabilidad.
3
100)(
Alcanceclase
u oinstrument
3
2
1
)(
dígitodeValor
u resolución 16
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
• Caso 4:
Si además del conocimiento de los límites superior e inferior hay
evidencia de que la probabilidad es más alta para valores en el
centro del intervalo y se reduce hacia los límites, puede ser más
adecuado basar la estimación de la incertidumbre típica en una
distribución triangular. En ese caso:
6)()( 1
axxu i
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Evaluación Tipo B de la incertidumbre u(xi):
¿De donde surge que σ = a / √6 para una distribución triangular?
Resolviendo para una distribución de probabilidades triangular de
µ = 0 y ancho “a” se tiene:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑎2
6
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑎
6
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥 − 𝜇 2∞
−∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥20
−𝑎
1
𝑎2 𝑥 +1
𝑎 𝑑𝑥+ 𝑥2𝑎
0 −
1
𝑎2 𝑥 +1
𝑎 𝑑𝑥
EJEMPLO DE DISTRIBUCION TRIANGULAR
La temperatura de un baño termostático
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En un baño termostático, que se utiliza para medir la densidad de un líquido, latemperatura puede tener variación a lo largo del ensayo.
Si se mide la temperatura antes y después de la medición de la densidad (resultandoTinicial y Tfinal), se puede suponer que en el momento de la medición de la densidad latemperatura fue de (Tinicial + Tfinal)/2 con una distribución triangular entre Tinicial y Tfinal.
Así, la temperatura del ensayo podría ser:
6
2)(
inicialfinal
T
TT
uensayo
2
finalinicial
ensayo
TTT
inicialT finalTensayoT
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Desarrollo matemático de la GUM:
Cálculo de la incertidumbre combinada:
𝑋1 = 𝑥1 ± 𝑢(𝑥1)
𝑌 = 𝑦 ± 𝑢𝑐(𝑦)
𝑋2 = 𝑥2 ± 𝑢(𝑥2)
𝑋𝑁 = 𝑥𝑁 ± 𝑢(𝑥𝑁)
Una vez calculada la incertidumbre u(xi) de cada estimación de las variables de
entrada xi, se debe calcular la incertidumbre del mensurando “y” denominada
“incertidumbre combinada”, que se simbolizada como “uc(y)”, para obtener:
)( ycuyY
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Desarrollo matemático de la GUM:
Cálculo de la incertidumbre combinada:
La incertidumbre combinada “uc(y)” representa la desviación estándar
del resultado de la medición.
La incertidumbre combinada se obtiene combinando las incertidumbres
obtenidas de las evaluaciones tipo A y las incertidumbres obtenidas de
las evaluaciones tipo B, utilizando la “Ley de propagación de la
incertidumbre”
Se pueden presentar en general dos casos posibles: que las magnitudes
de entrada xi no estén correlacionadas o en el peor de los casos que
estén correlacionadas.
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Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi
no están correlacionadas:
En este caso, la incertidumbre combinada se calcula con la ley de
propagación de la varianza para variables no correlacionadas, es decir:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋1
2
𝑢(𝑥1)2 + 𝜕𝑓
𝜕𝑋2
2
𝑢(𝑥2)2 + ⋯ + 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑁
2
𝑢(𝑥𝑁)2
𝑐𝑖 = 𝜕𝑓(𝑋1, 𝑋2 , ……𝑋𝑁)
𝜕𝑋𝑖 𝑋1=𝑥1 ,……𝑋𝑁 =𝑥𝑁
A las derivadas parciales GUM las denomina “coeficientes de sensibilidad”:
Esta expresión es la ley de propagación de la varianza o de la incertidumbre para
variables no correlacionadas ya vista en tratamiento estadístico (clase 4)
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 =
𝑁
𝑖=1
𝑐𝑖2 𝑢(𝑥𝑖)
2
𝑁
𝑖=1
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Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi
están correlacionadas:
En este caso, la incertidumbre combinada se calcula con la ley de
propagación de la varianza para variables correlacionadas, es decir:
En la práctica, es más fácil evaluar la covarianza mediante el
“coeficiente de correlación lineal”
),(
1
1 1
2
2
1
2 covarianza2)()()(jijii xxX
fN
i
N
ij
X
f
i
N
i
X
f
c xuyu
Esta expresión es la ley de propagación de la varianza o de la incertidumbre para
variables correlacionadas ya vista en tratamiento estadístico (clase 4)
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Cálculo de la incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi
están correlacionadas:
El coeficiente de correlación lineal “r” es un número que varía entre los límites+1 y -1 que indica el grado de correlación o asociación entre dos variables (Xi eXj por ejemplo). Se calcula como:
Puede existir correlación significativaentre dos magnitudes de entrada si seutiliza para su determinación el mismoinstrumento de medida, el mismopatrón o el mismo dato de referencia.
