Keywords: armatura trasverale, confinamento, duttilità, edifici in c.a., presso-flessione
ABSTRACT
In designing RC membratures subjected to flexure and axial load a crucial point is the amount of transverse
reinforcement to be applied to critical regions of columns. It allows to achieve the required section ductility
coherently with the assumed global ductility. This approach is adopted by recent seismic codes which provide
design equations linking the transverse reinforcement amount to the ductility curvature of critical regions and to the
axial load ratio of a column. In line with this approach parametric analyses on fiber sections reinforced by simple
hoops under flexure and axial load have been performed. Confinement effects have been computed with the
analytical model proposed by Braga, Gigliotti and Laterza (2006). Starting from the obtained results design
equation of transverse reinforcement amount has been proposed. By applying the used methodology design
equations referring to different arrangements of transverse reinforcement may be proposed in future works.
1 INTRODUZIONE
Le recenti normative sismiche internazionali (le neozelandesi NZS 3101, l’Eurocodice 8, le norme italiane NTC-08) esplicitano l’approccio prestazionale nella progettazione antisimica delle strutture. Al fine di realizzare strutture economicamente convenienti, esse accettano il danneggiamento degli elementi strutturali primari impiegando regole e dettagli costruttivi atti a favorire i meccanismi duttili inibendo la formazione di quelli fragili. In tal modo le escursioni in campo plastico di una struttura possono verificarsi senza repentine perdite di resistenza nei riguardi delle azioni laterali e garantendo la portanza dei carichi verticali.
Il dimensionamento dell’armatura trasversale in funzione della capacità dissipativa richiesta rappresenta senza dubbio un punto cruciale per tale strategia di progettazione. Coerentemente con la capacità dissipativa globale fissata le recenti normative antisismiche forniscono equazioni prestazionali che legano la duttilità di curvatura richiesta alla percentuale del carico assiale ed al quantitativo di armatura trasversale da disporsi
all’interno delle zone critiche degli elementi presso-inflessi in c.a.. E’ noto, infatti, che l’armatura trasversale consente di raggiungere elevate curvature in campo plastico in quanto: esercita un’azione di confinamento sul nucleo di calcestruzzo compresso aumentandone sia la resistenza sia la duttilità; ed esclude l’instabilità prematura delle armature longitudinali, riducendone la snellezza.
Nella presente memoria viene presentata una prima formulazione dell’equazione prestazionale che lega la duttilità di curvatura richiesta al quantitativo dell’armatura trasversale portando in conto gli effetti del confinamento con il modello analitico BGL (Braga et al. 2006, Braga et al. 2009a). L’equazione è stata ricavata a partire da regressioni effettuate sui risultati di analisi monotoniche momento-curvatura eseguite su sezioni quadrate a fibre al variare di differenti parametri quali: l’armatura trasversale e longitudinale, la percentuale del carico assiale, la resistenza del calcestruzzo e dell’acciaio. La tipologia di sezione impiegata può considerarsi rappresentativa di colonne esistenti in c.a. realizzate in Italia secondo il D.M. 09/01/1996 in assenza di dettagli costruttivi. In tal modo,
Progettazione dell’armatura trasversale in funzione della duttilità di
curvature richiesta: prima formulazione di base
Franco Braga, Rosario Gigliotti
DiSG - Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università “Sapienza”, Via Eudossiana 18,
00184 Roma.
Michelangelo Laterza, Michele D’Amato DiSGG Dipartimento di Strutture, Geotecnica, Geologia applicata all’Ingegneria, Università degli Studi
della Basilicata, viale dell’Ateneo Lucano, 85100 Potenza.
analogamente a quanto accade per le strutture di nuova progettazione, sarà possibile stabilire la duttilità di curvatura disponibile delle sezioni critiche in funzione del quantitativo dell’armatura trasversale presente.
2 DUTTILITÀ DI CURVATURA
RICHIESTA
Le principali normative internazionali
esplicitano la duttilità di curvatura richiesta in
funzione del fattore di struttura assunto per
l’edificio in progettazione.
