UNIVERSITÉ SIDI MOHAMED BEN ABDELLAHFACULTÉ DES SCIENCES Dhar El Mehraz
Cours d’algèbre 1
Barbara Abdelkrim & Mouanis Hakima
Département de Mathématiques
Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 1 / 62
Chapitre 4
L’espace vectoriel IRn
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Généralités la structure d’espace vectoriel IRn
la structure d’espace vectoriel IRn
Définition
Soit n un entier naturel. IRn est le produit cartésien de n copies de R. C’est àdire
IRn = {(a1,a2, ...,an) tq a1,a2, ...,an ∈ IR}
1 Pour n = 1, IR1 = IR.2 Pour n = 2, IR2 = {(x , y), tq x , y ∈ IR}.
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Généralités la structure d’espace vectoriel IRn
la structure d’espace vectoriel IRn
Définition
pour n ∈ IN? on définit dans IRn les deux opérations :1 ∀a = (a1,a2, ...,an) ∈ IRn et b = (b1,b2, ...,bn) ∈ IRn :
a + b = (a1,a2, ...,an) + (b1,b2, ...,bn) = (a1 + b1,a2 + b2, ...,an + bn)
a + b est appelé la somme de a et b.2 ∀α ∈ IR et a = (a1,a2, ...,an) ∈ IRn :
αa = (αa1, αa2, ..., αan)
αa est appelé le produit de α par a.Cette opération est appelé la multiplication externe dans IRn sur IR.
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Généralités la structure d’espace vectoriel IRn
la structure d’espace vectoriel IRn
DéfinitionSoit n ∈ IN?.• On dit que IRn muni de l’addition et la multiplication externe sur IR est unespace vectoriel et on note IRn est e.v .• les éléments de IR sont appelés les scalaires.• les éléments de IRn sont appelés les vecteurs de IRn• Le vecteur (0,0, ...,0) est appelé le vecteur nul et noté 0n.
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Généralités la structure d’espace vectoriel IRn
la structure d’espace vectoriel IRn
DéfinitionSoit n ∈ IN? et a,a1,a2, ...,ap ∈ IRn. On dit que a est combinaison lineaire dea1, a2,...,ap s’il existe λ1, λ2,..., λp ∈ IR tels que
a =p∑
i=1
λiai = λ1a1 + λ2a2 + ...+ λpap
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Sous espace vectoriel de IRn Généralités
Sous espace vectoriel de IRn
DéfinitionUne partie E de IRn est dite sous espace vectoriel de IRn et on note E est uns.e.v . s’elle vérifie les trois propriétés suivantes :
1 E est non vide : E 6= ∅2 E est stable par addition : ∀a,b ∈ E , a + b ∈ E3 E est stable par multiplication par un scalaire : ∀a ∈ E , ∀λ ∈ R, λa ∈ E .
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Sous espace vectoriel de IRn Généralités
Sous espace vectoriel de IRn
Exemples
1 IRn est un sous espace de IRn.2 0n = (0, ...,0) est sous espace de IRn.
Propriété
Si E est un sous espace vectoriel de IRn alors 0n ∈ E
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Sous espace vectoriel de IRn Généralités
Sous espace vectoriel de IRn
Proposition
Soit E une partie de IRn.E est un s.e.v . de IRn si et seulement si les deux propriétés suivantes sontvérifiées :
1 E 6= ∅.2 ∀α ∈ IR, ∀u, v ∈ E : αu + v ∈ E
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Sous espace vectoriel de IRn Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels
Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels
Exemples
1 E = {(x , y , z) ∈ IR3 tq : 2x − y + 3z = 1} n’est pas un sous espacevectoriel de IR3.
2 E = {(x , y) ∈ IR2 tq xy = 0} n’est pas un sous espace vectoriel de IR2.3 E = {(x , y , z) ∈ IR3 tq : 2x − y + 3z = 0} est un sous espace vectoriel
de IR3.
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Sous espace vectoriel de IRn Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels
Exemples et propriétés des sous espaces vectoriels
Propriétés
Si E et F sont deux sous espaces vectoriels de IRn alors E ∩ F est un sousespaces vectoriel de IRn.