)()(
covarianza),(
),(
ji
xx
jixuxu
XXrji
n
k
jjk
n
k
iik
n
k
jjkiik
ji
XXn
XXn
XXXXn
XXr
1
2
1
2
1
)(1
1)(
1
1
))((1
1
),(
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Incertidumbre combinada si las magnitudes de entrada xi están
correlacionadas:
Entonces, la incertidumbre combinada escrita en función de “r” es:
• Las magnitudes de entrada Xi y Xj son independientes; por ejemplo, cuando se
han observado reiterada, pero no simultáneamente, en diferentes experimentos
independientes, o cuando representan magnitudes resultantes de diferentes
evaluaciones que se han realizado de forma independiente.
• Cualquiera de las magnitudes de entrada Xi y Xj puede tratarse como constante.
• No existe información suficiente para valorar la existencia de una
correlación entre las magnitudes de entrada Xi y Xk.
En la práctica no hay correlación entre las variables cuando:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 +
𝑁
𝑖=1
2 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑗
𝑢 𝑥𝑖 𝑢 𝑥𝑗 𝑟(𝑥𝑖 ,
𝑁
𝑗 =𝑖+1
𝑥𝑗 )
𝑁−1
𝑖=1
EJEMPLO 1:
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Para interpretar mejor lo presentado vamos a realizar algunos ejemplos:
Se mide la tensión con un voltímetro de las siguientes características:
• Alcance = 150 V
• Clase = 0,5
• Cantidad de divisiones = 150.
Calcular la incertidumbre combinada de cualquier medición según GUM.
Solución:
Para este caso, con los datos disponibles, la medición “Y” se vería afectada por
fuentes de incertidumbre: la que viene por el error del propio instrumento y la que
viene por error de lectura.
Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a una mala lectura26
En este caso es una medición directa por lo que puede pensarse como:
xmedidaTensiónY
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Incertidumbre debida al instrumento:
Como la evaluaremos a partir de la clase (no un estudio estadístico sino un datosuministrado por el fabricante) entonces será una evaluación tipo B según laGUM.
Al ser una evaluación tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer unadistribución de probabilidades para poder calcular una “u(instrumento)”.
Por lo visto, una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación, y entonces…:
100
Alcanceclasemedidovalor
100
Alcanceclasemedidovalor
3
100)(
Alcanceclase
u oinstrument
3)(
au oinstrument
V
V
u oinstrument 433,03
100
1505,0
)( 27
EJEMPLO 1: Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a una mala lectura
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Incertidumbre debida a la lectura del instrumento:
Como la evaluaremos a partir de una información extraída de la bibliografía (noun estudio estadístico) será otra evaluación tipo B según la GUM.
Al ser una evaluación tipo B hay que basarse en la experiencia para suponer unadistribución de probabilidades para poder calcular una “u(lectura)”.
También una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación, porque existe igual probabilidad de interpretar cualquier valor dentrode ±1/10 de división:
ECmedidovalor10
1 ECmedidovalor
10
1
3
10
1
)(MAX
lectura
Alcancediv
u
3)(
au lectura
Vdiv
Vdiv
u lectura 057,03
150
150
10
1
)(
28
Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a una mala lectura
EJEMPLO 1:
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Calculamos la incertidumbre combinada:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 =
𝑁
𝑖=1
𝑐𝑖2 𝑢(𝑥𝑖)
2
𝑁
𝑖=1
u𝑐(𝑉) = 𝑢(𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 )2 + 𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 )
2
u𝑐 𝑉 = 0,436 𝑉 29
EJEMPLO 1:
Como no hay información para evaluar una correlación entre las fuentes deerror calculamos la incertidumbre combinada como:
Donde los coeficientes de sensibilidad “ci” son iguales a 1, es decir:
En este caso la relación que vincula las variables de entrada con el mensurandoes directa, es decir: xY
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Si se desea una mayor probabilidad de la que implica uc(y), lo que se
hace es expandir el intervalo de incertidumbre por un factor “k” llamado
factor de cobertura. El resultado se llama incertidumbre expandida “U”:
𝑈 = 𝑘 u𝑐 𝑦
Con lo que finalmente, la medición siguiendo la GUM
o la norma IRAM 35050 queda:
𝑦 ± 𝑈
Típicamente, k toma valores entre 2 y 3, y se basa en la probabilidad o nivel de confianza que se le quiere dar al intervalo: 𝑦 − 𝑈 ≤ 𝑌 ≤ 𝑦 + 𝑈
Desarrollo matemático de la GUM:
Cálculo de la incertidumbre expandida “U”:
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Elección del factor de cobertura “k”:
El factor de cobertura “k” se elige dependiendo del grado de confianza
que se le quiere dar al resultado y de la distribución de probabilidades que
tenga el mensurando “Y”.