Le normative antisismiche neozelandesi (NZS
3101), ad esempio, definiscono due differenti
tipologie di sistemi resistenti in c.a. per le azioni
sismiche: strutture duttili (ductile structures) e
strutture a limitata duttilità (structures of limited
ductility). Alle prime viene conferita una
maggiore capacità dissipativa (fattore di struttura
q=6) nei riguardi dell’azioni laterali rispetto alle
seconde (q=3). I quantitativi di armatura
trasversale sono forniti da equazioni prestazionali
che dipendono dalla classe di duttilità. La duttilità
di curvatura uy è stata assunta pari a 20 e 10
rispettivamente per le strutture duttili e quelle a
limitata duttilità.
L’Eurocodice 8 (EC8), invece, individua tre
classi di duttilità strutturale: bassa (low ductility,
DCL), media (medium ductility, DCM) ed alta
(high ductility, DCH).
La progettazione in bassa duttilità viene
eseguita in assenza di dettagli costruttivi
conferendo alla struttura una scarsa capacità
dissipativa. Tale classe strutturale viene
raccomandata solo in zone con bassa sismicità e
per essa può adottarsi un fattore di struttura
globale q pari a 1.5.
Le classi DCM e DCH, invece, si ottengono in
accordo a specifiche regole di progettazione tese
a conferire alla struttura un’adeguata capacità
dissipativa nei riguardi delle azioni sismiche di
progetto escludendo la formazione di meccanismi
fragili. Con riferimento alle strutture regolari
intelaiate, il fattore di struttura assume il valore di
q=5,85 e q=3,9, rispettivamente per edifici
progettati in DCH ed in DCM.
La duttilità di curvatura richiesta alle sezioni
delle zone critiche può calcolarsi mediante la
relazione:
Figura 1. Duttilità di curvatura al variare del periodo fondamentale T1 a) fino a 1 sec; b) fino a 4 sec
1
1 1
2 1
1 2 1
c
c c
q T T
q T T T T
(1)
dove q è il fattore di struttura (duttilità globale)
assunto; T1 è il periodo fondamentale della
struttura entrambi riferiti al piano verticale di
inflessione in esame; e Tc è il periodo dello
spettro della componente orizzontale a cui
corrisponde la fine del tratto con pseudo
accelerazione costante. La duttilità di curvatura è
definita come il rapporto tra la curvatura
corrispondente all’85% della resistenza a
flessione e la curvatura di prima plasticizzazione
(corrispondente allo snervamento dell’acciaio
teso o al raggiungimento della deformazione di
compressione del 2‰ nella fibra di calcestruzzo
più esterna). Non è specificato, tuttavia, se la
duttilità richiesta calcolabile con l’eq. (1) si
riferisca alle sezioni critiche delle travi o dei
pilastri.
In figura 1 viene riportata la duttilità di
curvatura richiesta ottenuta con l’eq. (1) ed
amplificata del coefficiente 1,5. I grafici ottenuti
mostrano che la duttilità di curvatura richiesta,
fissata la categoria di sottosuolo e la classe di
duttilità, varia notevolmente nell’intervallo più
usuale di T1 per le costruzioni intelaiate. Per
strutture molto rigide, inoltre, la duttilità richiesta
può raggiungere, per sottosuolo di categoria D,
valore poco inferiore a 100, all’incirca 6 volte la
duttilità di curvatura richiesta per T1>TC.
In figura 2, invece, è riportato il rapporto per
ciascuna categoria di sottosuolo tra la duttilità di
curvatura richiesta per DCH e DCM al variare di
T1. Si noti come tale rapporto rimanga al variare
del periodo di poco superiore a 1,5, rapporto
quest’ultimo tra i due fattori di struttura assunti
per le due classi di duttilità DCH e DCM.
