���������� �� ���� �� �
��������� ���1 ������ ����������2 ������
������� �� ����� � ����� ��� ��� ��������� ����� � ����� ��������� ������ ������ ��������
���� ���� � ���� ��� � � ������ �� �� ������ �������� � � �������� ��� ���������
=1 +
√5
2,
���� � ��������� ��� ������ ������ ��� ��� ����� � ��������� ������ �� ��� � ��
��������� ������ ������ � ���������� �� �������� ���� �� ��� ��� �� ������ ������ �� ���
������� � ���� �������� ��������� ���� ��� �� ��������� ���� �� ������������! ���"
�� � ����� �������� � ��!������� �������� � ������� �������� � ����#� ��������
� ����� ���������� $ ��� � ����� ������ � �� ���� ��������������! �������� ��� �������
����
� ����� � ����� � ����� � ������� ��� � ���� � ��
������ C �� ���������� AB � ������ ����� ��� � ��
� �� �� ��� ��� �� ��� ������� �|AB| = x + y� ��� �
����� �� ��� �|AC| = x� ���� � �� ��� ����� ���
��� �|AC| = x� ��� � � � � �� �� ��� �|CB| = y��
� � ��� �� ������ � �� ����� �
x + yx
=xy
= .
x y
A C B
����� ��C ����AB � � �� ��� ���� ��� �
������ � ������ C �� ��� � � ������ � ��� ���� ���
��� ������� AB�� ������ B ����� � ��� ���� �����
������� AC�
1 �� ������ ���� �� � � � ����[email protected] �������� �� ��� ��� � � ������ ��� �� � �� �����[email protected]
%
� �������
���� ����� �� �� ��� ��� �� �� ���
� � ������ � � �� ���� �� �� ���� ������ �� ��� ����
���� �
���������� � ��� �� �� ���� � AB� � ����
B ������ ���� ���� �� � AB � � �� ���� �
��� �� ����� D ��� � ��
|AB| = 2|BD|.
������ � � ���� ���� � D �������� |BD| � ��������� �� AD � ���� E� ������ ������ � � ����
� ���� � A �������� |AE| � ����� ���� �� AB � ����
C�
A C B
����� ������������� �� ��� �� ���� �� ��
������� � ����� C � ��� ���� �� AB � ����� ���
�����
����� ��� ����� � � �� �� |AB|/|AC|�! �����ABC � �� ������ � ��� � ���� ������ ������ � � ����
�� �� ���� � � �
|AD|2 = |AB|2 + |BD|2 = 5|BD|2.
" � �� � ��
|AC| = |AE| = |AD| − |DE|= |AD| − |BD| = (
√5 − 1)|BD|.
# � �� �
|AB||AC| =
2|BD|(√
5 − 1)|BD| =1 +
√5
2= .
� ������ ����� �����
" � ������� � �� �� � ���� �� ���� ������ � ��� ����
���� �� �� �� � � ���$� ��� %�����3 & �� ����� ��
� � ��� � ����� �� � �$ ��� ��� �
���������� �� ������ ���� ���� DEBA �
����� �� � F ����� ��� ���� �� AD� ������ � �
���� ���� � F �������� |FB| � ����� ��������
FA � ���� G� ������ � � ���� ���� � A ��������
|AG| � ����� AB � ���� C.
D E
A C B
F
G
����� �!������ �����������
������� �� ����� C � ��� ���� �� AB � ����� ���
�����
����� ! �����AFB � �� �� ��� � ��� �� �� ��
� |AB| = 2|AF| � � |FB|2 = |AB|2 + |AF|2 =5|AF|2�" � �� � ��
|AC| = |AG| = |FG| − |AF|= |FB| − |AF| = (
√5 − 1)|AF|.
� � �� � |AB| = 2|AF|�� �� ���
|AB||AC| =
2√5 − 1
= .
3 ������ �� �� � � � ����� ��"����� � �� � ����� #�$%$�&�$' �(
& ���$) *������ �+�*��� �� ��%�)�
� ��� ��� ����� �����
! ��� � �� ��� ������ � ��� ���� ���� � ' �����
( ��� 4 ��� ���� �� )*+,��������
���������� �� �� ���� ��� AC ������ ���
��������� ��� ���� ACF� ����� D �� ������
��� ��� ��� �� � ����� F � ��� ��� � A� ����E �� �������� ��� ��� �� � ����� F � ��� ��� �
C� ������ � �� �� �����DEF � ����� ��������
AC � ���� B�
D
F
E
A N C B
O
k
����� )�, �� ��� ��� �������
������� �� ����� B � ��� ���� �� AC � �������
����� �������
����� ���� � � � � � ���� ������ ��� � � � �� �
������ DEF ���� ��� ��� ����� ��� �� � AC � ����
� � ���� ��� � �� ��� |DE| = 2|AC|� " ��� � N������� �� �� ��� � ��� ���� �� �$� F �� � ��� ���� AC�
( ��� ���� � � v ��� ��� �� ��� ������� ACF �� � R ��
��� �� � �� � �� ��������� ������� DEF� -��������
������ � ���������� �� |AB|/|AC|����� ��� �
|AB| = |AN| + |NB|.! �����" ( - � �� ����� � � �
|NB|2 = R2 − |ON|2 = R2 − (R − v)2.
