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Resistencia de materiales

Torsion

Integrantes del grupo:-Arroyo Lozano, Yherny Juan

-Guerra Soriano, Gerson

Grupo: C13-3-A

Profesor:Anwuar Yarin

Semana 6

Fecha de entrega: 7 de Noviembre

2014-II


PROBLEMA 3.11Bajo condiciones normales de operación, el motor eléctrico ejerce un par de torsión de 2.8 kN-m en el eje AB. Si se sabeque cada eje es sólido, determine el máximo esfuerzo cortante:-En el eje AB.-En el eje BC.-En el eje CD.

Eje AB:

TAB = 2.8kN-m = 2.8 x 103 N-m C = 12d = 28 mm =

0.028 m

TAB = TCJ = 2T/πC3 = (2x2.8x103) / (πx0.0283) = 81.20 x 106 Pa

TAB = 81.2 MPa

Eje BC:

TBC = 1.4 kN-m = 1.4 x 103 N-m C = 12d = 24 mm =

0.024 mTBC = 2T/πC3 = (2x1.4x103 ) / (πx0.0243) = 64.47 x 106 PaTAB = 64.5 MPa

Eje CD:

TBC = 0.5 kN-m = 0.5 x 103 N-m C = 12d = 24 mm =

0.024 mTCD = 2T/πC3 = (2x0.5x103 ) / (πx0.0243) = 23.03 x 106 PaTCD = 23 MPa


PROBLEMAS 3.21Un par de torsión de magnitud T=8 kip-in. se aplica en D comomuestra la figura. Si se sabe que el esfuerzo cortante es de7.5 ksi en cada eje, determine el diámetro requerido:-En el eje AB.-En el eje CD.

1kip = 4448.2216 N 8kip-pulg = 903.88 N-m

TCD = 903.88N-m TAB = rB / rC x TAB = 100 x 903.88 / 40 = 2259.7 N-m

Tmax = 50 MPa

Tmax = TCJ = 2T/πC3

Eje AB:

C = ((2 x 2259.7) / (π x 50 x 106))1/3 = 0.03064 m = 30.64 mm


dAB = 2 c = 61.28 mm

Eje CD:

C = ((2 x 903.88) / (π x 50 x 106))1/3 = 0.02258 m = 22.58 mmdCD = 2 C = 45.16 mm

PROBLEMA 3.23:Dos ejes solidos de acero están conectados por los engranesque muestran en la figura. Se aplica un par de torsión demagnitud T=900 N-m al eje AB. Si se sabe que el esfuerzocortante permisible es de 50 MPa y se consideran solo losesfuerzos debidos al giro, determine el diámetro requeridopara:-El eje AB-El eje CD

TAB = T = 900 N-m TCD = rC / rB x TAB = 240 X 80 / 900 = 2700 N-m

Eje AB:

Tmax = 50 MPa = 50 x 106 Pa


C = ((2 x 900) / (π x 50 x 106))1/3 = 22.55 mmdAB = 2 c = 45.1 mm

Eje CD:

Tmax = 50 x 106 Pa


C = ((2 x 2700) / (π x 50 x 106))1/3 = 32.52 mmdAB = 2 c = 65.04 mmº

PROBLEMA 3.41:Dos ejes solidos de acero se conectan mediante los engranesque se muestran en la figura. Si se sabe que G = 77.2 GPa


para cada uno de los ejes, determine el ángulo que gira elextremo cuando TA=1200N−m.

Momentos:F = TAB / rB = TCD / rC TCD = rC / rB x TAB

TAB = 1200 N-mTCD = 240 / 80 x 1200 = 3600 N-m

Giro en el Eje CD:

C = 12d = 0.030 m L = 1.2 m G = 77.2 x 109 Pa

J = π2C4 = π20.030

4 = 1.27234 x 10 -6 m4

ØC/D = TLGJ = (3600 x 1.2) / (77.2 x 10

9 x 1.27234 x 10-9) =

43.981 x 10-8 radAngulo respecto a C:ØC = ØC/D = 43.981 x 10-3 radDesplazamiento circunferencial en los puntos de contacto de los engranajes B y C.S = rC x ØC = rB x ØB

Angulo respecto a B: ØB = rC / rB x ØC = 240 / 80 x (43.981 x 10-3) = 131.942 x 10-3

rad

Giro en el Eje AB:

C = 12d = 0.021 m L = 1.6 m G = 77.2 x 109 Pa

J = π2C4 = π20.030

4 = 1.27234 x 10 -6 m4

ØC/D = TLGJ = (1200 x 1.6) / (77.2 x 10

9 x 305.49 x 10-9) =

81.412 x 10-3 radAngulo respecto a A:ØA = ØB + ØA/B = 213.354 x 10-3 radØA = 12.22º


PROBLEMA 3.49El diseño del sistema de engranes y ejes, que se muestra en la figura, requiere que se empleen ejes de acero del mismo diámetro tanto para AB como para CD. Se requiere además que Tmax ≤ 60MPa y que el ángulo en el cual gira el extremo D deleje CD no exceda 1.5º. Si se sabe que G = 77 GPa, determine el diámetro requerido para los ejes.∅Cx40=∅Bx100 ∅C=2.5∅BTCD=TD=1000Para el engranaje C:TCD=Fx40Para el engranaje B:TAB=Fx100TCDTAB

=0.4

TAB=2500N−m

T ¿ TxCJ=Tx16πxD3

D=3√ 2500x16πx60x106

= 59.6 mm

Según el ángulo en AB y en C:

∅AB=TABxLGxJ

=2500x0.4

GxJ=1000GxJ

∅C=rBx∅B

rC=1000x100

40xGxJ=2500GxJ

En CD:TCD=1000N−m L=0.6

∅CD=TxLGxJ

=1000x0.6

GxJ∅CD=

600GxJ

∅D=∅C+∅CD

∅D=2500GxJ

+600GxJ

=3100GxJ


Hallando el diámetro:π32

xD4=3100

77x109x0.026

D=4√ 3100x3277x109x0.026xπ

D=63mm.