Le Norme Tecniche per le Costruzioni italiane
(NTC-08) individuano due classi di duttilità al
variare della capacità dissipativa globale: Classe
di Duttilità Alta (CD”A”) e Classe di Duttilità
Bassa (CD”B”) e corrispondono, rispettivamente,
alle classi DCH e DCM dell’EC8. La duttilità di
curvatura richiesta alle sezioni critiche si calcola
con l’eq. (1) e deve amplificarsi almeno di un
coefficiente pari a 1,5. L’approccio progettuale
adottato, dunque, è analogo a quanto riportato
nell’EC8.
In figura 3 è riportato un confronto tra la
duttilità di curvatura richiesta nelle zone critiche
per la classe di duttilità alta (figura 3a) e bassa
(figura 3b). Al fine di semplificare i confronti, la
duttilità di curvatura richiesta secondo le NTC-08
è stata calcolata assumendo lo stesso valore TC
riportato nell’EC8.
I confronti effettuati mostrano che la richiesta
di duttilità di curvatura calcolata con l’EC8 e le
NTC-08 coincidono con quanto fornito dalla NZS
3101 solo nel caso di bassa duttilità per periodi
maggiori di 0,5 sec.
Figura 2. Rapporto tra la duttilità di curvatura richiesta per DCH e DCM secondo l’EC8
Figura 3. Confronti tra la duttilità di curvatura richiesta alle zone critiche a) per strutture con alta duttilità; b) strutture con bassa duttilità
L’approccio progettuale adottato dalle
normative esaminate evidenzia l’importanza nella
progettazione antisismica delle strutture di una
corretta valutazione della duttilità di curvatura
delle sezioni critiche in c.a.. Pertanto, essa deve
valutarsi a partire da modelli analitici capaci di
descrivere l’effettivo comportamento non lineare
delle sezioni portando in conto gli effetti del
confinamento e gli scorrimenti delle barre
longitudinali.
3 EQUAZIONE DI PROGETTO
DELL’ARMATURA TRASVERSALE:
FORMULAZIONE DI BASE
Nel presente paragrafo viene illustrata la
procedura utilizzata per ricavare una prima
formulazione dell’equazione di progetto
dell’armatura trasversale per sezioni presso-
inflesse in c.a. portando in conto gli effetti del
confinamento con il modello BGL (Braga et. al
2006, Braga et al. 2009a).
La procedura impiegata è del tutto
generalizzabile per qualsiasi tipologia di sezione
e configurazione di armatura trasversale. Di
seguito si riportano i principali risultati relativi ad
una sezione quadrata in cui l’armatura trasversale
è costituita da una staffa semplice in assenza di
legature multiple. Come già anticipato, tale
tipologia può intendersi come rappresentativa di
strutture esistenti in c.a. realizzate in accordo al
D.M. 09/01/1996 in assenza di dettagli
costruttivi.
L’equazione di progetto per l’armatura
trasversale è stata ricavata a partire dai risultati
ottenuti con simulazioni numeriche al variare dei
seguenti parametri (tabella 1): percentuale di carico assiale =P/f’cAg.
Sono stati considerati quattro valori del carico assiale: 0,2; 0,4; 0,6 e 0,8;
resistenza cilindrica del provino di calcestruzzo non confinato f’c. Le analisi sono state effettuate con riferimento a tre diversi valori di f’c: 30 MPa, 40 MPa e 50 MPa;
percentuale geometrica t dell’armatura trasversale definita come:
. . . .
. .t
Vol armat trasv di conf
Vol cls conf (2)
con valori appartenenti all’intervallo 0,005-0,035 (con incrementi di 0,005);
percentuale geometrica dell’armatura longitudinale s data dal rapporto:
. . .
. .s
Areatot armat long
Arealorda sez trasv (3)
variabile nell’intervallo 0,005-0,03 (con incrementi di 0,005);
resistenza a snervamento dell’acciaio longitudinale e trasversale pari fy= 400 MPa;
rapporto c/h (copriferro/altezza della sezione) pari a 0,06.
