51 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Progresiones Geométricas de Oro
Juárez, Gustavo Adolfo; Navarro, Silvia Inés
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Catamarca. Avda. Belgrano 300. (4700) Catamarca. [email protected]
Fecha de presentación:30/03/2012
Fecha de aceptación:11/06/2012
Resumen
Las sucesiones de Fibonacci y de Lucas forman parte de un conjunto más general al que nos referiremos en este artículo. En ellas se observa un comportamiento análogo entre ambas, consecuencia de ser soluciones de una misma ecuación pero con condiciones iniciales distintas. Tal ecuación es una ecuación en diferencias finitas y junto a los dos valores iniciales determinan un problema con valor inicial discreto de segundo orden homogéneo con coeficientes unitarios diferenciados solamente por sus dos valores iniciales dados. Estos problemas tienen como soluciones sucesiones recurrentes. Las identidades entre elementos de ambas
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sucesiones arriba citadas es por demás conocidas, aquí pretendemos extender las mismas a elementos de otras sucesiones más generales a las que llamaremos Progresiones Geométricas de Oro.
Palabras Clave: Número de Fibonacci; Número de Lucas; Ecuaciones recurrentes; Ecuaciones en diferencias; Progresiones geométricas.
Gold Geometric Progressions
Abstract
The sequences of Fibonacci and Lucas are part of a larger body to which we refer in this article. They show a similar behavior between the two, due to be solutions of the same equation but with different initial conditions. This equation is a finite difference equation with two initial values determines an initial value problem of second order discrete homogeneous unit rates differentiated only by their given two initial values. These problems are recurring sequences as solutions. The identities between elements of both sequences mentioned above is known other, here we intend to extend them to other elements of more general sequences which we will call Gold Geometric Progressions
Keywords: Fibonacci number; Lucas number; Recurrent equations; Difference equations; Geometric progressions.
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Introducción
Ecuaciones en Diferencias
Siendo { }nx una sucesión se entiende por Ecuación en
Diferencias a toda ecuación que relaciona términos de esa sucesión
[4].
Así, las siguientes son Ecuaciones en Diferencias, (en
adelante EED):
nxxx nnn 2853 12 =+− ++ ,
732532 23
1 ++−=−+ nnnxx nn ,
032 24 =+− ++ nnn xxx
La primera de ellas es de segundo orden, la siguiente de
primer orden y la última de cuarto orden. Es decir, entendemos
por orden a la máxima diferencia entre los subíndices de los
términos de la sucesión presente en la ecuación.
Además la última se dice homogénea mientras que las
otras no. Esto es, que una vez ubicados los términos que contiene
a elementos de una sucesión en un miembro si se iguala a cero es
homogéneo, en caso contrario no homogéneo.
En todos los casos se consideró coeficientes constantes y
ecuaciones lineales, tal linealidad está en las incógnitas de la
ecuación, o sea en los términos de la sucesión. Resolver una EED
es hallar la sucesión que satisface tal ecuación.
Nos detendremos en las ecuaciones de segundo orden,
por ser el interés de este trabajo, para las cuales resolver requiere
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de una ecuación auxiliar denominada ecuación característica, la
cual es algebraica de segundo grado en una incógnita con idénticos
coeficientes de la EED dada. La solución de la ecuación algebraica
son dos números no necesariamente distintos, denominados raíces
características. Tales raíces permiten formar la solución de la
EED, como una combinación lineal de potencias enésimas de tales
raíces para el caso de raíces características. En el caso de raíces
características iguales la combinación lineal se realiza entre esa
raíz y un múltiplo de ella, [1], [4], [7].
Entonces, dada una ecuación en diferencias lineal con
coeficientes constantes de segundo orden homogénea
012 =++ ++ nnn bxaxx , con 0≠b , la ecuación característica es
02 =++ baxx . Las raíces características la indicaremos con 1ρ y 2ρ .
