PERBANDINGAN METODE MOMEN DAN MAXIMUM
LIKELIHOOD ESTIMATION PADA PENDUGAAN AREA KECIL
DENGAN MODEL BETA-BINOMIAL NEGATIF
(Skripsi)
Oleh
RAKA SATRIA RAINAUDI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
ABSTRACT
DIFFERENCE OF MOMENT METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION ON SMALL AREA ESTIMATION WITH BETA-
NEGATIVE BINOMIAL MODEL
By
RAKA SATRIA RAINAUDI
Small area estimasion is a statistical method to estimate small sub population.
Empirical Bayes (EB) method is method in small area estimation for count or
binaryData. Estimation with the EB approach is based on the posterior distribution
whose parameters are assumed from the data. Method that can be used to estimate
parameter on EB estimator are Maximum Likelihood Estimation (MLE) and
Momem Method. One application of EB methods for binary data is Beta-Negative
Binomial model. In this study, the estimator of MM and MLE are compared by
evaluating the MSE value, both theoretically and empirically through simulation.
Based on simulation, it showed that MLE produced smaller MSE value than
Momen Method when the variance between areas of 1.3, 5 and 12, which obtained
from the values of α and β are equal to 1, 1.5, and 2.
Keyword: Small Area Estimation, Empirical Bayes (EB), Beta-Negative
Binomial Model, Momen Method, Maximum Likelihood Estimation.
ABSTRAK
PERBEDAAN METODE MOMEN DAN MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN MODEL
BETA-BINOMIAL NEGATIF
Oleh
RAKA SATRIA RAINAUDI
Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation) merupakan suatu metode statistika
yang digunakan untuk menduga parameter subpopulasi yang memiliki ukuran
sampel yang kecil. Metode Empirical Bayes (EB) merupakan salah satu metode
pendugaan area kecil yang digunakan pada data biner atau cacahan. Pendugaan
dengan pendekatan EB didasarkan pada sebaran posterior yang parameternya
diduga dari data. Metode yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada
penduga EB adalah Maximum likelihood estimation (MLE) dan Metode
Momen(MM). Salah satu penerapan metode EB untuk data cacahan adalah model
Beta-Binomial Negatif. Pada Penelitian ini penduga MM dan MLE dibandingkan
dengan mengevaluasi nilai MSEnya , baik secara teori maupun secara empiris
melalui simulasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa MLE menghasilkan nilai
MSE yang relatif lebih kecil dibandingkan dengan Metode Momen pada ragam
antar area masing-masing sebesar 1.3, 5, dan 12 yang diperoleh dari nilai nilai
dan masing-masing sebesar 1, 1.5, dan 2.
Kata kunci: Pendugaan Area Kecil, Empirical Bayes, Beta-Binomial Negatif,
Metode Momen , Maximum Likelihood Estimation.
PERBANDINGAN METODE MOMEN DAN MAXIMUM LIKELIHOOD
ESTIMATION PADA PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN MODEL
BETA-BINOMIAL NEGATIF
Oleh
Raka Satria Rainaudi
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
Judul Skripsi : PERBANDINGAN METODE MOMEN DAN
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION PADA
PENDUGAAN AREA KECIL DENGAN
MODEL BETA-BINOMIAL NEGATIF
Nama Mahasiswa : Raka Satria Rainaudi
Nomor Pokok Mahasiswa : 1417031096
Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Widiarti, S.Si., M.Si
NIP. 19800502 200501 2 003
Drs. Rudi Ruswandi, M.Si
NIP. 19560208 198902 1 001
2. Ketua Jurusan Matematika
Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D.
NIP. 19631108 198902 2 001
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Widiarti, S.Si., M.Si ....................
Sekretaris : Drs. Rudi Ruswandi, M.Si ....................
Penguji
Bukan Pembimbing : Drs. Eri Setiawan, M.Si ....................
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.
