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Fısica I. Curso 2010/11Departamento de Fısica Aplicada. ETSII de Bejar. Universidad de Salamanca

Profs. Alejandro Medina Domınguez y Jesus Ovejero Sanchez

Tema 3. Trabajo, energıa y conservacion dela energıa

Indice

1. Introduccion 3

2. Concepto de trabajo 3

2.1. Sistemas unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Expresion general de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Potencia 7

4. Energıa cinetica. Teorema trabajo-energıa 8

5. Fuerzas conservativas y energıa potencial 9

6. Analisis de curvas de energıa potencial 11

7. Conservacion de la energıa 15

7.1. Sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.2. Sistemas no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.3. Principio de conservacion de la energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

8. Problemas 19

Indice alfabetico 25

Tema 3. Trabajo, energıa y conservacion de la energıa 2


1. Introduccion

En principio, si se conociera la fuerza que actua sobre una partıcula como funcion del tiempo,

~f = ~f(t), serıa facil obtener la ecuacion de su trayectoria, ~r = ~r(t), que es uno de los problemas

fundamentales que se plantea la Mecanica Clasica:

~f(t) = m~a(t) −→ ~a(t) =~f(t)

m−→ ~v(t) =

∫~a(t) dt =⇒ ~r(t) =

∫~v(t) dt

Pero generalmente las fuerzas que actuan sobre las partıculas se conocen en Fısica en funcion de

su posicion y el metodo anterior no es aplicable. Por lo tanto, se introducen nuevos conceptos

(trabajo y energıa) con los que conociendo solo algunas propiedades de la fuerza se pueden

resolver muchos problemas.

2. Concepto de trabajo

2.1. Sistemas unidimensionales

Consideremos una fuerza, f , constante o variable, que actua sobre una partıcula para pro-

vocar sobre ella un desplazamiento unidimensional. Se define el trabajo infinitesimal que realiza

la fuerza sobre la partıcula para provocar un desplazamiento, dx, como,

dW = fx dx,

donde fx es la componente de la fuerza en la direccion del desplazamiento. Para un desplaza-

miento finito, entre dos puntos x1 y x2, se define el trabajo como:

W =

∫ x2

x1

fx dx

Es decir, que en problemas unidimensionales, el trabajo realizado por una fuerza no es mas que

el area encerrada bajo la curva, fx = fx(x).

Como por definicion el trabajo es una fuerza por un desplazamiento, sus dimensiones son:

[W ] = ML2T−2 y sus unidades en el sistema internacional son N.m, que se denomina joule o

julio y se representa como J. En el sistema cegesimal, la unidad del trabajo es el ergio (erg)

que se define como 1 erg= 1 dina ×1 cm. Factor de conversion: 1 J= 107 erg.


x1

x2

x x1

x2 x

fuerza variablefuerza constantefx fx

Conviene resaltar que el concepto de trabajo en Fısica no se corresponde exactamente con

la nocion que tenemos en la vida cotidiana. Por ejemplo, empujar una pared, aunque, por

supuesto, no consigamos derribarla, supone un trabajo en la vida ordinaria, pero en Fısica,

como no hay desplazamiento, el trabajo realizado es nulo. Igual sucede cuando un levantador

de pesas no consigue elevarlas o cuando sujetamos un objeto en el aire sin desplazarlo.

2.1 Ejemplo

Un bloque apoyado sobre una mesa sin rozamiento esta sujeto a un muelle horizontal que ejerce

una fuerza f = −k x, donde k = 400 N/m. El bloque se comprime hasta la posicion xi = −5

cm. Calcula el trabajo que realiza para llevar el bloque hasta la posicion xf = 0.

mk

xixf

Resolveremos el problema de dos maneras, analıticamente y geometricamente a partir de la

representacion de la funcion fuerza.


i) Analıticamente.

W =

∫ xf

xi

f(x) dx =

∫ xf

xi

(−kx) dx = −kx2

2

]xf

xi

= −k2

(x2f − x2i

)= 0,5 J

ii) Geometricamente1.

f

xx fxi

b

a

W =1

2b a =

1

2(xf − xi)f(xi) = 0,5 J

2.2. Expresion general de trabajo

Consideremos ahora una partıcula con vector de posicion ~r desplazandose en el espacio bajo

la accion de una fuerza, ~f , variable. Se define el trabajo realizado por la fuerza como:

W =

∫ f

i

~f.d~r.

