JUSTIFICACIÓN
Este proyecto ha sido elaborado con el fin de conocer más a fondo sobre los temas: proporcionalidad, razones y proporciones, magnitudes directa e inversamente proporcionales, reglas de 3 compuesta y simple, porcentajes, y repartimiento proporcional; para tener en cuenta la importancia que tienen en la vida cotidiana y sobre todo en nuestra carrera.
Cada uno de estos temas nos servirá para obtener valores exactos, de igual forma entender la relación entre cada uno de ellos.
Por otro lado nos puede servir para realizar de una manera más rápida los asuntos matemáticos que a menudo se nos presentan.
Con esta investigación podremos profundizar cada uno de los conceptos y procesos que con lleva cada tema.
La matemática es una ciencia muy importante en la vida del hombre ya que nos ayuda a razonar, desarrollando nuestra capacidad intelectual y sobre todo abstracta, haciendo de nosotros mejores médicos para la salud y la vida.
PROPORCIONALIDAD
La proporcionalidad es una relación o razón constante entre magnitudes medibles.
Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente.
Ejemplos
La longitud del lado un cuadrado.La capacidad de una botella de agua.El número de goles marcados en un partido.El número de goles marcados por el equipo A
A instancias de las matemáticas, la proporcionalidad es la conformidad o proporción (igualdad de dos razones) de unas partes con el todo o de elementos vinculados entre sí, o más formalmente, resulta ser la relación entre magnitudes medibles. En tanto, como concepto matemático que es, se destaca de otros tantos por ser uno de los más extendidos, es decir, casi todo el mundo conoce los alcances del mismo y lo utiliza en su vida cotidiana. En tanto, el símbolo matemático que por convención se emplea para indicar aquellos valores que resultan ser proporcionales es: ∝.
http://www.definicionabc.com/ciencia/proporcionalidad.php
Una proporción está conformada por a, b, c y d, en tanto, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d, una proporción está formada por dos razones iguales a:b = c:d, en donde a, b, c y d son diferentes a 0 y se leerá de la siguiente manera: a es a b, como c es a d.
Cabe destacar que cuando una razón iguala a otra, en efecto, existe proporcionalidad, o sea, que para tener una relación proporcional necesitamos disponer de dos razones que sean equivalentes.
Existen dos tipos de proporcionalidad, una inversa y otra directa, aunque, ambas sirven para resolver aquellos problemas en donde se conoce una razón y tan solo un dato de la segunda.
Entonces, dos magnitudes serán directamente proporcionales si al producirse el aumento de una de ellas, en el doble, triple o cuádruple, las cantidades que corresponden a la otra también aumenta en las mismas cantidades, es decir, el doble, el triple, el cuádruple.
Y por el contrario, dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.
En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintos sentidos:
Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a este término un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho, pero está bien proporcionado"
Si comentamos que el éxito de una persona es proporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemos de manifiesto la correlación entre estas dos variables: ÉXITO y TRABAJO.
También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: " proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste las comparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de su propio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabeza un tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir con ella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).
También se cometen errores:
Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicos calcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato en estado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó a correr y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.
En matemáticas esta palabra tiene un significado más restringido que trataremos de precisar.
RAZONES Y PROPORCIONESLlamamos razón al cociente indicado de dos números:
Razones y proporciones son razones que como ves, se tratan de divisiones que están indicadas, sin calcular su resultado.
Llamamos proporción a la igualdad de dos razones:
Proporción Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones; proporción es otra proporción porque tenemos la igualdad de dos razones.
La proporción: se lee: ‘a’ es ‘b’ como ’c’ es a ‘d’.
En la proporción a y d son los extremos, b y c los medios.
En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:
1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor consumo de combustible).
2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a pagar).
3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más dinero pagaré por el billete).
1- Razón
Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:
Ejemplo:
En una sala de clases hay 10 mujeres y 18 hombres. ¿Qué relación numérica existe entre el número de mujeres y el número de hombres?