La solución de la EED se expresa como: nnn CCx 2211 ρρ += si las raíces
características son distintas, y ( ) nn nCCx ρ21 += , si ambas raíces
características son iguales, indicándolas con ρ .
Por ejemplo la EED 0107 12 =+− ++ nnn xxx , tiene raíces
características distintas, ellas son 2 y 5 y la sucesión solución es nn
n CCx 52 21 += . Mientras que la EED 0168 12 =+− ++ nnn xxx tiene la
raíz doble 4, y la solución es la sucesión ( ) nn nccx 421 += .
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Desarrollo
Problemas con valores inicial discreto
Obtener la sucesión solución de una ecuación en
diferencias implica hallar una expresión que contiene tantas
constantes como el orden de la ecuación, de esa manera la solución
no es única [4], [5]. La unicidad la obtenemos si tales constantes
toman un valor definido. Para ello debemos conocer los valores
iniciales de la sucesión. Para una ecuación en diferencias de
segundo orden necesitamos dos valores iniciales. Una EED con
valores iniciales dados se denomina Problema con Valor Inicial
Discreto (en adelante PVID), donde su solución es una sucesión
única cuya representación no contiene constantes.
Por ejemplo, podemos citar los siguientes PVID:
⎩⎨⎧
+−=−=
+ 5234
21
0
nnxxx
nn
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−==
+ 253
2
1
0
nn xxxx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−====
++ 0243
1
34
3
2
10
nnn xxxxx
xx
El primero de los ejemplos contiene una EED de primer
orden y por lo tanto una condición inicial. En el segundo, el
problema con valor inicial tiene una EED de segundo orden y dos
valores iniciales. Obsérvese que la EED no contiene todos los
términos. Mientras que el tercer problema es de cuarto orden y
por ello tiene cuatro valores iniciales.
De esta manera la solución que se obtiene en un PVID es
particular, o sea, carece de constantes.
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Para los PVID anteriores las soluciones son las
sucesiones:
...,13,7,4,3,1,1:
...,7,7,5,5,3:
....,182,57,17,4:
n
n
n
x
x
x
Temporada de conejos: Sucesión de Fibonacci
El problema con valor inicial discreto que primero saltó
a la fama fue el de los conejos, y se le atribuye a Leonardo de Pisa.
Este gran matemático escribió su majestuosa obra Liber abaci
(1202), el cuál es un libro histórico sobre aritmética, que tiene dos
traducciones comunes, El libro del ábaco o El libro del cálculo [3],
[10]. Con este trabajo, introduce a Europa los números arábigos,
un elemento importantísimo en nuestro sistema decimal, el cual
había aprendido cuando estudió con los árabes mientras vivía en el
norte de África con su padre, Guglielmo.
57 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Leonardo de Pisa, inmortalizado como Fibonacci
El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo,
era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió
póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de
Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según
algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy
Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo en donde
aprendió el sistema de numeración árabe. A Leonardo se lo conoce
entonces por Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo
Bigollo, este último, nombre que adquirió mientras formaba
parte de la Corte del Emperador Federico II, en la República de
Pisa, sin embargo como Fibonacci paso a la inmortalidad.
El problema de los conejos dado por Fibonacci en Liber
Abacci, plantea las siguientes condiciones [10].
Supongamos que:
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• Se coloca un par de conejos en un recinto el primer
día de enero,
• Este par produce otro par de conejos el primero de
febrero y el primer día de cada uno de los meses
siguientes,
• Cada nuevo par de conejos madura en un mes y
produce un nuevo par de conejos en el primer día
del siguiente mes de vida y en el primer día de cada
uno de los meses siguientes.
Con lo cuál debemos distinguir dos grupos de conejos, los
adultos y los recién nacidos, se los indicaremos con las sucesiones
iA y iB respectivamente, correspondientes al i-ésimo mes. Las dos
sucesiones tienen sus primeros elementos:
:iA 1, 1, 2, 3, 5, ..... :iB 0, 1, 1, 2, 3, ....