Le analisi momento-curvatura sono state effettuate con il programma open source OpenSees (http://opensees.berkeley.edu/) su una sezione a fibre soggetta a presso-flessione retta.
Tabella 1. Intervalli dei parametri nelle analisi effettuate
Parametro Intervallo considerato Incremento
=P/f’cAg 0,2-0,8 0,2
f’c (MPa) 30, 40, 50 -
t 0,005-0,035 0,005
s 0,005-0,03 0,005
L 500 mm
c/h 0,06
u/y 5-20 5
fy (MPa) 400 -
Figura 4. Definizione della sezione a fibre e modelli analitici di materiale utilizzati
In ciascuna analisi effettuata è stato applicato
dapprima un carico assiale costante e
successivamente una curvatura crescente fino al
raggiungimento del valore ultimo corrispondente
alla rottura della sezione.
Gli effetti del confinamento sono stati portati
in conto assegnando al nucleo del calcestruzzo
confinato il legame analitico BGL (Braga et al.
2006), attualmente disponibile nelle librerie di
OpenSees (Braga et al. 2009a), mentre al
copriferro è stato assegnato il legame di
calcestruzzo non confinato. Nelle simulazioni
effettuate all’acciaio dell’armatura longitudinale è
stato assegnato un legame elastico-perfettamente
plastico in perfetta aderenza.
La deformazione a compressione del
calcestruzzo confinato corrispondente alla rottura
a trazione della prima staffa è stata valutata caso
per caso per via numerica mediante l’approccio
energetico proposto da Mander et al. (1998) e
modificato da Braga et al. (1999).
I criteri adottati per il calcolo della resistenza
della sezione e della duttilità di curvatura
disponibile della sezione sono analoghi a quelli
adottati nello studio pubblicato da Watson et al.
(1994). Tale studio è stato utilizzato per la
formulazione delle equazioni di progetto
dell’armatura trasversale riportate nelle norme
neozelandesi NZS 3101.
3.1 Definizione della curvatura di primo
snervamento e della curvatura ultima
La duttilità di curvatura disponibile per
ciascuna sezione in c.a. analizzata è stata
calcolata con riferimento al legame bilineare-
associato al legame momento-curvatura M-
ottenuto dall’analisi (figura 5).
Dapprima è stato individuato il punto di primo
snervamento (’y, M’i) della sezione. Tale punto è
associato al raggiungimento della prima delle due
seguenti condizioni: a) la fibra più esterna del
calcestruzzo (del copriferro) raggiunge la
defomazione dello 0,002 a compressione; b) la
fibra dell’armatura longitudinale tesa d’acciaio
più sollecitata raggiunge la resistenza a
snervamento fy. Il duplice criterio per la
definizione del punto di primo snervamento è
preferibile al criterio convenzionale del solo
snervamento dell’armatura tesa in quanto, per
carichi assiali elevati, tale condizione potrebbe
non verificarsi.
La resistenza del diagramma bilineare è stata
posta pari al picco di resistenza Mi a flessione
della sezione mentre il punto di snervamento è
stato ricavato con una proporzione:
'
'
y
y i
y
MM
(4)
La curvatura ultima u è stata definita, per
ciascuna analisi effettuata, in corrispondenza al
raggiungimento della prima delle seguenti
condizioni: momento resistente della sezione pari a
0,8Mi, dove Mi rappresenta il momento resistente di picco della sezione;
raggiungimento la deformazione ultima dell’acciaio, posta pari al 7,5%;
rottura a trazione della prima staffa. L’instabilità delle barre longitudinali è stata
trascurata in quanto in tutte le analisi effettuate il
passo staffe è minore di 6db, dove db è il diametro
minimo delle barre longitudinali.
3.2 Formulazione di base dell’equazione di
progetto dell’armatura trasversale
Nella figura 6 e figura 7 si riportano i primi
risultati ottenuti con le analisi effettuate al variare
delle grandezze indicate nella tabella 1.
