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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas – DCEA
Programa Institucional de Iniciação à Docência – PIBID/CERES
Área: Matemática
USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
Davidson Paulo Azevedo Oliveira – IFMG
Maria Maroni Lopes – UFRN
Local: Laboratório de Matemática – CERES/UFRN
17/04/2013
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USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO RECURSO
DIDÁTICO PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
O GeoGebra é um software dinâmico, para ser utilizado em ambiente
de sala de aula, que reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Foi
desenvolvido por Markus Horenwarter e Judith Preiner para ser empregado
principalmente no ensino de Matemática nas escolas básicas e secundárias na
universidade Atlantic University - Florida. O GeoGebra reúne as
características de um software de Geometria Dinâmica, admite construir
vários objetos como pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas,
gráficos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem, depois, serem
modificados dinamicamente. Permite, ainda, a introdução de equações e
coordenadas, digitando-se diretamente na sua caixa de entrada. O software
apresenta três diferentes janelas: gráfica, algébrica ou numérica, e a folha de
cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três diferentes
representações: graficamente (pontos, gráficos de funções), algebricamente
(coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim,
todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e
adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em quaisquer delas,
independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente
construídos.
TELA INICIAL DO GEOGEBRA.
Site para download: http://www.geogebra.org/cms.
1.1 TUTORIAL
Site para download: http://www.geogebra.org/cms.
Recursos:
Barra de Ferramentas
Caixa de
Entrada
Janela
Algébrica
Janela Gráfica
Planilha.
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Visualização interativa entre as janelas algébrica (geométrica) e
gráfica
Construções dinâmicas que permitem ao usuário interagir com o
objeto de estudo.
Criação de Applets
Alguns Comandos Definidos
Comandos Função do Comando
* Multiplicação
^ Potenciação
sin( x) Traça o gráfico da função seno
cos(x) Traça o gráfico da função cosseno
tan( x) Traça o gráfico da função
tangente
abs( ) Módulo
exp(x) Calcule e elevado a x
PI Utiliza o valor numérico de PI
! Fatorial
log(b, x) Logaritmo de x na base b
sqrt( ) Raiz quadrado
Quadro 1 – Comandos do GeoGebra.
Fonte: Arquivo da professora.
1.2 COMO INSTALAR DO SOFTWARE GEOGEBR
Acesse o site: http://www.geogebra.org/cms.
Faça o download do GeoGebra, de acordo com o sistema
operacional presente no computador, salvando o arquivo
GeoGebra.
Execute o arquivo GeoGebra e siga as instruções de instalação.
1.3 UTILIZANDO AS FERRAMENTAS DO GEOGEBRA
Ao iniciar o software, será aberta uma tela inicial com a
interface de trabalho. Essa interface do GeoGebra apresenta
elementos comuns aos softwares que funcionam em ambiente
Windows.
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O menu principal, apresenta acesso a várias ferramentas,
conforme quadro 2. Ao se clicar sobre cada uma dessas opções,
aparecerá uma caixa de diálogo contendo novos comandos a serem
escolhidos.
Quadro 2: Barra de Ferramentas do GeoGebra
Abaixo do menu principal existem onze botões de desenho.
Cada um deles, quando selecionado em seu canto inferior direito, dá
acesso a uma novo grupo de ferramentas.
Figura 2 – Ferramentas de desenho
Construção do gráfico da função afim sendo fornecidos os
valores dos parâmetros a e b.
a) Construa, no GeoGebra, as funções afim a seguir.
xxf 2)( 1)( xxg xxh 2)(
Observe que as funções estão variando. Como esta variação afeta
a representação gráfica? Como sua observação poderia ser
confirmada?
Construindo gráficos da Função Afim.
a) Insira os parâmetros a e b. Para isso, clique no botão . Após
clicar nesse botão, aparecerá a seguinte janela:
Arquivo Editar Exibir Opções Ferramenta janela Ajuda
ATIVIDADES
ATIVIDADE 1
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Nesta janela, deve-se indicar o intervalo de variação para os parâmetros
e também o incremento (o incremento é a variação dos parâmetros, neste
caso ela varia de 0.1 em 0.1, mas você pode indicar o valor que desejar
podendo este incremento ser um número natural, inteiro, real). Proceda
da mesma forma para inserir o parâmetro b.
b) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a
cor de cada um dos coeficientes. Dando dois cliques sobre cada
parâmetro, aparecerá a seguinte janela.
