7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
1/33
Ocenjivanje aritmetike sredine
2012. Beograd Predavanje 8
Doc. Dr Slaana SpasiE-mail:
Ass. Ana SimieviE-mail:[email protected]
STATISTIKA
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
2/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 1
Statistika je skup naunih metoda koje se koriste za
prikupljanje, prikazivanje, analizu i interpretaciju podataka idonoenje statistikih zakljuaka.
Sada poinjemo da izuavamo deo statistike koja se zove
statistiko zakljuivanje. Statistiko zakljuivanje je definisanokao deo statistike koji nam pomae da donesemo zakljuke okarakteristikama osnovnog skupa na osnovu uzorka.
Najpre emo razmatrati ocenjivanje i to ocenjivanjearitmetieke sredine skupa.
Podseanje!
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
3/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 2
Ocenjivanje je dodela numerike vrednosti parametru
osnovnog skupa na osnovu vrednosti odgovarajue statistikeuzorka.
Vrednost koja se dodeljuje parametru osnovnog skupa, a koja
se bazira na vrednosti statistike uzorka naziva se ocenjenavrednost parametra skupa.
Statistika uzorka koja se koristi za ocenu parametra skupa se
naziva ocena.
Ocenjivanje
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
4/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 3
* Prost sluajni uzorak je podskup osnovnog skupa takav da svi uzorciiste veliine imaju istu verovatnou da budu izabrani.
Postupak ocenjivanja podrazumeva sledee:
1. Izbor prostog sluajnog uzorka*.
2. Prikupljanje neophodnih informacija iz jedinica uzorka.
3. Izraunavanje vrednosti statistike uzorka.
4. Dodela vrednosti odgovarajuem parametru skupa.
Ocenjivanje
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
5/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 4
Takasto i intervalnoocenjivanje
Ocenjivanje moe biti
takastoi intervalno.
Definicija: Takasta ocenjena vrednostje vrednost statistike
uzorka koja se koristi za ocenu parametra osnovnogskupa.
Definicija: Kod intervalnog ocenjivanjakonstruie se
interval oko takaste ocenjene vrednosti i tvrdi se da ovajinterval verovatno sadri odgovarajui parametar skupa.
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
6/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 5
Takasto ocenjivanje
Vrednost aritmetike sredine uzorka izraunata na nekom
uzorku je takasta ocenjena vrednost odgovarajuearitmetike sredine osnovnog skupa.
Primer: Pretpostavimo da statistiki zavod uzima uzorak od
10000 beogradskih domainstava i izraunava da suproseni meseni kuni trokovi u ovom uzorku jednaki
25000 din. Koristei kao takastu ocenjenu vrednost za
statistiki zavod bi mogao da tvrdi da su prose
ni mese
nitrokovi za sva domainstva u Beogradu oko 25000 din.
x
xx
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
7/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 6
Takasto ocenjivanje
Takasta ocenjena vrednostparametra skupa
x=
= Vrednost odgovarajuestatistike uzorka
Za svaki uzorak uzet iz osnovnog skupa se oekuje da darazliitu vrednost statistike uzorka. Tako vrednost koja je
dodeljena aritmetikoj sredini osnovnog skupa , zasnovanana takastoj oceni, zavisi od uzorka koji je uzet.
Zbog toga, takasta ocenjena vrednost dodeljuje vrednostkoja se gotovo uvek razlikuje od prave vrednosti aritmetike
sredine skupa.
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
8/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 7
Intervalno ocenjivanje
Kod intervalnog ocenjivanja umesto pridruivanja jedne
vrednosti parametru osnovnog skupa, konstruie se intervaloko takaste ocenjene vrednosti za koji se veruje da sadriodgovarajui parametar skupa.
Primer: U primeru o mesenim kunim trokovima umesto da kaemo da suproseni meseni trokovi 25000 din statistiki zavod bi mogao da daintervalnu ocenu oduzimanjem nekog broja i dodavanjem nekog broja na25000 din. Onda tvrdimo da ovaj interval sadri aritmetiku sredinu skupa
. Tako npr. moemo rei da se nalazi u intervalu(25000 - 3000, 25000 + 3000) tj. (22000 din,28000 din).