La relación entre el número de mujeres y el número de hombres es de "10 es a 18" , otra forma de leerlo es "10 de 18 "
El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.
El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón
Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.
1.1- Resolución de problemas:
Veamos cómo resolver problemas de razones:
Ejemplo 1:
La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
Solución:
Si las edades son a y b
Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:
Ahora volvemos a los datos del problema:
Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:
Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X”. Por lo tanto:
Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:
Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :
Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.
PROPORCIONES
Una proporción es la igualdad de dos razones.
2.1- Propiedad fundamental
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos (Teorema fundamental de las proporciones). Es decir:
PROPIEDADES
A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a×d=b×c
B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los eztremos dividido por el otro MEDIO.
b= a×d͟∕c
C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.
a=b×c∕d
Proporcionalidad directa
Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO
Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?
1/3=1200/x → x=1200×3/1 x= $3600
EXAMPLE
1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 l ibras son de músculo. Calcular cuanto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb.
2. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones,
3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla
N Vueltas
4 8 20 23 30
Tiempo 12 35 50
Proporcionalidad inversa
Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.
EJEMPLO.
En una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.
Nª DE GARRAFAS CAPACIDAD DE GARRAFA (L= PRODUCTO10 28 28020 14 28040 7 28070 4 280140 2 280
Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.
MAGNITUDESLa magnitud es una propiedad que poseen los fenómenos o las relaciones entre
ellos, que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales no
negativos y usando la unidad pertinente). Dicha medida, es representada por
una cantidad.
Una magnitud es el resultado de una medición; las magnitudes matemáticas
tienen definiciones abstractas, mientras que las magnitudes físicas se miden con
instrumentos apropiados.
Magnitudes Directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir
una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el
mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes
cuando:
A más corresponde más.
A menos corresponde menos.
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera
corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes
son directamente proporcionales.
Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:
Magnitud
1ª
a B C D ...
Magnitud
2ª
a’ b’ c’ d’ ...
Son directamente proporcionales si se cumple que:
Ejemplo
Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Número
de sacos1 2 3 ... 26 ...
Peso en 20 40 60 ... 520 ...
kg
Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20
Observa que:
Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.
Ejemplo:
Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50
céntimos.
Es decir: A más kilógramos de tomate más euros. A menos kilógramos de tomate
menos euros.
También son directamente proporcionales:
Proporcional directa
Cuatro chicos de la facultad de medicina pasan en un hospital 10 días en lo
cual han gastado en comer 25000 ptas. En las mismas condiciones ¿cuánto
gastarán en comer 6 chicos durante 15 días en el hospital?
Doble número de chicos en el hospital, el mismo número de días gastarán el
doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente
proporcionales.
El mismo número de chicos, si pasan en el hospital será doble número de días
gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días del hospital y dinero
gastado son directamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la
cantidad desconocida, gasto.
SABEMOS QUE
REDUCCIÓN A LA
UNIDAD
BÚSQUEDA DEL
RESULTADO
Magnitud inversamente proporcional
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir
una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el
mismo número.
Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes
cuando:
A más corresponde menos.
A menos corresponde más.
Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo:
A más velocidad corresponde menos tiempo.
A menos velocidad corresponde más tiempo.
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera
corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas
magnitudes son inversamente proporcionales.
Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:
Magnitud 1ª A B C ...
Magnitud 2ª a’ b’ c’ ...
Son inversamente proporcionales si se verifica que:
a.a’ = b.b’ = c.c’ =...
PORCENTAJES
El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.
El porcentaje es un número asociado a una razón, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.
El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1 Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:
RepresentaciónTanto por ciento como fracción
El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:
Para saber cómo se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:
Porcentaje
La fracción común se multiplica por el número que sea necesario para que el denominador sea 100 y se toma el numerador, que será el porcentaje.
Ejemplo:
REGLA DE TRES
¿Qué es la regla de tres simple?