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Sous espace vectoriel de IRn la somme directe des sous espaces vectoriels
la somme directe des sous espaces vectoriels
DéfinitionSoient n ∈ IN?, E et F sont deux sous espaces vectoriels de IRn.On appelle somme de E et F ou E plus F l’ensemble noté E + F défini par
E + F = {a + b tq a ∈ E et b ∈ F}
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Sous espace vectoriel de IRn la somme directe des sous espaces vectoriels
la somme directe des sous espaces vectoriels
DéfinitionSoient E et F deux s.e.v . de IRn.On dit que la somme de E et F est directe si∀a ∈ E +F il existe d’une façon unique aE ∈ E et aF ∈ F tels que a = aE +aF .dans ce cas :
1 E + F est noté aussi E ⊕ F .2 E ⊕ F est appelé somme directe de E et F .3 ∀a ∈ E ⊕ F{
aE , est appelé la projection de a sur E parallèlement à FaF , est appelé la projection de a sur F parallèlement à E
4 Si G est un s.e.v . de IRn et E ⊕ F = G on dit que E et F sontsupplémentaires dans G ou E est un supplémentaire de F dans G.
5 Si E et F sont supplémentaire dans IRn on dit aussi que E et F sontsupplémentaires.
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Sous espace vectoriel de IRn la somme directe des sous espaces vectoriels
la somme directe des sous espaces vectoriels
Proposition
Soit n ∈ IN?.la somme de deux sous espaces vectoriel E et F est direct dans IRn si etseulement si E ∩ F = {0n}En particulier :
E ⊕ F = IRn ⇐⇒{
E + F = IRn
E ∩ F = {0n}
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Les systèmes de vecteursLes systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de
vecteurs
Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendrépar un système de vecteurs
Notations
Soit S = (a1,a2, ...,ap) un système de vecteurs de IRn.1 On note par vect(S) = vect(a1,a2, ...,ap) l’ensemble des combinaisons
linéaires des vecteurs a1,a2, ...,ap :
vect(S) = {α1a1 + α2a2 + ...+ αpap / α1, α2, ..., αp ∈ IR}
2 On note vect(∅) = {0n}.
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Les systèmes de vecteursLes systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de
vecteurs
Les systèmes de vecteurs et le sous espace engendrépar un système de vecteurs
Proposition
vect(S) = vect(a1,a2, ...,ap) est un sous espace vectoriel de IRn contenanta1,a2, ...,ap.et c’est le plus petit sous espace vectoriel de IRn contenant les vecteursa1,a2, ...,ap.
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Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :
les systèmes libres et les systèmes liés :
Définition
Soient n ∈ IN? et S = (a1,a2, ...,ap) un système de vecteurs de IRn.1 On dit que le système S est lié ou que a1,a2, ...,ap sont linéairement
dépendantss’il existe des scalaires α1, α2, ..., αp ∈ IR non tous nuls tels que :
p∑i=1
αiai = α1a1 + α2a2 + ...+ αpap = 0n
2 Dans le cas contraire on dit que le système S est libre ou quea1,a2, ...,ap sont linéairement indépendants. c’est à dire si on a :
∀α1, α2, ..., αp ∈ IR :p∑
i=1
αiai = 0n =⇒ α1 = α2 = ... = αp = 0
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Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :
les systèmes libres et les systèmes liés :
Exemples 1
Soient a1 = (−2,1),a2 = (1,1),a3 = (3,−1) et S = (a1,a2,a3) un système devecteurs de IR2.∀α, β, γ ∈ IR :
αa1 + βa2 + γa3 = (0,0)
⇐⇒ α(−2,1) + β(1,1) + γ(3,−1) = (0,0)
⇐⇒ (−2α+ β + 3γ, α+ β − γ) = (0,0)
⇐⇒{−2α+ β + 3γ = 0α+ β − γ = 0 ⇐⇒
{γ = α+ βα+ 4β = 0 ⇐⇒
{α = −4βγ = −4β
admet plusieurs solution donc le système S est lié.
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Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :
les systèmes libres et les systèmes liés :
Exemple 2
Soient a1 = (−2,1,3),a2 = (1,1,−1) et S = (a1,a2)
∀α, β ∈ IR : αa1 + βa2 = (0,0,0)
⇐⇒ α(−2,1,3) + β(1,1,−1) = (0,0,0) −2α+ β = 0α+ β = 03α− β = 0 ⇐⇒{β = 2α3α = 0 ⇐⇒ α = β = 0
Donc le système S est libre.