NIP. 19710212 199512 1 001
Tanggal Lulus Ujian Skripsi : Oktober 2018
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA
Yang bertanda tangan di bawah ini :
Nama : Raka Satria Rainaudi
Nomor Pokok Mahasiswa : 1417031096
Jurusan : Matematika
Judul Skripsi : Perbandingan Metode Momen dan Maximum
Likelihood Estimation Pada Pendugaan Area
Kecil dengan Model Beta-Binomial Negatif
Dengan ini menyatakan bahwa penelitian ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri
dan apabila kemudian hari terbukti bahwa skripsi ini merupakan hasil salinan atau
dibuat oleh orang lain, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai dengan
ketentuan akademik yang berlaku.
Bandar Lampung, Oktober 2018
Penulis
Raka Satria Rainaudi
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Raka Satria Rainaudi, anak kedua dari Bapak Denny
Sudrajat dan Ibu Dinie Sugiarti. Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada
tanggal 25 Juli 1996.
Penulis menyelesaikan pendidikan di Sekolah Dasar Al-Kautsar Bandar Lampung
pada tahun 2008, Sekolah Menengah Pertama Al-Kautsar Bandar Lampung pada
tahun 2011 dan Sekolah Menengah Atas Al-Kautsar Bandar Lampung pada tahun
2014. Pada tahun 2014 penulis diterima sebagai mahasiswa S1 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung melalui jalur Seleksi nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri
(SNMPTN).
Sebagai bentuk aplikasi bidang ilmu di dunia kerja, penulis melaksanakan Praktik
Kerja Lapangan di BKKBN Provinsi Lampung. Sebagai bentuk aplikasi bidang
ilmu kepada masyarakat, penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata di Desa
Ruang Tengah, Kecamatan Penengahan, Lampung Selatan.
KATA INSPIRASI
“Dijadikan terasa indah dalam pandangan manusia cinta terhadap apa yang
diinginkan, berupa perempuan-perempuan, anak-anak, harta benda yang
bertumpuk dalam bentuk emas dan perak, kuda pilihan , hewan ternak dan sawah
ladang. Itulah kesenangan hidup di dunia, dan di sisi Allah-lah tempat kembali yang
baik.”
(Q.S. Ali-imran 3: 14)
“Whether you think you can or think you can’t, You are right.”
(Henry Ford)
PERSEMBAHAN
Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT yang Maha
Pengasih lagi Maha Penyayang. Dengan segala kerendahan hati
penulis persembahkan skripsi ini kepada:
Ayah dan Ibu yang selalu berkorban, membimbing, selalu
memberikan semangat, rela menjadi pendengar yang baik dan
mendokan setiap waktu untuk keberhasilan penulis.Untuk kakak
dan adikku tersayang yang selalu memberikan dukungan dan
semangat untukku.
Untuk sahabat-sahabat terbaikku, terimakasih untuk semua
kebahagian dan keceriaan yang telah kalian berikan.
Terimakasih untuk selalu ada disamping penulis.
SANWACANA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan
rahmad dan hidayah-Nya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Momen dan Maximum
Likelihood Estimation Pada Pendugaan Area Kecil dengan Model Beta-
Binomial Negatif”.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan
bimbingan dan doa dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan hati penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si selaku dosen pembimbing utama yang memberikan
motivasi, bimbingan, pengarahan, dan saran kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi.
2. Bapak Rudi Ruswandi, Drs., M.Si., selaku pembimbing kedua yang selalu
memberikan saran, solusi serta pembelajaran yang sangat bermanfaat bagi
penulis.
3. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si., selaku pembahas dan penguji skripsi yang
telah memberikan evaluasi dan saran bagi perbaikan skripsi penulis.
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si, M.Si., selaku dosen pembimbing akademik.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
7. Ayah, Ibu, Udi, Kiki dan seluruh keluarga besar penulis yang telah membantu
dan memberi dukungan kepada penulis.
8. Yola Yashinta Batubara yang selalu memberikan semangat kepada penulis.
9. Teman-teman seperbimbingan dan seperjuangan Maget, Nopi, Yunika,
Kadek, Iin, Shindy, Nia, Yola, Dracjat, Rama, Lala, Ira, Arif, Anin, Nanda,
Saul, Kiki, Camel, Fajar, Redi, Alvin, Aldo, Fadil, Acong yang telah banyak
membantu penulis.
10. Sahabat Sahabatku Raisa, Cipta, Kilay, Revi, Desty, Sutan, Rendi, Devira,
Anika yang telah memberikan banyak canda tawa kepada penulis.