� � �� � R =2√
33
|AC| �v =√
32
|AC|�� �� ���
|NB| =√
52
|AC|.# ���� �
|AB||AC| =
12|AC| +
√5
2|AC|
|AC| = .
�� �� ����� � � �� ���
������������� �� �����
���������� �� ��� �� k1� k2� k3 � ������� ����
������ �� �� � �� �������� ������ � ������ 1 : 2 : 4������� ���� ����� � ������ �� ������� ���
������ (k1) � ���� D� ����� � ����� ������ �� k2
� ����� A C� �������� AC � ����� ������ �� k3
� ���� B�
A C BD
Sk
1
k2
k3
����� +����������� � - � �.�� �������������� ��������
������� �� ����� C � ��� ���� �� AB � ����� ���
�����
����� ���� � ���� ������ �� ���� ������������ k1�
k2 �k3 � �
r1 = k, r2 = 2k, r3 = 4k,
4 / ������� ���� �%�����.�� - ���� �- � �� ���� � � ��� ��� ��� #�0)���(
'
� �������
�� ���� ������ �.�� k�! ������CDS �BDS � � �� �
� �� ���
|DC| =√
r22 − r2
1 =√
3k,
|DB| =√
r23 − r2
1 =√
15k.
# � �� �
|AB||AC| =
|AD| + |DB||AD| + |DC| =
|DC| + |DB|2|DC|
=√
3k +√
15k
2√
3k=
1 +√
52
= .
���� ����� � � �� ���
��� ��� �� � �� � ��
� �� �� ����
���������� �� � �������� ������� |AB| = 2r�� �� �� ���� CDEF �� � ��� � CD ���� �
AB�
A C BDS
a
x x
F E
����� 1������������ - � �.�� ��� ��� ��
�- �� � ��� � - ������������
������� �� ����� C� ������� D� � ��� ���� �� AD�������� CB� � ����� �������
����� ( ��� ���� � � a ��� ��� � ��� ���� �� ��� ��
CDEF� �� x = |AC| = |DB|� ��� �������������
ACF �FCB � � � ������ � �� ���
ax
=2r − x
a,
�� �� � ����� � �� �� � ���� �
|CD||AC| =
|AD||CD| .
���� ����� � � �� ���
���� ��� ��� ����� ���� ��
���������� �� ��� �� �� ��������� ��� ���
�� ABC� �� ��� ��� BC ������ ���� ����
BEDC� ������ � � ���� ���� � ���� C ��������
|CE| � ����� �������� AB � ���� F�
A N B F
C
D
E
����� $������������ � - � �.�� ��� ��� ��� ������� �������
������� �� ����� B � ��� ���� �� AF � ����� ���
�����
����� " ��� � a = |AB| �� N ������� �� �� ��� ��
�$� C ������� ABC� -�������� � CE �� � ���� ��
�� ��� �� BEDC��� ���
|CE| = |CF| = a√
2.
! �����CNF � �� ����� � � � |NF|2 = |CF|2 −|NC|2�� � �� � |NC| =
√5
2a���.�� � � |NF| =√
52
a�# � �� �
|AF||AB| =
|AN| + |NF||AB| =
12a +
√5
2a
a= .
( ���$) *������ �+�*��� �� ��%�)�
���� ����� � � �� ���
���� � �� ��� ���� ��
���������� �� ��� �� �� �� ��� ����
CAB� ������� ������� ���� � ��� ���� �
�� |AC| = 3 |CB| = 4 � � �������� ���� ��
|BA| = 5� ���� s �������� �� �� ���� B � �
����� �������� ��� �� AC � ���� O� ������ � ����� ���� � ���� O �������� |OC| � ����� � �����s � ����� P Q�
O
P
Q
C A
B
����� '������������ � - � �.�� ��- � �� ��� �������
������� �� ����� P � ��� ���� �� AQ � ����� ���
�����
����� ���� � ������ � � �� ���� ������� �� �� ����
������� �� �� ���� �� ���� �� ����� � � ����� � ��� ���� �
�� ��� ���� �� �� �� ������� ��
|OC||OB| =
|AC||AB| =
35.
� � �� � |OC| = 4 − |OB| �|OB| =53|OC|�� �� ���
�� � |OC| = 3/2� ! �����OCA � �� ����� � �
�
|OA| =√|OC|2 + |AC|2 =
3√
52
.
# � �� �
|QP||PA| =
2|OC||OA| − |OC| =
3
3√
52
− 32
= .
� � ��� �� � �� ����� � / �$� ���� � � � ���� �� � �����
� � ����� ����� ���� ���� � � � ��� � ����0 !����� �
� �� ��� � ���� ���� �� � ��� � ������ ����
�� �� ��� ���� ���� ������� ������� � �����
����� � �������� ���������� �� �� ������ �
2 34 !5 /4 6 5 /
�*7��� �������� �����- �� � ���� ����� & �� � � ����
��� ������������ � � �� ������%� �
�*4�8��9:������ � ��� �� �� ������� ���� ����� ����
����; �9�<��: & ������%%��
*����������.���������� ��� ����� �������� � � ������ "�
�����������#�000�(�1+&$$�
)*/�=��� ���:� ������ ����� �� ��������� #�001�(�
�����- �� �� >http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatio.shtml
)