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Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :
les systèmes libres et les systèmes liés :
Propriétés
1 (0n) est système lié2 Tout système de vecteurs de IRn qui contient 0n est lié.3 ∀a ∈ IRn − {0n} : le système (a) est libre4 ∀a,b ∈ IRn avec a 6= 0n
(a,b) est lié si et seulement s’il existe α ∈ R tel que b = αa
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Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :
les systèmes libres et les systèmes liés :
Proposition
Soit S = (a1,a2, ...,ap) un système de vecteurs de IRn.S est lié⇔ ∃k ∈ {1, ...,p} tq ak est une combinaison linéaire des autresvecteurs. c’est à direS est lié⇔ ∃k ∈ {1, ...,p} tq ak ∈ vect(a1, ...,ak−1,ak+1, ...,ap)
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Les systèmes de vecteurs les systèmes libres et les systèmes liés :
les systèmes libres et les systèmes liés :
Exemple
Soient u = (1,2,3), v = (5,1,−1),w = (3,−3,−7) et S = (u, v ,w).On a
v = w + 2u
doncv ∈ vect(u,w)
D’ou S est un système lié.
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Les systèmes de vecteurs les systèmes générateurs
les systèmes générateurs
Définition
soient n ∈ IN?, E un sous espace vectoriel et S = (a1,a2, ...,ap) un systèmede vecteurs de IRn.On dit que S est un système générateur de E si on a :
E = vect(S) = vect(a1,a2...,ap)
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Les systèmes de vecteurs les systèmes générateurs
les systèmes générateurs
Exercice
Soit E = {(x , y , z) ∈ IR3 / 2x − y + 3z = 0} un s.e.v . de IR3. Trouver unsystème générateur de E
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Les systèmes de vecteurs Les bases
Les bases
Définition
Soient E un sous espace vectoriel de IRn et B un système de vecteurs de E .On dit que B est une base de E si B est à la fois libre et générateur de E
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Les systèmes de vecteurs Les bases
Les bases
Proposition
Soit E un sous espace vectoriel de IRn et B = (a1,a2, ...,an) un système devecteurs de E .
B est une base de E
⇔
∀a ∈ E : ∃!α1, α2, ..., αp ∈ IR tq a = α1a1 + α2a2 + ...+ αpapDans ce cas α1, α2, ..., αp sont appelées les coposantes du vecteur a dans labase B
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Les systèmes de vecteurs Les bases
Les bases
Exemple
soient E = IR2 et B = (a1,a2) un système de IR2 avec a1 = (2,1),a2 = (1,1).(a1,a2) est une base de R2. En effet :alors ∀a = (x , y) ∈ IR2,∀α, β ∈ IR :
a = αa1 + βa2 ⇔ (x , y) = (2α+ β, α+ β)
⇔{
2α+ β = xα+ β = y ⇔
{α = x − yβ = 2y − X
Donc B est une base de IR2
et les composantes d’un vecteur a = (x , y) dans B sont x − y et 2y − x
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Les systèmes de vecteurs Les bases
Les bases
Propriétés
Soient n ∈ IN? et E un sous espace vectoriel de IRn.1 Si E = IR2, e1 = (1,0) , e2 = (0,1)
Alors B = (e1,e2) est un système libre et générateur de IR2 donc B estune base de IR2 appelé la base canonique de IR2
2 En général :Si E = IRn, e1 = (1,0, ...0), e2 = (0,1,0, ...,0),...,en = (0, ...,0,1).Alors B = (e1,e2, ...,en) est un système libre et générateur de IRn
Donc B est une base de IRn appelé la base canonique de IRn.
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Les systèmes de vecteurs Les bases
Les bases
Exercice
Soit E = {(x , y , z) ∈ IR3 / 2x − y + 3z = 0} un s.e.v . de IR3. Trouver unebase de E
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Les systèmes de vecteurs Les bases
Les bases
Propriétés
Soient F1 et F2 deux s.e.v. de IRn. Si B1 est une base de F1 est B2 est unebase de F2 alors :
la somme de F1 et F2 est directe⇔{
B1 ∩ B2 = ∅B1 ∪ B2 est libre
Dans ce cas B1 ∪ B2 est une base de F1 ⊕ F2
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
La dimension d’un sous espace vectoriel
Notation
Soit A un ensemble fini. le nombre des éléments de A est appelé le cardinalede A et noté |A|
Théorème et définitionSi n ∈ IN? et E un sous espace vectoriel de IRn Alors E admet des bases ettous ces bases ont le même nombre de vecteurs appelé la dimension de E etnoté dimE et on a dimE ≤ n.Ainsi, si B est une base de E alors
dimE = |B| ≤ n
Propriétés
∀n ∈ IN?, dimIRn = n
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
La dimension d’un sous espace vectoriel
Propriétés
Soient E et F deux sous espaces vectoriels de IRn. Alors :1 Si S est une partie génératrice de E alors |S| ≥ dimE .2 Si S est une parie libre de E alors |S| ≤ dimE .3 Si E ⊂ F et dimE = dimF alors E = F .4 Si dimE = n alors E = IRn.