Ovaj postupak se zove intervalno ocenjivanje.
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
9/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 8
Intervalno ocenjivanje
Pitanje je koji broj treba da oduzmemo i dodamo na takastuocenjenu vrednost da bi smo dobili intervalnu ocenjenu
vrednost. Taj broj se naziva marginalna greka.
Ona zavisi od standardne
devijacije aritmetike sredineuzorka i nivoa pouzdanosti
koji je pripisan intervalu. =x
=x
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
10/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 9
Nivo pouzdanosti i
interval pouzdanostiSvaki interval se konstruie uz zadavanje nivoapouzdanosti i zove se interval poverenja (ili interval
pouzdanosti). Interval poverenja je odreen na sledeinain
Takasta ocenjena vrednost Marginalna greka
Nivo pouzdanosti koji je pridruen intervalu poverenjapokazuje koliko moemo biti sigurni da ovaj interval sadripravu vrednost parametra skupa. Nivo pouzdanosti seoznaava sa (1-)100%, gde je nivo znaajnosti, a broj(1-)se naziva koeficijent pouzdanosti.Za nivo pouzdanosti najee se biraju vrednosti 90%, 95%, 99%, sa
odgovarajuim koeficijentima pouzdanosti 0,90, 0,95 i 0,99.
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
11/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 10
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:poznato
Kako konstruisati interval poverenja za aritmetiku sredinu
kada je standardna devijacija poznata. Mogua su tri sluaja.I sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:
1. Standardna devijacija skupa je poznata
2. Veli ina uzorka je mala tj. n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
12/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 11
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:poznato
II sluaj.
Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupaje poznata
2. Veli ina uzorka je velika tj. n>30
Tada koristimo normalnu raspodelu za odreivanjeintervala poverenja zajer je uzoraka raspodela za
priblino normalna sa aritmetikom sredinom i standardnomdevijacijom
prema centralnoj graninoj teoremi.
x
05,0/jeako = Nnn
X
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
13/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 12
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:poznato
III sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:
1. Standardna devijacija skupa je poznata2. Veli ina uzorka je mala tj. n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
14/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 13
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:poznato
je poznato
Osnovni skup imanormalnu raspodelu i
n < 30
Osnovni skup nemanormalnu raspodelu i
n < 30n 30
Koristi se normalna raspodela
za ocenu
Koristi se
neparametarski metod
za ocenu
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
15/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 14
Interval poverenja za
i marginalna greka
X
zE=
(1- )100% interval poverenja za u I i II sluaju je:
nzx XX = jegde
Vrednostz se dobija iz tablica standardizovane normalne
raspodele za zadati nivo pouzdanosti.
Marginalna greka ocene zaje vrednost koja jeoduzeta i dodata vrednosti kako bi se dobio interval
poverenja za. Oznaava se sa E.x
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
16/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 15
Odreivanjez za
odreeni nivo pouzdanosti
Vrednost z u formuli intervala poverenja se dobija iztablice standardizovane normalne raspodele za zadati nivo
pouzdanosti. Pretpostavimo da elimo da konstruiemo 95% interval
poverenja za. To znai da je povrina ispod normalne krive
za izmeu dve simetrine take z1 i z2 u odnosu na jednaka 0,95. Najpre moramoodrediti povrine oznaeneplavim na slici, levo i desno od
z1 iz2. Zatim nalazimoz vrednostiza ove dve povrine iz tablicenormalne raspodele. One su
jednake po apsolutnoj vrednosti.
x
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
17/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 16
Odreivanjez za
odreeni nivo pouzdanostiIzraunavanje povrina ulevo i udesno od z1 i z2. Povrina
izmeu z1 i z2 jednaka je 1-. To znai da je povrina na
krajevima raspodele ooznaena plavim jednaka , jer jepovrina ispod krive jednaka 1. Zbog simetrinosti svaka od
ovih povrina je jednaka /2. U naem primeru je 1- =0,95
Odatle =0,05. Povrina levo odz1je jednaka 0,025Povrina levo odz2 je jednaka0,0250+0,95=0,9750.Iz tablica za normalnu raspodelu
oitavamo vrednosti zaztakve da su povrine levo odz
jednake 0,0250 i 0,9750.To su -1,96 i 1,96 respektivno.