11. Teman teman Ketimbang Ngemis Lampung dan Charity Education Organizer
dan ANTI GENG yang telah memberikan banyak pengalaman kepada
penulis.
12. Arisca, Kodir, Darma dan Rahmad yang sudah sangat membantu penulis
dalam mengerjakan skripsi.
13. Teman-teman Jurusan Matematika 2014 dan seluruh pihak yang telah
membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, Oktober 2018
Penulis
Raka Satria Rainaudi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL.................................................................................................xv
DAFTAR GAMBAR..........................................................................................xvii
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ..................................................................................... 3
1.3 Manfaat Penelitian ................................................................................... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Survei ....................................................................................................... 5
2.2 Small Area Estimation (SAE) .................................................................. 5
2.2.1 Pendugaan Berbasis Model ............................................................ 6
2.3 Model Area kecil ..................................................................................... 7
2.3.1 Model Level Area Dasar................................................................. 7
2.3.2 Model Level Area Unit Dasar ........................................................ 7
2.4 Model Beta-Binomial Negatif ................................................................. 8
2.5 Empirical Bayes ..................................................................................... 10
2.6 Metode Momen ..................................................................................... 11
2.7 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) ................................. 12
2.8 Metode Iterasi Newton Raphson ............................................................ 13
2.9 Mean Squared Error (MSE) .................................................................. 15
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................... 17
3.2 Data Penelitian ....................................................................................... 17
3.3 Metode Penelitian .................................................................................. 18
3.4 Diagram Alir Metode Penelitian............................................................ 20
3.5 Diagram Alir Simulasi MSE ................................................................. 21
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pendugaan Parameter Emprical Bayes Model Beta-Binomial Negatif ... 22
4.2 Pendugaan parameter dengan Metode Momen ....................................... 25
4.3 Pendugaan parameter dengan Maximum Likelihood Estimation ............. 30
4.4 Metode Newton Raphson ......................................................................... 31
4.5 Mean Squared Error Penduga Empirical Bayes ............................... 32
4.6 Pendugaan Nilai MSE dengan Data Simulasi .......................................... 33
4.7 Uji T pada Nilai MSE MM dan MSE MLE ............................................. 35
V. KESIMPULAN ............................................................................................... 37
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1.Contoh Data Bangkitan m =10 dengan Iterasi = 10 ......................................... 32
4.2.Hasil Kajian Simulasi Nilai MSE Naive untuk Metode Momen dan MLE ..... 33
4.3.Nilai Hasil Uji T ............................................................................................... 35
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
3.1 Diagram Alir Metode Penelitian ...................................................................... 20
3.2 Diagram Alir Simulasi MSE ............................................................................ 21
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Small Area Estimation (SAE) merupakan teknik statistika yang digunakan untuk
menduga parameter subpopulasi dengan ukuran sampel yang kecil dengan
mengembangkan data survei guna melakukan estimasi tingkat kesejahteraan atau
indikator lainnya sebagai peubah yang menjadi perhatian pada domain yang lebih
kecil. Biasanya objek survei jumlahnya kecil bahkan mungkin area tersebut tidak
tersampling sehingga analisis yang didasarkan pada objek tersebut memiliki
ketepatan yang rendah. Selain itu metode ini dapat mengestimasi karakteristik dari
subpopulasi yang dikembangkan dengan menghubungkan informasi dari daerah
tertentu dengan daerah lain melalui model pendekatan untuk meningkatkan
efektifitas ukuran sampel yang disebut estimasi tidak langsung (Rao, 2003).
Berbagai metode pendugaan area kecil telah dikembangkan khususnya
menyangkut metode yang berbasis model (model-based area estimation). Metode
tersebut adalah penduga prediksi tak bias linier terbaik empirik atau Empirical
Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) untuk data kontinu, bayes empirik
atau Empirical Bayes (EB), dan bayes hierarkhi atau Hierarchical Bayes (HB)
untuk data biner atau cacahan.