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
La dimension d’un sous espace vectoriel
Théorème
Soient F un sous espace de IRn de dimension p et B un système de F decardinal p. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
1 B est un système libre2 B est un système générateur de F3 B est une base de F
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
La dimension d’un sous espace vectoriel
proposition
Soient E et F deux sous espace vectoriel de IRn.Alors dim(E + F ) = dimE + dimF − dim(E ∩ F ) ≤ dimE + dimFSi en plus la somme de E et F est directe alors dim(E ⊕ F ) = dimE + dimF .
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
Les bases
Théorème de la base incomplète
Soient E un sous espace vectoriel de IRn. Si S et T sont deux parties finies deE qui vérifient les 3 propriétés suivantes :
1 S une partie libre de E .2 T est une partie génératrice de E .3 S ⊂ T .
Alors il existe une base B de E telle que S ⊂ B ⊂ T .
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
Les bases
Corollaire
Soit E un s.e.v. de IRn. Si S et T sont deux parties finies de E qui vérifient lesdeux propriétés suivantes :
1 S est une partie libre de E .2 T est une partie génératrice de E .
Alors il existe une base B de E telle que S ⊂ B ⊂ S ∪ T .
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
Les bases
Exemple
Si n = 5 et E = IR5, a1 = (1,0,0,1,1), a2 = (1,1,1,1,1), S = (a1,a2)e1 = (1,0,0,0,0), e2 = (0,1,0,0,0), ...,e3 = (0,0,1,0,0) , e4 = (0,0,0,1,0),e5 = (0,0,0,0,1) et T = (e1,e2,e3,e4,e5).
1 S est une partie libre de IR5.2 T est une partie génératrice de IR5.
Alors il existe une base B de IR5 telle que S ⊂ B ⊂ S ∪ T .On a S = (a1,a2) est un système libre de IR5.
1 On verifie que le système (a1,a2,e1) est libre.2 On vérifie que (a1,a2,e1,e2) est libre.3 On verifie que (a1,a2,e1,e2,e3) est lié.4 On vérifie que (a1,a2,e1,e2,e4) est libre.
Ainsi le système B = (a1,a2,e1,e2,e4) est libre et card(B) = 5 = dimIR5 cequi montre que B est une base de IR5.
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
Les bases
Proposition
Soient E un sous espace vectoriel de IRn. Alors E admet au moins unsuplémentaire dans IRn.C’est à dire pour tout s.e.v E il existe au moins un s.e.v , F tel que
F ⊕ E = IRn
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Les systèmes de vecteurs La dimension d’un sous espace vectoriel
Les bases
Exemple
Soit F = {(x ,3x ,0), tq x ∈ IR}. Trouvons un supplémentaire de F dans IR3On a F = vect(a) = IRa avec a = (1,3,0) donc (a) est une base de F .♣ Soient B0 = (e1,e2,e3) la base canonique de IR3 et T = (a,e1,e2,e3)trouver une base B de IR3 tel que {a} ⊆ B ⊆ T .
1 on vérifie que (a,e1) est libre.2 On vérifie que (a,e1,e2) est lié.3 On vérifie que (a,e1,e3) est libre.
Ainsi, puisque card(B) = dimIR3 = 3 alors B = (a,e1,e3) est une base de IR3.Ce qui implique queG = vect(e1,e3) = {αe1 + βe3 /α, β ∈ R} = {(α,0, β) /α, β ∈ R}est un supplémentaire de F dans IR3.
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La structure euclidienne de IRn Le produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs
DéfinitionSoit n ∈ IN?