Selecione a opção Cor e defina a cor desejada. Além disso, pode-
se mudar a espessura do parâmetro, para isso, clique em Estilo e
selecione a espessura desejada. Depois clique no botão Fechar. Ao fazer
isso, os parâmetros modificarão suas cores e espessura.
c) Insira no campo de entrada a função baxxf )( .
Para inserir a função, clique no campo de entrada
(o campo de entrada encontra-se na
parte inferior da interface do GeoGebra) e digite a função
baxxf )( , utilizando a seguinte sintaxe f(x)=a*x + b . (OBS.: a
multiplicação é indicada por asterisco “*”).
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d) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore as
propriedades (cor e estilo). Varie cada um dos parâmetros e anote o que
acontece. (Para variar os parâmetros, clique em ). Logo após,
clique sobre a “bolinha” e deslize.
e) Movimente um parâmetro variável por vez (fixe b e movimente a,
fixe a e movimente b). O que acontece quando fixamos o parâmetro b e
variamos o a? O que acontece quando fixamos o parâmetro a e variamos
o b? Quais as características das retas representadas?
f) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos,
separadamente:
i) Digite “Função Crescente”; ii) “Função Constante”; iii) “Função
Decrescente”. Para INSERIR TEXTO, clique em . Em seguida,
abrirá a janela:
Feito isso, selecione a opção Inserir Texto. Depois clique com o botão
esquerdo do mouse sobre a janela gráfica do GeoGebra. Ao clicar sobre
a janela gráfica, aparecerá a seguinte janela:
Digite nesta janela que abriu “Função Crescente”. Em seguida, clique no
botão aplicar. Ao clicar no botão aplicar, a expressão “Função
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Crescente” aparecerá escrita na janela gráfica do GeoGebra. A figura a
seguir ilustra essa situação.
Depois clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função
Crescente” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite na
condição para mostrar objeto “a>0”. Em seguida, clique com o botão
direito do mouse sobre o texto “Função Constante” vá até propriedades e
selecione a opção Avançado e digite na condição para mostrar objeto
“a=0” (OBS: para este caso a opção” ” deverá ser selecionada, que
está no menu e representa a Relação entre dois objetos). E por
último, clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função
Decrescente” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite
na condição para mostrar objeto “a<0”. Agora, movimente os
coeficientes e veja que conforme as variações sofridas pelo coeficiente
a, teremos uma função crescente, constante ou decrescente.
Construindo gráficos da Função Quadrática
1) Insira os parâmetros a, b e c. Para inserir os parâmetros, proceda
como na Atividade anterior.
2) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a
cor de cada um dos coeficientes bem como suas espessuras (estilo).
3) Insira no campo de entrada a função cbxaxxf ²)( . (OBS:
Digite no campo de entrada a função utilizando a seguinte sintaxe:
f(x)=a*x^2 + b*x + c.
4) Clique com o botão direito do mouse sobre a representação gráfica da
função e explore as propriedades (cor e estilo).
5) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece. Qual o
comportamento da representação gráfica quando o coeficiente a assume
ATIVIDADES 2
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valores: positivos, nulo e negativos? OBS: Lembre-se que para variar os
parâmetros, basta arrastar a “bolinha” para a direita ou para a esquerda.
6) Movimente um coeficiente por vez (fixe b e c e movimente a, fixe a e
c e movimente b e fixe a e b e movimente c). O que acontece em cada
um dos casos?
7) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos,
separadamente: i) Digite “Concavidade voltada para cima”; ii)
“Concavidade voltada para baixo”. Dica: Faça como na atividade
anterior, ao inserir Função Crescente, Constante e Decrescente. Além
disso, lembre-se de indicar as condições que determinam quando a
parábola tem concavidade voltada para cima ou concavidade voltada
para baixo.
Construção do gráfico da função exponencial sendo
fornecidos os valores da base
a) Construa no GeoGebra as funções exponenciais a seguir.
xxf 2)( xxg 3)(
xxh 4)(
Para isso, digite no campo de entrada as funções utilizando a seguinte
sintaxe: f(x) = 2^x; g(x) 3^x; h(x) = 4^x.
Observe que as bases das funções estão variando. Como esta
variação afeta a representação gráfica? Como sua observação poderia ser
confirmada?
b) Agora, construa as funções a seguir.
x
xf
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1)(
x
xh
3
1)(
x
xg
4
1)(
Observe que as bases das funções estão variando. Como esta variação
afeta a representação gráfica? Justifique.
Comparando as atividades a e b, escreva as semelhanças e diferenças
encontradas nos gráficos.
Por que você acha que ocorrem estas diferenças?