La regla de tres o regla de tres simple es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores conocidos y una incógnita, estableciendo una relación de proporcionalidad entre todos ellos.Es decir, lo que se pretende con ella es hallar el cuarto término de una proporción conociendo los otros tres.
En la regla de tres simple se establece, por tanto, la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor C, se calcula un cuarto valor D.
Dicha relación de proporcionalidad existente entre A y B puede ser directa o inversa.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Se aplica cuando dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales , hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondientes a una cantidad dada de la otra magnitud.
A más más
A menos menos
La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones.
En la regla de tres simple directa, en la relación entre los valores, se cumple que:
y decimos que A es a B directamente, como C es a D.
De esta igualdad anterior, se deduce fácilmente que si conocemos los valores A, B y C, y queremos calcular D, éste último será:
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales , calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
A más menos
A menos más
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:
En la regla de tres simples inversas, en la relación entre los valores, se cumple que:
Y decimos que A es a B inversamente, como C es a D.
Conocidos las valores A, B y C, el valor D será:
¿Qué es la regla de tres compuesta?
La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.
Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA
Se aplica cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se establecen son directas.
Si conocemos los valores A1, B1, C1, D, A2, B2 y C2, y queremos calcular X, éste último será:
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA
Se aplica cuando todas las relaciones de proporcionalidad que se establecen son inversas.
Conociendo los valores A1, B1, C1, D, A2, B2 y C2, el valor de X será:
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA
.Se aplica cuando en las relaciones de proporcionalidad que se establecen hay relaciones directas e inversas
Conociendo los valores A1, B1, C1, D, A2, B2 y C2, el valor de X se obtiene como:
REPARTIMIENTO PROPORCIONAL
En un procedimiento de cálculo que permite repartir una cierta cantidad, en partes proporcionales a otras.
¿Qué elementos se consideran en el reparto proporcional?
Cantidad a repartir: Es aquella cantidad que se nos plantea al inicio del problema que nos están dando.
Índices de reparto: Son aquellas cantidades dadas en el mismo problema también, solo que estas son las cantidades en las que se va a repartir la primera cantidad dada en el problema y suelen ser más de 2, para poder utilizar 4 métodos matemáticos.
Cociente de reparto: Es también conocido como resultado total o cociente. Es el resultado final que nos da después de haber realizado el problema, dividido la cantidad y haber repartido proporcionalmente de acuerdo al problema que se nos plantea.
Reparto Proporcional simple
Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.
El reparto proporcional se divide en categorías que son:
1. Reparto directo simple.2. Reparto directo compuesto.3. Reparto compuesto mixto.
Reparto proporcional directo simple.
El reparto es directo, cuando a mayor sea el número proporcional; más le corresponde al beneficiario o viceversa.
Repartir el número “N”, entre las partes proporcionales: a, b, y c
Dónde: “a”, “b”, y” c” se le conoce con el nombre de números proporcionales.
Sea: “x”, “y”,” z”; la cantidad buscada, que le corresponde a cada número proporcional.
Procedimiento
Existen dos métodos de cálculo, que son los siguientes:
Método de proporciones:
Este método consiste en formular proporciones de acuerdo con el siguiente procedimiento:
Sumar las partes proporcionales, llamado también números proporcionales.
En nuestro caso sería:
a + b + c
Formar proporciones, para cada uno de los números proporcionales, de la siguiente manera: La cantidad N, es a la sumatoria de los números proporcionales; como la incógnita es a cada índice.
En nuestro caso sería:
Método de reducción a la unidad:
Este método consiste en seguir el siguiente procedimiento.
Sumar los números proporcionales.
a + b + c
Determinar la constante de proporcionalidad.
Multiplicar la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales, y el resultado es el cociente de reparto, o la cantidad que corresponde a cada uno.
Ejemplo:
Tomemos el enunciado del ejemplo anterior, para poder apreciarlo mejor:
Repartir la cantidad de 1000 euros, en tres partes que sean directamente proporcionales a los números 2, 3, y 5.
Solución:
Sumamos los números proporcionales.