2
Menurut Lohr dan Rao (2009) pendugaan dan inferensi pada pendekatan EB
didasarkan pada sebaran posterior yang parameternya diduga dari data. Metode
yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada distribusi posterior
diantaranya yaitu Metode Momen (MM), Maximum Likelihood Estimation
(MLE), Metode Bayes, Ordinary Least Square (OLS), dan Metode Generalized
Least Square (GLS). MM dapat digunakan untuk menduga parameter populasi
dengan menyamakan momen-momen populasi (teoritis) dengan momen momen
sampel, sedangkan MLE digunakan untuk mengestimasi parameter dengan cara
memaksimumkan fungsi likelihood L. Fungsi likelihood adalah fungsi
probabilitas bersama dari dan . Fungsi ini dianggap
sebagai fungsi dalam parameter . Metode momen memiliki keunggulan lebih
mudah dalam menurunkan rumus penduga parameternya, sedangkan Maximum
Likelihood Estimation dikenal sebagai metode yang memiliki penduga yang
efisien dari sekian banyak penduga yang ada, walaupun kadang tidak mudah
untuk mencari bentuk rumus penduganya.
Emperical Bayes (Bayes Empirik) merupakan metode yang menggunakan
inferensia dari estimasi posterior untuk menduga parameter. Metode Emperical
Bayes merupakan metode yang cocok digunakan dalam menangani data biner dan
data cacahan pada pendugaan area kecil. Salah satu penerapan metode Empirical
Bayes (EB) untuk data cacahan adalah model Binomial Negatif. Dalam
pendugaan area kecil umumnya digunakan model dua tahap dimana konsep
pendugaannya memanfaatkan informasi tambahan yang dikenal sebagai distribusi
prior. Dengan demikian diperlukan distribusi prior yang mengakomodir informasi
3
tambahan ini. Pada penelitian ini dipilih distribusi Beta karena berasal dari
keluarga eksponensial seperti Binomial-negatif. Jika distribusi sampel yang
digunakan berasal dari keluarga eksponensial, maka salah satu cara menentukan
prior adalah dengan menggunakan prior konjugat (Bolstad, 2007) sehingga bisa
dikatakan bahwa densitas Beta memiliki kesamaan bentuk fungsional dengan
likelihood distribusi Binomial-Negatif. Jadi, model pendugaan area kecil yang
digunakan yaitu model Beta-Binomial Negatif.
Menurut Sadik (2009), penduga yang diperoleh pada pendugaan area kecil perlu
dievaluasi karena penduga yang diperoleh merupakan penduga berbias namun
memiliki ragam minimum. Dengan demikian karena penduganya berbias maka
untuk mengevaluasi nilai varian pada pendugaan area kecil dilakukan
menggunakan Mean Square Error (MSE). MSE merupakan suatu besaran untuk
mengukur keragaman penduga area kecil. Pada penelitian ini peneliti tertarik
untuk membandingkan penduga yang diperoleh dengan Metode Momen dan
Maximum Likelihood Estimation dengan melihat nilai MSEnya.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah
1. Menentukan penduga Empirical Bayes pada pendugaan area kecil pada model
Beta-Binomial Negatif
2. Menduga parameter pada model Beta-Binomial Negatif dengan Metode
Momen dan Maximum Likelihood Estimation
4
3. Membandingkan nilai Mean Square Error (MSE) dari penduga yang diperoleh
dengan Metode Momen dan Maximum Likelihood Estimation.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah memberikan informasi tentang
perbedaan metode momen dan MLE dalam menduga parameter model Beta-
Binomial Negatif melalui evaluasi nilai Mean Squared Errornya.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Survei
Survei merupakan salah satu cara yang digunakan untuk memperoleh suatu
informasi. Penerapan sistem sampel dalam survei pada area yang kecil
menyebabkan objek survei menjadi terbatas dan menyebabkan informasi yang
diperoleh tidak mewakili populasi secara keseluruhan, sehingga pendugaan
langsung tidak dapat menghasilkan dugaan yang teliti. Guna menghasilkan
pendugaan yang lebih baik, maka digunakan metode pendugaan tidak langsung
pada area kecil (Rao, 2003).
2.2 Small Area Estimation (SAE)
Small Area Estimation (SAE) adalah suatu teknik statistika untuk menduga
parameter-parameter sub populasi yang ukuran sampelnya kecil. Sedangkan, area
kecil didefinisikan sebagai himpunan bagian dari populasi (sub populasi) yang
ukuran contohnya kecil dengan suatu peubah menjadi perhatian (Rao,2003)
Pendugaan area kecil bertujuan untuk meningkatkan ketakbiasan penduga suatu
parameter, yaitu dengan menggunakan pendugaan tidak langsung. Pendugaan
tidak langsung dapat dilakukan dengan “meminjam kekuatan” atau memanfaatkan
6
peubah-peubah tambahan dalam menduga parameter. Peubah pendukung ini
berupa informasi tambahan yang didapatkan pada area lain dari survei yang sama,
dari area yang sama pada survei yang terdahulu, atau peubah lain yang berhubungan
dengan peubah yang menjadi perhatian pada area kecil. Keuntungan metode ini yaitu
memiliki dugaan yang optimal, memperoleh model valid yang berasal dari data
sampel, dan dapat menjelaskan berbagai macam model berdasarkan pada respon
alami suatu kelompok dan kekelompokkan struktur data. Menurut Rao (2003),
proses pendugaan pada suatu area atau subpopulasi terbagi menjadi dua, yaitu :
pendugaan berbasis rancangan dan pendugaan berbasis model.
2.2.1 Pendugaan Berbasis Model
Pendugaan pada metode berbasis model merupakan pendugaan suatu area dengan
cara menghubungkan informasi pada area tersebut dengan area lain melalui model
yang tepat. Hal ini berarti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari area lain.
Informasi yang digunakan diasumsikan memiliki hubungan dengan peubah yang
menjadi perhatian. Tujuannya adalah untuk meningkatkan akurasi suatu penduga.
Pendugaan parameter dan inferensianya yang berdasarkan pada informasi tambahan
tersebut, dinamakan pendugaan tidak langsung atau pendugaan berbasis model.
Metode pendugaan yang termasuk dalam penduga ini adalah metode EB, EBLUP,
dan HB (Rao, 2003).
7
2.3 Model Area Kecil
Model area kecil merupakan model dasar dalam pendugaan area kecil. Model
dikelompokkan menjadi dua yakni model level area dasar dan model level area unit
dasar (Rao, 2003).
2.3.1 Model Level Area Dasar
Pada model level area dasar parameter area kecil yang ingin diamati adalah ,
dengan merupakan variabel respon. Sehingga model level area dasar yang
menjelaskan hubungan tersebut adalah
(2.1)
dengan adalah galat sampel diasumsikan (Kurnia, 2009).
2.3.2 Model Level Area Unit Dasar
Pada model pendugaan area kecil berbasis unit diasumsikan bahwa data variabel
penyerta unit
tersedia untuk setiap elemen ke-j pada area
ke-i. Selanjutnya variabel respon diasumsikan berkaitan dengan xij sehingga
bentuk persamaan model pendugaan area kecil berbasis unit sebagai berikut:
(2.2)
dengan merupakan pengaruh acak area, β merupakan koefesien regresi dan
diasumsikan bahwa dan (Rao, 2003).
8
2.4 Model Beta Binomial Negatif
Model dasar yang digunakan dalam penelitian ini adalah model berbasis area dua
level. Model dua level tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
Dengan:
= Penduga langsung area ke-i
= Pengaruh acak di dalam area
= Parameter yang ingin diduga
i = 1, 2, 3, ..... m
Dimana::
Level 1: yi| pi ~ Binomial Negatif (ki, pi)
Level 2: pi ~ Beta (α,β), i= 1,2,3,...,m
Dengan yi menyatakan jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-i, ni adalah
banyaknya ulangan keberhasilan suatu kasus pada area ke-i, pi adalah peluang
keberhasilan suatu kasus pada area ke-i yang tidak diketahui dan m menyatakan
jumlah area, sedangkan α dan β merupakan parameter yang belum diketahui. Level
pertama diasumsikan bahwa yi ~ Binomial Negatif (ki, pi) dan level kedua
diasumsikan bahwa pi ~ Beta (α,β).