Figura 5. Definizione del diagramma bilineare associato della sezione
In ciascun diagramma viene rappresentato al
variare della percentuale del carico assiale la
percentuale meccanica di armatura trasversale
(sm) richiesta nei casi analizzati al variare della
duttilità di curvatura assunta. Inoltre, viene
riportata la retta di regressione al 95-esimo
percentile ottenuta con il metodo dei minimi
quadrati.
I primi risultati ottenuti confermano che, a
parità di carico assiale, la duttilità di curvatura
disponibile cresce al crescere del quantitativo di
armatura trasversale impiegato. Inoltre, per una
data duttilità di curvatura, l’armatura trasversale
da impiegare è tanto maggiore quanto maggiore è
il carico assiale agente. Si noti come le analisi
eseguite mostrino che per elevate percentuali di
carico assiale (maggiore di 0.6) la duttilità di
curvatura disponibile non raggiunge mai il valore
20. Vale la pena ricordare che, ad esempio, le
norme italiane NTC-08 e l’EC8 limitano al 55%
per CD”A”/DCH ed al 65% CD”B”/DCM la
percentuale massima del carico assiale di progetto
per i pilastri di edifici con strutture a telaio.
Alla luce dei risultati ottenuti la relazione tra il
rapporto volumetrico di armatura trasversale sm
e la percentuale di carico assiale P/f’cAg può
rappresentarsi con buona approssimazione
mediante una legge di tipo lineare:
's
c g
Pm A B
f A
(5)
dove m è dato dal rapporto fy/0,85f’c; A e B
sono due coefficienti funzione della percentuale
meccanica dell’armatura longitudinale tm e della
duttilità di curvatura u/y.
Sulla base dei primi risultati ottenuti, per il
coefficiente A (figura 8 e 9) e B (figura 10)
vengono proposte le seguenti relazioni:
tA m (6)
0,003 0,0042u
y
B
(7)
dove
2
0,0028 0,0753 0,3373u u
y y
(6’)
2
0,001 0,0376 0,4378u u
y y
(6’’)
Figura 6. Rette di regressione di sm per a) tm = 0,1; b) tm = 0,2; c) tm = 0,3; e d) tm = 0,4 ottenute per una duttilità di curvatura u/y=5
Figura 7. Rette di regressione di sm per a) tm = 0,1; b) tm = 0,2; c) tm = 0,3; e d) tm = 0,4 ottenute per una duttilità di curvatura u/y=20
Figura 8. Rette di regressione del coefficiente A per i diversi livelli di duttilità di curvatura considerati
Figura 9. Determinazione dei coefficienti e di A [eq. (6)]
Figura 10. Determinazione del coefficiente B dell’eq. (5) (valore medio per ciascun livello di duttilità u/y considerato)
L’eq. (5) rappresenta una prima formulazione
dell’equazione di progetto dell’armatura
trasversale per sezioni quadrate con staffa
semplice portando in conto l’effetto del
confinamento con il modello analitico BGL. Essa
può riscriversi nella forma:
'
'0,425sh c
y c g
A f PA B
bs f f A
(7)
dove Ash è l’area trasversale complessiva di
confinamento (pari a 2Ah dove Ah è l’area della
staffa impiegata); s è il passo e b è la distanza tra
i bracci dell’armatura trasversale (riferiti all’asse
baricentrico della staffa).