En componentes,

W =

∫ f

i

(fx dx+ fy dy + fz dz).

La integral se evalua sobre la curva que conforma la trayectoria de la partıcula y se denomina

por esa razon integral de lınea. En general, cuando evaluamos el trabajo que realiza una fuerza

para trasladar la partıcula desde i hasta f , no es lo mismo hacerlo por la trayectoria c1 que por

la c2. En cada caso la integral se realizara de forma diferente y los resultados seran distintos.

1Notese que el trabajo, en general, puede tener un valor positivo o negativo. Con el metodo geometrico solose puede obtener el valor del trabajo en modulo, puesto que un area es, por definicion, un numero positivo.


i

f

c1

c2

2.2 Ejemplo

Calculese el trabajo realizado por la fuerza ~f = xy~i (N) para desplazar una partıcula desde

i : (0, 3) hasta f : (3, 0) a lo largo de las trayectorias:

1) Recta que une i y f .

2) Arco de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas que pasa por esos puntos.

c1

c2

i

f

y

x

1) Ecuacion de la recta: y = 3− x.

Wif =

∫ f

i

~f.d~r =

∫ f

i

xy dx =

∫ 3

0

x(3− x) dx =3

2x2 − x3

3= 4,5 J.

2) Ecuacion de la circunferencia: x2 + y2 = 9.

Wif =

∫ f

i

xy dx =

∫ f

i

x(9− x2)1/2 dx.

Haciendo el cambio de variables: u ≡ 9− x2 resulta −2xdx = du.

Wif = −1

2

∫u1/2 du = −1

�2

�2

3u3/2 = −1

3(9− x2)3/2

]30

=1

393/2 J = 9 J

Como vemos, el trabajo realizado en las dos trayectorias, aunque coincidan los puntos inicial y

final son diferentes.


En un desplazamiento infinitesimal, la expresion general del trabajo viene dada por:

δW = ~f.~dr.

La notacion, δ, para el trabajo elemental se utiliza en algunos libros para representar que

depende de la trayectoria recorrida. Se dice que la diferencial es inexacta.

Cuando varias fuerzas, {fi} (i = 1, 2 . . . n) actuan sobre una partıcula, el trabajo neto es la

suma de cada uno de los trabajos:

dW =n∑

i=1

dWi =n∑

i=1

~fi.d~ri.

3. Potencia

Desde un punto de vista practico, es a menudo mas interesante saber no solo el trabajo

realizado por una fuerza sobre un objeto, sino la rapidez con que se realiza. Esto es especialmente

importante en Ingenierıa, donde es relevante tanto el trabajo que realiza, por ejemplo, un motor

como el tiempo que tarda en ejecutarlo.

Se define la potencia media al realizar un trabajo W como:

Pm =W

t,

donde t es el tiempo que se emplea en su realizacion. Las dimensiones de la potencia son:

[Pm] =[W ]

t=ML2T−2

T= ML2T−3.

Unidades habituales de la potencia:

S.I. −→ watio (W)=J/s

Caballo de vapor (CV) −→ 1 CV=735,50 ' 736 W. Se define como la potencia necesaria

para elevar una masa de 75 kg 1 metro de altura en 1 s. No debe confundirse con el

horsepower (HP o hp), unidad de potencia de origen anglosajon equivalente a 745,70 '746 W.

A partir del watio se define una unidad de trabajo muy utilizada, el kw.h:

1 kw.h = 1000 J/s× 3600 s = 3,6× 106 J.


Se define la potencia instantanea realizada por una fuerza como:

P = lımt→0

W

t=dW

dt,

es decir, es el trabajo infinitesimal realizado por la fuerza por unidad de tiempo. De otro modo:

dW = ~f.d~r = ~f.~v dt −→ P =dW

dt= ~f.~v.

3.1 Ejemplo

Un elevador tiene una masa de 1000 kg y lleva una carga de 800 kg. Una fuerza de rozamiento

constante de 4000 N se opone a su movimiento. ¿Cual debe ser la potencia mınima del motor

para subir la carga con una velocidad constante de 3 m/s?