PROBLEMA 3.43: Un codificador F, utilizado para el registro en forma digitalde la rotación del eje A, está conectado al eje por medio deltren de engranes que se muestra en la figura, el cual costade cuatro engranes y de tres ejes solidos de acero, cada unocon diámetro d. Dos de los engranes tiene un radio r y losotros dos un radio nr. Si se evita la rotación delcodificador D, determine en términos de T, U, G, J y n elángulo de rotación del extremo A.

Engranaje B∑MB=0

F=TBnr

….1

Para el engranaje C:TBnr

=TCr

∑MC=0

F=TCr….2

Para el engranaje D:∑MD=0

F=TDnr

….3

Para el engranaje E:


TDnr

=TEr

∑ME=0

F=TEr….4

Sumatoria de momentos en AB:∑MAB=0TA=TB….5∅Bxnr=∅Cxr….6∅Dxnr=∅Exr….7

Por ser eje fijo:

∅E=∅FE=TExLGxJ

Reemplazando en 7:

∅Dxnr=TExLGxJ

xr

Se sabe que:

∅D=∅C=TExLxrGxJxnr

….8

También:

∅B=TAxLGxJ

….9



3.25 Los dos ejes solidos están conectados por engranes, como se muestra en la figura, y están hechos de un acero para el que el esfuerzo cortante permisible es de 7000psi. Si se sabe que los diámetros de los ejes son, respetivamente, dbc=1.6in y de def=1.25 in. Determineel máximo par de torsión Tc que puede aplicarse en C.

Engrane A MA=0→ F.4-Tc=0∑

Engrane B MB=0→ F.2.5-Tf=0∑

Entonces:.. 4Tf=2.5Tcζ=

Tc×16π×1.63=2000

Tc=1792lbf.∈¿

ζ= Tc×16π×1.253

=2000

Tf=854.49lbf.∈¿Entonces de los resultados obtenidos se escoge el menor:

1342.23×4=2.5×TcTc=1367.18lbf.∈¿


3.34 Determine el diámetro máximo permisible de una varilla de acero de 10 ft de largo (G = 1.12 X 106 psi) si la varilla debe torcerse 30° sin exceder un esfuerzo cortante de 12 ksi.

L = 10 ft=120 in.

G = 1.12 X 106 psi

12ksi=12000psi

τmax=12ksi=12000lb /pul2

ϕ=30° π180

=π6

T=τmaxxJ

C=750πd3

π6=TxLGxJ=

750πd3×120×3211.2×106×π×d4

d=0.49∈¿

3.39 Tres ejes sólidos, cada uno con 374 in. De diámetro, se conecta mediante los engranes que se muestra en la figura. I se sabe que G=11.2X106 psi, determine:a) El ángulo a través del cual gira el extremo A del ejeAB.b) El ángulo que gira E del eje EF.


ϕB.RB=ϕC.RC=ϕF.RF

ϕC=Tcd×L1J,G

=3T.L2J.g

=4T.L2J.G

ϕe=3.ϕc=9T.L2J.G

=9×200×48×32344×π×11.2×106

=0.2483

ϕa=4.ϕc=16T.L2J.G

= 16×100×48×3234

4×π×11.2×106

=0.2207

ϕe=14.23º

ϕe=112.645º3.40 Dos ejes, cada uno de 7/8in de diámetro, se conectan mediante los grandes que se muestran en la figura. Si se sabe que G=11.2X106 psi y que el eje en F esta fijo, determine el ángulo que gira el extremo A cuando se aplica un par de torsión de 1.2kip.in sobre A.

6ϕe=4.5ϕb

4.5ϕb=32×6×16×32

11.2×106× 784×π

ϕb=0.3972


ϕ ba=

12000×14×32

11.2×106× 784×π

=0.2607

ϕa=ϕb+ϕba

=0.3972+0.2607=0.6579

ϕa=0.6579×180π

=37.7º

3.47 Las especificaciones de diseño para el sistema de engranes y ejes, que se muestra en la figura, requieren que se use el mismo diámetro para ambos ejes y que el ángulo a través del cual gire la polea A no exceda 7.5º cuando está sujeta a un par de torsión Ta de 2kip.in. mientras la polea D se mantiene fija. Determine el diámetro requerido de los ejes di ambos están hechos de un acero con G=11.2X106 psi y 𝛇perm=12ksi.

Engrane A MA=0→ F.2-Ta=0∑

Engrane B MB=0→ F.5-To=0∑

Entonces:.. 5Ta=2To

ϕb.2=5ϕc

Una polea va estar estática por lo tanto solo dependerá

del engranaje A≤7.5º


ϕb=52ϕc

ϕa=5×5000×24+2000×2426J

7.5º=(25000×12+2000÷24)×326×π×D4

D=2.418∈¿

3.50 El motor eléctrico ejerce un par de torsión de 800N.m sobre el eje de acero ABCD cuando gira a una velocidad constante. Las especificaciones de diseño requiere que el diámetro del eje sea uniforme desde A hasta D y que el ángulo de giro entre A y D no exceda 1.5º. Si se sabe que 𝛇max≤ 60MPa y que G=77GPa determineel diámetro mínimo que puede utilizar para el eje.


PROBLEMA 3.78: