YMAPNA-Z1A5-00

四面体 OABCがある。辺 OA，AB，BC，OC上（いずれも端点を除く）にそれぞれOP : PA = p : 1¡ p

AQ : QB = q : 1¡ q

BR : RC = 1¡ r : r

CS : SO = 1¡ s : s

をみたす点 P，Q，R，Sをとる。このとき，P，Q，R，Sが同一平面上にあれば

# 1p ¡ 1;# 1q ¡ 1;= # 1r ¡ 1;# 1s ¡ 1;が成立することを示せ。 (25点)

YMAPNA-Z1C5-01

　　　

四面体 OABCがある。辺 OA，AB，BC，OC上（いずれも端点を除く）にそれぞれOP : PA = p : 1¡ p

AQ : QB = q : 1¡ q

BR : RC = 1¡ r : r

CS : SO = 1¡ s : s

をみたす点 P，Q，R，Sをとる。このとき，P，Q，R，Sが同一平面上にあれば

# 1p ¡ 1; #1q ¡ 1; = #

1r ¡ 1;#

1s ¡ 1;

が成立することを示せ。 (25点)

空間ベクトルから，同一平面上にあるための条件の扱い方がポイントになる問題である。与えられた条件と示すべき内容からベクトルの利用（ ▲ 1）という方針は立てられるだろう。こ

こで，点が平面上にあるための条件はいろいろな表し方があるが，「解答」では，1 次独立な 3 つのベクトル OX，OY，OZに対して

“¡!OP = ®¡!OX+ ¯¡!OY+ °¡!OZ をみたす点 P が平面 XYZ 上に存在する”() ®+ ¯+ ° = 1（ ▲ 2）

の適用を考えてみよう。

OP，OQ，OR，OS は

O

A

B

CP

QR

S

▲1ベクトルを利用する。

・・・・・・

OP = pOA …………………………………………… ①・・・・・・

OQ = (1¡ q)OA+ qOB ………………………………②・・・・・・

OR = rOB+ (1¡ r)OC ………………………………③・・・・・・

OS = sOC ………………………………………………④・・・・・・

であり，pqrs n= 0 より，① より ▲ 2以下，点 R が平面 PQS上にあるための条件を考える。そこで，¡!ORを，¡!OP，¡!OQ，¡!OSを用いて表す。

OA =1p OP

・・・・・・・・・・・・・・

② に代入して

OQ =1¡ qp OP+ qOB

・・・・・・・・・・・・・・・

Ú OB = ¡1¡ qpq OP+

1q OQ ………………………⑤

・・・・・・・・・

であり，④ より

OC =1s OS …………………………………………… ⑥

・・・・・・・・・・・・・・・

なので，⑤，⑥ を ③ に代入して

OR = ¡r(1¡ q)pq OP+

rq OQ+

1¡ rs OS

・・・・・・・・・・・・・・・

YMAPNA-Z1C5-02ここで，OP，OQ，OS は 1次独立なので，点 Rが平面 PQS上にある

・・・・・・

とき

¡r(1¡ q)pq +

rq +

1¡ rs = 1

・・・・・・・・・・・・・・・

Ú ¡1¡ qpq +

1q =

1r #1¡ 1¡ rs ; ▲ 1¡ rs を移項して，両辺を

r で割る。・・・・・・・・・

であり

¡1¡ qpq +

1q ¡ 1 =

¡1 + q+ p¡ pqpq

・・・・・・・・・・・・・・・

=¡(p¡ 1)(q¡ 1)

pq・・・・・・・・・・

= ¡#1¡ 1p ;#1¡ 1q ;・・・・・・・・

1r #1¡

1¡ rs ;¡ 1 =

s¡ 1 + r¡ rsrs

・・・・・・・・・・

=¡(r¡ 1)(s¡ 1)

rs・・・・・・・・・・

= ¡#1¡ 1r ;#1¡1s ;

・・・・・・・・・

と変形できるので

¡#1¡ 1p ;#1¡ 1q ;= ¡#1¡ 1r ;#1¡ 1s ; ・・・・・・・・・・・・

したがって

# 1p ¡ 1;# 1q ¡ 1;= # 1r ¡ 1;# 1s ¡ 1;・・・・・・・・・・・・・・・

は成り立つ。 （証明終）・・・・・

1 点のベクトル表示基本事項だが，平面上の点のベクトル表示について確認しておこう。3点 A，B，Cが三角形をつくる（AB，AC が 1次独立である）とき，平

uAB

vAC

O

AB

C

P面 ABCが定まり，平面 ABC上の点 Pはⅰ AP = uAB+ vACⅱ OP = OA+ uAB+ vACⅲ OP = (1¡ u¡ v)OA+ uOB+ vOCⅳ OP = tOA+ uOB+ vOC，t+ u+ v = 1

と表示でき，これらは互いに同値である。「解答」では，ⅳを目標にして

OR を OP，OQ，OS で表す（OP，OQ，OS の 1次独立性を利用）という方針で処理したが，ⅳの形からスタートして，OA，OB，OC の 1次独立性に帰着させることもできる。まず，点 Rが平面 PQS上にあるので

OR = ®OP+ ¯OQ+ °OS; ®+ ¯+ ° = 1

YMAPNA-Z1C5-03と表せて，①，②，④ より

OR = ®pOA+ ¯(1¡ q)OA+ ¯qOB+ °sOC

= f®p+ ¯(1¡ q)gOA+ ¯qOB+ °sOC

であり，③ よりrOB+ (1¡ r)OC = f®p+ ¯(1¡ q)gOA+ ¯qOB+ °sOC

よって，OA，OB，OC は 1次独立だから

W®p+ ¯(1¡ q) = 0¯q = r°s = 1¡ r

であり，第 2式，第 3式より

¯= rq ; ° =1¡ rs

これと第 1式より

®= ¡1¡ qp ¯= ¡

1¡ qp Þ

rq

となるので，®+ ¯+ ° = 1 より

¡1¡ qp Þ

rq +

rq +

1¡ rs = 1

Ú ¡1¡ qpq +

1q =

1r #1¡ 1¡ rs ;

が得られ，あとは「解答」と同様にして処理すればよい。なお，より基本的に，ⅰからスタートすることもできるが，結局

ⅰ ¡!ⅱ ¡!ⅲと変形することになり，同様の処理に帰着される。

2 メネラウスの定理の拡張与えられた条件より

1¡ pp =

PAOP;1¡ qq =

QBAQ; 1¡ rr =

BRRC; 1¡ ss =

CSSO

であるから，示すべき等式はPAOP

ÞQBAQ

=BRRC

ÞCSSO

()OPPA

ÞAQQB

ÞBRRC

ÞCSSO

= 1

と表すことができ，本問は“4点 P，Q，R，Sが同一平面上にある”

áOPPA

ÞAQQB

ÞBRRC

ÞCSSO

= 1 ……………………………………………(*)

を示したことになる。これは，メネラウスの定理を空間に拡張したものと捉えることもできる。なお，逆（à）も成立するので，これを示しておこう。 O

A

B

CP

Q

R

S03点 P，Q，Rで定まる平面 PQRと直線 OCとの交点を S0 とすれば，(¤)により

OPPA

ÞAQQB

ÞBRRC

ÞCS0

S0O= 1

YMAPNA-Z1C5-04

が成り立ち， OPPA

ÞAQQB

ÞBRRC

ÞCSSO

= 1 より

CS0

S0O=CSSO

すなわち，Sと S0 は OCを同じ比に内分または外分するから Sと S0 は一致する。ゆえに，4点 P，Q，R，Sは同一平面上にある。

・等式や不等式の証明では示すべき内容，式の特徴を考慮して方針を考える

本問では 4点が同一平面上にあるための条件

¡r(1¡ q)pq +

rq +

1¡ rs = 1 ………………………………………… ⑦

を導くことが最初のポイントで，次に上記の等式から示すべき等式

# 1p ¡ 1;#1q ¡ 1;= #

1r ¡ 1;#

1s ¡ 1;

をいかに導くかがポイントである。示すべき等式の左辺が p，qの式，右辺が r，sの式であることから，条件⑦を左辺が p，qの式，右辺が r，sの式になるように変形した。次の例では，示すべき内容が

a，b，cのうち少なくとも 1つは 1である() (a¡ 1)(b¡ 1)(c¡ 1) = 0であることに着目して，条件式を変形する。（例）次の条件式が成立すれば a，b，cのうち少なくとも 1つは 1であることを証明せよ。

a+ b+ c = 1a +1b +

1c = 1 （法政大）

（解答）a+ b+ c = 1a +1b +

1c = 1より

a+ b+ c = 1

1a +

1b +

1c = 1 Ú ab+ bc+ ca = abc

であるから(a¡ 1)(b¡ 1)(c¡ 1) = abc+ a+ b+ c¡ (ab+ bc+ ca)¡ 1

= 0 (Û a+ b+ c = 1; ab+ bc+ ca = abc)

したがって，a，b，cのうち少なくとも 1つは 1である。

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