1 Si a = (x1, x2, ..., xn) ∈ IRn et b = (y1, y2, ..., yn) ∈ IRn on appelle le produitscalaire de a et b ou a fois b le nombre réel noté < a,b > ou ab défini
par : < a,b >= ab =n∑
k=1
xk yk = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn
2 ∀a ∈ IRn : < a,a >= aa est noté aussi a2 appelé a carré.L’espace vectoriel muni du produit scalaire est appelé l’espace vectorieleuclidien IRn.
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La structure euclidienne de IRn Le produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs
Propriétés
Soient α ∈ IR, a,b et c ∈ IRn.1 ab = ba2 (a + b)c = ac + bc3 (αa)b = a(αb) = α(ab)4 a2 = 0⇔ a = 0n5 (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
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La structure euclidienne de IRn La norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur
Définition
Soit a = (x1, x2, ...., xn) ∈ IRn. On appelle la norme de a le nombre réel noté‖a‖ défini par :
‖a‖ =√
a2 =
√√√√ n∑k=1
x2k =√
x21 + ...+ x2n
Si ‖a‖ = 1 on dit que a est normé.
Exemple
Si a = (3,1,−2,2) alors ‖a‖ =√
32 + 12 + (−2)2 + 22 = 3√
2.
Si a = ( 12 ,−12 ,√
22 ) alors ‖a‖ =
√( 12 )
2 + (−12 )2 + (
√2
2 )2 = 1.
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La structure euclidienne de IRn La norme d’un vecteur
La norme d’un vecteur :
Propriétés
Soient α ∈ IR, a et b ∈ IRn
1 ‖a‖2 = a2
2 Si a 6= 0 alors ‖a‖ > 0.3 ‖αa‖ = |α|‖a‖.4 Si a 6= 0 alors a‖a‖ est normé.5 ab ≤ |ab| ≤ ‖a‖‖b‖.6 ‖a + b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 + 2ab.7 ‖a + b‖ ≤ ‖a‖+ ‖b‖.8 |‖a‖ − ‖b‖| ≤ ‖a− b‖.
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La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
DéfinitionsSoit n ∈ IN? .
1 Soit a,b ∈ IRn sont deux vecteurs de IRnsi ab = 0 on dit que a et orthogonale à b ou a et b sont orthogonaux eton note a⊥b.
2 Si S = (a1,a2, ...,an) est un système de vecteurs de IRn et si les vecteursde S sont orthogonaux deux à deux on dit que S est un systèmeorthogonal de IRn.
3 Si S est un système orthogonal et si tous ses vecteurs sont normé on ditque S est un système orthonormé de IRn
4 Soit B une base d’un sous espace vectoriel E
• Si B est un système orthogonal on dit que B est une baseorthogonale de E .
• Si B est un système orthonormé on dit que B est une baseorthonormale.
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La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
Proposition
Si S = (a1,a2, ...,an) un système orthogonal de IRn et si les vecteurs de Ssont tous non nuls alors S est libre.En particulier : tous les systèmes orthonormés de IRn sont libre.
Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 45 / 62
La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
Théorème (Le procédé de schmidt)
Soit n ∈ IN?. Si S = (a1,a2, ...,am) est un système libre de IRn alors il existe unsystème orthonormé B = (e1,e2, ...,em) de IRn tel quevect(a1,a2, ...,am) = vect(e1,e2, ...,em) et ak ek > 0. avec
1 e1 = a1‖a1‖2 ei = vi‖vi‖
où vi = ai − (aiei−1)ei−1 − (aiei−2)ei−2 − ...− (aie2)e2 − (aie1)e1; ∀i ≥ 2
Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 46 / 62
La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
Exemple
Soient a1 = (1,1,1),a2 = (2,1,0),a3 = (4,−3,2) et S = (a1,a2,a3).On a S est un système libre de IR3. On pose
1 e1 = a1‖a1‖ = (√
33 ,√
33 ,√
33 )
2 v2 = a2 − (a2e1)e1 = (1,0,−1) donc e2 = v2‖v2‖ = (√
22 ,0,−
√2
2 ).
3 v3 = a3 − (a3e2)e2 − (a3e1)e1 = (2,−4,2) donce3 = v3‖v3‖ = (
√6
6 ,−√
66 ,√
66 )
Alors B′= (e1,e2,e3) est un système orthonormé de IR3 vérifiant{
vect(S) = vect(B)aiei > 0
Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 47 / 62
La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
Corollaire
Tous les sous espaces vectoriels non nuls de IRn possèdent des basesorthonormales.
Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 48 / 62
La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
Proposition
Soient E un sous espace vectoriel de IRn.Si B = (e1,e2, ...,em) est une base orthonormale de E alors∀a ∈ E les coposantes du vecteur a dans B sont ae1,ae2, ...,aen
Filières SMP-SMC (Semèstre 1) Module: Algèbre 1 49 / 62
La structure euclidienne de IRn L’orthogonalité
L’orthogonalité
Exemple
Soient e1 =√
33 (1,1,1),e2 =
√2
2 (1,0,−1),e3 =√
66 (1,−2,1)
On a déja vu que B = (e1,e2,e3) est une base orthonormale de IR3.∀a = (x , y , z) ∈ IR3 les composantes de a dans B sont :ae1 =
√3
3 (x + y + z) ,ae2 =√
22 (x − z) et ae3 =
√6
6 (x − 2y + z)
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La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale
La projection orthogonale
DéfinitionSoient n ∈ IN? et A ⊂ IRn.On appelle projection orthogonale de A la partie de Rn noté A⊥ défini par :
A⊥ = {x ∈ IRn tq ∀a ∈ A : x⊥a} = {x ∈ IRn tq ∀a ∈ A : xa = 0}
Exemple
Soient a = (1,0,−1),b = (0,1,−1) et A = {a,b}. Alors A est une partie deIR3.
A⊥ = {u ∈ IR3 tq : ua = ub = 0}
∀u ∈ A⊥ ⇔ ua = ub = 0⇔{
(x , y , z)(1,0,−1) = 0(x , y , z)(0,1,−1) = 0 ⇔
{x = zy = z
Donc A⊥ = {(x , x , x) tq x ∈ IR}
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La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale
La projection orthogonale
Propriétés
Soient n ∈ IN?, A et B deux partie de IRn.1 ∅⊥ = {0n}⊥ = IRn.2 IRn⊥ = {0n}.3 A⊥ est un sous espace de IRn.4 A ⊂ (A⊥)⊥.5 A ⊂ B alors B⊥ ⊂ A⊥.6 (A ∪ B)⊥ = A⊥ ∩ B⊥
7 A⊥ + B⊥ ⊂ (A ∩ B)⊥.
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La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale
La projection orthogonale
Propriétés
Si S est une partie fini non vide de IRn alors S⊥ = vect(S)⊥.C’est à dire :
∀a1,a2, ...,am ∈ IRn, {a1,a2, ...,am}⊥ = vect(a1,a2, ...,am)⊥
Exemple
Soit E = {(x , y ,−x − y) tq x , y ∈ IR}. Alors E est un sous espace vectoriel deIR3.∀u = (x , y ,−x ,−y) ∈ E : u = x(1,0,−1) + y(0,1,−1)Posons a = (1,0,−1) et b = (0,1,−1) et S = {a,b}.Alors E = vect(S). Donc
E⊥ = S⊥ = {(x , x , x) tq x ∈ IR}
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La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale
La projection orthogonale
Théorème
Soient n ∈ IN? et E un sous espace vectoriel de IRn. Alors E⊥ est lesupplémentaire de E dans IRn
corollaire
Si E un sous espace vectoriel de IRn. Alors (E⊥)⊥ = E
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La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale
La projection orthogonale
DéfinitionSoient n ∈ IN?, E un sous espace vectoriel de IRn et u ∈ IRn la projection duvecteur u sur E parallèlement à E⊥ est appelé la projection orthogonale duvecteur u sur E .
Théorème
Soient n ∈ IN?, E un sous espace vectoriel de IRn. Si S = (e1,e2, ...,em) unebase orthonormale de E alors la projection orthogonale d’un vecteurquelconque u ∈ IRn sur E est
uE = (ue1)e1 + (ue2)e2 + ...(uem)em
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La structure euclidienne de IRn La projection orthogonale
La projection orthogonale
CorollaireSoit E une droite vectorielle de IRn.Si e est un vecteur normé de E alors la projection orthogonale d’un vecteurquelconque u ∈ IRn sur E est : uE = (ue)e
CorollaireSoit E une droite vectorielle de IRn.Si a est un vecteur non nul de E alors la projection orthogonale d’un vecteurquelconque u ∈ IRn sur E est : uE = (ua) a‖a‖2
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La structure euclidienne de IRn Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes
Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes
Dans tous ce paragraphe n étant un entier où n ≥ 2, E un plan vectorieleuclidien de IRn et B = (e1,e2) une base orthonormale de E .