Menurut Hogg and Craig (1990), distribusi Beta dengan parameter α dan β memiliki
fungsi kepekatan peluang untuk yaitu :
9
; α> 0, β > 0 untuk 0 ≤ ≤ 1
=
0 ; selainnya (2.3)
Menurut Berger (1990), nilai mean dan variansi dari distribusi Beta dengan parameter
α dan β masing-masing adalah
Dan
Dimana
Dan =
Maka
10
Sehingga
=
dan =
(2.4)
Diketahui distribusi Binomial Negatif mempunyai fungsi peluang yaitu :
; = k, k+1… untuk 0 ≤ ≤ 1
=
0 ; selainnya (2.5)
2.5 Empirical Bayes
Empirical Bayes (Bayes Empirik) merupakan metode dengan menggunakan
inferensia dari estimasi posterior untuk menduga parameter. Metode Empirical Bayes
merupakan metode yang cocok digunakan dalam menangani data biner dan data
cacahan pada pendugaan area kecil. Misalkan merupakan sampel acak
berukuran n dari distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang berbentuk
dan sebaran dari peubah acak yaitu sebaran prior.
Metode EB dalam konteks pendugaan area kecil secara ringkas sebagai berikut:
11
1. Mendapatkan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari dengan
yang didefinisikan sebagai berikut :
=
(2.6)
2. Menduga parameter model dari fungsi kepekatan peluang marginal.
3. Menggunakan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dugaan untuk membuat
inferensi parameter area kecil yang menjadi perhatian.
(Kismiantini, 2007)
2.6 Metode Momen
Misalkan merupakan populasi yang memiliki fungsi kepekatan peluang
. Metode pendugaan dengan moment dilakukan dengan cara
menyamakan k momen pertama sampel dengan k momen pertama yang
berkaitan dari populasi dan menyelesaikan sistem tersebut secara bersama.
Moment populasi ′ sering ditulis sebagai fungsi dari , yaitu
′ Metode momen penduga dari di dapat dengan
12
menyelesaikan sistem persamaan untuk dalam notasi sebagai
berikut:
,
,
(Casella dan Berger, 2002)
2.7 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Misalkan terdapat dari suatu populasi yang memiliki fungsi
probabilitas , dimana merupakan suatu parameter yang tidak
diketahui dan adalah ruang parameter. Karena adalah sampel acak
maka fkp bersama dari adalah
(2.7)
Berdasarkan Hogg and Craig (1995), fungsi likelihood didefinisikan sebagai fkp
bersama. Misalkan fungsi likelihood dinotasikan sebagai
sehingga
(2.8)
Dalam metode maximum likelihood estimation (MLE), penduga dari diperoleh
dengan memaksimumkan fungsi likelihood. Mencari penduga dari yang dengan
13
memaksimumkan fungsi sebut . Jadi penduga dari dapat diperoleh
dengan mencari solusi dari persamaan berikut:
2.8 Metode Iterasi Newton Raphson
Apabila dalam proses estimasi parameter didapat persamaan akhir yang non linear
maka tidak mudah memperoleh estimasi parameter tersebut, sehingga diperlukan
suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear tersebut. Salah satu
metode yang sangat populer digunakan untuk memecahkan sistem persamaan non
linear adalah metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson adalah metode
untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif seperti persamaan
likelihood yang mencari lokasi yang memaksimalkan suatu fungsi.
Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret Taylor linear:
Perluasan dari bentuk orde 1:
Diperoleh:
14
Jika p0 merupakan nilai awal (inisialisasi) dari atau
merupakan nilai ke-1 dari
, maka dapat dimisalkan dan dengan t awal = 0. Begitu pula
dengan G dan H. Maka diperoleh iterasi sebagai berikut:
dengan indeks t menyatakan ukuran iterasi.
Adapun langkah-langkah metode iterasi Newton Raphson adalah sebagai berikut:
1. Ambil estimasi awal dari , misal
2.
merupakan derivative pertama dari pada
3.
, misal dan , maka:
4. Estimator diiteratif sampai diperoleh jarak antara dengan nilainya
sangat kecil atau
Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sitem persamaan dengan lebih
dari satu parameter. Misal maka iterasinya sebagai berikut:
15
Dimana dan dalam bentuk vektor yaitu
(Seber dan Wild, 2003)
2.9 Mean Squared Error (MSE)
Keakuratan suatu penduga umumnya dievaluasi berdasarkan nilai Kuadrat Tengah
Galat (KTG) /Mean Squared Error (MSE). Nilai MSE dari suatu penduga parameter
memiliki peranan penting untuk diketahui, diantaranya adalah untuk mengukur
seberapa akurat penduga parameter yang diperoleh.
Jika
merupakan penduga bagi pi maka MSE tidak bersyarat dari
adalah
(2.9)
(
) (3.0)
Jika dan tidak diketahui, maka penduga bagi EB yaitu:
(3.1)
dengan dan diperoleh dari data (Sharon, 2009).
16
salah satu metode MSE yang dapat digunakan untuk mencari nilai MSE adalah MSE
Naïve dimana metode tersebut menggunakan varian dari posterior sebagai
pendekatannya
(3.2)
(Abadi, 2011)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2017/2018,
bertempat di Jurusan Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lampung.
3.2. Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data simulasi atau data yang
dibangkitkan dengan menggunakan software R i386 3.1.0. Pembangkitan data
dalam simulasi dilakukan menggunakan model Beta-Binomial Negatif dengan yi |
pi ~ Binomial negatif ( ki, pi) dan pi ~ Beta (α, β ). Simulasi dirancang untuk
menduga parameter dari penduga EB pada model Beta-Binomial negatif dengan
jumlah area ditetapkan n=10, n=50 dan n=100 sebagai representasi jumlah area
yang berukuran kecil, sedang, dan besar.
18
3.3 Metode Penelitian
Evaluasi MSE pada penelitian ini dilakukan secara empiris dengan bantuan
software R i386. Kajian secara empiris dilakukan melalui simulasi dengan model
dua tahap yaitu Beta-Binomial negatif. Level 1: yi | pi ~ Binomial Negatif (ki, pi)
Level 2 pi ~ Beta (α, β) , i= 1,2,3,…,m dengan yi menyatakan banyaknya jumlah
percobaan sampai mendapatkan sukses ke-k pada area ke-i, ki adalah banyaknya
jumlah suskes yang muncul pada area ke-i, pi adalah peluang keberhasilan suatu
kasus pada area ke-i yang tidak diketahui dan m menyatakan jumlah area,
sedangkan α dan β merupakan parameter yang belum diketahui.
Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi kepekatan peluang akhir (posterior) dari sampel acak
Binomial Negatif dan dengan priornya Beta .
2. Mendapatkan fungsi marginal dari model Beta-Binomial Negatif
3. Menduga parameter distribusi Beta-Binomial Negatif dengan
menggunakan pendugaan EB.
4. Menduga parameter dari penduga EB dengan menggunakan MM dan
MLE
5. Apabila dalam menduga nilai dugaan parameter tidak dapat dilakukan
secara analitik maka pendugaan dilakukan secara numerik dengan metode
Iterasi Newton Raphson.
6. Menentukan MSE bagi penduga EB.
7. Membandingkan nilai MSE dari metode MM dan MLE.
19
Langkah-langkah dalam mengevaluasi MSE adalah sebagai berikut :
1. Menetapkan jumlah area yang berbeda-beda yaitu 10, 50 dan 100 sebagai
representasi jumlah area yang berukuran kecil, sedang dan besar.
Menetapkan nilai dan sama-sama sebesar 1, 1.5, 2 sehingga
menghasilkan ragam antar area masing-masing 1.3, 5, dan 12 yang
mencerminkan ragam antar area kecil, sedang, dan besar.
2. Membangkitkan berdistribusi Beta . Dengan nilai α dan β yang
sudah ditentukan pada langkah 1
3. Membangkitkan data berdistribusi Binomial Negatif dengan
berdistribusi Beta sesuai dengan jumlah area yang sudah ditetapkan
4. Menentukan yaitu 0.000001.
5. Mendapatkan parameter penduga dengan MM.
6. Mendapatkan parameter penduga dengan MLE dengan melakukan iterasi
dengan ulangan 100 kali dan kriteria berhenti untuk Newton Raphson
adalah saat iterasi mencapai 10. Dengan sebelumnya menentukan
parameter awal α dan β.