De ambas se propone una nueva sucesión iT , que indica
la cantidad total de conejos para idéntico tiempo, o sea es la suma:
iii BAT += .
Por otro lado podemos observar que nn AB =+1 para 1≥n y
que 112 +++ += nnn BAA , con lo que en términos de los conejos adultos
se tiene: nnn AAA += ++ 12 para 1≥n . A ésta sucesión se la denomina
Sucesión de Fibonacci:
nn AF = .
Hasta aquí el subíndice de la sucesión de Fibonacci se
inicia en uno. En consecuencia 11 −− == nnn FAB para 2≥n . Si
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hacemos 1=n , tenemos 01 FB = , definiendo el primer término de
Fibonacci y quedando la ecuación recurrente de la sucesión
11 −+ += nnn FFF , como ecuación generadora de los restantes términos
a partir de los dos valores iniciales, 00 =F y 11 =F .
Ambas expresiones definen a la sucesión de Fibonacci
mediante el PVID siguiente:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+===
−+ 1;10
11
1
0
nFFFFF
nnn
También conocida como definición recurrente de la
sucesión de Fibonacci.
Como la solución de la ecuación en diferencias del PVID
se expresa generalmente en términos de las raíces características
251+
=α y 2
51−=β ,
la sucesión se puede escribir como
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
nn
nF2
512
515
1 para 1≥n .
Expresión conocida como Fórmula de Binet, en homenaje al
matemático francés Jacques-Phillipe-Marie Binet (1786-1856), y
que en término de las raíces características se expresa como:
βαβα
−−
=nn
nF .
La primera raíz característica, α se conoce como el
Número de Oro, y se representa con Φ , que es un número
60 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
irracional y se lo estudia en la razón áurea de un segmento y en el
rectángulo áureo.
Como α=Φ , podemos hallar otra representación de la
sucesión de Fibonacci en la forma de Binet. Para ello primero
presentemos algunas identidades de las raíces características, esto
es:
1. 1=+ βα 5. 12 += ββ
2. 5=− βα 6. 322 =+ βα
3. 1−=⋅ βα 7. βαβα −=− 22
4. 12 +=αα 8. 122 =⋅ βα
La forma de Binet se expresa en términos del número
áureo como
( )12
1−ΦΦ−−Φ
=nn
nF
Y Lucas... y Lucas... y Lucas
Esta expresión clásica en el pato Lucas Armando, por
estar siempre después de Bugs Bunny [2], parece llevarnos a la
segunda sucesión más conocida, que parte de un PVID con igual
EED pero con valores iniciales distintos. De allí que la solución
general es la misma en ambas sucesiones pero los valores iniciales
la diferencian de la anterior, es decir de la sucesión de Fibonacci.
61 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Antes, aclaremos quien es nuestro Lucas, no nos
referimos al personaje de los dibujos animados sino a François
Édouard Anatole Lucas (Amiens, 4 de abril de 1842-París, 3 de
octubre de 1891), quién fue un reconocido matemático francés.
François Lucas, matemático francés
Trabajó en el observatorio de París y más tarde fue
profesor de matemáticas en la capital del Sena, [3], [8]. Se le
conoce sobre todo por sus trabajos sobre la sucesión de Fibonacci y
por el test de primalidad que lleva su nombre, pero también fue el
inventor de algunos juegos recreativos matemáticos muy conocidos
como el de las Torres de Hanói.
Entre las incursiones que realizó sobre la sucesión de
Fibonacci, está la notación que el asignó a la misma, ésta es:
( )5
1 nn
nF Φ−−Φ= .
62 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Por otro lado definió y estudió una sucesión que se
conoce como de Lucas, dada por el PVID
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+===
−+ 11
2
1
31
nnn LLLLL
La sucesión en términos de las raíces se puede denotar
usando la expresión de Binet como
nn
nn
nL βα +=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
251
251
, para 1≥n .
Esta sucesión tiene valores iniciales muy particulares, en
efecto βα +=1L y 222 βα +=L , es decir estos valores dependen de
las raíces características de la EED.