S= 2 + 3 + 5 = 10
Determinamos la constante de proporcionalidad.
Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades que corresponde a cada uno.
Luego, las partes buscadas son: 200, 300, y 500 euros.
De la misma forma, si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir:
Comprobación: 200 euros + 300 euros + 500 euros = 1000 euros
Reparto directo compuesto. (Inverso)
El reparto proporcional es inverso, cuando a medida que es mayor el número proporcional: menor le corresponde en el reparto, y viceversa. Y es compuesto cuando los números proporcionales provienen de un producto de factores.
Como ya hemos visto anteriormente, los problemas de reparto proporcional inverso se transforman en problemas de reparto proporcional directo, invirtiendo cada número proporcional. Es decir:
Repartir “N” entre las partes inversamente proporcionales “a”, “b”, “c”, y a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente; equivale a repartir, el número “N” entre
las partes directamente proporcionales a: , respectivamente.
Dónde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1”, se les conoce con el nombre de números proporcionales.
Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.
Procedimiento:
Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:
Se invierte cada uno de los números proporcionales. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
Se procede a resolver como si fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.
Ejemplo:
Repartir 144 euros, en partes inversamente proporcionales a los números 3, 2, y 4; y también a 2, 4, y 6 respectivamente.
Método de proporciones:
Solución:
La cantidad a repartir es 144 euros.
Primero buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto inverso, en reparto proporcional compuesto directo.
Para ello; invertiremos cada uno de los números proporcionales parciales del problema, de la siguiente manera:
Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.
Luego, damos común denominador a los números: 6, 8 y 24. Es decir, m.c.m (6,8, y 24) = 24
Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, de la siguiente manera:
De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos números proporcionales son: 4, 3, y 1 respectivamente.
Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.
Luego, la cantidad a repartir es N = 144 Euros
Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3 y 1; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:
Sumamos los números proporcionales:
S = 4 + 3 + 1 = 8
Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.
Luego, las cantidades a repartir son: 72, 54, y 18 euros.
Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.
Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.
Método de reducción a la unidad:
La cantidad a repartir es 444 euros.
Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 4, 3, y 1, respetivamente.
Solución:
Sumamos los números proporcionales.
S = 4 + 3 + 1 = 8
Determinamos la constante de proporcionalidad.
Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.
Luego, las cantidades a repartir son 72, 54, y 18 euros respectivamente.
Comprobación: 72 euros + 54 euros + 18 euros = 144 euros.
Reparto proporcional compuesto mixto:
El reparto proporcional compuesto mixto, es cuando de una cantidad se da una repartición directamente proporcional a uno o más factores e inversamente proporcional a uno u otros factores.
Como pueden apreciar, este es un caso donde se combinan el reparto proporcional directo e inverso; con lo cual, basta con convertir a reparto directo, todos los factores que son inversamente proporcionales; invirtiendo cada número proporcional. Es decir:
Repartir “N” entre las partes directamente proporcionales “a”, “b”, “c”, e inversamente proporcional a los números “a1”, “b1”, “c1”, respectivamente;
equivale a repartir, el número “N” entre las partes directamente proporcionales
a: , respectivamente.
Dónde: “a”, “b”, “c”, “a1”, “b1”, “c1” , se les conoce con el nombre de números proporcionales.
Sea: “x”,”y”, “z”, la cantidad buscada que le corresponde a cada, número proporcional.
Procedimiento:
Lo primero que se hace, es convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo, de la siguiente manera:
Se invierte cada uno de los números proporcionales que son inversos. Esto último se consigue dividiendo uno entre el número proporcional.
Cuando ya se han invertido todos los números proporcionales inversos. Luego, obtenemos los números proporcionales del reparto compuesto; es decir, multiplicando todos los factores, de los números proporcionales parciales correspondientes.
Luego, damos común denominador a las inversas de los números proporcionales del reparto compuesto.
Se procede a resolver como si fuera un reparto proporcional compuesto directo, por cualquiera de los dos métodos anteriores.