Resulta muy complejo saber exactamente cual es la distribución de “Y”,
por lo que se usan distintos criterios para estimarla, y de esa manera
elegir k:
• Criterio 1:
Cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribuciónTipo A con pocos grados de libertad (pocas muestras), se recomienda que ksea igual al valor de “t” de la distribución de “t de Student”, para el númerode grados de libertad de la contribución dominante y para el nivel deconfianza que se requiera (normalmente se usa el 95% o más).
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Elección del factor de cobertura “k”:
• Criterio 2:
Cuando la incertidumbre combinada está dominada por una contribuciónTipo B, se puede asumir que la distribución resultante de “Y” tiene lamisma forma de la distribución dominante.
Por ejemplo: si una incertidumbre combinada está dominada por unacomponente Tipo B con distribución rectangular, un k=1 corresponde a unintervalo de 57,7% de probabilidad, un k=1,65 corresponde a un intervalode 95% de probabilidad, un k=1,71 corresponde a un intervalo de 99% deprobabilidad como se muestra en la siguiente tabla.
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Elección del factor de cobertura “k”:
La siguiente tabla muestra los valores de k que se pueden usar paradistintos niveles de confianza y para distintas distribuciones supuestas delmensurando “Y”:
Nivel de confianza
Si “y” tiene Distribución
Normal
Si “y” tiene Distribución Rectangular
Si “y” tiene DistribuciónTriangular
57,7 % k = 0,8 k = 1 k = 0,85
68,3 % k = 1 k = 1,19 k = 1,08
95 % k = 1,96 k = 1,65 k = 1,9
95,45 % k = 2 k = 1,66 k = 1,94
99 % k = 2,57 k = 1,71 k = 2,21
99,73 % k = 3 k = 1,73 k = 2,34
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Elección del factor de cobertura “k”:
• Criterio 3:
Cuando hay 3 o más fuentes de incertidumbres comparables se cumplenlas condiciones del llamado “Teorema del Límite Central” y puedesuponerse, con un elevado grado de aproximación, que la distribución “y”es normal, pudiéndose usar la tabla de Gauss para elegir el “k”, noteniendo importancia la forma de las distribuciones que intervengan.
Ejemplo: Un k=2 dará un intervalo con 95% de probabilidad (en realidadun k=2 da 95,45% como se muestra en la tabla de la transparenciaanterior)
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Elección del factor de cobertura “k”:
Nota: Se asume como infinito los grados de libertad de las evaluacionesTIPO B que intervengan.
Una vez determinado vef se lo redondea al entero inferior más próximo, ycon este valor se ingresa a una tabla de “t de Student” para encontrar unk con la probabilidad deseada (normalmente el 95%).
• Criterio 4:
Cuando no se cumple ninguno de los criterios anteriores también se utilizala distribución “t de Student” pero se calcula el llamado “grado delibertad efectivo” a través de la ecuación de Welch-Satterhwaite:
Siendo:𝑣𝑒𝑓 =
𝑢𝑐(𝑦)4
𝑐𝑖 𝑢(𝑥𝑖)
4
𝑣𝑖
𝑁𝑖=1
𝑣𝑒𝑓 : es el grado de libertad efectivo
𝑢𝑐(𝑦): es la incertidumbre combinada de y
𝑢(𝑥𝑖): es la incertidumbre de la estimación de entrada xi
𝑣𝑖 : es el grado de libertad usado para el cálculo de la incertidumbre de xi
EJEMPLO 1 . (continuación)
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Para interpretar mejor lo presentado vamos a realizar algunos ejemplos:
Se mide la tensión con un voltímetro de las siguientes características:
• Alcance = 150 V
• Clase = 0,5
• Cantidad de divisiones = 150
Si el instrumento indica 138 V expresar el resultado de la medición con un 95% de
probabilidad.
Solución:
Como vimos, para este caso hay dos fuentes de incertidumbre que se combinan
para sacar la incertidumbre combinada:
Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a una mala lectura36
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Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata
Ya teníamos la incertidumbre combinada:
u𝑐(𝑉) = 𝑢(𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 )2 + 𝑢(𝑙𝑒𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎 )
2
u𝑐 𝑉 = 0,436 𝑉
Calculamos la incertidumbre expandida:
Como la u(instrumento) es mucho mayor que u(lectura) este sería un caso dondepredomina una incertidumbre Tipo B rectangular (la u(instrumento)) sobre elresultado final, entonces podemos suponer que el resultado también tiene unadistribución rectangular.