Fuerzas sobre el ascensor:

T − fr − (ma +mc)g = 0 −→ T = fr + (ma +mc) g = 2,16× 104 N

P = ~f.~v = ~T .~v = Tv = (fr +mg)v = 64,9 kW

4. Energıa cinetica. Teorema trabajo-energıa

Todo cuerpo en movimiento tiene la capacidad de realizar un trabajo a partir de una dismi-

nucion de su velocidad. Como ejemplos se pueden considerar un martillo golpeando un clavo,

una bala impactando contra una pared de acero o una piedra golpeando a otra piedra. Estos

hechos sugieren estudiar con mas detalle la relacion existente entre el estado de movimiento de

una partıcula y su posible capacidad para realizar trabajo.

Como la fuerza que la partıcula ejerce sobre el exterior es la misma que se ejerce sobre ella

(principio de accion y reaccion):

dW = ~f.d~r = m~a.d~r = m~a.~vdt = m~v.d~v

Por otra parte, se puede expresar:

d(v2) = d(~v.~v) = 2~v.d~v

Sustituyendo en la primera ecuacion:

dW = ~f.d~r =1

2md(v2) −→ W =

∫ f

i

~f.d~r =1

2m

∫ f

i

d(v2) =1

2mv2f −

1

2mv2i


W = ∆

(1

2mv2

)≡ ∆Ec

Este resultado se denomina teorema trabajo-energıa. La magnitud Ec = (1/2)mv2 se llama

energıa cinetica de la partıcula y el teorema afirma que el trabajo que realiza la partıcula es

igual a la variacion de su energıa cinetica. Pero tambien se puede interpretar en sentido opuesto.

Para cambiar la energıa cinetica de la partıcula hay que realizar un trabajo sobre ella que es

igual a su variacion.

La energıa cinetica es una magnitud escalar, que solo depende de la masa y la velocidad de

la partıcula y que tiene las mismas dimensiones que el trabajo ([Ec] = ML2T−2). No puede ser

nunca negativa.

5. Fuerzas conservativas y energıa potencial

Se dice que una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para trasladar una partıcula

desde un punto cualquiera i hasta otro cualquiera f es independiente de la trayectoria que

recorre la partıcula.

i

f

y

x

y

x

i

O de modo equivalente, una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partıcu-

la cuando esta describe una trayectoria cerrada es cero. Matematicamente:

∮~f.d~r = 0.

Basandonos en esta definicion, si una fuerza es conservativa siempre se puede definir una

funcion, U , de manera que el trabajo realizado por la fuerza sea, Wif = Ui − Uf . Esto es una

expresion matematica de que el trabajo solo depende de las caracterısticas de los estados inicial

y final de la partıcula.

∆U = Uf − Ui = −Wif = −∫ f

i

~f.d~r.


En un desplazamiento infinitesimal:

dU = −~f.d~r.

Esta funcion, U , con dimensiones de trabajo o energıa se denomina energıa potencial asociada

a ~f .

5.1 Ejemplo

Energıa potencial del campo gravitatorio terrestre (en las proximidades de la superficie de la

Tierra).

dU = −~f.d~r = −~P .d~r.

Si elegimos ~P = −mg~j,dU = mgdy −→ U = U0 +mgy,

donde U0 = U(y = 0).

Este es un ejemplo particular de una fuerza constante que es conservativa. Veremos a con-

tinuacion que cualquier fuerza constante (en modulo, direccion y sentido) es conservativa. Sea

~f una fuerza vectorialmente constante que desplaza una partıcula desde ~ri hasta ~rf . Veremos

que el trabajo que realiza para desplazarla solo depende de los puntos inicial y final.

Wif =

∫ f

i

~f.d~r =

∫ f

i

fx dx+

∫ f

i

fy dy +

∫ f

i

fz dz = ~f.~rf − ~f.~ri.

Luego el trabajo es independiente de la trayectoria, y entonces la fuerza es conservativa. Para

encontrar la energıa potencial asociada a esta fuerza hay que obtener la funcion que verifica,

Wif = Ui − Uf . En este caso es evidente que U = −~f.~r.Pero no solo las fuerzas constantes son conservativas. Una fuerza dependiente de la distancia,

como es por ejemplo la que ejerce un muelle sobre una cierta masa es otro ejemplo de fuerza

conservativa.