Con esto redefinimos a la sucesión de Lucas como
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+=+=
nnnL
LL
βαβαβα
222
1
Por otro lado, así como la sucesión de Fibonacci pudo
extenderse al subíndice cero, lo mismo podemos hacer con la de
Lucas. Para ello tomemos la EED generadora hacia atrás, esto es:
213120 =−=−= LLL .
Obsérvese que éste valor satisface la última definición
para 0≥n , con lo cual extendemos la sucesión de Lucas, y ahora
podemos escribirla
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+===
−+ 11
1
0
12
nnn LLLLL
63 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
También podemos usar el número áureo para definir la
sucesión. En tal caso:
n
nnL ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+Φ=
251
.
O bien, como Φ−=−= 11 αβ , nos queda ( )nnnL Φ−+Φ= 1
Además como
( )( )( )
( ) ( ) nnn
nnn
n
−
−−
−−
Φ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
251
51512
5151512
512
251β
También podemos decir que
( ) nnnL −Φ−+Φ=
Progresiones Geométricas de Oro
Vimos que las sucesiones Fibonacci y de Lucas tienen la
misma EED en el PVID, es decir, se generan a través de la misma
forma recurrente. La EED en cuestión, cuyas soluciones
particulares vimos son representadas por α y β , y que
determinan la solución general de la EED, como combinación
lineal de potencias enésimas de ellas. Estas raíces características
son los números irracionales que satisfacen: βα >
Una generalización en forma inmediata podemos realizar
para estas sucesiones al escribir como un PVID con igual EED
pero con valores iniciales arbitrarios.
64 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
A este tipo de sucesiones que [3] cita como una
generalización de la sucesión de Fibonacci, es a la que nos
referimos en este artículo, y a las cuales las dos sucesiones de
Fibonacci y Lucas son casos particulares. Si de poner nombres se
trata las denominaremos Progresiones Geométricas de Oro, y
mencionaremos el porque.
El número de oro α=Φ , cuenta con un gran número de
propiedades, y asociado a la sucesión de Fibonacci se hallan varias
de ellas. Una de ellas es la siguiente y que cumpliría su primera
centuria, y se le adjudica a Barr y Schooling (1912):
Φ=+
∞→ n
n
n FF 1lim
Esta propiedad se verifica en términos de la EED y es
independiente de los valores iniciales, por lo que puede extenderse
a la sucesión generalizada, o sea a las Progresiones Geométricas
de Oro (en adelante PGO).
Con esto la propiedad puede escribirse
Φ=ΦΦ +
∞→ n
n
n
1lim .
Esto se verifica, pues:
n
n
nnn
nn
nn
n
n cc
cc
cccc
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=++
=ΦΦ
∞→
++
∞→
+
∞→
αβαββα
βαβα
21
21
21
12
111 limlimlim
Como 1<αβ
, resulta 0lim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→
n
n αβ
. Con esto el límite es el número
áureo.
65 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Por lo tanto se puede escribir, nn ΦΦ=Φ +1 para ∞→n , es
decir es una progresión geométrica con razón Φ , o sea una
progresión geométrica con razón áurea, o PGO.
De ésta manera la generalización que llamamos PGO la
podemos expresar mediante el PVID:
⎪⎩
⎪⎨⎧
Φ+Φ=ΦΦ=ΦΦ=Φ
−+ 11
2
1)2( )1(
nnn
Busquemos la forma de Binet de una PGO. Como la
solución general de la EED asociada al PVID es: nnn CC βα 21 +=Φ
Y según los valores iniciales que podemos llamar A y B
respectivamente, queda:
ACCCC =+=+=Φ 210
20
10 βα y BCCCC =+=+=Φ βαβα 211
21
11
De allí que βαβ
−−
=ABC1 y
βαα−−
=BAC2 , por lo que podemos
dar como forma de Binet a la siguiente expresión, donde se
destacan los valores iniciales:
( ) ( )βα
βααβ−
−+−=Φ
nnBA
nBAAB,
Forma de Binet general para toda PGO que verifica para
los casos particulares que son:
βαβα
−−
=Φ=nn
nnF 1,0
y
( ) ( )βα
βααβ−
−+−=Φ=
nn
nnL 12211,2
66 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Además, como 51221 =−=−=− βααβ , se verifica que
nnnnL βα +=Φ= 1,2
Vivir el sueño del oro, morir el sueño de las progresiones
Es por demás conocido las principales propiedades de los
números de Fibonacci, enumerar a todas es un gran desafío, aquí
nos basaremos en algunas de las que se mencionan en las
bibliografías de referencias, pero nuestra intención en este trabajo
es presentar a las progresiones geométricas de oro como una forma
general que incluyen a las de Fibonacci y a las de Lucas, por lo que
procuraremos dar la extensión de estas versiones, o al menos
soñar el sueño del oro y no perecer en las demostraciones de tales
progresiones, parafraseando la zamba de los mineros [6].
Los enunciados los presentaremos en el orden en que
suelen indicarse en las bibliografías de referencias, pero usando
para nuestras progresiones la notación anterior como una
generalización de las sucesiones de Fibonacci y de Lucas, o sea
como PGO.
Propiedad 1:
La suma de los n primeros términos de una progresión
geométrica de oro es igual a la diferencia entre el (n+2) término
menos el segundo término.
67 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
En efecto: de la EED del PVID 11 −+ Φ+Φ=Φ nnn , se tiene
nnn Φ−Φ=Φ +− 11 con lo cuál justificamos el desarrollo siguiente en
donde cada uno de los n primeros términos se expresan así:
120 Φ−Φ=Φ
231 Φ−Φ=Φ
342 Φ−Φ=Φ
. . . . . . . . .
nnn Φ−Φ=Φ +− 11
Sumando miembro a miembro las n igualdades
anteriores resulta:
111210 ... Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ +− nn
Tal como queríamos probar. █
La propiedad anterior considera la suma de todos los n
primeros términos de una PGO.
Ahora nos remitiremos a los de orden impar y par,
recuerde el lector que al iniciar el subíndice en 0, el primer
término lleva subíndice 0, el segundo lleva subíndice 1, ..., el
término que se ubica en orden impar lleva índice par y viceversa.
68 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Propiedad 2:
La suma de la n primeros términos de orden par de una
progresión geométrica de oro es igual al término de orden impar
siguiente menos el primer término.
Ahora usaremos la relación 11 −+ Φ−Φ=Φ nnn que también
se obtiene de la EED del PVID, pero donde la paridad de los
índices del segundo miembro son iguales y distinta a la del
primero. Es decir, que para los términos de orden par desde el
segundo se cumple:
021 Φ−Φ=Φ
243 Φ−Φ=Φ
465 Φ−Φ=Φ
. . . . . . . . . . .
22212 −− Φ−Φ=Φ nnn
Sumando miembro a miembro estas igualdades resulta:
0212531 ... Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ − nn █
Propiedad 3:
La suma de los n primeros términos de orden impar de
una progresión geométrica de oro es igual al término de orden par
siguiente menos el segundo término y mas el primer término.
Aplicando la primera propiedad para los primeros 2n
términos y restando los impares según lo dado por la segunda
propiedad, resulta lo que deseamos demostrar:
69 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
0112
01212
0211222420
][][...
Φ+Φ−Φ=
Φ+Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ−Φ−Φ=Φ++Φ+Φ+Φ
−
+
+−
n
nn
nnn
█
Propiedad 4:
La suma alternada de los n primeros términos de una
progresión geométrica de oro es igual al término de orden (n-1)
con el signo contrario al que figura en el primer miembro más dos
veces el primer término y menos el segundo término.
Para la demostración debemos restar miembro a
miembro las propiedades anteriores:
1022
1021212223210
22
Φ−Φ+Φ−==Φ−Φ+Φ−Φ=Φ−Φ++Φ−Φ+Φ−Φ
−
−−−
n
nnnn...
O bien, pasando de los dos primeros desarrollo n2Φ
1012212223210 2... Φ−Φ+Φ=Φ+Φ−Φ++Φ−Φ+Φ−Φ −−− nnnn
Combinando ambas expresiones resulta lo que debíamos
probar:
1013210 2)1()1(... Φ−Φ+Φ−=Φ−++Φ−Φ+Φ−Φ −nn
nn █
La representación del cuadrado de un término de una
PGO en relación a otros de la misma progresión se establece a
continuación.
70 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Propiedad 5:
El cuadrado de un término de una progresión geométrica
de oro puede expresarse como la diferencia de ese término
multiplicado por el siguiente término y del mencionado término
por el anterior.
( ) 11112
−+−+ ΦΦ−ΦΦ=Φ−ΦΦ=ΦΦ=Φ kkkkkkkkkk █
Usando la notación obtenida en el enunciado anterior
podemos efectuar la suma de los cuadrados de los primeros
números áureos.
Propiedad 6:
La suma de los cuadrados de los primeros n términos de
una progresión geométrica de oro puede expresarse
20101
21
21
20 ... Φ+ΦΦ−ΦΦ=Φ++Φ+Φ −− nnn
En efecto:
10212
1 ΦΦ−ΦΦ=Φ
21322
2 ΦΦ−ΦΦ=Φ
32432
3 ΦΦ−ΦΦ=Φ
.................................
1212
1 −−−− ΦΦ−ΦΦ=Φ nnnnn
Sumando miembro a miembro y considerando la identidad
del cuadrado del primer término se prueba el enunciado. █
71 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Una relación que permite expresar al primer elemento
en términos de otros arbitrarios consecutivos se obtiene de la
siguiente manera:
( )
( )
( )
( )
( )...................................................13885
8553
5332
322
2
67676
56565
45454
34343
23232
120
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ
Vemos como aparecen los términos siguientes de la
sucesión áurea acompañados con coeficientes que son sucesivos
términos de la sucesión de Fibonacci, y con signos positivos y
negativos intercalados. Con lo cuál podemos reescribir como:
.............................6776
5665
4554
3443
2332
12210
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=Φ
FF
FF
FF
FF
FF
FF
Formalmente podemos enunciar:
72 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Propiedad 7:
( ) ( ) nnn
nnn FF Φ−+Φ−=Φ +++
111
0 11 █
Podemos tomar en forma arbitraria a un término áureo
para escribir en término de los siguientes usando el desarrollo de
la propiedad anterior.
( )
( )
( )
( )
( )...................................................
13885
8553
5332
322
2
67676
56565
45454
34343
23232
12
+++++
+++++
+++++
+++++
+++++
++
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ−Φ+Φ−=
Φ+Φ−=Φ−Φ−Φ=
Φ−Φ=Φ
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhh
Que como se ve es inmediata a partir del desarrollo
anterior por lo que escribimos:
73 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
..............................6776
5665
4554
3443
2332
1221
++
++
++
++
++
++
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ−Φ=Φ
hh
hh
hh
hh
hh
hhh
FF
FF
FF
FF
FF
FF
Formalmente podemos enunciar:
Propiedad 8:
( ) ( ) nhnn
nhnn
h FF +++++ Φ−+Φ−=Φ 11
1 11 █
Las dos propiedades anteriores muestran de qué manera
al relacionar términos de una progresión geométrica de oro
arbitraria, aparecen términos de la Sucesión de Fibonacci.
Resultados
Y por casa como andamos: el método de inducción
completa y sus variantes
Si bien estas últimas identidades se fueron construyendo
término a término, se pueden intentar verificar las
74 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
demostraciones por medio del Método de Inducción Completa (en
adelante MIC). Más aún, este método consiste en mostrar la
validez de una proposición relacionada a números enteros
positivos, y se compone de dos partes. En la primera, el enunciado
a probar debe satisfacerse para el primer elemento de la sucesión
de elementos en cuestión, en la segunda parte, la proposición se
supone válida para un elemento arbitrario de la sucesión y debe
probarse la validez del enunciado para el término siguiente de la
sucesión. Esta segunda parte de la demostración se dice que se
compone de un teorema donde la suposición forma una hipótesis
inductiva. Una vez que las dos partes del método se satisfacen se
puede decir que la proposición es válida para todo elemento de la
sucesión.