ATIVIDADES 3
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Analise o que acontece com os gráficos das funções, em que
ponto as funções cortam o eixo das ordenadas?
Marque a intersecção entre o gráfico e o eixo dos y e exiba nome e valor
do ponto de intersecção.
Para isso, selecione na barra de tarefas a opção Interseção de Dois
Objetos conforme ilustrado na figura a seguir.
O item selecionado deverá ficar conforme mostrado a seguir.
Para destacar o ponto de interseção faça como sugestão do software,
selecione a função e o eixo das ordenadas.
O valor é o mesmo para todos os gráficos? Justifique porque isso
acontece?
Represente graficamente as funções abaixo, num mesmo
plano cartesiano.
a) xxf 2)( 12)( xxg 22)( xxh
Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças
encontradas. O que você observou? Por que ocorrem essas diferenças?
Como sua observação poderia ser confirmada?
b) xy 2
xy 22 xy 23
Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças
encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças?
Como sua observação poderia ser confirmada?
c) xy 2
xy 22 xy 32
ATIVIDADES 4
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Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças
encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças?
Como sua observação poderia ser confirmada?
d)
x
y
2
1 1
2
1
x
y 22
1
x
y
Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças
encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças?
Como sua observação poderia ser confirmada?
e) Considere a função xay , o que acontece com ela quando
você varia o valor de a?
f) Considere a função xaky , o que acontece quando você
varia o valor de k?
g) Considere a função caky x , o que acontece quando
você varia o valor de c?
.
Construa o gráfico da função baxf )(
(Para construir esse gráfico utilizaremos um recurso do software
chamado controle deslizante).
Na barra de tarefas selecione o item controle deslizante.
Faça como está indicado no GeoGebra, ou seja, clique na área de
trabalho para especificar a posição do seletor.
Aparecerá a seguinte imagem.
ATIVIDADES 5
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Altere o intervalo mínimo e máximo, variando-os com um intervalo
maior.
Faça o mesmo para o parâmetro b.
Definidos os parâmetros e representada a função graficamente reflita:
a) Se movimentarmos o seletor e variarmos o valor de a o que
acontece com o comportamento da função?
b) Marque a interseção entre o gráfico e o eixo das ordenadas
como ensinado anteriormente, movimente novamente o seletor
a e veja o que você pode observar. Justifique sua resposta.
c) Quais as alterações acontecem se movimentarmos o seletor b?
Justifique.
d) Observe se os gráficos construídos cortam o eixo das
abscissas? Justifique sua resposta.
Uma substância se decompõe, aproximadamente, segundo a lei
tktQ 5,02)( em que k é uma constante, t indica o tempo (em
minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em gramas) no
instante t.
a) Faça, no GeoGebra, o gráfico que representa essa situação e que
se encontra a seguir.
b) Qual a quantidade de substância (em gramas) após 6 minutos de
iniciado o processo de decomposição?
c) Se na representação algébrica, a base é um número maior do que
1, como você explica o fato da função ter como representação
gráfica uma curva decrescente?
ATIVIDADES 6
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Criando gráficos de Função Logarítmica
1) Insira os parâmetros a e b.
2) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a
cor de cada um dos coeficientes (ou parâmetros)
3) Insira no campo de entrada a função f(x)=a*log(b*x)
4) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore as
propriedades (cor e estilo).
5) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece.
6) Com o botão direito sobre o gráfico de f habilite a opção
HABILITAR RASTRO.
7) Movimente um coeficiente por vez (fixe b e movimente a, fixe a e
movimente b).O que acontece quando variamos o parâmetro b ? O que
acontece quando variamos o parâmetro a?
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C. C.. Explorando tópicos de
matemática do ensino fundamental e médio através do GeoGebra.
Disponível em: <http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/60.pdf>. Acesso em:
08 jun. 2009.
KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. 5.
ed. Campinas, SP.Papirus, 2009. 141 p.
ATIVIDADES 7
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HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J.. Ajuda GeoGebra: Manual
Oficial da Versão 3.2. Tradução e adaptação para português António Ribeiro,.
Disponível em: <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em:
12 jul. 2009.
LOPES. M. M. Construção e Aplicação de uma Sequência Didática para o
Ensino de Trigonometria Usando o software GeoGebra. 123 f. Dissertação
(Mestre) - Curso de Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Departamento
de Matemática, UFRN, Natal, 2010.
OLIVEIRA, D. P. A ;LOPES, M. M. O uso do software GeoGebra como
recurso didático para o ensino e aprendizagem de função. In:
Conferência latino-americana de GeoGebra, PUC,São Paulo, 2011.