1 22
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
18/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 17
Primer: Odreivanje takaste ocene iintervala poverenja za , n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
19/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 18
Primer: Odreivanje takaste ocene iintervala poverenja za , n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
20/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 19
Primer: Odreivanje takaste ocene iintervala poverenja za , n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
21/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 20
Odreivanje veliineuzorka za ocenjivanje
aritmetike sredine
esto imamo potrebu da znamo koliki nam je uzorak potreban,
da bi smo dobili eljeni rezultat za zadati nivo pouzdanosti izadatu irinu intervala poverenja.
Ako su zadati nivo pouzdanosti i standardna devijacijaosnovnog skupa, veliina uzorka kojom emo dobiti unapred
zadatu marginalnu greku intervalne ocene zaje
.n
zE
n
zEXX
=== slediijeKako
2
22
E
zn
=
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
22/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 21
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:nije poznato
Kako konstruisati interval poverenja za aritmetiku
sredinu kada je standardna devijacija nije poznata?Mogua su tri sluaja.
I sluaj.
Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupa nije poznata2. Veli ina uzorka je mala tj. n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
23/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 22
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:nije poznato
II sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupa nije poznata2. Veli ina uzorka je velika tj. n>30
Tada koristimo Studentovu t raspodelu za odreivanje
intervala poverenja za.
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
24/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 23
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:nije poznato
III sluaj.Ispunjeni su sledei uslovi:1. Standardna devijacija skupa nije poznata2. Veli ina uzorka je mala tj. n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
25/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 24
Ocenjivanje aritmetike
sredine osnovnog skupa:nije poznato
nije poznato
Osnovni skup imanormalnu raspodelu i
n < 30
Osnovni skup nemanormalnu raspodelu i
n < 30n 30
Koristi se Studentovat raspodela za
ocenu
Koristi se
neparametarski metod
za ocenu
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
26/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 25
Studentova t raspodela
t raspodelu je formulisao W.S. Gosset 1908. god. i objavioje u radu pod pseudonimom Student.
Studentova t raspodela je simetrina u odnosu naaritmetiku sredinu. Spljotenija je tj. vie rasprena odstandardizovane normalne raspodele. Sa poveanjem uzorka
t raspodela tei standardizovanoj normalnoj raspodeli.t raspodela ima samo jedan parametar koji se naziva broj
stepeni slobode u oznaci df. Svaki broj stepeni slobode
odreuje razliitut raspodelu.
Aritmetika sredinat raspodele je 0,a njena standardna devijacija je )2/( dfdf
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
27/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 26
Studentova t raspodela
t raspodela za df=9 i standardizovana normalna raspodela
Broj stepeni slobode je definisan kao broj opservacija koje semogu izabrati proizvoljno.
0=
)29/(9 =sd
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
28/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 27
Interval poverenja za
korienjem t raspodele
Kada su ispunjeni uslovi iz sluaja I i II koristimot raspodelu
za konstrukciju intervala poverenja za aritmetiku sredinuskupa.
Kada standardna devijacija skupa nije poznata onda je
zamenjujemo standardnom devijacijom uzorka S, koja jenjena ocena. Tako umesto standardne greke koristimonjenu ocenu
nSSX =
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
29/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 28
Interval poverenja za
korienjem t raspodele
XtsE=
(1- )100% interval poverenja za u I i II sluaju kada je
nepoznato je:
n
SStsx XX = jegde
Vrednost tse dobija iz tablicat raspodele zan stepenislobode i za dati nivo pouzdanosti.
Marginalna greka ocene zaje vrednost koja jeoduzeta i dodata vrednosti kako bi se dobio interval
poverenja za. Oznaava se sa E.
x
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
30/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 29
Odreivanje intervala poverenja za ,n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
31/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 30
Odreivanje intervala poverenja za ,n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
32/33
2012. Beograd Predavanje 8 / 31
Odreivanje intervala poverenja za ,
n
7/16/2019 Statistika Predavanje 8 Tackaste Ocene Parametara (1) - IsKORISTITI
33/33
Hvalana panji!
2012. Beograd Predavanje 8