Muchas veces se desea probar la validez de un enunciado
por inducción completa pero debido a su estructura, propia de la
sucesión, debe modificarse el enunciado anterior del método [4],
[7], [9], y que, para los que tuvimos la suerte de asistir a las clases
en donde Homero A. Costa [4] las citaba, formalmente llamándolas
como las variantes del MIC.
Para apreciar como variantes del MIC, se pueden
presentar distintas situaciones a la vez o varias de ellas, a saber.
El primer elemento de la sucesión que debe satisfacer una
proposición, puede no ser cero, sino un número arbitrario. Además
la sucesión puede contar con más de un valor inicial sobre el cuál
debe probarse el enunciado de la proposición. De esta manera la
primera parte del MIC debe manifestar cambios. Por otro lado, la
hipótesis inductiva (indicada luego como HI) también debe
mencionar si el supuesto se da sobre un único valor inicial o sobre
varios, y finalmente la tesis del teorema de la segunda parte
75 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
también debe mencionar si la expresión de la proposición es única
o no.
Usaremos una variante del MIC para probar la validez
del enunciado siguiente:
Propiedad 9:
11 +−+ Φ+Φ=Φ mnmnmn FF con 0,1 ≥≥ mn
Realizamos la demostración por inducción en n, tomando
fijo a m. Como se trata de PGO, existen dos valores iniciales, por
ello la primera parte se prueba para n =1 y n =2.
i) Sea n =1, la expresión queda:
mmmmmm FF ++++ Φ=Φ⋅+Φ=Φ+Φ=Φ 111101 10
Sea n =2, la expresión resulta:
11212 +++ Φ+Φ=Φ+Φ=Φ mmmmm FF ,
lo cual es válido por definición de la PGO.
ii) Para la segunda parte del método planteamos la
hipótesis inductiva y la tesis.
HI) Para 1−= hn se verifica
1121 +−−+− Φ+Φ=Φ mhmhmh FF
Y para hn = se verifica
11 +−+ Φ+Φ=Φ mhmhmh FF
76 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
T) Se desea probar que para 1+= hn se cumple
111 ++++ Φ+Φ=Φ mhmhmh FF
D) Partimos del primer miembro de la tesis, aplicamos la
definición de la PGO y luego las identidades de HI, para luego
agrupar el primer y tercer término por un lado y los restantes por
otro y obtener la identidad buscada.
11
11112
11
++
+−+−−
++−++
Φ+Φ=
Φ+Φ+Φ+Φ=
Φ+Φ=Φ
mhmh
mhmhmhmh
mhmhmh
FF
FFFF
De ambas partes, se dice que el enunciado es válido. █
Podemos aplicar la propiedad anterior y suponer que
nm = .