5.2 Ejemplo

Supongamos un muelle horizontal unido a una masa m. La fuerza que ejerce el muelle es

proporcional a su elongacion y se puede poner como: f = −kx. Calculemos el trabajo que hace

el muelle para desplazar la masa entre dos puntos arbitrarios.

Wif =

∫ f

i

~f.d~r = −∫ xf

xi

kx dx = −k2

(x2f − x2i ).


Luego el trabajo efectuado en una trayectoria arbitraria no depende de las peculiaridades de la

trayectoria, sino simplemente de las posiciones inicial y final de la partıcula. En conclusion, la

fuerza es conservativa.

Wif = −∆U −→ U = U0 +k

2x2.

Esta es la energıa potencial asociada al muelle. U0 es un valor de referencia que suele tomarse

igual a cero. De este modo, la energıa potencial del muelle en su posicion de equilibrio (x = 0)

es nula.

6. Analisis de curvas de energıa potencial

Supongamos por sencillez un sistema unidimensional con una unica coordenada x. Si sobre

el sistema actua una fuerza conservativa, f , se verifica:

dU = −~f.d~r = −fxdx.

Por lo tanto, la fuerza es la derivada de U respecto a x:

fx = −dUdx.

Dedicaremos esta seccion a estudiar como el analisis de la funcion energıa potencial de un siste-

ma permite conocer su comportamiento dinamico. Es decir, considerando como dato conocido

de un cierto problema la funcion energıa potencial, nos preguntaremos como es la dinamica del

sistema. Este tipo de planteamiento en Fısica es muy habitual, pues en muchas ocasiones es la

energıa potencial de un sistema la magnitud mas directamente calculable.

Como ejemplo de analisis de curvas de energıa potencial, estudiaremos el comportamiento

dinamico de una masa conectada a un muelle horizontal, a traves de su energıa potencial, que

como vimos anteriormente vale: U = 12kx2. Esta funcion se representa en la figura adjunta.

U

x

U' < 0

fx

U' > 0

fx

U'= 0, f = 0x


Su derivada en cada punto, es decir, la pendiente de la recta tangente, representa la fuerza (con

signo opuesto) que actua sobre la masa.

ã Para x < 0, la pendiente es negativa, luego la fuerza es positiva. Ademas la pendiente,

es mayor (en modulo) cuanto mas alejados estamos del origen. Luego la fuerza aumenta

con la distancia a x = 0. En ese punto, U ′ = 0 y la partıcula no experimenta fuerza ni

aceleracion (lo cual no quiere decir que en ese punto este en reposo).

ã Para x > 0 −→ U ′ > 0, con lo cual la fuerza es negativa. Si esta situada la partıcula

inicialmente en x = 0, y se la somete a una pequena perturbacion tratando de alejarla

de ese punto, el muelle reacciona con una fuerza que se opone a esa perturbacion y

trata de retornar la partıcula a x = 0. Se dice que este punto es de equilibrio estable.

Matematicamente se caracteriza porque es un mınimo de la funcion U = U(x): U ′ = 0 y

U ′′ > 0.

Consideremos ahora otro tipo de funcion U = U(x), con un maximo local, tal y como

muestra la figura.

U

x

U' < 0

fx

U' > 0

fx

U'= 0, f = 0x

Ahora si la partıcula esta inicialmente en el maximo de la funcion (x = 0 en este caso

sencillo) y se ve sometida a una pequena perturbacion, la fuerza que experimenta es tal que

tiende a alejarla definitivamente de ese punto. Se dice que la posicion del maximo de U , es

un punto de equilibrio inestable. Puede haber tambien curvas de energıa potencial con puntos

de equilibrio indiferente o neutro que son aquellos puntos de equilibrio, en que una pequena

perturbacion hace que la partıcula pase a otro punto de equilibrio adyacente. Geometricamente

estas regiones son mesetas en U(x).