Définitions et notations
1 Le vecteur nul 0n est noté 0.2 Si a = x1e1 + y1e2 ∈ E et a2 = x2e1 + y2e2 ∈ E
on appelle déterminant de a1 et a2 par rappot à B ou le déterminant de a1et a2 le nombre réel, noté detB(a1,a2) défini par :
detB(a1,a2) = det(a1,a2) =x1 x2y1 y2
= x1y2 − x2y1
3 Si a = xe1 + ye2 ∈ E on appelle l’affixe de a le nombre complexe notéaff (a) défini par aff (a) = x + iy ∈ IC
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La structure euclidienne de IRn Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes
Le plan vectoriel euclidien et les nombres complexes
Propriétés
1 ∀a1,a2 ∈ E : (a1,a2) est un système lié si et seulement si det(a1,a2) = 0.2 ∀a1,a2 ∈ E : (a1,a2) est une base de E si et seulement si det(a1,a2) 6= 03 ∀a = xe1 + ye2 ∈ E et b = ue1 + ve2 ∈ E : ab = xu + yv4 aff (a + b) = aff (a) + aff (b)5 ∀a = xe1 + ye2 ∈ E : ‖a‖ = |aff (a)| =
√(x2 + y2)
6 ∀a ∈ E a est normé⇔ |aff (a)| = 1
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La structure euclidienne de IRn Le produit vectoriel
Le produit vectoriel
Définition
Si a = (x , y , z) ∈ IR3 et b = (t ,u, v) ∈ IR3.On appelle produit vectoriel ab ou a vectoriel b, le vecteur de IR3 noté a ∧ bdéfini par :
a ∧ b =(
y uz v ,
z vx t ,
x ty u
)
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La structure euclidienne de IRn Le produit vectoriel
Le produit vectoriel
Exemple
♣ Si a = (2,−1,4) et b = (3,5,1) alors
a ∧ b =(−1 5
4 1 ,4 12 3 ,
2 3−1 5
)= (−21,10,13)
♣ Si B = (e1,e2,e3) la base canonique de IR3. alors• e1 ∧ e1 = e2 ∧ e2 = e3 ∧ e3 = 0• e1 ∧ e2 = −e2 ∧ e1 = e3• e2 ∧ e3 = −e3 ∧ e2 = e1• e3 ∧ e1 = −e1 ∧ e3 = e2
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La structure euclidienne de IRn Le produit vectoriel
Le produit vectoriel
Propriétés
Soient a,b, c ∈ IR3
1 a ∧ b = −(b ∧ a)2 (−a) ∧ b = a ∧ (−b) = −(a ∧ b)3 (−a) ∧ (−b) = a ∧ b4 ∀α ∈ IR, (αa) ∧ b = a ∧ (αb) = α(a ∧ b)5 (a + b) ∧ c = (a ∧ c) + (b ∧ c)6 a ∧ (b + c) = (a ∧ b) + (a ∧ c)
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La structure euclidienne de IRn Le produit vectoriel
Le produit vectoriel
Propriétés
1 le système (a,b) est lié si et seulement si a ∧ b = 02 le système (a,b) est libre si et seulement si a ∧ b 6= 03 (a ∧ b)⊥a et (a ∧ b)⊥b c’est à dire : (a ∧ b)a = 0 et (a ∧ b)b = 04 Si (a,b) est un système libre orthogonal de IR3 alors (a,b,a ∧ b) est une
base orthogonale de IR3
5 Si (a,b) est un système orthonormal de IR3 alors (a,b,a ∧ b) est unebase orthonormale de IR3
6 Si a⊥b alors ‖a ∧ b‖ = ‖a‖‖b‖
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Généralitésla structure d'espace vectoriel IRn
Sous espace vectoriel de IRnGénéralitésExemples et propriétés des sous espaces vectorielsla somme directe des sous espaces vectoriels
Les systèmes de vecteursLes systèmes de vecteurs et le sous espace engendré par un système de vecteursles systèmes libres et les systèmes liés:les systèmes générateursLes basesLa dimension d'un sous espace vectoriel
La structure euclidienne de IRnLe produit scalaire de deux vecteursLa norme d'un vecteurL'orthogonalitéLa projection orthogonaleLe plan vectoriel euclidien et les nombres complexesLe produit vectoriel