Propiedad 10:
112 +− Φ+Φ=Φ nnnnn FF con 1≥n █
De esta última resulta una identidad simétrica
Propiedad 11:
1111 −++− Φ+Φ=Φ+Φ nnnnnnnn FFFF con 1≥n
En efecto:
77 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
( )
( )
11
11
11
1111
−+
−−
−−
−−+−
Φ+Φ=
Φ+Φ+=
Φ+Φ+Φ=
Φ+Φ+Φ=Φ+Φ
nnnn
nnnnn
nnnnnn
nnnnnnnnn
FF
FFF
FFF
FFFF
█
Como una aplicación de las dos propiedades anteriores
resulta la identidad:
Propiedad 12:
11112 −−++ Φ−Φ=Φ nnnnn FF con 1≥n
En efecto, partiendo de la propiedad 10, la recurrencia
de la sucesión de Fibonacci y la de la PGO arbitraria, se tiene:
( )
( )
1111
1111
1111
11111
1111
112
−−++
++−−
+++−
+−++−
+−+−
+−
Φ−Φ=
Φ+Φ−=
Φ+Φ−Φ=
Φ−Φ+Φ=
Φ−+Φ=
Φ+Φ=Φ
nnnn
nnnn
nnnnn
nnnnnn
nnnnn
nnnnn
FF
FF
FF
FFF
FFF
FF
█
78 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Otra sucesión interesante: ...Conejos de oro
El análisis realizado hasta aquí nos llevo a definir otra
sucesión que nos resulta interesante, y para ello la vamos a definir
en términos de una PGO como
⎪⎩
⎪⎨⎧
Φ+Φ=Φ−=Φ
−=Φ=Φ
−+
−−
11
222
1, 22
nnn
n βαβα
βαβα
Es inmediato ver que las condiciones iniciales son
iguales pues, de la primera propiedad de las raíces características,
resulta: βαβα −=− 22 . A partir de allí algunos de los siguientes
términos son:
( ) ( ) ( ) ( ) ....,8,5,3,2 βαβαβαβα −−−−
Es inmediato ver que ( ) nnn FF 522, =−=Φ −− βαβαβα , o sea
es una sucesión múltiplo irracional de la sucesión de Fibonacci,
por lo que muchas propiedades de esta nueva sucesión se hallan
directamente de la sucesión de Fibonacci.
Antes de buscar la forma de Binet de esta sucesión a
partir de la forma de una PGO vemos que podemos extender al
subíndice cero para él 022,
0 =Φ −− βαβα , con lo cual los valores iniciales
ahora pueden ser 0 y βα − .
Por ello la forma de Binet resulta
nnn βαβα −=Φ −,0
79 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Conclusión
Poder expresar a las sucesiones de Fibonacci y de Lucas
como casos particulares de una familia de sucesiones que
responden a una sucesión recurrente generada por una misma
ecuación en diferencias, solo variando por los valores iniciales, ha
sido un desafío en este articulo, complementado por la expresión
como un problema de valor inicial discreto. Finalmente enunciar
una sucesión particular en término de las raíces características de
la ecuación algebraica asociada a fin de asociar con las sucesiones
de Fibonacci y Lucas, nos da una propuesta para continuar
investigando sobre la misma.
80 Progresiones Geométricas de Oro Juárez, G. A.; Navarro, S. I.
Referencias
[1] Brousseau Brother Alfred (1971) Linear recursion and Fibonacci sequences. A publication of The Fibonacci Association.
[2] Episodio Mejores amigos. El show de los Looney Tunes (2012) Vol. 1. DVD video. Warner Bros. Entertaiment Inc.
[3] Hoggatt Jr, Verter E. (1969) Fibonacci and Lucas Numbers. Albert E. Meder, Jr. Editorial Adviser. A publication of The Fibonacci Association. University of Santa Clara.
[4] Juárez, G. A.; Navarro, S. I. (2005) Ecuaciones en Diferencias con aplicaciones a modelos en Sistemas Dinámicos. Editorial Sarquís. Argentina.
[5] Juárez, G. A.; Navarro, S. I. (2011) Problemas discretos con valores iniciales. Revista de Educación Matemática. Volumen 26 N° 2. Año. pps 3-13.
[6] Leguizamón, Gustavo; Jaime Dávalos: La zamba de los mineros.
[7] Markushévich, A. I. (1974) Sucesiones Recurrentes. Editorial MIR. Moscú.
[8] Viggiani Rocha, María Isabel (2010) La sucesión de Lucas. Revista de Educación Matemática Volumen 25 N° 3. Año. pps 3-18.
[9] Sominski, I. S. (1975) Método de Inducción Matemática. Editorial MIR. Moscú.
[10] Vorobyov, N. N. (1988) Los números de Fibonacci. Editorial Limusa. México.