Ejemplo:
Repartir 480 euros en 3 partes directamente proporcionales a: 3, 4, y 5 e inversamente proporcionales a: 6, 12, y 18, respectivamente
Método de proporciones:
La cantidad a repartir es 480 euros.
Primero buscaremos convertir el reparto proporcional compuesto mixto, en reparto proporcional compuesto directo.
Para ello; invertiremos cada uno de los números parciales que son inversamente proporcionales del problema, y los números que son directamente proporcionales, se deja tal como está; de la siguiente manera:
Luego, multiplicamos los factores de los números proporcionales parciales, para obtener los números proporcionales del reparto compuesto directo.
Luego, damos común denominador a los números: 6, 12 y 18. Es decir, m.c.m (6,12, y 18) = 36
Con lo cual, se multiplicará a cada número proporcional, Y como el resultado de todos los números proporcionales del reparto tienen mitad, se simplifica quedando de la siguiente manera:
De esa manera; el problema se ha convertido, en un reparto proporcional compuesto directo, cuyos números proporcionales son: 9, 6, y 5 respectivamente. Y que puede ser resuelto por cualquiera de los dos métodos anteriores, del reparto proporcional simple directo.
Luego, la cantidad a repartir es N = 480 Euros
Llamemos “x”, “y”, “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6 y 5; el cociente debe de ser una constante, por consiguiente vamos a formar la proporción:
Sumamos los números proporcionales:
S = 9 + 6 + 5 = 20
Luego, formamos la proporción para cada uno de los números proporcionales.
Luego, las cantidades a repartir son: 216, 144, y 120 euros respectivamente.
Si sumamos las partes encontradas, nos dará como resultado la cantidad inicial a repartir.
Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.
Método de reducción a la unidad:
La cantidad a repartir es 480 euros.
Llamemos “x”, “y” “z” las partes buscadas; como estos números son directamente proporcionales a los números 9, 6, y 5, respetivamente.
Solución:
Sumamos los números proporcionales.
S = 9 + 6 + 5 = 20
Determinamos la constante de proporcionalidad.
Luego multiplicamos la constante de proporcionalidad, por cada uno de los números proporcionales; con lo cual hallaremos las cantidades corresponden a cada uno.
Luego, las cantidades a repartir son 216, 144, y 120 euros respectivamente.
Comprobación: 216 euros + 144 euros + 120 euros = 480 euros.
ANEXOS
EJEMPLOS DE PROPORCIONALIDAD.
Ejemplo 1
En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.
m2 de valla a pintar 1 1'5 2 4
Litros de pintura empleados 0'33 0'495 0'66 1'32
Ejemplo 2
Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente se detiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:
Velocidad que lleva (Km/h)
20
40
60
80
100
Distancia total de detención (m)
7
20'5
39'5
64
95
EJEMPLOS DE RAZONESEjemplo 1:
Si hay 33 vehículos entre automóviles y camionetas y la razón entre ellos es 4:7 ¿cuántos automóviles hay?
En este caso se está comparando la cantidad de automóviles con el de camionetas. Para conocer la cantidad de automóviles que hay podemos seguir los siguientes pasos:1° se considera el total de vehículos: 332° Se divide 33 por la suma entre el numerador y el denominador de nuestra razón (4+7= 11). Con esto se obtienen 11 partes con 3 unidades cada una (ya que 33:11 = 3).3° Se consideran 4 partes para los automóviles y 7 para las camionetas.
Respuesta: Hay 12 automóviles
EJEMPLOS DE PROPORCIONES
Ejemplo:Si tenemos la proporción:
y le aplicamos la propiedad fundamental señalada queda: 3 • 20 = 4 • 15, es decir, 60 = 60
Esta es la propiedad que nos permite detectar si dos cantidades presentadas como proporción lo son verdaderamente.
EJEMPLOS DE MAGNITUDES
15 docentes doctores trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar
una malla curricular. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10
doctores, empleando 8 horas diarias?