7. Mendapatkan penduga EB (
)
8. Membandingkan nilai MSE yang diperoleh dari penduga MM dan MLE
dimana proses hitungan dilakukan dengan R i386 dengan metode Naive.
20
3.4 Diagram Alir Metode Penelitian
Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Penelitian
mulai
Menetapkan sampel acak Binomial
Negatif dan prior Beta .
Mendapatkan nilai MSE dari
bagi penduga (
)
Selesai
Menentukan Fungsi
Marginal
Mendapatkan penduga
(
)
Menduga parameter (
)
dengan metode momen dan MLE
Menentukan Fungsi
Posterior
21
3.5 Diagram Alir Simulasi MSE
Gambar. 3.2 Diagram Alir Simulasi MSE
Membangkitkan
Membangkitkan
dengan
Parameter penduga
dengan MM dan MLE
Menduga (
)
Menghitung MSE
dengan metode Naive
Menetapkan m = 10, 50
dan 100
α dan β= 1, 1.5, dan 2
mulai
Membandingkan nilai
MSE dari metode MM
dan MLE dengan Uji t
Selesai
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Penduga Empirical Bayes pada pendugaan area kecil dengan model Beta-
Binomial Negatif adalah
2. Nilai dugaan parameter pada model Beta-Binomial Negatif dengan metode
momen adalah
dan
dan pada metode Maximum Likelihood Estimation penduga parameternya
tidak dapat diperoleh secara analitik.
3. Metode Maximum Likelihood Estimation menghasilkan nilai MSE Naive
yang lebih baik dibandingkan dengan nilai MSE Naive yang dihasilkan
dengan Metode Momen dengan ragam antar area masing masing sebesar
1.3, 5, dan 12 yang diperoleh dari nilai nilai dan sama-sama sebesar 1,
1.5, 2.
DAFTAR PUSTAKA
Abadi, Slamet. 2011. Pendugaan Statistik Area Kecil Menggunakan Model Beta-
Binomial. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Berger, C., 1990.Statistical Inference. California: Wadsworth and Brooks/Cole.
Bolstad, W.M. 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. A John
Wiley & Sons. Inc; America
Casella, George dan Berger, L. Roger. 2002. Statistical Inference. Odsworth and
Brooks/Cole. Duxbury.
Hogg, R.V., and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, Fifth
Edition. Pretice-Hall, Inc., New Jersey.
Kismiantini. 2007. Pendugaan Statistik Area Kecil Berbasis Model
PoissonGamma. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Kurnia, Anang. 2009. Prediksi Terbaik Empirik Untuk Model Transformasi
Logaritma di Dalam Pendugaan Area Kecil Dengan Penerapan Pada Data
Susenas. Disertasi. Institut Pertaian Bogor, Bogor.
Larsen, Richard J.,and Marx, Morris L. 2012. An Introduction to Mathematical
Statistics and Its Applications. Fifth Edition. Pretice-Hall, Inc., Boston
Lohr, S.L., dan Rao, J.N.K. 2009. Jackknife Estimation of Mean Squared Error
of Small Area Predictors in Nonlinear Mixed Models. Journal of
Biometrika. 96, 457-468.
Martinez, E.Z., Achcar, J.A., dan Aragon, D.C. 2015. Parameter estimation of the
beta-binomial distribution: anapplication using the SAS software. Cienciae
Natura,Vol 37 n. 4. P 12-19.
Rao, J.N.K. 2003. Small Area Estimation. John Wiley and Sons, New York
Sadik, Kusman. 2009. Metode Prediksi Tak Bias-Linear Terbaik Dab Bayes
Berhirearki Untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space.
Disertasi. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Seber, G.A.F. dan Wild, C.J. 2003. Non Linear Regression. Departement of
Statistics University Auckland, New Zealand.
Sharon, L.L. 2009. Jacknife Estimation of Mean Squared Error of Small Area
Predictors in Nonlinear Mixed Models. Journal of Biometrika. 96, 457-468
Widiarti. 2011. Kajian Bias Metode Area-Spesific Jacknife Dan Bias Metode
Weighted Jacknife Dalam Pendugaan Area Kecil Untuk Respon Poisson
Dengan Pendekatan Bayes. Tesis. Institut Pertanian Bogor, Bogor.