De lo anterior, el factor de cobertura “k” para una probabilidad de 95% debe ser≈ 1,65 (ver tabla transparencia 33):
Finalmente se expresa la medida y siempre se acompaña una nota aclaratoria:
VVVukU c 7194,0436,065,1)(
VVV 7,0138
“La incertidumbre expandida fue calculada con un k=1,65, que corresponde a una probabilidad de 95% asumiendo una distribución rectangular” 37
EJEMPLO 1 . (continuación)
Vdiv
Vdiv
u lectura 057,03
150
150
10
1
)(
V
V
u oinstrument 433,03
100
1505,0
)(
EJEMPLO 2:
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Con un termómetro digital se realizan 20 mediciones repetidas en aparentemente
las mismas condiciones ambientales, obteniéndose una media aritmética de
100,145°C con una desviación estándar experimental (S) de 1,489°C.
El termómetro posee las siguientes características:
• Rango = 200°C
• Error límite = ±(0,5% rdg + 3 dg)
• Cantidad de dígitos = 3 ½
Expresar la medición con una probabilidad de 95%
Solución:
38
Incertidumbre combinada de la medición de temperatura
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a resolución finitaIncertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas
condiciones
Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a resolución finitaIncertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas
condiciones
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Incertidumbre debida a mediciones
repetidas:
Como la evaluaremos a partir de un estudio estadístico (20 observaciones) seráuna evaluación Tipo A según la GUM.
Al ser una evaluación Tipo A con “n” relativamente grande, la incertidumbre deesta componente será la desviación estándar experimental de la media, es decir:
n
Su repetición )(
39
EJEMPLO 2:
CC
u repetición
333,020
489,1)(
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Incertidumbre debida al instrumento:
Como la evaluaremos a partir del error límite (no un estudio estadístico sino undato suministrado por el fabricante) será una evaluación Tipo B según la GUM.
Al ser una evaluación Tipo B hay que basarse en la experiencia para suponeruna distribución de probabilidades para poder calcular una “u(instrumento)”.
Por lo visto, una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación:
límiteErrormedidovalor
3
3%5,0)(
dgrdgu oinstrument
3)(
au oinstrument
Cu oinstrument 463,0)(
40
EJEMPLO 2: Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a resolución finitaIncertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas
condiciones
límiteErrormedidovalor
3
1,03145,100%5,0)(
CCu oinstrument
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Incertidumbre debida a la resolución:
Como la evaluaremos a partir de un dato del fabricante (no un estudioestadístico) será otra evaluación Tipo B según la GUM.
Al ser una evaluación Tipo B hay que basarse en la experiencia para suponeruna distribución de probabilidades para poder calcular una “u(resol)”.
También una distribución rectangular representa adecuadamente estasituación, porque existe igual probabilidad de ver cualquier valor dentro de 1dígito:
3)(
au resolución
41
EJEMPLO 2: Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a resolución finitaIncertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas
condiciones
3
2
1
)(
dígitodeValor
u resolución
dígito1
C
C
u resolución
028,03
2
1,0
)(
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Calculamos la incertidumbre combinada:
u𝑐(𝑦)2 = 𝜕𝑓
𝜕𝑋𝑖
2
𝑢(𝑥𝑖)2 =
𝑁
𝑖=1
𝑐𝑖2 𝑢(𝑥𝑖)
2
𝑁
𝑖=1
42
EJEMPLO 2:
Como no hay información para evaluar una correlación calculamos laincertidumbre combinada como:
Donde los coeficientes de sensibilidad “ci” son iguales a 1, es decir:
2
)(
2
)(
2
)()( resoluciónoinstrumentrepeticiónc uuuCu
222 )028,0()463,0()333,0()( CCCCuc
CCuc 571,0)(
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Calculamos la incertidumbre expandida:
43
EJEMPLO 2:
Este seria un caso donde hay menos de tres incertidumbres comparables yninguna es dominante, por lo que calculamos el grado de libertad efectivo:
4
)(
4
)(
4
)(
4
120
)(
resoluciónoinstrumentrepetición
cef
uuu
Cuv
16425,164 efv
CxCT )571,02145,100()(
𝑣𝑒𝑓 =𝑢𝑐(𝑦)4
𝑐𝑖 𝑢(𝑥𝑖)
4
𝑣𝑖
𝑁𝑖=1
De una tabla de “t” para un grado de libertad de 164 y probabilidad 95% , k≈2(el resultado tendría una distribución casi normal), entonces:
CCT )142,1145,100()(
“La incertidumbre expandida fue calculada con un k=2, que corresponde a una probabilidad de 95% asumiendo una distribución normal”
Incertidumbre combinada de la medición
Incertidumbre debida al instrumento
Incertidumbre debida a resolución finitaIncertidumbre debida a mediciones repetidas en aparentemente mismas
condiciones
CCT )2,11,100()(
Revisar los ejemplos del
“Apunte complementario II – Expresión de la Incertidumbre”
disponible en el sitio web de la asignatura
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EJEMPLOS
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