U

x

equilibrio estable

equilibrio inestableequilibrio neutro

6.1 Ejemplo

La energıa potencial de un par de atomos (denominado potencial de Lennard-Jones) de un gas

tiene la forma:

U(x) = 4ε

[(σx

)12−(σx

)6],

donde ε y σ son constantes que dependen de las peculiaridades de los atomos.

a) Obtenganse los estados de equilibrio.

b) Dibujese la curva de energıa potencial.

a)

dU

dx= 0 −→ −12σ12x−13 + 6σ6x−7 = 0 −→ 2σ6x−13 = x−7 =⇒ xe = 21/6σ.

Solo hay un punto de equilibrio y es facil demostrar que es estable. Basta comprobar que

U ′′(xe) > 0.

U(xe) = 4ε

[��σ12

22��σ12 −��σ

6

2��σ6

]= 4ε

[1

4− 1

2

]= −ε.

Ceros de la funcion:

U(x) = 0 −→(σx

)12=(σx

)6−→ x = σ.


4 5 67 8

-100

-50

50

100

150

U (x)

x

x=21/6

x =2 σ1/6

e

U(x )= - εe

En el caso de sistemas tridimensionales se puede hacer un planteamiento semejante, pero

introduciendo un operador habitual en analisis diferencial en varias variables, que es el concepto

de gradiente2.

dU = −~f.d~r −→ ~f = −−−→∇U.

6.2 Ejemplo

Calculese la fuerza asociada a la energıa potencial dada por la funcion: U(x, y, z) = k x2yz,

donde k es una constante.

~f = −−−→∇U

fx = −∂U∂x

= −2kxyz

fy = −∂U∂y

= −kx2z

fz = −∂U∂z

= −kx2y

=⇒ ~f = −k(2xyz~i+ x2z~j + x2y~k).

2Dada una funcion escalar, f = f(x, y, z), se define su gradiente en coordenadas cartesianas, como el vectordado por:

−→∇f =

∂f

∂x~i +

∂f

∂y~j +

∂f

∂z~k.


7. Conservacion de la energıa

7.1. Sistemas conservativos

Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una partıcula. Segun el teorema trabajo-

energıa, se verifica:

W =

∫ f

i

~f.d~r = ∆Ec.

Ademas, por ser la fuerza conservativa, existe una funcion energıa potencial que satisface:

W = −∆U.

Igualando ambas ecuaciones:

W = ∆Ec = −∆U −→ ∆(Ec + U) = 0 −→ Ec + U ≡ E = cte.

La suma de las energıas cinetica y potencial de la partıcula recibe el nombre de energıa mecanica.

Y la ecuacion que acabamos de demostrar significa que si sobre una partıcula solo actuan fuerzas

conservativas, la energıa mecanica total, E = Ec +U , permanece constante. De aquı el nombre

de fuerza conservativa.

U

x

E

xr-xr

U

Ec

Es interesante dar una interpretacion geometrica a este principio. Supongamos que una

fuerza conservativa con energıa potencial, U , actua sobre la partıcula. Como la energıa mecanica

es constante, se puede representar mediante una lınea horizontal de un grafico que representa

las energıas del sistema frente a su posicion. En cualquier punto, U viene dada por la curva,

U = U(x), y la diferencia con E sera la energıa cinetica de la partıcula. Ası por ejemplo en un

estado de equilibrio, como el de la figura, la energıa potencial es cero, y por tanto, E = Ec. En


ese punto la velocidad de la partıcula es maxima. Aquı se comprueba como en un estado de

equilibrio la partıcula no tiene porque estar en reposo. Su aceleracion es nula (no hay fuerzas),

pero su velocidad no tiene porque serlo. En los puntos de corte de E con U , Ec = 0. Se

denominan puntos de retorno y en ellos cambia el modulo de la velocidad de la partıcula y la

energıa potencial es maxima.

Conociendo la energıa mecanica y potencial de una partıcula, calcular su velocidad en

cualquier posicion es sencillo a partir de esta expresion:

1

2mv2 + U(x) = E −→ v =

[2

m(E − U(x))

]1/2.

7.1 Ejemplo

Un esquiador inicialmente en reposo en lo alto de una pista (a una altura h respecto a la

horizontal) se dispone a iniciar un descenso. Calculese su velocidad en funcion de la altura.

h

y

v(y)

t=0 t

Si despreciamos el rozamiento, la unica fuerza que actua sobre el es la gravitatoria, que es

conservativa. Para calcular E podemos utilizar cualquier instante, por ejemplo, el inicial. En

este punto:

E =��1

2mv2 +mgh = mgh

En otro punto cualquiera (cuando el esquiador esta a una altura y respecto a la horizontal):

E =1

2mv2 +mgy = mgh −→ v = [2g(h− y)]1/2 .