Doble número de doctores trabajando el mismo número de días trabajarán la
mitad de horas al día para realizar la malla curricular. Por tanto el número de
doctores y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Doble número de horas diarias de trabajo en realizar la malla, el mismo número de
doctores tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas
diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de doctores y nº de horas
diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo.
SABEMOS
QUE
REDUCCIÓN
A LA UNIDAD
BÚSQUEDA
DEL
RESULTADO
Por tanto, 10 docentes doctores empleando 8 horas diarias tardarán 33.75 días.
EJEMPLOS DE PORCENTAJES
1 De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué
porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
800 alumnos 600 alumnos
100 alumnos x alumnos
2 Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250
€ más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
100 € 7.5 €
8800 € x €
8800 € − 660 € = 8140 €
También se puede calcular directamente del siguiente modo:
100 € 92.5 €
8800 € x €
3 Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un
descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
100 € 116 €
1200 € x €
4 Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento
del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?
100 € 92 €
450 € x €
5 Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio
de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.
100 € 115 €
80 € x €
6 Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya
compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.
Venta compra
100 € 90 €
x € 180 €
7 ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo comparado a
280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta?
venta compra
100 € 112 €
x € 280 €
8 Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra.
Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.
100 € 80 €
150 € x €
EJEMPLOS DE REGLAS DE TRES SIMPLES
EJEMPLO:
Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos han dicho que 5 centímetros del mapa representan 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
1. Vamos a hacer la tabla con los 3 datos y la incógnita (“x”), y hallaremos “x” con la fórmula que acabamos de aprender:
Km Horas
240 3
X 2
X=240∗23 = 160 km
Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel
EJEMPLO
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.
Litros/minuto Horas
18 14
7 x
X=18∗147 = 36horas
Solución: el automóvil recorrerá 160km
EJEMPLOS DE REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
EJEMPLO
Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los deayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?
Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes cada uno
EJEMPLO
Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos l i tros por minuto tardará más en llenar el depósito.
Solución: Tardaría 36 horas
EJEMPLO DE REGLA DE TRS COMPUESTA
EJEMPLO
“9 grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. ¿Cuál será el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días?”
Primero vemos el tipo de relaciones de proporcionalidad que hay:
Aplicando lo que hemos visto antes, tenemos que:
Solución: El precio es de 40 Euros
EJEMPLOS DE REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA
EJEMPLO
5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?”
Aplicando la regla de tres compuesta inversa, tenemos:
Solución: Tardarán 2.14 días
EJEMPLO DE REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA
EJEMPLO
“8 obreros han construido en 9 días, trabajando a razón de 6 horas por día, 30 m de muro. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para construir los 50 m de muro que faltan?
Así que tenemos:
Solución: Necesitarán 9 días
EJEMPLOS DE REPARTO PROPORCIONAL
Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y
16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto
corresponde a cada uno?
Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a
cada uno.
1º El reparto proporcional es:
2º Por la propiedad de las razones iguales:
3º Cada nieto recibirá:
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.
Ejemplo
Tres hermanos ayudan al mantenimiento famil iar
entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y
32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a
la edad, ¿cuánto aporta cada uno?
1º Tomamos los inversos:
2º Ponemos a común denominador:
3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los
numeradores: 24, 20 y 15.
Ejercicios
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000
€. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad
corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente
proporcional a los capitales aportados?
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas,
directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la
segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a
la primera y tercera.
Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente
proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.
BIBLIOGRAFÍA
ROJAS, Marco, “Repartos proporcionales”, (2013), disponible en: http://matematicasvirtuales.com/blog/reparto-proporcional-compuesto/
VITUTOR, “Repartos proporcionales”, (2015), disponible en: http://www.ditutor.com/proporcionalidad/repartos_proporcionales.html
CALLES, Edith, “Reparto proporcional simple”, (2012), disponible en: https://prezi.com/7syfnnevurtk/reparto-proporcional-simple/