4 CONFRONTI
In figura 11 e 13 si riportano i confronti tra il
diametro armatura trasversale richiesto dall’EC8
e delle NZS3101 con quanto invece ricavato con
l’equazione di progetto proposta per tre differenti
valori della duttilità di curvatura: 10, 16 e 20. Per
poter meglio comparare gli effetti delle
prescrizioni di norma, nei confronti effettuati, non
si è tenuto conto della percentuale meccanica
minima di armatura trasversale richiesta nelle
zone critiche dall’EC8. In figura 12 e 14, invece, i
risultati vengono confrontati con riferimento alle
classi di duttilità alta e bassa stabilite dalle
normative analizzate. La sezione in esame è
quadrata di lato 500 mm, con un passo di
armatura trasversale pari a 50 mm e 100 mm, ed è
rinforzata complessivamente con 820 distribuiti
uniformemente lungo il perimetro del nucleo
confinato della sezione. La percentuale di carico
assiale investigata è compresa tra 0,1 e 0,8. Il
valore 0,1 rappresenta il limite al di sopra del
quale l’elemento strutturale è classificato come
colonna secondo l’EC8. Il limite 0,8, invece, è un
valore ben al di sopra del limite consentito tanto
per l’EC8 quanto per le NTC-08 nelle zone
critiche dei pilastri. Come precedentemente
ricordato tale limite è pari al 55% ed al 65% del
carico di rottura per strutture intelaiate progettate,
rispettivamente, in alta e bassa duttilità.
I confronti effettuati mostrano che,
relativamente ai casi esaminati, l’EC8 fornisce
quantitativi di armatura trasversale maggiori
rispetto alle altre relazioni esaminate e che tali
differenze crescono al crescere sia del passo
staffe sia della duttilità di curvatura richiesta.
Figura 11. Confronti tra i diversi diametri di armatura trasversale ottenuti con riferimento ad un passo staffa s=50 mm ed a tre differenti livelli di duttilità di curvatura: a) 10, b) 16 e c) 20.
Figura 12. Confronto tra il diametro di armatura richiesto dall’EC8 e dalle NZS3101 con quanto ottenuto con l’equazione di progetto proposta per l’alta e la bassa classe di duttilità (passo staffa s=50 mm)
Figura 13. Confronti tra i diversi diametri di armatura trasversale ottenuti con riferimento ad un passo staffa s=100 mm ed a tre differenti livelli di duttilità di curvatura: a) 10, b) 16 e c) 20.
Figura 14. Confronto tra il diametro di armatura richiesto dall’EC8 e dalle NZS3101 con quanto ottenuto con l’equazione di progetto proposta per l’alta e la bassa classe di duttilità (passo staffa s=100 mm)
5 CONCLUSIONI
Nella presente memoria è stata proposta una
prima formulazione dell’equazione di progetto
per le sezioni in c.a. con riferimento alla tipologia
di sezioni quadrate con staffa semplice portando
in conto gli effetti del confinamento con il
modello analitico BGL (Braga et al. 2006).
Le analisi effettuate potranno estendersi anche
al caso di sezioni con legature multiple e/o
rettangolari in presso-flessione deviata. Inoltre,
potranno eseguirsi anche analisi cicliche
momento-curvatura che consentiranno di valutare
l’influenza del degrado sulla risposta ciclica della
sezione.
Il lavoro presentato rappresenta un primo
contributo alla valutazione della duttilità
disponibile delle sezioni di edifici esistenti in c.a..
Esso dovrà completarsi effettuando analisi
parametriche rimuovendo l’ipotesi di perfetta
aderenza tra le barre longitudinali ed il
calcestruzzo (Braga et al. 2009b) con l’aggiunta
di eventuali rinforzi esterni per la progettazione
dell’intervento locale.
A partire dal presente lavoro, infine, potrà
formularsi un approccio progettuale unitario delle
sezioni in c.a. che porti opportunamente in conto
gli effetti del confinamento e degli scorrimenti
nelle zone critiche degli elementi presso-inflessi.
Noto il quantitativo di armatura trasversale
richiesto, potranno impiegarsi nei diversi stati
limite gli stress-blocks del calcestruzzo confinato
(Braga et al. 2007) per il calcolo della resistenza
della sezione, ricavando in modo più accurato le
sollecitazioni di progetto derivanti dalla gerarchia
delle resistenze.
RINGRAZIAMENTI
Si ringrazia lo studente Michele Vito
Casamassima per le analisi eseguite con
OpenSees durante la propria tesi di laurea.
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