7.2. Sistemas no conservativos

Cuando sobre un sistema actuan fuerzas no conservativas , su energıa mecanica total no

permanece constante. Supongamos una partıcula sometida tanto a fuerzas conservativas como

no conservativas:

~f = ~fc + ~fnc.

Como el teorema trabajo-energıa es valido para cualquier tipo de fuerzas:

Wt =

∫~fc.d~r +

∫~fnc.d~r = ∆Ec = Wc +Wnc.

Para la fuerza conservativa se puede definir una energıa potencial de forma que Wc = −∆U .

Entonces:

∆Ec = −∆U +Wnc −→ Wnc = ∆Ec + ∆U = ∆E.

Esta expresion se denomina teorema generalizado trabajo-energıa y significa que si sobre una

partıcula actuan fuerzas no conservativas, la variacion de su energıa mecanica total es precisa-

mente el trabajo que estas fuerzas ejercen sobre ella.

7.2 Ejemplo

Una nina de masa 17 kg comienza a deslizarse desde el reposo por un tobogan. La parte superior

esta a 2 m de altura sobre el suelo. Si su velocidad final es de 4,2 m/s, ¿cual es el trabajo

efectuado por las fuerzas de rozamiento?

Las fuerzas que actuan sobre la nina son: peso, rozamiento con el aire y el tobogan y fuerza

normal. Las de rozamiento no son conservativas y la normal no ejerce trabajo, luego el unico

trabajo no conservativo es el asociado a las fuerzas de rozamiento:

Wnc = ∆E = ∆Ec + ∆U∆Ec = Ecf −��>0

Eci = Ecf = 12mv2f

∆U = ��

0

Uf − Ui = −mgh

=⇒ Wnc = Ecf − Ui =1

2mv2f −mgh = −180 J.

7.3. Principio de conservacion de la energıa

Macroscopicamente las fuerzas no conservativas siempre estan presentes. Las mas familiares

son las de rozamiento, pero existen otras (como las magneticas). Por ejemplo, al empujar una


caja sobre una superficie rugosa, podemos interpretar que la variacion de energıa mecanica de

la caja es igual al trabajo que hacemos para vencer el rozamiento. Pero la experiencia dice

que en el proceso, la superficie de contacto se calienta. Otra forma de interpretar este hecho es

diciendo que la energıa mecanica que se pierde se transforma en otro tipo de energıa, la termica.

Este tipo de ideas surgio en el s. XIX, con el desarrollo de la Termodinamica. Hoy en dıa se

admite que la energıa ni se crea ni se destruye, simplemente se transforma. En Mecanica, solo

se manejan habitualmente las energıas cinetica, potencial y mecanica, pero si se incluyen otras

energıas que provienen de otras ramas de la Fısica, la energıa total siempre es constante. Otros

tipos de energıa son la interna (asociada a la estructura interna de un cuerpo), la quımica (que

se pone en juego al producirse reacciones quımicas), la electrica, la magnetica, etc. La ley de

conservacion de la energıa no tiene demostracion matematica, es un Principio y se admite como

tal. Se justifica diciendo que no se ha observado nunca ninguna situacion fısica en que no se

satisfaga.


8. Problemas

1. Un cajon de 48 kg es arrastrado 8 m por una rampa hacia arriba mediante una cuerda

de tension T = 540 N. Si el angulo que forma la rampa con la horizontal es de 30o y el

coeficiente de friccion cinetico es µc = 0,4, determina el trabajo realizado por cada una

de las fuerzas que actuan sobre el cajon.

(Respuestas : WT = 4,3 kJ; Wg = −1,9 kJ; WN = 0; Wr = −1,3 kJ)

2. Un trineo comienza a deslizarse desde el reposo en la cima de una colina siguiendo un

camino cubierto de nieve y con el perfil de la figura. El tramo fq es circular con radio R.

Despreciando cualquier tipo de rozamiento:

a) Determina el modulo de la velocidad del trineo en f .

b) ¿Cual es la fuerza normal ejercida por la superficie en ese punto?

c) ¿Cuanto valen el modulo de la velocidad y la fuerza normal en el punto q?

(Respuestas : a) vf = (4gR)1/2; b) N = 5mg; c) vq = (2gR)1/2 m/s; N = 2mg)

i

f

qR

R

2R

3. Considerese un automovil de masa m que se acelera hacia arriba por una pendiente que

forma un angulo θ con la horizontal. Supongase que la magnitud de la fuerza de rozamiento

que se opone a su movimiento esta dada por:

fa = 218 + 0,7 v2 (N)

Calculese la potencia que debe suministrar el motor. En particular, considerese el caso,

m = 1450 kg, v = 97,2 km/h, a = 1 m/s2 y θ = 10o.

(Respuestas : P = mav + mvg sen θ + 218 v + 0,7 v3 = 52,0 + 89,0 + 7, 9 + 18,0 = 167,0

CV)


4. Un pendulo formado por una cuerda de longitud L y una partıcula de masa m forma

inicialmente un angulo θ0 con la vertical. Determina la velocidad de la partıcula y la ten-

sion de la cuerda en el punto mas bajo de la trayectoria cuando se deja oscilar libremente

desde el reposo.

(Respuestas : v = [2gL(1− cos θ0)]1/2; T = mg(3− 2 cos θ0))

5. Un muelle de constante k esta colgado verticalmente. Se ata a su extremo libre una masa

m y se deja el sistema libre desde el reposo. Determina la maxima distancia que cae el

bloque.

(Respuestas : ym =2mg

k)

6. Determina para una maquina de Atwood de masas m1 y m2 la velocidad de los bloques

cuando el mas pesado desciende una altura h.

(Respuestas : v2 = 2m2 −m1

m1 +m2

gh)

7. Una partıcula esta sometida a una fuerza ~f = 6xy~i+ 3(x2− y2)~j (N). Calcula el trabajo

realizado por esta fuerza para desplazar la partıcula del punto O = (0, 0) al A = (1, 1)

(coordenadas en metros), a lo largo de cada uno de estos caminos:

1) De O a B = (1, 0) por una recta horizontal y de B a A por una recta vertical.

2) De O a A a lo largo de la recta y = x.

3) De O a A a lo largo de la parabola y = x2.

(Respuestas : W = 2 J en los tres caminos.)

8. La figura muestra un sistema bidimensional formado por dos muelles de constantes k1 y

k2. Determina las componentes de la fuerza total experimentada por el cuerpo conectado

en el extremo de coordenadas (x, y).

(Respuestas : ~f = −[k1x+ k2(x− c)]~i− y(k1 + k2)~j)


y

x

k1k2

(x,y)

(0,0) (c,0)

9. Una partıcula esta sometida a una fuerza ~f = xy~i (N). Calcula el trabajo realizado por

esa fuerza para desplazar la partıcula del punto A : (0, 3) al B : (3, 0) a lo largo de los

siguientes caminos:

1) A lo largo de la recta que une A y B.

2) A lo largo del arco de circunferencia con centro en el origen de coordenadas y extremos

A y B.

(Respuestas : a) W = 4,5 J; b) W = 9 J)

10. Un muelle de constante elastica k y masa despreciable esta apoyado sobre una superficie

horizontal y mantiene su eje vertical. Sobre su extremo libre se apoya una masa m y se

comprime el muelle una longitud d, en cuyo momento se suelta. Calcula:

a) La altura maxima que alcanza la masa.

b) ¿A que altura tendra la masa su velocidad maxima?

c) ¿Que valor tiene la velocidad maxima?

(Respuestas : a) ym =kd2

2mg; ymax =

d

2− mg

2k)

11. Sobre una partıcula actua una fuerza ~F = (2y2, 3x2, 0) N. Hallese el trabajo realizado por

dicha fuerza para ir de A a B. Primero por el camino AB de la porcion de la parabola

y =x2

3. Segundo, a lo largo de la trayectoria AC-CB. Repıtase el calculo si la fuerza es:

~F = (2x2, 3y2, 0) N.

(Respuestas : 1) W = 51,3 J; 2) W = 54,0 J; 3) W = 45,0 J; 4) W = 45,0 J)


12. La funcion energıa potencial de una partıcula de masa 4 kg en un campo de fuerzas viene

descrita por: Ep = 3x2 − x3 para x ≤ 3 y Ep = 0 para x ≥ 3 en donde Ep se expresa

en julios y x en metros. a) ¿Para que valores de x la fuerza Fx es cero? b)Hagase un

esquema de Ep en funcion de x. c) Discute la estabilidad del equilibrio para los valores

de x obtenidos en a). d) Si la energıa total de la partıcula es 12 J ¿cual es su velocidad

en x = 2 m?

(Respuestas : a) x = 0; x = 2 m; x ≥ 3 m; d) v = 2 m/s)

13. Considerese el sistema de la figura, en el que m = 4 kg y M = 16 kg. Por accion de la

fuerza F , los bloques deslizan sin rozamiento, encontrandose que el desplazamiento del

bloque mayor viene dado por x = 2t3 (x en m, t en s). Calculese: a) La aceleracion del

cuerpo pequeno a los 5 s. b) Las tensiones de las cuerdas en el mismo instante. c) El valor

de F a los 2 s. d) El trabajo desarrollado por la fuerza F a los 2 s. e) El incremento de

energıa cinetica de m a los 2 s y comprobar el teorema del trabajo y la energıa. (Ayuda:

Cuando m se desplaza una distancia x1 , la masa M se desplaza el doble x2 = 2x1.)

(Respuestas : a) a = 30 m/s2; b) T1 = 1920 N; T2 = 960 N; c) F = 816 N; d)

W = 4896 J; ∆Ec = 288 J)


14. Una partıcula, partiendo del reposo, se suelta en la parte superior de un cilindro circular

de radio 3 m, como se muestra en la figura. a) Calcula el punto P donde la partıcula

abandona el cilindro. b) Calcula la distancia desde el centro O del cilindro hasta el punto

en que la partıcula toca el suelo.

(Respuestas : a) φ = 41,8o; b) d = 3,39 m)

15. Una partıcula de masa 0, 5 kg parte del reposo, y despues de efectuar un rizo de radio 2 m

como indica la figura, comprime un resorte de constante elastica 400 N/m. Si la superficie

BD presenta un rozamiento de coeficiente 0, 15, la velocidad en el instante en que la

partıcula empieza a comprimir el resorte es la mitad que tiene la partıcula en el punto

P y la reaccion del rail sobre la partıcula en el punto P es nula. Calcula: a) La altura

desde donde parte la partıcula. b) La velocidad en el punto P . c) El espacio maximo (en

mm) que se comprime el resorte. d) El espacio horizontal recorrido por la partıcula hasta

pararse.

(Respuestas : a) h = 5 m; b) vP = 4,43 m/s; c) x = 76,45 mm; s = 31,74 m)


16. Un bloque de 10 kg esta unido a un resorte A y se conecta a un resorte B mediante una

cuerda y una polea. El bloque se mantiene en la posicion que indica la figura, con ambos

resortes sin deformar, cuando se elimina el soporte C y se suelta el bloque sin ninguna

velocidad inicial. Si la constante de cada resorte es de 2 kN/m, determine la velocidad

del bloque despues de que se ha movido hacia abajo 50 mm.

(Respuestas : v = 0,60 m/s)

Indice alfabetico

Caballo de vapor

unidad de potencia, 7

Conservacion

de la energıa, 15

Conservativa

fuerza, 9

Diferencial inexacta, 7

Energıa

cinetica, 8

mecanica, 15

potencial, 9

Equilibrio

estable, 12

indiferente, 12

inestable, 12

neutro, 12

Ergio

unidad de energıa, 3

Fuerza

conservativa, 9, 15

constante, 10

no conservativa, 17

Gradiente, 14

Integral

de lınea, 5

Julio

unidad de energıa, 3

Lennard-Jones

potencial, 13

Muelle

horizontal, 4

Potencia, 7

Potencial

Lennard-Jones, 13

Principio

de conservacion de la energıa, 17

Punto de retorno, 16

Teorema

generalizado trabajo-energıa, 17

trabajo-energıa, 8

Trabajo

expresion general, 5

infinitesimal, 3

neto, 7

Watio

unidad de potencia, 7

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